Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Рязанова, Мария Викторовна

• Рязанова, Мария Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рязанова, Мария Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Исследование устойчивости и качественный анализ механических систем с одной степенью свободы на основе свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей

§ 1. Введение

§2. Множитель Эйлера. Инвариантность свойства устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

§3. Классификация состояний равновесия и траекторий. Индекс состояния равновесия

§4. Конечность числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия .<.

§5. Дивергентные условия неустойчивости по Ляпунову и отсутствия асимптотической устойчивости по Ляпунову.

§6. Характер состояния равновесия системы со знакопостоянной дивергенцией

§7. Характер состояния равновесия системы с нулевой дивергенцией поля скоростей

§8. Знакопеременность дивергенции в эллиптической области и в кольцевой области центрофокуса.

§9. Индексное условие неустойчивости по Ляпунову

§10. Индексно-дивергентные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.

§11. Оценка зоны притяжения состояния равновесия системы с отрицательной дивергенцией поля скоростей

§12. Условия асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия системы с неположительной дивергенцией и положительным якобианом поля скоростей

§13. Исследование фазового портрета на основе свойств скалярного и векторного произведений.

ГЛАВА 2. Исследование устойчивости механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств индекса, якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей.

§ 1. Введение

§2. Множитель Якоби и его свойства. Условия существования множителя Якоби

§3. Индекс состояния равновесия. Необходимые индексные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову состояния равновесия

§4. Дивергентные условия неустойчивости по Ляпунову состояния равновесия

§5. Примеры

§6. Неограниченность зоны асимптотической устойчивости состояния равновесия системы с неположительной дивергенцией.

§7. Дивергентные условия орбитальной устойчивости и неустойчивости предельного цикла

§8. Дивергентные условия отсутствия предельных циклов.

§9. Роторные условия отсутствия предельных циклов.

§10. Условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову состояния равновесия системы с однородным полем скоростей.

ГЛАВА 3. Исследование устойчивости и качественный анализ теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств

§1. Введение

§2. Асимптотическая устойчивость движения железнодорожного экипажа, моделируемого дифференциальным уравнением второго порядка

§3. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость движения поезда в режиме тяги

§4. Качественный метод Н.Н. Лузина исследования скалярного уравнения движения железнодорожного экипажа и его развитие для случая векторного уравнения.

§5. Приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина и анализ метода

§6. Применение приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина для интегрирования уравнения движения рельсового экипажа

§7. Влияние профиля пути на характер движения рельсового экипажа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы»

Актуальность темы и обзор результатов, относящихся к теме диссертации. Многие теоретико-механические модели задаются обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и системами дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Исследование устойчивости движения, фазового портрета траекторий и получение новых условий устойчивости состояний равновесия и предельных циклов являются актуальными задачами теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы. В частности, доказательство наличия или отсутствия устойчивых предельных циклов (автоколебаний) у механических систем с конечным числом степеней свободы является трудной и актуальной задачей, для решения которой в настоящее время не существует общего метода.

Вопросы теории устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова и Н.Е. Жуковского, в работах отечественных и зарубежных ученых: H.H. Боголюбова, H.H. Лузина, Н.Г. Четаева, H.H. Красовского, С.А. Чаплыгина, В.В. Румянцева, В.М. Матросова, В.В. Степанова, A.C. Гали-уллина, В.Г. Веретенникова, К.П. Персидского, В.В. Немыцкого, Б.П. Деми-довича, A.A. Шестакова, Е.А. Гребеникова, Ю.А. Рябова, Н.П. Еругина, В.М. Миллионщикова, И.А. Галиуллина, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа, В. Коп-пела, Н. Левинсона, О. Перрона, Л. Чезари и других ученых. Методы Ляпунова и Пуанкаре получили дальнейшее развитие в многочисленных работах [1 - 4,6, 7, 10, 11, 13, 15, 16, 19, 24-29,31,33,36,38-40, 45, 47-49, 58, 60-62, 6668, 70 - 72, 76 - 78, 90 - 93, 98 - 99] и других.

