Комплекс алгоритмов и программ для вычисления фейнмановских интегралов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Смирнов, Александр Владимирович

• Смирнов, Александр Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Смирнов, Александр Владимирович

Введение

ГЛАВА 1. Редукция фейнмановских интегралов

1.1. Постановка задачи редукции.

1.2. Определение мастер-интегралов.

1.3. Методы редукции

1.3.1. Секторы.

1.3.2. Упорядочение внутри сектора.

1.3.3. Алгоритм Лапорты

1.3.4. Базисы Грёбнера.

1.3.5. s-базисы.

1.4. Описание программы редукции FIRE

1.4.1. Алгоритмическая редукция.

1.4.2. Организация параллельных вычислений

1.5. Теоремы конечности.

1.6. Итоги первой главы.

ГЛАВА 2. Вычисление фейнмановских интегралов

2.1. Вычисление методом разложения по секторам.

2.1.1. Параметрическое представление и проблема разрешения особенностей

2.1.2. Разложение по секторам

2.1.3. Секторы Хеппа и Спира.

2.1.4. Стратегии разложения по секторам.

2.1.5. Стратегия S .~."

2.1.6. Предразрешение.

2.1.7. Описание программы вычисления FIESTA.

2.2. Вычисление методом Меллина-Барнса

2.2.1. Модифицированная стратегия А.

2.2.2. Описание алгоритма и программы MBresolve

2.2.3. PSLQ — нахождение трансцендентных чисел по высокоточному численному значению.

2.3. Итоги второй главы.

ГЛАВА 3. Асимптотическое разложение фейнмановских интегралов

3.1. Метод областей для асимптотического разложения

3.1.1. Геометрический подход к асимптотическому разложению.

3.1.2. Реализация в виде программы asy.

3.2. Разложение по секторам как метод асимптотического разложения . 92 3.2.1. Алгоритм асимптотического разложения и его реализация в программе FIESTA

3.3. Итоги третьей главы.

ГЛАВА 4. Описание комплекса программ

4.1. FIRE.

4.1.1. Синтаксис основной программы.

4.1.2. SBases.

4.1.3. Примеры.

4.1.4. Оптимизация.

4.2. FIESTA.

4.2.1. Установка.

4.2.2. Синтаксис.

4.2.3. Оптимальный выбор опций.

4.3. MBresolve.

4.4. Программа поиска областей asy

4.5. Другие программы.

4.5.1. QLink.

4.5.2. FLink.

4.5.3. UF.

4.5.4. IBP

4.6. Итоги четвертой главы

ГЛАВА 5. Применения

5.1. Декаплинг с-кварковых петель в процессах с участием b-кварка

5.1.1. Первый класс интегралов.

5.1.2. Второй класс интегралов.

5.1.3. Результаты.

5.2. Трехпетлевой статический кварковый потенциал.

5.2.1. Процедура вычисления.

5.2.2. Результаты.

5.2.3. Применения

5.3. Кварковые и глюонные трехпетлевые формфакторы

5.3.1. Два подхода к редукции.

5.3.2. Результаты.

5.4. Низкоэнергетические моменты корреляторов тяжёлых кварков в четырёхпетлевом приближении.

5.4.1. Собственно-энергетические вставки.

5.4.2. Результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплекс алгоритмов и программ для вычисления фейнмановских интегралов»

Настоящая работа посвящена методам редукции и вычисления фейнманов-ских интегралов. Интегралы Фейнмана являются фундаментальными величинами при построении квантово-полевых амплитуд в рамках теории возмущений, в частности, они возникают при вычислениях в рамках Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Стандартная Модель успешно применяется в физике элементарных частиц уже около сорока лет. Некоторые ее аспекты, например, свойства Z-бозона, были проверены с точностью, сильно превышающей один процент, — в основном, на Большом Адронном Коллайдере в CERN, линейном коллай-дере в SLAC (Stanford) и в Fermilab TEVATRON (Chicago). Никаких сильных расхождений эксперимента с теорией не было выявлено.

Другие части Стандартной Модели, связанные с CP нарушением и смешиванием кварков, ожидают новых экспериментальных результатов для получения соответствующих параметров. Предполагается, что текущие эксперименты на Большом Адронном Коллайдере позволят открыть бозон Хиггса и, более того, приведут к одному из обсуждаемых расширений Стандартной Модели. Как только бозон Хиггса будет обнаружен, он сразу станет объектом точных измерений. В частности, на будущем электрон-позитронном коллайдере можно будет изучать его свойства.

В последнее время существенно продвинулись вычисления радиационных поправок. Стоит отметить, что большая часть этих вычислений была инициирована фундаментальными работами т'Хофта и Вельтмана в 1972 году [226, 225, 216], когда размерная регуляризация (см. также [224. 223]) стала мощным инструментом при вычислении многопетлевых диаграмм (к инфракрасным расходимостям и массовым расходимостям она была впервые применена в [222, 221, 220]). С тех пор возникло целое направление науки, занимающееся вычислением многопетлевых фейнмановских интегралов.

На однопетлевом уровне процедура вычисления систематически изучалась уже достаточно давно [213, 214, 204, 200]. Тем не менее даже на сегодняшний день невозможно полностью автоматически вычислить произвольную однопетлевую диаграмму, в частности, если она содержит много внешних концов или имеет сложную конфигурацию импульсов. Соответственно, диаграммы, содержащие две или большее количество петель, представляют высокую сложность для математики и часто не могут быть вычислены явно. Все же на двухпетлевом уровне определенные классы диаграмм могут быть изучены при помощи комбинации аналитических упрощений и численных методов, как это было сделано в случае двухточечных функций с несколькими ненулевыми массами [199, 197]. Так же могут работать и чисто аналитические методы, как, например, в случае безмассовых диаграмм с четырьмя внешними концами. Но на трехпетлевом уровне систематически удается изучать лишь одномасштабные интегралы, а на четырехпетлевом уровне ситуация еще сложнее.

Квантовая хромодинамика (КХД) как теория сильных взаимодействий представляет собой важную часть Стандартной Модели и большинства ее расширений. На низких энергиях константа связи КХД велика, и поэтому вычисления в рамках теории возмущений невозможны. Однако благодаря явлению асимптотической свободы, значение а3 уменьшается при росте энергии, и теория возмущений становится подходящим инструментом для вычисления радиационных поправок.

На данный момент большая часть многопетлевых вычислений производится в рамках квантовой электродинамики (КЭД) или КХД. Такие вычисления проще, чем в полной Стандартной Модели, по той причине, что эти теории зависят от меньшего количества параметров. Более того, имеется строгая иерархия между массами кварков и лептонов, что упрощает вычисления. В случае КЭД имеются точные экспериментальные результаты, требующие также и высокой теоретической точности. Константа взаимодействия в этом случае мала, но многопетлевые вычисления все равно нужны, чтобы теоретические результаты смогли сравняться с экспериментальными (например, в случае аномального магнитного момента электрона). В случае КХД константа взаимодействия больше на порядок. Тем не менее во многих ситуациях может быть произведено вычисление по теории возмущений. При этом члены высокого порядка оказываются важными и не могут быть отброшены.

Таким образом, еще раз стоит подчеркнуть, что вычисление многопетлевых интегралов Фейнмана было и остается востребованной задачей. С другой стороны, математические задачи, возникающие во время этих вычислений, представляют интерес сами по себе. Развитие техники вычисления фейнма-новских интегралов привело к плодотворному междисциплинарному взаимодействию между математиками и физиками. В частности, стоит отметить связь фейнмановских интегралов с такими понятиями современной математики, как периоды, смешанные структуры Ходжа, мотивы, символы, алгебры трансцендентных чисел и т.д. [69, 52, 11, 37, 17, 7, 151, 128, 80, 142, 49]. Также стоит отметить, что многие действия, выполняемые при вычислении фейнмановских интегралов, требуют строгих формулировок и математических обоснований (например, конечность числа мастер-интегралов или же метод областей).

