Релятивистские расчеты изотопических сдвигов уровней энергии в многозарядных ионах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Зубова, Наталья Александровна

• Зубова, Наталья Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Зубова, Наталья Александровна

Оглавление

Введение

1 Текущий статус эксперимента и теории

1.1 Литиеподобные ионы

1.2 Бороподобные ионы

2 Релятивистская теория эффекта отдачи ядра

2.1 Литиеподобные ионы

2.1.1 Методы вычислений

2.1.2 Результаты вычислений

2.2 Бороподобные ионы

2.2.1 Метод вычислений. Поиск подходящего базиса

2.2.2 Результаты вычислений

3 Эффект конечного размера ядра

3.1 Литиеподобные ионы

3.2 Бороподобные ионы

3.3 Изотопические сдвиги в многозарядных ионах

3.3.1 Литиеподобные ионы

3.3.2 Бороподобные ионы

Заключение

Приложения

A. Двухвременная функция Грина

B. Вывод формальных выражений для поправки к энергии, обу-

словленной эффектом отдачи ядра, в литиеподобных ионах в первом порядке по 1 /2

C. Оператор межэлектронного взаимодействия

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Релятивистские расчеты изотопических сдвигов уровней энергии в многозарядных ионах»

Введение

Актуальность работы

Мотивацией для выполнения настоящей работы послужили как последние высокоточные эксперименты по измерению изотопических сдвигов в многозарядных ионах (на установке Expiremental Storage Ring (ESR) в GSI, Дармштадт [1], а также на установке Electron Beam Ion Trap (EBIT), Гайдельберг [2]), так и некоторые расхождения в недавних вычислениях изотопических сдвигов уровней энергии в литиеподобных [3, 4] и в бо-роподобных ионах [5, 6]. Совместный анализ результатов, полученных в высокоточных теоретических и экспериментальных исследованиях изотопических сдвигов в многозарядных ионах, открывает новые возможности для определения разностей зарядовых радиусов ядер, а также для проверки квантовой электродинамики (КЭД) сильно-связанных состояний. С точки зрения теории, для достижения нужной для сравнения с экспериментом точности необходимо произвести вычисления эффекта конечного размера ядра, релятивистского эффекта отдачи ядра, КЭД поправок к этим вкладам, а также вычислить поправки, связанные с эффектом поляризации ядра и деформации ядра. Настоящая диссертация посвящена прецизионным вычислениям изотопических сдвигов в многозарядных литиеподобных и бороподобных ионах.

Цель работы

1. Прецизионнный релятивистский расчет эффекта отдачи ядра в литие-подобных ионах в широком диапазоне заряда ядра 2: вычисление первых двух порядков по 1/2 по теории возмущений в рамках приближения Брейта; расчет высших порядков по 1/2 методом конфигурационного взаимодействия Дирака-Фока-Штурма (КВ-ДФШ); учет КЭД поправок к эффекту отдачи ядра в нулевом порядке по 1/2; получение наиболее точных теоретических значений для вклада эффекта отдачи ядра в изотопические сдвиги уровней.

2. Вычисление вкладов в изотопические сдвиги энергетических уровней литиеподобных ионов, обусловленных эффектом конечного размера ядра, а также оценка соответствующих им КЭД поправок.

3. Прецизионнный релятивистский расчет эффекта отдачи ядра в боропо-добных ионах в широком диапазоне заряда ядра 2.

4. Вычисление вкладов в изотопические сдвиги энергетических уровней бороподобных ионов, обусловленных эффектом конечного размера ядра.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Проведены прецизионные релятивистские вычисления поправок на отдачу ядра к уровням энергии литиеподобных ионов для диапазона 2 = 4 — 92 в приближении Брейта по теории возмущений в нулевом и первом порядках по 1/2. Вклады второго и более высоких порядков

по 1/2 вычислены с помощью метода конфигурационного взаимодействия в базисе Дирака-Фока-Штурма.

2. Проведены прецизионные релятивисткие расчеты поправок на отдачу ядра к уровням энергии бороподобных ионов для диапазона 2 = 8 — 92 в приближении Брейта во всех порядках по 1/2. Вычисления выполнены посредством метода конфигурационного взаимодействия в базисе орбиталей Дирака-Фока-Штурма.

3. Проведены прецизионные релятивистские расчеты поправок на конечный размер ядра к уровням энергии литиеподобных и бороподобных ионов в широком диапазоне заряда ядра 2. Вычисления выполнены тремя различными способами и включают учет соответствующих КЭД поправок.

4. На основании проведенных вычислений получены наиболее точные на сегодняшний день теоретические значения изотопических сдвигов многозарядных литиеподобных и бороподобных ионов в широком диапазоне заряда ядра 2.

Научная и практическая ценность работы

1. Выполненные в данной работе вычисления изотопических сдвигов энергетических уровней многозарядных литиеподобных и бороподобных ионов являются наиболее точными на данный момент. Теоретической точности, которой удалось достигнуть в данных расчетах, достаточно для прецезионного определения разностей среднеквадратичных радиусов ядер из совместного анализа теоретических и экспериментальных данных по изотопическим сдвигам в тяжелых ионах.