Вопросы устойчивости состояний равновесия и предельных циклов и характер фазового портрета траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа векторного поля скоростей этих систем изучались в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович и А.Г. Майера, H.H. Кра-совского, М.А. Красносельского, В.В. Немыцкого, В.В. Степанова, В.П. Жукова, A.A. Шестакова и А.Н. Степанова, Г. Дюлака, X. Браухли, Ч. Олеха, Ф. Хартмана, JI. Маркуса, Ж. Фронтеа, В. Богуша и других ученых. К таким характеристикам векторного поля скоростей относятся значения индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаки якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей в соответствующих областях пространства состояний.

Изучение устойчивости и качественного поведения механических систем с конечным числом степеней свободы на. основе анализа поля скоростей механической системы представляет большой теоретический интерес. Результаты исследований в этой области могут быть эффективно использованы для решения разнообразных задач, возникающих при исследовании механических, физических и технических систем, в частности, систем динамики железнодорожного транспорта.

В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового подвижного состава и необходимостью увеличения критических скоростей движения актуальной задачей является изучение качественного поведения и устойчивости теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта.

В настоящей диссертации получены новые результаты, а также развиты, дополнены и уточнены известные результаты А. Пуанкаре [43], A.A. Андронова [1], H.H. Красовского [26], А.Н. Степанова [50 - 51],Ч. Олеха [87], A.A. Шестакова и А.Н. Степанова [52], X. Браухли [68], Ф. Хартмана [77], Ф. Хартмана и Ч. Олеха [78], Ж. Фронтеа [75], Ли Ли [84] об устойчивости и неустойчивости -состояний равновесия и предельного цикла механических систем на основе анализа свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей механической системы с конечным числом степеней свободы х = g(x), где х — п -мерный вектор состояния механической системы. Фазовый портрет (фазовая диаграмма) есть совокупность всех фазовых траекторий в фазовом пространстве состояний. Трудами А.А.Андронова и его последователей [1, 2] фазовый портрет механической системы стал рабочим аппаратом анализа и синтеза различных теоретико-механических моделей.

Перейдем к обзору некоторых результатов, относящихся к теме диссертации. Важную роль в нелинейных задачах качественного исследования состояний равновесия и периодических движений механических систем с конечным числом степеней свободы играют целочисленные характеристики поля скоростей: вращение векторного поля на замкнутых кривых и индекс состояний равновесия. Методы исследования вращения и индекса восходят к О. Коши. Дальнейшее их развитие связано с именами Л. Кронекера и А. Пуанкаре и изложено в [1-3], [24-25].

Пусть Ь — замкнутая гладкая ориентированная линия на Я2, не проходящая через состояния равновесия системы

- = 81(х1,Х2), = (1) ш ш

Вращением поля (^¿Гг) скоростей системы (1) вдоль линии Ь называется деленное на 2л приращение угла, составляемого вектором поля в точке А е Ь, с некоторой фиксированной осью /, когда точка А проходит линию Ь в положительном направлении. Индексом 1пё [а] изолированного состояния равновесия х = а системы (1) называется вращение поля (¿^Яг) вдоль замкнутой линии Ь, не содержащей других состояний равновесия, кроме х = а. Пусть задана система сЬс = £(*), X = (*,,.,*„), (2) ш и пусть £ — замкнутая гладкая (п -1) -мерная поверхность и в окрестности 5 п задано непрерывно дифференцируемое векторное поле g(x) = ^|gi(x)e¡, где е1 I

- единичный вектор по оси х1. Вращением поля ¿-(х) на поверхности называется интеграл где ¿у„! - {п -1) -мерный объем единичной (п -1) -мерной сферы, п — орт внешней нормали к £. Индексом 1пс1 [а] изолированного состояния равновесия х = а системы (2) называется вращение поля (£15.,,§„) на замкнутой поверхности Я, окружающей состояние равновесия х = а и не содержащей других состояний равновесия, кроме х = а.

