О краевых задачах некоторых моделей гидродинамики с условиями проскальзывания на границе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузьмин, Михаил Юрьевич

• Кузьмин, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузьмин, Михаил Юрьевич

Введение

Список основных обозначений

1 О математической модели стационарного движения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные определения и формулировка основного результата

1.3 Операторная трактовка задачи.

1.4 Свойства операторов.

1.5 Аппроксимационное уравнение и априорная оценка

1.6 Существование решений аппроксимационного уравнения.

1.7 Предельный переход

1.8 О связи условий проскальзывания и условия прилипания

1.9 О разрешимости краевой задачи описывающей стационарное движение нелинейно-вязкой жидкости с граничным условием проскальзывания порогового типа . 50 1.9.1 Постановка задачи и формулировка теоремы существования слабых решений.

1.9.2 Разрешимость аппроксимационных уравнений и предельный переход.

1.10 О существовании слабых решений краевой задачи, описывающей стационарное движение жидкости Бингама

1.10.1 Постановка задачи.

1.10.2 О доказательстве теоремы существования слабых решений краевой задачи, описывающей движение жидкости Бингама.

2 Нестационарное движение нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания на границе

2.1 Постановка задачи.

2.2 Предварительные сведения.

2.3 Свойства операторов.

2.4 Разрешимость операторного уравнения и предельный переход

2.4.1 Предельный переход.

3 Об одной задаче оптимального управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости

3.1 Постановка задачи и формулировка основного результата

3.2 Определение операторов и их свойства

3.3 Введение операторного включения, эквивалентного слабой постановке задачи (2.1.1)—(3.1.6).

3.4 Теорема существования и оптимизация функционала

3.4.1 Априорная оценка и теорема существования

3.4.2 Оптимизация функционала.

3.5 Примеры Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О краевых задачах некоторых моделей гидродинамики с условиями проскальзывания на границе»

К настоящему моменту, важными и интересными проблемами естествознания продолжают оставаться различные математические задачи, возникающие при исследовании движения разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям. В частности, до сих пор не получено полных и всесторонних результатов, касающихся вопросов о существовании и единственности решений начально-краевых задач, связанных с наиболее известными уравнениями гидродинамики - уравнениями Навье-Стокса. При этом не всегда очевиден ответ на вопрос о выборе граничных условий. Наиболее часто в гидродинамике используют условие прилипания, при котором поле скоростей жидкости на неподвижной, твердой границе сосуда, содержащего жидкость, обязано обращаться в нуль. Однако в последние десятилетия все большее распространение получает гипотеза о проскальзывании, согласно которой касательная составляющая скорости отлична от нуля и сложным образом связана с тензором напряжений.

Вопрос о выборе граничных условий имеет непростую историю. К примеру, Навье использовал условия проскальзывания [43, 44]. Тем не менее, к концу 40-х годов ХХ-века широкое признание получили условия прилипания (см., например, [31]). Однако во второй половине XX века, в связи с интенсивными экспериментальными исследованиями т.н. "неньютоновских жидкостей"1, было обнаружено, что для многих из этих жидкостей справедливы соотношения проскальзывания (см., например, [1], стр. 70, а также [24]).

Среди математических работ, посвященных исследованиям задач гидромеханики при краевых условиях проскальзывания можно отметить работы Н. Beirao da Veiga [26], Н. Fugita [33], S. Itoh, N. Tanaka и A. Tani [37] о ньютоновской жидкости; а также работы В.Г. Литвинова [17], M.Bulicek, J.Malek и K.R. Rajagopal [27], L. Consiglieri [28, 29], Т. Hayat, Masood Khan и M. Ayub [35], C. Le Roux [41] посвященные различным математическим моделям неньютоновских сред. Примечательно, что К. Р. Раджагопал, один из ведущих специалистов по проблемам современной гидромеханики, в своей статье [21] выделяет важность исследований задач с проскальзыванием.

Хорошо известно, что нестационарное движение любой несжимаемой сплошной среды с постоянной плотностью р определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши: + Е= Div Т + pF, М€[0,П хП, (0.0.1) divw = 0, (t,x) £ [0,Т] х П, (0.0.2) где Q - ограниченная область, т.е. ограниченное открытое подмножество евклидова пространства RП,п G {2,3}; t - параметр времени; u(t,x) = (ui(£,&), • • • ,un(£, ж)) - вектор скорости точек среды; F = (Fi,. ,F„) - известная плотность внешних сил; Т = {7ij}"j=1 -тензор напряжений. Дивергенция div берется по переменной х. Дивер

1Описание понятия "неньютоновские жидкости" см. далее во Введении.

