Разработка методов вычисления мастер-интегралов с эллиптической структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Безуглов Максим Александрович

• Безуглов Максим Александрович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Безуглов Максим Александрович

Введение

Глава 1. Вычисление мастер-интегралов методом прямого

интегрирования

1.1 Класс функций

1.1.1 Мульти полилогарифмы

1.1.2 Алгебра Хопфа для мульти полилогарифмов и символ

1.1.3 Эллиптическое обобщение мульти полилогарифмов

1.1.4 Теорема для

1.1.5 Повторные интегралы с алгебраическими ядрами

1.2 Прямое интегрирование эллиптических интегралов в терминах эллиптического обобщения мульти полилогарифмов

1.2.1 Эллиптический треугольник

1.2.2 Другие примеры эллиптических треугольников

1.2.3 Эллиптический треугольник с пятью внутренними линиями

1.2.4 Пример диаграммы с двумя эллиптическими структурами

1.3 Прямое интегрирование эллиптических интегралов в терминах повторных интегралов с алгебраическими ядрами

1.4 Выводы

Глава 2. Вычисление мастер-интегралов методом

дифференциальных уравнений

2.1 Редукция системы дифференциальных уравнений

2.1.1 Алгоритм Ли

2.1.2 Ограничения алгоритма Ли и замена переменных

2.2 Двух-петлевые интегралы

2.2.1 Диаграмма типа «закат солнца»

2.2.2 Диаграмма типа «воздушный змей» с двумя безмассовыми линиями

2.2.3 Диаграмма типа «воздушный змей» с одной безмассовой линией

2.2.4 Диаграмма типа «воздушный змей» со всеми массивными линиями

2.2.5 Непланарная эллиптическая вершина

2.3 Система интегралов описывающих двух-петлевые поправки к

процессам в нерелятивистской КХД

2.3.1 Эффективные мастер-интегралы соответствующие эллиптической диаграмме типа «закат солнца» в двух измерениях

2.3.2 Эффективные мастер-интегралы соответствующие неэллиптической диаграмме типа «закат солнца» в двух измерениях

2.3.3 Эффективные мастер-интегралы в четырех измерениях

2.3.4 Результаты для двух-петлевых мастер-интегралов в двух измерениях

2.3.5 Результаты для двух-петлевых мастер-интегралов в четырех измерениях

2.4 Трех-петлевые интегралы

2.4.1 Диаграмма типа «банан» в двух измерениях

2.4.2 Треугольник с двумя массивными петлями

2.5 Выводы

Глава 3. Вычисление мастер-интегралов методом Фробениуса

3.1 Точные решения для непланарной эллиптической вершины

3.1.1 Решения для неэллиптических интегралов

3.1.2 Решения для эллиптических интегралов

3.2 Решения для непланарной эллиптической вершины в виде рядов

по параметру размерной регуляризации

3.2.1 Решения для неэллиптических интегралов

3.2.2 Решения для эллиптических интегралов

3.3 Точные решения для системы интегралов описывающих

двух-петлевые поправки к процессам в нерелятивистской КХД

3.3.1 Точные решения для эллиптической диаграммы типа

«закат солнца»

3.3.2 Точные решения для неэллиптической диаграммы типа «закат солнца»

3.3.3 Точные решения для диаграммы типа эллиптический

треугольник

3.4 Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Математические приложения

А.1 Алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа

A.2 Элементы теории эллиптических функций

Приложение Б. Список всех ядер для J-функций

Приложение В. Описание пакета TEMPLE

B.1 Класс функций

В.2 Полиномы Симанчика и редукция Брауна

В.3 Алгебра перестановок

В.4 Операции над мульти полилогарифмами

В.5 Структура алгебры Хоппфа для мульти полилогарифмов

В.6 Операции над эллиптическими мульти полилогарифмами

В.7 Рациональная параметризация поверхностей

В.8 Пример вычисления простейшей эллиптической диаграммы

типа «закат солнца» методом прямого интегрирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов вычисления мастер-интегралов с эллиптической структурой»

Введение

На данный момент, одной из наиболее успешных физических теорий, является стандартная модель (СМ) элементарных частиц [1—3] созданная в 70-х годах двадцатого века. Данная теория является одним из величайших достижений человечества и находит свое подтверждение во множестве экспериментов [4]. Однако, существует множество прямых и косвенных свидетельств того, что СМ не может являться окончательной физической теорией. Основными аргументами в пользу этого является наличие таких явлений, как темная мате-рия[5—8] и темная энергия [5; 9—11], а также принципиальная несовместимость СМ с общей теорией относительности [12]— другой крайне успешной физической теорией. Таким образом, одной из наиболее актуальных задач современной естественной науки является поиск новой физики за пределами СМ. Наиболее многообещающим методом для этого представляется поиск отклонений от СМ на большом адронном коллайдере (БАК) [13; 14], а также на других ускорителях и установках включающих в себя, как наземные так и космические обсерватории. Но, для того, чтобы иметь возможность отличить гипотетические эффекты новой физики от возможных неучтенных эффектов СМ необходимо уметь делать очень точные предсказания в ее рамках. В то же время, необходимо отметить, что абсолютное большинство расчетов в квантовой теории поля производятся при помощи теории возмущений. В рамках теории возмущений, некая измеримая величина ищется в виде ряда по константе связи, последняя считается малой. Каждый к-ый элемент теории возмущений может быть представлен, как сумма Фейнмановских диаграмм с к петлями1. Для их вычисления необходимо вычислить 4^-кратный интеграл по внутреннему четырехмерному импульсу каждой петли, такой интеграл называется петлевым фейнмановским интегралом. В современных расчетах часто бывает необходимо вычислять фейнмановские интегралы для двух и более петель, для примера см. [16; 17]. Таким образом для получения точных предсказаний нам необходимо иметь точные решения для соответствующих много-петлевых интегралов. Наиболее предпочтительно получить точные аналитические результаты т.к. это позволяет получить наиболее точные предсказания.

1На самом деле такой ряд является асимптотическим и только сумма конечного числа членов правильно аппроксимирует искомую функцию, подробнее см. в [15]

Помимо этого, фейнмановские интегралы также могут иметь большое значение для важных разделов чистой математики. Например, можно показать, что фейнмановские интегралы связаны с теорией мотивных периодов и могут быть использованы для изучения мотивной группы Галуа [18—20]. Отдельные фейнмановские интегралы также могут быть использованы, как своеобразная лаборатория, для изучения различных областей математики. Так, простейший двух-петлевой интеграл типа закат солнца является преобразованием Лежандра локального препотенциала Громова-Виттена и эквивалентность двух различных представлений этого интеграла является локальным проявлением зеркальной симметрии [21; 22].

Каждый фейнмановский интеграл принадлежит к определенному семейству интегралов. Семейством называют все интегралы с одинаковым набором пропагаторов, но с разными степенями этих пропагаторов включая степень ноль т.е. подграфы. Элементы одного семейства не являются независимыми друг от друга. Между ними существуют линейные зависимости, которые устанавливают связь между элементами одного семейства [23—25]. Это означает, что семейство интегралов формирует некое линейное пространство с конечным базисом. Элементы этого базиса обычно называются мастер-интегралами. Число мастер-интегралов или, иными словами, размерность соответствующего линейного пространства определяется особыми точками подынтегральной функции [26] в представлении Фейнмана или Байкова [27]. Таким образом, нам не нужно вычислять все интегралы из данного семейства, достаточно только, вычислить некий фиксированный набор мастер-интегралов.

Существует множество разных способов вычисления фейнмановских интегралов. Условно, их можно разделить на два класса. Первый и самый старый метод это прямое интегрирование фейнмановского интеграла с использованием некоторого параметрического представления. В качестве примеров можно привести: фейнмановскую параметризацию, альфа представление, представление Мелина-Барнса и многие другие [15; 28; 29]. Многие методы можно успешно комбинировать друг с другом. Особенностью метода прямого интегрирования является, прежде всего то, что каждый мастер-интеграл должен быть рассмотрен отдельно от всей системы. Второй метод, это решение системы уравнений для всей системы мастер-интегралов в целом. Наиболее распространенным выбором является решение системы дифференциальных уравнений (ДУ) [30—36], при этом, в качестве переменной выступает некоторый внешний параметр, на-

пример, квадрат импульса внешней частицы. При использовании метода ДУ крайне важно правильно выбрать базис мастер-интегралов. Очевидно, что выбирается он таким образом, чтобы получившаяся система ДУ была как можно проще. Наиболее простой формой ДУ, для системы мастер-интегралов, является, так называемая, е-форма [37]. Алгоритм нахождения соответствующего базиса мастер-интегралов, для случая, когда такой базис существует, приведен в [38]. Другим распространенным выбором является решение системы разностных уравнений. Здесь, в качестве переменной необходимо выбрать некоторую дискретную величину. Практически всегда, в этом качестве выступает размерность пространства-времени[39—45].

Фейнмановские интегралы обычно выражаются в терминах специальных функций. Самыми распространенными из них, являются мульти полилогарифмы (МПЛ) [46; 47]. Свойства этих функций хорошо известны и с их помощью удается решить большое количество практических задач, для примера можно привести [48—65]. Существует набор математических пакетов, таких как HyperInt [66], MPL [67] и PolyLogTools [68], которые специально ориентированы на работу с этими функциями. МПЛы могут использоваться для вычисления фейнмановских интегралов методом прямого интегрирования, обычно, для этого используется фейнмановсекая параметризация. При этом, очень важную роль играет концепция линейной приводимости [69; 70], которая позволяет понять, анализируя полиномы Симанчика входящие в фейнмановское параметрическое представление, может ли заданный фейнмановский интеграл иметь решения в классе МПЛов. Также, с помощью МПЛов можно получать решения для фейнмановских интегралов с использованием метода ДУ. Система ДУ может быть решена в терминах МПЛов в том случае, если она допускает сведение к е-форме и если ядра ДУ записанные через дифференциалы от логарифмов d log содержат, только, рациональные аргументы [71]. Пожалуй, одной из главных особенностей МПЛов, что делает их настолько успешными, это то, что они удовлетворяют алгебре Хоппфа [72]. Последнее позволяет находить множество функциональных зависимостей между ними. Помимо этого, немало важным является то, что они могут быть вычислены численно с очень высокой точностью [73; 74].

