Развитие теоретических положений комплексного расчета дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу и пластическому деформированию тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.11, кандидат наук Александров, Анатолий Сергеевич

• Александров, Анатолий Сергеевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Александров, Анатолий Сергеевич

Введение......................................................................................................................................................6

Глава 1 Состояние вопроса......................................................................................................16

1.1 Анализ критериев прочности и условий пластичности твердых

тел и сыпучих материалов..........................................................................................16

1.2 Методы расчета напряжений в дорожных конструкциях и основаниях фундаментов............................................................................................................47

1.3 Методы расчета дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу......................................................................................................................................................71

1.3.1 Традиционные методы расчета............................................................71

1.3.2 Эмпирические методы, базирующиеся на теории приспособляемости....................................................................................................................76

1.3.3 Эмпирические методы, базирующиеся на применении калифорнийского числа несущей способности грунта

СБЯ..........................................................................................................................................................................................81

1.4 Расчет грунтовых оснований насыпей и фундаментов по критерию безопасных давлений................................................ 84

1.4.1 Методы, базирующиеся на модели линейно деформируемого полупространства............................................. 84

1.4.2 Методы, базирующиеся на применении поверхностей скольжения и методы предельного равновесия грунтов....................88

1.4.3 Методы, базирующиеся на представлениях механики зернистой среды........................................................... 94

1.5 Обзор методов расчета деформаций грунтов и материалов с дискретной структурой дорожных конструкций и оснований фундаментов......................................................................... 96

1.5.1 Методы деформационных теорий.............................. 96

1.5.2 Реологические теории, применяемые для расчета деформаций материалов и грунтов..............................................................................99

1.5.3 Методы расчета дорожных конструкций по деформациям............................................................................. 106

Глава 2 Модифицированное условие пластичности Кулона - Мора... 112

2.1 Учет деформаций в условие пластичности Кулона - Мора вводом третьего параметра материала d.................................. 114

2.2 Трехосные испытания грунтов и определение величины третьего параметра d модифицированного критерия Кулона - 118 Мора..............................................................................

Глава 3 Применение теории усталости для математического моделирования зависимости параметров предельной прямой Кулона - Мора от количества повторных нагрузок............................................. 128

3.1 Математическое моделирование зависимости параметров предельной прямой Кулона - Мора от числа приложенных нагрузок при помощи интегральных уравнений наследственных теорий................................................................................. 128

3.2 Анализ экспериментальных данных и определение коэффициентов математических моделей....................................................................................131

Глава 4 Исследование напряженного состояния грунтов земляного полотна................................................................................ 136

4.1 Определение минимальных главных напряжений в грунтах и материалах с дискретной структурой...................................... 136

4.2 Модификация моделей расчета главных напряжений............ 144

4.3 Сопоставление теоретических и экспериментальных данных... 153 Глава 5 Экспериментальное определение угла рассеивания напряжений в грунтах........................................................................ 167

5.1 Методика эксперимента................................................. 168

5.2 Обработка данных методами математической статистики...... 171

Глава 6. Расчет дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу..... 181

6.1 Критерий оценки сопротивления сдвигу и обоснование рас-

четной схемы при проектировании дорожной конструкции.......... 181

6.2 Расчет безопасных давлений на грунты земляного полотна и

слои дорожной одежды из дискретных материалов.................... 183

6.3 Сопоставление результатов расчета безопасного давления с данными экспериментов по вдавливанию штампа..................... 190

Глава 7 Применение теории наследственной ползучести для математического моделирования накапливаемой пластической деформации.. 198

7.1 Анализ факторов, влияющих на величину накапливаемой пластической деформации......................................................................................................198

7.2 Применение интегральных уравнений наследственных теорий для математического моделирования зависимости пластической деформации от числа приложенных нагрузок........................... 202

7.3 Анализ экспериментальных данных и определение коэффициентов математических моделей....................................................................................205

Глава 8 Применение теории наследственной ползучести для расчета пластической деформации от продолжительности воздействия нагрузки............................................................................................................................................................219

8.1 Применение интегральных уравнений наследственных теорий для математического моделирования зависимости пластической деформации от времени воздействия однократной кратковременной нагрузки..................................................................... 219

8.2 Экспериментальные данные о реологических параметрах прочности и деформируемости грунтов................................... 243

8.3 Разработка методики расчета продолжительности воздействия нагрузки в различных элементах дорожной конструкции................248

Глава 9 Модифицированный метод расчета дорожной конструкции

по критериям продольной и поперечной ровности.......................... 256

9.1 Критерии расчета дорожной конструкции по продольной и поперечной ровности, предельные глубины неровностей............ 256

9.2 Применение методов прикладной математики для численного интегрирования пластической деформации по глубине конструкции и расчет глубин неровностей............................................ 274

Глава 10 Последовательность расчета дорожной одежды по модифицированной методике.............................................................. 284

Заключение........................................................................... 287

Библиографический список...................................................... 292

Приложение А Основные математические формулы к главе 1 (состояние вопроса).................................................................... 342

Приложение Б Деформационно устойчивые дорожные конструкции, запроектированные по предлогаемым методикам сопротивления

сдвигу и пластическому деформированию.................................... 363

Приложение В Справки о внедрении результатов работы................. 366

Приложение Г Выдержки из СТО ООО УРЕНГОЙДОРСТРОЙ, подтверждающие внедрение материалов исследования в практику проектирования дорожных одежд...................................................... 374

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие теоретических положений комплексного расчета дорожных конструкций по сопротивлению сдвигу и пластическому деформированию»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Важнейшие потребительские свойства автомобильной дороги скорость, удобство и безопасность движения зависят от ровности покрытия. Ухудшение ровности покрытий приводит к возникновению динамических нагрузок, превышающих значение расчетной нагрузки, на которую проектируют дорожную конструкцию. Это обстоятельство способствуют увеличению интенсивности накапливания деформаций и ухудшению ровности. Причиной возникновения и развития неровностей является пластическое деформирование материалов дорожных одежд и грунтов земляного полотна, состоящее из деформаций сдвига и уплотнения материалов и грунтов. Вклад деформаций, накапливаемых в материалах конструктивных слоев дорожной одежды и грунтах земляного полотна, в глубину неровности, появляющейся на покрытии, различен и зависит от ряда условий. К таким условиям относят конструктивные особенности дорожной одежды и погодно-климатические факторы. В настоящее время в мировой практике выполнено большое количество исследований колеи, заключающихся в том, что в дорожных одеждах эксплуатируемых дорог и испытательных полигонов (кольцевых съездов) устраивают шурфы-траншеи. В таких траншеях измеряют необратимое смещение поверхности каждого слоя, включая земляное полотно.

