Глобальные теоремы существования для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Прокудин Дмитрий Алексеевич

• Прокудин Дмитрий Алексеевич
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Прокудин Дмитрий Алексеевич

4.2. Априорные оценки

4.3. Конструкция приближенных решений

4.4. Предельный переход по т ^ в приближенных уравнениях неразрывности

4.5. Предельный переход по т ^ в приближенных уравнениях импульсов

4.6. Предельный переход по £ ^ +0, кроме слагаемых с давлением

4.7. Завершение предельного перехода по £ ^ +0

4.8. Предельный переход по 5 ^ +0, кроме слагаемых с давлением

4.9. Завершение предельного перехода по 5 ^ +0

Глава 5. Однозначная глобальная разрешимость начально-краевой задачи для одномерных уравнений политропных течений вязких сжимаемых многокомпонентных сред

5.1. Постановка задачи, формулировка результата

5.2. Построение приближенных решений

5.3. Равномерные оценки галеркинских приближений

5.4. Сходимость приближенных решений

5.5. Глобальные априорные оценки

5.6. Единственность сильного решения

Приложение А. Модели динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред

Приложение В. Локальная разрешимость стационарной краевой задачи для многомерных уравнений движения вязких сжимаемых теплопроводных двухкомпонентных сред 212 В.1. Постановка задачи и формулировка результата

Б.2. Б.3. Б

Априорные оценки решений регуляризованной задачи

Разрешимость регуляризованной задачи

Предельный переход по параметру регуляризации

219

Приложение С. Локальная однозначная разрешимость

начально-краевой задачи для одномерных баротропных уравнений динамики вязких сжимаемых двухкомпонент-

ных сред

С.1. Формулировки задачи и основного результата, введение

лагранжевых массовых координат

С.2. Априорные оценки

С.3. Доказательство единственности решения

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальные теоремы существования для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред»

Введение

Актуальность темы исследования. Задачи тепломассопереноса в многокомпонентных средах широко представлены в природных процессах и областях человеческой деятельности. Этим обусловлена необходимость моделирования процессов взаимопроникающего движения сплошных сред. Возникающие при этом математические модели, чаще всего представляющие собой системы дифференциальных уравнений в частных производных, как правило, являются неклассическими и требуют новых подходов, как к исследованию их корректности, так и к численному моделированию. Исследование корректности уравнений динамики многокомпонентных сред подразумевает, в частности, доказательство теорем существования и единственности решений различных краевых и начально-краевых задач, а также их качественных свойств. Получаемые при этом результаты помогают при моделировании соответствующих физических явлений и позволяют лучше понять природу реальных процессов.

Исследуемые в диссертационной работе модели динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред представляют собой некоторые обобщения известной системы уравнений Навье-Стокса, описывающей движения вязких сжимаемых однокомпонентных сред и включают в себя уравнения неразрывности, импульсов и энергии. Особенностью данных уравнений помимо их нелинейности является наличие в законах сохранения импульсов и энергии старших производных от скоростей всех компонент ввиду составной структуры тензоров вязких напряжений. Это приводит к тому, что результаты, известные для уравнений Навье-Стокса, не переносятся автоматически на рассматриваемые в диссертации модели динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред. Данная

специфика многокомпонентных течений может быть описана с помощью понятия матриц вязкостей. В отличие от однокомпонентного случая, в котором вязкости являются скалярами, в многокомпонентном случае они образуют матрицы, элементы которых отвечают за вязкое трение. За вязкое трение внутри каждой компоненты отвечают диагональные элементы, а за трение между компонентами — недиагональные. В случае диагональных матриц вязкостей уравнения импульсов будут связаны только через младшие члены, которые физически несомненно важные, но не вызывающие существенных математических трудностей. В диссертационной работе рассматривается более сложный случай недиагональных матриц вязкостей. Доказываются глобальные теоремы существования краевых и начально-краевых задач для нелинейных уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред без упрощающих предположений о структуре матриц вязкостей, кроме стандартных физических требований положительной определенности.

Степень разработанности темы исследования. Следует отметить, что на данный момент не существует общепринятого подхода к моделированию движений многокомпонентных сред, равно как и развитой математической теории о существовании, единственности и свойствах решений краевых и начально-краевых задач, возникающих при этом моделировании. Рассматриваемые в диссертационной работе нелинейные многоскоростные модели динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред являются некоторыми обобщениями известной системы уравнений Навье-Стокса, описывающей течения вязких сжимаемых однокомпонентных сред и, естественно, результаты о корректности моделей динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред появились после определенного прогресса, достигнутого для уравнений Навье-Стокса.

Среди первых результатов о корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса отметим работы Д. Граффи [177] и Дж.Серрина [264], в которых были доказаны теоремы единственности для классических решений. Затем был получен ряд результатов о раз-

решимости в малом по времени или входным данным. Для задачи Коши назовем работы Дж. Нэша [234], А.И. Вольперта и С.И. Худяева [35], Н. Итайя [191]. Для начально-краевых задач отметим работы В.А. Солонникова [121], А. Тани [271], А. Мацумуры и Т. Нишиды [221]. В последней работе получен глобальный по времени результат, но локальный по начальным данным. Другие результаты о локальной разрешимости получены в работах [184], [185], [186], [190], [212], [222], [223], [262], [272], [273], [275], [276] (см. также обзоры в [17], [235], [265], [278]).

Огромный вклад в теорию глобальной разрешимости уравнений Навье-Стокса внесли исследования в случае одномерного движения. Первые результаты были получены в работах Я.И. Канеля [72], Н. Итайя [192], [193], А. Тани [270], А.В. Кажихова и В.В. Шелухина [61], [71], [197]. Полная теория глобальной разрешимости одномерных уравнений Навье-Стокса была построена благодаря исследованиям А.В. Кажихо-ва [60], [62], [63], [64], [65], В.В. Шелухина [125], С.Я. Белова [18], [19], [20], [21], [144], А.В. Кажихова и В.Б. Николаева [68], [69], [101], А.А. Амосова и А.А. Злотника [1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [16], [52], [55], [56], [57], [58], [131], [132], В.А. Вайганта и

A.А. Папина [23], [24], [25], [33] и других авторов [195], [229], [230], [231], [285], [246], [196], [181], [182], [266], [220] (см. также монографию [17] и диссертации [2], [28], [84]).

В многомерном случае только в последние десятилетия появились результаты, касающиеся глобальной разрешимости системы уравнений Навье-Стокса. Этим результатам предшествовали многие работы, в которых присутствует ряд плодотворных идей. Так, в [29], [31], [32], [37], [66], [83], [146], [198], [211] были исследованы приближенные модели. Полученные в данных работах результаты актуальны и сейчас, поскольку задача глобальной разрешимости системы уравнений Навье-Стокса в многомерном случае далека от своего окончательного решения. В работе

B.А. Вайганта [27] были приведены примеры разрушающихся решений в классах, в которых ранее В.А. Солонниковым в [121] были построены

локальные решения. Это обозначило необходимость уточнения классов корректности исследуемых задач, например, перехода от классических к обобщенным решениям. Поведение особенностей разрывных решений было изучено в работах Д. Хоффа и Д. Серра [181], [182], [183], [185], [186], [187], [188], [189]. Одну из главных ролей сыграла идея работы с так называемым эффективным вязким потоком (эффективным вязким давлением), который исследовался Д. Хоффом [184], А. Новотны [239], В.А. Вайгантом и А.В. Кажиховым [30]. Эта идея затем развивалась в работах [160], [166], [189], [208], [219]. В одномерном случае было обнаружено ключевое коммуникативное соотношение для слабых пределов в работах У. И [158] и Д. Серра [263], которое было доказано и использовано затем в многомерном случае П.-Л. Лионсом в [208] на основе результатов, полученных в работе [152]. Для транспортного уравнения Р.Дж. ДиПерной и П.-Л. Лионсом был развит аппарат ренормализации [155], [156], который играет одну из ключевых ролей при исследовании глобальной разрешимости уравнений динамики вязких сжимаемых жидкостей и в настоящее время.

Следующим этапом развития теории глобальной разрешимости системы уравнений Навье-Стокса в многомерном общем случае стала работа П.-Л. Лионса [207] (см. также [206], [208], [209]) с результатом о глобальной разрешимости для начально-краевой задачи в случае политропного уравнения состояния для давления. В данном результате были обобщены вышеупомянутые идеи и, в частности, показано, что слабая регулярность эффективного вязкого потока влечет глобальную разрешимость для многомерной системы уравнений Навье-Стокса при довольно больших показателях адиабаты. Далее, этот результат был развит в работах Э. Файрайзла с соавторами [160], [162], [164], [166], включая снижение порога показателя адиабаты.

