Действие нелинейных гравитационных волн на релятивистскую магнитоактивную плазму тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Агафонов, Александр Алексеевич

• Агафонов, Александр Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Агафонов, Александр Алексеевич

Введение

1 Теоретические модели взаимодействия гравитационных волн со средой

§1.1 Метрика гравитационной волны.

§1.2 Обзор теоретических моделей взаимодействия гравитационных волн со средой.

§1.3 Самосогласованные уравнения релятивистской магнитной гидродинамики в гравитационном поле.

§1.4 Кинетическое обоснование гидродинамической модели гравимагнитных ударных волн.

2 Взаимодействие сильной гравитационной волны смешанной поляризации с магнитоактивной плазмой

§2.1 Описание модели взаимодействия гравитационной волны с магнитоактивной плазмой.

§2.2 Нахождение векторного потенциала электромагнитного поля в метрике ПГВ

§2.3 Интегралы движения

§2.4 Случай баротропного уравнения состояния анизотропной плазмы

§2.5 Вывод уравнения энергобаланса для гравитационной волны смешанной поляризации.^

3 Исследование электромагнитного отклика магнитоактивной плазмы на гравитационную волну

§3.1 Математическая модель движения магнитоактивной плазмы в поле гравитационной волны.

§3.2 Исследование уравнения энергобаланса в пакете МаШета^са

§3.3 Влияние неоднородности плазмы на эффективность гравимагнитных ударных волн.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Действие нелинейных гравитационных волн на релятивистскую магнитоактивную плазму»

Взаимодействие гравитационных волн с плазмой является важным направлением исследования программы поиска гравитационных волн. Как показали предыдущие исследования ([13, 12, 16]), проведенные в казанской школе гравитации, плазма эффективно откликается на гравитационную волну, причем максимальный эффект достигается для релятивистских плазмоподобных систем при достаточно высокой степени анизотропии в плоскости гравитационной волны. Это привело к необходимости исследования поведения магнито-активной плазмы в сильных магнитных полях, которые являются естественным инструментом создания сильной анизотропии в релятивистской плазме. В таких полях ленгмюровские частоты электронов гораздо больше частот гравитационного излучения от астрофизических источников, что обеспечивает «вмороженность» магнитного поля в плазму, и приводит к её движению как единому целому. Плазма с такими свойствами и называется магнитоак-тивной. С другой стороны степень вмороженности магнитного поля в плазму является критерием применимости гидродинамической модели описания релятивистской плазмы в гравитационных полях, существенной особенностью которой является коллективный характер отклика плазмы на внешнее воздействие и связанная с ним нелинейность.

В работе [16] на основе уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла были сформулированы уравнения релятивистской магнитной гидродинамики магнитоактивной плазмы в произвольном гравитационном поле и в случае плоской гравитационной волны с поляризацией е+ был найден класс точных решений, содержащий физическую сингулярность на некоторой волновой поверхности, на которой инвариантные физические характеристики плазмы сингулярны. Этот класс был назван гравимагнитными ударными волнами. Для устранения сингулярности была сформулирована модель энергобаланса на основе сохранения полного импульса системы «гравитационная волна + магнитоактивная плазма». Таким образом в цитированных работах на основе уравнения энергобаланса были получены некоторые оценочные результаты о поведении магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны, но систематического исследования уравнения энергобаланса проведено не было вследствие обнаруженных трудностей его численного интегрирования, связанных с его «жесткостью» [87, 88].

Далее было показано [17], что гравимагнитные ударные волны в магнитосферах пульсаров могут являться высокоэффективным детектором гравитационного излучения нейтронных звезд. В частности, наблюдательным проявлением перекачки энергии гравитационной волны в энергию гравимаг-нитной ударной волны могут являться гигантские импульсы, наблюдаемые в излучении ряда пульсаров [76, 77, 78].

Возможность использования механизма гравимагнитных ударных волн в магнитосферах нейтронных звезд в качестве эффективного детектора гравитационного излучения приводит к необходимости построения более полной модели взаимодействия гравитационных волн с плазмой и исследования электромагнитного отклика плазмы на гравитационную волну. Кроме того, класс полученных точных решений не учитывает возможность наличия гравитационной волны смешанной поляризации, поэтому для построения более полной модели электромагнитного отклика плазмы на гравитационную волну необходимо учесть этот фактор.