Анализ экспериментальных данных позволил установить факторы, сочетание которых приводит к накапливанию деформаций в определенных элементах дорожной конструкции. При сравнительно малой суммарной толщине слоев дорожной одежды из материалов, обработанных органическими вяжущими (й<18 см), и невысокой температуре нагрева этих слоев накапливание остаточных деформаций происходит в дискретных материалах основания и грунте земляного полотна. При тяжелом интенсивном движении в межколейном пространстве таких оснований и земляном полотне наблюдаются зоны выпора дискретного материала и грунта. Следовательно, снижение ровности покрытий дорожных одежд переходного и облегченного типа главным

образом происходит из-за пластического деформирования земляного полотна и оснований из дискретных материалов. При суммарной толщине слоев дорожной одежды из материалов, обработанных органическими вяжущими (18<й<25 см), и температуре их нагрева до Т<50 0 С остаточные деформации накапливаются во всех конструктивных слоях и грунте земляного полотна. При тяжелом интенсивном движении такие деформации являются следствием уплотнения и сдвига материалов и грунтов. При температуре нагрева Т>50 0 С слоев дорожной одежды из материалов, обработанных органическими вяжущими, суммарной толщиной к>25 см пластические деформации концентрируются в асфальтобетонном покрытии и проявляются как сдвиги, которые наблюдаются в межколейном пространстве в виде выпоров по бокам колеи. Таким образом, сочетание различных факторов приводит к преимущественному накапливанию остаточных деформаций в определенных конструктивных слоях дорожной одежды и земляном полотне. Создать расчетную методику, охватывающую все многообразие пластического деформирования дорожно-строительных материалов и грунтов, применяемых в дорожной конструкции, чрезвычайно сложно. Поэтому в мировой практике сложилась тенденция, согласно которой специалисты ограничивают область своих исследований, концентрируясь на изучении пластичности определенных материалов и грунтов.

Оценка технического состояния дорожных одежд, выполненная коллективом СибАДИ в рамках диагностики автомобильных дорог Западной Сибири, показала, что на асфальтобетонных покрытиях преимущественно формируется глубинная колея. Такая колея обуславливается накапливанием остаточных деформаций в грунте земляного полотна и дорожных одежд. Поэтому изучение пластичности грунтов и дискретных материалов является актуальной темой исследований дорожной отрасли. Особое значение имеет проблема разработки методики комплексного расчета дорожной конструкции, позволяющей прогнозировать изменение ровности и обеспечивать требуемое сопротивление сдвигу дискретных материалов и грунтов.

При этом отметим, что исследование пластичности асфальтобетонов и материалов, обработанных органическими вяжущими, так же имеет большую актуальность для дорожной отрасли. В этом направлении российскими и иностранными специалистами выполнено большое количество работ. Поэтому соискатель, не отрицая актуальность исследований пластичности асфальтобетона, сконцентрировал усилия на разработке комплексного расчета дорожной конструкции по критериям сопротивления сдвигу дискретных материалов и грунтов и ровности покрытий.

Степень разработанности темы. Работа соискателя базируется на глубоком изучении состояния вопроса, в ходе которого выполнен анализ большого объема литературных данных и процитировано 684 источника. В ходе этого анализа установлено, что для расчетов грунтов и дискретных материалов по сопротивлению сдвигу применяются методы линейно-деформируемой среды, поверхностей скольжения и предельного равновесия грунтов.

При применении методов линейно-деформируемой среды в основе решений лежит условие пластичности грунта, из которого выводят формулы для расчета касательных напряжений или безопасных давлений. Именно этот метод лежит в основе расчета касательных напряжений в грунте земляного полотна и слоях дорожной одежды из слабосвязных материалов по нормативной методике, регламентируемой ОДН 218.046-01. Известно множество различных решений задачи о величине безопасного давления, полученных этим методом. В основе всех решений лежит условие пластичности Кулона-Мора, а разница заключается в различном подходе к определению глубины распространения неустойчивых областей, а также расчету напряжений от различных нагрузок. Основной недостаток этого метода состоит в том, что наличие зон сдвигов исключает линейную зависимость между осадкой и давлением, а наличие именно такой зависимости необходимо для применения модели линейно-деформированного полупространства. Кроме того, в основе решений лежит условие пластичности Кулона-Мора, по которому предельное состояние наступает при деформациях 15 - 20 %. При таких деформаци-

ях в условиях трехосного сжатия образец грунта испытывает пластическое течение, а зависимость деформаций и напряжений носит явно выраженный нелинейный характер. Образец высотой 10 см, испытывающий предельное состояние по критерию Кулона-Мора, в условиях трехосного сжатия претерпевает смещение 15 - 20 мм. Такие деформации превышают допускаемые значения неровностей покрытий нежестких дорожных одежд. Следовательно, предельное состояние по сопротивлению сдвигу наступает позже, чем показатели ровности покрытий выходят за рамки допустимых пределов. Отсюда следует вывод о необходимости использования в основе расчета по критерию сдвигоустойчивости более жестких условий пластичности, по которым предельное состояние наступает при меньших предельных деформациях. Правильный подбор условия пластичности приведет к тому, что вычисленное по нему безопасное давление будет иметь значение, сопоставимое с первой критической нагрузкой Н.М. Герсеванова. Это обстоятельство исключает указанные нами недостатки решений, полученных на основе применения метода линейно-деформированной среды.

Новый критерий пластичности может быть использован при расчете предельных давлений на земляное полотно, вычисляемых методом предельного равновесия грунтов. Специфика этого метода состоит в том, что при нелинейном деформировании грунтового основания для расчета предельного давления составляют систему уравнений, в которую входят дифференциальные уравнения В.В. Соколовского и условие пластичности. Применение нового критерия пластичности приведет к новой формуле для расчета предельных давлений.

Приведение дорожной конструкции к двухслойной системе и последующий расчет касательных напряжений в ней приводят к тому, что наиболее опасная точка, в которой напряжение имеет наибольшую экстремальную величину, лежит на поверхности рассчитываемого нижнего слоя этой системы. Применение других расчетных схем показывает, что наиболее опасная

точка расположена на некотором расстоянии от поверхности рассчитываемого слоя.

Расчеты главных напряжений и компонент тензора напряжений от нагрузки, распределенной по круглой площадке, выполняются по формулам механики сплошной среды, полученным А. Лявом, Лявом - Фрелихом или Р. Алвиным, Ч. Фостером и Г. Улером. Особенностью этих решений является то, что на поверхности полупространства величина минимального главного напряжения превышает значение необходимое для возникновения компрессионного сжатия, а на некоторой глубине меняет знак и из сжимающего превращается в растягивающие напряжение. Это находится в противоречии с экспериментальными данными и теоретическими методами расчета напряжений от других нагрузок.

