Разработка расчетно-логической системы оптимизации портфеля производных финансовых инструментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Долматов, Андрей Сергеевич

• Долматов, Андрей Сергеевич
• кандидат экономических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Долматов, Андрей Сергеевич

Введение.

Глава 1. Задача оптимизации портфеля производных финансовых инструментов без учета залоговых ограничений.

1.1. Содержательная постановка задачи.

1.2. Формальная постановка задачи.

1.3. Формулы для расчета математических ожиданий стоимости производных финансовых инструментов на конец инвестиционного горизонта.

1.4. Свойства решений задачи.

1.5. Методы решения задачи.

1.6. Результаты моделирования.

1.7. Выводы.

Глава 2. Задача оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений.

2.1. Содержательная постановка задачи.

2.2. Функция начальной маржи по портфелю фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

2.3. Формальная постановка задачи.

2.4. Свойства решений задачи.

2.5. Алгоритм решения задачи.

2.6. Результаты моделирования.

2.7. Выводы.

Глава 3. Расчетно-логическая система «Хеджер» оптимизации портфеля производных финансовых инструментов.

3.1. Семантическая модель оптимизации портфелей фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

3.2. Назначение и рабочая среда расчетно-логической системы «Хеджер».

3.3. Решение задачи оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива при помощи расчетноф логической системы «Хеджер».

3.3.1. Настройка расчетно-логической системы «Хеджер».

3.3.2. Создание нового портфеля.

3.3.3. Закрытие предыдущего торгового дня для существующих портфелей.

3.3.4. Оптимизация структуры портфеля фьючерсов и опционов.

3.3.5. Применение расчетно-логической системы «Хеджер». 111 I 3.4. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка расчетно-логической системы оптимизации портфеля производных финансовых инструментов»

Актуальность темы. Современный финансовый рынок характеризуется значительной неустойчивостью в поведении активов, возникшей в результате либерализации финансового сектора экономики. Следствием этого является высокий риск финансовых потерь у инвесторов. В странах с рыночной экономикой все большее распространение получают производные финансовые инструменты, такие как фьючерсы и опционы, обеспечивающие участникам рыночных отношений возможность защищать (хеджировать) свои инвестиции от рисков. Решение задачи хеджирования с помощью производных инструментов требует глубокого анализа динамики рыночных показателей, создания адекватных математических моделей, описывающих поведение финансового рынка, а также моделей оптимизации портфелей, содержащих производные инструменты. Кроме того, прогресс в области информационных технологий, средств телекоммуникаций и вычислительной техники обеспечивает возможность создания компьютерных расчетно-логических систем оптимизации таких портфелей.

Основой рынка производных финансовых инструментов являются фьючерсные и опционные контракты. Для обозначения предмета, лежащего в основе контракта, используется термин «базисный актив». В качестве базисного актива могут выступать основные финансовые инструменты, такие как акции, облигации, процентные ставки, индексы акций, или реальные товары, например нефть, кофе, металлы, пшеница.

Фьючерсный контракт - это соглашение между двумя сторонами о будущей поставке базисного актива в определенный момент времени по оговоренной цене, которая называется ценой поставки. Значение цены поставки, на которую фьючерсный контракт может быть заключен в текущий момент времени, называется фьючерсной ценой базисного актива. Заключение фьючерсных контрактов производится только на бирже, их условия являются стандартными для каждого конкретного вида актива и одинаковы для всех инвесторов. Поэтому фьючерсные контракты высоко ликвидны. Важной особенностью этих контрактов является гарантированность их исполнения расчетной палатой биржи.

Опцион - это контракт, заключенный между двумя сторонами, согласно которому одна из сторон предоставляет другой право купить или продать актив, лежащий в основе контракта, в течение определенного периода времени по фиксированной цене, которая называется ценой исполнения. В момент заключения контракта покупатель опциона выплачивает продавцу некоторую премию. Опцион на покупку (Call) предоставляет его владельцу право купить, а опцион на продажу (Put) -право продать актив. Опцион американского типа может быть исполнен в любой день до момента истечения контракта, опцион европейского типа -только в момент истечения.

Условия биржевых опционов, также как и фьючерсов, являются стандартизированными. Как правило, в каждом месяце назначается один день, когда происходит истечение срока (погашение) одних контрактов и появление новых серий контрактов. Одновременно на биржах обращаются фьючерсы и опционы на несколько будущих месяцев. Для каждого месяца погашения обращаются несколько серий опционов с различными ценами исполнения.

