Эффект Зеемана и сверхтонкое расщепление в бороподобных многозарядных ионах с ненулевым спином ядра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Волчкова Анна Михайловна

• Волчкова Анна Михайловна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Волчкова Анна Михайловна

Введение

Глава 1 Эффект Зеемана

Глава 2 Сверхтонкое расщепление

Глава 3 Зеемановское расщепление в ионах с ненулевым спином ядра

Глава 4 Многоэлектронные системы

4.1 Системы с одним валентным электроном

4.1.1 Межэлектронное взаимодействие

4.2 Системы с замкнутыми оболочками

Глава 5 Метод конечного базисного набора

5.1 Метод дуального кинетического баланса

5.2 Случай аксиально-симметричного поля

5.2.1 Выбор уровней

5.2.2 Матричные элементы

5.2.3 Численное дифференцирование

Глава 6 Результаты

6.1 Квадратичный эффект Зеемана

6.2 Кубический эффект Зеемана

6.3 Константа ядерного магнитного экранирования

6.4 Ядерное сверхтонкое смешивание в тории

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффект Зеемана и сверхтонкое расщепление в бороподобных многозарядных ионах с ненулевым спином ядра»

Актуальность работы

Многозарядные ионы являются универсальным инструментом для проверки квантовой электродинамики и высокоточного определения фундаментальных констант и параметров ядер [1-4]. Точность измерений ^-фактора в ловушках Пеннинга достигла уровня 10-9 — 10-11 [5-13]. Достижение сопоставимой теоретической точности требует рассмотрения диаграмм КЭД вплоть до второго порядка по а, корреляционных вкладов более высокого порядка и различных ядерных эффектов [14-28]. Совместные экспериментальные и теоретические исследования позволили получить наиболее точное на сегодняшний день значение массы электрона [29-31]. Недавнее измерение для двух изотопов литиеподобного кальция [10] чувствительно к эффекту релятивистской ядерной отдачи, указывающему на возможность доступа к эффектам КЭД в связанном состоянии за пределами картины Фарри [18,19]. Дальнейшие исследования с ионами с малым количеством электронов могут обеспечить независимое определение постоянной тонкой структуры [32-34].

Нелинейные эффекты Зеемана усиливаются для близко расположенных уровней одинаковой четности — например, 2р1/2 и 2р3/2 в бороподобных ионах — которые перемешиваются внешним магнитным полем [35,36]. Из-за симметрии относительно знака проекции магнитного квантового числа Mj, квадратичный эффект не влияет на Зеемановское расщепление в основных состояниях водородо-, литие- и борподобных ионов. Однако, этот эффект становится заметным для состояния 2р3/2 бороподобных ионов, которое может быть измерено с помощью лазерно-микроволновой спектроскопии двойного резонанса [35,37]. Кроме того, квадратичный эффект обеспечивает небольшой сдвиг уровней тонкой структуры. Этот сдвиг уже был учтен для получения наиболее точного современного экспериментального значения энергии пере-

хода тонкой структуры в бороподобном аргоне [38]. В гелиеподобных ионах интервалы между уровнями с п = 2 могут составлять десятые доли электрон-вольта, что делает их перемешивание магнитным полем достаточно сильным. Таким образом, эффект второго порядка также усиливается и для состояний с п = 2 в гелиеподобных ионах с малым и средним 2. Энергии переходов в таких ионах служат прекрасным инструментом для исследования многоэлектронных эффектов КЭД и поэтому привлекают большой экспериментальный и теоретический интерес [39-48]. Помимо спектроскопии, квадратичный эффект Зеемана является заметным источником систематической погрешности в таких важных приложениях как атомные часы [49] и магнитометры [50].

Кубический эффект оказывает влияние на Зеемановское расщепление в любых состояниях, однако, в водородо- и литиеподобных ионах он незначителен на современном уровне точности. В случае бородобных ионов, нелинейные вклады сильно усиливаются из-за смешивания компонентов тонкой структуры. Так, теоретические результаты для кубического эффекта Зеема-на, полученные нашей группой [51] уже использовались в эксперименте для бороподобного аргона ЛЬРНЛТИЛР [13]. В ионах с замкнутыми оболочками, таких как гелиеподобные, эффект третьего порядка равен нулю, также как и линейный эффект.

Сверхтонкое расщепление в многозарядных ионах также является мощным инструментом для тестирования КЭД в связанных состояниях в присутствии сильных электрических и магнитных ядерных полей. Для того, чтобы уменьшить погрешность, обусловленную эффектом Бора-Вайскопфа (распределение ядерной намагниченности) и получить доступ к КЭД вкладам, было предложено использовать специальную разность для водородо- и литиеподобных ионов [52]. Теоретические расчеты, включающие в себя строгую оценку двухэлектронных КЭД-диаграмм — экранированной собственной энергии, вакуумной поляризации и двухфотонного обмена — позволили получить наиболее точное современное значение специальной разности для литие- и водородоподобного висмута [53-56]. Позднее, сверхтонкое расщепление в литиеподобном висмуте было измерено экспериментально [57-59]. Однако, полученное значение существенно отличалось от теоретических расчетов [60]. Это расхождение было устранено после переопределения ядерного

магнитного момента висмута-209 путём пересмотра коэффициента ядерного магнитного экранирования и повторного измерения методом ЯМР (ядерный-магнитный резонанс) [61]. Данный результат поставил под вопрос точность табулированных значений магнитных моментов ядер, полученных методом ЯМР. Недавно полученное новое значение для 207РЬ [62] находится в сильном несогласии с табличным значением.

Прецизионные измерения ^-фактора в ионах с ненулевым спином ядра и соответствующие теоретические расчеты могут обеспечить высокоточное определение ядерных магнитных моментов. Соответствующий метод был предложен в [63] и развит в [37]. Для его реализации необходимы теоретические расчеты электронного ^-фактора и поправки на сверхтонкое взаимодействие к нему, которая также может быть определена как константа ядерного магнитного экранирования.

В системах с замкнутыми оболочками, таких как гелиеподобные ионы в основном состоянии, магнитный момент системы полностью определяется магнитным моментом ядра с учётом экранировки. Несмотря на определенные экспериментальные трудности, это позволяет получить прямой доступ к ядерному магнитному моменту при высокоточных измерениях в ловушке Пеннинга. Для этого необходимы теоретические расчеты константы ядерного магнитного экранирования для таких систем. Эта константа была получена в нашей работе [64] для основного состояния гелиеподобных ионов.

Сравнение высокоточных теоретических и экспериментальных значений ^-фактора многозарядных ионов открывает широкие возможности, в том числе, для изучения свойств ядер. Помимо определения магнитных моментов, оказывается возможным определение вероятностей ядерных переходов. Однако, эта возможность связана с исключительно малой энергией возбуждения ядра, которая была обнаружена в тории-229. Связь электронного д-фактора и ядерного магнитного дипольного перехода обеспечивается сверхтонким взаимодействием. В результате, два состояния атома с одинаковым полным моментом, где ядро находится в основном и в изомерном состоянии, перемешиваются между собой. Этот эффект называется ядерным сверхтонким смешиванием. До сих пор он наблюдался в мюонных [65-67], но не в обычных атомах. Ядро тория-229 обладает изомерным состоянием (229тХЬ) с

беспрецедентно низкой энергией возбуждения, порядка 8 эВ [68,69], тогда как типичные энергии для ядер составляют минимум сотни кэВ. Эффект сверхтонкого смешивания обратно пропорционален энергии возбуждения, таким образом торий-229 является уникальной системой для наблюдения данного эффекта. Смешивание состояний приводит к поправке к ^-фактору, которая пропорциональна квадрату матричного элемента магнитного дипольно-го ядерного перехода между основным и изомерным состояниями. В нашей работе [70] было показано, что таким образом из высокоточного измерения д-фактора основного состояния водородоподобного тория-229 можно получить значение амплитуды перехода с точностью порядка процента. Рассмотрение литие- и бороподобных ионов позволит дополнительно определить магнитные моменты основного и изомерного состояний ядра. Кроме того, эти ионы более доступны с точки зрения эксперимента, чем водородоподобные. На сегодняшний день для амплитуды ядерного перехода в тории существуют лишь оценки по порядку величины [71-74]. Точное значение вероятности данного перехода необходимо для практической реализации проекта так называемых "ядерных часов", которые должны быть минимум на порядок точнее, чем существующие атомные часы, благодаря стабильности относительно внешних воздействий [75-77]. Все необходимые для реализации предложенного сценария теоретические значения представлены в работе [70], а экспериментальное определение ^-фактора с нужной точностью (10-7) вполне доступно в ближайшем будущем в эксперименте ЛЬРНЛТЯЛР.

Степень разработанности темы исследования

За последние два десятилетия достигнут значительный прогресс в экспериментальных и теоретических исследованиях эффекта Зеемана в многозарядных ионах. Точность теоретических расчетов для водородоподобных ионов на данный момент достигает 10-12 — 10-6 в зависимости от заряда ядра [78]. Погрешность расчетов в основном определяется двухпетлевыми квантовоэлектродинамическими (КЭД) поправками [79]. Для уменьшения погрешности, связанной с ядерными эффектами, было предложено использовать так называемую специфическую разность ^-факторов различных заря-

довых состояний одного изотопа [32,80]. Таким образом, изучение не только водородо-, но и литие-, и бороподобных ионов стало востребованным для высокоточного сравнения теории и эксперимента. Для литиеподобных ионов на данный момент точность ограничивается многоэлектронными КЭД эффектами высших порядков и достигает 10—9 — 10—6 [17,81]. Результаты находятся в согласии с высокоточными измерениями ^-фактора литиеподобных кремния и кальция [10-12]. Точность расчетов для бороподобных ионов находится на уровне 10—6 [36,82,83]. Полученные теоретические результаты находятся в согласии с экспериментальными значениями [13,38,84].

Нашей группой были выполнены расчеты для квадратичного [85] и кубического [86] эффекта Зеемана в бороподобных ионах в одноэлектронном приближении, также были проведены расчёты с учётом поправки на однофо-тонный обмен в рамках полностью релятивистского подхода [51]. В частности, эти результаты для кубического эффекта Зеемана уже были использованы для корректировки экспериментального значения ^-фактора бороподобного аргона в эксперименте ЛЬРНЛТИЛР, эта поправка составила 10—9 [13]. Результаты для квадратичного эффекта были использованы для экспериментального определения наиболее точного современного значения энергии перехода тонкой структуры в бороподобном аргоне [38]. Эффект Зеемана второго порядка для основного состояния гелиеподобных ионов с малым и средним 2 рассматривался нами в работе [64].

Ядерное магнитное экранирование для связанного электрона в состоянии 1й ив некоторых возбужденных состояниях было изучено в полностью релятивистском подходе в работах [87-89]. Позднее, поправка на сверхтонкое взаимодействие была получена для водородоподобных [90-92] и литие-подобных ионов [93]. Нелинейные эффекты в магнитном поле для многозарядных водородо- и литиеподобных ионов, описываемые формулой Брейта-Раби, рассматривались, в частности, в работах [94,95]. Ведущий вклад в константу ядерного магнитного для бороподобных ионов рассмотрен в нашей работе [96]. Результаты для бороподобных ионов, включающие поправку на однофотонный обмен представлены в работе [97]. В бороподобных ионах коэффициент ядерного магнитного экранирования оказался существенно больше, чем в водородо- и литиеподобных ионах, следовательно и его влияние

на ^-фактор системы будет более значимым. Константа ядерного магнитного экранирования для основного состояния гелиеподобных ионов рассматривалась в нашей работе [64].

