Математические модели динамики некоторых гироскопических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Солдатенко, Ирина Геннадьевна

• Солдатенко, Ирина Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Солдатенко, Ирина Геннадьевна

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Основной математический аппарат и одна теорема об устойчивости, используемые в работе.

Глава 2. Потеря устойчивости стационарного движения гировертикали с радиальной коррекцией.

2.1. Вывод уравнений движения гировертикали с радиальной коррекцией.

2.2. Анализ устойчивости стационарного движения гировертикали.

2.3. Потеря устойчивости стационарного движения и рождение предельного цикла.

Глава 3. Анализ динамической неустойчивости корректируемого гирокомпаса на циркуляции точки подвеса по земной сфере.

• 3.1. Уравнения движения корректируемого гирокомпаса.

3.2. Основные и комбинационные резонансы.

3.3. Построение областей динамической неустойчивости при наличии основных резонансов.,.

3.4. Зоны динамической неустойчивости при комбинационных резонансах.

Глава 4. Периодические решения уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа (ДНГ).

4.1. Уравнения движения ДНГ.

4.2. Теорема Ляпунова о голоморфном первом интеграле.

4.3. Построение периодических решений нелинейной системы, описывающих динамику ДНГ.

Глава 5. Предельный цикл в задаче о движении неуравновешенного ротора, установленного в упругих подшипниках.

5.1. Вывод уравнений движения неуравновешенного ротора.

5.2. Нахождение установившегося движения ротора и анализ его устойчивости.

5.3. Потеря устойчивости установившегося движения и условия рождения предельного цикла.

Глава 6. Численное моделирование динамики гировертикали с радиальной коррекцией и корректируемого гирокомпаса.

6.1. Численное построение предельного цикла в задаче о гировертикали с радиальной коррекцией.

6.2. Численное моделирование динамики корректируемого гирокомпаса.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели динамики некоторых гироскопических систем»

Настоящая работа посвящена исследованию ряда вопросов устойчивости роторных систем, включая гироскопические: гировертикали, одноротор-ного гирокомпаса, динамически настраиваемого гироскопа и неуравновешенного ротора. В задачах представлены модели этих систем, которые адекватно отражают их реальное функционирование. Приборы установлены на неподвижном основании или на движущихся объектах - кораблях, самолетах и т.п. С помощью методов нелинейного анализа уточняется линейная модель, исследуется возникновение периодических режимов и явлений, возникающих при переходе параметров системы через границу области устойчивости.

В первой главе рассматривается математический аппарат, используемый в работе. Основополагающими являются строгие методы анализа устойчивости, разработанные Ляпуновым, а также метод Ляпунова-Пуанкаре построения периодических решений в нелинейных системах. Формулируется теорема Андронова-Хопфа [5], которая дает условия возникновения бифуркации рождения предельного цикла. В работе используется метод осреднения. Использование этого метода в случае резонансов основано на 2-й теореме Боголюбова [И]. Одна из рассматриваемых в работе систем, является системой Ляпунова. В 1-й главе приводится формулировка теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле [16]. Доказывается одно утверждение об устойчивости системы, находящейся под действием диссипативных, гироскопических и неконсервативных позиционных сил. Это утверждение используется в главе 2 при анализе устойчивости гировертикали с радиальной коррекцией.

Вторая глава посвящена исследованию в нелинейной постановке условий возникновения автоколебательного режима гировертикали с радиальной коррекцией. В [2,3] дано описание прибора и рассмотрены уравнения движения в первом приближении.

В [37] решаются две задачи стабилизации стационарного движения неуравновешенного гироскопа в кардановом подвесе. В первой задаче стабилизация осуществляется посредством внешнего неконсервативного момента. С помощью построения функции Ляпунова получено условие стабилизации до асимптотической устойчивости. Во второй задаче стабилизация осуществляется при помощи параметрического возбуждения. Найдено условие стабилизации стационарного движения.

В [1] рассматривалась аналогичная задача без учета масс колец подвеса. В работе [1] рассматривалось возникновение автоколебательного режима гировертикали с радиальной коррекцией при переходе параметров системы через границу области устойчивости и проведен анализ устойчивости стационарного движения, найдено условие возникновения предельного цикла, исследована устойчивость этого режима, а также приближенно найдена амплитуда и период автоколебаний.

