Разрешимость уравнений сжимаемой жидкости Бингама тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Басов, Иван Владимирович

• Басов, Иван Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Басов, Иван Владимирович

Введение

1 Разрешимость уравнений баротропных течений сжимаемой жидкости Бингама

1.1 Постановка задачи и основные результаты.

1.2 Построение приближённых решений

1.3 Равномерные оценки галёркинских приближений

1.4 Сходимость приближённых решений.

1.5 Глобальные априорные оценки.

1.6 Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния.

1.7 Единственность сильного обобщённого решения.

1.8 Существование слабого решения.

2 Разрешимость уравнений сжимаемой теплопроводной жидкости Бингама

2.1 Постановка задачи и основной результат.

2.2 Построение приближённых решений

2.3 Равномерные оценки галёркинских приближений

2.4 Сходимость галёркинских приближений.

2.5 Глобальные априорные оценки

2.6 Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния.

2.7 Единственность сильного обобщённого решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешимость уравнений сжимаемой жидкости Бингама»

Общие положения и обзор известных результатов

Движение сжимаемой теплопроводной жидкости, занимающей объём О, С К", описывается ([1]-[3]) системой, состоящей из уравнения неразрывности (баланса массы) рг + сНу(ри) = 0, (х,1)еОх(0,Т), (0.1) уравнения изменения импульса рщ + ри- Уи = сЫР+/^, (х^)бПх(0,Т), (0.2) и уравнения баланса энергии р{е1 + и • Уе) = (КуЬ + Р : © + рв, (х, ^ € О х (0, Т). (0.3)

Здесь х - радиус-вектор точки пространства, [0,Т] - промежуток времени, на котором рассматривается движение, р = р(х, £) - плотность, и = и(х,£) - вектор скорости, Р(х, £) - тензор напряжений, g(x, £) -вектор массовых сил, е = е(х, ¿) - удельная энергия, Ь = И(х, ¿) -вектор теплового потока, 1 (д\х (ди

- тензор скоростей деформаций, й = я(х,£) - плотность поступления тепла. Уравнения (0.1)-(0.2) иногда называют ещё уравнениями Навье-Стокса сжимаемой жидкости.

При изучении движений определённой сплошной среды уравнения (0.1)-(0.3) дополняются заданием вектора массовых сил g, плотности поступления тепла 5 и определяющих термодинамических и реологических соотношений.

Термодинамические соотношения связывают вектор теплового потока 1х с термодинамическими параметрами (удельной энергией г и плотностью р). Зависимость тензора Р от е, р и тензора Р определяют реологические соотношения.

Актуальность математических исследований уравнений (0.1)-(0.2) основывается на разнообразии их приложений, стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Результаты и методы, разрабатываемые при изучении проблем механики сплошных сред, имеют своё место в теории дифференциальных уравнений, и, соответственно, представляют самостоятельный научный интерес. Исследования корректности указанных задач способствуют разработке вычислительных методов для их решения.

Введём в рассмотрение температуру среды 9 = 9(х, £). Выразим удельную энергию е через р и 9 и зададим вектор теплового потока законом Фурье Ь = к,49, где к = к(р,в) - теплопроводность. Тогда уравнение (0.3) переписывается в виде уравнения для температуры сур{91 + и • \70) = <1пг(/сУ0) + Р : Р + /об, (0.4) де где су = сь(р,в) = ^(р,9) - теплоёмкость. ив

Реологическое соотношение задаётся равенством Р = —р\ + Р', где р = 0) - давление, а Р' - вязкая часть тензора напряжений, которая в следствие неравенства Клаузиуса-Дюгема должна удовлетворять неравенству

Р': Ю> > 0.

В большинстве математических исследований по данной тематике Р' выражается функцией от /э, 9 и В, которая для изотропных сред имеет вид п

Р = (0.5)' о где скаляры щ могут зависеть от р, 9 и инвариантов ., ^{Щ тензора В. Жидкости, в которых соотношению (0.5) соответствует запись

Р' = А/1(Р)Е + 2/2Ю), где коэффициенты вязкости Ли р (р > 0 и ЗА + 2 р > 0), возможно, зависят от термодинамических параметров, называются ньютоновскими. Все остальные зависимости между Р, Ю, р и 9 называются ненью- ^ тоновскими, поскольку подразумевают нелинейную связь тензоров Р и "

Р. Физические аспекты нелинейной зависимости между Р и Ю> рассмо- " трены в [4, 5, 6].

