Полиномиальные дифференциальные системы на плоскости: прямолинейные изоклины, оси симметрии, особые точки на экваторе сферы Пуанкаре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ушхо, Адам Дамирович

• Ушхо, Адам Дамирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ушхо, Адам Дамирович

Введение.

Глава 1. Прямые изоклины квадратичных и кубических дифференциальных систем на плоскости.

1.1. Некоторые общие теоремы о прямых изоклинах полиномиальных систем.

1.2. Оценка сверху числа параллельных между собой прямых изоклин кубической системы.

1.3. Оценка общего числа прямых изоклин кубической системы.

1.4. Изучение поведения кубической системы, имеющей инвариантные прямые максимального числа различных направлений.

Глава 2. Оси симметрии поля направлений квадратичных и кубических систем.

2.1. Оси симметрии 1Я-типа полиномиальных дифференциальных систем на плоскости.

2.2. Оси симметрии Э-типа полиномиальных дифференциальных систем на плоскости.

2.3. Качественное исследование квадратичных и кубических систем, имеющих оси симметрии N и £-типа.

Глава 3. Особые точки кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре.

3.1. Особые точки кубической системы на экваторе сферы Пуанкаре. Случай, когда экватор сферы Пуанкаре состоит из траекторий системы.

3.2. Особые точки кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре. Случай, когда экватор сферы Пуанкаре не содержит целой траектории, отличной от состояния равновесия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальные дифференциальные системы на плоскости: прямолинейные изоклины, оси симметрии, особые точки на экваторе сферы Пуанкаре»

Несмотря на бурное развитие вычислительной техники и численных методов, качественные методы интегрирования динамической системы = % = в(х,у), (0.1)

Ш т где Р(х,у) и (2(х,у) - аналитические функции в области Иа Л2, не потеряли своей актуальности и в настоящее время. Это связано с тем фактом, что численные методы во многих случаях позволяют строить лишь локальный фазовый портрет системы, причем при выборе конкретных значений параметров системы, а также при значительных затратах машинного времени и т.п. В то же время качественные методы дают возможность построения глобальной картины поведения траекторий.

Одним из важных вопросов качественной теории дифференциальных уравнений является вопрос о расположении траекторий автономной системы в окрестности изолированной точки покоя. Исследованию этого вопроса посвящен ряд работ как отечественных так и зарубежных математиков. К их числу относится монография А.Ф. Андреева [1], в которой изложены теория и приложения метода Фроммера исследования поведения траекторий системы (0.1) в окрестности изолированной точки покоя. Этой же теме посвящена статья В.В. Немыцкого и Ю.В. Малышева [2], но, в отличие от [1] поведение траекторий в окрестности особой точки здесь изучается с использованием метода функций Ляпунова. На основе использования аппарата обобщенных функций Ляпунова в статье [3] Ю.В. Малышев проводит классификацию исключительных множеств системы ¿¿с/с/г = Х(х), гдеХ(х): £)(=/? "—>11",ВДеС*(£>), (£>1).

Среди большого числа работ, посвященных исследованию динамических систем (0.1), особое место принадлежит системам, правые части которых представляют собой многочлены с действительными коэффициентами. Это обусловлено их фундаментальной ролью в теории дифференциальных уравнений и широким использованием таких систем в качестве математических моделей [4-21].

Методы качественного интегрирования системы (0.1) широко используются в электрорадиотехнике [4, 8], биологии [9], физике [15, 16] и т.д.

В частности, в монографии М.В. Шамолина [17] развиваются качественные методы в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Модель, описываемая кубической дифференциальной системой1, используется для решения практически важной задачи борьбы с вредными насекомыми [12]. Другие применения плоских полиномиальных систем в биологии можно найти в работах [18-21]. Например, с использованием теории бифуркаций проведено параметрическое исследование системы нелинейных дифференциальных уравнений, предложенной Фиц-Хью (FitzHugh-Nagumo equations) [18-20]. Эта система описывает возбуждение нервных мембран и распространение нервных импульсов вдоль аксона. Обобщенная модель «хищник-жертва» представлена системой двух кубических обыкновенных дифференциальных уравнений [21].