2. Развитая в данной работе техника вывода выражений для поправок к энергии, связанных с эффектом отдачи ядра, может быть применена и для вычислений КЭД поправок за рамками приближения Брейта. Такие вычисления будут крайне необходимы в ближайшем будущем, когда соответствующие высокоточные эксперименты станут возможными на строящейся сейчас мегаустановке FAIR в Дармштадте.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры квантовый механики Санкт-Петербургского государственного университета и семинарах «Вклад молодых ученых России в проект ФАИР», ИТЭФ, Москва. Они также были представлены на международных конференциях в г. Вормсе, Германия ("11th International Topical SPARC Workshop"), в г. Эльтвилле, Германия ("Fundamental Constants Meeting 2015"), а также на о. Крит, Греция ("12th International Topical SPARC Workshop"). Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. N. A. Zubova, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Relativistic calculations of the nuclear recoil effect in highly charged Li-like ions— Physica Scripta, 2013, vol. 156, p. 014019-1 - 014019-3.

2. N. A. Zubova, Y. S. Kozhedub, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, A. V. Volotka, G. Plunien, C. Brandau, and Th. Stohlker,

Relativistic calculations of the isotope shifts in highly charged Li-like ions— Physical Review A, 2014, vol. 90, p. 062512-1 - 062512-12.

3. N. A. Zubova, A. V. Malyshev, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien, C. Brandau, and Th. Stohlker, Isotope shifts of the

2p3/2 — 2pi/2 transition in B-like ions — Physical Review A, 2016, vol. 93, p. 052502-1 -052502-10 .

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3 основных глав, заключения, трех приложений и содержит 97 страниц, 10 рисунков и 21 таблицу. Список литературы включает 76 наименований. Краткое содержание работы

Первая глава посвящена описанию современного статуса эксперимента и теории в области измерений и расчетов изотопических сдвигов энергетических уровней многозарядных литиеподобных и бороподобных ионов. Во второй главе изложены релятивистская теория, методы и результаты расчетов эффекта отдачи ядра, сначала для случая литиеподобных ионов, затем - для случая бороподобных ионов. В третьей главе приведены описание теории, схемы вычислений и результаты релятивистских расчетов эффекта конечного размера ядра для литиеподобных и бороподобных ионов. А также представлены полученные полные значения для изотопических сдвигов энергетических уровней литеподобных ионов: неодима, тория и урана, а также бороподобных ионов: аргона и урана. Диссертация содержит два приложения. Приложение А содержит основные формулы для двухвременных функций Грина. Приложение B содержит вывод формальных выражений для поправки к энергии, обусловленной эффектом отдачи ядра, в литиепо-добных ионах в первом порядке по 1/Z, а в приложении C представлено выражение для оператора межэлектронного взаимодействия.

Список сокращений и условных обозначений

КЭД -квантовая электродинамика

метод КВ-ДФШ -метод конфигурационного взаимодействия в базисе орби-талей Дирака-Фока-Штурма

метод МДФ-многоконфигурационный метод Дирака-Фока

NMS - нормальный массовый сдвиг

RNMS - релятивистский нормальный массовый сдвиг

SMS -специфический массовый сдвиг

RSMS -релятивистский специфический массовый сдвиг

Coul- кулоновская часть

one-el -одноэлектронная часть

two-el -двухэлектронная часть

метод ДКБ- метод дуального кинетического баланса rms -среднеквадратичный радиус МС-массовый сдвиг ПС-полевой сдвиг

Глава 1

Текущий статус эксперимента и теории

В последние годы значительный прогресс был достигнут в экспериментальном изучении изотопических сдвигов в многозарядных ионах [1,2,7-9]. В статье [2] изотопический сдвиг в бороподобном аргоне был измерен посредством использовая методов лазерной спектроскопии на установке EBIT (г. Гейдельберг, Германия). Такие эксперименты обеспечили первые тесты релятивистской теории эффекта отдачи ядра в многозарядных ионах [5]. В статье [1] измерения изотопических сдвигов в процессах диэлектронной рекомбинации в литиеподобном неодиме с A=142 и A=150 позволили определить разность зарядовых радиусов ядер. Точность этого эксперимента была также чувствительна к релятивистскому вкладу эффекта отдачи ядра. В работах [10-12] было продемонстрировано, что эксперименты с диэлектрон-ной рекомбинацией в GSI могут быть расширены на случай радиоактивных изотопов с временем жизни не меньше, чем 10 с. Ожидается, что на новых установках FAIR [13] в Дармштадте измерения изотопических сдвигов в многозарядных ионах достигнут точности на порядок выше той, что имеется на сегодняшний день. С теоретической точки зрения, для достижения такой точности необходимо вычислить эффект конечного размера ядра (полевой сдвиг) и эффект отдачи ядра (массовый сдвиг), включая релятивистские и

КЭД поправки.

1.1 Литиеподобные ионы

Высокоточные вычисления массовых сдвигов в многозарядных литиепо-добных ионах были проведены в статье [14], где вклады эффекта отдачи ядра, полученные в приближении Брейта (члены без КЭД), объединялись с вкладами, отдельно полученными в рамках полностью релятивистской теории за рамками брейтовского приближения (КЭД поправки). КЭД вклады вычислялись по теории возмущений в нулевом порядке по 1/2 (2 это заряд ядра), в то время как вычисления в брейтовском приближении проводились методом конфигурационного взаимодействия в базисе Дирака-Фока-Штурма (КВ-ДФШ) [5]. Независимые расчеты массовых сдвигов без КЭД поправок были представлены в статье [3]. Результаты этих вычислений, которые проводились многоконфигурационным методом Дирака-Фока (МК-ДФ), находятся в хорошем согласии с данными из работы [14] для малых и средних 2 и несколько отличаются от данных [6]. В силу этого расхождения стало чрезвычайно важно вычислить вклады эффекта отдачи ядра в рамках релятивистской теории, используя независимую технику вычислений. В настоящей работе был развит такой альтернативный метод, в котором соединены пертурбативные вычисления и КВ-ДФШ расчеты. А именно, мы вычисляем вклады отдачи ядра в приближении Брейта в нулевом и первом порядках по 1/2 и добавляем к этому результату вклады второго и более высоких порядков по 1/2, полученные в рамках КВ-ДФШ метода. Для проверки мы также проводили вычисления по теории возмущений, стартуя с эффективных локальных потенциалов, которые частично включают межэлектронное взаимодействие. Хотя вычисления