В отличие от работы [1], в настоящей работе рассматривается задача об автоколебаниях гировертикали в строгой нелинейной постановке с учетом масс колец подвеса гироскопа. Условия возникновения бифуркации рождения предельного цикла в нелинейных однопараметрических системах при переходе пары корней характеристического уравнения через мнимую ось рассмотрены в [5]. Проверка этих условий требует исследования устойчивости в критическом случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней [32]. Аналитически найдено значение первой ляпуновской величины, которая определяет устойчивость в критическом случае. Если ляпуновская величина отрицательна, то стационарное движение на границе области устойчивости асимптотически устойчиво, в противном случае - нет. Проведено численное моделирование возникающего предельного цикла в случае, когда начальные условия взяты внутри и вне цикла.

В третьей главе рассматривается задача об однороторном корректируемом гирокомпасе, установленном на подвижном основании. Прибор описан в работах [7,13, 27]. Объект, на котором установлен гирокомпас, совершает движение по земной сфере. Моменты управления гирокомпаса формируются с помощью датчиков внешней информации об относительной скорости объекта и текущей широте. Такой метод формирования моментов управления применялся ранее, например, в [7, 27, 8, 9]. В работе [27, 7] в прецессионной постановке были найдены условия асимптотической устойчивости гирокомпаса при произвольном движении объекта, на котором он установлен, по земной сфере. Обобщение этого результата получено в работах [10, 8]. В [8] рассматриваются полные уравнения движения при наличии частичной диссипации в оси подвеса, получены достаточные условия асимптотической устойчивости стационарного решения при произвольном движении точки подвеса прибора по земной сфере.

В [26] в нелинейной постановке рассмотрено движение гирогоризонт-компаса в случае движения точки подвеса по параллели с постоянной скоростью. С помощью построения функций Четаева показано, что на границах устойчивости (характеристическое уравнение имеет пару нулевых корней с непростым элементарным делителем) имеет место неустойчивость. Также в этой работе в области выполнения необходимых условий рассмотрен случай внутреннего резонанса третьего порядка сох =2со2, (&>12 - частоты линейной системы) и показана неустойчивость.

В [25] исследовалась устойчивость двухроторного корректируемого гирогоризонткомпаса при произвольном движении точки подвеса по земной сфере. С помощью построения функций Ляпунова показано, что при формируемых корректирующих моментах невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

В [31] исследовалась динамическая неустойчивость гирогоризонткомпаса на циркуляции при наличии основных и комбинационных резонансов. Построены в первом приближении зоны неустойчивости.

В отличие от [31], в настоящей работе рассматриваются полные уравнения движения однороторного корректируемого гирокомпаса в первом приближении без учета диссипации. Объект, на котором установлен прибор, совершает циркуляцию по земной сфере с постоянной угловой скоростью.

VN = VQCosco0t,

Уе = V0Sinco0t.

Исследуется явление потери устойчивости установившегося движения вследствие наличия основных и комбинационных резонансов. Найдены в первом приближении области динамической неустойчивости при наличии основных и комбинационных резонансов. Теория параметрического резонанса для систем общего вида изложена в [12]. Уравнения движения гирокомпаса представляют собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Области динамической неустойчивости в случае основных резонансов ищутся при помощи метода осреднения [11] с применением 2-й теоремы Боголюбова. Комбинационные резонансы исследуются при помощи метода Хилла, изложенного в [18].

В четвертой главе рассматривается динамически настраиваемый гироскоп (ДНГ). Теория динамически настраиваемых гироскопов и их линейной модели рассмотрена в [15]. В этой работе также предложена полная модель погрешностей ДНГ и исследовано их влияние на точность прибора.

В работе [19] исследовано влияние вибрации на собственные частоты ДНГ. В этой работе рассматривается однокольцевой ДНГ, расположенный на основании, которое совершает вибрации по закону, носящему достаточно общий характер. В частности, вибрации, описываемые квазипериодическими функциями. В рамках линейной модели с помощью линейного преобразования исходная неавтономная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами сводится с заданной точностью к автономной [33]. К последней применяется обобщение теоремы Рэлея на гироскопические системы [34] для анализа эволюции собственных частот, вызванной вибрацией основания. Детальный анализ погрешностей ДНГ, возникающих из-за влияния различных факторов, включая вибрационные перегрузки, представлен в [15]. В [35] выявляются особенности нелинейной модели ДНГ в условиях пространственного движения основания и оцениваются эффекты, возникающие из-за наличия нелинейности в системе, которая обусловлена особенностями кинематики гироскопа, несовершенной упругостью его подвеса, проявляющейся в виде трения гистерезисного типа, конечной изгибной жесткостью и сложным характером деформации торсионов подвеса.