С применением теории бифуркаций построена глобальная бифуркационная диаграмма автономной системы кубических дифференциальных уравнений, описывающая динамику процесса кристаллизации [12].

Не только публикации, но и международные симпозиумы, проводимые на постоянной основе, посвящаются различным применениям динамических систем в химии, физике, математике, инженерных науках, экономике [22, 23]. В этом ряду следует выделить конференции, посвященные классическим проблемам плоских полиномиальных векторных полей [24].

Современная качественная теория полиномиальных дифференциальных систем решает вопросы, касающиеся, в основном, исследования классических проблем: различения центра и фокуса; изохронности центра и фокуса; существования, отсутствия, единственности, взаимного расположения и оценки числа предельных циклов, так или иначе связанных с 16 проблемой Гильберта. Обзор работ, посвященных 16-й проблеме Гильберта, можно найти в работе [25].

1 В данной работе мы будем использовать термин «кубическая система» в случае, когда P\\Q — многочлены третьей степени, а если правые части дифференциальной системы многочлены второй степени, то «квадратичная система».

За последние десятилетия большая часть публикаций в российской и зарубежной научной литературе посвящена именно этим проблемам. В этой связи отметим работы [5, 26-47].

А.П. Садовский, А.Ф, Андреев, В.А. Цикалюк, Ю.Л. Бондарь в своих работах [26, 31, 32, 34, 40] решают проблему центра-фокуса для отдельных классов полиномиальных систем, уделяя особое внимание автономным кубическим системам, находят необходимые и достаточные условия существования центра изучаемых систем. Аналогичные задачи решаются в статьях [5,41].

Вопросы существования и числа предельных циклов полиномиальных систем освещаются в работах [29, 33, 34, 43-46].

Среди многообразия работ следует выделить монографию В.Н. Горбу-зова [28], в которой разрабатываются способы исследования аналитических свойств /^-дифференцируемых интегралов и последних множителей систем уравнений в полных дифференциалах и интегралов автономных линейных обыкновенных и многомерных дифференциальных систем.

В работе V. РиШпйса, А. §иЬа [47] проведена классификация кубических дифференциальных систем на плоскости, обладающих шестью инвариантными прямыми трех различных направлений. Для каждого из шести аффинных классов таких систем проведено полное исследование в круге Пуанкаре.

В качественной теории дифференциальных уравнений важная роль отводится таким объектам как изоклины и оси симметрии. Использование этих объектов вносит методологические аспекты при исследовании поведения траекторий. Среди них выделим широко известный «метод двух изоклин» (метод Еругина Н.П. [10]), который в настоящее время активно применяется [48,49]. В фундаментальной работе В.В. Немыцкого [11] указывается на широкие возможности качественного исследования дифференциальных систем с помощью главных изоклин.

Следует подчеркнуть, что в шестидесятые годы прошлого столетия вопросами прямых изоклин квадратичных систем занимались советские математики Л.В. Шахова, А.Н. Берлинский [50-52]. На этот же период приходятся работы К.С. Сибирского и др. авторов [53-54], в которых они используют ими же найденные условия симметрии поля направлений кубического дифференциального уравнения в связи с решением проблемы центра-фокуса.

Среди изоклин системы существенную роль играют прямолинейные изоклины. В пользу актуальности исследования вопросов, связанных с прямыми изоклинами автономных дифференциальных систем на плоскости, говорит и тот факт, что задача нахождения координат состояний равновесия даже квадратичной системы становится трудно разрешимой в общем случае. Знание уравнения хотя бы одной прямой изоклины делает эту задачу реально разрешимой. При этом: а) может быть полностью решена задача определения местоположения всех особых точек системы; б) существенно упрощается решение вопросов, связанных с взаимным расположением периодических решений; в) появляются возможности в оценке сверху числа особых точек второй группы и установлении топологической структуры сложной особой точки.