вкладов эффекта отдачи ядра по 1/2 ограничены приближением Брей-та, развитый здесь метод может быть расширен и на случай полностью релятивистской (КЭД) теории. Полученные вклады для массового сдвига без КЭД поправок были объединены с КЭД вкладами нулевого порядка по 1/2 с целью получения наиболее точных теоретических данных для эффекта отдачи ядра в многозарядных литиеподобных ионах. Кроме того, нами были проведены вычисления полевых сдвигов с помощью КВ-ДФШ метода. Полученные расчеты сравнивались с соответствующими МК-ДФ вычислениями из работы [3]. КЭД поправки к полевому сдвигу были также оценены. Кроме того, были также учтены поправки от эффекта поляризации и эффекта деформации ядра в изотопические сдвиги литиеподобных ионов неодима, тория и урана. Окончательно, были получены наиболее точные на сегодняшний день значения изотопических сдвигов для 2р^2 — 2в и 2р3/2 — 2в переходов в литиеподобных ионах.

1.2 Бороподобные ионы

Случай бороподобных ионов представляет особый интерес по причине того, что 2р3/2 — 2р\/2 переход в таких ионах имеет чисто релятивистскую природу. Это приводит к относительно большой величине КЭД вкладов и, как следствие, может дать уникальную возможность для тестирования КЭД в новой области: в режиме сильной связи за рамками картины Фарри. В недавних работах, посвященных вычислению изотопических сдвигов в бороподобном аргоне [5], а также в бороподобных ионах [6] с 2 = 8 — 42, использовались два различных метода: КВ-ДФШ - в первом и МДФ - во втором. В настоящей работе был использован КВ-ДФШ метод для расчета как поправок,

связанных с эффектом отдачи ядра, так и для поправок, обусловленных эффектом конечного размера ядра. С целью повышения точности и обеспечения стабильности полученных результатов расчеты поправок на отдачу ядра выполнялись для нескольких вариантов базисов виртуальных орбита-лей. Кроме того А. В. Малышевым были получены КЭД поправки к эффекту отдачи ядра, а также КЭД поправки к эффекту конечного размера ядра в низшем порядке по 1/2. В результате нами получены наиболее точные на сегодняшний день значения для изотопических сдвигов 2р3/2 — 2р^2 перехода в бороподобных ионах. В работе были использованы релятивистские единицы (К = с = 1).

Глава 2

Релятивистская теория эффекта отдачи ядра

Полная релятивистская теория эффекта отдачи ядра может быть сформулирована только с помощью формализма квантовой электродинамики [15-25]. Однако, в низшем порядке релятивистские поправки к отдаче могут быть учтены в рамках приближения Брейта, посредством использования следующего оператора [15,16,26]:

Нм = 2М Е [р • Рк — 2А • Рк\, (2.0.1)

г,к

где индексы % и к нумеруют электроны атома, р - оператор импульса электрона, а = (а1?а2,а3) - вектор, составленный из матриц Дирака, 3 определяется выражением:

3 =

а2

а +

(а • Р)Р

Г 2

2г

Оператор отдачи ядра (2.0.1) может быть записан в виде суммы:

(2.0.2)

Нм = НММ8 + НКММ8 + Н8М8 + НК8М8, (2.0.3)

где

НММ8 = р2 (2.0.4)

- 15 -

оператор нормального массового сдвига (NMS),

1 ^ aZ г (öS • rl)fi ] _ ( .

HRNMS = -^ — ai + -Г2- ^ Pi (2-0-5)

- релятивистская часть оператора нормального массового сдвига (RNMS),

hsms = s Рг •pl (2-0'6)

i=k

- оператор специфического массового сдвига (SMS),

1 ^ aZ г (а • ri)rl] ^ HRSMS = - + -Г2- • Pk (2-0-7)

s=k П ri

- оператор релятивистского специфического массового сдвига (RSMS).

2.1 Литиеподобные ионы 2.1.1 Методы вычислений

Аналитические вычисления средних значений операторов Hnms и Hrnms на волновых функциях Дирака-Кулона были выполнены в статье [15]. В работе [27], оператор Hm использовался для вычисления поправок на отдачу ядра к энергетическим уровням в низшем релятивистском порядке для случая гелиеподобных и литиеподобных ионов в нулевом порядке по 1/Z (что соответствует приближению невзаимодействующих электронов). В настояшее время этот оператор широко используется в релятивистских рассчетах эффекта отдачи ядра, использующих для вычислений методы конфигурационного взаимодействия (КВ-ДФ) и методы многоконфигурационного взаимодействия Дирака-Фока (МК-ДФ) [3,5,14,28-31]. Известно, однако, что такие методы имеют достаточно плохую сходимость в случае вычисления вкладов специфического массового сдвига. Кроме того, методы конфигурационного

взаимодействия Дирака-Фока (КВ-ДФ) и многоконфигурационного взаимодействия Дирака-Фока (МК-ДФ) не могут быть адаптированы к вычислению квантово-электродинамического (КЭД) вклада в эффект отдачи ядра, который становится весьма значительным для тяжелых ионов (смотрите, например, [14]). В настоящей работе был развит метод, основанный на теории возмущений, для вычисления поправок на межэлектронное взаимодействие к массовому сдвигу. Хотя вычисления по теории возмущений, представленные ниже, ограничены лишь приближением Брейта, разработанный подход может быть применен и для полных КЭД расчетов. Рассмотрим подробнее основную идею такого подхода.