Для стационарных уравнений Навье-Стокса локальные теоремы существования были доказаны М. Падулой и Дж. Хейвудом [179], [247], [248], [249], Х. Бейрао да Вейгой [141], [142], [143], А. Новотны и М. Падулой [102], [240], [241] (см. также [159], [222], [233], [238], [242], [277], [276],

[279]). Глобальные результаты о разрешимости для стационарных задач получены П.-Л. Лионсом [208], А. Ново, А. Новотны и И. Штрашкрабой [236], [237], [245], В. Вайгантом, Й. Фрезе и М. Штайн-хауэром [170], [171], В. Вайгантом, П.И. Плотниковым и Ж. Соколовски [110], [111], [250], [251], [252], [253], [254], [255]. В последней работе порог показателя адиабаты был снижен до 1. Обзор результатов для стационарных задач можно найти в [111], [245], [253], [254].

Что касается начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса в теплопроводном случае, то достаточно полная нелокальная теория слабых решений построена в монографиях Э. Файрайзла [162] и Э. Файрай-зла, А. Новотны [165]. В стационарном теплопроводном случае результаты о глобальной разрешимости получены П. Мухой и М. Покорны [224], [225], А. Новотны и М. Покорны [244].

В диссертационной работе проводится анализ глобальной разрешимости краевых и начально-краевых задач для системы уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред в рамках многоскоростного подхода, при котором компоненты среды имеют каждая свой набор термодинамических и кинематических параметров, в частности скорости. С математических позиций это означает, что рассматривается несколько систем типа Навье-Стокса для каждой компоненты, связанных между собой не только через младшие, но и через старшие члены, ввиду составной структуры тензоров вязких напряжений, и потому для анализа таких систем недостаточно воспользоваться готовыми результатами из теории однокомпонентных течений, т. е. для одной системы Навье-Стокса. Особенно это касается случая, когда в уравнениях учтен не только обмен импульсом, но и взаимное вязкое трение компонентов среды [46], [100], [133], [180], [199], [204], [213], [218], [228], [258], [260], [267], [268], [283], [284].

Одной из первых работ, в которых были получены глобальные результаты о разрешимости для многоскоростных многомерных моделей динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей, является работа Й. Фрезе, С. Гой и Й. Ма-

лека [168]. В данной работе доказана разрешимость задачи Коши для системы без конвективных членов в случае общей зависимости давлений от плотностей компонент. В [169] этими же авторами получен результат о единственности слабых решений задачи Коши при дополнительных предположениях, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами равны нулю. В работе Й. Фрезе и В. Вайганта [172] доказано существование и единственность классического решения краевой задачи для квазистационарной системы без конвективных слагаемых со специальными граничными условиями. Нелокальные результаты о существовании решений с учетом конвективных слагаемых, но в специфическом случае треугольной матрицы полных вязкостей, получены Н.А. Кучером, А.Е. Мамонтовым и Д.А. Прокудиным для многоскоростной многотемпературной стационарной модели без учета диссипативных слагаемых в уравнениях энергии в работе [78], Н.А. Кучером и Д.А. Прокудиным для многоскоростной стационарной политропной модели в [79] (см. также [47], [73], [74], [75], [76], [77], [201], [202]). Результаты для смежных многомерных моделей получены в [40], [41], [42], [43], [44], [45], [50], [51], [123], [124], [147], [148], [154], [163], [167], [175], [226], [227], [286].

Результаты по одномерному движению многоскоростных многокомпонентных сред получены для случая диагональной матрицы вязко-стей А.А. Злотником [54], А.В. Кажиховым и А.Н. Петровым [70], [109], А.А. Папиным и И.Г. Ахмеровой [15], [103], [104], [105], [106], [107], [108], Д. Брешем, С. Хуангом и Ц. Ли [149]. Результаты для смежных одномерных моделей получены в [53], [151], [205], [243], [280], [281].

Простейшие потоки многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей (течение Пуазейля, течение Куэтта и др.) рассмотрены в [134], [135], [136], [137], [138], [139], [140], [217]. Численному исследованию задач динамики многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей посвящены работы [130], [145], [210], [267], [282] (см. также [259], [269], [287]).

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является теоретический анализ глобальной разрешимости краевых и начально-краевых задач для систем нелинейных уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать разрешимость стационарной краевой задачи для системы уравнений, описывающих политропные движения вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной области трехмерного евклидова пространства.

2. Провести анализ разрешимости краевой задачи, соответствующей стационарным теплопроводным течениям вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной трехмерной области.

3. Исследовать разрешимость начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающих нестационарные баротропные движения вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной трехмерной области.

4. Для системы уравнений, описывающих нестационарные политроп-ные течения вязких сжимаемых многокомпонентных сред провести анализ однозначной разрешимости начально-краевой задачи в случае одной пространственной переменной.

Научная новизна. Для исследуемых в диссертационной работе задач динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред новизна заключается в том, что проводится теоретический анализ разрешимости систем уравнений, представляющих собой некоторые обобщения системы Навье-Стокса, описывающей движения вязких сжимаемых одноком-понентных сред связанных между собой не только через младшие, но и через старшие члены посредством матриц вязкостей, ввиду составной структуры тензоров вязких напряжений, и потому для анализа таких систем недостаточно воспользоваться готовыми результатами из теории

однокомпонентных течений, т. е. для системы Навье-Стокса. В диссертационной работе получены новые результаты о глобальной разрешимости краевых и начально-краевых задач для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред без ограничений на матрицы вяз-костей, кроме стандартных физических требований.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость результатов, полученных в настоящей диссертации, заключается в расширении класса исследованных краевых и начально-краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных составного типа динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей. Теоретический анализ математических моделей, описывающих движения многокомпонентных сред дает возможность предсказать характер сложных течений в различных ситуациях, не имеющих заранее наработанного экспериментального задела. Кроме того, такой анализ служит основой построений численных алгоритмов решения соответствующих уравнений, что играет ключевую роль при разработке конкретных технологических процессов. Однако данный теоретический анализ сопряжен с существенными математическими трудностями, поскольку основной предмет исследований — это нелинейные дифференциальные уравнения, являющимися некоторыми обобщениями известной системы Навье-Стокса движения вязких сжимаемых однокомпонентных сред. Проблема разрешимости уравнений такого типа — источник и своего рода пробный камень для многих новых методов математической физики, дифференциальных уравнений и функционального анализа. Для приложений особенно важно уметь решать теоретически и численно уравнения, описывающие движения вязких (желательно, сжимаемых, теплопроводных и многокомпонентных) сред. Поиски, изучение решений или их численный расчет начинается с теорем о существовании, единственности и качественных свойствах. Особую ценность представляют теоремы о глобальной разрешимости, то есть характеризующие решение задачи без ограничений на входные данные и на размеры пространственно-временных областей. Не исклю-

чение и уравнения динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей, для которых в диссертационной работе получены новые результаты о глобальной разрешимости краевых и начально-краевых задач.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа. Для доказательства существования решений рассматриваемых в работе краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных используется метод построения приближенных решений (чаще всего при помощи регуляризации уравнений), вывод дифференциальных и интегро-дифференциальных неравенств, что существенно использует и развивает известные методы построения априорных оценок решений систем дифференциальных законов сохранения, теоремы о неподвижных точках в различных функциональных пространствах, метод Галерки-на. Для обоснования слабого предельного перехода в нелинейных слагаемых используется модифицированный на случай вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей метод компенсированной компактности и метод монотонности.

Положения, выносимые на защиту:

1. Проведен анализ разрешимости стационарной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений составного типа, описывающих политропные движения вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной области трехмерного евклидова пространства. На матрицы вязкостей не налагались никакие дополнительные требования, только физически необходимые. Доказана глобальная теорема существования слабых решений краевой задачи.

2. Проведено исследование разрешимости краевой задачи, соответствующей стационарным теплопроводным течениям вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной трехмерной области без

упрощающих предположений о структуре матриц вязкостей, кроме стандартных физических требований положительной определенности. Доказана глобальная теорема существования слабых решений краевой задачи.

3. Проведен анализ разрешимости начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, описывающих нестационарные баротропные движения вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной трехмерной области. Не делалось никаких упрощающих предположений на матрицы вязкостей, кроме стандартных физических требований. Доказана нелокальная теорема существования слабых решений начально-краевой задачи.

4. Для системы дифференциальных уравнений, описывающих нестационарные политропные течения вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональной, симметричной и положительно определенной матрицей вязкостей проведен анализ глобальной по времени и начальным данным однозначной разрешимости начально-краевой задачи в случае одной пространственной переменной. Доказана глобальная теорема о существовании и единственности сильного решения начально-краевой задачи.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных в диссертационной работе результатов обеспечивается корректной постановкой краевых и начально-краевых задач для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред, строгими математическими доказательствами сформулированных утверждений о глобальной разрешимости данных задач.