В [24] показано, что 1) если индекс состояния равновесия х = а системы = 51(^1 >^2)» §2(х\>х2) с одной степенью свободы отличен от единицы, то состояние равновесия х = а не обладает свойством устойчивости по Ляпунову; 2) индекс изолированного состояния равновесия системы х1=х2, х2 = F01, х2) равен 1, -1 или 0. Исследование индекса устойчивого по Ляпунову состояния равновесия х=а системы х, = gi(xl,x2У.,xn), / = 1,2,.,л, с конечным числом степеней свободы проведено в работах [62] и [68], в которых показано, что индекс 1пс1(а) асимптотически устойчивого состояния равновесия х=а равен +1, если п - число четное и равен —1, если п — число нечетное. Для устойчивого состояния равновесия х=а системы с конечным числом степеней свободы индекс 1пс1(а) может быть любым целым числом.

Дивергенция поля скоростей была использована А. Пуанкаре [43] для изучения орбитальной устойчивости предельного цикла для системы с одной степенью свободы. Рассмотрим векторное поле g(x) = (gl(x),g2(x),.,gn(xУ) системы (2). Дивергенцией сИу g поля называется скалярная величина

Имеют место следующие соотношения, эквивалентные между собой:

- = AdlVg(x), ш

3) t

А = ехр |сЦу g(x)dt,

4) о

5)

1Ь-Упх. Формулы (ЗМ5) называются формулами Лиувилля [13, 75]. Особо важную роль играет третья формула Лиувилля (5). Поясним смысл формул. Пусть £> <= Я" — есть некоторая область пространства Я", а £>(/) — образ области £) в момент времени /, т.е. £)(/) = ^>(Дг) есть область, занимаемая в момент времени г точками, которые при t = 0 занимают область £); здесь (р{с^) - решение системы (2) при начальном условии (р{с, 0) = с.

Непосредственным следствием формулы Лиувилля (5) является следующий факт [13, 75]: если дивергенция системы (2) тождественно равна нулю, то фазовый поток системы сохраняет объем у(/) области Э.

А. Пуанкаре показал, что если временное среднее от дивергенции вдоль замкнутой траектории отрицательно (положительно), то предельный цикл асимптотически орбитально устойчив (орбитально неустойчив). Этот дивергентный признак был усилен в работе С. Заремба [97]. И. Бендиксон [65] установил дивергентный признак отсутствия в односвязной области замкнутых кривых, составленных из траекторий системы с одной степенью свободы: если дивергенция знакопостоянна в области фазового пространства, то в этой области не содержится замкнутых кривых, составленных из траекторий системы. Аналогичный признак установил и Г. Дюлак [18]. И. Бендиксон получил индексный признак для различения характера состояния равновесия системы вида где [Х1,Х2]2 — аналитические функции, разложения которых не содержат линейных членов. Если индекс состояния равновесия системы равен +1, -1, 0, то со стояние равновесия является соответственно узлом, седлом и седло-узлом. И. Бендиксон установил также формулу

Ind (а) = 1 + Hi^LHIl 2 связывающую индекс Ind(a) состояния равновесия х = а с числом пе эллиптических секторов и числом щ гиперболических секторов.

Условия асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия были впервые сформулированы H.H. Красовским [26] следующим образом: состояние равновесия дг = 0 системы класса С1 с одной степенью свободы асимптотически устойчиво в целом, если выполнены неравенства div(gbg2)<-ci<0, VxeR2, \g(x)\ > с2\х\, VxeR2, где с\,с2 — положительные постоянные. Однако условия H.H. Красовского недостаточны даже для локальной устойчивости. Например, система 5с{ = -2х,, х2 = х2 удовлетворяет условиям H.H. Красовского, но состояние равновесия х1 = х2 = 0 этой системы неустойчиво по Ляпунову.

Ч. Олех [87] усилил условия H.H. Красовского и получил следующий результат. Состояние равновесия х = 0 системы х, = gl(х{,х2), x2 = g2(xl,x2) асимптотически устойчиво в целом, если выполнены условия: 1) функции gi и

1 2 g2 принадлежат классу С на R ; 2)х = 0 есть единственное состояние равновесия системы, являющееся точкой положительного притяжения; 3) существуют числа р > 0, г > О такие, что |g-(x)| > р, \х\ > г > 0; div (gi, g2) < 0, xeR2. Кроме того, Ч.Олех в [88] получил другие условия для асимптотической устойчивости в целом: если система с одной степенью свободы такова, что: 1) div(gpg2)<0 \fxeR2, 2) |g(x)| > а(|xj) V|x|>r0, где or(-) - неотрицательная интегрируемая функция, обладающая свойством

00 a{t)dt = оо; о

3) имеется конечное число состояний равновесия, каждое из которых асимптотически устойчиво в малом, то система имеет одно асимптотически устойчивое в целом состояние равновесия.

