Развитие качественной теории дифференциальных уравнений в XIX столетии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Китаев, Давыд Борисович

• Китаев, Давыд Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Китаев, Давыд Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ПРЕДЫСТОРИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1. ПИСЬМО ДАЛАМБЕРА.

1.2. РАБОТЫ ШТУРМА 1836 ГОДА.

1.3. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ.

1.4. ДИССЕРТАЦИЯ Н. Е. ЖУКОВСКОГО.

1.5. ЗАДАЧИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ: А.ЛЕОТЕ.

1.6. ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ: Ж. ЛАГРАНЖ, К. ЯКОБИ, Д. ХИЛЛ.

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ А. ПУАНКАРЕ И A.M. ЛЯПУНОВЫМ В КОНЦЕ XIX СТОЛЕТИЯ. РАННЕЕ ВОСПРИЯТИЕ ИХ ИДЕЙ ВО ФРАНЦИИ И ИТАЛИИ.

2.1. Обзор работ Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений.

2.2. ОБЗОР ТРУДОВ ЛЯПУНОВА A.M. ПО ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.

2.3. ТВОРЧЕСТВО П. ПЕНЛЕВЕ И ЕГО ВОСПРИЯТИЕ ИДЕЙ А. ПУАНКАРЕ.

2.4 ВКЛАД Ж. АДАМАРА В РАЗВИТИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.5. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ПУАНКАРЕ И ЛЯПУНОВА В ОБЛАСТИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ В ИТАЛИИ (Т. ЛЕВИ-ЧИВИТА).

ГЛАВА 3 РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ПУАНКАРЕ В ОБЛАСТИ КАЧЕСТВЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА

ПЛОСКОСТИ В ТРУДАХ И. БЕНДИКСОНА.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие качественной теории дифференциальных уравнений в XIX столетии»

Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений начинается с И. Ньютона, Г. Лейбница и rix ближайших последователей. Большая часгь элементарных методов интегрирования, с изложения которых начинается любой курс их теории, была создана в XVIII в. [66„с.80;24;30,т.2,3;103]. Значительные усилия были сосредоточены на поиске методов интегрирования уравнений в квадратурах: изыскивались различные замены переменных, позволяющие привести уравнение к интегрируемым формам или, хотя бы, понизить их порядок, велись поиски интегрирующих множителей. Большие успехи были достигнуты в интегрировании однородных линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, разработаны методы интегрирования систем таких уравнений.

Однако к середине XIX столетия обнаружилось, что класс уравнений, которые удалось проинтегрировать в квадратурах, невелик, а в 70-80 гг. удалось доказать (С. Ли, А. Пуанкаре), что уравнения, допускающие такое интегрирование, представляют в мире уравнений скорее исключение. А. Пуанкаре в своем труде "О кривых определяемых дифференциальными уравнениями" отмечал: "Полная теория функций, определяемых дифференциальными уравнениями, была бы чрезвычайно полезна для большого числа вопросов математики и механики. К сожалению, сразу видно, что в громадном большинстве случаев, с которыми нам приходится иметь дело, эти уравнения не могут быть проинтегрированы с помощью функций, определяемых квадратурами. И если бы мы захотели ограничиться только этими, которые можно изучить при помощи определенных и неопределенных интегралов, то область нашего исследования оказалась бы чрезвычайно суженой, и огромное большинство вопросов, встречающихся в приложениях, осталось бы нерешенным. Необходимо, следовательно, изучать функции, определяемые дифференциальными уравнениями, сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям." [81,с. 16].

К числу вопросов, возникающих в естествознании, в частности, в небесной механике, решение которых во многих случаях не удается найти традиционными классическими методами исследования, относятся следующие:

1. Существуют ли ограниченные решения?

2. Все ли решения ограничены?

3. Существуют ли периодические решения?

4. Все ли решения периодические?

5. Существуют ли решения, к которым "притягиваются" все остальные решения?

6. Существует ли область, целиком заполненная ограниченными решениями, в том числе замкнутыми?

7. Будет ли данное решение устойчивым и каков характер устойчивости?

Для решения подобных вопросов возникла необходимость в построении качественной теории дифференциальных уравнений, которая позволяла бы изучать особенности искомого решения дифференциального уравнения по виду самого уравнения, не прибегая к его интегрированию. Основы такого теорий были заложены в середине 80-х годов XIX столетия в трудах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова. Однако отдельные случаи качественного исследования дифференциальных уравнений и даже построения качественных теорий мы встречаем и у предшествующих авторов.

К началу XX века в качественной теории дифференциальных уравнений уже накопилось достаточное число результатов, вошедших затем в различные математические энциклопедии. Тем не менее, историко-математических исследований, посвященных данной теме, долгое время не было. Первой публикацией такого рода следует считать, по-видимому, статью М. Бохера «Опубликованные и неопубликованные работы Штурма по алгебраическим и дифференциальным уравнениям», напечатанную в бюллетене Американского математического общества за 1911-1912 гг. Одну из первых попыток дать систематизированное изложение истории теории Штурма - Лиувилля мы находим в кандидатской А.И. Демчишина «Развитие теории краевых задач для однородных дифференциальных уравнений в XVIII и XIX столетиях», защищенной в ИИЕТ РАН в 1977 г.

Другая попытка систематизированного изложения развития теории Штурма -Лиувилля была предпринята в 1982 г. датским историком математики Дж. Лютценом, опликовавшим работу под названием «Работа Штурма и Лиувилля по обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям. Главные положения теории Штурма-Лиувилля» [162]. Эта работа была подготовлена при написании научной биографии Ж. иувилля и стала одним из ее разделов.

Рассматривая вопрос об исторических предпосылках возникновения теории Штурма - Лиувилля, Лютцен отмечает, что таковыми являются краевые задачи с параметром, к которым приводят задачи математической физики. Первый вид таких задач связан с вопросами колебаний струны, мембраны, воздуха (Даламбер, Лагранж, Эйлер), второй - с проблемой теплопроводности в однородных телах (Фурье, Пуассон, Ламе), третий - с математической теорией притяжения тел и задачами теории потенциала (Лаплас, Пуассон). Интересно отметить, что в своей работе автор приводит исторически первый пример применения качественного метода исследования дифференциального уравнения второго порядка, принадлежащий Даламберу. Этот метод был применен им при изучении процесса колебаний, закрепленной на обоих концах неоднородной струны и изложен в письме Лагранжу от 11 июня 1769 г.

К историко-математическим работам, характеризующих развитие качественной теории дифференциальных уравнений, следует отнести, главу VI книги по истории математики XIX в. [30, гл. VI]. Эта глава состоит из трех разделов. В первом разделе дается обзор работ, предшествующих мемуару Пуанкаре, в которых затрагивается качественная проблематика в теории дифференциальных уравнений, а также излагаются основные результаты, полученные Пуанкаре в его основном мемуаре по качественной теории дифференциальных уравнений "Геометрическая теория дифференциальных уравнений" (1881-1886 гг.).

Во втором разделе основное внимание уделено рассмотрению главной работы Ляпунова по теории устойчивости "Общая задача теории устойчивости движения".

В третьем разделе содержится обзор работ, в которых качественное направление исследований в области дифференциальных уравнений, начатое трудами Пуанкаре и Ляпунова, получило дальнейшее развитие.