По теме диссертации опубликовано 24 научных статьи [85]—[99], [112]-[116], [214]-[216], [256] в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК, базы данных Web of Science и Scopus.

Основные результаты, изложенные в диссертации, представлены и обсуждены на следующих российских и международных научных мероприятиях: IX международная конференция «Лаврентьевские чтения

по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2020); Всероссийская конференция с международным участием и школа для молодых ученых, посвященные 100-летию академика Л.В. Овсянникова «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2019); Международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики» (Воронеж, 2017, 2018, 2019); Международная школа-конференция «Соболевские чтения» (Новосибирск, 2016, 2017, 2018); Международная конференция «Вычислительная математика и математическая геофизика», посвященная 90-летию со дня рождения академика А. С. Алексеева (Новосибирск, 2018); Всероссийская конференция с международным участием «Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», (Новосибирск, 2017); Международная конференция «Математика в современном мире», (Новосибирск, 2017); Международная молодежная школа конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», (Новосибирск, 2016, 2017); Russian-French Workshop «Mathematical Hydrodynamics» (Novosibirsk, 2016); Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, наука, инновации — вклад молодых исследователей», (Кемерово, 2014); Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2013); Всероссийская научная конференция «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2012).

Результаты по теме диссертации были получены автором при работе над следующими научно-исследовательскими проектами: Математический анализ нелинейных моделей механики неоднородных сред сложной реологии, грант РНФ 18-71-00024, 2018-2020 гг. (руководитель); Исследование математических проблем динамики смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей, грант РФФИ 18-31-00034 мол_а, 2018-2019 гг. (руководитель); Современные методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики, государственное задание Министерства науки и высшего образова-

ния РФ, одобренное в рамках конкурсного отбора научных проектов, выполняемых научными коллективами исследовательских центров и / или научных лабораторий образовательных организаций высшего образования FZMW-2020-0008, 2020-2023 гг. (исполнитель); Анализ краевых задач для возникающих в биологии и медицине математических моделей реологически сложных жидкостей и систем, грант РНФ 19-11-00069, 2019-2021 гг. (исполнитель); Аналитические методы для описания нелинейных волновых процессов в природных система, грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ НШ-8146.2016.1, 2016-2017 гг. (исполнитель); Нелинейная динамика неоднородных и анизотропных сред сложной реологии, грант РНФ 15-11-20019, 2015-2017 гг. (исполнитель).

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации принадлежат лично автору. Из работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены только результаты, полученные либо лично автором, либо при его определяющем участии.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, трех приложений, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 297 страниц, список литературы содержит 288 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, приведен обзор литературы по теме, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, охарактеризованы новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, обоснована достоверность и приведена апробация результатов.

В первой главе приводятся некоторые известные сведения, которые используются в процессе дальнейших исследований.

Вторая глава посвящается исследованию разрешимости стационарной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений составного типа, описывающих трехмерные политропные движения вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональными матрицами вязкостей и основным ее результатом является глобальная теорема существования слабых решений этой задачи.

В третьей главе исследуется стационарная краевая задача для системы уравнений, описывающих пространственные движения вязких сжимаемых многокомпонентных сред с учетом теплопроводности. Доказывается нелокальная теорема существования слабых решений краевой задачи без упрощающих предположений о структуре матриц вязкостей, кроме стандартных физических требований положительной определенности.

Четвертая глава посвящается исследованию разрешимости начально-краевой задачи соответствующей нестационарным баротроп-ным движениям вязких сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной трехмерной области. Не делалось никаких упрощающих предположений на матрицы вязкостей, кроме стандартных физических требований. Основным результатом здесь является глобальная теорема существования слабых решений начально-краевой задачи.

В пятой главе для системы дифференциальных уравнений, описывающих нестационарные политропные течения вязких сжимаемых многокомпонентных сред с недиагональной матрицей вязкостей проводится анализ глобальной по времени и начальным данным однозначной разрешимости начально-краевой задачи в случае одной пространственной переменной. Доказывается нелокальная теорема о существовании и единственности сильного решения начально-краевой задачи.

Приложение А содержит краткое описание математических моделей динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред.

В Приложении В доказывается теорема о локальной разрешимости краевой задачи для стационарных уравнений динамики вязких сжимаемых теплопроводных двухкомпонентных сред в общем случае трех пространственных переменных.

В приложении С рассматриваются уравнения динамики вязких сжимаемых двухкомпонентных сред в случае одномерного баротропно-го движения. Доказываются локальное существование и единственность сильного решения начально-краевой задачи.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Прокудин Дмитрий Алексеевич, 2022 год

Список литературы

[1] Амосов А.А. Корректность «в целом» начально-краевых задач для

системы уравнений динамики вязкого излучающего газа. Докл. АН СССР, 1985, Т. 280, № 6, С. 1326-1329.

[2] Амосов А.А. Уравнения одномерного движения вязкого газа с

негладкими данными и их квазиосреднение. Дисс. докт. физ-мат. наук, Москва, 1997.

[3] Амосов А.А., Злотник А.А. Обобщенные решения «в целом» урав-

нений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Доклады АН СССР, 1988, Т. 301, № 1, С. 11-15.

[4] Амосов А.А., Злотник А.А. Разрешимость «в целом» системы урав-

нений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа. Мат. заметки, 1992, Т. 52, Вып. 2, С. 3-16.

[5] Амосов А.А., Злотник А.А. Единственность и устойчивость обоб-

щенных решений одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа. Мат. заметки, 1994, Т. 55, № 6, С. 13-31.

[6] Амосов А.А., Злотник А.А. Разрешимость «в целом» квазиосред-

ненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными. Вестник МЭИ, 1994, № 4, С. 7-24.

[7] Амосов А.А., Злотник А.А. Единственность и устойчивость обоб-

щенных решений квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды. Дифф. уравнения, 1995. Т. 31, № 7, С. 1123-1131.

[8] Амосов А.А., Злотник А.А. Обоснование квазиосредненных урав-

нений одномерного движения вязкой баротропной среды с быст-

роосциллирующими свойствами. Доклады РАН, 1995, Т. 342, № 3, С. 295-299.

[9] Амосов А.А., Злотник А.А. О квазиосредненных уравнениях одно-

мерного движения вязкой баротропной среды с быстроосциллиру-ющими данными. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т. 36, № 2, С. 87-110.

[10] Амосов А.А., Злотник А.А. Оценка погрешности квазиосреднения уравнений движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими данными. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т. 36, № 10, С. 111-128.

[11] Амосов А.А., Злотник А.А. Свойства «в целом» квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Доклады РАН, 1996, Т. 346, № 2, С. 151-154.

[12] Амосов А.А., Злотник А.А. О свойствах обобщенных решений одномерных линейных параболических задач с негладкими коэффициентами. Дифф. уравнения, 1997, Т. 33, № 1, С. 83-95.

[13] Амосов А.А., Злотник А.А. Полудискретный метод решения уравнений одномерного движения неоднородного вязкого теплопроводного газа с негладкими данными. Изв. ВУЗов. Математика, 1997, № 4. С. 3-19.

[14] Амосов А.А., Злотник А.А. Обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быст-роосциллирующими свойствами. Доклады РАН, 1997, Т. 354, № 4, С. 439-442.

[15] Ахмерова И.Г., Папин А.А. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси. Матем. заметки, 2014, Т. 96, № 2, С. 170-185.

[16] Амосов А.А., Казенкин К.О. Разрешимость «в целом» одномерной задачи о заполнении объема вязким баротропным газом с негладкими данными. Вестник МЭИ, 1995, № 6, С. 5-21.

[17] Антонцев С.Н., Кажихов, А.В., Монахов, В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Наука, Новосибирск, 1983.

[18] Белов С.Я. Разрешимость «в целом» задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1981, Вып. 50, С. 3-14

[19] Белов С.Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1982, Вып. 56, С. 22-43.

[20] Белов С.Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом. Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1983, Вып. 59, С. 23-38.

[21] Белов С.Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1983, вып. 60, С. 34-50.

[22] Боговский М.Е. Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad. Труды семинара С. Л. Соболева, 1980, Т. 1, С. 5-40.

[23] Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1990, Вып. 97, С. 3-21.

[24] Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. Задачи механики-ки сплошной среды со свободными границами, Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, Динамика сплошной среды, 1991, Вып. 101, С. 31-52.

[25] Вайгант В.А. О задаче Коши для системы уравнений вязкого газа, Динамика сплошной среды, 1992, Вып. 102, С. 3-10.

[26] Вайгант В.А. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса вязкого газа. Дис. канд. физ.-мат. наук, Барнаул, 1992.

