Слабые распады дважды тяжелых барионов в ковариантной модели кварков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Тюлемисов Жомарт

• Тюлемисов Жомарт
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Тюлемисов Жомарт

1.1 Лагранжиан взаимодействия

1.2 Условие связности

1.3 Алгоритм вычислений

1.4 Параметры модели

1.5 Выводы по главе

2 Сильный распад А-изобары

2.1 Эффективный лагранжиан и массовый оператор

2.2 Распад А ^ ширина и формфактор

2.3 Численные значения

2.4 Выводы по главе

3 Слабые распады дважды очарованных барионов

3.1 Топология нелептонных Кабиббо-разрешенных распадов дважды очарованных барионов

3.2 Матричный элемент и ширина распада

3.3 Интерполяционные токи

3.4 Поляризация, епиральноеть и угловое распределение слабых распадов , , , ,

3.5 Полулептонные распады

3.6 Факторизуемые нелептонные распады

3.7 Нефакторизуемые вклады в нелептонные распады

3.8 Численные результаты

4 Слабый распад Л гиперона

4.1 Характеристика слабых распадов Л-гиперонов

4.2 Матричные элементы, спиральные амплитуды и ширина

4.3 Численные результаты

Заключение

Список литературы

73

Приложение А

83

Введение

В 1964 году Гелл-Манн предложил [1] теорию кварков — фундаментальных частиц, из которых состоит материя. Это было сделано на основе наблюдения того, что успешный восьмеричный путь классификации адронов можно было бы объяснить естественным образом, если предположить, что адроны состоят либо из пары кварк-антикварк, либо из трех кварков (или трех антикварков), В том же году Джордж Цвейг пришел к такому же выводу независимо [2,3], анализируя подавленные сильные распады мезона. Он назвал три составляющих "aces (тузы)".

Существование четвертого кварка обсуждалось рядом авторов примерно в 1964 году, например, Джеймсом Бьоркеном и Шелдоном Глэшоу [4]. Но доказательств его существования было мало. Его предсказание обычно приписывают Глэшоу-Илпопулосу-Майанн [5], которые предложили так называемый механизм GIM, Данный механизм запрещает нейтральные токи, изменяющие аромат, на уровне лагранжиана и древесных диаграмм. Это объясняет подавление распадов, идущих за счет слабых взаимодействий, изменяющих странность в 2 раза, т.е. переходы с AS = 2 сильно подавлены. Первая частица, содержащая очарованные кварк и антикварк, была открыта в 1974 году и получила название J/^-мезон,

В 2005 году началась новая эра в исследованиях дважды очарованных барионов, когда коллаборация SELEX сообщила о наблюдении состояния со спином 1/2, названного барионом, с массой 3518 ± 3 МэВ [6], SELEX (Сегментированный большой барионный спектрометр) — это эксперимент с фиксированной целью в Фермилаб, Было высказано предположение, что это дважды очарованное барионное состояние имеет изоспин- 2 и состоит из (с1ее)-кварков, а его изоепиновый партнер S+++ имеет кварковый состав (иее). Однако, другие коллаборации: BABAR [7], Belle [8] и LHCb [9] не нашли доказательств наличия состояний S++ и S+c+ в предполагаемой области масс — 3500 МэВ, В 2017 г, коллаборация LHCb обнаружила дважды очарованное состояние см, работы [10-12], в спектре инвариантных масс частиц в конечном состоянии (Л+ ^ К), LHCb — это эксперимент по физике 6-кварка на Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе, Было измерено его время жизни г(£++) = О.256+0;02^стат)±О.О14(сист) псек [11], а масса данного состояния была рав-

на 3621,40 ± 0, 72 ± 0, 27± 0,14 МэВ, что на ~

очарованного барионного состояния обнаруженного БЕЬЕХ, что делало маловероятным считать эти два состояния изоепиновыми партнерами.

Последние экспериментальные данные по наблюдению распадов ^ 5+^+ [13] и ^ 2+К[14] дают только верхние границы их бренчингов. После модернизации ЬНС

планируется увеличение энергии столкновений до 14 ТэВ, улучшение светимости детектора LHCb до 1033 см-2 сек-1, интегральной светимости до 5 фбн-1, что дает надежду на обнаружение и измерение основных мод распадов всех дважды очарованных барионов.

Следует отметить, что измеренная LHCb масса 2++-бариона согласуется с имеющимися теоретическими предсказаниями, В частности, центральное значение массы, полученного LHCb для S++, очень близко к значениям 3610 МэВ и 3620 МэВ, предсказанным в работах [15,16] в рамках модели одноглюонного обмена де Ружулы, Джорджи и Глэшоу [17,18] с учетом спин-спинового взаимодействия Брейта-Ферми, а также к результатам, полученным в релятивистской модели кварк-дикваркового потенциала [19], Аналогичные результаты были получены в работах [20,21],

Спектроскопия дважды тяжелых барионов изучалась во многих других моделях, порою построенных на совершенно различных принципах. Среди них можно выделить нерелятивистскую кварковую модели с КХД потенциалом Бухмюллера-Тая [22], модель Изгура-Карла [23], КХД на решетке [24-27], правила сумм КХД [28-30], модель мешков [31], релятивистская кварковая модели [32],

В таблицах 1 и 2 приведены значения масс дважды очарованных барионов. Результаты, приведённые с ошибками, взяты из PDG [33], а результаты без ошибок приведены из теоретической работы [16],

Таблица 1: Очарованные барионы со спином 1/2+ Приняты обозначения: [а,Ь] для антисимметричных флейворных пар, и {а,Ь} для симметричных флейворных пар.

Барион Кварковый состав SU (3) (I, Is) Маееа(МэВ)

л+ c[wd] 3* (0,0) 2286.46 ±

"с c[ws] 3* (1/2,1/2) ±

"0 "с c[ds] 3* (1/2,-1/2) ±

Е++ сии 6 (1Д) ±

c{ud} 6 (1,0) ±

s0 cdd 6 (i,-i) ±

+ "с c{us} 6 (1/2,1/2) ±

0 "с c{ds} 6 (1/2,-1/2) ±

ПО CSS 6 (0,0) ±

"++ "сс ucc 3 (1/2,1/2) ±

"сс dcc 3 (1/2,-1/2)

П+ see 3 (0,0)

Таблица 2: Очарованные барионы со спином 3/2+,

Бариоп Кварковый состав яи (3) (1, 1з) Масса (МэВ)

К* ++ сии 6 (1Д) 2518.41 ±

К+ си с1 6 (1,0) ±

к0 сс1(1 6 (1-1) ±

+ и 6 (1/2,1/2) ±

0 "с 6 (1/2,-1/2) ±

п0 6 (0,0) ±

++ и 3 (1/2,1/2)

+ (1сс 3 (1/2,-1/2)

П*с+ 3 (0,0)

п* ++ п ссс 1 (0,0)

Полулептонные распады барионов типа В1 ^ В2 + £ь>е наиболее просты для теоретического описания. Схематично, данные распады описываются кварковыми диаграммами, изображёнными па Рисунке 1,

->

->

Рис, 1: Кварковая диаграмма, описывающая полулептоппые распады барионов.

Дня их количественного описания достаточно знать формфакторы слабых переходов В\ ^ В2, В то же время, поскольку полулептонные распады содержат три частицы в конечном состоянии, то можно изучать угловое распределение и, связанные с ним, физиче-

ские наблюдаемые, В свете этого, полулептонные распады исследовались в рамках различных подходов: нерелятивистской потенциальной модели [34]; модели, основанной на Би(3) флейворной симметрии [35,36], которая позволяет только вывести соотношения для ширин различных амплитуд; в кварк-дикварковой модели [37]; в нерелятивистской кварковой модели [38]; релятивистской кварковой модели [39]; в рамках правил сумм КХД [40], А также в предыдущих версиях ковариантной модели кварков [41,42],

Нелептонные двухчастичные распады барионов типа В\ ^ В2 + Р(V), где Р и V есть псевдоскалярные и векторные мезоны, соответственно, являются простыми кинематически. Но чрезвычайно сложными для теоретического описания. Во-первых, для описания слабых взаимодействий кварков строится эффективная теория, которая позволяет вывести эффективный гамильтониан слабых взаимодействий, содержащий четырехкварковые операторы, умноженные на соответствующие коэффициенты Вильсона, Следует отметить, что численные значения коэффициентов Вильсона в настоящее время известны на двухпетлевом уровне точности при учёте КХД и радиационных поправок [43]. Во-вторых, на кварковом уровне имеется пять топологически различных диаграмм, описывающих нелептонные двухчастичные распады барионов, изображённых на Рисунке 2,

Ia Ib

Факторизуемые диаграммы

¿- f- ^У/L - -*—- -> />—*-

-> -> -> '—*-

IIa IIb III

Нефакторизуемые диаграммы

Рис, 2: Кварковые диаграммы с пятью различными топологиями, описывающие пелептоппые двухчастичные распады бариопов.