Произведён широкий спектр исследований корректности одномерных моделей движений сжимаемой жидкости [7]-[18]. Первоначально изучались баротропные течения жидкости, т.е. течения без учёта температуры, описывающиеся уравнениями (0.1)-(0.2). Имеющиеся результаты различаются по гладкости решений, по законам для давления и напряжённого состояния (в том числе, когда коэффициенты вязкости зависят от плотности). Однако, во всех этих исследованиях предполагалась линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций. В работах о корректности одномерных моделей вязкого теплопроводного газа вязкость считалась постоянной.

Известные на сегодняшний день результаты о корректности многомерных моделей сжимаемой жидкости относятся к баротропным течениям. В первых опубликованных в этой области работах [19, 20] доказывается единственность классического решения соответствующих уравнений. Затем удалось установить существование решений этих уравнений в предположениях о малости отклонения начальных данных от состояния равновесия [21, 22] или локально по времени [23].

Исследования уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости в целом по времени [24]-[28] привели в 1994 году к доказательству корректности двумерной модели [29], когда вязкости являются степенными функциями от плотности. Причём, в этой работе было доказано как существование и единственность классического и сильного обобщённого решений, так и существование слабого обобщённого решений. После этого были опубликованы работы о разрешимости многомерных моделей, в которых вязкости являлись степенными [30] или экспоненциальными [31, 32] функциями от компонент тензора скоростей деформаций. В первой из этих работ [30] было введено понятие мерозначного решения и доказано его существование, а во двух других [31, 32] установлено существование слабого обобщённого решения для модели Бюргерса (с постоянным давлением). Изучение уравнений с экспоненциальной зависимостью тензора напряжений от тензора скоростей деформаций продолжилось доказательством существования слабого обобщённого решения для модели с давлением, линейно зависящим от плотности [33, 34].

С начала исследований в этой области наибольший интерес проявлялся к разрешимости классической модели (где коэффициенты вязкости Ли /л константы), и в 1998 году были получены соответствующие результаты [35].

Также в 1990-х начали публиковаться работы о корректности различных приближённых многомерных моделей для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости [36]-[40].

Однако существует большое количество природных и искусственных сплошных сред для которых запись закона напряжённого состояния в виде (0.5) неприемлема в силу неоднозначного определения тензора Р' по заданным Ю), р и 9. Например, существуют материалы, которые текут как обычная вязкая жидкость только при интенсивности напряжений ср(Р') большей чем предельное значение Tq = const > 0 (зависящее от материала). А в областях течения этих сред, где <£>(Р') < tq предполагается жёсткое течение, задающееся уравнением Р = 0. Такие материалы называются жидкостями Бингама [41, 42]. Примерами подобных сред являются суспензионные потоки с большой плотностью твёрдых частиц [43], неочищенные нефти, цементы [44].

Первым описание таких явлений произвёл Бингам [41]. Он рассматривал одномерные движения несжимаемой жидкости в слое 0 < х\ < 1 с вектором скорости вида и = (0,M2(:ri),0) (естественным образом, предполагалось, что размерность пространства п равна 3). В этом случае все компоненты тензора Р' = р1^ за исключением р'12 и р'21 равны нулю. Тоже самое справедливо и для компонент тензора Р. При дщ/дх\ > 0 и р'12 > 0 Бингам постулировал следующие соотношения ди2 , ди2 , , = 0 при рп < т0 и fi— = ри - т0 при рп > г0, где ¡1 - вязкость. Затем Хохенемсер и Прагер [45, 46] обобщили закон Бингама для произвольного течения несжимаемой жидкости, полагая

Ю> = 0 при < т0 и = (1 - го/^(Р'))Р' при р(Р') > г0, где <^(Р') неотрицательная функция, первого порядка однородности, являющаяся инвариантом относительно поворота системы координат например, = у |Р' : Р')- Для сжимаемой жидкости эти соотношения модифицируются в уравнения

Р = 0 при <^(Г) < г0 и ( ,

АЛ(Ю>)1 + 2/хВ = (1 - г0/^(Г))Г при ^(Г) > г0, [ ' } из которых в силу свойств функции следует выражение для Р' при Ю) ф О

Р' = ( 1 + /лт/пЛ о ^ 1 (ШЩ1 +

Математические исследования модели жидкости Бингама производились ранее лишь для модели несжимаемых течений. В [47, 48] изучалась корректность задачи о многомерных течениях несжимаемой жидкости Бингама. Имеются результаты об одномерных течениях несжимаемой жидкости Бингама в цилиндрических координатах [49, 50].