К числу других работ, в которых отражена роль нового качественного направления исследований Пуанкаре в истории математики следует отнести труд К. Жилена «Геометрическая теория дифференциальных уравнений Пуанкаре в истории анализа» (1977 г.). Автор выделяет три особо важных момента, проявившихся в подходе Пуанкаре: разрыв с доминирующей ролью теории функций комплексного переменного, переход от от локального к глобальному исследованию решений «чистого анализа». В своих выводах он указывает на две противоположные тенденции в развиттии анализа XIX века. Первая тенденция, начало которой положил Больцано, состояло в арифметизации анализа, всякое обращение к геометрии при этом исключалось. Вторая 1енденция, наоборот, состояла в стремлении отбросить всякое применение анализа к геометрии (школа синтетической геометрии Понселе, Шаля и др.). В то же время Жилен отмечает, что существовала и третья тенденция, хотя и мало подчеркнутая историками по выделению роли геометрии в истории анализа. Геометрическая теория дифференциальных уравнений Пуанкаре является, по словам автора, в действительности иллюстрацией того, что прогресс математики в XIX веке был отмечен не только приложением Анализа к Геометрии, но и, наоборот, - приложением Геометрии к Анализу. Далее Жилен подчеркивает роль Римана в развитии этой тенденции и указывает на различный подход у Вейерштрасса и Римана в решении задач анализа. У Вейерштрасса теорема анализа доказывается чисто аналитическим методом, без применения геометрии. У Римана, напротив, геометрические методы являются первостепенными. При этом метод Вейерштрасса с его строгим «арифметизированным» доказательством оценивался выше метода Римана. Сам Пуанкаре определял полезность обоих методов, указывая, что метод Римана - это, прежде всего, метод открытия, в то время как метод Вейерштрасса - это, прежде всего, метод доказательства.

Из литературы по истории устойчивости, затрагивающей качественную проблематику дифференциальных уравнений, необходимо упомянуть фундаментальную монографию Н.Д. Моисеева «Очерки развития теории устойчивости». Эта работа, состоящая из трех больших очерков, содержит обзор основных направлений теории устойчивости за период времени, начинающийся от Аристотеля и заканчивающийся трудами Ляпунова. В главе 3 дается краткая характеристика теории Штурма - Лиувилля, рассматриваются исследования устойчивости в задачах небесной механики, принадлежащие Лагранжу, а также результаты Якоби по их обобщению. Кроме этого автор дает краткое изложение мемура Пуанкаре, уделяя особое внимание вопросам устойчивости и связи этого мемуара с задачами небесной механики. В параграфе 9 автор даег краткую характеристику второго метода Ляпунова и указывает на идейную связь этого метода с методом топографических поверхностей Пуанкаре. В последних двух параграфах данной главы речь идет о разработке второго варианта дифференциального метода теории устойчивости у Кнезера и Адамара и связи идей этих двух математиков с идеями Ляпунова. В последнем, третьем, очерке, посвященному исключительно Ляпунову и состоящему из четырех глав, изложены следующие вопросы: 1) основные моменты биографии Ляпунова и общая характеристика его научных трудов, 2) определения понятия устойчивости в трудах Ляпунова, 3) труды Ляпунова по теории устойчивости, предшествующие главному трактату, 4) содержание основного трактата Ляпунова «Общая задача теории устойчивости движения», 5) труды Ляпунова после главного трактата. В заключении книги затрагивается вопрос о значимости трудов Ляпунова в истории науки.

Заканчивая обзор литературы по истории качественной теории дифференциальных уравнений, следует упомянуть еще две работы. В первой, принадлежащей Д.М. Синцову и озаглавленной «Н.Е. Жуковский и классификация особых точек дифференциальных уравнений первого порядка» (1924 г.) речь идет о магистерской диссертации Жуковского «Кинематика жидкого тела». Автор обращает внимание на то, что в этой работе Жуковский, изучая вопрос о линиях тока плоского течения жидкости, впервые пришел к классификации особых точек дифференциального уравнения, аналогичной классификации Пуанкаре, - факт, который до этого времени оставался незамеченным. Вторая работа «К истории качественных методов в теории дифференциальных уравнений» принадлежит И.Б. Погребысскому и опубликована в 1947 г. В этой работе исследуется еще один источник качественной теории дифференциальных уравнений, обычно не учитываемый в литературе и относящийся к теории автоматического регулирования.

Проведенный обзор литературы позволяет сделать следующий вывод. Множество исторических исследований, посвященных различным аспектам качественной теории, покрывает значительную часть ее истории. Однако, не сведенные в едином изложении, осуществленном с единой точки зрения, они не создают общей картины развития теории. К тому же эти исследования, как мы только что заметили, покрывают не всю, а лишь значительную часть ее истории, оставляя без внимания многие важные ее фрагменты. Такие, как, например. Труды Ж. Лагранжа, К. Якоби и Д. Хилла по небесной механике или исследования П. Пенлеве, Ж. Адамара, Т. Леви-Чивита или И. Бендиксона, развивающие идеи Пуанкаре и Ляпунова, которые в лучшем случае только упоминаются.

Целью диссертации является изучение истории качественной теории дифференциальных уравнений в период, начиная с появления первых качественных методов в XVIII веке (Ж. Даламбер) и до опубликованных на рубеже XIX - XX столетий исследований И. Бендиксона.

В соответствии с этим данная работа состоит из трех глав и заключительной части.

В главе 1 рассмотрена предыстория качественной теории дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что основы этой теории были заложены в конце 80-х годов XIX столетия в работах Пуанкаре и Ляпунова, отдельные случаи качественного исследования дифференциальных уравнений и даже построения специальных теорий мы встречаем и у предшествующих авторов при решении ими различных задач теоретического и прикладного характера. В соответствии с этим глава I состоит из шести разделов.

В разделе 1.1 приведен исторически первый пример применения качественного метода исследования, принадлежащий Даламберу, относится к области математической физики и связан с рассмотрением процесса колебаний закрепленной на концах неоднородной струны.

В разделе 1.2 речь идет о теории Штурма - Лиувилля - первой теории, основанной на систематическом применении качественных методов исследования и изложенной в двух обширных мемуарах Штурма, опубликованных в 1836 г. - "Мемуаре о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка" и "Мемуаре об одном классе уравнений с частными производными".

В разделе 1.3 рассматриваются два вопроса - оценка современниками значимости новой качественной проблематики и метода Штурма и пути дальнейшего развития самой теории Штурма-Лиувилля.

Касаясь первого вопроса, следует отметить, что значимость новой проблематики была оценена достаточно рано. В этой связи в данном разделе обращено внимание на появление в 1834 г. в "Ученых записках Московского университета" (ч. 6) статьи Н.Д. Брашмана (25.06.1796 - 25.05.1866) - чл. корр. Петербургской АН (1855 г.). основателя

Московского математического общества и его журнала "Математический сборник". В этой малоизвестной статье под названием "Общие рассуждения о математическом анализе и пример исследования дифференциальных уравнений по новому способу Штурма" высказывается убеждение о невозможности нахождения решений произвольных дифференциальных уравнений в квадратурах, что было доказано Лиувиллем только в 1841 году для уравнения Риккати. Брашман отмечает при этом, что для исследования таких уравнений необходимо применять нетрадиционные качественные примера Брашман рассматривает частный случай данного уравнения, когда р = 1 и дает оценку расстояния между двумя последовательными нулями решения такого уравнения.

При рассмотрении второго вопроса в разделе выделено три направления дальнейшего развития теории Штурма-Лиувилля: 1) изучение различных обобщений данной теории на уравнения третьего и четвертого порядков; 2) строгое обоснование результатов теории Штурм а-Лиувилля; 3) проблема существования собственных функций краевой задачи. Первое из названных направлений связано с именами Д. Рэлея, Ж. Кирхгофа, Ф. Майера, А. Давидоглу. Второе направление было развито в трудах Ф. Клейна и М. Бохера. В решении третьей проблемы наиболее полные и строгие результаты были получены В.А. Стекловым.