П дТгенция Div от тензора Т это вектор с координатами (Div T)j = Y^ fai=l <

Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице.

Тип рассматриваемой среды определяется видом определяющего (реологического) соотношения между Т и тензором скоростей деформации ф) = {£ij(u)}lj=l, £ij{u) = \ + . Так, при д > О соотношение вида

Tij = -pSij + 2fi£ij{u), € {1,2,. ,n}, (0.0.3) определяет ньютоновскую жидкость. Здесь Sij - компоненты единичного тензора; p(t,x) — скалярная функция давления; коэффициент /л называется вязкостью. Подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнения Навье-Стокса. Однако соотношение (0.0.3) подходит для описания довольно ограниченного класса сплошных сред, многие важные в практических приложениях жидкости, такие как полимеры, масла, гели и т.п., подчиняются иным ("неньютоновским") соотношениям между Т и е.

Таким образом, математическая модель, описывающая течения произвольной несжимаемой жидкости в ограниченном сосуде, состоит из уравнений (0.0.1)-(0.0.5), реологического соотношения исследуемой жидкости, а также некоторых начальных и краевых условий. Для анализа вопроса о существовании решений, получающейся таким образом системы уравнений, в данной работе используются различные понятия слабого решения.

Для доказательства теорем существования слабых решений в данной работе применяется аппроксимационно-топологический метод [5]. Суть метода заключается в том, что для исследуемой краевой задачи вначале вводят вспомогательное, аппроксимирующее семейство уравнений, зависящее от малого параметра 8. Затем показываются априорные оценки норм решений аппроксимационных уравнений и на их основе, с помощью подходящего варианта теории топологической степени, доказывается теорема о существовании решений вспомогательной задачи. Окончательно, используя априорные оценки решений апроксимационной задачи, не зависящие от параметра 5, показывают, что эти решения, при стремлении 5 к нулю, сходятся к решениям исходной задачи.

Приведем обзор содержания диссертационной работы по главам.

Первая глава состоит из десяти пунктов. В пунктах с первого по седьмой исследуется вопрос о существовании слабых решений краевой задачи, описывающей стационарные течения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе. Краевая задача имеет следующий вид:

0.0.4)

0.0.5)

Tij{p,u) = -pSij + <p(I(u))eij(u), Vz G Q, (0.0.6)

Г = (Тг)У, Vs е S, t*"(s) = о, Vses, fT(s) = -x(frr>(s)Aur(s)\y(s), Vses,

0.0.7) (0.0.8)

0.0.9) где (р — нелинейная вязкость, т.е. вещественная функция, определенная на множестве [0, +оо)(= R+); 1{и) = Ya,j=lfeiM)2! i,j G {1,. , n}; p — сферическая часть тензора T, р еще называют давлением; S - граница области Q, удовлетворяющая условию Лип-щица; т] - единичная внешняя нормаль к 5; символами vT и vv обозначаются соответственно касательная и нормальная составляющие произвольного вектора v\ через | • | обозначается норма в евклидовых пространствах Rm, m G {1,2,3}; frri(p,u) = n(fv) = П j -р+ Y; ^WhjWVilj ij=l причем 7Z - оператор регуляризации, определенный на любой функции v 6 L2{£t)n равенством lZv(x) = J и (| x - x\)v(x) dx, xeQ,

Жп с некоторой фиксированной финитной функцией uj £ C°°(R+) такой, что supp и € [0, а], Ж+ Э а = const, w(z) ^ 0 при г (= К+, f uj{\x\)dx = 1,

К" v(x), при^е^, о, прихешп\а.

Как отмечено в работах В.Г. Литвинова и L. Consiglieri, использование оператора 7Z приемлемо с физической точки зрения и означает "нелокальность" рассматриваемой модели скольжения. Для функций ф и х выполняются следующие условия:

С1) функция <р : R+ —> R непрерывна;

С2) существуют положительные константы а\ и аг такие, что ai ^ У (у) ^ а2 Для любого у G R+;

СЗ) функция у И- <р(у2)у при неотрицательных у является неубывающей;

С4) функция х : К х Ш). 4 R непрерывна;

С5) существуют положительные константы Ъ\ и 62 такие, что b\ ^ x(zh z2) ^ ДЛЯ любых (zi, Z2) 8 К х R+.