Целью работы является получение точных решений самосогласованной системы уравнений релятивистской магнитной гидродинамики для магнатоактивной плазмы на фоне плоской гравитационной волны смешанной поляризации; формулировка математической модели отклика магнитоактивной плазмы на гравитационную волну; численное моделирование и анализ физических характеристик магнитотормозного отклика магнитоактивной плазмы на гравитационную волну.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:

1. Получить точное решение самосогласованной системы уравнений релятивистской магнитной гидродинамики для анизотропной плазмы на фоне метрики Бонди-Пирани-Робинсона;

2. Получить класс точных решений самосогласованной системы уравнений релятивистской магнитной гидродинамики для анизотропной плазмы на фоне метрики Бонди-Пирани-Робинсона смешанной поляризации.

3. Обобщить уравнение энергобалансана на случай плоской гравитационной волны смешанной поляризации и провести численное исследование решения уравнения энергобаланса.

4. Исследовать физические характеристики электромагнитного отклика однородной магнитоактивной плазмы на гравитационную волну.

5. Оценить влияние астрофизических факторов на магнитотормозное излучение плазмы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Класс точных решений задачи Коши самосогласованной по электромагнитному полю системы уравнений релятивистской магнитной гидродинамики для анизотропной магнитоактивной плазмы на фоне плоской гравитационной волны смешанной поляризации.

2. Математическая модель физических характеристик магнитоактивной плазмы в сильной гравитационной волне и установление факта отсутствия влияния поляризации ех гравитационной волны на динамику плазмы в линейном по амплитуде гравитационной волны приближении.

3. Численная модель нелинейного электромагнитного отклика магнитоак-тивной плазмы на сильную гравитационную волну.

4. Оценка влияния астрофизических факторов на электромагнитный отклик магнитоактивной плазмы на гравитационную волну.

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры геометрии и математического моделирования ТТГПУ, а также апробировались на Российских и международных конференциях и семинарах:

• 13-ой Российской гравитационной конференции - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. РУДН, Москва, 2008г.;

• Седьмой молодежной научной школе - конференции «Лобачевские чтения - 2008». КГУ, Казань, 2008г.;

• Н-ой Российской летней школы-семинары: «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии СНАСОБ - 2009», Казань - Яльчик, 2009г.;

• 10-й международной конференции Системы компьютерной математики и их приложения. СмолГУ, Смоленск, 2009г.;

• Восьмой молодежной научной школы - конференции «Лобачевские чтения - 2009». КГУ, Казань, 2009г.;

• 11-й международной конференции Системы компьютерной математики и их приложения. СмолГУ, Смоленск, 2010г.;

• Международной конференции «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики». РУДН, Москва, 2010г.;

• Российском семинаре «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии». Казань - Яльчик, 2010г.;

По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе - 3 статьи в международных и Российских журналах из списка ВАК, 3 статьи в сборниках научных работ, 6 тезисов докладов на международных и Российских конференциях.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы, включающего 97 наименований. Полный объем работы составляет 109 страниц.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Агафонов, Александр Алексеевич

Основные результаты диссертации:

1. Обобщены известные точные решения полной самосогласованной системы уравнений релятивистской магнитной гидродинамики для анизотропной магнитоактивной плазмы на случай плоской гравитационной волны смешанной поляризации.

2. Обобщено уравнение энергобаланса на случай плоской гравитационной волны смешанной поляризации. Показано, что в линейном приближении по малости амплитуд гравитационной волны поляризация ех не взаимодействует с плазмой.

3. Построены программные процедуры в системе компьютерной математики, обеспечивающие исследование численных моделей нелинейного электромагнитного отклика магнитоактивной плазмы на гравитационную волну, на основе которых проведено численное исследование решения уравнения энергобаланса и найдена область параметров существования гравимагнитных ударных волн.

4. На основе численного моделирования проведено исследование физических характеристик электромагнитного отклика однородной магнитоак-тивной плазмы на гравитационную волну. Подтвержден результат аналитического исследования об одиночном характере импульса электромагнитного отклика. Показано, что полуширина импульса заключена в пределах от 1/8 до 1/4 периода гравитационной волны. Проведено исследование влияния астрофизических факторов на электромагнитный отклик магнитоактивной плазмы.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Юрию Геннадьевичу Игнатьеву за неоценимую помощь в постановке задач, организацию теоретических исследований, действенную помощь при обсуждении результатов и ценные советы.

Заключение

Степень обоснования результатов диссертации обусловлена корректностью построения математической модели действия нелинейных гравитационных волн на магнитоактивную плазму с применением современных теоретических методов теории поля и тензорного анализа; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; применением современных апробированных методов численного интегрирования в системе компьютерной математики; корректным воспроизведением известных ранее результатов из более общих результатов, полученных в диссертационной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Агафонов, Александр Алексеевич, 2011 год

1. Игнатьев Ю.Г. О статистической динамике ансамбля частиц в ОТО // Гравитация и теория относительности / Под ред. Кайгородова В.Р.Казань: изд-во КГУ,- 1978.- вып. 14,- С.90-107.

