Развитие системы поддержки принятия решений в региональной экономике на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Поносов Александр Андреевич

• Поносов Александр Андреевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Поносов Александр Андреевич

Введение

1 Модуль исследования задач управления для непрерывно-дискретных экономико-математических моделей как составная часть систем поддержки принятия решений

1.1 Непрерывно-дискретные динамические экономико-математические модели

1.2 Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной экономико-математической модели

1.3 Два случая приведения непрерывно-дискретных экономико-математических моделей

1.3.1 Приведение непрерывно-дискретной системы к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

1.3.2 Приведение непрерывно-дискретной системы к системе разностных уравнений с дискретным временем

2 Обобщение методов и алгоритмов исследования дискретных моделей, на случай непрерывно-дискретных систем

2.1 Последовательные подстановки

2.2 Приведение задачи к канонической форме

2.3 Коррекция задачи, записанной в канонической форме

2.3.1 Динамическая ресурсная коррекция

2.3.2 Динамическая структурная коррекция

2.4 Алгоритм приведения динамической задачи к исходному виду

для задачи коррекции

2.5 Взаимосвязь методов и алгоритмов

3 Исследование задачи оптимального управления региональной экономической системой на основе непрерывно-дискретной экономико-математической модели

3.1 Подходы к моделированию экономической системы с учетом экологических факторов

3.2 Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной модели развития региона с учетом экологических факторов

3.2.1 Формулировка проблемы

3.2.2 Постановка задачи

3.2.3 Построение математической модели

3.2.3.1 Построение непрерывно-дискретной математической модели

3.2.3.2 Приведение непрерывной подсистемы математической модели к дискретному виду

3.2.4 Содержательная интерпретация используемых ограничений

3.2.5 Решение задачи и его анализ

3.3 Методология исследования задач целевого управления для непрерывно-дискретных моделей

4 Программная реализация алгоритмов исследования непрерывно-дискретных моделей

4.1 Выбор программно-инструментальной среды разработки модуля решения задач управления для непрерывно-дискретных экономико-математических моделей

4.1.1 Раздел «Инструмент моделирования и прогнозирования»

4.1.2 Раздел «Среда разработки приложений»

4.2 Описание инструментальных средств решения задачи управления для непрерывно-дискретной системы уравнений

4.2.1 Область формирования непрерывно-дискретной системы

4.2.1.1 Описание непрерывно-дискретной системы

4.2.1.2 Блок формирования фазовых переменных непрерывно-дискретной модели

4.2.1.3 Блок формирования уравнений непрерывно-дискретной модели

4.2.2 Область формирования задачи целевого управления для

непрерывно-дискретной системы

4.2.2.1 Описание задачи целевого управления для непрерывно-дискретной системы

4.2.2.2 Блок формирования целевой функции для задачи целевого управления для непрерывно-дискретной модели

4.2.2.3 Блок формирования управляющих переменных задачи целевого управления для непрерывно-дискретной модели

4.2.2.4 Блок формирования ограничений задачи целевого управления для непрерывно-дискретной модели

Заключение

Список рисунков

Список таблиц

Литература

Приложения

Приложение А. Программный комплекс решения задач оптимального управления на основе непрерывно-дискретных моделей (ПК РЗОУОНДМ)

Приложение A1. Основные алгоритмы ПК РЗОУОНДМ

Приложение A2. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ: ПК РЗОУОНДМ

Приложение B. Система идентификации непрерывно-дискретных

экономико-математических моделей (СИНДЭММ)

Приложение B1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ: СИНДЭММ

Приложение B2. Справка о внедрении результатов диссертационной

работы в образовательный процесс ФГБОУ ВПО ПГНИУ

Приложение ^ Программный комплекс динамической коррекции противоречивых линейных динамических экономико-математических моделей

Приложение С1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ: ПК ДКПЛДЭММ

Приложение С2. Справка о внедрении результатов диссертационной

работы в ЗАО «ПРОГНОЗ»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие системы поддержки принятия решений в региональной экономике на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей»

Введение

Актуальность темы исследования. Сегодня правительственные институты субъектов Российской Федерации все чаще сталкиваются с проблемой сбалансированного развития региона. Кризисные ситуации в стране требуют оперативных и взвешенных управляющих решений.

Процесс управления складывается из решения совокупности задач, в числе которых оценка влияния на регион большого числа внешних и внутренних факторов. Целостное и объективное решение сложных экономических проблем становится возможно лишь с использованием систем поддержки принятия решений (СППР), которые позволяют учитывать множество экономических факторов и их взаимное влияние, проводить сценарное прогнозирование в парадигме «что будет, если», а также решать задачи целевого управления в парадигме «что необходимо для».

В большинстве случаев СППР представляет собой программный комплекс, в основе которого лежит экономико-математическая модель как система математических соотношений - уравнений и неравенств. При этом сегодня нет СППР, которые учитывали бы различные типы динамики переменных в рамках одной модели. Примерами показателей с разнородной динамикой являются, в частности, экологические характеристики, меняющиеся в непрерывном времени, и переменные, описывающие динамику инвестиций и выдачу кредитов в дискретном времени. Для решения этой проблемы необходимо в основу существующих СППР положить возможность использования экономико-математических моделей с непрерывным и дискретным временем. Трудоемкость и скрытые проблемы формирования модели региона в новом классе непрерывно-дискретных моделей требует разработки нового инструментария.

Формализация экономических процессов в регионе с использованием нового класса динамических моделей позволяет более адекватно описывать реальное поведение системы, и как следствие, вырабатывать более обос-

нованные и результативные решения по управлению региональной экономической системой. Все вышеизложенное обуславливает актуальность темы диссертации, посвященной развитию системы поддержки принятия решений в региональной экономической системе на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей.

Степень научной разработанности проблемы исследования Исследования в области экономико-математического моделирования, как основы разработки СППР, занимают заметное место в современной научной литературе.

Исследованию и моделированию региональных экономических систем посвящены работы Андрианова Д.Л. [4], Викулова В.Е., Гурмана В.И. [23], Дедова Л.А., Литовка О.П., Павлова К.В., Федорова М.М. [83], Ермолаева М.Б., Миролюбовой А.А. [б4], Золотова Т.В. [44], Batabyal A.A., Nijkamp P. [101], Greiner R. [114].