Вернемся к вычислению фейнмановских интегралов и опишем более подробно, как происходит этот процесс и какие проблемы при этом возникают. При вычислениях в рамках теории возмущений проводится тензорная редукция, после чего каждая фейнмановская диаграмма порождает многочисленные интегралы Фейнмана с одинаковой структурой подынтегрального выражения, но с различными степенями пропагаторов (эти степени также называют индексами) и > [ (^ • • ■ ^ т

Лаь .,«„) = у -у Е? ■ (!)

Здесь кг, г = 1,., — это петлевые импульсы; знаменатели Ег квадратичны или линейны относительно петлевых импульсов р^ = кг, г = 1,., к и независимых внешних импульсов рн+\ = <?ъ • • • = диаграммы.

Неприводимые многочлены в числителе также могут быть представлены в виде знаменателей в отрицательных степенях. Используются стандартные предписания к2 = к2 + гО и размерная регуляризация [226, 223] с (I = А —

Стандартным подходом является разбиение задачи на редукцию и вычисление так называемых мастер-интегралов. А в случаях, когда этот метод не работает ввиду сложности задачи, применяется асимптотическое разложение фейнмановских интегралов.

Редукция фейнмановских интегралов основывается на изобретенном около тридцати лет тому назад "методе интегрирования по частям" [211] в применении к фейнмановским интегралам. Кавычки в предыдущем предложении стоят по той причине, что интегралы по петлевым импульсам не являются интегралами в традиционном понимании этого слова, поэтому и традиционные соотношения интегрирования по частям к ним неприменимы. Тем не менее аналогичные соотношения могут быть записаны и для интегралов Фейнма-на, при этом члены, отвечающие за граничные интегрирования, полагаются равными нулю:

После дифференцирования мы получаем линейную комбинацию интегралов аналогичного вида с индексами, увеличенными на один, и еще одним изменением — в числителе появляется некоторая квадратичная форма от петлевых и внешних импульсов. Эту квадратичную форму мы выражаем через знаменатели Е^ (возможно, приходится увеличить количество пропа-гаторов, чтобы получить базис фактора пространства квадратичных форм от всех импульсов по пространству квадратичных форм от внешних импульсов). Тем самым соотношение интегрирования по частям представляется как равенство нулю линейной комбинации интегралов Фейнмана (с различными индексами) с коэффициентами, зависящими от индексов.

Здесь bij — фиксированные целые числа (сдвиги на —1, 0 или 1), а OLi — полиномы от a,j. Теперь можно подставить всевозможные значения (ai, g,2, ., ап) в левые части выражений (3) и получить огромное количество соотношений.

Суть метода интегрирования по частям заключается в том, что описанные выше соотношения применяются для сведения интегралов к некоторому ограниченному количеству интегралов, так называемым мастер-интегралам. Термин "мастер-интеграл" долгое время применялся лишь на интуитивном уровне. Тем не менее на практике соотношения интегрирования по частям использовались успешно в многочисленных работах.

Изначально редукция фейнмановских интегралов к мастер-интегралам осуществлялась "вручную", но для достаточно сложных классов интегралов это стало невозможным. Было сделано несколько попыток систематизировать процесс редукции. В 2000 году был сформулирован алгоритм автоматической редукции [171] (так называемый алгоритм Лапорты), а четырьмя годами позже была опубликована его первая реализация AIR (на языке Maple) [133].

Стоит упомянуть, что на данный момент существует довольно много частных реализаций алгоритма Лапорта. Сравнить их производительность между собой весьма сложно — авторы достаточно мощных продуктов обычно не предоставляют свои программы для публичного использования.

Другая активность в направлении автоматизации.процедуры редукции была связана с использованием базисов Грёбнера [182]. Первый вариант такого подхода был предложен Тарасовым в [187, 141], в его работах соотноше

3) ния интегрирования по частям сводились к дифференциальным уравнениям. Прямое применение некоммутативных базисов Грёбнера было разработано Гердтом в [136, 116].

Вычисление мастер-интегралов также представляет собой непростую задачу. Одним из популярных подходов к вычислению фейнмановских интегралов является так называемое секторное разложение.

Фейнмановские интегралы могут быть записаны в параметрическом представлении как обычные интегралы по единичному кубу.

Однако подобный интеграл содержит в себе особенности по е = (4 — в)/2, которые невозможно явно выделить для произвольного фейнмановского интеграла. Поэтому область интегрирования специальным образом разбивается на так называемые секторы, после чего делаются замены переменных, возвращающие область интегрирования к единичному кубу. В случае правильного подбора секторов в новых переменных можно явно выделить особенности.

Этот подход использовался уже в шестидесятых годах для доказательства теорем о перенормировке. Тогда были изобретены секторы Хеппа [228] и Спира [227].

Алгоритмический подход к секторному разложению для вычисления фейнмановских интегралов был применен впервые в 2000 году Бинотом и Хайн-рих [165, 134, 135]. Заложенная в алгоритме стратегия секторного разложения не гарантировала сходимости алгоритма и требовала ручной подстройки. Долгое время существовала только закрытая версия программы. Ее современный вариант был опубликован лишь в 2008 году [79].

В 2008 году Богнер и Вайнцирль [71, 70] предложили свои стратегии разложения по секторам. Эти стратегии гарантированно сходятся для случая, когда все кинематические инварианты имеют один знак. Программа Богне-ра и Вайнцирля была сделана публичной. Однако практика показала, что программа была неприменимой для достаточно сложных классов интегралов Фейнмана.

Основным недостатком подхода с применением секторного разложения является то, что он нацелен на получение численных ответов, причем точность получаемых значений не превышает шести знаков после запятой. Часто такой точности недостаточно, и секторное разложение применяется лишь для проверки ответов, полученных другим способом (что, конечно, не снижает его ценности ввиду полной автоматизации подхода).

Другим и, наверное, одним из наиболее мощных современных методов аналитического вычисления фейнмановских интегралов является подход, основанный на формуле Меллина-Барнса. После проведения некоторых преобразований фейнмановский интеграл представляется в виде многомерного интеграла вдоль комплексных осей от выражения, зависящего от Г-функций. Этот интеграл может вычисляться аналитически или же численно с достаточно высокой точностью, но для начала необходимо выбрать правильный прямолинейный контур и взять необходимые вычеты. Нахождение такого контура является нетривиальной задачей, к решению которой имеется два независимых подхода, две стратегии выделения особенностей, сформулированные в [178, 180]. Мы их будем называть стратегиями А и В.

Стратегия А описана и проиллюстрирована множеством примеров в главе 4 в книгах [139, 231]. Стратегия В давно была реализована в виде алгоритма [103, 114], публичный код был представлен в [114]. Хотя стратегия А потенциально выглядела более перспективной, реализовать ее в виде алгоритма так и не удавалось — стратегия представляла собой набор нечетких инструкций, применение которых было своеобразным искусством.

Помимо редукции и вычисления фейнмановских интегралов важным направлением также является их асимптотическое разложение. Оно часто используется в ситуациях, когда, заданный интеграл зависит от нескольких параметров, которые можно явно подразделить на "малые" и "большие". Полная задача может быть слишком сложной для явного вычисления, и тогда интеграл можно приближенно выразить некоторым количеством первых членов соответствующего асимптотического разложения. Строго говоря, задачу асимптотического разложения фейнмановских интегралов можно поставить следующим образом. Предположим, что интеграл зависит от некоторого параметра t, и нам нужно проследить поведение интеграла при t. стремящемся к нулю.

Основная проблема асимптотического разложения заключается в том, что как и в случае вычисления интегралов, мы не можем менять порядок интегрирования и разложения, поэтому требуются другие методы для асимптотического разложения.

Существуют разные подходы к решению задачи асимптотического разложения. Один из них — это применение универсальной стратегии разложения по областям [181, 179]. Однако до последнего времени выделение правильных областей оставалось строго не формализованным. I

Другой подход, предложенный недавно [86], — скомбинировать метод МВ-представлений [178, 180, 114, 139, 231, 62] с современными стратегиями разложения по секторам. Реализация такого подхода в сложных случаях также оказалась невозможной без разработки соответствующих компьютерных программ.

