Бискалярные фишнет-модели в произвольных измерениях и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Яхиббаев Равиль Маратович

• Яхиббаев Равиль Маратович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Яхиббаев Равиль Маратович

Введение

Глава 1. Фишнет-модели в произвольном пространстве

1.1 Вывод четырехмерной фишнет-модели и её обобщения

1.1.1 Обобщение бискалярной фишнет-модели на

произвольное число измерений

1.2 Фишнет-диаграммы в произвольных измерениях как интегрируемые системы

1.2.1 Определение производящего оператора

1.2.2 Инвариатность производящего оператора относительно конформных преобразований

1.2.3 Интегрируемость

1.2.4 Термодинамический предел фишнет-моделей в произвольном числе измерений

1.3 Получение и анализ собственных значений производящего оператора

1.3.1 Собственные состояния производящего оператора

1.3.2 Простейшие корреляционные функции для нульмагнонных и одномагнонных при J =

1.3.3 Вычисление собственных значений производящего оператора

1.3.4 Конформная размерность в неизотропных шестимерных моделях

1.4 Выводы

Глава 2. Голографическое описание. Фишчейн-модели в

произвольном числе измерений

2.1 Классические фишчейн-модели

2.1.1 Вывод квазиклассического действия

2.1.2 Инвариантная формулировка и построение алгебры связей

2.1.3 Вычисление классического спектра фишчейн-модели

Стр.

2.2 Квантование фишчейн-моделей

2.2.1 Получение спектра конформной размерности

2.3 Доказательство соответствия

2.4 Выводы

Глава 3. Амплитуды в шестимерных теориях

3.1 Вычисление амплитуд в фишнет-моделях

3.1.1 Диаграммы в пертурбативном разложении

3.1.2 Точная амплитуда в фишнет-моделях

3.1.3 Разложение точной амплитуды в пределе слабой константы связи в пределе ^ = —1

3.1.4 Точная амплитуда в режиме сильной константы связи

3.2 Дуально-конформные интегралы в шестимерии и амплитуды

3.3 Дуально-конформная симметрия

3.3.1 Дуальная конформность и однопетлевые интегралы

3.3.2 Дуально-конформные двухпетлевые диаграммы лестничного типа

3.3.3 Высшие петли

3.3.4 Итеративная структура интегралов в шестимерной модели

3.4 Выводы

Заключение

Словарь терминов

Список литературы

Приложение А. Обозначения, вспомогательные формулы и

функции

А.1 Вспомогательные формулы и определения

А.2 Петлевые фейнмановские интегралы

А.3 Специальные функции

А.3.1 Гармонические числа и полилогарифмы

А.3.2 Функция Лерха

Стр.

Приложение Б. Вычисление фиксированной точки для

шестимерной фишнет-модели

Приложение В. Точные корреляционные функции в

фишнет-моделях

Приложение Г. Вычисление амплитуды в режиме сильной

константы связи

Приложение Д. Разложение двухпетлевых лестничных

интегралов

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бискалярные фишнет-модели в произвольных измерениях и их приложения»

Актуальность темы.

Конформные квантовые теории поля представляют значительный интерес как самостоятельные модели, так и как приближения, использующиеся для изучения многих фундаментальных явлений. Конформно-полевые теории находят свои применения в физике критических явлений, в различных космологических моделях, а также в рамках квантовой хромодинамики. Конформные теории поля удобны для изучения различными методами, однако набор таких теорий был крайне невелик до последнего времени. И если двумерии в связи с развитием теории струн они являются хорошо и всесторонне изученными (так же можно сказать и об остальных низкоразмерных квантовых моделях типа модели Садчева-Йе-Китаева (БУК)), то понимание конформных теорий в более высоких измерениях является крайне неполным. Достаточно хорошо изученными квантовыми теориями поля вне двумерия являются суперсимметричные теории: четырехмерная максимально суперсимметричная теория Янга Миллса (4ё, N = 4 БУМ) [1], и трехмерная модель Аарони-Бергмана-Джаффериса-Малда-сены (ЛБЛМ-модель или конформная 3(1 М =6 теория Черна-Саймонса) [2]. Данные модели считаются интегрируемыми по крайней мере в планарном пределе т'Хоофта, что позволяет извлекать из них информацию об аномальной размерности операторов с помошью различных методов, например, квантовой спектральной кривой [3—5] или анзаца Бете [6; 7]. Эти методы, в свою очередь, приводят к пониманию устройства пертурбативного и непертурбативного режимов теорий в корреляционных функциях и амплитудах и поведению теории в целом, раскрывая внутренние структуры теорий и их связи с другими моделями [1; 8].

В 2015 году Гурдоганом, Каэтано и Казаковым [9] был предложен ряд теорий, которые представляют собой деформированные копии четырехмерной М = 4 янг-миллсовской модели с "отсоединенными" калибровочными полями и их суперпартнерами, изначальная Д-симметрия РБи(2,2|4) в которых нарушается до Би(2,2) х и(1)3 [10]. В полученных теориях нарушена унитарность, и они не обладают суперсимметрией. Тем не менее в рамках предела двойного скейлинга деформированные модели распадаются на несколько типов подмоделей, которые неожиданно оказываются интегрируемыми. Эти

модели в планарном пределе представляют собой бесконечные решетки фей-нмановских диаграмм различных конфигураций, состоящих из правильных многоугольников; изучение подобных диаграмм было начато в пионерской работе Замолодчикова [11]. Если точнее, то после деформации и взятия предела двойного скейлинга из материнской суперсимметричной модели возникают модели, которым в планарном пределе соответствуют решетки фейнмановских диаграмм со скалярными вершинами типа фА и юкавскими вершинами (соответствующая модель называется %-конформной теорией [12]). Однако и эта модель может быть упрощена до теории, которая содержит лишь вершины типа ф4: соответствующая теория называется бискалярной фишнет-моделью, и в планарном пределе описывается лишь квадратной решеткой фейнмановских интегралов. Несмотря на свою простоту, эта модель позволяет глубже взглянуть на интегрируемость конформных теорий поля и их соотношение с теорией струн. Стоит отдельно остановиться на этих двух аспектах бискалярной фиш-нет-модели.

В основе интегрируемости бискалярных фишнет-теорий в планарном пределе лежит факт того, что корреляторы в них отобраны особым образом и представляют собой регулярную "глобусную" или "колесную" фейнмановскую диаграмму [13]. Причем регулярность структуры таких графов позволяет позволяет их интерпретировать как трансфер-матрицы гейзенберговской спиновой цепочки 5*0(1,5) ~ Би(2,2). Эти трансфер-матрицы коммутируют со всеми локальными интегралами движения для произвольных спектральных параметров, то есть эта бискалярная фишнет-модель в планарном пределе справедливо может считаться интегрируемой [13]. С точки зрения квантовой теории поля интегрируемость дает возможность находить точные спектры аномальных размерностей и реджевские траектории, а вычисления отдельных корреляционных функций в интегрируемых квантовых теориях поля облегчены возможностью применения метода уникальности и его обобщений [14—17]. Таким образом, интегрируемость четырехмерных фишнет-моделей позволяет получать полные корреляционные функции и четырехточечные амплитуды рассеяния [18; 19]. Вышеописанный метод, основанный на отождествлении фишнет-моделей со спиновыми цепочками, обычно совместим с подходом Замолодчикова, в котором фейнмановские графы рассматривается как статистическая система на решетке Бакстера [11; 20]. В таком подходе оказывается удобным изучение термоди-

намического анзаца Бете, который проливает свет на дуальную связь между бискалярными фишнет-моделями и нелинейными сигма-моделями [21].

Дуальные соотношения являются примером реализации голографическо-го принципа, они позволяют смотреть на разные модели как на режимы одной более общей модели [22]. Обычно подразумевается, что эквивалентны квантовая гравитация (в виде теории струн или М-теории), компактифицированная до Л(!8-геометрии и конформная теория поля, заданная на границе этого многообразия. Так, например, особенно широкую популярность получило соответствие между пятимерной теорией струн в пространстве анти де-Ситтера и четырехмерной М = 4 БУМ, носящее тем не менее характер гипотезы, поскольку соответствие не просто трудно доказать, но и проверить [4]. В этом смысле вышеописанные несуперсимметричные интегрируемые квантовые теории поля могут быть более удобными для исследования точных голографических соответствий, так как структура корреляторов в фишнет-моделях гораздо проще, она обладает предсказуемой регулярностью, как было отмечено ранее. Именно благодаря такой регулярности возможно построение из первых принципов голографических фишчейн-моделей, по крайней мере, соответствующих биска-лярным фишнет-моделям в четырехмерии, что было проделано Громовым и Севером в ряде их работ [23—25]. Такие голографические модели представляют собой замкнутую дискретизированную ломаную струну (или цепочку попарно взаимодействующих частиц), которая в классическом случае обернута вокруг светового конуса в шестимерном пространстве. В квантовом же случае из-за учета поправок оказывается, что световой конус превращается в соответствующий многомерный гиперболоид, то есть в пространство Л(85, что, вообще говоря, является не совсем тривиальным выводом. Возможно и строгое доказательство наблюдаемого соответствия, основанного на сличении корреляционных функций, с одной стороны, а с другой - на непосредственном доказательстве соответствия производящих операторов в фишнет-модели и гамильтониана фишчейн-модели. Доказательство интегрируемости дискретизированных струн на классическом и квантовом уровнях строится также на нахождении условия нулевой кривизны для лаксовых пар [24]. Такие модели оказываются приемлемыми для получения спектров операторов аномальной размерности не только для самых простых (нуль-магнонных) операторов, но и более изощренных операторов [24]. Таким образом с помощью интегрируемости удается напрямую

связать струнноподобные действия и квантовые теории поля, что является убедительной иллюстрацией действительности голографического описания.

