Математическое моделирование и алгоритмы синтеза управлений многосвязных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Каледина, Елена Александровна

• Каледина, Елена Александровна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Каледина, Елена Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математическое обоснование применения кусочно-

постоянного управления автономных многосвязных систем

1.1. Основные определения. Расчетная устойчивости системы дифференциальных уравнений возмущенного движения

1.2.0 моделировании управлений многосвязной динамической системы

1.3. Синтез двухуровневого управления многосвязной динамической системы

с неперекрывающимися декомпозициями

1.4.06 устойчивости движения относительно части переменных линейной

системы с кусочно-постоянным управлением

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. Моделирование управлений нестационарных многосвязных непрерывно-дискретных систем

2.1. Моделирование кусочно-постоянных управлений линейной нестационарной системы

2.2. Управление многосвязной непрерывно-дискретной нестационарной системы

2.3. Выводы

ГЛАВА 3. Моделирование непрерывно-дискретных систем с периодическими матрицами коэффициентов

3.1. Моделирование кусочно-постоянных управлений линейной динамической системы с периодической матрицей

3.2. Моделирование кусочно-постоянного управления многосвязной системы с периодической матрицей

3.3. Синтез кусочно-постоянных управлений динамической системы второго порядка

3.4. Выводы

ГЛАВА 4. Алгоритмы и комплекс программ для реализации методов синтеза кусочно-постоянных управлений непрерывно-дискретных си-

стем

4.1 Задача о стабилизации углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления

4.2 Синтез кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата

манипулятора по заданной траектории в пространстве

4.3. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и алгоритмы синтеза управлений многосвязных динамических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В настоящее время все больше внимания уделяется математическим моделям, в которых сочетается непрерывное и дискретное время ([90, 114, 115] и др.). Такие системы встречаются всюду, где дискретные регулирующие устройства (компьютеры, микропроцессоры и просто пороговые устройства) сочетаются с непрерывными по своей природе объектами управления.

Непрерывно-дискретные системы являются математическими моделями многорежимных систем автоматического управления технологическими процессами и движущимися объектами. Данные системы управления широко применяются в различных областях техники, биологии, приборостроении [8, 10, 30, 58], управлении летательными аппаратами, трафиком в компьютерных сетях и во многих других областях. Данные процессы характеризуются структурными изменениями в процессе функционирования, многорежимно-стью и разнородностью описания. Этим объясняется все возрастающий за последние годы интерес к исследованию таких систем [116, 118, 119, 125, 126 и др.].

Во многих научных исследованиях непрерывно-дискретные системы называют гибридными, системами с переключениями. В данной работе под непрерывно-дискретными системами понимаются системы, в которых цифровой регулятор используется для управления непрерывным объектом. Такое название наиболее полно отражает объект исследования. Управление в рассматриваемых системах является кусочно-постоянным.

Системы с переключениями привлекали внимание исследователей начиная с 50-х годов прошлого столетия. Исследования по теории устойчивости систем с переменной структурой проводились в 50-х годах под руководством Е. А. Барбашина [11] и С. В. Емельянова [28].

Кроме указанных выше, наиболее ранние работы по моделям непрерывно-дискретных систем выполненным В. Д. Майзель [50], H. Witsenhausen [122], К. Д. Жуком, А.А.Тимченко [29], L. Tavernini [119], А. Ф. Филипповым [74] и др. Начиная с 90-х годов XX века данные исследования развиваются в работах В. Lennartson [106, 107], D. Liberzon [108, 109], A.Michel [101, 102, 111], U. Bouscan [95], M. S. Branicky [93, 94], H.Lin и P. Antsaklis [100], R. Shorten и др. [118], F. Borelli [92], К. Ю. Котова и О. Я. Шпилевской [43], L. D. Santos и G.N.Silva [115], Е. Fridman [97, 98, 110], А. Ю. Александрова [1-5], С. Н. Васильева и А. А. Косова [21].

Одним из направлений данных исследований является задача стабилизации непрерывных систем кусочно-постоянным управлением. Задачу о возможности регулирования систем с помощью кусочно-постоянного управления впервые рассмотрел В. И. Зубов. В работе [33] им доказываются теоремы о стабилизации линейной управляемой системы, в том числе и для случая, когда управление является линейной комбинацией фазовых координат объекта, вычисляемых в разные моменты времени. Также была поставлена задача о стабилизации нестационарных непрерывно-дискретных систем.

Идеи В. И. Зубова продолжены Е. Я. Смирновым [67-69], А. С. Земля-ковым [31-32] и др. В указанных работах развиты методы построения стабилизирующих управлений дискретного по времени типа для управляемых объектов, движение которых описывается как стационарными так и нестационарными системами дифференциальных уравнений.

Стоит отметить, что большинство существующих технологических процессов, описываемых непрерывно-дискретными системами - это сложные многосвязные системы. Многосвязные системы состоят из отдельных подсистем, объединяемых в единую систему посредством внутрисистемных связей. Каждая из подсистем характеризуется своими локальными фазовыми переменными. Примерами могут служить летательные аппараты, их силовые и

энергетические установки; исполнительные подсистемы роботов и т.п. В них многосвязность проявляется в наличии перекрестных связей, за счет которых управляющее воздействие, поданное на любой из входов, приводит к изменению несколько выходов.

Сложность алгоритмов функционирования и математических моделей современных технических объектов, их многосвязность приводят, как правило, к невозможности применения централизованного управления на основе единой цели и алгоритма, обеспечивающего наилучшее (или допустимое) значение показателя эффективности. Это связано с наличием ряда проблем информационного, математического, методологического и технического характера.

Более конструктивным является подход децентрализации, при котором функции управления распределяются между несколькими, взаимодействующими между собой и с техническим объектом, управляющими центрами. Организационная структура управляющей подсистемы при этом усложняется и часто оказывается многоуровневой. Несмотря на некоторое снижение эффективности по сравнению с гипотетическим вариантом централизованного управления, децентрализация дает возможность практического осуществления управления сложными техническими объектами.