Для вычисления пластических деформаций грунтов и дискретных материалов при воздействии повторных нагрузок разработано большое количество моделей, представляющих собой степенные, логарифмические и экспоненциальные функции, но единый подход к расчету пластической деформации, накапливаемой от воздействия многократно прикладываемой нагрузки, отсутствует.

Следовательно, возникает необходимость общего подхода к решению обозначенного круга проблем пластического деформирования и сопротивления сдвигу грунтов и материалов с дискретной структурой.

Цель работы состоит в получении новых научных знаний, на основе которых разработана обобщающая методика расчета дорожной конструкции, базирующаяся на двух группах предельных состояний, описываемых критериями сопротивления сдвигу и ровности покрытий. Это позволит увеличить фактический срок службы конструкции, в течение которого она сохраняет деформационную устойчивость и не приобретает неровностей с запредельной глубиной.

Задачи исследований.

1. Модифицировать условие Кулона - Мора, вводом в оригинальный критерий третьего параметра . Экспериментально определить значения нового параметра и разработать математические зависимости этого параметра от величины упругопластической деформации образца в условиях трехосного сжатия, а также получить зависимости уменьшения сцепления и угла внутреннего трения от числа повторных нагрузок.

2. Разработать способ расчета минимального главного напряжения аз и модифицировать модели расчета главных напряжений, возникающих в сечении по оси симметрии нагрузки, распределенной по круглой площадке. Выполнить сопоставление значений вычисленных напряжений с экспериментальными данными, полученными при испытании моделей дорожных одежд.

3. Разработать способ экспериментального определения угла рассеивания напряжений в песчаных и глинистых грунтах и оценить возможность применения нормального закона распределения случайной величины для обработки опытных данных.

4. Разработать способ проверки толщины дорожной одежды по сопротивлению сдвигу в грунте земляного полотна. Выполнить натурные испытания земляного полотна нагрузкой, распределенной по круглому штампу, и определить экспериментальные значения безопасного давления, при котором осадка достигает предельно допускаемой величины для оценки адекватности предлагаемого способа расчета.

5. Получить математические зависимости пластической деформации от количества повторных нагрузок и величины главных напряжений. Разработать способ расчета вязкой составляющей пластической деформации от однократного приложения кратковременной нагрузки.

6. Разработать способ расчета пластических смещений, возникающих в дорожной конструкции по оси симметрии нагрузки. Обосновать предельные значения глубин неровностей покрытия, формирующихся в продольном и

поперечном направлениях. Выполнить экспериментальное исследование распределения проходов шин транспортных средств по ширине проезжей части.

Научная новизна заключается в разработке обобщающей методики расчета дорожной конструкции, включающей в себя расчет по двум группам предельных состояний, описываемых критериями сопротивления сдвигу, продольной и поперечной ровности. Принципиально новыми элементами этого подхода являются:

- разработанное модифицированное условие пластичности, включающее параметр d, представляющий собой отношение осевой деформации образца, принимаемой за предельную величину к предельной деформации при трехосных испытаниях. При d=0,5 модифицированное условие пластичности приобретает вид оригинального условия Кулона - Мора, а при d=0 - вырождается в третью теорию прочности;

- разработанный способ модификации оригинальных условий пластичности, состоящий в том, что поверхность модифицированного условия ограничивается сверху поверхностью текучести критерия Кулона - Мора, а снизу поверхностью любого другого аналитического или эмпирического критерия, поверхность которого в углах сжатия не совпадает с шестигранником Мора;

- получена и доказана зависимость, позволяющая рассчитывать значения удерживающих (минимальных главных) напряжений в любой точке слоя из дискретных материалов и грунтового полупространства в зависимости от величины максимального главного напряжения;

- проведена модификация моделей расчета максимальных и минимальных главных напряжений, выполненная на основе оригинальных моделей А. Лява, И.И. Кандаурова, М.П. Болштянского, A.B. Смирнова, М.И. Якунина, моделей распределяющей способности;

- предложен способ прогнозирования накапливания пластических деформаций в элементах дорожной конструкции, базирующийся на принципах наследственной ползучести, с использованием степенных ядер интегральных

уравнений накапливания пластических деформаций в условиях воздействия циклических нагрузок.

Теоретическая значимость работы заключается в разработке способов:

1) модификации оригинального критерия Кулона - Мора, суть которой состоит во вводе третьего параметра материала d в формулы, описывающие связь пределов прочности на сжатие и растяжение с параметрами с и ф. При d=0,5 модифицированные зависимости преобразовываются в формулы оригинального условия Кулона - Мора, связывающие пределы прочности с параметрами с и ф. При d=0 подобранные формулы приобретают вид выражений, связывающих пределы прочности с параметрами оригинального критерия, который ограничивает модифицированное условие снизу. В полученном критерии таким условием является третья теория прочности. Подстановкой подобранных формул в критерий Мора для сжатия выводят уравнение предельного состояния модифицированного критерия;

2) расчета минимального главного напряжения, при применении которого во всех точках сечения по оси симметрии нагрузки напряжение а3 является сжимающим, а в точке, расположенной на поверхности этого сечения, принимает величину, при которой материал испытывает компрессионное сжатие;

3) расчета пластической деформации грунтов и дискретных материалов в условиях воздействия повторных нагрузок, основанного на применении математического аппарата теории наследственной ползучести с заменой функции времени функцией количества приложенных нагрузок.

Практическая значимость работы состоит в возможности проектирования дорожных конструкций с гарантированным достаточным сопротивлением сдвигу и пластическому деформированию грунтов и дискретных материалов, благодаря чему глубина неровностей, формирующихся на покрытиях в продольном и поперечном направлениях, не превышает предельные значения в течение всего проектного срока службы.

Методология и методы исследования. Решение поставленных задач выполнено с применением методов теории пластичности, включающих в себя наследственные реологические теории усталости и ползучести. При экспериментальных исследованиях применялись методы механики грунтов с обработкой опытных данных методами математической статистики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модифицированное условие пластичности, позволяющее выявить качественно новые закономерности исследуемого явления.

2. Модифицированный способ расчета минимального главного напряжения с использованием функции глубины а.

3. Модифицированные модели расчета главных напряжений, в которых получены новые решения для расчета минимального главного напряжения.

4. Новое решение о величине безопасного давления на грунт земляного полотна и слои дорожной одежды из дискретных материалов, а также результаты расчетов.

5. Новое решение, позволяющее прогнозировать пластическую деформацию, накапливаемую в результате воздействия повторных нагрузок и обуславливающую величину неровностей, формирующихся на покрытии.