В связи с вопросом о прямых изоклинах полиномиальных дифференциальных систем на плоскости уместно отметить следующее. Любая инвариантная прямая автономной дифференциальной системы на плоскости является ее прямой изоклиной. Поэтому проблема оценки числа инвариантных прямых полиномиальной дифференциальной системы является частью более общей проблемы оценки числа прямых изоклин. Так, например, в работах [55, 56] доказано, что число инвариантных прямых кубической системы не превосходит восьми и проведено полное исследование системы с семью и восемью инвариантными прямыми. Проблеме оценки числа инвариантных прямых полиномиальных дифференциальных систем на плоскости посвящены также заметки [57, 58]. В [57] опровергается существовавшая в 80-х годах прошлого столетия гипотеза о том, что максимальное число инвариантных прямых плоской системы с взаимно простыми полиномами степени п в правых частях равно 2и + 1, если п — четное и 2« +2, если п - нечетное. При этом построен пример системы с многочленами пятой степени в правых частях, которая имеет 14 инвариантных прямых. Автором [58] доказано, что максимальное число инвариантных прямых полиномиального векторного поля степени 4 равно 9.

Важным инструментом в качественной теории являются преобразования Пуанкаре [59, 60], которые позволяют исследовать поведение траекторий полиномиальных систем в бесконечно удаленных частях плоскости. К теме исследования особых точек кубической системы на экваторе сферы Пуанкаре обращались Ш.Р. Шарипов [61, 62] и И.В. Хайрутдинов [63, 64]. В [61] была предпринята попытка полного исследования распределения особых точек различных типов кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре.

Несмотря на то, что прямые изоклины, оси симметрии и преобразования Пуанкаре давно известны и широко используются, их систематическое исследование по отношению к кубическим системам не достаточно полно.

Дополнению и дальнейшему развитию этих вопросов служит данное диссертационное исследование.

Объект исследования. Дифференциальные системы с полиномами (второго и третьего порядка) в правых частях.

Предмет исследования. Прямолинейные изоклины, оси симметрии, особые точки на экваторе сферы Пуанкаре систем дифференциальных уравнений на плоскости, правые части которых представляют собой полиномы.

Цель работы. Развитие методов качественного интегрирования полиномиальных дифференциальных систем на плоскости, основанных на использовании прямолинейных изоклин, осей симметрии и сферы Пуанкаре.

Задачи работы.

1. Оценка сверху числа параллельных между собой прямых изоклин кубической системы.

2. Оценка общего числа прямых изоклин кубической системы и числа таких же изоклин, но проходящих через отдельную особую точку.

3. Полное качественное исследование квадратичных и кубических систем, имеющих оси симметрии.

4. Изучение поведения траекторий кубических систем в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости.

Методы исследования. В работе используются: методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методы качественной теории, в частности теории бифуркаций, метод двух изоклин Н.П. Еругина. При изучении топологической структуры особых точек в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости используются так называемые преобразования Пуанкаре и метод Бендиксона ([4, 65]). Для визуализации результатов качественного интегрирования конкретных дифференциальных полиномиальных систем использованы программные комплексы Maple, Mathematica, пакет «ТгаХ».

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

В данной работе:

1. Получены оценки сверху числа прямых изоклин и числа параллельных между собой прямых изоклин кубической системы;

2. Разработана теория осей симметрии А/- и ¿'-типа. Доказано, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами /7-ой степени в правых частях, не может иметь четного числа осей симметрии Л^-типа при п=2т, те N. В зависимости от числа осей симметрии А^- и ¿-типов найдены специальные формы записи квадратичных и кубических систем.

3. Проведено качественное исследование в целом квадратичной системы, имеющей одну или три оси симметрии, а также кубической системы, имеющей три или четыре оси симметрии.

4. Проведено полное исследование топологической структуры бесконечно удаленных особых точек кубической системы при условии, что система, полученная в результате переноса начала координат в исследуемую особую точку на экваторе сферы Пуанкаре, имеет невырожденную линейную часть.

Практическая и теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты о прямых изоклинах, осях симметрии и распределении бесконечно удаленных особых точек позволяют существенно упростить качественное исследование в целом полиномиальных дифференциальных систем.

Работа имеет теоретический характер, результаты работы могут быть использованы при качественном исследовании динамических систем, при исследовании различных математических моделей из физики, химии, биологии, экологии, экономики и др., а также при чтении спецкурсов по теории дифференциальных уравнений в вузах.

На защиту выносятся следующие результаты:

Классы квадратичных и кубических дифференциальных систем на плоскости, обладающих тем или иным числом осей симметрии.