Научной необходимостью явилась разработка алгоритмов (и их реализация в виде компьютерных программ), выполняющих задачи редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов. Кроме того, давно назрела проблема формализации и обоснования некоторых понятий, относящихся к интегралам Фейнмана. Отсюда вытекает цель диссертационной работы: создание, обоснование и развитие алгоритмов вычисления интегралов Фейнмана, а также практическая реализация этих алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ. Диссертация представляет собой исследование, относящееся к области вычислительной математики. При разработке алгоритмов была учтена специфика развития современных компьютеров — возрастающая распространенность многоядерных компьютеров, а также доступность больших объемов дисковых пространств при практически не возрастающей тактовой частоте процессоров.

В диссертации представлены существенные наработки во всех трех описанных выше областях — редукции, вычислении и асимптотическом разложении фейнмановских интегралов. Для всех этих задач разработаны и реализованы в виде компьютерного кода различные алгоритмы, составляющие уникальный программный комплекс. Кроме того, результаты диссертации подтверждаются физическими вычислениями, полученными как диссертантом совместно с соавторами, так независимыми исследователями, использовавшими разработанные автором программы.

Основные результаты и структура диссертации. В 2007 году автором было дано строгое определение понятия мастер-интегралов [101], что позволило формализовать задачу редукции. Более того, в 2010 году автором совместно с А. Петуховым было получено доказательство того факта, что количество мастер-интегралов всегда конечно [18].

В 2008 году был разработан алгоритм построения s-базисов — модифицированных базисов Грёбнера, применяющихся к задаче редукции фейнмановских интегралов.

На основе разработанных автором алгоритмов (а также существовавших ранее) в 2008 году была создана и опубликована программа FIRE [87], осуществляющая автоматическую редукцию интегралов Фейнмана. Изначально она основывалась на применении модифицированных базисов Грёбнера, однако позже в нее были включены как реализация алгоритма Лапорты, так и другие методы. На данный момент имеется около пятидесяти ссылок на статью с описанием FIRE. Также в разработке существует более мощная версия FIRE, применяемая в данный момент совместно с соавторами.

Для полноты картины стоит отметить, что, кроме FIRE и упомянутого выше AIR, имеется еще одна общедоступная программа редукции Reduze [43], опубликованная в 2010 году

В 2008 году автором был разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения. Было доказано, что этот алгоритм (стратегия S) сходится.

В 2009 году на основе этого алгоритма была (совместно с М. Тентюко-вым) создана и сделана публичной программа FIESTA [63] для автоматического численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения по секторам. Эта программа сейчас успешно применяется во множестве работ, как с участием автора, так и сторонних исследователей. Программу FIESTA можно назвать на сегодняшний день самым мощным инструментом автоматического численного вычисления интегралов Фейнмана. Программа имеет удобный интерфейс, но в то же время очень адаптивна и применима для задач большой сложности, способна работать в параллельном режиме и обрабатывать большие массивы данных. На данный момент имеется около пятидесяти ссылок на первую статью с описанием программы FIESTA.

Первая версия программы FIESTA, в том числе, включала в себя оригинальную стратегию разложения по секторам, превосходившую на тот момент все общеизвестные стратегии. Однако стоит отметить, что позже была изобретена еще одна геометрическая стратегия разложения по секторам [32], способная приводить к меньшему количеству секторов, но требующая большого времени. Она была реализована во второй версии программы FIESTA [19].

Как было сказано выше, уже в шестидесятых годах были изобретены так называемые секторы Спира, применимые в случае интегралов с евклидовыми внешними импульсами. В 2009 году секторы Спира были переведены автором на язык современных стратегий разложения по секторам; доказано, что в случае евклидовых импульсов стратегия S приводит к тому же набору. Стратегия секторов Спира была также реализована во второй версии программы FIESTA [19].

Если секторное разложение решает, в основном, задачу численного вычисления, то описанный выше подход МВ-интегралов способен приводить и к аналитическим ответам. Стратегия А выделения особенностей уже давно была отмечена как более перспективная, но переработать и представить ее в виде алгоритма удалось лишь в 2009 году. Результат был получен автором совместно с В. Смирновым и представлен в виде программы MBresolve [62].

В диссертации имеются также и результаты, относящиеся к асимптотическому разложению. Во-первых, был реализован описанный выше подход [86], основанный на комбинировании метода МВ-представлений с современными стратегиями разложения по секторам. Полученный алгоритм был представлен во второй версии программы FIESTA [19].

Во-вторых, была формализована стратегия разложения по областям. Результат был представлен и опубликован [16] совместно с А. Паком в виде компьютерной программы.

Итак, автором было разработано множество алгоритмов, нацеленных на вычисление фейнмановских интегралов. Они включают в себя следующие:

• алгоритм построения s-базисов (см. раздел 1.3.5.);

• оригинальный алгоритм редукции фейнмановских интегралов (см. раздел 1.4.1.);

• стратегия S — алгоритм секторного разложения (см. раздел 2.1.5.);

• модификация алгоритма численного интегрирования vegas с использованием библиотеки высокой точности (см. раздел 2.1.7.);

• алгоритм предразрешения (см. раздел 2.1.6.);

• оригинальный алгоритм выделения особенностей в МВ-представлении (см. раздел 2.2.2.).

• строгое определение понятия области в методе областей Бенеке-Смир-нова и алгоритм, находящий все возможные области (см. раздел З.1.1.);

• алгоритм асимптотического разложения, сочетающий секторное разложение и однократное МВ-представление (см. раздел З.2.1.).

Разработка программ и методов не была бы возможна без применения различных математических теорий (включая активно развивающиеся современные методы). Одним из достижений является уже упомянутое выше доказательство теоремы конечности (теорема 1) для мастер-интегралов. Также имеется некоторое количество теорем, обосновывающих методы вычисления фейнмановских интегралов:

• утверждение о том, что алгоритм FIRE сходится и существует некоторое конечное количество интегралов, через которые выражаются все остальные (теорема 3);

• утверждение о том, что стратегия S сходится (теорема 4);

• доказательство эквивалентности стратегий S и секторов Спира в случае евклидовых внешних импульсов (теорема 5);

• утверждение о том, что в случае полностью положительной функции F в альфа-представлении все ненулевые области определяются через выпуклую оболочку многогранника весов (теорема 6);

Остальные алгоритмы, разработанные в диссертации, более прямолинейны и не требуют специальных доказательств для подтверждения сходимости. Что касается практической работоспособности, она подтверждается множеством примеров.

Диссертация состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена методам редукции фейнмановских интегралов. Сначала приводится более детальное описание задачи редукции, что требует введения таких понятий, как секторы и упорядочение фейнмановских интегралов. Дается строгое определение понятия мастер-интегралов, формулируется теорема (теорема 1) о конечности числа мастер-интегралов. Эта теорема сводится к утверждению из области алгебраической геометрии (теорема 2).

Чтобы описать наработки автора, дается краткое введение в базисы Грёб-нера и описывается механизм, позволяющий применять их к редукции интегралов Фейнмана. Затем описывается модификация этих алгоритмов, предложенная автором в [121, 120].

Далее представлена программа FIRE, описаны алгоритмы, стоящие за этой программой. Приводится общая схема работы FIRE, варианты ее использования (с построением базисов и без), описан принцип параллелизации работы алгоритма.

Статьи, относящиеся к первой главе: [229, 121, 120, 122, 101, 87, 18].

Вторая глава описывает методы вычисления фейнмановских интегралов. Глава начинается с описания секторного разложения как метода вычисления фейнмановских интегралов. Затем дается определение стратегий секторного разложения, представлена стратегия S, изобретенная автором и превосходящая существовавшие до этого стратегии, доказывается теорема (теорема 4), что стратегия S сходится.

Кроме того, на современный язык переводятся классические стратегии секторов Хеппа и Спира, показывается (теорема 5), что в случае евклидовых внешних импульсов стратегии Спира и S приводят к одинаковым результатам (этот результат был получен в [61]).

Далее описывается программа FIESTA, выполняющая автоматическое численное вычисление фейнмановских интегралов. Даются различные советы по использованию, производится оценка роста производительности программы в зависимости от числа процессоров. Описываются алгоритмы, работающие как после разложения по секторам (выделение особенностей), так и до (предразрешение).

Затем в главе разбирается другой подход к вычислению фейнмановских интегралов, основанный на МВ-представлении. Пересматривается классический подход (Стратегия А), описывается его реализация в виде алгоритма MBresolve.