Для вывода вкладов эффекта отдачи ядра к уровням энергии для ли-тиеподобных ионов по теории возмущений был использован метод двухвре-менной функции Грина [32-35], в котором замкнутая (1й)2 оболочка была отнесена к переопределенному вакууму. Энергетический сдвиг одиночного уровня а (валентного состояния) определяется выражением:

¿г £ (Е (е — Е°))Д£аа(£) АЕа =-Г---, (2.1.1)

1 + (ЕД9аа(Е)

Г

где Ддаа(Е) = даа(Е) — дОш (Е), ^а(Е) - Фурье-образ двухвременной функции Грина, спроектированный на невозмущенное состояние а, д^01(Е) = 1/(Е — Е(0)) - невозмущенное значение даа(Е), Е(0) - невозмущенная энергия состояния а, которая просто равна энергии Дирака в нашем случае одного валентного электрона: Е(0) = еа. Замкнутый контур Г охватывает уровень а, и оставляет вне его все остальные особенности Ддаа(Е). Он ориентирован против часовой стрелки. Функция Грина даа(Е) строится по теории возмущений согласно правилам Фейнмана, которые даны в [19,35], а также в

первой части Приложения в настоящей диссертации. Т.к. мы ограничиваемся в наших вычислениях приближением Брейта, мы рассматриваем все фотонные пропагаторы в кулоновской калибровке при ш = 0, а также ограничиваемся суммированием только по положительно-энергетическим промежуточным состояниям электронного спектра. Кроме того, мы отбрасываем вклады в эффект отдачи ядра, отвечающие обмену двумя поперечными фотонами [19].

В нулевом порядке по 1/Z поправки на отдачу ядра определяются диаграммами, представлеными на рисунке 2.1. В этих диаграммах, согласно работе [19,35], пунктирная точечная линия с жирными вершинами с двух сторон соответствует так называемому взаимодействию "кулоновской отдачи", которое приводит к NMS и SMS вкладам. Штриховая пунктирная линия, заканчивающаяся жирной вершиной с одной стороны, означает взаимодействие с "одним поперечным фотоном отдачи", которое приводит к RNMS и RSMS вкладам, соответственно. Для диаграммы кулоновской отдачи (рис. 2.1) мы получаем выражение:

Дп(1) = 1 1 « [ > V- <a 111 "X" 1 Р I a> (212) Ag"" = TE-Täf м E - ш - еп + im»' (21.2)

где Пп = еп - ер и ер это энергия Ферми, которая выбирается так, чтобы быть выше, чем одноэлектронная энергия замкнутой оболочки и ниже, чем энергии одноэлектронного валентного состояния. Используя соотношение

1 = рi т niö(x) (2.1.3)

х ± ¿0 х

и формулу (2.1.1) в первом порядке, мы получаем

ДЕо», = 2м Е I <а I Р I "> |2 — 2м Е I <а I р I "> |2. (2.1.4)

Это выражение можно разделить на две части, одноэлектронную и двух-

электронную:

-,(опе—е1) д т-^(two—е1)

ДЕсои! = ДЕСОГ1' + ДЕ-;1—е1), (2.1.5)

ДЕС0П„еГе1) = 2м Е I (а I РI п) |2 — ¿М Е I (а I Р I п) |2, (2.1.6)

£„>0 £„<0

(two—е1) _ 1 ^^ I / I \ 12

ДЕС0и;—е1) = — м Е I (а | Р I с) I2. (2.1.7)

0<£с<£_р

Эти формулы дают нам точное выражение для кулоновского вклада в отда-

чу в рамках полностью релятивистского подхода в нулевом порядке по 1/2. Чтобы отделить члены, отвечающие приближению Брейта, мы представим одноэлектронный вклад в следующем виде:

ДЕСГиГ4 = 2м(а 11? I а) — м Е I (а I Я п) I2. (2.1.8)

£„<0

Первый член этого уравнения определяет нормальный массовый сдвиг в нулевом порядке по 1/2, а второй член определяет КЭД часть кулоновского вклада в отдачу. Выражением ДЕс^ е1) определяется специфический массовый сдвиг в нулевом порядке по 1/2. Следовательно, мы можем написать

ДЕмш = 7^(а I р2 I а), (2.1.9)

д4М = — м Е К'^р I2, (2.1.10)

0<£г<£р

ДЕ0;,!оОи!) = — мм ЕI (а^р !п) I 2, (2.1.11)

£„<0

где верхний индекс (0) соответствует нулевому порядку по 1/2. Проводя схожие вычисления вкладов с одним поперечным фотоном в эффект отдачи ядра (рис. 2.1) и сохраняя только члены, которые соответствуют приближению Брейта, мы получаем

Де£1м8 = — 2м(а I (в • р + р • в) I а), (2.1.12)

Рис. 2.1: Диаграммы Фейнмана, определяющие эффект отдачи ядра в низшем релятивистском приближении. Точечная пунктирная линия соответствуют кулоновскому взаимодействию, которое приводит к NMS и SMS вкладам, штриховая пунктирная линия суть взаимодействие с одним поперечным фотоном, что приводит к RNMS и RSMS вкладам.