6. Методика расчета глубины продольных и поперечных неровностей, учитывающая величину главных напряжений, продолжительность напряженного состояния от однократного приложения кратковременной нагрузки, количество кратковременных нагрузок, структурные сопротивления материалов и грунтов (в виде абсолютных, условных и приближенных пределов), деформационные характеристики материалов и грунтов, зависящие от показателей их физических свойств (плотность, влажность, температура).

7. Методика расчета предельных значений глубины неровностей для различных состояний покрытий, определяемых из условия обеспечения основных потребительских свойств скорости и безопасности движения, прочности и экологической безопасности.

Степень достоверности, полученных решений и экспериментальных данных достаточна, что подтверждается применением:

- фундаментальных положений теории пластичности и наследственных реологических теорий;

- методов математической статистики для обработки данных экспериментов, полученных при испытаниях на поверенных приборах и оборудовании в аттестованной лаборатории;

- удовлетворительном соответствии экспериментальных данных и результатов расчета.

Апробация результатов. Материалы исследования докладывались на международных и всероссийских научно-технических конференциях и конгрессах в МАДИ (ГТУ) (г. Москва), СибАДИ (г. Омск), АГТУ (г. Архангельск), АлтГТУ (г. Барнаул), СГУПС (г. Новосибирск), ПГУАС (г. Пенза) и др.

Внедрение результатов работы. Результаты исследований внедрены при проектировании ряда автомобильных дорог в г. Омске и г. Новый Уренгой, а также при разработке стандартов организации «ООО Уренгойдор-строй».

Публикации. Материалы диссертации опубликованы более чем в 60 печатных работах, в том числе 33 статьи в журналах перечня, рекомендованного ВАК Минобразования РФ, 3 монографии и 2 учебных пособия.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, десяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Общий объем составляет 359 страниц, включая 124 рисунка и 78 таблиц. Список литературы содержит 684 источника, в том числе 371 на иностранном языке.

Глава 1 СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1 Анализ критериев прочности и условий пластичности твердых тел и сыпучих материалов

Механические теории прочности лежат в основе любого расчета строительных конструкций, а вид материала обуславливает выбор критерия прочности или условия пластичности [278]. Для выбора наиболее точных критериев, используемых при проектировании дорожных одежд [183, 220, 221], необходимо обсуждение их применимости к различным материалам.

Обсуждая необходимую широту охвата анализируемых критериев, покажем возможность преобразования классического критерия О. Мора в условие пластичности Кулона - Мора. Известно, что критерий прочности О. Мора для случая растяжения твердого тела записывается в виде [2, 31, 105, 131]

а1 "kM ■ а3 = Rp ; kM = Rp/Rc , С1-1)

где ai и a3 - соответственно максимальное и минимальное главные напряжения, Па; Rp и Rc - пределы прочности при одноосном растяжении и сжатии соответственно.

Для сжатия твердого тела критерий О. Мора запишем в виде

а1 " kM ■ a3 = Rc; kM = Rc/Rp . (1-2)

В критериях (1.1) и (1.2) предел прочности на одноосное сжатие и растяжение можно определить через параметры предельной прямой Кулона -Мора по формулам [87, 255]

Rc = ^^^, (1.3)

1 - sin ф

где с и ф - сцепление и угол внутреннего трения, определенные по данным консолидированных недренированных (КН) испытаний в приборе трехосного сжатия;

Rp = ^^Sl. (1.4)

1 + sin ф

Подставив во вторую зависимость формул (1.2) выражения (1.3) и (1.4), получим зависимость коэффициента kM от ф:

1 + sin ф (1 5)

км =--:-. (1.5)

1 - sin ф

Подставив в условие пластичности (1.2) выражения (1.3) и (1.5), получим уравнение

1 + sin ф 2 • c • cos ф -^-= ^-• . (1.6)

1 - sin ф 1 - sin ф Выполнив в уравнении (1.6) преобразования, получим

ст1 ^(1 -sinp)-а3 ^(1 + sinp)= 2• c • cos ф. (1.7)

Раскрыв в выражении (1.7) скобки, получим

а1 - а1 • sinp- а3 - а3 • sinp = 2 • c • cos ф. (1.8)

Вынеся в зависимости (1.8) главные напряжения за скобки, получим

ст1 • (1 - sin ф)- а3 • (1 + sin ф) = 2 • c • cos ф. (1.9)

Условие (1.9) является одной из возможных форм записи критерия Кулона - Мора. Такую форму записи этого условия приводит Р.Ф. Црайг [388]. Если в формуле (1.8) выполнить иную группировку членов, то получим

(а1 -а3)-(а1 + а3)• sin ф = 2 • c • cos ф. (1.10)

Уравнение (1.10) приводится к формуле

• tg ф = c. (1.11)

а1 -аз а1 +аз

2•со$ф 2

Уравнение (1.11) описывает предельное состояние по оригинальному условию пластичности Кулона - Мора.

Таким образом, подстановкой в критерий прочности О. Мора формул, связывающих пределы прочности на одноосное сжатие и растяжение с углом внутреннего трения и сцеплением, мы получили условие пластичности Кулона - Мора. Поэтому анализ критериев с параметрами материала в виде пределов прочности представляет не меньший практический интерес, чем анализ условий, в которых параметры материала связаны с углом внутреннего трения и сцеплением. В настоящее время теории прочности являются от-

дельным разделом механики сплошной среды. Критерии прочности и условия пластичности можно подразделить на несколько групп:

1. Классические теории, которые приводятся в учебниках по дисциплине «Сопротивление материалов» [2, 31, 105, 131, 226, 278]. К таким критериям традиционно относят критерии: наибольших нормальных напряжений (гипотеза Г. Галилея) [31, 131], наибольших линейных деформаций (гипотеза Э. Мариотта) [2], наибольших касательных напряжений (Треска - Кулона -Сен-Венана - Леви) [3, 45, 104, 105, 226, 644], удельной энергии формоизменения (гипотеза Губера-Мизеса-Генки) [60, 104, 106, 446, 467, 544]. Кроме того, к этим же критериям следует отнести гипотезу Бельтрами [69], согласно которой разрушение настиупает тогда, когда полная удельная энергия деформации достигает предельного значения.