В разделе 1.4 речь идет о магистерской диссертации Н.Е. Жуковского "Кинематика жидкого тела", опубликованной в 1876 г. В этой работе Жуковский, исследуя вопрос о линиях тока плоского течения жидкости, пришел к задаче о начала координат и дал исторически первую классификацию критических точек методы исследования и применяет метод Штурма к уравнению

Ох

Я - заданные непрерывные функции х в промежутке [х0,Х]. В качестве отдельного поведении интегральных кривых уравнения — йу ах + Ьу ас! — Ьс Ф ()) в окрестности сЬс сх + йу такого уравнения, классификация данная Пуанкаре в его основном мемуаре по качественной теории появилась спустя пять лет в 1881 г.

В разделе 1.5 в качестве примера качественного изучения решения дифференциальных уравнений рассмотрена работа французского инженера-механика, члена Парижской Академии наук - А. Леоте "Мемуар о колебаниях с большими периодами в машинах, приводимых в действие гидравлическими моторами, и о средствах предупреждения таких колебаний". Эта работа была опубликована в журнале Политехнической школы в 1885 г. и по постановке вопроса относится к теории регулирования гидравлических машин. Проведя качественное исследование процесса взаимодействия регулятора и машины, Леоте пришел к расположению интегральных кривых, соответствующих наличию фокуса или предельного цикла и доказал ряд общих теорем относительно этих кривых.

В разделе 1.6 речь идет о двух примерах качественного исследования уравнений из области небесной механики. Первый рассматриваемый в разделе принадлежит К. Якоби, который обобщил метод Лагранжа, упоминаемый в разделе 1.1. и использовал его при исследовании на устойчивость системы, состоящей из п материальных точек. Второй пример принадлежит Д.У. Хиллу - автору фундаментальных работ по теории движения Луны. В разделе упоминается разработанный Хиллом один из наиболее эффективных качественных методов исследования ограниченной задачи трех тел - метод кривых нулевой скорости.

В главе 2 проанализированы характерные особенности новой качественной проблематики в трудах Пуанкаре и Ляпунова, а также дана оценка этой проблематики их современниками - П. Пенлеве, Ж. Адамаром, Т. Леви-Чивита. В соответствии с этим глава 2 состоит из четырех разделов.

В разделе 2.1 речь идет о мемуаре Пуанкаре "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями", положившему начало систематическому применению качественных методов исследования теории дифференциальных уравнений. В период, предшествующий появлению мемуара Пуанкаре, преобладало изучение дифференциальных уравнений в комплексной области, разрабатывалась теория, получившая впоследствии наименование аналитической теории дифференциальных уравнений. Такой подход в изучении уравнений рассматривался как наиболее общий, т.к. исследования велись в комплексной области. Однако оказалось, что целый ряд важных, в том числе и для приложений, вопросов следовало изучать отдельно в действительной области. Характерной особенностью нового качественного подхода к изучению дифференциальных уравнений у Пуанкаре является использование им топологических методов исследования. Эти методы оказываются необходимыми при переходе от локального изучения решений уравнений к их глобальному изучению. Так, изучая распределение особых точек, он вводит новое понятие фундаментальной важности ск с1у

- индекс цикла и доказывает теорему: полное число узлов и фокусов уравнения — = —

X V в котором X и У многочлены от х и у, равно полному числу седел плюс 2. Другой пример применения топологии дает использование Пуанкаре в своих исследованиях понятия рода поверхности, введенное ранее Рнманом. Он показывает, что изменение рода поверхности существенным образом влияет на глобальное поведение траекторий. В разделе отмечается, что к анализу нового направления исследований Пуанкаре неоднократно возвращался и в последующие годы. Так, например, в заметке о своих работах 1901 г. он, в частности, затрагивает вопрос о связи четвертой части мемуара с топологией п - измерений.

Вообще, геометрическая интуиция играет важную роль в построениях Пуанкаре, приводя подчас к некоторой потере в строгости изложения.

В разделе 2.2 диссертации дан анализ основных направлений исследований Ляпунова в обласги качественной теории дифференциальных уравнений. Этот анализ позволяет выделить три направления его исследований по теории устойчивости: 1) устойчивость равновесия и движения механических систем с конечным числом степеней свободы; 2) существование фигур равновесия вращающейся жидкости, близких к эллипсоидальным; 3) устойчивость фигур равновесия вращающейся жидкости. Центральное место в цикле работ первого направления занимает его докторская диссертация «Общая задача теории устойчивости», опубликованная в 1892 г. В разделе изложены основные результаты этой работы, а также рассмотрены этапы эволюции понятия устойчивости в трудах Ляпунова, охватывающей период с 1885 по 1897 гг. Речь, в частности, идет в нем о дискуссии между Пикаром, Ляпуновым и Пенлеве, возникшей в связи с обсуждением вопроса о существовании периодических решений определенного класса дифференциальных систем. Начало двух других направлений исследований Ляпунова было положено его магистерской диссертацией «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости», написанной в 1884 г. При этом изучение фигур равновесия вращающейся жидкости было также обьектом исследований Пуанкаре. Общность интересов обоих ученых по этому вопросу привела к взаимной переписке между ними, продолжавшейся несколько более года. В этой связи в разделе приведены отдельные выдержки из данной переписки, причем наибольший исторический интерес представляют выдержки из письма Ляпунова, в котором идет речь о сходстве и различии методов исследований обоих ученых.

Раздел 2.3 посвящен творчеству П. Пенлеве и его восприятию идей А. Пуанкаре. Работы Пенлеве характеризуются особой ролью, которую в них играет теория функций комплексного переменного. Новые качественные методы исследований дифференциальных уравнений в действительной области не занимают в его творчестве столь значимого и важного места, как у Пуанкаре. Тем не менее, в его работах, выполненных в период с 1888 по 1905 гг., впервые для нелинейных уравнений систематически проводилась идея изучения их решений как функций комплексного переменного во всей области их определения непосредственно по самому виду дифференциального уравнения, аналогичная идее Пуанкаре изучения качественного поведения интегральных кривых в действительной области. Так, предложенный Пенлеве метод позволил находить необходимые условия отсутствия подвижных точек ветвления уравнения и"= R{u\г/, г), где R - рациональная функция и и г/' и аналитическая функция г, а наличие или отсутствие того или иного вида подвижных особых точек в интегралах данных дифференциальных уравнений было положено в основу классификации этих уравнений. Кроме того, метод Пенлеве оказался полезным не только для изучения уравнений, но и для приложений, что находит свое отражение в связи между теорией Пенлеве и исследованиями C.B. Ковалевской по изучению движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

В разделе 2.4 речь идет о вкладе Ж. Адамара в развитие качественной теории дифференциальных уравнений, который опубликовал в 1896 и 1897 гг. два обширных мемуара, развивающих идеи Пуанкаре. Мемуар 1896 г. относится к числу наиболее значимых в двух областях исследований - аналитической механике и геометрии. В первой из них рассматривается вопрос о движении материальной точки под действием консервативной силы на поверхности вращения. Изучение этого вопроса приводит Адамара к разработке двух вариантов качественного метода исследования — фазового и координатного. Первый из них идейно связан со вторым методой Ляпунова, второй - с работой Кнсзера. В области геометрии особое место в первом мемуаре занимает вопрос об изучении геодезических потоков на плоскостях положительной кривизны. Важность понятия геодезических линий для динамики определяется тем, что их уравнения в существенном совпадают с уравнением движения материальной точки под действием сил, имеющих потенциальную функцию и, таким образом, теорема о геодезических линиях дают ответы на вопросы о поведении траекторий динамической системы. Мемуар 1896 г. относится к числу наиболее значимых в двух областях исследований - аналитической механике и геометрии. В первой из них рассматривается вопрос о движении материальной точки под действием консервативной силы на поверхности вращения. Изучение этого вопроса приводит Адамара к разработке двух вариантов качественного метода исследования - фазового и координатного. Первый из них идейно связан со вторым методой Ляпунова, второй - с работой Кнезера. В области геометрии особое место в первом мемуаре занимает вопрос об изучении геодезических потоков на поверхностях положительной кривизны. Важность понятия геодезических линий для динамики определяется тем, что их уравнения в существенном совпадают с уравнением движения материальной точки под действием сил, имеющих потенциальную функцию и, таким образом, теорема о геодезических линиях дают ответы на вопросы о поведении траекторий динамической системы.