Основные цели работы

Цель работы заключается в разработке численного подхода и в подготовке теоретической базы для интерпретации соответствующих экспериментов. Для этого потребовалось выполнить следующие задачи:

1. Развитие метода конечного поля на основе численного подхода А-ДКБ [98] (метод дуального-кинетического баланса для аксиально-симметричного поля). Была реализована процедура отбора уровней по четности, которая позволила различать уровни при включении магнитного поля. Необходимая для получения всевозможных вкладов в ^-фактор процедура дифференцирования также была добавлена в программу А-ДКБ. Реализована процедура вычисления однофотонного обмена и расчет в экранирующих потенциалах. Для этого были выведены формулы для соответствующих матричных элементов.

2. Вычислены квадратичный и кубический вклады в эффект Зеемана для гелие-, литие- и бороподобных ионов. Расчеты включают в себя межэлектронное взаимодействие в первом порядке теории возмущений с использованием экранирующего потенциала в нулевом приближении. Для проверки численной процедуры производится сравнение результатов, полученных двумя независимыми методами — по теории возмущений и методом конечного поля.

3. Получена константа ядерного магнитного экранирования для гелие-, литие- и бороподобных ионов. Вычисления проведены с учетом межэлектронного взаимодействия в первом порядке в экранирующем потенциале. Проводится также сравнение двух независимых методов расчетов — теории возмущений и метода конечного поля.

Научная новизна работы

Представлены самые точные на сегодняшний день значения нелинейных вкладов в эффект Зеемана и константы ядерного магнитного экранирования для гелие-, литие- и бороподобных ионов, включающие в себя учет межэлектронного взаимодействия.

Для решения подобных задач обычно используется теория возмущений. В этой работе, применяется метод конечного поля на основе относительно нового подхода к решению уравнения Дирака в аксиально симметричном потенциале [98]. Было проведено развитие данного подхода: реализовано вычисление однофотонного обмена с соответствующими функциями и расчет в экранирующих потенциалах. Выведены формулы для матричных элементов различных операторов в случае аксиально-симметричного поля. Это дает возможность упростить расчёты вкладов высоких порядков по сравнению с теорией возмущений, где нужно рассматривать большое множество диаграмм.

Теоретическая и практическая значимость работы

Получены наиболее точные на сегодняшний день значения для квадратичного и кубического вкладов в эффект Зеемана в гелие-, литие- и бороподобных системах. Эти результаты важны для интерпретации экспериментов по высокоточному определению ^-фактора многозарядных ионов. Нелинейные эффекты Зеемана важны в астрофизике, это связано с наличием сильного магнитного поля в звездных объектах [99-101]. Они также имеют значение для атомных часов, магнитометров и других высокоточных экспериментальных установок как источник систематических сдвигов [49,50,102,103]. Для кубического эффекта имеется гораздо меньше теоретических расчетов, чем для квадратичного. Однако, результаты, полученные нашей группой [51] уже были использованы для корректировки экспериментального значения д-фактора бороподобного аргона в эксперименте ЛЬРНЛТИЛР, эта поправка составила 10—9 [13].

Получены также наиболее точные на сегодняшний день результаты для константы ядерного магнитного экранирования. Теоретическое изучение д-

фактора ионов с ненулевым спином ядра, совместно с экспериментальными исследованиями, позволяют определять магнитные моменты ядер с точностью, превышающей точность ЯМР. Ионы с замкнутыми оболочками, такие как гелиеподобные, поваляют получить прямой доступ к ядерному магнитному моменту при измерении зеемановского расщепления в таких системах.

Одновременное изучение водородо-, литие- и бороподобных ионов для одного изотопа позволяет уменьшить погрешность, связанную с ядерными эффектами при рассмотрении специфических разностей [80].

Методология и методы исследования

Все расчеты в этой работе выполняются в рамках двух независимых подходов - теории возмущений и метода конечного поля. В обоих методах мы используем конечный базисный набор, построенного в рамках подхода дуального кинетическим баланса (ДКБ) [98,104]. В рамках метода конечного поля аксиально-симметричное магнитное поле и сверхтонкое взаимодействие включается в гамильтониан Дирака. Результаты, полученные с помощью обоих методов, находятся в хорошем согласии, подтверждая правильность численной процедуры. Помимо этого, проводится сравнение расчетов, выполненных для более простых систем с ранее опубликованными результатами, полученными независимыми методами.

В работе используется релятивистская система единиц (h =1, те = 1, с =1) и Хевисайдовы единицы заряда а = е2/(4^),е < 0, в некоторых формулах те выписана явно для большей ясности.

Положения, выносимые на защиту

Следующие положения выносятся на защиту:

1. На основе решения уравнения Дирака для аксиально симметричного потенциала в конечном базисном наборе с наложением условий дуального кинетического баланса развит метод конечного поля для нахождения различных вкладов в зеемановское расщепление в многозарядных ионах с небольшим числом электронов, включая нелинейные вклады

по магнитному полю вплоть до третьего порядка, а также поправку к ^-фактору на сверхтонкое взаимодействие.

2. Для учета межэлектронного взаимодействия реализовано вычисление поправки первого порядка (диаграммы однофотонного обмена) с волновыми функциями, полученными в аксиально симметричном потенциале (для конечного внешнего поля), а также включение эффективного экранирующего потенциала в гамильтониан нулевого приближения.

3. Вычислены квадратичный и кубический вклады в зеемановское расщепление в водородо-, гелие-, литие- и бороподобных ионах. Эффекты межэлектронного взаимодействия учитываются в первом порядке теории возмущений, с включением различных экранирующих потенциалов. Для бороподобных ионов, где нелинейные эффекты дают особенно большой вклад и уже учитываются в современных экспериментах, получены наиболее точные на сегодняшний день теоретические значения в диапазоне Z = 8 — 82.

4. Вычислен коэффициент ядерного магнитного экранирования (поправка к ^-фактору на сверхтонкое взаимодействие) в водородо-, гелие-, литие- и бороподобных ионах, с учетом межэлектронного взаимодействия в первом порядке теории возмущений, с различными экранирующими потенциалами. Для литие- и бороподобных ионов получены наиболее точные на сегодняшний день теоретические значения в диапазоне 2 = 8 — 90. Эти результаты могут служить теоретической базой для определения ядерных магнитных моментов из высокоточных измерений ^-фактора ионов с ненулевым спином ядра.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений и списка литературы. Работа включает 96 страниц, 10 рисунков и 16 таблиц, список литературы содержит 136 наименований.

• Во введении обсуждается актуальность темы исследования, степень её разработанности, цели и задачи диссертационной работы, её науч-

ная новизна, значимость, описываются применяемые методы исследования. Формулируются выносимые на защиту положения и представляется апробация работы

• В главе 1 рассматривается эффект Зеемана, обсуждаются нелинейные вклады в него. Обсуждаются способы расчетов и значимость квадратичного и кубического вкладов в эффект Зеемана.

• В главе 2 приводится теория сверхтонкого расщепления.

• В главе 3 обсуждается Зеемановское расщепление в ионах с ненулевым спином ядра. Приводится теория, рассматривается способ определения ядерного ^-фактора. Описываются способы расчетов константы ядерного магнитного экранирования.

• В главе 4 рассматриваются многоэлектронные системы. Обсуждается межэлектронное взаимодействие в системах с одним валентным электроном и в системах с замкнутыми оболочками. Приводятся формулы для расчетов по теории возмущений и методом конечного поля.

• В главе 5 обсуждаются численные подходы к решению задач. Рассматриваются метод дуального кинетического баланса и его расширение для систем с аксиальной симметрией. Приводятся формулы для матричных элементов, обсуждаются сложности численного дифференцирования.

• В главе 6 приводятся результаты для нелинейных вкладов в ^-фактор и константы ядерного магнитного экранирования для гелие-, литие- и бороподобных ионов. Все результаты приводятся с учетом межэлетрон-ного взаимодействия. Проводится сравнение результатов, полученных независимыми методами.

• В заключении описываются основные результаты и выводы, полученные в данной работе.

Личный вклад автора

Все основные представленные в диссертации и вынесенные на защиту результаты получены соискателем лично.

Апробация результатов исследования

Результаты и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• 18th International Conference Physics of Highly Charged Ions (HCI-2016), Кельце, Польша, 11-16 сентября 2016.

• 13th Topical Workshop of the Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration (SPARC-2016), Краков, Польша, 16-20 сентября 2016.

• International Student Conference "Science and Progress Петергоф, Санкт-Петербург, Россия, 17-21 октября 2016.

• 51-я Зимняя школа, проводимая Петербургским институтом ядерной физики им. Б. П. Константинова НИЦ "Курчатовский Институт", 27 февраля - 4 марта, 2017, Рощино, Ленинградская область, Россия

• Summer school: Search for New Physics with Low-Energy Precision Tests (University of Groningen Summer Schools), остров Амеланд, Нидерланды, 11-17 июня 2017.

• Fifth International FAIR School, Кастильоне-делла-Пеская, Италия, 3-10 сентября 2017.

• 14th Topical Workshop of the Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration (SPARC-2017), Кан, Франция, 11-14 сентября 2017.

• International Conference on Precision Physics and Fundamental Physical Constants (FFK-2017), Варшава, Польша, 15-19 мая, 2017.

• SPARC Topical Workshop (SPARC-2019), Йена, Германия, 9-13 сентября, 2019.

• SPARC Topical Workshop (SPARC-2020), онлайн, 14-16 сентября, 2020.

• SPARC Topical Workshop (SPARC-2021), онлайн, 6-9 сентября, 2021.

Кроме того, результаты неоднократно докладывались на заседаниях кафедры квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus:

• A. M. Volchkova, A. S. Varentsova, N. A. Zubova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Nuclear magnetic shielding in boronlike ions, Nucl. Instum. Methods Phys. Res. B 408 (2017) 89.

• V. A. Agababaev, A. M. Volchkova, A. S. Varentsova, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Quadratic Zeeman effect in boronlike argon, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B 408 (2017) 70.

• A. S. Varentsova, V. A. Agababaev, A. M. Volchkova, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Third-order Zeeman effect in highly charged ions, Nucl. Instum. Methods Phys. Res. B 408 (2017) 80.

• A. S. Varentsova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. M. Volchkova, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Interelectronic-interaction contribution to the nonlinear Zeeman effect in boronlike ions, Phys. Rev. A 97 (2018) 043402.

• А. М. Волчкова, Д. А. Глазов, В. М. Шабаев, Ядерное магнитное экранирование в многозарядных ионах, оптика и спектроскопия 129 (2021) 1477.

• V. M. Shabaev, D. A. Glazov, A. M. Ryzhkov, C. Brandau, G. Plunien, W. Quint, A. M. Volchkova, and D. V. Zinenko, Ground-state g factor of highly charged 229 Th ions: an access to the Ml transition probability between the isomeric and ground nuclear states, Phys. Rev. Lett. 128 (2022) 043001.

Эффект Зеемана

При помещении иона во внешнее магнитное поле происходит расщепление уровней энергии — снимается вырождение по квантовому магнитному числу Mj — это называется зеемановским расщеплением. На Рис. 1.1 показан пример такого расщепления для бороподобного иона. Нерелятивистский уровень

М, = +3/2.......

2 Р

3 = 3/2

3 = 1/2

М., = +1/2..

■М = -1/2

\М, = -3/2

М, = +1/2 ..М, = -1/2

Тонкая структура

первый порядок второй порядок третий порядок

Зеем ановское расщепление

Рис. 1.1: Схематичное изображение зеемановского расщепления уровней тонкой структуры в бороподобном ионе (без соблюдения масштаба).

2р соответствует двум уровням тонкой структуры — 2р 1 и 2рз, которые, в свою очередь, под действием магнитного поля, расщепляются на два и четыре уровня соответственно. На рисунке показаны сдвиги уровней в первом, втором и третьем порядке по магнитному полю (схематично, без соблюдения масштаба). Близко расположенные уровни тонкой структуры перемешиваются магнитным полем. В следствие этого, нелинейные эффекты оказывают заметное влияние на сдвиги уровней в бороподобных ионах. Это объясняет

интерес к изучению нелинейных эффектов.