Существуют фьючерсы и опционы, по которым не предполагается реальной поставки базисного актива. Такие контракты называются расчетными. В последний день обращения контрактов на бирже производится перерасчет и перечисление суммы выигрыша со счета проигравшей на счет выигравшей стороны. Контракты на индексы акций и процентные ставки всегда являются расчетными. Контракты на акции и товарные контракты могут быть как поставочными, так и расчетными.

Если инвестор купил опционный контракт или заключил фьючерсный контракт на покупку актива, то говорят, что он открыл длинную позицию. Соответствующий контракт также называют длинным. Инвестор, который осуществляет продажу опциона или заключение фьючерсного контракта на продажу, открывает короткую позицию. В этом случае контракт называют коротким. Если в портфеле уже содержится длинная или короткая позиция по некоторой серии производных инструментов, то совершение обратной операции приводит к закрытию данной позиции. Как правило, совершение биржевых операций осуществляется при участии брокера - посредника, который передает приказы инвесторов на биржу. Брокер получает комиссионное вознаграждение за покупку и продажу каждого фьючерсного и опционного контракта.

Совокупность рыночных ценных бумаг, рассматриваемая как составной актив, называется портфелем. Портфельный подход позволяет эффективно проводить анализ и оптимизацию параметров экономических рисков, ассоциированных с входящими в портфель ценными бумагами.

Расчетно-логическая система представляет собой проблемно-ориентированный программный комплекс, предназначенный для решения прикладных задач в некоторой предметной области, предоставляющий удобные и интуитивно понятные средства для ввода в ЭВМ постановки задачи и наглядного представления результатов для их анализа и принятия решения о продолжении расчета.

Современная теория портфеля разработана американским экономистом Гарри Марковичем [47]. Данная теория оперирует только моментными характеристиками доходности ценных бумаг (ожидаемой доходностью и риском), предполагая, что доходность ценных бумаг есть случайная величина. Теория Марковича успешно применяется на практике для портфелей, содержащих основные финансовые инструменты (акции и облигации). Однако в данной теории не учитывается вид закона распределения доходности. По этой причине теория Марковича практически не применяется для портфелей, содержащих производные инструменты.

Для портфеля, включающего фиксированный набор производных инструментов, существует хорошо развитая теория динамического управления. В такой постановке принято говорить о хеджировании платежного обязательства, соответствующего опционным контрактам. Данная теория и вопросы ценообразования опционов рассмотрены в работах А.Н. Ширяева, А.В. Мельникова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, М.Л. Нечаева, С.Т. Рачева, Т.В. Селезневой, В.М. Степанова, В.Н. Тутубалина, Е.Г. Угера, Ф. Блэка, М. Шоулса, Р. Мертона, Д. Кокса, Р. Росса, М. Рубинштейна, М. Бреннана, Е. Шварца, Д. Галла, X. Джонсона, Л. Рушендорфа, Л. Скотта, А. Уайта, Р. Хариффа, Л.А. Шеппа.

Для случая, когда существует ликвидный рынок производных инструментов и имеется возможность изменять связанное с портфелем обусловленное платежное обязательство, теория развита недостаточно. Решение задачи оптимизации портфеля в данном случае может быть основано на классической схеме дельта-гамма хеджирования. Показатель дельта представляет собой отношение изменения стоимости портфеля, вызванного изменением величины базисного актива, к изменению величины базисного актива. Гамма - это коэффициент, который показывает скорость изменения дельты по отношению к изменению величины базисного актива.

По схеме дельта-гамма хеджирования осуществляется формирование портфеля, нейтрального по отношению к показателям дельта и гамма, что позволяет застраховать позицию инвестора от колебаний базисного актива в последующий период времени. В качестве критерия оптимизации можно использовать максимум скорости роста стоимости портфеля (максимум коэффициента тета портфеля) [1, 20]. Недостатком такого подхода, ограничивающим его практическое применение, является игнорирование прогнозов будущего поведения рынка и, как следствие, невозможность противостоять значительным колебаниям конъюнктуры рынка.

Описанные в литературе методы управления портфелем опционов, которые учитывают прогноз движения рынка, состоят в использовании соответствующего стандартного набора комбинаций опционов (спрэды быка и медведя, стрэддлы, стрэнглы и т.п.). Описание стандартных комбинаций опционов можно найти в [1, 2]. Данные методы лежат в основе известных торговых систем управления портфелями опционов (см., например, [27]). Еще с одной из таких систем можно познакомиться на Web-узле http://www.essextrading.com. Существенным недостатками данного подхода являются его зависимость от того, насколько точно инвестор прогнозирует движение рынка, и ограниченность разрешенного набора комбинаций опционов.

