Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Вайгант, Владимир Андреевич

• Вайгант, Владимир Андреевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Вайгант, Владимир Андреевич

Оглавление

Введение

1. Вспомогательные сведения

1.1. Функциональные пространства

1.2. Специальные неравенства и теоремы вложения

2. Исследования краевых задач для одномерных уравнений Навье-Стокса в переменных Эйлера

2.1. Постановка задачи и основные результаты

2.2. Вспомогательные уравнения и леммы

2.3. Априорная оценка полной энергии

2.4. Оценки сверху и снизу для плотности и температуры снизу

2.5. Оценки для производных. Сильные решения

2.6. Стабилизация решений

3. Примеры несуществования "в целом" решения для многомерных уравнений движения сжимаемой вязкой среды

3.1. Примеры начально-краевых задач и утверждения

3.2. Построение примера 1

3.3. Построение примера 2

4. Существование "в целом" решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды

4.1. Постановка задачи и основные результаты

4.2. Дополнительные системы дифференциальных уравнений

4.3. Первая априорная оценка для скорости и плотности

4.4. Вторая априорная оценка для плотности

4.5. Вторая априорная оценка для скорости

4.6. Оценки старших производных вектора скорости

4.7. Сильные и классические решения

4.8. Существование обобщенных решений

5. Глобальные решения для уравнениий Навье-Стокса с функциями состояния типа Ван-дер-Ваальса

5.1. Постановка задачи и основные результаты

5.2. Вывод специальных систем уравнений

5.3. Первая априорная оценка для скорости и плотности

5.4. Вторая априорная оценка для плотности

5.5. Вторая априорная оценка для скорости

5.6. Третья априорная оценка для скорости

5.7. Оценка для плотности сверху и снизу

5.8. Оценки производных первого порядка для плотности

6. Глобальные решения для уравнений Навье-Стокса при малых числах Рейнольдса

6.1. Постановка задачи и основные результаты

6.2. Существование обобщенных решений

6.3. Оценки в случае двух пространственных переменных

6.4. Оценки для плотности. Единственность решения

6.5. Оценки для производных. Существование гладких решений

Литература

203

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред»

Введение

В теории дифференциальных уравнений математические проблемы механики сплошной среды составляют интересный и важный класс задач, актуальность которых обусловлена многочисленными приложениями. С теоретической точки зрения уравнения механики сплошной среды издавна привлекают внимание особенностями постановок задач и своеобразием методов их решения. В последнее время интерес к этим уравнениям особенно повысился в связи с появившимися новыми важными идеями и результатами, которые поставили ряд оригинальных проблем в различных областях математики.

1.Модель Навъе-Стокса сжимаемой вязкой среды.

В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости и сжимаемого вязкого теплопроводного газа. Эта модель включает в себя систему дифференциальных уравнений, которые выражают в дифференциальной форме законы сохранения массы, импульса и энергии [121],[101],[10],[77]

^ + 0, (1)

р(ж + ^' = +р : в+Рд-

(з)

В системе (1)-(3) приняты следующие обозначения: р - плотность, во -внутренняя энергия, 0 - абсолютная температура, й= (щ,... , ип) - вектор

скорости, / = (/х,... ,/п) - вектор плотности массовых сил, д - плотность тепловых источников, эз - коэффициент теплопроводности, Р и В - тензоры напряжений и скоростей деформации.

(g + g)< '>D ¿/•/)" " = (4)

_ 1 (diij ди^

Dij = -

ij 2

h3=

Для замыкания системы уравнений (1)-(4) необходимо присоединить к ним уравнения состояния

Р = Р(р,в), е0 = е0(р,в) (5)

и закон напряженного состояния (закон Стокса)

Р = (-Р + Лdivu) ■ I + 2р • D. (6)

Здесь: Р - давление, I - тензорная единица, Ли//- коэффициенты сдвиговой и динамической вязкости. При этом соотношения (5) должны быть согласованы с основным термодинамическим тождеством (первый закон термодинамики)

и

Кроме этого нужно добавить выражения для коэффициентов р = /¿(р, <9), Л = Л(р,в) и ае = эз(р,в). Обычно эти коэффициенты считаются постоянными, а в общем случае определяются экспериментально как функции независимых термодинамических параметров р и в. При теоретических исследованиях модели Навье-Стокса наиболее часто принимается р > О,

ЗА + 2/1 > 0 или Л = — -/1 (второй закон термодинамики).

о

Отметим наиболее часто используемые в математических исследованиях уравнения состояния (5).

а) Р = Rp9, во = cv0, где R — const > 0, cv = const > 0 - модель совершенного политропного газа.

б) Р = Р(р) - модель баротропного движения среды.

Это предположение позволяет, если коэффициенты вязкости Л и р не зависят от решить предварительно систему уравнений (1)-(6) относительно р и м, а затем определить температуру К баротропным течениям относятся изотермическое течение (Р = Rp, i? = const > 0) и изоэнтропи-ческое течение (Р — Rp1, 7 > 1, i? = const > 0).

в) Р = const - модель Бюргерса. При рассмотрении этой модели в уравнении импульса градиент давления исчезает.

Система уравнений (1)-(6) является весьма сложной (нелинейной), в которой уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций й и 9, а уравнение для плотности р представляет собой уравнение первого порядка. Теория таких систем дифференциальных уравнений (систем составного типа) находится на пути своего становления и развита еще недостаточно полно.

2.Локальная проблематика уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой

среды.

Принято считать, что начало изучению вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса (1)-(6) положила работа J.Serrin [269]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Однако, необходимо отметить более раннюю статью D.Graffi [200] по единственности классических решений начальной задачи для баротроп-ного случая, которая предшествовала выше названной работе [269].

Первый результат по разрешимости для уравнений (1)-(6) получил J.Nash [252] в 1962 году. Он доказал существование классического решения задачи Коши на достаточно малом промежутке времени, то есть "в малом" по времени. Результат работы [252] был, несколько иными методами, повторен и обобщен в работах N.Itaya [220], А.И.Вольперта и С.И.Худяева [41].

Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А.Солонниковым [135] и

A.Tani [277]. Разрешимость задачи Коши для системы (1)-(6) "в целом" по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя, т.е. в малом по данным, была установлена A.Matsumura and T.Nishida [240]. Также необходимо отметить результаты о локальной разрешимости (по времени или по данным), которые содержатся в следующих работах [287], [290], [265], [242], [237], [281], [282], [205], [207]. С дополнительной информацией по этой проблематике можно ознакомиться в обзорах [272], [10], [254], [288].

3.Глобальная проблематика для уравнений Навье-Стокса сжимаемой

вязкой среды (одномерный случай).

Наиболее полная теория глобальной разрешимости по времени и данным для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, т.е. когда одна компонента вектора скорости зависит лишь от одной пространственной координаты и времени, а остальные компоненты вектора скорости равны нулю.

Первый результат по однозначной разрешимости "в целом" по времени и по данным был установлен в 1968 году Я.И.Канелем [74] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (Р = R ■ р1). Для модели Бюргерса (Р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах N.Itaya [214], [215] и A.Tani [279].

В 1976 году А.В.Кажихов [58] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А.В.Кажихова и его учеников [59-65], [69-72] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа. Однозначная разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получена в работах [249], [251], [250], [222], [62], [16-19], [182], [24], [26], [30], [9]. При этом

принципиальным моментом работ автора [24], [26], [27], [30] является то, что исследования проводились непосредственно в эйлеровых координатах и это позволило изучить задачи с неоднородными краевыми условиями без дополнительных ограничений.

Уравнения движения вязкого баротропного газа и теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида и непостоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности исследовались в следующих работах [62], [69], [70], [204], [208], [244], [258], [273], [296], [36], [35].

Важный класс уравнений представляют одномерные осесимметричес-кие и сферически симметрические течения, которые по существу являются "многомерными". Эти уравнения рассматривались в работах [111], [109], [110], [197], [196], [209], но полного решения проблемы здесь пока нет. Новый класс одномерных сдвиговых течений введен и изучен В.В. Шелухиным [155].

