Глобальная разрешимость одномерных задач протекания для систем уравнений движения вязкого газа с негладкими данными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Казенкин, Константин Олегович

• Казенкин, Константин Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казенкин, Константин Олегович

Введение.

Глава 1. Задача о заполнении объёма вязким баротропным газом.

1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

1.2. Построение приближённых решений.

1.3. Априорные оценки приближённых решений.

1.4. Предельный переход.

1.5. Единственность обобщённого решения.

Глава 2. Задача о протекании вязкого баротропного газа.

2.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

2.2. Построение приближённых решений.

2.3. Априорные оценки приближённых решений.

2.4. Предельный переход.

Глава 3. Задача об одномерном движении вязкого теплопроводного газа.

3.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

3.2. Полудискретная параболическая задача.

3.3. Полудискретный метод и доказательство теоремы существования.

3.4. Предельный переход.

3.5. Доказательство теоремы единственности.

Глава 4. Одномерная задача о заполнении объёма вязким теплопроводным газом.

4.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов.

4.2. Построение приближённых решений.

4.3. Априорные оценки приближённых решений.

4.4. Предельный переход.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальная разрешимость одномерных задач протекания для систем уравнений движения вязкого газа с негладкими данными»

Одним из важнейших классов задач в теории дифференциальных уравнений и в приложениях являются краевые задачи механики сплошной среды. С математической точки зрения они вызывают большой интерес разнообразием вариантов постановок задач и методов их исследования. К настоящему времени получен ряд важных результатов по разрешимости задач механики сплошной среды и методам их решения, однако многие вопросы, особенно в неклассической нелинейной постановке, остаются не решёнными, в связи с чем эти проблемы не утратили своей актуальности.

Среди математических задач механики сплошной среды интересный класс представляют одномерные задачи для системы уравнений Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой среды (газа или жидкости). Задачи, описывающие протекание, то есть движение переменных масс через различные объёмы, каналы и т. д. являются весьма сложными и ещё не достаточно изученными. Как известно [8], [33], [34], в лагранжевых массовых координатах (ж, t) движение вязкого сжимаемого баротропного газа (жидкости) описывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений drj ди dt дх' ди дет ди 1

1)

2) дхе в области Q, где х — лагранжева массовая координата, t — время, г) — удельный объём (р — плотность), и — скорость, а — напряжение, р — давление (причём здесь р = p{rj) — уравнение состояния), v — коэффициент вязкости, д — плотность массовых сил, хе — пространственная эйлерова координата.

В случае, когда учитывается тепловой баланс, система (1)-(3) дополняется уравнением сохранения энергии де Эк ^ ди ^ ^ ^^дв dt дх дх ' дх

Здесь е — внутренняя энергия, в — абсолютная температура, —7Г — тепловой поток, Л — коэффициент теплопроводности, / — плотность источников тепла. В настоящей работе изучается случай совершенного политропного газа с уравнением состояния Менделеева-Клапейрона р = крО и простым выражением для энергии идеального газа е = сув, где су — теплоёмкость.

В настоящей диссертации системы (1)-(3) и (1)-(4) дополняются начальными условиями х

T)\t=Q = Tj°(x)> Ч*=0 = U°(x), Xe\t=Q = x°e(x) = J 7]°(x')dx', 6\t—Q = 0°(x), 0

5) граничными условиями первого рода для скорости

U\x=a(t) = 4l(0> U\x=b(t) = U2(t) (6) и одной из пар граничных условий для температуры

9\x=a(t) = 9l(t)> Q\v=b{t) — (О J Pi)

0\x=a(t) = 01 (*), 7rU=b(t) + = X(t)' (Ь)