В последние годы проблема анализа устойчивости и управления многосвязными системами привлекают внимание большого количества исследователей [1, 2, 24, 35, 72, 73]. Это связано с известными трудностями, возникающими как в процессе аналитического конструирования регуляторов, так и с анализом устойчивости систем высокой размерности. С целью управления

в подсистемы вводятся локальные управления ). Вместе с тем для достижения общесистемной глобальной цели должно осуществляться и некото-

г

рое глобальное управление (и ). При управлении такими процессами необходимо учитывать тот факт, что большинство законов управления реализует-

ся на цифровых регуляторах [32, 46, 60]. В связи с этим задача синтеза непрерывно-дискретных систем управления многосвязными объектами является в настоящее время актуальной и востребованной.

Наличие разнородных элементов вызывает значительные сложности при математическом описании процессов. В современной теории управления существует три группы методов исследования непрерывно-дискретных систем [12, 13, 27, 40-42, 47, 55, 60, 62, 71, 84, 81, 98]:

1) методы, основанные на приближенном сведении непрерывно-дискретной системы к чисто непрерывной системе, при этом игнорируются все процессы, связанные с квантованием и наличием цифровых элементов;

2) методы, которые сводятся к исследованию дискретной модели цифровой системы, при этом рассматриваются только значения сигналов в моменты квантования и игнорируются все процессы между этими моментами;

3) точные методы исследования, при которых цифровая система рассматривается в непрерывном времени без каких-либо упрощений и аппроксимаций. К этой группе относятся методы, основанные на методе векторных функций Ляпунова

Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки. При использовании методов первой и второй групп непрерывно-дискретная система фактически подменяется другой, более простой, что может привести к качественно неверным результатам [25, 65-66]. Непрерывные модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним более обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. Дискретные модели более точны и подробны, т.е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически - неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное - крайняя

трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб.

При описании динамических систем, состояния которых известны в дискретные моменты времени, широко применяются управления в конечных разностях. Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. Однако даже самые грубые качественные характеристики таких систем могут сильно различаться. Так, в работах М. А. Скалкиной [65-66] установлено, что асимптотическая устойчивость нулевого решения разностных уравнений, вообще говоря, не гарантирует устойчивости нулевого решения соответствующего дифференциального уравнения. В работах [64, 77-81, 83] показано, что дискретизация непрерывных систем может приводить к таким нежелательным последствиям, как потеря устойчивости состояний равновесия, появление «ложных» состояний равновесия, периодических и хаотических движений, несохранение бифуркации Андронова - Хопфа и т.д. Для некоторых классов систем В. И. Зубовым, А. П. Жабко и А. Ю. Александровым разработаны методы коррекции разностных систем ([3, 6, 33]), однако в общем случае проблема несохранения качественных свойств непрерывных систем при дискретизации их по численным методам остается нерешенной.

Эффективным средством анализа устойчивости, диссипативности, а также для синтеза управлений для непрерывно-дискретных систем являются различные модификации второго метода Ляпунова [34, 49, 52, 61, и др.]. Однако проблема существования общей функции Ляпунова в полном объеме -нерешенная проблема теории управления и ее успешное найдено только для отдельных классов систем [92, 102].

Во избежание увеличения размерности задачи для облегчения исследования многосвязных непрерывно-дискретных систем используется метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ).

Концепция векторных функций Ляпунова для разработки принципа сравнения и построения систем сравнения была предложена и детально разработана в работах В. М. Матросова [53, 54]. Во второй половине 60-х годов модификации теорем сравнения с ВФЛ о различных типах устойчивости и ограниченности для дифференциальных уравнений разных классов были получены также В. Лакшмикантамом с сотрудниками [104], Н. Рушем [61], С. К. Персидским [56] и др. Начиная с работ D. Siljak [84] и L. Grujic [99] метод векторных функций Ляпунова стал применяться для исследования устойчивости систем со структурными изменениями.

Очень важным для широкого распространения метода ВФЛ было и то, что в работах В.М. Матросова и его учеников (А. С. Землякова [31-32], Р.И.Козлова [41-42], С. Н. Васильева [15-20], А. И. Маликова [51], А. В. Лакеева [120], Е. И. Сомова [70]) и др., а также в работах Ф. Н. Бейли [90] и В. Д. Фурасова [80] и др. была показана эффективность применения метода ВФЛ к изучению устойчивости, управляемости и других динамических свойств многосвязных систем, нелинейных систем автоматического управления, экономических и других систем.

В настоящее время метод ВФЛ активно используется при исследовании устойчивоподобных свойств решений отдельных классов многосвязных систем [1, 2, 4, 63 и др.]. Таким образом, можно утверждать о перспективности и актуальности развития исследований вопросов устойчивости и методов построения стабилизирующих управлений для многосвязных управляемых непрерывно-дискретных систем с помощью метода векторных функций Ляпунова.

Цель работы - математическое обоснование новых моделей управления многосвязных систем с разработкой соответствующих алгоритмов и программ моделирования стабилизирующих управлений конкретных систем.

Поставленная цель определила необходимость решения следующего комплекса взаимосвязанных задач:

1) теоретическое обоснование и разработка математических моделей управления для многосвязных систем;

2) определение условий для поиска предельных моментов квантования кусочно-постоянных управлений линейных и многосвязных систем;

3) алгоритмизация процесса построения кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных систем;

4) создание программного комплекса для численной реализации разработанных алгоритмов.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости. Основным математическим аппаратом исследования является метод векторных функций Ляпунова, системы сравнения и методы стабилизации. Научная новизна.

В работе получены следующие результаты:

1. Теоретически обосновано использование кусочно-постоянного управления для стабилизации движения математических моделей, описываемых многосвязными непрерывно-дискретными системами.

2. Разработаны новые модели управления движением многосвязных систем, стабилизирующие поведение как системы в целом, так и локальных подсистем.

3. Предложены алгоритмы синтеза стабилизирующих кусочно-постоянных управлений линейных и многосвязных систем.

4. Разработан программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых линейными и многосвязными системами.