AeRSms = M Е «a I Р I с><с I D I a> + <a I D | c>(c | p | a>). (2.1.13)

0<ec<eF

Теперь перейдем к поправкам на межэлектронное взаимодействие к эффекту отдачи ядра. В первом порядке по 1/Z поправки на межэлектронное взаимодействие к NMS и SMS вкладам определяются диаграммами Фейнмана, представленными на рисунке (2.1). В этих диаграммах, волнистая линия соответствует электрон-электронному взаимодействию, рассматриваемому в приближении Брейта:

V(1, 2) = VC(1, 2) + VB(1, 2) (2.1.14)

= — - a [^^ + ^(Vi • Рi)(V2 • a2)r12l. (2.1.15)

r12 L r12 2 J

На рис. (2.2) мы представляем лишь те диаграммы, которые дают ненулевые вклады в случае литиеподобных ионов с одним электроном поверх замкнутой (1s)2 оболочки, и держим в уме то, что для диаграмм a, b, g, и h существуют соответствующие симметричные аналоги, поэтому полный ответ для них необходимо умножить на 2. Стоит отметить, что существуют также подобные диаграммы для случая, когда точечная пунктирная линия заменяется на штриховую пунктирную линию в диаграммах на рис. (2.2), определяя

g h Рис. 2.2: Диаграммы Фейнмана, определяющие поправки на межэлектронное взаимодействие для NMS и SMS вкладов в первом порядке по 1/Z.

тем самым поправки на межэлектронное взаимодействие для ИКМ8 и ИВМВ вкладов. Вычисление диаграммы а и ее симметричного аналога, а также соответствующих диаграмм с поперечным фотоном, посредством формулы (2.1.1) приводит к следующим выражениям (подробный вывод приводится во второй части Приложения):

1 (£n=£a) 1

A4mS = M Е Е <ас I V I nc)(n | f | а), (2.1.16)

M / „ £п — £n

£„>0 0<£c<£p Я П

- (£„=£а) -

AeRNms = -M Е Е Т—(ас I V I nc )(n | (D • f + p • D) | а)

M £a— £n

£„>0 0<£c <£ p

(2.1.17)

2 (£„=£a) -

AESMiS) = -м Е Е Е Z^Z(ас I V I nc)(n | P | c')(c'| f | а),

£„>0 0<£c<£p 0<£c/ <£p

(2.1.18)

2 (£„=£a) -

AEJM = M ЕЕ Е (ас | V | nc) (2.1.19)

£„>0 0<£c<£p 0<£c/ <£F a П

x((n | P | c')(c' | D | а) + (n | D | c')(c' | f | а)),

где подразумевается скалярное произведение векторов. Для других диаграмм (b-h) приведем только выражения для NMS и SMS вкладов:

- (£„=£а) -

AenmS = - и Е Е ;-г («c | V | cn)(n | f2 | а), (2.1.20)

MI r ta — tn

£„>0 0<£с <£ p

2 (£„=£a) -

AeSMS = M Е Е Е ^ЗТ- («c | V | cn)(n | P | c')(c' | P | а),

£„>0 0<£c<£p 0<£c/ <£p

(2.1.21)

A E (1,c) _ о

aenms _ 0,

(2.1.22)

AeSMS _ M E E E ^^({a I P I n)(c I P I a){nc/I V I cc/)

£n>£f 0<£c<£f 0<£c/ <£f

+ {a I p I c){n I p I a){cc/ I V I nc/^, (2.1.23)

A E(1'd) _ 0 AENMS _ 0,

(2.1.24)

AeSMS _ - M E E E ^L^ ({a I P I n){c I P I a){nc/I V I c/c)

£n >£F 0<£c<£F 0<£c/ <£F

+ {a I P I c){n I PI a){cc/ I V I c/n^, (2.1.25)

aE(1,e) _ — aenms _ m

EE

£n >£F 0<£c<£F

ac I V I na){n I P2 I c), (2.1.26)

ae(ms _

(2.1.27)

AeNM) _ M E E {ac I V I an)^-{n I P2 I c),

£n >£F 0<£c<£F

(2.1.28)

aesms _ 0,

(2.1.29)

A E (1,g) _ О

aenms _ 0,

(2.1.30)

l

м Е Е Е

(а | р | С/)(п | р | с)

(с/с | V | па(2.1.31)

0<ес<е_р 0<ес/<£F Еп^^1

^а + ^с

с

а

+ Е Е Е

0<ес<е_р еп>0 еп/>eF

(2.1.32)

(£п+Еп/

0<£с<£_р 0<ЕС/ <£^ Еп>0

И^МБ и ЯЯМБ вклады, соответствующие диаграммам 6-^, могут быть просто получены из уравнений (2.1.20)-(2.1.33) заменой р на р— 3 и сохранением только тех членов, которые содержат р и 3 операторы. После интегрирования по углам, используя теорему Вигнера-Эккарта, мы проводим численные расчеты выражений (2.1.16)-(2.1.33). Расчеты выполнены методом конечного базисного набора. Для построения базиса использовался метод дуального кинетического баланса (ДКБ) [36] с базисными функциями, построенными из В-сплайнов [37]. Вычисления проводились для конечного размера ядра, где в качестве модели распределения плотности заряда была использована модель Ферми, а зарядовые радиусы ядер были взяты из [4,38].

Чтобы вычислить поправки на отдачу ядра второго и более высоких порядков по 1/2, был использован метод конфигурационного взаимодействия в базисе Дирака-Фока-Штурма (КВ-ДФШ). Посредством этого метода мы вычислили полные значения вкладов эффекта отдачи ядра в приближении Брейта, включая кулоновскую и брейтовскую части межэлектронного взаимодействия, спроецированные на положительные энергетические состояния.

