Иерархические модели управления системами неоднородной структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Расина, Ирина Викторовна

• Расина, Ирина Викторовна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Расина, Ирина Викторовна

Оглавление

Введение

0.1 Математические модели и моделирование

0.2 Абстрактные задачи оптимизации и улучшения

0.3 Сеть операторов и достаточные условия

оптимальности

0.4 Основные преобразования динамических систем

типа расширения

1 Дискретно—непрерывные системы. Условия

оптимальности и глобальные оценки

1.1 Модель дискретно-непрерывной системы.

Примеры

1.1.1 Описание модели

1.1.2 Аэрокосмические приложения

1.1.3 Робототехника и логико-динамические системы

1.1.4 Технологические процессы и экономика

1.1.5 Биостемы

1.2 Достаточные условия улучшения

и оптимальности управления

1.3 Достаточные условия в форме Беллмана

2

1.3.1 Линейная задача

1.3.2 Линейно-квадратическая задача

1.4 Оценки множеств достижимости

1.5 Вырожденные задачи

1.5.1 Расширения ДНС и определение вырожденной задачи

1.5.2 Вырожденность задач для релаксационных ДНС

1.5.3 Метод кратных максимумов.

Обобщенные уравнения Беллмана

1.5.4 Возможные приложения

2 Методы улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления

2.1 Построение приближеных методов на основе

локализации глобальных условий

2.2 Улучшение процессов

по принципу локализации

2.2.1 Метод локального улучшения второго порядка

2.2.2 Минимаксное улучшение

2.2.3 Итерационная процедура

2.2.4 Линейная по состоянию ДНС

3 Теоретические приложения дискретно-непрерывной модели

3.1 Дискретизация непрерывных систем

3.2 Представление импульсных процессов

2

3.3 Применение концепции двухуровневой модели для повышения эффективности

программного обеспечения

4 Модели сетевой структуры и другие обобщения

4.1 Двухуровневая модель с обыкновенными дифференциальными системами

4.2 Оптимизация водоохранных мероприятий

в бассейне реки

4.3 Другие обобщения и модификации

4.3.1 Модель дискретно-дискретной системы (ДДС)

5 Прикладные задачи

5.1 Управление химико-фармацевтическим

процессом

5.1.1 Математическая модель и задача оптимизации

5.1.2 Построение ДНС и решение задачи

5.2 Оптимальное планирование

рекламной деятельности

5.3 Моделирование и оптимизация

устойчивого развития региона

5.3.1 Описание модели и процедура оптимизации

5.3.2 Поиск магистрального решения

5.3.3 Применение дискретной двухуровневой концепции

5.3.4 Исследование чувствительности модели

к инновациям

Заключение

Список литературы

с

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Иерархические модели управления системами неоднородной структуры»

Введение

Актуальность темы и степень разработанности

Системы с неоднородной структурой, дискретно-непрерывные управляемые процессы (ДНС), т.е. процессы с изменяющимся во времени описанием широко распространены на практике. Это связано с практическими потребностями автоматизации в различных областях. Примерами служат процессы химического производства, сложные космические операции, динамика роботов и логико-динамических систем, развитие организмов и биологических популяций.

Хотя систематическое изучение неоднородных процессов ведется достаточно давно в работах Е.А. Барбашина,Н.П. Бусленко, С.Н. Васильева, C.B. Емельянова, В.И. Гурмана, В.Ф. Кротова, A.B. Куржанско-го, В.М. Матросова, Миллера, Рубиновича, M.S Branicky . F.H Clarke, J. Warga , R.B. Vinter, Lygeros и многих других исследователей, в последние годы интерес к ним резко возрос со стороны разных научных школ в теории систем, управления и моделирования. Это подтверждает и прошедший в августе-сентябре 2011 г. 18-й Конгресс IFAC, на котором несколько секций рассматривали вопросы исследования таких систем. В октябре того же года они заняли солидное место среди докладов на проходившей следом 4-ой Всероссийской мультиконференции по проблемам управления, в июне 2012 на конференции IFAC по гибридным системам

в Копенгагене, а в сентябре 2012 г. — на VI Международном научном семинаре IFAC «Обобщенные постановки и решения задач управления» в Геленджике. Весьма полное представление о состоянии вопросов и о перспективах теории и приложений в этой области дает книга (Васильев С. Н. Интсллектное управление динамическими системами: монография. /С.Н. Васильев, А.К. Жерлов, Е.А.Федосов , Б.Е. Федунов. М: Физматлит, 2000. 352 е.), а также обзоры (Васильев С.Н. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем. /С.Н. Васильев, А.И.Маликов // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Т.1. К 20-летию МММ КазНЦ РАН. Казань. Фолиант 2011 С.23-81 ; Миллер Б.М. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представления с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований./ Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович // Автомат, и телемех. 2013. (В печати)). А некоторые аспекты из истории исследований изложены в статье (Васильев С.Н. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов/С.Н. Васильев, A.A. Косов // Автомат, и телемех. 2011. №6. С. 27-47).

Поток публикаций по этой тематике неуклонно расширяется, значительная их часть объединяется под не установившимся пока термином «гибридные системы», к которым обычно относят дифференциальные системы с различными дискретными переключениями или управляющими воздействиями импульсного типа.

Значительная часть исследований неоднородных систем связана с задачами оптимизации управлений, когда методы оптимального управления для систем однородной структуры, ставшие уже классическими

(принцип максимума Понтрягииа, метод Бсллмана), непосредственно неприменимы. Для такого класса задач оптимизации с одной стороны требуется математическая модель, учитывающая специфику объекта, а с другой — математический аппарат, позволяющий находить решение поставленной задачи.

Формализованного определения математической модели не существует. Этот вопрос, а также проблема классификации математических моделей во многом отражающие взгляды авторов, их личный опыт и сферу применения конкретной модели затрагивались в работах (Ляпунов А А О математических проблемах кибернетики //Изв. Вузов Математика 1958. №5. С. 166-174 , Ляпунов А А Кибернетика и естествознание /A.A. Ляпунов, С.Л Соболев. М :изд-во АН СССР 1957 26 с , Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа, монография М Наука, 1981. 488 е.; Самарский А. А Математическое моделирование Идеи. Методы. Примеры: монография / А.А.Самарский, А П.Михайлов М Физматлит, 2002. 320 с. ; Мышкис А Д. Элементы теории математических моделей. М.: КомКнига, 2007. 192 с ; Советов Б Я. Моделирование систем: учебник / Б.Я. Советов, С А. Яковлев. М Высшая школа, 2001. 343 е.; Блехман И.И. Прикладная математика Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики- учебное пособие /ИИ Блехман, А.Д. Мышкис , Н.Г. Пановко. М УРСС, 2006 270 с , Pcicrls R. Model-Making m Physics // Contemp Phys , January—February 1980 v. 21. pp 3-17, Перегудов Ф И Введение в системный анализ учебник /Ф.И Перегудов, Ф.П Тарасенко. М • Высшая школа. 1989 320 с , Горбань А. Н. Демон Дарвина. Идея оптимальности и естественный отбор / А.Н.Горбань, Р.Г.Хлебопрос. М.. Наука. Физматлит, 1988 180 с )

Диапазон используемых моделей очень широк Об этом можно судить по ряду публикаций (Загадская Л С Моделирование системы управления морским портом « Методом ситуационной модели» /Л С Загадская, Ю И Клыков // Вопросы кибернетики М АН СССР, научн совет по компл пробл «Кибернетика» 1974 Вып 1 С 135-145 , Горстко А Б Имитационная система«Азовское море» // Труды ВНИРО ТСХУШ Вопросы математического исследования и моделирования экосистемы Азовского моря 1977 С 48-55, Поспелов Д А Ситуационное управление теория и практика монография М Наука, 1986 288с , Гурман В И Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / Под ред В И Гурмана, Е В Рюминой М Наука, 2001 175 с , Данеев А В К теории реализации сильных дифференциальных моделей I /А В Данеев, А В Лакеев, В А Русанов, М В Русанов // Сиб журн Индустр Матем 2005 Т 8 ]У°1 С 53-63, Данеев А В К теории реализации сильных дифференциальных моделей II /А В Данеев, А В Лакеев, В А Русанов//Сиб журн Индустр Матем 2005 Т8 №2 С 46-56, Каляев И А Методы и алгоритмы коллективного управления в группах роботов учебное пособие / И А Каляев, А Р Гайдук, С ГКапустян М Физматлит, 2009 279 с , Каляев И А Самоорганизующиеся распределенные системы управления группами интеллектуальных роботов, построенные на основе сетевой модели / И А Каляев, А Р Гайдук С Г Капустин // Управление большими системами М ИПУ РАН 2010 Вып 30-1 С 605-639)

Математические модели нужно рассматривать как удобный инструмент для проведения исследований, поскольку натурный эксперимент далеко не всегда возможен Кроме того использование вычислительной

техники позволяет проводить многочисленные эксперименты, как по исследованию самой модели, так и для ее уточнения, а также решать самые разнообразные задачи

Как многократно отмечал в своих работах А А Ляпунов математические модели обладают важным свойством универсальности принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью Это является основанием для современной математической теории систем, занимающейся изучением математических моделей на достаточно абстрактном уровне, отождествлять понятия системы и модели Существует как у нас в стране, так и за рубежом большое количество научных школ, развивающих различные аспекты этой теории Отметим ряд наиболее известных их представителей М Ар-биб, В Н Бурков, С Н Васильев, В И Гурман, С В Емельянов Р Калман, ВМ Матросов, ДА Новиков, Д Мако, М Месарович, Я Такахара, П Фалб

Как уже отмечалось многие реальные объекты управления в том числе и непрерывные, по своей природе таковы, что в различных ситуациях проявляют различные свойства и плохо прсдставимы или вообще не представимы, целиком, в терминах классических дифференциальных систем К ним относятся объекты, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, дифференциальными уравнениями различных порядков на различных временных отрезках либо содержащие кроме дифференциальных уравнений объекты другой природы Спектр подобных объектов достаточно широк системы переменной структуры (Емельянов С В Теория систем с переменной структурой монография М Наука 1970 592 с ) дискретно-непрерывные си-

стемы (ДНС) (Гурман В.И. К теории оптимальных дискретных процессов. // Автомат, и телемех. 1973. №6. С. 53-58), непрерывно-дискретные (Васильев С.Н. Метод редукции в анализе непрерывно-дискретных динамических систем /С.Н. Васильев, Р.И. Козлов, А.В.Лакеев // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений». Новосибирск: НГУ. 2008. С. 54), многоэтапные процессы (Габелко К. Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов. // Автомат, и телемех. 1974. №1. С. 72-80), логико-динамические, логико-управляемые системы (Vasilyev S.N. Logical Approach in Knowledge-Based Control. // Proc. of 21st SGES Intern. Conference on Knowledge Based Systems and Applied Artificial Intelligence (ES-2001)— Cambridge. 2001. P. 259-272., Васильев С.Н. Теория и применение логико-управляемых систем. // Труды 2-ой Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03). 2003. С. 23-52, ; Бортаков-ский A.C. Достаточные условия оптимальности управления детерминированными логико-динамическими системами // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. 1992. Вып. 2-3. С. 72-79; Бортаковский А.С Достаточные условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №6. С. 77-92; Тимченко Д. Н. Синтез логико-динамической системы оптимального управления нелинейным неголономным объектом типа «мобильный робот» // Технические науки в России и за рубежом. Материалы междунар. заоч. науч. конф. (г. Москва, май 2011 г.). М.: Ваш полиграфический партнер. 2011. С. 43-48; Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными система-

ми / A.C. Бортаковский , A.B. Пантелеев // Автомат, и телемех. 1987. №7. С. 57-66. ), импульсные процессы (Цыпкин Я.З. Теория нелинейных импульсных систем./ Я.З. Цыпкин, Ю.С. Попков Ю.С. М.: Наука. 1973. 416 е.; Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями: монография / В.А. Дыхта, О.Н.Самсонюк. М.: Наука, Физматлит, 2000. 256 е.; Bensoussan A. Controle impulsionnel et in equations quasi-variationnelles: монография / A. Bensoussan , J.L.Lions. Paris. 1982. 364 P.; Миллер Б.M. Обобщенные решения дискретно-непрерывных и импульсных систем // Обобщенные функции в задачах управления и дифференциальных уравнениях. Свердловск: УРО АН СССР. 1992. С. 49-58; Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями: монография / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович. М.: Наука, 2005. 429 с. ), гибридные системы (Гурман В.И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. №4. С.70-75; Точилин П. А. Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем./ П.А. Точилин, А.Б. Куржанский. М.: МГУ, 2008. 176 е.; Lygeros J. Lecture Notes on Hybrid Systems. Cambridge: University of Cambridge. 2003. 70 p.; Haddad Wassim M. Impulsive and Hybrid Dynamical Systems: Stability, Dissipativity and Control. / В.Хаддад , В.Челлабона , С.Г. Нерсесов (Wassim M.Haddad , Vijay Sekhar Chellaboina, Sergey G. Nersesov). Princeton University Press. 2006. 200 p.; Марченко В.M. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем./ В.М. Марченко, Ж.Ж. Луазо // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. No 5. С.728-740; Марченко В.М. О полной наблюдаемости гибридных дифференциально-разностных систем // ДАН. 2011. Т. 441. т. С. 179-182. и др.). Н.П.Бусленко (Бусленко Н.П. Ими-

тационное моделирование сложных систем монография М Наука 1978 399 с ) рассматривает непрерывно-дискретные системы как обобщающий (самый общий и самый сложный) класс сложных систем и называет такие системы агрегативными

Для решения задач оптимального управления системами не изменяющими структуру своего описания в течение рассматриваемого периода существует достаточно хорошо развитый математический аппарат основу которого составляют такие фундаментальные результаты как принцип максимума Л С Понтрягина (Понтрягин Л С Математическая теория оптимальных процессов монография / Л С Понтрягин В Г Болтянский, Р В Гамкрелидзе, Е Ф Мищенко М Физматгиз, 1961 391 с ) метод динамического программирования Р Бсллмана (Беллман Р Динамическое программирование монография М ИЛ 1960 401 с ) и достаточные условия оптимальности В Ф Кротова (Кротов В Ф Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума I //Автомат и телемех 1962 №12 С 1571-1583 Кротов В Ф Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем //ДАН СССР 1967 Т 172 №1 С 18-21), а также работы Н Н Красовского (Красовский Н Н Теория управления движением монография М Наука 1968 476 с), А А Красовского (Красовский А А Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование монография М Наука 1973 560 с) А Б Куржанского (Куржанский А Б Управление и наблюдение в условиях неопределенности монография М Наука 1977 394 с ) А Б Куржанского и Ю С Осипова (Куржанский А Б К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами /А Б Куржанский, Ю С Осипов // Прикл

Матем. и мех. 1968. Т.32. №2. С. 194-202; Куржанский А. Б. Об одной задаче управления при ограниченных координатах. /А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1970. №5. С. 2228.), Дж. Варги (Варга Дж. (Warga J.) Optimal control of differential and functional equations: монография/ Дж. Варга (J. Warga). New-York: Academic Press. 1972. P. 624.), А.Я. Дубовицкого и A.A. Милютина (Дубовицкий А.Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений /А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин // ДАН СССР. 1963. Т. 149. №4. С.1128-1132; Дубовицкий А.Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления: монография // А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин. М.: Наука. 1971. 112 е.), А.Г. Бутковского (Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами: монография. М.: Наука. 1965. 474 е.), А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова (Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач: монография /А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. М.: Наука. 1974. 481 е.), A.M. Летова (Лотов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов, II. // Автомат, и телемех. 1960. Т. 21. №5. С. 436-441; Летов А. М. Динамика полета и управление: монография. М.: Наука. 1969. 360 с. ), А.С.Матвеева. В.А.Якубовича (Матвеев A.C. Абстрактная теория оптимального управления: монография/ A.C. Матвеев, В.А. Якубович. СПб.: Изд-во СПб. ун-та. 1994. 376 с. ); H.H. Моисеева (Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем: монография. М.: Наука. 1971. 328 е.; Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа: монография. М.: Наука. 1981. 488 е.); М.М. Хрусталева (Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управления //ДАН СССР. 1973. Т. 211. №1. С.59-62.); В.А. Якубовича (Якубович В А )

К абстрактной теории оптимального управления // Сибирск. матсмат. журн. I. 1977. Т.18. №3. С.685-707; II. 1978. Т.19. №2. С.436-460; III. 1979. Т.20. №4. С.385-410; IV. 1979. Т.20. №5. С.1131-1159. ) и многих других авторов.