Статьи, относящиеся ко второй главе: [123, 63, 61, 62, 19, 34, 15]

В третьей главе описаны результаты автора, относящиеся к асимптотическому разложению. Сначала описан метод областей в том эмпирическом состоянии, в котором он существовал ранее. Затем дается строгое определение понятия области, как было предложено совместно с А. Паком в [16].

Далее описан алгоритм, реализующий геометрический подход к методу областей. Алгоритм представлен в виде программы asy, позволяющей выделять области в автоматическом режиме.

Затем мы переходим к другому методу, комбинирующему МВ-предста-вления с секторным разложением. Описан алгоритм, позволяющий в некоторых случаях получать численное асимптотическое разложение автоматически. Этот алгоритм реализован как модуль в программе FIESTA.

Статьи, относящиеся к третьей главе: [63, 19, 16]

Первые три главы имеют больше теоретическое значение: в них описаны методы и алгоритмы для редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов. В четвертой главе представлен программный комплекс, основанный на описанных выше алгоритмах, даются инструкции по его применению. Для всех компьютерных программ, входящих в состав комплекса, приводятся рекомендации по подбору опций для повышения эффективности вычисления фейнмановских интегралов. Детально описаны программы FIRE, FIESTA, MBresolve, asy, а также такие вспомогательные инструменты, как QLink, FLink, UF и IBP. Статьи, относящиеся к четвертой главе: [87, 63, 61, 62, 19, 16]

Благодаря тому, что автором был создан данный программный комплекс, достигнуты разнообразные физические результаты. Самые важные из результатов. полученных совместно с соавторами, описаны в пятой главе. Они включают в себя декаплинг с-кварковых петель в процессах с участием Ь-кварка, трехпетлевой статический кварковый потенциал, кварковые и глю-онные трехпетлевые формфакторы, и низкоэнергетические моменты корреляторов тяжелых кварков в четырехпетлевом приближении. Статьи, относящиеся к пятой главе: [117, 102, 89, 88, 45, 38, 35, 41, 33, 42, 40, 39, 4, 44].

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Смирнов, Александр Владимирович

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Разработан алгоритм для построения s-базисов [120, 121, 122]. Разработан алгоритм для разрешения соотношений интегрирования по частям, при котором интегралы изучаются по убыванию относительно выбранного упорядочения [87]; доказано, что этот алгоритм сходится (теорема 3). На их основе создана программа FIRE, выполняющая редукцию фейнмановских интегралов к мастер-интегралам [87]. Использование программы FIRE позволило редуцировать недоступные ранее многопетлевые интегралы высокой сложности.

2. Разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения (стратегия S). Доказано (теорема 4), что стратегия S сходится [63]. Доказано (теорема 5), что в случае евклидовых импульсов стратегия S и секторы Спира приводят к одинаковому набору секторов [19]. Разработан алгоритм для асимптотического разложения фейнмановских интегралов методом, объединяющим представление Меллина-Барнса и секторное разложение [19]. Разработана модификация алгоритма численного интегрирования Vegas с использованием библиотек высокой точности [19]. На основе этих алгоритмов создана программа FIESTA для численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения по секторам и для асимптотического разложения фейнмановских интегралов по малому параметру [61, 19, 63, 44]. Программа представляет собой уникальный общедоступный инструмент, используемый многими исследователями в своих работах и позволяющий в автоматическом режиме получать до шести знаков численного значения фейнмановских интегралов.

3. Разработан альтернативный алгоритм для выделения особенностей при вычислении интегралов методом Меллина-Барнса [62]. На его основе создана программа MBresolve для вычисления фейнмановских интегралов. Она позволяет выделять особенности в задачах, для которых не работали ранее существовавшие инструменты, и приводить к меньшему количеству выражений для интегрирования.

4. Стратегия нахождения областей реализована в виде компьютерного алгоритма [16], на основе которого создана программа asy. Она является уникальным инструментом для автоматического определения областей при асимптотическом разложении фейнмановских интегралов.

5. Комплекс описанных выше (а также ряда вспомогательных) программ составлен с учетом специфики развития современных компьютеров.

Программа FIRE успешно задействует параллелизацию с использованием общей памяти, тем самым выигрывая в производительности. Программа FIESTA может задействовать под вычисление требуемого интеграла сразу несколько компьютеров, взаимодействующих по протоколу Mathlink. Обе программыы как самые ресурсоемкие в комплексе, хранят часть данных на жестком диске для преодоления нехватки оперативной памяти. Все программы, входящие в комплекс, доступны для скачивания по адресу http: //science. sander. su/.

6. Разработанные численные методы позволили получить ряд физических результатов, из которых особенно стоит отметить вычисление трехпет-левого статического кваркового потенциала. Работа с описанием результатов [41] была отмечена Американским физическим обществом и попала в список избранных работ журнала Physical Review Letters.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

• в 2006 г. на семинаре физического факультета университета Билифель-да;

• пять раз (2006-2011 гг.) на семинаре Института теоретической физики Технологического Института Карлсруэ (Карлсруэ, Германия);

• в 2010 г. на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" (мехмат, МГУ);

• в 2011 г. на семинаре по методам вычислительной физики Института прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша;

• в 2011 г. на семинаре НИВЦ МГУ;

• в 2011 г. на семинаре по компьютерной алгебре факультета ВМК МГУ;

• в 2011 г. на семинаре Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ;

• в 2011 г. на семинаре "Вычислительная математика и приложения" Института вычислительной математики РАН; на международных конференциях:

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "Applying Groebner Bases to Solve Reduction Problems for Feynman Integrals"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2006;

• "Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research" — доклад "Reduction of Feynman integrals to master integrals"; National Institute for Subatomic Physics, Амстердам, Нидерланды, 2007;

• "New Methods for Feynman Integrals" — доклад "Feynman integral reduction"; Institute for Particle Physics Phenomenology, Durham University, Дарем, Великобритания, 2008;

• "New Methods for Feynman Integrals" — доклад "Feynman integral evaluation by a sector decomposition approach"; Institute for Particle Physics Phenomenology, Durham University, Дарем, Великобритания, 2008;

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "New methods for Feynman integrals: Feynman integral reduction"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2009;

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "New methods for Feynman integrals: Feynman integral evaluation by a sector decomposition approach"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2009.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 29 работ, из которых 19 работ — из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций, и 9 работ — в реферируемых журналах Proceedings of

Science и Nuclear Physics Proceedings Supplements, публикующих труды международных конференций.

Применения программ сторонними исследователями. Программы, представленные в диссертации, активно применялись и сторонними исследователями. В частности, на статьи с описаниями алгоритмов FIRE и FIESTA имеется уже более чем по 50 ссылок. Опишем применения этих программ.

FIRE использовался в работах

• Даулинга, Мондехара, Пиклума и Чарнецки для вычислении скорости полулептонного распада b —civ в рамках двухпетлевого приближения и разложения в пределе равных масс b и с кварков [76]; для вычисления поправки порядка a2(Za)5 к лэмбовскому сдвигу и сверхтонкому расщеплению в мюониуме [27, 28, 23]; Вуоринена для редукции интегралов, возникающих в рамках трехпет-левого приближения, при нахождении уравнения состояния кварковой материи при нулевой температуре и высокой плотности [66];

• Велижанина для редукции некоторых четырехпетлевых интегралов при вычислении четырехпетлевой аномальной размерности операторов в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [64, 65];

• Абелофа, Герман-де Риддер и Ритцмана для вычисления поправок первого и второго порядка в струйные наблюдаемые [55, 10, 6]; в Пака, Рогаля и Штайнхаузера при вычислении трехпетлевых поправок в рождение бозона Хиггса через глюонный синтез [60];

• Бехера и Белла при вычислении глюонной струйной функции в двух-петлевом приближении [8];

• Торбана и Ягера при вычислении масс легких кварков в различных перенормировочных схемах [31];

• Мищака и Штайнхаузера при вычислении асимптотического поведения поправок порядка a2s в распад В —>- Xs7 в пределе большой массы с-кварка [36];