Ф. Хартман [77], Ф. Хартман и Ч. Олех [78] рассмотрели задачу об асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия при следующих предположениях: х)>0, сПу(£Ь£2)<0, хеЯ2, 3/>0, |£(х)|>/|х|, хеД2, где £)(,§■, л:) - якобиан поля скоростей ^(х).

Вопросы классификации глобального фазового портрета системы с одной степенью свободы изучали В.Каплан [80], Е.А.Леонтович и А.Г.Майер [2], Н.П.Еругин [19], В.В.Немыцкий [38, 39], Л.Маркус [85] и другие ученые. Е.А.Леонтович и А.Г.Майер [2] выделяли некоторое минимальное число траекторий, зная которое, можно судить о поведении всех остальных траекторий.

1 2

Л.Маркус [85] показал, что если система класса С на Я с изолированными состояниями равновесия не имеет предельных сепаратрис, отличных от состояний равновесия, то с точностью до топологической эквивалентности фазовый портрет системы определяется совокупностью всех сепаратрис системы плюс одной траекторией, взятой из каждой элементарной ячейки, на которые сепаратрисы разбивают фазовую плоскость механической системы.

В работах Н.П.Еругина [19], В.В.Немыцкого [38], С.А.Маркосяна [34] выделены некоторые классы механических систем, для которых даны аналитические признаки для различения возможных фазовых картин траекторий. В [19] и [38] развит метод функций Ляпунова для исследования в целом траекторий системы, а в [34] применен метод двух изоклин, т.е. кривых, определяемых уравнениями £1(3:1, Х2) = 0 (изоклина бесконечности) и g2(x\i х2) = 0 (изоклина нуля).

Указанная терминология относится к уравнению вида = . Исходя из вида изоклин нуля и бесконечности и знаков функции g¡, в [34] установлена асимптотическая устойчивость в целом специальной квазилинейной системы. А.Н. Степанов [50] рассмотрел вопрос о качественном поведении системы ~ §20^1') ПРИ следующих предположениях: а) функции ^ и g2 принадлежат классу С1 и система имеет неположительную дивергенцию поля скоростей всюду на R ; б) имеется конечное число изолированных состояний равновесия; в) система не имеет седла в бесконечности в смысле В.В. Немыц-кого. Кроме того, А.Н. Степанов изучил случай, когда система имеет изоклину gi(*i»*2) = 0. Для исследования устойчивости состояния равновесия им был применен метод функций Ляпунова, причем предполагались известными знаки компонент gi и gi в областях, на которые изоклина разбивает окрестность состояния равновесия, а также знак дивергенции div(gi,g2) вблизи состояния равновесия.

Дивергентные методы исследования устойчивости состояний равновесия механических систем, описываемых нестационарными уравнениями вида x = g(t,x), х = (xj,.,:cn), рассматривались в [20].

Вопрос о существовании предельных циклов и их орбитальной устойчивости рассматривался в [2, 15, 24, 25, 73, 76, 84].

Исследованию уравнения движения поезда посвятили свои работы крупнейшие русские ученые академики H.H. Лузин [31] и С.А.Чаплыгин [57]. H.H. Лузин установил, что для определения движения поезда важно знать его установившееся движение и задача определения движения поезда может быть разбита на две задачи: 1) задачу определения движения на протяжении некоторого фиксированного отрезка пути после остановки; 2)задачу определения установившегося движения поезда. H.H. Лузин показал, что первая задача требует полного интегрирования скалярного дифференциального уравнения вида du/ds = Q(u) + P(s) и эффективно может быть решена методом С.А.Чаплыгина [30], а вторая задача сводится к случаю периодического профиля и, стало быть, к нахождению периодического решения уравнения движения поезда. В случае периодических профилей уравнение движения поезда является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, для которого имеются разработанные методы нахождения периодических решений. С.А. Чаплыгин предложил приближенно-аналитический метод интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения и рассмотрел вопросы о приближенном интегрировании уравнения движения поезда на криволинейном подъеме и при переходе с горизонтального пути на наклон. Для приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина имеет место такая же быстрая сходимость, как и для метода касательных Ньютона решения алгебраических уравнений (начиная с некоторого п, сходимость погрешности к нулю имеет порядок 2~2") [57].