Для описания эффекта Зеемана мы возьмем за основу уравнение Дирака для электрона в поле ядра. Запишем его для одночастичной волновой функции |а) и соответствующей ей энергии Еа:

[(а • p) + р + Kud(r)] |а) = Еа\а) . (1.1)

Здесь а, [5 — матрицы Дирака, Vnucl(r) — потенциал ядра. Взаимодействие с внешним магнитным полем определяется оператором:

#magn = MüB[r х а] . (1.2)

Здесь до — магнетон Бора, B — внешнее магнитное поле. Направим ось z вдоль магнитного поля и введем следующие обозначения:

#magn = AÜ, Л = ^оВ, Ü = [r х á]z.

Л — безразмерный (в релятивистских единицах) параметр возмущения, U — оператор магнитного взаимодействия. Уравнение Дирака для возмущенной волновой функции |á) и соответствующей энергии Е^:

(а • p) + р + Kuci(r) + \и] |á) = E~a\á) . (1.3)

При малых Л энергию Еg можно разложить в ряд:

Е~а = Еа + АЕ(1) + АЕ(2) + АЕ(3) + ...

= Еа + Хд(1) + ЛУ2) + АУ3) + .... (1.4)

Соответствующие вклады изображены на рисунке 1.2 и могут быть получены по теории возмущений следующим образом. Вклад первого порядка по магнитному полю вычисляется как диагональный элемент оператора U:

д(1) = (a\U 1а) (1.5)

Коэффициент д(1) связан с ^-фактором следующим соотношением д(1) =

,(2)

7(3)

9у' 9у' дк

Рис. 1.2: Диаграммы Фейнмана для коэффициентов д(2), д(3). Двойная линия обозначает связанный электрон, треугольником обозначено взаимодействие с внешним магнитным полем.

gMj. Различные поправки к значению д-фактора, которое получается из формулы (1.5), обусловленные межэлектронным взаимодействием, КЭД и ядерными эффектами, рассматривались в многочисленных публикациях, например, в недавних обзорах [1,14].

Вклад второго порядка вычисляется как сумма по спектру:

0(2) = V-' (a\UW){n\U\о) 3 ^ Еп- Еп

(1.6)

Коэффициент д(2) обладает симметрией g(2")(—Mj) = g(2\Mj). Таким образом, квадратичный эффект Зеемана не приводит к изменению расщепления для уровня с j = 1/2 — уровни с противоположными проекциями имеют одинаковое смещение. Как следствие, он не наблюдается при измерениях g-фактора основного состояния в водородоподобных и литиеподобных ионах. Для бороподобных ионов, во-первых, имеется различный сдвиг уровней для состояний с проекциями Mj = 1/2 и Mj = 3/2 и может наблюдаться для состояния 2р3/2. Во-вторых, квадратичный эффект обеспечивает небольшую поправку к расщеплению тонкой структуры. В связи с экспериментом ARTEMIS в GSI эффект второго порядка был оценен для бороподобного аргона [35,36]. В нашей работе [85] был вычислен однофотонный обмен и од-нопетлевые КЭД поправки, чтобы найти д(2) с точностью 2% для Z = 18. Также результаты для д(2) в диапазоне Z = 6 — 92 с учетом межэлектронного взаимодействия в представлены нашей работе [51].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волчкова Анна Михайловна, 2023 год

Список литературы

[1] A. V. Volotka, D. A. Glazov, G. Plunien, and V. M. Shabaev, Progress in quantum electrodynamics theory of highly charged ions, Ann. Phys. (Berlin) 525, 636 (2013).

[2] M. G. Kozlov, M. S. Safronova, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, and P. O. Schmidt, Highly charged ions: Optical clocks and applications in fundamental physics, Rev. Mod. Phys. 90, 045005 (2018).

[3] V. M. Shabaev, A. I. Bondarev, D. A. Glazov, M. Y. Kaygorodov, Y. S. Kozhedub, I. A. Maltsev, A. V. Malyshev, R. V. Popov, I. I. Tupitsyn, and N. A. Zubova, Stringent tests of QED using highly charged ions, Hyperfine Interact. 239, 60 (2018).

[4] P. Indelicato, QED tests with highly charged ions, J. Phys. B 52, 232001 (2019).

[5] S. Sturm, G. Werth, and K. Blaum, Electron g factor determinations in Penning traps, Ann. Phys. (Berlin) 525, 620 (2013).

[6] H. Häffner, T. Beier, N. Hermanspahn, H.-J. Kluge, W. Quint, S. Stahl, J. Verdu, and G. Werth,High-accuracy measurement of the magnetic moment anomaly of the electron bound in hydrogenlike carbon, Phys. Rev. Lett. 85, 5308 (2000).

[7] J. L. Verdu, S. DjekiC, S. Stahl, T. Valenzuela, M. Vogel, G. Werth, T. Beier, H.-J. Kluge, and W. Quint, Electronic g factor of hydrogenlike Oxygen 07+, Phys. Rev. Lett. 92, 093002 (2004).

[8] S. Sturm, A. Wagner, B. Schabinger, J. Zatorski, Z. Harman, W. Quint,

G. Werth, C. H. Keitel, and K. Blaum, g factor of hydrogenlike 28Si 13+, Phys. Rev. Lett. 107, 023002 (2011).

[9] S. Sturm, A. Wagner, M. Kretzschmar, W. Quint, G. Werth, and K. Blaum, g-factor measurement of hydrogenlike 28Si 13+ as a challenge to QED calculations, Phys. Rev. A 87, 030501(R) (2013).

[10] F. Köehler, K. Blaum, M. Block, S. Chenmarev, S. Eliseev, D. A. Glazov, M. Goncharov, J. Hou, A. Kracke, D. A. Nesterenko, Yu. N. Novikov, W. Quint, E. Minaya Ramirez, V. M. Shabaev, S. Sturm, A. V. Volotka, and G. Werth, Isotope dependence of the Zeeman effect in lithium-like calcium, Nature Communications 7, 10246 (2016).

[11] A. Wagner, S. Sturm, F. Köhler, D. A. Glazov, A. V. Volotka, G. Plunien, W. Quint, G. Werth, V. M. Shabaev, and K. Blaum, g factor of lithiumlike silicon 28Si11+, Phys. Rev. Lett. 110, 033003 (2013).

[12] D. A. Glazov, F. Köhler-Langes, A. V. Volotka, K. Blaum, F. Heiße, G. Plunien, W. Quint, S. Rau, V. M. Shabaev, S. Sturm, G. Werth, g Factor of Lithiumlike Silicon: New Challenge to Bound-State QED, Phys. Rev. Lett. 2019. V. 123. P. 173001.

[13] Arapoglou I., Egl A., Hocker M., Sailer T., Tu B., Weigel A., Wolf R., Cakir H., Yerokhin V. A., Oreshkina N. S., Agababaev V. A., Volotka A. V., Zinenko D. V., Glazov D. A., Harman Z., Keitel C. H., Sturm S., Blaum K., The g factor of Boronlike Argon 40Ar 13+, Phys. Rev. Lett. 2019. V. 122. P. 253001.

[14] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, G. Plunien, and A. V. Volotka, Theory of bound-electron g factor in highly charged ions, J. Phys. Chem. Ref. Data 44, 031205 (2015).

[15] A. Czarnecki and R. Szafron, Light-by-light scattering in the Lamb shift and the bound electron g factor, Phys. Rev. A 94, 060501(R) (2016).

[16] V. A. Yerokhin and Z. Harman, One-loop electron self-energy for the bound-electron g factor, Phys. Rev. A 95, 060501 (2017).

[17] V. A. Yerokhin, K. Pachucki, M. Puchalski, Z. Harman, and C. H. Keitel, Electron-correlation effects in the g factor of light Li-like ions, Phys. Rev. A 95, 062511 (2017).

[18] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, A. V. Malyshev, and I. I. Tupitsyn, Recoil effect on the g factor of Li-like ions, Phys. Rev. Lett. 119, 263001 (2017).

[19] A. V. Malyshev, V. M. Shabaev, D. A. Glazov, and I. I. Tupitsyn, Nuclear recoil effect on factor of heavy ions: prospects for tests of quantum electrodynamics in a new region Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 106, 731 (2017) [JETP Lett., 106, 765 (2017)].

[20] A. Czarnecki, M. Dowling, J. Piclum, and R. Szafron, Two-loop binding corrections to the electron gyromagnetic factor Phys. Rev. Lett. 120, 043203 (2018).

[21] D. A. Glazov, A. V. Malyshev, V. M. Shabaev, and I. I. Tupitsyn, Nuclear recoil effect on the g factor of middle-Z boronlike ions Opt. Spektrosk. 124, 441 (2018).

[22] V. P. Kosheleva, A. V. Volotka, D. A. Glazov, D. V. Zinenko, and S. Fritzsche,

factor of lithiumlike Silicon and Calcium: Resolving the disagreement between theory and experiment, Phys. Rev. Lett. 128, 103001 (2022).

[23] V. A. Yerokhin, K. Pachucki, M. Puchalski, C. H. Keitel, and Z. Harman, Self-energy screening effects in the g factor of Li-like ions, Phys. Rev. A 102, 022815 (2020).

[24] V. A. Yerokhin, C. H. Keitel, and Z. Harman, Two-photon-exchange corrections to the g factor of Li-like ions, Phys. Rev. A 104, 022814 (2021).

[25] H. Cakir, V. A. Yerokhin, N. S. Oreshkina, B. Sikora, I. I. Tupitsyn, C. H. Keitel, and Z. Harman, QED corrections to the g factor of Li- and B-like ions, Phys. Rev. A 101, 062513 (2020).

[26] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, A. V. Malyshev, and I. I. Tupitsyn, Nuclear recoil effect on the g factor of highly charged Li-like ions, Phys. Rev. A 98, 032512 (2018).

[27] B. Sikora, V. A. Yerokhin, N. S. Oreshkina, H. Cakir, C. H. Keitel, and Z. Harman, Theory of the two-loop self-energy correction to the g factor in nonperturbative Coulomb fields, Phys. Rev. Research 2, 012002 (2020).

[28] V. Debierre, B. Sikora, H. Cakir, N. S. Oreshkina, V. A. Yerokhin, C. H. Keitel, and Z. Harman, Two-loop virtual light-by-light scattering corrections to the bound-electron g factor, Phys. Rev. A 103, L030802 (2021).

[29] S. Sturm, F. Köhler, J. Zatorski, A. Wagner, Z. Harman, G. Werth, W. Quint, C. H. Keitel, and K. Blaum, High-precision measurement of the atomic mass of the electron, Nature 506, 467 (2014).

[30] P. J. Mohr, D. B. Newell, and B. N. Taylor, CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2014, Rev. Mod. Phys. 88, 035009 (2016).

[31] J. Zatorski, B. Sikora, S. G. Karshenboim, S. Sturm, F. Kohler-Langes, K. Blaum, C. H. Keitel, Z. Harman, Extraction of the electron mass from g-factor measurements on light hydrogenlike ions, Phys. Rev. A 96, 012502 (2017).

[32] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, N. S. Oreshkina, A. V. Volotka, G. Plunien, H.-J. Kluge, and W. Quint, g factor of heavy ions: a new access to the fine structure constant, Phys. Rev. Lett. 96, 253002 (2006).

[33] A. V. Volotka and G. Plunien, Nuclear Polarization Study: New Frontiers for Tests of QED in Heavy Highly Charged Ions, Phys. Rev. Lett. 113, 023002 (2014).

[34] V. A. Yerokhin, E. Berseneva, Z. Harman, I. I. Tupitsyn, and C. H. Keitel,

factor of light ions for an improved determination of the fine-structure constant, Phys. Rev. Lett. 116, 100801 (2016).

