Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мухарлямов, Руслан Камилевич

• Мухарлямов, Руслан Камилевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мухарлямов, Руслан Камилевич

Введение

1 Макроскопические уравнения Эйнштейна для гравитационно взаимодействующих частиц с разными массами

1.1 Краткий обзор

1.2 Микроскопические уравнения.

1.3 Макроскопические уравнения.

1.4 Релятивистское кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию.

1.5 Упрощение макроскопических уравнений.

2 Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла для релятивистской плазмы

2.1 Введение.

2.2 Микроскопические уравнения.'.

2.3 Усреднение микроскопических уравнений.

2.4 Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла для релятивистской плазмы.

3 Макроскопические уравнения Эйнштейна в приближении локального термодинамического равновесия

3.1 Физическая интерпретация дополнительных слагаемых макроскопических уравнений Эйнштейна и Максвелла

3.2 Ультрарелятивистское и нерелятивистское приближение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Макроскопические уравнения Эйнштейна и Максвелла»

Космология и астрофизика являются хорошо обоснованными и быстро развивающимися областями знаний. Теоретические основы современной космологии были заложены в работе Фридмана [28] и развиты в работах Гамова [29, 30], предложившего модель горячей Вселенной. Обоснованием моделей Фридмана являются наблюдения Хаббла [32] красного смещения в спектрах галактик и открытие реликтового излучения [21, 51].

В последние десятилетия для решения своих проблем космология и астрофизика привлекают все новые и новые области теоретической физики. Наибольшее прикладное значение имеет общерелятивистская кинетическая теория [35 - 44, 84, 90 - 95, 109 - 127, 131, 139, 161, 162, 164, 167, 168, 82, 16, 53 - 55].

Помимо космологических приложений релятивистская кинетика используется для решения других задач: исследование процессов взаимодействия гравитационных волн со средами [1, 2, 12, 17, 24, 27, 50, 63 - 68, 74, 78 - 80, 97, 98, 101 - 108, 150, 152, 165, 175], описание излучения гравитационных волн электродинамическими системами [78] и гравитационно - волнового эксперимента [2, 50, 56, 63, 65 - 67, 74, 79, 80, 95, 97, 103 - 105, 165, 175].

Основы релятивистской кинетической теории были заложены в 60 -е годы в работах Черникова Н. А. [13, 14, 168 - 174], Власова А. А. [77], Г. А. Таубера, Дж. Вайнберга, Р. Линдгвиста и других [25, 26, 31, 36, 38, 52, 47, 57, 82]. Построение общерелятивистской кинетической теории полностью не завершено до сих пор. Основной проблемой остается динамическое обоснование релятивистских кинетических уравнений. Можно выделить следующие работы, содержащие некоторые подходы к такому обоснованию: [37 - 40, 85, 86, 95, 124, 125, 130 - 132, 154, 158

- 160]. В работах [9, 10, 58, 45,19, 20, 167] развивается релятивистская кинетическая теория квантовых систем в искривленных пространствах. В работах [16, 53 - 55, 82] на основе релятивистской кинетики строится гидродинамика космологической плазмы. Динамический подход позволяет обосновать столкновительные члены в кинетических уравнениях и учесть множество факторов, влияющих на акт столкновения, которые невозможно рассмотреть в феноменологическом подходе. Актуальным является вопрос воздействия гравитационного поля на акт столкновения. Существуют определенные трудности при написании интеграла столкновения для системы самогравитирующих частиц, которые были отчасти решены в работах Захарова А. В. [124, 125, 130 - 132]. Динамическое обоснование в релятивистской кинетической теории сталкивается со множеством других проблем, которые обсуждались в работах Хакима, Балеску, Израэля, Кандрупа, Черникова и Игнатьева [3 - 6, 33, 34, 36 - 40, 85 - 95]. Подробный обзор этих проблем сделан в работе Хуснутдинова Н. Р. [160]. Отметим некоторые из них.

1. Невозможность сохранения в СТО ковариантности уравнений для взаимодействующих частиц ("Теорема невзаимодействия" Кюри [18]). Решение проблемы было предложено в работах группы Балеску [3

- 6] и Климонтовича [141, 142, 144]: от динамического описания поля взаимодействия частиц переходят к статистическому описанию. Поле взаимодействия между частицами рассматривается как набор осцилляторов, что приводит к полной функции распределения как частиц, так и осцилляторов поля.