2. Аналитические теории, являющиеся результатом многочисленных исследований специалистов и преследующие цель обобщить ранее созданные критерии прочности и условия пластичности [63, 69]. К таким критериям отнесем гипотезу В.П. Сдобырева [243] и критерий И.И. Трунина [129], объединяющие первую и четвертую теории прочности, а также различные критерии, полученные аналитическим путем и включающие в себя разное количество инвариантов и параметров материала. Среди таких критериев выделим:

- аналитические двухинвариантные и двухпараметрические критерии типа ¥ (/2, /ь Яс, Яр) = 0, к которым относятся гипотезы Шлейхера [63, 69], Мизеса - Шлейхера [335, 603], П.П. Баландина [23,69], И.Н. Миролюбова [63], Л.К. Лукши [217], М.М. Филоненко-Бородича [282-284], А.Н. Шашенко [302] и др. [335];

- аналитические двухинвариантные, трехпараметрические и многопараметрические критерии типа ¥ (/2, /ь Яс, Яр, тпр) = 0 и ¥ (/2, /ь а, Ь, с, ..., п) = 0, к которым относятся критерии Бужинского [63], Ю.И. Янга [63, 69], Ф.Л. ДиМаджио и И.С. Сандлера [335, 402];

- аналитические трехинвариантные, трехпараметрические и многопараметрические критерии типа ¥ (/ь /2, /3, Яс, Яр, тпр) = 0 и ¥ (/ь /2, /3, а, Ь, с, ...,

п) = 0, среди которых выделим критерии Г.А. Гениева, В.Н. Киссюка, Г.А. Тюпина [63], Друкера [339, 406], Ихлерса [411, 412];

- аналитические критерии, включающие в себя различное количество параметров материала, а наряду с инвариантами тензора напряжений угол Лоде. К таким критериям относятся условия типа F (а1, а2, а3, 0, а, b, c, ..., п) = 0; 0 = f(J2, J3). Среди этих гипотез отметим критерии Десаи [335, 399, 593] и Н.С. Оттосена [335].

3. Критерии, развивающие теорию О. Мора, к ним относятся оригинальный и модифицированный критерии Писаренко - Лебедева [154, 213, 257], условия прочности А. Надаи [192], Ю. Мао-Хонга (критерий двойного сдвига) [679, 680], Г.Г. Литвинского [158].

4. Эмпирические критерии, полученные на основе анализа данных испытаний материалов при различных напряженных состояниях [325]. Такими условиями прочности являются критерии Хершея - Хосферда [448, 462], Кара-филлиса - Бойса [487], З.Т. Бенявского [351, 352], А.Н. Шашенко [158, 301], Хоека - Брауна [457].

5. Критерии, включающие в себя меры теории поврежденности, например, поврежденность Ю.Н. Работнова [227] или сплошность Л.М. Качанова [129], которые определяются по специальным экспериментальным методикам [513]. Среди таких теорий прочности отметим критерии Ю.Н. Работнова [129], Милейко-Работнова [129], Шима-Ояане [619], Гюрсона [439], Тверга-арда [648, 649], Лии-Оюнга [509], Софрониса [626] и Г.Г. Литвинского [158].

6. Критерии теории трещин, основанные на энергетической концепции Алана Гриффитса [437, 438] или силовом подходе Джорджа Ирвина [473], а также инвариантных интегралов Г.П. Черепанова [293, 294] и Дж. Райса [591], описывающих условия разрушения и рост трещины. Среди таких критериев отметим оригинальный энергетический критерий A.A. Гриффитса [189, 251, 303, 437] и его упрощенную форму записи в напряжениях [303, 400], а также критерии Мюрелла [400], Е. Орована [303, 569], Дж. Р. Ирвина

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Александров, Анатолий Сергеевич, 2017 год

— с.

Ю ^ 0.01

• • • ' . • • ......

• V ...... • 1 .• »** » ■ • "1 г Я • о ВС 4« * * • £ . I1 °0__ ... • • г» • . • • *****

1 • • • ■ ■• \1

10

10'

10'

10

10'

10

Количество приложенных нагрузок шкала) Рисунок 7.8 - Зависимость вертикальной пластической деформации

гранодиоритового щебня при а3=40 кПа [662]: 1 - при а1-а3=40 кПа; 2 - при а1-а3=80 кПа; 3 - при а1-а3=120 кПа; 4 - при а1-а3=160 кПа; 5 - при <31-а3=200 кПа; 6 - при <31-а3=360 кПа

5 я

5 а

'-» к

О я

V —

= 00

— —

О

2 ~

^ «

— ос

-э =

I I

Н 100

0,1 £ с.

а 10.01

к У .....— 5

• . .......""]' • е ... г:::^' „.«и«*- ' -- ш

• ■ _____* ... ••»— 1 иг» "Чг43

\д

I

К)

10

10

10 10 10 Количество приложенных нагрузок (1е шкала) Рисунок 7.9 -. Зависимость вертикальной пластической деформации

гранодиоритового щебня при а3=140 кПа [662]: 1 - при а1-а3=70 кПа; 2 - при а1-а3=140 кПа;3 - при а1-а3=210 кПа; 4 - при а1-а3=280 кПа; 5 - при а1-а3=350 кПа; 6 - при а1-а3=420 кПа; 7 - при О1-а3=560 кПа; 8 - при ах-а3=700 кПа; 9 - при ах-а3=840 кПа

« Я 100

I I

I = И)

р 2

у

я _

¡1 1

я «

X эс

•о —

2 э

0.1

о"

С2 У

4 0.01

*

• ..... • . • • . . . 1 6 ' 1 * .*'*"' s 4

• * 1 • • . ^ . » V - ........ * ""^Т" \ •) ЛШ. \1

■ ■

10

1 10 10 10 10 10 Количество приложенных нагрузок шкала) Рисунок 7.10 - Зависимость вертикальной пластической деформации

гранодиоритового щебня при а3=210 кПа [662]: 1 - 9 при СТ1-о3, равном105, 157, 210, 265, 315, 367, 430, 630 и 840 кПа;

Количество приложенных нагрузок шкала) Рисунок 7.11 - Зависимость вертикальной пластической деформации гра-нодиоритового щебня при о3=70 кПа [662]: 1 - при 01-а3=35 кПа; 2 - при 01-03=70 кПа; 3 - при 01-а3=105 кПа; 4 - при 01-а3=140 кПа;5 - при 01-03=175 кПа; 6 - при 01-а3=210 кПа; 7 - при ах-а3=245 кПа; 8 - при 01-а3=280 кПа; 9 - при 01-03=315 кПа; 10 - при 01-а3=350 кПа; 11 - при 01-03=385 кПа; 12 - при 01-а3=420 кПа; 13 - при 01-а3=490 кПа; 14 - при 01-03=560 кПа; 15 - при 01-а3=700 кПа; 16 - при 01-03=770 кПа; 17 - при 01-03=840 кПа