Вопрос о стабилизации решений при неограниченном возрастании времени к решению стационарной задачи рассматривался в работах [74], [159], [65], [240], [60], [275], [178], [180], [181], [50], [75], [254], [76], [247], [55], [54], [26], [30]. Изучены также уравнения с периодической или почти периодической внешней силой [160], [156], [243]. Ряд работ посвящен некоторым вопросам качественной теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды (распространение разрывов, исчезающая вязкость) [152], [161], [154], [158], [105], [204], [208], [213], [211], а также проблемам вырождения плотности [137], [153], [254], [130], [80], [198]. Исследование задач одномерной динамики вязкого газа при наличии дополнительных факторов (многоком-понентность сред, учет влияния магнитных полей, электропроводности и др.) проводилось в работах [190-194], [71], [59], [ИЗ], [223], [98], [1], [105], [146-148].

Важной проблемой в теории уравнений динамики вязкого газа является вопрос строгого обоснования приближенных методов. Начало в этом направлении, по-видимому, положила работа Б.Г.Кузнецова и Ш.Смагулова

[84]. На данный момент довольно подробно исследованы разностные схемы для уравнений одномерного движения вязкого газа, записанные в ла-гранжевых координатах. В этих исследованиях очень большая заслуга А.А.Амосова и А.А.Злотника [6], [51], [173], [175], [47-49], [302]. Отметим также важные исследования, проведенные в работах [124-127], [122], [118], [119], [46], [143-145], [162-164], [297-299], [300]. Некоторые результаты в этом направлении имеются и в случае эйлеровых координат [114], [124], но до завершенной теории здесь еще далеко. Проблема строгого и полного математического обоснования численного решения многомерных задач динамики сжимаемой вязкой среды на данное время является открытой и ее изучение начато в работах Н.А.Кучера [85-93], О.В.Троцкой [141], [142], А.В.Попова [115].

Важная и интересная проблема в теории Навье-Стокса возникает в случае разрывных данных (начальных данных, свободных членов и др.). В связи с этим направлением отметим работы В.В.Шелухина [154], D.Serre [266-268], D.Hoff [203-209], D.Hoff and R.Zarnowski [212], H.Fuijita Yashima, M.Padula and A.Novotny [198], А.А.Амосова и А.А.Злотника [8], [9].

В последнее время возник новый и интересный класс уравнений, обобщающие исходные одномерные уравнения Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды - квазиосредненные уравнения Бахвалова-Эглита. Исследования по этой проблематике проводились в следующих работах [15], [268], [170], [7],

Н, [4].

4.Глобальная проблематика для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды (многомерный случай).

Проблема о глобальной (по времени и по данным) разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды является на данное время очень актуальной. Ситуация такова, что эта проблема далека от удовлетворительного решения и поэтому важное значение имеет каждый результат, касающийся того или иного подхода к многомерному случаю.

Одним из подходов к многомерной модели Навье-Стокса является изучение более простых гидродинамических моделей. Среди различных вариантов упрощения уравнений Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель

^ + (1гу(рй) = 0, Р = Р(р),

рАй +{р + Л)У(с*гЧщ) - УР = О,

и, во-вторых, приближение Стокса

др

dt + div(pÛ) = 0, Р = Р(р), ди

р— = дДи + (р + \)X?(divu) - VP,

(9)

где р — const > 0 - средняя плотность.

Обе модели (8) и (9) являются хорошими приближениями в случае ба-ротропного движения для сильно вязких жидкостей, причем в (8) дополнительно предполагаются малыми ускорения, т.е. все инерционные члены в уравнении импульса (2) исключаются из системы.

Математические исследования модели (8) были начаты в 1991 году С.Вег-nardi and O.Pironneau [184] в случае стационарных течений. В 1993 году А.В.Кажихов [66] установил существование глобальных решений для системы уравнений (8) в классе потенциальных течений. При этом были рассмотрены и некоторые качественные вопросы. Дальнейшее исследование этой модели было продолжено в работах А.Е.Мамонтова [102], [103].

В 1994 году автором и А.В.Кажиховым [37] была рассмотрена система уравнений (9). Ими установлено существование и единственность решения в классе потенциальных течений в случае начально-краевой задачи. Задача Коши для этой модели изучалась в работах Lu Min, A.V.Kazhikhov and Seiji Ukai [236], P.L.Lions [233].

Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости (газа), без каких-либо упрощений, вопрос о глобальной разрешимости рассматривался M.Padula [259], P.L.Lions [231]. В этих работах были пред-

ложены новые идеи и подходы к решению этой проблемы в классе обобщенных решений: в первой работе Р = Яр, а во второй Р = Нр7, 7 > 1. Для второго случая результат о существовании слабого решения установлен Е.Ее1ге1з1 [195]. В случае более общего закона напряженного состояния существование обобщенного решения получено в работе А.Е.Мамонтова [103].

Однако для существования более гладких решений имеются препятствия - примеры, построенные в 1993 году автором [25], [294], а также примеры для более полной модели (с учетом температуры), приведенные в данной работе. Отметим, в связи с вопросом разрушения решений, работу Zhouping Хт [301]. Эти примеры, по-видимому, указывают на необходимость дополнительных требований на коэффициенты вязкости как функций от термодинамических параметров, что хорошо обосновано с физической точки зрения. Реализация этих соображений привела к тому, что впервые удалось получить глобальные теоремы существования для двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды. Сначала это удалось сделать автору [134] для случая специальных уравнений состояния, а затем для более общих уравнений состояния и в более широком диапазоне решений, включающем и обобщенные решения, автору и А.В.Кажихову [33]. Далее автор [295] установил однозначную разрешимость "в целом" для уравнений состояния более общего вида - уравнения состояния типа Ван-дер-Ваальса.

Исследования проводились и для стационарной модели Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа). В связи с этим направлением отметим работы А.Г\Гоуо1;пу [256], А.Г^оуо^у и М.Ра(1и1а [257].

5. Краткое описание содержания диссертации.

Целью работы является математическое исследование проблемы о существовании глобальных решений начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа) в различных функциональных пространствах.

В главе 1 приводятся некоторые известные сведения из теории функ-

ций, функционального анализа и дифференциальных уравнений, которые используются в процессе исследований. Среди них особое место занимают результаты леммы 1.2.9 и следствия 1.2.1, существенно использующиеся в главах 4 и 5 при выяснении порядка роста £р-норм плотности по величине р и при выводе второго энергетического неравенства для вектора скорости.

В главе 2 рассматривается неоднородная начально-краевая задача для одномерной системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости (газа). Фактически эта задача распадается на несколько: задача о протекании сжимаемой вязкой жидкости (газа) сквозь фиксированную область; задачу, когда на обеих границах происходит втекание жидкости (газа) в область; задачу, когда на обеих границах происходит откачивание жидкости (газа) из области. Для них исследуются вопросы о разрешимости "в целом" по времени и начальным данным как в классе сильных решений, так и в классе классических, а также вопрос о стабилизации при неограниченном возрастании времени. Как правило, при рассмотрении краевых задач для одномерной системы уравнений Навье-Стокса, осуществлялся переход к массовым лагранжевым координатам, что приводит систему к более удобному виду. Однако, в отличие от однородной задачи, в рассматриваемых, область определения ее решения становится существенно неудобной, что особенно проявляется в вопросе о стабилизации. Принципиальным моментом при изучении этих задач в данной главе является то обстоятельство, что переход к массовым лагранжевым координатам не осуществляется и рассмотрения проводятся в эйлеровых координатах. Это позволило доказать однозначную разрешимость в различных функциональных пространствах без дополнительных предположений, имевших место в [16], [19], и установить стабилизацию решений к решениям соответствующих стационарных задач.

В пункте 2.1 даются постановки краевых задач, записанные в единообразной форме (как одна задача), и формулируются основные результаты

главы. Теорема 2.1.1 содержит факт о глобальной однозначной разрешимости в классе сильных решений, так и в классе классических. Результат о стабилизации при неограниченном возрастании времени приведен в теореме 2.1.2.

В пункте 2.2 излагается вывод вспомогательных уравнений, среди которых особое место занимают уравнения с участием плотности (2.2.3)-(2.2.5), и устанавливается справедливость ряда лемм подготовительного характера.

В пункте 2.3 содержится доказательство априорной оценки для полной энергии, которое базируется на конструкции специальной функции (2.3.1) в сочетании с фактами из лемм пункта 2.2.

В пункте 2.4 устанавливается строгая положительность и ограниченность плотности, а также ограниченность температуры снизу, что является весьма существенным в дальнейших рассмотрениях.