Вопросы моделирования экономических систем c учетом экологических факторов изучались в работах Анциферова И.В. [б], Баркалова Н.Б. [9], Вай-смана Я.И. [1б], Гурмана В.И. [23], Васенова А.В., Шебеко Ю.А. [19], Дружинина П.В. [30], Дэмбэрэла С., Оленева Н.Н., Поспелова И.Г. [33], Зо-лотовой Т.В. [43], Мазалова В.В., Реттиева А.Н. [54], Пыткина А.Н. [80], Agee M.D., Crocker T.D. [8б], Batabyal A.A. [91-97], Batabyal A.A., Beladi H. [98-100], Greiner A., Hartl R.F., Haunschmied J. [113], Kort P.M. [117], Leeves G.D., Herbert R.D. [118], Nahorski Z., Ravn H.F. [119].

Результаты исследования различных классов экономико-математических моделей представлены в работах Андрианова Д.Л. [2], Власовой М.Н., Кузнецова Ю.А., Семенова А.В. [50], Калиткина Н.Н., Карпенко Н.В., Михайлова А.П., Тишкина В.Ф. [45], Максимова В.П. [1,55,5б], Симонова П.М. [10,81], Bouman M., Heijungs R., Van der Voet E., Huppes G. [104], Ichikawa A. [11б], Forrester J.W. [84], Sterner T., Van den Bergh J. [120].

Исследования в области непрерывно-дискретных моделей ведутся относительно недавно. Дополнительную информацию об этом классе моделей можно найти в работах Валуева А.М. [17], Козлова Р.И., Козлова О.Р. [4б, 47], Максимова В.П., Чадова А.Л. [57, 58], Марченко В.А., Зачкевич З. [б0], Марченко В.М., Поддубной О.Н. [б1], Поповой Е.А., Кочкиной Н.А. [79], Agranovich G. [87, 88], De la Sen M. [107-109], De la Sen M., Gallego A., Malaina J.L., Soto J.C. [110], Garavello M. [112]. При этом авторы основное

внимание уделяют различным аспектам математической теории, без раскрытия прикладных аспектов данного класса задач применительно к экономике.

Следует также отметить работы, посвященные преобразованию одного класса моделей к другому, так, например, в работах [27-29] можно найти описание подходов к дискретизации непрерывных уравнений, но как таковые «гибридные» системы в этих работах не рассматриваются.

Детальное описание задач целевого управления для экономико-математических моделей можно найти в работах Батурина В.А., Гончаровой Е.В., Малтугуевой Н.С. [11], Бортаковского А.С. [13,15], Валуева А.М. [18], Дыхты В.А. [31,32], Еремченко С.М. [41], Лемперта А.А., Урбано-вича Д.Е. [52], Минюк С.А., Панасик О.А. [63], Поносова Д.А. [74, 78], Borrelli F. [102], Bortakovskii A.S. [103], Clarke F.H., Vinter R.B. [106], Dmitruk A.V., Kaganovich A.M. [111], Sworder D.D., Boyd J.E. [121].

Ряд исследователей посвятили свои работы описанию методов и алгоритмов автоматизации построения математических моделей с использованием специализированного программного обеспечения, которые могут применяться при разработке систем поддержки принятия решений. Среди таких публикаций выделим работы Угольницкого Г.А., Усова А.Б. [82], Чадова А.Л. [85], Branicky M.S., Borkar V.S., Mitter S.K [105] как наиболее близкие к теме диссертации.

Таким образом, исследований в данной области довольно много, но ни в одной из упомянутых работ нет описания методов и алгоритмов, реализованных в системах поддержки принятия решений, способных в программном режиме ставить и решать задачи целевого управления для региональных непрерывно-дискретных экономических моделей с учетом экологических факторов.

Объект исследования - региональные экономические системы.

Предметом исследования выступают социально-экономические процессы и явления, протекающие в региональных экономических системах.

Основная гипотеза. Развитие региональной экономической системы может быть описано с помощью экономико-математической модели в форме системы уравнений, связывающих основные показатели и управляющие переменные, дополненной ограничениями на переменные в форме равенств и неравенств.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является повышение точности моделирования и управления экономикой региона, на основе развития системы поддержки принятия решений в региональной экономической системе с использованием непрерывно-дискретных экономико-математических моделей.

Реализация поставленной цели обусловила необходимость решения следующих задач:

1. Предложить и обосновать метод расчета параметров сбалансированного развития региональной экономической системы с учетом целевых установок и разнородной динамики протекающих в ней процессов на основе постановки и решения задачи целевого управления для непрерывно-дискретной динамической модели.

2. Построить непрерывно-дискретную динамическую модель региональной экономической системы, описывающую ее основные социально-экономические процессы.

3. Разработать методологию компьютерного эксперимента в исследовании задач целевого управления регионом на основе непрерывно-дискретных экономико-математических моделей.

4. Создать комплекс программ, развивающий систему поддержки принятия решений в части использования нового класса динамических моделей для решения задач целевого управления региональной экономической системой.

Область исследования соответствует паспорту научной специальности ВАК 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики» по следующим пунктам: п.1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании»; п.1.2. «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения

социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей»; п.2.1. «Развитие теории, методологии и практики компьютерного эксперимента в социально-экономических исследованиях и задачах управления»; п.2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях».

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют труды отечественных и зарубежных учёных в области теории и методологии непрерывно-дискретного моделирования, экономико-математического моделирования и автоматизированных аналитических систем. При проведении исследования использованы методы системного анализа, экономико-математического моделирования, в том числе эконометрические методы, методы теории функционально-дифференциальных систем, численные методы, средства разработки и интеграции программных продуктов.

Информационной основой исследования служат официальные данные территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Пермскому краю и Министерства экономического развития РФ, а также ряда других официальных источников.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Предложен и обоснован метод расчета параметров сбалансированного развития региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления для непрерывно-дискретной динамической модели экономики региона с учетом экологических факторов. Данный метод охватывает более широкий по сравнению с известными класс математических моделей и развивает методы оптимального управления экономическими системами. Он повышает обоснованность управленческих решений в политике развития региона за счет дополнительного учета экологических факторов и типа динамики процессов, протекающих в экономической системе. Возможность программной реализации нового метода обеспечивается разработанным алгоритмом редукции непрерывно-дискретной модели к системе разностных уравнений, что позволяет эффективно исследовать задачу управления на основе вычислительного эксперимента (п.1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, приклад-

ной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, главы 1 и 3, разделы 1.2, 1.3 и 3.2.1, стр. 19-33, 56-57).

2. Дано математическое описание основных социально-экономических процессов региона в виде непрерывно-дискретной динамической модели, охватывающей, в отличие от традиционно используемых моделей с дискретным временем, как непрерывные процессы, например, самоочищение окружающей среды и непрерывное производство, так и дискретные процессы, в том числе процессы инвестирования и кредитования (п.1.2. «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, глава 3, раздел 3.2.3, стр. 57-77).