Во втором мемуаре Адамара изучается поведение геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривизны. Кроме этого, в них показано существование большого разнообразия поверхностей строго отрицательной кривизны и построены примеры таких поверхностей. Идеи Адамара получили дальнейшее развитие в XX века в теории динамических систем (Э. Хопф, Д.В. Аносов и др.).

В разделе 2.5 дана общая характеристика творчества Леви-Чивита и рассмотрены основные направления его исследований по качественному анализу дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что Леви-Чивита был наряду с Адамаром одним из тех крупных математиков своего времени, кто дал высокую оценку трудам Пуанкаре, Ляпунова и Бендиксона, его подход к решению задач качественного анализа существенно отличается от подхода названных авторов. Творчество Леви-Чивита отличает стремление соединить новые определения качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости с понятиями классической механики. Это приводит его к важным новациям, связанных прежде всего с геометрическим подходом к решению задач небесной механики и теории устойчивости.

В главе 3 проводится анализ результатов качественного изучения дифференциальных уравнений, полученных шведским математиком И.О. Бендиксоном. В его мемуаре, опубликованном в 1901 г. "Acta mathematica" были получены существенные обобщения результатов Пуанкаре по качественному изучению интегральных кривых на плоскости. В этом мемуаре можно выделить три основных темы: формулировка и доказательство общих теорем дифференциальных уравнений, изучение особых точек дифференциальных уравнений, изучение интегральных кривых в бесконечности. Первой теме посвящена первая глава мемуара, в которой изучается поведение интегральных dx dy кривых уравнения — = —.

Пуанкаре исследовал этот вопрос для случая, когда X и У являются полиномами относительно переменных хну. Бендиксон показал, что полученные Пуанкаре результаты могут быть распространены на случай, когда X и Y являются функциями непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка относительно х и у. Опираясь на две фундаментальные теоремы - о существовании и единственности решения и о непрерывной зависимости решений от начальных данных, а также, используя в качестве основы своего топологического метода понятие предельной точки траектории, Бендиксон переходит к доказательству последующих шести теорем первой главы мемуара. Итогом изучения этой главы является теорема, обобщающая результат Пуанкаре о классификации траекторий и получившая в дальнейшем наименование теоремы Пуанкаре - Бендиксона.

Существенное место в мемуаре Бендиксона занимает изучение сложных особых точек - вопрос, который не изучался Пуанкаре. Бендиксон изучает характер этих точек в том случае, когда X и Y являются голоморфными функциями, показывая, что изучение сложной особой точки может быть сведено к изучению последовательности дифференциальных уравнений вида х" — — ах+ Ьу + В(х,у), где а ^ 0, а В означает ряд сИх

Тейлора, начинающийся с членов порядка >1.

Изучая топологическую структуру сложной особой точки в случае равенства нулю одного корня характеристического уравнения, он приходит к выводу о существовании особых точек трех типов - седла, узла и седло-узла. При этом отмечается, что наибольшую сложность представляет изучение сложной особой точки в случае равенства нулю обоих корней характеристического уравнения, сама топологическая структура при этом не исследуется

Третьему направлению исследований - изучению интегральных кривых в достаточно удаленных частях плоскости - посвящена глава VI мемуара Бендиксона "Несколько теорем, относящихся к случаю, когда X и У - многочлены". В этой главе Бендиксон сравнивает результаты своих исследований с исследованиями Пуанкаре, устанавливает достаточное условие отсутствия замкнутых траекторий на плоскости, получившее в дальнейшем наименование "критерий Бендиксона", а затем возвращается к формулировке теоремы о классификации траекторий 1-й главы своего мемуара, уточняя её содержание.

В заключительной части работы подводятся итоги проведенного исследования, а также дается краткая характеристика основных направлений развития качественной теории дифференциальных уравнений в первой половине XX столетия в трудах советской математической школы.

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Китаев, Давыд Борисович

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3

1. Одни из первых, кто получил существенные обобщения результатов Пуанкаре по изучению качественной картины поведения интегральных кривых на плоскости, был И. Бендиксон. Его исследования по этому вопросу, изложенные в мемуаре 1901 г. "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями", включают следующие разделы: 1) формулировка и доказательство общих теорем дифференциальных уравнений, 2) изучение особых сложных точек дифференциальных уравнений, 3) изучение интегральных кривых в бесконечности.

2. Общие теоремы качественной теории для системы дифференциальных уравнений были сформулированы и доказаны Пуанкаре в предположении, что X и У являются полиномами относительно переменных хну. Бендиксон обобщает результаты Пуанкаре на случай, когда X и У являются функциями непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка. При этом метод Бендиксона существенно отличается от метода Пуанкаре. В то время как Пуанкаре при изучении особых точек опирается на разложение интегралов дифференциальных уравнений в ряды, Бендиксон, опираясь на две фундаментальные теоремы теории дифференциальных уравнений -теорему единственности решения и теорему о непрерывной зависимости решения от начальных данных, использует в основе своего топологического метода исследования понятие предельной точки траектории. Кроме этого Бендиксоном вводятся в рассмотрение новые, важные для изучения интегральных кривых в окрестности особой точки понятия - узловой области и интегральной кривой, проходящей через особую точку. Проводя классификацию особых точек, Бендиксон дает свое определение центра, отличное от определения Пуанкаре. Итогом изучения первой части мемуара является формулировка и доказательство теоремы VII, являющейся обобщением теоремы о классификации траекторий Пуанкаре и получившей в литературе наименование теоремы Пуанкаре-Бендиксона. К формулировке этой теоремы Бендиксон возвращается вновь в конце главы VI, изучая поведение интегральных кривых в бесконечности.

3. Значительное место в мемуаре Бендиксона отводится изучению сложных особых точек - вопросу, который не рассматривался Пуанкаре. Главную роль в этом изучении играет уравнение хп— = ау + Ьх + В(х,у) , в котором аФ О, а В(х, у) означает ряд

Ьс

Тейлора, начинающийся с членов порядка больше 1. Изучение некоторой особой точки дифференциального уравнения оказывается возможным свести к изучению различных уравнений данного вида. Применяя этот метод, Бендиксон показывает, что сложная особая точка в случае равенства нулю только одного из корней характеристического уравнения может быть одного из трех видов: узла, седла и седло-узла. Изучение топологической картины расположения интегральных кривых в окрестности особой точки в случае равенства нулю обоих корней характеристического уравнения представляет наибольшую сложность и Бендиксоном не проводилось. Решение этого вопроса было впервые получено в 1955 г. А.Ф. Андреевым, применившим метод Фроммера, и в 1959 г. H.A. Губарь, применившей метод Бендиксона. Эти исследования показали, что сложная особая точка в последнем случае может быть одним из следующих семи типов: узлом, седлом, фокусом, центром, седло-узлом, вырожденной особой точкой, особой точкой с замкнутой эллиптической областью.