[35] D. von Lindenfels, M. Wiesel, D. A. Glazov, A. V. Volotka, M. M. Sokolov, V. M. Shabaev, G. Plunien, W. Quint, G. Birkl, A. Martin, and M. Vogel, Experimental access to higher-order Zeeman effects by precision spectroscopy of highly charged ions in a Penning trap, Phys. Rev. A 87, 023412 (2013).

[36] D. A. Glazov, A. V. Volotka, A. A. Schepetnov, M. M. Sokolov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn and G. Plunien, g factor of boron-like ions: ground and excited states Phys. Scr. T156, 014014 (2013).

[37] W. Quint, D. Moskovkhin, V. M. Shabaev and M. Vogel, Laser-microwave double-resonance technique for g-factor measurements in highly charged ions, Phys. Rev. A 78, 032517 (2008).

[38] A. Egl, I. Arapoglou, M. Hocker, K. Konig, T. Ratajczyk, T. Sailer, B. Tu, A. Weigel, K. Blaum, W. Nortershauser, and S. Sturm, Application of the continuous Stern-Gerlach effect for laser spectroscopy of the 40Ar13+ fine structure in a Penning trap, Phys. Rev. Lett. 123, 123001 (2019).

[39] V. Mackel, R. Klawitter, G. Brenner, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, and J. Ullrich, Laser spectroscopy on forbidden transitions in trapped highly charged Ar 13+ ions, Phys. Rev. Lett. 107, 143002 (2011).

[40] I. Draganic, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, R. DuBois, S. Fritzsche, V. M. Shabaev, R. Soria Orts, I. I. Tupitsyn, Y. Zou, and J. Ullrich, High precision wavelength measurements of QED-sensitive forbidden transitions in highly charged argon ions, Phys. Rev. Lett. 91, 183001 (2003).

[41] R. Soria Orts, Z. Harman, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, A. N. Artemyev, H. Bruhns, A. J. Gonzalez Martinez, U. D. Jentschura, C. H. Keitel, A. Lapierre, V. Mironov, V. M. Shabaev, H. Tawara, I. I. Tupitsyn, J. Ullrich, and A. V. Volotka, Exploring relativistic many-body recoil effects in highly charged ions, Phys. Rev. Lett. 97, 103002 (2006).

[42] S. W. Epp, R. Steinbrugge, S. Bernitt, J. K. Rudolph, C. Beilmann, H. Bekker, A. Muller, O. O. Versolato, H.-C. Wille, H. Yavas, J. Ullrich, and J. R. Crespo Lopez-Urrutia, Single-photon excitation of Ka in heliumlike Kr34+: Results supporting quantum electrodynamics predictions, Phys. Rev. A 92, 020502(R) (2015).

[43] P. Beiersdorfer and G. V. Brown, Experimental study of the x-ray transitions in the heliumlike isoelectronic sequence: Updated results, Phys. Rev. A 91, 032514 (2015).

[44] J. Machado, C. I. Szabo, J. P. Santos, P. Amaro, M. Guerra, A. Gumberidze, G. Bian, J. M. Isac, and P. Indelicato, High-precision measurements of n = 2 ^ n = 1 transition energies and level widths in He- and Be-like argon ions, Phys. Rev. A 97, 032517 (2018).

[45] A. V. Malyshev, Y. S. Kozhedub, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, and V. M. Shabaev, QED calculations of the n = 2 to n =1 x-ray transition energies in middle-Z heliumlike ions, Phys. Rev. A 99, 010501(R) (2019).

[46] Y. S. Kozhedub, A. V. Malyshev, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, and I. I. Tupitsyn, QED calculation of electron-electron correlation effects in heliumlike ions, Phys. Rev. A 100, 062506 (2019).

[47] V. A. Yerokhin and A. Surzhykov, Theoretical Energy Levels of 1sns and 1snp States of Helium-Like Ions, J. Phys. Chem. Ref. Data 48, 033104 (2019).

[48] V. Mackel, R. Klawitter, G. Brenner, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, and J. Ullrich, Laser spectroscopy of highly charged argon at the Heidelberg electron beam ion trap, Phys. Scr. T156, 014004 (2013)

[49] A. D. Ludlow, M M. Boyd, J. Ye, E. Peik, and P. O. Schmidt, Optical atomic clocks, Rev. Mod. Phys. 87, 637 (2015).

[50] G. Bao, A. Wickenbrock, S. Rochester, W. Zhang, and D. Budker, Suppression of the nonlinear Zeeman effect and heading error in earth-field-range alkali-vapor magnetometers, Phys. Rev. Lett. 120, 033202 (2018).

[51] A. S. Varentsova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. M. Volchkova, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Interelectronic-interaction contribution to the nonlinear Zeeman effect in boronlike ions, Phys. Rev. A 97, 043402 (2018).

[52] V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, V. A. Yerokhin, O. M. Zherebtsov, G. Soff, Towards a test of QED in investigations of the hyperfine splitting in heavy ions, Phys. Rev. Lett. 86, 3959 (2001).

[53] A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Screened QED corrections in lithiumlike heavy ions in the presence of magnetic fields, Phys. Rev. Lett. 103, 033005 (2009).

[54] A. V. Volotka, D. A. Glazov, O. V. Andreev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Test of many-electron QED effects in the hyperfine splitting of heavy high-Z ions, Phys. Rev. Lett. 108, 073001 (2012).

[55] D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Evaluation of the screened QED corrections to the g factor and the hyperfine splitting of lithiumlike ions, Phys. Rev. A 81, 062112 (2010).

[56] O. V. Andreev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Evaluation of the screened vacuum-polarization corrections to the hyperfine splitting of Li-like bismuth, Phys. Rev. A 85, 022510 (2012).

[57] M. Lochmann, R. Jöhren, C. Geppert, Z. Andelkovic, D. Anielski, B. Botermann, M. Bussmann, A. Dax, N. Frömmgen, M. Hammen, V. Hannen, T. Köhl, Y. A. Litvinov, R. Lopez-Coto, T. Stöhlker, R. C. Thompson, J. Vollbrecht, A. V. Volotka, C. Weinheimer, W. Wen, E. Will, D. Winters, R. Sanchez, and W. Nortershauser, Observation of the hyperfine transition in lithium-like bismuth 209Bf80+: Towards a test of QED in strong magnetic fields, Phys. Rev. A 90, 030501(R) (2014).

[58] J. Ullmann, Z. Andelkovic, A. Dax, W. Geithner, C. Geppert, C. Gorges, M. Hammen, V. Hannen, S. Kaufmann, K. König, Y. Litvinov, M. Lochmann, B. Maass, J. Meisner, T. Murbock, R. Sanchez, M. Schmidt, S. Schmidt, M. Steck, T. Stohlker, R. C. Thompson, J. Vollbrecht, C. Weinheimer, and W. Nortershauser, An improved value for the hyperfine splitting of hydrogenlike 209Bi82+ J. Phys. B 48, 144022 (2015).

[59] R. Sanchez, M. Lochmann, R. Jöhren, Z. Andelkovic, D. Anielski, B. Botermann, M. Bussmann, A. Dax, N. Frommgen, C. Geppert, M. Hammen, V. Hannen, T. Köhl, Y. Litvinov, R. Lopez-Coto, T. Stohlker, R. Thompson, J. Vollbrecht, W. Wen, C. Weinheimer, E. Will, D. Winters,

and W. Nortershauser, Laser spectroscopy measurement of the 2s-hyperfine splitting in lithium-like bismuth, J. Phys. B 50, 085004 (2017).

[60] J. Ullmann, Z. Andelkovic, C. Brandau, A. Dax, W. Geithner, C. Geppert, C. Gorges, M. Hammen, V. Hannen, S. Kaufmann, K. Konig, Y. A. Litvinov, M. Lochmann, B. Maaß, J. Meisner, T. Murböck, R. Sanchez, M. Schmidt, S. Schmidt, M. Steck, T. Stohlker, R. C. Thompson, C. Trageser, J. Vollbrecht, C. Weinheimer, and W. Nortershauser, High precision hyperfine measurements in Bismuth challenge bound-state strong-field QED, Nat. Commun. 8, 15484 (2017).

[61] L. V. Skripnikov, S. Schmidt, J. Ullmann, C. Geppert, F. Kraus, B. Kresse, W. Nortershöuser, A. F. Privalov, B. Scheibe, V. M. Shabaev, M. Vogel, and A. V. Volotka, New nuclear magnetic moment of 209Bi: resolving the Bismuth hyperfine puzzle Phys. Rev. Lett. 120, 093001 (2018).

[62] V. Fella, L. V. Skripnikov, W. Nortershauser, M. R. Buchner, H. L. Deubner, F. Kraus, A. F. Privalov, V. M. Shabaev, and M. Vogel, Magnetic moment of 207Pb and the hyperfine splitting of 207P681+, Phys. Rev. Research 2, 013368 (2020).

[63] G. Werth, H. Höffner, N. Hermanspahn,H.-J. Kluge, W. Quint, J. Verdii, in: S. G. Karshenboim et al. (Eds.), The g factor of hydrogenic ions: a test of bound state QED, The Hydrogen Atom, Springer, Berlin, 2001, p. 204.

[64] A. M. Volchkova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, S. Fritzsche, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Helium-like ions in magnetic field: application of the nonperturbative relativistic method for axially symmetric systems, ArXiv:2009.00109, (2020).

[65] C. S. Wu and L. Wilets, Muonic atoms and nuclear structure, Annu. Rev. Nucl. Sci. 19, 527 (1969).

[66] D. Hitlin, S. Bernow, S. Devons, I. Duerdoth, J. W. Kast, E. R. Macagno, J. Rainwater, C. S. Wu, and R. C. Barrett, Muonic atoms. 1. Dynamic hyperfine structure in the spectra of deformed nuclei, Phys. Rev. C 1, 1184 (1970).

[67] N. Michel and N. S. Oreshkina, Higher-order corrections to the dynamic hyperfine structure of muonic atoms, Phys. Rev. A 99, 042501 (2019).

[68] B. Seiferle, L. von der Wense, P. V. Bilous, I. Amersdorffer, Ch. Lemell, F. Libisch, S. Stellmer, Th. Schumm, Ch. E. Dullmann, A. Palffy, and P. G. Thirolf, Energy of the 229Th nuclear clock transition, Nature 573, 243 (2019).

[69] T. Sikorsky, J. Geist, D. Hengstler, S. Kempf, L. Gastaldo, Ch. Enss, Ch. Mokry, J. Runke, Ch. E. Dullmann, P. Wobrauschek, K. Beeks, V. Rosecker, J. H. Sterba, G. Kazakov, Th. Schumm, and A. Fleischmann, Measurement of the 229Th isomer energy with a magnetic microcalorimeter, Phys. Rev. Lett. 125, 142503 (2020).

[70] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, A. M. Ryzhkov, C. Brandau, G. Plunien, W. Quint, A. M. Volchkova, and D. V. Zinenko, Ground-state factor of highly charged 229Th ions: an access to the Ml transition probability between the isomeric and ground nuclear states, Phys. Rev. Lett. 128, 043001 (2022).

[71] E. V. Tkalya, C. Schneider, J. Jeet, and E. R. Hudson, Radiative lifetime and energy of the low-energy isomeric level in 229Th, Phys. Rev. C 92, 054324 (2015).

[72] N. Minkov and A. Palffy, Theoretical predictions for the magnetic dipole moment of 229mTh, Phys. Rev. Lett. 122, 162502 (2019).

[73] N. Minkov and A. Palffy, 229mTh isomer from a nuclear model perspective, Phys. Rev. C 103, 014313 (2021)

[74] Y. Shigekawa, A. Yamaguchi, K. Suzuki, H. Haba, T. Hiraki, H. Kikunaga, T. Masuda, S. Nishimura, N. Sasao, A. Yoshimi, and K. Yoshimura, Estimation of radiative half-life of 229mTh by half-life measurement of other nuclear excited states in 229Th, Phys. Rev. C 104, 024306 (2021).