2. Отсутствие в СТО и ОТО единого универсального времени. Это не дает возможности написать одно универсальное уравнение Лиувилля в 8N - мерном фазовом пространстве для системы, состоящей из N частиц. Но действие релятивистской частицы инвариантно относительно преобразования собственного времени (выбора наблюдателя). Данная инвариантность соответствует свободе выбора поля наблюдателей, или гиперповерхности в пространстве - времени, на которой задается функция распределения [9, 59]. Используя эту свободу выбора, в работах [33, 34, 36 - 40] накладывается следующее условие (условие ковариантной эволюции):

Т\ = Т2 = . . . = 7JV = Г, где Tj - собственное время % - ой частицы. В работах [22, 86] условие накладывается на координатные времена частиц U: t\ = t2 — ■ ■ ■ = tpj — t.

3. Конечность скорости распространения взаимодействия частиц, что приводит к запаздыванию взаимодействия. Вследствие этого координаты и скорость частицы в данный момент времени зависят от координат, скоростей и всех их производных остальных частиц, и состояние системы частиц уже определяется всей предысторией системы. Поставленные в данной работе задачи решаются в рамках так называемой предикативной релятивистской механики [46], в ней траектория частицы определяется только координатами и скоростями остальных частиц. Чтобы записать интеграл столкновения в кинетическом уравнении, необходимо взять интеграл от потенциала взаимодействия вдоль траекторий частиц, что представляет невыполнимую задачу. Но в данной работе процедура усреднения производится с точностью до членов второго порядка по взаимодействию. Сам интеграл столкновения, куда входит потенциал взаимодействия, пропорционален квадрату параметра взаимодействия, следовательно, траектории частиц следует рассматривать в нулевом приближении. В этом приближении, как показано, например, в [149], траектория определяется начальными координатами и скоростью частицы.

4. Расходимость интеграла столкновения на больших прицельных расстояниях для гравитационно взаимодействующих частиц. В статистической физике ири выводе кииетических уравнений используется так называемый принцип ослабления корреляций. Принцип ослабления корреляций заключается в том, что существует радиус корреляции г/^такой, что системы частиц, находящиеся на расстояниях R больших, чем радиус корреляции, статистически независимы. Последнее означает, что при R Tkor двухчастичная корреляционная функция должна достаточно быстро обращаться в нуль. Для применения этого принцииа необходимо, чтобы двухчастичная корреляционная функция достаточно быстро стремилась к нулю ири R —> оо. При наложении этих условий интеграл столкновения сходится, т. е. суммарный импульс, передаваемый всеми частицами данной, конечен.

Гравитационные и электромагнитные потенциалы убывают по закону 1 /R. Такая зависимость не приводит к сходимости интеграла столкновения. В электродинамике эта проблема решается, если учесть самосогласованное электромагнитное поле, возникает эффект экранирования. В результате потенциал взаимодействия при R —> оо имеет вид: где Rd — радиус Дебая.

В гравитации эффект экранирования отсутствует. Однако и в данном случае самосогласованное гравитационное поле приводит к нужной сходимости. В частности, это было продемонстрировано на системе гравитирующих частиц в расширяющейся Вселенной [73,123,125,131,132].

Актуальность данной работы. Как известно, макроскопические уравнения Максвелла для сред могут быть получены из микроскопических уравнений Максвелла с помощью усреднения последних по ансамблям [48, 49, 144]. Впервые эта задача была поставлена и решена Лоренцем. Хотя изначально идея макроскопического описания была сформулирована в электродинамике, она необходима во многих других областях физики, в том числе и в общей теории относительности (ОТО). Было бы естественно предположить, что макроскопические уравнения Эйнштейна можно получить путем статистического усреднения микроскопических полевых уравнений, т. е. уравнений Эйнштейна, в правой части которых стоит сумма тензоров энергии—импульса отдельных частиц, что соответствует распределению вещества в виде отдельных малых источников гравитационного поля. Однако, проблема макроскопического описания в ОТО намного сложнее, чем в электродинамике, где максвелловские микроскопические уравнения легко усредняются благодаря их линейности. Трудности заключаются в неплоской геометрии, лежащей в основе ОТО, что отражается в нелинейности уравнений Эйнштейна. Вследствие последнего факта, после усреднения левая часть уравнений Эйнштейна усложняется. Отсюда следует, что классические уравнения Эйнштейна, строго говоря, не являются макроскопическими, где в правой части этих уравнений феноменологически вводят тензор - энергии импульса для сплошной среды, что требует определенного обоснования.