3. Разработана и апробирована методология компьютерного эксперимента в исследовании задач целевого управления регионом на основе непрерывно-дискретной экономико-математической модели. Методология охватывает новый класс динамических моделей, содержащих переменные как непрерывного, так и дискретного аргумента и учитывающих эффекты последействия. На основе разработанной методологии проведен компьютерный эксперимент по исследованию задачи целевого управления для непрерывно-дискретной экономико-математической модели Пермского края с учетом экологических факторов (п.2.1. «Развитие теории, методологии и практики компьютерного эксперимента в социально-экономических исследованиях и задачах управления» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, глава 3, разделы 3.2.4, 3.2.5 и 3.3, стр. 77-90).

4. Создан программный комплекс, развивающий систему поддержки принятия решений в части использования нового класса динамических моделей для решения задач целевого управления региональной экономической системой. Преимуществом доработанной СППР является возможность решения задач целевого управления для непрерывно-дискретных экономи-

ческих моделей, а также динамическая коррекция противоречивых моделей в программном режиме (п.2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях» паспорта специальности 08.00.13 ВАК РФ, главы 2 и 4, разделы 2.5 и 4.2, стр. 49-51, 96-113).

Теоретическая значимость исследования заключается в разработке концептуального подхода к решению задач целевого управления для нового класса динамических моделей экономических систем, методологии и алгоритмов компьютерного эксперимента, направленных на развитие инструментальных систем поддержки принятия решений по эффективному управлению экономической системой.

Практическая значимость исследования определяется тем, что теоретические положения, разработанные в диссертации, реализованы в виде инструментальных средств в среде моделирования Prognoz Platform1.

Созданное инструментальное средство используется в коммерческих проектах компании ЗАО «ПРОГНОЗ» и направлено на решение задач целевого управления для непрерывно-дискретных экономических и эколого-экономических моделей развития регионов.

Результаты теоретико-методологических исследований автора используются при чтении лекций, проведении практических занятий и лабораторных работ по дисциплинам «Методы оптимальных решений», «Эконометрика» и «Современные информационные системы в управлении организацией» в ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет».

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №10-01-96054) и Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках Постановления Правительства РФ от 9.04.2010 г. № 218 (государственный контракт №02.G25.31.0039).

Степень достоверности и апробация работы. Достоверность и обоснованность выводов подтверждается корректным теоретическим обоснованием приведенных утверждений. Все результаты подтверждены исследованиями, проведенными с использованием реальных статистических данных развития региона.

1 Подробнее: www.prognoz.com

Основные положения и результаты работы были представлены в виде докладов и получили положительную оценку на конференции «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения» (г. Пермь, апрель

2011 г.), на VI всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий (ЭКОМОД-2011)» (г. Киров, июнь - июль 2011 г.), на международной конференция Колмо-горовские чтения - V «Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2011)» (г. Тамбов, октябрь 2011 г.), на конференции «Экономика и управление: актуальные проблемы и поиск путей решения» (г. Пермь, апрель 2012 г.), на всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (г. Ижевск, май

2012 г.), на II-я Международной научной конференции «Актуальные проблемы экономики и управления (МК-2013-023)» (г. Москва, апрель 2013 г.), на международной конференции Колмогоровские чтения - VI «Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2013)» (г. Тамбов, октябрь 2013 г.), на «IX Международном научном конгрессе 2014» (г. Москва, апрель 2014 г.), на VIII всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий (ЭКОМОД-2014)» (г. Москва, октябрь 2014 г.), на открытом городском семинаре «Perm Workshop on Applied Economic Modeling» (г. Пермь, февраль 2015 г.), на семинарах Лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей, ПГНИУ (г. Пермь, 2012-2015 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 научных работ, общим объемом 4,12 п.л., из них 5 работ (2,45 п.л.), отражающие основные результаты диссертационной работы, опубликованы в изданиях, входящих в список, определенный ВАК Министерства образования и науки РФ. Также по теме диссертационной работы зарегистрировано 3 программных кода для ЭВМ.

Из результатов совместных работ в диссертацию включены только результаты, принадлежащие автору лично.

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 129 страницах основного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, иллюстрирована 8 таблицами и 13 рисунками. Библиографический

список содержит 121 наименование литературных источников, в том числе 85 отечественных и 36 зарубежных.

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулирована научная новизна, приведены цель и задачи исследования, перечислены наиболее существенные результаты, дана общая характеристика работы.

В первой главе «Модуль исследования задач управления для непрерывно-дискретных экономико-математических моделей как составная часть систем поддержки принятия решений» ставится задача целевого управления для непрерывно-дискретной экономико-математической модели; дается описание схемы приведения исходной модели к задаче, основанной на использовании разностных уравнений с дискретным временем.

Во второй главе «Обобщение методов и алгоритмов исследования дискретных моделей, на случай непрерывно-дискретных систем» представлены вспомогательные алгоритмы и методы, которые легли в основу разработанного программного комплекса, в том числе, формируется алгоритм исследования задачи на разрешимость и описываются применяемые методы возможной динамической коррекции.

В третьей главе «Исследование задачи оптимального управления региональной экономической системой на основе непрерывно-дискретной экономико-математической модели» рассматривается задача оптимального управления для непрерывно-дискретной модели развития Пермского края, с применением разработанных алгоритмов.

В четвертой главе «Программная реализация алгоритмов исследования непрерывно-дискретных моделей» описана архитектура разработанного программного обеспечения, дается описание существенных деталей программной реализации.

В заключении приведены основные выводы и результаты работы, оценено их практическое значение и даны рекомендации по дальнейшему развитию разработанных в диссертации методик и моделей.

В приложении представлены листинг основного программного кода, свидетельства о регистрации программных кодов для электронных вычислительных машин, разработанных на языке системы компьютерной алгебры Maple и в среде моделирования Prognoz Platform, а также справки о внедрении результатов диссертационной работы.

Глава 1

Модуль исследования задач управления для непрерывно-дискретных экономико-математических

моделей как составная часть систем поддержки принятия

решений

В большинстве случаев система поддержки принятия решений (СППР) представляет собой программный комплекс, в основе которого лежит экономико-математическая модель как система математических соотношений - уравнений и неравенств. При этом сегодня нет СППР, которые учитывали бы различные типы динамики переменных в рамках одной модели. Примерами показателей с разнородной динамикой в региональных экономических системах являются, в частности, экологические характеристики, меняющиеся в непрерывном времени, и переменные, описывающие динамику инвестиций и выдачу кредитов в дискретном времени. Для решения этой проблемы необходимо использовать модуль исследования задач управления для непрерывно-

дискретных экономико-математических моделей как составную часть систем поддержки принятия решений.