[75] E. Peik and C. Tamm, Nuclear laser spectroscopy of the 3.5 eV transition in Th-229, Europhys. Lett. 61, 181 (2003).

[76] C. J. Campbell, A. G. Radnaev, A. Kuzmich, V. A. Dzuba, V. V. Flambaum, and A. Derevianko, Single-ion nuclear clock for metrology at the 19th Decimal Place, Phys. Rev. Lett. 108, 120802 (2012).

[77] E. Peik and M. Okhapkin, Nuclear clocks based on resonant excitation of ^-transitions, C. R. Phys. 16, 516 (2015).

[78] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, G. Plunien and A. V. Volotka, Theory of bound-electron g factor in highly charged ions, J. Phys. Chem. Ref. Data 44, 031205 (2015).

[79] A. Czarnecki, J. Piclum, and R. Szafron, Logarithmically enhanced Euler-Heisenberg lagrangian contribution to the electron gyromagnetic factor, Phys. Rev. A 102, 050801(R) (2020).

[80] V. M. Shabaev, D. A. Glazov, M. B. Shabaeva, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, g factor of high-Z lithiumlike ions, Phys. Rev. A 65, 062104 (2002).

[81] A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Many-electron QED corrections to the g factor of lithiumlike ions, Phys. Rev. Lett. 112, 253004 (2014).

[82] V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, D. V. Zinenko, V. M. Shabaev and G. Plunien, Ground-state g factor of middle-Z boronlike ions, J. Phys.: Conf. Ser. 1138, 012003 (2018).

[83] V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, D. V. Zinenko, V. M. Shabaev, and G. Plunien, g factor of the [(1s)2(2 s)22p]2P3l/2 state of middle-Z boronlike ions, X-Ray Spectrometry 49, 143 (2020).

[84] P. Micke, T. Leopold, S. A. King, E. Benkler, L. J. Spieß, L. Schmoger, M. Schwarz, J. R. Crespo Lopez-Urrutia, P. O. Schmidt, Coherent laser spectroscopy of highly charged ions using quantum logic, Nature 578, 60 (2020).

[85] V. A. Agababaev, A. M. Volchkova, A. S. Varentsova, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Quadratic Zeeman effect in boronlike argon, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B 408, 70 (2017).

[86] A. S. Varentsova, V. A. Agababaev, A. M. Volchkova, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Third-order Zeeman effect in highly charged ions, Nucl. Instum. Methods Phys. Res. B 408, 80 (2017).

[87] E. A. Moore, Relativistic chemical shielding: formally exact solutions for one—electron atoms of maximum total angular momentum for any principal quantum number, Mol. Phys. 97, 375 (1999).

[88] N. C. Pyper, Relativistic theory of nuclear shielding in one-electron atoms 1. Theoretical foundations and first-order terms, Mol. Phys. 97, 381 (1999).

[89] N. C. Pyper and Z. C. Zhang, Relativistic theory of nuclear shielding in one-electron atoms 2. Analytical and numerical results, Mol. Phys. 97, 391 (1999).

[90] D. L. Moskovkin, N. S. Oreshkina, V. M. Shabaev, T. Beier, G. Plunien, W. Quint and G. Soff, g factor of hydrogenlike ions with nonzero nuclear spin, Phys. Rev. A 70, 032105 (2004).

[91] V. A. Yerokhin, K. Pachucki, Z. Harman and C. H. Keitel, QED theory of the nuclear magnetic shielding in hydrogenlike ions, Phys. Rev. Lett. 107 043004 (2011).

[92] V. A. Yerokhin, K. Pachucki, Z. Harman, and C. H. Keitel, QED calculation of the nuclear magnetic shielding for hydrogenlike ions, Phys. Rev. A 85, 022512 (2012).

[93] D. L. Moskovkin, V. M. Shabaev and W. Quint, g factor of Li-like ions with a nonzero nuclear spin Opt. Spectrosc. 104, 637 (2008).

[94] D. L. Moskovkin and V. M. Shabaev, Zeeman effect of the hyperfine-structure levels in hydrogenlike ions, Phys. Rev. A 73, 052506 (2006).

[95] D. L. Moskovkin, V. M. Shabaev and W. Quint, Zeeman effect of the hyperfine-structure levels in lithiumlike ions, Phys. Rev. A 77, 063421 (2008).

[96] A. M. Volchkova, A. S. Varentsova, N. A. Zubova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Nuclear magnetic shielding in boronlike ions, Nucl. Instum. Methods Phys. Res. B 408, 89 (2017).

[97] А. М. Волчкова, Д. А. Глазов, В. М. Шабаев, Ядерное магнитное экранирование в многозарядных ионах, Оптика и спектроскопия 129, 1477 (2021).

[98] E. B. Rozenbaum, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, K. E. Sosnova, and D. A. Telnov, Dual-kinetic-balance approach to the Dirac equation for axially symmetric systems: application to static and time-dependent fields, Phys. Rev. A 89, 012514 (2014).

[99] G. W. Preston, The quadratic Zeeman effect and large magnetic fields in white dwarfs, Astrophys. J. 160, L143 (1970).

[100] C. Moran, T. R. Marsh, and V. S. Dhillon, A new magnetic white dwarf: PG 2329+267 Mon. Not. R. Astron. Soc. 299, 218 (1998).

[101] A. F. Zakharov, Z. Ma, and Y. Bao, The iron Ka lines as a tool for magnetic field estimations in non-flat accretion flows, New Astronomy 9, 663 (2004).

[102] K. Numazaki, H. Imai, and A. Morinaga, Measurement of the second-order Zeeman effect on the sodium clock transition in the weak-magnetic-field region using the scalar Aharonov-Bohm phase, Phys. Rev. A 81, 032124 (2010).

[103] Q.-Q. Hu, C. Freier, B. Leykauf, V. Schkolnik, J. Yang, M. Krutzik, and A. Peters, Mapping the absolute magnetic field and evaluating the quadratic Zeeman-effect-induced systematic error in an atom interferometer gravimeter, Phys. Rev. A 96, 033414 (2017).

[104] V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Dual kinetic balance approach to basis-set expansions for the Dirac equation Phys. Rev. Lett. 93, 130405 (2004).

[105] В. М. Шабаев, Д. А. Тельнов, Релятивистская теория сверхтонкой структуры уровней водородоподобных атомов: Учебно-методическое пособие, Изд-во Научно-исследовательского института химии СПбГУ (1999)

[106] S. Boucard and P. Indelicato, Relativistic many-body and QED effects on the hyperfine structure of lithium-like ions , Eur. Phys. J. D

textbf8, 59 (2000).

[107] V. M. Shabaev, A. N. Artemyev, O. M. Zherebtsov, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Calculation of the hyperfine structure of heavy H and Li like ions, Hyperfine Interact. 127, 279 (2000).

[108] A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, G. Plunien, G. Soff, and V. A. Yerokhin, Vacuum-polarization corrections to the hyperfine splitting in heavy ions and to the nuclear magnetic moments, Phys. Rev. A 63, 062504 (2001).

[109] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Hyperfine splitting in lithiumlike bismuth, Phys. Rev. A 63, 032506 (2001).

[110] V. A. Yerokhin and V. M. Shabaev, One-loop self-energy correction to the 1s and 2 s hyperfine splitting in H-like systems, Phys. Rev. A 64, 012506 (2001).

[111] R. A. Sen'kov and V. F. Dmitriev, Nuclear magnetization distribution and hyperfine splitting in Bi 82+ ion, Nucl. Phys. A 706, 351 (2002).

[112] A. V. Volotka, V. M. Shabaev, G. Plunien, and G. Soff, Nuclear size correction to the hyperfine splitting in low- hydrogen-like atoms, Eur. Phys. J. D 23, 51 (2003).

[113] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Calculation of radiative corrections to hyperfine splitting in p\/2 states, Phys. Rev. A 74, 042513 (2006).

[114] N. S. Oreshkina, A. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Hyperfine strucrure of lithium-like scandium, Opt. Spektrosc. 102, 815 (2007).

[115] Y. S. Kozhedub, D. A. Glazov, A. N. Artemyev, N. S. Oreshkina, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, A. V. Volotka, and G. Plunien, QED calculation

of the 2p 1/2 — 2 s and 2p3/2 — 2 s transition energies and the ground-state hyperfine splitting in lithiumlike scandium, Phys. Rev. A 76, 012511 (2007).

[116] J. Sapirstein and K. T. Cheng, Recoil corrections to decay rates of hydrogenic ions, Phys. Rev. A 78, 022515 (2008).

[117] N. S. Oreshkina, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, 1.1. Tupitsyn, and G. Plunien, Radiative and interelectronic-interaction corrections to the hyperfine splitting in highly charged B-like ions, Phys. Lett. A 372, 675 (2008).

[118] A. V. Volotka, D. A. Glazov, I. I. Tupitsyn, N. S. Oreshkina, G. Plunien, and V. M. Shabaev, Ground-state hyperfine structure of H-, Li-, and B-like ions in the intermediate-Z region, Phys. Rev. A 78, 062507 (2008).

[119] V. M. Shabaev, Hyperfine structure of hydrogen-like ions, J. Phys. B 27, 5825 (1994).

[120] V. M. Shabaev, Two-time Green's function method in quantum electrodynamics of high-Z few-electron atoms, Phys. Rep. 356, 119 (2002).

[121] J. Sapirstein, K. T. Cheng, Calculation of the Lamb shift in neutral alkali metals, Phys. Rev. A 66, 042501 (2002).

[122] R. Latter, Atomic energy levels for the Thomas-Fermi and Thomas-Fermi-Dirac potential, Phys. Rev. 99, 510 (1955).

[123] C. Smorra, S. Sellner, M. J. Borchert, J. A. Harrington, T. Higuchi, H. Nagahama, T. Tanaka, A. Mooser, G. Schneider, M. Bohman, K. Blaum, Y. Matsuda, C. Ospelkaus, W. Quint, J. Walz, Y.'Yamazaki and S. Ulmer, A parts-per-billion measurement of the antiproton magnetic moment, Nature 550, 371 (2017).

[124] V. M. Shabaev, M. Tomaselli, T. Köhl, A. N. Artemyev, and V. A. Yerokhin, Ground-state hyperfine splitting of high-Z hydrogenlike ions, Phys. Rev. A 56, 252 (1997).

[125] M. B. Shabaeva, Corrections for the electron-electron interaction to the hyperfine structure of lithium-like multiply charged ions, Optics and Spectrosopy 86, 317 (1999).

[126] T. Beier, I. Lindgren, H. Persson, S. Salomonson, P. Sunnergren, H. Haffner, and N. Hermanspahn, gj factor of an electron bound in a hydrogenlike ion, Phys. Rev. A 62, 032510 (2000).

[127] T. Beier, The gj factor of a bound electron and the hyperfine structure splitting in hydrogenlike ions, Phys. Rep. 339, 79 (2000).

[128] D. A. Glazov, A. V. Volotka, O. V. Andreev, V. P. Kosheleva, S. Fritzsche, V. M. Shabaev, G. Plunien, and Th. Stohlker, Ground-state hyperfine splitting of B-like ions in the high-Z region, Phys. Rev. A 99, 062503 (2019).

[129] V. M. Shabaev and V. A. Yerokhin, Recoil correction to the bound-electron g factor in H-Like atoms to all orders in aZ, Phys. Rev. Lett. 88, 091801 (2002).

[130] V. A. Yerokhin, P. Indelicato, and V. M. Shabaev, Evaluation of the self-energy correction to the g factor of S states in H-like ions, Phys. Rev. A 69, 052503 (2004).

[131] D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, A. V. Volotka, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Relativistic and QED corrections to the g factor of Li-like ions, Phys. Rev. A 70, 062104 (2004).