Следует заметить, что подавляющее большинство разработанных точных и приближенных методов относится к системам с непрерывным временем. Для общих систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Основная причина такого положения - отсутствие в общем случае дискретного аналога принципа максимума Понтрягина для непрерывных систем, с которым долгое время связывались многие теоретические работы в области оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом, в частности, свидетельствуют, известные работы по дискретным системам (Пропой А. И. О принципе максимума для дискретных систем управления // Автомат, и тслсмсх. 1965 Т. 26. №7. С. 1177-1187; Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов: монография. М.: Наука. 1973. 256 с. ; Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами: монография. М.: Наука. 1973. 448 с.) и др.

Дискретные модели привлекали внимание исследователей главным образом возможностью применения методов нелинейного программирования к решению задач оптимального управления, в том числе — непрерывных с помощью частичной или полной дискретизации задачи по управлению и состоянию (Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации: монография. М.: Наука. 1982. 432 е.; Горбунов В.К. О сведении задач оптимального управле-

ния к конечномерным // Журнал выч. мат. и мат. физ. 1978. Т.18. №5. С. 1083-1095.; Ермольев Ю.М. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления: монография / Ю.М. Ермольев, В.П. Гуленко, Т.Н. Царенко. Киев: Наукова думка. 1978. 164 с. ; Пшеничный Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах: монография /Б.Н. Пшеничный, Ю.М.Данилин. М.: Наука. 1975. 320 е.; Габасов Р. Конструктивные методы оптимизации. 4.1: Линейные задачи. /Р. Габасов, Ф.М.Кириллова.

A.И. Тятюшкин. Минск: Университетское. 1984. 207 е.).

Значительно более продвинутыми в плане собственно теории оптимального управления оказываются результаты, основанные на принципе оптимальности Р. Беллмана и общих достаточных условиях оптимальности В.Ф. Кротова (Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I. // Автомат, и телемех. 1962. №12. С. 1571-1583; Кротов В.Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем. // ДАН СССР. 1967. Т. 172. №1. С. 18-21). К ним относятся, в частности, условия локальной оптимальности и итерационные методы улучшения дискретного и дискретно-непрерывного управления (Кротов В.Ф. Методы и задачи оптимального управления: монография/ В.Ф. Кротов, В.И. Гурман. М.: Наука. 1973. 448 с. ; Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления: монография. М.: Наука. Физматлит. 1985. 1997. 288 с. ; Гурман

B. И. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума. / В.И.Гурман, И.В.Расина// Автомат, и телемех. 1979. №10. С. 12-18. ; Габелко К. Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов. // Автомат, и телемех. 1974. №1. С 72-80. ; Гурман В.И. Достаточные условия оптимальности сложных процессов. /В.И.

Гурман, А Г Орлов//Автомат и телемех 1978 №4 С 37-45 . Гурман В.И. Приближенные методы оптимального управления: монография / В.И.Гурман, В.А. Батурин, И.В.Расина. Иркутск: Изд-во Иркут Ун-та. 1983. 192 с. ; Гурман В. И. Новые методы улучшения управляемых процессов. / В.И. Гурман, В.А. Батурин Е В Данилина и др Новосибирск Наука. 1987. 183 е.; Гурман В И. Методы улучшения в вычислительном эксперименте. / В.И. Гурман, В.А Батурин А.И. Москаленко и др Новосибирск: Наука. 1988. 184 е.; Батурин В. А Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения монография /В.А Батурин, Д Е. Урбанович. Новосибирск Наука 1997 175 с. ; Gurman V. I. The extension principle in control problems Constructive methods and applied problems / V.I. Gurman, M Yu Ukhm Moscow Fizmatlit. 2005. 192 е.; Кротов В.Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления /В Ф Кротов // Автомат и телемех 2009 №3 С 15-23)

Исследования отдельных типов неоднородных (гибридных) систем ведутся достаточно давно, когда специальных терминов для таких процессов не существовало, однако интенсивная работа наблюдается в последние 15-20 лет Авторы монографии (Haddad Wassim M Impulsive and Hybrid Dynamical Systems: Stability, Dissipativity and Control / В Хад-дад , В. Челлабона , С Г Нерсесов (Wassim M.Haddad , Vijay Sekhar Chellaboina, Scrgey G Nersesov). Princeton Umversity Press 2006 200 p ) отмечают, что хотя многие ученые и инженеры признают, что большое количество процессов в биологии, человеческом организме, технике имеют гибридную природу, традиционно моделирование, изучение и анализ ведутся либо с чисто дискретными, либо чисто непрерывными система-

ми. Причина этого заключается в том, что только недавно теория импульсных и гибридных динамических систем была настолько развита, чтобы полностью отразить взаимодействие между непрерывной и дискретной динамиками этих систем.

Действительно при оптимизации неоднородных систем возникают трудности, когда хорошо известные методы оптимального управления непосредственно не применимы, и требуется развитие специального достаточно сложного формального аппарата. Естественно, что многие исследователи направили свои усилия на модификацию и доработку принципа максимума Понтрягина для этого класса задач, дополняя известный результат специальными условиями в моменты изменения описания системы (например, так называемые условия скачка). Отмстим некоторые из этих работ (Vinter R. A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories / R. Vinter , F.M.L. Pereir)// SIAM J. Control and Optim. 1988. №26. C. 205-229. ; Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов // Сибирский матем. журнал. 1994. Т. 35. №1. С 70-82.; Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов: монография. Иркутск: Изд-во ИГЭА. 1995. 186 с. ; Sussmann H.J. A maximum principle for hybrid optimal control problems // Proc. of 38th IEEE Conf. on Decision and Control. Phoenix. 1999. 173-179 pp.; Pereira F.L. A maximum principle for impulsive control problems with state constraints // Comp. Appl. Math. 2000. V. 19. .№2. C. 137-155; Бортаковский A.C. Необходимые условия оптимальности управления логико-динамическими системами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. №6. С. 16-33).

Другой подход, основанный на использовании вектор-функций Ляпунова, представлен в работах С.Н. Васильева и др. (Васильев С.Н. Метод сравнения в анализе систем // Дифференциальные уравнения. I. 1981. 17. №9. С.1562-1573; II. 1981. 17. №11. С.1945-1954; III. 1982. 18. №2. С. 197-205; IV. 1982. 18. №6. С.938-947. ; Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в некоторых задачах оптимального управления /С.Н. Васильев, А.В. Лакеев //В кн.: Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука. 1986. С. 19-44 ; Васильев С.Н. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов/С.Н. Васильев, A.A. Косов // Автомат, и телемех. 2011. №6. С. 27-47). Кроме того, представители этой школы используют для анализа, как однородных моделей, так и для непрерывно-дискретных систем метод редукции, развивающий метод функций (векторных функций) Ляпунова, алгоритмический метод сравнения В. М. Матросова (Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем // Дифференциальные уравнения. 1974. I, II. Т.10. №5. С 15471559; III. 1975. Т.П. №3. С.403-417; Матросов В.М. Метод сравнения в математической теории систем./ В.М. Матросов, Л.Ю. Анапольский, С.Н. Васильев. Новосибирск: Наука. 1980. 479 е.). Такой подход позволяет переносить требуемые свойства из некоторых вспомогательных и более простых систем в изучаемые системы (Васильев С.Н. Метод редукции в анализе непрерывно-дискретных динамических систем /С.Н. Васильев, Р.И. Козлов, А.В.Лакеев // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений». Новосибирск: НГУ. 2008. С. 54).

Ряд авторов (Grossman R.L. Hybrid Systems./ R.L. Grossman, A. Nerodc,

A.P.Ravh)// New York: Springer Verla. 1993. 337 pp.; Branicky M.S. Study hybrid systems: modeling, analisis, control // PhD thesis, LIDS-TH 230. Massachusets Institute of Technology. Cambrige: MA. 1995. P.29-54, Branicky M.S. Unified framework for hybrid control: model and optimal control theory/ M.S.Branicky, V.S. Borkar, K.A.Mitter // IEEE Trans. Automation Control. 1988. 43(1). C. 31-45 ; Antsaklis P.J. A brief introduction to the theory and applications of hybrid systems // Proc. IEEE. Special Issue on Hybrid Systems. Theory and Application. July 2000. 88(7). P. 879886) применяют комбинированный подход, когда для описания и управления используются как непрерывные, так и дискретные или логические составляющие. Также представители ряда школ активно используют в своих исследованиях аппарат теории мер, обобщенных функций и метод разрывной замены времени (Завалищин С.Т. Импульсные процессы. Модели и приложения: монография /С.Т. Завалищин, А.Н.Сссекин. М.: Наука. 1991. 256 е.; Куржанский А. Б. Импульсные управления в моделях гибридных систем. /А.Б. Куржанский, П.А. Точилин // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. №5. С. 716-727; Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями: монография / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович. М.: Наука. 2005. 429 е.; Дыхта

B.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов: монография. Иркутск: Изд-во ИГЭА. 1995. 186 с. ; Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями: монография / В.А. Дыхта, О.Н.Самсонюк. М.: Наука. Физматлит. 2000. 256 е.; Filippova T.F. Set-valued solutions to impulsive differential inclusions // Math. Comput. Model. Dyn. Syst. 2005. V. 11. №2.

P. 149-158; Lygeros J. Impulse differential inclusions driven by discrete measures / J. Lygeros, M. Quincampoix, T. Rzczuchowski )// Lecture Notes Comput. Sei. Berlin: Springer. 2007. V. 4416. P. 385-398 и др. ), особенно для описания импульсных процессов, которые как указывают авторы монографии (Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями: монография / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович. М.: Наука. 2005. 429 с.) по своей сути являются дискретно-непрерывными.

В диссертационной работе развивается альтернативный подход, позволяющий остаться в рамках традиционных предположений теории оптимального управления. Основой для этого служит работа В.Ф. Кротова (Кротов В.Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем // ДАН СССР. 1967. Т. 172. М. С. 18-21), где достаточные условия оптимальности для дискретных систем сформулированы в терминах произвольных множеств и отображений. Эта формулировка позволяет рассматривать множества и операторы с изменяющейся структурой при переходе от одного шага к другому, а управление на каждом шаге можно трактовать как комбинацию некоторой абстрактной переменной и некоторого непрерывного процесса, описываемого дифференциальной системой.

Такая модель была предложена в работе (Гурман В.И. К теории оптимальных дискретных процессов // Автомат, и телемех. 1973. №6. С. 53-58), в которой впервые сформулирована иерархическая концепция дискретно-непрерывного процесса вместе с достаточными условиями оптимальности, сочетающими конструкции Кротова для непрерывных и дискретных систем. На базе этих условий был построен аналог градиентного метода в случае более простой модели, и решена задача управления

многоэтапным перелетом с одной планеты на другую (Габслко К. Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // Автомат, и теле-мех. 1974. №1. С. 72-80). За прошедшие годы модель подвергалась различным преобразованиям и модификациям, параллельно шло построение численных методов и решение практических задач (Гурман В.И. Достаточные условия оптимальности сложных процессов /В.И. Гурман, А.Г. Орлов // Автомат, и телемех. 1978. №4. С.37-45; Гурман В.И. Сложные процессы двуногой ходьбы. /В.И. Гурман, А.Г. Орлов. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 1979. №95. 39 с. ; Расина И.В. Метод улучшения первого порядка для сложных процессов. М., 1989. 9 с. Дсп. в ВИНИТИ 20.12.89 №7560 В-89; Расина И.В. Метод улучшения второго порядка для сложных процессов. М. 1991. 12 с. Дсп. в ВИНИТИ 23.07.91 №3137-В91; Гурман В.И. Приближенные методы оптимального управления: монография / В.И.Гурман, В.А. Батурин, И.В.Расина. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та. 1983. 192 с. ; Бушмин С.Ю. Задача управления посадкой вертолета как сложный процесс. / С.Ю.Бушмин, И.В.Расина. М. 1985. 13 с. Деп. в ЦНТИ ГА, 11.02.85 №303 ГА-85 ДЕП.; Расина И.В. Двухэтапная схема управления посадкой вертолета. / И.В.Расина, Д.Е. Урбанович. М. 1987. 12 с. Деп. в ГОСНИИ ГА, 05.10.87 №571 ГА.; Гурман В. И. Сложные процессы. / В.И.Гурман, И.В.Расина // В кн.: Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения: монография. Новосибирск: Наука. 1990. С 84-94; Гурман В.И. Дискретно-непрерывные представления импульсных решений управляемых систем / В.И.Гурман, И.В.Расина // Автомат, и телемех. 2012. №8. С. 16-29 ; Расина И.В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов // Автомат, и телемех. 2012. №10. С.