В пункте 2.5 осуществляется вывод априорных оценок для производных искомого решения. Предварительно, используя ограниченность плотности сверху и снизу, получаем дополнительные оценки для скорости и температуры. Далее, для производных скорости, температуры и плотности находим соотношения, которые затем замыкаются. Это завершает обоснование теоремы 2.1.1 в классе сильных решений. После этого, обоснование теоремы 2.1.1 в классе классических решений следует на основании работы [277].

В пункте 2.6 устанавливается факт стабилизации при неограниченном возрастании времени решения рассматриваемой задачи к решению соответствующей стационарной в норме пространства ^(0,1). При этом используются идеи предыдущих пунктов, однако здесь выводятся более тонкие оценки, независящие от величины Т интервала времени.

В главе 3 построены специальные примеры начально-краевых задач для многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа), для которых не имеют место результаты о глобальной разрешимости

в пространствах сильных и классических решений. Пример 1 относится к случаю баротропной модели с постоянными коэффициентами динамической и сдвиговой вязкости, а пример 2 - к случаю теплопроводной с постоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности. Для этих задач, по построению, выполнены условия теорем 3.1.1-3.1.3, а именно: для задачи примера 1 выполнены условия теоремы 3.1.1 при рассмотрении сильных решений и условия теоремы 3.1.2 при рассмотрении классических решений; для задачи примера 2 выполнены условия теоремы 3.1.3 при рассмотрении классических решений. Однако локальные по времени решения, которые гарантируются ранее указанными теоремами, не продолжаются на весь промежуток времени в пространствах, которым соответственно принадлежат локальные решения.

В пункте 3.1 даются постановки краевых задач в примерах 1 и 2, а также формулируются основные утверждения. Результат о непродолжаемости локального решения в случае баротропной модели содержится в утверждении 3.1.1, а в случае теплопроводной модели - в утверждении 3.1.2.

В пункте 3.2 осуществляется построение примера 1. Для этого явно указываются вектор скорости и плотность, зависящих от набора параметров, а вектор плотности масовых сил определяется из уравнений. Затем определяются условия на параметры, которые гарантируют принадлежность вектора плотности массовых сил тому или иному функциональному пространству.

В пункте 3.3 осуществляется построение примера 2. Для этого явно указываются вектор скорости, плотность и температура, зависящих от набора параметров, а вектор плотности массовых сил и плотность тепловых источников определяются из системы уравнений. Затем определяются условия на параметры, которые гарантируют принадлежность вектора плотности массовых сил и плотности тепловых источников пространствам Гельдера.

В главе 4 устанавливается глобальная (по времени и данным) одно-

значная разрешимость начально-краевой задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа) в классе гладких решений, а также существование по крайней мере одного обобщенного решения. В связи с примерами главы 3, построенные для модели Навье-Стокса с постоянными коэффициентами динамической и сдвиговой вязкости, в этой главе принято: р(р) = const > О, Л(р) = рР((3 > 3) , Р(р) = Rp^[R > 0, 7 > 0), то есть коэффициент сдвиговой вязкости является функцией, зависящей от плотности, с соответствующим ростом на бесконечности при неограниченном возрастании р. Принципиальными моментами исследований данной главы являются: оценки норм плотности в пространствах LP(Q,) с указанием роста этих норм при неограниченном возрастании величины р\ вывод второго энергетического соотношения для скорости; неравенства для норм первых производных плотности; доказательство существования обобщенного (слабого) решения.

В пункте 4.1 дается постановка задачи и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 4.1.1 содержит результат о глобальной однозначной разрешимости в классе классических решений, а теорема 4.1.2 - в классе сильных решений. Факт существования по крайней мере одного обобщенного решения отражен в теореме 4.1.3.

В пункте 4.2 излагается вывод вспомогательных систем дифференциальных уравнений, среди которых особое место занимает система (4.2.4), не имеющей в своей форме записи производных плотности.

В пункте 4.3 содержится подробный вывод первого энергетического неравенства.

В пункте 4.4 устанавливается специальное соотношение для плотности, из которого, на основе первого энергетического неравенства, находятся оценки Lp-ограниченности плотности, а также выводится порядок роста Lp-норм плотности по величине р.

В пункте 4.5 из дополнительной системы (4.2.4) выводится вторая апри-

орная оценка для скорости. При этом существенно используются факты пунктов 4.3 и 4.4.

В пункте 4.6 излагаются факты об ограниченности норм некоторых производных искомого решения. Для этого используется соотношение (4.6.1).

В пункте 4.7 осуществляется процедура доказательства оценок для старших производных, входящих в исходную систему. При этом наиболее важным этапом является вывод оценок для первых производных плотности. Для этого предварительно устанавливается свойство ограниченности плотности. Далее обоснование теорем 4.1.1 и 4.1.2 завершается на основании результатов работ [134], [135].

В пункте 4.8 доказывается существование обобщенного решения, которое получается как предел последовательности гладких решений, соответствующих усредненным начальным данным. При этом важными этапами являются леммы 4.8.1 и 4.8.2.

В главе 5 устанавливается однозначная разрешимость "в целом" начально-краевой задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа) с функциями состояния типа Ван-дер-Ваальса в классе сильных и классических решений. Исследования в этой главе, в основном, следуют идеям главы 4, однако функции состояния Р = Р(р) и А = А(р) рассматриваются на конечном интервале, причем они неограниченно возрастают при стремлении р к правому концу интервала. Последнее обстоятельство является принципиальным отличием от исследований, проведенных в главе 4.

В пункте 5.1 дается постановка задачи и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 5.1.1 содержит результат о глобальной однозначной разрешимости в классе сильных решений , а теорема 5.1.2 - в классе классических решений.

В пункте 5.2 излагается (по аналогии пункта 4.2 главы 4) вывод вспомогательных систем дифференциальных уравнений, среди которых особое место занимает система (5.2.4), не имеющей в своей форме записи произ-

водных плотности.

В пункте 5.3 содержится подробный вывод первого энергетического неравенства.

В пункте 5.4 устанавливается вспомогательное соотношение для плотности, из которого, на основе первого энергетического неравенства, находятся оценки ¿^-ограниченности давления, а также выводится порядок роста Ьр-норм давления и коэффициента сдвиговой (объемной) вязкости по величине р.

В пункте 5.5 из дополнительной системы (5.2.4) выводится вторая априорная оценка для скорости. При этом существенно используются факты пунктов 5.3 и 5.4.

В пункте 5.6 излагаются факты об ограниченности норм некоторых производных искомого решения. Для этого используется соотношение (5.6.1).

В пункте 5.7 осуществляется процедура доказательства оценок для старших производных, входящих в исходную систему уравнений. При этом наиболее важным этапом является вывод оценок для первых производных плотности. Для этого предварительно устанавливается свойство ограниченности давления и коэффициента сдвиговой вязкости. Далее обоснование теорем 5.1.1 и 5.1.2 завершается на основании известных результатов работ [134], [135].

В главе 6 излагаются результаты об однозначной разрешимости для многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа) при малых числах Рейнольдса (приближение Стокса). Здесь, на основе новых априорных оценок, доказано, во-первых, существование обобщенных (слабых) решений при любом конечном числе пространственных переменных (теорема 6.1.1), а, во-вторых, в двумерном случае показано, что при достаточно гладких данных задачи обобщенное решение также обладает соответствующей гладкостью (теорема 6.1.2 и теорема 6.1.3). В частности, найдены условия единственности, близкие по-видимому, к минимальным.

В пункте 6.1 дается постановка задачи и формулируются основные ре-

зультаты, а также излагается схема доказательства теорем. Теорема 6.1.1 содержит результат о существовании обобщенного решения. Факты об однозначной разрешимости в классе гладких решений отражены в теоремах 6.1.2 и 6.1.3.

В пункте 6.2 содержится доказательство существованяи обобщенного решения, которое обосновывается на основе метода Галеркина в сочетании с априорными оценками.

В пункте 6.3 излагается вывод дополнительных оценок гладких решений, с помощью которых анализируются дифференциальные свойства обобщенных решений. При этом важную роль играет вспомогательное соотношение для плотности леммы 6.3.1.

В пункте 6.4 устанавливается свойство ограниченности плотности и доказывается единственность решения. При этом используется идея конструирования специального уравнения для плотности, применявшаяся в работах [24], [26].

В пункте 6.5 содержится доказательство существования гладкого решения. При оценке старших производных, входящих в исходную систему уравнений наиболее важным этапом является вывод оценок для первых производных плотности. При этом существенно используется свойство ограниченности плотности, а размерность пространства переменных х формально может быть произвольной.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [23]-[37], [294], [295].