[132] A. V. Nefiodov, G. Plunien, and G. Soff, Nuclear-polarization correction to the bound-electron g factor in heavy hydrogenlike ions, Phys. Rev. Lett. 89, 081802 (2002).

[133] C. E. Bemis, F. K. McGowan, J. L. C. Ford, Jr., W. T. Milner, R. L. Robinson, P. H. Stelson, G. A. Leander, and C. W. Reich, Coulomb excitation of states in 229Th, Phys. Scr. 38, 657 (1988).

[134] C. J. Campbell, A. G. Radnaev, and A. Kuzmich, Wigner crystals of 229Th for optical excitation of the nuclear isomer, Phys. Rev. Lett. 106, 223001 (2011).

[135] M. S. Safronova, U. I. Safronova, A. G. Radnaev, C. J. Campbell, and

A. Kuzmich, Magnetic dipole and electric quadrupole moments of the 229Th nucleus, Phys. Rev. A 88, 060501 (2013).

[136] J. Thielking, M. V. Okhapkin, P. Glowacki, D. M. Meier, L. von der Wense,

B. Seiferle, Ch. E. Döllmann, P. G. Thirolf, and E. Peik, Laser spectroscopic characterization of the nuclear-clock isomer 229mTh, Nature 556, 321 (2018).

Saint Petersburg State University

Manuscript copyright

Anna M. Volchkova

Zeeman effect and hyperfine splitting in boron-like highly charged ions with nonzero nuclear spin

Specialization 1.3.3. Theoretical physics

Dissertation is submitted for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences Translation from Russian

Scientific supervisor: Dmitry A. Glazov Candidate of Physical and Mathematical Sciences

Saint Petersburg 2022

Contents

Introduction..............................................................99

Chapter 1 Zeeman effect 110

Chapter 2 Hyperfine splitting 114

Chapter 3 Zeeman splitting in ions with nonzero nuclear spin 119

Chapter 4 Many-electron systems 123

4.1 Systems with one valence electron ............................... 123

4.1.1 Interelectronic interaction.................................... 124

4.2 Systems with closed shells........................................ 130

Chapter 5 Finite Basis Method 132

5.1 Dual kinetic balance method..................................... 134

5.2 The case of axially symmetric field .............................. 135

5.2.1 Level selection................................................. 137

5.2.2 Matrix elements............................................... 141

5.2.3 Numerical differentiation..................................... 146

Chapter 6 Results 149

6.1 Quadratic Zeeman effect.......................................... 151

6.2 Cubic Zeeman effect............................................... 153

6.3 Nuclear magnetic shielding constant............................. 157

6.4 Nuclear hyperfine mixing in thorium ............................ 162

Conclusion................................ 169

List of abbreviations and designations................ 171

References................................ 172

Introduction

Relevance of the research topic

Highly charged ions represent a powerful tool for testing quantum electrodynamics and high-precision determinations of the fundamental constants and nuclear parameters [1-4]. The accuracy of ^-factor measurements in Penning traps reached the level of 10-9 — 10-11 [5-13]. The achievement of comparable theoretical accuracy requires consideration of QED diagrams up to second order of a, higher-order correlation contributions, and different nuclear effects [14-28]. Combined experimental and theoretical studies have yielded the most accurate value of electron mass at present [29-31]. A recent measurement for two lithiumlike calcium isotopes [10] is sensitive to the relativistic nuclear recoil effect, indicating the possibility of accessing bound-state QED effects beyond the Furry picture [18,19]. Further studies with ions with a small number of electrons can provide an independent determination of the fine structure constant [32-34].

For closely spaced levels of the same parity, for example, 2p 1/2 and 2p3/2 in boron-like ions, nonlinear Zeeman effects are strongly enhanced, because the levels are mixed by an external magnetic field [35,36]. Because of the symmetry with respect to the sign of the magnetic quantum number Mj, the quadratic effect does not affect the Zeeman splitting in the ground states of hydrogen-, lithium-, and boron-like ions. However, this effect becomes noticeable for the 2p3/2 state of boron-like ions, which can be measured by laser-microwave double resonance spectroscopy [35,37]. In addition, the quadratic effect provides a small shift of the fine-structure levels. This shift has already been taken into account to obtain the most accurate current experimental value of the fine structure transition energy in boron-like argon [38]. In helium-like ions, the intervals between the n = 2 levels can be tenths of an electron volt, which makes their mixing by the magnetic field quite strong. Thus, the second-order effect is also increasing for states with n = 2

in helium-like ions with small and medium Z. Transition energies in such ions provide an excellent tool for investigating the many-electron effects of QED and therefore attract great experimental and theoretical interest [39-48]. In addition to spectroscopy, the quadratic Zeeman effect is a notable source of systematic error in important applications such as atomic clocks [49] and magnetometers [50].

The cubic effect alters the Zeeman splitting in all states, but in hydrogen-and lithium-like ions it is negligible at the current level of accuracy. In the case of boron-like ions, the nonlinear contributions are strongly increased because of the mixing of fine structure components. Thus, theoretical results for the cubic Zeeman effect obtained by our group [51] have already been used in an experiment for the boron-like argon ALPHATRAP [13]. In ions with closed shells, such as helium-like ions, the third-order effect is zero, as is the linear effect.

Hyperfine splitting in highly charged ions is also a powerful tool for testing QED in bound states in the presence of strong electric and magnetic nuclear fields. In order to reduce the error caused by the Bohr-Weisskopf effect (nuclear magnetization distribution) and to access QED contributions, it was proposed to use a specific difference for hydrogen- and lithium-like ions [52]. Theoretical calculations involving a rigorous calculation of the two-electron QED diagrams — the screened self-energy, vacuum polarization, and two-photon exchange — allowed us to obtain the most accurate up-to-date value of the specific difference for lithium- and hydrogen-like bismuth [53-56]. Later, hyperfine splitting in lithiumlike bismuth was measured experimentally [57-59]. However, the value obtained was significantly different from the theoretical predictions [60]. This disagreement was resolved by redefining the nuclear magnetic moment of bismuth-209 by reconsidering the nuclear magnetic shielding coefficient and re-measured by NMR (nuclear magnetic resonance method) [61]. This result has called into question the accuracy of the tabulated values of the magnetic moments of the nuclei obtained by NMR. The recently obtained new value for 207Pb [62] is in strong disagreement with the tabulated value.

Precise measurements of the factor in ions with non-zero nuclear spin and corresponding theoretical calculations can provide a highly accurate determination of the nuclear magnetic moments. A corresponding method was proposed in [63] and developed in [37]. Its implementation requires theoretical calculations of

the electron g factor and the hyperfine-interaction correction, which can also be defined as the nuclear magnetic shielding constant.

In systems with closed shells, such as helium-like ions in the ground state, the magnetic moment of the system is completely determined by the magnetic moment of the nucleus, taking into account the shielding. Despite certain experimental difficulties, this allows direct access to the nuclear magnetic moment in high-precision measurements in the Penning trap. This requires theoretical calculations of the nuclear magnetic shielding constant for such systems. This constant was obtained in our work [64] for the ground state of helium-like ions.

A comparison of high-precision theoretical and experimental values of the g factor of multicharged ions opens up great possibilities, including the study of the properties of nuclei. In addition to determining magnetic moments, it is possible to determine the probabilities of nuclear transitions. However, this possibility is related to the exceptionally low excitation energy of the nucleus, which has been found in thorium-229. The connection between the electronic g factor and the nuclear magnetic dipole transition is provided by the hyperfine interaction. As a result, two states of an atom with the same total momentum, where the nucleus is in the ground state and in the isomeric state, are mixed with each other. This effect is called nuclear hyperfine mixing. It has so far been observed in muonic atoms [65-67] but not in ordinary atoms. The thorium-229 nucleus has an isomeric state (229mTh) with an unprecedentedly low excitation energy, on the order of 8 eV [68,69], whereas typical energies for nuclei are at least hundreds of keV. The effect of hyperfine mixing is inversely proportional to the excitation energy, thus thorium-229 is a unique system for observing this effect. Mixing of states leads to a -factor correction, which is proportional to the square of the matrix element of the magnetic dipole nuclear transition between the ground and isomeric states. In our paper [70] it was shown that in this way the value of the transition amplitude can be obtained from a highly accurate measurement of the factor of the ground state of hydrogen-like thorium-229 with a few percent accuracy. Consideration of the lithium- and boron-like ions will allow additional determination of the magnetic moments of the ground and isomeric states of the nucleus. In addition, these ions are more accessible from the experimental point of view than hydrogen-like ions. To date, only order of magnitude estimates exist

for the amplitude of the nuclear transition in thorium [71-74]. The exact value of the probability of this transition is necessary for the practical implementation of the project of the so-called "nuclear clock", which should be at least an order of magnitude more accurate than the existing atomic clocks, due to its stability with respect to external perturbations [75-77]. All the theoretical values necessary to implement the proposed scenario are presented in [70], and the experimental determination of the g factor with the desired accuracy (10-7) is available in the near future in the ALPHATRAP experiment.

Elaboration of the topic

In the last two decades significant progress has been made in experimental and theoretical studies of the Zeeman effect in multicharged ions. The accuracy of theoretical calculations for hydrogen-like ions has now reached 10-12 — 10-6 depending on the nuclear charge [78]. The calculation error is mainly determined by two-loop quantum electrodynamic (QED) corrections [79]. To reduce the error associated with nuclear effects, it has been proposed to use the so-called specific difference of the ^-factor values of different charge states of a single isotope [32,80]. Thus, the study of not only hydrogen-, but also lithium-, and boron-like ions has become in demand for a highly accurate comparison of theory and experiment. For lithium-like ions, accuracy is currently limited by the higher-order multi-electron QED effects and reaches 10—9 — 10—6 [17,81]. The results are in agreement with highly accurate ^-factor measurements in lithium-like silicon and calcium [10-12]. The accuracy of the calculations for boron-like ions is 10—6 [36,82,83]. The theoretical results obtained are in agreement with the experimental values [13,38, 84].

Our group has calculated the quadratic [85] and cubic [86] Zeeman effects in boron-like ions in one-electron approximation, also calculations taking into account the one-photon-exchange correction within a fully relativistic approach [51] have been carried out. In particular, these results for the cubic Zeeman effect have already been used to correct the experimental -factor value of boron-like argon in the ALPHATRAP experiment, this correction being 10—9 [13]. The results for the quadratic effect were used to experimentally determine the most accurate

to-date value of the fine structure transition energy in boron-like argon [38]. The second-order Zeeman effect for the ground state of helium-like ions with small and medium Z was considered by us in [64].

Nuclear magnetic shielding for the bound electron in the 1s state and some excited states has been studied in a fully relativistic approach in [87-89]. Later, a hyperfine-interaction correction was obtained for hydrogen-like [90-92] and lithium-like ions [93]. Nonlinear effects in the magnetic field for highly charged hydrogen- and lithium-like ions, described by the Breit-Raby formula, have been considered, in particular, in Refs. [94,95]. The leading contribution to the nuclear magnetic constant for boron-like ions is discussed in our work [96]. Results for boron-like ions including a one-photon-exchange correction are presented in [97]. In boron-like ions the nuclear magnetic shielding coefficient is substantially larger than in hydrogen- and lithium-like ions, hence its influence on the g factor of the system is more significant. The nuclear magnetic screening constant for the ground state of helium-like ions was considered in our work [64].

The main goal of this thesis

The purpose of the work is to develop a numerical approach and to prepare a theoretical basis for the interpretation of the corresponding experiments. For this purpose, the following tasks have been accomplished:

1. Development of a finite-field method based on the A-DKB numerical approach [98] (dual-kinetic balance method for axially symmetric field). A parity selection procedure has been implemented to distinguish the levels when the magnetic field is turned on. The differentiation procedure necessary to obtain all required contributions to the factor has been added to the A-DKB program. The procedure for calculating the one-photon exchange and the calculation in the screening potentials has been implemented. For this purpose, the formulas for the corresponding matrix elements have been obtained.