В виду сложности проблемы за прошедшие годы не было предложено теоретически обоснованного перехода от микроскопического к макроскопическому описанию в ОТО, вопрос решался путем постулирования уравнений Эйнштейна заведомо с макроскопическим тензором энергии - импульса.

Тема работы является актуальной для общерелятивистской динамической кинетической теории материи и космологии.

Цель работы. Целью данной работы является разработка процедуры усреднения микроскопических уравнений Эйнштейна и Максвелла для гравитационно и электромагнитно взаимодействующих частиц с разными массами [128, 129]. Рассматриваются приложения полученных макроскопических уравнений Эйнштейна в космологии.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мухарлямов, Руслан Камилевич

Заключение

Перечислим основные результаты работы.

1. В рамках общей теории относительности получены макроскопические уравнения Эйнштейна с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию для системы гравитационно взаимодействующих частиц с разными массами. Полученные уравнения гравитационного поля для сплошных сред отличаются от классических уравнений Эйнштейна наличием дополнительных слагаемых в левой части

Vkiy,k + выраженных через интегралы по импульсному пространству от выражений, содержащих одночастичные функции распределения. Эти слагаемые обусловлены двухчастичными взаимодействиями.

Дополнительные слагаемые пропорциональны постоянной Эйнштейна в третьей степени, но также они пропорциональны плотности частиц во второй степени. Эти слагаемые, следовательно, могут, сыграть роль только в сплошных средах достаточно высокой плотности. Такие плотности возможны на ранних стадиях эволюции Вселенной, а также внутри объектов, близких к состоянию гравитационного коллапса.

2. Была обобщена макроскопическая система уравнений Эйнштейна

Максвелла для системы частиц с разными массами. В рассматриваемой системе доминирующими являются электромагнитные взаимодействия.

Макроскопические уравнения гравитационного поля для релятивистской плазмы отличаются от классических уравнений

Эйнштейна присутствием в левой части дополнительных слагаемых

Эти тензоры выражены в явном виде через одночастичные функции распределения.

Макроскопические уравнения Максвелла в общей теории относительности также оказались отличными от классических уравнений Максвелла, благодаря появлению в левой части дополнительных слагаемых

Z* = + .

Эти слагаемые обусловлены как эффектами взаимодействия, так и эффектами общей теории относительности. Они также выражаются в явном виде через одночастичные функции распределения.

Слагаемые Zij пропорциональны квадрату гравитационной постоянной Эйнштейна, но пропорциональны также квадрату плотности числа частиц. Слагаемые Z1 пропорциональны первой степени от постоянной Эйнштейна и квадрату плотности частиц. Следовательно, дополнительные слагаемые в макроскопических уравнениях Максвелла и Эйнштейна, появляющиеся при учете взаимодействия частиц, могут сыграть значительную роль только в макроскопических системах с очень высокой плотностью вещества. Такие плотности возможны на ранних стадиях эволюции Вселенной, а также в плотных объектах, близких к состоянию гравитационного коллапса.

3. Получен конкретный вид дополнительных слагаемых макроскопических полевых уравнений для среды, находящееся в состоянии локального термодинамического равновесия, и рассмотрен релятивистский и нерелятивистский пределы. Показано, что структура этих слагаемых имеет вид тензора энергии - импульса идеальной жидкости с уравнением состояния р = ё/3. Если перенести дополнительные слагаемые из левой части макроскопических уравнений Эйнштейна, то они превращаются в обычные уравнения Эйнштейна с дополнительным тензором энергии - импульса идеальной жидкости, но с отрицательной "плотностью энергии"— ё.

4. Сделаны оценки дополнительных слагаемых макроскопических уравнений Эйнштейна в мире Фридмана. На основе этих оценок обоснованы ранее построенные новые однородные и изотропные космологические модели [132]. Из этих оценок следует, что макроскопические уравнения Эйнштейна применимы в мире Фридмана при температурах излучения Т7 <С 1013 К. ■■

5. Решены макроскопические уравнения Эйнштейна для модели I типа Бианки. Наличие дополнительных слагаемых вызывает замедление изотропизации расширения модели.

6. Построена слабоизотропная и однородная космологическая модель с осевой симметрией. Исследован процесс изотропизации анизотропной модели при наличии и отсутствии космологического однородного магнитного поля для макроскопических уравнений Эйнштейна. Показано, что магнитное иоле замедляет процесс изотропизации расширения модели.