Это было сделано с помощью вычисления среднего значения оператора отдачи ядра (2.0.1) на КВ-ДФШ волновых функциях. Чтобы отделить вклады разного порядка по 1/2, оператор межэлектронного взаимодействия выбирался в виде:

V (Л) = ЛУ, (2.1.34)

где V задается уравнением (2.1.14) и Л - параметр масштабирования. Для малых Л вклад отдачи ядра может быть разложен по степеням Л:

то

Е (Л) = Ео + ЕЛ + ^ Ек Лк, (2.1.35)

к=2

где

1

Е = Ы ^Е (А)'Л=о. (21.36)

то

Вклады второго и более высоких порядков Е>2 = ^ Ек вычисляются как

к=2

Е>2 = Е(Л = 1) - Ео - Еь (2.1.37)

где члены Е0 и Е1 определяются численно согласно уравнению (2.2.6).

Наконец, следует рассмотреть вклады эффекта отдачи ядра за рамками приближения Брейта (КЭД поправки к отдаче ядра). КЭД вычисления эффекта отдачи ядра для многозарядных ионов в нулевом порядке по 1/2 были проведены в работах [18,22,39] для случая точечного распределения заряда ядра и в статьях [14,40,41] для конечного распределения заряда по ядру. В настоящей работе для получения КЭД поправки к эффекту отдачи ядра была произведена интерполяция соответствующих данных из [14].

— 25 —

2.1.2 Результаты вычислений

Вклады эффекта отдачи ядра удобно выразить в терминах К-фактора, который определяется выражением:

К

ДЕ = к. (2.1.38)

Таким образом, изотопический массовый сдвиг дается выражением

К К ¿М ,

^ = М — = — ММК (2Л39)

где = М1 — М2 это разность масс ядер.

В таблице 2.1 мы представляем вклады Кммя, Квмя, Ккммя и Кквмя от отдельных диаграмм для 2р — переходов в литиеподобном уране. В отличие от нашей первой статьи [42], где NMS и ИКМ8 вклады вычислялись суммированием по всем промежуточным электронным состояниям, здесь мы ограничиваемся суммированием лишь по положительно-энергетическим электронным состояниям. Разность, обусловленная учетом вкладов отрицательно-энергетических состояний, составляет величину порядка КЭД поправок к отдаче ядра первого порядка по 1/2, которые находятся за рамками рассмотрения в настоящей работе.

Таблица 2.1: Вклады от отдельных диаграмм в массовый сдвиг в приближении Брейта в терминах К-фактора (в единицах 1000 ГГц-а.е.м.) для 2р^2—и 2р3/2—2з переходов в литиеподобном уране (£=92).

диаграмма 2Р1/2 — 28 2Р3/2 — 28

КММ8 К8М8 КЯММ8 КЯ8М8 КММ8 К8М8 КЯММ8 КЯ8М8

Нулевой порядок по 1/^ -3629.93 -4925.25 3930.03 3929.40 -6989.42 -2656.60 6763.01 793.10

Первый порядок по 1/^ & 20.78 285.46 -72.75 -254.97 287.97 150.77 -298.83 -46.61

ь -3.32 13.69 -0.84 -12.53 24.32 -4.17 -15.31 1.30

с 0 2.46 0 -15.03 0 -14.38 0 -1.01

ё 0 -0.86 0 4.93 0 4.77 0 0.35

е -93.15 0 70.29 0 -80.11 0 60.55 0

1 30.27 0 -25.07 0 93.16 0 -72.27 0

g 0 23.68 0 -14.82 0 13.59 0 -9.18

Ь 0 -24.94 0 25.15 0 -40.23 0 26.46

Сумма -3675.35 -4625.76 3901.66 3662.13 -6664.08 -2546.25 6437.15 764.41

Значения Кммя, Ккммя, Квмя, Кквмя и КдкБ для 2р — 2й переходов в литиеподобных ионах даны в таблицах 2.2 и 2.3 для ] = 1/2 и ] = 3/2, соответственно. Вклады эффекта отдачи в нулевом и первом порядках по 1/2 вычислялись по теории возмущений, в то время как соответствующие члены во втором и более высоких порядков по 1/2 были получены с помощью метода КВ -ДФШ. Полные значения массового сдвига, включающие КЭД поправки к отдаче, также представлены. Из таблиц 2.2 и 2.3 можно видеть, что результаты, полученные в настоящей работе с использованием теории возмущений, находятся в хорошем согласии с вычислениями, основанными полностью на методе КВ-ДФШ [14]. В то же время при сравнении с вычислениями методом МК-ДФ из статьи [3] обнаруживается некоторое разногласие для тяжелых ионов. Следует отметить, что это разногласие больше, чем соответствующие вклады эффекта отдачи ядра во втором и более высоких порядков по 1/2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зубова, Наталья Александровна, 2016 год

Литература

[1] C. Brandau, C. Kozhuharov, Z. Harman, A. Müller, S. Schippers, Y. S. Kozhedub, D. Bernhardt, S. Böhm, J. Jacobi, E. W. Schmidt, P. H. Mokier, F. Bosch, H.-J. Kluge, Th. Stühlker, K. Beckert, P. Beller, F. Nolden, M. Steck, A. Gumberidze, R. Reuschl, U. Spillmann, F. J. Currell, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, U. D. Jentschura, C. H. Keitel, A. Wolf, and Z. Stachura, Phys. Rev. Lett. 100, 073201 (2008).