Всё вышеперечисленное касалось изучения фишнет-модели в четырех-мерии, однако существует непосредственное обобщение фишнет-моделей на произвольное число пространственных измерений. Более того, в планарном пределе многомерные модели могут иметь неизотропные решетки, и тем не менее отвечать условиям интегрируемости. При этом изучение по крайней мере бискалярных фишнет-моделей в различных измерениях имеет значительную ценность в связи с тем, что им могут отвечать модели в совершенно различных областях квантовой теории поля. Например, модель Балицкого-Фадина-Кура-ева-Липатова или липатовская спиновая цепочка реджеизированных глюонов в лидирующем пределе могут быть описана в терминах бискалярных фиш-нет-моделей [26]. Или вполне разумно мыслить, что если четырехмерные и трехмерные суперсимметричные модели в специфическом пределе редуцируются до фишнет-моделей, то то же самое может происходить и в моделях более высокой размерности, например, в шестимерных БУМ-моделях, явный вид которых изучался в работах [27—31]. Более того, шестимерная бискалярная модель представляет самостоятельный интерес, так как она являет собой пример простейшей теории с высшими производными при целочисленной канонической размерности полей в единицах массы. Изучение спектра конформной размерности в такой теории может иметь интересные приложения. Из-за этого особый акцент в данной работе делается на изучении шестимерных бискалярных фиш-нет-моделей.

То же самое касается и голографических фишчейн-моделей: обобщение фишчейн-моделей на произвольное число измерений диктуется естестествен-ным соображением о том, что единообразно квантоваться должны нелинейные сигма-модели в любой некритичной размерности [24]. Такие модели должны обитать в многообразиях высшей размерности и обладать теми же свойствами, что и фишчейн Севера-Громова с поправкой на возможность модификации взаимодействия между частицами в цепочке. Такое исследование двух гологра-фически связанных моделей — шестимерной фишнет-модели и восьмимерного фишчейна — может способствовать также изучению аспектов М = (1,1) и М = (2,0) БУМ-моделей, а в свете возможности построения точных двойственных струнных копий — сигма-моделей на AdS7 [32].

И, в конце концов, интерес представляют конкретные приложения вычислений с помощью фишнет-моделей, например, непосредственное вычисление амплитуд, так как последние иногда имеют неочевидные скрытые симметрии. Иногда такие симметрии позволяют связывать нетривиальным образом амплитуды даже в различных измерениях [33]. Более того, принципы, на которых строятся шестимерные амплитуды в фишнет-моделях, могут пролить свет на то, как именно устроены амплитуды в теориях вроде М = (2,0) БУМ или иных шестимерных моделях, эффективные или явные формы которых не так понятны до сих пор [34—36].

Целью данной работы подробное описание бискалярных фишнет-моде-лей в произвольных измерениях, их обобщение, нахождение их голографически дуальных копий, исследование возможных приложений для вычисления шестимерных амплитуд и изучения принципов построения шестимерных амплитуд.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать бискалярные фишнет-модели, обобщенные на случай произвольного числа измерений. Получить соответствующие спектры для волновых функций конформной теории поля по крайней мере для нуль-и одномагнонного случая.

2. Вывести дуальные им модели — фишчейн-модели, а также обосновать голографическое соответствие.

3. Аналитическими методами исследовать спектры соответствующих операторов в изученных и найденных теориях, сравнить результаты на классическом и квантовом уровнях.

4. Рассмотреть приложения моделей для изучения амплитуд в различных шестимерных теориях.

5. Изучить возможность построения итеративных соотношений для интегралов с помощью дуальной конформности в шестимерном пространстве.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Изучены спектры бискалярной фишнет-модели с произвольным параметром деформации решетки интегралов в произвольном числе измерений. Предложено рассмотрение контрчленов нового вида для обеспечения УФ-полноты неизотропных моделей.

2. Получены квазиклассические фишчейн-модели в произвольном числе пространственно-временных измерений, соответствующие фишнет-моделям (изотропным или с целочисленным параметром деформации). Модель была проквантована, получены точные спектры конформной размерности в пределе границы объемлющего многообразия, соответствующие полученным спектрам в фишнет-модели

3. Вычислены шестимерные конформные амплитуды в разных кинематических пределах и режимах константы связи, проведено сравнение с прямыми расчетами фейнмановских интегралов. Найдено соответствие между шестимерными высокоэнергетичными лестничными амплитудами в шестимерной теории М = (1,1) БУМ и амплитудами в бискалярной фишнет-модели.

4. Изучены ряды нетривиальных фейнмановских шестимерных диаграмм типа "бокс" и исследована возможность построения итеративных соотношений между различными типами суперконформных моделей в шестимерии с высшими производными (аналогичных соотношениям Берна-Диксона-Смирнова (БЭБ) для М = 4 БУМ).

Научная новизна:

1. Непосредственно найдены спектры для неизотропных произвольных бискалярных фишнет-моделей в нульмагнонном и одномагнонном случаях.

2. Предложена схема вычисления фиксированных точек для бискалярных фишнет-моделей в шестимерии на массовой поверхности.

3. Предложено обобщение фишчейн-модели на произвольное число пространственных измерений, соответствующей деформированной биска-лярной фишнет-модели: проведена проверка соответствия и доказана голографическая дуальность моделей.

4. Построены амплитуды шестимерных моделей в различных пределах константы связи и кинематических режимах. Предложен способ вычисления амплитуд в пределе сильной связи. Получена альтернативная формулировка редуцированного конформного блока, позволяющая непосредственно вычислять амплитуду в пределе сильной константы связи.

5. Найдены соответствия между амплитудами фишнет-модели в шести-мерии и серией диаграмм лестничного типа, обнаруживаемой в d = б Я = (1,1) SYM.

6. Изучены дуально-конформные интегралы и возможность итеративного потроения амплитуд в шестимерии. Показано, что понятие дуальной конформности может быть расширено на фейнмановские интегралы определенного типа.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается их согласованностью с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Международная конференция по квантовой теории поля, физике высоких энергий и космологии, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия, в 2022 году (устный доклад: "Exact amplitudes in various conformal fishnet theories");

2. VII Международная конференция "Модели в квантовой теории поля" памяти А.Н. Васильева (MQFT-2022), Санкт-Петербург, Международный математический институт им. Л. Эйлера, Россия, в 2022 году (устный доклад: "Four-point amplitudes in fishnet theories and dual conformal integrals");

S. Международная конференция "Квантовая теория поля и гравитация (QFTG'2S)", ТГПУ, Томск, в 202S году (устный доклад: "Generalized holographic fishchain");

4. Международная конференция AYSS-202S, Дубна, ОИЯИ в 202S году (устный доклад "Correlation functions in 6d fishnet models"); а также докладывались на семинарах в 202S году в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ (устный доклад "Generalizing holographic fishchain") и ЛФВЭ МФТИ (устный доклад "Some properties of 6d biscalar fishnet models and ladder diagrams").

Личный вклад. Все результаты, приведенные в данной диссертационной работе, получены лично автором, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых журналах, включенных в список ВАК и/или международных баз данных Web of Science и/или Scopus [S7—40].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 129 страниц с 20 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 135 наименований.

Глава 1. Фишнет-модели в произвольном пространстве

1.1 Вывод четырехмерной фишнет-модели и её обобщения

Изначально фишнет-модели сформулированы как специфический предел двойного скейлинга 7-деформированной четырехмерной модели М = 4 БУМ, который нарушает изначальную Д-симметрию группы Би(4) до и(1)3. Кинетический член 7-деформированной модели имеет следующий вид [41; 42]:

С = ЖгТг

1 1 + • -• - - ^ф^ф* + 1ФЖФ1

(1.1)

А член взаимодействия имеет такую форму

Сы = ^д Тг [4 {ф}, ф*} |ф] ,ф1} - де^^фЩрф

- е фзфф4 + е+ 27 ф4ффз + ге1]ке2е^т7+фкфгфз (1.2)

-е+27 ф4ф]фз + е-27- фз-ф]ф4 + гегзке^кт1™фкф\ф

причем д = 0,1,2,3, % = 1,2,3, спинорные индексы а,а = 1,2, е — антисимметричный тензор Леви-Чивиты, а = 1,2,3,4, д — константа взаимодействия теории Янга-Миллса, Г — четырехмерный тензор (2-форма) напряженности полей Янга-Миллса Ам, — ковариантная производная, И = (<7^)м, где — четырехмерная матрица Паули = (-а*, /2x2), причем I — единичная матрица, а а* — обычные матрицы Паули). Скалярные поля ф*, калибровочные векторные поля Ам, ф^ преобразовываются по присоединённому представлению Би(Жс) или и(Жс). Параметры деформации 7^ тем временем:

± 7з ± 72 ± 71 ± 7з ± 72 ± 71

71 =--Г"' 72 =--,73 =--Г".

Модель (1.2) является наиболее общей деформацией четырехмерной М = 4 БУМ модели, допускающей описание в рамках соответствия А(1Б/СРТ причем без суперсимметрии [42], причем со стороны дуальной теории струн, компактная сфера Б5 деформируется из-за введения 7* до менее суперсимметричного многообразия. В этом смысле, оказывается, что дуальность А(1Б/СРТ менее чувствительна к присутствию суперсимметрии.