В первой главе настоящей диссертации установлена однозначная разрешимость (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) в целом по времени и существование слабых обобщённых решений (в смысле интегральных тождеств) начально-краевой задачи о баро-тропном течении сжимаемой жидкости с законом напряжённого состояния, удовлетворяющим некоторым условиям. Данные условия выполняются, в частности, для закона напряжённого состояния Бингама. Указанные выше работы о корректности моделей баротропных течений сжимаемой жидкости не допускают законы напряжённого состояния, рассматриваемые в главе 1. Результаты главы 1 опубликованы в [59, 60, 61, 62, 63].

Во второй главе обоснованы теорема существования и теорема единственности обобщённого решения (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) начально-краевой задачи о течении нелинейно вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости, чей закон напряжённого состояния удовлетворяет ряду условий. Требования, налагаемые в теоремах главы 2, различаются, но в обоих случаях допускается закон напряжённого состояние Бингама. В главе 2 используется схема получения глобальных априорных оценок, предложенная В.А. Вайгантом

15]. Следует отметить, что результат второй главы является первым опубликованным [64] результатом о корректности модели теплопроводной сжимаемой жидкости с нелинейным законом напряжённого состояния.

Постановка задач, исследованных в диссертации

В диссертации рассматриваются уравнения, описывающие одномерные вертикальные движения горизонтальных слоёв жидкости. Среда занимает область 0 = {0<ж<1}, течение происходит вдоль оси х со скоростью и. Все искомые величины, находятся функциями от х и t, определёнными в замыкании Q области Q = Q х (О,Г). В этом случае тензор скоростей деформаций имеет единственную нетривиальную компоненту Du = их. Из (0.6) следует, что тензор тоже имеет лишь одну ненулевую компоненту Р'п, которую в дальнейшем будем обозначать а. Предполагается, что Ли//, указанные в (0.6), являются константами. Соответственно, закон Бингама (0.6) принимает форму их = 0 при |сг| < сг0 и их = (1 — <jQ/\a\)a/v при |сг| > (То- (0.7)

Здесь положительные константы ао и v определяются константами Л, /1, го и свойствами конкретной функции используемой в (0.6).

Например, в случае значения и о и г/ находятся из следующих равенств ст0 = \/2г0, v = \ + 2\i.

Выражая в (0.7) а через их, получим соотношения а = ао sign^) + vux при ихф 0, и \и\ < а0 при их = 0. (0.8)

Для удобной, с математической точки зрения, записи монотонных разрывных зависимостей типа (0.8) поступим по аналогии с задачей Стефана для уравнения теплопроводности [51, 52, 53]. Введём в рассмотрение выпуклую функцию F (s) : Е 4 1 и запишем соотношение между сг и их в виде т G dF(ux), (^i)çg, (0.9) где dF(s) = {a G М| - s) < F(Ç) - F (s) V£ G M} - субдифференциал функции F (s).

Цель данной диссертации заключается в нахождении условий на функцию F (s), достаточных для существований и единственности решений некоторых начально-краевых задач, полученных добавлением начальных и краевых условий к редуцированным уравнениям (0.1)-(0.3). Все условия, налагаемые на функцию F (s) в данной диссертации, допускают F(s) вида F (s) = cr0|s| + vs2/2, для которой запись (0.9) соответствует закону (0.8).

В рассматриваемых предположениях об одномерности движения, уравнение неразрывности (0.1) принимает вид pt + {pu)x = 0, (x,t)eQ. (0.10)

Отбрасывая из векторного уравнения (0.2) тривиальные компоненты и предполагая отсутствие внешних массовых сил, приходим к уравнению р(щ + иих) = ах - рх, (x,t)eQ. (0-11)

Аналогично, не учитывая воздействие внешних источников тепла, выводим из (0.4) уравнение pcv(6t + ивх) = (квх)х - рих + аих, (x,t) Е Q. (0.12)

Далее будем предполагать, что cv и к - положительные константы. Дополним уравнения краевыми условиями прилипания и = 0, (x,t) £ dQ х (0, Г) (0.13) и термоизоляции

0Х = О, (x,t) Е <9fi х (0,Т), (0.14) а также начальными условиями и(х,0) = и0(х), р(х,0) = ро(х), х е fi, (0.15)

0(х,О) = 0о(я), х ^ fi (0.16) с заданными функциями щ(х) : fi —> IR, ро(х) : fi —> Ш и 0о(х) : fi Е.

В настоящей диссертации исследуется корректность следующих задач.