Условия CI) — С5) таковы, что ньютоновская жидкость также входит в класс жидкостей, рассматриваемых в данном разделе работы. Подобная задача исследовалась в монографии В.Г. Литвинова без v-vn дщ учета конвективных слагаемых и ПРИ существенно более ограничительных условиях2 на функции (р и х

Отметим, что методы позволившие исследовать разрешимость краевой задачи с проскальзыванием для математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости были применены при исследовании еще одной модели движения жидкости - модели движения электрореологической жидкости, для которой также имеет место феномен проскальзывания. А именно, аналогично исследовалась модель движения электрореологической жидкости, определяющее соотношение которой имеет вид aij(p,u) = -pSij + 2ф(1(и), \Е\,/л(и, Е))е^(и), Vi,j 6 {1,2,., та},

0.0.10) где ав + и(х) Е{х) \ 2 \Е(х)\)Жп}

2В работах В.Г. Литвинова на функции <р и \ дополнительно наложенно условие дифферен-цируемости. fi(u, Е)(х)

О < а = const, Rn Э 9 = (1,., 1), Е = ., Еп) - известное поле электрической напряженности.

В восьмом пункте первой главы устанавливается связь между краевыми условиями проскальзывания и прилипания. А именно, показывается, что при стремлении коэффициента % к +оо, решения соответствующих задач с условием проскальзывания сходятся к решению задачи с условием прилипания.

В девятом пункте исследуется стационарная задача о течении нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания порогового типа.

Скольжение порогового типа частиц жидкости описывается следующими тремя соотношениями: u^s) = 0, Vs € 5, (0.0.11)

ГМ1^</М при wr(s) = 0, (0.0.12)

Г (a) = + *(/,('), ПР™Т(5) * здесь д - ограниченная вещественная функция, заданная на границе S; функция д определяет "порог" проскальзывания. Аналогично предыдущим разделам данной работы будет рассматриваться "регу-ляризованное" условие г(8) = -Ш + приuT(s) Ф 0, (0.0.13)

Соотношения (0.0.4)-(0.0.7), (0.0.9), (0.0.11)-(0.0.12) описывают стационарные течения нелинейно-вязкой жидкости с проскальзыванием порогового типа. Необходимо отметить, что ранее в работах Н. Веггао da Veiga, Н. Fugita, С. Le Roux при условии проскальзывания порогового типа изучалась система Стокса. В настоящей работе исследована более общая задача. В частности, применяемый в диссертации аппроксимационно-топологический подход позволяет избежать пренебрежения конвективными слагаемыми.

В этом разделе работы от функций х и д требуется выполнения следующих условий:

С8) функция х:ЖхШ+-+Ж является непрерывной; л /ч

С9) существуют положительные константы &i и 62 такие, что

А А

М2 ^ x(z\, Z2) < 62*2 Для любых (zi, Z2) 6 R х М+;

СЮ) функция д : S Е является измеримой;

СИ) существует положительная константа с\ такая, что О < д(з) < сь Vs G S.

В десятом пункте рассматривается задача о стационарном движении вязко-пластической жидкости Бингама при условии проскальзывания порогового типа (см. соотношения (0.0.11)—(0.0.13)). Среди предыдущих работ по подобной тематике отметим работы L. Consiglieri; однако в них используется условие проскальзывания несколько иного вида: < k 1И5)11к«2 = к\\Що*М\& ЗА £ 0 : vT{8) = -XaT(s), где а - девиатор тензора напряжений, 0 < к = const, s Е S.

Жидкости Бингама подчиняются следующим определяющим соотношениям:

Tij(x) - -p(x)hj + №ijlu](x) + ЩjM, Va: в ft, i, j € {1,2,., n},

0.0.14)

Иа?)||к„» ^/«2, Vzeft, (0.0.15) если/И^) ^0, (0.0.16) где a - "пластическая" часть тензора Т; /ii, /i2 - некоторые положительные константы.

Соотношения (0.0.4), (0.0.14)-(0.0.16), (0.0.5), (0.0.9), (0.0.7), (0.0.11)-(0.0.12) описывают стационарные течения жидкости Бингама с условием проскальзывания порогового типа.