Схемы поведения траекторий полиномиальных дифференциальных систем (квадратичных и кубических) на всей фазовой плоскости.

Доказанные теоремы и утверждения:

- об оценке сверху как общего числа прямых изоклин, так и числа таких изоклин, проходящих через отдельно взятую особую точку;

- теоремы об оценке сверху числа параллельных между собой прямых изоклин квадратичной и кубической дифференциальных систем на плоскости;

- утверждения о соотношении между количеством прямолинейных изоклин и количеством особых точек исследуемых дифференциальных систем;

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям» (Минск, 2005 г.), V и VI Всероссийских научных конференциях молодых ученых «Наука, образование, молодежь» (Майкоп, 2008, 2009 гг.), международной конференции к 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Боголюбова. (Черновцы, Украина, 2009 г.), Всероссийской конференции «СамДиф-2009» (Самара, 2009 г.), ХЬУ1 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2010 г.), Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «ПЕРСПЕКТИВА- 2010» (Нальчик, КБГУ, 2010 г.), на научном семинаре математического факультета Воронежского государственного университета, на научных семинарах кафедр математического анализа и теоретической физики АГУ (Майкоп, 2004-2010гг.), XXV Воронежской весенней математической школе «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXII» (Воронеж, ВГУ, 2011).

По теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 5 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Результаты исследования оформлены в виде трех глав. Формулы в каждой главе имеют свою собственную нумерацию, независимую от других глав.

В первой главе доказывается основополагающая теорема о числе прямых изоклин, инцидентных отдельно взятой особой точке полиномиальной системы специального вида. Доказаны теоремы о максимальном числе параллельных между собой прямых изоклин кубической системы общего вида, а также об оценке сверху общего числа прямых изоклин этой же системы.

Вторая глава посвящена изучению квадратичных и кубических систем на плоскости, имеющих оси симметрии И- и Я- типа.

В третьей главе изучены бесконечно удаленные особые точки кубической дифференциальной системы общего вида в случаях, когда экватор сферы Пуанкаре состоит из траекторий системы, и когда экватор сферы Пуанкаре не содержит целые траектории, отличные от состояний равновесия.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ушхо, Адам Дамирович

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Дана оценка сверху числа прямых изоклин дифференциальной системы с полиномами «-ой степени в правых частях. Общее число прямых изоклин этой системы, инцидентных началу координат, не превышает суммы показателей степеней однородных многочленов наименьшей и наибольшей степени.

2. Дана оценка сверху числа параллельных между собой прямых изоклин кубической системы, а именно их число не превышает пяти. Осуществлена классификация этих прямых в зависимости от индуцированных на них направлений.

3. Показано, что общее число прямых изоклин кубической системы не превышает десяти. Приведены примеры систем с девятью и десятью прямыми изоклинами.

4. Разработана теория осей симметрии Ы- и ^-типа. Доказано, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами п-ой степени в правых частях, не может иметь четного числа осей симметрии тУ-типа при п—2т, ше N. Для случаев п=2, 3 проведено полное исследование данной системы на Ы- и ¿¡'-симметрию. В зависимости от числа осей симметрии И- и б'-типов найдены специальные формы записи квадратичных и кубических систем, которые позволяют упростить качественное исследование таких систем.

5. Проведен качественный анализ поведения траекторий кубических систем в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости при условии, что система, полученная в результате переноса начала координат в исследуемую особую точку на экваторе сферы Пуанкаре, имеет невырожденную линейную часть. Установлены все возможные случаи распределения особых точек на бесконечности в зависимости от их топологической структуры. Доказано, что сумма индексов Пуанкаре бесконечно удаленных особых точек удовлетворяет неравенству - 2 < ]Г J < 4.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ушхо, Адам Дамирович, 2011 год

1. Андреев, А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений / А.Ф. Андреев. -Минск: Высш.школа, 1979. 136 с.

2. Немыцкий, В.В. Слабая структурная устойчивость однородных систем / В.В.Немыцкий, Ю.В. Малышев // Известия высших учебных заведений. — 1965. -№3(46).-С. 133-145.