7. На основе макроскопических уравнений Эйнштейна решена задача о развитии гравитационных возмущений в плоском мире Фридмана в приближении локального термодинамического равновесия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мухарлямов, Руслан Камилевич, 2006 год

1. Asseo Е., Gerbal D., Heyvarets 1., Signore M. General - relativistic kinetic theory of waves in a massive particle mediuin//Phys. Ref. D. - 197G. - Vol. 13. - N 10. - P. 2724 - 2735

2. Balakin А. В., Ignat'ev Yu. G. Effect of a gravitational wave at the contact of conductors//Phys. Lett. A. 1983. - Vol. 96. - N1. - P. 3 - 4

3. Balescu R., Kotera T. On the covariant formulation of classical relativistic statistical mechanics//Physica. 1967. - Vol. 33 - N3. - P. 558 - 580

4. Balescu R., Kotera Т., Pina E. Lorents transformations in phase space and in physical space //Physica. 1967. - Vol. 33 - N3. - P. 581 - 594

5. Balescu R. Kinetic equations and Lorents transformation//Physica. -1968.- Vol. 38 N1. - P. 119 - 132

6. Balescu R. On some mathematical aspects of classical relativistic statistical mechanics //Bull. cl. Sci. Acad. roy. Belg. 1967. - Vol. 53 - N 9. - P. 1043 - 1069

7. Balescu R. A covariant formulation quantum statistical mechanics. 1. Phase space description of a relativistic quantum plasma//Acta Phys. Austriaca.- 1968. Vol. 28. - N 3/4. - P. 336 - 352.

8. Balescu R. A covariant formulation of relativistic quantum statistical mechanics^. The Liouville equations for a relativistic plasma//Acta Phys. Austriaca. 1969. - Vol. 29. - N 4. - P. 313 - 328.

9. Calzetta E., Ни B. L. Nonequilibrium quantum fields. Closed time - path effective action, Wigner function and Boltzmarm equations//Phys. Ref. D.- 1988. Vol. 37. - N 10. - P. 2878 - 2900

10. Calzetta E., Habib S., Ни B. L. Quantum kinetic field theory in curved spasetirne: Covariant Wigner function and Liuwille Vlasov equa-tions//Phys. Ref. D. - 1988. - Vol. 37. - N 10. - P. 2901 - 2919

11. Cattaneo C. General relativity: relative standart mass, momentum, energe and gravitational field in a general system of reference//Nuovo Cimento.- 1958. Vol. 10, - N 2. - P. 318 - 337

12. Carter В., Quintana H. Gravitational and acoustic waves in an elastic medium//Phys. Ref. D. 1977. - Vol. 16. - N 10. - P. 2928 - 2938

13. Chernicov N. A. The relativistic gas in the gravitational field//Acta Phys. Pol. 1963. - Vol. 23. - N 5. - P. 629 - 645

14. Chernicov N. A. Equilibrium distribution of the relativistic gas //Acta Phys. Pol. 1964. - Vol. 26. - N 6. - P. 1069 - 1092

15. Chernicov N. A. Equilibrium distribution of the relativistic hydrodynamics //Acta Phys. Pol. 1965. - Vol. 27. - N 6. - P. 723 - 739

16. Corona Manuel G. A hydrodynainical during the recombination era//Rev. тех. astron. у astrophis. 1987. - V. 14. - P. 52 - 57.

17. Chesters D. Dispersion of gravitational waves by a collisionless gas//Phys. Ref. D. 1973. - Vol. 7. - N 10. - P. 2863 - 2868

18. Currie D. С., Jordan I. F., Sudarshan E. C. G. Relativistic invarianse and hamiltonian theories of interacting particles//Rev. Mod. Phys. 19G3. -Vol. 35. - N2. - P. 350 - 375

19. Van Weert Ch. G., de Boer W. P. H. Relativistic kinetic theory of quantum systems. I. Wigner functions for a relativistic spin 1/2 system//Physica.- 1975. V. 81A. - N 4. - P. 597 - G12

20. De Boer W. P. H., van Weert Ch. G. Relativistic kinetic theory of quantum systems. III. Transport equation for a neutrino system //Physica. 1977.- V. 8GA. P. 67 - 79

21. Dicke R. H., Peebls P. J. E., Roll P. G., Wilkinson D. F. Cosmic blac -body radiation//Astrophys. J. 1965. - V.142. - N1. - P. 414 - 419

22. Dirac P. A. M., Foe V. A., Podolsky B. On quantum electrodynam-ics//Pliys. Zeit. Sow. 1932. - Bd. 2. - P. 468 - 479

23. Dirac P. A. M. Forms of relativistic dynamics//Rev. mod. Phys. 1949. -Vol. 21. -N3. -P. 392 - 399

24. Dyson F. J. Seismic response of the eath to a gravitational wave in the 1- Hz band//Astrophys. J. 1969. - Vol. 156, - N 2, - Part 1. - P. 529. -540

25. Ehlers J. General relativity and kinetic theory//Proceeding of the Jnter-national School of Physics "Enrico Fermi", cours 47. Acad. Press. New. York. 1971. - 358 p.