Научная и практическая значимость. Теоретической значимостью обладают разработанные модели управления движением многосвязных систем, алгоритм и программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых данными системами. Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что разработанные модели и комплекс программ, их реализующий, могут найти применение при синтезе управляющих воздействий в задачах автомобиле- и авиастроения, робототехники управлении летательными аппаратами, трафиком в компьютерных сетях и т.д. Результаты диссертационного исследования также могут использоваться в учебном процессе при обучении студентов математических специальностей.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) метод построения кусочно-постоянных управлений для линейных систем с нестационарными и периодическими матрицами коэффициентов;

2) модель управления стационарных многосвязных систем, стабилизирующая поведение как системы в целом, так и локальных подсистем. Полученный результат распространен для случаев многосвязных систем с нестационарными, а также периодическими матрицами коэффициентов;

3) модель кусочно-постоянного управления манипулятора, использующаяся в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве;

4) численный метод моделирования движений, описываемых многосвязными системами с кусочно-постоянным управлением с автоматическим расчетом предельного шага квантования, основанным на поиске оценок функций Ляпунова.

5) программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на:

1. Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010, 1-2 июля) [1*];

2. Международных научно-технических конференциях молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2011, 25-26 мая; 2012, 21-24 мая; 2014) [3*];

3. Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки» (Тамбов, 2011, 27 сентября) [5*];

4. Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2012, 26-28 ноября) [9*];

5. Научных конференциях «Огаревские чтения» (Саранск, 20092014гг.);

6. Научном семинаре кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики (Саранск, 2009-2014 гг.).

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 150 листов. Список литературы содержит 123 наименования.

Перейдем далее к характеристике диссертации.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель и задачи исследования, ее научная новизна; приводятся сведения об апробации работы и ее обзор по главам и пунктам.

Первая глава посвящена теоретическому обоснованию вопросов устойчивости управляемых математических моделей, описываемых много-

связными стационарными системами с неперекрывающимися декомпозициями. С целью доказательства возможности стабилизации с помощью кусочно-постоянного управления положения равновесия указанных систем используется метод векторных функций Ляпунова.

В пункте 1.1 приводятся известные определения и теоремы об устойчивости, необходимые при изложении диссертации.

В пункте 1.2 доказывается теорема о существовании кусочно-постоянных управляющих воздействий, стабилизирующих положения равновесия многосвязных систем вида

Xs = AXS + bsus(Ph) + i Asixj, s = \,q, (1)

y=l

где e R'h , As - постоянные матрицы размерности ns xns; ASJ - постоянные матрицы размерности ns xnj', bs~ постоянный вектор-столбец размерности

ns\ us(ph)eR- кусочно-постоянное скалярное управление; s,j = \,q. Отметим, что ни одна из компонент вектора не является одновременно компонентой какого-либо другого вектора х другой подсистемы. Такого рода подсистемы называют подсистемами с неперекрывающимися декомпозициями. Для них ¿и = я. Управление us {s = 1 ,q) зависит от дискретных момен-

v=l

тов времени (моментов квантования) и представляет собой кусочно-постоянную функцию на каждом промежутке времени t е {ph, (p + \)h\; где

h> 0- период квантования, р- 0,1,2,... . Следует отметить, что управление рассматриваемой системы дифференциальных уравнений на первом полуинтервале (О, h\ обращается в нуль.

Отметим, что в рассматриваемых многосвязных системах каждая из подсистем должна быть управляемой, а также обладать свойством устойчивости решения. С целью управления в подсистемы вводятся локальные

управления (мА). Однако устойчивость подсистем не всегда означает устойчивость системы в целом. Поэтому для достижения общесистемной глобальной цели должно осуществляться и некоторое глобальное управление (иг).

В п. 1.3 доказывается теорема о возможности двухуровневого управления многосвязной непрерывно-дискретной динамической системы, действующего как на «глобальном» уровне, так и на уровне линейных подсистем многосвязной системы.

В данном пункте рассматривается случай, когда управляющее воздействие для системы (1) формируется в виде суммы , где и£ = к-1 х5(рк) - управления на уровне подсистем

** = + Ьзиз {РН\ = 1, Я, (локальное управление), и^ = I к^х^рк) - управление на уровне исход-

j=l>J*s

ной системы (1) (глобальное управление).

В п. 1.4 исследуется задача об асимптотической устойчивости положения равновесия по части переменных линейной системы с кусочно-постоянным управлением

— = Ах + Ви(кИ),

где х е Я", и е Я',г<п, А- постоянная матрица размерности ПХ-П, В-постоянная матрица размерности «хг. Управление и = (и1,...,иг)т зависит от дискретных моментов времени, т.е. и{})-и{рИ)~ Кх(рк), / е (рк, (р + 1)к], где Кесть постоянная матрица размерности г хп.

Для исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия у1 =0, - 0 (/ = \,т, / = 1,р) данной системы по отношению к

ух,...,ут используется идея В.И.Воротникова [22] построения некоторой

вспомогательной системы дифференциальных уравнений, называемой ц-системой. Доказывается, что вопрос об асимптотической устойчивости непрерывно-дискретной системы по части фазовых переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости положения равновесия вспомогательной [л,-системы по всем переменным.

Во второй главе исследуется вопрос построения кусочно-постоянного управления для моделей, описываемых нестационарными системами, на матрицы коэффициентов которых наложены некоторые ограничения.

В п. 2.1 рассматривается линейная система дифференциальных уравнений вида

— = л(г)х + в(()й,

<з7

где хе11п,и е Л(() и В(г) - функциональные матрица и вектор размерности соответственно пхи и их 1 . Предполагается, что коэффициенты систем могут быть представлены в виде

В(1) = В° +ДЯ(»,

где А0 и В0 - постоянные матрица и вектор, а АА(() и А#(/) - функциональные матрица и вектор. Доказывается теорема о существовании кусочно-постоянного управления для указанной системы.

Полученный результат в п. 2.2 распространяется на многосвязные нестационарные системы с неперекрывающимися декомпозициями

= А О К + ^ ('К (рк) + £ А (()х , 5 = 1,?,

1

у«

где и Ду (/)- постоянные функциональные матрицы размер-

ностисоответственно и п5хп:\ постоянный функциональный

вектор-столбец размерности пх; мД/?/г)еЛ- кусочно-постоянное скалярное

управление; у" = . Также как и в предыдущем пункте А${{) и Ь5(() могут быть представлены в виде

ЬХ(() = Ь^+АЬМ

где А^ и Ь- постоянные матрица и вектор, а Ди АЬ3(1) - функциональные матрица и вектор, нормы которых ограничены сверху. Управление здесь формируется по правилу й3 ~ст3 х3{рк), где с] есть постоянный вектор размерности па, такой что ЯсЛ, -(а°+Ь°с[)< 0, я = 1,<7 .