Расчёты факторизуемых диаграмм, обозначенных как 1а и Ib, пе представляют труда, поскольку они факторизуются на диаграмму, описывающую слабый переход В\ ^ В2 и диаграмму, описывающую лептоппый распад конечного мезона. Расчёты пефакторизуемых диаграмм, обозначенных как IIa, IIb и III, являются пееравпешю более сложными, К настоящему времени пет единого подхода к описанию всех пяти кварковых топологий. Обычно, дня описания пефакторизуемых топологий используются полюсные модели |44,451, в которых данные топологии моделируются диаграммами, содержащими возможные бариоииые резопапсы с массами близкими к массе начального бариопа. При этом задача сводится к расчету слабых бариоп-бариоппых переходов и сильной бариоп-бариоп-мезоппых вершины, связанных между собой иропагатором промежуточного резонанса. В работе |46| дня оценки пефакторизуемых вкладов используют факторизацию с учетом вклада больших расстояний в нерерассеянии взаимодействия в конечном состоянии. Цели диссертационной работы

Основной целью данной диссертационной работы является создание и применение алгоритмического аппарата для вычисления матричных элементов сильных барион-барион-мезонных вершин, слабых барион-барионных переходов и более сложных двухчастичных нелептонных распадов барионов, описываемых нефакторизуемыми кварковыми диаграммами, Данный аппарат основан на методах, применяемых в ковариантной модели кварков с инфракрасным конфайнментом, разработанной в ЛТФ ОИЯИ и широко используемой для расчетов эксклюзивных процессов с участием как мезонов и барионов, так и более сложных систем типа тетракварков. Приоритетными направлениями для применения построенного аппарата являются:

• вычисление формфактора, характеризующего сильный распад дельта изобары на нуклон и пион, и исследование его зависимости от квадрата переданного импульса пиона в евклидовой области;

• исследование полулептонных и широкого класса нелептонных распадов дважды очарованных барионов S+ и П+, идущих за счет факторизованных диаграмм. Расчеты как ширин распадов, так и поляризационных наблюдаемых, которые возникают в угловых распределениях каскадных цепочек,

• расчеты вкладов нефакторизованных кварковых диаграмм, возникающих при описании нелептонных двухчастичных распадов дважды очарованных барионов. Данные вклады описываются трехпетлевыми диаграммами, которые вычисляются, исходя из основных принципов ковариантной модели кварков,

• вычисление парциальных ширин нелептонных распадов Л-гиперона с учетом как кварковых диаграмм с различными топологиями, так и полюсных диаграмм с промежуточными барионными резонансами.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

• Исследовать и научиться применять на практике математический аппарат ковариантной модели кварков, В частности, построить явный вид релятивистского 3-х кваркового тока с квантовыми числами Д-изобары, Используя построенный ток, рассчитать сильный распад Д-изобары на нуклон и пион,

• Создать программный пакет на языке FORM, для аналитических вычислений кварковых диаграмм и сведению их к многократным параметрическим интегралам по гиперкубу.

• Создать программный пакет на языке FORTRAN для численных вычислений возникающих интегралов с использованием библиотеки NAG,

• Провести расчеты полулептонных и широкого класса нелептонных распадов дважды очарованных барионов S+ и П+, идущих за счет факторизованных диаграмм,

• Разработать и реализовать алгоритм для расчета трехпетлевых кварковых диаграмм, возникающих при вычислении нефакторизованных вкладов в нелептонные двухчастичные распады очарованных барионов. Применить данный алгоритм для вычисления нелептонных распадов и Q+c барионов с целью количественного сравнения факторизованных и нефакторизованных вкладов,

• Вычислить парциальные ширины нелептонных распадов Л-гнперона Л ^ р(п) + с учетом как кварковых диаграмм с различными топологиями, так и полюсных диаграмм с промежуточными барионными резонанеами.

Научная новизна:

• Впервые разработан алгоритм для вычисления трехпетлевых кварковых диаграмм, возникающих при вычислении нефакторизуемых вкладов в нелептонных двухчастичных распадов барионов,

• Используя данный алгоритм, впервые вычислены ширины распадов дважды очарованных барионов ^ + *0) и S++ ^ + п+(р+). Показано, что вклады нефакторизуемых диаграмм, вообще говоря, не подавлены по сравнению с вкладами факторизуемых диаграмм. Исключение составляют лишь моды распадов, для которых работает теорема Кёрнера-Пати-Ву,

Теоретическая и практическая значимость

Открытие дважды очарованного бариона коллаборацией LHCb в 2017 году послужило мощным толчком для теоретического анализа слабых двухчастичных распадов дважды очарованных барионов. Буквально на следующий год коллаборация LHCb сообщила о первом наблюдении распада ^ + пока без количественных оценок его ширины. Немногие теоретические работы на эту тему, в основном, используют для оценки ширин данных распадов либо вклады лишь факторизуемых диаграмм, либо полюсные модели с промежуточными барионными резонанеами. Поэтому разработанный метод для вычисления как факторизуемых диаграмм, так и нефакторизуемых, представляет несомненный интерес

как для теоретиков, так и для экспериментаторов. Эффективность и надёжность метода подтверждена вычислением сильного формфактора и ширины распада Д-изобары Д ^ ж + N,

Л

Л ^ рж- (пж0) с учетом как всех возможных кварковых диаграмм, так и диаграмм с резонансными вкладами. Совокупно на работы по теме диссертации было сделано 38 ссылок.

Методология и методы исследования.

Все аналитические расчеты проводились в рамках ковариантной модели кварков с инфракрасным конфайнментом. Был создан программный пакет на языке FORM, для аналитических вычислений кварковых диаграмм и сведению их к многократным параметрическим интегралам по гиперкубу. Для численных вычислений были созданы пакеты на языке FORTRAN с использованием библиотеки NAG,

Основные положения, выносимые на защиту:

1 Впервые разработан единый алгоритм для вычисления как факторизуемых, так и более сложных нефакторизуемых вкладов, возникающих при описании нелептонных двухчастичных распадов барионов,

2 На основе предложенного алгоритма вычислены ширины распадов дважды очарованных баринонов ^ Е'с + + К0(К*0) и S++ ^ Б'с + + ж+(р+).

3 Показано, что вклады нефакторизуемых диаграмм, вообще говоря, не подавлены по сравнению с вкладами факторизуемых диаграмм. Исключение составляют лишь моды распадов, для которых работает теорема Кёрнера-Пати-Ву,

Д

роекопичеекое описание мезон-барионной Дж N-еильно-взаимодейетвующей вершины. Показано, что поведение сильного формфактора в евклидовой области квадрата переданного импульса пиона согласуется с феноменологическими параметризациями, используемыми в моделях ж — N и N — N взаимодействий,

5 Вычислены парциальные ширины нелептонных распадов Л-гнперона Л ^ р(п) + ж-(0) с учетом как кварковых диаграмм с различными топологиями, так и полюсных диаграмм с промежуточными барионными резонанеами. Исследована зависимость вычисленных

Л

достаточно узкая область его значений, при которых воспроизводятся экспериментальные данные.

Достоверность полученных результатов обеспечивается их согласием с экспериментальными данными в тех случаях, когда они имеются, В случае нелептонных распадов дважды очарованных барионов в настоящее время экспериментальные данные пока отсутствуют, поэтому наши результаты сравниваются с результатами других теоретических подходов и являются ориентиром для будущих экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабые распады дважды тяжелых барионов в ковариантной модели кварков»

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• The XXV International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists, BLTP JINR, Nonleptonic decay of the Л hyperon;

• The XXIV International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists, BLTP JINR, Nonleptonic weak decays of charmed baryons ;

• III Международный научный форум «Ядерная наука и технологии», Weak factorizable decays of doubly heavy baryon ;

• Helmholtz International Summer School - DIAS-TH "Theory at the Limits: from Strong Fields to Heavy Quarks BLTP JINR, Strong A-isobar decay in covariant quark model ;

• Семинар "Физика адроновЛТФ, Дубна, (2016), Нелептоппые распады, дважды, тяжелых барионов;

• Семинар "Физика адроновЛТФ, Дубна, (2016), Кварковая структура, A-изобары, в ко-вариантной модели кварков ;

Публикации.

Результаты диссертации были опубликованы в 6 рецензируемых журналах:

1 M. A. Ivanov, G, Nurbakova and Z. Tyulemissov, A Isobar decay in covariant quark, model, Phys. Part. Nucl. Lett. 15, no.l, 1-11 (2018)

2 T. Gutsche, M, A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lvubovitskij and Z. Tyulemissov, Ab initio three-loop calculation of the W-exchange contribution to nonleptonic decays of double charm baryons, Phys. Rev. D 99, no.5, 056013 (2019)

3 Т. Gutsehe, М, A. Ivanov, J, G, Körner, V, E, Lyubovitskij and Z, Tyulemissov, Analysis of the semileptonic and nonleptonic two-body decays of the double heavy charm baryon states S++, S+c and П+, Phys. Rev. D 100, no.ll, 114037 (2019)

4 M, A. Ivanov, J, G, Körner, V, E, Lyubovitskij and Z, Tyulemissov, Analysis of the nonleptonic two-body decays of the Л hyperon, Phvs, Rev, D 104, no,7, 074004 (2021)

5 Z, Tyulemissov, A, Issadvkov and K, Nurlan, Weak Decays of Heavy Baryons, AIP Conf, Proe. 2377, no.l, 090007 (2021)

6 A. Issadvkov, Z. Tyulemissov and K. Nurlan, AIP Conf. Proe. 2377, no.l, 090003 (2021)

Личный вклад автора

Автор диссертации принимал активное участие в постановке задач диссертации, разработке алгоритмов вычислительных схем и программного пакета для реализаций их решений, анализе результатов и написании статей. Вклад соискателя в результаты диссертации является определяющим.

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации состоит из 84 страниц, которые содержат 23 таблиц и 12 рисунков. Библиография занимает 10 страниц и содержит 164 ссылки.