26. Ehlers J. Kinetic theory of gases in general relativity theory//Lect. Notes in Physics. 1974. - V. 28. -P. 78 - 105

27. Ehlers J., Prasanna A. R., Breuer R. A. Propagation of gravitational waves through pressureless matter//Class. Quant. Grav. 1987. - Vol. 4. - N 2.- P. 253 264

28. Friedmann A. Uber die Krummung des Raumes//Zs. Phys. 1922. - V. 10. - P. - 377 - 386.

29. Gainov G. Expanding Universe and the Origin of Elernents//Phys. Ref. -1946. V. 70. - P. 572 - 57330j Gainov G. The Origin of Elements and the Separation of Galaxies//Phys. Ref. 1948. - V. 74. - P. 505 - 506

30. Gerbal D. On the relativistic kinetic theory of a gas. Mean free 4 path, mean free 3 - path and collision time//Physica. - 1974. - V. 71. - P. 124- 139 ' '

31. Hubble E. P. Red shifts in the spectra of nebulae (Hally Lecture). -Clarendon Press, Oxford. England, 1934. - 73p.

32. Hakim R. Remarks on relativistic statistical rnehanics.l//J. Math. Phys.- 1967. Vol. 8. - N 6. - P. 1315 - 1344

33. Hakim R. Remarks on relativistic statistical mehanics.2. Hierarchies for the reduced densities//J. Math. Phys. 1967. - Vol. 8. - N 7. - P. 1379 -1409

34. Ignat'ev Yu. G., Popov A. A. Kinetic equation for ultrarelativistic particles in a Robertson Walker universe and isotropization of relict radiation by gravitational interractions//Astroph. end sp. Sci. - 1990. - Vol. 163. - P. 153 - 174

35. Israel W. Relativistic kinetic theory of a simple gas//J. Math. Phys. -1963. Vol. 4. - N 9. - P. 1163 - 1181

36. Israel W., Kandrup H. Nonequilibrium statistical mecanics in the general theory of relativity!. A general formalism//Ann. Phys. 1984. - Vol. 152.- N1. P. 30 - 84

37. Israel W., Stewart J. M. Transient Relativistic Thermodinainics and Kinetic Theory//Ann. Phys. 1977. - Vol. 118. - P. 341 - 372

38. Kandrup H. Nonequilibrium statistical mecanics in the general theory of relativity.2. Idnear fields in a kinetic approximation//Ann. Phys. 1984.- Vol. 153. N1. - P. 44 - 102

39. Kandrup H. Nonequilibrium statistical mecanics in the general theory of relativity.3. Collisional stellar dynamics//Ann. Phys. 1986. - Vol. 169. -N2. - P. 352 - 413

40. Kandrup H. Statistical mecanics of the gravitational field in a conformally static setting. 1//J. Math. Phys. 1984. - Vol. 25. - N11. - P. 3286 - 3296

41. Kandrup H. Statistical mecanics of the gravitational field in a conformally static setting.2//J. Math. Phys. 1985. - Vol. 26. - N11. - P. 2850 - 2858

42. Kandrup H. On the stability of a new relativistic kinetic equation //As-trophys.J. 1984. - Vol. 282. - N2. - P. 361 - 369

43. Kandrup H. Gravitational Debye Huckel theory for a newtonian cosmology //Astroph.and Sp.Sci. - 1983. - Vol. 89. - P. 143 - 158

44. Kandrup H. Generalized Wigner functions in curved spaces: A new ap-proacli//Phys. Rev. D. 1988. - Vol. 37. - N 8. - P. 2165 - 2169

45. Lapiedra R., Santcs E. Classical relativistic statististical mecanics: The case of a hot dilute plazma//Phys. Rev. 1981. - Vol. D23. - N 10. - P. 2181 - 2188