В третьей главе исследуются управляемые динамические модели, заданные в виде линейной системы дифференциальных уравнений с периодической матрицей.

В п. 3.1 рассматривается система уравнений с непрерывно-дискретным временем

х = А(^)х + В(/)и(р/г), (2)

где хеЯ", и е Я, В{{) - непрерывные со-периодические матрица и век-

тор размерности соответственно пхп и пх 1.

Для построения кусочно-постоянного управления предлагается перейти от исходной модели (2) к вспомогательной модели, описываемой непрерывно-дискретной системой с кусочно-постоянными матрицами коэффициентов

х = А*{{)х + В*(()и(рк\ ге[0,со], для которой строится приближенная матрица монодромии и стабилизирующее управление. В качестве управления для системы (2) выбирается скаляр, построенный по правилу

и — С* х(рк),

где - и-мерный вектор, определяемый как

Ые Л,у (д. + ВкС[)< 0.

Показано, что данное управление может быть принято за сколь угодно точное управление исходной системы.

В п. 3.2 решается вопрос устойчивости положения равновесия многосвязной системы вида

= Л ('к+ъ5 ('к {рь) + £ А (¿к- > 5=М?» (з)

/=1

где е ~ СО-периодические матрицы размерностей соответ-

ственно п5у.п5 и ns^xnj, Ь8{{) - со-периодический вектор размерности еЯ.

Для поиска стабилизирующего управления данной системы так же, как в разделе 3.1 осуществляется переход к вспомогательной модели, заданной системой с кусочно-постоянными матрицами

¿У = А*({)х, + Ь*^)и5(рИ) + I ^ = 1,?, г е [0,со],

у=1 у*.?

которая на промежутках <t<tk_¡r\ принимает вид многосвязной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями

= ЛЛ + Ки*М + £ Ад*;, ^ = 1,?, Ь0,/я-1. (4)

/=1

В случае, когда управления (рН) - локальное, то есть действует только на подсистемы

управляющее воздействие выбирается в виде: икя- С[ххя(рИ), где коэффициенты усиления задаются в форме вектора Ск5, а сама система (4) должна удовлетворять некоторым дополнительным условиям, найденным в главе 1.

Таким образом, при наложении дополнительных условий на многосвязную непрерывно-дискретную систему (4) кусочно-постоянное управле-т

ние и5=С* (()хх(рЬ), при достаточно малом /г, стабилизирует периодическую систему (3).

В качестве примера в п. 3.3 моделируется кусочно-постоянное управление для линейной непрерывно-дискретной системы второго порядка с периодическими коэффициентами

¿г + р(ф = д(/)у(/?/г),

где р({), <?(/) - непрерывные со-периодические функции, V = у(р!г) - кусочно-постоянное управление.

Глава 4 посвящена моделированию и программной реализации стабилизирующих кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных систем. Обоснована важность и определяются условия поиска предельного шага квантования, удовлетворяющего условиям теорем, доказанных ранее в работе.

В п. 4.1 исследуется процесс построения кусочно-постоянного управления линейной системы с разработкой алгоритма и программы в среде программирования МАТЬАВ. Рассматривается задача о моделировании углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления.

На основе теорем, доказанных в главах 1-3, в п. 4.2 предлагается общий алгоритм построения стабилизирующего кусочно-постоянного управления многосвязных систем. Исследуется синтез управления при перемещении конца схвата манипулятора вместе с объектом манипулирования по заданной

траектории в пространстве. В среде программирования МАТЬАВ разработана программа и провдено численное моделирование данной задачи.

В заключении приведены основные результаты работы, оценивается степень выполнения поставленных задач.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОГО УПРАВЛЕНИЯ АВТОНОМНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ

В данной главе исследуются многосвязные управляемые стационарные системы с неперекрывающимися декомпозициями. Для указанных систем находятся кусочно-постоянные управляющие воздействия, стабилизирующие их положения равновесия относительно всех и части переменных.

Доказывается теорема о возможности двухуровневого управления многосвязных систем, действующего как на «глобальном» уровне, так и на уровне линейных подсистем многосвязной системы.

1.1. Основные определения. Расчетная устойчивость системы дифференциальных уравнений возмущенного движения.

Приведем известные определения и теоремы об устойчивости, необходимые при изложении диссертации.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения

^ = 0-1.1)

ш

где хеЯп, Предположим, что ^(/,х)бС,(°л)(п),

П = />> 0,||л| <Н,к> о}, 0)= 0. Далее примем, что данная система в

области допускает единственное положение равновесия х = 0. Здесь и далее индекс Т обозначает транспонирование. Приведем следующие определения.

Определение 1 [26]. Будем говорить, что положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) устойчиво по Ляпунову, если для любого б > 0 и > 0 суще-

ствует 5(/о,е)>0 такое, что при ||х(?0,Г0,х0|<8 справедливо неравенство ||*('»'о>*ь|<е ПРИ

Определение 2 [26]. Будем говорить, что положение равновесия х = 0 системы (1.1.1) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво, и кроме того, для любого / > ¿о существует такое Д(/0) > 0 что при 1 < Д выполняется условие Нт, /0д0|-0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Каледина, Елена Александровна, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А. Ю. Исследование устойчивости решений одного класса сложных систем / А. Ю. Александров // Вестн. С.-Петербург, ун-та. -Сер. 10. Прикл. матем. информ. проц. упр.- 2011. - № 4. - С. 3-13.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях / А. Ю. Александров // Автомат, и телемех. — 2001. — № 9. — С. 3—13.

3. Александров А. Ю. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко // Сиб. матем. жури. - 2003. - Т. 44. -№ 6. - С. 1217-1225.