4. Отдельная 6-я глава мемуара Бендиксона посвящена изучению качественной структуры кривых в достаточно удаленных частях плоскости. В этой главе выводится аналитический критерий отсутствия замкнутых траекторий в ограниченной части плоскости, получивший в литературе наименование критерия Бендиксона, а также уточняется формулировка теоремы VII первой части мемуара.

5. Метод Бендиксона нашел в дальнейшем применение при исследовании топологической структуры сложных особых точек системы трех автономных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями, у которых один из корней характеристического уравнения равен нулю, а действительные части двух других корней отличны от нуля. Исследование таких особых точек с точки зрения теории устойчивости было проведено А.М. Ляпуновым, а топологическая структура P.M. Минц. Для случая простой особой точки этот вопрос был изучен ранее И.Г. Петровским.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы:

К 80-м годам XIX века в математике накопилось значительное число результатов, которые можно квалифицировать как проявление идеологии качественной теории дифференциальных уравнений. Она появилась как в самой теории дифференциальных уравнений, так и в разных её приложениях - в гидродинамике, технике, небесной механике. При этом значимость новой проблематики была оценена достаточно рано. Так, например, Брашман еще в 1834 г. высказал убеждение о невозможности решения произвольных дифференциальных уравнений в квадратурах и указал на важность качественного подхода Штурма.

Несмотря на то, что тематика качественной теории дифференциальных уравнений затрагивалась и до работ Пуанкаре, тем не менее, общей постановки задачи и разработки качественного подхода к изучению поведения решений дифференциальных уравнений во всей действительной области у предшественников Пуанкаре мы не находим. Новая качественная проблематика Пуанкаре обладает следующими' характерными особенностями: а) наблюдается переход от локального изучения интегральных кривых к изучению их поведения во всей плоскости действительного переменного. До появления мемуара Пуанкаре преобладал аналитический метод исследования, поведение решений изучалось в окрестности отдельной точки; б) главным средством перехода от локального изучения решений уравнений к их глобальному изучению является использование топологии; в) геометрическая интуиция играет важную роль в построениях Пуанкаре как интуитивное знание, достаточное само по себе. Это находит свое отражение в том, что некоторые из формулируемых им положений принимаются неявно, в то время как требовались бы длинные доказательства и точные предположения.

3. К разработке качественной теории дифференциальных уравнений вскоре после работ Пуанкаре подключился A.M. Ляпунов - создатель математической теории устойчивости. Творчество этого ученого включает три больших цикла исследований: а) устойчивость равновесия и движения механических систем с конечным числом степеней свободы; б) устойчивость фигур равновесия вращающейся жидкости; в) существование фигур равновесия вращающейся жидкости, близких к эллипсоидным.

4. Роль и место новой качественной проблематики были по-разному оценены современниками Пуанкаре - Пенлеве, Адамаром, Леви-Чивита. Работы Пенлеве в теории дифференциальных уравнений характеризуются особой ролью, которую в них играет теория функций комплексного переменного, качественная проблематика не занимает в его творчестве столь значимого и важного места, как у Пуанкаре. В отличие от Пенлеве разработка качественных методов исследования в творчестве Адамара занимает несравненно более значимое место. В 1897 и 1898 гг. Ж. Адамар опубликовал посвященные этой теме два обширных мемуара, развивающие содержание мемуара Пуанкаре.

Другой современник Пуанкаре - итальянский математик Леви-Чивита также уделял качественной проблематике важное место в своих исследованиях. Для творчества этого ученого характерно рассмотрение новых идей в области качественной теории дифференциальных уравнений в контексте задач классической механики.

Первые существенные обобщения результатов Пуанкаре по качественному изучению интегральных кривых на плоскости были получены в исследованиях шведского математика И.О. Бендиксона. В результате этих исследований был сформулирован и доказан ряд общих теорем качественной теории уравнений, проведено изучение сложных особых точек дифференциальных уравнений, изучено поведение интегральных кривых в наиболее удаленных частях плоскости.

В исследованиях Пуанкаре и Бендиксона была получена наиболее полная картина поведения интегральных кривых на плоскости. Те же исследования были проведены в начале XX века Брауэром для случая, когда в системе дифференциальных уравнений не выполняется условие единственности. Для случая, когда п > 2 результаты, полученные Пуанкаре для интегральных кривых на поверхности тора были дополнены в XX столетии работами А. Данжуа и X. Кнезера. Кроме того, следует отметить, что качественная теория дифференциальных уравнений, созданная в конце XIX века, получила в начале XX столетия новый мощный стимул для своего развития в связи с развернутым рассмотрением колебаний в различных областях физики и техники. Несмотря на то, что характер динамических систем, возникающих при рассмотрении задач теории колебаний оказался существенно отличным от характера этих систем в небесной механике, методы Пуанкаре и Ляпунова, развитые применительно к последним, нашли в теории колебаний широкое применение. Данное обстоятельство стимулировало разработку соответствующих методов исследования - аналитических и тополого-аналитических. К числу аналитических, получивших наибольшее распространение, следует, прежде всего, отнести методы Пуанкаре, Ван-дер-Поля, Крылова Н.М. и Боголюбова Н.Н,к числу тополого-аналитических - методы Левинсона и Смита, неподвижной точки и метод Картрайт.

7. Значительный вклад в дальнейшую разработку качественной теории дифференциальных уравнений внесла советская математическая школа. Одно из направлений исследований в этой области связано с доказательством теорем существования решения нелинейных систем дифференциальных уравнений (П.С. Александров, В.В. Немыцкий, Н.В. Адамов и др.).

Другое направление связано с решением упомянутой в разделе 2.2 проблемы центра и фокуса. Методы ее решения, указанные Пуанкаре и Ляпуновым, получили, дальнейшее развитие в трудах К.С. Сибирского, К.Е. Малкина, И.С. Куклеса, А.Ф. Андреева и др.

Исследуя особые точки динамической системы на вещественной плоскости, Пуанкаре показал, что простая особая точка такой системы (т.е. особая точка с ненулевыми характеристическими корнями линейного приближения) может быть седлом, узлом, фокусом или центром. Бендиксон показал, что особая точка с одним нулевым характеристическим корнем может быть седлом, узлом или седло-узлом и дал критерии их различения. Особая же точка динамической системы с двумя нулевыми характеристическими корнями впервые была изучена А. Ф. Андреевым, установившим возможность существования для неё семи топологических типов: седла, узла, фокуса, центра, седло-узла, вырожденной особой точки имеющей два гиперболических сектора, сложной особой точки с эллиптической областью, имеющей один эллиптический и один гиперболический сектор, и давшим критерии их различения.

Особые точки этих типов были подвергнуты затем различными авторами (во главе с Дюмортье) исследованиям на предмет выяснения их бифуркаций при малых изменениях параметров исходных систем.

Изучение свойств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, связано с именами Н.Д. Моисеева, И.Г. Петровского, Н.В. Немыцкого, H.H. Боголюбова, A.A. Андронова, Е.А. Леонтович А.Г. Майера, Л.С. Понтрягина и др.