• Бончани, Феррольи, Германа, Мантойфеля и Студеруса при вычислении двухпетлевых поправок в рождение тяжелых кварков через канал глюонного синтеза [9];

• Германа, Гловера, Хубера, Икизлерли и Штудеруса при вычислении трехпетлевых глюонных формфакторов в КХД [29];

• Бужезал, Герман-де Риддер и Ритцмана для вычисления NNLO вкладов в двойное реальное излучение [10];

• Колле и Штайнхаузера для вычисления кваркового и глюинного потенциалов в двухпетлевом приближении [12];

• Хай-ронг Донга, Фенг Фенга и Ю Сия для вычисления О (^-поправок в J/ф + XcJ-рождение [13];

• Грозина, Хёшеле, Хоффа и Штайнхаузера для вычисления трехпетлевых поправок в декаплинг бис кварков [14];

• Асатряна, Гройба, Кокулу и Егиазаряна для вычисления NLL вклада электромагнитного дипольного оператора в распад В —>■ [1];

• Ватанабе, Кио и Сасаки для вычисления NLO вклада в поляризационную структурную функцию фотона д\(х, Q2) в массивной партонной модели [5];

• Чачамиса, Хенчински, Мадригал Мартинеса и Сабио Вера для вычисления кваркового вклада в NLO глюонную траекторию Редже [2].

FIESTA использовалась в работах

• Велижанина для проверки значений мастер-интегралов при вычислении четырехпетлевой аномальной размерности операторов твиста 2 в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [64];

Белла при вычислении двухпетлевых КХД поправок к жестким коэффициентным функциям, возникающим в формуле факторизации для распада В —ХиЦ [47]

Кио, Зайделя и Штайнхаузера для вычисления последнего неизвестного вклада в двухпетлевые поправки в вершину на ^ пороге, обусловленные обменом XV бозона и глюона [58];

Бончиани и Феррольи для проверки значений мастер-интегралов при получении аналитического выражения двухпетлевых поправок к процессам распада Ь —>• и где Ь и и - массивный и безмассовый кварк, соответственно [72];

Маркварда, Пиклума, Зайделя и Штайнхаузера для вычисления вклада петель тяжелых фермионов в трехпетлевые коэффициенты пересчета для векторного тока [46];

Бончиани, Феррольи, Германа и Студеруса при вычислении двухпетлевых планарных поправок в рождение тяжелых кварков через канал кварк-антикварк [50];

Чакона, Митова и Стёрмана при проведении порогового суммирования для рождения адронов через тор-пару [53];

Феррольи, Нойберта, Пежака и Ли Лин Янга при анализе двухпетлевых расходимостей массивных амплитуд рассеяния в неабелевых калибровочных теориях [54];

Даулинга, Мондехара, Пиклума и Чарнецки для вычислении скорости полулептонного распада Ь —»■ с1у в рамках двухпетлевого приближения и разложения в пределе равных масс Ь и с кварков [76]; для вычисления поправки порядка а2^а)5 к лэмбовскому сдвигу и сверхтонкому расщеплению в мюониуме [27, 28];

Дель Дуки, Дюра и В. Смирнова для вычисления шестиугольных и восьмиугольных вильсоновских петель [25, 26, 24];

• Германа, Гловера, Хубера, Икицлерли и Студеруса для вычисления трехпетлевых кваркового и глюонного формфакторов в КХД в разложении вплоть до б2 [30];

• Пенг Сун, Ганг Хао, Кног-Фенг Сяо для вычисления для процессов распада тяжелого кваркония в пары векторных мезонов [20];

• Германа, Хенна и Хубера для вычисления трехпетлевого формфактора в N = 4 ЭУМ [3].

Благодарности. Структура диссертации очень жестко регламентирована, но вот раздел с благодарностями, к счастью, оставляется на усмотрение автора. Так что в этом неформальном разделе можно не следовать каким-либо правилам, а поблагодарить всех тех, кто сделал возможным создание этой работы.

А благодарить мне хочется много кого. Начну со своей семьи - мамы, папы, бабушек и дедушек. Они вырастили меня, воспитали, дали мне правильные ценности, внушили чувство уважения к науке. Мне очень жаль, что из старшего поколения сейчас в живых осталась только одна бабушка, а оба деда умерли — думаю, сейчас им бы были очень приятны мои успехи, и они гордились бы мной.

Перейду к образованию и начну с пятьдесят седьмой школы — мне бы хотелось поблагодарить всех учителей и, конечно же, своего классного руководителя и учителя математики, Рафаила Калмановича Гордина. Я поступил туда в девятый, математический класс, и это место стало для меня спасением от невозможности ужиться в школе обычной. Ну и, конечно, именно в пятьдесят седьмой школе стало понятно, что математика — это для меня. Следующий человек, без которого не было бы ни докторской, ни, возможно, и кандидатской, это мой научный руководитель Эрнест Борисович Винберг, а также его помощники Дмитрий Тимашев и Иван Аржанцев. На кафедре высшей алгебры механико-математического факультета МГУ под руководством

Эрнеста Борисовича я сформировался как математик. Такого требовательного, но в то же время помогающего во всем научного руководителя я пожелал бы каждому.

После защиты кандидатской я стал работать в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ, и, конечно, хотел бы поблагодарить своих начальников — Ольгу Дмитриевну Авраамову и Александра Владимировича Тихонравова. Они дали мне возможность одновременно работать на благо университета и заниматься научной деятельностью — именно во время работы в НИВЦ была создана эта диссертация.

Если переходить к научной деятельности по теме диссертации, то, конечно же, стоит начать с моего отца, который вовлек меня в эту тематику и мотивировал все это время. После защиты кандидатской я был немного потерян — старая тема исчерпала себя, и именно он заинтересовал меня новой научной проблемой, так что постепенно был создан программный комплекс и написана эта диссертация. Я также благодарен всем своим коллегам и соавторам за интересное и плодотворное сотрудничество. Невозможно перечислить всех, но мне бы хотелось отметить Владимира Петровича Гердта — именно его идеи о применении базисов Гребнера дали первый толчок к развитию моей программы редукции. Также очень важную роль сыграл Михаил Тентюков — его оригинальный стиль программирования и сотрудничество при создании программы вычисления фейнмановских интегралов были незаменимы для меня.

Подготовка диссертации к защите — тоже большой труд. Я бы хотел поблагодарить ученого секретаря НИВЦ, Владимира Викторовича Суворова, за постоянную помощь в подготовке документов и выполнении всех требований к оформлению диссертации и реферата. А за помощь в подготовке текста диссертации и автореферата мне бы хотелось поблагодарить моих родителей и жену. Вычитать текст диссертации и исправить в нем грамматические и орфографические ошибки — очень непростое дело, особенно если читаешь текст из незнакомой тебе области исследования.

Научное сотрудничество и написание текста, безусловно, важны, но ничего не было бы создано без благоприятных условий, без душевного равновесия. Я еще раз хотел бы поблагодарить за создание таких условий моих родителей и бабушку, всех моих друзей, ну и, конечно же, мою жену Лену, потому что без настоящей любви все наши достижения в жизни меркнут и теряют смысл.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе описан комплекс алгоритмов и программ, разработанных автором для вычисления фейнмановских интегралов. Результаты автора имеют как теоретическое, так и практическое значение. К теоретическому можно отнести обоснование методов вычисления интегралов и разработку новых алгоритмов. К практическому — реализацию алгоритмов в виде программного комплекса с использованием современных средств разработки и учетом особенностей современного развития ЭВМ.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в том, что автором был разработан комплекс алгоритмов и программ, позволяющий вычислять существенно более сложные фейнмановские интегралы и, тем самым, получать новые физические результаты, требуемые для сравнения теории с экспериментом и для вычисления фундаментальных физических величин. Все описанные программы имеют под собой математическое обоснование, написаны с учетом развития современных компьютеров и были многократно использованы как в совместных работах, так и сторонними исследователями. Две статьи с описаниями двух различных программ (FIRE и FIESTA) имеют уже более 50 цитирований каждая.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Смирнов, Александр Владимирович, 2012 год

1. Asatrian H. M., Greub C., Kokulu A., Yeghiazaryan A. NLL QCD contribution of the Electromagnetic Dipole operator to В —y Xs gamma gamma // Phys. Rev. 2012. Vol. D85. P. 014020.

2. Chachamis G., Hentschinski M., Martinez J. D. M., Vera A. S. Quark contribution to the gluon Regge trajectory at NLO from the high energy effective action // Nucl. Phys. 2012. Vol. B861. P. 133-144.

3. Gehrmann T., Henn J. M., Huber T. The three-loop form factor in N=4 super Yang-Mills // JHEP. 2012. Vol. 1203. P. 101. 34 pages, 9 figures.

4. Lee R. N., Smirnov A. V.; Smirnov V. A. Master Integrals for Four-Loop Massless Propagators up to Transcendentality Weight Twelve // Nucl. Phys. 2012. Vol. B856. P. 95-110.

5. Watanabe N., Kiyo Y., Sasaki K. The polarized photon structure function gj0, Q2) in massive parton model in NLO // Phys. Lett. 2012. Vol. B707. P. 146-150.

6. Abelof G., Gehrmann-De Ridder A. Antenna subtraction for the production of heavy particles at hadron colliders // JHEP. 2011. Vol. 04. P. 063.

7. Aluffi P., Marcolli M. Algebro-geometric Feynman rules // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2011. Vol. 8. P. 203-237.

8. Becher T., Bell G. The gluon jet function at two-loop order // Phys. Lett. 2011. Vol. B695. P. 252-258.

9. Bonciani R., Ferroglia A., Gehrmann T., Manteuffel A., Studerus C. Two-Loop Leading Color Corrections to Heavy-Quark Pair Production in the Gluon Fusion Channel // JHEP. 2011. Vol. 01. P. 102.

10. Boughezal R., Gehrmann-De Ridder A., Ritzmann M. Antenna subtraction at NNLO with hadronic initial states: double real radiation for initial-initial configurations with two quark flavours // JHEP. 2011. Vol. 02. P. 098.

11. Brown F., Yeats K. Spanning forest polynomials and the transcendental weight of Feynman graphs // Commun. Math. Phys. 2011. Vol. 301. P. 357382.

12. Collet T., Steinhauser M. Heavy quark and gluino potentials to two loops // Phys. Lett. 2011. Vol. B704. P. 163-165.

13. Dong H.-R., Feng F., Jia Y. 0(as) corrections to J/4> + XcJ production at B factories // JHEP. 2011. Vol. 10. P. 141.

14. Grozin A. G. et al. Simultaneous decoupling of bottom and charm quarks // JHEP. 2011. Vol. 09. P. 066.

15. Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. On Epsilon Expansions of Four-loop Non-planar Massless Propagator Diagrams // Eur. Phys. J. 2011. Vol. C71. P. 1708.

16. Pak A., Smirnov A. Geometric approach to asymptotic expansion of Feynman integrals // Eur. Phys. J. 2011. Vol. C71. P. 1626.

17. Schnetz 0. Quantum field theory over Fq // Electron. J. Comb. 2011. Vol. 18N1. P. P102.

18. Smirnov A. V., Petukhov A. V. The number of master integrals is finite // Lett. Math. Phys. 2011. Vol. 97. P. 37-44.

19. Smirnov A. V., Smirnov V. ATentyukov M. FIESTA 2: parallelizeable multiloop numerical calculations // Comput. Phys. Commun. 2011. Vol. 182. P. 790-803.

20. Sun P., Hao G., Qiao C.-F. Pseudoscalar Quarkonium Exclusive Decays to Vector Meson Pair // Phys.Lett. 2011. Vol. B702. P. 49-54.

21. Anzai C., Kiyo Y., Sumino Y. Static QCD potential at three-loop order // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 112 003.

22. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Four Loop Massless Propagators: an Algebraic Evaluation of All Master Integrals // Nucl. Phys. 2010. Vol. B837. P. 186-220.

23. Czarnecki A., Dowling M., Mondejar J., Piclum J. H. Magnetic moment of a bound electron // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 271-276.

24. Del Duca V., Duhr C., Smirnov V. A. A Two-Loop Octagon Wilson Loop in N = 4 SYM // JHEP. 2010. Vol. 09. P. 015.

25. Del Duca V., Duhr C., Smirnov V. A. An Analytic Result for the Two-Loop Hexagon Wilson Loop in N = 4 SYM // JHEP. 2010. Vol. 03. P. 099.

26. Del Duca V., Duhr C., Smirnov V. A. The Two-Loop Hexagon Wilson Loop in N = 4 SYM // JHEP. 2010. Vol. 05. P. 084.

27. Dowling M., Mondejar J., Piclum J. H., Czarnecki A. Radiative-nonrecoil corrections of order a2(Za)5 to the Lamb shift // Phys. Rev. 2010. Vol. A81. P. 022509.

28. Dowling M., Mondejar J., Piclum J. H., Czarnecki A. Two-loop corrections to the Lamb shift // PoS. 2010. Vol. RADCOR2009. P. 076.

29. Gehrmann T., Glover E. W. N. Huber T., Ikizlerh N., Studerus C. Calculation of the quark and gluon form factors to three loops in QCD // JHEP. 2010. Vol. 06. P. 094.

30. Gehrmann T.; Glover E. W. N., Huber T., Ikizlerh N., Studerus C. The quark and gluon form factors to three loops in QCD through to 0(e2) // JHEP. 2010. Vol. 11. P. 102.

31. Gorbahn M., Jager S. Precise MS-bar light-quark masses from lattice QCD in the RI/SMOM scheme // Phys. Rev. 2010. Vol. D82. P. 114001.

32. Kaneko T., Veda T. A geometric method of sector decomposition // Com-put. Phys. Commun. 2010. Vol. 181. P. 1352-1361.

33. Lee R. N. Smirnov A. V., Smirnov V. A. Analytic Results for Massless Three-Loop Form Factors // JHEP. 2010. Vol. 04. P. 020.

34. Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Dimensional recurrence relations: an easy way to evaluate higher orders of expansion in e // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 308-313.

35. Maier A., Maierhofer P., Marquard P., Smirnov A. V. Low energy moments of heavy quark current correlators at four loops // Nucl. Phys. 2010. Vol. B824. P. 1-18.

36. Misiak M., Steinhauser M. Large-mc Asymptotic Behaviour of 0(a2) Corrections to B gamma // Nucl. Phys. 2010. Vol. B840. P. 271-283.

37. Schnetz 0. Quantum periods: A census of </>4-transcendentals // Commun. Num. Theor. Phys. 2010. Vol. 4. P. 1-48.

38. Smirnov A. V., Smirnov V. A.; Steinhauser M. Full result for the three-loop static quark potential // PoS. 2010. Vol. RADCOR2009. P. 075.

39. Smirnov A. V.; Smirnov V. A., Steinhauser M. The static quark potential to three loops in perturbation theory // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 320-325.

40. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Three-loop heavy quark potential // PoS. 2010. Vol. ICHEP2010. P. 217.

41. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Three-loop static potential // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 112002.

42. Smirnov A. V., Tentyukov M. Four Loop Massless Propagators: a Numerical Evaluation of All Master Integrals // Nucl. Phys. 2010. Vol. B837. P. 40-49.

43. Studerus C. Reduze Feynman Integral Reduction in C++ // Comput. Phys. Commun. 2010. Vol. 181. P. 1293-1300.

44. Tentyukov M., Smirnov A. V. Applications of FIESTA // PoS. 2010. Vol. ACAT2010. P. 081.

45. Baikov P. A., Chetyrkin K. G., Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Quark and gluon form factors to three loops // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 212002.

46. Bekavac S.; Grozin A. G., Seidel D., Smirnov V. A. Three-loop on-shell Feynman integrals with two masses // Nucl. Phys. 2009. Vol. B819. P. 183200.

47. Bell G. NNLO corrections to inclusive semileptonic B decays in the shape-function region // Nucl. Phys. 2009. Vol. B812. P. 264-289.

48. Beneke M., Huber T., Li X. Q. Two-loop QCD correction to differential semi-leptonic b > u decays in the shape-function region // Nucl. Phys. 2009. Vol. B811. P. 77-97.