В [50] рассмотрены погрешности ДНГ, работающего в режиме датчика угловой скорости, вызванные вибрациями шарикоподшипниковой опоры.

В настоящей работе ставится задача уточнения линейной модели и учетов нелинейных членов в уравнениях, описывающих поведение прибора. Уравнения движения ДНГ представляют собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющую голоморфный первый интеграл, т. е. система представляет собой систему Ляпунова[32, 16]. С помощью теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле находится двухпараметри-ческое семейство периодических решений, порождаемой каждой из собственных частот системы [28]. Найдены приближенные выражения для периодических решений, а также поправки к собственным частотам колебаний.

В пятой главе рассматривается вращающийся ротор с эксцентриситетом. Ротор установлен в упругих подшипниках, обладающих потенциальной энергией П(г) = ^к0г^ (закон Герца) [24].

Устойчивость установившегося движения в случае подшипников, развивающих линейные реакции, детально исследовалась в монографиях [24, 9]. В работе [23] рассматривалась задача об устойчивости стационарного движения плоского твердого тела под действием центральной силы общего вида и получено условие устойчивости в случае, когда центр масс располагается дальше от притягивающего центра, чем точка приложения центральной силы.

В [48] проведен качественный анализ влияния различных нелинейных факторов на автоколебания одного класса роторных систем. В частности, исследовано влияние сухого трения на установившееся движение ротора.

В работе [38] исследовалась устойчивость стационарного движения вращающегося ротора, установленного в нелинейных подшипниках в случае вращения ротора с переменной угловой скоростью при эксцентриситете равном нулю. С помощью построения функции Ляпунова найдены достаточные условия асимптотической устойчивости установившегося движения вала.

В работе [39] исследовалась устойчивость установившегося движения ротора в упругих подшипниках в критическом случае одного нулевого корня. Получены условия неустойчивости и необходимые условия асимптотической устойчивости.

В [40] р ассматривается случай, когда центр масс находится ближе от притягивающего центра, чем точка приложения центральной силы, устойчивость достигается за счет гироскопической стабилизации, а сама задача решена в нелинейной постановке.

В настоящей работе исследуется устойчивость установившегося движения ротора, которое соответствует явлению самоцентрирования [21]. Рассматривается возникновение предельного цикла при переходе угловой скорости через критическое значение. Для исследования условий возникновения периодического решения требуется исследование устойчивости в критическом случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней. [32, 6, 4]. Показано, что граница устойчивости является «безопасной».

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Солдатенко, Ирина Геннадьевна

Выводы

В работе рассмотрены различные механические объекты, которые все являются гироскопическими системами. Все рассмотренные механические системы исследованы в нелинейной постановке (за исключением корректируемого гирокомпаса), для чего применялись методы разработанные Ляпуновым А. М., Пуанкаре А.

В работе получены следующие результаты.

1. Доказано утверждение об устойчивости системы, находящейся под действием диссипативных, гироскопических и неконсервативных позиционных сил (глава 1).

2. Рассмотрены нелинейные уравнения движения гировертикали с радиальной коррекцией (2.2). Исследована устойчивость стационарного решения, соответствующего случаю, когда плоскости кардановых колец ортогональны, а гироскоп вращается с постоянной угловой скоростью. С помощью доказанного утверждения об устойчивости получено достаточное условие устойчивости системы (2.8). Необходимое и достаточное условие устойчивости системы получено с помощью критерия Рауса-Гурвица, который применяется к характеристическому уравнению системы первого приближения (2.5). Рассмотрено выполнение условий теоремы Андронова-Хопфа. Показано, что два корня пересекают мнимую ось трансверсально. Исследована устойчивость системы на границе области устойчивости в критическом случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет пару чисто мнимых корней. С помощью теоремы Андронова-Хопфа показано, что при переходе параметров системы через границу области устойчивости возникает асимптотически устойчивый предельный цикл. Получено аналитическое выражение для первой ляпуновской величины (2.17). При заданных числовых значениях численно построен предельный цикл. Выполнено численное моделирование уравнений (2.4) при различных значениях s и начальных условиях, взятых внутри радиуса цикла и вне его (рис. 6.1 - 6.5).