1.1 Непрерывно-дискретные динамические

экономико-математические модели

В работе рассматриваются задачи управления для непрерывно-дискретных систем, получаемые в результате моделирования динамики показателей экономических субъектов. Другими словами, система содержит две подсистемы: с непрерывным и дискретным временем. Для подсистемы с непрерывным временем 0 < £ < Т — множество моментов времени, в которые наблюдаются показатели экономического субъекта и в которые возможно осуществление управления. Т — период управления моделью.

Через АСп[0,Т] обозначим пространство абсолютно непрерывных функций х : [0,Т] ^ Яп, Ьп[0,Т]—пространство суммируемых по Лебегу функ-

т

ций г : [0,Т] ^ Яп, ||х||АСп = |х(0)| + ||х, ||г= ^ (£)!<£, где |а| = тах = 1,..,п для а = со1(а\,.., ап) Е Яп, а также определим пространство для элементов управления непрерывной подсистемы как пространство функций V : [0,Т] ^ Кт суммируемых с квадратом, с нормой

!М|«. = (/оТ IV (4)|2Я)1/2.

Рассматривая дискретную подсистему, зафиксируем множество: J = £2,..., 0 = ¿0 < ¿1 < ... = Т. Через ГБп(р), следуя [58] обозначим пространство функций у : J ^ Яп с нормой ||у||^£«(м) = Г=1 !у(^)|п, где ||^||п — норма в Яп (далее, если размерность пространства очевидна, индекс у нормы будем опускать).

Таким образом, переменные в модели будут иметь следующий смысл:

• x : [0, Т] ^ Яп — вектор-функция фазовых переменных, характеризующих состояние экономического субъекта, в непрерывном времени;

• у (и) Е Я",{ = 1, 2,... — вектор фазовых переменных, характеризующих состояние экономического субъекта в дискретный момент времени

• V : [0, Т] ^ Ят, — вектор-функция управляющих переменных, с помощью данного управления осуществляется воздействие на динамику переменных, зависящих от непрерывного времени;

• п(и) Е ЯТ,г = 1, 2,... — вектор управляющих переменных в дискрет-

I _

ный момент времени г^ с помощью данного управления осуществляется воздействие на динамику переменных, зависящих от непрерывного времени.

Здесь и далее, для краткости, будем использовать понятия: «непрерывная подсистема» и «дискретная подсистема». Данная терминология будет обозначать:

• «непрерывная подсистема» - одно или несколько уравнений системы, которые описывают поведение фазовых переменных, зависящих от непрерывного времени;

• «дискретная подсистема» - одно или несколько уравнений системы, которые описывают поведение фазовых переменных, зависящих от дискретного времени;

Взаимное влияние непрерывной и дискретной подсистемы, а также влияние управляющих переменных на фазовое состояние объекта описывается уравнениями:

ад = Ах(г) + ^ в ) + (^)(*) + /(г), г е [о, Т], (1.1)

3 <

у(г») = ^ Рх(гз)+ ^ В3у(гз)+ ^ 03п(г3)+д(и), I = 1,2,...,д, (1.2)

3 '^3 3 '^3 <^г 3 '^з —^г

где подсистема (1.1) описывает динамику переменной х(г) с непрерывным временем, а подсистема (1.2) описывает динамику переменной у (¿¿) с дискретным временем (0 = г0 < < ... < = Т). Здесь А,В3 (г),Р3, ^03 — матрицы соответствующих размерностей, причем А, р, , 03 — постоянные, а матрицы В3 (г) — с суммируемыми элементами. В первое уравнение системы (1.1-1.2) включено управление v(t),v Е Ь^[0,Т] и V : Ь^[0,Т] ^ Ьп[0,Т] -

линеиныи ограниченным вольтерров оператор, «реализующим» управление v. Напомним, что оператор ^ называется вольтерровым, если для любого т Е [а, Ь] и любых таких г1, г2 из его области определения, что г^) = на [а,т], выполняется на [а, т] равенство (Гг\)^) = (^г2)(£) (подробнее см. [1]).

Подсистемы (1.1)—(1.2) связаны между собоИ по состояниям, управление входит как в дискретную подсистему, определяя поведение ее траектории в зависимости от сечении х^.) траектории непрерывной подсистемы, так и оказывает воздействие непосредственно в (1.1), помимо косвенного влияния через компоненты у(^-).

Отметим, что форма задания (1.1),(1.2) уравнении динамики позволяет обходится без специального задания предыстории. При необходимости информацию о предыстории можно включить в функции / и д.

Начальные состояния подсистем считаются заданными:

х(0) = хо,у (0) = уо. (1.3)

Замечание 1. В дальнеишем, имея в виду конечномерную реализацию, мы сужаем пространство управлении до пространства кусочно-постоянных функции вида

р

V (¿) = Е ХЪ-иЪ )(Ф., (1.4)

3=1

где V. — постоянная внутри соответствующего интервала. На таком пространстве для (Vv)(t) будем иметь

рр

(Vv)(t) = (V(£ х^))(t) = £ ))М V. = £ V.(ф.. (1.5)

4

3=1 3=1

Приведем иллюстрирующии пример. Если V - оператор интегрирования:

(^)М = /' v (.)*, (1.6)

о

то для t Е [т2,тз)

рЬ р ПТ\ ПТ2 Н

/ Х[Тд-1,Т3-(з = (ЗУ 1 + / (ЗУ2 + / (ЗУ3 =

./0 ■=1 ./0 ,/т1 ,/Т2

3 С1-7)

= VI + ^2 - т1) ^2 + (£ - Т2) ^3.

VI ^2 V!

Таким образом, в рамках данной работы используемая подсистема (1.1) может быть записана в эквивалентном виде

ад = лад + £ в) + £ V;-(ф, + /(*), * е [о,т]. (1.1)

3 : ^ <Ь ; : ^ <ь

1.2 Постановка задачи управления для непрерывно-дискретной экономико-

математической модели

Рассмотрим постановку задачи целевого управления для системы: (1.11.3).

На данную модель могут быть наложены линейные ограничения. Часть таких ограничений может быть записана в виде системы равенств:

ПУ = Y, (1.8)

где 7 е Ям, п : ^ Ям — линейный ограниченный вектор-

функционал. Всякий такой вектор-функционал имеет представление:

ПУ = £г* у(4), (1.9)

к=0

где Гк, к = 0, д — постоянные (Ы х п)-матрицы.

В виде (1.8) представимы, например, следующие ограничения:

1. Ограничения на значение фазовой переменной дискретного аргумента в

заданной точке: у(^) = 7^ в частности терминальное условие у(£м) = 7м;

2. Балансовые ограничения в фиксированным момент времени: уг1 (£.) + у¿2 (^) + • • • + Уг, ) = Угт^), ^ = 1, 2,..., д, которые связывают различные компоненты вектора у;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Поносов Александр Андреевич, 2016 год

Литература

1. Aзбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 384 с.

2. Андрианов Д. Л. Краевые задачи и задачи управления для линейных разностных систем с последействием // Известия высших учебных заведений. Математика. 1993. № 37 (5). С. 3-16.

3. Андрианов Д. Л., Поносов А. А., Поносов Д. А. Целевое управление процессом развития текстильно-швейной отрасли Российской Федерации // Вестник Пермского университета. Серия: Экономика. 2011. № 4. С. 92101.

4. Андрианов Д. Л., Селянин А. О., Шевыров П. В., Юдин А. А., Зар-гарян П. А., Рачева Е. А. Целевое управление процессами социально-экономического развития субъектов Российской Федерации: моделирование, информационное, математическое и инструментальное обеспечение. Перм. гос. ун-т. Пермь, 2008. - 240 с.

5. Андрианов Д. Л., Тихомиров С. Г. Аналитика-капитал. Т. XI: Генезис информатики и аналитики в корпоративном и административном управлении / М.: ВИНИТИ РАН, 2005. - 350 с.

6. Анциферова И. В. Экологический менеджмент / Изд-во Перм. гос. техн. ун-та. - Пермь, 2007. - 272 с.

7. Афанасьев Ю. А., Фомин С.А., Меньшиков В.В. Мониторинг и методы контроля окружающей среды. М.: Изд-во МНЭПУ, 1998. - 377 с.

8. Бакуменко Л., Коротков П. Статистический анализ влияния качества питьевой воды на здоровье населения региона // Прикладная эконометрика. 2011. №2.-С. 32-47.

9. Баркалов Н. Б. Производственные функции в моделях экономического роста. Изд-во Московского унив. - 1981.

10. Батищева С. Э., Каданэр Э. Д., Симонов П. М. Экономико-математическое моделирование: учеб. Пособие. Ч. 2: Моделирование макроэкономических процессов / Перм. гос. ун-т. - Пермь, 2010. - 241 с.

11. Батурин В.А., Гончарова Е.В., Малтугуева Н.С. Итеративные методы решения задач оптимального управления логико-динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. № 5. С. 53-61.

12. Бобылев С. Н., Ходжаев А. Ш. Экономика природопользования: Учеб. пособие / Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Москва, 2003. - 567 с.

13. Бортаковский А.С. Необходимые условия оптимальности управления логико-динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 6. С. 16-33.

14. Бортаковский А.С. Оптимальное и субоптимальное управление пучками траекторий детерминированных непрерывно-дискретных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 1. С. 18-33.

15. Бортаковский А.С. Оптимальное и субоптимальное управление пучками траекторий детерминированных логико-динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6. С. 29-46.

16. Вайсман Я. И. Экологическая политика и экологический менеджмент в странах Европейского сообщества и России. Изд-во Перм. гос. техн. унта. - Пермь, 2007. - 412 с.

17. Валуев А. М. Моделирование транспортных процессов в формализме гибридных систем // Москва. XII Всероссийское совещания по проблемам управления. 2014. С. 5033-5043.

18. Валуев А. М. О моделях и методах оптимизации в задачах управления процессами горного производства // Москва. XII Всероссийское совещания по проблемам управления. 2014. С. 4264-4275.

19. Васенов А. В., Шебеко Ю. А. Моделирование проблемных ситуаций в экологии // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 7. С. 69-74.

20. Василенко В.А. Экология и экономика: проблемы и поиск путей устойчивого развития / СО РАН. ГПНТБ, ИЭиОПП. - Новосибирск, 1997. -123 с.

21. Васильева Е. Э. Экономика природопользования: учебно-методический комплекс / Минск: БГУ, 2003. - 123 с.

22. Ватолин А. А. Методы анализа несобственных задач математического программирования: Дисс. канд. физ.-матем. наук: 01.01. 09. - 1984.

23. Викулов В. Е., Гурман В. И. и др. Эколого-экономическая стратегия развития региона: Математическое моделирование и системный анализ на примере Байкальское региона. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. -1990.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Оптимальное управление гибридными системами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. № 6. С. 42-52.

25. Гофман В. Р. и др. Эколого-экономические аспекты химического загрязнения окружающей среды автотранспортом // Вестник ЮУрГУ. 2009. № 1. С. 20-27.

26. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985.-288 с.

27. Драница Ю. П. Моделирование одномерных динамических процессов с целью предварительной обработки результатов // Вестник МГТУ. Тр. Мурм. гос. технич. ун-та. Мурманск, 2001. Т. 4. № 1.

28. Драница Ю. П., Драница А. Ю. Некоторые постановки задач интерпретации временных последовательностей на основе линейного моделирования // «Дифференциальные уравнения и процессы управления»: электронный журнал. 2009. №. 4.

29. Драница Ю. П., Драница А. Ю., Алексеевская О. В. О связи непрерывной и дискретной моделей для линейных динамических систем. // Дифференциальные уравнения и процессы управления: электронный журнал 2010. № 3.

30. Дружинин П. В. Оценка влияния развития экономики на окружающую среду // Экономика и математические методы. 2010. Т. 46. № 4.

31. Дыхта В.А. Импульсное оптимальное управление в моделях экономики и квантовой электроники // Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 100-112.

32. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. // М.: Физматлит, 2003. - 256 с.

33. Дэмбэрэл С., Оленев Н. Н., Поспелов И. Г. К математической модели взаимодействия экономических и экологических процессов // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 4. С. 107-121.

34. Еремин И. И. Методы фейеровских приближений в выпуклом программировании // Математические заметки. 1968. Т. 3. № 2. С. 217-234.

35. Еремин И. И. Противоречивые модели оптимального планирования. М.: Наука, 1988. - 160 с.

36. Еремин И. И. Фейеровские методы сильной отделимости выпуклых полиэдральных множеств // Известия высших учебных заведений. Математика. 2006. № 12.

37. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 192 с.

38. Еремин И. И., Мазуров В. Д. Нестационарные процессы математического программирования. М.: Наука, 1979. - 288 с.

39. Еремин И. И., Мазуров В. Д., Астафьев Н. Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1983. - 336 с.

40. Еремин И. И., Попов Л. Д. Замкнутые фейеровские циклы для несовместных систем выпуклых неравенств // Известия высших учебных заведений. Математика. 2008. № 1. С. 1-17.

41. Еремченко С.М. Задача оптимального управления для одного класса авторегрессионных моделей // Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: сб. ст. Перм. гос. ун-т. Пермь, 2004. С. 39-45.

42. Ерохин В. И. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений и несобственных задач линейного программирования: Автореф. дис. ... д. ф.-м. наук. Москва, 2006. - 36 с.

43. Золотова Т. В. Игровая постановка задачи стимулирования производственных предприятий на разработку мер по снижению ущерба окружающей среде // Управление большими системами: сборник трудов. 2008. № 21. С. 145-164.

44. Золотова Т. В. Вопросы согласования интересов в региональной иерархической модели сохранения природных ресурсов // Управление большими системами: сборник трудов. 2009. № 26. С. 81-101.

45. Калиткин Н. Н. и др. Математические модели природы и общества // М.: Физматлит, 2005. - 360 с.

46. Козлов Р.И., Козлова О.Р. Исследование устойчивости непрерывно-дискретных моделей экономической динамики методом ВФЛ. I // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 2. С. 104-113.

47. Козлов Р.И., Козлова О.Р. Исследование устойчивости непрерывно-дискретных моделей экономической динамики методом ВФЛ. II // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 3. С. 41-50.

48. Кондратьева В. А. Несобственные задачи линейной оптимизации и параметрическое программирование: Автореф. дис. ... к. ф.-м, 2000. - 16 с.

49. Красников А. С. Матричная коррекция противоречивых данных в линейных оптимизационных моделях: Автореф. дис. ... к. ф.-м. - Москва, 2004. - 16 с.

50. Кузнецов Ю.А., Семенов А.В., Власова М.Н. Математическое моделирование оптимального использования невозобновляемых природных ресурсов // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 32. С. 45-57.

51. Култышев С. Ю., Култышева Л. М. Приближенная идентификация при измерениях с погрешностями // Вестник ПГТУ. Пермь. 2010. С. 55.

52. Лемперт А. А., Урбанович Д. Е. Оптимизация сбросов загрязняющих веществ в бассейне реки при экологических ограничениях // География и природные ресурсы, отд. выпуск. 2004. С. 212-215.

53. Лучшева В. В., Рюмина Е. В. Методологические проблемы экономики природопользования // Вестник Российского гуманитарного научного фонда. 2007. № 3. С. 91-98.

54. Мазалов В. В., Реттиева А. Н. Равновесие по Нэшу в задачах охраны окружающей среды // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 5. С. 73-90.

55. Максимов В. П., Поносов Д.А., Чадов А.Л. Некоторые задачи экономико-математического моделирования // Вестник Пермского университета. Серия: Экономика. 2010. № 3. С. 45-50.

56. Максимов В. П., Чадов А. Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики // Вестник Пермского университета. Серия: Экономика. 2011. № 2. С. 13-23.

57. Максимов В. П., Чадов А. Л. Об одном классе управлений для функционально-дифференциальной непрерывно-дискретной системы // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 9. С. 72-76.

58. Максимов В. П., Чадов А. Л. Дискретное управление фукционально-дифференциальной непрерывно-дискретной системой // Вестник пермского университета. Серия: Экономика. 2013. № 1 (16). С. 6-11.

59. Мартышевский И.А., Поносов А.А. Постановка, анализ и коррекция задачи оптимального управления эколого-экономическим развитием региона в среде моделирования «Prognoz Platform» // VIII Всероссийская научная

конференция с международным участием «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий». Москва. 2014. С. 61.

60. Марченко В. М., Зачкевич З. Представление решений управляемых гибридных дифференциально-разностных импульсных систем // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 12. С. 1775-1786.

61. Марченко В. М., Поддубная О.Н. Представление решений и относительная управляемость линейных дифференциально-алгебраических систем с многими запаздываниями // Докл. РАН. 2005. Т. 404. № 4. С. 465-469.

62. Медоуз Д. Пределы роста. 30 лет спустя / Медоуз Д., Рандерс Й., Медоуз Д.;[пер. с англ.] // М.: Академкнига, 2008. - 342 с.

63. Минюк С.А., Панасик О.А. Критерии управляемости и достижимости линейных алгебро-дифференциальных систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. № 5. С. 5-18.

64. Миролюбова А.А., Ермолаев М.Б. Подходы к анализу и прогнозированию инвестиционных вложений в реальный сектор экономики региона на основе эконометрического моделирования // Известия высших учебных заведений. Серия: Экономика, финансы и управление производством. 2013. №1(15). С. 103-106.

65. Официальный сайт компании ЗАО «Прогноз» http://www.prognoz.com/ (дата обращения: 01.03.2015).

66. Официальный сайт Министерства экономического развития РФ http://economy.gov.ru/minec/main (дата обращения: 01.03.2015).

67. Официальный сайт Федеральной службы государственной статистики http://www.gks.ru/ (дата обращения: 01.03.2015).

68. Официальный сайт Федеральной таможенной службы приволжского таможенного управления http://ptu.customs.ru/ (дата обращения: 01.03.2015).

69. Официальный сайт: Пермский региональный сервер http://www.perm.ru/ (дата обращения: 01.03.2015).

70. Официальный сайт: Территориальный орган федеральной службы государственной статистики по Пермскому краю http://permstat.gks.ru/ (дата обращения: 01.03.2015).

71. Поносов А. А. Задача управления для динамической модели эколого-экономического развития // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. № 5-2. С. 2643-2644.

72. Поносов А.А. К вопросу об управлении развитием региона с учетом экологических факторов // Актуальные проблемы экономики и управления: сборник материалов международной научной конференции. Москва. 2013. С. 50-53.

73. Поносов А.А. Об одной задаче целевого управления для непрерывно-дискретной эколого-экономической модели развития Пермского края // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2015. Т. 6 (78). - URL: http://www.uecs.ru/.

74. Поносов А. А., Поносов Д. А. Задача оптимального управления для модели текстильно-швейной отрасли Российской Федерации // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16. №4. С. 1157-1159.

75. Поносов А.А., Поносов Д.А. О моделировании эколого-экономического развития региона // Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО. 2012. № 4. С. 142-146.

76. Поносов Д. А. Динамическая коррекция задач управления для экономико-математических моделей: Автореф. дис. ... к.э.н. - Пермь, 2012. - 29 с.

77. Поносов Д.А. Динамическая коррекция задач управления для экономико-математических моделей: дис. ... к.э.н. - Пермь, 2012. - 184 с.

78. Поносов Д. А., Чадов А. Л. Применение алгоритмов глобальной оптимизации к задаче целевого управления для динамических моделей экономики с дискретным временем // Моделирование экономических процессов в

условиях инновационного пути развития России: сборник научных работ кафедры ММАЭ МГУ. Москва. 2009. С. 103-113.

79. Попова Е.А., Конкина Н.А. Идентификация гибридных динамических моделей на примере регионального оптового рынка электроэнергии. // Региональная экономика: теория и практика. 2014. № 40. С. 35-43.

80. Пыткин А. Н. Инновация экономики: региональный аспект // Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН. 2008.

81. Симонов П. М. Экономико-математическое моделирование. Динамические модели экономики: учеб. пособие: в 2 ч. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2009. - 274 с.

82. Угольницкий Г. А., Усов А. Б. Информационно-аналитическая система управления эколого-экономическими объектами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 6. С. 230-238.

83. Федоров М.М., Павлов К.В., Дедов Л.А., Литовка О.П. Структурно-динамический подход к исследованию эколого-экономических систем // Региональная экономика: теория и практика. 2006. № 12. С.13 - 21.

84. Форрестер Д. Мировая динамика / Джей Форрестер:[пер. с англ. А. Во-рощук, С. Пегова]. М.: ООО Изд-во АСТ, 2003.

85. Чадов А. Л. К вопросу о компьютерном исследовании непрерывно-дискретных моделей // Известия Института математики и информатики УДГУ. Ижевск,2012. №1(39). С. 145-146.

86. Agee M. D., Crocker T. D. Economies, human capital, and natural assets // Environmental and Resource Economics. 1998. Т. 11. № 3-4. P. 261-271.

87. Agranovich G. Observability criteria of linear discrete-continuous systems // Functional Differential Equations. 2009. Т. 16. № 1, P. 35-51.

88. Agranovich G. Observer for Discrete-Continuous LTI systems with continuous-time measurements // Functional Differential Equations. 2011. V. 18. № 1-2. P. 3-12.

89. Azbelev N. V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L. F. Introduction to the theory of functional differential equations: methods and applications. N.Y.: - Hindawi Publishing Corporation, 2007. - 314 pp.

90. Balluchi A. et al. Automotive engine control and hybrid systems: Challenges and opportunities // Proceedings of the IEEE. 2000. V. 88. № 7. P. 888-912.

91. Batabyal A. A. Consistency and optimality in a dynamic game of pollution control. I: Competition // Environmental and Resource Economics. 1996. V. 8. № 2. P. 205-220.

92. Batabyal A. A. Consistency and optimality in a dynamic game of pollution control. II: Monopoly // Environmental and Resource Economics. 1996. V. 8. № 3. P. 315-330.

93. Batabyal A. A. Aspects of the optimal management of cyclical ecological-economic systems // Ecological Economics. 1999. V. 30. № 2. P. 285-292.

94. Batabyal A. A. Developing countries and environmental protection: Contract design in perfectly correlated environments // Open Economies Review. 1999. V. 10. № 3. P. 305-323.

95. Batabyal A. A. A renewal theoretic approach to environmental standard setting // Applied Mathematics Letters. 2000. V. 13. № 4. P. 115-119.

96. Batabyal A. A. A theoretical inquiry into aspects of the structure and the management of ecological-economic systems // Stochastic Environmental Research and Risk Assessment. 2001. V. 15. № 2. P. 173-184.

97. Batabyal A. A. The persistence of ecological-economic systems: Alternate measures and their properties // The Annals of Regional Science. 2003. V. 37. № 2. P. 323-336.

98. Batabyal A. A., Beladi H. A dynamic analysis of protection and environmental policy in a small trading developing country // European Journal of Operational Research. 2002. V. 143. № 1. P. 197-209.

99. Batabyal A. A., Beladi H. On the optimal management of a class of aquatic ecological-economic systems // European Journal of Operational Research. 2001. V. 132. № 3. P. 561-568.

100. Batabyal A. A., Beladi H. On the choice of the optimal temporal control in renewable resource management // Stochastic Environmental Research and Risk Assessment. 2002. V 16. № 5. P. 325-332.

101. Batabyal A. A., Nijkamp P. The environment in regional science: An eclectic review // Papers in Regional Science. 2003. V. 83. № 1. P. 291-316.

102. Borrelli F. Constrained optimal control of linear and hybrid systems. Springer, 2003. - 206 pp.

103. Bortakovskii A. S. Optimal and suboptimal control for sets of trajectories of deterministic continuous-discrete systems // Journal of Computer and Systems Sciences International. 2009. V. 48. № 1. P. 14-29.

104. Bouman M. et al. Material flows and economic models: an analytical comparison of SFA, LCA and partial equilibrium models // Ecological Economics. 2000. V. 32. № 2. P. 195-216.

105. Branicky M. S., Borkar V. S., Mitter S. K. A unified framework for hybrid control: Model and optimal control theory //Automatic Control, IEEE Transactions on. 1998. V. 43. № 1. P. 31-45.

106. Clarke F. H., Vinter R. B. Optimal multiprocesses // SIAM Journal on Control and Optimization. 1989. V. 27. № 5. P. 1072-1091.

107. De la Sen M. On the controller synthesis for linear hybrid systems // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 2001. V. 18. № 4. P. 503529.

108. De la Sen M. Stability tests for two common classes of linear time delay and hybrid systems // Lithuanian Mathematical Journal. 2002. V. 42. № 2. P. 120-132.

109. De la Sen M. Identification of a class of hybrid systems // IMA Journal of Mathematical Control and Information . 2003. P. 233-261.

110. De La Sen M. et al. Control of a Class of Hybrid Systems with Combined Continuous and Discrete Objectives // Proceedings of the 11th WSEAS International Conference on SYSTEMS, 2007. P. 67-74.

111. Dmitruk A. V., Kaganovich A. M. The hybrid maximum principle is a consequence of Pontryagin maximum principle // Systems and Control Letters. 2008. V. 57. № 11. P. 964-970.

112. Garavello M., Piccoli B. Hybrid necessary principle // SIAM Journal on Control and Optimization. 2005. V. 43. № 5. P. 1867-1887.

113. Greiner A. et al. Optimal periodic development of a pollution generating tourism industry // European Journal of Operational Research. 2001. V. 134. № 3. P. 582-591.

114. Greiner R. Systems framework for regional-scale integrated modelling and assessment // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. V. 64. № 1. P. 41-51.

115. Groller E. et al. The geometry of wonderland // Chaos, Solitons and Fractals. 1996. V. 7. № 12. P. 1989-2006.

116. Ichikawa A., Katayama H. Linear time varying systems and sampled-data systems. Springer Science and Business Media, 2001. - 265pp.

117. Kort P. M. Optimal investment policies for a polluting firm in an uncertain environment // European Journal of Operational Research. 1995. V. 85. № 1. P. 82-96.

118. Leeves G. D., Herbert R. D. Economic and environmental impacts of pollution control in a system of environment and economic interdependence // Chaos, Solitons and Fractals. 2002. V. 13. № 4. P. 693-700.

119. Nahorski Z., Ravn H. F. A review of mathematical models in economic environmental problems // Annals of Operations Research. 2000. V. 97. № 1-4. P. 165-201.

120. Sterner T., Van den Bergh /.Frontiers of environmental and resource economics // Environmental and Resource Economics. 1998. № 11(3-4). P.243-260.

121. Sworder D. D., Boyd J. E. Estimation problems in hybrid systems. Cambridge University Press, 1999.

Приложения

Приложение А. Программный комплекс решения задач оптимального управления на основе непрерывно-дискретных моделей (ПК РЗОУОНДМ)

Приложение A1. Основные алгоритмы ПК РЗОУОНДМ

Листинг 1. ПК РЗОУОНДМ

1 OptProblem . cs

2

3 Выбор типа задачи оптимизации. По умолчанию стоит Min. Возможно

выбрать тип Max.

4

5 enum OptType

6 {

7 Min ,

8 Max

9 }

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Выбор класса, к которому относится исследуемая задача. Возможны варианты :

1. Linear — Режим вычисления задачи линейного программирования. Проверяет все выражения на линейность относительно управляющих переменных, если хотя бы одно нелинейно, генерируется ошибка.

2. NonLinear — Режим вычисления задачи нелинейной оптимизации. Все выражения задаются как нелинейные .

3. Auto — Авто—режим. Сначала проверяются на линейность все выражения. Если хотя бы одно не линейно, то создается нелинейный

стат—метод. Если в нелинейном стат—методе выражение линейно, то создается линейное ограничение . Если все выражения линейны , создается задача линейного программирования .

enum OptMode {

Auto , Linear , NonLinear

}

Формирование оптимизационной задачи для гибридной системы.

Определение списка управляющих переменных и целевой функции формируются автоматически при задании гибридной системы. Используются встроенные в Prognoz Platform линейный и нелинейный solver .

class OptProblem : INamedEntity , IXmlStored , IUndoRedoObject

{

private TMBook m_book;

private HybridSystem m_hybsystem ;

publ ic const int CurrentVersion = 10;

publ ic string Name { get; set; }

publ ic string ID { get ; set ; }

publ ic int BookKey { get ; set ; }

publ ic int Version { get ; set ; }

publ ic OptType OptimizationType { get; set ; }

publ ic OptMode OptimizationMode { get; set ; }

publ ic OptVariableList Variables { get; set ; }

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

public OptConstraintList Constraints { get; set; }

public OptFormula Objective { get; set; }

public OptFormula ObjectiveValue { get; set; }

public OptProblemList Problems { get; set; }

public OptProblem () {

OptimizationType = OptType.Min; Optimization Mode = OptMode . Auto ;

ID = BookKey . ToString () ;

Name = "Optimization problem #" + BookKey; Version = CurrentVersion ;

Calculation = new OptCalculation( this ); Variables = new OptVariableList ( this ); Constraints = new OptConstraintList ( this ) ; Objective = new OptFormula ( this ) ; ObjectiveValue = new OptFormula ( this ) ;

}

Список оптимизационных задач

public OptProblem( OptProblemList problems ) : this ()

{

t h is . Problems = problems;

this.BookKey = problems . Book. GenerateNextKey () ;

}

public OptProblem( OptProblemList problems, int bookKey ) : this ()

{

this . Problems = problems ; this.BookKey = bookKey;

}

public TMBook Book {

get { return m_book; } set

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

if ( value == m_book ) return ;

this.m_book = value;

}

}

Гибридная система. При установке нового значения переприсваиваются значения управляющих переменных, ограничения и целевая функция.

public HybridSystem Hybsystem {

get { return m_hybsystem; }

set {

if ( value == m_hybsystem ) return ;

th is . m_hybsystem = value;

this . Variables . Clear () ;

this . Constraints . Clear () ;

this . Objective . Rvalue . Clear () ;

var iterator = Hybsystem . FP. I terator;

while ( i te rato r . Next ) {

Определение списка управляющих переменных в оптимизационной задаче.

var xvars = Hybsystem. Factors .Where( x => x. IsExogenous () ) .Select( x => x.GetCoo( iterator . Date ) );

foreach ( var xvar in xvars ) {

this . Variables .Add( new OptVariable( this ) {

Coo = xvar } );

}

for ( int i = 0; i < Hybsystem. Models. Count; i++ ) {

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

var model = Hybsystem. Models [ i ];

Определение списка моделируемых переменных, формулы которых требуется получить.

var yvar = model . Factors

.Where( x => x. IsEndogenous () ) . FirstOrDefault () ;

Формирование целевой функции

var formula = model. GetFormula ( yvar, ite rato r . Date ); if ( i > 0 )

this . Objective . Rvalue .Add( new PreparedExpressionItem ( "+" ) );

foreach ( var pei in formula. ParsedOperands ) {

this . Objective . Rvalue .Add( pei );

}

}

}

}

}

public void LoadFromXML( XmlReader xml ) {

if ( xml .Name != " OptProblem " )

throw new TMXmlLoadException ( "OptProblem" );

BookKey = XmlHelper. GetInt ( xml, "AK" ); ID = XmlHelper. GetString ( xml, "AK" ); Name = XmlHelper. GetString ( xml, "AN" );

OptimizationType = ( OptType ) XmlHelper. GetI nt ( xml, "AT" ); OptimizationMode = ( OptMode ) XmlHelper. GetI nt ( xml, "AM" );

if ( xml . ReadToDescendant ( " Variables " ) ) Variables . LoadFromXML( xml );

if ( xml . ReadToNextSibling ( " Constraints " ) ) Constraints . LoadFromXML( xml );

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

186

187

188 189

195

196

if ( xml. ReadToNextSibling ( "CR" ) && xml. ReadToDescendant ( Formula" ) )

{

Objective . LoadFromXML( xml ); xml. Read () ;

}

if ( xml. ReadToNextSibling ( "CO" ) && xml. ReadToDescendant ( Formula " ) )

{