1 Ковариантная модель кварков

При описании свойств адронов и их взаимодействий на основе их кварковой структуры неизбежно возникают такие фундаментальные вопросы как адронизация кварков и их конфайн-мент. Вопрос адронизации тесно связан с построением феноменологической картины, представляющей каким образом адроны состоят из кварков. Конкретная реализация той или иной картины адронизации позволяет вычислять как статические характеристики адронов, так и многочисленные динамические наблюдаемые, возникающие при описании процессов распада и рассеяния. Следует отметить, что наибольшее количество экспериментальных данных накоплено при изучении эксклюзивных процессов, идущих при сравнительно небольших энергиях порядка нескольких ГэВ, или другими словами в области больших расстояний, В этой области константа связи КХД становится большой и методы теории возмущений неприменимы, т.е. необходимо использовать непертурбативные методы, такие как КХД на решетке, правила сумм КХД и различные модельные подходы, которые позволяют вычислять характеристики адронных взаимодействий, в том числе и формфакторы, при низких энергиях,

В число вышесказанных модельных подходов входят уравнения Дайсона-Швингера в КХД [47], модель конституэнтных кварков с использованием дисперсионных соотношений [48, 49], релятивистская кварковая модель с использованием потенциалов [50-52], релятивистская потенциальная модель КХД [53,54], правила сумм КХД [55,56], и наконец, ковариантная модель кварков (КМК) с учетом конфайнмента кварков [57,58],

В диссертации, расчеты необходимых адронных формфакторов выполнены в рамках КМК, В данной главе дано краткое описание теоретических предпосылок, лежащих в основе этой модели,

1.1 Лагранжиан взаимодействия

КМК - построена на принципах квантовой теории поля. Исходным объектом является релятивистски инвариантный лагранжиан, описывающий взаимодействие адрона с его конетиту-энтными кварками. Предполагается, что адронное поле Н(х), удовлетворяющее соответствующему свободному уравнению движения взаимодействует с интерполирующим кварковым током (х), имеющего квантовые числа данного адрона:

£ш(х) = 9нН(х) • Зн(х) + Ь.е.. (1)

Здесь дн — константа связи, а Ь.е. — эрмитово-еопряженная часть. Так, интерполирующие кварковые токи мезона, состоящего из кварка и антикварка, бариона, состоящего из трёх

кварков, и тетракварка, состоящего из двух кварков и двух антикварков, записываются в виде

Зм (х) = JdxlJdx2Fм (х-,х1,х2)с12 (х2)Гм ql{xl),

Зв(х) = J:х!г1х^в(х;хьх2,хз)г1да1 (х^ [(£а1а2аздТа2(х2)СГ2даз(ха))] , (2)

Зт(х) = • ••йх^т(х;х1 ...х4) х (еа1а2СдТа1 (х1)СГ1/2(х2))

■ (£аза4СдТаз(хз)Г2Сда4 (х4)) ,

где а1, а2,а3 = 1, 2, 3 — цветовые индексы; С = 7°72 — матрица зарядового сопряжения.

Вершинная функция Fм в (2) характеризует распределение кварков внутри адрона, В принципе данная функция может быть связаны с волновой функцией уравнения Бете-Солпитера, но на данном этапе она выбирается феноменологическим образом в виде удобном для вычислений, Для обеспечения трансляционной инвариантности, эта функция должна удовлетворять равенству Fм(х + а; х1 + а,... ,х3 + а) = Fм(х; х1,..., х3), где а - произвольный 4-вектор, В модели функция Fм для произвольного числа кварков выбирается в виде

I х Фн I ^ (

V г=1 / \г<]

Fн (х,хЪ ...,хп) = ¿(4) х -У^^гхЛ Фн V (хг - ху)

(3)

ф

н

п— 1

П

г=1 '

^ Уг р—гд1(х1—Хп)—гд2(х2—хп) — ...—гдп-1(хп-1—хп)ж1 п

(2тг)46 Фн1 2 7 Л

^ Шз I

г<3 )

где = тг/ ^ mj, причем = 1, а функция Фн зависит только от квадратов отноеи-

3 г=1

тельных координат. Данный выбор соответствует выделению системы центра масс системы, состоящей из п-кварков, Фурье-образ функции Фн можно получить из решения уравнение Бете-Солпитера, Однако, в работах [59-61] было показано, что основные адронные наблюдаемые слабо зависят от выбора конкретного вида вершинных функции. Главным требованием является достаточно быстрое убывание Фурье-образа функции Фн в евклидовой области для обеспечения ультрафиолетовой сходимости фейнмановских диаграмм, С технической точки зрения наиболее удобным выглядит гауссовская форма:

1

Фн(-П) = ехр [П/ЛУ , П = -

, Шз

(4)

%<з

Л н 2

поворота Вика переходит в -д2^ в евклидовом пространстве, данная форма (4) будет обеспечивать убывающее поведение при дЕ ^ ж.

2

1.2 Условие связности

Константа связи дн в лагранжиане взаимодействия (1) вычисляется из так называемого условия связности, которое было независимо предложено в работах Салама и Вайнберга 162,63|. Математически данное условие означает равенство нулю константы перенормировки волновой функции адрона Zн = 0. Физически, константа перенормировки Zн представляет собой величину квадрата матричного элемента между затравочным и физическим состоянием, Следовательно, равенство её величины нулю означает отсутствие физического состояния в затравочном, т.е. рассматриваемый адрон является связанным состоянием кварков. При этом кварковые степени свободы исключены из пространства физических состояний, тем самым гарантируя отсутствие двойного счета. Другими словами, в исходном лагранжиане кварки и адронные состояния рассматриваются как элементарные частицы. В результате их взаимодействия, происходит „одевание" голых адронных состояний так что в пространстве физических состояний остаются только адроны, а кварки находятся лишь в виртуальном состоянии, являясь переносчиками взаимодействия между адронами.

Продемонстрируем как работает условие связности на примере нуклона, рассматриваемого как связанное состояние трёх кварков. На Рисунке 3 изображена собственно-энергетическая диаграмма, необходимая дня вычисления массового оператора и его производной.

Рис. 3: Собственно энергетическая диаграмма бариона.

В данном случае условие связности записывается в виде

гм = 1 - П'у($ = 0, ($ = ту), (5)

где Пу (ф) — первая производная массового оператора, которому соответствует собственно энергетическая диаграмма, изображённая на Рисунке 3, Аналитическое выражение для Пу (/ р) имеет следующий вид

ПУ (» = 12«у / щи / (0! фу ) <6>

2

х (^ + тР)Гп ^ г [Г пБ (к2 - ы'р)Г тБ (к2 - кг + тгр)],

т,п= 1

где П = §(к2 + к2 — к1к2) и

Г 0 Г = (1 — Хм)7М75 0 7М + 275 0 , (хм = 0.8).

Так как в случае нуклонов массы кварков равны, то № = 1/3, Кварковый пропагатор с массой т,д имеет вид:

5(к) = -^Ц , # = к»Ъ . (7)

1.3 Алгоритм вычислений

Разберем математический аппарат КМК, применяемый для вычисления кварковых диаграмм, на примере массового оператора нуклона (6),

Для кварковых пропагаторов в уравнении (6) будем использовать представление Фока-Швингера:

те

5(к ± тр) = (т+$ ± I¿а е-а И2-(^)21 , (8)

о

где т - масса конституэнтного кварка. Далее, с помощью поворота Вика переходим к интегрированию по евклидовым переменным, т.е. к0 = ег2 к4 = 1к4 так, что

к2 = к2 — к2 = — к\ — к2 = —к% < о. (9)

Одновременно с переходом в евклидову метрику по импульсным переменным, следует осуществлять переход в евклидову метрику и по внешним импульсам, т. е, р0 ^ гр4, так что р2 = —р2Е < 0, При этом все квадраты внешних и петлевых импульсов в показателях экспонент в (8) становятся положительно определенными

т2 — (к + чир)2 = т2 + (кЕ + ырЕ)2 > 0, (10)

и интеграл по а абсолютно сходится. Удобнее переходить к евклидовой метрике на последнем этапе вычислений, когда после ряда алгебраических преобразований, выражение, соответствующее данной кварковой диаграмме Фейнмана, записывается в виде линейной комбинации по тензорным структурам с коэффициентами в виде скалярных функций от инвариантных переменных.

Разберём алгоритм алгебраических преобразований на примере выражения в уравнении

(в).

Пм(й = ^п/"<**/(Ц)/(Ц) ^

(2ж)4г^ \(2ж)Ч

3

х ехр 13(к2 + к% — №)ММ — ^ аг(т2 — (Кг + Рг)2)}, (11)

г=1

где Кг — это линейная комбинация петлевых импульсных переменных, а Р; - линейная комбинация внешних импульсов, функция Р(к\,к2,р) является произведением числителей кварковых пропагаторов и матриц Дирака, Объединив члены в показателе экспоненты по степеням кг получим квадратичную форму

как + 2кг + г0 = + 2кггг + х0, (г,] = 1, 2), (12)

где 4-вектор гг соответствует внешнему 4-импульеу р с коэффициентом пропорциональности и может быть представлен в виде гг = Ъг р. Матрица а размерности 2 х 2 содержит параметр Л 2 и параметры интегрирования аг. Выражение г0 зависит лишь от р2 и скалярных параметров.

Прежде всего необходимо выразить тензорные интегралы, возникающие из-за наличия степеней петлевых переменных кг в пред-экспоненциальной функции Р(к\,к2,р), через возможные тензорные структуры с коэффициентами в виде скалярных функций от инвариантных переменных, С этой целью используется метод сведения тензорных интегралов к дифференцированию по внешним импульсам. Например,

1 д

к? ехр(к;а^к^ + 2кгГг + г0) = ^ехр(^а^к^ + 2кгГг + г0). (13)

В общем случае эта формула может быть записана в виде:

р (,) к^цк, +2к1П+х0 = р( 1 [ ( ^кг \

]\(2ъ)Ч) ^(к) 6 = Ч2 дт) ] {(2п)ч)

-I О \ л

1 V » э-^аГ.1^ +г0 1

= р __ Р-Г1аи г' +0 •_-__(\А\

V2 дт) (4^)2га|а|2 , 1 ;

где Р(к) есть полином произвольной степени. Как обсуждалось выше, для вывода этой формулы был использован переход к евклидовой метрике с помощью поворота Вика, В результате, массовый оператор нуклона записывается в виде

оо

П(|0 = 12^2 ^ р ,р] е-па-1г>. (15)

о

Гауссова экспонента е-Г1а- Г} также может быть "пронесена" через операцию дифференцирования с помощью формулы:

Р е-па-1г> = е-па-1г>Р - . (16)

\2 дг) \2 дп 13 3) К 1

Окончательное дифференцирование можно выполнить с помощью многократного применения коммутационного соотношения

д

- ги

дг? ,<3

¿ц . (17)

Последняя операция была реализована в программном пакете, написанном на языке FORM [64]

Таким образом, задача вычисления петлевых интегралов свелась к численному вычислению интегралов по параметрам Фока-Швингера, Однако, данные интегралы содержат точки ветвления по кинематическим переменным, поскольку исходно использовались свободные пропагаторы Дирака для описания кварков, В частности, это приводит к появлению мнимых частей, соответствующих рождению кварков. Чтобы избежать проблемы конфайнмента кварков, в модели используется анзац конфайнмента. Кратко поясним его идею. Для этого рассмотрим общий интеграл по а-параметрам:

те

П = J dnaW (аъ...,ап), (18)

о

где W(а\,... ,an) - громоздкое подынтегральное выражение, содержащее точки ветвления, разрезы, нормальные и аномальные пороги. Вначале перейдем от интегрирования по размерным параметрам а к интегрированию по симплексу. Для этого вставим единицу в исходный интеграл:

с п

1 = dtó(t - ^ a^j (19)

о =

и, затем, сделаем масштабное преобразование переменных ai ^ tai. Получим

п

in— 1

П= I dttn-í I dnaó( 1 - ^a^j W(tau...,tan). (20)

n )

i=l

Уравнение (20) содержит п интегрирований: п — 1 то безразмерным параметрам ai и одно по параметру t, имеющему размерность обратной массы в квадрате. Можно показать, что данный интеграл в области разрезов становится комплексным, поскольку реальная часть в показателе экспоненты меняет знак в точках ветвления при t ^ ж. Однако, при обрезании интеграла на верхнем пределе переменной t все возможные пороговые сингулярности отсутствуют:

i/a2 ^ п

Пс =У dttn-í j dnaó(l — ¿ W(tab...,ta,n). (21)

o o i=1

Параметр обрезания Л называется параметром инфракрасного обрезания. Инфракрасное обрезание удаляет все возможные пороговые сингулярности, которые в данном случае связаны с рождением кварков. Следовательно, инфракрасное обрезание обеспечивает конфайнмент кварков. Механизм инфракрасного обрезания для обеспечения конфайнмента кварков также применялся в моделях Намбу-Йона-Лазинио [65, 66] для простейших однопетлевых кварко-вых диаграмм. Метод, предложенный в КМК, является общим и может быть применён к

кварковой диаграмме е произвольным количеством пропагаторов и петель. Параметр инфракрасного обрезания Л является единым для всех физических процессов.

Для численных интегрирований удобно перейти от интегрирования по симплексу к интегрированию по гиперкубу,

1/А2 1

Пс = J dttn-1 j dn-1aan1-2an2-3 ...an-2 W (tfr, ... ,tfJn), (22)

0 0

где pi = 1 - ab f32 = ai(l - a2), fa = «1^2(1 - «3), ■■■, Pn-i = «1... aa„_2(1 - «n-i) fa = a1a2 ... o.n-1. Численные интегрирования проводятся с помощью кодов, написанных на языке FORTRAN с использованием библиотеки NAG,

1.4 Параметры модели

КМК содержит несколько свободных параметров: параметры Ля, описывающие эффективные размеры адронов, универсальный параметр инфракрасного обрезания Л, который характеризует область конфайнмента, и массы конетитуэнтных кварков тд. Эти параметры определяются по экспериментальным данным и/или по результатам КХД на решетке с помощью фитирования, В число величин для фитирования включаются константы лептонных распадов как псевдоскалярных, так и векторных мезонов, а также некоторые хорошо установленные ширины распадов. Результаты наилучшего фита были достигнуты при значениях свободных параметров модели, приведенных в уравнениях (23), (24) и (25) (в ГэВ):

ти/л т3 тс ть А

0.242 0.428 1.672 5.046 0.181

л. Лк Лр/n Лл Лес Л3 Лп 0.871 1.014 0.5 0.355 0.8675 0.8675 0.8675

Лр Лк* Лд Л3* ЛЕ* Лп*

(23)

(24)

(25)

0.62 0.80 0.93 0.8675 0.8675 0.8675 В заключении обсудим теоретические погрешности, возникающие в нашей модели. Свободные параметры КМК определяются с помощью минимизации функционала =

(уГр' - ^Ьеот)2

—, где а г есть экспериментальная погреши ость. Если а слишком мала, то

V -2

ее значение полагается равным 10%. Погрешности фитированных параметров также составляют порядка 10%. Кроме того, при расчетах было обнаружено, что вычисленные в КМК

10%

Следовательно, мы оцениваем теоретическую погрешность нашей модели примерно порядка 10%

1.5 Выводы по главе

— Показано, что в КМК ультрафиолетовые расходимости отсутствуют благодаря вершинным функциям, быстро убывающим в евклидовой области. Также обсужден механизм инфракрасного обрезания в КМК и показано, что данный механизм эффективно обеспечивает конфайнмент кварков,

—

элементов физических процессов, В качестве примера вычислен массовый оператор для нуклонов,

—

ретической погрешности модели, С фиксированными таким образом параметрами, КМК может быть применима к вычислениям адронных характеристик низкоэнергетичных процессов, таких как рассматриваемые в диссертации слабые нелептонные распады барионов.

2 Сильный распад Д-изобары

2.1 Эффективный лагранжиан и массовый оператор

Начнем с рассмотрения лагранжиана и массового оператора Д-изобары,

СА(х,у) = гдАД %к2к3 (х)(,1Пк1к2къ (%) + гдА(Г? (уД/2^ (у), (26)

где Дк1к2кз (я) есть мультиплет всех изоспиновых состояний Д-изобары, а общий вид трёх-кваркового тока Д-изобары с квантовыми числами ,1Р = |+ записывается как

(ЗПк1к2к3 = Ггдка\ [{еа^аз(д% )тСГ^)] , (27)

где а1,а2, аз—цветовые индексы, С = 7°72—матрица зарядового сопряжения, к1,к2, к3—индексы флейворной Би(2)-груипы, Задача состоит в том, чтобы найти явный вид дираковеких матриц Г1 и Г2, исходя из требований симметрии при перестановке всех флейворных индексов в трёхкварковом токе Д-изобары с квантовыми числами ,Р = |+, При этом основными инструментами будут являться преобразования Фирца и условия Рариты-Швингера, Матрица зарядового сопряжения обладает следующими свойствами:

С = С-1 = С+ = —Ст. (28)

Из которых легко получить следующие тождества:

Г, для Г = в,Р,А СГт С-1 = I , (29)

I — Г, для Г = У,Т

где 5 ^ 1,Р ^ 75, V ^ -у1, А ^ у1^, Т ^ а1".

Двухкварковое цветное состояние (д^ )тСТг^еаа2аз называется дикварком. Его возможные квантовые комбинации без производных приведены в Таблице 3,

Таблица 3: Возможные квантовые комбинации дикварка

Скалярный дикварк )т Съдка3 еа1а2аз Р = 0+

Псевдоскалярный дикварк (^ )т Сдкз £аа2аз Р = 0-

Векторный дикварк (1к2 )т Съ!11^ еа1а2аз .р = 1-

Аксиально-векторный дикварк (&2 )т С1 £а1а2аз Зр = 1+

Тензорный дикварк )т Съе1 " дк! £а1а2аз Зр = 1+

Псевдо-тензорный дикварк (дк\ )т Си1" д^ £а1а2аз .р = 1-

В Таблице 3 использована матрица " = г/2[гум,гу"],

Спинор Ак1'к2'кя в уравнении (26) симметричен относительно перестановок к\, к2, к3 и удовлетворяет условиям Рариты-Швингера: 7м Ам = 0 и А м = 0, Связь элементов мультиплета с физическими состояниями даётся следующими соотношениями

А111 = А++, А211 = —А+, А122 = —а0, А222 = А-. (30)

у/3 л/3

В силу симметрии по произвольной перестановке изоепиновых индексов в спиноре Ак1к2кз, соответствующий трёхкварковый ток также должен обладать этим свойством. Это означает, что трёхкварковый ток, также должен быть симметричен при перестановке к1 о к2 о к3. Данное условие накладывает ограничение на выбор матриц Г1 и Г2, Рассмотрим вначале перестановку индексов в дикварке. Должно выполняться равенство:

.-.010203 к2 (Г^р \ „кз _ 010203 кз /^»р \ „к2 /01 ^

£ Я0^2 Г 2)а2азЯ^аз = £ $0^2 Г 2)а2<а3аз.

Переставим местами кварки в правой части равенства, учитывая антикоммутативность фер-мионных полей. Имеем

р010203пкз (^Г ) гк _ _р01020зпк2 (^Г ) пк$ _ .-.010203пк2 ( ^Г )Т гО3

ь У02а2 Г 2)а2аз Ч^аз с Чазаз Г 2)а2<азЧ02а2 с У02аз Г 2)аза2 Чиза2 .

Отсюда видно, что правая часть в уравнении (31) совпадает с левой, если

С Г 2 = (СТ2)т = ГТ Ст = -ГТ С, СГ1 С-1 = -Г2. (32)

Как следует из уравнения (29) Г2 может быть либо век тором Г2 = ^у11, либо тензором Г2 = Известно, что чётность у А-изобары положительная, Рассмотрим случай Г2 = которому соответствует аксиально-векторный дикварк (Таблица 3) с положительной чётностью, значит Г1 = I. Для елучая Г2 = " следует, что Г1 =

Рассмотрим теперь перестановку индексов и к3, В данном случае должно выполняться следующее равенство

£ 1 2 3 (Г1)аа1 да1а1 \_Я.о2,а2 (^Г2)а2а90заз] = £ 1 2 3 (Г1)аа11а1а1 [Уа^ (^Г2)а2а^о\аз\ . (33)

Переставим местами кварки дкз и дк1 в правой части равенства. Имеем

_ р01020з (Г ) пк1 Г к2 (ПГ ) пкз 1 _ с030201 (Г ) пк1

ь (Г 1)аа1 Ч0заз ' \Ч02а2 Г2)а2<*3 Ч01а^ = Ь (Г 1)аа1 Ч02аз

(Г2)/» 2<аз 0.0-2а1\ .

(34)

Далее воспользуемся тождеством Фирна

4(Г1)аа1 (Г2)/32аз = ^(Г1Г°)аа3 (Г2Г°), (35)

О

где Гп = {1,у1,а1и(^ < и),у5,ъу1у5} есть полный набор базисных матриц Дирака, Введём обозначения

(01)аа1 (02) = (61) 0 (62) (01)ааз(02)020,1 = (О1) 0 (О2) У нас имеются две комбинации

Г1 х Г| = I х (36)

Г1 х Г| = Ъ х а1и. (37)

Последовательно рассмотрим эти две возможности. Сначала случай соответствующий уравнению (36), Имеем

41 0 у1 = I 0 у1 + 1а 0 111а + 2аа0 0 у^а00 + 75 0 7^75 — 7«75 0 717°75.