46. Lindquist E. W. Relativistic transport theory//Ann. Phys. 1966. - Vol. 37. - N 9. - P. 487 - 518

47. H. A. Lorentz. Versush einer Theurie der Elektrishen und Optishen Ercheinwrigen in Bewegten Korpem. — Leiden, 1895.

48. H. A. Lorentz. The Theory of Electrons. — Leipzig: Teubner, 1916.

49. Macedo P. G., Nelson A. H. Propagation of gravitational waves in a magnetized plasma//Phys. Ref. D. 1983. - Vol. 28. - N 10. - P. 2382 - 2392

50. Penzias A. A., Wilson R. W. A measurement of excess antenii temperature at 4080mc/s//Astrophys. J. 1965. - V.142. - N1. - P. 419 - 421

51. Tauber G. E., Weinberg J. W. Internal state of a gravitating gas //Phys. Ref. 1961. - V.D122 28. - N 4. - P. 1342 - 1365

52. Van Leeuwen W. A., Salvati G. A. Q. Homogeneous viscous Universe with magnetic field. I. Basic equation//Ann. Phys. 1985. - Vol. 165. - N 1. -P. 214 - 236

53. Salvati G. A. Q., Schelling E. E. Homogeneous viscous Universe with magnetic field. II. Bianchi type I spaces//Ann. Phys. 1987. - Vol. 179. - N 1. - P. 52 - 75

54. Van Leeuwen W. A., Salvati G. A. Q., Schelling E. E. Viscous phenomena in cosmology. II. Plasma era in the presence of a magnetic field//Physica. 1986. - Vol. 135A. - N 2 - 3. - P. 417 - 431

55. Thome К. S. Gravitational wave research: Current status and future prospects//Rev. Mod. Phys. - 1980. - Vol. 52. - N 2. - Part 1. - P. 285 -298

56. Weert Ch. G., van, Leeuwen W. A., van, Groot S. R. de. Elements of relativistic kinetic theory//Physica. 1973. - Vol. 69. - N 2. - P. 441 -457.

57. Winter J. Wigner transformation in curved space time and the curvature correction of the Vlasov equation for semiclassical gravitating sis-tems//Phys. Ref. D. - 1985. - Vol. 32. - N 8. - P. 1871 - 1888

58. Marc Mars, R. M. Zalaletdinov. Space time in Macroscopic Gravity and volume - preserving coordinates//arXiv: gr - qc/9703002 vl 2 Mar 1997

59. R. M. Zalaletdinov. Averaging Problem in General Relativity, macroscopic gravity and using Einstein's Equations in Cosmology//arXiv: gr qc/9703016 vl 6 Mar 1997

60. R. M. Zalaletdinov. Graviting macroscopic media in general relativity and macroscopic gravity//arXiv: gr qc/0012080 vl 20 Dec 2000

61. R. M. Zalaletdinov. Space time Average of Classical Physical Fields//arXiv: gr - qc/0411004 vl 29 Oct 2004

62. Амальди Э., Пицелла Г. Поиск гравитационных волн//Астрофизика, кванты, и теория относительности. Москва, 1982. С.241 - 396

63. Балакин А. В., Башков В. И. Релятивистское плазменное эхо, индуцированное гравитационным и электромагнитным импульсами//УФЖ. 1981. - Т. 26. - № 9. - С.1456 - 1461

64. Балакин А. Б. О воздействии сильной гравитационной волны на анизотропную плазму//Изв. ВУЗов. Физика. 1982. - № 9. - С. 48 -52

65. Балакин А. Б. Кинетика бесстолкновительной плазмы в поле гравитационного излучения: Дис. .канд. физ. мат. наук. - Казань, 1982. - 115с.

66. Балакин А. Б., Игнатьев Ю. Г. Действие плоских гравитационных волн на бесстолкновительные плазмонодобные среды//Пробл. теории гравитации и элементарных частиц. Москва, 1984. Вып. 14. - С. 43 -62

67. Балакин А. Б. Точное решение граничной задачи для бесстолкновительного газа в поле нелинейной плоской гравитационной волны//Изв. ВУЗов. Физика. 1985. - № 12. - С. 41 - 45

68. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. T.I. М.: Мир, 1978. - 405с.

69. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.П. М.: Мир, 1978. - 400с.

70. Балеску Р. Статистическая динамика заряженных частиц М.: Мир, 1967. - 514с.

71. С. Т. Беляев, Г. И. Будкер. Релятивистское кинетическое уравнение//ДАН. 1956. - Т.107. - N 6. - С. 807-810.

72. Г. С. Бисноватый Коган. Столкновение частиц в расширяющейся Вселенной //ЖЭТФ. - 1982. - Т.82. - С. 3-8.75