[2] R. Soria Orts, Z. Harman, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, A. N. Artemyev, H. Bruhns, A. J. Gonzalez Martinez, U. D. Jentschura, C. H. Keitel, A. Lapierre, V. Mironov, V. M. Shabaev, H. Tawara, I. I. Tupitsyn, J. Ullrich, and A. V. Volotka, Phys. Rev. Lett. 97, 103002 (2006).

[3] J. Li, C. Naze, M. Godefroid, S. Fritzsche, G. Gaigalas, P. Indelicato, and P. Jünsson, Phys. Rev. A 86, 022518 (2012).

[4] Y. S. Kozhedub, O. V. Andreev, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, C. Brandau, C. Kozhuharov, G. Plunien, and T. Stohlker, Phys. Rev. A 77, 032501 (2008).

[5] I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, I. Draganic, R. Soria Orts, and J. Ullrich, Phys. Rev. A 68, 022511 (2003).

[6] C. Naze, S. Verdebout, P. Rynkun, G. Gaigalas, M. Godefroid, P. Jonsson, At. Data Nucl. Data Tables 100, 1197-1249 (2014).

[7] S. R. Elliott, P. Beiersdorfer, and M. H. Chen, Phys. Rev. Lett. 76, 1031 (1996); Erratum Phys. Rev. Lett. 77, 4278 (1996).

[8] S. R. Elliott, P. Beiersdorfer, M. H. Chen, V. Decaux, and D. A. Knapp, Phys. Rev. C 57, 583 (1998).

[9] R. Schuch, E. Lindroth, S. Madzunkov, M. Fogle, T. Mohamed, and P. Indelicato, Phys. Rev. Lett. 95, 183003 (2005).

[10] C. Brandau, C. Kozhuharov, A. Müller, D. Bernhardt, S. Böhm, F. Bosch, D. Boutin, F. J. Currell, C. Dimopoulou, B. Franzke, A. Gumberidze, Z. Harman, U. D. Jentschura, C. H. Keitel, H. J. Kluge, Y. S. Kozhedub, R. Krücken, Yu. A. Litvinov, F. Nolden, B. O'Rourke, R. Reuschl, S. Schippers, V. M. Shabaev, U. Spillmann, Z. Stachura, M. Steck, Th. Stohlker, I. I. Tupitsyn, D. F. A. Winters, and A. Wolf, J. Phys.: Conf. Ser. 194, 012023 (2009).

[11] C. Brandau, C. Kozhuharov, A. Müller, D. Bernhardt, F. Bosch, D. Boutin, F. J. Currell, C. Dimopoulou, B. Franzke, S. Fritzsche, A. Gumberidze, Z. Harman, U. D. Jentschura, C. H. Keitel, Y. S. Kozhedub, R. Krücken, Yu. A. Litvinov, F. Nolden, B. O'Rourke, R. Reuschl, S. Schippers, V. M. Shabaev, U. Spillmann, Z. Stachura, M. Steck, Th. Stohlker, I. I. Tupitsyn, D. F. A. Winters, and A. Wolf, Hyperfine Interact. 196, 115 (2010).

[12] C. Brandau, C. Kozhuharov, A. Müller, D. Bernhardt, D. Banas, F. Bosch, F. J. Currell, C. Dimopoulou, A. Gumberidze, S. Hagmann, P.M. Hillenbrand, M. Heil, M. Lestinsky, Yu. A. Litvinov, R. Mürtin, F. Nolden, R. Reuschl, S. Sanjari, S. Schippers, D. Schneider, D. Shubina, H. Simon, U. Spillmann, Z. Stachura, M. Steck, Th Stüohlker, G. Weber, M.

Wiedeking, N. Winckler, and D. F. A. Winters, Phys. Scr. T 156, 014050 (2013).

[13] http://www.fair-center.eu.

[14] Y. S. Kozhedub, A. V. Volotka, A. N. Artemyev, D. A. Glazov, G. Plunien, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and Th. Stohlker, Phys. Rev. A 81, 042513 (2010).

[15] V. M. Shabaev, Theor. Math. Phys. 63, 588 (1985).

[16] V. M. Shabaev, Sov. J. Nucl. Phys. 47, 69 (1988).

[17] K. Pachucki and H. Grotch, Phys. Rev. A 51, 1854 (1995).

[18] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 52, 1884 (1995).

[19] V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 57, 59 (1998).

[20] V.M. Shabaev, in: The Hydrogen Atom. Precision Physics of Simple Atomic systems, edited by S.G. Karshenboim et al. (Springer, Berlin, 2001) p. 714.

[21] V.M. Shabaev, Physical Review A 64, 052104 (2001).

[22] G. S. Adkins, S. Morrison, and J. Sapirstein, Phys. Rev. A 76, 042508 (2007).

[23] J. Sapirstein and K. T. Cheng Phys. Rev. A 91, 062508 (2015).

[24] V.A. Yerokhin and V.M. Shabaev, Phys. Rev. Lett. 115, 233002 (2015).

[25] V.A. Yerokhin and V.M. Shabaev, Journal of Physical and Chemical Reference Data 44, 033103 (2015).

[26] C. W. P. Palmer, J. Phys. B: At. Mol. Phys 20, 5987 (1987).

[27] V. M. Shabaev and A. N. Artemyev, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 27, 1307 (1994).

[28] V. A. Korol and M. G. Kozlov, Phys. Rev. A 76, 022103 (2007).

[29] E. Gaidamauskas, C. Naze, P. Rynkun, G. Gaigalas, P. Jonsson, and M. Godefroid, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 44, 175003 (2011).