4. Александров А. Ю.Условия устойчивости решений нелинейных сложных систем с переключениями / А. Ю. Александров, А. В. Платонов // Вестник Морд. гос. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2012. - №2. - С. 17-22.

5. Александров А. Ю. Об устойчивости гибридных однородных систем / А. Ю. Александров, А. В. Платонов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010.-№ 5 (21).-С. 24-32.

6. Александров А. Ю. Устойчивость разностных систем: учеб. пособие / А. Ю. Александров, А. П. Жабко. -СПб: НИИ Химии СПбГУ, 2003. - 112 с.

7. Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления. / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. - М. : Высшая школа, 1998. - 573 с.

8. Бабаджанянц Л. К. Управление по критерию расхода в механических системах / Л. К. Бабаджанянц, И. Ю. Потоцкая. - СПб.: С. -Петерб. гос. ун-т, 2003.- 137 с.

9. Баландин Д. В. Использование ЬМИоо1Ьох пакета Ма1:1аЬ в синтезе законов управления / Д. В. Баландин, М. М. Коган - Нижний Новгород, 2006. - 135 с.

10. Батулова Е. П. Кусочно-постоянное управление в математических моделях экологии / Е. П. Батулова, И. Ю. Потоцкая // Процессы управления и устойчивость: Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. - СПб.: Изд-во С. -Петерб. Ун-та, 2007. - 656 с. - С. 243-257.

11. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин -М.: Наука, 1967.-223 с.

12. Бесекерский В. А. Микропроцессорные системы автоматического управления / В. А. Бесекерский, Н. Б. Ефимов, С. И. Зиатдинов, В. В. Изранцев, А. В. Небышов, Н. Г. Соколов, Е. А. Фабрикант. Под общ. ред. В. А. Бесекерского - Л.: Машиностроение, 1988. -365 с.

13. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы /

B. А. Бесекерский. -М.: Наука, 1976. - 576 с.

14. Блинов И. Н. Линейные дифференциальные системы с кусочно-постоянными периодическими коэффициентами / И. Н. Блинов // Автоматика и телемеханика, 1965.-Т. XXVI. -№1.~ С. 180-183.

15. Васильев С. Н. Логическое моделирование и управление в реальном времени / С. Н. Васильев, А. К. Жерлов // Материалы Всесоюзной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы в машиностроении», Самара, 1991.-Ч. 2.-С. 33-38.

16. Васильев С. Н. Об исчислениях типово-кванторных формул /

C. Н. Васильев, А. К.Жерлов // Докл. РАН, 1995. - Т. 343. - №5. - С. 583-585.

17. Васильев С. Н. Интеллектное управление динамическими системами. / С. Н. Васильев, А. К. Жерлов, Е. А. Федосов, Б. Е. Федунов. - М.: Наука, Физматлит, 2000. - 352 с.

18. Васильев С. Н. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых гибридных систем / С. Н. Васильев, А. И. Маликов // Сборник статей

«Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН». - Казань: Фолиант, 2011. - Т. 1. - С. 23-81.

19. Васильев С. Н. Метод векторных функций Ляпунова - Матросова и его приложения / С. Н. Васильев, Р. И. Козлов, А. А. Косов, А. В. Лакеев // XII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных

систем управления» (конференция Пятницкого). - Москва, ИПУ РАН, 5-8

июня, 2012.-С. 69-73.

20. Васильев С. Н. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов / С. Н. Васильев, А. А. Косов// Автоматика и телемеханика. - 2011. -Вып. 6. -С. 27-47.

21. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А. А. Воронов - М. : Наука. 1985. - 352 с.

22. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных / В. И. Воротников. - М.: Наука, 1991. - 288 с.

23. Вукабратович М. Управление манипуляционными роботами: теория и приложения / М. Вукабратович, Д. Стокич. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 384 с.

24. Гаркушенко В. И. Декомпозиция линейных непрерывно-дискретных систем управления / Гаркушенко В. И. // Вестн. Казан, гос. техн. ун-та. - 1999. - №2. - С. 35-39.

25. ДеккерК. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. - М. : Мир, 1988.-334 с.

26. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович.- М. : Наука, 1967. - 472 с.

27. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования / Э. Джури. - М.: Физматгиз, 1963. - 456 с.

28. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой / С. В. Емельянов. -М.:Наука, 1967. - 336 с.

29. Жук К. Д. Исследование структур и моделирование логико-динамических систем / К. Д. Жук, А. А. Тимченко, Т. И. Доленко. - Киев: Наук, думка, 1975. - 199 с.

30. Заславский Б. Г. Управление экологическими системами / Б. Г. Заславский, Р. А. Полуэктов. - М.: Наука, 1988. - 296 с.

31. Земляков А. С. Синтез сложных систем управления на основе метода векторных функция Ляпунова / А. С. Земляков // Устойчивость и управление сложных систем: Межвуз. сб. - Казань: КАИ, 1986. - 88 с. - С. 22-30.

32. Земляков А. С. Исследование дискретно-непрерывных систем управления методом функций Ляпунова / А. С. Земляков // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: Сб. ст. - Новосибирск: Наука, 1988.-С. 168-173.

33. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов.- М. : Наука, 1975.-496 с.

34. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В. И. Зубов. - 2-е изд.- Л.: Машиностроение, 1974 - 335 с

35. Зубов В. И. Консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в нелинейной механике / В. И. Зубов. // Докл. РАН. - 1997. - Т. 354, №4. - 446-448.

36. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение / В. И. Зубов. - Л., 1957.-242 с.

37. Зубов В. И. Об устойчивости многокомпонентных периодических движений / В. И, Зубов // Сб. Мордов. гос. ун-та. - Саранск, 1973. - № 104, вып. 2. - С.121-123.

38. Зубов С. В. Теорема устойчивости расчетных движений / С. В. Зубов. -М.: Информсвязьиздат, 1992.

39. Зубов С. В. Математические методы стабилизации динамических систем / С. В. Зубов, Н. В. Зубов. - СПб.: Изд-во С.- Петербургского ун-та. -1996.

40. Изерман Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. - М.: Мир, 1984.-541 с.