Преобразуем правую часть равенства к базису. Нам понадобится формула

75^" = — ¿С1™0«а/3, (38)

где мы используем следующий вид тензора Леви-Чевиты е°123 = —е°123 = 1.

После достаточно громоздких преобразований приходим к следующему выражению

410У1 = 10 у1+У101 — г'У" 0а1и+1а1и +1а1и 75 0ъ 75 + +75 07^75 — ^Ъ 075+1Ъ ъ 0а1и 75.

Аналогичным образом преобразуем уравнение (37), Имеем

4'% 0 а1и = г (31 0 у1 — Зу1 0 I + 0 а1и + 1а1и 0 — т175 0 ъ +

+гъ75 0 ^75 — З75 0 7^75 — 37^75 0 75). (39)

Используя симметрию дикварка относительно перестановок индексов к2 о к3, условие Рариты-Швингера Д= 0, и тождество

гуи75 0 75 = —г^и 0 я1",

окончательно получим

41 0 у = 21 0 у1 — 2гуи 0 а1и 4г% 0 а1 и = —41 0 у1

Легко видеть, что комбинация

Г1 0 Г| = I 0 -у1 — 0 а1и, (40)

при преобразовании Фирца переходит еама в еебя и, тем еамым, обеспечивает симметрию относительно перестановок к1 о к3 в формуле уравнения (33), Поэтому трёхкварковый ток А

^М)к1к2кз = £010202

й ■ [<2^ЧМ - -■ [<£Са^<%]

(41)

А

щение тока в уравнении (41), тогда кварковый ток (,]ма)к1к2кз(х) имеет вид:

(Зма)к1к2къ(х) = JJJ ^^^ ^ - ^ фд

^ ] (хг Х3 )

г<3

X (3^)к1к2к (Х1,Х2,Х3),

(3%)к1к2к (Х1,Х2,Х, ) = в010203 Га^аз ^ Ы^аз (*3 ). (42)

где согласно уравнению (41), матрица Гм записывается в виде Га.а1 а2 аз = (Г1)аа1 ® (Г^)

2 а2 а

1

(I)аа1 ®(С^м)а2аз--(7,)аа1 ®(Ссгмг/)а2аз, Фд — функция взаимодействия трёх конетитуентных кварков с координатами х^ х2, и массами т1; т2, газ, соответственно. Переменная задаётся выражением /шг = тг/(т1 + т2 + ) так, что ,шг = 1. Легко видеть, что Фд симметрична относительно перестановок хг о х^.

Теперь запишем кварковый ток для (]и/)к1к2кя(у), который имеет вид:

(^)к1к2кз(у) = / ¿х^Зхзб у - V ШгУЛ Фд

- Уз)2

<

X )к1к2кя(У1,У2,Уг), (П/ )к1к2кз (У1,У2,Ш) = еЬ1Ь2Ь%Мф ^ (у3 Ы^ Ы), (43)

где явный вид кваркового тока записывается через Г/,,/^;// = (Г^^^ ® (Гг)^/ = (1)/2/2 ® (ГС)/1/ + - (7м)/2/2 ® (<?и11С)/1/.

А

этого рассмотрим второй порядок разложения Б-матрицы по теории возмущений. Данному разложению соответствует диаграмма Фейнмана на рисунке 3. Соответствующий вклад записывается в виде

- у) = г JJ ¿хЗуА'+(+(х)Еа/(х - y)А++(y), (44)

где, без ограничения общности, мы рассматриваем случай А++-изобары с квантовым содержанием дк1 = дк2 = дкз = и. Здесь Т^/ (х - у) есть массовый оператор.

С12(Г1 X Г2)(Г2 x Г1) = 2(I x x y)

C21 (Г2 X ri)(?i x Г2) = -2(1& x I)(Y x )

Запишем явный вид массового оператора в нелокальном случае, который будет аналогичен процессу изображённому на рисунке 3, ^ = ^ / ^ / ^Ф^

2

x У^ cmnrmS(ki + Wip)rn • trfr^(k2 - W2p)TmS(k2 - h + w3p)], (45)

m,n=1

где ш1 = (k1 - к2)/у/%, a, u2 = (k1 + k2)/y/6, a, cmn имеет вид

си(Г1 x Г1)(Г1 x Г1) = (1 x I)(-f x 7»)

y»)

. (46)

2 WO 'ч -V W ^ )

x C22(Г2 x Г2)(Г2 x Г2) = 1 (7° x Y)(av? x )

Константу связи определим го условия связности = 0, В случае Д-изобары данное условие записывается в виде

d

= 1 - -^o(î>) = 0, (47)

где T0 (p) возникает в разложении T1 v в виде g1 v T0(p).

- d ^ -Докажем, что тождество Дv(р) — Т0(р)Ди(р) = Дv(р)Дv(р), эквивалентно тождеству

dp

- d ^ - ^ ^ Ди(р)-—Т0(р)Дv(р) = Дv(р)уаДи(р). Для этого представим £0(р) = А(р2) + рВ(р2). Тогда dpa

Д

d

< Д„(р)\-^Ыр) Д(р) >= [2mA1 + В + 2т2В'] Дv(р)Д„(р) = Д„(р)Д„(р). (48) Следовательно [2тА' + В + 2т2 В'] = 1.

Аналогичным образом, а также используя тождество < Дv(р)\ра\Ди(р) >= m < Дv(р)\уа\Ди(р) >, получим

d

< Д„(р)\—Т0(р)Д(р) >=< Д„(р)\ [2тА' + В + 2т2В'\ 1а\Д,(р) >=

=< Дv(р)\У\Д„(Р) >. (49)

Данное условие является достаточным для вычисления производной массового оператора. Следовательно для определения константы сильного взаимодействия вычислим производную массового оператора, взяв производную по импульсной переменной от выражения записанного в уравнении (45), а также зная, что общий вид лоренц-етруктуры T v (р) может быть записан как (р) = g^T0(p)+p^pvT1 T2 +pvyT3+yy£4, Очевидно из условий

Рариты-Швингера, что = д^-щ^S0, В результате получаем выражение вида

* ^(р) = 36,| i i -^тф

dpa ^ J (2n)4 J (2n)4

2

x {Ш1 ^ cmnrmS(ki + Uip)^as(ki + ^ip)rra ■ tr[rra5(k2 - U2p)rmS(k2 - ki + u3p)]

m,n=l 2

- Ш2 стпГmS(ki + ^1р)Гп ■ tr[rnS(k2 - Ш2Р)1 aS(k2 - ^2P)rmS(k2 - ki + ш3р)]

m,n=1

2

+ Ш3 ^ СтпГтЯ(ki + ^1р)Гп ■ tr^S(&2 - - + S(^2 - + ^3Р)] },

m,n=1

где мы использовали следующее соотношение

d

-j— S (к + wp) = (fc + wp)^aS (k + wp). (51)

Для вычисления двухпетлевых интегралов по к1 и к2 используем весь математический аппарат представленный в главе 1, т.е. нронагаторы представления Фока-Швипгера, метод дифференцирования, интегрирование по переменным ai со вставкой единицы и обрезание получившегося интеграла па верхнем пределе но параметру Швипгера. В результате вычислений мы использовали программный пакет FORM, а 3-х интегрирование производится численно с помощью кодов па FORTRAX.

2.2 Распад А ^ N^1 ширина и формфактор

Рассмотрим распад Д++-изобары на протон и положительно заряженный пион. Данный процесс описывается диаграммой Фейпмапа, изображённой па рисунке 4

Рис. 4: Распада Д++ ^ ръ+

Матричный элемент, соответствующий данной диаграмме имеет следующий вид:

x ûp(p') < 0\Т{Jp(x)J£(y)J„(z)}\0 > u^p), (52)

где трёхкварковые токи Jp, J^ — токи протона и Д-изобары, соответственно, Двухкварковый ток пиона имеет вид

3

Л- (z) = dz1dz2Ô(z ziVi)^Tr [(z1 - Z2)2 ] J3q (¿1^2), J3q (z1,z2) = ¿(z^i^ufa).

=1

Выпишем отдельно Т-произведение для данного матричного элемента

< 0\Т{JP(X1,X2,X3)J£(У1 ,У2,Уз)Ъ(Z1,Z2)}\0 >= £а1а2азеЬф2Н

x Т {Г^7 5dai (Х1 )[иа2 (Х2)С ГАиаз (X3)][ub3 (У3)С Г% Ф (У2)]Ф Ы^ф^ bu(z2)]}.

Д

Га, ^ и Г2 имеют вид тензоров или векторов. После использования определения свертки и факторизации Т-произведения получаем

< 0\Т{...}\0 >= 12rA15Sd(x1 - Z1)ilbSu(z2 - У1)Г1 • tr[Su(У2 - Х2)ГаЗш(х3 - У3)Г%] +

+ 24TAj5Sd(x1 - Z1)ij5Su(z2 - У1)Г%ви(у2 - Х2)Г aSu(x3 - У3)Г1.

Тогда матричный элемент уравнения (52) записывается как M(Д ^ рк) = 12гдАдрдп j dx J dy J dzeip'x-ipy+iqz

x dx1dx2dx3Ô(x -J^ XiVi)<^p]^(xi - Xj)2] dy^y2dy3Ô(y -J^ yiWi)^A]^j(yi - yj)2]

J i=1 i< j J i=1 i< j

[ 2

x dZ1dZ2Ô(z Zi щ)Фж [(Z1 - Z2 )2]

Zi 1Ц)Фтт [(Z1 - Z2^2] =1

x ûp(p'){rAj5Sd(x1 - Z1)j5Su(z2 - У1)Г1 • tr[Su(y2 - Х2)ГaSu(X3 - У33)Г2] +

+ 2rA^5Sd(x1 - Z1)j5Su(z2 - У1)Г2Su(y2 - X2)rASu(x3 - У3)Г1 }<(p).