3-17).

Цель работы и задачи исследования.

Цель исследования - разработка иерархических моделей управления системами неоднородной структуры, достаточных условий оптимальности и методов оптимизации на их основе.

Особо важное значение придается методам последовательного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления поскольку прямое практическое использование основополагающих результатов современной теории оптимального управления ограниченно сложностями реализации теоретических соотношений, описывающих искомое решение. В свое время это послужило мотивом для разработки численных методов, позволяющих искать оптимальное решение напрямую, посредством операций улучшения управления, повторяемых в итерационной процедуре. В числе основоположников отметим Р. Куранта (Courant R. Variational Methods for Solutions of Problems of Equlibrium and Vibrations //Journal Bull. Amer. Math. Soc. 1943. No 1,49. P. 1-23), Л.В. Канторовича (Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. №6. Т.32. С.89-185.), Д.Е. Охоцимского и Т.М. Энеева (Охоцимский Д.Е. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли. / Д.Е.Охоцимский, Т.М. Энеев // Успехи физических наук. 1957. Т.15. Ma. С. 5-32), Т.М. Энеева (Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления // Космические исследования. 1968. Т.4. №5. С.651-669), Л.И. Шатровского (Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1962. Т.2. №3. С. 488-492), И.А. Крылова и Ф.Л. Черноусько (Крылов И. А. О методе

последовательных приближений для задач оптимального управления./ И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько //Журнал выч.мат. и мат. физ. 1962. Т. 2. №6. С. 1132-1139; Крылов И. А. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций / И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько // Журнал выч.мат. и мат. физ. 1966. Т.6. №2. С.203-217); Дж. Кел-ли (Келли Г. Дж. Метод градиентов. //В кн.: «Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета». Под ред. Дж. Лейт-мана. М.: Наука. 1965. С.101-116), H.H. Моисеева (Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем: монография. М.: Наука. 1971. 328 е.), в работах которых развивались градиентные методы и методы, использующие конструкции принципа максимума Понтрягина, линейного и динамического программирования. Они широко представлены в научной и учебной литературе, например, в монографиях Ф.П. Васильева (Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: монография. М.: Наука. 1988. 552 е.), Р.П. Федоренко (Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.:Наука. 1978. 488 е.), Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой (Габасов Р. Основы динамического программирования: монография /Р. Габасов, Ф.М.Кириллова. Минск: Изд-во Белорусского ун-та. 1980. 264 е.), Ю.Г. Евтушенко (Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации: монография. М.: Наука. 1982. 432 е.), Б.Т. Поляка (Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983. 384 с.) и учебном пособии О.В. Васильева (Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации: учебное пособие/ Иркутск. Изд-во Иркут. гос. ун-та. 1994. 339 е.).

Большинство из них относится к категории методов первого поряд-

ка, которые, как правило, демонстрируют снижение эффективности по мере приближения к оптимуму. Это заставило обратиться к более сложным схемам, в частности, к методам второго порядка (Jacobson D.H. New second-order and first-order algorithms for determinining optimal control. A differential programming approach //J. Optimiz. Theory and Applications. 1968. V. 2. №4. P.441-450. ; Мерриэм К. У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир. 1967. 327 е.; Гурман В. И. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума. / В.И.Гурман, И.В.Расина// Автомат, и телемех. 1979. №10. С. 12-18.; Гурман В.И. Приближенные методы оптимального управления: монография / В.И.Гурман, В.А. Батурин, И.В.Расина. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та. 1983. 192 е.; Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления: монография. М.: Наука. Физматлит. 1985. 288 с. ; Гурман В. И. Новые методы улучшения управляемых процессов. / В.И. Гурман, В.А. Батурин. Е.В. Данилина и др. Новосибирск: Наука. 1987. 183 с.) и нелокальным методам (Кротов В. Ф. Итерационный метод решения задач оптимального управления/ В.Ф.Кротов, И.Н. Фельдман // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1983. №2. С. 160-168.; Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления: монография. М.: Физматлит. 2000. 160 е.; Булдаев А.С. Нелокальное улучшение дискретных управлений в квадратичных по состоянию динамических системах // Тр. межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления». М.: ИПУ РАН. 2003. С. 707-713; Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем: монография. Улан-Удэ: изд-во БГУ. 2008. 260 е.).

Для систем неоднородной структуры список публикаций по прибли-

женным методам намного скромнее. Отметим некоторые из работ этого направления, представляющие разные научные школы (Батурин В. А. An Algorithm for Optimal Impulsive Control Problems /В.А Батурин, E.B. Гончарова // Proc. of 15th IFAC World Congress. 2002. Barcelona. Spain. Elsevier Science Ltd. 2002. P. 17—21; Батурин В. А. Приближенные методы решения задач оптимального управления гибридными системами /В.А Батурин, Е.В. Гончарова, A.A. Лсмперт // Труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Северобайкальск. 2008. Т.2. С.3-22; Батурин В. А. Метод слабого улучшения первого порядка для задач оптимального управления логико-динамическими системами / В.А Батурин, Н.С. Малтугуева // Известия Ирк. гос. ун-та. Математика. Иркутск: Изд-во ИГУ. 2009 Т. 2. №1. С. 83-93; Габелко К. Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // Автомат, и телемех. 1974. ЛГ51. С. 72-80; Гончарова Е. В. Метод улучшения для дискретно-непрерывных систем /Е.В. Гончарова, М.В.Старицын // Труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Северобайкальск. 2008. Т.2. С.125-134; Гончарова Е. В. Метод улучшения управления импульсными системами /Е.В. Гончарова, М.В.Старицын // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. №6 С. 53-60; Гурман В.И. Приближенные методы оптимального управления: монография / В.И. Гурман, В.А. Батурин, И.В. Расина. Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та. 1983. 192 с. ; Дыхта В.А. Численные методы решения задач импульсного управления, основанные на обобщенном условии стационарности/В.А. Дыхта. Н.В. Деренко // Компьютерная логика, алгебра и интеллектное управление. Проблемы анализа устойчивого раз-

вития и стратегической стабильности. Сб. трудов Всерос. Науч. Школы. Иркутск. 1994. Т.2. С.59-70.; Дарьин А.Н. Численные методы синтеза импульсных управлений для линейных систем /А.Н. Дарьин, А.Ю. Малакаева // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. №2. С. 50-56.; Расина И.В. Метод улучшения первого порядка для сложных процессов. М. 1989. 9 с. Дсп. в ВИНИТИ 20.12.89. №7560 В-89; Расина И.В. Метод улучшения второго порядка для сложных процессов. М. 1991. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 23.07.91. №3137-В91; Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов // Юбилейный сборник научных трудов к 10-летию СИПЭУ. Иркутск: Изд-во «Макаров». 2004. С. 180-192; Расина И. В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов // Автомат, и телемех. 2012. №10. С. 3-17; Azhmyakov V. А gradient-based approach to a class of hybrid optimal control problems /V. Azhmyakov, J.Raisch // In: Proceedings of the 2nd IFAC Conference on Analysis and Design of Hybrid Systems. Alghero. 2006. C.89-94, Azhmyakov V. Optimal control of hybrid and switched systems //In: Proceedings of the IX Chetaev Conference «Analytical Mechanics. Stability and Control if Motion». Irkutsk. 2007. C. 308-317).

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- разработка концепции иерархической модели управления динамической ДНС и ее обобщение на системы сетевой структуры;

- вывод общих достаточных условий улучшения и оптимальности управления для построенных моделей и их конкретизация;

- построение и оценка множеств достижимости для ДНС;

- обобщение на ДНС основных методов теории вырожденных задач

оптимального управления;

- разработка методов последовательного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления ДНС на основе общих достаточных условий улучшения и локализации;

- применение концепции ДНС для представления и исследования импульсных и магистральных решений однородных систем и в других случаях, когда неоднородности возникают в ходе поиска и реализации различных решений;

- решение прикладных задач для неоднородных систем, моделируемых на основе предложенного иерархического подхода.

Методология и методы исследования.

В работе используются общие принципы и методы математического моделирования, достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации, специальные методы теории вырожденных задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Иерархические модели и общие достаточные условия оптимальности типа Кротова для представления и оптимизации неоднородных систем.

2. Достаточные условия оптимальности в форме Беллмана как для общей нелинейной ДНС, так и для ее важных частных случаев: линейной и линейно-квадратической ДНС.

3. Внешние оценки множеств достижимости ДНС на основе общего принципа расширения и семейств расширяющих отображений, аналогичные внешним оценкам для систем однородной структуры.

4. Обобщение на ДНС основных понятий и специальных методов тсо-

рии вырожденных задач оптимального управления для систем однородной структуры. Среди них метод сингулярных расширений и метод кратных максимумов как специальная конкретизация общих достаточных условий Кротова.

5. Серия методов и алгоритмов итерационного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления и единая итерационная процедура для ДНС на основе общего принципа локализации глобальных достаточных условий улучшения и оптимальности.

6. Теоретические приложения ДНС: методы представления и исследования импульсных процессов и магистральных решений в вырожденных задачах. Схемы применения концепции ДНС для дискретизации непрерывных управляемых систем и использования ранее разработанных программных комплексов моделей с постоянными параметрами, изменяющимися по требованию в процессе функционирования

7. Обобщение модели ДНС и достаточных условий оптимальности на системы сетевой структуры.

8. Постановки и решения содержательных примеров и прикладных задач на основе предлагаемого подхода.

Научная новизна иерархического подхода к моделированию и оптимизации неоднородных динамических систем, развиваемого автором с середины 1970-х годов, сохраняется до сих пор, как показывает сравнение его с основополагающими подходами в доминирующей ныне теории гибридных систем Все основные результаты, полученные в диссертации на его основе, также являются новыми и не имеют аналогов в мировой литературе.

Среди них и новая версия модели ДНС с соответствующими услови-

ями оптимальности, которая существенно расширяет сферу их применения по сравнению с предшествующими версиями.

Теоретическая ценность заключается в реализации поставленной цели —разработке иерархических моделей управления системами неоднородной структуры, получение для них достаточных условий оптимальности и построении на их основе методов оптимизации и ряде обобщений этих результатов, в том числе и на системы сетевой структуры.

Использование иерархической двухуровневой модели дало возможность эффективно декомпозировать соответствующие задачи управления, прежде всего оптимального управления, на «однородные» подзадачи так, чтобы применить нетрадиционные методы, развитые в работах В.Ф. Кротова и его последователей с сохранением важных методологических особенностей предложенной В.Ф. Кротовым 50 лет назад теории:

-формулировка задачи и условий оптимальности в терминах минимизирующей последовательности, поскольку для современных нелинейных прикладных задач типично отсутствие оптимального элемента в желаемом классе кусочно-непрерывных управлений;

- построение теории на основе принципа расширения, в корне отличного от метода вариаций, который преобладал и преобладает в вариационном исчислении и теории оптимального управления;

- потенциальная конструктивность, существенная ориентация на прикладные задачи, активные преобразования модели объекта управления.

Одновременно открываются новые перспективы исследований в области систем неоднородной структуры.

Практическая ценность заключается в существенном расширении круга приложений указанных выше принципов и методов и возможно-

стей исследования сложных современных систем в различных областях. Это продемонстрировано, в частности, на подробно проанализированных примерах из космонавтики, робототехники, биологии, в первой и четвертой главах и при решении прикладных задач в пятой главе. Результаты диссертацонной работы использованы при выполнении проектов РФФИ (09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», 12-01-00256-а «Исследование импульсных и гибридных управляемых систем на основе дискретно-непрерывных моделей»), РГНФ ( 11-02-00171 «Системный анализ стратегий устойчивого развития на примере Бурятской части Байкальского региона»), при подготовке учебного пособия Шмидт Ф.К. Основы моделирования и оптимизации физико-химических процессов: учебное пособие/ Ф.К. Шмидт, И.В.Расина— Иркутск, Изд-во Иркут. ун-та, 2012, —359 с. (модель дискретно-непрерывного процесса, достаточные условия его оптимальности и задача моделирования и оптимизации химико-фармацевтического процесса).

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждена формулировками и доказательствами серии теорем и четкой интерпретацией решений практических задач.

Результаты работы были представлены в докладах на следующих научных конференциях и семинарах: международная конференция «Математика, управление, интеллект», Иркутск, 2000; X международная конференция «Математика, экономика, образование», Ростов-на-Дону, 2002; международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2002; международные конференции «Актуальные проблемы права, экономики и управления в Сибирском регионе» 2005, 2007, 2008, 2011

в Иркутске; IV международная конференция «Математика, се приложения и математическое образование», Улан-Удэ - Байкал, 2011; XV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 2011; международная конференция «Динамические системы, нелинейный анализ и их приложения», Ереван, 2011; Школа-семинар «Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем», Геленджик, 2011; VI международный научный семинар GSSCP-2012 «Обобщенные постановки и решения задач управления», Геленджик, 2012; Всероссийская конференция «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах». Санкт-Петербург, 2012; Российско-Китайский семинар «Теория оптимального управления и научные вычисления». Шанхай, 2012; международная конференция «Numerical Computations: Theory and Algorithms (NUMTA-2013)», Falerna (CZ), Italy, 2013; 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems 2013 (PSYCO 2013), Caen, France; научный семинар Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН «Модели и методы теории управления»; российский междисциплинарный семинар «Теория систем и моделирование», научный семинар Бурятского государственного университета «Математическое моделирование и задачи управления».

Приведем далее основные теоретические положения, составляющие основу исследований в диссертационной работе.

0.1 Математические модели и моделирование

Как уже указывалось здесь и далее, следуя работам (Мссарович М. Теория иерархических многоуровневых систем./М. Месарович, Д. Мако, Я.

Такахара. М., Мир, 1973. 344 е.; Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем // Дифференциальные уравнения. 1974. 1,11. Т. 10 №5. С.1547-1559; Месарович М. Общая теория систем: математические основы./ М. Месарович, Я. Такахара. М.: Мир. 1978. 312 е.; Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления: монография. М.: Наука. Физматлит. 1985. 288 е.), под математической моделью реального объекта (системой) в общем случае будем понимать некоторое отношение — унарное (К, X), бинарное (И, Х,¥) и т.д. В частности, это может быть некоторый оператор (отображение) F: X —> У. В теории управления множества X, ¥ называют пространствами входов и выходов соответственно. Исследуемые объекты могут иметь сложную сетевую структуру, а их поведение определяться взаимодействием различных составляющих частей. Если при моделировании необходимо отразить их внутреннее строение, то можно использовать такое понятие как сеть операторов (Гурман В. И. Оптимизация дискретных систем: учебное пособие. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. 1976. 121с.; Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления: монография. М.: Наука. Физматлит. 1985. 288 с. ), рассматриваемое подробно в разделе 1.3.