[27] Вайгант В.А. Пример несуществования «в целом» по времени решения уравнений Навье—Стокса сжимаемой вязкой баротропной

жидкости. Дин. жидкости со своб. границами, Ин-т гидродинамики СО РАН, Новосибирск, Дин. сплош. среды., 1993, Вып. 107, С. 39-48.

[28] Вайгант В.А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред. Дисс. докт. физмат. наук., Барнаул, 1998.

[29] Вайгант В.А., Кажихов А.В. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Дифф. уравнения, 1994, Т. 30, № 6, С. 1010-1022.

[30] Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости. Сиб. мат. журнал, 1995, Т. 36, № 6, С. 1283-1316.

[31] Вайгант В.А., Кажихов А.В. Разрешимость «в целом» начально-краевой задачи для уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Доклады РАН, 1995, Т. 340, № 4, С. 460-462.

[32] Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости. Доклады РАН, 1997, Т. 357, № 4, С. 445-448.

[33] Вайгант В.А., Папин А.А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропоного газа с вязкостью, зависящей от плотности. Динамика сплошной среды, 1987, Вып. 79, С. 3-9.

[34] Воинов О.В., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси. Прикладная механика и техническая физика, 1980, Т. 21, № 5, С. 38-45.

[35] Вольперт А.И., Худяев С.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. Сб., 1972, Т. 87, № 4, С. 504-528.

[36] Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. Мир, Москва, 1978.

[37] Гатапов Б.В., Кажихов А.В. Существование глобального решения одной модельной задачи динамики атмосферы. Сиб. мат. журн., 2005, Т. 46, № 5, С. 1011-1020.

[38] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, Москва, 1989.

[39] Головкин К.К. К теоремам вложения. Докл. АН СССР, 1960, Т. 134, № 1, С. 19-22.

[40] Денисова И.В. Разрешимость в гельдеровских пространствах линейной задачи о движении двух жидкостей, разделенных замкнутой поверхность. Алгебра и анализ, 1993, Т. 5, № 4, С. 122-148.

[41] Денисова И.В. Задача о движении двух сжимаемых жидкостей, разделенных замкнутой свободной поверхностью. Зап. научн. сем. ПОМИ, 1997, Т. 243, С. 61-86.

[42] Денисова И.В., Нечасова Ш. Движение двух несжимаемых жидкостей в приближении Обербека-Буссинеска. Зап. научн. сем. ПОМИ, 2008, Т. 362, С. 92-119.

[43] Денисова И.В., Солонников В.А. Разрешимость в гельдеровских пространствах модельной начально-краевой задачи, порожденной задачей о движении двух жидкостей. Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1991, Т. 188, С. 5-44.

[44] Денисова И.В., Солонников В.А. Классическая разрешимость задачи о движении двух вязких несжимаемых жидкостей. Алгебра и анализ, 1995, Т. 7, № 5, С. 101-142.

[45] Денисова И.В., Солонников В.А. Глобальная разрешимость задачи о движении двух несжимаемых капиллярных жидкостей в контейнере. Зап. научн. сем. ПОМИ, 2011, Т. 397, С. 20-52.

[46] Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления. Геология и геофизика, 1989, Т. 9, С. 56-65.

[47] Жалнина А. А., Кучер Н. А. Зависимость от области решений краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей.

Сибирский журнал индустриальной математики, 2017, Т. 20, № 1 (69), С. 41-52.

[48] Жумагулов Б.Т., Зубов Н.В., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Новые компьютерные технологии в нефтедобыче. Гылым, Алматы, 1996.

[49] Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. КазгосИНТИ, Алматы, 2001.

[50] Закора Д. А., Копачевский Н. Д. О малых движениях и нормальных колебаниях гидросистемы «вязкая жидкость + система идеальных жидкостей», Матем. физ., анал., геом., 2002, Т. 9, № 3, С. 420-426.

[51] Закора Д. А., Копачевский Н. Д. К проблеме малых колебаний системы из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд (модельная задача). Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, Российский университет дружбы народов, М., 2020, Т. 66, № 2, С. 182-208.

[52] Злотник А.А. Об уравнениях движения вязкого баротропного газа при наличии массовой силы. Сиб. мат. журн., 1992, Т. 33, № 5, С. 62-79.

[53] Злотник А.А. Слабые решения уравнений движения вязкой сжимаемой реагирующей бинарной смеси: единственность и непрерывная по Липшицу зависимость от данных. Матем. заметки, 2004, Т. 75, №2, С. 307-310.

[54] Злотник А. А. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной ба-ротропной смеси. Математические заметки, 1995, Т. 58, № 2, С. 307-312.

[55] Злотник А.А., Амосов А.А. Обобщенные решения «в целом» уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Докл. АН СССР, 1988, Т. 299, № 6, С. 1303-1307.

[56] Злотник А.А., Амосов А.А. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Сиб. мат. журн., 1997, Т. 38, № 4, С. 767-789.

[57] Злотник А.А., Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическое поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баро-тропного газа. Мат. заметки, 1994, Т. 55, № 5. С. 51-68.

[58] Злотник А.А., Нгуен Жа Бао. К поведению при t ^ то решений одной квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами. Дифф. уравнения, 1994, Т. 30, № 6, С. 1080-1082.

[59] Иосида К. Функциональный анализ. Мир, Москва, 1967.

[60] Кажихов А.В. Корректность «в целом» смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1975, Вып. 21, С. 18-47.

[61] Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976, Вып. 24, С. 45-61.

[62] Кажихов А.В. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976, Вып. 26, С. 60-76.

[63] Кажихов А.В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды, 1979, Вып. 38, С. 33-47.

[64] Кажихов А.В. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости. Дифф. уравнения, 1979, Т. 15, № 4, С. 662-667.

[65] Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа. Сиб. мат. журн., 1982, Т. 23, № 1, С. 60-64.

[66] Кажихов А.В. Уравнения потенциальных течений вязкой сжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса: существование, единственность и стабилизация решений. Сиб. мат. журн., 1993, Т. 34, № 3, С. 70-80.

[67] Кажихов А. В. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Издательство Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2008.

[68] Кажихов А.В., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния. Докл. АН СССР, 1979, Т. 246, № 5, С. 1045-1047.

[69] Кажихов А.В., Николаев В.Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1979, Т. 10, № 2, С. 77-84.

[70] Кажихов А.В., Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси. Динамика сплошной среды, 1978, Т. 35, С. 61-73.

[71] Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа. Прикладная механика и техническая физика. 1977, Т. 41, № 2, С. 282-291.

[72] Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. Дифф. уравнения, 1968, Т. 4, № 4, С. 721-734.

[73] Кучер Н. А., Жалнина А. А. О корректности стационарной задачи обтекания препятствия потоком смесей вязких сжимаемых жидкостей. Вестник Кемеровского государственного университета, 2014, № 4-3 (60), С. 47-53.

[74] Кучер Н. А., Жалнина А. А. О корректности неоднородной краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей. Сибирский журнал индустриальной математики, 2015, Т. 18, № 3 (63), С. 26-39.

[75] Кучер Н. А., Жалнина А. А., Малышенко О.В. О существовании сильных решений регуляризованных уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей. Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, 2020, № 64, С. 31-47.

[76] Кучер Н. А., Краюшкина М.В., Малышенко О.В. О конечномерной аппроксимации уравнений движений смесей вязких сжимаемых жидкостей. Вестник Кемеровского государственного университета, 2013, № 3-1 (55), С. 61-65.

[77] Кучер Н. А., Краюшкина М.В., Малышенко О.В. Глобальная разрешимость регуляризованной задачи о движении смеси вязких сжимаемых жидкостей. Вестник Кемеровского государственного университета, 2013, № 2-1 (54), С. 80-84.

[78] Кучер Н.А., Мамонтов А.Е., Прокудин Д.А. Стационарные решения уравнений динамики смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей. Сибирский математический журнал, 2012, Т. 53, № 6, С. 1338-1353.

[79] Кучер Н. А., Прокудин Д. А. Стационарные задачи механики вязких сжимаемых сред. I. Кемеровский государственный университет, Кемерово, 2011.

[80] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Наука, Москва, 1967.

[81] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, Москва, 1973.

[82] Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Наука, Москва, 1970.

[83] Мамонтов А.Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости. Сиб. мат. журн., 1996, Т. 37, № 5, С. 1117-1131.

[84] Мамонтов А.Е. Глобальные теоремы существования для многомерных уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей в пространствах Орлича. Дисс. докт. физ-мат. наук, Новосибирск, 2008.

[85] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость стационарной краевой задачи для уравнений движения однотемпературной смеси вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей. Известия Рос-

сийской академии наук. Серия математическая, 2014, Т. 78, № 3, С. 135-160.