Описание и систематизация различных типов теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств, дано в работах H.A. Панькина [41], В. Гарга и Р. Дуккипати [12], C.B. Вершинского, В.Н.Данилова и В.Д. Хусидова [8], Ю.И. Першица [42], Ю.М. Черкашина и A.A. Шестакова [59], О.В. Дружининой [17], A.A. Шестакова, Ю.М. Черкашина и О.В. Дружининой [63], К. Knothe [81], Е. Law и N. Cooperrider [82], T. Matsu-daira [86], H. True и С. Kaas-Petersen [94], A. Wickens [96], N. Cooperrider [69] и работах других авторов. В работах [41, 42] изучена устойчивость в смысле Ляпунова движения поезда с помощью первого метода Ляпунова. Работы [81, 82] посвящены динамике и устойчивости движения транспортных средств и носят обзорно-исторический характер. В работах [17, 63] рассмотрены вопросы устойчивости в смысле Ляпунова и прочности в смысле Жуковского траекторий механических систем железнодорожного транспорта. В работах [69, 86, 96] решены конкретные задачи об устойчивости движения двухосных рельсовых средств.

Объект исследования. В работе рассмотрены механические системы с конечным числом степеней свободы, моделируемые нелинейными обыкновенными стационарными дифференциальными уравнениями вида x = g(x), xeR", п> 2, при различных предположениях на знаки якобиана, дивергенции, ротора вектора скоростей g,{xь хп), / = 1,2,.,«, п> 2, в соответствующих областях фазового пространства или во всем пространстве; механические системы железнодорожного транспорта, моделируемые обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями.

Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости и качественного поведения стационарных механических систем, описываемых нелинейными уравнениями вида x = на основе анализа поля скоростей g(x) этих моделей; в изучении устойчивости движения теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта; в развитии качественного метода Н.Н.Лузина исследования теоретико-механических моделей, описываемых векторно-мат-ричным уравнением вида du /ds = P(s) + Q{u); в применении приближенно-аналитического метода С.А. Чаплыгина для интегрирования уравнений движения транспортных механических систем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы общей механики; метод характеристичных чисел Ляпунова и метод функций Ляпу нова; метод фазовой диаграммы; метод интегральных инвариантов; прямые качественные методы, основанные на использовании свойств индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаков якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей механической системы в соответствующих областях фазового пространства; качественный метод H.H. Лузина и приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина исследования уравнений движения поезда.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые теоремы об устойчивости и качественном поведении механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств векторного поля скоростей; установлены оценки зоны притяжения механических систем с одной степенью свободы; изучены особенности фазового портрета механической системы с одной степенью свободы при наличии неположительной дивергенции; дополнена геометрическая классификация состояний равновесия механических систем, базирующаяся на понятии тригонометрической устойчивости в смысле Биркгофа; установлена конечность числа эллиптических и гиперболических областей, примыкающих к состоянию равновесия механической системы; получены новые признаки устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов стационарной механической системы с конечным числом степеней свободы; проведено качественное и приближенно-аналитическое исследование теоретико-механических моделей, отписывающих движение рельсовых т ранс-портных средств. Развит качественный метод H.H. Лузина для случая векторного уравнения движения железнодорожного экипажа. Вопросы об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения поезда в режиме тяги впервые рассмотрены с помощью метода функций Ляпунова и метода, основанного на свойствах индекса и дивергенции.