Если принять параметр деформации ^ = е-^ и взять предел ^ ж, а константу д ^ 0, возможно ввести новые константы связи, которые представи-мы в виде ^ = , где г = 1,2,3. Такой предел и называется пределом двойного скейлинга. Параметр деформации вследствие этого предела 7 ^ гж становится мнимым, то есть в данном действии нарушается унитарность, однако сохраняется конформность на классическом уровне. Считается, что нарушение унитарности в конформной теории поля обозначает присутствие тахионов в мировом объеме в соответствующей струнной модели [43]. Легко заметить, что предел двойного скейлинга не затрагивает калибровочную часть лагранжиана, изменяя лишь юкавскую и 04-взаимодействия. То есть в конечном итоге действие упрощается до так называемой %-конформной теории поля, член взаимодействия которой записывается в следующей форме:

Сш = 4^ Тг

Й4444+й фЫфV3+Й4444

+

+2тЫс Тг

лд2а(Ф3 ф'ф2+(1.3)

+^МзХФЧЧ3 + Ф1ФШ + ШзХФ2Ф3Ф1 + ^4^)

Здесь можно рассмотреть различные пределы данной модели, как то

1. Модель с £1 = = = ^ сохраняет одну степень суперсимметрии и совпадает с /3-деформированной БУМ модель Ли-Страсслера [44]

2. Модель, в которой £1 = 0, называется %0-конформной теорией поля

[45].

3. Бискалярной фишнет-модели соответствует £2 = = 0, в ней нет юкав-ской части взаимодействия [9; 13; 46].

Было показано, что все эти модели [12] на квантовом уровне являются интегрируемыми. Однако больше всех в рамках настоящей работы нам интересен случай бискалярной фишнет-модели. Лагранжиан последней модели удобно записать следующим образом

Сь = ^Тг (ф\(-В)ф1 + 4(-□)& + 4ъ2(2ф\ф\ф1ф^ (1.4)

где □ = д^д^ — даламбертиан, то есть д^ — обычная 4-производная по координатам. Видно, что здесь пропагаторы строятся стандартным образом, а член взаимодействия имеет вид ~ Хф4, что обеспечивает с одной стороны конформность классического действия, а с другой стороны его простоту при рассмотрении предела т'Хоофта (стоит помнить, что данная модель является

матричной). Данное действие обладает глобальной симметрией

01 ^ е1001,02 ^ е1002, (1.5)

то есть инвариантностью относительно преобразований и(1) х и(1). А также симметриями, связанными с транспонированиями

(02 ^ 02, 01 ^ 01), (01 ^ 01'', 02 ^ 02), (01 ^ 02, ф2 ^ 0!) (1.6)

Эта симметрия позволяетт сократить число рассматриваемые корреляционных функций [18].

Лагранжиан (1.4) является неполным, поскольку некоторые расходимости в корреляционных функциях составных (односледовых) операторов не могут быть устранены перенормировкой этих операторов - даже в планарном пределе [47]. Эти УФ-расходимости могут быть устранены с помощью контрчленов в виде произведения следов операторов вида 1г(Оц)1г011), где 01к это некоторый моном вида фiфk. При этом данные конструкции должны быть оснащены своими константами связи а2. Для бискалярной фишнет-модели такие двухследовые контрчлены в планарном пределе должны иметь следующий вид [13]:

2

С/(4^)2 = а2 £ Тг(^))Тг(0101) - «2Тг(0102))Тг(0201)-

i=l (1.7)

-а|Тг(0102)М0201)

Новые введеные константы взаимодействия имеют нетривиальную бета-функцию, поэтому модель (1.4) с контрчленами (1.7) не является конформной, поскольку константы а, как видно из определения, являются бегущими по Чтобы найти нули бета-функции достаточно проанализировать поведение следующих корреляционных функций [13]:

в1 (х) = (а[ф1ф1(х)]а[ф\ф2(0)])

в2(х) = (а[ф1ф2(х)]а[ф\ф2(0)]) (1.8)

ад = МФ1Ф2(Х)МФ\Ф2(0)])

причем оказывается, что первые для первых двух функций индуцированные константы связи а1,2 равны ^2, а третья требует вычисления бета-функции [13]. Нулям бета-функции соотвествуют фиксированные точки, в которых приведенная модель (1.4)восстанавливает конформность. Этим точкам соответствуют

следующие значения констант взаимодействия [46]:

а( = а+_, «2 = ^2 и = , «2 = (1-9)

сц — Lt2 — S V1 U1 — <^2

где

«2 = - 2 т з-^ + Г + оа10) (1.10)

причем, здесь видно, что а± переходят друг в друга при преобразованиях ^ ^ 2, принимая мнимые значения. В данных точках четырехмерная фиш-нет-модель также и интегрируема в планарном пределе [13] (в этом также можно усмотреть преемственность, так как оригинальная модель М =4 БУМ является интегрируемой).

1.1.1 Обобщение бискалярной фишнет-модели на произвольное

число измерений

Вышеприведенное действие для бискалярных фишнет моделей в четы-рехмерии (1.4) может быть легко обобщено на случай произвольного числа измерений [48]:

С = NcTr (ф1(-ПГ01 + <4(-Ш)л/2-ф2 + £2(4тг)(1-11)

здесь d — число пространственных измерений, а также в лагранжиан введён дополнительный параметр ш G (0, |), отвечающий сохранению конформности модели на классическом уровне. Очевидно, что данная модель является нелокальной в общем случае для параметров (d,w), но включает в себя и четырехмерную фишнет-модель как частный случай.

Построение пропагаторов в рамках модели (1.11) осуществляется в соответствии с правилами дробного дифференцирования, исходя из следующего уравнения для функции Грина:

(-n)"D(x - у) = ôd(x - у), (1.12)

причём 6(х) — d-мерная дельта функция,

D(x - у) = 1 r(d/2 - Ш)-* (1.13)

Рисунок 1.1 — Правила Фейнмана для фишнет-моделей в произвольном числе

измерений.

Исходя из вида пропагаторов в модели видно, что параметр и характеризует изотропность решетки интегралов. Действие (1.11) также должно быть снабжено двухследовыми контрчленами следующего вида:

2

£/(4^/2 = «2 Е ^ Ф1)- (1 14)

г=1 (1.14)

г=1

-«2Ъ(ф1 ф2))Tr(02ф\) - «2^(01ф\ф\)

Здесь надо заметить, что первые два члена в верхней части (1.14) сократятся

/Л 2

случае, если и = ^, так как в этом случае константы взаимодействия ^2 могут стать размерными. С другой стороны вполне допустимо, если двухследовые вклады введутся также с дифференциальным оператором [40]. Например, для случая d = 6,^ = 1 данный член может иметь следующий вид:

С* - «2(£№(02(-□)&№(<4Ф\) - «2(£№(02д,ф2)Tr(^2д»ф\) (1.15)

что в итоге после вычисления однопетлевых поправок дает две фиксированные точки в следующем виде1:

«2,± = ± 108 (5^73 - 23) , о2>± = ±- 41) (1.16)

В то же время двухследовые поправки для полей ф\ не нужны из-за конечности соотвествующих однопетлевых поправок [40].

1 Подробности вычисления фиксированной точки приведены в Приложении Б.

Таким образом и бискалярная фишнет модель в случае произвольного числа пространственно-временных измерений оказывается конформной благодаря введению вышеуказанных контрчленов. Следующий раздел будет посвящен доказательству интегрируемости бискалярной фишнет-модели.

1.2 Фишнет-диаграммы в произвольных измерениях как

интегрируемые системы

1.2.1 Определение производящего оператора

В рамках моделей (1.4) и (1.11) возможно вычислить любые корреляционные функции и амплитуды в замкнутой форме, поскольку все фейнмановские графы в ней имеют регулярную структуру. Пример фейнмановской диаграммы для простейшей ("нуль-магнонной" по аналогии с понятиями из физики конденсированных сред) двухточечной корреляционной функции мож-

но увидеть на рисунке 1.2. Она выглядит как некая квадратичная решетка, натянутая на сферу.

Рисунок 1.2 — Пример типичного фейнмановского графа для двухточечной корреляционной функции в бискалярной фишнет-модели. В приведенном случае J = 9, а число красных замкнутых линий пропагаторов М = 5.

Ключом к получению точных значений аномальной размерности в модели (1.11) является производящий интегральный оператор В. Его можно определить из вида фейнмановской диаграммы, записанной в общем виде:

ВоФ({*.> = р. ,„^*({*) (1ЛТ)

где фигурные скобки обозначают весь набор точек {х,}•=„ = (х„ ,х2,... >, J длина замкнутой линии решетки, а Ф({х,> — является корреляционной функцией или волновой функцией конформной теории поля. Ясно, что если подействовать таким оператором М раз на корреляционную функцию Ф, удастся получить фейнмановскую диаграмму нульмагнонного (или иного) типа [48].

Ядро оператора (1.17) представимо в виде произведения скалярных про-пагаторов

J £ 2(/2

В = 2 - у,|2./ - ум|(-2. (1.18)

с периодическими граничными условиями у„ = yJ. То есть горизонтальным линиям соответствует пропагатор ^ | у, — |-(+2., а вертикальной линии соответствует ^ — у, ^^. С помощью обратного даламбертиана 1 (х,у> данный оператор можно переписать следующим образом:

1 J J 1 BJ = ^ П С-1 >2" П (119)

Условно производящий оператор можно представить в виде изображенном на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 — Графическое представление производящего оператора В длиной J = Ь для произвольных значений d и и. Линии обозначают

скалярные пропагаторы.

1.2.2 Инвариатность производящего оператора относительно

конформных преобразований

Этот производящий оператор обладает рядом интересных свойств. Например, данный оператор коммутирует с генераторами конформной группы Б О (1,(1+1) (ниже индекс будет означать, что генераторы определены в точке х):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яхиббаев Равиль Маратович, 2024 год

Список литературы

1. Beisert, N. The N=4 SYM integrable super spin chain / N. Beisert, M. Staudacher // Nucl. Phys. B. — 2003. — T. 670. — C. 439—463.