3. Рассмотрены уравнения движения корректируемого гирокомпаса в случае, когда объект, на котором установлен гирокомпас, совершает циркуляцию по земной сфере с постоянной угловой скоростью (3.6), представляющие собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений четвертого порядка с периодическими коэффициентами (3.9). Исследована потеря устойчивости при наличии явления параметрического резонанса. Найдены частоты собственных колебаний. С помощью метода осреднения найдены в первом приближении области динамической неустойчивости, соответствующие основным резо-нансам (3.22), (3.27). С помощью метода Хилла найдены области динамической неустойчивости в первом приближении в случае комбинационных резонансов (3.32), (3.33). При заданных числовых значениях найдены частоты циркуляции, на которых возникают резонансы и построены в первом приближении области динамической неустойчивости (рис. 6.6 - 6.9). Проведено численно моделирование дифференциальных уравнений в случае наличия резонанса (рис. 6.10, 6.11).

4. Рассмотрены нелинейные уравнения, описывающие движение ДНГ (4.7). При условии отсутствия внутреннего резонанса с помощью теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле построено двухпараметриче-ское семейство периодических решений, соответствующее каждой из собственных частот системы (4.18),(4.23). Найдены поправки к частотам собственных колебаний.

5. Рассматриваются нелинейные уравнения движения вращающегося ротора, имеющего эксцентриситет (5.1). Исследована устойчивость установившегося движения ротора, соответствующего явлению самоцентрирования (5.3). Получено условие устойчивости установившегося движения. Показано, что два корня пересекают мнимую ось трансвер-сально. Исследована устойчивость на границе области устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней. Показано, что, согласно теореме Андронова-Хопфа при переходе параметров системы через критическое значение возникает асимптотически устойчивый предельный цикл.

93

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Солдатенко, Ирина Геннадьевна, 2006 год

1. Агафонов С. А. Об автоколебании гировертикали с радиальной коррекцией// Известия РАН. Механика твердого тела. - 1993. - №3. - С. 32-36.

2. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. - 344с.

3. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация -М.: Наука, 1976.-672с.

4. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 532с.

5. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 368с.

6. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 208с.

7. Ройтенберг Я. Н. Гироскопы. М.: Наука, 1966. - 399с.

8. Агафонов С. А., Об устойчивости корректируемого гирокомпаса // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1978. - №2. - С. 74-78.

9. Агафонов С. А., Шульман И. Ш. К теории корректируемого гирогори-зонткомпаса // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1977. -№6.-С. 87-91.

10. Шульман И. Ш. Достаточные условия асимптотической устойчивости корректируемого гирокомпаса // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1975. - №3. - С.

11. Журавлев В.Ф., Климов Д. М. Прикладные методы теории колебаний. -М.: Наука, 1988.-327с.

12. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. -М.: Наука, 1987. 328с.

13. Кошляков В. Н. Теория гироскопических компасов. М.: Наука, 1972. - 344с.

14. Кошляков В. Н. Аналитические методы в динамике твердого тела. М.: Наука, 1985.-288с.

15. Пельпор Д. С., Матвеев В. А., Арсеньев В. Д. Динамически настраиваемые гироскопы: Теория и конструкция. М.: Машиностроение, 1988.-264с.

16. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.-400с.

17. Новиков J1. 3., Шаталов М. Ю. Механика динамически настраиваемых гироскопов. М.: Наука, 1985. -245с.

18. Kotera Т. Notes of approximate solution of systems with parametric excitation// Strojnicky casopis. 1980. -N 31. - P. 251-267.

19. Агафонов С. А., Матвеев В. А. О влиянии вибрации основания на собственные частоты динамически настраиваемого гироскопа // Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. - №3. - С.5-10.

20. Агафонов С. А. Об устойчивости неконсервативных систем и оценка области притяжения // Прикладная математика и механика. -2003.-Т.67, №2. С.209-213.

21. Меркин Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора, установленного в нелинейных подшипниках // Прикладная математика и механика. 1983. - Т.47, вып. 3. - С.378-384.

22. Жбанов Ю.К. Об устойчивости вращающегося вала// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1981. - №3. - С. 157-161.

23. Журавлев В.Ф. Об устойчивости стационарных движений плоского тела в поле центральной силы // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - №4. - С. 71-76.

24. Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. М.: Наука, 1987.-320с.

25. Агафонов С.А., Шульман И.Ш. К теории корректируемого гирогори-зонткомпаса // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1977. -№6.-С. 87-91.

26. Ройтенберг Я. Н. Корректируемый гирогоризонткомпас // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29, вып. 4. - С. 723-728.

27. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. -М.: Наука, 1978.-312с.

28. Жбанов Ю. К. Решение уравнений движения гирогоризонткомпаса при конечных углах отклонений от меридиана // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1973. - №4. - С. 102-104.

29. Agafonov S. A. Stability and motion stabilization of nonconservative mechanical systems // Journal of Mathematical Sciences. Dynamical Systems. -2002.-V. 83.-P. 4419-4497.