[86] Мамонтов А. Е Прокудин Д. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений политропного движения смесей вязких сжимаемых жидкостей. Сибирские электронные математические известия, 2016, Т. 13, С. 541-583.

[87] Мамонтов А. Е, Прокудин Д. А. Разрешимость регуляризованной стационарной задачи о пространственных движениях многокомпонентных вязких сжимаемых жидкостей. Сибирский математический журнал, 2016, Т. 57, № 6, С. 1333-1345.

[88] Мамонтов А. Е, Прокудин Д. А. Разрешимость стационарной краевой задачи для уравнений политропного движения вязких сжимаемых многожидкостных сред. Сибирские электронные математические известия, 2016, Т. 13, С. 664-693.

[89] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Существование слабых решений задачи о трехмерных стационарных баротропных движениях смесей вязких сжимаемых жидкостей. Сибирский математический журнал, 2017, Т. 58, № 1, С. 148-164.

[90] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Viscous compressible homogeneous multi-fluids with multiple velocities: barotropic existence theory. Сибирские электронные математические известия, 2017, Т. 14, С. 388-397.

[91] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость нестационарных уравнений многокомпонентных вязких сжимаемых жидкостей. Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2018, Т. 82, № 1, С. 151-197.

[92] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Unique solvability of initial-boundary value problem for one-dimensional equations of polytropic flows of multicomponent viscous compressible fluids. Сибирские электронные математические известия, 2018, Т. 15, С. 631-649.

[93] Мамонтов А. Е, Прокудин Д. А. Разрешимость задачи для уравнений динамики смесей теплопроводных вязких сжимаемых жидкостей с одной температурой. Доклады Академии наук, 2019, Т. 486, № 2, С. 159-162.

[94] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Глобальные оценки и разрешимость регуляризованной задачи о трехмерном нестационарном движении вязкой сжимаемой теплопроводной многокомпонентной жидкости. Сибирские электронные математические известия, 2019, Т. 16, С. 547-590.

[95] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Предельный переход в галеркин-ских приближениях регуляризованной задачи о трехмерном нестационарном движении вязкой сжимаемой теплопроводной многокомпонентной жидкости, Сибирские электронные математические известия, 2020, Т. 17, С. 227-259.

[96] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Galerkin approximations in the problem of one-dimensional unsteady motion of a viscous compressible two-component fluid, Сибирские электронные математические известия, 2020, Т. 17, С. 406-415.

[97] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость нестационарных уравнений трехмерного движения теплопроводных вязких сжимаемых двухкомпонентных жидкостей, Изв. РАН. Сер. матем., 2021, Т. 85, № 4, С. 147-204.

[98] Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Глобальная однозначная разрешимость начально-краевой задачи для одномерных баротропных уравнений динамики бинарных смесей вязких сжимаемых жидкостей. Сибирский журнал индустриальной математики, 2021, Т. 24, № 1, С. 32-47.

[99] Мамонтов А.Е., Прокудин Д.А. Локальная разрешимость приближенной задачи для одномерных уравнений динамики смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей. Сибирские электронные математические известия, 2021, Т. 18, №2, С. 931-950.

[100] Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. Наука, Москва, 1987.

[101] Николаев В.Б. Краевая задача для уравнений одномерного ба-ротропного движения вязкого газа с немонотонной функцией состояния, Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1983, Вып. 59, С. 130-139.

[102] Новотны А., Падула М. Существование и единственность стационарных решений уравнений сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости при больших потенциальных и малых непотенциальных внешних силах. Сиб. мат. журн., 1993, Т. 34, № 5. С. 120-146.

[103] Папин А.А. Существование решения «в целом» уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. I. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Сиб. журн. ин-дустр. матем., 2006, Т. 9, № 2, С. 116-136.

[104] Папин А.А. Существование решения «в целом» уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. II. Результаты о разрешимости. Сиб. журн. индустр. матем., 2006, Т. 9, № 3, С. 111-123.

[105] Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. Изд-во АлтГУ, Барнаул, 2009.

[106] Папин А.А. Разрешимость краевой задачи фильтрации двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей в пористых средах. Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 2009, Т. 9, № 2, С. 80-87.

[107] Папин А.А. Об единственности решений начально-краевой задачи для системы теплопроводной двухфазной смеси. Матем. заметки, 2010, Т. 87, № 4, С. 636-640.

[108] Папин А. А., Ахмерова И. Г. Разрешимость системы уравнений одномерного движения теплопроводной двухфазной смеси. Матем. заметки, 2010, Т. 87, № 2, С. 246-261.

[109] Петров А.Н. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов. Динамика неоднородной жидкости, Т. 56, Динамика сплошной среды, Ин-т гидродинамики, Новосибирск, 1982, С. 105-121.

[110] Плотников П.И., Соколовски Ж. Стационарные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса с показателем адиабаты y < 3/2. Доклады РАН, 2004, Т. 397, № 2, С. 166-169.

[111] Плотников П.И., Соколовски Ж. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса для двухатомных газов. Успехи мат. наук, 2007, Т. 62, Вып. 3 (375), С. 117-148.

[112] Прокудин Д. А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для модельной системы уравнений политропного движения смеси вязких сжимаемых жидкостей. Сибирские электронные математические известия, 2017, Т. 14, С. 568-585.

[113] Прокудин Д. А. Solvability of a regularized boundary-value problem for the system of equations of dynamics of mixtures of viscous compressible heat-conducting fluids. Сибирские электронные математические извести, 2020, Т. 17, С. 300-312.

[114] Прокудин Д. А. Существование слабых решений задачи о трехмерных стационарных теплопроводных движениях вязких сжимаемых многокомпонентных смесей. Сибирский математический журнал, 2021, Т. 62, № 5, С. 1109-1123.

[115] Прокудин Д. А. О стабилизации решения начально-краевой задачи для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентн-ных сред. Сибирские электронные математические известия, 2021, Т. 18, № 2, С. 1278-1285.

[116] Прокудин Д. А., Краюшкина М. В. Разрешимость стационарной краевой задачи для модельной системы уравнений баротропного движения смеси вязких сжимаемых жидкостей. Сибирский журнал индустриальной математики, 2016, Т. 19, № 3, С. 55-67.

[117] Рахматулин X. А. Основы газовой динамики взаимопроникающих движений сплошных сред. Прикладная математика и механика, 1956, Т. 20, № 2, С. 184-195.

[118] Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I. Наука, Москва, 1970.

[119] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Наука, Москва, 1988.

[120] Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. Наука, Москва, 1989.

[121] Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. Исследования по лин. операторам и теории функций. 6. Л.: Наука, 1976, С. 128142. (Зап. науч. сем. ЛОМИ / Мат. Ин-т АН СССР. Ленингр. отделение. Т. 56).

[122] Треногин В.А. Функциональный анализ. Наука, Москва, 1980.

[123] Чеботарев А.Ю. Неоднородная краевая задача радиационного теплообмена для многокомпонентной среды. Дальневост. матем. журн., 2020, Т. 20, № 1, С. 108-113.

[124] Чеботарев А.Ю. Оптимальное управление уравнениями радиационного теплообмена для многокомпонентных сред. Дальневост. матем. журн., 2021, Т. 21, № 1, С. 113-121.

[125] Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа. Динамика сплошной среды, 1979, Вып. 42, С. 80-102.

[126] Шелухин В. В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа. Прикладная механика и техническая физика, 1984, Т. 48, № 6, С. 912-920.

[127] Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.

[128] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1959, V. 12, № 4, P. 623-727.

[129] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1964, V. 17, № 1, P. 35-92.

[130] Al-Sharif A., Chamniprasart K., Rajagopal K. R., Szeri, A. Z. Lubrication with binary mixtures: liquid-liquid emulsion. ASME. J. Tribol., 1993, V. 115 (1), P. 46-55.

[131] Amosov A.A., Bocharova O.V., Zlotnik A.A. On the asymptotic formation of vacuum zones in the one-dimensional motion of a viscous barotropic gas by the action of a large mass force. Russ. J. Numer. Anal. Math. Model., 1995, V. 10, № 6, P. 463-480.

[132] Amosov A.A., Zlotnik A.A. Semidiscrete method for solving quasiaveraged equations of the one-dimensional motion of a viscous heat-conducting gas. Russ. J. Numer. Math. Math. Model., 1997, V. 12, № 3, P. 171-197.

[133] Atkin R. J., Craine R. E. Continuum Theories of Mixtures: Applications. IMA Journal of Applied Mathematics, 1976, V. 17, № 2, P. 153-207.

[134] Baris S. Some simple unsteady unidirectional flows of a binary mixture of incompressible Newtonian fluids. International Journal of Engineering Science, 2002, V. 40, P. 2023-2040.

[135] Baris S. Unsteady flows of a binary mixture of incompressible Newtonian fluids in an annulus. International Journal of Engineering Science, 2005, V. 43, P. 1471-1485.