Практическая значимость. Индексные, дивергентные, индексно-дивергент-ные и роторные условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов эффективны при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения механических, физических и инженерных систем с конечным числом степеней свободы. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании устойчивости, при моделировании и приближенно-аналитическом интегрировании уравнений динамики железнодорожного транспорта.

Предложенные условия устойчивости систем железнодорожного транспорта могут служить основой методик по тестированию на асимптотическую устойчивость и неустойчивость движения поезда в режиме тяги. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004 гг.);

- на научном семинаре по методам нелинейного анализа в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН;

- на международной конференции в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения "Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее" (Москва, 2001 г.);

-на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2003 г.);

-на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании в Российском университете дружбы народов (2005 г.);

-на международном семинаре "Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics" в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);

- на Всероссийской научной конференции по проблемам математики, физики, химии и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г.).

Личный вклад в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач, а другим соавторам — рассмотрение ряда технических деталей.

Публикации. По теме диссертации и близким вопросам опубликованы работы [1* - 18*]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1* - 14*].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 116 наименований на русском и иностранных языках. В каждом параграфе принята двойная нумерация формул (утверждений): первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая цифра — порядковому номеру формулы (утверждения). При ссылках на формулы (утверждения) предыдущих глав обязательно указывается номер главы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Рязанова, Мария Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты настоящей диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. На основе свойств индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей механической системы с одной степенью свободы установлены условия асимптотической устойчивости и неустойчивости в целом состояния равновесия, а также выяснены особенности фазового портрета на плоскости траекторий механической системы с одной степенью свободы на основе указанных свойств.

2. Для механической системы с конечным числом степеней свободы, поле скоростей которой имеет неположительную или отрицательную дивергенцию, установлены оценки зоны притяжения в случае устойчивых состояний равновесия.

3. Для механической системы с конечным числом степеней свободы получены индексные и дивергентные условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и дивергентные условия отсутствия и наличия устойчивых предельных циклов, а также установлены роторные условия отсутствия предельных циклов у механической системы в случае п = 3.

4. Выяснены условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для теоретико-механической модели, описывающей движение поезда в режиме тяги.

5. Проведен качественный анализ теоретико-механической модели движения рельсового экипажа на основе метода H.H. Лузина.

6. Дано применение метода С.А. Чаплыгина для приближенно-аналитического интегрировании уравнений движения рельсового экипажа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рязанова, Мария Викторовна, 2005 год

1. Андронов А. А., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

4. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

5. БиркгофДж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

6. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

7. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.

8. Вертинский C.B., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. М.: Транспорт, 1991.

9. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем. М.: Научный мир, 2001.

10. Галиуллин A.C., Мухаметзянов H.A., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

11. Галиуллин И.А. К исследованию структурной устойчивости прецессионного движения планет // Астрономический вестник. 1999. Т. 33. № 1. С. 1—7.

12. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава / Под ред. H.A. Панькина. М.: Транспорт, 1988.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

14. Демин Ю.В., Длугач Л.А., Коротенко М.Л., Маркова О.М. Автоколебания и устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1984.

15. Дружинина О.В. Критерий устойчивости в смысле Ляпунова семейства периодических решений // Доклады РАН. 2000. Т. 371. №3. С.329-332.

16. Дружинина О.В. Вопросы устойчивости и прочности математических моделей железнодорожного транспорта // НТТ — Наука и техника транспорта, 2002. №2. С. 42-50.

17. ДюлакГ. О предельных циклах. М.: Наука, 1980.

18. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом // ПММ. 1950. Т. XIV. Вып. 5.

19. Жуков В.П. Полевые методы исследования нелинейных механических систем. М.: Наука, 1992.

20. Жуковский Н.Е. О прочности движения // ПСС. Т. 1. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937. С. 110-208.

21. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений нелинейных механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка// Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: МАИ, 2002.

22. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика//УМН. 1948. Т. 3. Вып. 6.

23. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко 77.77. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

24. Красносельский М.А., Забрейко 77.77. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

25. Красовский H.H. О поведении в целом интегральных кривых систем двух дифференциальных уравнений // ПММ. 1954. Т. XVIII. С. 735-737.

26. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

27. Ла Салль Ж.П., Лефгиец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

28. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений М.: ИЛ, 1961.

29. Лузин H.H. О методе приближенного интегрирования академика С.А. Чаплыгина//Труды ЦАГИ. 1932. Вып. 141. С.1-32.

30. Лузин H.H. О качественном исследовании уравнения движения поезда//Матем. сборник. 1932. Т.39. №3. С. 6-26.

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.—Л.: Гос-техиздат,1955.

32. Малкин И.Г. Существование функций Ляпунова // Изв. Казанского физ.-матем. общества. 1929/30. III.4. С. 51-62.

33. Маркосян С. Качественное исследование систем двух дифференциальных уравнений методом изоклин// Изв. Вузов. Матем. 1959. №1. С. 114-128.

34. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

35. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

36. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М. — Л.: ГИТТЛ, 1949.

37. Немыцкий В.В. Некоторые методы исследования в целом характеристик уравнения ^ = // Вестник МГУ. Сер. Матем. 1961. №5. С. 25-43.dx Р{х,у)

38. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. №3. С. 359-370.

39. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостезиздат, 1949.

40. Панъкин H.A. Движение поезда в период трогания с места // Труды МИИТа. 1970. Вып.ЗЮ. С.63-72.

41. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГТТИ, 1947.

42. Пуанкаре А. Избранные труды. T.l. Т.2. М.: Наука, 1971, 1972.

43. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

44. Романков В.В. , Романкое A.B. Признак стремления к нулю решений дифференциального уравнения второго порядка // Современные методы исследования динамических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. Трудов. М.:РГОТУПС, 2000. С. 92-94.

45. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №5. С. 739776.

46. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

47. Савчин В.М. Математические методы механики непотенциальных систем. М.: Изд-во УДН, 1991.

48. Степанов А.Н. Качественное исследование автономной дифференциальной системы с помощью знака функций от правых частей // Дисс. канд. физ.-матем. наук. М., 1976.

49. Степанов А.Н., Шестаков A.A. О дивергентных критериях для различения типов особых точек // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Сб. научн. трудов. Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П. Огарева, 1974. С.10-17.

50. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953.

51. Тун Цзинъ-Чжу. Расположение предельных циклов системы= , —= 1>,**У //Сб. переводов "Математика". 1960. №2.dt 02/=* 22 dt 02/=/t£2

52. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.-JL: ОНТИ НКТП, 1937.

53. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер. // УМН. 1941. №9. (Math. Ann. 1928. V. 99).

54. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: ГИТТЛ,1950.

55. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

56. Черкашин Ю. М., Шестаков А. А. Об устойчивости движения железнодорожного подвижного состава // Труды ВНИИЖТ. М.: Транспорт, 1982. С. 42-49.бО.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М., ГИТТЛ, 1964.

57. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

58. Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. 1979.Т.18. №4. С. 650-661.

59. Шестаков А.А., Черкашин Ю.М., Дружинина О.В. Устойчивость и прочность движения детерминированных динамических систем железнодорожного транспорта // Транспорт: Наука, техника, управление. Сб. обзорной информации. М.: ВИНИТИ РАН, 2003. № 12. С. 10-15.

60. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах: введение в теорию диссипативных структур. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.

61. Bendixon I. Sur les courbes définis par des equations différentielles // Acta Mathematica. 1901. V. 24. P. 1-88. (Русский перевод первой главы : И.Бендиксон. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // УМН. 1941. №9.)

62. Bogusz W. Determination of stability regions of dynamic non-linear systems //Arch. Mech. Stos. 1954. V.l 1. №6. P.691-713.

63. Bogusz W. Asymptotic stability with no ocsillation of autonomic systems with one degree of freedom // Problems of vibration (Warsawa). 1963. V. 4 № 3. P. 291-300.

64. Brauchli H.I. Index, Divergenz und Stabilität in Autonomen Systemen // Zürich: Abhandlung Verbay, 1968.

65. Cooperrider N.K. The lateral stability of conventional railway trucks // Proc. of the First International conference on vehicle mechanics. Detroit: Wayne State University, 1986. P. 37-67.