41. Козлов Р. И. Исследование устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных моделей экономической динамики методом ВФЛ I / Р. И. Козлов, О. Р. Козлова // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 2. - С. 104-113.

42. Козлов Р. И., Козлова О. Р. Исследование устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных моделей экономической динамики методом ВФЛ II / Р. И. Козлов, О. Р. Козлова // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 3. - С. 41-50.

43. Котов К. Ю., Шпилевая О. Я. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование / К. Ю. Котов, О. Я. Шпилевая //Автометрия. - 2008. -Т. 44.-№5.-С. 71-87.

44. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - М. : Физматлит, 1959. - 222 с.

45. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / М.: Машиностроение, 1976. - 184 с.

46. Кунцевич В. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова / В. М. Кунцевич, М. М. Лычак - М.: Наука, 1977. -400 с.

47. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Б. Куо. - М.: Машиностроение, 1986. - 448 с.

48. Леонов Г. А. М. Методы стабилизации линейных управляемых систем / Г. А. Леонов, М. М. Шумафов. - СПб.: Изд-во СПбГУ. 2005. - 421 с.

49. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения /А. М. Ляпунов - М.-Л. : Гостехиздат, 1950. -471 с.

50. Майзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А. Д. Майзель // Тр. Урал, политех, ин-та. Сер. Мат. - 1954. -Т. 51.-С. 20-50.

51. Маликов А. И. Об устойчивости систем дифференциальных уравнений со случайными структурными изменениями / А. И. Маликов. -Изв. вузов. Матем,- 2000. - № 1. - 37-43.

52. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. - М.: Наука, 1966.-530 с.

53. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. - М.: Физматлит, 2001.-373 с.

54. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под. ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова. -М.: Наука, 1987. - 312 с.

55. Острём К. Системы управления с ЭВМ / К. Острём, Б. Виттенмарк. -М.: Мир, 1987.-480 с.

56. Персидский К. П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений / К. П. Персидский. - УМН, 1:5-6 (15-16). - 1946. - С. 250255.

57. Поляков К. Ю., Синтез оптимальных цифровых регуляторов для управления двойным интегратором / К. Ю. Поляков, В. О. Рыбинский // Материалы V конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», СПб: ГНЦ «Электроприбор». - 2004. - С. 123-128.

58. Поляков К. Ю. Основы теории цифровых систем управления: учеб. Пособие / К. Ю. Поляков- СПбГМТУ. - СПб.: 2006. - 161 с

59. Поляков К. Ю. Оптимальный выбор периода квантования для цифровой системы управления судном / К. Ю. Поляков, В. О. Рыбинский // Материалы VII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, 2006. - ГНЦ «Электроприбор». - СПб., 2006. - С. 106-113.

60. Розенвассер Е. Н. Линейная теория цифрового управления в непрерывном времени / Е. Н. Розенвассер- М.: Наука, 1994. - 181 с.

61.РушН., АбетсП., ЛалуаМ. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / под ред. В. В. Румянцева. - Пер с англ. Рубановский В. Н., Сергеев В. С., Степанов С. Я. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

62. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский -М.: Наука, 1971. - 552 с.

63. Седова Н. О. Синтез цифровых стабилизирующих регуляторов для непрерывных систем на основе метода функций Ляпунова / Н. О. Седова // Проблемы управления. - 2011. - № 6. - С. 7-13.

64. Синицкий Л. А. Качественные изменения непрерывных динамических систем при дискретизации во времени и пространстве / Л. А. Синицкий // Международный семинар «Нелинейные цепи и системы». -М., 1992.-Т. 1.-С. 145-159.

65. Скалкина М. А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным / М. А. Скалкина // Доклады Академии наук СССР. - 1955. - Т. 104, №4. -С. 505-508.

66. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений / М. А. Скалкина // Прикладная математика и механика. - Т. XIX, 1955. - С.287-294.

67. Смирнов Е. Я. Некоторые задач математической теории управления / Е. Я. Смирнов. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. - 1981. - 200 с.

68. Смирнов Е. Я., Павликов В. Ю., Юрков А. В. Управление движением механических систем / Е. Я. Смирнов, В. Ю. Павликов, А. В. Юрков. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.-316 с.

69. Смирнов Е. Я. Стабилизация нестационарных дискретных и гибридных систем / Е. Я. Смирнов. - Деп. в ВИНИТИ 4 января 1982 г., № 39-82 Деп. 25 с.

70. Сомов Е. И. Построение векторных функций Ляпунова при синтезе линейных управляемых систем с неполным измерением состояния / Е. И. Сомов // Изв. РАН Теория и системы управления. - 1997. - N 3. - С. 7386.

71. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления / Ю. Т. Ту; Под ред. В. В. Солодовникова. - М. : Машиностроение, 1964.-703 с.

72. Уланов Б. В. О стабилизации многомерных нестационарных линейных динамических объектов / Б. В. Уланов // Устойчивость и управление. Казань, 1990.-С. 4-7.

73. Уланов Б. В. О стабилизации динамических объектов векторным непрерывным управление / Б. В. Уланов // Изв. вузов. Матем.- 1987. - № 6. -С.88-89

74. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. -М.: Наука, 1985. -255с.

75. Фишман Л. 3. О сохранении характера границы области устойчивости непрерывной системы при замене ее дискретной, построенной по методу Рунге - Кутта / Л. 3. Фишман // Докл. РАН. - 1992. - Т. 327. - № 1. - С. 32-36.

76. Фишман Л. 3. О сохранении свойств дифференциальных уравнений при дискретизации / Л. 3. Фишман // Докл. РАН. - 1996. - Т. 330. - № 5. -С. 594-596.

77. Фишман JT. 3. Сравнение устойчивости фокуса системы второго порядка и соответствующих ей разностных схем / Л. 3. Фишман // УМН. - 1993. - Т. 48. - №. 2.-С. 205-206.

78. Фишман Л. 3. Условия сохранения характера границы области устойчивости непрерывной системы при замене ее дискретной / Л. 3. Фишман // Автоматика и телемеханика. - 1991. - №2. - С. 186-189.