2. Игнатьев Ю.Г. Статистическая динамика ансамбля классических частиц в гравитационном поле // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань: изд-во КГУ,- 1983.- вып.20.-С.50-109.

3. Игнатьев Ю.Г. Уравнения магнитной гидродинамики в гравитационном поле и возбуждение магнитогидродинамических ударных волн гравитационной волной // Журнал экспериментальной и теоретической физики,- 1981,- Т.81.- С. 12-20.

4. Балакин A.B., Игнатьев Ю.Г. Нелинейные гравитационные волны в плазме // Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1981.- т.24.- № 7.- С.20-24.

5. Игнатьев Ю.Г. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе // Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1974.- т.12.- С.136-142.

6. Игнатьев Ю.Г., Фазлеева А.З. Столkiговительнос затухание гравитационных волн в ультрарелятивистском газе // Укр. физ. журнал,- 1981,-т.26,- С.28-38.

7. Игнатьев Ю.Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны // Журнал экспериментальной и теоретической физики,-1981.- т.81,- С.3-12.

8. Chepkunova E.G.,Ignatyev Yu.G. Exact plane-symmetric non-stationary solution to the Einstein-Maxwell equations for a magnetoactive plasma // Gravitation and Cosmology,- 2004.- 10 (39). P.219-223.

9. Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц // Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1983.- 8 (26).- С.2-14.

10. Игнатьев Ю.Г. Движение идеальной жидкости в поле плоской гравитационной волны //Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1982- 11 (25).- С.96-99.

11. Игнатьев Ю.Г. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния в поле плоской гравитационной волны // Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1982.- 11 (25).- С.99-102.

12. Игнатьев Ю.Г., Хуснутдинов Н.Р. Действие плоских гравитационных волн на однородную магнитоактивную плазму // Укр.физ.журн.,-1986.- т.31,- 5.- С.707-715.

13. Балакин А.Б., Игнатьев Ю.Г. Действие плоских гравитационных волн на бесстолкновительные плазмоподобные среды // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц / Под редакцией Станюковича К.П.-М.,- 1984,- 14.- С.43-62.

14. Игнатьев Ю.Г. Магнитоактивная бесстолкновительная плазма в поле длинноволнового гравитационного излучения // Укр. физ. журн.,-1984.- 7 (29).- С.1025-1029.

15. Мухамедов A.M. О свойствах симметрии заряженной жидкости в ОТО // Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1978.- 21 (11).- С.113-117.

16. Ignat'ev Yu.G. Exitation of Magnetohydrodynamic Shock Waves by a Gravitational Wave // Gravitation and Cosmology,- 1995.- 4.- P.287.

17. Ignat'ev Yu.G. Gravimagnetic shock waves and gravirational waves experiments // Gravitation and Cosmology,- 1996.- 2 (4).- P.167-174.

18. Ignat'ev Yu.G. About on the magnetohydrodynamics shock waves // Gravitation and Cosmology,- 1996.- 2(2). P. 174.

19. Yu.G. Ignat'ev, GMSW as a detector of a gravitational waves // Phys. Lett.,- 1997,- Vol.230.- P.172-178.

20. Yu.G. Ignat'ev, Kinetic model of GMSW in an anisotropic plasma // Gravitation and Cosmology,- 1997.- Vol.3.- No.4.- P.254-256.

21. Yu.G. Ignat'ev, V.A. Markov, Local GMSW response of a magnetoactive plasma to the gravitational wave // Gravitation and Cosmology,- 1998.-Vol.4.- No. l.-P. 40-48.

22. Yu.G. Ignat'ev, D. N. Gorokhov, Gravimagnetic shock waves in an anisotropic plasma // Gravitation and Cosmology,- 1997.- 3, No 4- P.261-265.

23. Ignatyev Yu.G., Agafonov A.A. Bremsstrahlung response of a homogeneous magnetoactive plasma to a gravitational wave // Gravitation and Cosmology,- 2010.- 1 (16),- P.24.

24. Агафонов A.A. Точное решение уравнений электродинамики для магни-тоактивной плазмы в метрике плоской гравитационной волны // Вестник ТГГПУ. 2010, 3 (21), С. 13-21.

25. Agathonov A.A., Ignatyev Yu.G. Exact solution of the relativistic magnetohydrodynamic equations in the background of a plane gravitational wavewith combined polarization // Gravitation and Cosmology,- 2011.- 17 (71).-P.75.