Автор искренне благодарен своему научному консультанту профессору А.В.Кажихову за плодотворное совместное научное сотрудничество.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Вайгант, Владимир Андреевич, 1998 год

Литература

[1] Амосов A.A. Корректность "в целом" начально-краевых задач для системы уравнений динамики вязкого излучающего газа // Докл. АН СССР. 1985. Т.280. N 6. С. 1326 - 1329.

[2] Амосов A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднение // Диссертация докт. физ.-мат. наук. М. 1997. 307 с.

[3] Амосов A.A., Злотник A.A. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301. N 1. С. 11 - 15.

[4] Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1997. Т. 354. N 4. С. 439 -442.

[5] Амосов A.A., Злотник A.A. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1995. Т. 342. N 3. С. 295 -299.

[6] Амосов A.A., Злотник A.A. Разностная схема для уравнения движения вязкого теплопроводного газа. Ее свойства и оценки погрешности "в целом" // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284. N 2. С. 265 - 269.

[7] Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" квазиосреднен-ных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными // Вестн. МЭИ. 1994. N 4. С. 7 - 24.

[8] Амосов A.A., Злотник A.A. Разрешимость "в целом" одного класса квазилинейных систем уравнений составного типа с негладкими данными // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 4. С. 596 - 609.

[9] Амосов A.A., Казенкин К.О. Разрешимость "в целом" одномерной задачи о заполнении объема вязким баротропным газом с негладкими данными // Вестник МЭИ. 1995. N 6. С. 5 - 21.

[10] Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983. 316 с.

[11] Байбатшаев Б.Н. О приближенных методах решения одномерных уравнений магнитной газодинамики // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 59. С. 3 - 21.

[12] Байбатшаев Б.Н., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1984. Т. 15. N 5. С. 31 - 47.

[13] Байсусуева Ж.Н. Разностные схемы для уравнений баротропного газа с немонотонной функцией состояния с цилиндрической симметрией //В кн.: Неклассические дифференц. уравнения в частных производных. Новосибирск. 1988. С. 180 - 186.

[14] Байсусуева Ж.Н. Разностные схемы для уравнений баротропного газа с немонотонной функцией состояния со сферической симметрией. //В кн.: Оптим. упр. процессами с распределенными параметрами. Алма-Ата. 1989. С. 77 - 79.

[15] Бахвалов Н.С. Эглит М.Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик // Докл. АН СССР. 1983. Т. 268. N 4. С. 836 - 840.

[16] Белов С.Я. Разрешимость "в целом" задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С.З - 14.

[17] Белов С.Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 59. С.23 - 38.

[18] Белов С.Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 60. С. 34 - 50.

[19] Белов С.Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 56. С. 22 - 43.

[20] Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир. 1980. 160 с.

[21] Берниязов Ж.Е., Смагулов Ш. О корректной разностной схеме для задачи о движении поршня в вязком баротропном проводящем газе // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 67 - 77.

[22] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975. 402 с.

[23] Вайгант В.А. К вопросу о разрешимости " в целом " краевой задачи для уравнений Навье - Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости //В кн.: Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: Новосиб.гос. ун-т. 1995. Т.1. С.43 - 51.

[24] Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С.З- 21.

[25] Вайгант В.А. Пример несуществования "в целом" по времени решения уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жид-

кости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1993. Вып. 107. С.39- 48.

[26] Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С.31- 52.

[27] Вайгант В.А. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса вязкого газа. Диссерт. канд. физ.-мат. наук. Барнаул. 1992. 108 с.

[28] Вайгант В.А. О задаче Коши для системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1992. Вып. 102. С.З - 10.

[29] Вайгант В.А. Пример несуществования "в целом" по времени решений уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Докл. РАН. 1994. Т. 339. N 2. С. 155 - 156.

[30] Вайгант В.А. Стабилизация решений задачи протекания-истечения для системы уравнений вязкого баротропного газа //В кн.: Тезисы докладов VII Всесоюзной школы по качественной теории дифф. уравнений гидродинамики. Барнаул, 1989. С. 22 - 23.

[31] Вайгант В.А. Теоремы существования глобальных решений для двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Материалы Межд. Конф. "Дифф. уравнения и смежные вопросы", поев. 95-летию со дня рожд. И.Г.Петровского (Успехи мат. наук. 1996. N

5.).

[32] Вайгант В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Докл. РАН. 1997. Т.357. N 4. С. 445 - 448.

[33] Вайгант В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 6. С.1283 - 1316.

[34] Вайгант В.А., Кажихов A.B. Разрешимость "в целом" начально-краевой задачи для уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Докл. РАН. 1995. Т.340. N 4. С.460 - 462.

[35] Вайгант В.А., Папин A.A. Глобальная разрешимость задачи Коши для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Ред. "Сиб. мат. журн." Новосибирск. 1989. 15 с. Деп. в ВИНИТИ. N 8267.

[36] Вайгант В.А., Папин A.A. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1987. Вып. 79. С. 3 - 9.

[37] Вайгант В.А., Кажихов A.B. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Дифферен. уравнения. 1994. Т. 30. N 6. С.1010 - 1022.

[38] Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. 1959. 628 с.

[39] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 544 с.

[40] Воларович М.П. Современное состояние теории вязкостей и ее практическое применение // Совещание по вязкости жидкостей и коллоидных растворов. Т. II. Москва-Ленинград: Изд-во АН СССР. 1944. С.18 - 23.

[41] Вольперт А.И., Худяев А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87. N 4. С. 504 - 528.

[42] Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 320 с.

[43] Головкин K.K. К теоремам вложения // Докл. АН СССР. 1960. Т.134. С. 19 - 22.

[44] Данфорд Д., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть I. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 455 с.

[45] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть II. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1966. 456 с.

[46] Жанасбаева У.Б. Оценки разностных решений для некоторых моделей вязкого газа. Диссерт. канд. физ.-мат. наук. Алма-Ата. 1989. 134 с.

[47] Злотник A.A. К оценкам решений разностных уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Изв. ВУЗов. Математика. 1994. N 9. С. 49 - 59.

[48] Злотник A.A. К теории проекционно-сеточных методов решения задач математической физики на классах негладких данных. Диссертация докт. физ.-мат. наук. М. 1992. 367 с.

[49] Злотник A.A. О свойствах разностной схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 58 -68.

[50] Злотник A.A. Об уравнениях движения вязкого баротропного газа при наличии массовой силы // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. N 5. С. 62 -79.

[51] Злотник A.A., Амосов A.A. О свойствах одной разностной схемы для уравнений одномерной магнитной газовой динамики // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 88. С. 47 - 64.

[52] Злотник A.A., Амосов A.A. Об устойчивости обобщенных решений уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. N 4. С. 767 - 789.

[53] Злотник A.A., Амосов A.A. Обобщенные решения "в целом" уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. N 6. С. 1303 - 1307.

[54] Злотник A.A., Нгуен Жа Бао. К поведению при t —> оо решений одной квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 6. С. 1080 - 1082.

[55] Злотник A.A., Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическое поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропного газа // Матем. заметки. 1994. Т. 55. N 5. С. 51 - 68.

[56] Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных методов // Труды МИАН 53. 1959. С. 64 - 127.

[57] Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 493 с.

[58] Кажихов A.B. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С.45 - 61.

[59] Кажихов A.B. Априорные оценки решений уравнений магнитной газовой динамики // В сб.: Краевые задачи уравнений математической физики. Красноярск. 1987. С. 84 - 94.

[60] Кажихов A.B. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С. 37 - 62.

[61] Кажихов A.B. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1975. Вып. 21. С. 18 - 47.

[62] Кажихов A.B. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 38. С. 33 - 47.

[63] Кажихов A.B. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23. N 1. С. 60 - 64.

[64] Кажихов A.B. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 26. С. 60 - 76.

[65] Кажихов A.B. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. N 4. С. 662 - 667.

[66] Кажихов A.B. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 3. С. 70 - 80.

[67] Кажихов A.B., Мамонтов А.Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39. N 4. С.831-850.

[68] Кажихов A.B., Мамонтов А.Е. Пространства Орлича в вопросах существования глобальных решений уравнений сжимаемой вязкой жидкости // Материалы Межд. Конф. "Дифф. уравнения и смежные вопросы", поев. 95-летию со дня рожд. И.Г.Петровского (Успехи мат.наук. 1996. N 5).