2. The quadratic and cubic contributions to the Zeeman effect for helium-, lithium-, and boron-like ions are calculated. Calculations include the in-terelectronic interaction in the first order of perturbation theory using the

screening potential in the zero approximation. To verify the numerical procedure, the results obtained by two independent methods — by perturbation theory and the finite-field method — are compared.

3. The nuclear magnetic shielding constant for helium-, lithium-, and boronlike ions was obtained. The calculations are performed taking into account the interelectronic interaction in the first order in the screening potential. Two independent methods of calculations — the perturbation theory and the finite field method — are compared.

Scientific novelty

The most precise values of nonlinear contributions to the Zeeman effect and nuclear magnetic shielding constants for helium-, lithium-, and boron-like ions, which include the interelectronic interaction, are presented.

Perturbation theory is usually used to solve such problems. In this work, a finite-field method based on a relatively new approach to solving the Dirac equation in an axially symmetric potential [98] is applied. A development of this approach has been carried out: the calculation of the one-photon exchange with the corresponding functions and the inclusion of the screening potentials have been realized. Formulas for the matrix elements of different operators in the case of an axially symmetric field have been derived. This makes it possible to simplify the calculations of high-order contributions in comparison to perturbation theory, where it is necessary to consider a large number of diagrams.

Theoretical and practical significance

The most precise so far values for the quadratic and cubic contributions to the Zeeman effect in helium-, lithium-, and boron-like systems have been obtained. These results are important for the interpretation of experiments on the high-precision determination of the g factor of highly charged ions. Nonlinear Zeeman effects are important in astrophysics, this is due to the presence of a strong magnetic field in stellar objects [99-101]. They also have significance for atomic clocks, magnetometers, and other high-precision experimental facilities as

a source of systematic shifts [49,50,102,103]. Much fewer theoretical calculations are available for the cubic effect than for the quadratic one. However, the results obtained by our group [51] have already been used to correct the experimental value of the g factor of boron-like argon in the ALPHATRAP experiment, this correction being 10—9 [13].

The most accurate results to date for the nuclear magnetic shielding constant have also been obtained. Theoretical studies of the factor of ions with nonzero nuclear spin, together with experimental studies, allow us to determine the magnetic moments of nuclei with an accuracy exceeding the accuracy of NMR. Closed-shell ions, such as helium-like ions, allow direct access to the nuclear magnetic moment when measuring Zeeman splitting in such systems.

The simultaneous study of hydrogen-, lithium-, and boron-like ions for a single isotope reduces the error associated with nuclear effects when considering specific differences [80].

Research Methodology and Methods

All calculations in this work are performed within two independent approaches — perturbation theory and finite-field method. In both methods we use a finite basis set constructed within the dual kinetic balance (DKB) [98,104] approach. In the finite field method, the axially symmetric magnetic field and hyperfine interaction are included in the Dirac Hamiltonian. The results obtained using both methods are in good agreement, confirming the correctness of the numerical procedure. In addition, the calculations performed for simpler systems are compared with previously published results obtained by independent methods.

The relativistic units (h = 1, me = 1, c = 1) and the Heaviside units of charge (a = e 2/(4^),e < 0) are used, in some formulas me is written out explicitly for clarity.

Thesis statements to be defended:

1. Based on the solution of the Dirac equation for an axially symmetric potential in a finite basis set with the imposition of the dual kinetic balance conditions, a finite field method is developed for finding to obtain various

contributions to the Zeeman splitting in few-electron highly charged ions, including the nonlinear magnetic field contributions up to third order, as well as the ^-factor hyperfine-interaction correction.

2. To account for the interelectronic interaction, calculation of the first-order correction (one-photon exchange diagrams) with wave functions obtained in an axially symmetric potential (for a finite external field) and the inclusion of an effective screening potential in the zero-approximation Hamiltonian have been implemented.

3. The quadratic and cubic contributions to the Zeeman splitting in hydrogen-, helium-, lithium-, and boron-like ions are calculated. The effects of interelec-tronic interaction are taken into account in the first order of perturbation theory, with the inclusion of various screening potentials. For boron-like ions, where nonlinear effects make a particularly large contribution and have been already taken into account in recent experiments, the most precise theoretical values to date are obtained in the range Z = 8 — 82.

4. The nuclear magnetic shielding constant ( -factor hyperfine-interaction correction) in hydrogen-, helium-, lithium- and boron-like ions, taking into account the interelectronic interaction in the first order of perturbation theory, with different screening potentials is calculated. For lithium- and boron-like ions, the most accurate theoretical values to date are obtained in the range Z = 8 — 90. These results can serve as a theoretical basis for determining the nuclear magnetic moments from highly accurate -factor measurements of ions with nonzero nuclear spin.

Structure of the thesis

The thesis consists of the introduction, 6 chapters, conclusion, the list of abbreviations and designations, and the list of references. The work includes 91 pages, 10 figures, and 16 tables, the list of references contains 136 titles.

• In Introduction the relevance of the research topic, its elaboration, the purpose and main objectives of the research, its novelty, significance and

research methods are described. The provisions of the thesis are formulated and the approbation of the work is presented.

• In Chapter 1 the Zeeman effect is considered, nonlinear contributions to it are discussed. Calculation methods and the significance of the quadratic and cubic contributions are discussed.

• In Chapter 2 the theory of hyperfine splitting is given.

• In Chapter 3 the Zeeman splitting in ions with nonzero nuclear spin is discussed. The theory is given and the method for determining the nuclear g factor is discussed. Methods for calculating the nuclear magnetic shielding constant are described.

• In Chapter 4, many-electron systems are considered. The interelectronic interaction in systems with one valence electron and in systems with closed shells is discussed. Formulas for calculations by perturbation theory and the finite-field method are given.

• In Chapter 5, numerical approaches to solving the considered problems are discussed. The dual-kinetic-balance method and its extension to systems with axial symmetry are considered. Formulas for matrix elements are given, and the problems of numerical differentiation are discussed.

• In Chapter 6, results are given for nonlinear contributions to the g factor and nuclear magnetic shielding constants for helium-, lithium-, and boronlike ions. All the presented results take into account the interelectronic interaction. The results obtained by independent methods are compared.

• The Conclusion describes the main results and findings obtained in this thesis.

Personal contribution of the author

All the main findings submitted for the defense were obtained personally by the applicant.

Approbation of the research

The results and statements of the thesis were reported and discussed at the following scientific conferences:

• 18th International Conference Physics of Highly Charged Ions (HCI-2016), Kielce, Poland, September 11-16, 2016.

• 13th Topical Workshop of the Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration (SPARC-2016), Krakow, Poland, September 16-20, 2016.

• International Student Conference "Science and Progress", Peterhof, St. Petersburg, Russia, October 17-21, 2016.

• The 51st Winter School, organized by the St. Petersburg Kurchatov Institute of Nuclear Physics, Russia. B. P. Konstantinov NRC "Kurchatov Institute", February 27 - March 4, 2017, Roshchino, Leningrad region, Russia

• Summer school: Search for New Physics with Low-Energy Precision Tests (University of Groningen Summer Schools), Ameland Island, Netherlands, June 11-17, 2017.

• Fifth International FAIR School, Castiglione della Pescaia, Italy, September 3-10, 2017.

• 14th Topical Workshop of the Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration (SPARC-2017), Caen, France, September 11-14, 2017.

• International Conference on Precision Physics and Fundamental Physical Constants (FFK-2017), Warsaw, Poland, May 15-19, 2017.

• SPARC Topical Workshop (SPARC-2019),Jena, Germany, September 9-13, 2019.

• SPARC Topical Workshop (SPARC-2020), online, September 14-16, 2020.

• SPARC Topical Workshop (SPARC-2021), online, September 6-9, 2021.

In addition, the results were reported at the meetings of the Division of Quantum Mechanics, Department of Physics, Saint-Petersburg State University.

The results obtained within this research were presented in 6 articles in the peer-reviewed scientific journals recommended by the Higher Attestation Commission of the Russian Federation and/or included in the RSCI, Web of Science and Scopus databases:

• A. M. Volchkova, A. S. Varentsova, N. A. Zubova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Nuclear magnetic shielding in boronlike ions, Nucl. Instum. Methods Phys. Res. B 408 (2017) 89.

• V. A. Agababaev, A. M. Volchkova, A. S. Varentsova, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Quadratic Zeeman effect in boronlike argon, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B 408 (2017) 70.

• A. S. Varentsova, V. A. Agababaev, A. M. Volchkova, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev and G. Plunien, Third-order Zeeman effect in highly charged ions, Nucl. Instum. Methods Phys. Res. B 408 (2017) 80.

• A. S. Varentsova, V. A. Agababaev, D. A. Glazov, A. M. Volchkova, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Interelectronic-interaction contribution to the nonlinear Zeeman effect in boronlike ions, Phys. Rev. A 97 (2018) 043402.

• A. M. Volchkova, D. A. Glazov, V. M. Shabaev Nuclear magnetic shielding in highly charged ions, Opt. Spectrosk. 129 (2021) 1477.

• V. M. Shabaev, D. A. Glazov, A. M. Ryzhkov, C. Brandau, G. Plunien, W. Quint, A. M. Volchkova, and D. V. Zinenko, Ground-state g factor of highly charged 229 Th ions: an access to the Ml transition probability between the isomeric and ground nuclear states, Phys. Rev. Lett. 128 (2022) 043001.

Zeeman effect

When an ion is placed in an external magnetic field, energy level splitting occurs — the degeneracy by the quantum magnetic number Mj is removed — this is called a Zeeman splitting. Figure 1.1 shows an example of such splitting for a boron-like ion. Nonrelativistic level 2p corresponds to two levels of fine structure —

M = +3/2

2 P

j = 3/2

M = +1/2

■-,.M = -1/2

\M = -3/2

AEF

J = 1/2

M = +1/2 ... M = -1/2

B

B2

B3

fine structure

Zeeman splitting

Figure 1.1: Schematic representation of Zeeman fine structure level splitting in a boron-like ion (not to scale).

2p 1 and 2p3, which, in the presence of magnetic field, split into two and four levels, respectively. Figure shows shifts of levels in the first, second, and third order in magnetic field (schematically, without observing the scale). Closely located levels of the fine structure are mixed by the magnetic field. As a consequence, nonlinear effects have a noticeable influence on level shifts in boron-like ions. This explains the interest in the study of nonlinear effects.

To describe the Zeeman effect, we will start with the Dirac equation for the

electron in the field of the nucleus. We write it down for the one-particle wave function |a) and its corresponding energy Ea:

[(a • p) + ß + Kud(r)] И = Ea|a) . (1.1)

Here a, ß are Dirac matrices, Vnuci(r) is the nuclear potential. The interaction with the external magnetic field is determined by the operator:

#magn = MöB[r x a] . (1.2)

Here ßö is the Bohr magneton, B is the external magnetic field. Let's direct the axis along the magnetic field and introduce the following notations:

#magn = XU, Л = ßöB, U = [r x a]z.

X — the dimensionless (in relativistic units) parameter of perturbation, U — the magnetic interaction operator. The Dirac equation for the perturbed wave function |a) and the corresponding energy Ea:

(a • p) + ß + Kuci(r) + XU] |o) = Ea|o) . (1.3)

For small X the energy E^ can be expanded into a series:

Ea = Ea + AE(1) + AE(2) + AE(3) + ...

= Ea + Xg(1) + X2^(2) + X3^(3) + ... . (1.4)

The corresponding contributions can be obtained by perturbation theory as follows. The first-order magnetic field contribution is calculated as a diagonal element of the U operator:

£(1) = (a\U И (1.5)

The coefficient g(1) is related to the g factor by the following relation g(1) = gMj. Various corrections to the ^-factor value, which is obtained from Eq. (1.5) due to interelectronic interactions, QED and nuclear effects have been considered in many publications, for the recent reviews, see [1,14], for example.