49. Bogner C., Weinzierl S. Periods and Feynman integrals // J. Math. Phys. 2009. Vol. 50. P. 042302.

50. Bonciani R., Ferroglia A., Gehrmann T., Studerus C. Two-Loop Planar Corrections to Heavy-Quark Pair Production in the Quark-Antiquark Channel // JHEP. 2009. Vol. 08. P. 067.

51. Brambilla N., Vairo A., Garcia i Tormo X., Soto J. The QCD static energy at NNNLL // Phys. Rev. 2009. Vol. D80. P. 034016.

52. Brown F. The massless higher-loop two-point function // Commun. Math. Phys. 2009. Vol. 287. P. 925-958.

53. Czakon M., Mitov A., Sterman G. F. Threshold Resummation for Top-Pair Hadroproduction to Next-to-Next-to-Leading Log // Phys. Rev. 2009. Vol. D80. P. 074017.

54. Ferroglia A., Neubert M., Pecjak B. D., Yang L. L. Two-loop divergences of scattering amplitudes with massive partons // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103. P. 201601.

55. Gehrmann-De Ridder A., Ritzmann M. NLO Antenna Subtraction with Massive Fermions // JHEP. 2009. Vol. 07. P. 041.

56. Hoang A. H. et al. Heavy Quark Vacuum Polarization Function at 0(a2) and 0(a3) // Nucl. Phys. 2009. Vol. B813. P. 349-369.

57. Kvyo Y., Maier A., Maierhofer P., Marquard P. Reconstruction of heavy quark current correlators at O(c^) // Nucl. Phys. 2009. Vol. B823. P. 269287.

58. Kiyo Y., Seidel D., Steinhauser M. G(aas) corrections to the 7tt vertex at the top quark threshold // JHEP. 2009. Vol. 01. P. 038.

59. Marquard P., Piclum J. H., Seidel D., Steinhauser M. Completely automated computation of the heavy-fermion corrections to the three-loop matching coefficient of the vector current // Phys. Lett. 2009. Vol. B678. P. 269-275.

60. Рак A., Rogal M., Steinhauser M. Virtual three-loop corrections to Higgs boson production in gluon fusion for finite top quark mass // Phys. Lett. 2009. Vol. B679. P. 473-477.

61. Smirnov A. VSmirnov V. A. Hepp and Speer Sectors within Modern Strategies of Sector Decomposition // JHEP. 2009. Vol. 05. P. 004.

62. Smirnov A. V., Smirnov V A. On the Resolution of Singularities of Multiple Mellin- Barnes Integrals // Eur. Phys. J. 2009. Vol. C62. P. 445-449.

63. Smirnov A. V., Tentyukov M. N. Feynman Integral Evaluation by a Sector decomposiTion Approach (FIESTA) // Comput. Phys. Commun. 2009. Vol. 180. P. 735-746.

64. Velizhanin V. N. Leading transcedentality contributions to the four-loop universal anomalous dimension in N=4 SYM // Phys. Lett. 2009. Vol. B676. P. 112-115.

65. Velizhanin V. N. The non-planar contribution to the four-loop universal anomalous dimension in N=4 Supersymmetric Yang-Mills theory // JETP Lett. 2009. Vol. 89. P. 593-596.

66. Vuorinen A. Equation of state of zero-temperature quark matter with finite quark masses // Nucl. Phys. 2009. Vol. A820. P. 183c-186c.

67. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Kuhn J. H. Order aj QCD Corrections to Z and r Decays // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 012002.

68. Bierenbaum I., Blumlein JKlein S.} Schneider C. Two-Loop Massive Operator Matrix Elements for Unpolarized Heavy Flavor Production to O(e) // Nucl. Phys. 2008. Vol. B803. P. 1-41.

69. Block S., Kreimer D. Mixed Hodge Structures and Renormalization in Physics // Commun. Num. Theor. Phys. 2008. Vol. 2. P. 637-718.

70. Bogner C., Weinzierl S. Blowing up Feynman integrals // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2008. Vol. 183. P. 256-261.

71. Bogner C., Weinzierl S. Resolution of singularities for multi-loop integrals // Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 178. P. 596-610.

72. Bonciani R., Ferroglia A. Two-Loop QCD Corrections to the Heavy-to-Light Quark Decay // JHEP. 2008. Vol. 11. P. 065.

73. Czakon M., Mitov A., Moch S. Heavy-quark production in gluon fusion at two loops in QCD // Nucl. Phys. 2008. Vol. B798. P. 210-250.

74. Czakon M. Tops from Light Quarks: Full Mass Dependence at Two-Loops in QCD // Phys. Lett. 2008. Vol. B664. P. 307-314.

75. Davies C. et al. Update: Accurate Determinations of as from Realistic Lattice QCD // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 114507.

76. Bowling M., Piclurn J. H., Czarnecki A. Semileptonic decays in the limit of a heavy daughter quark // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 074024.

77. Green M. B., Russo J. G., Vanhove P. Modular properties of two-loop maximal supergravity and connections with string theory // JHEP. 2008. Vol. 07. P. 126.

78. Heinrich G., Huber T., Maitre D. Master Integrals for Fermionic Contributions to Massless Three-Loop Form Factors // Phys. Lett. 2008. Vol. B662. P. 344-352.

79. Heinrich G. Sector Decomposition // Int. J. Mod. Phys. 2008. Vol. A23. P. 1457-1486.

80. Laporta S. Analytical expressions of 3 and 4-loop sunrise Feynman integrals and 4-dimensional lattice integrals // Int. J. Mod. Phys. 2008. Vol. A23. P. 5007-5020.

81. Lee R. N. Group structure of the integration-by-part identities and its application to the reduction of multiloop integrals // JHEP. 2008. Vol. 07. P. 031.

82. Maier A., Maierhof er P., Marqaurd P. The second physical moment of the heavy quark vector correlator at 0(a3) // Phys. Lett. 2008. Vol. B669. P. 88-91.

83. Maier A., Maierhof er P., Marquard P. Higher Moments of Heavy Quark Correlators in the Low Energy Limit at 0(a2) // Nucl. Phys. 2008. Vol. B797. P. 218-242.

84. Maltman K., Leinweber D., Moran P., Sternbeck A. The Realistic Lattice Determination of as(Mz) Revisited // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 114504.

85. Pak A., Czarnecki A. Heavy-to-heavy quark decays at NNLO // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 114015.

86. Pilipp V. Semi-numerical power expansion of Feynman integrals // JHEP. 2008. Vol. 09. P. 135.

87. Smirnov A. V. Algorithm FIRE Feynman Integral REduction // JHEP. 2008. Vol. 10. P. 107.

88. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Evaluating the three-loop static quark potential // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2008. Vol. 183. P. 308.

89. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Fermionic contributions to the three-loop static potential // Phys. Lett. 2008. Vol. B668. P. 293-298.

90. Somogyi G., Trocsanyi Z. A subtraction scheme for computing QCD jet cross sections at NNLO: integrating the subtraction terms I // JHEP. 2008. Vol. 08. P. 042.

91. Sturm C. Moments of Heavy Quark Current Correlators at Four-Loop Order in Perturbative QCD // JHEP. 2008. Vol. 09. P. 075.

92. Weinzierl S. NNLO corrections to 3-jet observables in electron-positron annihilation // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 162001.

93. Bern Z., Czakon M., Dixon L. J., Kosower D. ASmirnov V. A. The Four-Loop Planar Amplitude and Cusp Anomalous Dimension in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory // Phys. Rev. 2007. Vol. D75. P. 085010.

94. Czakon M., Mitov A., Moch S. Heavy-quark production in massless quark scattering at two loops in QCD // Phys. Lett. 2007. Vol. B651. P. 147-159.

95. Drummond J. M., Henn J., Smirnov V. A., Sokatchev E. Magic identities for conformal four-point integrals // JHEP. 2007. Vol. 01. P. 064.

96. Gehrmann-De Ridder A., Gehrmann T., Glover E. W. N., Heinrich G. NNLO corrections to event shapes in e+e~ annihilation // JHEP. 2007. Vol. 12. P. 094.

97. Gluza J., Kajda K., Riemann T. AMBRE: A Mathematica package for the construction of Mellin-Barnes representations for Feynman integrals // Comput.Phys.Commun. 2007. Vol. 177. P. 879-893. 26 pages, 10 figures, 1 table.