[69] Кажихов A.B., Николаев В.Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т.10. N 2. С.77 - 84.

[70] Кажихов A.B., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. N 5. С. 1045 - 1047.

[71] Кажихов A.B., Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 35. С. 61 - 73.

[72] Кажихов A.B., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл.матем. и механика. 1977. Т. 41. N 2. С.282 - 291.

[73] Кажихов A.B., Шелухин В.В. Метод верификационной компактности // Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск. Новосиб. госуниверситет. 1996. Т.2. С.51 - 60.

[74] Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифферен. уравнения. 1968. Т.4. N 4. С.721 - 734.

[75] Канель Я.И. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20. N 2. С. 293 - 306.

[76] Кейльман Н.Э. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1987. Вып. 79. С. 36 - 44.

[77] Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. 1990. 243 с.

[78] Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы. 1958. 286 с.

[79] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542 с.

[80] Конысбаев Ж.Е. О корректности начально-краевой задачи магнитной газодинамики с вырождающейся плотностью // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1988. N 1. С. 63 - 67.

[81] Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 268 с.

[82] Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз. 1958. 272 с.

[83] Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1979. Вып. 5. С. 217 - 272.

[84] Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа // Препринт ИТПМ СО АН СССР. 1982. N 17 - 82. Новосибирск. 45 с.

[85] Кучер H.A. Исследование неявной схемы расщепления для многомерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1993. Вып. 107. С. 73 - 84.

[86] Кучер H.A. Метод слабой аппроксимации для уравнений вязкого газа // Новосибирск. Изд-во Новосиб. госуниверситета. 1992. 58 с.

[87] Кучер H.A. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления в газовой динамике // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1992. 302 с.

[88] Кучер H.A. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления для многомерных уравнений газовой динамики // Труды семинара С.Л.Соболева. Части 1,11. Новосибирск. 1991. N 1. С.47 - 69.

[89] Кучер H.A. О методе слабой аппроксимации для многомерных уравнений газовой динамики // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С.51 - 62.

[90] Кучер H.A. О сходимости метода расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям для уравнений вязкой сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1992. Вып. 106. С. 51 - 67.

[91] Кучер H.A. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1991. Т.320. N 6. С. 1315 -1318.

[92] Кучер H.A. Об обосновании разностных схем расщепления для многомерных уравнений газовой динамики // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С.69 - 84.

[93] Кучер H.A. Разностные схемы расщепления для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1992. 70 с.

[94] Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973. 732 с.

[95] Ладыженская O.A., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей // Зап. научн. семинаров Ленинградского отд. Матем. института. 1975. Т. 52. С.52 - 109.

[96] Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

[97] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.

[98] Ларькин H.A. О разрешимости в целом задачи Коши для системы уравнений, описывающей течение двухфазной смеси //В кн.: Механика жидкостей и газа. Ташкент. Фан. 1980. С. 35 - 40.

[99] Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука. 1983. 308 с.

[100] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 478 с.

[101] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.

[102] Мамонтов А.Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. матем. журн. 1996. Т.37. N 5. С.1117 - 1131.

[103] Мамонтов А.Е. Пространства Орлича в проблеме существования глобальных решений многомерных уравнений вязкой сжимаемой нелинейной жидкости // Диссертация канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1997. 78 с.

[104] Мамонтов А.Е. Экстраполяция линейных операторов из Lp в пространства Орлича, порожденные быстро или медленно растущими N-функциями // Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск. Новосиб. госуниверситет. 1996. Т.2. С.95 - 103.

[105] Маслов В.П., Мосолов П.П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука. 1990. 216 с.

[106] Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир. 1977. 504 с.

[107] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 341 с.

[108] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1976. 218 с.

[109] Николаев В.Б. Глобальная разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1983. Вып. 63. С. 136 - 141.

[110] Николаев В.Б. Глобальная разрешимость обобщенной системы уравнений Бюргерса в осесимметричном случае // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1984. Вып. 64. С.76 - 81.

[111] Николаев В.Б. О разрешимости смешанной задачи для уравнений одномерного осесимметрического движения вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. Вып. 44. 1980. С. 83 - 92.

[112] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969. 456 с.

[ИЗ] Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 56. С.105 - 121.

[114] Попов A.B. Исследование конечно-разностного метода для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа в переменных Эйлера // Препринт ОВМ АН СССР. М. 1988. N 198. 25 с.

[115] Попов A.B. Исследование экономичного конечно-разностного метода для системы уравнений двумерного движения вязкого баротропного газа // Препринт ОВМ АН СССР. М. 1989. N 245. 31 с.

[116] Похожаев С.И. О теореме вложения С.Л.Соболева в случае pl = п // М.: Докл. научно-техн.конф.МЭИ. 1965. С.158 - 170.

[117] Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 656 с.

[118] Рысбаев Б.Р. Исследование устойчивости и сходимости разностных схем для уравнений газовой динамики. Диссертация канд. физ.-мат. наук. Алма-Ата. 1986. 133 с.

[119] Рысбаев Б.Р., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. N 3. С. 558 -559.

[120] Сакс С. Теория интеграла. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1949. 272 с.

[121] Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука, 1970. 492 с.

[122] Смагулов Ш. Математические вопросы приближенных методов для уравнений Навье-Стокса. Докт. дисс. физ.-мат. наук. Алма-Ата. 1987. 312 с.

[123] Смагулов Ш. О корректности некоторых задач для уравнений магнитной гидродинамики //В кн.: Математические модели течений жидкости. Новосибирск. Изд-во Ин-та теор. и прикл. механики СО АН СССР. 1978. С. 267 - 268.

[124] Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа в переменных Эйлера // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. N 3. С. 553 - 556.

[125] Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. N 1. С. 31 -34.

[126] Смагулов Ш. Об устойчивости разностных схем для модели Бюргерса // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 57. С. 77 - 89.

[127] Смагулов Ш. Устойчивые разностные схемы для модели вязкого газа // Вестник АН КазССР. 1985. N 7. С. 60 - 62.

[128] Смагулов Ш., Жанасбаева У.Б. Оценки решения разностной схемы для уравнений баротропного газа с переменной вязкостью // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. N 5. С. 1066 - 1068.

[129] Смагулов Ш., Жанасбаева У.Б. Приближенные методы решения уравнений теплопроводного газа с переменной вязкостью // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1988. N 1. С. 48 - 51.

[130] Смагулов Ш., Конысбаев Ж.Е. О корректности начально-краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа с вырождающейся плотностью // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1989. Вып. 93, 94. С. 119 - 130.

[131] Смагулов Ш., Рысбаев Б.Р. Приближенные методы решения краевой задачи для нелинейного уравнения третьего порядка // Препринт ИТ-ПМ N 20 - 84. 1984. 30 с.

[132] Соболев С.JI. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука. 1989. 270 с.

[133] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд. СО АН СССР. 1988. 333 с.

[134] Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Матем. инта им. В.А.Стеклова АН СССР. 1965. Т.83. С.З - 162.

[135] Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости //В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С.128 - 142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т.56).

[136] Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973. 340 с.

[137] Терсенов A.C. Задача об истечении вязкого газа в вакуум // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1985. Т. 69. С. 82 - 95.

[138] Тныштыкбаева Г.М. О сходящихся разностных схемах для уравнений совершенного теплопроводного газа в переменных Эйлера // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. наук. 1986. N 5. С. 39 - 42.

[139] Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 494 с.

[140] Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980. 664 с.

[141] Троцкая О.В. Исследование разностной схемы расщепления для уравнений движения вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37. N 2. С. 424 - 432.

[142] Троцкая О.В. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа. Часть 3. Кемерово: Изд-во КемГУ. 1994. 50 с.

[143] Туретаев И.Д. Абсолютно устойчивые "в целом" по времени разностные схемы для уравнений магнитной газовой динамики с вязкостью // Докл. АН СССР. 1988. Т. 305. N 2. С.284 - 287.

[144] Туретаев И.Д. О скорости сходимости неявной разностной схемы для уравнений магнитной газовой динамики // Вестник АН КазССР. 1986. N 7. С. 59 - 61.

[145] Туретаев И.Д. Скорость сходимости в L2 разностных схем для одномерных уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 74. С. 81-86.

[146] Файзуллина Н.Т. Корректность краевой задачи электрогазодинамики для модели вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С. 124 - 145.