[30] J. G. Li, C. Naze, M. Godefroid, G. Gaigalas, and P. Jönsson, Eur. Phys. J. D 66, 290 (2012).

[31] C. Naze, E. Gaidamauskas, G. Gaigalas, M. Godefroid, and P. Jönsson, Comp. Phys. Comm. 184, 2187 (2013).

[32] В. М. Шабаев, Теоретическая и математическая физика. 82, 83 (1990).

[33] В. М. Шабаев, Известия Вузов. Физика. 33, 43 (1990).

[34] V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 50, 4521 (1994).

[35] V. M. Shabaev, Phys. Rep. 356, 119 (2002).

[36] V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 93, 130405 (2004).

[37] W. R. Johnson, S. A. Blundell, and J. Sapirstein, Phys. Rev. A 37, 307 (1988).

[38] I. Angeli and K. P. Marinova, At. Data Nucl. Data Tables 99, 69 (2013).

[39] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, and V. A. Yerokhin, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 28, 5201 (1995).

[40] V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V. A. Yerokhin, and G. Soff, Phys. Rev. A 57, 4235 (1998).

[41] V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, T. Beie^ G. Plunien, V. A. Yernkhin, and G. Soff, Phys. Sct. T 80, 493 (1999).

[42] N. A. Zubova, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Sct. T156, 014019 (2013).

[43] J. C. Slater Phys. Rev. 81, 385 (1951).

[44] W. Kohn and L. J. Sham, Phys. Rev. A 140, A1133 (1965).

[45] J. P. Peráew and A. Zunge^ Phys. Rev. B 23, 5048 (1981).

[46] V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, K. Pachucki, G. Plunien, and V. A. Yernkhin, Phys. Rev. A 72, 062105 (2005).

[47] J. Sapiretein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 63, 032506 (2001).

[48] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, G. Plunien, and V. A. Yernkhin, Phys. Rev. Lett. 98, 173004 (2007).

[49] V. A. Yerokhin, A. N. Artemyev, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 75, 062501 (2007).

[50] A. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, N. S. Oreshkina, G. Plunien, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 78, 062507 (2008).

[51] J. Sapiretein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 83, 012504 (2011).

[52] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, G. Plunien, A. Surehykov, and S. Fritzsche, Phys. Rev. A 88, 032518 (2013).

[53] J. Sapiretein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 67, 022512 (2003).

[54] M. H. Chen, K. T. Cheng, W. R. Johnson, and J. Sapiïstein Phys. Rev. A 74, 042510 (2006).

[55] D. A. Glazov, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, A. V. Volotka, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 70, 062104 (2004).

[56] D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, G. Plunien, Phys. Lett. A 357, p.330-333 (2006).

[57] V. M. Shabaev, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 26 1103 (1993).

[58] G. Torbohm, B. Fricke, and A. Rosen, Phys. Rev. A 31, 2038 (1985).

[59] A. I. Milstein, O. P. Sushkov, and I. S. Terekhov, Phys. Rev. A 69, 022114 (2004).

[60] V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 83, 012507 (2011).

[61] V.A. Yerokhin, A.N. Artemyev, V.M. Shabaev, Phys. Lett. A 234, 361 (1997).

[62] V.A. Yerokhin, A.N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V.M. Shabaev, G. Soff, Phys. Rev. A 60, 3522 (1999).

[63] A. V. Malyshev, A. V. Volotka, D. A. Glazov, 1.1. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Phys. Rev. A 90, 062517 (2014).

[64] A. V. Malyshev, A.V. Volotka, D.A. Glazov, I.I. Tupitsyn, V.M. Shabaev, and G. Plunien, Phys. Rev. A 92, 012514 (2015).

[65] N. A. Zubova, A. V. Malyshev, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, Y. S. Kozhedub, G. Plunien, C. Brandau, and Th. Stohlker, Phys. Rev. A 93, 052502 (2016).

[66] N. A. Zubova, Y. S. Kozhedub, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, A. V. Volotka, G. Plunien, C. Brandau, and Th. Stohlker, Phys. Rev. A 90 062512 (2014).

[67] G. Plunien, B. Müller, W. Greiner, and G. Soff, Phys. Rev. A 43, 5853 (1991).

[68] G. Plunien and G. Soff, Phys. Rev. A 51, 1119 (1995); ibid. 53, 4614 (1996).

[69] A. V. Nefiodov, L. N. Labzowsky, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Lett. A 222, 227 (1996).

[70] A. V. Volotka and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 113, 023002 (2014).

[71] J. K. Tuli, Nucl. Data Sheets 89, 641 (2000).

[72] S. K. Basu and A. A. Sonzogni, Nucl. Data Sheets 114, 435 (2013).

[73] G. Fricke, C. Bernhardt, K. Heiling, L. A. Schaller, L. Schellenberg, E. B. Shera, and C. W. Dejager, At. Data Nucl. Data Tables 60, 2 177-285 (1995).

[74] C. E. Bemis Jr., F. K. McGowan, J. L. C. Ford, W. T. Milner, P. N. Stelson, and R. L. Robinson, Phys. Rev. C 8, 1466 (1973).

[75] J. D. Zumbro, E. B. Shera, Y. Tanaka, C. E. Bemis, R. A. Naumann, M. V. Hoehn, W. Reuter, and R. M. Steffen, Phys. Rev. Lett. 53, 1888 (1984).

[76] P. Moeller, J. R. Nix, W. D. Myers, and W. J. Swiatecki, At. Data Nucl. Data Tables 59, 185 (1995).