Задача А (о баротропном течении нелинейно вязкой сжимаемой жидкости)

Пусть давление р является заданной функцией р(р) плотности р, функции начальных данных (ро,щ)(х) : О, —» R2 заданы, dF(s) - субдифференциал заданной функции F(s) : R —> М.

Найти тройку функций (р,и,а) : Q —> М3; удовлетворяющих включению (0.9), уравнениям (0.10), (0.11), краевым условиям (0.13) и начальным условиям (0.15).

Задача Б (о течении теплопроводной нелинейно вязкой сжимаемой жидкости)

Пусть давление р задаётся соотношением р = Rp9 (R = const > 0), функции начальных данных (ро>щ,6)(х) : $7 —> IR.3 заданы, dF(s) является субдифференциалом заданной функции F(s) : М —Е.

Найти четвёрку функций (р,и,в,а) : Q —» 1R4, удовлетворяющих включению (0.9), уравнениям (0.10)-(0.12), краевым условиям (0.13), (О.Ц) и начальным условиям (0.15), (0.16).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих соответственно 8 и 7 разделов и списка литературы из 63 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т.д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое -номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Основные постановки, формулировки и ряд обозначений излагаются в тексте диссертации по нескольку раз с той целью, чтобы было возможно читать введение, первую и вторую главы независимо друг от друга. Предпоследний раздел введения содержит список основных обозначений, используемых в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Басов, Иван Владимирович, 2000 год

1. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.:Мир, 1975.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.:Наука, т.1, 1970.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

4. Showalter W.R. Mechanics of non-Newtonian fluids. Pergamon Press, Oxford, 1978.

5. Huigol R.R. Continuum Machanics of Viscoelastic Liquids. Hindustan Publishing Corp., Dehli, 1975.

6. Rajagopal K.R. Mechanics of Non-Newtonian fluids. In collection "Recent Developments in Theoretical Fluid Mechanics", Pitman Research Notes in Mathematics, Series 291, Longman Scientific and Techical, Essex, 129-162, 1993.

7. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. Дифференциальные уравнения, 4 (1968), 721-734.

8. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized burgers equation. J. Math. Kyoto Univ. 14 (1974) 1, 129-177.

9. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, (1976) 24, 45-61.

10. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа. Прикл. математика и механика. 41 (1977) 2, 282-291.

11. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа. Динамика сплошной среды, Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, (1980) 42, 80-102.

12. Белов С.Я. Разрешимость "в целом" задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды, Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, (1981) 50, 3-14.

13. Маслов В.П., Мосолов П.П. Уравнения одномерного баротропного газа, М.: Наука, 1990.

14. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем составного типа с негладкими данными. Дифференциальные уравнения, 30 (1994) 4, 596-609.

15. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды, Новосибирск: Ин-т Гидродинамики СО АН СССР, (1990) 97, 3-21.

16. Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1991 (101), 31-52.

17. Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" системы уравнений одномерных движений неоднородного вязкого теплопроводного газа, Мат. заметки, 52 (1992) 1, 3-16.

18. Шелухин В.В. Об одном классе сдвиговых течений вязкой сжимаемой жидкости. Прикл. Механ. и Технич. Физика, 37 (1996) 4, 50-56.

19. Graffi D. Il theorema di unicitá nella dinamica dei fluidi compressibli, J. Rat,. Mech. Anal., (1953) 2, 99-106.

20. Serrín J. On the uniqueness of compressible fluid motion, Arch. Rat. Mech. Anal., (1953) 3, 271-288.

21. Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости Записки науч. семинаров ЛОМИ. Мат. ин-т АН СССР, Ленингр. отд-ние. Л.: Наука, (1976) 56, 128-142.

22. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 13 (1977) 1, 193253.

23. Matsimura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases. J. Math. Kyoto Univ. 20 (1980) 1, 67-104.

24. Padula M. Existense of global solutions fro two-dimensional viscous compressible flows. J. Funct. Anal. 69 (1986) 1, 1-20.

25. Lions P.L. Compacite des solutions de Navier-Stokes comperssible isentropiques. C.R. Acacl. Sci. Paris, 317 (1993) 2, 115-120.

26. Kazhikhov A.V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low Reynolds number. Acta. Math. Appl. 37 (1994) 1, 77-81.

27. Вайгант В.А., Кажпхов А.В. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Дифференциальные уравнения, 30 (1994) 6, 10101022.

28. Вайгант В.А. Пример несуществования "в целом" по времени решения уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропнои жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН (1993) 107, 39-48.

29. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости, Сиб. мат. журнал, 36 (1995) 6, 1283-1316.

30. Malek J., Necas J., Rokyta M., Ruzicka M. Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Applied Mathematics andMathematical Computation, 13. Chapman, Hall, London-Madras, 1996.

31. Мамонтов A.E. Orlicz spaces in the existense problem of global solutions to viscous compressible nonlinear fluid equations. Новосибирск, (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т Гидродинамики; №296), 1996.

32. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости, Доклады РАН, 361 (1998) 2, 161-163.

33. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I. Сиб. мат. журнал, 40 (1999) 2, 408-420.

34. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II. Сиб. мат. журнал, 40 (1999) 3, 635-649.

35. Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics, v.2 Compressible Models, Clarendon Press, Oxford, 1998.

36. Bernarcli C, Pirronneau On the shallow water equation at low Reynolds number, Comm. Partial Diff. Eq., 16 (1991) 1, 59-104.

37. Кажихов А.В. Уравнения потенциальных течений вязкой сжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса: существование, единственность и стабилизация решений, Сиб. мат. журнал, 34 (1993) 3, 77-80.

38. Hoff D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compresible flow with discontinuos data. J. Diff.Eq.'s, 120 (1995), 215-254.

39. Мамонтов А.Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости, Сиб. мат. журнал, 37 (1996) 5, 1117-1131.

40. Min L., Kazhikhov A.V., Ukai S. Global solutions to the Ca-uchy problem of the Stokes approxiamtions for two-dimensional compressible flows, Comm. in PDE 23 (1998) 5 and 6, 985-1006.

41. Bingham E.C. Fluidity and Plasticity. McGrew Hill Book Co., New York, 1922.

42. Bird R.B., Dai G.C., Yarusso B.J. The rheology and flow of visco-plactic materials. Chemical Engeneerig 1, 1983, 1.

43. Prasad D., Kytomaa H.K. Particle stress and viscous compaction. Liquid-solid flows, FED-Vol. 189, ASME (1994), 137-144.

44. Malvern L.E. Intoduction to the mechanics of a continuos medium. Printice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1969.

45. Hohenemser K., Prager W. Uber die Ansätze der Mechanik isotroper Kontinua. Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM) 12 (1932), 216-226.

46. Prager W. Introduction to Mechanics of Continua. New York: Ginn and Co., 1961.

47. Duvaut G., Lions J.L. Inequalities in Mechanics and Physics, Grun-cllehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 219, SpringerVerlag, Berlin, New York, 1976.

48. Shelukhin V.V. Bingham Viscoplastic as a Limit of Non-Newtonian Fluid, 1999, (рукопись).

49. Comparini E., De Angelis E. Flow of a Bingham fluid in a concentric cylinder viscometer, Adv. in Math. Sc. Appl. 6 (1996) 1, 97-116.

50. Comparini E. Regularization Procedures of Singular Free Boundary Problems in Rotational Bingham Flows, Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM) 77 (1997) 7, 543-554.

51. Каменомостская С.Л. О задаче Стефана. Научные Доклады Высшей Школы, 1 (1958) 1, 60-62.

52. Олейник O.A. Метод решения обобщённой задачи Стефана. ДАН СССР 135 (1960), 1054-1057.

53. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

54. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

55. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972.

56. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

57. Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T; Б), Ann. Matematica Рига ed Applicata, (IV)-VCXLVI, (1987), 65-69.

58. Dunford N., Schwartz J. Linear Operators, Vols. 1-3. Interscience, New York, 1958.

59. Басов И.В. О разрешимости уравнений вязкой сжимаемой жидкости с разрывным законом поведения // Тезисы докладов Сибирской школы-семинара "Математические проблемы механики сплошных сред", Новосибирск, 1997 с. 24-25.

60. Басов И.В. О разрешимости уравнений идеально-вязкой сжимаемой жидкости / / Тезисы докладов третьего Сибирского конгресса ИНПРИМ, Новосибирск, 1998 с. 87.

61. Basov I.V., Shelukhin V.V. Generalized solutions to the equations of compressible Bingham flows. Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM) 79 (1999) 3, 185-192.

62. Басов И.В., Шелухин B.B. Об уравнениях нелинейной сжимаемой жидкости с разрывным законом напряжённого состояния. Сиб. мат. журнал 33 (1999) 4, 512-522.

63. Басов И.В., О разрешимости уравнений нелинейной идеально-вязкой сжимаемой жидкости. Матем. заметки 67 (2000) 5, 712-721.