30. Агафонов С. А. О неустойчивости гирогоризонткомпаса на циркуляции // Известия РАН. Механика твердого тела. 1991. - №4. - С. 13-15.

31. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. - Л.: Гостехиздат, 1935.-386с.

32. Агафонов С.А. О стабилизации движения неконсервативных систем посредством параметрического возбуждения // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - №2. - С. 199-202.

33. Журавлев В.Ф. Обобщение теоремы Рэлея на гироскопические системы // Прикладная математика и механика. 1976. - Т.40, вып. 4. - С. 606610.

34. Збруцкий А. В., Павловский М.А. Динамически настраиваемый гироскоп в условиях пространственных движений основания // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1981. - №1. - С. 16-26.

35. Жбанов Ю. К. Исследование свободных колебаний в системе автономного определения координат движущегося объекта И Прикладная математика и механика. 1960. - Т. 24, вып. 6. - С. 1024-1029.

36. Агафонов С.А. Две задачи стабилизации стационарного движения неуравновешенного гироскопа в кардановом подвесе // Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. - №4. - С. 11-16.

37. Агафонов С.А. Стабилизация движения неконсервативных систем посредством стохастического и детерминистического возбуждения // Вестник МГТУ. Естественные науки. 1998. - №1. - С. 122-124.

38. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. М.: Издательство АН СССР, 1959. - 347с.

39. Агафонов С.А. Об устойчивости установившихся движений вращающегося ротора // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1989. -№6. -С.61-65.

40. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе.-М.: Наука, 1978.-208с.

41. Кошляков В. Н. Об устойчивости вращающейся консоли // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1979. - №6. - С. 17-20.

42. Agafonov S. A. On the stability of nonconservative systems with estimation of the attraction domain // J. Dyn. Contr. Sist. 2000. - V. 6, N. 4. - P. 503510.

43. Старжинский B.M. Прикладные методы теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1977.-255с.

44. Kirillov O.N., Seranian А.Р. Stabilization and destabilization of a circulatory system by small velocity-dependent forses // Journal of Sound and Vibration. 2005. - V. 283. - P. 781-800.

45. Kirillov O.N. A theory of the destabilization paradox in non-conservative systems // Acta Mechanica. 2005. - V. 174. - P. 145-166.

46. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами//Прикладная математика и механика. 1960. - Т. 24, № 6. - С.979-987.

47. Тондл А. Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979. - 429с.г

48. Брозгуль JI. И., Смирнов Е.Л. Вибрационные гироскопы. М.: Машиностроение, 1970. - 214с.ч*

49. Матвеев В. А., Подчезерцев В. П. Погрешности динамически настраиваемого гироскопа от подшипниковых вибраций // Вестник МГТУ. Приборостроение. 1999. - №1. - С. 40-48.

50. Солдатенко И. Г. Бифуркация рождения цикла в одной гироскопической системе // Моделирование динамических систем и исследование устойчивости: Тез. докл. международной конф. Киев, 1999. - С. 75.

51. Солдатенко И. Г. Возникновение автоколебательного режима гировертикали с радиальной коррекцией // Метод функций Ляпунова и его приложения: Тез. докл. V Крымской международной математической школы. Алушта, 2000. - С. 131.

52. Солдатенко И. Г. Параметрическая неустойчивость однороторного корректируемого гирокомпаса на циркуляции // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2002. - №2. - С. 61-64.

53. Солдатенко И. Г. Анализ устойчивости однороторного корректируемого гирокомпаса на циркуляции // Метод функций Ляпунова и его приложения: Тез. докл. VI Крымской международной математической школы. Алушта, 2002. - С. 141.

54. Солдатенко И. Г. О периодических решениях динамически настраиваемого гироскопа // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. СПб, 2003. - С. 206-209.

55. Солдатенко И. Г. Построение периодических решений уравнений динамически настраиваемого гироскопа // Моделирование динамических систем и исследование устойчивости: Тез. докл. международной конф. -Киев, 2003.-С. 358.

56. Солдатенко И. Г. О периодических решениях динамически настраиваемого гироскопа // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Приборостроение. 2004. - №1. - С. 65-73.

57. Солдатенко И. Г. О существовании предельного цикла в задаче о движении вращающегося ротора в упругих подшипниках // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сб. трудов. М. : Логос, 2005.-С. 571-579.

58. Солдатенко И. Г. Возникновение автоколебательного режима вращающегося ротора в упругих подшипниках // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. Всероссийской конф. М., 2005. - С. 169-170.