[147] Файзуллина Н.Т. О глобальной разрешимости и стабилизации решения краевой задачи электрогазодинамики для уравнений баротроп-ного вязкого газа //В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. Новосибирск. 1990. С. 10 - 24.

[148] Файзуллина Н.Т. О разрешимости краевой задачи для уравнений электрогазодинамики // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1989. Вып. 91. С. 135 - 148.

[149] Филиппов A.M. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 293 с.

[150] Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир. 1968. 260 с.

[151] Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 42. С.80- 102.

[152] Шелухин В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 57. С. 131 - 152.

[153] Шелухин В.В. Краевые задачи для уравнений баротропного вязкого газа с неотрицательной плотностью // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 74. С. 108 - 125.

[154] Шелухин В.В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. Вып. 6. С. 912 - 920.

[155] Шелухин В.В. Об одном классе сдвиговых течений вязкой сжимаемой жидкости // Прикл. механика и технич. физика. 1996. Т. 37. N 4. С. 50 - 56.

[156] Шелухин В.В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Вып. 44. С. 147 - 163.

[157] Шелухин В.В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа // Числ. методы механики сплошн. среды (Матем. моделиров.) Новосибирск. Ин-т теорет. и приклад, механики. 1979. Т.10. N 5. С.111 - 126.

[158] Шелухин В.В. Распространение начальных возмущений в вязком газе // Сиб. мат. журн. 1987. Т.28. N 2. С. 211 - 216.

[159] Шелухин В.В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 33. С. 134 - 146.

[160] Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса // Прикл. математика и механика. 1979. Т.43. Вып. 6. С. 992 - 997.

[161] Шелухин В.В. Эволюция контактного разрыва в баротропном течении вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 870 - 872.

[162] Штиконас А. Исследование разностных схем для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа // Дисс. канд. физ.-мат. наук. М. 1990. 161 с.

[163] Штиконас А. Разностная схема для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа //В кн.: Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс. 1988. Вып. 43. С. 88 - 102.

[164] Штиконас А. Разностные схемы для уравнений симметрического движения вязкого баротропного газа в магнитном поле. Препринт ОВМ АН СССР. М. 1989. N 230.

[165] Юдович В.И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область // Матем. сб. 1964. Т. 64. N 4. С. 562 - 588.

[166] Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1963. Т.З. N 6. С.1032 - 1066.

[167] Юдович В.И. О некоторых оценках , связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1961. Т.138. N 4. С. 805 - 808.

[168] Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости // Изд. Рост, университета. 1984. 192 с.

[169] Юдович В.И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1962. Т.59-доп. С.229 - 241.

[170] Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23. P. 1482 - 1518.

[171] Amosov A.A., Bocharova V., Zlotnik A.A. On the asymptotic formation of vacuum zones in the one-dimensional motion of a viscous barotropic gas by the action of a large mass force // Russ. J. Number. Anal. Math. Modelling. 1995. Vol. 10. N 6. P. 463 - 480.

[172] Amosov A.A., Titov D.A., and Zlotnik A.A. Finite-difference scheme for quasiaveraged equations of one-dimensional motion of a viscous barotropic medium. Russian J. Number. Anal. Math. Modelling. 1996. N 6. P.445 - 475.

[173] Amosov A.A., Zlotnik A.A. A family of finite-difference schemes for the one-dimensional magnetic gas dynamic flow equation (viscous barotropic case) // Sov. J. Number. Anal. Math. Modelling. 1988. V. 3. N 3. P.431 - 451.

[174] Amosov A.A., Zlotnik A.A. Semidiscrete method for solving qvasiaveraged equations of the one-dimensional motion of a viscous heat-conducting gas // Russ. J. Number. Math. Modelling. 1997. V. 12. N 58. P.171 - 197.

[175] Amosov A.A., Zlotnik A.A. Two-level finite-difference schemes for the one-dimensional equations of magnetic gas dynamics (viscous heat-conducting case) // Sov. J. Number. Anal. Math. Modelling. 1989. V. 4. N 3. P. 179 - 197.

[176] Ball J., Murat F. W1* -quasiconvexity and variational problems for multiple integrals //J. Funct. Anal. 1984. V. 58. P. 225 - 253.

[177] Bartle R.G. A general bilinear vector integral // Studia Mathematica, 1956. V. XV. P.337 - 352.

[178] Beirao da Veiga H. An LP-theory for the n-dimensional stationary, compressible Navier-Stokes equation, and the incompressible limit for compressible fluids. The equilibrium solutions // Commun. Math. Phys. 1987. V.109. N 2. P.229 - 248.

[179] Beirao da Veiga H. Attracting properties for one dimensional flows of a general barotropic viscous fluid. Periodic flows // Annali di Matematica pura ed applicata. 1992. V. CLXI. P. 153 - 165.

[180] Beiräo da Veiga H. Long time behavior for one dimensional motion of a general barotropic fluid // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1989. V.108. N 2. P.141 - 160.

[181] Beiräo da Veiga H. The stability of one dimensional stationary flows of compressible viscous fluids // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineare. 1990. V.7. P.259 - 268.

[182] Belov S.Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries // J. Math.Kyoto Univ. 1994. V.34. N 2. P.369 - 389.

[183] Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North-Holland, Amsterdam, 1978.

[184] Bernardi C., Pironneau O. On the shallow water equation at low Reynolds number // Comm. Partial Differential Equations. 1991. V.16. N 1. P.59 - 104.

[185] Bochner S. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind // Fund. Math. 1933. V. 20. P. 262 - 276.

[186] Bressan A. Global solutions for the one-dimensional equations of a viscous reactive gas // Bolletino U. M. I. 1986. 5-B, N 6, P. 291 - 308.

[187] Cagliardo E. Ulterori proprieta' di alcune classi di funzioni in piu' variabili // Ric. Math. 1959. V.8. P. 24 - 51.

[188] Dacorogna B. Weak continuity and weak lower semicontinuity of nonlinear functionals // Lect. Notes in Math. N 922. Berlin Springer, 1982.

[189] Escobedo M., Zuazua E. Large-time behaviour of convection-diffusion equations in RN // J.Funct. Anal. 1991. V. 100. P. 119 - 161.

[190] Förste J. Existenz einer Lösung der magnetohydrodynamischen Gleichungen für inhomogene Flüssigkeiten // Math. Nachr. 1977. V.79. P 25 - 35.

[191] Förste J. Zur Theorie kompressibler micropolarer Flüssigkeiten // Z.Angew. Math. Mech. 1978. V.58. P.464 - 466.

[192] Förste J. Uber das Driftmodell für disperse Zweiphasen - Strömungen // Math. Nachr. 1979. V.89. P. 57 - 69.

[193] Förste J. Uber der Lösbarkeit der Frifgleichungen des Zweiflüssigkeitsmodels für ein staubbeladenes Gas / / Z.Angew. Math. Mech. 1978. V.58. P.189 - 198.

[194] Förste J. Uber die Strömung in einem electrogasdynamischen Generator // Math. Nachr. 1979. V.89. P. 337 - 344.

[195] Feireisl E. On the data dependence of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow // Inst. Math. Czech. Akad. 1998.

[196] Fuijita Yashima H., Benabidallah R. Equation a summétrie sphérique d'un gas visqueux et calorifere avec la surface libre // Annali di Matematica pura ed applicata. 1995. V. CLXVIII. N 4. P.75 - 117.

[197] Fuijita Yashima H., Benabidallah R. Unicité de la solution de léquation monodimensionalle on a symetree spherique d'un gas visquex et calorifère // Rwnd. Cire. Mat. Palermo. Ser.2. 1993. V.42. N 2. P. 195 - 218.

[198] Fuijita Yashima H.,Padula M., Novotny A. Equation monodimensionnelle d'un gas visquex et calorifère avec dec conditions initiales moins restrictives // Ricerche di Matematica. 1993. V. XLII, N 2. P. 199 - 248.

[199] Gowurin M. Uber die Stieltjessche Integration abstracter Funktionen // Fundamenta Math. 1936. V.27. P.254 - 268.

[200] Graffi D. Il teorema di unicitâ nella dinamica dei fluidi compressibli // J.Rat. Mech. Anal. 1953. V.2. P.99 - 106.

[201] Gronwall T.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations // Ann. Math. 1919. V.20. P.292 - 296.