[136] Baris S., Demir M.S. Flow of a binary mixture of fluids in a semicircular duct. International Journal of Physical Sciences, 2012, V.7, P. 1333-1345.

[137] Baris S., Demir M.S. Hydromagnetic flows of a mixture of two Newtonian fluids between two parallel plates. International Journal of Physical Sciences, 2013, V. 8, P. 343-355.

[138] Baris S., Dokuz M. Analytical solutions for some simple flows of a binary mixture of incompressible Newtonian fluids. Turkish Journal of Engineering and Environmental Sciences, 2002, V. 26, № 6, P. 455-471.

[139] Baris S., Dokuz M. Flow of a binary mixture of incompressible Newtonian fluids in a rectangular channel. International Journal of Engineering Science, 2005, V. 43, P. 171-188.

[140] Beevers C.E., Craine R.E. On the determination of response functions for a binary mixture of incompressible newtonian fluids. Int. J. Engng. Sci., 1982, V. 20, № 6, P. 737-745.

[141] Beirao da Veiga H. Stationary motions and the incompressible limit for compressible viscous limit. Houston J. Math., 1987, V. 13, P. 527544.

[142] Beirao da Veiga H. An L^-theory for n-dimensional stationary compressible Navier-Stokes equations, and the incompressible limit for compressible fluids. The equilibrium solutions. Comm. Math. Phys., 1987, V. 109, P. 229-248.

[143] Beirao da Veiga H. Existence results in Sobolev spaces for a transport equation. Ricerche Math., 1987, V. 36, P. 173-184.

[144] Belov S.Ya. On the initial boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries. J. Math. Kyoto Univ., 1994, V. 34, № 2, P. 369-389.

[145] Benner J.J., Sadeghi F., Hoeprich M.R., Frank M.C. Lubricating properties of water in oil emulsions. J. Tribol., 2006, V. 128 (2), 2006, P. 296-311.

[146] Bernardi C, Pironneau O. On the shallow water equation at low Reynolds number. Comm. PDE, 1991, V. 16, № 1, P. 59-104.

[147] Bresch D., Giovangigli V., Zatorska E. Two-velocity hydrodynamics in fluid mechanics: Part I. Well posedness for zero Mach number systems. J. Math. Pures Appl. (9), 2015, V. 104, № 4, P. 762-800.

[148] Bresch D., Desjardins B., Zatorska E. Two-velocity hydrodynamics in fluid mechanics: Part II. Existence of global k-entropy solutions to

the compressible Navier-Stokes systems with degenerate viscosities. J. Math. Pures Appl. (9), 2015, V. 104, № 4, P. 801-836.

[149] Bresch D., Huang X., Li J. Global weak solutions to one-dimensional non-conservative viscous compressible two-phase system. Commun. Math. Phys., 2012, V. 309, P. 737-755.

[150] Cagliardo Е. Ulterori proprieta! di alcune classi di funzioni in piu variabili. Ric. Math., 1958, V. 8, № 1, 102-137.

[151] Chen G.-Q. Global solutions to the compressible Navier-Stokes equations for a reacting mixture. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1992, V.. 23, № 3, P. 609-634.

[152] Coifman R., Meyer Y. On commutators of singular integrals and bilinear singular integrals. Transactions of the American Mathematical Society, 1975, V. 212, P. 315-331.

[153] Denisova I.V. Solvability in weighted Holder spaces for a problem governing the evolution of two compressible fluids. J. Math. Sci. (N. Y.), 2005, V. 127, № 2, P. 1849-1868.

[154] Denisova I.V. Global solvability of a problem on two fluid motion without surface tension. J. Math. Sci. (N. Y.), 2008, V. 152, № 5, P. 625-637.

[155] DiPerna R.J., Lions P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces. Invent. math., 1989, V. 98, P. 511-547.

[156] DiPerna R.J., Lions P.-L. On the Cauchy problem for the Boltzmann equation: global existence and weak stability. Ann. of Math., 1989, V. 130, P. 312-366.

[157] Drew D. A., Passman S. L. Theory of multicomponent fluids. Springer, New York, 1999.

[158] E W. Propagation of oscillations in the solutions of 1-D compressible fluid equations. Commun. Partial Differ. Equat., 1992, V. 17 (3-4), P. 347-370.

[159] Farwig R. Stationary solutions of the Navier—Stokes equations for a compressible viscous and heat-conductive fluid. Preprint, Univ. Bonn, 1988.

[160] Feireisl E. On compactness of solutions to the compressible isentropic Navier-tokes equations when the density is not square integrable, Comment. Math. Univ. Carolin., 2001, V. 42, № 1, P. 83-98

[161] Feireisl E. Some recent results on the existence of global-in-time weak solutions to the Navier-Stokes equations of a general barotropic fluid. Mathematica Bohemica, 2001, V. 2, P. 203-209.

[162] Feireisl E. Dynamics of viscous compressible fluids. Oxford University Press, Oxford, 2004.

[163] Feireisl E. On weak solutions to a diffuse interface model of a binary mixture of compressible fluids. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 2016, V. 9, № 1, P. 173-183.

[164] Feireisl E., Matusu-Necasova S., Petzeltova H., Straskraba I. On the motion of a viscous compressible fluid driven by a time-periodic external force. Arch. Rat. Mech. Anal., 1999, V. 149, № 1, P. 69-96.

[165] Feireisl E., Novotny A. Singular limits in thermodynamics of viscous fluids. Birkhauser, Basel, 2009.

[166] Feireisl E., Novotny A., Petzeltova H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations. Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 2001, V. 3, P. 358-392.

[167] Feireisl E., Petzeltova H, Trivisa K. Multicomponent reactive flows: global-in-time existence for large data.", Commun. Pure Appl. Anal., 2008, V. 7, № 5, P. 1017-1047.

[168] Frehse J., Goj S., Malek J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2005, V. 36, № 4, P. 1259-1281.

[169] Frehse J., Goj S., Malek J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum. Applications of Mathematics, 2005, V. 50, P. 527-541.

[170] Frehse J., Steinhauer M., Weigant W. The Dirichlet problem for viscous compressible isothermal Navier-Stokes equations in two-dimensions. Arch. Ration. Mech. Anal., 2012, V. 198, P. 1-12.

[171] Frehse J., Steinhauer M., Weigant W. The Dirichlet problem for steady viscous flow in 3-d. J. Math. Pures Appl., 2012, V. 97, P. 85-97.

[172] Frehse J., Weigant W. On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids. Applications of Mathematics, 2008, V. 53, P. 319345.

[173] Gard S.K., Prichett J.W. Dynamics of gas-fluidzed beds. Journal of Applied Physics, 1975, V. 46, № 10, P. 4493-4500.

[174] Giovangigli V. Multicomponent flow modeling. Birkhauser, Boston, 1999.

[175] Giovangigli V., Pokorny M., Zatorska E. On the steady flow of reactive gaseous mixture. Analysis (Berlin), 2015, V. 35, № 4, P. 319-341.

[176] Gomez-Constante J.P., Pagilla P.R., Rajagopal K.R. A thermomechanical and photochemical description of the phase change process in roll-to-roll nanoimprinting lithography. International Journal of Engineering Science, 2021, V. 169, Article 103564.

[177] Graffi D. Il teorema di unicia nella dinamica dei fluidi compressibli. J. Rat. Mech. Anal, 1953, V. 2, P. 99-106.

[178] Gronwall T.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations. Ann. Math., 1919, V. 20, P. 292-296.

[179] Heywood J.G., Padula M. On the uniqueness and existence theory for steady compressible viscous flow in Fundamental directions in mathematical fluids mechanics. Adv. Math. Fluids Mech., Birkhauser, Basel, 2000, P. 171-189.

[180] Hill N.E. Mutual viscosity and diffusion in liquid mixtures. Proceedings of the Physical Society. Section B, 1955, V. 68, № 4, P. 209-212.

[181] Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow. Arch. Rat. Mech. Anal., 1991, V. 114, P. 15-46.

[182] Hoff D. Global well-posedness of the Cauchy problem for nonisentropic gas dynamics with discontinuous initial data. J. Differential Equations, 1992, V. 95, P. 33-74.

[183] Hoff D. Spherically symmetric solutions of the Navier—Stokes equations for compressible, isotermal flow with large, discontinuous initial data. Indiana Univ. Math. J., 1992, V. 41, № 4, P. 1225-1302.

[184] Hoff D. Strong convergence to global solutions for multidimensional flows of compressible, viscous fluids with polytropic equations of state and discontinuous initial data. Arch. Ration. Mech. Anal., 1995, V. 132, P. 1-14.

[185] Hoff D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow with discontinuous initial data. J. Diff. Equat, 1995, V. 120, P. 215-254.