Таблица 7.5

Значения коэффициентов к\ и к2 формулы (7.15) для гранодиоритового щебня

Характеристика (01-03)/03 о3<40 кПа о3=70 кПа 03=140 кПа 03>210 кПа

К1 К2 К1 К2 К1 К2 К1 К2

0,5 - - 0,1250 -0,794 0,0658 -0,898 0,0733 -0,84

0,75 - - - - - - 0,0787 -0,788

1 0,0442 -0,689 0,0618 -0,884 0,0767 -0,845 0,0752 -0,852

1,25 - - - - - - 0,0898 -0,798

1,5 - - 0,0651 -0,802 0,0791 -0,831 0,0821 -0,809

1,75 - - - - - - 0,0899 -0,83

2 0,0705 -0,838 0,0773 -0,842 0,0819 -0,775 0,0937 -0,806

2,5 - - 0,0709 -0,825 0,0824 -0,797 - -

3 0,0795 -0,839 0,0617 -0,894 0,0784 -0,816 0,0556 -0,597

3,5 - - 0,0745 -0,833 - - - -

4 0,0830 -0,797 0,0662 -0,861 0,0850 -0,704 0,0729 -0,664

4,5 - - 0,0919 -0,757 - - - -

5 0,8130 -0,700 0,0818 -0,794 0,0810 -0,63 - -

5,5 - - 0,0745 -0,779 - - - -

6 - - 0,0723 -0,683 - - - -

7 - - 0,0909 -0,775 - - - -

8 - - 0,0595 -0,584 - - - -

9 0,0669 -0,680 - - - - - -

10 - - 0,0633 -0,621 - - - -

Таблица 7.6

Значения коэффициента к формулы (7.15 | для гранодиоритового щебня

Характеристика (01-03)^3 о3<40 кПа о3=70 кПа 03=140 кПа 03>210 кПа

0,5 - 1,647831 0,323642 1,579212

0,75 - - - 0,861997

1 0,239259 0,741324 0,442738 0,432266

1,25 - - - 0,346873

1,5 - 0,483429 0,747054 1,075062

1,75 - - - 0,5607

2 0,345271 0,651638 1,055514 1,147698

2,5 - 0,641184 1,700031 -

3 0,485951 0,452156 0,646916 0,823361

3,5 - 1,220012 - -

4 1,213598 0,517833 1,213908 1,486886

4,5 - 0,792116 - -

5 0,322421 0,652119 1,737691 -

5,5 - 0,559733 - -

6 - 0,880755 - -

7 - 0,792489 - -

8 - 0,933733 - -

9 0,144116 - - -

10 - 0,741307 - -

P.C. Аштиани [329, 330] выполнил исследование пластического деформирования известняковых щебеночно-песчаных смесей и смесей, укрепленных цементом.Тесты проведены при удерживающем напряжении о3=48,3 кПа и осевом напряжении а1=241,3 кПа. При этом применена динамическая осевая нагрузка синусоидальной формы с продолжительностью импульса 0,1 с. и периодом отдыха 0,9 с. На рис. 7.12 приведена зависимость пластических деформаций, накапливаемых образцами при их влажности на 2 % выше оптимальной. Данные рис. 7.12 позволяют подобрать эмпирические формулы для расчета коэффициентов к1 и к2 степенной модели (7.15) для известняковой щебеночно-песчаной смеси. Эти формулы имеют вид

К1 = К1(ищпс)-(1 + 0,2471-^пц -0,0889• Б&ц), (7.17)

где кцишпс) - величина коэффициента к\ модели (7.15) для необработанной известняковой щебеночно-песчаной смеси при влажности на 2 % выше оптимальной; £пц - содержание портландцемента по массе, %;

К2 = *2(ищпс)-(1 - 0,7117 • ^пц + 0,283 • ), (7.18)

где к2(ишпс) - величина коэффициента к2 модели (7.15) для необработанной известняковой щебеночно-песчаной смеси при влажности на 2 % выше оптимальной.

Значение коэффициента к модели (7.15) для известняковой щебеночно-

песчаной смеси определяется по формуле

к = кищпс • ехР (1,2651 • £ Пц(7.19)

где кишпс - величина коэффициента к модели (7.15) для необработанной известняковой щебеночно-песчаной смеси при влажности на 2 % выше оптимальной.

2 0,040 | 0,035 §• 0,030 % 0,025 р 0,020 У 0,015 р 0,010 Ё 0,005

е о

О 2 103 4103 6 103 8*103 104 Количесгво на1ру:юк

Рисунок 7.12 - Пластическое деформирование образцов при влажности на 2 % выше оптимальной [329]: 1 - без стабилизатора; 2 - с добавкой 1 % портландцемента; 3 - с добавкой 2 % портландцемента

А .Аустин выполнил трехосные испытания щебеночно-песчаных смесей из песчаника, известняка и гранита (рис. 7.13) [336].

5

« 4

I -

|з

5 rt

О

я 1

R

о

0 Ш3 2Ч03 ЗЧО3 4* Ш3 5*Ш3 6'П)3 7*1 О3 ЙЧ03 9'10J К)4

Количество нагрузок

Рисунок 7.13 - Зависимость пластической деформации щебеночно-песчаных смесей от числа нагрузок: 1 - 3 соответственно ЩПС песчаник, известняковая ЩПС,

гранитная ЩПС

ХГ

г"

При постановке эксперимента А. Аустин [336] принял пиковое значение девиатора напряжений на основе расчетов, выполненных М. Назалом и соавт. [555], а величина удерживающего давления назначена по рекомендациям работы [343]. Предельная величина пластической деформации ограничивалась 7 %, а число нагрузок 104.

В табл. 7.7 -7.10 приведены степенные (7.15) и логарифмические (7.16) математические модели, позволяющие рассчитывать остаточную деформацию песчано-щебеночных смесей и коэффициенты этих моделей.

Таблица 7.7

Формулы для определения пластической деформации в^у гранитной ЩПС_

Наименование модели Формула Граничные условия

Общая степенная модель (7.15) в N - X вмп1 +ввп1) Ф + к ^ " N *2 +1 - пК2 1" 1 + к1-- 1 к2 +1 п)]х 0,3 << -<3 < 5 <3

Формулы для расчета коэффициента к к = 0,076 • exp ((< -а3 )/а3 )1'9496 0,3 << -<3 < 1,94 <3

к - 6,7744 -1,2853 • (а1 - а3 )/а3 1,94 <С1 -<3 < 5 <3

Формула для расчета коэффициента К\ = 0,0043• ((< -а3)/а3)2 -- 0,0258 •(< -<3 )/а3 + 0,115 0,1 << -<3 <5 <3

Формула для расчета коэффициента к2 = 0,0227 • ((< -<3 )/а3 )2 --0,1356•(< -<3)/а3 -0,6671 0,1 << -<3 <5 <3

Общая логарифмическая модель (7.16) в N - (вмп1 + ввп1) '1 + К1 г1 и N х 1 + к 2 • 1 1П — 1 1 v п)_ •(1п п)]х 0,1 << -<3 < 1,94 <3