79. Фишман Л. 3. Условия устойчивости неподвижной точки точечных отображений в критическом случае пары комплексно-сопряженных корней на единичной окружности / Л. 3. Фишман // Математические заметки. - 1992. -Т. 52.-№ 6.-С. 131-139.

80. Фурасов В. Д.Задачи гарантированной идентификации. Дискретные системы / Фурасов В. Д. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005 . - 150 с.

81. Хасина Е. Н. О связи асимптотической устойчивости дифференциальных и дискретных систем / Е. Н. Хасина // Заметки. - 1980. -№6 - С. 165167.

82. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем / Я. 3. Цыпкин -М.: Физматгиз, 1963.-968 с.

83. ЧангШ. Синтез оптимальных систем автоматического управления / Ш. Чанг. - М.: Машиностроение, 1964. - 449 с.

84. Шильяк Д. Д. Децентрализованное управление сложными системами/Д. Д. Шильяк.-М.: Мир, 1994.-576 с.

85. Щенников В. Н. Приближенное построение стабилизирующего управления для системы второго порядка с периодическими коэффициентами / Н. Н. Учватова, В. Н. Щенников // Морд. гос. ун-т им. Н.П. Огарева. -Саранск, 2002. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ № 375 - В2002 от 26.02.02.

86. Щенников В. Н. Моделирование управления в динамической системе второго порядка / Н. Н. Учватова, В. Н. Щенников // Саранск: Средне-волжское математическое общество, 2005. - Препринт № 90.

87. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории математического регулирования / В. А. Якубович // ДАН СССР. - 1962. - Т. 143, № 6. - С. 1304-1307.

88. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления /

B. А. Якубович // Сибирский математический журнал. - 1973. - Т. 14, №2. -

C. 384-420.

89. Alur R. Hybrid automata: An algorithmic approach to the specification and analysis of hybrid systems / R. Alur, C. Courcoubetis, T. Henzinger, P. Ho // Workshop on Hybrid Systems, Lect. Notes in Сотр. ScS. 736, Springer-Verlag, 1993.-P. 209-229.

90. Bailey F. N. Vector Lyapunov functions for a class of interconnected systems. / F. N. Bailey // Proc. Nat. electronic conference, 1965. -V. 26. - P. 593598.

91. Blondel V. D. Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory / V. D. Blondel, A. Megretski. - Princeton: Princeton University Press, 2004.

92. Borelli F. Constrained optimal control of linear and hybrid systems / F. Borelli // Lecture Notes in control and information sciences. - V. 290. - Springer, 2003.-293 p.

93. Branicky M. S. Stability of hybrid systems: state of art / M. S. Branicky// Proceedin s of the 36th conference on Decision and Control. -San Diego, California USA, December 1997. - P. 120-125.

94. Branicky M. S. Stability of switched and hybrid systems / M. S. Branicky // Proc. IEEE Conf. On Decision and Control. Lake Buena Vista, FL. - Pp. 3498-3503, December 1994.

95. Bouscan U. A review on stability of switched systems for arbitrary switching / U. Bouscan // Proceedings of the conference «Geometric Control and

Nonsmooth Analysis», Rome June 5 -9, 2006, «Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences», Worldscientific, 2007. - P. 100-119.

96. Chen T. Optimal sampled-data control systems. / T. Chen, B. A. Francis -New York: Springer-Verlag, 1995.

97. Efimov D. Comments on finite-time stability of time-delay systems / Denis Efimov, Andrey Polyakov, Emilia Fridman, Wilfrid Perruquetti, Jean-Pierre Richard // Automatica. - 50 (2014) - P. 1944-1947.

98. Fridman E. A refined input delay approach to sampled-data control / Emilia Fridman // Automatica. - 46 (2010) - P. 421-427.

99. Grujic L. T. Stability of large-scale systems with stable and unstable subsystems / L. T. Grujic, D. D. Siljak // IACC conf., Paper 17-3, 1972. - P.550-555.

100. Hai Lin. Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results / Lin Hai, P. J. Antsaklis // IEEE Trans. Automat. Control, 54:2 (2009).-Pp. 308-322.

101. HuB. Stability analysis of a class of non-linear multi-rate digital control systems / B. Hu, A. N. Michel //Circuits, Systems and Signal Processing. -1999.-P. 43-57.

102. HuiTe. Stability theory for hybrid dynamical systems / Te Hui, A. N. Mitchel // IEEE, Transactions automatic control. - Vol. 43, №4, april 1998.

103.KatzP. Sample rate selection for aircraft digital control / P. Katz, J. D. Powell // AIAA Journal. - 1975. - Vol. 13. - Pp. 975-979.

104. Lakshmikantham V., Vatsala A. S. J. Comput. and Appl. Math. 2002. 141. № 1-2, P. 227-235.

105. La Salle J. R., Rath R. J. Eventually stability // Proc. 2nd JFAC Congress, Basel, 1963, Butterwoth, London. - 1964. - V.2. - P. 556-560.

106. Lennartson B. On the choice of controller and sampling period for linear stochastic control / B. Lennartson //Automatica. - 1990. - Vol. 26, №3. -Pp. 573-578.

107. Lennartson, C. M. On the choice of sampling period and robust pole placement / X.Peng, B. Lennartson, C. M. Fransson // Proc. 15th IF AC World Congress Barselona, Spain, July - 2002.

108. Liberzon D. Switching in systems and control / D. Liberzon - Boston: Birkhauser, 2003.-233 p.

109. Liberzon D. Basic problems in stability and design of switched systems/ D. Liberzon, A.S.Morse //IEEE Contr. Syst. Magazine. - 1999. -V. 19(5).-P. 59-70.

110. Liu K., Fridman E. Wirtinger's inequality and Lyapunov-based sampled-data stabilization / Kun Liu, Emilia Fridman // Automatica - 48 (2012) - P. 102-108.

111. Michel A. N. Qualitative theory of dynamical systems: the role of stability preserving mappings / A. N. Michel, K. Wang, B. Hu // 2nd Edition. N.Y., Basel: Marcel Dekker Inc., 2001. - 708 p.