В настоящей диссертационной работе исследована новая модель оптимизации портфеля производных инструментов, свободная от недостатков существующих моделей, т.е. способная противостоять сильным изменениям конъюнктуры рынка, не зависящая от интуиции инвестора и не ограничивающая набор разрешенных комбинаций производных инструментов [9, 10, 14, 42]. Данная модель рассматривается сначала при допущениях, что все существующие серии производных инструментов котируются в каждый момент времени и на покупку, и на продажу, причем цены покупки и продажи для каждой серии совпадают.

Заключение производных контрактов сопряжено с риском неисполнения обязательств. Для того, что бы устранить этот риск, в биржевой практике принято производить расчеты по таким контрактам ежедневно, а не только в момент их погашения. Клиринговая палата биржи производит расчеты сразу после окончания торгов. До начала следующих торгов участниками рынка должны быть выполнены соответствующие платежи. Для каждого производного контракта по итогам торгового дня определяется так называемая расчетная цена (Settlement Price). Для фьючерсов на ее основе начисляется вариационная маржа (Variation Margin), которая характеризует дневной выигрыш или проигрыш по всем содержащимся в портфеле фьючерсным контрактам. Для опционных контрактов рассчитывается так называемая ликвидационная стоимость (^Option Liquidation Value). Ликвидационная стоимость опционов есть то количество денег, которое потребуется уплатить для закрытия позиций по опционным контрактам.

Залог, эквивалентный сумме вариационной маржи и ликвидационной стоимости портфеля, сокращает риск банкротства инвестора, однако расчет по залогу производится только один раз в день после закрытия торгов. Для того чтобы учесть возможные дневные колебания стоимости портфеля, к вариационной марже и ликвидационной стоимости добавляется так называемая начальная маржа (Initial Margin). Сумма вариационной маржи, ликвидационной стоимости и начальной маржи определяет необходимую величину залога за портфель фьючерсов и опционов (Net Margin). Как правило, биржа разрешает вносить данный залог деньгами или ценными бумагами. При этом для каждого вида бумаг определяется, какая максимальная доля их текущей рыночной стоимости может быть использована для покрытия залоговых обязательств. В настоящее время практически все крупные биржи мира для расчета начальной маржи используют методику SPAN (Standard Portfolio Analysis of Risk). Данная методика подробно рассмотрена в [56, 62, 63, 64]. Переработанное изложение на русском языке дано в [6, 7].

Выполнение залоговых требований является обязательным условием при заключении биржевых сделок с фьючерсами и опционами. Поэтому в случае биржевой торговли необходимо обобщить предлагаемую модель оптимизации портфеля производных инструментов таким образом, чтобы учесть в ней все виды расчетов между инвестором и брокером.

Исходная задача разбивается на ряд подзадач в соответствии с особенностями расчета начальной маржи. Решение данной задачи может осуществляться путем полного перебора всех подзадач. В качестве рекомендации на покупку и продажу фьючерсных и опционных контрактов принимается решение подзадачи с наибольшим значением критерия. Такой подход является трудоемким и требует значительных вычислительных затрат. В настоящей диссертационной работе предложен алгоритм решения данной задачи на основе метода ветвей и границ. Разработка эффективного алгоритма ветвления при использовании метода ветвей и границ требует проведения специальных исследований и вычислительных экспериментов. В настоящей диссертационной работе предлагается схема ветвления, позволяющая выявить большое число бесперспективных подзадач и существенно сократить за счет этого объем вычислений.

Применение моделей оптимизации финансовых портфелей для решения задачи хеджирования инвестиций связано с большими объемами вычислений и требует создания соответствующих специализированных компьютерных систем. Именно к этому классу программного обеспечения относится расчетно-логическая система «Хеджер», разработанная на основе предложенной в настоящей диссертационной работе модели оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

Цель и задачи исследования. Основная цель диссертационной работы состоит в математическом моделировании процесса управления портфелем фьючерсов и опционов с учетом залоговых требований.