,(2)

7(3)

Figure 1.2: Feynman diagrams for the coefficients g(2), g(3). The double line denotes the bound electron, the triangle denotes the interaction with the external magnetic field.

The second-order contribution is calculated as the sum over the spectrum:

Î2) _ v-' (a|U|n)(n|U1 a) g ^ E - E

Ea En

(1.6)

The coefficient g(2 has the following symmetry g(2\—Mj) = g(2)( Mj). Thus, the quadratic Zeeman effect does not change the splitting for the level with j = 1/2 — levels with opposite projections have the same shift. As a consequence, it is not observed in measurements of the factor of the ground state in hydrogen-like and lithium-like ions. For boron-like ions, first, there is a different level shift for states with projections Mj = 1/2 and Mj = 3/2 and can be observed for the 2p3/2 state. Second, the quadratic effect provides a small correction to the fine structure splitting. In connection with the ARTEMIS experiment at GSI, the second-order effect was estimated for boron-like argon [35,36]. In our work [85] the one-photon exchange and one-loop QED corrections were calculated to find g(2) with 2% accuracy for Z = 18. Also the results for g(2) in the range Z = 6 — 92 taking into account the interelectronic interaction are presented in our paper [51].

The expression for the third-order contribution is written in the following form:

g(3) _ (a\Ulni)(nil^In2)(n2\u|a)

ni,n2

( Ea — Eni )(Ea — En2 )

(a\U ln)(nlU |a) (Ea — En)2

(a|U |a) (1.7)

In the case of the coefficient, the symmetry relation reads: g(3\—Mj) = —g(3\Mj). In boron-like ions, this term contributes noticeably to the splitting of both 2 levels. In terms of measuring the Zeeman splitting, it can be seen

as a correction to the g factor, quadratically dependent on the magnetic field. For the g factor of the state in boron-like argon 2p^2 it gives a contribution of

3 x 10-9, for the 2p3/2 state--3 x 10-9 in a magnetic field of 7 tesla (under

ARTEMIS experiment conditions). g(3) also contributes to the Zeeman splitting of hydrogen- and lithium-like ions, but this contribution is much smaller. Our paper [86] presents results for the g(3) coefficient for the 1 s, 2 s, 2p^2 states, the interelectronic interaction was accounted for by screening potentials. In [51] the calculations for the states 2p^2 and 2p3/2 are presented, the results include one-photon exchange and higher-order accounting using screening potentials.

The contributions to the Zeeman splitting can be considered both by perturbation theory (formulas (1.5), (1.6), (1.7))and by including the interaction with the magnetic field in the zero approximation Hamiltonian. Within the finite field method, we obtain the energies and wave functions corresponding to the Hamilto-nian in equation (1.3). Then from the expansion (1.4) we see that the coefficients #(1), #(2), #(3) and corrections for various effects to them can be found by differentiating over A at A = 0:

g(1) = gMj =

m

OA

A=0

(1.8)

(2) = 1

10 2e?,

=

2 OA2

(3) = 1

=

6 OA3

10 3E,

A=0

A=0

(1.9)

(1.10)

Hyperfine splitting

Hyperfine splitting of levels occurs as a result of the interaction of the electron with the magnetic dipole moment or the electric quadrupole moment of the nucleus. In this interaction, the total angular momenta of the electron and the nucleus I are not conserved; only the total ion momentum F = I + j is conserved. Thus, the level of the electron with angular momentum splits into sublevels corresponding to possible values of the ion's total momentum:

F = j + + I - 1,..., U-II . (2.1)

Further discussion in this chapter is based on the work of [105]. Consider a hydrogen-like ion, the Hamiltonian of such a system can be written in the form:

r(«0 , TT(e)

H = H0r ) + H0e) + Hhfs , (2.2)

where H0n) — Hamiltonian of the nucleus:

2

HSn) = ^^ . (2.3)

0 2M v J

The nucleus is considered as a nonrelativistic particle with mass M. Further we assume M ^ to. H0e) — Hamiltonian of the electron in the field of the nucleus:

H0e) = (a • p) + + Kuci(r) , (2.4)

HHFS — Hamiltonian of the interaction of the electron with the magnetic moment of the nucleus (hyperfine interaction):

¿HFS = £, (2.5)

2n r3

^ — the magnetic moment operator of the nucleus. The shift of levels in the hyperfine splitting, which depends on the total momentum F:

A E^ = <A|#hfs^> , (2.6)

where |W> is the atomic wave function corresponding to the full momentum F and its projection Mp. Such a function is a linear combination of the products of the electron and nuclear wave functions:

W = Y.°pMrJiM>\]m> . (2.7)

Mm

Here \ jm> is the electron wave function with total momentum j and its projection m, \IM> is the nuclear wave function with total momentum I and its projection M, C^Mm are the Clebsch-Gordan coefficients.

Now the value of the hyperfine magnetic splitting can be rewritten in the following form:

AE<-' = ^ £ C^C^,,(IM'WM)0'm'\^\jm) . (2.8)

MmM 'm'

2n IM'jm' IMjm\ / \J M f3

Using the Wigner-Eckart theorem, the matrix elements can be rewritten in the following form:

( IM'lß\IM) = (I)(IM'\I\IM) , (2.9)

[r X tt]

(im'~3— \im) = ^{j)(jm'\]\jm) . (2.10)

The coefficients 7N(I) and 7e(j) are independent of M, M', m, m'. By introducing the notation:

ß = (I Iß\II) , (2.11)

we obtain

7n = (2.12)

Here j is the magnetic moment of the nucleus, usually given in Tables in terms of nuclear magnetons jN = |e|ft/(2mpc), mp is the mass of the proton. Now we

can rewrite A EM:

A E" = 10 J^(J)(AI(I • j)A = i027%(J) [F(F + 1) - ^ + 1) - J( J + 1)] •

(2.13)

To obtain the latter expression, the identity (I • j) = 1/2(F2 -12 - j2) was used. The multiplier 7e(j) can be represented as:

7.U) = ^^1/2> =2(,1/2|[r x a№/2> . (2.14)

This matrix element can be obtained analytically in the case of a point nucleus. The final expression for the level shift in the hyperfine splitting:

A = J0J [F(F + P - /(/ + l) - + A(aZ) , (2,5)

M n3 n 2Ij(j +1)(2/ +1) v 1 ;

where A(aZ) is the relativistic factor. For a point nucleus the relativistic factor A(aZ) can be calculated analytically:

, x n3(2/ + 1)k \2kh + nr) -Nl

A(aZ>= ( Nw_ 1)' • (2.16)

k = (- 1)^+/+1/2(ji + 1/2) — relativistic angular quantum number, nr = n - |k| — radial quantum number, 7 = y7k2 - (aZ)2, N = \Jn?r. + 2nr7 + k2.

A E =J0J k (aZ)3(2k(7 + nr) -N) rF(F + 1) ,(, + 1) ,(, + 1)i

A E = 207W+T)-N47(472 - 1)- [F(F + 1) - 1(1 +1) - j(j + 1)J ,

(2.17)

The denominator of the formula (2.17) contains a factor 2 7 - 1 which is zero at Z « 118. This indicates that for large values of Z the point-nucleus approximation is not applicable. The most important correction is a correction for the distribution of the electric charge over the nucleus. It can be accounted for by

solving the Dirac equation with a finite nucleus and calculating the matrix element (2.14) with the corresponding wave functions. The Bohr-Weisskopf correction (the distribution of nuclear magnetism) is also important. This effect can be taken into account when choosing this or that microscopic model of the nucleus. In addition, it is necessary to take into account the quantum-electrodynamic corrections due to the interaction of the electron with the electron-positron vacuum and vacuum fluctuations of the quantum electro-magnetic field. Taking into account these corrections, the hyperfine splitting can be represented in the following form:

AE = a(aZ)3 ^ F(F + 1) - 1(1 + 1) - j(j + 1) m n3 ^Nmp 2Ij(j + 1)(2l + 1)

x [A(aZ)(1 - 6)(1 - e) + ^rad] , (2.18)

where is a correction for the charge distribution over the nucleus, is a correction for the Bohr-Weisskopf effect, and xrad is a quantum electrodynamic correction. For many-electron systems, it is also necessary to consider corrections for inter-electronic interaction. For systems with a single valence electron, such as lithium-and boron-like ions, we can write:

AE = a(aZ)3 m 1 F(F + 1) - 1(1 + 1) - j(j + 1)

m 3

3

n3 MNmp 2Ij(j + 1)(2l + 1)

x

A(aZ)(1 - 6)(1 - e) + 1b(aZ) + ^C(Z, ®Z) + ^rad

(2.19)

The function B(aZ) determines the interelectronic-interaction correction of the first order, the function C(Z,aZ) — of the second and higher orders.

Hyperfine splitting is of great interest to study. Such studies can be used to test nuclear models, QED in strong electric and magnetic fields, and also in astrophysics. In order to reduce the uncertainty due to nuclear effects, it was proposed to consider a specific difference of two charge states, e.g., hydrogen- and lithium-like ions of the same isotope [52]. Subsequent theoretical studies have developed over the past two decades [106-118]. Recently accomplished measurement has lead to the so-called "Hyperfine puzzle" [60] — disagreement between theoretical [53-56] and experimental [57-59] data for lithium-like bismuth. This problem was solved by revising the uncertainty in the tabulated value of the nu-

clear magnetic moment obtained by NMR [61]. In this regard, there was a need for an alternative method for determining the nuclear magnetic moments. Such a method could be a study of the factor of highly charged ions with nonzero nuclear spin [37,63].

Zeeman splitting in ions with nonzero nuclear spin

The study of Zeeman splitting of the hyperfine levels can be used to determine nuclear magnetic moments. A corresponding method has been proposed in [63] and developed in [37]. Its implementation, in addition to precision measurements, requires accurate theoretical predictions within quantum electrodynamics (QED) for the g factor of the electron and the hyperfine-interaction correction to it.

Consider hyperfine splitting in the presence of a magnetic field. Let there be an ion with one electron on top of closed shells and a nonzero nuclear spin . The energy levels with electron angular momentum J are split depending on the magnitude of the total angular momentum of the system, F = J + I. In the presence of the external magnetic field B directed along the z axis, the energy level of the ground state of the ion is split according to the z-projection MF of the total angular momentum F. Assuming that the Zeeman splitting is much smaller than the hyperfine splitting, the former can be written as

A Emag = gFj0BMF . (3.1)

Then the total factor of the system is (J • F> m (I • F>

9f = 9J~F>- - m;91 ~JF2y + 69hfs(^)(f) + S9HFS(Q)(F) , (3.2)

where

(J • F> = 1[F(F + 1) + J(J + 1) - /(/ + 1)] (I • F> = 1[F (F + 1) + /(/ + 1) -J (J + 1)] (F2> = F(F + 1) .

Here, gj is the electronic g factor, gj is the nuclear g factor related to the nuclear magnetic moment as f = gjfNF The expression (3.2) can also be written in the form

(J ■ F) n me (I ■ F) 9f = SJlTpvy — (1 - a) — 9J + $9hfs(q){F) , (3.3)

where a is called the nuclear magnetic shielding constant, 6gHFS(Q)(F) — quadrupole corrections. Quadrupole corrections are not considered further in this thesis. The relation between the hyperfine-interaction correction 5gHFS(¡) and a is as follows:

— (I ■ F)

^HFS(¡) = a — gj • (3.4)

Since the nuclear magnetic moment is related to the g factor of the nucleus (f = gjfNI), to find it, it is sufficient to determine the nuclear g factor gj. A scheme of the corresponding experiment is presented in [37]. The nuclear g factor can be represented as: