Краевые задачи и задачи оптимизации движения вязкого газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лукина, Елена Владимировна

• Лукина, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукина, Елена Владимировна

Введение

Основные обозначения

Г л а в а I. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа для плоских волн

§ 1 Постановки задач.

§ 2 Оптимальное управление.

§ 3 Вспомогательные результаты.

§ 4 Дифференциальные свойства отображения v —» {u(v); р(у)} для Задачи I.

§ 5 Необходимые условия оптимальности экстремальной задачи (2.6)

§ 6 Достаточные условия оптимальности экстремальной задачи (2.6)

§ 7 Дифференциальные свойства отображения v —> (u(v); p(v)} в задаче со свободной границей.

§ 8 Необходимые условия оптимальности для задачи (2.14).

§ 9 Достаточные условия оптимальности экстремальной задачи (2.14)

Г л а в а II. Задача оптимального стартового управления

§ 1 Постановка задачи.

§ 2 Разрешимость начально-краевой задачи.

§ 3 Оптимальное стартовое управление.

§ 4 Исследование свойств отображения

Ф ->• (и(Ф;р(Ф)}.

§ 5 Необходимые условия оптимальности.

§ 6 Единственность

Г л а в а III. Глобальные решения многомерных приближенных уравнений Навье-Стокса

§ 1 Постановка задачи.

§ 2 Априорные оценки.

§ 3 Оптимальное стартовое управление.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи и задачи оптимизации движения вязкого газа»

Целью диссертации является изучение задач оптимального управления для нестационарных течений вязкого газа. В работе исследуется корректность краевых задач для модельной системы динамики газа. Рассматриваются следующие вопросы.

1). Разрешимость задач оптимального управления движением вязкого газа. Вывод необходимых условий оптимальности.

2). Изучение структуры множества оптимальных управлений.

3). Разрешимость начально-краевах задач для модельной системы уравнений Навье-Стокса в многомерном случае.

Краткий обзор предыдущих исследований

Многие задачи физики и инженерной практики при математической формализации приводят к нелинейным уравнениям с частными производными.

Уравнения Навье-Стокса — это основная модель динамики сжимаемой среды . Большой интерес в последние годы вызывает система уравнений Навье-Стокса для вязкого газа, которая в случае баротропного движения имеет следующий вид [27],

Неизвестные функции р, и и Р соответствуют плотности газа (р > 0) его скорости и давлению; ц и Л — постоянные коэффициенты динамической и объемной вязкости, ц > 0, ЗА + 2ц > 0.

Проблема существования глобальных решений многомерных уравнений Навье-Стокса до последнего времени оставалась открытой и привлекала внимание многих специалистов, работающих в данной области.

Начало изучению вопросов математической корректности краевых задач для модели Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа положили работы Серрина [86], Нэша [84]. В 1959 г. Дж. Серрином [86] были сформулированны постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В частности, были рассмотрены следующие варианты граничных задач для системы (1). Пусть движение среды происходит в ограниченной области пространства i?3, граница которой <90 является непроницаемой твердой стенкой. Тогда на <90 выполняются условия прилипания, т.е.

38]: длх \ (и • V)uJ = дДи + О + A)V(div и) - VP, ft + div (up) = О, P = c2p\ 7 > 1, с > 0.

1) u|an = 0.

2)

Другая возможность — на границе дП задается вектор напряжения Р„,

Р„|ап = -(Р+ divu)n + 2ft(D ■ n)|en = H, (3) где D — тензор скоростей деформаций с компонентами

4 2 \dxj dxi)'

Такие граничные условия возникают, например, в задачах со свободными границами, при этом для определения самой границы д£1 применяется так называемое кинематическое условие дв dSl = {(x,t) :£(x,t) = 0}, ^ + (u-VKU = 0, которое означает, что материальная частица, находящаяся на свободной границе, может перемещаться только вдоль нее.

Первая теорема существования для уравнений Навье-Стокса сжимаемого вязкого газа была получена Дж. Нэшем [84] в 1962 г. Им было доказано существование классического решения для задачи Коши, когда Г2 = R3, в малом по времени. Результат Нэша [84] был затем повторен и обобщен с применением других методов в работах японского математика Н. Итая [75], а также А.И. Вольперта и С.И. Худяева [12]. Для смешанных задач разрешимость в малом по времени в случае баротропного газа доказана В.А. Солонниковым [41], а в случае теплопроводного газа — А. Тани [90]. Существование решений в целом по времени для общей модели установлено только при дополнительных условиях: А. Мацумура и Т. Нишида [83] доказали, что задача Коши разрешима на любом промежутке времени, если данные задачи близки к состоянию покоя. Поведение решений уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени исчерпывающе изучено только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Наиболее полно об этом изложено в [4].

Важное значение для принципиального понимания ситуации имеет работа [8], в которой построены примеры разрушающихся за конечное время решений уравнений Навье-Стокса.

В настоящее время ведутся активные поиски новых подходов к проблеме корректности «в целом» для уравнений Навье-Стокса в многомерном случае на примерах более простых гидродинамических моделей. Некоторые новые идеи и исследования в этой трудной проблеме представлены в работах [9, 10, 32, 80, 81, 85]. Среди различных вариантов упрощения уравнения Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель гДи + {ц + A)V(div и) - VP = 0, ^ + div(up) = 0, P = cV, 7 > 1, с>0. (4) и, во-вторых, приближение Стокса р— = рАи + (р + Л) V(divu) - VP, + div (up) = 0, P = cV, 7>1, с>0. (5) где р = const > 0 — средняя плотность. Обе модели (4) и (5) являются хорошим приближением для сильно вязких газов, причем в (4) дополнительно предполагаются малыми ускорения, т.е. все инерционные члены уравнения импульса в (1) исключаются из системы. Математические исследования модели (4) были начаты в работе [64] в случае стационарных течений, в [19] доказано существование глобальных решений системы в классе потенциальных течений.

Для системы (5) в случае потенциального течения периодичного по пространственным переменным при 7 = 1 в работе [9] доказано, во-первых, существование обобщенных (слабых) решений при любом конечном числе пространственных переменных, а во-вторых, в двумерном случае показано, что при достаточно гладких данных обобщенное решение также обладает соответствующей гладкостью. Найдены условия единственности.

В цикле работ В.В. Шелухина [55]-[58] исследованы вопросы существования периодических, почти-периодических решений для модельных систем уравнений вязкого газа.

Примеры из [8] указывают на возможность получить разрешимость «в целом» при дополнительных требованиях роста коэффициентов вязкости и давления как функций от плотности. В связи с этим на функции р(р), А(р), Р{р) налагаются следующие условия: р{р) = 1, А(р)=/, P(p) = Rp\ (3 > 3, R> 0, т > 0. (6)

Таким образом, отказ от постоянства от коэффициента А позволил построить развернутую систему априорных оценок и доказать существование «в целом» по времени слабых, сильных и классических решений двумерной задачи [11]. В качестве простейшего варианта начально-краевой задачи рассматривалась периодическая по пространственным переменным система. В указанной работе решение строится в пространствах Орлича. Впервые, по-видимому, эти пространства для исследования системы Навье-Стокса были использованы в [85], где предпринята попытка решения двумерной проблемы; в связи с этим следует также упомянуть работу [81]. Однако в [11] существование в целом по времени (при п = 2) установлено впервые.

Интересно отметить, что проблема разрешимости уравнений Навье-Стокса принимает принципиально различные формы в зависимости от того, двумерный или трехмерный случай рассматривается. В последнем случае лишь нелинейность определяющего уравнения для напряжений (т.е. в случае, когда тензор напряжений

Р' = X>fc(A Js{D))D\ s = l,.,n (7) к=0 нелинеен по и) позволила доказать глобальное существование решений [22]. В этом направлении отметим также работы [33], [34], в которых рассматривался случай, когда плотность входит в (7) только через давление, которое является линейной функцией от плотности:

P' = -pI + P( и), а тензор Р(и) представляет собой произвольный (вообще говоря, нелокальный по х) оператор от и. Модель Бюргерса, т.е. ситуация, в которой Р' зависит только от и, Р' = Р{и) была рассмотрена А.Е. Мамонтовым [82, 35].

Задачи оптимального управления для нелинейных уравнений гидродинамики впервые были изучены А.В. Фурсиковым [44, 45, 46]. В работах следующих авторов: Ж.-Л. Лионе [26], М. Gad-el-Hak [76], F. Abergel, R. Temam [59], M. Gunzburger, L. Hou, T. Svobodny [77, 78, 79], S. Sritharan [87, 88]. H. Fattorini, S. Sritharam [70], А.Ю. Чеботарев [47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 60]. M. Desai, K. Ito [69], E. Casas [66, 67], T. Svobodny [89], R. Temam [91]. J. Burkardt, J. Peterson [65], Г.В. Алексеев [2], Д.А. Терешко [3, 61], Hyung-Chen Lee, O.A. Иммануилов [74], J.Baker, A.Amaou, P.D.Chiristofides [62], O.Chattas, J.-H Bark [68], A.V. Fursikov, M.D. Gunzburger, L.S. Hou [72], M. Hinze, K. Kunisch [73], Barbu V. [63] рассматривались задачи оптимального управления для стационарных и эволюционных уравнений Навье-Стокса однородной жидкости.