Поставленная цель предопределила необходимость решения следующих задач:

• изучить существующие подходы к управлению портфелем фьючерсов и опционов;

• разработать модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива, исследовать ее свойства, получить решение задачи оптимизации портфеля;

• провести моделирование процесса управления портфелем фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива;

• разработать модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива и учетом залоговых требований, исследовать ее свойства;

• разработать алгоритмическое обеспечение для решения задачи оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива и учетом залоговых требований;

• провести моделирование процесса управления портфелем фьючерсов и опционов с учетом всех видов взаиморасчетов, производящихся между инвестором и брокером;

• разработать семантическую модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива;

• разработать программную реализацию расчетно-логической системы оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются фьючерсы и опционы. Предметом исследования является оптимизация портфеля фьючерсов и опционов с учетом залоговых требований.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы следующие методы исследования: теория вероятностей, математическая статистика, теория оптимизации, численное моделирование, семантическое программирование.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующих положениях:

1. Предложена новая модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива, позволяющая построить стратегию хеджирования, способную противостоять значительным колебаниям конъюнктуры рынка.

2. Предложена новая модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива и учетом всех видов взаиморасчетов между инвестором и брокером, которая может эффективно использоваться в реальных биржевых торгах независимо от направления движения рынка.

3. Разработана эффективная схема ветвления для оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с учетом залоговых ограничений на основе метода ветвей и границ, дающая возможность существенно сократить количество решаемых подзадач по сравнению с полным перебором.

4. Разработана семантическая модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

5. Разработана расчетно-логическая система, решающая задачу оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут быть использованы профессиональными участниками рынка производных финансовых инструментов для принятия обоснованных решений по покупке и продаже этих инструментов в реальном масштабе времени.

Положения и результаты, выносимые на защиту. Автором выносятся на защиту следующие основные положения и результаты:

1. Модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива и учетом всех видов взаиморасчетов между инвестором и брокером, а также свойства модели.

2. Алгоритмическое обеспечение для решения задачи оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с учетом залоговых ограничений.

3. Семантическая модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

4. Расчетно-логическая система, предназначенная для оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива.

Апробация работы и использование ее результатов. Основные положения диссертационной работы были доложены и обсуждались на II международной конференции по исследованию операций, на VIII международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», на научно-практическом семинаре научного центра «Прикладная прогностика» ИМЭМО РАН, на семинаре «Управление финансовыми рисками и страхование» российского отделения GARP (Global Association of Risk Professionals), на семинаре «Динамические модели экономики» кафедры «Математические методы анализа экономики» МГУ, на научно-техническом семинаре кафедры «Математическая кибернетика» МАИ.

Расчетно-логическая система «Хеджер» внедрена в ОАО УК «Пифагор». При создании данной расчетно-логической системы была использована модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с учетом залоговых ограничений, разработанная в соавторстве с Голембиовским Д.Ю.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 научных работ общим объемом 5,1 п.л.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основные результаты исследования изложены на 128 страницах, 8 таблицах, 18 рисунках. Список используемой литературы содержит 69 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Долматов, Андрей Сергеевич

4. Выводы.

Разработана семантическая модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива. Описаны схемы взаимодействия с внешней средой и функционирования (диаграммы потоков данных) расчетно-логической системы «Хеджер».

Разработана расчетно-логическая система «Хеджер» оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива с учетом всех реальных биржевых условий.

Формализована логика управления портфелем производных финансовых инструментов с использованием расчетно-логической системы «Хеджер».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива, сформулированы и доказаны ее свойства, получено решение задачи оптимизации портфеля.

2. Проведено моделирование процесса управления портфелем расчетных фьючерсов и опционов на фондовый индекс. Результаты моделирования продемонстрировали эффективность модели оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива и ее преимущества по сравнению с дельта-гамма хеджированием.

3. Предложена модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с использованием интервального прогноза будущих значений базисного актива и учетом всех видов взаиморасчетов между инвестором и брокером, сформулированы и доказаны ее свойства. Применение данной модели в биржевой торговле позволяет значительно снизить риск неисполнения обязательств по открытым позициям со стороны инвестора.

4. Разработано алгоритмическое обеспечение для решения задачи оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с учетом залоговых ограничений на основе метода ветвей и границ. Использование данного алгоритмического обеспечения дает возможность решать задачу оптимизации портфеля в реальном масштабе времени.

5. Проведено моделирование процесса управления портфелем расчетных фьючерсов и опционов на фондовый индекс по реальным биржевым котировкам. Результаты моделирования продемонстрировали эффективность модели оптимизации портфеля фьючерсов и опционов с учетом залоговых ограничений в практической работе на рынке производных инструментов. Разработана семантическая модель оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива и формализована логика управления портфелем производных финансовых инструментов.

Разработана расчетно-логическая система «Хеджер», предназначенная для оптимизации портфеля фьючерсов и опционов на один вид базисного актива с учетом всех реальных биржевых условий, позволяющая профессиональным участникам рынка производных финансовых инструментов существенно повысить качество принимаемых решений по покупке и продаже данных инструментов. Расчетно-логическая система «Хеджер» внедрена в ОАО УК «Пифагор», что подтверждено соответствующим актом о внедрении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Долматов, Андрей Сергеевич, 2002 год

1. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М.: ИНФРА-М, 1996. - 368 с.

2. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты. М.: ТРИВОЛА, 1995.-352 с.

3. Гамровски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. №4. С. 556-604.

4. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.-355 с.

5. Гейн К., Сарсон Т. Системный структурный анализ: средства и методы. М.: ЭЙТЕКС, 1992. - 238 с.

6. Голембиовский Д.Ю. Расчет залога по портфелю производных инструментов // Вопросы анализа риска. 2000. Т.2. № 2-3. С. 14-33.

7. Голембиовский Д.Ю. Система управления биржевым залогом SPAN // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. Т. 7. Вып. 1.С. 181-183.

8. Голембиовский Д.Ю. Управление портфелем биржевых деривативов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. Т. 7. Вып. 2. С. 329-330.

9. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. Управление портфелем производных финансовых инструментов. I // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №4. С. 95-103.

10. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. Управление портфелем производных финансовых инструментов. II // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №6. С. 90-94.

11. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. Модель оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №3. С. 75-85.

12. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. Решение задачи управления портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №4. С. 69-77.

13. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применение. М.: Прогресс, 1966. - 280 с.

14. Долматов А.С. Хеджирование портфеля российских акций с помощью производных инструментов Венской биржи фьючерсов и опционов // Рынок ценных бумаг. 1999. №7. С. 67-68.

15. Зиглер К. Методы проектирования программных систем. -М.: Мир, 1985.-260 с.

16. Крамков Д.О., Ширяев А.Н. О расчетах рациональной стоимости «русского опциона» в симметричнойбиномиальной модели (В,8)-рынка // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 191-200.

17. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997. - 126 с.

18. Мельников А.В., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчетов с ценными бумагами. Препринт. М.: Научно-исследовательский актуарно-финансовый центр. 1996. №3. - 13 с.

19. Мохамед Б. Моделирование операционных издержек и оптимального рехеджирования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2. Вып. 5. С. 752-767.

20. Нечаева М.С., Хамисов О.В. Метод ветвей и границ для задачи минимизации невыпуклой квадратичной функции при выпуклых квадратичных ограничениях // Дискретный анализ и исследование операций. 2000. Сер. 2. Т. 7. №2. С. 74-88.

21. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1985. - 512 с.

22. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФРА-М, 1994. - с.

23. Рачев С.Т., Рушендорф Л. Модели и расчеты контрактов // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 150-190.

24. Селезнева Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. Т. 7, Вып. 2. С. 210-238.

25. Семенов В.В. Семантическое программирование в САПР систем управления. М.: Изд-во МАИ, 1983. - 64 с.

26. Система «Graphic Simulator». Техническое описание и руководство пользователя. Хайфа, 1998. - 153 с.

27. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.-212 с.

28. Шепп JI.A., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «русского опциона» // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1. С. 130-149.

29. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 5-22.

30. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. -М.: ФАЗИС, 1998. 512 с.

31. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998. - 544 с.

32. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 23-79.

33. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. I. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применение. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 80-129.

34. Black F., Jones R. Simplifying Portfolio Insurance // Journal of Portfolio Management. 1987. V. 14. №1. P. 48-51.

35. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities 11 Journal of Political Economy. 1973. V. 81. №3. P. 637-659.

36. Brennan M.J., Schwartz E. Portfolio Insurance and Financial Market Equilibrium // Journal of Business. 1989. V. 62. №. 4. P. 455-472.

37. Brennan M.J., Solanki R. Optimal Portfolio Insurance // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1981. V. 16. №3. P. 279-300.

38. Chesney M., Scott L. Pricing European Currency Options: A Comparison of the Modified Black-Scholes Model and Random Variance Model // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1989. V. 24. №3. P. 267-284.

39. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option Pricing: a Simplified Approach // Journal of Financial Economics. 1979. V. 7. №3. P. 229-263.

40. Gilster J.E., Lee W. The Effects of Transactions Costs and Different Borrowing and Lending Rates on the Option Pricing Model: A Note // Journal of Finance. 1984. V. 39. №4. P. 12151222.

41. Golembiovski D.J., Dolmatov A.S. Comparison of Two Hedging Strategies for Stock Portfolio // Abstracts: The 2nd International Conference on Operations Research. 1998. P. 16.

42. Grossman S.J., Vila J.-L. Portfolio Insurance in Complete Markets: A Note // Journal of Business. 1989, V. 62. № 4. P. 473476.

43. Hakanoglu E., Koppraseh R., Roman E. Constant Proportion Portfolio Insurance for Fixed-Income Investment // Journal of Portfolio Management. 1989. V. 15. №4. P. 58-66.

44. Hull J., White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance. 1987. V. 42. №2. P. 281-300.

45. Johnson H., Shanno D. Option Pricing When the Variance Is Changing // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. V. 22. №2. P. 143-151.

46. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. V.7 (March). P. 77-91.

47. Markowitz H. Portfolio Selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959. - 180 p.

48. Merton R.C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. V. 4. №1. P. 141-183.

49. Merton R.C., Scholes M.S., Gladstein M.L. The Returns and Risk of Alternative Call-Option Portfolio Investment Strategies // Journal of Business. 1978. V. 51. №1. P. 183-242.

50. Merton R.C., Scholes M.S., Gladstein M.L. The Returns and Risk of Alternative Put-Option Portfolio Investment Strategies // Journal of Business. 1982. V. 55. №1. P. 1-55.

51. Mitchell J., Cheng Z.-Y. A Primal-Dual Interior Point Method for Linear Programming Based on a Weighted Barrier Function // Journal of Optimization Theory and Applications. 1995. V. 87. P. 301-321.

52. Neal R. Comparison of Transaction Costs Between Competitive Market-Maker and Specialist Structures // Journal of Business. 1992. V. 65. №2. P. 317-334.

53. Nelson D.B., Ramaswamy K. Simple Binomial Process as Diffusion Approximations in Financial Models // Review of Financial Studies. 1990. V. 3. №3 P. 393-430.

54. Novikova N.M. Iterative Stochastic Methods for Solving Variation Problems of Mathematical Physics and Operations Research // Journal of Mathematical Science (Contemporary Mathematics and its Applications). 1994. V. 3. № 1. P. 1-125.

55. PC-SPAN Performance Bond Calculation Algorithm Functional Specification. PC SPAN Release 3.10c. Chicago: Chicago Mercantile Exchange, 1999. - 125 p.

56. Rabinovitch R. Pricing Stock and Bond Options When the Default-Free Rate Is Stochastic // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1989. V. 24. №4. P. 447-457.

57. Rendelman R.J., Jr., McEnally. Assessing the Costs of Portfolio Insurance // Financial Analysis Journal. 1987. V.43. №3. P. 27-37.

58. Ronn A.G., Ronn E.I. The Box Spread Arbitrage Conditions: Theory, Tests and Investment Strategies // Review of Financial Studies. 1989. V. 2. №1. P. 91-107.

59. Scott L.O. Option Pricing When the Variance Changes Randomly: Theory, Estimation and an Application // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. V. 22. №4. P. 419-438.

60. Smith C.D. Option Strategies. Profit-Making Techniques for Stock, Stock Index, and Commodity Options. New York: John Wiley & Sons Inc., 1996. - 328 p.

61. Standard Portfolio Analysis of Risk (SPAN) Performance Bond System at the Chicago Mercantile Exchange. Technical Specification. Chicago: Chicago Mercantile Exchange, 1999. -53 p.

62. Standard Portfolio Analysis of Risk. Risk Parameter File Description. London: London Clearing House Limited, 1992. -18 p.

63. Standard Portfolio Analysis of Risk. Technical Specifications. -London: London Clearing House Limited, 1991. 88 p.

64. Trippi R.R., Harriff R.B. Dynamic Asset Allocation Rules: Survey and Synthesis // Journal of Portfolio Management. 1991. V. 17. №4. P. 19-26.

65. Turnbull S. M., Milne F. A Simple Approach to Interest Rate Option Pricing // Review of Financial Engineering. 1993. V. 2. №2. P. 195-206.

66. Wiggins J.B. Option Values Under Stochastic Volatility: Theory and Empirical Estimates // Journal of Financial Economics. 1987. V. 19. №2. P. 351-372.

67. Yourdon E. Modern Structured Analysis. New York: Yordon Press / Prentice Hall, 1989. - 320 p.

68. Zhu Y., Kavee R.C. Performance of Portfolio Insurance Strategies //Journal Portfolio Management. 1988. V. 14. №3. P. 48-54.