Формула для расчета коэффициента К\ к1 - 0,076 • exp 1,9496 •< -<31 <3 ) 0,1 << -<3 < 1,94 <3

К1 - 6,7744 1,2853 • < <3 <3 1,94 <с1 -<3 < 5 <3

Формула для расчета коэффициента к2 к2 - 0,071 • 0,4152 • 1 г л <1 -<3 v <3 ) 3 + 0, <3 2 / 8248 0,1 <с1 -<3 < 1,94 <3

Таблица 7. 8

Формулы для определения пластической деформации гн ЩПС песчаник

Характеристика (01-0з)/0з Функциональная зависимость для расчета пластической деформации Коэффициенты

гн/гюо гю%1 к К1 К2

1,5 г н = 0,1765 • N °,3824 г100 г100 = 1 + 0,586 • 1п100 г1 0,586 0,0675 -0,6176

1,94 г н = 0,1875 • N °,3581 г100 г100 = 1 + 2,732 • 1п100 г 1 2,732 0,0672 -0,6419

2,83 г н = 0,2179 • N 0,3323 г 100 г100 = 1 +1,954 • 1п100 г1 1,954 0,0725 -0,6677

4,6 г н = 0,1672 • N 0,3933 г100 г100 = 1 + 0,494 • 1п100 г1 0,494 0,0659 -0,6061

Таблица 7.9

Эмпирические формулы для коэффициентов степенной модели_

Коэффициент Формула Граничные условия

Коэффициент к модели (7.15) к = 0,0759 • ехр (1,6679 • (а1 - ст3 )/а3 ) 0,3 <Л -Л3 < 1,94 л3

Коэффициент к модели (7.15) к = 4,3472 - 0,839 • (а1 - а3 )/а3 1,94 <С1 -Л3 < 5 л3

Коэффициент к1 модели (7.15) ,1 = 0,0637 • ((а1 -а3 )/°3 )0Д043 0,3 <Л -л3 < 1,94 л3

Коэффициент к1 модели (7.15) к1 = 0,0357 + 0,0233 • (а1 - ст3 )/а3 -- 0,0036 • ((а1 -а3 )/а3 )2 1,94 <Л -Л3 < 5 л3

Коэффициент к2 модели (7.15) ^2 = 0,0233•((л -С3)/°3)2 -- 0,1386 •(л -л3 )/а3 - 0,4616 0,3<Л -Л3 <5 л3

Таблица 7.10 Формулы для коэффициентов степенной модели (7.15) известняковой ЩПС

Коэффициент Формула Граничные условия

Коэффициент к к = 1,8269 • ехр (1,2625 •(а1 -ст3 )/а3 ) 0,3 <Л -Л3 < 1,94 л3

к = 6,7749 -1,2853 • (а1 - ст3 )/а3 1,94 <Л -Л3 < 5 л3

Коэффициент К1 к1 = 0,1133 - 0,0123 •(а1 -а3 )/а3 0,3 <Л -Л3 < 1,94 л3

К1 = 0,0012 •((л -С3 )/°3 )2 - - 0,0058 • (л -а3 )/а3 + 0,094 1,94 <Л -Л3 < 5 л3

Коэффициент кг = 0,0235•((л -С3)2 -- 0,1397 •(а1 -а3 )/а3 - 0,6336 0,3<Л -л3 <5 л3

J. Anochie-Boateng [321] выполнил экспериментальные исследования пластического деформирования природных битуминизированных песков с различным содержанием воды w и битума Для выполнения испытаний был применен прибор трехосного сжатия UI-FastCell, получивший признание специалистов после серии успешных экспериментов с гранулированными материалами [610, 647]. На рис. 7.14 приведены результаты испытаний [321], при проведении которых температура образца составляла 30 0 С, а продолжительность нагрузки 0,1 с.

к я X

У I

5 2

^ п

11

н с.

у Ь.

я 2

и -е-

1.0 0.8 0.6 0.4 0,2 0

0.4 0.3 0,2 0,1 0

а) 2 -

с— I/

0 200 400 600 Х00 1000 Количество приложенных нагрузок

в)

з

2

1

О 200 400 600 800 1000 Количество приложенных нагруюк

0,6 0,5

5 ^ 2 в; 0.4

8 3 Е д 0,3

п. _ 5 0.2

0.1 о

б)

3 /

2

Г

1/

200 400 6(Ю 800 1000 Количество приложенных нагрузок

Рисунок 7.14 - Зависимость осевой пластической деформации песка, укрепленного 8,5 % битума от числа нагрузок:

а - при ст3=41,4 кПа; б - при ст3=138 кПа; в - при ст3=276 кПа;

1 - при ст1-ст3=41,4 кПа;

2 - при ст1-ст3=138 кПа;

3 - при ст1-ст3=276 кПа

Зависимость деформации образца от числа нагрузок аппроксимируется степенными функциями (7.15), коэффициенты которых приведены табл. 7.11.

Таблица 7.11

Значения коэффициентов к, к\ и к2 зависимости (7.15) при wb=8,5 %

Величина (01-03)/03 о3<41,4 кПа а3=138 кПа а3>276 кПа

К1 К2 К1 К2 К1 К2

1 2 3 4 5 6 7

<0,15 - - - - 0,081377 -0,786

0,33 - - 0,079933 -0,7951 - -

0,5 - - - - 0,073756 -0,8626

1 0,061756 -0,9034 0,058705 -0,9129 0,059144 -0,9105

2 - - 0,041894 -0,9464 - -

Окончание таблицы. 7.11

1 2 3 4 5 6 7

2 - - 0,041894 -0,9464 - -

>3,33 0,041191 -0,9477 - - - -

Величина (л1-л3)/л3 Значения коэффициента к

л3<41,4 кПа л3=138 кПа л3>276 кПа

<0,15 - - 0,818

0,33 - 0,2947 -

0,5 - - 0,449

1 0,2851 0,2469 0,2856

2 - 0,2389 -

>3,33 0,2656 - -

В табл. 7.12 приведены коэффициенты логарифмической зависимости (7.16), описывающей пластические деформации этого же материала.