Отметим, что в большинстве работ посвященных краевым и начально-краевым задачам для модели Бингама, обобщенная постановка сводится к вариационному неравенству, подобному неравенству впервые введенному Ж - J1. Лионсом и Г. Дюво (см., например, [3]). Однако в случае проскальзывания порогового типа, не представляется возможным доказать только из вариационного неравенства, что достаточно гладкое слабое решение удовлетворяет классическим соотношениям (0.0.4), (0.0.14)—(0.0.16), (0.0.5), (0.0.9), (0.0.7), (0.0.11)-(0.0.12).

Во второй главе соотношения (0.0.1), (0.0.5), (0.0.6), (0.0.8), а также соотношения вида

ГМ = VM е [о,т] х (0.0.17) и{ 0,x) = v°(x), \fxen, (0.0.18) применяются для постановки начально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения нелинейно-вязкой жидкости при условии скольжения.

Здесь функция х удовлетворяет следующим условиям: С15) функция х ■ [0,Т] х S х К+ —> К непрерывна;

С16) существуют положительные константы bi и такие, что bi < x(zb z2, *з) ^ b2 для любых (zi, z2, zz) E [0, T] x S x R+.

Отметим, что в работе S. Itoh, N. Tanaka и A. Tani доказано существование решений, принадлежащих пространствам Гёльдера, системы Навье-Стокса с краевым условием проскальзывания; в работе /

М. Bulicek, J. Malek и K.R. Rajagopal исследована начально-краевая задача о течениях нелинейно-вязкой жидкости, с вязкостью, зависящей от давления и второго инварианта тензора скоростей деформации. Однако в этих работах рассматривалось условие проскальзывания существенно более простого вида, чем в данной работе, так как не учитывалась зависимость коэффициента х ни от скорости, ни от нормальной составляющей поверхностных сил.

В третьей главе исследуется задача оптимального управления с обратной связью внешними силами в модели Фойгта движения вяз-коупругой жидкости. Проблемам оптимального управления в задачах гидродинамики посвящено много работ (см., например, работы [34, 36, 40] и имеющуюся в них библиографию). Однако в большинстве из них рассматривается управление для системы уравнений Навье-Стокса. При этом совсем немного работ посвящено проблемам управления с обратной связью.

Пусть выбрано многозначное отображение Ф, являющееся управлением (пока считаем, что значениями Ф являются некоторые множества непрерывных функций из [0,Т] х О, в Rn). Постановка задачи следующая: необходимо найти совокупность функций (u:a,p,F), удовлетворяющую соотношениям (0.0.1) и (0.0.5); реологическому соотношению . de(it) а — v\е{и) + i>2 , где V2 = const, причём v\, v2 > 0. (0.0.19)

JL условию подчиненности управлению:

F е Ф(м); (0.0.20) начальному условию (0.0.18) и граничному условию проскальзывания вида vP(t, s) = 0, V(£, 5) е [0, Т] х S, (0.0.21)

ГМ = -XUT{t,s), Щз) е [0,Т] х 5, (0.0.22) где 0 < х — const.

Далее используются обозначения С([0, Т),Х) и C^QO, Т], X) для банаховых пространств непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций соответственно, определенных на отрезке [0, Т] и действующих в X. Положим, что

С = {v : v в С°°(П)П, И =0, divv = 0}. s z = {v.veH\n)n, v" =0}. s

Пусть Vz, - замыкание множества С в гильбертовом пространстве Z.

На отображение Ф наложены следующие условия: Ф1) Отображение Ф определено на пространстве Cl([0,T],Vz) и действует в семейство всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства С([0,Т], (Vz)*). Ф2) Отображение Ф вполне непрерывно. ФЗ) Отображение Ф ограниченно в следующем смысле:

1И1с([0,ВД) < М^(0)), VF е ФМ.Уг/ € C\[0}T],Vz),

15 здесь к - заданная неотрицательная функция, отображающая ограниченные подмножества пространства Vz в ограниченные подмножества R.

В диссертационной работе задача (0.0.1)—(0.0.5), (0.0.18), (0.0.19)-(0.0.22) исследуется в классе слабых решений.

Пусть Е - множество слабых решений задачи (0.0.1)—(0.0.5), (0.0.18), (0.0.19)—(0.0.22). Рассматривается функционал Ф : Е -»• R со следующими свойствами:

Ф1) существует константа 7 такая, что

ФК/)>7, V(«,/)G Е;

Ф2) если limvk = v* в пространстве C1([0,T],Vz) и ИтД = /* в

00 00 пространстве C([0,T], VJ), то

Ф(^,Л ^Ншт£Ф(г;ьЛ). £->00

В данной работе доказано, что существует слабое решение задачи (0.0.1)-(0.0.5), (0.0.18), (0.0.19)—(0.0.22) минимизирующее функционал Ф на множестве Е.

В конце третьей главы приведены примеры многозначного отображения и функционала, удовлетворяющие условиям Ф1) — ФЗ и Ф1) — Ф2) соответственно.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны теоремы о существовании слабых решений краевых задач, описывающих стационарные течения нелинейно-вязких жидкостей, а также вязко-пластической жидкости Бингама с различными условиями проскальзывания.

2. Доказана теорема о существовании слабых решений начально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания.

3. Исследована задача оптимального управления с обратной связью в одной модели неньютоновской жидкости, скользящей вдоль границы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2004-2007), научной сессии ВГУ (2004-2007), семинарах под руководством проф. В.Г. Звягина (ВГУ, 2004-2007), международной научной конференции ТВМНА-2005, посвященной юбилеям проф. А.Д. Мышкиса и проф. Ю.Г. Борисовича (Воронеж, 2005), Пермской зимней школе (четырнадцатой) по механике сплошных сред (2005), семинаре под руководством проф. A.JI. Скубачевского (РУДН, 2007), семинаре под руководством проф. А.С. Шамаева (МГУ, 2007).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, частично поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00081 и грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6], [8]-[14], [38]. Из совместных работ [6] и [38] в диссертацию вошли только принадлежащие диссертанту результаты.

Список основных обозначений и сокращений

Далее X* - пространство, сопряженное некоторому банахову пространству X; Хт - топологическое произведение т экземпляров пространства X. Запись вида (д,у) используется для обозначения действия функционала д £ X* на элемент у G Х\ для этой цели будет также использоваться символ (•, -)х*,х

Скалярное произведение в произвольном гильбертовом пространстве % обозначается как (•, •)%.

Через | • | обозначается норма в евклидовых пространствах Rm, т €

Через mesA обозначим меру Лебега измеримого множества А.

Пусть Rn D ^ - некоторая ограниченная область с липшицевой границей S, п 6 {2,3}.

Через 1 ^ р < оо - пространство измеримых по мере Лебега вещественных функций на fi, абсолютно интегрируемых с р-й степенью. Пространство LP(Q) является банаховым с нормой fi

Пространство Соболева W™(Q) - пространство функций, все обобщенные частные производные которых до порядка т включительно

1,2,3}. принадлежат Lp(£l). Пространство Соболева W™(Q) снабжено нормой где а = (а\,а2,. ,ап), аг- - целые неотрицательные числа, |о;| = Ya-\ aii Da = D^D^ . D^. Отметим, что пространства W^ftl) являются гильбертовыми со скалярными произведениями вида v,w)Wm{Q)= J DavDawdx. laKm Q

Для пространств W™^) будем использовать обозначение Hm(Q,).

Для 0 < s < 1 пространство Соболева W£(Q) состоит из функций и (Е Lp(p,), для которых конечна норма и{х) - и(у)\Р ^ ^ /р

Q П [Ньр(а) + Jdxdv) ■

Пусть s > 1, положим s = т + с, где m - целая часть числа s. Тогда пространство Wp(Q) состоит из элементов и Е W™(Q,), таких, что DaueW°{Q),\a\ = m.

Нормальную и касательную составляющие определенного на границе S векторного поля w будем обозначать как w71 и wT соответственно. Обозначим:

То = {р 6 L2{tt) : f p{x)dx = 0}, JQ

Z={v -.v£Hl(Vt)n, v71 =0}, s rl (Cl\n

W = {v :veH\Q)n, v71 = 0, [div v) = 0} s n

Пространство Z является гильбертовым со скалярным произведением, определённым для любых и = (щ,., u„), v = (vi,., v„) из Z

П р п п п п

При этом скалярное произведение (0.0.23) порождает норму, эквивалентную соболевской норме, индуцированной из Я1^)" ([17], стр. 3034). Норма пространства W по определению совпадает с нормой пространства Z, норма пространства Vq индуцирована из L2(^)