2. N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals / O. Aharony [h gp.] // JHEP. — 2008. — T. 10. — C. 091.

3. Onishchenko, A. I. Anomalous dimensions of twist 2 operators and N = 4 SYM quantum spectral curve / A. I. Onishchenko. — 2021. — Mañ. — arXiv: 2105.03945 [hep-th].

4. Levkovich-Maslyuk, F. A review of the AdS/CFT Quantum Spectral Curve /

F. Levkovich-Maslyuk // J. Phys. A. — 2020. — T. 53, № 28. — C. 283004.

5. Gromov, N. Quantum Spectral Curve and the Numerical Solution of the Spectral Problem in AdS5/CFT4 / N. Gromov, F. Levkovich-Maslyuk,

G. Sizov // JHEP. — 2016. — T. 06. — C. 036.

6. Staudacher, M. Review of AdS/CFT Integrability, Chapter III.1: Bethe Ansätze and the R-Matrix Formalism / M. Staudacher // Lett. Math. Phys. -2012. — T. 99. — C. 191—208.

7. Exact Spectrum of Anomalous Dimensions of Planar N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory: TBA and excited states / N. Gromov [h gp.] // Lett. Math. Phys. — 2010. — T. 91. — C. 265—287.

8. Integrable Amplitude Deformations for N=4 Super Yang-Mills and ABJM Theory / T. Bargheer [h gp.] // Phys. Rev. D. — 2015. — T. 91, № 2. — C. 026004.

9. Caetano, J. Chiral limit of M = 4 SYM and ABJM and integrable Feynman graphs / J. Caetano, O. Gärdogan, V. Kazakov // JHEP. — 2018. — T. 03. — C. 077.

10. Gurdogan, O. New Integrable 4D Quantum Field Theories from Strongly Deformed Planar M = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory / O. Gärdogan, V. Kazakov // Phys. Rev. Lett. — 2016. — T. 117, № 20. — C. 201602. — [Addendum: Phys.Rev.Lett. 117, 259903 (2016)].

11. Zamolodchikov, A. B. 'Fishnet' diagrams as completely integrable system / A. B. Zamolodchikov // Phys. Lett. B. — 1980. — T. 97. — C. 63—66.

12. Kazakov, V. Generalized fishnets and exact four-point correlators in chiral CFT4 / V. Kazakov, E. Olivucci, M. Preti // JHEP. — 2019. — T. 06. -

C. 078.

13. Integrability of Conformal Fishnet Theory / N. Gromov [h gp.] // JHEP. — 2018. — T. 01. — C. 095.

14. Kazakov, D. I. THE METHOD OF UNIQUENESS, A NEW POWERFUL TECHNIQUE FOR MULTILOOP CALCULATIONS / D. I. Kazakov // Phys. Lett. B. — 1983. — T. 133. — C. 406—410.

15. Isaev, A. P. Multiloop Feynman integrals and conformal quantum mechanics / A. P. Isaev // Nucl. Phys. B. — 2003. — T. 662. — C. 461—475.

16. Derkachov, S. E. Ladder and zig-zag Feynman diagrams, operator formalism and conformal triangles / S. E. Derkachov, A. P. Isaev, L. A. Shumilov // JHEP. — 2023. — T. 06. — C. 059.

17. Chicherin, D. Conformal group: R-matrix and star-triangle relation /

D. Chicherin, S. Derkachov, A. P. Isaev // JHEP. — 2013. — T. 04. — C. 020.

18. Gromov, N. Exact Correlation Functions in Conformal Fishnet Theory / N. Gromov, V. Kazakov, G. Korchemsky // JHEP. — 2019. — T. 08. —

C. 123.

19. Korchemsky, G. Exact scattering amplitudes in conformal fishnet theory / G. Korchemsky // JHEP. — 2019. — T. 08. — C. 028.

20. Kazakov, V. The Loom for General Fishnet CFTs / V. Kazakov, E. Olivucci. — 2022. — ^eK. — arXiv: 2212.09732 [hep-th].

21. Basso, B. Continuum limit of fishnet graphs and AdS sigma model / B. Basso,

D.-l. Zhong // JHEP. — 2019. — T. 01. — C. 002.

22. Polchinski, J. String theory. Vol. 1: An introduction to the bosonic string / J. Polchinski. — Cambridge University Press, 12.2007. — (Cambridge Monographs on Mathematical Physics).

23. Gromov, N. Derivation of the Holographic Dual of a Planar Conformal Field Theory in 4D / N. Gromov, A. Sever // Phys. Rev. Lett. — 2019. — T. 123, № 8. — C. 081602.

24. Gromov, N. Quantum fishchain in AdS5 / N. Gromov, A. Sever // JHEP. — 2019. - T. 10. - C. 085.

25. Gromov, N. Open fishchain in N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory / N. Gromov, J. Julius, N. Primi // JHEP. - 2021. - T. 07, № 127. - C. 127.

26. Alfimov, M. Chapter 13: N = 4 SYM Quantum Spectral Curve in BFKL Regime / M. Alfimov, N. Gromov, V. Kazakov // From the Past to the Future / nog peg. J. Bartels [h gp.]. - 2021. - C. 335-367.

27. Buchbinder, I. L. Leading low-energy effective action in 6 D, M = (1,1) SYM theory / I. L. Buchbinder, E. A. Ivanov, B. S. Merzlikin // JHEP. - 2018. -T. 09. - C. 039.

28. Buchbinder, I. L. Construction of 6D supersymmetric field models in N=(1,0) harmonic superspace / I. L. Buchbinder, N. G. Pletnev // Nucl. Phys. B. -2015. - T. 892. - C. 21-48.

29. Buchbinder, I. L. Low-energy 6 D, M = (1,1) SYM effective action beyond the leading approximation / I. L. Buchbinder, E. A. Ivanov, B. S. Merzlikin // Nucl. Phys. B. - 2020. - T. 954. - C. 114995.

30. The renormalization structure of 6 D, M = (1,0) supersymmetric higherderivative gauge theory / I. L. Buchbinder [h gp.] // Nucl. Phys. B. - 2020. -T. 961. - C. 115249.

31. On Two-Loop Divergences in 6D, M = (1,1) Supergauge Theory / A. S. Budekhina [h gp.] // Phys. Part. Nucl. Lett. - 2022. - T. 19, № 6. -C. 666-671.

32. Little String Amplitudes (and the Unreasonable Effectiveness of 6D SYM) / C.-M. Chang [h gp.] // JHEP. - 2014. - T. 12. - C. 176.

33. Bianchi, M. S. An All Order Identity between ABJM and N=4 SYM Four-Point Amplitudes / M. S. Bianchi, M. Leoni, S. Penati // JHEP. - 2012. -T. 04. - C. 045.

34. Bhattacharya, J. 6d Dual Conformal Symmetry and Minimal Volumes in AdS / J. Bhattacharya, A. E. Lipstein // JHEP. - 2016. - T. 12. - C. 105.

35. Lambert, N. (2,0) Lagrangian Structures / N. Lambert // Phys. Lett. B. -2019. - T. 798. - C. 134948.

36. Douglas, M. R. On D=5 super Yang-Mills theory and (2,0) theory / M. R. Douglas // JHEP. — 2011. — Т. 02. — С. 011.

37. Dual Conformal Symmetry and Iterative Integrals in Six Dimensions / R. M. Iakhibbaev [et al.] // Journal of High Energy Physics. — [Bristol, UK], England, 2020. — Vol. 2006. — P. 186.

38. Яхиббаев, Р. М. Обобщённые голографические фишчейны / Р. М. Яхиб-баев, Д. М. Толкачёв // ТМФ. — 2024. — Т. 20, № 3. — С. 475—491.

39. Amplitudes in fishnet theories in diverse dimensions and box ladder diagrams / R. M. Iakhibbaev [et al.] // Journal of High Energy Physics. [Bristol, UK], England, 2021. — Vol. 2021, no. 2. — P. 185.

40. Iakhibbaev, R. M. Four-point amplitudes in various fishnet theories / R. M. Iakhibbaev, D. M. Tolkachev // PEPAN. — Dubna, 2023. — Vol. 20, no. 3. — P. 257.

41. Sieg, C. On a CFT limit of planar 7,-deformed Я = 4 SYM theory / C. Sieg, M. Wilhelm // Phys. Lett. B. — 2016. — Т. 756. — С. 118—120.

42. Frolov, S. A. Gauge-string duality for (non)supersymmetric deformations of N=4 super Yang-Mills theory / S. A. Frolov, R. Roiban, A. A. Tseytlin // Nucl. Phys. B. — 2005. — Т. 731. — С. 1—44.

43. Pomoni, E. Large N Field Theory and AdS Tachyons / E. Pomoni, L. Rastelli // JHEP. — 2009. — Т. 04. — С. 020.

44. Leigh, R. G. Exactly marginal operators and duality in four-dimensional N=1 supersymmetric gauge theory / R. G. Leigh, M. J. Strassler // Nucl. Phys.

B. — 1995. — Т. 447. — С. 95—136.

45. Preti, M. STR: a Mathematica package for the method of uniqueness / M. Preti // Int. J. Mod. Phys. C. — 2020. — Т. 31, № 10. — С. 2050146.

46. Strongly 7-Deformed M = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory as an Integrable Conformal Field Theory / D. Grabner [и др.] // Phys. Rev. Lett. -2018. — Т. 120, № 11. — С. 111601.