66. Coppel W.A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations. Boston: Heath and Co., 1965.

67. Dancer E.N., Orteg R. The index of Lyapunov stable fixed points // J. Dyn. Differential Equations. 1994. V. 6. P. 631-637.

68. Demidowitsch W.B. Eine Verallgemeinerung des kriteriums von Ben-dixson // Z. angew. Math. Mech. (ZAMM). 1966. V. 46. P. 145-146.

69. Diliberto S.P. On systems of ordinary differential equations // Ann. Of Math. Stud. 1950. V. 20. P. 1-38.

70. Erle E. Stable equilibria and vector field index // Tonoloqy Appl. 1993. V.49.P.231-233.

71. Fronteau J. Le theoreme de Liouville et le probleme general de la stabilité. Geneve, 1965.

72. Giesl P. Unbounded basins of attraction of limit cycles // Acta. Math. Univ. Comenianae. 2003. V. LXXII. № 1. P. 81-110.

73. Hartman P. On stability in the large for systems of ordinary differential equations // Canad. J. Math. 1961. V. 13. P.480-492.

74. Hartman P., Olech C. On global asymptotic stability of solutions of differential equations //Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 104. P. 154-178.

75. Kaiman R.E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Trans. ASME. 1957. V.79. P.553-563.

76. Kaplan W. Topology of level curves of harmonic functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. V.63. P. 514-522.

77. Knothe K., Böhm F. History of stability of railway and road vehicles // Vehicle System Dynamics. 1999. V.31. P.283-323.

78. Law E.N., Cooperrider N.K. A survey of railway vehicle dynamics research // J. Dynamic Systems, Measurement and Control. 1974. V. 96. P. 132-146.

79. Leighton P. On the constructions of Liapunov functions for certain nonlinear differential equations // Contrib. Differential Equations. 1963. V. 2. P. 367-383.

80. Li Li The properties and applications of the integrating factor in the qualitative theory of ordinary differential equations //Appl. Math. Mech. 1982. V.3. №3. P. 419-431.

81. Markus L. Global structure of ordinary differential equations in the plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 76. №1.

82. Matsudaira T. Hunting problem of high-speed railway vehicle with special reference to bogie design for the new Tokaido line // Proc. Inst. Mech. Eng. London. Part 3F. 1966. V. 180. P. 58-66.

83. Olech C. On the global stability of an autonomous system on the plane. // Contrib. differential equations. 1963. V. 1 № 1. P.3 89^00.

84. Olech C. Globalphase portrait of a plane autonomous system // Ann. Inst. Fourier. 1964. Y.14. P.87-95.

85. Ruiz del Portal F.R. Planar isolated and stable fixed points have index 1 // J. of Differential Equations. 2004. Y.199. P.179-188.

86. Skowronski J. Multiple nonlinear lumped systems. Warsaw: Polish Scientific Publishers, 1969.

87. Skowronski J., Ziemba S. Some complementary remarks on the delta method for determining phase trajectories of systems with strong non-linearity // Arch. Mech. Stos. 1958.V.10. №5. P.699-706.

88. Smith R.A. Existence of periodic orbits of autonomous ordinary differential equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1980. V.85. P. 153-172.

89. Smith R.A. An index theorem and Bendixson's negative criterion for certain differential equations of higher dimension // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1981. V. 91. P. 3-77.

90. True H., Kaas-Petersen C. A bifurcation analysis of nonlinear oscillations on railway vehicles // Proc. of 8th IAVSD Symposium. 1983. P. 655-665.

91. Whitney H. Regular families of curves // Ann. of Math. 1933. V.34. P. 244-270.

92. Wickens A.H. Non-linear dynamics of railway vehicles // Vehicle System Dynamics. 1986. V. 15. P.289-301.

93. Zaremba S.K. Divergence of vector fields and differential equations // Amer. Journal of Math. 1954. V.LXXVI. P.220-234.

94. Ziemba S. Free vibrations with damping of marked non-linear character // Arch. Mech. Stos. 1957. Y. 9. №5. P. 525-548.

95. Ziemba S. Vibrations of mechanical systems // Arch. Mech. Stos. 1958. V. 10. №5.