Пусть Lp(0,T;X),l ^ р < оо, обозначает банахово пространство измеримых, суммируемых с р-й степенью функций и : [0, Т] —> X, с нормой

Пусть далее Sz, Hz, Vz, Vlz~ замыкания множества С в гильбертовых пространствах L2(S)n, Z<2(^)n, Z (см. стр. 20), H^(Q)n соответственно. Каждое из полученных множеств наделено скалярным произведением из соответствующего пространства. Обозначим: символом и' обозначается производная по переменной t от функции и. Пространство W является банаховым (см. [4]) с нормой, определяемой т о свойства пространств LP(0,T-,X) описаны, напр., в [4]). Положим, что

С = {и:иеС°°(П)п, ич =0, div и = 0}. п

S = L2(0,T;SZ), W = {и \ и Е L2(0,T;l4), и' е Ь2(0,Т; (У<)*)},

IM|w = |М|е + |М|Е*.

Будем использовать обозначения С([0, Т], X) и С1 ([О, Т], X) для банаховых пространств непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций, соответственно, определённых на отрезке [0,Т] и действующих в X. Нормы в этих пространствах определяются "обычным" способом:

1М|с([0,ВД = max \\v(t)\\x,

1М|с1([о,т]д) = |М|с([о,ад + 1И|с([о,ад

Наконец, введем следующие обозначения: с = с([о,тш, a = c([o,T],F|), с^с^цм.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузьмин, Михаил Юрьевич, 2007 год

1. Астарита Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей/ Дж. Астарита, Дж. Марручи// - М.: Мир, - 1978.

2. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений/ Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский/ Воронеж: изд-во ВГУ, - 1986.

3. Г. Дюво. Неравенства в механике и физике/ Г. Дюво, Ж JI. Лионе// - М., - 1980.

4. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферренциальные уравнения/ X. Гаевский, К. Грёгер, К. Заха-риас// М., - 1978.

5. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Стокса/ В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко// М.-.УРСС, - 2004.

6. Звягин В.Г. Об одной задаче оптимального управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости/В.Г. Звягин, М.Ю Кузьмин// Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - 16. - С. 38-46.

7. Канторович. А.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ А.В. Канторович, Г.П. Акилов// М: Физматгиз, -1959.

8. Кузьмин М.Ю. О стационарном движении электрореологической жидкости при наличии проскальзывания на границе /М.Ю. Кузьмин // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Б.м., 2005 .- С. 135-136.

9. Кузьмин М.Ю. Оптимальное управление и течения электрореологической жидкости /М.Ю. Кузьмин // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения : материалы международ, науч. конф. ТВМНА-2005 .- Воронеж, 2005 .- С. 70-71

10. Кузьмин М.Ю. О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе/ М.Ю. Кузьмин// Изв. Вузов. Серия Математика. 2007. - №540. - С. 53-62.

11. Кузьмин М.Ю. О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания порогового типа /М.Ю. Кузьмин // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. Воронеж, 2007С. 119-120

12. Кузьмин М.Ю. О существовании слабых решений краевой задачи, описывающей течения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания порогового типа/ М.Ю. Кузьмин// Вестник ВГУ. Сер. Физика. Матем. 2007. - М. - С. 153-161.

13. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости/ Ладыженская О.А. М: Физматгиз, 1970.

14. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения/ Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес// Москва. Изд-во: Мир. - 1971.

15. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости/В.Г. Литвинов// М.: Наука, - 1982.

16. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div/ В.Г. Осмоловский// -СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1995.

17. Осколков А.П. О единственности и разрешимости в целом краевых задач для уравнений движения водных растворов полимеров/ А.П. Осколков// Записки научных семинаров ЛОМИ.- 1973. -38. С. 98-136.

18. Осколков А.П. К теории нестационарных течений жидкостей Кельвина-Фойгта/ А.П. Осколков//3аписки научных семинаров ЛОМИ.- 1982.-115.-С. 191-202.

19. К.Р. Раджагопал. О некоторых нерешенных проблемах нелинейной динамики жидкостей/ К.Р. Раджагопал. // Успехи матем. наук. 2003. - - вып.58. - № 2. - С. 111-121.

20. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач/ И.В. Скрыпник// М: Физматгиз, - 1990 г.

21. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ/ Р. Темам// М.: Мир. - 1987.