26. Агафонов А.А. Исследование нелинейных гравимагнитных ударных волн в системе компьютерной математики // Материалы Седьмой молодежной научной школы конференции «Лобачевские чтения 2008». Казань: Казап. матем. об-во, 2008, С. 10-12.

27. Агафонов A.A. Исследование модели гравимагнитных ударных волн в неоднородной плазме в пакете Mathematica. // Системы компьютерной математики и их приложения. Материалы 11-й международной конференции. Смоленск: Изд-во СмолГУ, Вып. 11, 2010, С. 4-5.

28. Игнатьев Ю.Г. Дисперсия гравитационных волн в релятивистском газе // Гравитация и теория относительности/Под ред. Кайгородова В.Р.-Казань:изд-во КГУ,- 1976.- вып.12.- С.73-94.

29. Ignat'ev Yu.G., Zakharov A.V. The reflection of gravitationalwaves in a massive particle medium // Phys. Lett.,- 1978.- 66.- P.3-4.

30. Захаров A.B.Гравитационные волны в релятивистском газе // Гравитация и теория относительности/ Под ред. Кайгородова В.Р.- Казань: изд-во КГУ,- 1979.- вып. 16.- С.37-53.

31. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982,- т.25.- 10.- С.85-89.

32. Игнатьев Ю.Г., Шуликовский В.Ю. Затухание гравитационных волн в ранней Вселенной.- Казань: изд-во КГУ,- 1984.- 11 с.

33. Chesters D. Dispersion of gravitational waves by a collisionless gas // Phys.E,ev.D, 1973. - V.7. - N 8.- P.2863-2872.

34. Игнатьев Ю.Г. Генерация гравитационных волн в релятивистском газе // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1974. т.17.- 12.- С.136-142.

35. Balakin A.B., Ignat'ev Yu.G. The effect of a gravitational wave at the contact of conductors // Phys. Lett.,- 1983.- V.96a.- P.10-11.

36. Балакин A.B. О воздействии сильной гравитационной волны на анизотропную плазму // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1982.- т.25 9.-С.48-52.

37. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика анизотропной плазмоподобной среды с затуханием в поле гравитационного излучения // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1984.-t.27,- 12.-С.70-74.

38. Игнатьев Ю.Г. Резонансная генерация плазменных колебаний плоской гравитационной волной // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1985.-t.28.-1.- С.74-77.

39. Игнатьев Ю.Г.,' Смирнов А.В. Колебания анизотропной ограниченной плазмы в поле слабой гравитационной волны // Укр. физ. журн.,- 1987.-т.32,- 6.- С.855-861.

40. Захаров А.В., Игнатьев Ю.Г. О распространении излучения в плазме, находящейся в гравитационном поле. I // Известия ВУЗов. Сер. физика,- 1976.-Т.19.- 9.-С.57-62.

41. Захаров А.В. Макроскопическая гравитация.- М.: Янус-К,2000.- 284с.

42. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория неравновесных процессов в гравитационных полях Казань: Фолиантъ, 2010.- 523с.52. де Гроот С., ван Леувен В., ван Верт X. Релятивистская кинетическая теория. Принципы и применение.- М.: Мир, 1983. 422с.

43. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле // Известия ВУЗов. Сер.физика,- 1983.- 8 (26).- С.19-23.

44. R.D. Hazeltine and S.M. Mahajan, Relativistic magnetohydrodynamics // Astrophys.J.,- 2000.- 567,- P.1262-1271.

45. M. Marklund, G. Brodin and P.K.S. Dunsby, Radio wave emissions due to gravitational radiation // Astrophys.J.,- 2000.- 536.- P.875-879.

46. G. Brodin, M. Marklund, P.K.S. Dunsby, Non-linear gravitational wave interactions with plasmas // Phys.Rev.,- 2000.- D62.- P.104.

47. Гальцов Д.В., Мелкумова Е.Ю., Кинетическая теория взаимодействия гравитационных волн с плазмой в теории относительности и гравитации. // «Гравитация и теория относительности», Казань, Издательство КГУ, 19, 1982,- с.64-72.

48. Гальцов Д.В., Грац Ю.В., Мелкумова Е.Ю., Гравитационное излучение магнитоактивной плазмы. // Украинский физ. ж., 28 (1983), с. 381-388.

49. Гальцов Д.В., Грац Ю.В., Мелкумова Е.Ю., Гравитационное излучение плазмы. Магнитотормозное излучение. // Изветия ВУЗов, серия физика, 26, 5 (1983), с.41-45.