Кроме этого следует отметить, что изучение расположения интегральных кривых в соединении с проблемами механики привело к появлению двух отраслей науки, тесно связанных с теорией дифференциальных уравнений: теории устойчивости и теории динамических систем. Исследования по теории устойчивости по Ляпунову проводились в

Казани группой ученых, основанной Н.Г. Четаевым совместно с И.С. Малкиным, а также в астрономическом институте Московского университета под руководством В.В. Степанова, а затем Н.Д. Моисеева. Исследования, выполненные по теории динамических систем, проводились A.A. Марковым в Ленинграде, Н.М. Крыловым и Н.И. Боголюбовым в Киеве, A.A. Андроновым и А.Г. Майером в Горьком, а также В.В. Немыцким, А.Я Хинчиным, А.Н. Колмогоровым, Л.С. Понтрягиным, А.Н. Тихоновым и др. в Москве. Некоторые результаты этих исследований были опубликованы в монографии В.В. Немыцкого и В.В. Степанова «Качественная теория дифференциальных уравнений», а также в обзорах журнала «Успехи математических наук».

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Китаев, Давыд Борисович, 2011 год

1. Адамов Н.В. Геометрический смысл условия устойчивости Ляпунова. ДАН, 2 М., (1935), с. 361.

2. Адамов Н.В. Некоторые свойства преобразований, не имеющих интегральную кривую уравнения первого порядка. ДАН, 29 (1940), с. 539-543.

3. Адамов Н.В. Об одном методе последовательных приближений. ДАН, 18 (1938).

4. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИ Укр 1939.

5. Андреев А.Ф. Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Вестник ЛГУ 1955.

6. Андреев А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений. Мн.: ВШ, 1972.

7. Андреев А.Ф. Решение проблемы центра и фокуса в одном случае. Прикладн. матем. и мех., т. 17, вып. 3, 1953.

8. Андронов A.A. и Баутин H.H. Об одном вырожденном случае общей задачи прямого регулирования (9) ДАН СССР, 46 (1945).

9. Андронов A.A. и Витт А.Г. Об устойчивости по Ляпунову. Ж. теор. и экспер. физ., 5 (1933).

10. Андронов A.A. и Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра. Горький. Учен. зап. ун-та, 6 (1938).

11. Андронов A.A. Понтрягин Л.С. Грубые системы, ДАИ, 14 (1937).

12. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М., 1966.

13. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. Мат. Ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1967. Т. 90. С. 3-290.

14. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Докторская диссертация. М., 1965, 344 стр.

15. Аносов Д.В, Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны. ДАН ССССР, 1962, т. 145, № 4, с. 707709.

16. Аносов Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара. Научные доклады высшей школы, физ.-мат. науки, 1959, № 1,3-12.

17. Аносов Д.В. Эргодические свойства геодезических потоков на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. ДАН СССР, 1963, т. 1, № 6, 1250-1252.

18. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

19. Баутин H.H. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокус или центр. Доклады Академии наук СССР, т. XXIV, № 7, 1939.

20. Бендиксон И.О. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. УМН, т. 9,1941.

21. Биркгоф Дж. Д., Динамические системы. М.-Л., 1941.

22. Боль П. Собрание трудов. Рига, 1974.

23. Брашман Н.Д. Общие рассуждения о математическом анализе и пример исследования дифференциальных уравнений по новому способу Штурма. -Ученые записки Московского университета, 1834.

24. Вилейтнер Г. история математики от Декарта до середины XIX столетия. М., I960.

25. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

26. Губарь H.A. Исследование методом Бендиксона топологической структуры расположения траекторий в окрестности особой точки одной динамической системы. Изв. вузов. Радиофизика, т. 2, № 6,1959.

27. Демчишин А.И. Развитие теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII и XIX столетиях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математиматических наук. Киев, 1977.

28. Дюлак Г. О предельных циклах. М., 1980.

29. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела. Мат. сб., 1876, т. 8.

30. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. М., 19701972, т. 1-3.

31. Каменков Г.В. Исследование одного особенного по Ляпунову случая задачи устойчивости по Ляпунову. Казань. Труды авиац. ин-та, 3 (1934).

32. Каменков Г.В. Об устойчивости движения. Казань, Труды авиац ин-та, 6 (1937).

33. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: Изд-во иностр. лит.,1959.

34. Картан Э., Геометрия римановых пространств. М.-Л., Гостехиздат, 1936.

35. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

36. Колмогоров А.Н. Ein vereinfachtes Beweis das Birkhoff-Khintschinschen Ergodensatzes. Матем. сб., 2 (44), (1937).

37. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференцианьные уравнения. М., 1983.

38. Крылов Н.М. и Боголюбов H.H. Приложение методов нелинейной механики и теории стационарных колебаний. Киев, 1934.

39. Куклес И.С. Некоторые признаки отличия фокуса от центра. Труды Узбекского ун-та, вып. 47,1951.

40. Куклес И.С. О методе Фроммера. Изв. АН УзССР, серия физ-мат. наук, № 4, 1957.

41. Куклес И.С. О некоторых случаях отличия фокуса от центра. ДАН СССР, т. 42, № 5, 1944.

42. Куклес И.С. О необходимых и достаточных условиях существования центра. -ДАН СССР, т. 42,1944.

43. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1-2. М., 1950.

44. Леонтович Е.А., Майер А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории. ДАИ, 14 (1937).

45. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ,1960.

46. Ляпунов А.М. Избранные труды. М., 1948.

47. Ляпунов А.М. К вопросу об устойчивости движения. Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-я серия, т.З, №8, 1893.

48. Ляпунов А.М. Книга лекций за 1885-1886 гг. Раздел "Механика систем точек". Известия РАН, 1919.

49. Ляпунов A.M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. -Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-я серия, т.1, 1888.

50. Ляпунов А.М. О форме небесных тел. Вступительная лекция. Известия Академии наук СССР, 1930.

51. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.

52. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. М., 1954-1965.

53. Малкин И.Г. К теории колебаний квазилинейных систем со многими степенями свободы. (8). ПММ, 14:4 (1950).

54. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.-Л., 1949.

55. Малкин И.Г. Некоторые вопросы общей теории устойчивости движения в смысле Ляпунова. М., Диссертация (1937).

56. Малкин И.Г. Некоторые основные теоремы устойчивости движения в критических случаях. Прикл. матем. и мех., 6 (1942).

57. Малкин И.Г. Об устойчивости движения в смысле Ляпунова. ДАН, 15 (1937).

58. Малкин И.Г. Об устойчивости движения по первому приближению. ДАН, 18 (1938).

59. Малкин И.Г. Об устойчивости периодических движений Динамических систем. Прикл. матем. и мех., 8 (1944).

60. Малкин И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Прикл. матем. и мех., 8 (1944).

61. Малкин К.Е. Критерии центра для одного дифференциального уравнения. -Волжский матем. сборник, вып. 2,1964.

62. Малкин К.Е. Условия центра для одного класса дифференциальных уравнений. -Известия вузов, математика, № 1,1966.

63. Марков A.A. Stabilität im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizität. Math. Z., 36 1 (1933).

64. Марков A.A. Sur une propriété générale les ensembles minimeux de BirkhofF. C.R. Acad. Sei., 193 (1931).

65. Матвеев H.M. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М,: Высшая школа. 1963.

66. Математика XIX века. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. М., 1987.

67. Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947 гг. М.-Л., 1948.

68. Минц P.M. О характере счостояния равновесия систем трех дифференциальных уравнений в случае, когда один из корней характеристического уравнения равен нулю. Доклады Академии наук СССР, т. 111,№3, 1956.

69. Моисеев Н.Д. О некоторых общих методах качественного изучения форм движения в проблемах небесной механики, I. О методах контактных характеристик в случае двух степеней свободы. М., Труды астрон. ин-та им. Штернберга, 8:1 (1939).

70. Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. М.-Л, 1949.

71. Немыцкий В.В. Качественное интегрирование системы ^- = Р(х,у), ~ = Q(x.у)в первом приближении. ДАН, 38 (1943).72 dx d

72. Немыцкий B.B. Качественное интегрирование системы — = Р(х,у), — = Q(x, у)dt dtс помощью универсальных сетей ломаных. М., Учен. зап. ун-та, 100 (1946).