Математические модели реальных объектов строятся для их исследования математическими методами, т.е. для постановки и решения различных математических задач, в том числе и рассматриваемых в работе оптимизационных задач. Рассмотрим их с общей точки зрения.

0.2 Абстрактные задачи оптимизации и улучшения

Задачи оптимизации, в самых общих терминах могут быть сформулированы, как следующая абстрактная задача об оптимуме. Задан функци-

онал I: IV! —> М — отображение некоторого множества М называемого основным , на числовую ось Задано некоторое подмножество D С М, называемое множеством допустимых Другими словами пара (D.M)

— система, представленная унарным отношением Требуется найти минимизирующую последовательность {ms} функционала / на D

I (ms) —► inf I — /*,

в частности, найти минималъ , те такой элемент, что m* G D,

I (т*) = min I, V D

если он содержится в множестве D

При постановке задачи требуется дать описание множества допустимых D, что связано с моделированием объекта управления, и описание функционала I, сопоставляющего каждому возможному варианту управления определенную числовую оценку Это вызывает, соответственно неопределенности двух типов. Первый тип обусловлен недостаточно полным представлением об объекте управления, недостатком информации о нем, второй — субъективным характером критерия сравнения (функционала /). Если неопределенности первого типа, хотя бы принципиально устранимы за счет наблюдения и изучения объекта, то неопределенности второго типа, связанные с неоднозначностью одного из элементов модели

— функционала /, принципиально неустранимы и влекут неопределенность решения при сколь угодно точном описании множества допустимых Это хорошо известная проблема неопределенности целей при принятии решений, изучаемая в теории управления, исследовании операций и системном анализе Хотя существует ряд процедур, которые позволяют формулировать неочевидный критерий оптимальности, исходя из

более простых и очевидных посылок (Погожев И. Б. Методы оптимизации системы показателей при управлении качеством продукции. М.: Знание. 1972. 59 с. ; Соколов A.B. Методы оптимальных решений. Т.1 /A.B. Соколов, В.В. Токарев. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2011. 564 е.), построение его остается интуитивным актом, отражающим в значительной мерс субъективные предпочтения исследователя.

Это создает основу для упрощенного описания класса D так, чтобы модель отнести к тому или иному желаемому типу, из числа хорошо изученных в теории. С учетом этого построение модели на этапе постановки задачи и ее активные преобразования, эквивалентные и упрощающие приближенные, рассматривается как важный инструмент при построении методов поиска практически приемлемых решений.

С другой стороны, и оптимизацию можно использовать в ряде случаев и как инструмент моделирования, и как продолжение процесса моделирования. В первом случае примером служит идентификация параметров модели по наборам эмпирических данных путем минимизации соответствующей невязки. Ко второму относится ситуация, когда предлагаемая концепция представляет собой набор некоторых незамкнутых балансовых соотношений, получающихся из законов сохранения, а замыкание, выделяющее истинное поведение объекта из всех, допускаемых указанными соотношениями, производится посредством некоторых вариационных принципов. Таким путем получены, например, фундаментальные законы механики и физики и известные модели рыночного поведения и равновесия в экономической теории.

В целом, такая взаимосвязь говорит о целесообразности и плодотворности совместного рассмотрения вопросов моделирования и методов оп-

тимизации.

Целью моделирования является исследование реальной системы, ее свойств через изучение свойств (характеристик) соответствующей модели. Существуют различные подходы к описанию таких свойств. Как один из признанных и плодотворных следует отметить подход, где они выражаются в логических терминах. Соответствующая методология представлена наиболее полно в книге (Матросов В.М. Метод сравнения в математической теории систем./ В.М. Матросов, Л.Ю. Анапольский, С.Н. Васильев. Новосибирск: Наука. 1980. 479 с.) и развивается интенсивно во многих работах этого направления.

Другой подход, на который мы в дальнейшем будем опираться, — общий принцип расширения (Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления: монография. М.: Наука. Физматлит. 1997. 288 е.). Применительно к задачам оптимизации он выражается следующим утверждением.

Лемма 0.1. (Кротов В.Ф. Методы и задачи оптимального управления: монография/ В.Ф. Кротов, В.И. Гурман. М.: Наука. 1973. 448 с.) Пусть имеются функционал /: М —> М. множество Ю С М, последовательность {га5} С Б, функционал Ь: М —> М, множество Е С М и число I такие, что: 1) Б С Е; 2) Ь(т) < I (га) (в частности Ь(т) = /(га)), га 6 Б; 3) I < Ь (га) , га £ Е; 4) 1(та) -»• I. Тогда

1)1 = Ы Ь = т£ /;

Е Б

2) Ь{т8) —> I на любой минимизирующей последовательности {гаь}.

Этот принцип состоит в замене исходной задачи (О,/) другой аналогичной задачей (Е, Ь), в каком-то смысле более простой, которая и даст решение исходной задачи. Задача (Е, Ь) при условиях 1), 2) леммы 0.1

называется расширением исходной задачи (0,1) и разрешающим расширением, если выполняются условия 3), 4) этой же леммы.

Особое место занимает случай разрешающего расширения, в котором Ь = I. Соответствующие задачи называются вырожденными задачами. В (Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления: монография. М.: Наука. 1977. 304с.) дано их следующее общее определение.

Пусть задан некоторый класс е расширений (Е, /), включающий расширение (М, /). Исходная задачу (В, I) называется вырожденной относительно класса £, если в £ найдется разрешающее расширение искомого решения задачи. Для любого элемента т е Т) и любого расширения (Е, V) имеет место оценка

/(га) — ЫI < А = /(га) - /, (0.2.1)

где I — нижняя граница, в частности, нижняя грань Ь на Е. Практически расширения строятся таким образом, чтобы задача (Е. Ь) решалась достаточно просто. Если величина Д достаточно мала, то соответствующий элемент га можно принять в качестве оцененного приближенного решения задачи (1),1), в то время как точное решение остается неизвестным.

Задача улучшения состоит, по существу, в построении некоторого оператора <9 (га), в : О —> О, такого что 1(в(т)) < /(га). При некотором заданном начальном элементе такой оператор генерирует улучшающую, в частности, минимизирующую последовательность {т8} : т3+1 = в(т3).

Подходы к решению задачи могут быть выработаны на основе общих принципов: упомянутого принципа расширения, локализации (Гурман В. И. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума. / В.И.Гурман, И.В.Расина// Автомат, и телсмех.

1979 №10 С 12-18 , Гурман В И Приближенные методы оптимального управления монография / В И Гурман, В А Батурин И В Расина Иркутск Изд-во Иркут Ун-та 1983 192 с , Гурман В И Принцип расширения в задачах управления монография M Наука Физматлит 1985 288 с ) и минимаксного принципа (Кротов В Ф Итерационные методы решения экстремальных задач / В Ф Кротов, И H Фельдман // В кн «Моделирование технико-экономических процессов» M Изд-во Московского экономико-статистического института, 1978 С 22-35, Кротов В Ф Итерационный метод решения задач оптимального управления/ В Ф Кротов, И H Фельдман // Изв АН СССР Тсхн киберн 1983 №2 С 160-168, Krotov V F Global methods m optimal contiol монография New York Marcel Dckkcr 1996 408 p )

Принцип локализации состоит в том, чтобы сводить задачу улучшения к задаче оптимизации на приближенной упрощенной модели (описании функционала / на D) в окрестности улучшаемого элемента m,1 Для того чтобы решение не вышло из заданной окрестности задача локализуется путем добавления с определенным весом к I функционала J(rri1 m) типа нормы, такого что ./(rr?1,7771) = 0, J(rnï,m)) > 0 при m ф- гп1 Получается вспомогательный функционал

Ia(m) = al(m) + (1 - a) J{ml m) et Е [0 1]

Тем самым «штрафуется» отклонение m от 77?1 В цитированных выше работах показано что существует такое 0 < а < 1 что приближенная минимизация вспомогательного функционала 1п(т) на упрощенной модели приводит к локальному уменьшению исходного функционала / Другой путь — ввести дополнительное ограничение J (m1 m)) < а чтобы непосредственно выделить желаемую окрестность В обоих случаях

меняя параметр а) можно добиться наиболее эффективного улучшения, т. е. его можно рассматривать как регулятор метода улучшения. Аппроксимацию модели можно проводить по различным схемам, например, как тейлоровскую, когда отображение I это допускает, либо в среднем в выбранной окрестности.

Минимаксный принцип состоит в задании функционала Ь так чтобы он достигал максимума на га1, тогда выбор любого элемента гп ^ гп1 из Е, в том числе из О, например, из условия минимума Ь на Е, приведет к улучшению, точнее обеспечит неравенство 1{т) < /(га1).

0.3 Сеть операторов и достаточные условия оптимальности

Понятие сети операторов и соответствующие достаточные условия сформулированы впервые в работе (Гурман В. И. Оптимизация дискретных систем: учебное пособие. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. 1976. 12] с ) Пусть имеется N операторов произвольной природы

Д : Х^ х и* -> (ук = ¡{к, хк, ик)).

Вводятся подмножества Х^, такие что Пд=1 ^д — Заговорят, что выход оператора I подается на вход оператора к, если для некоторого q имеет место равенство д, хк) = гц, где х{к> Я, хк) оператор проектирования на подмножество Хкд.

Пусть рассматриваемые операторы соединены указанным образом по некоторой схеме, представляемой ориентированным графом (рисунок 0.3.1). Предполагается, что для данного к между номерами д и I имеет место взаимно-однозначное соответствие.

Рис. 0.3.1:

Иными словами, олицетворяет множество входов к-го оператора, занятых в соединениях, а и^ - множество свободных входов. Такая модель называется сетью операторов.

Описанную сеть можно рассматривать как некоторый оператор

м n

Г: X —> ¥, Х=Пиг=[]Хь ¥ =[] ¥г,

гб1 /=1 1=1

где I = 1,... ,М — все свободные каналы. Он называется оператором

следующего верхнего уровня (при сравнении в обратном порядке говорят об операторах следующего нижнего уровня).

Такое представление дает возможность отобразить иерархическое строение моделируемого объекта. Специальный случай сети — цепочка произвольных операторов — может рассматриваться как общая модель динамической системы с переменной структурой.

Рассматривается задача о минимуме функционала n n n

I = = ^1к(тхк1ик)) = ^21°(к.,хк,ик) (0.3.1)

1 1 1

на множестве О наборов т = {(хк,ик)}. к = 1,.. ., N. связанных указанными соотношениями сети и возможными дополнительными ограни-

чениями вида (хк, щ) € В (к), где В (к) - заданное при каждом к множество. Требуется найти минимизирующую последовательность {т8} С В. т.е. такую, что 1(т8) —> т£ /.

Вводится множество Е элементов га, не связанных сетевыми условиями - равенствами х(к^,Хк) = Уь Строится обобщенный лагранжиан:

n

Ь = - ^ Я(к. хк,ик)) к=1

n

Я(к, ж, и) = I, /(/с, х,и))- <р(1, к, х{К 1,х)))~ /°(/с, X, и), (0.3.2)

1=1

где <р(к, /, уь), к,1 = 1,..., N, — произвольные функционалы, такие что ср(к,1,г/к) = 0, если равенство х(к^,Хк) = У1 отсутствует (отсутствует связь I —» /с).

Легко видеть, что 1/(га) = /(т) при т £ I), т.е. при выполнении сетевых связей (когда равенства х{к,3-,хк) = У/ соблюдаются). Действительно, в этом случае n n

ь = I /(к,хк,ик)) - <р(1,к,х(к,з,Хк))) =

к=1 1=1

n

= 1 ~ У*) _ = 7'

к,1=1

Из выражения для £ видно, что n

= вир {Я(/с, х, и): (ж, и) € В(/с)}.

к=1

Отсюда вытекает следующая

Теорема 0.1. Пусть имеются последовательность {га*,} С В и функционалы <р(к, I, ук) такие, что Щк. хкз, икз) —> [л(к), к = 1,. .., N. Тогда {ть} минимизирует функционал / на О.

0.4 Основные преобразования динамических систем типа расширения

Расширения непрерывных систем. Рассматривается непрерывная система

x = f(t,x,u), хЄШп, и Є XJ (t,x) С W, (0.4.1)

где / (£, x, и) непрерывна, х (£) кусочно-гладкие, а и (£) кусочно-непрерывные. Ее можно представить как комбинацию следующих связей:

x = v, (0.4.2)

v Є V (£, х) = f (£, х, U (£, x)) , (0.4.3)

Очевидно, что замена множества U (£, х) некоторым более широким Ug (£, х) D U (t,x) (или, что то же самое, замена множества V(t.x) на Vg (i.i) D V(t,x)) в (0.4.3) приводит к расширению и множества решений D. Таким образом, получаются расширения первого типа.

Расширения второго типа, относящиеся к дифференциальной связи (0.4.2), получаются следующим образом. Вводится непрерывное и дифференцируемое отображение у — г] (t,x). Далее строится новая управляемая система

У = 'Пх'и + r}U v Є V (£, х) , г/ (£, х) = у, (0.4.4)

или, другими словами, система

У = Vxf (t, х, u)+r)t, и Є U (£, х) , х Є Q (£, у) - гf1 (£, у) . (0.4.5)

дг) (drf\ дг)

rir = —— = —— , г = 1, 2.....п, 7 = 1,2.....т. rit = —.

/ж \<9жг у ' ' ' J ' ' ' ' ' dt

В терминах общего принципа расширения этими преобразованиями вводится желаемый класс расширений е исходной системы (0.4.1).

Расширения дискретных систем. Систему

х(к + 1) = f(k,x(k),u), хеХ{к), ueU(k,x) cU{k) (0.4.6)

аналогично непрерывной можно представить в форме

х(к+ 1) G П{к,х(к)), Н(к,х)) = f (к, x,XJ (к, х)). (0.4.7)

Замена U более широким множеством U^, UD U (t.x) (замена П на П^ D П) приводит к расширению множества D всех решений (0.4.6), (0.4.7). Тем самым получаются расширения первого типа.

Далее, для каждого t вводится произвольное отображение у — ту (к, х) и строится новая дискретная управляемая система

у (к + 1) = rj (к + 1, / (¿, х (к) , и (к))), (0.4.8)

и (к) е U (к, х (i)), х(к) Е Q (к, у (к)) = ту"1 (/с, у (к)) .

Множество Е всех (х (к), и (к)), удовлетворяющих (0.4.8), очевидно, шире, чем D. Таким образом, получаются расширения второго типа.

Релаксационные расширения. Если решения расширенной системы аппроксимируются с любой точностью решениями исходной системы, то такие расширения называются релаксационными. Релаксационные расширения первого типа получаются за счет овыпукления множества скоростей:

х G Vc (t, х) = coV (£, х) . (0.4.9)

Известно (Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления: монография. М.: Наука. 1977. 304 е.; Варга Дж. (Warga J.) Relaxed Variational Problems // J. Math. Anal, and Applic. 1962. v. 4. M. P. 3843), что при естественных предположениях для любого кусочно-гладкого

решения системы (0.4.9) на ограниченном отрезке Т существует последовательность кусочно-гладких решений системы (0.4.1), (а;5(£)}, сходящаяся на Т равномерно к х (£) , т.е. х (£) есть некоторое обобщенное решение системы (0.4.1).

Для систем с неограниченным множеством скоростей возможны релаксационные расширения второго типа, которые получаются следующим образом. Рассматриваются пределы последовательностей

•ККГ1}, Ы С V, 1^1 ->• оо.

Каждому пределу сопоставляется продолжающий его луч I Строится система, называемая предельной

Ит

— = 1. 1еь{г,х), (0 4Ю)

ат

где £ — параметр, Ь (£,ж) — объединение указанных лучей (конус) При естественных предположениях она описывает асимптотически поведение исходной системы при больших скоростях и может быть записана в форме

с

— = 1ь(г,х)и, и € и с ат

где к = ...., Нь — некоторый базис линейной оболочки Ь Пусть эта система при каждом £ Е Т имеет интеграл

у = 77 (£, ж), У 6 Мп~т. т > к

И пусть при любых £ 6 Т и любых у многообразие (£. у) = {х у = г/ (£, а:)} — множество полной управляемости для системы (0 4 10)

Наряду с (0.4.1) рассматривается расширенная систсма (0 4 5), где в качестве расширяющего отображения используется интеграл 77 (£. т)

у = г]х} (£,ж.-и) +т]и иеи{г./х). у = г}(г.х) (0 4 11)

Она называется производной по отношению к исходной (0.4.1).

Тем самым вводится множество Еж кусочно-непрерывных функций х (£) таких, что функции у (£) = 77 (£, х (¿)) (кусочно-гладкие) удовлетворяют системе (0.4.11), где и (¿) — кусочно-непрерывная на Т функция. Для любой такой функции может быть построена последовательность {ж5(£)} С О, сходящаяся к х(£) по мерс на ограниченном отрезке Т, причем х3 (¿а) —> х (¿а) для любого фиксированного конечного множества {£а} С Т (Гурман В.И. Оптимальные процессы с неограниченными производными. Автомат, и телемех. 1972. №12. С. 14-21; Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления: монография. М.: Наука. Физматлит. 1997. 288 е.).

Решение производной системы х (¿) е Е называется импульсным режимом исходной системы.

Для дискретных систем нет аналога релаксационного расширения первого типа непрерывных систем, однако существуют аналогичные расширения второго типа.

Пусть система (0.4.7) такова, что

П(£,ж) = П(£,77(£,Ж)),

т.е. суперпозиция многозначного отображения П (£, у) и некоторого отображения г] (£, х). Это означает, что

/ (£, х, и) = / (£, Т] (£, х), и), и (£, х) = йц,г) (£, х)).

Рассматривается система

у(£ +1)еП^(£,у(£)), (0.4.12)

где П^ (£, у) = г] + 1, П (£, у)^ . Она называется производной по отношению к (0.4.7).

Если у{€) — решение системы (0.4.12) и

то х (£) — решение системы (0.4.7) , что проверяется непосредственно.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

Во введении показана актуальность работы, определены цель и методы исследования, дан обзор состояния вопроса в области моделирования систем неоднородной структуры и управления дискретно-непрерывными процессами.

А также приведены материалы, основанные на общих представлениях о математическом моделировании и задачах, возникающих при исследовании моделей на абстрактном уровне, изложены основные понятия и факты из теории однородных непрерывных и дискретных управляемых систем, составляющие методическую базу проведенных исследований.

В Главе 1 формируется концепция дискретно-непрерывной системы (ДНС) и приводятся представительные примеры дискретно-непрерывных моделей неоднородных систем и процессов из различных прикладных областей.

Для модели ДНС формулируются и доказываются теоремы о достаточных условиях улучшения и оптимальности как аналогах известных условий Кротова для однородных дискретных и непрерывных систем. Выводятся условия типа Беллмана для общей, линейной и линейно-ква-дратической ДНС. Получаются оценки множеств достижимости для дискретно-непрерывной модели.

Дается определение вырожденной задачи оптимального управления для ДНС и строятся аналоги специальных методов теории вырожденных

задач для однородных систем.

Глава 2 посвящена построению методов и алгоритмов последовательного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления дискретно-непрерывных процессов на основе достаточных условий улучшения и оптимальности, полученных в предыдущей главе с использованием принципа локализации и минимаксного принципа Кротова.

Конкретно получены методы локального улучшения путем тейлоровской и среднеквадратической аппроксимации конструкций достаточных условий в окрестности текущего приближения, метод локального улучшения второго порядка, глобальный метод улучшения управления на основе минимаксного принципа Кротова. Как практически важный частный случай выводится алгоритм глобального улучшения типа Кротова для линейных ДНС без настроечных параметров.

В Главе 3 предлагаются методические приложения дискретно-непрерывной модели к дискретизации непрерывных процессов, к описанию импульсных процессов и магистральных решений вырожденных задач. Предлагается также схема применения ДНС для использования имеющихся готовых программных комплексов моделей с некоторым набором постоянных параметров в новых приложениях, где эти параметры требуется менять во времени путем создания двухуровневой иерархической модели управления.

В Главе 4 рассматриваются обобщения и модификации иерархической модели, где верхний уровень представляет собой сеть операторов, а нижний уровень составляют однородные системы различной природы. Подробно представлен случай, когда на нижнем уровне действуют дискретные системы, например, полученные при естественной дискрсти-

зации непрерывных в процессе вычислений

В Главе 5 рассматривается применение моделей и методов, развитых в предыдущих главах, к исследованию и решению прикладных задач

Первая из них — моделирование и оптимизация многоэтапного химико-технологического процесса в фармацевтическом производстве Построена соответствующая модель ДНС и на ней решена задача о максимуме концентрации одного из компонентов в момент окончания процесса

Вторая — оптимальное планирование рекламной деятельности компании В методическом плане она относится к вырожденным и эффективно решается практически в общем виде с применением специального метода кратных максимумов, представленного в главе 2

Третья — исследование стратегий устойчивого инновационного развития региона на многокомпонентной социо-эколого-экономичсской модели Решалась задача о максимуме функционала благосостояния Это — сложная вырожденная задача оптимального управления Для се решения предусмотрена многоступенчатая процедура где решающую роль играют идеализированные магистральные решения импульсного типа Они имеют, с одной стороны, непосредственную практическую интерпретацию, а с другой — уточняемы в итерационной процедуре на исходной модели Такое магистральное решение было получено методами, разработанными в 3-й главе

Кроме того на этой же модели было практически апробировано одно из методических приложений иерархического представления (модификация се сложного программного комплекса) предложенное в главе 4 Также проведено исследование чувствительности модели к неопределенностям, связанным с агрегированным представлением инновационных

процессов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации, обоснована их научная новизна и практическая ценность

Основные результаты диссертации отражены в двух совместных монографиях и 34-х статьях, в т.ч. 10-и статьях в рецензируемых журналах из списка рекомендованных ВАК. Работы автора отмечены в списке литературы символом *.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному консультанту, профессору В.И. Гурману за его нелегкий труд и долготерпение, а также академику С Н Васильеву за постоянное внимание к работе Кроме того автор признателен И С Гусевой, А О. Блинову, О.В. Батуриной и О В. Фссько за помощь в проведении расчетов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Расина, Ирина Викторовна

Основные результаты

1 Разработана иерархическая модель динамической ДНС для нее получены общие достаточные условия типа Кротова улучшения и оптимальности управления и их конкретизации в форме Бсллмана как для общей нелинейной модели, так и для ее важных частных случаев линейной и линейно-квадратической ДНС, получены описания и внешние оценки множеств достижимости, проведено обобщение основных понятий и специальных методов теории вырожденных задач оптимального управления, типичных для приложений

2 Разработаны серия методов и алгоритмов итерационного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления и единая итерационная процедура для динамической ДНС на основе полученных в первой главе достаточных условий улучшения и оптимальности и общего принципа локализации Одно из преимуществ соответствующих алгоритмов состоит в том, что в конце итерационного процесса «автоматически» строится локально оптимальный синтез управления в окрестности желаемой траектории С этой точки зрения их можно рассматривать как вклад в развитие известной теории АКОР

Как важный частный случай исследована ДНС линейная по состоянию, с управляемыми коэффициентами. Для этой модели, в целом нелинейной, построен аналог минимаксного метода Кротова глобального улучшения управления, не требующий настроечных параметров.

3. В качестве теоретических приложений модели динамической ДНС предложены методы представления и исследования импульсных процессов и магистральных решений в вырожденных задачах для непрерывных в исходной постановке систем, когда неоднородности возникают в ходе поиска их решений при применении преобразований по методу сингулярных расширений. В важном частном случае билинейных систем эти преобразования могут быть выполнены аналитически, и априори выявляется магистральная природа искомого решения. В результате строятся новые модели таких систем в форме ДНС, регулярные и удобные для дальнейшего исследования.

Предложены схемы применения модели динамической ДНС для дискретизации непрерывных управляемых систем, которые существенно отличаются по своей природе от систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и использования ранее разработанных программных комплексов для моделей с постоянными параметрами, когда требуется эти параметры менять в процессе функционирования.

4. Разработан аналог модели ДНС для систем сетевой структуры, в которой на верхнем уровне фигурирует абстрактная сеть операторов; для нее получены достаточные условия оптимальности и улучшения как обобщение соответствующих условий для динамической ДНС.

Указаны возможности применения иерархического принципа для систем неоднородной структуры, где подсистемы нижнего уровня представлены различными моделями иными, чем обыкновенные дифференциальныс системы.

Построен аналог модели динамической ДНС. у которой оба уровня дискретные, с учетом естественной дискретизации непрерывных подсистем ДНС на этапе вычислений.

5.Получены решения ряда примеров и прикладных задач, иллюстрирующие эффективность и практическую ценность разработанных методов. А именно, решенызадача управления квантовой системой, на модели, полученной специальным преобразованием уравнения Шредингсра с управляемым гамильтонианом, моделирование и оптимизация химико-фармацсвтичсского процесса, моделирование и оптимальное планирование рекламной деятельности компании, планирование стратегии устойчивого развития региона на социо-эколого-экономической модели с учетом инновационных процессов, моделирование в форме дерева операторов бассейна реки, как объекта антропогенных воздействий, и оптимизация водоохранных мероприятий

Эти результаты отвечают требованиям актуальности, новизны, теоретической и практической ценности. Они получены на основе новых версий моделей ДНС, предложенных в диссертации в рамках иерархического подхода к моделированию и оптимизации неоднородных систем, развиваемого автором с середины 1970-х годов, которые существенно расширяют сферу применения достаточных условий оптимальности Кротова

Предложенные модели и методы могут быть использованы для решения широкого круга актуальных прикладных задач из различных областей, таких как космонавтика, робототехника, сложные технологические процессы, управление экономическими и региональными социо-эколого-экономическими системами, при проектировании систем управления объектами, состоящих из многих компонентов различной природы.

Модели и условия оптимальности для систем сетевой структуры служат основой для разработки в перспективе эффективных алгоритмов оптимизации управления в таких системах по аналогии с таковыми для динамических ДНС, подробно представленными в работе. При этом систематическое исследование свойств этих алгоритмов, прежде всего условий неулучшаемости открывает возможность получения необходимых условий оптимальности для ДНС той или иной общности, дополняющих достаточные условия.

Весьма перспективным представляется дальнейшее развитие минимаксного принципа улучшения управления Кротова применительно к рассмотренным классам ДНС путем построения линейно-квадратических и более общих функций Кротова обоих уровней.

В целом, не умаляя ценности результатов, полученных на основе различных подходов к представлению сложных систем неоднородной структуры, реализуемых другими научными школами, иерархический принцип, как весьма общий и эффективный, целесообразно развивать в направлении построения многоуровневых моделей сложных систем с целью их декомпозиции на достаточно простые системы однородной структуры и использования богатого арсенала математических методов, накопленных для таких систем.

Важный методологический вывод проведенных исследований состоит в том, что построение математической модели объекта может служить не только начальным этапом его математического исследования, но и активным инструментом самого исследования; за счет целенаправленных точных или приближенных преобразований могут получаться новые модели того же объекта, более удобные, и рассматриваться как самостоятельные, которые можно рекомендовать и для других исследований.

Заключение

По диссертационной работе можно сделать следующие выводы

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Расина, Ирина Викторовна, 2013 год

Список литературы

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем: учебное пособие/ К.А. Абгарян— М.: Вузовская книга, 2006,- 544 с.

2. * Агафонова И.А. Математическое моделирование и оптимизация процесса метилирования динатриевой соли сульфаминоантипирина / И.А. Агафонова, JI.JI. Гулин, И.В. Расина —М.,1978—19с — Деп в ВИНИТИ 10.11.78 №3457-78.

3. Азмяков В.( Azhmyakov V.) A gradient-based approach to a class of hybrid optimal control problems / В. Азмяков. Ж. Райсх (V. Azhmyakov, J.Raisch ) //In: Proceedings of the 2nd IFAC Conference on Analysis and Design of Hybrid Systems - Alghero- 2006 - C.89-94.

4. Азмяков B.( Azhmyakov V.) Optimal control of hybrid and switched systems / В. Азмяков // In: Proceedings of the IX Chetaev Conference «Analytical Mechanics. Stability and Control if Motion».— Irkutsk— 2007,- C. 308-317.