[202] Hoff D. Strong convergence to global solutions for compressible, viscous, multidimensional flow, with polytropic equations of state and discontinuous initial data // Indiana University. Preprint N 9411. 1994. P. 19.

[203] Hoff D. Construction of solutions for compresible, isentropic Navier-Stokes equations in one space dimension with nonsmooth initial data. Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1986. Sect. A 103. P.301 - 315.

[204] Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. V.114. P.15 - 46.

[205] Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional heat-conducting flow // Indiana University. 1995. Preprint N 9517.

[206] Hoff D. Global existense for 1-d, compressible, isentropic Navier-Stoces equations with large initial data // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V.303. N 1. P.169 - 181.

[207] Hoff D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow with discontinuous initial data // J.Diff. Equat. 1995. V.120. P.215 - 254.

[208] Hoff D. Global well-posedness of the Cauchy problem for nonisentropic gas dynamics with discontinuous initial data // J.Differential Equations. 1992. V.95. P.33 - 74.

[209] Hoff D. Spherically symmetric solutions of the Navier-Stokes equations for compressible, isotermal flow with large, discontionuous initial data // Indiana Univ. Math. J. 1992. V.41. N 4. P.1225 - 1302.

[210] Hoff D. and Smoller J. Solutions in the large for certain nonlinear parabolic systems // Ann. Inst. Henri Poincaré. Analyse non lineare. 1985. V.2. P.213 - 235.

[211] Hoff D. and Tau-Ping Liu. The inviscid limit for the Navier-Stokes equations of compressible, isentropic flow with shock data // Indiana Univ. Math. J. 1989. V.38. N 4. P. 861 - 915.

[212] Hoff D. and Zarnowski R. Continuous dependence in L2 for discontinuous solutions of the viscous p-system // Ann. Inst. Henri Poincare. 1994. V.2. N 2. P. 159 - 187.

[213] Hoff D., Serre D. The failure of continuous dependence on initial data for the Navier-Stokes equation of compressible flow // SIAM J. Appl. Math. 1991. V.51.P.887 - 898.

[214] Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // Jorn. Math. Kyoto Univ. 1974. V.14. N 1. P.129 - 177.

[215] Itaya N. A servey on the generalized Burger's equation with a pressure model term // J .Math. Kyoto Univ. 1976. V.16. N 1. P.223 - 240.

[216] Itaya N. On the Cauchy problem for the system of fundamental equations describing the movement of compressible viscous fluid // Kodai Math. Sem. Rep. 1971. V.23. P.60 - 120.

[217] Itaya N. On the fundamental system of equations of compressible viscous fluid // Sugaku. 1976. Y.28. P.121 - 136 (Japanese).

[218] Itaya N. On the initial value problem of the motion of compressible viscous fluid, especially on the problem of uniqueness //J. Math. Kyoto Univ. 1976. V.16. N.2. P. 413 - 427.

[219] Itaya N. Some results on the piston problem related with fluid mechanics // J. Math. Kyoto Univ. 1983. V. 23. P.631 - 641.

[220] Itaya N. The existence and uniqueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow // Proc. Japan Acad. 1970. V. 46. N 4. P.379 - 382.

[221] Kawashima S. Systems of hyperbolic-parabolic composite type, with applications to the equations of magnetohydrodinamics // Ph. D. Thessis. Kyoto Univ. 1983.

[222] Kawashima S. and Nishida T. Global solutions to the initial value problems for the equations of one-dimensional motion of viscous polytropic gases // J. Math. Kyoto Univ. 1981. V.21. P.825 - 837.

[223] Kawashima S., Okada M. Smooth global solutions for the one-dimensional equations in magnetohydrodinamics // Proc. Japan Acad. Ser. A. 1982. V.58. P.384 - 387.

[224] Kawohl B. Global existence of large solutions to initial boundare value problem for a viscous, heat-conducting, one-dimensional real gas // Journal of Differential Equations. 1985. V.58. P.76 - 103.

[225] Kazhikhov A.V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low Reynolds number // Acta. Math. Appl. 1994. V.37. N 1. P. 77 - 81.

[226] Kazhikhov A.V. Sur la solubilité globale des problèmes monodomensionnells aux valeurs initiales-limites pour les équations d'un gas visqueux et calorifere // C.R.Acad. Sci. Paris. Sér. A. 1977. V.284. P.317 - 320.

[227] Kufner A., John O., Fucik S. Function Spaces. Prague; Groningen: Academia; Noordhoff. 1977.

[228] Kuttler K. Initial boundary value problems for the displacement in an isothermal, viscous gas // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1990. V.15. N 7. P.601 - 623.

[229] Lax P.D., Milgarm F.N. Parabolic equations // Ann. Math. Studies. 1954. N 33. P. 167 - 189.

[230] Lions P.L. Compacité des solutions des equations de Navier - Stokes compressible isentropiques // Сотр. Res.Acad.Sci. Paris. 1993. V. 317. N 2. P. 115 - 120.

[231] Lions P.L. Existence globale de solutions pour les équations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C.R.Acad. Sci. Paris. 1993. V.316. P.1335 - 1340.

[232] Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1. Incompressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1996.

[233] Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998.

[234] Lovicar V., Straskraba I. Remark on cavitation solutions of stationary compressible Navier-Stokes equations in one dimension // Czechoslovak Math. J. 1991. V.41(116). P. 653 - 662.

[235] Lovicar V., Straskraba I., Valli A. On bounded solutions of one-dimensional compressible Navier-Stokes equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1990. V.83. P.81 - 95.

[236] Lu Min, Kazhikhov A.V., Seiji Ukai. Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensional compressible flow // Science Bull, of Josai Univ. Sp. Issue. 1998. N 5. P.155-174.

[237] Lukaszewics G. An existence theorem for compressible viscous and heat conducting fluids // Math. Meth. Appl. Sci. 1984. V.6. P. 234 - 247.

[238] Mamontov A.E. Orlich spaces in the existence problem of global solutions to viscous compressible nonlinear fluid equations // Новосибирск. 1996. Препринт РАН. Сиб. отд-ние. Институт гидродинамики. N2 - 96. 36 с.

[239] Matsumura A. Large-time behavior of the sphericalle symmetric solutions of an isotermal model of compressible viscous gas // Transp. Theory and Stat. Phys. 1992. V. 21. P. 579 - 592.

[240] Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases // J.Math.Kyoto Univ. 1980. V.20. N 1. P. 67 - 104.

[241] Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous fluids // Contemporary. Math. 1983. V.17. P. 109 - 116.

[242] Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids // Comm. Math. Phys. 1983. V.89. P. 445 - 464.

[243] Matsumura A., Nishida T. Periodic solutions of a viscous gas equations // Lecture Notes in Num. Appl.Anal. 1989. V. 10. P. 49 - 82.

[244] Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive fluids // Proc. Japan. Acad. Ser. A. 1979. V. 55. P. 337 - 342.

[245] McShane E.J. A Riemann-type integral that includes Lebesgue-Stieltjes, Bochner and stochastic integrals // Mem. Amer. Math. Soc. 1969. N 88.

[246] Mizohata K. Equivalence of Eulerian and Lagrangian weak solutions of the compressible Euler equation with spherical symmetry // Kodai Nath. J. 1994. V. 17. P.69 - 81.

[247] Nagasawa T. Global asymptotics of the outer pressure problem with free boundare // Japan J. Appl. Math. 1988. V.5. P.205 - 224.

[248] Nagasawa T. On the asymptotic behavior of the one-dimensional motion of the poly tropic ideal gas with stress-free conditions / / Quart. Appl. Math. 1988. V.46. N 4. P.665 - 679.

[249] Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary // J. Diff. Equat. 1986. V.65. P.49 - 67.

[250] Nagasawa T. On the one-dimensional free boundary problem for the heat-conductive compressible viscous gas // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V.10. P.83 - 99.

[251] Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas // Japan J. Appl. Math. 1988. V.5. P.53 - 85.

[252] Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluidegeneral // Bull. Soc. Math. France. 1962. V.90. P.487 - 497.

[253] Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization // SIAM J. Math. Anal. 1989. V.20. P.608 -623.

[254] Nishida T. Equation of motion of compressible viscous fluids // Patterns and Waves. Qual. Anal. Nonlinear Differ. Equat. Tokyo. Amsterdam. 1986. P.97 - 128.

[255] Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Annal. Scuola Norm. Super. Pisa. Ser. III. 1959. V.13. N 2. P.115 - 262.