В случае задач протекания функция щ (t) имеет смысл скорости втекания вещества в канал через левую границу, а функция U2(t) может иметь смысл скорости движения непроницаемой правой границы в задачах о заполнении объёма или скорости истечения через неподвижную правую границу в задаче о протекании. Здесь a(t) и b(t) описывают соответственно левую и правую границы области Q. Если условиться считать, что вещество может только втекать через левую границу, а через правую возможно только истечение, то они имеют следующий смысл: |a(i)| — масса вещества, поступившего в канал за время а X — b(t) (где X — масса газа в момент t = 0) означает массу ушедшего из канала вещества. В случае непроницаемой правой границы (задача о заполнении объёма) b(t) = X. Кроме того, задаются условия v\x = a(t) = Va(t), Xe\x=a{t) = 0. (8)

Проведём обзор наиболее важных результатов о разрешимости системы уравнений движения вязкой сжимаемой среды.

Начало систематического изучения корректности задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемой среды было положено в работах Graffi D. [39], Serrin J. [53], и Nash J. [49]. В работе [39], являющейся, по-видимому, первой работой по проблеме разрешимости задач для уравнений движения вязкой среды, доказана теорема о единственности классического решения одной задачи для случая баротропного газа. В работе [53] были даны постановки основных краевых задач для систем уравнений вязкого газа и также доказаны теоремы о единственности классических решений этих задач. Отметим, что в [39] и [53] не была решена проблема разрешимости поставленных в них задач. Впервые этот вопрос был исследован в работе [49], где было установлено существование классического решения задачи Коши "в малом", то есть на достаточно малом промежутке времени.

В дальнейшем результаты о локальном существовании и единственности классических и обобщённых решений начальных и краевых задач были получены в работах Вольперта А. И. и Худяева А. И. [16], Солон-никова В. А. [35], Tani А. [57] и др.

Первым результатом об однозначной разрешимости "в целом" по времени является работа Канеля Я. И. [28]. В ней установлена однозначная разрешимость задачи Коши для одномерной системы уравнений вязкого баротропного газа с монотонной функцией состояния (зависимость давления р от плотности р имеет вид р = Rp1). Результаты о глобальной разрешимости и единственности решений начально-краевых задач для модели Бюргерса были получены в работах Кажихова А. В. [21], Itaya N. [43], Tani А. [56].

Наиболее важные результаты в теории одномерных задач движения вязкой сжимаемой среды был получен в период с 1975 по 1990 годы в цикле работ Кажихова А. В. [19]—[22] и его учеников — Белова С. Я. [9]—[11], [37], Вайганта В. А. [12]-[15], Николаева В. Б. [23], Шелухина В. В. [24] и других авторов. Важный вклад внесён также в работах Hoff D. [40]—[42], Serre D. [51], [52], Fujita Yashima H. и др. [38], [58], Kawohl В. [45], Kawashima S. and Nishida T. [44], Lukaszewics G. [46], Matsumura A. and Nishida T. [47], [48], Padula M. [50], Song Jiang [54], [55]. В этих работах исследованы основные проблемы, представляющие теоретический и практический интерес: наличие внешних сил, разрывные граничные данные, коэффициенты вязкости и теплопроводности, зависящие от плотности, температуры и т. д.

Важное место в изучении обобщённых решений одномерных задач занимают исследования Амосова А. А. и Злотника А. А. [1]—[5], [17], [18]. Они посвящены изучению начально-краевых задач для систем вида (1)-(3) и (1)—(4), описывающих одномерное движение фиксированных масс вязкой среды и послужили основой для исследований диссертации. Методика исследования подобных задач (энергетический метод, разнообразные приёмы получения априорных оценок, полудискретный метод построения приближённых решений и т. д.), разработанная в указанных статьях, оказалась весьма эффективной при изучении более сложных по своей постановке задач протекания. В перечисленных работах исследование проведено в лагранжевых массовых координатах. Оно показало преимущество таких координат в том смысле, что именно их использование позволяет накладывать минимальные условия на начальные данные.

Особо следует отметить следующие работы по разрешимости задач протекания.