Таблица 7.12

Значения коэффициентов к и к1 зависимости (7.16) при ^=8,5 %

Величина (л1-л3)/л3 Значения коэффициентов к1 и к2 при величине напряжения л3

л3<41,4 кПа л3=138 кПа л3>276 кПа

<0,15 - - - - 0,818 0,2789

0,33 - - 0,2947 0,254 - -

0,5 - - - - 0,449 0,1648

1 0,2851 0,1048 0,2469 0,0989 0,2856 0,0963

2 - - 0,2389 0,0568 - -

>3,33 0,2656 0,0561 - - - -

Монисмит провел серию недренированных трехосных испытаний на сжатие с илистой глиной (предел текучести равен 35 %, число пластичности равно 15 %). Анализ экспериментальных данных показывает, что наиболее пригодной является степенная зависимость (7.15). Параметры этой модели к1 и к2 при W/Wт = 0,62 определяются по формулам

К1 = 1,4547 •л-0'452

г Л0,6352-0,0961пст3

л1 -л3

V лз )

к2 = 0,2103• л-0'164- 1п л Лз + (0,0547• 1пл3 -1,1411).

лз

(7.20)

(7.21)

При увеличении характеристики (л1-л3)/л3 в моделях (7.20) и (7.21) величина деформации гд/г100, рассчитанной по формуле (7.15) возрастает.

ГЛАВА 8 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ НАСЛЕДСТВЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ОТ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ВОЗДЕЙСТВИЯ НАГРУЗКИ

8.1 Применение интегральных уравнений наследственных теорий для математического моделирования зависимости пластической деформации от продолжительности воздействия нагрузки

Различия в характере деформирования материалов и грунтов выдвигают определенные требования к модели. Глинистые грунты при возникновении напряжений меньших структурной прочности. испытывают обратимые деформации (см. билинейные модели [80, 275]), а пески уплотняются при напряжениях сколь угодно мало больших нуля [33, 34]. Недостатком билинейных моделей является отсутствие участков нелинейного деформирования. Расширить диапазон напряжений, в котором модели достоверно описывают деформирование материалов и грунтов можно путем включения дополнительных структурных сопротивлений.

Натурные [62] и лабораторные [56, 71] испытания грунтов показывают, что их сопротивление деформированию характеризуется несколькими уровнями. М.Н. Гольдштейн [71] выделял 5 таких сопротивлений, а С.С. Вялов [56] - 2 сопротивления у жидкообразных тел и 4 - в твердых телах.

Предел упругости (истинный предел текучести) ру - предельная величина, ограничивающая сверху множество значений напряжений, при возникновении которых материал проявляет свойства упругого тела. При таких нагрузках материал испытывает мгновенные упругие деформации. В этой стадии работы материала отсутствуют как пластические деформации, так и деформации упругого последействия. В металлах это структурное сопротивление называют пределом пропорциональности [19].

Главные относительные деформации определяются по формулам

81(ум)

а.

Е.

ум

1 -

2-а-р 1 -р

;3(ум) - 8 2(ум)

- р - а1 - [1 - а]

Е.

(8.1)

ум

где Еум - модуль мгновенной упругой деформации (модуль Юнга), МПа.

В диапазоне нагрузок, вызывающих возникновение напряжений, не превышающих предел упругости ру, материал претерпевает мгновенные упругие деформации. При а=1 материал испытывает компрессию, а главные напряжения а2=а3 и относительные деформации определяются по формулам

а2 -аз -

р

г* Я

—-а1 -^-а1, 81(ум)-

а.

Е

ум

1 -

л 2 2-р

1 -р

^з(ум) - 82(ум) - 0 . (8.2)

При а=0 материал испытывает одноосное сжатие, для которого справед-

ливы формулы

а

а2 - а3 - 0; 81(ум) - ; 83(ум) - 8 2(ум) -

р-а1

Е,

ум

Е

--р-81(ум). (8.3)

ум

По глубине полупространства коэффициент а уменьшается в соответствии с (4.11). Тогда изменения деформации вычисляются по формулам

^(ум)

а1

Е

ум

1 -■

2-| 1 -л/Т-К2 ]-р2

1 -р

(8.4)

-р-а1 -[л/ 1 - К 2

;3(ум) -82(ум)

Е

(8.5)

ум

Предел обратимости деформаций (предел структурной прочности) роб -предельное значение, ограничивающее сверху множество значений напряжений, при возникновении которых материал проявляет свойства упруго -вязкого тела, испытывая как упругие деформации, так и деформации упругого последействия.

Максимальное главное напряжение разделим на две части так, что

а1 - Ру +(а1 - Ру ) ,

(8.6)

где ру - часть вертикального нормального напряжения, численно равная пределу упругости материала, Па.

Используя выражение (4.5) для удерживающих напряжений, получим

а2 = а3 = а

■ 1й-.(ру +(<ц -ру))=-

а-ц-ру а-ц-(а1 - ру )

■ +

ц

1 -ц

(8.7)

Таким образом, использование формул (4.5) и (8.6) позволяет разложить горизонтальные нормальные напряжения на две части. Тогда обобщенный закон Гука может быть записан формулами для билинейной модели:

8

1(об)

а

1

Е

1 -

2-а-ц2

^ум

8 3(об) =83(ум) +83(ув)

1 -ц

+

/ ^ )

Е

-(а1 - Ру )-

ув

1 -

2-а-ц2 1 -ц

а1 -ц-(1 -а) ц-(а1 -Ру)-(1 -а)- f(г) ;

Е

ум

Е

ув

8 ^

2(об) =8 2(ум) +8 2 (у в)

а1 -ц-(1 -а) ц-(а1 -РУ )-(1- а)- f (г)

Е.

ум

Е

(8.8)

ув

где Еув - модуль упруговязкой деформации, характеризующий ее максимальное во времени значение в момент условной стабилизации, Па; Лг) - функция времени, характеризующая значение упруговязкой деформации в данный момент времени.

Большое значение имеет определение функции времени Дг). Наиболее универсальная схема решения упруго-вязкой задачи разработана Больцма-ном-Вольтеррой и положена в основу теории наследственной ползучести. В нашем случае интегральное уравнение ползучести имеет вид

'1(ув)

1 1

Е Е у ум ^ув

г

(а-Ру )г )+{(а!-Ру)- К (г-Т ^ (т)

о

(8.9)

где г - момент времени, в который определяется деформация, с; Т - момент времени, когда в теле возникло напряжение С1-ру, с; К(г-Т) - ядро ползучести, являющееся функцией параметров материала и длительности напряженного состояния (г-Т).

Подставив экспоненциального ядро выражения (8.9) в зависимость (8.8)

и выполнив интегрирование, придем к формуле

81(об)

Е

ум

1-

2-а-ц2 1-ц

+ (а1 -РУ )-

1

2-а-ц2 1-ц

Е е

ум ^ув

1-ехр

-_!у

т,

, (8.10)

где гу - продолжительность напряженного состояния с напряжением, превышающим предел упругости, с; Г3 - время запаздывания упруговязкой деформации.

Таким же образом для деформаций расширения получим

;2(об) = 83(об)

ц-ру-(1-а) ( 1 1