3. Малышев, Ю.В. Исследование и классификация исключительных множеств / Ю.В. Малышев // Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. Сб. - Горький: Горьк. Гос. Ун-т, 1979. - С. 53-59.

4. Андронов, A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкии. -М.: Наука, 1981.-568 с.

5. Волокитин, Е.П. Достаточные условия центра для некоторых классов полиномиальных совершенно изохронных систем / Е.П. Волокитин // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. - Т. 11. - № 1. - С. 37-45.

6. Волокитин, Е.П. Параметрический анализ динамической модели процесса кристаллизации / Е.П. Волокитин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. - Т. III. - № 2(6). - С. 35-42.

7. Калитин, Б.С. Математические модели экономки / B.C. Калитин. Мн.: БГУ, 2004.- 182 с.

8. Капранов, М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.М. Уткин. М.: Наука, 1984. - 320 с.

9. Мари, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии / Дж. Мари. -М.: Мир, 1983. 400 с.

10. Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В.Немыцкий, В.В. Степанов. -М.: Едиториал УРСС, 2004. 552 с.

11. Немыцкий, В.В. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений /В.В. Немыцкий // УМН. 1965. - Т. 20. - Вып. 4(124). - С. 3-36.

12. Ризниченко, Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. / Г.Ю. Ризниченко. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 232 с.

13. Эрроусмит, Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Д. Эрроусмит, К. Плейс. М.: Мир, 1986. - 243 с.

14. Broer, H.W. Global Qualitative Analysis of a Quartic Ecological Model / H.W.Broer, V.A. Gaiko // Elsevier Preprint 16 February 2009. 13 p.

15. Mello, L.F. The Aharonov-Bohm Effect: Mathematical Aspects of the Quantum Flow / L.F. Mello, Y.C. Ribeiro // Applied Mathematical Sciences. 2007. - Vol. 1. -No. 8.-P. 383-394.

16. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472 с.

17. Шамолин, М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела / М.В. Шамолин. — М.: Экзамен, 2007. 349 с.

18. Wilson, H.R. Spikes, decisions and actions. The dynamical foundations of ncuro-sciencc / H.R. Wilson. New York: Oxford University Press, 2005. - 307 p.

19. Волокитин, Е.П. Параметрический портрет системы уравнений Фиц-Хью / Е.П. Волокитин, С.А. Тресков // Матем. Моделирование. 1994. - Т. 6. - № 12. - С. 65-78.

20. Llibre, J. Analytic first integrals of the FitzHugh-Nagumo systems / J. Llibre, C.Vails // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). 2009. -Vol. 60.-P. 237-245.

21. Huang, X. Limit cycles in a cubic predator-prey differential system / X. Huang, Y. Wang, A. Cheng // J. Korean Math. Soc. 2006. - Vol. 43. - No. 4. - P. 829-843.

22. Proceedings of the 7th AIMS International Conference Dynamical Systems and Differential Equations (Arlington, Texas, USA), 2009. 878 p. The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications. Dresden

23. University of Technology Dresden, Germany, May 25 28, 2010. - Режим AocTyna:URL: http://aimsciences.org/iournals/displayPapersl ,isp?pubID=262. Загл. с экрана.

24. Classical problems on planar polynomial vector fields. November 23-28, 2008 BIRS, Banff, Canada. Режим доступа: http://www.birs.ca/testimonials-2009/Testimonials.html. - Загл. с экрана.

25. Ильяшенко, Ю.С. Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. В: «Глобус: Общематематический семинар. Вып. 1» / Ю.С. Ильяшенко. М.: МЦНМО, 2004.

26. Андреев, А.Ф. Проблема центра-фокуса для системы с однородными нели-нейностями в случае нулевых собственных значений линейной части / А.Ф. Андреев, А.П. Садовский, В.А. Цикалюк // Дифференциальные уравнения. -2003. Т. 39. - № 2. - С. 147-153.

27. Горбузов, В.Н. Траектории полиномиальных дифференциальных систем на сфере Пуанкаре / В.Н. Горбузов, И.В. Королько // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38. - № 6. - С. 845-846.

28. Горбузов, В.Н. Интегралы дифференциальных систем / В.Н. Горбузов. -Гродно: ГрГУ, 2006. 447.