5. Анохин А.Б. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом: монография / А.Б. Анохин, В.И. Гурман ,Г.Н. Константинов и др. — Новосибирск: Наука, 1987,— 231с.

6. Антсаклис П.Ж. (Antsaklis P.J.) A brief introduction to the theory and applications of hybrid systems./ Антсаклис П.Ж.(P.J. Antsaklis )// Proc. IEEE, Special Issue on Hybrid Systems. Theory and Application. July 2000- 88(7)—P.879-886.

7. Барбашин E.A. Введение в теорию устойчивости: учебное пособие/ Е.А. Барбашин — М.: Наука, 1967,-233 с.

8. Батурин В. A. An Algorithm for Optimal Impulsive Control Problems /В.А Батурин, E.B. Гончарова // Proc. of 15th IFAC World Congress.2002-Barcelona, Spain, Elsevier Science Ltd— 2002,— P. 17—21.

9. Батурин В. А. Приближенные методы решения задач оптимального управления гибридными системами /В.А Батурин, Е.В. Гончарова, А.А. Лемперт // Труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Севе-робайкальск,- 2008- Т.2- С.3-22.

10. Батурин В. А. Метод слабого улучшения первого порядка для задач оптимального управления логико-динамическими системами / В.А Батурин, Н.С. Малтугуева // Известия Ирк. гос. ун-та. Математика,— Иркутск: Изд-во ИГУ- 2009- Т. 2, №1- С. 83-93.

11. Батурин В. Л.Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения: монография /В.А Батурин, Д.Е. Урбанович— Новосибирск: Наука, 1997,— 175 с.

12. Белецкий В.В. Динамика двуногой ходьбы / В.В. Белецкий // Изв. АН СССР. Механика твердого тела - 1975- №3—С. 3-14, №4- С. 3-13.

13. Белецкий B.B. Задачи оптимизации динамики двуногой ходьбы / В.В. Белецкий, А.Г. Орлов — Препринт ИПМ АН СССР, 1979. №98— 26 с.

14. Беллман Р. Динамическое программирование: монография / Р. Белл-ман - М.: ИЛ, 1960,- 401 с.

15. Bensoussan A. Controle impulsionnel et in equations quasi-variationnelles: монография / A. Bensoussan , J.L.Lions — Paris, 1982,— 364 p.

16. Блехман И.И. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис , Н.Г. Пановко - М.: УРСС, 2006,- 270 с

17. Блинов А. О. Магистрали в моделях экономической динамики и приближенный синтез оптимального управления./ А.О. Блинов , М.Ю. Ухин // «Научное обозрение».-2006- №2, - С. 84-88.

18. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами: монография / В.Г. Болтянский — М.: Наука, 1973, —448 с.

19. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности управ- лс-ния детерминированными логико-динамическими системами / A.C. Бортаковский // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. - 1992,- Вып. 2-3- С. 72-79.

20. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы / A.C. Бортаковский // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006— №6— С. 7792.

21. Бортаковский A.C. Необходимые условия оптимальности управления логико-динамическими системами / A.C. Бортаковский // Известия РАН. Теория и системы управления— 2007— №6— С. 16-33.

22. Бортаковский A.C. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов в классе логико-динамических (гибридных) систем / A.C. Бортаковский // Автомат, и телемех. — 2011 — №12— С. 3-23.

23. Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными системами / A.C. Бортаковский. A.B. Пантелеев // Автомат, и телемех. — 1987— №7 — С. 57-66.

24. Браницки М.С. (Branicky M.S.) Study hybrid systems: modeling, analisis, control/ М.С. Браницки // PhD thesis, LIDS-TH 2304, Massachusets Institute of Technology.— Cambrige: MA— 1995— P. 29-54.

25. Браницки М.С. (Branicky M.S.) Unified framework for hybrid control: model and optimal control theory/M.C. Браницки, В.С.Боркар, Л.Ф. Миттер (M.S.Branicky, V.S. Borkar, K.A.Mittcr )// IEEE Trans. Automation Control - 1988 - 43(1)- C. 31-45.

26. Браницки M. C. (Branicky M.S.) Fast marching for hybrid control /М.С. Браницки, P. Хеббар (M.S.Branicky, R. Hebbar ) // Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control - 1999 - P. 9-11.

27. Брискин E. С. Динамика и управление движением шагающих машин с цикловыми движетелями: монография /Е.С. Брискин и др.— М. Машиностроение. 2009, — 188 с.

28. Булдаев A.C. Нелокальное улучшение дискретных управлений в квадратичных по состоянию динамических системах / A.C. Булдаев //

Тр. межд. конф. «Идентификация систем и задачи управления»,— М.: ИПУ РАН- 2003- С. 707-713.

29. Булдаев А. С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем: монография /A.C. Булдаев — Улан-Удэ: изд-во БГУ, 2008- 260 с.

30. Бусленко Н.П. Имитационное моделирование сложных систем: монография— М.: Наука. 1978,— 399 с.

31. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами: монография / А.Г. Бутковский— М.: Наука, 1965,- 474 с.

32. * Бушмин С.Ю. Задача управления посадкой вертолета как сложный процесс / С.Ю.Бушмин, И.В.Расина — М., 1985—13 е.— Деп. в ЦНТИ ГА, 11.02.85 №303 ГА-85 ДЕП.

33. Варга Дж. (Warga J.) Relaxed Variational Problcms/Дж. Варга (J. Warga )// J. Math. Anal, and Applic-1962- v. 4, М-Р. 38-43.

34. Варга Дж. (Warga J.) Optimal control of differential and functional equations: монография/ Дж. Варга (J. Warga) //— New-York: Academic Press, 1972- 624 p.

35. Васильев O.B. Лекции по методам оптимизации: учебное пособие / О.В. Васильев— Иркутск. Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1994,-339 с.

36. Васильев С.Н. Метод сравнения в анализе систем / С.Н. Васильев// Дифференциальные уравнения. I— 1981— 17, №9— С 1562-1573: II—

1981- 17, №11- С.1945-1954; III- 1982- 18, №2- С.197-205; IV-

1982- 18, №6 - С.938-947.

37. Васильев С.Н. Моделирование и управление процессами регионального развития: монография / Под ред. С.Н.Васильева — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001,-432 с.

38. Vasilyev S.N. Logical Approach in Knowledge-Based Control/ S.N. Vasilyev // Proc. of 21st SGES Intern. Conference on Knowledge Based Systems and Applied Artificial Intelligence (ES-2001)— Cambridge-2001- P. 259-272.

39. Васильев С.Н. Теория и применение логико-управляемых систем /С.Н. Васильев // Труды 2-ой Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03).— 2003— С. 23-52.

40. Васильев С. Н. Интеллектнос управление динамическими системами: монография /С.Н. Васильев, А.К. Жерлов, Е.А. Федосов , Б.Е. Федунов — М: Физматлит, 2000,-352 с.

41. Васильев С.Н. Метод редукции в анализе непрерывно-дискретных динамических систем /С.Н. Васильев, Р.И. Козлов, А.В.Лакеев // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений».— Новосибирск: НГУ— 2008— С. 54.

42. Васильев С.Н. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов /С.Н. Васильев, A.A. Косов // Автомат, и телемех,— 2011— №6—С. 2747.

43. Васильев С.Н. Метод векторных функций Ляпунова в некоторых задачах оптимального управления /С.Н. Васильев, A.B. Лакеев // В кн.: Дифференциальные уравнения и численные методы.— Новосибирск: Наука, 1986- С. 19-44.

44. Васильев С.Н. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем /С.Н. Васильев, А.И. Маликов // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Т.1. К 20-лстию ИММ КазНЦ РАН,- Казань, Фолиант, 2011,- С.23-81.

45. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: монография /Ф.П. Васильев — М.: Наука, 1988,-552 с.

46. Викулов В. Е. Эколого-экономическая стратегия развития региона: монография /В.Е. Викулов, В.И. Гурман, Е.В. Данилина и др. — Новосибирск: Наука, 1990,-182 с.

47. Винтер Р. (Vinter R.) A Characterization of the reachable set for nonlinear control systems /Р. Винтер (R. Vinter ) // SIAM J. Control and Optim.- 1980- №6-P. 19-26.

48. Винтер P. (Vinter R.) A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories /Р. Винтер (R. Vinter ), Ф.М.Л. Псрейра (F.M.L. Pereira)// SIAM J. Control and Optim - 1988- №26- C. 205-229.

49. Габасов P. Основы динамического программирования: монография /Р. Габасов, Ф.М. Кириллова — Минск: Изд-во Белорусского ун-та, 1980,-264 с.

50. Габасов Р. Конструктивные методы оптимизации. 4.1: Линейные за-

дачи /Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. А.И. Тятюшкин — Минск: Университетское, 1984,-207 с.

51. Габелко К. Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов /К.Н. Габелко // Автомат, и телемех,— 1974— №1— С. 72-80.

52. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения: монография /И.В. Гайшун — Минск: Наука и техника, 1983,-272 с.

53. Гончарова Е. В. Метод улучшения для дискретно-непрерывных систем /Е.В. Гончарова, М.В. Старицын // Труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Северобайкальск— 2008— Т.2— С. 125-134.

54. Гончарова Е. В. Метод улучшения управления импульсными системами /Е.В. Гончарова, М.В. Старицын // Известия РАН. Теория и системы управления— 2010— №6— С. 53-60.

55. Горбань А. Н. Демон Дарвина: Идея оптимальности и естественный отбор / А.Н. Горбань, Р.Г. Хлебопрос — М.: Наука. Физматлит, 1988,-180 с.

56. Горбунов В. К. О сведении задач оптимального управления к конечномерным / В.К. Горбунов // Журнал выч. мат. и мат. физ.— 1978— Т. 18. №5- С. 1083-1095.

57. Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления: монография /А.Ю. Горнов —Новосибирск: Наука, 2009,-277 с.

58. Горстко А.Б. Имитационная система«Азовскос морс» /А.Б Горстко 11 Труды ВНИРО. TCXVIII. Вопросы математического исследования и моделирования экосистемы Азовского моря — 1977— С 48-55

59. Гроссман Р.Л. (Grossman R.L.) Hybrid Systems / Р JI Гроссман, Нероде А., А.П. Раф (R.L. Grossman, A Nerode, А Р Ravh)//— New York Springer Verlag, 1993,-337 pp

60. Гурман В.И. Об оптимальных процессах особого управления /В И Гурман // Автомат и телемех — 1965— №5— С. 782-791

61. Гурман В.И. Оптимальные процессы с неограниченными производными /В.И Гурман // Автомат и телемех.— 1972— №12— С 14-21

62. Гурман В. И. К теории оптимальных дискретных процессов /В И Гурман // Автомат и телемех — 1973— №6— С 53-58

63. Гурман В. И. Оптимизация дискретных систем: учебное пособие/ В.И. Гурман —Иркутск. Изд-во Иркут ун-та, 1976, —121с

64. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления монография/ В И Гурман — М Наука, 1977,—304с

65. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления монография / В.И. Гурман — М,- Наука, Физматлит, 1985, 1997,-288 с

66. Гурман В. И. (Gurman V.l.) Modeling and Optimization Sustainable Strategies on Regional Level/ В.И. Гурман (V I Gurman) // Proceedings of LI Int. Conference Econometrics of Environment and Transdisciplmarity /- Lisbon, Portugal, April 1996- V 5-P 21-25.

67 Гурман В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений /ВИ Гурман // Автомат и телемех — 2003— т-с 61-71

68 Гурман В. И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем / ВИ. Гурман / / Изв РАН Теория и системы управления - 2004- №4- С 70-75

69 Гурман В И. Преобразования управляемых систем для исследования импульсных режимов /ВИ Гурман // Автомат и телемех — 2009- №4- С 89-97

70 Гурман В. И. Магистральные решения в задачах оптимального управления квантомсханическими системами /ВИ Гурман // Автомат и телемех - 2011- №6- С 115-126

71 Гурман В И. Абстрактные задачи оптимизации и улучшения /ВИ Гурман // Программные системы теория и приложения Электрон науч журн — 2011— №5(9)— С 14-20 URL http //psta psiras iu/iead/ psta2011_5_l4-20 pdf

72 Гурман В. И. Алгоритм улучшения управления, основанный на оценках областей достижимости / ВИ Гурман, В А Батурин// —М 1985-14 с - Деп в ВИНИТИ 16 10 85 №651-85

73 Гурман В И Новые методы улучшения управляемых процессов / В И Гурман, В А Батурин Е В Данилина и др — Новосибирск Наука, 1987 -183 с

74 Гурман В И Методы улучшения в вычислительном эксперименте / В И Гурман, В А Батурин А И Москаленко и др — Новосибирск

Наука, 1988,-184 с.

75. * Гурман В.И. Приближенные методы оптимального управления: монография / В.И.Гурман, В.А. Батурин, И.В. Расина — Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та — 1983— 192 с.

76. Гурман В. И. Аналитическая аппроксимация динамических систем в задачах приближенной оптимизации управления / В.И.Гурман, А.О. Блинов // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика.— 2008- С. 25-30.

77. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления и метод кратных максимумов для многомерных управлений / В.И. Гурман, В.А. Дыхта// Автомат, и телемех.— 1976— №3— С. 53-59.

78. Гурман В. И. Условия оптимальности импульсных режимов / В.И. Гурман, Г.А. Колокольникова // М. 1984- 58 с -Деп. В ВИНИТИ 14.09.84 №6259-84.

79. Гурман В. И. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем / В.И. Гурман, Г.Н. Константинов // Дифференциальные уравнения- 1987- №3— С. 416-423

80. Гурман В. И. Социо-эколого-экономическая модель региона в параллельных вычислениях /В.И. Гурман, Г.А. Матвеев, Е.А. Трушкова // — М.: ИПУ РАН. Управление большими системами—2011— Выпуск 32. - С. 109-130.

81. Гурман В. И. Реализация скользящих режимов как обобщенных решений задач оптимального управления /В.И. Гурман, Ни Минь Кань // Автомат, и телемех — 2008— №3— С. 51 - 59.

82 Гурман В И Траектории импульсных режимов управляемых систем /В И Гурман, Ни Минь Кань // Изв ИГУ— 2009— Т 2 №1— С 170-182

83 Гурман В И Вырожденные задачи оптимального управления /ВИ Гурман, Ни Минь Кань // Автомат и телемех —2011 I— №3— С 36-50, II- №4- С 57-70, III- №5- С 32-46

84 Гурман В И Практические схемы оптимизации управления на основе принципа расширения /В И Гурман, Ни Минь Кань М Ю Ухин // Автомат и телемех — 2006— №6—С 25-41

85 Гурман В И Достаточные условия оптимальности сложных процессов /В И Гурман, А Г Орлов // Автомат и телемех — 1978— №4— С 37-45

86 Гурман В И Сложные процессы двуногой ходьбы /В И Гурман А Г Орлов— Препринт ИПМ им М В Келдыша, 1979, №95—39 с

87 *Гурман В И О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума /ВИ Гурман И В Расина// Автомат и телемех—1979—№10—С 12-18

88 *Гурман В И Сложные процессы /ВИ Гурман, И В Расина //В кн Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения монография—Новосибирск Наука— 1990 — С 84-94

89 *Гурман В И Модели, оптимизация и приложения дискретно-непрерывных (гибридных) управляемых систем /ВИ Гурман И В Расина // Материалы международной конференции «Динамические

системы, нелинейный анализ и их приложения». Ереван, 2011.— М.: ЦЭМИ РАН- 2011- С. 45-47.

90. *Гурман В. И. Методы улучшения на основе локальных и нелокальных аппроксимаций / В.И. Гурман, И.В. Расина // Материалы IV Международной конференции МПМО 11 «Математика, се приложения и математическое образование». Часть 1,— Улан-Удэ, Байкал— 2011- С. 43-47.

91. *Гурман В. И. Улучшение и приближенно-оптимальный синтез управления в окрестности опорной траектории / В.И. Гурман, И.В. Расина // Автомат, и телемех — 2011— №12— С.24-37.

92. *Гурман В.И. Дискретно-непрерывные представления импульсных решений управляемых систем / В.И. Гурман, И.В. Расина // Автомат. и телемех,- 2012- №8- С. 16-29.

93. * Гурман В. И. Теоретические основы пакета прикладных программ по улучшению режимов и локальному синтезу управления / В.И. Гурман, И.В. Расина, В.А. Батурин, A.A. Онхотоев, Е.В. Данилина, Е.Ю. Батурина //В кн.: Пакеты прикладных программ. Методы и разработки.— Новосибирск: Наука— 1981— С. 104-112.

94. *Гурман В. И. Достаточные условия относительного минимума в задачах улучшения и синтеза управления / В.И. Гурман, И.В. Расина, В. А. Батурин, Е.В.Данилина //В кн.: Методы оптимизации и их приложения. — Новосибирск: Наука— 1982— С. 80-102

95. *Гурман В.И. Эволюция и перспективы приближенных методов оптимального управления/ В.И. Гурман, И.В. Расина, А.О. Блинов //

Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения» —Переславль-Залесский: ИПС имени А.К. Айламазя-на РАН- 2011- Вып. 2, Т. 2- С. 11-29.

96. * Гурман В. И. Иерархическая модель неоднородной дискретной системы и ее приложения / В.И. Гурман, И.В. Расина, Е.А. Трушкова, О.В. Усенко // Управление большими системами.— М.: ИПУ РАН— 2013- Вып. 41- С.249-269.

97. Гурман В. И. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона/ Под ред. В. И. Гурмана, Е. В. Рюминой.— М.: Наука, 2001— 175 с.

98. Гурман В.И. Оценки множеств достижимости управляемых систем / В.И. Гурман, Е.А. Трушкова // Дифференциальные уравнения,— 2009- Т.45, №11- С.1601-1609.

99. Гурман В. И. (Gurman V. I.) The extension principle in control problems. Constructive methods and applied problems / В.И. Гурман, М.Ю. Ухин (V.I. Gurman, M. Yu. Ukhin)— Moscow: Fizmatlit, 2005— 192 c.

100. Гурман В. И. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития регионов / В.И. Гурман, М.Ю. Ухин // Автомат, и телемех - 2004- №4- С. 108-117.

101. Гурман В. И. Моделирование инновационных стратегий устойчивого регионального развития / В.И. Гурман, М.Ю. Ухин // Материалы международной научной конференции «Моделирование устойчивого регионального развития»— Нальчик, 2005— С. 17-20 .

102. *Гурман В. И. Моделирование водоохранных мероприятий в бассейне реки / В.И. Гурман, О.В. Фесько, И В Расина // Вестн Бурят гос ун-та Математика и информатика — 2013— Вып 1— С 4-15

103 Гурман В И. Оптимальное управление ресурсами с учетом инноваций / В И. Гурман, Д. Халтар // Автомат и телемех — 2011— №7— С 5-12

104. Гусев М.И. Метод динамического программирования в задаче построения множеств достижимости нелинейных управляемых систем / М.И Гусев // Изв ИМИ УдГУ— 2012- Выпуск 1(39)- С 42-43

105. Данеев А.В. К теории реализации сильных дифференциальных моделей. I /А В. Данеев, А.В. Лакеев, В А Русанов, М В Русанов // Сиб журн Индустр Матем - 2005 - Т8, №1- С 53-63

106. Данеев А.В. К теории реализации сильных дифференциальных моделей.II /А.В Данеев, А.В Лакеев, В А Русанов // Сиб журн Индустр Матем - 2005 - Т 8, №2- С 46-56

107. Даръин А.Н Численные методы синтеза импульсных управлений для линейных систем /А И. Дарьин, А Ю Малакасва // Известия РАН Теория и системы управления — 2008— №2— С 50-56

108. Джекобсон Д.Х (Jacobson D Н ) New second-order and first-oider algorithms for determimnmg optimal control A differential programming approach/ДХ Джекобсон (D H Jacobson)// J Optimiz Theory and Applications -1968- V 2 , №4-P 441-450

109 Дубовицкий А.Я Задачи на экстремум при наличии ограничений /А Я Дубовицкий, А А Милютин // ДАН СССР- 1963 Т 149

№4- С. 1128-1132.

110. Дубовицкий А.Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления: монография // А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин — М.: Наука. 1971—112 с.

111. Дихта В.А. Условия локального минимума для особых режимов в системах с линейными управлениями /В.А. Дыхта // Автомат, и телемех. -1981- №12- С. 5-10.

112. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов /В.А. Дыхта // Сибирский матем. журнал — 1994— Т. 35. №1— С. 70-82.

113. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов: монография /В.А. Дыхта - Иркутск: Изд-во ИГЭА, 1995,-186 с.

114. Дыхта В.А. Численные методы решения задач импульсного управления, основанные на обобщенном условии стационарности /В.А. Дыхта, Н.В. Деренко // Компьютерная логика, алгебра и интел-лектное управление. Проблемы анализа устойчивого развития и стратегической стабильности. Сб. трудов Всерос. Науч. Школы.— Иркутск -1994 - Т.2— С.59-70.

115. Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями: монография / В.А. Дыхта, О.Н.Самсонюк — М.: Наука, Физ-матлит, 2000,-256 с.

116. Завалищин С. Т. Импульсные процессы. Модели и приложения: монография /С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин — М.: Наука, 1991,— 256

С.

117. Загадская Л. С. Моделирование системы управления морским портом « Методом ситуационной модели»./Л.С. Загадская, Ю.И.Клыков // Вопросы кибернетики.— М.: АН СССР, научн.совет по компл.пробл «Кибернетика»— 1974— вып. 1—, с. 135-145.

118. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации: монография / Ю.Г. Евтушенко— М.: Наука, 1982,- 432 с.

119. Емельянов C.B. Теория систем с переменной структурой: монография /под ред. C.B. Емельянова— М. Наука, 1970,-592 с.

120. Ермольев Ю.М. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления: монография /Ю.М. Ермольев, В.П. Гуленко, Т.Н. Царенко — Киев: Наукова думка, 1978,-164 с.

121. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория: монография /М. Интрилигатор — М.: Айрис-Пресс, 2002-553 с.

122. Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач: монография /А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров— М.: Наука, 1974—481 с.

123. Калман Р. (Kaiman R.) Contributions to the theory of optimal control /Р. Калман (R. Kaiman)// Bul. Soc. Mech. Mat - 1960- P. 102-119

124. Калман P. Очерки по математической теории систем: монография/ Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб - М.: Едиториал УРСС, 2004,-400 с.

125. Каляев И.А. Методы и алгоритмы коллективного управления в группах роботов: учебное пособие / И.А. Каляев, А.Р. Гайдук, С Г Ка-пустян — М.. Физматлит, 2009,-279 с

126 Каляев И.А. Самоорганизующиеся распределенные системы управления группами интеллектуальных роботов, построенные на основе сетевой модели / И.А. Каляев, А.Р. Гайдук, С.Г. Капустян // Управление большими системами —М. ИПУ РАН, 2010— Вып 30-1— С 605-639

127. Канева T.fCaneva Т.) Optimal control at the quantum speed limit/ Т. Канева,M. Марфи , T Каларко и др.(T. Cancva, M Murphy,Т Calarco and ather )// Phys Rev Lett - 103, 240501- 2009 URL http://arxiv.org/abs/0902.4193v2.

128. Канторович JI.В. Функциональный анализ и прикладная математика /Л В. Канторович // УМН- 1948- №6, Т32- С 89-185

129. Келли Г. Дж. Метод градиентов /Г Дж. Келли // В кн «Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета» Под ред Дж Лейтмана — M Наука— 1965—С 101-116

130. Комаров В. А. Об одном способе описания эволюции множества достижимости дифференциального включения /В А Комаров // Труды мат ин-та РАН «Оптимальное управление и дифференциальные уравнения»— M Наука, Физматлит— 1995— Т 211— С 235-242

131. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы: монография / Г H Константинов— Иркутск Изд-во Ир-кут. ун-та— 1983,-188 с

132. Константинов Г. H. Внешние оценки множеств достижимости управляемых систем / Г.Н. Константинов, Г.В. Сидоренко // Известия АН СССР. Техн. киберн - 1986- №3- С. 28-34

133. Костицын B.A.(Kostizm V.A.) La Biologie Mathématique./ В.A. Ko-стицын (V.A. Kostizin )— Paris: A.Colin, 1937,-147 с.

134. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование: монография/ A.A. Красовский— М.: Наука, 1973,-560 с.

135. Красовский H.H. Теория управления движением: монография/ H.H. Красовский — М.: Наука, 1968,-476 с.

136. Кротов В. Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I./В.Ф. Кротов // Автомат, и телемех. - 1962- №12- С. 1571-1583.

137. Кротов В. Ф. Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем /В.Ф. Кротов // ДАН СССР- 1967- Т. 172, №1- С. 18-21.

138. Кротов В.Ф. (Krotov V.F.) Global methods in optimal control: монография /В.Ф. Кротов— New York: Marcel Dekker, 1996,-408 p.

139. Кротов В.Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления /В.Ф. Кротов // Автомат, и телемех,— 2009- №3- С. 15-23.

140. Кротов В.Ф. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета: монография/ В.Ф. Кротов, В.З. Букреев, В.И. Гурман— М. Машиностроение, 1969, —288 с.

141. Кротов В.Ф. Методы и задачи оптимального управления: монография/ В.Ф. Кротов, В.И. Гурман — М.: Наука, 1973,— 448 с.

142. Кротов В. Ф. Итерационные методы решения экстремальных задач / В.Ф.Кротов, И.Н. Фельдман //В кн.: «Моделирование технико-экономических процессов»,— М.:Изд-во Московского экономико-статистического института, 1978—С.22—35.

143. Кротов В. Ф. Итерационный метод решения задач оптимального управления / В.Ф. Кротов, И.Н. Фельдман // Изв. АН СССР. Техн. киберн,- 1983. т.- С. 160-168.

144. Крылов И. А. О методе последовательных приближений для задач оптимального управления / И.А. Крылов, Ф.Л. Чсрноусько //Журнал выч.мат. и мат. физ. - 1962- Т. 2, №6— С. 1132-1139.

145. Крылов И. А. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций / И.А. Крылов, Ф.Л. Чсрноусько // Журнал выч.мат. и мат. физ - 1966- Т.6. №2- С.203-217.

146. Курант (Courant) Variational Methods for Solutions of Problems of Equlibrium and Vibrations/ Курант (Courant) //Journal Bull. Amer. Math. Soc.—1943— No 1,49-P. 1-23.

147. Курдюков А.П. Задачи Н2-оптимизации. К столетию A.M. Лето-ва /А.П. Курдюков //Программа XIV Конференции молодых ученых «Навигация и управление движением».— СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ »Электроприбор»- 2012- С. 1-25.

148. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности: монография /A.B. Куржанский — М.: Наука, 1977,-394

С.

149. Куржанский А. Б. К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами /А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // Прикл Матем. и мех,- 1968- Т.32, №2- С. 194-202

150. Куржанский А. Б.Об одной задаче управления при ограниченных координатах /А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // Изв АН СССР Техн. кибернетика — 1970— №5— С. 22-28

151. Куржанский А. Б. Импульсные управления в моделях гибридных систем /А.Б. Куржанский, П А. Точилин // Дифференциальные уравнения- 2009- Т 45, №5- С 716-727

152. Куржанский А.Б. Об описании множества выживающих траекторий управляемой системы /А.Б Куржанский, ТФ Филиппова // Дифференциальные уравнения— 1987— Т 23, №8— С 1303-1315

153. Куржанский А. Б. (Kurzhanski А. В On the theory of trajectory tubes — a mathematical formulation for uncertain dynamics, viability and control /А.Б. Куржанский, ТФ Филиппова (А В Kurzhanski. T F Filippova)// Advances m Nonlinear Dynamics and Control— 1993— v. 17- Boston. Birkhauser-P 122-188

154 Jlemoe A. M. Аналитическое конструирование регуляторов, II / AM Летов // Автомат и телемех — 1960— Т 21 №5— С 436-441

155. Летов А. М. Динамика полета и управление- монография /А М Летов- М.: Наука, 1969,-360 с

156. Лигерос Дж. (Lygeros J.) Lecture Notes on Hybrid Systems / Дж Лигсрос (J Lygeros)—Cambridge University of Cambridge, 2003,-70 p

157. Лигерос Дж.(Ьудегов J. Impulse differential inclusions driven by discrete measures / Дж.Лигерос, M. Квинкампокс,Т. Ржежуховски (J. Lygeros, М. Quincampoix, Т. Rzezuchowski )// Lecture Notes Comput. Sei — Berlin: Springer- 2007- V. 4416- P. 385-398.

158. Лотов A.B. О понятии обобщенных множеств достижимости и их построении для линейной управляемой системы / A.B. Лотов // ДАН СССР- 1980- Т. 250, №5- С.1081-1083.