Несмотря на все вышеописанные замечательные свойства, точно известно, что не все фейнмановские интегралы могут быть решены в классе МПЛов. Первый пример появился еще 1962 году и связан с диаграммой типа воздушный

змей возникающей при расчете двух-петлевой поправки к собственной энергии электрона в КЭД [75]. Выяснилось, что такой интеграл является эллиптическим и никак не может быть выражен через МПЛы. После этого, подобные интегралы часто появлялись в практических вычислениях. Поэтому, появилась необходимость ввести новые функции, более общие чем обычные МПЛы. Простейшим классом неполилогарифмических интегралов являются эллиптические мульти полилогарифмамы (эМПЛ) [76] свойства которых тесно связаны со свойствами эллиптических кривых. Есть много способов ввести такие функции, наиболее многообещающей является форма повторных интегралов [76—85]. Также эМПЛы можно определить как обобщение полилогарифмического ряда [86—91] или как обобщение гипергеометрических функций [92]. Несмотря на то, что теория для многих типов эМПЛов довольно развита, для некоторых даже известна структура алгебры Хопфа [78; 93], единого общепризнанного метода для решения всех типов неполилогарифмических интегралов все еще не существует. Подобные расчеты лежат скорее в области «искусства» нежели в области рутинных алгоритмизированных вычислений. Поэтому, поиск дополнительных способов решений и соответствующих им новых функций для фейнмановских интегралов является важной задачей и представляет первостепенный интерес для данного исследования.

Целью данной работы является разработка методов для аналитического вычисления двух-петлевых и трех-петлевых фейнмановских интегралов с эллиптическими структурами, в терминах хорошо определенных специальных функций, на серии конкретных примеров таких интегралов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать новый программный пакет заточенный под вычисление эллиптических фейнмановских интегралов методом прямого интегрирования.

2. Разработать новый метод позволяющий решать двух-петлевые непо-лилогарифмические интегралы методом ДУ в терминах повторных интегралов с алгебраическими ядрами.

3. Обобщить метод из предыдущего пункта на трех-петлевой случай.

4. Разработать метод для численной проверки результатов полученных в терминах повторных интегралов с алгебраическими ядрами.

5. Разработать метод для точного по £ решения неполилогарифмических фейнмановских интегралов в виде рядов Фробениуса.

6. Применить разработанные методы для решения практических задач, а именно, для аналитического вычисления мастер-интегралов описывающих двух-петлевые поправки к процессам в нерелятивистской квантовой хромодинамике.

Научная новизна:

1. Впервые, методом прямого интегрирования, были получены решения для серии "треугольных" эллиптических интегралов в терминах эМПЛов.

2. Был разработан специальный математический пакет TEMPLE на базе языке Wolfram mathematica предназначеный для вычисления эллиптических фейнмановских интегралов методом прямого интегрирования.

3. Был введен новый класс функций названный повторными интегралами с алгебраическими ядрами. Этот новый класс функций позволяет находить решения для широкого класса неполилогарифмических двух-петлевых и трех-петлевых фейнмановских интегралов решения для которых, на данный момент, не могут быть получены в терминах других известных функций.

4. Было получено новое интегральное представление для простейшей эллиптической диаграммы типа закат солнца в терминах повторных интегралов с алгебраическими ядрами.

5. Было получено решение для интеграла типа воздушный змей, с двумя безмассовыми линиями в терминах повторных интегралов с алгебраическими ядрами.

6. Впервые было получено решение для интеграла типа воздушный змей, со всеми массивными линиями и с одной безмассовой линией в терминах повторных интегралов.

7. Было получено новое интегральное представление для трех-петлевой эллиптической диаграммы типа «банан».

8. Был разработан новый метод позволяющий получать точные, по параметру размерной регуляризации, решения для некоторого класса эллиптических интегралов.

9. Впервые были получены точные, по параметру размерной регуляризации, решения для двух-петлевой эллиптической диаграммы типа непланарная эллиптическая вершина.

10. Впервые были получены точные, по параметру размерной регуляризации, решения для системы мастер-интегралов описывающих двух-петлевые поправки к процессам в нерелятивистской квантовой хромодинамике.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Были получены аналитические решения для набора двух-петлевых эллиптических фейнмановских интегралов с помощью метода прямого интегрирования. Данный метод позволяет получать решения для любого порядка по параметру размерной регуляризации. Решения выражены через эллиптическое обобщение мульти полилогарифмов. На примере непланарной эллиптической вершины, также показано, что решения могут быть выражены через новый класс функций названный повторными интегралами с алгебраическими ядрами. Установлено, что в некоторых случаях методика позволяет получать решения для фейн-мановских интегралов содержащих две эллиптические структуры. Для решения этих задач был разработан специальный математический пакет TEMPLE на базе языка Wolfram Mathematica.

2. Предложен метод позволяющий находить решения для широкого класса двух-петлевых и трех-петлевых фейнмановских интегралов, в терминах нового класса функций, названных повторными интегралами с алгебраическими ядрами. Данный метод основан на синтезе метода фейнмановской параметризации и метода дифференциальных уравнений для полной системы мастер-интегралов и позволяет получать решения в любом, наперед заданном порядке по параметру размерной регуляризации. Данная методика позволила получить решения для большого числа двух-петлевых фейнмановских интегралов содержащих диаграмму типа «закат солнца», в качестве подграфа и для двух-петлевой непланарной эллиптической вершины. Также были получены решения для мастер-интегралов описывающих двух-петлевые поправки к процессам в нерелятивистской квантовой хромодинамике. Обобщение данной методики на трех-петлевой случай позволило получить решения для диаграммы типа «банан». Было показано, что

полученные решения могут быть использованы для расчета более сложных трех-петлевых фейнмановских интегралов содержащих трех-петлевой «банан» в качестве подграфа.

3. Предложен метод позволяющий находить точные, по параметру размерной регуляризации, решения для некоторого класса двух-петлевых эллиптических фейнмановских интегралов в терминах хорошо сходящихся степенных рядов Фробениуса. Метод основан на сведении системы дифференциальных уравнений для полной системы мастер-интегралов к системе неоднородных разностных уравнений первого порядка. Полученные таким образом решения выражаются в терминах степенных треугольных сумм по кинематической переменной и, в конкретно рассмотренных случаях, могут быть записаны через обобщенные гипергеометрические функции и обобщенные функции Кампе-де-Ферье. Особенностью полученных решений является их относительная компактность и простота численного счета. С помощью данного подхода удалось получить точные решения для двух-петле-вой диаграммы типа непланарная эллиптическая вершина, а также для базиса мастер-интегралов описывающих двух-петлевые поправки к процессам в нерелятивистской квантовой хромодинамике.

Достоверность полученных результатов обеспечивается численной проверкой и тем, что результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены лично автором на:

— «Moscow International School of Physics 2022», Дубна, Россия, 24 июля 2022 г.; устный доклад: Analytic calculation of some NRQCD master integrals.

— Международная конференция «International Conference on Quantum Field Theory, High-Energy Physics, and Cosmology», Дубна, Россия, 17 июля 2022 г.; устный доклад: Exact Frobenius solutions for elliptic Feynman integrals.

— XI Межинститутская молодежная конференция «Физика элементарных частиц и космология 2022», Москва, Россия, 19 апреля 2022 г.; устный доклад: Точное вычисление эллиптических фейнмановских интегралов.

— Международная конференция «The XXV International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2021)», Алматы, Казахстан, 11 октября 2021 г.; устный доклад: Massive sunset and kite diagrams with elliptics.

— X Межинститутская молодежная конференция «Физика элементарных частиц и космология 2021», Москва, Россия, 19 апреля 2021 г.; устный доклад: Эллиптические массивные диаграммы типа воздушный змей.

— Семинар ЛТФ ОИЯИ, Дубна, Россия, май 2020, устный доклад: Calculation of master integrals in terms of elliptic multiple polylogarithms.

Личный вклад. Все результаты, приведенные в данной диссертационной работе, получены лично автором, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах в рецензируемых журналах, включённых в список ВАК и/или международных баз данных Web of Science и/или Scopus [94—98].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 199 страниц, включая 27 рисунков. Список литературы содержит 170 наименований.

Глава 1. Вычисление мастер-интегралов методом прямого

интегрирования

Первая глава посвящена вычислению двух-петлевых мастер-интегралов методом прямого интегрирования. Данную главу можно логический разделить на две части. В первой части будет дано описание трех основных классов функций, которые будут использоваться в данной главе. Вторая часть посвящена непосредственному вычислению серии эллиптических фейнмановских диаграмм методом прямого интегрирования. Дадим здесь, короткое концептуальное, описание данного подхода.

Алгоритм прямого интегрирования можно кратко описать следующими простыми шагами:

1. Прежде всего необходимо записать параметрическое представление рассматриваемого интеграла. При этом важно, чтобы сам фейнмановский интеграл был сходящимся иначе метод не сработает. Обычно, добиться сходимости интеграла можно просто увеличивая степень одного или нескольких массивных пропагаторов. В этой работе мы будем использовать фейнмановское параметрическое представление.

2. Далее, необходимо определить контур интегрирования и порядок интегрирования таким образом, чтобы последующие интегрирования были, по возможности, наиболее простыми. Для этих целей лучше всего использовать известную теорему Ченг-Ву [99].