47. Fokken, J. Non-conformality of 7¿-deformed M = 4 SYM theory / J. Fokken,

C. Sieg, M. Wilhelm // J. Phys. A. — 2014. — Т. 47. — С. 455401.

48. Kazakov, V. Biscalar Integrable Conformal Field Theories in Any Dimension / V. Kazakov, E. Olivucci // Phys. Rev. Lett. — 2018. — Т. 121, № 13. -С. 131601.

49. Derkachov, S. E. Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD: 1. Baxter Q operator and separation of variables / S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky, A. N. Manashov // Nucl. Phys. B. — 2001. — Т. 617. -С. 375—440.

50. Derkachov, S. Exactly solvable magnet of conformal spins in four dimensions / S. Derkachov, E. Olivucci // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Т. 125, № 3. — С. 031603.

51. Thermodynamic Bethe Ansatz for Biscalar Conformal Field Theories in any Dimension / B. Basso [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Т. 125, № 9. — С. 091601.

52. Shifman, M. Isotropic (Anti)ferromagnet: O(3) Sigma Model and Extensions, Including CP(N - 1) / M. Shifman //. — 2-е изд. — 2022. — С. 248—274.

53. Fradkin, E. S. Recent Developments in Conformal Invariant Quantum Field Theory / E. S. Fradkin, M. Y. Palchik // Phys. Rept. — 1978. — Т. 44. — С. 249—349.

54. Dolan, F. A. Conformal partial waves and the operator product expansion / F. A. Dolan, H. Osborn // Nucl. Phys. B. — 2004. — Т. 678. — С. 491—507.

55. Gross, D. J. All point correlation functions in SYK / D. J. Gross, V. Rosenhaus // JHEP. — 2017. — Т. 12. — С. 148.

56. Kotikov, A. V. New Results for a Two-Loop Massless Propagator-Type Feynman Diagram / A. V. Kotikov, S. Teber // Theor. Math. Phys. — 2018. — Т. 194, № 2. — С. 284—294.

57. Dutta Chowdhury, S. On the Regge limit of Fishnet correlators / S. Dutta Chowdhury, P. Haldar, K. Sen // JHEP. — 2019. — Т. 10. — С. 249.

58. Chowdhury, S. D. Regge amplitudes in Generalized Fishnet and Chiral Fishnet Theories / S. D. Chowdhury, P. Haldar, K. Sen. — 2020. — Авг.

59. Berenstein, D. E. Strings in flat space and pp waves from N=4 superYang-Mills / D. E. Berenstein, J. M. Maldacena, H. S. Nastase // JHEP. — 2002. -Т. 04. — С. 013.

60. Lubcke, M. Finite-size corrections to anomalous dimensions in N=4 SYM theory / M. Lubcke, K. Zarembo // JHEP. — 2004. — Т. 05. - С. 049.

61. Hoare, B. Integrable deformations of sigma models / B. Hoare //J. Phys. A. — 2022. — Т. 55, № 9. — С. 093001.

62. Gromov, N. The holographic dual of strongly 7-deformed M = 4 SYM theory: derivation, generalization, integrability and discrete reparametrization symmetry / N. Gromov, A. Sever // JHEP. — 2020. — Т. 02. — С. 035.

63. Dirac, P. Lectures on Quantum Mechanics / P. Dirac. — Dover Publications, 2001. — (Belfer Graduate School of Science, monograph series). — URL: https: //books.google.ru/books?id=GVwzb1rZW9kC.

64. Kleinert, H. Proper Dirac quantization of free particle on D-dimensional sphere / H. Kleinert, S. V. Shabanov // Phys. Lett. A. — 1997. — Т. 232. —

C. 327—332.

65. Simmons-Duffin, D. Projectors, Shadows, and Conformal Blocks /

D. Simmons-Duffin // JHEP. — 2014. — Т. 04. — С. 146.

66. Loebbert, F. Massive Fishnets / F. Loebbert, J. Miczajka // JHEP. — 2020. — Т. 12. — С. 197.

67. Domingo Gallegos, A. From Feynman graphs to Witten diagrams / A. Domingo Gallegos, U. Gürsoy, N. Zinnato //J. Phys. Conf. Ser. — 2022. — Т. 2191, № 1. — С. 012012.

68. Divergences in maximal supersymmetric Yang-Mills theories in diverse dimensions / L. V. Bork [и др.] // JHEP. — 2015. — Т. 11. — С. 059.

69. Anastasiou, C. The On-shell massless planar double box diagram with an irreducible numerator / C. Anastasiou, J. Tausk, M. Tejeda-Yeomans // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. — 2000. — Т. 89. — С. 262—267.

70. Bork, L. On the amplitudes in N=(1,1) D=6 SYM / L. Bork, D. Kazakov, D. Vlasenko // JHEP. — 2013. — Т. 11. — С. 065.

71. Panzer, E. Feynman integrals and hyperlogarithms : дис. ... канд. / Panzer Erik. — Humboldt U., 2015.

72. Gluza, J. AMBRE: A Mathematica package for the construction of Mellin-Barnes representations for Feynman integrals / J. Gluza, K. Kajda, T. Riemann // Comput. Phys. Commun. - 2007. - T. 177. - C. 879-893.

73. Czakon, M. Automatized analytic continuation of Mellin-Barnes integrals / M. Czakon // Comput. Phys. Commun. - 2006. - T. 175. - C. 559-571.

74. Smirnov, A. V. On the Resolution of Singularities of Multiple Mellin-Barnes Integrals / A. V. Smirnov, V. A. Smirnov // Eur. Phys. J. C. - 2009. -T. 62. - C. 445-449.

75. Ochman, M. MBsums - a Mathematica package for the representation of Mellin-Barnes integrals by multiple sums / M. Ochman, T. Riemann // Acta Phys. Polon. B. - 2015. - T. 46, № 11. - C. 2117.

76. Maitre, D. HPL, a mathematica implementation of the harmonic polylogarithms / D. Maitre // Comput. Phys. Commun. - 2006. - T. 174. -C. 222-240.

77. Remiddi, E. Harmonic polylogarithms / E. Remiddi, J. Vermaseren // Int. J. Mod. Phys. A. - 2000. - T. 15. - C. 725-754.

78. Smirnov, V. A. Analytic tools for Feynman integrals / V. A. Smirnov // Springer Tracts Mod. Phys. - 2012. - T. 250. - C. 1-296.

79. Chicherin, D. Conformal anomaly of generalized form factors and finite loop integrals / D. Chicherin, E. Sokatchev // JHEP. - 2018. - T. 04. - C. 082.

80. Apostol, T. M. Zeta and Related Functions, in: NIST Handbook of Mathematical Functions. / T. M. Apostol. - Cambridge University Press, 2010.

81. Gribov, V. The theory of complex angular momenta: Gribov lectures on theoretical physics / V. Gribov. - Cambridge University Press, 06.2007. -(Cambridge Monographs on Mathematical Physics).

82. Barone, V. High-Energy Particle Diffraction. T. v.565 / V. Barone, E. Predazzi. - Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2002. - (Texts and Monographs in Physics).

83. Dennen, T. Dual Conformal Properties of Six-Dimensional Maximal Super Yang-Mills Amplitudes / T. Dennen, Y.-t. Huang // JHEP. - 2011. -T. 01. - C. 140.

84. Bork, L. Challenges of D = 6 M = (1,1) SYM theory / L. Bork, D. Kazakov, D. Vlasenko // Phys. Lett. B. — 2014. — Т. 734. — С. 111—115.

85. Ferreira, E. New properties of the Lerch's transcendent / E. Ferreira, A. Kohara, J. Sesma // Journal of Number Theory. — 2017. — Т. 172. — С. 21—31.

86. Alday, L. F. Gluon scattering amplitudes at strong coupling / L. F. Alday, J. M. Maldacena // JHEP. — 2007. — Т. 06. — С. 064.

87. Bern, Z. Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond / Z. Bern, L. J. Dixon, V. A. Smirnov // Phys. Rev. — 2005. — Т. D72. — С. 085001.

88. Lambert, N. Deconstructing (2,0) Proposals / N. Lambert, C. Papageorgakis, M. Schmidt-Sommerfeld // Phys. Rev. D. — 2013. — Т. 88, № 2. — С. 026007.

89. Usyukina, N. I. Exact results for three and four point ladder diagrams with an arbitrary number of rungs / N. I. Usyukina, A. I. Davydychev // Phys. Lett. B. — 1993. — Т. 305. — С. 136—143.

90. Scattering into the fifth dimension of N=4 super Yang-Mills / L. F. Alday [и др.] // JHEP. — 2010. — Т. 01. — С. 077.

91. Usyukina, N. I. Some exact results for two loop diagrams with three and four external lines / N. I. Usyukina, A. I. Davydychev // Phys. Atom. Nucl. / под ред. B. B. Levchenko. — 1993. — Т. 56. — С. 1553—1557.

92. The Four-Loop Planar Amplitude and Cusp Anomalous Dimension in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory / Z. Bern [и др.] // Phys. Rev. — 2007. — Т. D75. — С. 085010.

93. Nguyen, D. New Dual Conformally Invariant Off-Shell Integrals / D. Nguyen, M. Spradlin, A. Volovich // Phys. Rev. D. — 2008. — Т. 77. — С. 025018.

94. Bern, Z. Two-loop g —> gg splitting amplitudes in QCD / Z. Bern, L. J. Dixon, D. A. Kosower // JHEP. — 2004. — Т. 08. — С. 012.

95. Planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory / C. Anastasiou [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Т. 91. — С. 251602.