Используя координаты Якоби в вершинных функциях нуклона и Д-изобары, получаем

М(Д ^ = 1И9ДЛЛП J -щч J -фЩ4 ч -щт* W4ф

г=1

г Гц

ху (к1)ЪЯи(к2)Г1 • Ъ[8и(к3)ТАЗи(к4)Г']+

+ 2ГА7 к^^к^Т^ (к3 )ГАБи( к^и^р) х J ¿х J ¿у J (р2 ^ (р\ У (р\ ^ ¿г^ (ху

х ехр[гр'х — гру + гд(щг1 + г]угу) — р% — гш%р% — %шХр\ — %ш\руу — г 1(г1 — гу)]

х ехр[—гк1(х1 — г{) — гку(гу — уг) — гкз(уу — ху) — гкА(гз — у3)].

рых снимается часть интегрирований по импульсным переменным, В результате имеем

М(Д++ ^ ртт+) = (2тт)Ч5(р — р' — д) • Т(Д++ ^ ртт+), (53)

где

Т(Д++ ^ рп+) = —12дА9рд^ J Фр[—ш%]Фд[—шу]Ф.[—(Ь — щд)у]

• йР(р'){ГА15За(к1 — д)ъЗи(к1)Г1 • Ьт[8и(ку)ГАБи(ку — Ь + р)Г']+ + 2Га к1 — д)15Би( к^Я^ТАЯ^ ку — Ь + р^и^) =

= САрж((у) • р' • щ^р^ X')и£(о, Х) . (54)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тюлемисов Жомарт, 2022 год

Список литературы

[1] М. Gell-Mann, Phys. Lett. 8, 214-215 (1964)

[2] G. Zweig, "An SU(3) model for strong interaction symmetry and its breaking. Version 1," CERN-TH-401.

[3] G. Zweig, "An SU(3) model for strong interaction symmetry and its breaking. Version 2," CERN-TH-412.

[4] J. D. Bjorken and S. L. Glashow, Phvs. Lett. 11, 255-257 (1964)

[5] S. L. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev. D 2, 1285-1292 (1970)

[6] A. Oeherashvili et al [SELEX], Phys. Lett. В 628, 18-24 (2005) [arXiv:hep-ex/0406033 [hep-ex]].

[7] B. Aubert et al [BaBar], Phys. Rev. D 74, 011103 (2006) [arXiv:hep-ex/0605075 [hep-ex]].

[8] Y. Kato et al [Belle], Phys. Rev. D 89, no.5, 052003 (2014) [arXiv:1312.1026 [hep-ex]].

[9] R. Aaij et al [LHCb], JHEP 12, 090 (2013) [arXiv: 1310.2538 [hep-ex]].

[10] R. Aaij et al [LHCb], Phys. Rev. Lett. 119, no. 11, 112001 (2017) [arXiv:1707.01621 [hep-ex]].

[11] R. Aaij et al [LHCb], Phys. Rev. Lett. 121, no.5, 052002 (2018) [arXiv:1806.02744 [hep-ex]].

[12] R. Aaij et al [LHCb], Phys. Rev. Lett. 121, no. 16, 162002 (2018) [arXiv:1807.01919 [hep-ex]].

[13] R. Aaij et al [LHCb], [arXiv:2109.07292 [hep-ex]].

[14] R. Aaij et al [LHCb], Sei. China Phvs. Meeh. Astron. 64, no.10, 101062 (2021) [arXiv:2105,06841 [hep-ex]].

[15] J. G. Körner and M. Kramer, Z. Phvs. С 55, 659-670 (1992)

[16] J. G. Körner, M. Kramer and D. Pirjol, Prog. Part. Nuel. Phvs. 33, 787-868 (1994) [arXiv: hep-ph/ 9406359 [hep-ph] ].

[17] A. De Rujula, H. Georgi and S. L. Glashow, Phvs. Rev. D 12, 3589 (1975)

[18] A. De Eujula, H. Georgi and S. L. Glashow, Phys. Rev. D 12, 147-162 (1975)

[19] D. Ebert, R. N. Faustov, V. O. Galkin and A. P. Martvnenko, Phys. Rev. D 66, 014008 (2002) [arXiv:hep-ph/0201217 [hep-ph]].

[20] S. Fleck and J. M. Richard, Prog. Theor. Phys. 82, 760-774 (1989)

[21] M. Karliner and J. L. Rosner, Phys. Rev. D 90, no.9, 094007 (2014) [arXiv:1408.5877 [hep-ph]].

[22] S. S. Gershtein, V. V. Kiselev, A. K. Likhoded and A. I. Onishchenko, Phys. Rev. D 62, 054021 (2000)

[23] W. Roberts and M. Pervin, Int. J. Mod. Phys. A 23, 2817-2860 (2008) [arXiv:0711.2492 [nucl-th]].

[24] P. Pérez-Rubio, S. Collins and G. S. Bali, Phys. Rev. D 92, no.3, 034504 (2015) [arXiv: 1503.08440 [hep-lat]].

[25] Z. S. Brown, W. Detmold, S. Meinel and K. Orginos, Phys. Rev. D 90, no.9, 094507 (2014) [arXiv: 1409.0497 [hep-lat]].

[26] C. Alexandrou, V. Drach, K. Jansen, C. Kallidonis and G. Koutsou, Phys. Rev. D 90, no.7, 074501 (2014) [arXiv: 1406.4310 [hep-lat]].

[27] R. A. Briceno, H. W. Lin and D. R. Bolton, Phys. Rev. D 86, 094504 (2012) [arXiv: 1207.3536 [hep-lat]].

[28] J. R. Zhang and M. Q. Huang, Phys. Rev. D 78, 094007 (2008) [arXiv:0810.5396 [hep-ph]].

[29] H. X. Chen, Q. Mao, W. Chen, X. Liu and S. L. Zhu, Phys. Rev. D 96, no.3, 031501 (2017) [erratum: Phys. Rev. D 96, no. 11, 119902 (2017)] [arXiv:1707.01779 [hep-ph]].

[30] D. B. Lichtenberg, R. Roncaglia and E. Predazzi, Phys. Rev. D 53, 6678-6681 (1996) [arXiv: hep-ph /9511461 [hep-ph] ].

[31] D. H. He, K. Qian, Y. B. Ding, X. Q. Li and P. N. Shen, Phys. Rev. D 70, 094004 (2004) [arXiv: hep-ph / 0403301 [hep-ph]].

[32] R. N. Faustov and V. O. Galkin, Particles 3, no.l, 234-244 (2020)

[33] P. A. Zvla et al [Particle Data Group], PTEP 2020, no.8, 083C01 (2020)

[34] V. V. Kiselev, A. K. Likhoded, and A. I. Onishehenko, Phys. Eev. D 60, 014007 (1999) [hep-ph /9807354];

[35] W. Wang, Z. P. Xing, and J. Xu, Eur. Phys. J. C 77, 800 (2017) [arXiv:1707.06570 [hep-ph]].

[36] Y. J. Shi, W. Wang, Y. Xing, and J. Xu, Eur. Phys. J. C 78, 56 (2018) [arXiv: 1712.03830 [hep-ph]].

[37] Z. X. Zhao, Eur. Phys. J. C 78, no.9, 756 (2018) [arXiv: 1805.10878 [hep-ph]].

[38] C. Albertus, E. Hernandez, J. Nieves and J. M, Verde-Velasco, Eur. Phys. J. A 32, 183-199 (2007) [erratum: Eur. Phys. J. A 36, 119 (2008)] [arXiv:hep-ph/0610030 [hep-ph]].

[39] D. Ebert, E. N. Faustov, V. O. Galkin and A. P. Martvnenko, Phys. Eev. D 70, 014018 (2004) [erratum: Phys. Eev. D 77, 079903 (2008)] [arXiv:hep-ph/0404280 [hep-ph]].

[40] Y. J. Shi, W. Wang and Z. X. Zhao, Eur. Phys. J. C 80, no.6, 568 (2020) [arXiv:1902.01092 [hep-ph]].

[41] A. Faessler, T. Gutsehe, M, A. Ivanov, J. G. Körner and V. E. Lvubovitskij, Phys. Lett. B 518, 55-62 (2001) [arXiv:hep-ph/0107205 [hep-ph]].

[42] A. Faessler, T. Gutsehe, M, A. Ivanov, J. G. Körner and V. E. Lvubovitskij, Phys. Eev. D 80, 034025 (2009) [arXiv:0907.0563 [hep-ph]].

[43] G. Buehalla, A. J. Buras and M. E. Lautenbaeher, Eev. Mod. Phys. 68, 1125-1144 (1996) [arXiv:hep-ph/9512380 [hep-ph]].

[44] N. Sharma and E. Dhir, Phys. Eev. D 96, 113006 (2017) [arXiv:1709.08217 [hep-ph]].

[45] E. Dhir and N. Sharma, Eur. Phys. J. C 78, 743 (2018).

[46] F. S. Yu, H. Y. Jiang, E. H. Li, C. D. Lü, W. Wang, and Z. X. Zhao, Chin. Phys. C 42, 051001 (2018) [arXiv: 1703.09086 [hep-ph]].

[47] M. A. Ivanov, J. G. Körner, S. G. Kovalenko and C. D. Eoberts, Phys. Eev. D 76, 034018 (2007) [arXiv:nuel-th/0703094 [nuel-th]].

[48] D. Melikhov, N. Nikitin and S. Simula, Phys. Eev. D 57, 6814-6828 (1998) [arXiv:hep-ph/9711362 [hep-ph]].

[49] D. Melikhov, Eur. Phys. J. direet 4, no.l, 2 (2002) [arXiv:hep-ph/0110087 [hep-ph]].

[50] D. Ebert, E. N. Faustov and V. O. Galkin, Phys. Lett. B 635, 93-99 (2006) [arXiv:hep-ph/0602110 [hep-ph]].

[51] D. Ebert, E. N. Faustov and V. O. Galkin, Phvs. Eev. D 75, 074008 (2007) [arXiv:hep-ph/0611307 [hep-ph]].

[52] E. N. Faustov and V. O. Galkin, Mod. Phys. Lett. A 27, 1250183 (2012) [arXiv: 1207.5973 [hep-ph]].