3. Проделать все интегрирования, кроме последнего, в терминах МПЛов. На этом шаге важную роль играют функциональные соотношения, которые можно вывести используя структуру алгебры Хопфа для МПЛов, подробнее об этом в разделе 1.1.2. Также, на этом шаге возможно использовать замену переменных чтобы рационализировать возникающие радикалы от нескольких переменных, как это будет показано в разделе 1.2.4. Особенностью подынтегрального выражения, по завершению этого шага, является то, что оно будет содержать в себе корень от полинома четвертой1 степени, который в общем виде, выглядит следующим образом:

у = \/ (х — а\)(х — а2)(х — а3)(х — а4),

1Или третьей, хотя последний случай в данной работе встречаться не будет.

где х - переменная интегрирования и щ € С называются точками ветвления. Мы также будем использовать обозначение ус, которое обозначает эллиптическую кривую вычисленную в конкретной точке, отличной от переменной интегрирования

Именно наличие подобного радикала приводит к тому, что мы не можем провести последнее интегрирование в терминах МПЛов.

4. Необходимо переписать все мульти полилогарифмы в подынтегральном выражении либо через Е4 - функции, как это будет сделано в секции 1.2, либо через 3 - функции, как это будет сделано в секции 1.3.

5. Проделать последнее, как правило, тривиальное интегрирование. Нужно сказать, что именно третий шаг накладывает основные ограничения на данный метод, последнее будет подробно обсуждаться в выводах к данной главе.

Прежде всего, нам необходимо дать краткий обзор тех функций, что будут использоваться в данной диссертации. Это, прежде всего, обычные мульти полилогарифмы и их эллиптическое обобщение — эллиптические мульти полилогарифмы. Особое внимание, мы уделим здесь первому классу функций, так как он является наиболее распространенным и будет часто использоваться на протяжении всей работы. Мы также коротко рассмотрим алгебру Хопфа, которой подчиняются мульти полилогарифмы. В конце этого раздела, мы также определим совершенно новый класс функций, мы называем эти функции повторными интегралами с алгебраическими ядрами.

Существует множество определений для мульти полилогарифмов [100]. В этой работе мы будем, в основном, использовать определение в форме Гончаро-

1.1 Класс функций

1.1.1 Мульти полилогарифмы

ва [46; 47] т.к. оно наиболее удобно для вычисления фейнмановских интегралов. В общем виде, определение можно записать в следующей рекурсивной форме:

X

С(а1,...,ап; х) = [ ,"">ап; х ), п> о, (1.1)

] т — а1 о

где а<пх Е С , п Е М- называется весом и рекурсия начинается с С(; х) = 1. Если в С(а1,...,ап; х) все щ не зависят от переменной х то такая форма называется канонической.

У этого определения есть одна проблема. Если все аргументы щ равны нулю тогда интегралы в (1.1) будут расходиться. Поэтому, необходимо ввести специальное правило регуляризации которое, обычно, определяют следующим образом:

ССО-Л); х) = Х-°^. (1.2)

п

Перечислим основные свойства этих функций.

— МПЛы включают в себя обычные логарифмы, а также «классические» полилогарифмы в качестве подкласса

С (а; Ь) = 1о^1 —

ип(х) = —^о^ = / ^ ),

\ п—1 / А

МПЛы формируют замкнутое пространство относительно операции дифференцирования [46]

йС{а1,...,ап; ап+1) = У^ С(а1,...,а{—1,а{+1,...,ап; ап+1)й^ ( -- ) .

\аг+1 — Ы)

(1.3)

где а0 = 0. Последнее тождество означает, что производная от С(а(х); /(х)) может быть представлена как линейная форма по некоторым другим МПЛам.

МПЛы формируют замкнутое пространство относительно интегрирования. Если щ в С(а; х) не зависят от х и Щх) обозначает рациональную функцию то первообразная от выражения К(х)С(а; х) может быть

представлена как линейная комбинация некоторых других МПЛов, в которых все коэффициенты и аргументы будут рациональными функциями по переменной х. Для интегрирования можно использовать непосредственно определение (1.1), а также очевидную формулу интегрирования по частям

(х — с)кG(ai,...,an; x)dx = ^ + ^ G(a\,...,ап; х)-

1 г (х — c)k+i

1 G(a2,...,an; x)dx, к = 1

(1.4)

к + 1 J х — а\ — МПЛы удовлетворяют алгебре перестановок

G(v,x)G(u,x) = ^^ G(c,x), (1.5)

с=Ши

где Ш обозначает произведение перестановок. Пусть и и v обозначают два произвольных слова длинны п и т соответственно. Тогда, произведение перестановок этих двух слов и Ш v является суммой всех возможных перестановок, всех букв этих слов, без изменения порядка следования букв в каждом слове. Это можно записать в следующем рекурсивном виде:

иш0 = 0Ш и = и,

иа ш = (uuavв)а + (иаш v)$,

где а и в это отдельные элементы (буквы) и и и v некоторые произвольные слова составленные из букв. Можно привести простой пример, если и = ab и v = cd то

abUAcd = abed + acbd + cabd + aedb + cadb + cdab.

— МПЛы удовлетворяют алгебре Хопфа. При этом, произведением в алгебре Хопфа служит произведение перестановок (1.5), копроизведение в алгебре Хопфа для G-функций будет определено в следующем разделе. Последнее свойство является крайне важным, поскольку позволяет находить функциональные зависимости между полилогарифмами. По этой причине, оно будет рассмотрено более подробно в следующем подразделе.

Часто бывает удобно определить мульти полилогарифмы немного в другой форме чем (1.1). В практическом смысле, нам будет полезно следующее

определение:

ап+1

/&Х

——I(ас; а1,...,ап-1; х). (1.6)

х оп

а0

Очевидно, что функция (1.6) описывает тот же класс функций что и ранее введенная функция (1.1) и при желании можно легко переходить от одной формы записи к другой, для примера

С(ап,...,а\; ап+\) = I(0; а\,...,ап; ап+\)

и несколько сложнее в обратную сторону

а,2 о,2 ао

/&х Г Г

-=---= С(а1; а2) — С(а1; ао),

х — а1 ] х — а1 ] х — а1

а0 оо

I(ао; (11,(12; аз) = С((12,(11; аз) — 0(0,2,0,1; ао) — 0(01; ао) (0(о2; аз) — 0(02; ао))

и так далее. Определение (1.6) будет нам полезно для того чтобы ввести ко-произведение для МПЛов.

1.1.2 Алгебра Хопфа для мульти полилогарифмов и символ

В этом подразделе мы дадим рецепт вычисления копроизведения для МПЛов и покажем как она может быть использована для вывода функциональных соотношений. Именно эти функцианальные соотношения и являются главной причиной для расмотрения алгебры Хопфа. Основная идея получения таких соотношений заключается в том, что мы сначала используем копроиз-ведение в алгебре Хопфа чтобы максимально «разобрать» заданный МПЛ, а затем собираем его обратно согласно некоторому алгоритму. В результате, мы получаем некоторое функциональное соотношение с заданныцми свойствами. Основные сведения об алгебрах, коалгебрах и алгебрах Хопфа можно прочесть в приложении А. С использованием функции (1.6) копроизведение можно записать в следующем виде [46; 47]

А1(ао ап+1) = 1 (ао;

о=«1 <«2 <---<гк <гк+1=п

<8>

(Й

\Р=0

1 (агР; агр+1,...,агр+1-1; аг м . (1.7)

.

Обратите внимание, что произведение в круглой скобке само принадлежит алгебре Хопфа для МПЛов % в силу (1.5). Эта формула довольно сложна для восприятия, поэтому проще дать алгоритмическое описание получения копроиз-ведения [101]. Прежде всего, необходимо нарисовать полукруг с нанесенными на него п — 1 точками и двумя точками на краях этого полукруга. Две крайние точки соотносятся с а0 и ап+\, остальные точки соотносятся по порядку с а1,...,ап. Сопоставление идет по часовой стрелке. Далее, следует выбрать несколько точек из набора а1,...,ап и нарисовать многоугольник углы которого проходят через ао,ап+1 и выбранные точки. Этот многоугольник будет описывать первый множитель в тензорном произведении (1.7). Точки не вошедшие в этот многоугольник будут описывать второй множитель в тензорном произведении (1.7). Пример работы такого алгоритма можно найти на рисунках 1.1 и 1.2.

1 ® I(ао; а1,а2] аз) а1___а2

I(ао; а,1; аз) ® I(аг, а2] аз)

ао

I(ао; а,2] аз) ® I(ао; а^, а<2)

I(ао; 0,1,0,2; аз) ® 1

аз

Рисунок 1.1 — Пример алгоритмического расчета компонент копроизведения

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Безуглов Максим Александрович, 2022 год

Список литературы

1. Langacker, P. The standard model and beyond / P. Langacker. — Taylor & Francis, 2017.

2. Nagashima, Y. Elementary Particle Physics: Foundations of the Standard Model V2. Т. 2 / Y. Nagashima. — John Wiley & Sons, 2013.

3. Емельянов, В. Стандартная модель и ее расширения / В. Емельянов. — Litres, 2018.

4. Review of Particle Physics / P. Zyla [и др.] // PTEP. — 2020. — Т. 2020, № 8. — С. 083C01.

5. Верешков, Г. Темная материя и темная энергия. Физика за пределами стандартной модели / Г. Верешков, Л. А. Минасян // Сборник научных трудов SWorld. — 2012. — Т. 10, № 1. — С. 65—72.

6. Einasto, J. Dark matter / J. Einasto // Brazilian Journal of Physics. — 2013. — Т. 43, № 5. — С. 369—374.

7. Bertone, G. History of dark matter / G. Bertone, D. Hooper // Reviews of Modern Physics. — 2018. — Т. 90, № 4. — С. 045002.

8. Bertone, G. A new era in the search for dark matter / G. Bertone, T. M. Tait // Nature. — 2018. — Т. 562, № 7725. — С. 51—56.

9. Amendola, L. Dark energy: theory and observations / L. Amendola, S. Tsujikawa. — Cambridge University Press, 2010.

10. Ruiz-Lapuente, P. Dark energy: observational and theoretical approaches / P. Ruiz-Lapuente. — Cambridge University Press, 2010.

11. Kragh, H. S. The weight of the vacuum: A scientific history of dark energy / H. S. Kragh, J. M. Overduin. — Springer, 2014.

12. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по гравитации / Р. Фейнман, Ф. Мо-риниго, У. Вагнер // М.: Янус-К. — 2000. — Т. 296.

13. Дрёмин, И. М. Физика на Большом адронном коллайдере / И. М. Дрё-мин // Успехи физических наук. — 2009. — Т. 179, № 6. — С. 571—579.

14. Schorner-Sadenius, T. The Large Hadron Collider: Harvest of Run 1 / T. Schorner-Sadenius. — Springer, 2015.

15. Peskin, M. E. An introduction to quantum field theory / M. E. Peskin, D. V. Schroeder. — Boulder, CO : Westview, 1995. — URL: https://cds. cern.ch/record/257493 ; Includes exercises.

16. Gehrmann, T. QCD and High Energy Interactions: Moriond 2014 Theory Summary / T. Gehrmann // arXiv preprint arXiv:1406.5379. — 2014.

17. W±Z production at hadron colliders in NNLO QCD / M. Grazzini [h gp.] // Physics Letters B. — 2016. — T. 761. — C. 179—183.

18. Brown, F. Periods and Feynman amplitudes / F. Brown // 18th International Congress on Mathematical Physics. — 12.2015. — arXiv: 1512 . 09265 [math-ph].

19. Brown, F. Feynman amplitudes, coaction principle, and cosmic Galois group / F. Brown // Commun. Num. Theor. Phys. — 2017. — T. 11. — C. 453—556. — arXiv: 1512.06409 [math-ph].

20. TapuSskovic, M. Motivic Galois coaction and one-loop Feynman graphs / M. Tapuskovic // Commun. Num. Theor. Phys. — 2021. — T. 15, № 2. — C. 221—278. — arXiv: 1911.01540 [math.AG].

21. Bloch, S. Local mirror symmetry and the sunset Feynman integral / S. Bloch, M. Kerr, P. Vanhove // Adv. Theor. Math. Phys. — 2017. — T. 21. — C. 1373—1453. — arXiv: 1601.08181 [hep-th].

22. Vanhove, P. Feynman integrals, toric geometry and mirror symmetry / P. Vanhove // KMPB Conference: Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Modular Forms in Quantum Field Theory. — 2019. — C. 415—458. — arXiv: 1807.11466 [hep-th].

23. Tkachov, F. V. A theorem on analytical calculability of 4-loop renormalization group functions / F. V. Tkachov // Physics Letters B. — 1981. — T. 100, № 1. — C. 65—68.

24. Chetyrkin, K. G. Integration by parts: the algorithm to calculate ^-functions in 4 loops / K. G. Chetyrkin, F. V. Tkachov // Nuclear Physics B. — 1981. — T. 192, № 1. — C. 159—204.

25. Laporta, S. High-precision calculation of multiloop Feynman integrals by difference equations / S. Laporta // International Journal of Modern Physics A. — 2000. — T. 15, № 32. — C. 5087—5159.

26. Lee, R. N. Critical points and number of master integrals / R. N. Lee, A. A. Pomeransky // JHEP. — 2013. — Т. 11. — С. 165. — arXiv: 1308.6676 [hep-ph].

27. Baikov, P. A. Explicit solutions of the multiloop integral recurrence relations and its application / P. A. Baikov // Nucl. Instrum. Meth. A / под ред. M. Werlen, D. Perret-Gallix. — 1997. — Т. 389. — С. 347—349. — arXiv: hep-ph/9611449.

28. Bogolyubov, N. Introduction to Quantum Fields Theory / N. Bogolyubov,

D. Shirkov. — Moscow : Nauka Eds, 1973.

29. Smirnov, V. Feynman Integral Calculus / V. Smirnov. — Springer Berlin Heidelberg, 2006. — URL: https : / / books . google . ru / books ? id = 4ecWm6eRU6gC.

30. Kotikov, A. Differential equations method. New technique for massive Feynman diagram calculation / A. Kotikov // Physics Letters B. — 1991. — Т. 254, № 1. — С. 158—164. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/037026939190413K.

31. Kotikov, A. Differential equation method. The calculation of N-point Feynman diagrams / A. Kotikov // Physics Letters B. — 1991. — Т. 267, № 1. — С. 123—127.

32. Kotikov, A. Differential equations method: the calculation of vertex-type Feynman diagrams / A. Kotikov // Physics Letters B. — 1991. — Т. 259, № 3. — С. 314—322.

33. Remiddi, E. Differential equations for Feynman graph amplitudes /

E. Remiddi // Il Nuovo Cimento A (1971-1996). — 1997. — Т. 110, № 12. — С. 1435—1452.

34. Gehrmann, T. Differential equations for two-loop four-point functions / T. Gehrmann, E. Remiddi // Nuclear Physics B. — 2000. — Т. 580, № 1/ 2. — С. 485—518.

35. Argeri, M. Feynman diagrams and differential equations / M. Argeri, P. Mastrolia // International Journal of Modern Physics A. — 2007. — Т. 22, № 24. — С. 4375—4436.

36. Henn, J. M. Lectures on differential equations for Feynman integrals / J. M. Henn // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2015. — Т. 48, № 15. — С. 153001.

37. Henn, J. M. Multiloop integrals in dimensional regularization made simple / J. M. Henn // Physical review letters. — 2013. — Т. 110, № 25. — С. 251601.

38. Lee, R. N. Reducing differential equations for multiloop master integrals / R. N. Lee // JHEP. — 2015. — Т. 04. — С. 108. — arXiv: 1411.0911 [hep-ph].

39. Tarasov, O. V. Hypergeometric representation of the two-loop equal mass sunrise diagram / O. V. Tarasov // Phys. Lett. B. — 2006. — Т. 638. — С. 195—201. — arXiv: hep-ph/0603227.

40. Lee, R. N. Analytic Results for Massless Three-Loop Form Factors / R. N. Lee, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov // JHEP. — 2010. — Т. 04. — С. 020. — arXiv: 1001.2887 [hep-ph].

41. Lee, R. N. Space-time dimensionality D as complex variable: Calculating loop integrals using dimensional recurrence relation and analytical properties with respect to D / R. N. Lee // Nucl. Phys. B. — 2010. — Т. 830. — С. 474—492. — arXiv: 0911.0252 [hep-ph].

42. Lee, R. N. DRA method: Powerful tool for the calculation of the loop integrals / R. N. Lee //J. Phys. Conf. Ser. / под ред. L. Teodorescu [и др.]. — 2012. — Т. 368. — С. 012050. — arXiv: 1203.4868 [hep-ph].

43. Lee, R. N. Analytic Epsilon Expansions of Master Integrals Corresponding to Massless Three-Loop Form Factors and Three-Loop g-2 up to Four-Loop Transcendentality Weight / R. N. Lee, V. A. Smirnov // JHEP. — 2011. — Т. 02. — С. 102. — arXiv: 1010.1334 [hep-ph].

44. Lee, R. N. Application of the DRA method to the calculation of the four-loop QED-type tadpoles / R. N. Lee, I. S. Terekhov // JHEP. — 2011. — Т. 01. — С. 068. — arXiv: 1010.6117 [hep-ph].

45. Lee, R. N. The Dimensional Recurrence and Analyticity Method for Multicomponent Master Integrals: Using Unitarity Cuts to Construct Homogeneous Solutions / R. N. Lee, V. A. Smirnov // JHEP. — 2012. — Т. 12. — С. 104. — arXiv: 1209.0339 [hep-ph].

46. Goncharov, A. B. Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes / A. B. Goncharov // Mathematical Research Letters. — 1998. — Т. 5. — С. 497—516.

47. Goncharov, A. B. Multiple polylogarithms and mixed Tate motives / A. B. Goncharov // arXiv preprint math/0103059. — 2001.

48. Henn, J. M. Analytic results for planar three-loop four-point integrals from a Knizhnik-Zamolodchikov equation / J. M. Henn, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov // JHEP. — 2013. — Т. 07. — С. 128. — arXiv: 1306.2799 [hep-th].

49. Henn, J. M. Analytic results for two-loop master integrals for Bhabha scattering I / J. M. Henn, V. A. Smirnov // JHEP. — 2013. — Т. 11. — С. 041. — arXiv: 1307.4083 [hep-th].

50. Henn, J. M. Evaluating single-scale and/or non-planar diagrams by differential equations / J. M. Henn, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov // JHEP. — 2014. — Т. 03. — С. 088. — arXiv: 1312.2588 [hep-th].

51. The two-loop master integrals for qq ^ VV / T. Gehrmann [и др.] // JHEP. — 2014. — Т. 06. — С. 032. — arXiv: 1404.4853 [hep-ph].

52. Next-to-leading order QCD corrections to the decay width H ^ Zy / R. Bonciani [и др.] // JHEP. — 2015. — Т. 08. — С. 108. — arXiv: 1505.00567 [hep-ph].

53. Three Loop Cusp Anomalous Dimension in QCD / A. Grozin [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Т. 114, № 6. — С. 062006. — arXiv: 1409.0023 [hep-ph].

54. Non-planar master integrals for the production of two off-shell vector bosons in collisions of massless partons / F. Caola [и др.] // JHEP. — 2014. — Т. 09. — С. 043. — arXiv: 1404.5590 [hep-ph].

55. Henn, J. M. Two-loop planar master integrals for the production of offshell vector bosons in hadron collisions / J. M. Henn, K. Melnikov, V. A. Smirnov // JHEP. — 2014. — Т. 05. — С. 090. — arXiv: 1402.7078 [hep-ph].

56. The three-loop cusp anomalous dimension in QCD and its supersymmetric extensions / A. Grozin [и др.] // JHEP. — 2016. — Т. 01. — С. 140. — arXiv: 1510.07803 [hep-ph].

57. Henn, J. M. Analytic results for planar three-loop integrals for massive form factors / J. M. Henn, A. V. Smirnov, V. A. Smirnov // JHEP. — 2016. — T. 12. — C. 144. — arXiv: 1611.06523 [hep-ph].

58. Henn, J. M. Four-Gluon Scattering at Three Loops, Infrared Structure, and the Regge Limit / J. M. Henn, B. Mistlberger // Phys. Rev. Lett. — 2016. — T. 117, № 17. — C. 171601. — arXiv: 1608.00850 [hep-th].

59. Gehrmann, T. Analytic form of the two-loop planar five-gluon all-plus-helicity amplitude in QCD / T. Gehrmann, J. M. Henn, N. A. Lo Presti // Phys. Rev. Lett. — 2016. — T. 116, № 6. — C. 062001. — arXiv: 1511.05409 [hep-ph]. — [Erratum: Phys.Rev.Lett. 116, 189903 (2016)].

60. Analytic result for the nonplanar hexa-box integrals / D. Chicherin [h gp.] // JHEP. — 2019. — T. 03. — C. 042. — arXiv: 1809.06240 [hep-ph].

61. Gehrmann, T. Pentagon functions for massless planar scattering amplitudes / T. Gehrmann, J. M. Henn, N. A. Lo Presti // JHEP. — 2018. — T. 10. — C. 103. — arXiv: 1807.09812 [hep-ph].

62. Master integrals for the NNLO virtual corrections to qq ^ tt scattering in QCD: the non-planar graphs / S. Di Vita [h gp.] // JHEP. — 2019. — T. 06. — C. 117. — arXiv: 1904.10964 [hep-ph].

63. Master integrals for the NNLO virtual corrections to scattering in QED: the planar graphs / P. Mastrolia [h gp.] // JHEP. — 2017. — T. 11. — C. 198. — arXiv: 1709.07435 [hep-ph].

64. Master integrals for the NNLO virtual corrections to |ae scattering in QED: the non-planar graphs / S. Di Vita [h gp.] // Journal of High Energy Physics. — 2018. — T. 2018, № 9. — C. 1—34.

65. Two-loop master integrals for the leading QCD corrections to the Higgs coupling to a W pair and to the triple gauge couplings ZWW and y*WW / S. Di Vita [h gp.] // JHEP. — 2017. — T. 04. — C. 008. — arXiv: 1702.07331 [hep-ph].

66. Panzer, E. Algorithms for the symbolic integration of hyperlogarithms with applications to Feynman integrals / E. Panzer // Computer Physics Communications. — 2015. — T. 188. — C. 148—166.

67. Bogner, C. MPL—A program for computations with iterated integrals on moduli spaces of curves of genus zero / C. Bogner // Comput. Phys. Commun. — 2016. — Т. 203. — С. 339—353. — arXiv: 1510 . 04562 [physics.comp-ph].

68. Duhr, C. PolyLogTools—Polylogs for the masses / C. Duhr, F. Dulat // Journal of High Energy Physics. — 2019. — Т. 2019, № 8. — С. 135.

69. Brown, F. The Massless higher-loop two-point function / F. Brown // Commun. Math. Phys. — 2009. — Т. 287. — С. 925—958. — arXiv: 0804.1660 [math.AG].

70. Brown, F. On the periods of some Feynman integrals / F. Brown // arXiv preprint arXiv:0910.0114. — 2009.

71. Brown, F. A double integral of dlog forms which is not polylogarithmic / F. Brown, C. Duhr //. — 06.2020. — arXiv: 2006.09413 [hep-th].

72. Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry / A. B. Goncharov [и др.] // Duke Mathematical Journal. — 2005. — Т. 128, № 2. — С. 209—284.

73. Vollinga, J. Numerical evaluation of multiple polylogarithms / J. Vollinga, S. Weinzierl // Comput. Phys. Commun. — 2005. — Т. 167. — С. 177. — arXiv: hep-ph/0410259.

74. Naterop, L. handyG —Rapid numerical evaluation of generalised polylogarithms in Fortran / L. Naterop, A. Signer, Y. Ulrich // Comput. Phys. Commun. — 2020. — Т. 253. — С. 107165. — arXiv: 1909.01656 [hep-ph].

75. Sabry, A. Fourth order spectral functions for the electron propagator / A. Sabry // Nuclear Physics. — 1962. — Т. 33. — С. 401—430.

76. Brown, F. Multiple elliptic polylogarithms / F. Brown, A. Levin // arXiv preprint arXiv:1110.6917. — 2011.

77. Hidding, M. All orders structure and efficient computation of linearly reducible elliptic Feynman integrals / M. Hidding, F. Moriello // Journal of High Energy Physics. — 2019. — Т. 2019, № 1. — С. 169.

78. Elliptic Feynman integrals and pure functions / J. Broedel [и др.] // Journal of High Energy Physics. — 2019. — Т. 2019, № 1. — С. 23.

79. Elliptic polylogarithms and iterated integrals on elliptic curves. Part I: general formalism / J. Broedel [h gp.] // Journal of High Energy Physics. — 2018. — T. 2018, № 5. — C. 93.

80. Elliptic polylogarithms and iterated integrals on elliptic curves. II. An application to the sunrise integral / J. Broedel [h gp.] // Physical Review D. — 2018. — T. 97, № 11. — C. 116009.

81. Elliptic polylogarithms and Feynman parameter integrals / J. Broedel [h gp.] // Journal of High Energy Physics. — 2019. — T. 2019, № 5. — C. 120.

82. Adams, L. Feynman integrals and iterated integrals of modular forms / L. Adams, S. Weinzierl // Communications in Number Theory and Physics. — 2018. — T. 12, № 2. — C. 193—251.

83. Adams, L. On a class of Feynman integrals evaluating to iterated integrals of modular forms, in proceedings of the KMPB Conference: Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Modular Forms in Quantum Field Theory, Zeuthen, Germany, 23-26 October 2017 / L. Adams, S. Weinzierl // arXiv preprint arXiv:1807.01007. —.

84. Iterated elliptic and hypergeometric integrals for Feynman diagrams / J. Ablinger [h gp.] // Journal of Mathematical Physics. — 2018. — T. 59, № 6. — C. 062305.

85. Elliptic multiple zeta values and one-loop superstring amplitudes / J. Broedel [h gp.] // JHEP. — 2015. — T. 07. — C. 112. — arXiv: 1412.5535 [hep-th].

86. Adams, L. A walk on sunset boulevard / L. Adams, C. Bogner, S. Weinzierl // arXiv preprint arXiv:1601.03646. — 2016.

87. Adams, L. The two-loop sunrise graph in two space-time dimensions with arbitrary masses in terms of elliptic dilogarithms / L. Adams, C. Bogner, S. Weinzierl // Journal of Mathematical Physics. — 2014. — T. 55, № 10. — C. 102301.

88. Adams, L. The two-loop sunrise integral around four space-time dimensions and generalisations of the Clausen and Glaisher functions towards the elliptic case / L. Adams, C. Bogner, S. Weinzierl // Journal of Mathematical Physics. — 2015. — T. 56, № 7. — C. 072303.

89. Adams, L. The iterated structure of the all-order result for the two-loop sunrise integral / L. Adams, C. Bogner, S. Weinzierl // Journal of Mathematical Physics. — 2016. — T. 57, № 3. — C. 032304.

90. Adams, L. The two-loop sunrise graph with arbitrary masses / L. Adams, C. Bogner, S. Weinzierl // Journal of Mathematical Physics. — 2013. — T. 54, № 5. — C. 052303.

91. The kite integral to all orders in terms of elliptic polylogarithms / L. Adams [h gp.] // Journal of Mathematical Physics. — 2016. — T. 57, № 12. — C. 122302.

92. Two-loop diagrams in nonrelativistic QCD with elliptics / B. Kniehl [h gp.] // Nuclear Physics B. — 2019. — T. 948. — C. 114780.

93. Elliptic symbol calculus: from elliptic polylogarithms to iterated integrals of Eisenstein series / J. Broedel [h gp.] // Journal of High Energy Physics. — 2018. — T. 2018, № 8. — C. 14.

94. Bezuglov, M. A. On series and integral representations of some NRQCD master integrals / M. A. Bezuglov, A. V. Kotikov, A. I. Onishchenko // Jetp Lett. — 2022. — Mafi. — T. 116. — C. 61—69. — arXiv: 2205.14115 [hep-ph].

95. Bezuglov, M. A. Non-planar elliptic vertex / M. A. Bezuglov, A. I. Onishchenko // JHEP. — 2022. — T. 04. — C. 045. — arXiv: 2112.05096 [hep-ph].

96. Bezuglov, M. A. Integral representation for three-loop banana graph / M. A. Bezuglov // Phys. Rev. D. — 2021. — T. 104, № 7. — C. 076017. — arXiv: 2104.14681 [hep-ph].

97. Bezuglov, M. A. Massive kite diagrams with elliptics / M. A. Bezuglov, A. I. Onishchenko, O. L. Veretin // Nucl. Phys. B. — 2021. — T. 963. — C. 115302. — arXiv: 2011.13337 [hep-ph].

98. Bezuglov, M. Calculation of master integrals in terms of elliptic multiple polylogarithms / M. Bezuglov // Int. J. Mod. Phys. A. — 2020. — T. 35, № 13. — C. 2050063. — arXiv: 2003.05367 [hep-th].

99. Cheng, H. EXPANDING PROTONS: SCATTERING AT HIGH-ENERGIES / H. Cheng, T. T. Wu. — 1987.

100. Vergu, C. Polylogarithms and physical applications / C. Vergu // Notes for the Summer School "Polylogarithms as a Bridge between Number Theory and Particle Physics. — 2013.

101. Duhr, C. Mathematical aspects of scattering amplitudes / C. Duhr // Journeys Through the Precision Frontier: Amplitudes for Colliders: TASI 2014 Proceedings of the 2014 Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics. — World Scientific, 2016. — C. 419—476.

102. Duhr, C. From polygons and symbols to polylogarithmic functions / C. Duhr, H. Gangl, J. R. Rhodes // Journal of High Energy Physics. — 2012. — T. 2012, № 10. — C. 75.

103. Chen, K.-T. Iterated path integrals / K.-T. Chen // Bull. Am. Math. Soc. — 1977. — T. 83. — C. 831—879.

104. Classical polylogarithms for amplitudes and Wilson loops / A. B. Goncharov [h gp.] // Physical review letters. — 2010. — T. 105, № 15. — C. 151605.

105. Brown, F. C. S. Multiple zeta values and periods of moduli spaces M 0 ,n( R ) / F. C. S. Brown // Annales Sci. Ecole Norm. Sup. — 2009. — T. 42. — C. 371. — arXiv: math/0606419 [math.AG].

106. Soft triple-real radiation for Higgs production at N3LO / C. Anastasiou [h gp.] // JHEP. — 2013. — T. 07. — C. 003. — arXiv: 1302.4379 [hep-ph].

107. Duhr, C. Hopf algebras, coproducts and symbols: an application to Higgs boson amplitudes / C. Duhr // Journal of High Energy Physics. — 2012. — T. 2012, № 8. — C. 43.

108. Ferguson, H. Analysis of PSLQ, an integer relation finding algorithm / H. Ferguson, D. Bailey, S. Arno // Mathematics of Computation. — 1999. — T. 68, № 225. — C. 351—369.

109. Panzer, E. Algorithms for the symbolic integration of hyperlogarithms with applications to Feynman integrals / E. Panzer // Comput. Phys. Commun. — 2015. — T. 188. — C. 148—166. — arXiv: 1403.3385 [hep-th].

110. Brown, F. Notes on motivic periods / F. Brown // arXiv preprint arXiv:1512.06410. — 2015.

111. Akhiezer, N. I. Elements of the theory of elliptic functions. T. 79 / N. I. Akhiezer. — American Mathematical Soc., 1990.

112. Chen, L.-B. Two-loop integrals for CP-even heavy quarkonium production and decays / L.-B. Chen, Y. Liang, C.-F. Qiao // Journal of High Energy Physics. — 2017. — Т. 2017, № 6. — С. 25.

113. Chen, L.-B. Two-Loop integrals for CP-even heavy quarkonium production and decays: Elliptic Sectors / L.-B. Chen, J. Jiang, C.-F. Qiao // Journal of High Energy Physics. — 2018. — Т. 2018, № 4. — С. 80.

114. Tarasov, O. V. Connection between Feynman integrals having different values of the space-time dimension / O. V. Tarasov // Phys. Rev. — 1996. — Т. D54. — С. 6479—6490. — arXiv: hep-th/9606018 [hep-th].

115. Bogner, C. Feynman graph polynomials / C. Bogner, S. Weinzierl // Int. J. Mod. Phys. A. — 2010. — Т. 25. — С. 2585—2618. — arXiv: 1002.3458 [hep-ph].

116. Inc., W. R. Mathematica, Version 13.0.0 / W. R. Inc. — URL: https://www. wolfram.com/mathematica ; Champaign, IL, 2021.

117. Elliptic polylogarithms and Feynman parameter integrals / J. Broedel [и др.] // JHEP. — 2019. — Т. 05. — С. 120. — arXiv: 1902.09971 [hep-ph].

118. Безуглов, М. А. Электронные материалы к диссертации [Электронный ресурс] / М. А. Безуглов. — 2022. — URL: https : / / bitbucket . org / BezuglovMaxim / supplementary - material / src / master/ (дата обр. 13.04.2022).

119. Besier, M. Rationalizing roots: an algorithmic approach / M. Besier, D. van Straten, S. Weinzierl // arXiv preprint arXiv:1809.10983. — 2018.

120. Binoth, T. An automatized algorithm to compute infrared divergent multiloop integrals / T. Binoth, G. Heinrich // Nucl. Phys. — 2000. — Т. B585. — С. 741—759. — arXiv: hep-ph/0004013 [hep-ph].

121. Binoth, T. Numerical evaluation of multiloop integrals by sector decomposition / T. Binoth, G. Heinrich // Nucl. Phys. — 2004. — Т. B680. — С. 375—388. — arXiv: hep-ph/0305234 [hep-ph].

122. Binoth, T. Numerical evaluation of phase space integrals by sector decomposition / T. Binoth, G. Heinrich // Nucl. Phys. — 2004. — Т. B693. — С. 134—148. — arXiv: hep-ph/0402265 [hep-ph].

123. Heinrich, G. Sector Decomposition / G. Heinrich // Int. J. Mod. Phys. — 2008. — Т. A23. — С. 1457—1486. — arXiv: 0803.4177 [hep-ph].

124. Bogner, C. Resolution of singularities for multi-loop integrals / C. Bogner, S. Weinzierl // Comput. Phys. Commun. — 2008. — T. 178. — C. 596—610. — arXiv: 0709.4092 [hep-ph].

125. Bogner, C. Blowing up Feynman integrals / C. Bogner, S. Weinzierl // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2008. — T. 183. — C. 256—261. — arXiv: 0806.4307 [hep-ph].

126. Kaneko, T. A Geometric method of sector decomposition / T. Kaneko, T. Ueda // Comput. Phys. Commun. — 2010. — T. 181. — C. 1352—1361. — arXiv: 0908.2897 [hep-ph].

127. Smirnov, A. V. FIESTA4: Optimized Feynman integral calculations with GPU support / A. V. Smirnov // Comput. Phys. Commun. — 2016. — T. 204. — C. 189—199. — arXiv: 1511.03614 [hep-ph].

128. Schicho, J. Rational parametrization of surfaces / J. Schicho // Journal of Symbolic Computation. — 1998. — T. 26, № 1. — C. 1—29.

129. Fleischer, J. The Differential equation method: Calculation of vertex type diagrams with one nonzero mass / J. Fleischer, A. V. Kotikov, O. L. Veretin // Phys. Lett. B. — 1998. — T. 417. — C. 163—172. — arXiv: hep-ph/9707492.

130. Fleischer, J. Analytic two loop results for selfenergy type and vertex type diagrams with one nonzero mass / J. Fleischer, A. V. Kotikov, O. L. Veretin // Nucl. Phys. B. — 1999. — T. 547. — C. 343—374. — arXiv: hep-ph/9808242.

131. Fleischer, J. Two loop selfenergy master integrals on-shell / J. Fleischer, M. Y. Kalmykov, A. V. Kotikov // Phys. Lett. B. — 1999. — T. 462. — C. 169—177. — arXiv: hep - ph / 9905249. — [Erratum: Phys.Lett.B 467, 310-310 (1999)].

132. Kniehl, B. A. Calculating four-loop tadpoles with one non-zero mass /

B. A. Kniehl, A. V. Kotikov // Phys. Lett. B. — 2006. — T. 638. —

C. 531—537. — arXiv: hep-ph/0508238.

133. Kniehl, B. A. Counting master integrals: integration-by-parts procedure with effective mass / B. A. Kniehl, A. V. Kotikov // Phys. Lett. B. — 2012. — T. 712. — C. 233—234. — arXiv: 1202.2242 [hep-ph].

134. Lee, R. N. Libra: A package for transformation of differential systems for multiloop integrals / R. N. Lee // Comput. Phys. Commun. — 2021. — T. 267. — C. 108058. — arXiv: 2012.00279 [hep-ph].

135. Prausa, M. epsilon: A tool to find a canonical basis of master integrals / M. Prausa // Comput. Phys. Commun. — 2017. — Т. 219. — С. 361—376. — arXiv: 1701.00725 [hep-ph].

136. Gituliar, O. Fuchsia: a tool for reducing differential equations for Feynman master integrals to epsilon form / O. Gituliar, V. Magerya // Comput. Phys. Commun. — 2017. — Т. 219. — С. 329—338. — arXiv: 1701.04269 [hep-ph].

137. Lee, R. N. Presenting LiteRed: a tool for the Loop InTEgrals REDuction / R. N. Lee. — 2012. — arXiv: 1212.2685 [hep-ph].

138. Lee, R. N. LiteRed 1.4: a powerful tool for reduction of multiloop integrals / R. N. Lee // J. Phys. Conf. Ser. — 2014. — Т. 523. — С. 012059. — arXiv: 1310.1145 [hep-ph].

139. Болибрух, А. А. Проблема Римана-Гильберта на комплексной проективной прямой / А. А. Болибрух // Математические заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 118—120.

140. Lee, R. N. Normalized Fuchsian form on Riemann sphere and differential equations for multiloop integrals / R. N. Lee, A. A. Pomeransky. — 2017. — arXiv: 1707.07856 [hep-th].

141. Remiddi, E. Schouten identities for Feynman graph amplitudes; The Master Integrals for the two-loop massive sunrise graph / E. Remiddi, L. Tancredi // Nuclear Physics B. — 2014. — Т. 880. — С. 343—377.

142. Laporta, S. Analytic treatment of the two loop equal mass sunrise graph / S. Laporta, E. Remiddi // Nuclear Physics B. — 2005. — Т. 704, № 1/2. — С. 349—386.

143. Bloch, S. The elliptic dilogarithm for the sunset graph / S. Bloch, P. Vanhove // Journal of Number Theory. — 2015. — Т. 148. — С. 328—364.

144. Remiddi, E. Differential equations and dispersion relations for Feynman amplitudes. The two-loop massive sunrise and the kite integral / E. Remiddi, L. Tancredi // Nuclear Physics B. — 2016. — Т. 907. — С. 400—444.

145. Remiddi, E. An elliptic generalization of multiple polylogarithms / E. Remiddi, L. Tancredi // Nuclear Physics B. — 2017. — Т. 925. — С. 212—251.

146. Two-loop sunset diagrams with three massive lines / B. A. Kniehl [и др.] // Nuclear Physics B. — 2006. — Т. 738, № 1/2. — С. 306—316.

147. Bauer, C. W. Introduction to the GiNaC framework for symbolic computation within the C++ programming language / C. W. Bauer, A. Frink, R. Kreckel //J. Symb. Comput. — 2002. — Т. 33. — С. 1—12. — arXiv: cs/0004015.

148. Manteuffel, A. von. A non-planar two-loop three-point function beyond multiple polylogarithms / A. von Manteuffel, L. Tancredi // JHEP. — 2017. — Т. 06. — С. 127. — arXiv: 1701.05905 [hep-ph].

149. Improved nonrelativistic QCD for heavy-quark physics / G. P. Lepage [и др.] // Physical Review D. — 1992. — Т. 46, № 9. — С. 4052.

150. Next-to-next-to-leading-order QCD corrections to / W.-L. Sang [и др.] // Phys. Rev. D. — 2016. — Дек. — Т. 94, вып. 11. — С. 111501. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.94.111501.

151. Feng, F. Next-to-Next-to-Leading-Order QCD Corrections to the Hadronic Width of Pseudoscalar Quarkonium / F. Feng, Y. Jia, W.-L. Sang // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Дек. — Т. 119, вып. 25. — С. 252001. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.119.252001.

152. Bodwin, G. T. Rigorous QCD analysis of inclusive annihilation and production of heavy quarkonium / G. T. Bodwin, E. Braaten, G. P. Lepage // Phys. Rev. D. — 1995. — Февр. — Т. 51, вып. 3. — С. 1125—1171. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.51.1125.

153. Two-loop diagrams in non-relativistic QCD with elliptics / B. A. Kniehl [и др.] // Nucl. Phys. B. — 2019. — Т. 948. — С. 114780. — arXiv: 1907.04638 [hep-ph].

154. An analytic solution for the equal-mass banana graph / J. Broedel [и др.] // JHEP. — 2019. — Т. 09. — С. 112. — arXiv: 1907.03787 [hep-th].

155. Primo, A. Maximal cuts and differential equations for Feynman integrals. An application to the three-loop massive banana graph / A. Primo, L. Tancredi // Nucl. Phys. — 2017. — Т. B921. — С. 316—356. — arXiv: 1704.05465 [hep-ph].

156. Bloch, S. A Feynman integral via higher normal functions / S. Bloch, M. Kerr, P. Vanhove // Compos. Math. — 2015. — Т. 151, № 12. — С. 2329—2375. — arXiv: 1406.2664 [hep-th].

157. Klemm, A. The /-loop Banana Amplitude from GKZ Systems and relative Calabi-Yau Periods / A. Klemm, C. Nega, R. Safari // JHEP. — 2020. — Т. 04. — С. 088. — arXiv: 1912.06201 [hep-th].

158. Analytic structure of all loop banana integrals / K. Bonisch [и др.] // JHEP. — 2021. — Т. 05. — С. 066. — arXiv: 2008.10574 [hep-th].

159. Iterated Elliptic and Hypergeometric Integrals for Feynman Diagrams / J. Ablinger [и др.] // J. Math. Phys. — 2018. — Т. 59, № 6. — С. 062305. — arXiv: 1706.01299 [hep-th].

160. The p parameter at three loops and elliptic integrals / J. Blumlein [и др.] // PoS. — 2018. — Т. LL2018. — С. 017. — arXiv: 1807.05287 [hep-ph].

161. Three-loop contributions to the p parameter and iterated integrals of modular forms / S. Abreu [и др.] // JHEP. — 2020. — Т. 02. — С. 050. — arXiv: 1912.02747 [hep-th].

162. Niggetiedt, M. Exact quark-mass dependence of the Higgs-photon form factor at three loops in QCD / M. Niggetiedt // JHEP. — 2021. — Т. 04. — С. 196. — arXiv: 2009.10556 [hep-ph].

163. Top quark mass dependence of the Higgs boson-gluon form factor at three loops / J. Davies [и др.] // Phys. Rev. D. — 2019. — Т. 100, № 3. — С. 034017. — arXiv: 1906.00982 [hep-ph]. — [Erratum: Phys.Rev.D 102, 059901 (2020)].

164. Czakon, M. L. Exact quark-mass dependence of the Higgs-gluon form factor at three loops in QCD / M. L. Czakon, M. Niggetiedt // JHEP. — 2020. — Т. 05. — С. 149. — arXiv: 2001.03008 [hep-ph].

165. Prausa, M. The analytic leading color contribution to the Higgs-gluon form factor in QCD at NNLO / M. Prausa, J. Usovitsch // JHEP. — 2021. — Т. 03. — С. 127. — arXiv: 2008.11641 [hep-ph].

166. Гельфонд, А. Исчисление конечных разностей / А. Гельфонд. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1967.

167. Special functions. T. 71 / G. E. Andrews [h gp.]. — Cambridge university press Cambridge, 1999.

168. Lee, R. N. Introducing SummerTime: a package for high-precision computation of sums appearing in DRA method / R. N. Lee, K. T. Mingulov // Comput. Phys. Commun. — 2016. — T. 203. — C. 255—267. — arXiv: 1507.04256 [hep-ph].

169. Srivastava, H. M. Multiple Gaussian hypergeometric series / H. M. Srivastava, P. W. Karlsson. — Chichester : Ellis Horwood Ltd., 1985. — C. 425. — (Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications).

170. Hurwitz, A. The Function theory / A. Hurwitz, R. Courant // Moscow, USSR: Science. — 1968. — T. 648.

Приложение А Математические приложения

А.1 Алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа

Здесь, мы дадим основные определения для алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа, которые будут использоваться в главе 1.

Алгеброй над полем С называется комплексное векторное пространство Л.. Каждый элемент Л может быть представлен как линейная комбинация базисных элементов {е *} где е * € Л.. Необходимым условием является существование единичного элемента Е € Л и существование отображения ц называемое произведением в алгебре, которое двум упорядоченным элементам алгебры ставит в соответствие другой элемент из той же самой алгебры, т.е.

ц : Л % Л —> Л еге^ = ц^е*

где ц* € С удовлетворяет соотношению Е* ц* = = . Также должно

выполнятся свойство ассоциативности:

ц(гА % ц) = % г= ц^ ц-*

Существование единичного элемента позволяет ввести дополнительное отображение которое сопоставляет каждому комплексному числу элемент алгебры Л

\ : С —> Л

Свойства отображений можно естественным образом записать в виде коммутативных диаграмм, см. рисунок А.1

Коммутативные диаграммы выражают свойство ассоциативности операции умножения, последнее означает, что мы можем двигаться вдоль любого пути по направлению стрелок на этой диаграмме и все равно придти к одному и тому же результату. Язык коммутативных диаграмм очень полезен т.к. он позволяет просто ввести другой математический объект — коалгебру.

Коалгеброй С называется векторное пространство над полем С с базисными элементами е* снабженная отображением

Д = Ц : с —^ С % С Де* = Д^'е* % е3 (А.1)

А®А®А-—-> А®А А®А

Рисунок А.1 — Коммутативные диаграммы описывающие основные свойства

отображений алгебры.

которое называется копроизведением и также снабжено отображением:

£ = ^ : С —> С (А.2)

которое называется коединичным. Мы пишем здесь А = Ц и £ = ^ для того чтобы подчеркнуть, что коалгебра определяется как дуальная алгебры. Копро-изведение удовлетворяет условию коасоциативности:

(гА % А)А = (А % ¿А)А ^ А"А^ = А^'А"*

и коединичное отображение удовлетворяет следующему условию:

£, А* = А?£, = 6*.

Оба этих условия могут быть представлены в форме коммутативных диаграмм. Сравнивая между собой рисунки А.1 и А.2 можно легко увидеть что от алгебры

ѮѮС<-^-С®С С0С

а) б)

Рисунок А.2 — Коммутативные диаграммы описывающие основные свойства

отображений коалгебры.

можно перейти к коалгебре путем замены направления стрелок на коммутативной диаграмме для алгебры и наоборот.

Далее, мы можем ввести математический объект называемый биалгеброй. Ассоциативная алгебра снабженная единицей, которая одновременно является коасоциативной коалгеброй снабженной коединицей называется биалгеброй

если произведение и копроизведение являются самосогласованными друг с другом. Последнее означает, что копроизведение должно удовлетворять условию:

Д(а • &) = Д(а) • Д(&),

где тензорное произведение в правой части равенства определено покомпонентно:

(а < 6) • (с < 7) = (а • с) < ( Ь • 7).

Наконец, опираясь на все вышесказанное, можно дать простое определение для алгебры Хопфа. Биалгебра Н снабженная дополнительным отображением Б : Н —> Н называемым антиподом таким что:

^ (а • 6) = Б (а) • Б (6)

и

ц(7 < Б)Д = |х(Б < г^)Д = 0 называется алгеброй Хопфа.

А.2 Элементы теории эллиптических функций

В этом разделе мы дадим краткое описание теории эллиптических функций и введем некоторые основные понятия, что будут использоваться в этой работе. Теория обычных эллиптических кривых является хорошо известной, поэтому мы ограничимся только введением некоторых основных понятий. Более детальную информацию можно найти в [111; 170].

Эллиптической кривой называется двумерная поверхность заданная уравнением третьей или четвертой степени, в общем случае у2 = (ж — ai)(x —а2)(ж — а3)(ж — а4), где щ это, в общем случае, комплексные числа, которые называются точками ветвления.

Теперь, необходимо определить основные величины и инварианты связанные с эллиптической кривой. Прежде всего, определим два периода эллиптической кривой как:

аз а2

Ш1 = 2С4 i — = 2K(A), Ш2 = 2С4 i — = 2гK(1 — Л), (А.3)

а2 ai

где Л = , С4 = л/а13а24, = а* — ау и К обозначает эллиптический интеграл первого рода. Отношение двух периодов т = ^ называется модулем эллиптической кривой. Модуль эллиптической кривой т обязательно является комплексной величиной 1т(т) = 0.

Периоды являются важной характеристикой эллиптической кривой. Однако, может оказаться так, что две различные формы одной и той же эллиптической кривой связанные модулярным преобразованием будут иметь разные периоды. Поэтому, необходимо ввести некий универсальный инвариант. Для этого, мы сначала введем понятие канонической формы эллиптической кривой.

С использованием модулярных преобразований:

ах — Ь у 7 7-1 /. . \

X —--, у —-777, — ОС=1. (А.4)

сх — а (сх — а)2

любая эллиптическая кривая может быть сведена к каноническому виду:

у2 = 4х3 — д2 (т)ж — рэ(т). (А.5)

ее также называют канонической формой Вейерштрасса.

Числа $2(т) и <?з(т) называются инвариантами эллиптической кривой.

Из инвариантов д2(т) и <?з(т) мы можем составить специальною функцию, которая однозначно фиксирует изоморфизм эллиптических кривых. Эта функция называется ^'-инвариантом и она определяется как:

^ = 1728 ,2 (т)3-т4(Т)2 • (А6)

Если две эллиптические кривые имеют одинаковый ^'-инвариант то они являются изоморфными относительно модулярного преобразования (А.4).

Если считать у и х комплексными то уравнение у2 = (х — ах)(х — а2)(ж — а3)(ж — а4) задает некоторую двумерную поверхность Е в четырехмерном пространстве, последнее утверждение очевидно если переписать и х как сумму действительной и мнимой части. Можно показать, что эта двумерная поверхность изоморфна комплексному тору С/Л, где Л = Ъ + тЪ = Ж2 - двумерная решетка 1. Можно определить отображение рт : С/Л — Е, которое каждой

1 Иными словами, определяя комплексный тор мы отождествляем две точки на комплексной плоскости если они отличаются друг от друга на элемент решетки.

точке лежащей на торе (рт = рт(гс)) ставит в соответствие точку на эллиптической кривой (ж,у) € Е. В явном виде:

^ (ж,у) = (рт(гс), С4рТ(^с)),

это означает что рт(гс) и ее производная рТ(^с) параметризуют эллиптическую кривую:

(С4РТ(^с)) = (Рт(^с) - а1)(Рт(*с) - «2)(Рт(^с) - аз)(Рт(^с) - а-4)-

Функция рт(гс) является мероморфной и двоякопериодической рт(гс + 1) =

рт(гс + т) = рт(гс), функции удовлетворяющие этим свойствам называются

2

эллиптическими .

Если эллиптическая кривая приведена к канонической форме (А.5) то тогда отображение рт будет описываться известной р-функцией Вейерштрасса, которая является простейшим примером эллиптической функции:

Рт(г) = -1 + У^ (т-1-^ -7-1—т^) , (А.7)

; г2 ^ \(х + т + пт)2 (т + пт)2/ у у

(т,п)=(0,0) ' К ' 7

где сумма берется по всем целым т и п кроме (т,п) = (0,0). Легко проверить, что функция р имеет два периода рт(г + 1) = рт(г + т) = рт(г) и полюс второго порядка в точке 0. Таким образом, эта функция является эллиптической и она параметризует эллиптическую кривую записанную в канонической форме (А.5)

рт(г)2 = 4рт(г)3 - ^(т)рт(г) - #$(т). (А.8)

Можно легко показать, что любая эллиптическая функция рт(^) с заданным отношением периодов т может быть представлена как [111]

Рт(гс) = ^1(рт(гс)) + #2 (рт(гс ))рт(г),

где Л1 и Л2 обозначают рациональные функции.

Можно определить и обратное преобразование р-1, которое каждой точке (ж,у) € Е лежащей на эллиптической кривой ставит в соответствие точку на

2 Отсюда понятно почему мы требовали чтобы отношение периодов т обязательно было комплекс-

ной величиной с отличной от нуля мнимой частью, ведь согласно теореме Якоби, не тривиальная

функция с двумя периодами может существовать только если отношение этих периодов не веще-

ственно [111; 170].

комплексном торе С/Л т.е. р^ : Е — С/Л. Такое отображение называется отображением Абеля и в явном виде может быть записано как:

X

*Х = ^ / -. (А.9)

У у

а\

Также, следуя [78], введем дополнительное обозначение для отображения точки х = —то на торе

—то

г* = ^ / (А.10)

У у

а-1

Это обозначение будет полезно для нас при введении эМПЛов в секции 1.1.3.

Приложение Б Список всех ядер для •-функций

В разделе 1.1.5 нами был введен новый класс функций названный повторными интегралами с алгебраическими ядрами или короче ^/-функциями. В общем виде эти функции были заданы уравнением (1.64). В этом приложении мы дадим список всех ядер, которые будут использованы в этой работе для определения этих новых функций.

Начнем с повторных интегралов, которые описывают решение для простейшей эллиптической диаграммы типа «закат солнца», раздел 2.2.1 и для всех типов интегралов типа «воздушный змей», разделы 2.2.2, 2.2.3 и 2.2.4. Эти

интегралы содержат следующие замыкающие Ц 1-формы ( X = —д-):

у2\/у2-4

Цо = •А, Ц = Ц =

и замыкающие в 1-формы:

•У^ У

у :

Цз =

у-1'

Цд =

у + 1'

(Б.1)

в = в1 = вз = вв = в7 = вд =

-

(У2 - 1)( ^ - уУ

(у - 1)( * - 1)'

- 1' •Л

+

•А

2(;? + 1)2 2(* - 1)2'

(1 + У + (2/ -2(;? + 1)3 + 2(* - 1)3

в1/у в2 вд во вв

^ -1'

•А

(у2 - 1)(*у- 1)'

(у + 1)(* + 1)' 1 '

(1 + + (1 -2(^ + 1)2 + 2(г - 1)2 :

(Б.2)

где интегрирование по у идет в пределах [2,то]. Для повторных интегралов ш, С и п 1-формы даются следующими выражениями(= ^):

=

ш8; =

У - а ^ — а'

=

Ш81 =

^ - а 1

Ш =

Ша,Ь =

а

(<§ - а)(^ - &)'

^ = (5 - а)(* - 6), Са'ь = (§ -а)(г - б)2, Са'ь = (§ -а)(г - б)2,

_ п 21 =_1_

(в - а)(г - б)3' 1а'ь (в -а)(г - 6) Переменная 2; = ^(й) определена в (2.56). В качестве примера:

^ пв ^

¡2 уу-ууо (У- сцХф') - Й2)2

'*' Г" с^' Г"' с^" Г""

= ,„ Г. ^, <ь= ,„ Г: ш• (Б.З)

3(«1 А,а2^Ш*^ш*;«) = £ У^у I —ГТТТТГл—~х

Л Л ^-с л Л e, (Б.4)

3 («4 Ш ,ш»;*) = I

2 (2/ + 1По - а Л - Ь

//

х (Б.5)

^>00

ХУо к —с (Б.6)

Далее идут повторные интегралы описывающие решение для непланарной эллиптической вершины, полученное методом ДУ, раздел 2.2.5.Замыкающие 1-формы "«"по переменной £ (£ = 1 - £) определяются как:

мд = _ t рд =

а'ь 1 + 5 tt, а'ь (1 + 5 ¿¿)2,

« = -Р = дТЫ (Б7)

а'ь (1 + ^)(1 + в«), а'ь (1+5£)(1 + 5^"), ( .7)

где интегрирование по £ идет в пределах [0,1] и д обозначает некоторую алгебраическую функцию от переменных и . В нашем случае обозначают некоторый моном из набора {1,2+ 22,23242:5}, где ^ определены в (2.99). Для повторных интегралов 1-формы "ш"по переменным §и|/ определены как:

ш* = = Шс = (Б.8)

Сй-С Сй-С Су-с

где, как и раньше, ^ определены в (2.99). В качестве примера:

я+1/^

10 ¿(1 + ,/0 (в' - а)

х

х

^ ^''

в "

///

'''

, (Б.9)

'-1/*

б?/

///

5"' - С

(Б.10)

Л (У - а) Л - ь л

После этого, дадим определение для повторных интегралов входящих в решения для системы интегралов, описывающих двух-петлевые поправки к процессам в нерелятивистской КХД, раздел 2.3. Замыкающие 1-формы «Ц» по переменной определяются как:

г = ГЛ^

8 4 + ¿2ж2' . = ¿У^

8 = (4 + г %2)2'

^ =

г

фя =

(4 + г 2ж2)3'

= г 8

(1 +£ ж)8'

= ¿У^ 8 = 4 + £ 2ж2 '

дШ1 =

8 =(4 + * 2ж2 )2'

(4 + * 2ж2 )3' = •Т^,

= щ^м

8 (1+£ ж)8'

1

=

' а

(Б.11)

где интегрирование по £ идет в пределах [0,1], • = и г = 1,2 определены в (2.113) и (2.121). Для повторных интегралов 1-формы «ш» по переменным и и>2 определены как:

ш^1 =

- с

ш^2 =

^2 - С

(Б.12)

Наконец, можно дать описание для •-функций для трех-петлевых интегралов, раздел 2.4. Они являются несколько более сложными чем предыдущие и в общем виде описываются как:

1-формы по 8

1-формы по а

• ( , Ф , , ш1 ,...,шП, ш1 ,...,шП , <,... ,ш£ , ш?1 ;й) (Б.13)

2-формы по г/1 и г/2

п 1 " 1 ? '1 п 1-формы по х