96. Higgs-regularized three-loop four-gluon amplitude in N=4 SYM: exponentiation and Regge limits / J. M. Henn [и др.] // JHEP. — 2010. — Т. 04. — С. 038.

97. Drummond, J. M. Conformal properties of four-gluon planar amplitudes and Wilson loops j J. M. Drummond, G. P. Korchemsky, E. Sokatchev jj Nucl. Phys. — 2008. — Т. B795. — С. 385—408.

98. Bianchi, M. S. On the ABJM four-point amplitude at three loops and BDS exponentiation j M. S. Bianchi, M. Leoni jj JHEP. — 2014. — Т. 11. -

C. 077.

99. Vancea, I. V. Fractional Particle and Sigma Model j I. V. Vancea. — 2023. — Сент. — arXiv: 2309.03054 [hep-th].

100. Kazakov, D. I. Leading all-loop quantum contribution to the effective potential in general scalar field theory j D. I. Kazakov, R. M. Iakhibbaev,

D. M. Tolkachev jj JHEP. — 2023. — Т. 04. — С. 128.

101. Kazakov, D. I. Leading all-loop quantum contribution to the effective potential in the inflationary cosmology j D. I. Kazakov, R. M. Iakhibbaev, D. M. Tolkachev jj JCAP. — 2023. — Т. 09. — С. 049.

102. Amplitudes in fishnet theories in diverse dimensions and Box ladder diagrams j L. V. Bork [и др.] jj JHEP. — 2021. — Т. 02. — С. 185.

103. Dual Conformal Symmetry and Iterative Integrals in Six Dimensions j L. V. Bork [и др.] jj JHEP. — 2020. — Т. 06. — С. 186.

104. Mamroud, O. RG stability of integrable fishnet models j O. Mamroud, G. Torrents jj JHEP. — 2017. — Т. 06. — С. 012.

105. Maldacena, J. M. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity j J. M. Maldacena jj Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — Т. 2. — С. 231—252.

106. Harmonic Analysis: On the n-Dimensional Lorentz Group and Its Application to Conformal Quantum Field Theory j V. Dobrev [и др.]. — Springer Berlin Heidelberg, 1977. — (Lecture Notes in Physics).

107. Polchinski, J. The Spectrum in the Sachdev-Ye-Kitaev Model j J. Polchinski, V. Rosenhaus jj JHEP. — 2016. — Т. 04. — С. 001.

108. Broadhurst, D. J. Exponential suppression with four legs and an infinity of loops j D. J. Broadhurst, A. I. Davydychev jj Nucl. Phys. B Proc. Suppl. j под ред. J. Blumlein, S.-O. Moch, T. Riemann. — 2010. — Т. 205j206. — С. 326—330.

109. Scaling function in AdS/CFT from the O(6) sigma model / Z. Bajnok [и др.] // Nucl. Phys. B. — 2009. — Т. 811. — С. 438—462.

110. Preti, M. STR: a Mathematica package for the method of uniqueness / M. Preti // Int. J. Mod. Phys. C. — 2020. — Т. 31, № 10. — С. 2050146.

111. Remiddi, E. Harmonic polylogarithms / E. Remiddi, J. A. M. Vermaseren // Int. J. Mod. Phys. A. — 2000. — Т. 15. — С. 725—754.

112. Erlich, J. How Well Does AdS/QCD Describe QCD? / J. Erlich // Int. J. Mod. Phys. A / под ред. M. Peloso, A. Vainshtein. — 2010. — Т. 25. -С. 411—421.

113. Chowdhury, S. D. Regge amplitudes in generalized fishnet and chiral fishnet theories / S. D. Chowdhury, P. Haldar, K. Sen // JHEP. — 2020. — Т. 12. — С. 117.

114. Oz, Y. Gluon scattering in deformed Я = 4 SYM / Y. Oz, S. Theisen, S. Yankielowicz // Physics Letters B. — 2008. — Т. 662, № 3. — С. 297—301.

115. Ivanov, E. A. Renormalizable supersymmetric gauge theory in six dimensions / E. A. Ivanov, A. V. Smilga, B. M. Zupnik // Nucl. Phys. B. — 2005. — Т. 726. — С. 131—148.

116. Remiddi, E. Harmonic polylogarithms / E. Remiddi, J. A. M. Vermaseren // Int. J. Mod. Phys. A. — 2000. — Т. 15. — С. 725—754.

117. Apostol, T. M. Zeta and Related Functions, in: NIST Handbook of Mathematical Functions. / T. M. Apostol. — Cambridge University Press, 2010.

118. Dymarsky, A. Perturbative search for fixed lines in large N gauge theories / A. Dymarsky, I. Klebanov, R. Roiban // JHEP. — 2005. — Т. 08. — С. 011.

119. Pomoni, E. Large N Field Theory and AdS Tachyons / E. Pomoni, L. Rastelli // JHEP. — 2009. — Т. 04. — С. 020.

120. Usyukina, N. I. An Approach to the evaluation of three and four point ladder diagrams / N. I. Usyukina, A. I. Davydychev // Phys. Lett. B. — 1993. — Т. 298. — С. 363—370.

121. Drummond, J. M. Conformal properties of four-gluon planar amplitudes and Wilson loops / J. M. Drummond, G. P. Korchemsky, E. Sokatchev // Nucl. Phys. — 2008. — Т. B795. — С. 385—408.

122. Brandhuber, A. MHV amplitudes in N=4 super Yang-Mills and Wilson loops / A. Brandhuber, P. Heslop, G. Travaglini // Nucl. Phys. — 2008. — T. B794. -C. 231—243.

123. The Two-Loop Six-Gluon MHV Amplitude in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory / Z. Bern [h gp.] // Phys. Rev. — 2008. — T. D78. -C. 045007.

124. Drummond, J. M. Yangian symmetry of scattering amplitudes in N=4 super Yang-Mills theory / J. M. Drummond, J. M. Henn, J. Plefka // JHEP. — 2009. — T. 05. — C. 046.

125. Generalized unitarity for N=4 super-amplitudes / J. M. Drummond [h gp.] // Nucl. Phys. — 2013. — T. B869. — C. 452—492.

126. Derkachov, S. E. The R-matrix factorization, Q-operator, and variable separation in the case of the XXX spin chain with the SL(2,C) symmetry group / S. E. Derkachov // Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika. — 2011. — T. 169, № 2. — C. 204—217.

127. Regge, T. Introduction to complex orbital momenta / T. Regge // Nuovo Cim. — 1959. — T. 14. — C. 951.

128. Costa, M. S. Conformal Regge theory / M. S. Costa, V. Goncalves, J. Penedones // JHEP. — 2012. — T. 12. — C. 091.

129. Elvang, H. Scattering Amplitudes / H. Elvang, Y.-t. Huang. — 2013. — arXiv: 1308.1697 [hep-th].

130. Wetnzterl, S. Tales of 1001 Gluons / S. Weinzierl //. T. 676. — 2017. — C. 1—101. — arXiv: 1610.05318 [hep-th].

131. The Five-Loop Four-Point Amplitude of N=4 super-Yang-Mills Theory / Z. Bern [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2012. — T. 109. — C. 241602.

132. Hexagon Wilson loop = six-gluon MHV amplitude / J. M. Drummond [h gp.] // Nucl. Phys. B. — 2009. — T. 815. — C. 142—173.

133. Tarasov, O. V. Massless on-shell box integral with arbitrary powers of propagators / O. V. Tarasov // J. Phys. A. — 2018. — T. 51, № 27. — C. 275401.

134. Bogoliubov, N. N. Introduction To The Theory Of Quantized Fields / N. N. Bogoliubov, D. Shirkov. — Moscow : Nauka, 1957. — English transl.: Introduction to the Theory of Quantized Fields, 3rd ed., New York, Wiley, 1980.

135. Bogoliubow, N. N. Über die Multiplikation der Kausalfunktionen in der Quantentheorie der Felder / N. N. Bogoliubow, O. S. Parasiuk // Acta Mathematica. — 1957. — T. 97. — C. 227—266.

Приложение А Обозначения, вспомогательные формулы и функции

А.1 Вспомогательные формулы и определения

Для удобства в работе используется евклидова сигнатура метрики. Пропагаторы в импульсном и координатном пространствах задаются в настоящей работе с помощью соотношения

1 1 -а) Г Л(А.1)

(ж?2)а 4 «^/2 Г (а) у (к2)^/2-« Соотношения звезда-треугольник даются следующим выражением [14; 15]

[ „о Ь „с _ Л/2Г (2 + 2) Г (( + 2) Г (2 + 2) „-о-<*„-ь-<*„-с-<* (Д2) у а Х0 Ж01Х02Х03 _ ^ Г а^ Г (-6) Г (-2 Х23 Х13 (А2)

когда ж3 ^ то это выражение упрощается до

/Г (а + ^ г ^ + ^ г (_а_6_ЛА

^а _ Л/21 V 2 + 2/ 1 У2 + 2/ 1 У 2 2 2) ^а+Ь+Л (до)

Жо2 г (_() г(_4)Г (2 + ( + ^ (А0)

Данные выражения могут быть обобщены на более общий случай [12; 17].

А.2 Петлевые фейнмановские интегралы

В данном подразделе мы приведем наиболее простые фейнмановские интегралы на массовой поверхности, а также некоторые точные формулы для их вычисления вне массовой поверхности

Однопетлевой безмассовый интеграл типа "пузырь" в произвольном числе измерений с произвольными индексами

Г Л _ (А4)

_ ЬЛ ( „\2(«+ /-Л/2) (А.4)

к2«(ц -к)2/3 (-д)((«+/-^2)

где

G (а о) Г(а + 0 - d/2)r(d/2 -а)Г(1/2 -Q) Gl{(1,(5) = Г(а)Г(0 )r(d -а -0) (А'5)

Безмассовая диаграмма типа треугольник:

( 'Л = (-92) 1(-2a-23-2l+<i)G(a,0,7) (А.6)

,/ ( к - д)2"(к + д)2,к2-'

г („я,) г (-а-7 +1) г (-/-7 + I)г (« + / + 7 - I) (А7, Г (а/7) =-Г(а)Г(//)Г0 -а -/ - 7)- (А7)

Точная безмассовая диаграмма имеет достаточно сложный вид, её можно найти

в работе [133].

Функция треугольника Ф — это функция Усюкиной-Давыдычева [120] её формы были использованы при изучении интегралов в хиггсовской регуляризации

ф(^) = 1

~ /Т • / Ч Т • / Ч Ч п V л 1 + PV

2(Li2(-/rn) + Li2(-/w)) + log - log - ■ — +

u 1 + pu

n2'

+ log pu log pv + —

3

(А.8)

причем функции определены

6(u,v) = ^(1 - и - v)2 - 4uv (А.9)

а также

2

p(u,v) = --— (А.10)

4 y 1 - u - v + 0

причем u и v это обычные конформные переменные [120]:

2 2 2 2

u = ^t4, ^ = (А.11)

2 2 2 2

х13х24 х13х24

Непосредственными вычислениями можно получить, что функция Усюки-ной-Давыдычева для произвольного порядка лестничных диаграмм задается функцией [15; 89]:

Ф4%Д>) = 1(± £ 0.-[^С]), (Ч(-Pu) + (-!№,(-«,)) + + 2 g g ^щ!--) i ^ «*+o), (А.12)

А.3 Специальные функции

А.3.1 Гармонические числа и полилогарифмы

Гармонические числа могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения

Яп+1 = ЯП + . (А.13) п + 1

с помощью этого соотношения можно найти

Ф(п) = Я„-1 - 7. (А.14)

где Ф(п) это полигамма функции (производные от гамма-функции). Таким образом

7 = lim (Яп - ln(n)), (А.15) и можно установить соотношения следующего рода

Я1-а -Яа = ^ ctg (та) - —+ — (А.16)

а 1 - а

Например, мы можем использовать следующие формулы

00

п=1

00

п=1

00

п=1

00

п=1

00

п=1

Яп- 1 п2 = С(3),

Яп- 1 п3 = —

Яп- 1 п3 = —

ЯП- 1 1 п2 = >.

Яп- 1 -1-3 п3 = С(2)С(3) -

3 2(

(А.17) (А.18) (А.19) (А.20) (А.21)

Или, например, для более общих рядов

п

Е#п-1 = (А.22)

п=1

00

п

^Яп-1 -з = 5*2,2 , (А.23)

(А.24)

п=1

причем здесь приведены нильсеновские полилогарифмы:

5а+1,ь = I у 1п6(1 - (А.25)

Можно ещё ввести более общие обозначения для гармонических полилогарифмов. Гармонические полилогарифмы Н (а1,...,а^; ж) — это функции одной переменной х, обозначаемые вектором а = (а1,...,а^). Размерность к вектора а называется весом гармонического полилогарифма. Определим функции

Л(х) = 1

1 — х

/о(х) = -ж

/—1(х) = (А.26)

Гармонические полилогарифмы определяются рекурсивно через интегрирование этих функций. Для веса 1 мы имеем

Н(1; х) = I = /= — 1°ё(- — х)

оо Н(0; х) = 1о§(х)

Н(—1;ж) = У /—1(^)1 = /* = 1о^1 + ж), (А.27)

оо

и для высших весов

Н (п0;ж) =

-!

X

Н(а,а!,...,А; х) = J /а(*)Н(а^, (А.28)

о

где мы ввели обозначение

ni = ^^г, and ai,.,k = ai,...,ak.

n

Для гармонических многочленов с ненулевым крайним правым индексом в [111] введено полезное обозначение: отбрасывая нули в векторе а, к абсолютному значению следующего правого ненулевого индекса за каждый отброшенный 0 прибавляется 1. Это дает, например, (3, - 2) для (0,0,1,0, - 1). Мы можем распространить эту нотацию на все индексные векторы, разрешив нулям занимать место в крайней правой части нового индексного вектора. В общем случае все эти функции являются формами гипергеометрической функции в тех или иных пределах.

А.3.2 Функция Лерха

Кратко рассмотрим определение и основные свойства трансцендентных дзета-функций Лерха. Трансцендентная функция Лерха может быть также определен как следующий ряд:

'П

ф( 2, $<а) = Ет^л;, (А.29)

п=0 к '

где: а = 0, - 1, - 2,..., < 1 или = 1 и Яей > 1. Другие значения ^ также могут быть рассмотрены с помощью аналитического продолжения. Это можно сделать с помощью контурного интеграла следующего вида:

Ф( *,*,а) = ^ Г" 6Хр(-а*|, (А.30)

где Яе в > 0, Яе а > 0 и г е С/[1, + то).

В некоторых частных случаях функция Лерха может быть сведен к другим специальным функциям. А именно,

а) полилогарифм является частным случаем дзеты-функции Лерха, заданной как

гФ(г ,5,1) = Ы 8 (г), (А.31)

b) дзета-функция Римана задается как

Ф(М,1) = С( 4 (А.32)

c) полигамма-функция также может быть представлена как частный случай функции Лерха

(_1)5+1

Ф(1," + М) = +1)ф(п)( ^ (А.33)

Используя интегральное представление (А.30), можно доказать [85] следующее соотношение между дзета-функцией Лерха и функцией обратного аргумента:

Ф (г, 1, а) = 1Ф 1,1,1 — а) + жа (С^жа — г й§п(()), (А.34)

где ( = а^(— 1п^).

Существует несколько асимптотических формул для дзета-функции Лер-

ха. Одно из этих соотношений имеет вид:

N—1 , ^

Ф( *, а) = + V ( —п(^ + 0(а), (А.35)

1 ' 1 — г а5 ^ -! ап+5 1 ' к '

п=1

где Ащ а < ж, й Е С, ^ Е Са, Са = С/[1, + то) при Яе а > 0 ог Са = < 1 1£ Яеа < 0 и (й)п является символом Покхаммера. В нашем случае мы используем конкретный вариант этого соотношения:

Ф(г, 1, а) = + 0(а"2). (А.36)

1 — ^ а

Приложение Б

Вычисление фиксированной точки для шестимерной

фишнет-модели

Здесь мы рассмотрим двухтрассовую четырехточечную цветоупорядочен-ную амплитуду для ф2-сектора. Мы исследуем условие конечности ИУ для этой амплитуды и найдем неподвижную точку для рассматриваемой в основном тексте фишнет-теории до двух петель по теории возмущений.

В [48] было отмечено, что в размерности (1 часть лагранжиана с двойным следом должна иметь вид:

С^/(4ж)в/2 = о^г (ф^) (ф^ + о^г (ф2ф2) (0202) +

= £ (tг ( Ф1Ф2) tг (ф*ф2) + (ф*ф2) 1г (фхф2)), (Б.1)

и что в "неоднородном"случае ш = (1/4 часть о должна отсутствовать, так как о становится размерной, что противоречит конформной инвариантности теории. Мы видим, что, действительно, член ^ (ф\ф\) ^ (ф*ф*) не нужен в силу ультрафиолетовой конечности. ф-сектора на уровне четырехточечных амплитуд, но амплитуды в ф2-секторе, вероятно, потребуют нетривиальных взаимодействий двойного следа, чтобы теория была конформной. Односледовый вклад в амплитуду неканоничной части лагранжиана с ф2-сектора дается как:

АаЛ. = ^(¿)+^)) + ... (Б.2)

where

( ) i'll Г(2 - е)2Г(-1 + е)( ^ (Б3)

v(s*) = J (Т+Ш = —rd-l-— ) . (Б.3)

Этот вклад является ультрафиолетовой дивергенцией, и на однопетлевом уровне сингулярная часть As.t. имеет вид

sing. As,t, = . (Б.4)

6 е

Мы предлагаем решение этой проблемы путем добавления членов двойного следа ф2-взаимодействия с производными ~ д2 Ьг(ф2ф2)^(ф*ф*). Это позволит получить безразмерную константу связи перед этими членами. В общем случае существует три не независимых, в силу ограничения на полную производную,

способа распределения производной между 02-полями. Мы выбираем их следующим образом:

Для нахождения решения фиксированной точки «¿(£) можно рассмотреть перенормировку двухточечных корреляторов двойного следа, аналогичную [46]. Однако мы хотим пойти более коротким путем и попытаемся найти решение стационарной точки непосредственно из условия УФ-конечности четырехточечной 02-секторной амплитуды с ногами вне массовой поверхности, по крайней мере, в нижних порядках по теории возмущений. Действительно, сама амплитуда задается теми же диаграммами, что и корреляционная функция, но с парами внешних ножек, приклеенных к точкам. Поэтому мы ожидаем, что УФ-свойства обоих объектов тесно связаны. Отметим также, что вопрос о существовании общего набора собственных функций между этим новым модифицированным оператором V (т.е. двухследовыми операторами 02 с производными) и должен быть исследован отдельно. этим новым модифицированным оператором V (т.е. двухследовыми операторами 02 с производными) и должен быть исследован отдельно.