[53] M. Ladisa, G. Nardulli and P. Santorelli, Phys. Lett. B 455, 283-290 (1999) [arXiv:hep-ph/9903206 [hep-ph]].

[54] P. Colangelo, F. De Fazio and N. Paver, Nuel. Phys. B Proe. Suppl. 74, 222-226 (1999) [arXiv:hep-ph/9810478 [hep-ph]].

[55] P. Colangelo, F. De Fazio, P. Santorelli and E. Serimieri, Phys. Eev. D 53, 3672-3686 (1996) [erratum: Phys. Eev. D 57, 3186 (1998)] [arXiv:hep-ph/9510403 [hep-ph]].

[56] P. Colangelo and P. Santorelli, Phys. Lett. B 327, 123-128 (1994) [arXiv:hep-ph/9312258 [hep-ph]].

[57] T. Branz, A. Faessler, T. Gutsehe, M, A. Ivanov, J. G. Körner and V. E. Lvubovitskij, Phys. Eev. D 81, 034010 (2010) [arXiv:0912.3710 [hep-ph]].

[58] M, A. Ivanov, J. G. Körner, S. G. Kovalenko, P. Santorelli and G. G. Saidullaeva, Phys. Eev. D 85, 034004 (2012) [arXiv:1112.3536 [hep-ph]].

[59] I. V. Anikin, M. A. Ivanov, N. B. Kulimanova and V. E. Lvubovitskij, Z. Phys. C 65, 681 (1995).

[60] M. A. Ivanov and V. E. Lvubovitskij, Phys. Lett. B 408, 435 (1997) [hep-ph/9705423],

[61] A. Faessler, T. Gutsehe, M, A. Ivanov, V. E. Lvubovitskij and P. Wang, Phys. Eev. D 68, 014011 (2003) [hep-ph/0304031],

[62] A. Salam, Nuovo Cim. 25, 224 (1962).

[63] S. Weinberg, Phys. Eev. 130, 776 (1963).

[64] J. A. M, Vermaseren, [arXiv:math-ph/0010025 [math-ph]],

[65] D. Ebert, T. Feldmann and H. Eeinhardt, Phys. Lett. B 388, 154 (1996) [hep-ph/9608223].

[66] M. K. Volkov and V. L. Yudichev, Phys. Atom. Nucl. 63, 464 (2000) [Yad. Fiz. 63, 536 (2000)].

[67] G. V. Efimov, M. A. Ivanov and V. E. Lyubovitskij, Few Body Syst. 6, no.l, 17-43 (1989)

[68] T. Melde, L. Canton and W. Plessas, Phvs. Rev. Lett. 102, 132002 (2009) [arXiv:0811.0277 [nuel-th]].

[69] V. Mader, G. Eiehmann, M. Blank and A. Krassnigg, Phys. Rev. D 84, 034012 (2011) [arXiv: 1106.3159 [hep-ph]].

[70] C. Alexandrou, G. Koutsou, J. W, Negele, Y. Proestos and A. Tsapalis, Phys. Rev. D 83, 014501 (2011) [arXiv: 1011.3233 [hep-lat]].

[71] M. A. Ivanov, G. Nurbakova and Z, Tvulemissov, Phys. Part. Nuel. Lett. 15, no.l, 1-11 (2018)

[72] T. Sato and T. S. H. Lee, Phys. Rev. C 54, 2660-2684 (1996) [arXiv:nuel-th/9606009 [nuel-th]].

[73] H. Polinder and T. A. Rijken, Phys. Rev. C 72, 065211 (2005) [arXiv:nucl-th/0505083 [nuel-th]].

[74] J. A. Niskanen, Phys. Lett. B 107, 344 (1981)

[75] Z. G. Wang, Eur. Phys. J. C 57, 711-718 (2008) [arXiv:0707.3736 [hep-ph]].

[76] T. Gutsehe, M. A. Ivanov, J. G. Körner and V. E. Lyubovitskij, Phys. Rev. D 96, no.5, 054013 (2017) [arXiv: 1708.00703 [hep-ph]].

[77] T. Gutsehe, M. A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lyubovitskij and Z. Tvulemissov, Phys. Rev. D 100, no.ll, 114037 (2019) [arXiv:1911.10785 [hep-ph]].

[78] N. Mathur and M. Padmanath, Phys. Rev. D 99, no.3, 031501 (2019) [arXiv:1807.00174 [hep-lat]].

[79] A. Faessler, T. Gutsehe, M. A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lyubovitskij, D. Niemorus and K. Pumsa-ard, Phys. Rev. D 73, 094013 (2006) [arXiv:hep-ph/0602193 [hep-ph]].

[80] T. Branz, A. Faessler, T. Gutsehe, M. A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lyubovitskij and B. Oexl, Phys. Rev. D 81, 114036 (2010) [arXiv:1005.1850 [hep-ph]].

[81] V. V. Kiselev, A. K. Likhoded and A. I. Onishehenko, Eur. Phys. J. C 16, 461-469 (2000) [arXiv:hep-ph/9901224 [hep-ph]].

[82] V. V. Kiselev, A. K. Likhoded, O. N. Pakhomova and V. A. Saleev, Phvs. Rev. D 66, 034030 (2002) [arXiv:hep-ph/0206140 [hep-ph]].

[83] V. V. Kiselev, A. V. Berezhnov and A. K. Likhoded, Phvs. Atom. Nuel. 81, no.3, 369-372 (2018) [arXiv: 1706,09181 [hep-ph]].

[84] E. Hernández, J. Nieves and J. M. Verde-Velasco, Phvs. Lett. B 663, 234-241 (2008) [arXiv:0710,1186 [hep-ph]].

[85] C. Albertus, E. Hernández and J. Nieves, Phvs. Lett. B 683, 21-25 (2010) [arXiv:0911.0889 [hep-ph]].

[86] C. Albertus, E. Hernández and J. Nieves, Phvs. Lett. B 704, 499-509 (2011) [arXiv:1108.1296 [hep-ph]].

[87] C. Albertus, E. Hernández and J. Nieves, Phvs. Rev. D 85, 094035 (2012) [arXiv: 1202.4861 [hep-ph]].

[88] J. M. Flvnn and J. Nieves, Phvs. Rev. D 76, 017502 (2007) [erratum: Phvs. Rev. D 77, 099901 (2008)] [arXiv:0706.2805 [hep-ph]].

[89] W. Roberts and M. Pervin, Int. J. Mod. Phvs. A 24, 2401 (2009) [arXiv:0803.3350 [nuel-th]].

[90] Z. H. Guo, Phvs. Rev. D 96, 074004 (2017) [arXiv:1708.04145 [hep-ph]].

[91] L. Y. Xiao, K. L. Wang, Q. F. Lü, X. H. Zhong, and S. L. Zhu, Phvs. Rev. D 96, 094005 (2017) [arXiv: 1708.04384 [hep-ph]].

[92] Q. F. Lü, K. L. Wang, L. Y. Xiao, and X. H. Zhong, Phvs. Rev. D 96, 114006 (2017) [arXiv: 1708.04468 [hep-ph]].

[93] E. L. Cui, H. X. Chen, W. Chen, X. Liu, and S. L. Zhu, Phvs. Rev. D 97, 034018 (2018) [arXiv: 1712,03615 [hep-ph]].

[94] X. H. Hu, Y. L. Shen, W. Wang, and Z. X. Zhao, Chin. Phys. C 42, 123102 (2018) [arXiv: 1711.10289 [hep-ph]].

[95] Y. J. Shi, Y. Xing, and Z. X. Zhao, Eur. Phvs. J. C 79, 501 (2019) [arXiv: 1903.03921 [hep-ph]].

[96] T, Gutsehe, M, A. Ivanov, J, G, Körner, V, E, Lyubovitskij and Z, Tyulemissov, Phys. Rev, D 99, no.5, 056013 (2019) [arXiv:1812.09212 [hep-ph]].

[97] Z. Tyulemissov, A. Issadvkov and K. Nurlan, AIP Conf. Proe. 2377, no.l, 090007 (2021)

[98] A. Issadvkov, Z. Tyulemissov and K. Nurlan, AIP Conf. Proe. 2377, no.l, 090003 (2021)

[99] T. Gutsehe, M, A. Ivanov, J. G. Körner and V. E. Lyubovitskij, Partieies 2, no.2, 339-356 (2019) [arXiv: 1905,06219 [hep-ph]].

[100] A. K. Leibovieh, Z. Ligeti, I. W. Stewart and M. B. Wise, Phys. Lett. B 586, 337-344 (2004) [arXiv:hep-ph/0312319 [hep-ph]].

[101] J. G. Körner, Nuel. Phys. B 25, 282-290 (1971)

[102] J. C. Pati and C. H. Woo, Phys. Rev. D 3, 2920-2922 (1971)

[103] J. G. Körner, G. Kramer and J. Willrodt, Z. Phys. C 2, 117 (1979)

[104] T. Uppal, R. C. Verma and M. P. Khanna, Phys. Rev. D 49, 3417-3425 (1994)

[105] Fayyazuddin and Riazuddin, Phys. Rev. D 55, 255-258 (1997) [erratum: Phys. Rev. D 56, 531 (1997)]

[106] M, A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lyubovitskij and A. G. Rusetskv, Phys. Rev. D 57, 5632-5652 (1998) [arXiv:hep-ph/9709372 [hep-ph]].

[107] M. A. Ivanov, V. E. Lyubovitskij, J. G. Körner and P. Kroll, Phys. Rev. D 56, 348-364 (1997) [arXiv:hep-ph/9612463 [hep-ph]].

[108] T. Gutsehe, M, A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lyubovitskij and P. Santorelli, Phys. Rev. D 88, no.ll, 114018 (2013) [arXiv: 1309.7879 [hep-ph]].

[109] T. Gutsehe, M, A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lyubovitskij, V. V. Lvubushkin and P. Santorelli, Phys. Rev. D 96, no.l, 013003 (2017) [arXiv:1705.07299 [hep-ph]].