В статье [9] С. Я. Белова положительно решён вопрос о глобальной однозначной разрешимости задачи протекания для модельной системы Бюргерса вязкого баротропного газа в классах Гёльдера. Эта задача была исследована при условии принадлежности начальных и граничных данных классам С1+а, С2+а, а Е (0,1), выполнении условий согласования на границе области; кроме того, в этой постановке вязкость постоянна и не учитываются внешние силы.

В [10] С. Я. Беловым рассмотрены задачи протекания для системы уравнений вязкого баротропного газа с монотонной функцией состояния р = Rpy и для системы уравнений вязкого теплопроводного газа с уравнением состояния р = Ярв и зависящим от температуры 6 коэффициентом теплопроводности. Для граничных данных из пространства W\ и при выполнении условий согласования на границе (несколько более слабых, чем в [9]) доказано существование и единственность обобщённых решений "в целом", имеющих все обобщённые производные, входящие в уравнения системы, то есть в классе сильных обобщённых решений. По-прежнему, начальные и граничные данные задачи являются гладкими; кроме того, не учитываются внешние силы, а также источники тепла.

В работе В. А. Вайганта [13], а также в [14] и [15] рассмотрена фактически задача из [10], однако наиболее важным моментом является то, что исследование проведено в эйлеровых координатах.

Однако эти работы охватывают далеко не все важные для приложений случаи. Например, в упомянутых работах [9], [10], [13], а также других работах ([11], [12], [14], [15], [37]) скорость втекания или истечения на границах области либо всегда строго отделена от нуля, либо тождественно равна нулю. Наличие условий согласования и гладкость граничных условий также является сильным ограничением.

Целью настоящей диссертации является изучение вопроса о существовании "в целом" и единственности обобщённых решений задач протекания для систем (1)-(3) и (1)-(4) с негладкими данными. Результаты, изложенные в настоящей диссертации, отличаются следующими основными моментами.

1. Постановки рассматриваемых задач отличаются значительно большей общностью и охватывают достаточно широкий класс представляющих практический интересных случаев. Сюда относятся, например, учёт внешних сил, наличие источников тепла в задачах для теплопроводного газа, зависимость вязкости от плотности для случая баротропного газа, достаточно общие уравнения состояния.

2. Ограничения на исходные данные задачи существенно слабее. Например, начальные и граничные данные относятся к весьма широкому классу разрывных функций, таким как пространства Lp или пространство функций ограниченной вариации. Это позволяет исключить условия согласования на границе области, присутствующие при рассмотрении классических и "сильных" обобщённых решений.

Приведём краткое содержание диссертации.

В главе 1 рассмотрена задача о заполнении объёма вязким баротроп-ным газом (1)-(3), (5), (6), (8). Правая граница непроницаема (b(t) = X) и движется со скоростью их, причём на эту скорость накладывается условие несоприкосновения с левой границей (отсутствие вырождения объёма). В отличие от работ, например [10], [13], на скорость втекания не накладывается никаких специальных ограничений и допускается существования моментов времени t, когда ua(t) = 0, т. е. отсутствие втекания. Уравнение состояния р = р(г),х), где р — немонотонная по г] функция, внешние силы описываются достаточно широким классом функций д = д{г) у \Ь у «С g у 3/ • t). В этой главе при начальных условиях rj° е £оо(0}Х)1 0 < с\ < г)°, и0 G Ь2(0,Х), граничных условиях Va £ Ьос(0,Т), 0 < С1 < 7/0, Ui, и2 £ У[0,Т] доказано существование обобщённого решения, удовлетворяющего следующим свойствам:

7?, 1/ry G Loo(Q), ^ 6 L2(Q); и G ~ € L2(g), (9) а также установлена единственность такого решения.

В пункте 1.1 даётся постановка задачи, понятие обобщённого решения и формулировка теорем существования и единственности обобщённого решения.