Таким образом, чтобы сократить УФ-полюс в (Б.2), необходимо точно настроить константы а» в двухследовой части лагранжиана:

Коэффициенты а^- можно найти из условия сокращения УФ-полюсов в амплитуде с моментами р2 = р2 = 0, = = 0. Вершины, связанные с двухследовой частью, показаны на рис. Б.1 где двойные засечки на линии — квадратичные имульсы, а парные засечки на двух соседних линиях —- свернутые импульсы. Однопетлевые 02-диаграммы поля, порожденные этими вершинами, имеют следующую общую структуру:

где N (д,рз,р4) обозначает числитель каждого интеграла. Удобно разделить

«1(0*г (02<9202) *г (0202) + О2(0*г (02^02) *Г (0*^) + С.С. (Б.5)

а» (0 = «Ы4 + «Ы6 + ... + агД2п + ...

(Б.6)

все эти диаграммы на три подмножества: порожденное (<92)(<92), порожденное (<9<9)(<9<9) и порожденное ( <92)(<9<9) вершинами, соответственно.

«1 (C)tr (0202) tr ~

"2(C)tr {ф2д»ф2) tr (4^4) ~

Рисунок Б.1 — Вершинные функции для двухследовых вкладов.

Рисунок Б.2 — Набор 1-петлевых интегралов от лагранжиана двойного следа,

дающих вклад в амплитуду Aq2q2.

В случае вклада (д2)(д2) соответствующие диаграммы Фейнмана представлены на рис.Б.2, а соответствующий числитель определяется:

£ N = + (к+Р4 )(«2 + Q2) + (92 )2 + (Q2 )2 + 12Q2, (б.8)

where Q = (q + К). The result is given by

2 ¿4 S - 3P2 - 3P2 sing. Aq2q2 = -—-. (Б.9)

В случае диаграмм (дд)(дд) соответствующий числитель имеет вид

Ni = (qp3 + qp2 + Qp 4 + Qp 1 + qQ)qQ + qP34P2 + QP4QP1 + QPzQp 1+

+ qp2Qp4 + P1P2w4 + qp2Qp 1 + Qv&vz, (Б.10)

Рисунок Б.3 — Набор 1-петлевых интегралов от лагранжиана двойного следа,

дающих вклад в амплитуду ) •

а диаграммы приведены на рисунке Б.3. Это позволяет вычислить сингулярную часть соответствующей суммы диаграмм:

sing. Л(вв)(вв) = +f + ' (Б.11)

Наконец, в случае диаграмм (д2)(д д) соответствующий числитель имеет вид

У]^ = (^2 + ^3 + 1 + + Р1Р2 + W4 )(Q2 + ^) +

+ (^3 + i>4) 3Q + (<?2 + Q2)<zQ, (Б.12)

а сами диаграммы представлены на рис.Б.4. Это позволяет вычислить сингулярную часть соответствующей суммы диаграмм:

5 s

(аа) = «1,2^2,2^^-. (Б.13)

Рисунок Б.4 — Набор 1-петлевых интегралов от лагранжиана двойного следа,

дающих вклад в амплитуду А(02).

Объединив все вклады, можно увидеть, что сингулярная часть двухсле-дового вклада в амплитуду имеет вид:

£2

А^. = синг.часть (Аа2^ + А^)^ + А^) = — ((4а2 + 10а2а1 + За!) в

—3 (4а2 — «2Ш + Й)) . (Б.14)

Здесь мы используем соотношение й + ^ + п = £>3 + р2 между переменными Мандельштама. Учитывая односледовую часть амплитуды, можно получить:

£4 £2

А^. + АзЛ, = + и) + ^ ((4а2 + 10а2а1 + За2) 5 — 3 (4а2 — а2) (р2 + р4)) .

6 6 (Б.15)

Это позволяет получить условие неподвижной точки для двух параметров ах,2 и а2,2 на однопетлевом порядке, требующее УФ-сокращения:

22

I X

(Б.16)

{

3 (4 а2 — а2) =2

2

4 а2 + 10 а2а! + 3 а2 = 2.

Заметим, что здесь имеются два свободных параметра и два условия, которые делают систему однозначно разрешимой. Здесь в игру вступают имульсы и р4, находящиеся вне массовой поверхности. Мы имеем пару сопряженных решений, которые задаются так:

а1,2 = т 6л/3 —23); (Б17)

«2,2 = Т 108 (^73 — 5) V 15/73 — 69

и

«1,2 = Т73 (5^73 + 23);

- з у-у- 1 —__(Б.18)

«2,2 = ± 108« (^ + 5)715^/73 + 69

Отметим, что эти решения достаточны для УФ-конечности на уровне двух петель. Действительно, рассмотрим действие операции (см. подробнее и условно [134; 135]) на двухпетлевую амплитуду А1=2. Результат будет получен следующим образом

- £(кк%)

К' Al=2 = ( 1 - У^(КК% ) Al=2. (Б.19)

По определению К' Al=2 должно быть равно локальному выражению. В нашем случае (КК')7 Al=2 может содержать члены 1/е2, 1/е и log /е. Однако если (КK')7Al=2 является локальной, то это означает, что и Al=2 может содержать только локальные полюса 1/ . Можно видеть, что на самом деле

КП% А1-2 — синг.часть. (Аал. + Аsi.)... (Б.20)

7

и равна нулю по условию конечности одной петли. Это означает, что А1-2 при условии однопетлевой конечности может содержать только полюс 1/е, который, в свою очередь, может быть сокращён в сумме с однопетлевым результатом путем добавления двухследовых членов для разложения по £ более высоких порядков.

В качестве альтернативы можно считать, что р3 = р\ = 0 и зафиксировать однопетлевый вклад в решении УФ фиксированной точки требованием сокращения нелокальных членов. Кроме того, как уже отмечалось ранее, отсутствия условия массовой оболочки на внешних линиях делает рассмотрение амплитуды очень похожим на рассмотрение амплитуды очень похожим на рассмотрение двухточечных корреляционных функций [46], т.е. каждая диаграмма, дающая вклад в амплитуду с ножками вне массовой оболочке, может рассматриваться как подграф диаграммы, дающей вклад в корреляционную функцию.

Прямые вычисления в двухпетлевом случае довольно сложны, поскольку приходится учитывать — 300 индивидуальных диаграмм. Ситуация на более высоких петлях еще более запутанная, но, используя интуицию как в случае с 1 = 4-моделями, можно надеяться, что аналогичная картина сокращения будет

иметь место во всех порядках в теории возмущений. Действительно, цветовая структура, а также топология наших диаграмм = 6 идентичны аналогам из (1 = 4, поэтому мы считаем, что общие аргументы [118; 119] могут быть применены и в ситуации 1 = 6.

Приложение В Точные корреляционные функции в фишнет-моделях

Точная корреляционная функция в соответствии с формулами (1.74), (1.75) может быть представлена в виде суммы:

( -7-(и,У ) (В.1)

^ о С2( )1 -

откуда можно получить структурные константы в соответствии с интегрированием по вычетам по аномальной размерности

<■« " Ч(В-)

а К является кинематическим фактором, который может иметь разный вид в соответствии с аномальными размерностями полей (параметром деформации фишнет-решетки). Ввиду этого параметра можно корреляционную функцию сокращенно выписать, оставив лишь элементы, идущие от операторного разложения:

д (и,у) = С/К (В.3)

Приведём пример конкретного вида структурных констант в пределе слабой константы связи для оператора твиста-2:

~2) _ 5(Я + 1)г(5 + 2)У С4 (2(5 + 2)Н

_-Г(25Ч2)-Г1 + (Я + 1)(5 + 2)2(2(5 + 2)Н-1-

-2(5 + 2) Н25+1 - 35 + 8(5 + 2) 1о^2) - 4)) + 0((,6) (В.4)

и для операторов твиста-4

5 N 2

Г(2 5 + 4) ^ (5 + 2)(5 + 3)

+1 + 4^(2))) + 0(£6) (В.5)

также для одномагнонного случая

с(6,2) Г (2 + 5)2 /1 ?(-1)* (^ - 2Н*+1 + 2Н2^) . +о 6) (В6)

_ Г(25 + 4) 1 (5+2) 1 +0(Л ) (В 6)

^ _(5+1)(5+2)Г!5+5) (1 -,о. *I,,, Н+1 - Н2.+3+

А также в пределе сильной константы связи (здесь удобнее рассмотреть предел А ^ то)

- =2—А—1 (1 — 2А + 0 (А-2)) ^ — А))

СТ2' = 1 ^ + О А—2 — А) (В.7)

Конформный блок для шестимерных моделей имеет достаточно громоздкий вид [54]:

_5+3 А — 4 (А + 5 )2

5 + 1 11 А — 216(А + 5 — 1)(А + 5 + 1) (А — 4)(5 + 3) (А — 5 — 4)2 + (А — 2)(5 + 1) 16(А — 5 — 5)(А — 5 — 3)>02'

(В.8)

причем

( а _) 1 (Д—Я)

(ж — 2;)3

2^2 (А + 5) + п, 2 (А + 5) + п; А + 5 + 2п; а^

х 1 (А — 5) — 3 + т, 1 (А — 5) — 3 + т; А — 5 — 6 + 2т; ^ — — (ж ^ г)}.

(В.9)

где конформные кинематические переменные параметризованы следующим образом и = аг, г> = (1 — ж)(1 — 2;). В пределе и ^ 1, г> ^ 0 или ж ^ 0, 2; ^ 0 конформный блок упрощается до вида

ЗД,5 * и1 (д—®) (—1 (1 — г,))5 (* + *,; А + 1 — •«)) (В.10)

В отдельных случаях моделей шестимерный конформный блок может задаваться как производная по конформным переменным от четырехмерного конформного блока. Таким образом (В.1) задает поведение корреляционных функций в произвольном кинематическом режиме в любом пределе константы связи.