[256] Novotny A. Compactness of Steady compressible isentropic Navier-Stokes equations via the decomposition method (the whole Rn) // Preprint of the Univ. of Toulon (1995).

[257] Novotny A., Padula M. Existence and uniqueness of stationare solutions for viscous compressible heat conductive fluid with large potential and small nonpotential external forces // Siberian Math. J. 34 (1993). P.120 - 146.

[258] Okada M., Kawashima S. On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous fluids // J.Math. Kyoto Univ. 1983. V.23. P.55 -71.

[259] Padula M. Existence of global solutions for two - dimensional viscous compressible flows // J. Func. Anal. 1986. V.69. N 1. P. 1 - 20.

[260] Padula M. Existence and continuous dependence for solution to the equations of a one-dimensional model in gas-dynamics // Meccanica J. AIMETA. 1981. V.16. N 3. P.128 - 135.

[261] Riesz F. Sur les operations fonctionnelles linéaires // C.R.Acad. Sci. Paris. 1909. V.149. P.974 - 977.

[262] Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Springer-Verlag. New-York. 1980.

[263] Secchi P. L1 stability for weak solutions of the Navier-Stokes equation in R3 // Indiana Univ. J. Math. 1987. V.36. N 3. P.685 - 691.

[264] Secchi P. On the stationary motion of compressible viscous fluids // Ann. Scoula Norm. Super. Pisa. Ser. 4. 1994. V.21. N 1. P.131 - 143.

[265] Secchi P. and Valli A. A free boundary problem for compressible viscous fluids // J.Reine und Angew. Math. 1983. V.341. P.l - 31.

[266] Serre D. Solutions faibles globales des équations de Navier-Stokes pour un fluide compressible // C.R.Acad. Se. Paris. Sér. I. 1986. V.303. N. 13. P.639 - 642.

[267] Serre D. Sur l'équation monodimensionell d'un fluide visqueux, compressible et conducteur de chaleur // C.R. Acad. Se. Paris. 1986. V. 303. Ser.I. N 14. P.703 - 706.

[268] Serre D. Variations de grande amplitude pour la densite d'un fluide visqueux compressible // Physica. Ser. D. 1991. V. 48. P. 113 - 128.

[269] Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V.3. N. 3. P. 271 - 288.

[270] Simon J. Compact sets in the space Lp(0, T;B) // Annali di matematica pura ed applicata. 1987. (JV)-VCXLVI. P.65 - 96.

[271] Singer I. Sur les applications linéaries intéglales de espaces de functions continues // Rev. Math. Pures Appl. 1959. V.4. P.391 - 401.

[272] Solonnikov V.A., Kazhikhov A.V. Existense theorems for the equations of the motion of a compressible viscous fluid // Ann. Rev. Fluid Mech. 1981. V.13. P.79 - 95.

[273] Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas // J.Diff. Equat. 1994. V.110. R157 - 181.

[274] Straskraba I. Asymptotic development of vacuums for 1-d Navier-Stokes equations of compressible flow // Preprint N 90. Math. Inst. Czech. Acad. Sci. (MU Csav). 1994. P.l - 21.

[275] Straskraba I. Valli A. Asymptotic behaviour of the density for one-dimensional Navier-Stokes equations // Manuscr. Math. 1988. V.62. N 4. P.62 - 79.

[276] Talenti G. Best constant in Sobolev inequality // Ann.mat.pura Appl. 1976. V.110. P. 353 - 372.

[277] Tani A. On the first initial - boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V.13. N 1. P.193 - 253.

[278] Tani A. Free boundary problems for the equations of motion of general fluids // Lecture Note on Numer. Appl. Anal. 1983. V.6. P.211 - 219.

[279] Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1974. N.10. N 1. P.209 - 233.

[280] Tani A. On the free boundary value problem for compressible viscous fluid motion // J.Math. Kyoto Univ. 1981. V.21. P.839 - 859.

[281] Tani A. The initial value problem for the equations of motion of compressible viscous fluid with some slip boundary condition // Pattern and waves. Qualitative analysis of nonlinear differential equations.

T.Nishida & al. eds. Kinokunija. Tokyo 8¿ North-Holland, Amsterdam. 1986, P.675 - 684.

[282] Tani A. The initial value problem for the equations of the motion of general fluid with general slip boundary condition // Kyoto Univ. RIMS-Kokyuroku. 1990. V.734. P.123 - 142.

[283] Tornatore E., Fujita Yashima H. Equazione stocastica monodimensionale di un gas viscoso barotropico. Univ. degli Studi di Palermo. 1996. (Preprint N 19).

[284] Tornatore E., Fujita Yashima H. Equazioni monodimensionali di un gas viscoso barotropico con una perturbazione poco regolare // Ann. Univ. Ferrara. Ser. VII-Sc.Mat. 1994. V. XL. P.137 - 168.

[285] Tornatore E., Fujita Yashima H. Equazioni monodimensionali di un gas viscoso barotropico con una perturbazione poco regolare // Dipartimento di Matematica ed Appl. Univ. degli Studi di Palermo. Preprint N 2. Palermo. Maggio. 1995.

[286] Valadier M. Admissible functions and two-scale convergence. Prepublication (16 pages). 1995. Départ, de Math. Univ. de Montpellier. France.

[287] Valli A. An existence theorem for compressible vuscous fluids // Ann. Mat. Pura. Appl. 1982. V.130. N 4. P.197 - 213. Ann. Mat. Pira. Appl. 1982. V.132. N 4. P.399 - 400.

[288] Valli A. Mathematical results for compressible flows // Preprint N 365. Univ. degli Studi Trento. Povo (Trento). 1992.

[289] Valli A. On the existence of stationary solutions to compressible Navier-Stokes equations // Ann. Inst. Henry Poincaré. Anal. Non Linéare. 1987. V.4. P.99 - 113.

[290] Valli A. Periodic and stationare solutions for compressible Navier-Stokes equations via a stability method // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. 1983. V.10. N 4. P.607 - 647.

[291] Valli A. Uniquiness theorems for compressible viscous fluids, especially when the Stokes relation holds // Boll. Un. Mat. It., Anal. Funz. Appl. 1981. V.18-C. N 5. P.317 - 325.

[292] Valli A. and Zajaczkowski. Navier-Stokes equations for compressible fluids: global existense and qualitative properties of the solutions in the general case // Comm. Math. Phys. 1986. V.103. P.259 - 296.

[293] Wagner D. Equavalence of the Euler and Lagrangian equations of gas dynamics for weak solutions // J.Diff. Equat. 1987. V.68. P.118 - 136.

[294] Weigant V.A. (Vaigant V.A.). An example of nonexistence globaly in time of a solution of the Navier-Stokes equations for a compressible viscous barotropic fluid // Russ. Acad. Sci. Dok. Math. 1995. V.50. N 3. P.397 -399.

[295] Weigant V.A. (Vaigant V.A.). Unique solvability "in the large" of the initial-boundary value problem for two-dimensional Navier-Stokes equations of the viscous compressible fluid with Van-der-Vaals tyre state function and the bulk viscosity depening on density // Siberian Advanced Math. 1996. V.6. N 2. P.106 - 150.

[296] Yanagi S. Global existense for one-dimensional motion of non-isentropic viscous fluids // Departament of Mathematics, Vaseda Univ. Tokyo. 1992. Manuscript. 18 p.

[297] Zarnowski R. A finite-difference scheme for the Navier-Stokes equations of one-dimensional isentropic compressible fluid flow // Ph. D. dissertation, Indiana Univ. 1988.

[298] Zarnowski R. Existence, uniqueness and computation of solutions for mixed problems in compressible fluid flow //J. Math. Anal, and Appl. 1992. V.169. N 2. P.515 - 545.

[299] Zarnowski R. and Hoff D. A finite-difference scheme for the Navier-Stokes equations of one-dimensional, isentropic, compressible flow // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V.28. P.78 - 112.

[300] Zhao J. Convergence and error-bound analysis for mixed problems in compressible flow // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1994. V.15. N 1&2. P.187 - 198.

[301] Zhouping Xin. Blow-up of Smooth Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equation with Compact Density // Inst, of Mathematical S. New York Univ. 1997.

[302] Zlotnik A.A. Estimates and stabilization of finite-difference equations of one-dimensional gravital magnetic gas dynamics // Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. 1991. V.6. N 4. P.335 - 360.