В пункте 1.2 делается построение последовательности приближённых решений. Это построение основано на аппроксимации расчётной области объединением прямоугольных областей, в которых ставятся задачи о движении фиксированных масс вязкой среды. Этот метод построения приближённых решений (с различными модификациями) используется при изучении остальных задач протекания, которые рассматриваются в главах 2 и 4.

В пункте 1.3 выводятся априорные оценки приближённых решений: энергетическая оценка, оценки удельного объёма сверху и снизу, оценки, выражающие сильную компактность последовательности в пространстве ь2.

В пункте 1.4 осуществляется предельный переход, завершающий доказательство существования обобщённого решения.

В пункте 1.5 установлена единственность обобщённого решения. Этот результат требует получения вспомогательных результатов о разрешимости линейных параболических задач в пространствах V2 и их свойствах в непрямоугольных областях. Показана эквивалентность обобщённых постановок параболических задач в прямоугольной и непрямоугольной областях.

В главе 2 установлено существование обобщённого решения задачи о протекании вязкого баротропного газа через канал фиксированной длины. Этот случай является более сложным (см., например, [8]) так как при наличии истечения вещества через проницаемую границу расчётная область в лагранжевых массовых координатах имеет неизвестную границу. Это приводит к необходимости добавления к системе (1)-(3) ещё одного уравнения относительно неизвестной функции b(t), описывающей эту границу. В работах [9], [10], [37] при изучении классических и об

1 2 1 общённых решений (из пространств W\ и W2' ) для её описания использовалось дифференциальное уравнение db{t) = ux(t) dt rj(b(t),t)'

В настоящей работе следы ux{t) и rj(b(t),t) понимаются в разном смысле. Поэтому дифференциальное уравнение заменено более простым интегральным соотношением, выражающим постоянство длины канала: b(t) X

J 7](х, t)dx = J rf(x)dx EE L, (10) a(t) 0 где L и есть длина канала. При тех же условиях на данные задачи, что и в главе 1, установлено существование обобщённого решения, удовлетворяющего свойствам (9) и, кроме того, доказано, что правая граница описывается функцией Ье И^(0,Т).

В пункте 2.1 даётся постановка задачи и формулировка теоремы существования обобщённого решения "в целом". Условия на данные те же, что и в главе 1 (кроме условия невырождения объёма).

В пункте 2.2 строится последовательность приближённых решений. Интерес представляет специальная кусочно-линейная аппроксимация неизвестной границы с легко устанавливаемыми оценками, основанная на соотношении (10).

В пункте 2.3 выводятся априорные оценки приближённых решений, в пункте 2.4 осуществляется предельный переход.

Глава 3 посвящена одномерной задаче о движении совершенного по-литропного газа (1)-(6), (7i) и (72). Здесь a[t) = 0, b(t) = X (границы непроницаемы). Аналогичная задача с граничными условиями третьего рода изучена в работах [5], [17], [18]. Поэтому эти результаты можно рассматривать как дополненние к указанным работам. Известно [8], что задачи с условиями первого рода для температуры являются значительно более сложными для изучения. В настоящей работе разработан специальный способ полудискретной аппроксимации и метод получения энергетической оценки, которые являются по существу методами из [5], адаптированными к граничным условиям первого рода для температуры. Вывод энергетической оценки основан на специальном мультипликативном представлении температуры для исключения неоднородных граничных условий. Подобное представление применялось в работах Кажихова А. В. при изучении классических и "сильных" обобщённых решений. Работа [7] показала эффективность такого представления и в случае слабых обобщённых решений. К сожалению, эта статья содержит досадную ошибку, состоящую в неудачном выборе комбинации начальных и краевых условий, которым должны удовлетворять компоненты мультипликативного представления. Это привело к неверному обоснованию строгой отделимости искомой температуры от нуля в случае строго положительного начального распределения температуры. В настоящей диссертации эта неточность устранена. В этой главе при начальных условиях rp Е 1/^(0, X), 0 < с\ ^ 77°, и0 Е £2(0, X), 91п0° Е Li(0, X), граничных условиях ui, U2, $2 € V[0, Т1] доказано существование обобщённого решения, удовлетворяющего следующим свойствам: дп ди г]Ah е Ьоо(<2), ~ е l2(Q); « е ь2;00(д), — е l2(Q)\ dt дх (и) в Е Lli00(Q), ~ Е HQ) и, в случае когда 0 < с\ ^ 0°, имеет место свойство 0 < с2 ^ в в Q. Кроме того, установлена единственность такого решения.