[110] S. Dubnieka, A. Z. Dubniekova, M. A. Ivanov and A. Liptaj, Phys. Rev. D 87, 074201 (2013) [arXiv: 1301.0738 [hep-ph]].

[111] W. Wang, F. S. Yu, and Z. X. Zhao, Eur. Phys. J. C 77, 781 (2017) [arXiv: 1707.02834 [hep-ph]].

[112] C. H. Chang, T. Li, X. Q. Li and Y. M. Wang, Commun. Theor. Phvs. 49, 993-1000 (2008) [arXiv:0704.0016 [hep-ph]].

[113] B. Konig, J. G. Körner and M. Kramer, Phvs. Rev. D 49, 2363-2368 (1994) [arXiv:hep-ph/9310263 [hep-ph]].

[114] L. J. Jiang, B. He and R. H. Li, Eur. Phvs. J. C 78, no.ll, 961 (2018) [arXiv:1810.00541 [hep-ph]].

[115] V. V. Kiselev and A. K. Likhoded, Phvs. Usp. 45, 455-506 (2002) [arXiv:hep-ph/0103169 [hep-ph]].

[116] J. J. Sakurai, Phvs. Rev. 156, 1508-1510 (1967)

[117] A. P. Balaehandran, M. G. Gundzik and S. Pakvasa, Phvs. Rev. 153, 1553-1558 (1967)

[118] S. Nussinov and G. Preparata, Phvs. Rev. 175, 2180-2184 (1968)

[119] F. C. P. Chan, Phvs. Rev. 171, 1543 (1968) [erratum: Phvs. Rev. D 7, 287-287 (1973)]

[120] C. H. Albright, Phvs. Rev. 187, 1880-1887 (1969)

[121] A. Hosova and N. Tokuda, Lett. Nuovo Cim. 1S2, 235-238 (1971)

[122] Y. E. Nagai, Phvs. Rev. D 5, 60-65 (1972)

[123] M. D. Seadron and L. R. Thebaud, Phvs. Rev. D 8, 2190 (1973)

[124] K. J. Sebastian, Phvs. Rev. D 8, 2296-2299 (1973)

[125] M. P. Khanna, Phvs. Rev. D 13, 1266 (1976)

[126] M. Nakagawa and N. N. Trofimenkoff, Nuel. Phvs. B 5, 93-108 (1968)

[127] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Sov. Phvs. JETP 45, 670 (1977) ITEP-64-1976.

[128] B. W. Lee, Phvs. Rev. 170, no.5, 1359-1364 (1968)

[129] J. Bijnens, H. Sonoda and M. B. Wise, Nuel. Phvs. B 261, 185-198 (1985)

[130] E. E. Jenkins, Nuel. Phvs. B 375, 561-581 (1992)

[131] C. Carone and H. Georgi, Nuel. Phvs. B 375, 243-262 (1992)

[132] B. Borasov and B. E. Holstein, Phvs. Rev. D 59, 094025 (1999) [arXiv:hep-ph/9902351 [hep-ph]],

[133] B. Borasov and B. E. Holstein, Eur. Phvs. J. C 6, 85-107 (1999) [arXiv:hep-ph/9805430 [hep-ph]].

[134] E. P. Springer, Phvs. Lett. B 461, 167-174 (1999)

[135] A. Abd El-Hadv and J. Tandean, Phvs. Eev. D 61, 114014 (2000) [arXiv:hep-ph/9908498 [hep-ph]].

[136] E. Flores-Mendieta, Phvs. Eev. D 99, no.9, 094033 (2019) [arXiv:1902.05602 [hep-ph]].

[137] J. Tandean, Phvs. Eev. D 69, 076008 (2004) [arXiv:hep-ph/0311036 [hep-ph]].

[138] G. Nardulli, Nuovo Cim. A 100, 485 (1988)

[139] D. d. Wu and J. L. Eosner, Phvs. Eev. D 33, 1367 (1986)

[140] J. F. Donoghue, E. Golowieh and Y. C. E. Lin, Phvs. Eev. D 32, 1733 (1985) [erratum: Phvs. Eev. D 33, 2728 (1986)]

[141] M. Praszalowiez and J. Trampetie, Fizika 18, 391 (1986) Print-85-0729 (CEEN).

[142] H. Galie, D. Tadie and J. Trampetie, Nuel. Phvs. B 158, 306-316 (1979)

[143] V. N. Pervushin and N. A. Sarikov, Sov. J. Nuel. Phvs. 41, 865 (1985) JINE-E2-84-620.

[144] C. Sehmid, Phvs. Lett. B 66, 353-357 (1977)

[145] M. Katuva, Phvs. Lett. B 83, 227-229 (1979)

[146] K. Terasaki, Lett. Nuovo Cim. 18, 376 (1977)

[147] B. Guberina and D. Tadie, Phvs. Eev. D 18, 2522 (1978)

[148] A. Le Yaouane, L. Oliver, O. Pene and J. C. Eavnal, Phvs. Lett. B 72, 53-56 (1977)

[149] T. Havashi, T. Karino and T. Yanagida, Prog. Theor, Phvs. 60, 1066 (1978)

[150] Y. Abe, M. Shin-Mura and T. Uehida, Prog. Theor. Phvs. 77, 1023 (1987)

[151] Y. G. Xu, X. D. Cheng, J. L. Zhang and E. M. Wang, J. Phvs. G 47, no.8, 085005 (2020) [arXiv:2001.06907 [hep-ph]].

[152] E. M. Wang, M. Z. Yang, H. B. Li and X. D. Cheng, Phvs. Eev. D 100, no.7, 076008 (2019) [arXiv: 1906.08413 [hep-ph]].

[153] A. Y. Berdnikov, Y. A. Berdnikov, V. A. Ivanova, A. V. Nikitehenko, N. I. Troitskava, M. Faber and A. N. Ivanov, Int. J. Mod. Phvs. A 22, 1835-1847 (2007)

[154] P. Zenezvkowski, Phvs. Rev. D 73, 076005 (2006) [arXiv:hep-ph/0512122 [hep-ph]].

[155] M. Cristoforetti, P. Faeeioli, E. V. Shurvak and M. Traini, Phvs. Eev. D 70, 054016 (2004) [arXiv:hep-ph/0402180 [hep-ph]].

[156] E. Hivama, K. Suzuki, H. Toki and M. Kamimura, Prog. Theor. Phvs. 112, 99-117 (2004) [arXiv:nucl-th/0402007 [nuel-th]].

[157] A. Garcia, E. Huerta and G. Sanehez-Colon, J. Phvs. G 25, 45-57 (1999) [arXiv:hep-ph/9804340 [hep-ph]].

[158] M. A. Ivanov, J. G. Körner, V. E. Lvubovitskij and Z. Tvulemissov, Phvs. Eev. D 104, no.7, 074004 (2021) [arXiv:2107.08831 [hep-ph]].

[159] E. E. Marshak, Eiazuddin, and C. P. Evan, Theory of Weak Interactions in Particle Physics (Wilev-Interseienee, New York, 1969), p. 761.

[160] D. Bailin,"Weak Interactions," Sussex University Press, 406 (1977).

[161] D. Ebert and W. Rallies, Yad. Fiz. 40, 1250-1255 (1984) JINE-E2-83-863.

[162] D. Ebert and W. Rallies, Phvs. Lett. B 131, 183 (1983) [erratum: Phvs. Lett. B 148, 502 (1984)]

[163] H. Y. Cheng, Z. Phvs. C 29, 453-458 (1985)

[164] H. Y. Cheng, X. W. Rang and F. Xu, Phvs. Eev. D 97, no.7, 074028 (2018) [arXiv:1801.08625 [hep-ph]].

Приложение А

Согласно закону сохранения импульса и расстановке импульсов видно, что р = р' + д, где р,р',д - 4-векторы импульса. Для р2 = тд, р'2 = т2м, д2 = т2, а для пространственных компонент имеем соотношения вида

Р = р' + Ч = 0

р' = ^ |р'1 = |Ч|

Распишем уравнения по компонентам и совершим замену переменных полученных выше, вследствие чего, выражения для импульсов примут вид

= р1 — р2 = 2о = 2 т2Д

= Р'2 - -р'2 = о2 — ч2

= — Ч2 = о2 - Ч2 =

т22

Выразив энергетическую компоненту 4-вектора импульса, имеем р'0 = л/т2м + |ч2| для нуклона, а для пиона соответственно д0 = \]т2 + | Ч21. В свою очередь для дельта-изобары Ро = тд.

Вследствие закона сохранения энергии получаем уравнение р0 = р'0 + д, осуществляя подстановку полученных выше значений и возводя в квадрат можно выразить квадрат пространственной части 4-вектора импульса пиона, который примет вид

|Ч2|

21 тД + т% + т2 — 2тД т22 — 2тДт2 —

4 т2д

Л1/2 (т2Д,т% ,т2) 2 тд

А.1

Транслятор для спина 1/2 имеем

^и(р, Л)и(р,Л) = р + л

Транслятор для спина 3/2 имеем

т.

А.2

и(р, Л)и(р), Л) = (р + т)

Матричный элемент имеет вид

_ + Р^ + 1 ( _

9^ + 2 + о \

РцР а

2 1 о \ Ира 2"

т2 3 V т2

)(*«—^ ^

А.3

М(Д++ ^ ртг+) = Сдржр'рим(р', Л')иД(р, Л).

Возведём в квадрат матричный элемент и просуммируем по поляризациям умножив на 1/4 для получения ширины распада дельта-изобары на нуклон и пион, 11

4^

ЛЛ'

|М 1 = 4СДр2Р'рР'и [и2 (р\ Л )иД(Р, Л)][иД(Р, Л)и2 (/Л Л')].

ЛЛ'

2

2

Подставим в данное выражение значения трансляторов и факторизуем выражение, в результате получим

" 1

1 £\М |2 = ^ р'„Р1 ■

4

АЛ'

4

(р! + тм)(р + тА)[ д^ + Г*

Окончательно производя все вычисления, можно удостовериться, что ширина распада будет равна

Г(Д++ ^ рк+)

П 2

АМп |„ |3

24^

\я\3

Л ^Л

V ИА/

22 га.1

га

А

2