[186] Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier—Stokes equations for multidimensional heat-conducting flow. Indiana University, 1995, Preprint N 9517.

[187] Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier—Stokes equations for multidimensional flows of heat-conducting fluids, Arch. Ration. Mech. Anal., 1997, V. 139, № 4, P. 303-354.

[188] Hoff D. Dynamics of singularity surfaces for compressible viscous flows in two space dimensions. Comm. Pure Appl. Math., 2002, V. 55, № 11, P. 1365-1407.

[189] Hoff D., Serre D. The failure of continuous dependence on initial data for the Navier-Stokes equations of compressible flow, SIAM J. Appl. Math., 1991, V. 51, № 4, P. 887-898.

[190] Hoff D., Zumbrun K. Multidimensional diffusion waves for the Navier-Stokes equations of compressible flow. Indiana Univ. Math. J., 1995, V. 44, № 2, P. 603-676.

[191] Itaya N. The existence and uniqueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow. Proc. Jap. Acad., 1970, V. 46, № 4, P. 379-382.

[192] Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation. J. Math. Kyoto Univ., 1974, № 1, P. 129-177.

[193] Itaya N. A servey on the generalized Burgers equation with a pressure model term. J. Math. Kyoto Univ, 1976, V. 16, № 1, P. 223-240.

[194] Jessie D., Novotny A. Existence of renormalized weak solutions to the steady equations describing compressible fluids in barotropic regime. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 2013, V. 99, № 3, P. 280-296.

[195] Kawashima S., Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases. J. Math. Kyoto Univ., 1981, V. 21, P. 825-837.

[196] Kawohi B. Global existence of large solutions to initial boundary value problem for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas. Journal of Differential Equations, 1985, V. 58, P. 76-103.

[197] Kazhikhov A.V. Sur la solubilite globale des problemes monodomensionelles aux valeurs initiales-limites pour les equations dun gas visqueux et calorifere. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A, 1977, V. 284, P. 317-320.

[198] Kazhikhov A.V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low Reynolds number. Acta Math. Appl., 1994, V. 37, № 1, P. 77-81.

[199] Kirwan A.D., Massoudi M. The heat flux vector(s) in a two component fluid mixture. Fluids, 2020, V. 5, № 2, Article 77.

[200] Koiotiiov V. A., Fomin V. M. Two methods of mathematical formulation of heterogeneous media in problems of shock wave loading. AIP Conference Proceedings 2027, 2018, Article 030144.

[201] Kucher N. A., Zhalnina A.A. Shape differentiability of drag functional and boundary value problem solutions for fluid mixture equations. Science Evolution, 2016, V. 1,№ 2, P. 41-56.

[202] Kucher N. A., Zhalnina A.A. On the regularization of equations of the mechanics of mixtures of viscous compressible fluids. Science Evolution, 2017, V. 2, № 2, P. 54-71.

[203] Kufner A., John O., Fucik S. Function Spaces. Noordhoff International Publishing, Leyden and Aeademia, Praha, 1977.

[204] Lee R.-T., Yang K.-T., Chiou Y.-C. A novel model for a mixed-film lubrication with oil-in-water emulsion. Tribology International, 2013, V. 66, P. 241-248.

[205] Li S. On one-dimensional compressible Navier-Stokes equations for a reacting mixture in unbounded domains. Z. Angew. Math. Phys., 2017, V. 68, Article 106.

[206] Lions P.-L. Compacite des solutions des equations de Navier-Stokes compressible isentropiques. Comp. Ren. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math, 1993, V. 317, № 1, P. 115-120.

[207] Lions P.-L. Existence globale de solutions pour les equations de Navier-Stokes compressible isentropiques. C.R. Acad. Sci. Paris, 1993, V. 316, P. 1335-1340.

[208] Lions P.L. Mathematical topics in fluid nechanics. Vol. 2. Compressible models. Oxford University Press, New York, 1998.

[209] Lions P.-L. Bornes sur la densite pour les equations de Navier-Stokes compressibles isentropiques avec conditions aux limites de Dirichlet. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math., 1999, V. 328, № 8, P. 659-662.

[210] Lo S.-W., Yang T.-C., Lin H.-S. The lubricity of oil-in-water emulsion in cold strip rolling process under mixed lubrication. Tribology International, 2013, V. 66, P. 125-133.

[211] Lu Min, Kazhikhov A.V., Seiji Ukai. Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensional

compressible flow. Science Bull. of Josai Univ., Sp. issue, 1998, № 5, P. 155-174.

[212] Lukaszewicz G. An existence theorem for compressible viscous and heat conducting fluids. Math. Meth. Appl. Sci, 1984, V. 6, P. 234-247.

[213] Malek J., Rajagopal K.R. A thermodynamic framework for a mixture of two liquids. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2008, V. 9, P. 1649-1660.

[214] Mamontov A.E., Prokudin D.A. Viscous compressible multi-fluids: modeling and multi-D existence. Methods and Applications of Analysis, 2013, V. 20, № 2, P. 179-196.

[215] Mamontov A. E., Prokudin D. A. Local solvability of initial-boundary value problem for one-dimensional equations of polytropic flows of viscous compressible multifluids. Journal of Mathematical Sciences, 2018, V. 231, № 2, P. 227-242.

[216] Mamontov A. E., Prokudin D. A. Global unique solvability of the initial-boundary value problem for the equations of one-dimensional polytropic flows of viscous compressible multifluids. Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 2019, V. 21, № 1, Article 9.

[217] Massoudi M. Flow of a binary mixture of linearly incompressible viscous fluids between two horizontal parallel plates. Mechanics Research Communications, 2008. V. 35, № 8, P. 603-608.

[218] Massoudi M. A note on the meaning of mixture viscosity using the classical continuum theories of mixtures. International Journal of Engineering Science, 2008, V. 46, P. 677-689.

[219] Masmoudi N. Asymptotic problems and compressible and incompressible limits. Advances in mathematical fluid mechanics (Paseky, Czech Republic, 1999), Eds. J. Malek, J. Necas, M. Rokyta, Springer, Berlin, 2000, P. 119-158.

[220] Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat conductive fluids. Proc. Japan. Acad. Ser. A, 1979, V. 55, P. 337-342.

[221] Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases. J. Math. Kyoto Univ., 1980, V. 20, № 1, P. 67-104.

[222] Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat conductive fluids. Comm. Math. Phys, 1983, V. 89, P. 445-464.

[223] Matsumura A., Yamagata N. Global weak solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow subject to large external potential forces. Osaka J. Math., 2001, V. 38, P. 399-418.

[224] Mucha P.B., Pokorny M. On the steady compressible Navier— Stokes—Fourier system. Communications in Mathematical Physics, 2009, V. 288, P. 349-377.

[225] Mucha P.B., Pokorny M. Weak solutions to equations of steady compressible heat conducting fluids. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2010, V. 20, № 5, P. 785-813.

[226] Mucha P. B., Pokorny M., Zatorska E. Chemically reacting mixtures in terms of degenerated parabolic setting. J. Math. Phys., 2013, V. 54, № 7, Article 071501.

[227] Mucha P. B., Pokorny M., Zatorska E. Heat-conducting, compressible mixtures with multicomponent diffusion: construction of a weak solution. SIAM J. Math. Anal., 2015, V. 47, № 5, P. 3747-3797.

[228] Muller I. A thermodynamic theory of mixtures of fluids. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1968, V. 28, № 1, P. 1-39.

[229] Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary. J. Diff. Equat, 1986, V. 65, P. 49-67.

[230] Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas. Japan J. Appl. Math, 1988, V. 5, P. 53-85.

[231] Nagasawa T. On the one-dimensional free boundary problem for the heat-conductive compressible viscous gas. Lecture Notes in Num. Appl. Anal., 1989, V. 10, P. 83-99.

[232] Nagnibeda E., Kustova E. Non-equilibrium reacting gas flow. Springer, Berlin, 2009.

[233] Nazarov S., Novotny A., Pileckas K. On steady compressible Navier-Stokes equations in plane domains with corners. Math. Annalen, 1996, V. 304, № 1, P. 121-150.

[234] Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluide general. Bull. Soc. Math. France, 1962, V. 90, № 4, P. 487-497.

[235] Nishida T. Equations of motion of compressible viscous fluids. In Patterns and Waves. Qual. Anal. Nonlinear Differ. Equat, Tokyo, Amsterdam, 1986, P. 97-128.

[236] Novo S., Novotny A. On the existence of weak solutions to the steady compressible Navier-Stokes equations when the density is not square integrable, J. Math. Kyoto Univ., 2002, V. 42, P. 531-550.

[237] Novo S., Novotny A. On the existence of weak solutions to the steady compressible Navier-Stokes equations in domains with conical outlets, J. Math. Fluid Mech., 2006, V. 8, P. 187-210.