50. Гальцов Д.В., Грац Ю.В., Мелкумова Е.Ю., Гравитационное излучение плазмы. Преобразование электромагнитных волн в гравитационные волны. // Изветия ВУЗов, серия физика, 26, 12 (1983), с.51-55.

51. Гальцов Д.В., Грац Ю.В., Петухов В.И., Гравитационное излучение электродинамических систем. Москва, Издавтельство МГУ, 1984, 128С.

52. Smith F.G. Pulsars.- Cambridge: Cambridge University Press, 1977.

53. Шкловский И.С. Звезды. Их рождение жизнь и смерть- М.: Наука, 1977.- 384с.

54. Малов И.Ф. Радиопульсары М.: Наука, 2004.- 191с.

55. Рис. М., Руффин Р., Уиллер Дж. Черные дыры, гравитационные волны и космология. Введение в современные исследования М.: Мир, 1997.-376с.

56. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд М.: Наук, 1971.- 484с.

57. Бескин B.C. Радиопульсары // УФН,- 1999,- 169 (11).- С.1169-1198.

58. Гинзбург B.JL, Железняков В.В., Зайцев В.В., Когерентные механизмы радиоизлучения и магнитные модели пульсаров // УФН,- 1968.- 98 (2).-С.201-236.

59. Гинсбург B.JI. Пульсары. Теоретические представления // УФН,- 1971.103 (3).- С.393-429.

60. Хьюиш А. Пульсары и физика высоких плотностей. Нобелевские лекции по физике 1974г. // УФН,- 1975.- 117 (2).- С.201-209.

61. Бескин B.C., Гуревич А.В., Истомин Я.И. Физика магнитосферы пудь-сара // УФН,- 1986.- 150 (2).- С.257-298.

62. Pacini F., Pirani F. // Nature,- 1968.- 219.- P.519-533.

63. N.D. Ramesh Bhat, Randall B. Wayth, Haydon S. Knight and others, Detection of Crab Giant Pulses Using the Mileura Widefield Array Low Frequency Demonstrator Field Prototype System // Astrophys.J.,- 2007.- 665-P.618-627.

64. A. V. Bilous, V. I. Kondratiev, M. V. Popov, V. A. Soglasnov, Review of overall parameters of giant radio pulses from the Crab pulsar and B1937+21 // AIP Conf.Proc.,- 2008.- 983.- P. 118-120.

65. Cognard I., Shrauner J.A., Taylor J.H., Thorsett S.E., Giant Radio Pulses from a Millisecond Pulsar // Astrophysical Journal Letters,- 1996.- 457.-P.81.

66. J.M. Cordes, N.D.R. Bhat, Т.Н. Hankins, M.A. McLaughlin, J. Kern, The Brightest Pulses in the Universe: Multifrequency Observations of the Crab Pulsar's Giant Pulses // Astrophys.J.,- 2004.- 612.- P.375-388.

67. S.A. Petrova, Nature of giant pulses in radio pulsars // Chin.J.Astron.Astrophys.,- 2006.- 6.- P.113-119.

68. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. Учеб. пособие для вузов М.: Издательство МФТИ, 2000.- 240с.

69. Мак Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ М.: Физматгиз,1963.-412с.

70. Шутц Б. Геометрические методы математической физики М.: Мир, 1984.- 304с.

71. Крамер Д., Штефани X., Мак-Коллум М., Херльт Э. Под редакцией Шмутцера Э., Точные решение уравнений Эйнштейна М.: Энергоиз-дат, 1982. - 416с.

72. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности -М.: Наука, 1966,- 496с.

73. Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна -М.: Наука, 1972.- 200с.

74. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. Сборник задач по теории относительности и гравитации,- М.: Мир, 1979.- 536с.

75. Вашков В.И. Классы точных решений уравнений Эйнштейна // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., М.: ВИНИТИ, 1976.- 14.-С.281-327. •

76. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. // Численные методы решения жестких систем М.: Наука, 1979.- 208с.

77. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений -М.: Мир, 1999.- 685с.

78. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране М.: Изд-во МГУ, 1990.- 176с.

79. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы М.: Наука, 1989.- 432с.

80. Мизнер Ч., К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. т.З М.: Мир, 1977.- 512с.

81. Bondi Н., Pirani F., Robinson I. Gravitational waves in general relativity. III. Extract plane waves // Proc. Roy. Soc. A.,- 1959.- 251.- P.519-533.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля М.: Наука, 1988.- 509с.

83. Власов А.А. Статистические функции распределения М.: Наука, 1960.-432с.

84. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации М.: Энерго-издат, 1982.- 256с.

85. J.L. Syng, Relativity: The General Theory, North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1963.

86. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения М.: Наука, 1963.- 379с.