Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Малышев Алексей Владимирович

• Малышев Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Малышев Алексей Владимирович

2.1 Аналитические преобразования

2.2 Выбор экранирующего потенциала

2.3 Процедура расчета уровней энергии

3 Результаты расчетов

3.1 Энергии связи основного состояния бериллиеподобных ионов

3.2 Потенциалы ионизации бериллиеподобных ионов

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов»

Актуальность работы

Интерес к многозарядным ионам вызван прежде всего тем, что на электроны в них действует очень сильное электрическое поле. Подобные системы предоставляют уникальную возможность для проверки новых методов расчета уровней энергии связанных состояний в рамках квантовой электродинамики (КЭД). Действительно, в отличие от легких атомов, в многозарядных ионах параметр а2 (а ~ 1/137 — постоянная тонкой структуры, 2 — заряд ядра) не является малым, например, для урана а2 ~ 0.67. В связи с этим все расчеты в многозарядных ионах следует выполнять непертурбативно по этому параметру. С другой стороны, относительно небольшое количество электронов в многозарядных ионах позволяет достаточно точно производить учет корреляционных эффектов. Успехи в экспериментальном исследовании данных систем послужили стимулом для теоретиков к систематическому исследованию многозарядных ионов. Настоящая работа посвящена расчету энергий связи и потенциалов ионизации основного состояния бериллиеподобных ионов, выполненному в рамках строгого КЭД подхода.

Цель работы

1. Разработка численной процедуры расчета энергии основного состояния бе-риллиеподобных ионов, совмещающей строгое КЭД рассмотрение в первых двух порядках теории возмущений и учет старших корреляционных эффектов в брейтовском приближении. Проверка калибровочной инвариантности различ-

ных КЭД вкладов в энергию основного состояния.

2. Последовательный строгий расчет энергий связи основного состояния в бе-риллиеподобных ионах в широком диапазоне 18 < 2 < 96.

3. Прецизионный расчет потенциалов ионизации основного состояния бериллие-подобных ионов.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Выполнен прецизионный расчет энергий связи основного состояния в берил-лиеподобных ионах в широком диапазоне значений заряда ядра 18 < 2 < 96.

2. Выполнен высокоточный расчет потенциалов ионизации 2в электрона из 1в22в2 состояния для всех бериллиеподобных ионов в диапазоне 16 < 2 < 96.

3. В расчетах учтены все КЭД вклады до второго порядка теории возмущений включительно и эффекты корреляционного взаимодействия во всех порядках по 1/2 (старшие порядки в брейтовском приближении). Произведен учет эффектов ядерной отдачи и ядерной поляризации. Проведена проверка калибровочной инвариантности двухэлектронных КЭД вкладов в энергию основного состояния бериллиеподобных ионов.

4. Полученные в данной диссертации результаты для энергий связи и потенциалов ионизации основного состояния бериллиеподобных ионов являются наиболее точными теоретическими предсказаниями.

Научная и практическая ценность работы

1. Расчет энергий связи и потенциалов ионизации основного состояния берил-

лиеподобных ионов, выполненный в данной работе, является самым точным из существующих на данный момент. Достигнутая в расчетах точность теоретических предсказаний позволяет тестировать в бериллиеподобных ионах квантовую электродинамику связанных состояний (при том условии, что соответствующие эксперименты будут проведены с необходимой точностью).

2. Результаты прецизионных расчетов энергий связи и потенциалов ионизации могут быть использованы в масс-спектрометрии, поскольку данные величины позволяют связывать массы ионов с различным количеством электронов.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на семинарах кафедры квантовой механики физического факультета СПбГУ, на международной конференции в Вормсе ("11th Topical Workshop of the Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration", Вормс, Германия, 2014), на международной конференции в Дубне ("Workshop on Precision Physics and Fundamental Physical Constants", Дубна, Россия, 2014) и на международной конференции в Тренто ("The interplay between atomic and nuclear physics to study exotic nuclei", Тренто, Италия, 2015).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A. V. Malyshev, A. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Ionization energies along beryllium isoelectronic sequence. — Physical Review A, 2015, vol. 92, p. 012514-1 - 012514-10.

2. A. V. Malyshev, A. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, QED calculation of the ground-state energy of berylliumlike ions. — Physical Review A, 2014, vol. 90, p. 062517-1 - 062517-8.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и содержит 95 страниц, 15 рисунков и 10 таблиц. Список литературы насчитывает 116 наименований.

Краткое содержание работы

В первой главе изложены основные положения теоретического подхода, использованного в диссертации. Глава состоит из четырех параграфов. В §1.1 рассмот-

рено одноэлектронное приближение. Пояснено, почему при исследовании основного состояния бериллиеподобных ионов удобно использовать расширенное представление Фарри. В §1.2 приведены основы метода двухвременной функции Грина. В §1.3 данный метод применен к выводу формальных выражений для корреляционных поправок второго порядка (вклады диаграмм двухфотон-ного обмена) для случая основного состояния бериллиеподобных ионов. Показано, что несвязанные диаграммы не дают вклада в сдвиг энергии. В §1.4 обсуждаются процедуры устранения расходимостей в формальных выражениях, полученных методом двухвременной функции Грина. Рассмотрены вклады от диаграмм экранированной собственной энергии.

Во второй главе дано описание процедур вычисления квантовоэлектродина-мических и корреляционных поправок к энергии основного состояния в берил-лиеподобных ионах. Глава включает три параграфа. В §2.1 рассмотрено вычисление вкладов от диаграмм одноэлектронной и двухэлектронной собственной энергии в импульсном представлении. Выполнено угловое интегрирование во вкладах прямой и обменной частей свободной "вершинной" диаграммы. Фотонный пропагатор, соединяющий в данной диаграмме две различные электронные линии, рассмотрен в фейнмановской и кулоновской калибровках. Предъявлены контуры интегрирования в комплексной плоскости, которые применялись при вычислении вкладов от диаграмм двухфотонного обмена. Приведено описание метода, который использовался для улучшения сходимости в интегралах в смысле главного значения. В §2.2 обсуждаются экранирующие потенциалы, применявшиеся при вычислении энергий бериллиеподобных ионов. В §2.3 дано подробное описание всех поправок, которые были приняты во внимание при расчете энергий связи и потенциалов ионизации в бериллиеподобных ионах. Обсуждается калибровочная инвариантность различных наборов диаграмм.

Результаты проведенных расчетов представлены в третьей главе. Глава со-

стоит из двух параграфов. В §3.1 приведены результаты для энергий связи основного состояния в бериллиеподобных ионах в диапазоне значений заряда ядра 18 < 2 < 96. Подробно рассмотрены рассчитанные с использованием трех разных экранирующих потенциалов отдельные вклады в энергии связи бериллиеподобных ионов кальция, ксенона и урана. Продемонстрировано, что конечные выражения практически не зависят от того, какой именно эффективный потенциал был выбран в качестве потенциала нулевого приближения. В §3.2 представлены результаты расчетов потенциалов ионизации 2в электрона из основного состояния 1з22з2 для всех бериллиеподобных ионов в диапазоне 16 < 2 < 96. Показано, что результаты расчетов потенциалов ионизации с применением различных экранирующих потенциалов находятся в прекрасном согласии друг с другом. Проведено сравнение рассчитанных энергий связи и потенциалов ионизации с теоретическими предсказаниями других авторов.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1

Релятивистская теория уровней энергии многозарядных ионов

Высокоточные эксперименты по измерению энергий связи и энергий переходов в многозарядных ионах [1-14] послужили стимулом к выполнению систематических КЭД расчетов данных систем во всех порядках по а2, где а — постоянная тонкой структуры, а 2 — заряд ядра. Современный статус теории таков, что лучшие КЭД расчеты включают все поправки до второго порядка по а, см. [15-19]. К настоящему моменту подобные прецизионные расчеты были выполнены для водородоподобных [20-22], гелиеподобных [23-26], литие-подобных [27-29] и бороподобных [30,31] ионов. В литературе существует также большое количество релятивистских и нерелятивистских расчетов энергий основного состояния в бериллиеподобных ионах [32-42]. Некоторые из этих работ включают радиационные поправки и поправки на отдачу ядра. Однако, как правило, учтены только одноэлектронные КЭД эффекты. Многоэлектронные КЭД эффекты рассматриваются либо полуэмпирически, либо в рамках каких-либо одноэлектронных приближений. При этом отмечается необходимость более строгого КЭД рассмотрения для улучшения точности получаемых теоретических предсказаний [42]. В связи с этим, главная цель данной работы заключается в выполнении высокоточного расчета энергий основного состояния

бериллиеподобных ионов с учетом всех необходимых КЭД вкладов и поправок на корреляционное взаимодействие.

В диссертации использована релятивистская система единиц (к = т = с = 1) и хевисайдовы единицы заряда (а = е2/ (4п), е < 0). Греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, латинские — 1, 2, 3; по повторяющимся значкам подразумевается суммирование. Метрика пространства: д^ = diag(1, -1, -1, —1). Для 4-векторов использовано обозначение рм = (р0, р). Также применяются следующие обозначения: р = 7 , 7м = (в, в а) — матрицы Дирака.

1.1 Релятивистское одноэлектронное приближение

В многозарядных ионах на каждый электрон действует сильное электрическое поле со стороны ядра. Поскольку число электронов N в таких системах значительно меньше, чем заряд ядра 2, взаимодействие типа "электрон-электрон" подавлено фактором 1/2 по сравнению со взаимодействием "электрон-ядро". Взаимодействие электрона с квантованным электромагнитным полем, в свою очередь, подавлено фактором а. В связи с этим, хорошим стартовым приближением для описания многозарядных ионов является так называемая картина Фарри [43]. В данном представлении в нулевом приближении полностью пренебрегают взаимодействием электронов. С другой стороны, взаимодействие электронов с кулоновским полем ядра с самого начала учитывается во всех порядках по а2. Межэлектронное взаимодействие и КЭД эффекты необходимо рассматривать по теории возмущений.

Уравнение Дирака для электрона в классическом электромагнитном поле Ам имеет вид [44,45]

[7м(дм — еАДж)) — т] ^(ж) = 0. (1.1)

Нас в дальнейшем будет интересовать только случай не зависящего от времени

потенциального электрического поля. Уравнение (1.1) для такого постоянного потенциала Ам(г) = (КПис1(г), 0) можно свести к стационарному уравнению:

Лв^(г) = [—¿а • V + вт + Кис1(г)] ^(г) = е^(г). (1.2)

Более того, эффектами, связанными с поляризацией и деформацией ядра, в нулевом приближении можно пренебречь, а соответствующие поправки учесть на конечной стадии расчетов [46-51]. Таким образом, в уравнении (1.2) ограничимся случаем сферически-симметричного потенциала КПис1 (г). В этом случае можно явно разделить радиальную и угловую зависимости волновой функции:

^(г) =( д(Г)°кт(Й) ) . (1.3)

V ¿1 (г)^-кш(п) у

Здесь п = г/г, — сферический спинор, к — релятивистское кванто-

вое число, характеризующее полный угловой момент и четность состояния (3 = |к| — 1/2, I = |к + 1/2| — 1/2), т — проекция полного углового момента ]. Разделяя переменные в уравнении (1.2), приходим к следующей системе дифференциальных уравнений на радиальные волновые функции д и /:

^ к — 1

+ /(г) + (Кис1(г) + т)д(г) = ед(г), (1.4)

^ к + 1

—д(г) + —¿—9(г) + (Уппс\(г) - т)/(г) = е/(г). (1.5)

Естественно, что подобный подход работает хорошо, только когда межэлектронное взаимодействие мало по сравнению с энергиями связи всех электронов системы. В противном случае сходимость рядов теории возмущений зачастую оказывается очень медленной. Существует возможность ускорить сходимость теории возмущений путем перехода к так называемому расширенному представлению Фарри. Данная процедура подразумевает замену потенциала ядра в (1.2) неким эффективным потенциалом:

Кпс1 (г) ^ Кй (г) = Кис1 (г) + ^сг(г). (1.6)

Локальный экранирующий потенциал ^сг(г) моделирует в уравнении (1.2) экранировку потенциала ядра остальными электронами системы, что позволяет уже в гамильтониане нулевого приближения частично учесть эффекты межэлектронного взаимодействия. Сразу следует отметить, что во избежание двукратного учета экранировочных эффектов, по теории возмущений необходимо учесть взаимодействие с потенциалом 6У(г) = — ^сг(г).

Кроме того, при проведении расчетов уровней энергии с использованием ку-лоновского поля в качестве потенциала нулевого приближения можно столкнуться с трудностью, связанной с квазивырожденностью некоторых близких уровней с одинаковой четностью. Например, основное состояние бериллиепо-добных ионов 1й22й2, которое является предметом настоящей диссертации, в нулевом приближении в кулоновском потенциале квазивырождено с уровнем 1й2(2р!/2)2 (в кулоновском потенциале точечного ядра энергии уровней 2в и 2р\/2 в точности совпадают, при учете эффектов конечного размера ядра квазивырождение не снимается). Применение некоторых экранирующих потенциалов позволяет снять вырождение, что значительно упрощает проведение расчетов.

Как и потенциал, создаваемый ядром, эффективный потенциал в дальнейшем будет предполагаться сферически-симметричным. Конкретный выбор и способы построения экранирующих потенциалов будут обсуждаться ниже. Расширенное представление Фарри успешно было применено ранее к КЭД расчетам уровней энергии [28-31,52-55], сверхтонкого расщепления [56-61], и д-фактора [62-64].

1.2 Метод двухвременной функции Грина

На сегодняшний день существует целый ряд методов для получения формальных выражений для сдвигов энергии, вызванных взаимодействием электронов в связанных состояниях с квантованным электромагнитным полем. Историче-

ски первым таким методом учета КЭД поправок к уровням энергии был метод адиабатической ^-матрицы, предложенный Гелл-Маном и Лоу [65] и Сьюче-ром [66]. Данный метод подробно изложен, например, в [44,67]. Нашел также широкое применение метод оператора эволюции, описание которого представлено, например, в [68,69]. В данной диссертации мы будем применять метод двух-временной функции Грина. Этот метод был разработан в серии работ [70-74] и подробно описан в обзорной статье [75].

Рассмотрим ключевые положения метода двухвременной функции Грина. Предположим, что нас интересуют уровни энергии ^электронного атома или иона. Исчерпывающая информация об уровнях энергии данной системы содержится в функции Грина с 2N хвостами:

О(х[, ••• ,х'м; жх, ••• ,хм) = (0| Тф(х[) ••• ф(х'м Жх^) ••• ,ф(х1) |0), (1.7)

здесь ^(х) — оператор электрон-позитронного поля (в представлении Гейзен-берга), Т — оператор упорядочивания по времени.

Извлекать данные о сдвиге энергии связанного состояния системы за счет взаимодействия электронов друг с другом и с квантованным электромагнитным полем можно непосредственно из функции Грина (1.7). Однако, оказывается, что более удобным является сперва редуцировать функцию (1.7) до так называемой двухвременной функции Грина:

О(г' ,г) = о(г\ = г2 = • • • = г'м = г'; гх = г2 = • • • = гм = г). (1.8)

Данный объект, так же как и функция (1.7), содержит полную информацию об уровнях энергии, что можно увидеть, исследуя спектральное представление функции О.

Введем Фурье преобразование двухвременной функции Грина (1.8): а (Е; х1, ••• , х^; хь ••• , хж ЩЕ — Е')

ехфЕ'х'0 - 1Ех°)

2т N

х (0|Тф(ж'°,Х) ••• ф(ж'°,х'м)ф(ж°,хж) ••• ф(ж°,Х1)|0). (1.9)

Уравнение (1.9) определяет функцию ^ при вещественных значениях энергии Е. Совершив аналитическое продолжение данной функции в комплексную плоскость, можно показать, что связанным состояниям системы из N электронов соответствуют изолированные полюса по Е на положительной вещественной полуоси. Здесь предполагается, что введена малая ненулевая масса фотона д. В противном случае, разрезы, соответствующие состояниям, которые включают помимо электронов фотоны, будут вплотную подходить к полюсам, превращая их в точки ветвления (см. [75]).

Рассмотрим сдвиг энергии AEa одиночного (невырожденного) уровня а. В исследуемом нами случае основного состояния бериллиеподобных ионов волновая функция нулевого приближения имеет вид одного детерминанта Слейтера:

Ма(хь--- ,Хдг) = -^=^(-1)Р^Ра1(х1)---^РаЛГ(хлг), (1-Ю)

здесь фп являются решениями уравнения (1.2), Р — оператор перестановки, (—1)р — четность перестановки. Для состояния 1з22в2 имеем N = 4 и {а1,а2, а3, а4} = Для вычисления потенциалов ионизации

бериллиеподобных ионов, которые можно найти как разность энергий связи бериллие- и литиеподобных ионов, нам также потребуется волновая функция основного состояния литиеподобных ионов: N = 3 и {а1, а2, а3} = 2й}.

Следует отметить, что все формулы, получаемые в рамках метода двухвремен-ной функции Грина, легко можно обобщить на случай состояний, описываемых в нулевом приближении многодетерминантными волновыми функциями.

Энергия состояния а в нулевом приближении дается суммой дираковских энергий £п, соответствующих одноэлектронным волновым функциям фп:

Еао)=^+•••+^. (1.11)

Введем функцию даа(Е)

даа(Е) = (Е )70 ••• 7/ К

= Jdxl • • • dxNdx/1 • • • dx/v ^(х/,

, х/)

х а(Е, х/, • • • , х/; х/, • • • , х/)70 • • • 7°Ма(х/, • • • , х/). (1.12)

Тогда сдвиг энергии определяется выражением:

1

ДЕа =

где Ддаа = даа — дО°}, контур Г ориентирован против часовой стрелки и охватывает полюс функции Грина, соответствующий рассматриваемому состоянию. Функция Грина (1.12) в нулевом приближении равна

2пг

dE (Е — Еа0))Ддаа(Е)

(1.13)

д(0) =

г/аа

1

Е — Е(0)'

(1.14)

Функцию Грина Ддаа можно вычислять по теории возмущений, малым параметром является постоянная тонкой структуры а. Диаграммная техника, необходимая для построения О, подробно изложена, например, в обзоре [75]. В результате для сдвига энергии уровня а получаем:

ДЕа = ДЕ(х) + ДЕ а2) + ••• ,

(1.15)

где для поправок первого и второго порядка справедливы следующие выражения:

ДЕ(х) ДЕ(2)

1

2П JГ 1

2пгГ / 1

2пг

dE (Е — Е(0))Дд(/)(Е), dE (Е — Е(0))Дд(2)(Е)

dE (Е — Е(0))Дд(/)(Е))

(1.16)

1

) \2пг /г

: <^Е Дд(/) (ЕП . (1.17)

Рис. 1: Диаграмма собственной энергии с массовым контрчленом

При выводе формул для сдвигов энергии оказывается удобным выразить функцию даа(Е) через Фурье преобразование от первоначальной 2Ж-временной функции Грина (1.7):

2_ 1 рж

даа(Е)6(Е - Е') = — — / (1//; • • • ф^ф? ''' Фж

^ ^-и—ж

х£(Е - р«-----р°°ЩЕ'- р/0-----р°°)

х^^р/0, ••• ; р0, ••• ,р°°)70 ••• 70 К>, (1.18)

(ча №/0, ••• ,р°0; р0, ••• ,р°° )т0 ••• 70 К>

= Jdxl • • • dx°°dx/1 • • • dx°° ^(х^, • • • , х°°)

х С((р/0, x1), ••• , (р°0, x°°); (р0, ••• , (р°°, x°°)) X 7? ••• Тжиа^ 1, ••• , x°°). (1.19)

1.3 Вывод формул для КЭД поправок

В §1.2 было дано описание метода двухвременной функции Грина, применяя который можно достаточно легко получать формальные выражения для сдвигов уровней энергии в многозарядных ионах. Продемонстрируем возможности данного метода на нескольких примерах.

В первом порядке по а радиационные поправки к уровню энергии определяются диаграммами собственной энергии и вакуумной поляризации. Рассмотрим

первую из этих двух поправок. Диаграмма собственной энергии с соответствующим массовым контрчленом показана на Рис. 1. Двойная линия обозначает электронный пропагатор в эффективном потенциале (1.6). Волнистая линия соответствует фотонному пропагатору. Используя диаграммную технику из [75], для вклада собственной энергии имеем

2П г

Ад^(ЕЩЕ-Е') = Т/<1х'<1у сЫх^(х')

х 2 ещ (1 - Ю) 27Г 2тт ^

~ Р27ГХ11?> о , у^ ф„(у)ф„{2) п

а 2^/ 0 , Г.Ч « ^ ^«2 (2)^2 (х) о, ( \ /1 О^ хе7 _Л(р +ш _ (1.20)

где

п ( \ [ еХР(^к • (х - У)) (л 01ч

№ х - у) = ] ^2_к2_д2 + ю (1-21)

представляет фотонный пропагатор с ненулевой массой д, добавляемой для регуляризации [75]. Вводя оператор собственной энергии согласно

уравнение (1.20) можно переписать в виде:

Д9а>(в) = ШШ. (1.23)

Подставляя (1.23) в (1.16), окончательно для собственно-энергетической поправки имеем:

Рассмотрим теперь поправку второго порядка на корреляционное взаимодействие. На диаграммном языке данному вкладу соответствуют диаграммы

"Ч/Ч/Ч/Ч/"

"Ч/Ч/Ч/Ч/'

'Ч/Ч/'

Л/Ч/''

(а)

(Ь)

(с)

Рис. 2: Диаграммы двухфотонного обмена

двухфотонного обмена, представленные на Рис. 2 (при проведении расчетов в расширенном представлении Фарри ко вкладу второго порядка также следует отнести контрчленные диаграммы, которые будут рассмотрены ниже). Естественным образом возникает разбиение данной поправки на двухэлектронные ("лестничная" диаграмма (а) и "кросс" диаграмма (Ь)) и трехэлектронные (диаграмма (с)) вклады. При рассмотрении основного состояния 1522й2 бериллие-подобных ионов необходимо учесть двухэлектронные вклады для взаимодействия электронов внутри 1й2 оболочки, для взаимодействия между и 2й электронами (всего 4 диаграммы с учетом всех возможных проекций спина обоих электронов) и, наконец, для взаимодействия внутри 2й2 оболочки. Трехэлектронные вклады определяют взаимодействие внутри 1й22й и 1й2й2 поднаборов (каждый поднабор возникает дважды по количеству проекций момента неспа-ренного электрона). Вклады вида 2й2 и 1й2й2 не рассматривались ранее при расчетах энергий связи и энергий переходов в гелие-, литие- и бороподобных ионах.

Поскольку поправка на двухфотонный обмен относится ко второму порядку, необходимо использовать формулу (1.17). Главное отличие от формулы (1.16) заключается в появлении вычитания. В случае четырехэлектронной системы это вычитание определяется (с учетом всех возможных перестановок электронов) диаграммой, изображенной на Рис. 3.

Рис. 3: Диаграмма, дающая вклад в вычитание ДЕ8иЫ в поправке на двухфотонный обмен

Несмотря на то, что в конкретных расчетах вклады двухэлектронных и трех-электронных диаграмм можно рассматривать полностью независимо, при выводе формальных выражений оказывается удобным работать сразу со всеми вкладами, возникающими для исследуемого состояния. Это позволяет уже на уровне формул провести значительное сокращение. В частности, вклад вычитания в формуле (1.17) полностью сокращается, если его рассматривать вместе с другими поправками. Кроме того при исследовании бериллиеподобных ионов не следует забывать о появлении во втором порядке несвязанных диаграмм двухфотонного обмена, см. Рис. 4. Вклад данных диаграмм также полностью сокращается, но их учет необходим для получения правильных окончательных выражений.

Рассмотрим далее кратко вывод формальных выражений для поправок, описываемых диаграммами двухфотонного обмена. Сперва обсудим трехэлектрон-ные вклады. Правила Фейнмана [75] для диаграммы (с) из Рис. 2 дают [27]

РЯ

х

4

(р1 - Ч£р 1)(р2 - и£Р2)(Е - р - - П£рз)

1

X_

(Р1 - и£сл){р2 - и£(22){Е - Р1 - ро-ие^)з) х 1р2РЗпф{Р1 +Р2- р[ - р'о)1р1пС}Щ2{Р1 - р[)

Р1+Р2- р[ - иеп

где и =1 - ¿0, Q и Р — операторы перестановки, действующие на начальные и

1

"Х/Ч/Ч/Х/'

Х/Ч/Ч/ЧХ

Рис. 4: Несвязанная диаграмма во втором порядке теории возмущений

конечные электроны, соответственно. Также введены следующие удобные обозначения:

/ (и) = е2араа Вра (и), 1абе^М = (а&|/ (и)|Ы>.

В (1.25) и в последующих выражениях с целью упрощения обозначений у переменных интегрирования р0 опущен верхний индекс "0" (сравните, например с (1.20)). Кроме того, в дальнейшем будут использованы обозначения:

1аЬ;сй /аЬсй(ДЬй) /Ьacd(Дad), ДаЬ ^а /аЬ;сй(Р) = 1аЬсй( ДЬй + Р) - /Ьасй(Дай + Р),

/'(и) = ^ (и)^и.

(2) (2) Функцию Ддаа из (1.25) обычно разделяют на неприводимую Дд1гг и приводимую Д^Гес! части. Приводимая часть определяется как вклад, в котором энергия промежуточного трехэлектронного состояния совпадает с энергией начального состояния, иными словами выполняется тождество

£и = + £д2 - ^Р1-

Неприводимой части соответствует все остальное.

После несложных преобразований можно убедиться, что для произвольного трехэлектронного состояния неприводимая часть функции Ддаа имеет следу-

ющий вид

7 рд

£n=£Ql+£Q2—£_р 1

х /фгФг ( ——---Ь

У2 - М£р2 Е - 1 - Р2 - з

1 1

X -+

X

Р2 - и£д2 Е - £д1 - Р2 - и£дз/ ^р2рзпдз(^д1 + Р2 - £р 1 - р2)1р 1пд1д2(Дд1р 1)

£д1 + Р2 - £р 1 -+ менее сингулярные по ДЕ вклады. (1.26)

Подинтегральное выражение является аналитической функцией внутри контура Г. Таким образом, сдвиг энергии за счет неприводимой части оказывается равным [27]

1

= 2ш

- ^Е ДЕДд^Е)

_ ^р+д у / ^Р2РЗпдз(Арздз)^Р1пд1д2(Ад1Р1) (127)

где штрих у знака суммы означает, что вклад с обращающимся в ноль знаменателем должен быть опущен.

Рассмотрим теперь выражение для приводимой части. Сразу выделяя особенности порядка 1/(ДЕ)2 и старше в приводимой части функции Дд\аа , получаем

- £ (¿У

рд £п=£31+£32-£Р1 4 7

X

(р2 - игр2)(Е - £р 1 - - М£рз) ^р 1пд1д2(Е - гдз - £р 1 - Р2)

(Е - р2 - гдз - игд1)(р2 - и^) + менее сингулярные по ДЕ вклады. (1.28)

Итоговое выражение для сдвига энергии за счет приводимой части трехэлек-

тронной диаграммы удобно представить в виде суммы двух слагаемых [27]

Е АЕАд®(Е) = АЕ™ + ДЕ^, (1-29)

где

д« = ^Е«-1)^ Е

2

[1Р2Р3пдз(ДР3дз)1Р 1пд1д2(Ад1Р 1) + /р2Р3пдз(Арздз)/Р 1пд1д2(Ад1Р ,

(1.30)

дза = 4Е(-!)р+<3 Е ¿К

У ¿^2^ (р + г0)2

х {[1Р2Рзпдз(АРздз + р) + Ер2Рзпдз(АРздз — Р)]1р 1«,д1д2(Ад1Р 1) + ^Р2Рз«,дз(АРздз)[1Р 1«,д1д2(Ад1Р 1 + р) + Ер 1«,д1д2(Ад1Р 1 — р)]} •

(1.31)

Оказывается, что выражение АЕ^ дает полный неприводимый вклад, в то время как выражение АЕ^ полностью сокращается, если его рассматривать вместе с вкладом вычитания в формуле (1.17), вкладом несвязанных диаграмм и вкладом приводимой части двухэлектронной поправки. Чтобы увидеть данное сокращение, необходимо выписать суммы по п и по перестановкам Р и Q явно. Проделаем это для рассматриваемого в данной диссертации основного состояния 1й22й2 бериллиеподобных ионов.

Будем обозначать через а и Ь электроны из 1й2 оболочки, через с и ё — электроны из оболочки 2й2. Пусть м обозначает проекцию соответствующего электрона, мс = —Ма = Мь, Мс = —Мс = М^. Полный вклад АЕ^ для 1й22й2 состояния удобно представить в виде суммы трех членов, АЕГе^, АЕ^^ и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малышев Алексей Владимирович, 2015 год

Литература

[1] J. Schweppe, A. Belkacem, L. Blumenfeld, Nelson Claytor, B. Feinberg, Harvey Gould, V. E. Kostroun, L. Levy, S. Misawa, J. R. Mowat, and M. H. Prior, Phys. Rev. Lett. 66, 1434 (1991).

[2] Th. Stohlker, P. H. Mokler, et al., Phys. Rev. Lett. 71, 2184 (1993).

[3] P. Beiersdorfer, A. L. Osterheld, and S. R. Elliott, Phys. Rev. A 58, 1944 (1998).

[4] P. Beiersdorfer, A. L. Osterheld, J. H. Scofield, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, and K. Widmann, Phys. Rev. Lett. 80, 3022 (1998).

[5] Ph. Bosselmann, U. Staude, D. Horn, K.-H. Schartner, F. Folkmann, A. E. Livingston, and P. H. Mokler, Phys. Rev. A 59, 1874 (1999).

[6] Th. Stohlker, P. H. Mokler, F. Bosch, R. W. Dunford, F. Franzke, O. Klepper, C. Kozhuharov, T. Ludziejewski, F. Nolden, H. Reich, P. Rymuza, Z. Stachura, M. Steck, P. Swiat, and A. Warczak, Phys. Rev. Lett. 85, 3109 (2000).

[7] C. Brandau, C. Kozhuharov, et al., Phys. Rev. Lett. 91, 073202 (2003).

[8] I. Draganic, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, R. DuBois, S. Fritzsche, V. M. Shabaev, R. Soria Orts, I. I. Tupitsyn, Y. Zou, and J. Ullrich, Phys. Rev. Lett. 91, 183001 (2003).

[9] A. Gumberidze, Th. Stohlker, et al., Phys. Rev. Lett. 92, 203004 (2004).

[10] A. Gumberidze, Th. Stöhlker, et al., Phys. Rev. Lett. 94, 223001 (2005).

[11] P. Beiersdorfer, H. Chen, D. B. Thörn, and E. Trabert, Phys. Rev. Lett. 95, 233003 (2005).

[12] V. Mäckel, R. Klawitter, G. Brenner, J. R. Crespö López-Urrutia, and J. Ullrich, Phys. Rev. Lett. 10Т, 143002 (2011).

[13] K. Kubicek, P. H. Mökler, V. Mackel, J. Ullrich, and J. R. Crespö Löpez-Urrutia, Phys. Rev. A 90, 032508 (2014).

[14] D. Bernhardt, C. Brandau, et al., J. Phys. B: At. Möl. Opt. Phys. 48, 144008 (2015).

[15] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Can. J. Phys. 86, 25 (2008).

[16] В. M. Шабаев, УФН 1Т8, 1220 (2008).

[17] V. M. Shabaev, O. V. Andreev, A. I. Böndarev, D. A. Glazöv, Y. S. Közhedub, A. V. Maiöröva, G. Plunien, 1.1. Tupitsyn, and A. V. Völötka, AIP Cönf. Pröc. 1344, 60 (2011).

[18] D. A. Glazöv, Y. S. Közhedub, A. V. Maiöröva, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, A. V. Völötka, C. Közhuharöv, G. Plunien, and Th. Stählker, Hyp. Interact. 199, 71 (2011).

[19] A. V. Völötka, D. A. Glazöv, G. Plunien, and V. M. Shabaev, Ann. Phys. (Berlin) 525, 636 (2013).

[20] W. R. Jöhnsön and G. Söff, At. Data Nucl. Data Tables 33, 405 (1985).

[21] P. J. Möhr, G. Plunien, and G. Söff, Phys. Rep. 293, 227 (1998).

[22] V. A. Yerökhin and V. M. Shabaev, J. Phys. Chem. Ref. Data 44, 033103 (2015).

[23] G. W. Drake, Can. J. Phys. 66, 58б (1988).

[24] H. Pereson, S. Salomonson, P. Sunne^ren, and I. Lindgren, Phys. Rev. Lett. 76, 204 (199б).

[25] V. A. Yeгokhin, A. N. Aгtemyev, and V. M. Shabaev, Phys. Lett. A 234, 3б1 (1997).

[26] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, V. A. Yernkhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 71, 0б2104 (2005).

[27] V. A. Yernkhin, A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, M. M. Sysak, O. M. Zherebtsov, and G. Soff, Phys. Rev. A 64, 032109 (2001).

[28] Y. S. Kozhedub, A. V. Volotka, A. N. Artemyev, D. A. Glazov, G. Plunien, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and Th. Stohlke^ Phys. Rev. A 81, 042513 (2010).

[29] J. Sapiretein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 83, 012504 (2011).

[30] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, G. Plunien, and V. A. Yernkhin, Phys. Rev. Lett. 98, 173004 (2007).

[31] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, G. Plunien, A. Surehykov, and S. Fritzsche, Phys. Rev. A 88, 032518 (2013).

[32] K. T. Chung, X.-W. Zhu, and Z.-W. Wang, Phys. Rev. A 47, 1740 (1993).

[33] E. Biemont, Y. Frémat, and P. Quinet, At. Data Nucl. Data Tables 71, 117 (1999).

[34] R. K. Chaudhuri, P. K. Panda, H. Mertitz, B. P. Das, U. S. Mahapatra, and D. Mukhe^ee, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 33, 5129 (2000).

[35] G. C. Rödrigues, P. Indelicatö, J. P. Santös, P. Patte, and F. Parente, At. Data Nucl. Data Tables 86, 117 (2004).

[36] M. F. Gu, At. Data Nucl. Data Tables 89, 267 (2005).

[37] J. Huang, G. Jiang, and Q. Zhaö, Chin. Phys. Lett. 23, 69 (2006).

[38] A. E. Kramida and J. Reader, At. Data Nucl. Data Tables 92, 457 (2006).

[39] L. Yöng-Qiang, W. Jian-Hua, and Y. Jian-Min, Chin. Phys. Lett. 25, 3627 (2008).

[40] U. Argaman, G. Maköv, and E. Kraisler, Phys. Rev. A 88, 042504 (2013).

[41] H. Pathak, B. K. Sahöö, B. P. Das, N. Vaval, and S. Pal, Phys. Rev. A 89, 042510 (2014).

[42] V. A. Yerökhin, A. Surzhyköv, and S. Fritzsche, Phys. Rev. A 90, 022509 (2014).

[43] W. H. Furry, Phys. Rev. 81, 115 (1951).

[44] Л. Н. Лабзовский, Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессов излучения, Наука, Москва, 1996.

[45] А. И. Ахиезер и В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика, Наука, Москва, 1969.

[46] G. Plunien, B. Muller, W. Greiner, and G. Söff, Phys. Rev. A 43, 5853 (1991).

[47] G. Plunien and G. Söff, Phys. Rev. A 51, 1119 (1995), 53, 4614(E) (1996).

[48] A. V. Nefiödöv, L. N. Labzöwsky, G. Plunien, and G. Söff, Phys. Lett. A 222, 227 (1996).

[49] A. V. Nefiödöv, G. Plunien, and G. Söff, Phys. Rev. Lett. 89, 081802 (2002).

[50] A. V. Volotka and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 113, 023002 (2014).

[51] Y. S. Kozhedub, O. V. Andreev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, C. Brandau, C. Kozhuharov, G. Plunien, and T. Stohlker, Phys. Rev. A 77, 032501 (2008).

[52] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 64, 022502 (2001).

[53] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 66, 042501 (2002).

[54] M. H. Chen, K. T. Cheng, W. R. Johnson, and J. Sapirstein, Phys. Rev. A 74, 042510 (2006).

[55] V. A. Yerokhin, A. N. Artemyev, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 75, 062501 (2007).

[56] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 63, 032506 (2001).

[57] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 67, 022512 (2003).

[58] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 74, 042513 (2006).

[59] Н. С. Орешкина, А. В. Волотка, Д. А. Глазов, И. И. Тупицын, В. М. Ша-баев, Г. Плюниен, Опт. спектр. 102, 889 (2007).

[60] Y. S. Kozhedub, D. A. Glazov, A. N. Artemyev, N. S. Oreshkina, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, A. V. Volotka, and G. Plunien, Phys. Rev. A 76, 012511 (2007).

[61] A. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, N. S. Oreshkina, G. Plunien, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 78, 062507 (2008).

[62] D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Lett. A 357, 330 (2006).

[63] D. A. Glazov, A. V. Volotka, A. A. Schepetnov, M. M. Sokolov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Scr. T156, 014014 (2013).

[64] A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 112, 253004 (2014).

[65] M. Gell-Mann and F. Low, Phys. Rev. 84, 350 (1951).

[66] J. Sucher, Phys. Rev. 107, 1448 (1957).

[67] М. А. Браун, А. Д. Гурчумелия, У. И. Сафронова, Релятивистская теория атома, Наука, Москва, 1984.

[68] А. Н. Васильев, А. Л. Китанин, Теор. и мат. физика 24, 219 (1975).

[69] С. А. Запрягаев, Н. Л. Манаков, В. Г. Пальчиков, Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами, Энергоатомиздат, Москва, 1985.

[70] В. М. Шабаев, Многочастичные эффекты в атомах, АН СССР, Москва, 1988, с. 15-23.

[71] В. М. Шабаев, Многочастичные эффекты в атомах, АН СССР, Москва, 1988, с. 24-33.

[72] В. М. Шабаев, Изв. вуз. Физика, 1990, т. 33, № 8, с. 43-54.

[73] В. М. Шабаев, Теор. и мат. физика, 1990, т. 82, № 1, с. 83-89.

[74] V. M. Shabaev, J. Phys. A 24, 5665 (1991).

[75] V. M. Shabaev, Phys. Rep. 356, 119 (2002).

[76] V. M. Shabaev and I. G. Fokeeva, Phys. Rev. A 49, 4489 (1994).

[77] N. J. Snyderman, Ann. Phys. (N.Y.) 211, 43 (1991).

[78] V. A. Yerokhin and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 60, 800 (1999).

[79] S. A. Blundell and N. J. Snyderman, Phys. Rev. A 44, R1427 (1991).

[80] S. A. Blundell, Phys. Rev. A 46, 3762 (1992).

[81] V. A. Yerokhin, A. N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V. M. Shabaev, and G. Soff, Phys. Rev. A 60, 3522 (1999).

[82] Д. А. Варшалович, А. Н. Москалёв, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Наука, Ленинград, 1975.

[83] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, M. M. Sysak, V. A. Yerokhin, T. Beier, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. A 67, 062506 (2003).

[84] V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, K. Pachucki, G. Plunien, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 72, 062105 (2005).

[85] R. Latter, Phys. Rev. 99, 510 (1955).

[86] J. P. Perdew and A. Zunger, Phys. Rev. B 23, 5048 (1981).

[87] V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 93, 130405 (2004).

[88] W. R. Johnson, S. A. Blundell, and J. Sapirstein, Phys. Rev. A 37, 307 (1988).

[89] В. Ф. Братцев, Г. Б. Дейнека, И. И. Тупицын, Изв. Акад. наук СССР: сер. Физ. 41, 2655 (1977).

[90] I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, I. DraganiC, R. S. Orts, and J. Ullrich, Phys. Rev. A 68, 022511 (2003).

[91] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 56, 3529 (1997).

[92] A. N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V. M. Shabaev, G. Soff, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 60, 45 (1999).

[93] E. A. Uehling, Phys. Rev. 48, 55 (1935).

[94] R. Serber, Phys. Rev. 48, 49 (1935).

[95] A. G. Fainshtein, N. L. Manakov, and A. A. Nekipelov, J. Phys. B 24, 559 (1991).

[96] Н. Л. Манаков, A. А. Некипелов, Вестник ВГУ: Физика. Математика, 2012, № 2, с. 53-57.

[97] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 68, 042111 (2003).

[98] V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. Lett. 97, 253004 (2006).

[99] V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 77, 062510 (2008).

[100] V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 71, 040101 (2005).

[101] V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 80, 040501 (2009).

[102] В. М. Шабаев, Теор. и мат. физика 63, 394 (1985).

[103] В. М. Шабаев, Яд. физика 47, 107 (1988).

[104] V. M. Shabaev, Phys. Rev. A 57, 59 (1998).

[105] G. S. Adkins, S. Morrison, and J. Sapirstein, Phys. Rev. A 76, 042508 (2007).

[106] C. W. P. Palmer, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 20, 5987 (1987).

[107] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 52, 1884 (1995).

[108] V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V. A. Yerokhin, and G. Soff, Phys. Rev. A 57, 4235 (1998).

[109] V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V. A. Yerokhin, and G. Soff, Phys. Scr. T80, 493 (1999).

[110] I. Angeli and K. P. Marinova, At. Data Nucl. Data Tables 99, 69 (2013).

[111] M. H. Chen and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 55, 166 (1997).

[112] A. Kramida, Yu. Ralchenko, J. Reader, and and NIST ASD Team, NIST Atomic Spectra Database (ver. 5.1), [Online]. Available: htt:p://physics.nist.gov/asd [2014, July 17]. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD., 2013.

[113] T. Franosch and G. Soff, Z. Phys. D 18, 219 (1991).

[114] J. Repp, C. Bohm, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, A. Dorr, S. Eliseev, S. George, M. Goncharov, Y. N. Novikov, C. Roux, S. Sturm, S. Ulmer, and K. Blaum, Appl. Phys. B 107, 983 (2012).

[115] E. G. Myers, Int. J. Mass Spectrom. 349-350, 107 (2013).

[116] A. Kramida, Yu. Ralchenko, J. Reader, and and NIST ASD Team, NIST Atomic Spectra Database (ver. 5.2), [Online]. Available: http://physics.ni3t.gov/asd [2015, March 20]. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD., 2014.