112. Nicollin X. An approach to the description and analysis of hybrid systems / X. Nicollin, A. Olivero, J. Sifakis // Workshop on Hybrid Systems, Lect. Notes in CoTp. Sci. 736, Springer-Verlag, 1993. - P. 149-178.

113. Nicollin X. From ATP to timed graphs and hybrid systems / X. Nicollin, J. Sifakis // Proc. of the REX Workshop «Real-Time; Theory in Practice», Lect. Notes in CoTp. Sci. 600, Springer-Verlag, 1992. - P. 549-572.

114. Perruquetti W. Finite time observers and secure communication / W. Perruquetti, T. Floquet, E. Moulay // IEEE Trans. Automat. Contr., 53. -2008.-Pp. 356-360.

115. Santos I. L. D. Some Results in Stability Analysis of Hybrid Dynamical Systems / I. L. D. Santos, G. N. Silva // Tend. Mat. Apl. Comput. - 2007. - V.8. -№3.-P. 453-462.

116. ShenY. Semi-global finite-time observers for nonlinear systems. / Y. Shen, X. Xia // Automatica, 2008. - P. 3152-3156.

117. Shen Y. Uniformly observable and globally Lipschitzian nonlinear systems admit global finite-time observers. / Y. Shen, Y. Huang // IEEE Trans. Automat. Contr., 2009. - P. 2621-2625.

118. Shorten R. Stability criteria for switched and hybrid systems / R. Shorten, F. Wirth, O. Mason, K. Wulf et al. // SIAM Rev., 49:4 (2007), 545592

119. Tavernini L. Differential automata and their discrete simulators / L. Tavernini // Non-linear analysis, Theory, Methods and Applications. - 1987. -V. 11 (6).-P. 665-683.

120. Vassilyev S. N. Dynamics of hybrid systems and formations with control / S. N. Vassilyev, A. V. Lakeyev // Abstracts of 14th International Workshop on dynamic and control. Moscow - Zvenigorod, Russia, 2007. - P. 69.

121. Witsenhausen H. S. A class of hybrid-state continuous time dynamic systems / H. S. Witsenhausen //IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. -V.l 1 (2). - Pp. 161-167.

122. Wittenmark B. Computer control: An overview / B. Wittenmark, K. J. Astrom, K. E. Arzen // IFAC Professional Brief, 2002.

123. Yanjun Shen. Global asymptotical stability and global finite-time stability for nonlinear homogeneous systems / Shen Yanjun, Xia Xiaohua // Preprints of the 18th IFAC World Congress Milano (Italy) August 28 - September 2, 2011.-P. 4644^1647.

Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в следующих работах:

1*. Лизина Е. А. Устойчивость линейных многосвязных управляемых гибридных динамических систем с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения В.И. Зубова. - Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г. - С.-Петербург: ВВМ, 2010. - С. 331-332.

2*. Лизина Е. А. Устойчивость движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы / Е. А. Лизина // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. - № 3. - 2010. - С. 63-65

3*. Лизина Е. А. Двухуровневая стабилизация многосвязной гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей V Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. - 300 е.- С. 62-65

4*. Лизина Е. А. Двухуровневая стабилизация многосвязной гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Системы управления и информационные технологии - №2(44), 2011.-С. 30-34.

5*. Лизина Е. А. О стабилизации управляемой гибридной системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина // Актуальные проблемы науки: сб. науч. Тр. По материалам Международ, науч-практ. конф. 27 сентября 2011 г.: в 6 частях. Часть 3; М-во обр. и науки РФ. Тамбов: Изд-во ТРОО «Бизнес-наука-творчество», 2011. - 167 с. -С. 70-72.

6*. Лизина Е. А. Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4(20). - С. 14-24.

7*. Лизина Е. А. Стабилизация линейной непрерывно-дискретной нестационарной системы / Е. А. Лизина // Системы управления и информационные технологи - №1(47), 2012. - С. 35-38.

8*. Лизина Е. А. О стабилизации линейной непрерывно-дискретной системы с периодическими коэффициентами / Е. А. Лизина // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей VI Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2012. - 208 с. - С. 58-64.

9*. Лизина Е. А. О стабилизации системы второго порядка с помощью кусочно-постоянного управления/ Е. А. Лизина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции, Воронеж, 26-28 ноября 2012 г.: в 2 ч. Часть 2. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. - 311 с. - С. 197-200.

10*. Лизина Е. А. Стабилизация многосвязной непрерывно-дискретной неавтономной системы / Е. А. Лизина, Е. В. Щенникова // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. - № 2. - 2012. -С. 98- 103.

11*. Лизина Е. А. Компьютерное моделирование задачи линейного программирования с разбросом коэффициентов в среде МаШсас! / Е. А. Лизина, Е. В. Щенникова, О. В. Хохлова// Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - № 2. - 2012. - С. 198- 200.

12*. Лизина Е.А. Стабилизация динамической системы второго порядка с помощью кусочно-постоянного управления / Е. А. Лизина, Е. В. Щенни-кова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 13. -№ 4. - С. 89- 94.

13*. Лизина Е.А.Стабилизация непрерывно-дискретных систем с периодическими матрицами коэффициентов / Е. А. Лизина, Е. В. Щенникова, В. Н. Щенников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1.-С. 181-195.

14*.LizinaE. A. Stabilization of multivariable continuous-discrete system with periodic matrix of coeffitient / E. A. Lizina // Современные тенденции развития науки: материалы Всероссийс. очно-заочн. науч. конф. молод, учен, на англ. яз. / редкол.: Леткина Н.В. [и др.]. - Саранск: Изд-во мордов. ун-та, 2013.- 125 с.-С. 57-60.

15*. Лизина Е. А. Алгоритм построения кусочно-постоянного управления в задаче еремещения схвата манипулятора по заданной траектории / Е. А. Лизина // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей VIII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. -Пенза: Приволжский Дом знаний, 2014. - 247 с. - С. 178-189.

16*. Каледина Е.А. Стабилизация многосвязной управляемой манипу-ляционной системы с использованием кусочно-постоянного управления / О. В. Дружинина, Е. А. Каледина, В. Н. Щенников, Е. В. Щенникова // Системы управления и информационные технологии. - №4(58). - 2014. - С. 5559.

140