73. Немыцкий В.В. Метод неподвижных точек в анализе. (9), УМН, 1 (1936).

74. Немыцкий В.В. Приближенное качественное интегрирование системы уравнений

75. Ц- = Р{х, у), Ц- = д(х, у). ДАН, 38 (1943). Л ш

76. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949.

77. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений. Казань, Изв. физ.-матем. об-ва, 11 (1939).

78. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, 1: 5-6 (15-16), (1946).

79. Петровский И.Г. О поведении интегральных кривых систем дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Матем сб., т. 41, № 1,1934.

80. Погребысский И.Б. К истории качественных методов в теории дифференциальных уравнений. Вторая серия, вып. 2 (37), 1997.

81. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики.Т. 1-3, М., 1971.

82. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., 1944.

83. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики. Изб. труды. М т 1-3,1971-1974.

84. Садовский А.П. Проблема центра и фокуса для аналитических дифференциальных систем. Академия наук Беларуси. Институт математики. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф-мат. наук.

85. Сахарников Н.А. Об условиях существования центра и фокуса. Прикладн. матем. и механика, т. 14, вып. 5,1950.

86. Сахарников Н.А. Об условиях Фроммера существования центра. Институт механики Академии наук Союза ССР. Прикладн. матем. и механика, т. XII, 1948.

87. Сибирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев 1976.

88. Синцов Д.М. Н.Е. Жуковский и классификация особенных точек дифференциальных уравнений первого порядка. Учен. зап. научн.-исслед. кафедр. Укр. Отд. мат., вып. 1,1924.

89. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 1-4. М., 1974-1981.

90. Смирнов В.И. Работы В.А. Стеклова о разложении по ортогональным функциям. В кн.: Юбилейный сборник, посвященный 30-летию Великой Октябрьской революции, т. 1, М.-Л., 1947.

91. Смирнов В.И., Юшкевич А.П. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом. Историко-математические исследования. Выпуск XXIX. М., 1985.

92. Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня. Сообщ. Харьковск. математического о-ва, 2 серия, т. 5, Харьков, 1896.

93. Степанов В.В. О решениях линейного уравнения с периодическими коэффициентами при наличии периодической возмущающей силы. Прикладная математика и механика, т. 3, М., 1950.

94. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.,Л., 1950.

95. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Изд-во ин. литературы. М., 1962.

96. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. Вып. 9,1941.

97. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

98. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1964.

99. Четаев Н.Г. О неустойчивости равновесия, когда силовая функция не есть максимум. Казань. Учен зап. ун-та, 98:9 (1938).

100. Четаев Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики. Казань, Учен. зап. ун-та, 4 (1931).

101. Четаев Н.Г. Одна теорема о неустойчивости. ДАН, 1 (1934).

102. Четаев Н.Г. Теорема о неустойчивости для правильных систем. Прикл. матем. и мех., 8 (1944).

103. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М., ГТТИ (1946).

104. Юшкевич А.П. Исторический очерк. В кн.: Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1953.

105. Юшкевич А.П. История математика в России. М., 1968.

106. Якоби К.Г.Я. Лекции по динамике. Л.; М.: ОНТИ, 1936.

107. Andronov A. A. Les cycles limites de Poincaré et la théorie des oscillations auto-entretenues. C.R. Acad. Sci. 189 (1929).

108. Archives École Polytechnique. Notice sur les travaux scientifiques de M. Jacques Hadamard. 1909. Art. VI, § 1, sect. Ь2.

109. Bendixon I.O. Sur les points singulière des équations différentielles. Acad. fërhandl, Stockholm, 1898.

110. Birkhoff G.D. Stabilitae periodicitanelladinamica, Periodico di Mat., 6,1926, p. 262267.

111. Birkhoff G.D. Stability and the equations of dynamics, Amer. J. Math., 49,1927, p. 138.

112. Bocher M. Randertaufgaben bei genôhnlichen Differentialgleichungen. Enegkl. math. Wissenseh. Bd. 2, Tail. I, Heft 4, Leipzig, 1900.

113. Bocher M. Some theorems concerning linear differential equations of the second order. Bull, of the N.-Y. Math. Soc., t. 6, N. 7,1900.

114. Bocher M. The theorems of oscillation of Sturm and Klein. (First paper). Bull, of the N.-Y. Math. Soc., t. 4, N. 7,1898.

115. Bocher M. The theorems of oscillation of Sturm and Klein. (Second paper). Bull, of the N.-Y. Math. Soc., t. 4, N. 8, 1898.

116. Bocher M. The theorems of oscillation of Sturm and Klein. (Third paper). Bull, of the N.-Y. Math. Soc., t. 5, N. 1, 1898.

117. Borg G. Bounded solutions of a systems of differetiai equations. Ark. Mat. Astr. Fys., 34B, № 24,7 (1948).

118. Bureau F. Recherches sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre et du premier degré. Liège Mém., 1933, (3), 18, p. 25-53.

119. Cartvvright M.L. and Littlewood I.E. Addendum to "On nonlinear differential equations of the second order". Ann. Math., 50 (1949).

120. Cartwright M.L. On nonlinear differential equations of the second order. 1. The equation x + x = ркЛ cos(/Lf + «), к small and Л near 1. Proc. Cambridge Phil. Soc., 45 (1949).

121. D'Alembert J. Extrait de différentes letters de Mr. D'Alembert à Mr. de la Grange.-Hist.Acad. sci. Berlin (1763), 1770,7, p. 235-277.

122. Davidoglou M.A. Sur les zeros des integrales rules des equations linéaires du troisième ordre. Comp. rend. d. l'Acad. d. sei., t. 130, Paris, 1900.

123. Davidoglou M.A. Sur une application de la méthode des approximations successives. Comp. rend. d. l'Acad. d. sei., t. 130, Paris, 1900.

124. Denjoy A. Sur les courbes définies par les equations différentielle à la surface du tore. -Journ. de Math., 1.11, 1952.

125. Dirichlet L. Sur le stabilité de l'équilibre. J.f.reine u angew. Math. 32, (1846).

126. Dulac H. Détérmination et intégration d'une certaine class d'équations différentielles ayant pour point singulier un centre. Bull. sei. math., 32, (1908), p. 230-252.

127. Essai sur le problème des trois corps. Prix de l'Académie des scienses de Paris, t. IX, 1772. Qeuvres de Lagrange, t. VI (1873).

128. Frommer M. Über das Auftreten von Wirbeln und Strudeln (geschlossener und spiraliger Integralkurven) in der Umgebung rationaler Ubestimmtheitsstellen. Math. Ann., 109, 1934.

129. Fuchs L. Über Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin, 1884, Bd. 32, s 669-710.

130. Gambier B. Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale est à points critiques fixés. Acta math., 1909, vol. 33, p. 1-55.

131. Gilain C. La théorie géométrique des equations différentielles de Poincaré et l'histoire de l'analyse. Thèse pour le doctorat de 3-ème cycle présentée par Université Paris. Le 21 Janvier 1977.

132. Hadamard I. Sur l'intération et les solutions asymptotiques des équations différentielles. Bull. Soc. Math. France, 1901, t. 29, p. 224-228.

133. Hadamard J. Sur certains propriétés des trajectoires en dynamique. J. math, pures et appl. Ser. 5,1897.

134. Hadamard J. Sur les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques. J. math, pures et appl. Ser. 5,1898.

135. Hill G.W. On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motion of the Sun and Moon. Cambridge (Mess), 1877; Acta math., vol. 8, 1886.