29. Долов, М.В. О предельных циклах двумерных систем дифференциальных уравнений с частным интегралом / М.В. Долов, А.Н. Мулько // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2003. - Вып. 1. - С. 4-9.

30. Долов, М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей / М.В. Долов // Дифференциальные уравнения. 2004. -Т. 40. -№6.-С. 838-839.

31. Садовский, А.П. Кубические системы нелинейных колебаний с семью предельными циклами / А.П. Садовский // Дифференциальные уравнения. 2003. -Т. 39. -№4.-С. 472-481.

32. Садовский, А.П. Об условиях центра одной кубической системы дифференциальных уравнений / А.П. Садовский // Дифференциальные уравнения. -2000. Т. 36. - № 1. - С. 98-102.

33. Черкас, JI.А. Методы вспомогательных функций Дюлака и Пуанкаре оценки числа предельных циклов автономных систем на плоскости / J1.A. Черкас, И.Л. Шевцов // Доклады БГУИР. 2004. - № 1. - С. 115-125.

34. Bondar, Y.L. Variety of the center and limit cycles of a cubic system, which is reduced to Lienard form / Y.L. Bondar, A.P. Sadovskii // Buletinul Academiei de Sttnte a Republicii Moldova. Matematica. 2004. - No 3(46). - P. 71-90.

35. Roussarie R. On the geometric structure of the class of planar quadratic differential systems / R. Roussarie, D. Schlomiuk// Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2002. - Vol. 3. - No 1. - P. 93-121.

36. Carriao, P.C. Planar Quadratic Vector Fields with Finite Saddle Connection on a Straight Line (Non-convex Case) / P.C. Carriao, M.E.S. Gomes and A.A.G. Ruas // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2009. - Vol. 7. - C. 417-433.

37. Carriao, P.C. Planar quadratic vector fields with finite saddle connection on a straight line (convex case) / P.C. Carriao, M.E.S. Gomes and A.A.G. Ruas // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2005. - Vol. 6. - No. 2. - 181-202.

38. Schlomiuk, D. Planar Quadratic Vector Fields with Invariant Lines of total Multiplicity at least Five / D. Schlomiuk, N. Vulpe // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2004. - Vol. 5. - P. 135-194.

39. Schlomiuk, D. Integrals and phase portraits of planar quadratic differential systems with invariant lines of at least five total multiplicity / D. Schlomiuk, N. Vulpe // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2008. - Vol. 38. - No 6. - P. 2015-2036.

40. Cozma, D. Solution of the Problem of the Centre for a Cubic Differential System with Three Invariant Straight Lines / D. Cozma, A. Shuba // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2001. - Vol. 2. - P. 129-143.

41. Suba, A. Solution of the Problem of the Centre for Cubic Differential System with Three Invariant Straight Lines in Generic Position / A. Suba, D. Cozma // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2005. - Vol. 6. - P. 45-58.

42. Dumortier, F. Tracing Phase Portraits of Planar Polynomial Vector Fields with Detailed Analysis of the Singularities / F. Dumortier, C. Herssens // Qualitative theory of dynamical systems. 1999. - Vol. 1. - P. 97-130.

43. Feng, H. Limit cycles for a class of polynomial systems and applications / H.Feng, R. Xu, Q. Liu, P. Yang // Electronic Journal of Differential Equations. — 2003. Vol. 105. - P. 1-7. - Режим доступа: URL: http://eide.math.txstate.edu. -Загл. с экрана.

44. Gailco, V.A. Limit Cycle Bifurcations in a Quadratic System with Two Parallel Straight Line-Isoclines / V.A. Gaiko // Reports 08-06 of the Department of Applied Mathematical Analysis Delft: Delft University of Technology, 2008. 13 p.

45. Zhao, Y. Bifurcations of limit cycles from cubic Hamiltonian systems with a center and a homoclinic saddle-loop / Y. Zhao, Z. Zhang // Publicacions Matern antiques. 2000. - Vol. 44. - P. 205-235.

46. Xie, X. Uniqueness of limit cycles for a class of cubic system with an invariant straight line / X. Xie and Q. Zhan // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications.-2009.-Vol. 70. Issue 12. - P. 4217-4225.