В главе 4 на основе результатов главы 3 и при тех же условиях на начальные условия, функции ui, U2, #1 и при условии г/а Е .Loo(О,Г), О < ci ^ г)а установлено существование обобщённого решения задачи о заполнении объёма совершенным политропным газом (1)-(6), (72), (8), удовлетворяющего свойствам (11). Постановка задачи и основной результат приведены в пункте 4.1.

В пункте 4.2 строятся приближённые решения. Для этого в аппроксимирующих областях, построенных в главе 1 применён полудискретный метод. Его построение может оказаться полезным при изучении других вопросов, например, при построении разностных схем.

В пунктах 4.3 и 4.4 соответственно выводятся априорные оценки и осуществляется предельный переход.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [6], [7], [25] [27].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору кафедры Математического моделирования Московского энергетического института Амосову А. А.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казенкин, Константин Олегович, 2002 год

1. Амосов А. А. Существование глобальных обобщённых решений уравнений одномерного движения вязкого реального газа с разрывными данными // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.Зб. N4. С.486-499.

2. Амосов А. А., Злотник А. А. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными // Дифференциальные уравнения. 1994. Т.ЗО. N4. С.596-608.

3. Амосов А. А., Злотник А. А. Единственность и устойчивость обобщённых решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа // Математические заметки. 1994. Т.55. N6. С.13-31.

4. Амосов А. А., Злотник А. А. О квазиосреднённых уравнениях одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими данными // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. N2. С.87-110.

5. Амосов А.А., Злотник А.А. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1997. N4. С.3-19.

6. Амосов А. А., Казёнкин К. О. Разрешимость "в целом" одномерной задачи о заполнении объёма вязким баротропным газом с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1995. N6. С.5-21.

7. Амосов А. А., Казёнкин К. О. К вопросу о глобальной разрешимости неоднородных начально-краевых задач для уравнений движения вязкого теплопроводного газа с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1998. N6. С.5-17.

8. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

9. Белов С. Я. Разрешимость "в целом" задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1981. Вып.50. С.3-14.

10. Белов С. .Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1982. Вып.56. С.22-43.

11. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом // Динамика сплошной среды. 1983. Вып.59. С.23-38.

12. Вайгант В. А., Папин А. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1987. Вып.79. С.3-9.

13. Вайгант В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1990. Вып.97. С.3-21.

14. Вайгант В. А. К вопросу о разрешимости "в целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости //В кн.: Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т. Т.1. С.43-51.

15. Вайгант В. А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред // Диссертация доктора физ.-мат. наук. Барнаул. 1998. 234 с.

16. Вольперт А. И., Худяев А. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т.87. N4. С.504-528.

17. Злотник А.А., Амосов А.А. Об устойчивости обобщённых решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38. N4. С.767-789.

18. Злотник А.А., Амосов А.А. Корректность обобщенной постановки начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Доклады РАН. 1998. Т.362. N5.

19. Кажихов А. В. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. 1975. Вып.21. С. 18-47.

20. Кажихов А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1976. Вып.24. С.45-61.

21. Кажихов А. В. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами / / Динамика сплошной среды. 1976. Вып.26. С.60.

22. Кажихов А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1981. Вып.50. С.37-62.

23. Кажихов А. В., Николаев В. Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т.10. N2. С.77-84.

24. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикладная математика и механика. 1977. Т.41. N2. С.282-291.