159. Ляпунов A.A. О математических проблемах кибернетики /A.A. Ляпунов //Изв. Вузов. Математика— 1958— №5— С. 166-174.

160. Ляпунов A.A. Кибернетика и естествознание /A.A. Ляпунов, С.Л. Соболев- М.:изд-во АН СССР, 1957,-26 с.

161. Марченко В.М. О полной наблюдаемости гибридных дифференциально-разностных систем./В.М. Марченко // ДАН— 2011— Т. 441, №2— С. 179-182.

162. Марченко В.М. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем / В.М. Марченко, Ж.Ж. Луазо // Дифференциальные уравнения—2009— Т. 45, №5- С.728-740.

163. Матвеев A.C. Абстрактная теория оптимального управления: монография/ A.C. Матвеев, В.А. Якубович — СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 1994,-376 с.

164. Математические модели и методы управления крупно-масштабным объектом — Новосибирск: Наука, 1987,-198 с.

165. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем / В.М. Матросов // Дифференциальные уравнения— 1974.1,11.— Т. 10 .№5— С. 1547-

1559; III-1975-T.11, №3- С.403-417.

166. Матросов В.М. Метод сравнения в математической теории систем /

B.М. Матросов, Л.Ю. Анапольский, С.Н. Васильев —Новосибирск: Наука, 1980-479 с.

167. Мерриэм К. У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью / К.У. Мерриэм — М.: Мир, 1967—327 с.

168. Месарович М. Теория иерархических многоуровневых систем./М. Месарович, Д. Мако, Я. Такахара— М., Мир, 1973—344 с.

169. Месарович М. Общая теория систем: математические основы/ М. Месарович, Я. Такахара — М., Мир, 1978—312 с.

170. Мижидон АД. Об одной задаче аналитического конструирования регулятора /А.Д. Мижидон // Автомат, и телемех,— 2011— №11—

C. 102-116.

171. Миллер Б.М. Обобщенные решения дискретно-непрерывных и импульсных систем /Б.М. Миллер // Обобщенные функции в задачах управления и дифференциальных уравнениях,— Свердловск: УРО АН СССР, 1992,- С. 49-58.

172. Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями: монография / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович— М.: Наука, 2005,-429 с.

173. Миллер Б.М. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представления с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович // Автомат. и телемех.— 2013. (В печати)

174. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем: монография/ H.H. Моисеев— М.: Наука, 1971,-328 с.

175. Моисеев H. Н. Математические задачи системного анализа: монография / H.H. Моисеев— М.: Наука, 1981,-488 с.

176. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления: монография/Б.Ш. Мордухович —М.: Наука, 1988— 360 с.

177. Моржин О. В. К аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых дифференциальных систем /О.В. Моржин, А.И. Тятюшкин // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика.— 2010- Вып.9— С. 54-58.

178. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей /А.Д. Мышкис— М.: КомКнига, 2007,-192 с.

179. Обэн Дж.-П. (Aubin J.-P.) Viability theory. / Дж.-П. Обэн (J.-P. Aubin)— Boston: Burkauser, 1991, —543 p.

180. * Орлов А.Г. Достаточные условия оптимальности сложных процессов / А.Г. Орлов, И.В. Расина //В кн.: Тезисы докладов III Всесоюзной Четаевской конференции,— Иркутск— 1977— С. 51-52.

181. * Орлов А.Г. Сложные процессы и достаточные условия относительной оптимальности / А.Г. Орлов, И.В. Расина // Управляемые системы - Новосибирск: ИМ СО АН СССР- 1979 Вып. 18 - С. 39-46

182. * Орлов А.Г. Достаточные условия оптимальности сложных процессов / А.Г. Орлов, И.В. Расина // В кн.: Проблемы устойчивости

движения, аналитической механики и управления движением.— Новосибирск: Наука- 1979.- С. 257-261.

183. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет / Д.Е. Охоцимский // Прикладная математика и механика— 1946.—Т. 10— №2 — С. 87-96

184. Охоцимский Д.Е. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли / Д.Е. Охоцимский, Т.М. Энеев // Успехи физических наук— 1957— Т.15— №1а— С. 5-32

185. Пайерлс Р.( Peierls R.) Model-Making in Physics./Р. Пайсрлс (R. Peierls ) //ï Contemp. Phys., January—February 1980— v. 21— pp. 3-17.

186. Панасюк А. И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем: монография/ А.И. Панасюк, В.И. Панасюк— Минск: Наука и техника, 1986,—296 с.

187. Панасюк А. И. Качественная динамика множеств, определяемых дифференциальными включениями / А.И. Панасюк // Математические заметки- 1989- Т. 45, №1- С. 80-88.

188. Перегудов Ф. И. Введение в системный анализ: учебник /Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко — М.: Высшая школа, 1989,-320 с.

189. Погожее И. Б. Методы оптимизации системы показателей при управлении качеством продукции / И.Б. Погожев—VI.: Знание, 1972,-59 с.

190. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк—М.: Наука, 1983.— 384 с.

191. Перейра Ф.Л.(Регегга F.L.) A maximum principle for impulsive control problems with state constraints /Ф.Л. Перейра (F.L. Pereira) // Comp. Appl. Math. - 2000- V. 19, №2.- C. 137-155.

192. Понтрягин JI. С. Математическая теория оптимальных процессов: монография / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко— М.: Физматгиз, 1961,— 391 с.

193. Поспелов Д. А. Ситуационное управление: теория и практика: монография / Д.А. Поспелов— М.: Наука, 1986,—288с.

194. Пропой А. И. О принципе максимума для дискретных систем управления /А.И. Пропой // Автомат, и телемех.— 1965— Т. 26, ЛГо7— С.1177-1187.

195. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов: монография /А.И. Пропой— М.: Наука, 1973,-256 с.

196. Пшеничный Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах: монография / Б.Н. Пшеничный, Ю.М. Данилин — М.: Наука— 1975— 320 с.

197. * Расина И.В. Сложные дискретные процессы / И.В. Расина // В кн.: Методы оптимизации и исследование операций (прикладная математика)- Иркутск: СЭИ СО АН СССР- 1976- С. 64-70.

198. * Расина И.В. Достаточные условия относительного минимума сложных дискретных процессов / И.В. Расина //—М., 1978—11с.— Деп. в ВИНИТИ 10.11.78 №3456-78.

199. * Расина И.В. Метод оценки приближенно-оптимального синтеза в сложных дискретных процессах / И.В. Расина //В кн.: Методы

оптимизации и их приложения.— Иркутск: СЭИ СО АН СССР— 1982- С. 98-108.

200. * Расина И. В. Метод улучшения первого порядка для сложных процессов / И.В. Расина - М., 1989-9 е.- Деи. в ВИНИТИ 20.12.89 №7560 В-89.

201. * Расина И. В. Метод улучшения второго порядка для сложных процессов / И.В. Расина - М., 1991-12 е.- Деп. в ВИНИТИ 23.07.91 №3137-В91.

202. * Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов/ И.В. Расина // Юбилейный сборник научных трудов к 10-летию СИПЭУ— Иркутск: Изд-во «Макаров», 2004,— С. 180-192.

203. * Расина И.В. Приближенный синтез оптимального управления для сложных процессов на основе аппроксимационных полиномов. /И.В. Расина // Труды XV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Том III: Оптимальное управление.— Иркутск— 2011— С. 82-86.

204. * Расина И.В. Дискретизация непрерывных управляемых систем на основе обобщенных решений / И.В. Расина // Автоматика и телемеханика— 2011- №6,—С. 171-178.

205. * Расина И.В. Дискретно-непрерывные модели и оптимизация управляемых процессов / И.В. Расина // Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения»— Переславль-Залесский: Институт программных систем имени А.К. Айламазяна

Российской академии наук — 2011— №5(9)— С 49-72 URL http // psta psiras ru/read/psta2011_5_49-72 pdf

206 * Расина И В Методы улучшения управляемых процессов /ИВ Расина // Вести Бурят гос ун-та Математика и информатика — 2012-Вып 1-С 34-41

207 *Расина И В Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов /ИВ Расина // Автомат и телемех — 2012— №10-С 3-17

208 *Расина И В Вырожденные задачи оптимального управления дискрстно-непрсрывными процессами /ИВ Расина // Автомат и телемех - 2013- №2- С 38-52

209 * Расина И В Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона /ИВ Расина, M А Аветян // Вестн Бурят гос ун-та Математика и информатика — 2012— Вып 2— С 26-34

210 *Расина ИВ Дискретно-непрерывные линейные и билинейные системы /ИВ Расина, О В Батурина // Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах (УТЭОСС)-2012» - Спб ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»- 2012- С 215-218

211 * Расина И В Оптимизация линейных по состоянию дискрсгно-не-прерывных систем /ИВ Расина О В Батурина // Автомат и телемех -2013- №4- С 80-90

212 * Расина ИВ Оптимизация управления в билинейных системах /

И.В. Расина, О.В. Батурина // Автомат, и телемех —2013— №5— С. 102-113.

213. * Расина И. В. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели / И.В. Расина И.В., А.О. Блинов // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика и информатика. — 2012— Вып. 1—С. 42-51.

214. * Расина И. В. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели / И.В. Расина, А.О. Блинов, И.С. Гусева //Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика— 2011,- Вып. 9.- С. 36-42.

215. * Расина И. В. Двухэтапная схема управления посадкой вертолета / И.В. Расина, Д.Е. Урбанович - М., 1987-12 с - Деп. в ГОСНИИ ГА, 05.10.87 №571 ГА.

216. * Расина И.В. Достаточные условия оптимальности в дискретной иерархической модели /И.В. Расина, О.В. Усенко //Вестн. Бурят, гос. ун-та. — 2013.— Вып. 9. Математика и информатика.— С. 3338.

217. Ришел Р. y.(Rishel R. W.) An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures /Р.У. Ришел (R.W. Rishel ) // J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. A Control- 1965- No. 3- C.191-205.

218. Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры: монография / A.A. Самарский, А.П. Михайлов — М.: Физматлит, 2002,-320 с.

219. Сантис Е. (Santis Е.) Digital idle speed control of automotive engines:

a safety problem of hybrid systems/E. Сантис (E.Santis ) // Automatica— 1999- V.35- p. 349-370

220. Сети С. П. (Sethi S. P.) Optimal control theory. Applications to management science USA/ С.П. Сети, Г.И. Tomcoh(S. P. Sethi , G. I. Tomson ).— Boston: Martmus Nijhoff, 1981,— 370 p.

221. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: учебник / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев— М.: Высшая школа, 2001,-343 с.

222. Соколов А.В. Методы оптимальных решений. Т.1/А.В. Соколов, В.В. Токарев- М.: ФИЗМАТЛИТ. 2011,-564 с.

223. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления: монография /В.А. Срочко —М.: Физматлит, 2000, — 160с.

224. Суссман Г.Дж. (Sussmann H.J.) A maximum principle for hybrid optimal control problems /Г.Дж. Суссман (Sussmann H.J. // Proc. of 38th IEEE Conf. on Decision and Control- Phoenix- 1999-173-179 pp.

225. Тимченко Д. H. Синтез логико-динамической системы оптимального управления нелинейным неголономным объектом типа «мобильный робот»/ Д.Н. Тимченко // Технические науки в России и за рубежом. Материалы междунар. заоч. науч. конф. (г. Москва, май 2011 г.)— М.: Ваш полиграфический партнер— 2011— С. 43-48.

226. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения: учебник для вузов/ А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников — М.: Физматлит,

2005,-256 с

227 Точилин П А Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем монография /ПА Точилин, А Б Куржанский -М МГУ, 2008,-176 с

228 Тятюшкин А И Многометодная технология оптимизации управляемых систем монография / А И Тятюшкин —Новосибирск, Наука, 2006,-343 с

229 Федоренко Р П Приближенное решение задач оптимального управления /Р П Федоренко—M Наука, 1978 —488 с

230 Филиппова Т Ф (Fihppova TF) Set-valued solutions to impulsive differential inclusions /Т Ф Филиппова (T F Fihppova) // Math Comput Model Dyn Syst — 2005— V 11 №~ P 149-158

231 Хаддад В ( Haddad Wassirn M ) Impulsive and Hybrid Dynamical Systems Stability, Dissipativity and Control / В Хаддад, В Чсллабона С Г Нерсссов (Wassim M Haddad , Vijay Sckhar Chcllaboma Sergey G Nersesov)—Princeton University Press, 2006,-200 p

232 Хрусталев M M Необходимые и достаточные условия для задачи оптимального управления /М M Хрусталев //ДАН СССР— 1973— Т 211, №1- С 59-62

233 Хрусталев M M Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамической системы/ M M Хрусталев // Автомат и телемех — 1988— №5— С 62-70

234 Хрусталев M M Синтез оптимальных и устойчивых управляемых стохастических систем при неполной информации о состоянии на

неограниченном интервале времени / М.М. Хрусталев // Автомат, и телемех,- 2011- №11- С. 174-190.

235. Цыпкин Я.З. Теория нелинейных импульсных систем / Я.З. Цып-кин, Ю.С. Попков Ю.С.-М.: Наука, 1973,-416 с.

236. Чернов A.M. Исследования по математической популяционной биологии /A.M. Чернов, Е.Я. Фрискин — Владивосток: ДВНЦ АН СССР— 1986- С. 3-22.

237. Черноусъко Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсов: монография /Ф.Л. Черноусько — М.: Наука, 1988,-319 с.

238. Черноусько Ф.Л., Методы управления нелинейными механическими системами / Ф.Л. Черноусько, И.М. Ананьевский, С.А. Рсшмин —М.: Физматлит, 2006,-328 с.

239. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления / Л.И. Шатровский // Журн. вычисл. мат. и мат. физики,- 1962- Т.2, .№3- С. 488-492.

240. *Шмидт Ф.К. Основы моделирования и оптимизации физико-химических процессов: учебное пособие/ Ф.К. Шмидт, И.В. Расина— Иркутск, Изд-во Иркут. ун-та, 2012, —359 с.

241. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления /Т.М. Энеев // Космические исследования— 1968- Т.4. №5- С.651-669.

242. Якубович В.А. К абстрактной теории оптимального управления / В.А. Якубович // Сибирск. математ. журн. I— 1977— Т.18. №3—

С.685-707; II- 1978- Т.19. №2- С.436-460; III— 1979- Т.20. №4-С.385-410; IV- 1979- Т.20. №5- С.1131-1159.