47. Putuntica, V. The cubic differential system with six real invariant straight lines along three directions / V. Putuntica, A. $uba // Buletinul Academiei de §tiinte a Re-publicii Moldova. Matematica. 2009. - No 2(60). - P. 111-130. j

48. Gaiko, V.A. On an application of two isoclines method to investigation of two-dimensional dynamical systems / V.A. Gaiko // Advanc. Synerg. 1994. - V. 2. - P. 104-109.

49. Gaiko, V.A. Global Bifurcation Theory and Hilbert's Sixteenth Problem. Series: Mathematics and its applications. V. 559. / V.A. Gaiko. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2003. -182 p.

50. Берлинский, A.H. Некоторые вопросы качественного исследования дифференциального уравнения dy / dx = Р(х, у) / Q(x, у), где Р и О — многочлены не выше второй степени. Дис. канд. физ.-мат. наук. / А.Н. Берлинский. — Ташкент,1959.- 115 с.

51. Берлинский, А.Н. О поведении интегральных кривых одного дифференциального уравнения / А.Н. Берлинский // Известия высших учебных заведений. —1960.-№ 2 (15).-С. 3-18.

52. Шахова, Л.В. О прямых изоклинах / J1.B. Шахова // Труды Самаркандского государственного университета им. Алишера Навои. 1964. - № 144. - С. 93-105.

53. Сибирский, К.С. Принцип симметрии и проблема центра / К.С. Сибирский // Ученые записки Кишиневского госуниверситета. 1955. — Т. XVII. — С. 27 — 34.

54. Сибирский, К.С. Условия симметрии поля направлений некоторого дифференциального уравнения / К.С. Сибирский, И.И. Плешкан // Ученые записи Кишиневского государственного университета. 1957. - Т. 29. - С. 11-14.

55. Любимова, Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми / Р.А. Любимова // Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. Сборник. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1977. - С. 19-22.

56. Любимова, Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми / Р.А. Любимова / Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. Сборник. Горький, 1984. - С. 66-69.

57. Artes, J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems / J. Artes, B. Grunbaum, J. Llibre // Pacific journal of mathematics. 1998. - V. 184. - No 2. - P. 207-230.

58. Sokulski; J. On the number of invariant lines of polynomial vector fields / J. So-kulski // Nonlinearity. 1996. - No. 9. - P. 479-485.

59. Пуанкаре, А. О кривых," определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. М., Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1947. - 392 с.

60. Андронов, А.А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1966. -568 с.

61. Шарипов, Ш.Р. О распределении особых точек на экваторе сферы Пуанкаре / Ш.Р. Шарипов // Труды Самаркандского госуниверситета имени Алишера Навои. 1964. - Вып. 144. - С. 88-92.

62. Латипов, Х.Р. Исследование характеристик уравненияb^x + t>oiy + Q}i^y) на сфере Пуанкаре / Х.Р. Латипов, Ш.Р. Шарипов // Из-dx а10х + аму + Ру\х,у)вестия АН Уз.ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1963. - № 3. - С. 13-17.

63. Хайрутдинов, И.В. О сожительстве особых точек различных типов на сфере Пуанкаре для одной системы дифференциальных уравнений / И.В. Хайрутдинов // Ученые записки Душанбинского пед. ин-та. — 1963. Вып. 4. — С. 59-62.

64. Баутин, H.H. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / H.H. Баутин, Е.А. Леонтович. — М.: Наука, 1976. — 496 с.

65. Тун Цинь-чжу. Расположение предельных циклов системы2 2dxldt = ^alkx'yk, dy/dt = ^Ь^х'ук / Тун Цинь-чжу // Периодический сборник переводов" иностранных статей: Математика. 1962. - Т.6. - № 2. - С. 150-168.

66. Чересиз, В.М. Об изоклинах полиномиальных векторных полей / В.М. Чере-сиз // Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35. - № 6. - С. 1390-1396.

67. Ушхо, Д.С. Прямые изоклины и канонические формы квадратичной дифференциальной системы / Д.С. Ушхо, М.И. Горних // Труды ФОРА. 2002. -№7. - С. 72-82.

68. Ушхо, Д.С. О прямых изоклинах кубической дифференциальной системы / Д.С. Ушхо // Труды ФОРА. 2003. - № 8. - С. 7-21.

69. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. М.: Наука, 1981.-232 с.

70. Тлячев, В.Б. О прямых изоклинах некоторых полиномиальных автономных систем на плоскости / В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо // Труды ФОРА, 2005. № 10. -С. 87-97.

71. Ушхо, А.Д. О прямых изоклинах квадратичной системы / А.Д. Ушхо // Материалы Всероссийской конференции «СамДиф-2009» (29 июня 2 июля 2009). - Самара: Изд-во СГУ. - 2009. - С. 60-61.

72. Виноградов, И.М. Аналитическая геометрия: монография / И.М. Виноградов. М.: Наука, 1986. - 176 с.

73. Ушхо, А.Д. Параллельные прямые изоклины кубичных дифференциальных систем на плоскости / А.Д. Ушхо // Вестник АГУ. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2009. - № 2(49). — С. 16-25.

74. Тлячев, В.Б. Прямые изоклины и особые точки кубичных дифференциальных систем на плоскости / В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо // Вестник АТУ. Серия «Естественно-математические и технические науки». 2010. - № 1(53). - С. 32-57.

75. Zhang, X. On the number of invariant lines for polynomial systems / X. Zhang, Ye Yanqian // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. - Vol. 126.-No. 8.-P. 2249-2265.

76. Putuntica, V. The cubic differential system with six real invariant straight lines along two directions / V. Putuntica, A. §uba // Studia Universitatis. Seria §tiinte Exacte §i Economice. 2008. - No. 8(13). - 5-16.

77. Горбузов, В.Н. Частные интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В.Н. Горбузов, В.Ю. Тыщенко // Математический сборник, 1992-Т. 183, №3.-С. 76-94.

78. Амелькин, В.В. Нелинейные колебания в системах второго порядка / В.В. Амелькин, Н.А. Лукашевич, А.П. Садовский. Минск: Изд-во БГУ, 1982. - 208 с.

79. Дружкова, ТА. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Методическое пособие. Часть первая / Т.А. Дружкова. -Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2005. 37 с.

80. Тлячев, В.Б. Оценка числа различных направлений действительных инвариантных прямых кубической дифференциальной системы на плоскости / В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо // Труды ФОРА, 2009. № 14. - С. 1-4.

81. Ушхо, А.Д. Оценка числа особых точек второй группы кубической дифференциальной системы / А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо // Труды ФОРА, 2005. № 10. -С. 44-50. - Режим доступа: http://fora.adygnet.ru. - Загл. с экрана

82. Тлячев, В.Б. К вопросу о прямых изоклинах полиномиальных дифференциальных систем на плоскости / В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо; Д.С. Ушхо // Вестник Нижегородского университета. Серия «Математика». 2010. - № 1. — С. 156-162.

83. Ушхо, Д.С. О сосуществовании предельных циклов и линейных частных интегралов кубических дифференциальных систем на плоскости / Д.С. Ушхо, А.Д. Ушхо // Труды ФОРА, 2004. № 9. - С. 20-24.

84. Llibre, J. Planar Cubic Polynomial Differential Systems with the Maximum Number of Invariant Straight lines / J. Llibre, N. Vulpe // Rocky Mountain J. Math. -2006. Vol. 36. - No 4. - P. 1301-1373.

85. Ляпунов, A.M. Общая задача устойчивости движения / A.M. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

86. Андреев, А.Ф. Фазовые потоки одного семейства кубических систем в круге Пуанкаре. IV(2) / А.Ф. Андреев, И.А. Андреева // Дифференциальные уравнения и процессы управления (электронный журнал). 2010. - № 4. — С. 6-17.

87. Андреев, А.Ф. Особые точки дифференциальных уравнений / А.Ф. Андреев. -Минск: Высшая школа, 1979. 136 с.

88. Андреев, А.Ф. Введение в локальную качественную теорию дифференциальных уравнений / А.Ф. Андреев. СПб: Изд-во СПб университета, 2003. - 160 с.

89. Андронов, A.A. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / A.A. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1967. - 487 с.

90. Фроммер, М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер / М. Фроммер // УМН. 1941. - № 9. - С. 212-253.