[238] Novotny A. Steady flows of viscous compressible fluids in exterior domains under small perturbations of great potential forces. Math. Model. Meth. Appl. Sci., 1993, V. 3, № 6, P. 725-757.

[239] Novotny A. Some remarks to the compactness of steady compressible isentropic Navier-Stokes equations via the decomposition method. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 1996, V. 37, № 2, P. 305-342.

[240] Novotny A., Padula M. Lp-approach to steady flows of viscous compressible fluids in exterior domains. Arch. Rat. Mech. Anal, 1994, V. 126, P. 243-297.

[241] Novotny A., Padula M. Physically reasonable solutions to steady compressible Navier-Stokes equations in 3D-exterior domains. Math. Ann., 1997, V. 308, P. 438-439.

[242] Novotny A., Padula M., Penel P. A remark on the well-posedness of the problem of a steady flow of a viscous barotropic gas in a pipe. Comm. PDE, 1996, V. 21, № 1-2, P. 23-35.

[243] Peng L. Asymptotic stability of a viscous contact wave for the one-dimensional compressible Navier-Stokes equations for a reacting mixture. Acta Math. Sci., 2020, V. 40, P. 1195-1214.

[244] Novotny A., Pokorny M. Steady compressible Navier-Stokes-Fourier system for monoatomic gas and its generalizations. Journal of Differential Equations, 2011, V. 251, № 1, P. 270-315.

[245] Novotny A., Straskraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow. Oxford University Press, Oxford, 2004.

[246] Okada M., Kawashima S. On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous fluids. J. Math. Kyoto Univ., 1983, V. 23, P. 55-71.

[247] Padula M. Existence and uniqueness for viscous steady compressible motions. Arch. Rat. Mech. Anal., 1986, V. 97, № 1, P. 1-20.

[248] Padula M. Existence and uniqueness for viscous steady compressible motions. Arch. Rat. Mech. Anal., 1987, V. 97, № 2, P. 89-102.

[249] Padula M. Steady flows of barotropic viscous fluids. In: Classical Problems in Mechanics, Quad. Mat. 1, Dept. Math., Seconda Univ. Napoli, Caserta, 1993, P. 253-345

[250] Plotnikov P.I., Sokolowski J. Concentrations of solutions to time-discretizied compressible Navier-Stokes equations. Comm. in Mathematical Physics. V. 258, № 3, 2005, P. 567-608.

[251] Plotnikov P.I., Sokolowski J. On compactness, domain dependence and existence of steady state solutions to compressible isothermal Navier-Stokes equations. J. Math. Fluid Mech., 2005, V. 7, № 4, P. 529-573.

[252] Plotnikov P.I., Sokolowski J. Domain dependence of solutions to compressible Navier-Stokes equations, SIAM J. Control Optim., 2006, V. 45, № 4, P. 1165-1197.

[253] Plotnikov P.I., Sokolowski J. Stationary boundary value problems for compressible Navier-Stokes equations.In Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, Ed. Chipot M., North-Holland, V. 6, 2008, P. 313-410.

[254] Plotnikov P., Sokolowski J. Compressible Navier-Stokes Equations. Theory and Shape Optimization. Birkhauser, Basel, 2012.

[255] Plotnikov P. I., Weigant W. Steady 3D viscous compressible flows with adiabatic exponent y £ (1, to). Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 2015, V 104, № 1, P. 58-82.

[256] Prokudin D. A. Global solvability of the initial boundary value problem for a model system of one-dimensional equations of polytropic flows of viscous compressible fluid mixtures. Journal of Physics: Conference Series, 2017, V. 894, Article 012076.

[257] Pukhnachov V.V., Voinov O.V., Petrova A.G., Zhuravleva E.N., Gudz O.A. Dynamics, stability and solidification of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration. Berlin, Springer, 2003.

[258] Rajagopal K.L., Tao L. Mechanics of mixtures. World Scientific Publishing, Singapore, 1995.

[259] Sacsena M.P., Harminder, Kumar S. Viscosity of binary liquid mixtures. J. Phys. C: Solid State Phys., 1975, V. 8, P. 2376-2381.

[260] Sampaio R., Williams W.O. On the viscosities of liquid mixtures. Journal of Applied Mathematics and Physics, 1977, V. 28, P. 607-614.

[261] Scannapieco A. J., Cheng B. A multifluid interpenetration mix model. Physics Letters A, 2002, V. 299, P. 49-64.

[262] Secchi P., Valli A. A free boundary problem for compressible viscous fluids. J. Reine und Angew. Math, 1983, V. 341, P. 1-31.

[263] Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite dun fluide visqueux compressible. Physica D, 1991, V. 48, P. 113-128.

[264] Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion. Arch. Rational Mech. Anal., 1959, V.3, № 3, P. 271-288.

[265] Solonnikov V.A., Kazhikhov A.V. Existence theorems for the equations of the motion of a compressible viscous fluid. Ann. Rev. Fluid Mech, 1981, V. 13, P. 79-95.

[266] Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas. J. Diff. Eq., 1994, V. 110, P. 157-181.

[267] Surana K.S., Powell M., Reddy J.N. A simple mixture theory for v Newtonian and generalized Newtonian constituents. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 2012, V. 26, № 1, P. 33-65.

[268] Tamura M., Kurata M. On the viscosity of binary mixture of liquids.Bulletin of the Chemical Society of Japan, 1952, V. 25, № 1, P. 32-38.

[269] Szeri A.Z. On the flow of emulsions in tribological contacts. Wear, 1996, V. 200, № 1-2, P. 353-364.

[270] Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation. Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ., 1974, V. 10, № 1, P. 209-233.

[271] Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 1977, V. 13, № 1, P. 193-253.

[272] Tani A. The initial value problem for the equations of motion of compressible viscous fluid with some slip boundary condition // Pattern and waves. Qualitative analysis of nonlinear differential equations. T.Nishida and al. eds., Kinokunija, Tokyo & North-Holland, Amsterdam. 1986. P. 675-684.

[273] Tani A. The initial value problem for the equations of the motion of general fluid with general slip boundary condition. Kyoto University, RIMS-Kokyuroku, 1990, V. 734, P. 123-142.

[274] Tartar L.C. Compensated compactness and applications to partial differential equations. In Nonlinear Analysis and Mechanics, Heriot-Watt Symposium, 1979, V. IV, P. 136-212.

[275] Valli A. An existence theorem for compressible vuscous fluids. Ann. Mat. Pura. Appl, 1982, V. 130, № 4, P. 197-213.

[276] Valli A. Periodic and stationary solutions for compressible Navier-Stokes equations via a stability method. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, 1983, V. 10, № 4, P. 607-647.

[277] Valli A. On the existence of stationary solutions to compressible Navier-Stokes equations. Ann. Inst. H. Poincare, 1987, V. 4, P. 99-113.

[278] Valli A. Mathematical results for compressible flows. In Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Pitman Research Notes in Mathematics Series, V. 274, Edited by Rodriguesand J.F., Sequeira A., John Wiley, New York, 1992, P. 193-229.

[279] Valli A., Zajaczkowski W.M. Navier-Stokes equations for compressible fluids: global existence and qualitative properties of solutions in the general case. Comm. Math. Phys., 1989, V. 103, P. 259-296.

[280] Xu Z., Feng Z. Nonlinear stability of rarefaction waves for one-dimensional compressible Navier-Stokes equations for a reacting mixture. Z. Angew. Math. Phys., 2019, V. 70, Article 155.

[281] Wang D. Global solution for the mixture of real compressible reacting flows in combustion. Communications on Pure and Applied Analysis, 2004, V. 3, № 4, P. 775-790.

[282] Wang S.H., Szeri A.Z., Rajagopal K.R. Lubrication with emulsion in cold rolling. J. Tribol., 1993, V. 115, № 3, P. 523-531.

[283] Williams W.O. On stresses in mixtures. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1979, V. 70, № 3, P. 251-260.

[284] Yan S., Kuroda S. Lubrication with emulsion II. The viscosity coefficients of emulsions. Wear, 1997, V. 206, № 1-2, P. 238-243.

[285] Yanagi S. Global existence for one-dimensional motion of non-isentropic viscous fluids. Math. Methods in Appl. Sci., 1993, V. 16, P. 609-624.

[286] Zatorska E. On the flow of chemically reacting gaseous mixture. J. Differential Equations, 2012, V. 253, № 12, P. 3471-3500.

[287] Zhang M. The limits of coefficients of the species diffusion and the rate of reactant to one-dimensional compressible Navier-Stokes equations for a reacting mixture. Adv. Differ. Equat., 2019, Article 319.

[288] Ziemer W.P. Weakly differentiable functions, Springer-Verlag, New York, 1989.