Как известно автору, впервые задачи оптимального управления стационарным движением неоднородной жидкости были поставлены и исследованы А.А. Илларионовым [13, 14, 15, 16]. Задача оптимального управления движением вязкого газа, описываемым системой (1) в одномерном случае была рассмотрена в работе С.Я. Белова [6], в которой доказана теорема существования и «почти» единственности решений экстремальной задачи.

В диссертации исследуются некоторые вопросы, связанные с задачами оптимального управления движением вязкого газа (существование, необходимые и достаточные условия оптимальности). Изучена корректность модельной системы (5) в более общем случае, чем в [9]. То есть, изучены непотенциальные течения и рассмотрен случай 7 > 1.

Краткое описание результатов диссертации

По своей структуре диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукина, Елена Владимировна, 2003 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

2. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 5. С.982-998.

3. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Сиб. журн. индустр. матем. 1998. Т. 1, № 2, С.24-44.

4. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

5. Белов С.Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1983. Вып. 59. С.23-38.

6. Белов С.Я. Задача оптимального управления течениями вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1983. Вып. 60. С.34-50.

7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

8. Вайгант В.А. Пример несуществования "в целом"по времени решения уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости // Динамика жидкости со свободными границами. Новосибирск: Ин-т Гидродинамики СО РАН, 1993. (Динамика сплошной среды 107).

9. Вайгант В.А., Кажихов А.В. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 6. С.1010-1022.

10. Вайгант В. А. К вопросу о разрешимости "в целом"краевой задачи для уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости // Актуальные вопросы современной математики. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1995. Dsg. 1. С.43-51.

11. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С.1283-1316.

12. Вольперт А.И., Худяев С.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. N. 87, № 4. С.504-528.

13. Илларионов И.И. О регулярности решений краевой и экстремальной задачи для уравнений Навье-Стокса // Дальневосточный матем. сб. 1999. № 8. С.95-109.

14. Илларионов И.И. Асимптотика решений задачи оптимального управления для стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40,№ 7. С.1061-1071.

15. Илларионов И.И. Оптимальное граничное управление стационарным течением вязкой неоднородной несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 2001. Т. 69, Вып. 5. С.666-678.

16. Илларионов И.И. Об асимптотике решений задачи оптимального управления для стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, № 7 С. 1154-1170

17. Кажихов А.В. Корректность "в целом"смешанных задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1975. Вып. 21. С.18-47.

18. Кажихов А.В. О краевых задачах для уравнения Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды.Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1976. Вып. 26. С.60-76.

19. Кажихов А.В. Уравнение потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса: существование, единственность и стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 3. С.70-80.

20. Коновалова Д.С., Лукина Е.В. Исследование задачи оптимального управления течениями вязкого газа // Журн. выч. матем. и мат. физ. 2000. Т. 40, № 3. С.429-449.

21. Коновалова Д.С., Чеботарев А.Ю. Оптимальное стартовое управление течением вязкой жидкости // Дальневосточный мат. сборник. 1996. Т. 2. С.110-119.

22. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 7. С.126-154.

23. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева И.И. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1976.

24. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системой описываемой уравнениями с частными производными. М: Мир, 1972.

25. Лионе Ж.Л.- Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

26. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

27. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

28. Лукина Е.В. Оптимальное управление течениями вязкого газа с подвижной границей // Журн. выч. матем. и мат. физ. 41 N 7 (2001), 1026-1044.

29. Лукина Е.В. Разрешимость нестационарной краевой задачи для модельной системы динамики баротропного газа // Дальневосточный матем. журн. 2001. Т. 2, № 1. С.17-37.

30. Лукина Е.В. Оптимальное стартовое управление баротропным движением вязкого газа // Сибирский журн. индустр. матем. 2002, Т. 5, № 4(12). С. 7191.

31. Лукина Е.В. Глобальные решения многомерных приближенных уравнений Навье-Стокса вязкого газа // Сиб. матем. журн. 2003, Т. 44, № 2. С.289-401.

32. Мамонтов А.Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 5. С.1117-1131.

33. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости I // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 2. С.408-420.

34. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости II // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 3. С.635-649.

35. Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости // Мат. сборник. 1999. Т. 190, № 8. С.61-81.

36. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

37. Рагулин В.В. К задаче протекания для уравнений идеальной жидкости //В кн.: Математические проблемы механики. Новосибирск: Ин-т иидродинамики СО РАН, 1979. С.79-90.

38. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970.

39. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Иностр. лит., 1963.

40. Солонников В. А. Переопределенные эллиптические краевые задачи. В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. Л.: Наука, 1971.

41. Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения сжимаемой жидкости // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. Л.: Наука, 1976. С.128-142.

42. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

43. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

44. Фурсиков А.В. О некоторых задачах управления и о результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, № 5. С.1066-1070.

45. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сб. 1981. Т. 115, № 2. С.281-306.

46. Фурсиков А.В. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Матем. сб. 1982. Т. 118(180), № 3(7). С.323-349.

47. Чеботарев А.Ю. Об оптимальном управлении в задаче протекания для уравнений идеальной жидкости //Динамика сплошной среды. Новосибирск: Инт гидродинамики СО РАН, 1987. Вып. 81. С.138-150.

48. Чеботарев А.Ю. Оптимальное управление системой Стокса с односторонними ограничениями. В кн.: Краевые задачи математической физики и проблемы экологии. // Владивосток: ИПМ ДВО АН СССР, 1990. С.69-85.

49. Чеботарев А.Ю. Об односторонних экстремальных задачах, связанных с системой Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1991. Вып. 102. С.133-147.

50. Чеботарев А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 8. С.1443-1450.

51. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 5. С.202-213.

52. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в задаче граничного управления течением вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 6. С. 189-197.

53. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С.934-942.

54. Чеботарев А.Ю. Принцип максимума в обратных экстремальных задачах для стационарных систем типа Навье-Стокса // Дальневосточный матем. сб. 1995. Т. 1. С.92-102.

55. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа // Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск: Ин-т гиидродинамики СО РАН, 1978. С. 134-146.

56. Шелухин В.В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа // Численные методы механики сплошной среды. Математическое моделирование. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1979. Т. 10, № 5. С.111-126.

57. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса / / Прикладная математика и механика. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1979. Т. 43. Вып. 6. С.992-997.

58. Шелухин В.В. Ограниченные, почти-периодические решения уравнений вязкого газа //В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1980. С.147-163.

59. Abergel F., Teraam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Сотр. Fluid Mech. 1990. V. 1. P. 303-325.

60. Alekseev G.V., Chebotarev A. Yu. Some extremum and unilateral boundary value problems in viscous hydrodynamics // Birkhauser Verlag Basel. International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. P. 1-11.

61. Alekseev G.V., Tereshko D.A. On solvability of inverse extremal problem for stationary equations of viscous heat conducting fluid //J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. V. 6, № 6. P. 521-562.

62. Baker J., Amaou A., Chiristofides P.D. Nonlinear control of incompressible fluid flow: application to Burgers'equation and 2d channel flow //J. Math. Anal. Appl., 2000. V. 252. P.230-255.

63. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Analusis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet controls // Math. Model. Numer. Anal. 1991. V. 25, № 6. P. 711-748.

64. Gunzburger M.D., Нои L. and Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction // SIAM J. Contr. Optim. 1992. V. 30, № 1. P. 167-182.

65. Kazhikhov A.V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low reynolds number // Acta. Math. Appl. 1994. V. 37, N 1. P.77-81

66. Lions P.L. Compacite' des solutions des equations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C.R. Acad. Sci. Paris. 1993. Y. 317, N 2. P.115-120.

67. Mamontov A.E. Orlicz spaces in the existence problem of global solutions to viscous compressible nonlinear fluid equations // Новосибирск, 1996. (Препринт / РАН Сиб. отд. Ин-т Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева. С.82-96).

68. Matsumura A., Nishiada Т. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive gases //J. Math Kyoto Univ. 1980. V. 20, N 1. P.67-104.

69. Nash J. Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluide general // Bull. Soc. Math. France. 1962. V.90. №4, P.487-497.

70. Padula M. Existence of glble solutions for two dimensional viscous compressible flows // J. Funct. Anal. 1986. V.69, № 1. P.1-20.

71. Serrin J. On the uniquness of compressible fluid motions // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1959. V.3, №3. P.271-299.

72. Sritharan S.S. Dynamic programming of the Navier-Stokes equations // Systems and Controls Letters. 1991. V. 6, P. 299-307.

73. Sritharan S.S. Pontryagin maximum principle and dynamic programming for viscous hydrodynamics // Optimization and Nonlinear Analysis. Pitman research Notes in Math. 1992. Ser. 244. P. 286-297.

74. Svobodny T. Shape optimization and control of separating flow in hydrodinamics // Flow control. IMA. 68. Ed. M. Gunzburger. Springer, 1995. P. 325-339.

75. Tani A. On the first initial boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V.13, № 1. P.193-253.

76. Temam R. Remarks on the control of turbulent flow // Flow control. IMA 68. Ed. M. Gunzburger. Springer, 1995. P. 357-371.

77. White L. W. Study of Uniqueness for the Initialization Problem for Burgers' Equation // J.Mathematical analysis and applications, 1993. V. 172. P.412-431.