136. Hill G.W. Recherches in the lunar theory. Amer. J. Math, vol. 1, 1878.

137. Hopf E. Ergodentheorie. Ergebn, Math. u.i. Grenzgeb. 5,1937, Chelsea, 1948.

138. Jacobi C. Vorlesungen über Dynamik, herausgegeben von A. Clebsch, изд. 1866.

139. Kapteyn W. New investigations on the midpoints of integrals of differential equations of the first order and the first degree. Nederl. Acad. Wetensch. Verslagen, Afd. Natuurkunde. 20,1912, p. 27-33.

140. Kapteyn W. On the midpoints of integral curves differential equations of the first order and the first degree. Nederl. Acad. Wetensch. Verslegan, Afd. Natuurkunde., 19,1913, p. 1446-1447.

141. Kirchhoff G.R. Über die Transversalschwingungen lines Stabes veränderlichen Querschnitt-Ber. Kgl. Acad. Wiss. Berlin, 1879, s. 815-828.

142. Klein F. Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung, autographiertea Vorlesungschaft. Göttingen, 1894.

143. Klein F. Zur Theorie der allgemeinen Lame'sche Funktionen. Naehr. der Königl. Ges. der Wiss. Göttingen, N. 4,1890.

144. Kovalevsky S.V. Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. Acta math., 1889, vol. 12, p. 177-232.

145. Lagrange J.L. Mécanique analytique. Vol. 2. Paris, 1855.

146. Laplace P.S. Traite de mecanique Celeste. T. I, Paris, 1799.

147. Levi-Civita T. Amaldi U. Lezichi di Mecanica Razionale, (3 vols), Zanichelli, Bologna, 1923.

148. Levi-Civita T. Condition du choc dans le problème restreint des trois corps. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CXXXV, 1903.

149. Levi-Civita T. Sopra alcuni criteri di instabilita. Annali di Matematica Рига Applicata, serie III, t.V, 1901.

150. Levi-Civita T. Sulla stabilita deU'equilibrio per i sistemi a legami completi. Atti dell'Instituto Veneto, t. LV, 1897.

151. Levi-Civita T. Sur le problème restraint des trois corps. Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. CXXX, 1900.

152. Levi-Civita T. Sur les équations linaiéres à coefficients périodiques et sur le moyen mouvement du noeud lunaire. Annales de l'École Normale Supérieure, t. 28,1911.

153. Levi-Civita T. Sur les systèmes linéaires à deux inconnues, admettant une intégrale quadratique. Annales de Acad. Polytechnica do Porto, t. VII, 1912.

154. Levi-Civita T. Sur les trajectoires singulières du problème restreint des trois corps. -Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CXXV, 1903.

155. Levi-Civita T. Sur l'instabilité de sertaines substitutions. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CXXX, 1900.

156. Liapounoff A. Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoïdes d'une massa liquide homagene donnée d'un movement de rotation. Mémoire présenté à l'Académie des Sciences. Séries I-IV. St.Peterbourg, 1906-1914.

157. Liapounoff A. Sur un problème de Tchebycheff. Записки Российской Академии наук, сер. 8, т. 17, Петербург, 1905.

158. Liapounoff A. Sur l'instabilité de l'équilibre dans certains cas ou la fonction des forces n'est pas in maximum. Journal de Mathématiques pures et appliquées, 5-я серия, т. 3, 1897.

159. Leauté M.H. Mémoire sur les oscillations à longues périodes dans les machines actiones par des moteurs hydrauliques et sur les moyens de prévenir ces oscillations. -Journal de l'École Politéchnique. LV Cahier, 1885.

160. Lützen J. Sturm and Liouville's work on ordinary linears differential équations. The emergtnce of Sturm- Liouville theory. Prepr. № 1. Mat. Inst. Odense Univ., 1982.

161. Mandelshtam L.I. and Papaleksi N.D. Über Resonanzschwingungen bei Frequenzteilung. Z. Physik, 73, 1932.

162. Mawhin I. The centennial legacy of Poincare and Lyapunov in ordinary differential équations. The referency journal of university. Luevene 7, 1993.

163. Mayer F. Mathematische Theorie der transversalen Schwingungen eines Stables von veränderlichen Querschnitt. Ann. Physik und Chemie, t. 33 1888.

164. Minding F. Handbuch der Differential und Integral-Rechnung und ihrer Anwendungen und Geometrie auf Mechanik. Handbuch der theoretischen Mechanik. Berlin, 1838.

165. Painlevé P. Sur les leçones de la théorie analitique des équations différentielles. Paris, 1897.

166. Painlevé P. Memoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme. S.M.F. Bull., 1900, vol. 28, p. 201-261.

167. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixés. -C.r. Acad. Sei. Paris,1906, vol. 143, p. 1111-1117.

168. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme. Acta M., 1902, vol. 25, p. 1-85.

169. Painlevé P. Sur les petits mouvements périodiques des systéms, C.R. Acad. Sciences, Paris, 124(1897).

170. Painlevé P. Sur les singularités essentielles des équations différentielles d'ordre supérieur. C.r. Acad. sei. Paris, 1893, vol. 116, p. 362-365.

171. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen. Math. Zs., 1930, Bd. 32, s. 703-728.

172. Petrovsky I.G. Nachtrag zu meiner Arbeit, Über das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes. MaTeM. co., 42 (1935).

173. Petrovsky I.G. Über das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Nähe lines singulären Punktes. MaTeM. c6., 41 (1934).

174. Picard E. Traite d'analyse. Vol. 1-3. Paris,1891-1896.

175. Poincaré H. Qeuvres complètes. Paris: Gautheir-Villers, 1916-1956.

176. Poincaré H. Sur les courbes définies par une équation différentielle. C. r. Acad. sei., Paris, vol. 90, 1880; vol. 93,1881, vol. 98, 1884.

177. Poincaré H. Mémoire sur les courbes definies par les equations différentielles. J. math, pures et appl. Ser. 3,1881

178. Poisson S.D. Theorie mathématique de la chaleur. Paris, Bachelier, 1835.

179. Porter M.B. Note on the enumeration of the roots of the hypergeometric series between zero and one. Bull, of the N.-Y. Math. See., t. 6, N. 7, 1900.

180. Porter M.B. On the number of roots of the hypergeometric series between zero and one. Bull, of the N.-Y. Math. See., t. 3, N. 8, 1896.

181. Schläfli. Über die Convergenz der Entnicklung einer arbiträren Funktion f{x) nach denBessel sehen Functionen Ja(ß1x),Ja(ß2x), Ja{ß3x). wo die positiven Wurzeln der Gleichnung Ja{ß )=0 vorstellen. Math. Ann.-, t. 10,1876.

182. Strutt J.(Rayleigh) The theory of Sound. London, 1877; 2 ld. London, 1979.

183. Sturm C. Memoire sur les equations differentiales lineaires du second ordre. Journ. math, pures et appl., 1.1, Paris, 1836.

184. Sturm C. Memoire sur une class d'équations à differences partielles. Journ. math, pures et appl., 1.1, Paris, 1836.

185. Sturm J.Ch.F. Analyse d'un memoire sur la résolution des equations numériques. -Mem. savants etranges. Acad. S. Paris, 1835, vol. 6.

186. Van der Pol B. On relaxation oscillations. Philosophical magasine (7), 2, 1926.

187. Van der Pol B. Forced oscillations in circuit with nonlinear resistance. Philosophical magasine (8), 1927.

188. Van'Vleck E. On the polinomials of Stieltjes. Bull, of the N.-Y. Math. Soc., v. 4, N. 7, 1898.