22. Толстой Д.М. Скольжение жидкостей и дисперсных систем по твердым поверхностям/ Д.М. Толстой// В кн.: Сб., посвященный памяти академика Лазарева. - М.: Изд-во АН СССР. - 1956.- с. 159-221.

23. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Трусделл// М.: Мир, - 1975.

24. Beirao da Veiga Н. Regularity for Stokes and generalized Stokes systems under nonhomogeneous slip-type boundary conditions/ H. Beirao da Veiga// Advances in Differential Equations. 2004.- Vol. 9 №9-10. - p. 1079-1114.

25. Bulicek M. Navier's Slip and Evolutionary Navier-Stokes-like Systems with Pressure and Shear-rate Dependent Viscosity/ M. Bulicek, J.Malek, K.R. Rajagopal// Indiana University Mathematics Journal. 2007. - Vol. 56. - No. 1.

26. Consiglieri L. Stationary solutions for a Bingham flow with nonlocal friction / L. Consiglieri. //In Mathematical topics in fluid mechanics,J.F. Rodrigues and A. Sequeira (eds.), Pitman Res. Notes in Math. -1992. p. 237-243.

27. Consiglieri L. A nonlocal friction problem for a class of non-Newtonian flows/ L. Consiglieri// Portugaliae Mathematica. 2003. - 60. - 2. -p. 237-252.

28. Eringen A.C. Nonlocal Continuum Field Theories/A.C. Eringen// -Springer Verlag. - 2002.

29. Goldstein S. Modern Developments In Fluid Mechanics/ S. V. Goldstein// 1938. - II. Oxford: Oxford Univ. Press.

30. Gori G. Optimization of the motion of a visco-elastic fluid via multivalued topological degree method/ G. Gori, V. Obukhovskii, P. Rubbioni, V. Zvyagin// Dynamic Systems and Applications. 2007 -16. - p. 89-104.

31. H. Fugita. Non-stationary Stokes flows under leak boundary conditions of friction type/H. Fugita// J. Comput. Math. 2001. -19 - p. 1-8.

32. Fursikov A.V. Optimal control of distributed systems. Theory and applications/ A.V. Fursikov// 2002 - Trans, of Math. Monographs 187, Amer. Math Soc., Providence.

33. Hayat T. On non-linear flows with slip boundary condition/ T. Hayat, Masood Khan, M. Ayub// Z. angew. Math. Phys. 2005. - 56. - p. 1012-1029.

34. Itoh S. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with general slip boundary conditions in Holder spaces/ S. Itoh, N. Tanaka, A. Tani// J. math, fluid, mech. 2003. - Vol. - 5. - p. 275-301.

35. Kuzmin M.Yu. Flow of electrorheological fluid under conditions of slip on the boundary/ M.Yu. Kuzmin, R.H.W. Hoppe, W.G. Litvinov, V.G. Zvyagin// Abstract and Applied Analysis. 2006. - Vol. 2006. -p. 1-14.

36. Litvinov W.G. Flow of electrorhological fluids under the conditions of slip on the boundary/ W.G. Litvinov, R.H.W. Hoppe// Institute of Mathematics, University of Augsburg, 2002.

37. Litvinov W.G. Optimization in Elliptic Problems with Applications to Mechanics of Deformable Bodies and Fluid Mechanics/ W.G. Litvinov// Operator Theory: Advances and Applications, 119. -2000. - Birkhauser Verlag. Basel.

38. C. Le Roux. Steady Stokes flows with threshold slip boundary conditions/ C. Le Roux// Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2005. - Vol. 15. - No. 8 - p. 1141-1168.

39. Obukhovskii V.V. Optimal feedback control in the problem of the motion of a viscoelastic fluid/ V.V. Obukhovskii, P. Zecca, V.G. Zvyagin// Topol. Methods Nonlinear Anal. 2004. - 23. - p. 323337.

40. Navier С. L. M. H. M'emoire sur les Lois du Mouvement des Fluides/ C. L. M. H. Navier// M'em. Acad. Sci. Inst, de France 1823. - 2. -6. - pp. 389-440.

41. Navier C.L.M.H. Sur les lois du mouvement des fluides/ C.L.M.H. Navier// Mem. Acad. R. Sci. inst. 1827. Fr. 6 - pp. 389-440.

42. Peetre J. Espace d' interpolation et theoreme de Sobolev/ J. Peetre// Ann. Inct. Fourier. -1966. 16. - pp. 279-317.