25. Казёнкин К. О. Единственность обобщённого решения одномерной задачи о заполнении объёма вязким баротропным газом с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1996. N6. С.71-78.

26. Казёнкин К. О. Одномерная задача о заполнении объёма с подвижной границей вязким теплопроводным газом // Вестник МЭИ. 1999. N6. С.46-58.

27. Казёнкин К. О. Существование глобального обобщённого решения одномерной задачи о протекании вязкого баротропного газа // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. (Принята к публикации.)

28. Канель Я. И. Об одной модельной системе уравнений движениявязкого газа // Дифференциальные уравнения. 1968. Т.4. N2. С.721-734.

29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1989.

30. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва: Наука, 1967.

31. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. СПб.: Издательство "Лань", 1999.

32. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь В. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

33. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Москва: Наука, 1978.

34. Седов Л. И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука. 1970.

35. Солонников В. А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости //В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128-142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т.56)

36. Шелухин В. В. О структуре обобщённых решений одномерных уравнений политропного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. Вып.6. С.912-920.

37. Belov S. Ya., Belov V. Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries // J. Math. Kyoto Univ. 1994. Vol.34. N2. P.369-389.

38. Fujita Yashima H., Padula M., Novotny A. Equation mono-dimensionnelle d'un gas visqueux et calorifere avec des conditions initiales moins restrictives // Ricerche di Matematica. 1993. V.XLII. N2. P.199-248.

39. Graffi D. II teorema di unicita nella dinamika dei fluidi compressibli // J. Rat. Mech. Anal. 1953. V.2. P.99-106.

40. Hoff D. Construction of the solutions for compressible, isentropicNavier-Stokesequations in one space dimension with nonsmooth initial data // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1986. Sect. A 103. P.301-315.

41. Hoff D. Global existence for 1-d, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V.303. N1. P.169-181.

42. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. V.114. P.15-46.

43. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // Journ. Math. Kyoto Univ. 1974. V.14. N1. 127-177.

44. Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of the one-dimensional motion of viscous polytropic gases // J. Math. Kyoto Univ. 1981. V.21. P.825-837.

45. Kawohl B. Global existence of large solution on initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas // J. Diff. Equat. 1985. V.58. P.76-103.

46. Lukaszewics G. An existence theorem for compressible viscous ant heat conducting fluids // Math. Meth. Appl. Sci. 1984. У.6. P.234-247.

47. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive fluids // Proc. Japan. Acad. Ser. A. 1979. V.55. P.337-342.

48. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases // J. Math. Kyoto Univ. 1980. V.20. N1. P.67-104.

49. Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluidegeneral // Bull. Soc. Math. France. 1962. V.90. P.487-497.

50. Padula M. Existence and continuous dependence for solutions to the equations of a one-dimensional model in gas dynamics // Mechan. J. AIMETA. 1981. V.16. N3. P.128-135.

51. Serre D. Solutions faibles globales des equations de Navier-Stokes pour un fluide compressible // C. R. Acad. Sc. Paris Ser. I. 1986. V.303. N13.Р.639-642.

52. Serre D. Sur lequation monodimensionnelle d'un fluide visqueux, compressible et conducteur de chaleur// C. R. Acad. Sc. Paris. Ser. I. 1986. V.303. N14. P.703-706.

53. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V.3. N3. P.271-288.

54. Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas // J. Diff. Equat. 1994. V.110. P. 157181.

55. Song Jiang. Global smooth solutions to the equations of a viscous, heat-conducting, one-dimensional gas with density-dependent viscosity // Math. Nachr. 1998. У.190. P.169-183.

56. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1977. V.10. N1. P.209-233.

57. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. У.13. N1. P.193-253.

58. Tornatore E., Fujita Yashima H. Equazioni monodimensionali di un gas viscoso barotropico con una perturbazione poco regulare // Ann. Univ. Ferrara. Sez.VII — Sc. Mat. 1994. V.XL. P.137-168.