98. Kuhn J. H., Steinhauser M., Sturm C. Heavy quark masses from sum rules in four-loop approximation // Nucl. Phys. 2007. Vol. B778. P. 192-215.

99. Misiak M., Steinhauser M. NNLO QCD corrections to the B —> Xs gamma matrix elements using interpolation in mc // Nucl. Phys. 2007. Vol. B764. P. 62-82.

100. M.Misiak et al. The first estimate of B(B X/sy) at 0(a(s)2) // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 022002.

101. Smirnov A. V., Smirnov V. A. On the reduction of Feynman integrals to master integrals // PoS. 2007. Vol. ACAT2007. P. 085.

102. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Applying Mellin-Barnes technique and Groebner bases to the three-loop static potential // PoS. 2007. Vol. RADCOR2007. P. 024.

103. Anastasiou C., Daleo A. Numerical evaluation of loop integrals // JHEP. 2006. Vol. 10. P. 031.

104. Baikov P. A. A practical criterion of irreducibility of multi-loop Feynman integrals // Phys. Lett. 2006. Vol. B634. P. 325-329.

105. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Higgs decay into hadrons to order a(s)5 // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 061803.

106. Becher T., Neubert M. Toward a NNLO calculation of the B —> X/s gamma decay rate with a cut on photon energy. I: Two-loop result for the soft function // Phys. Lett. 2006. Vol. B633. P. 739-747.

107. Becher T., Neubert M. Toward a NNLO calculation of the B X/s+ gamma decay rate with a cut on photon energy. II: Two-loop result for the jet function // Phys. Lett. 2006. Vol. B637. P. 251-259.

108. Bekavac S. Calculation of massless Feynman integrals using harmonic sums // Comput. Phys. Commun. 2006. Vol. 175. P. 180-195.

109. Bern Z., Czakon M., Kosower D. A., Roiban R., Smirnov V. A. Two-loop iteration of five-point N = 4 super-Yang-Mills amplitudes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 181601.

110. Boughezal R., Czakon M., Schutzmeier T. Charm and bottom quark masses from perturbative QCD // Phys. Rev. 2006. Vol. D74. P. 074006.

111. Boughezal R., Czakon M., Schutzmeier T. Four-loop tadpoles: Applications in QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2006. Vol. 160. P. 160-164.

112. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Sturm C. Four-loop moments of the heavy quark vacuum polarization function in perturbative QCD // Eur. Phys. J. 2006. Vol. C48. P. 107-110.

113. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Sturm C. QCD decoupling at four loops // Nucl. Phys. 2006. Vol. B744. P. 121-135.

114. Czakon M. Automatized analytic continuation of Mellin-Barnes integrals // Comput. Phys. Commun. 2006. Vol. 175. P. 559-571.

115. Gehrmann T., Hemrich G., Ruber T., Studerus C. Master integrals for massless three-loop form factors: One-loop and two-loop insertions // Phys. Lett. 2006. Vol. B640. P. 252-259.

116. Gerdt V. P., Robertz D. A Maple Package for Computing Groebner Bases for Linear Recurrence Relations // Nucl. Instrum. Meth. 2006. Vol. A559. P. 215-219.

117. Grozin A. G., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Decoupling of heavy quarks in HQET // JHEP. 2006. Vol. 11. P. 022.

118. Jantzen ВSmirnov V. A. The two-loop vector form factor in the Sudakov limit // Eur. Phys. J. 2006. Vol. C47. P. 671-695.

119. Schroder Y., Steinhauser M. Four-loop decoupling relations for the strong coupling // JHEP. 2006. Vol. 01. P. 051.

120. Smirnov A. V. An algorithm to construct Groebner bases for solving integration by parts relations // JHEP. 2006. Vol. 04. P. 026.

121. Smirnov A. V., Smirnov V. A. Applying Groebner bases to solve reduction problems for Feynman integrals // JHEP. 2006. Vol. 01. P. 001.

122. Smirnov A. V., Smirnov V. A. S-bases as a tool to solve reduction problems for Feynman integrals // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2006. Vol. 160. P. 80-84.

123. Смирнов А. В. Проективные орбиты редуктивных групп и многогранники Бриона // УМН. 2005. Т. 60. С. 147.

124. Bern Z., Dixon L. J., Smirnov V. A. Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond // Phys. Rev. 2005. Vol. D72. P. 085001.

125. Czakon M., Gluza J., Riemann T. On the massive two-loop corrections to Bhabha scattering // Acta Phys. Polon. 2005. Vol. B36. P. 3319-3326.

126. Gehrmann T., Huber T., Maitre D. Two-loop quark and gluon form factors in dimensional régularisation // Phys. Lett. 2005. Vol. B622. P. 295-302.

127. Hahn T. CUBA: A library for multidimensional numerical integration // Comput. Phys. Commun. 2005. Vol. 168. P. 78-95.

128. Laporta S., Remiddi E. Analytic treatment of the two loop equal mass sunrise graph // Nucl. Phys. 2005. Vol. B704. P. 349-386.

129. Moch S., Vermaseren J. A. M., Vogt A. The quark form factor at higher orders // JHEP. 2005. Vol. 08. P. 049.

130. Moch S., Vermaseren J. A. M., Vogt A. Three-loop results for quark and gluon form factors // Phys. Lett. 2005. Vol. B625. P. 245-252.

131. Ravindran V., Smith J., van Neerven W. L. Two-loop corrections to Higgs boson production // Nucl. Phys. 2005. Vol. B704. P. 332-348.

132. Vermaseren J. A. M., Vogt A., Moch S. The third-order QCD corrections to deep-inelastic scattering by photon exchange // Nucl. Phys. 2005. Vol. B724. P. 3-182.

133. Anastasiou C., Lazopoulos A. Automatic integral reduction for higher order perturbative calculations // JHEP. 2004. Vol. 07. P. 046.

134. Binoth T., Heinrich G. Numerical evaluation of multi-loop integrals by sector decomposition // Nucl. Phys. 2004. Vol. B680. P. 375-388.

135. Binoth T., Heinrich G. Numerical evaluation of phase space integrals by sector decomposition // Nucl. Phys. 2004. Vol. B693. P. 134-148.

136. Gerdt V P. Groebner Bases in Perturbative Calculations // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2004. Vol. 135. P. 232-237.

137. Grozin A. G. Heavy quark effective theory // Springer Tracts Mod. Phys. 2004. Vol. 201. P. 1-213.

138. Heinrich G., Smirnov V A. Analytical evaluation of dimensionally regularized massive on-shell double boxes // Phys. Lett. 2004. Vol. B598. P. 55-66.

139. Smirnov V. A. Evaluating Feynman integrals // Springer Tracts Mod. Phys. 2004. Vol. 211. P. 1-244.

140. Smirnov V A. Evaluating multiloop Feynman integrals by Mellin-Barnes representation // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2004. Vol. 135. P. 252-256.

141. Tarasov O. V. Computation of Groebner bases for two-loop propagator type integrals // Nucl. Instrum. Meth. 2004. Vol. A534. P. 293-298.

142. Bierenbaum I., Weinzierl S. The Massless two loop two point function // Eur.Phys.J. 2003. Vol. C32. P. 67-78.

143. Chetyrkin K. G., Grozin A. G. Three-loop anomalous dimension of the heavy-light quark current in HQET // Nucl. Phys. 2003. Vol. B666. P. 289302.

144. Pineda A. The static potential: Lattice versus perturbation theory in a renormalon-based approach // J. Phys. 2003. Vol. G29. P. 371-385.

145. Ravindran V.; Smith J., van Neerven W. L. NNLO corrections to the total cross section for Higgs boson production in hadron hadron collisions // Nucl. Phys. 2003. Vol. B665. P. 325-366.

146. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massless on-shell planar triple box // Phys. Lett. 2003. Vol. B567. P. 193-199.

147. Anastasiou C., Melnikov K. Higgs boson production at hadron colliders in NNLO QCD // Nucl. Phys. 2002. Vol. B646. P. 220-256.

148. Harlander R. V., Kilgore W. B. Next-to-next-to-leading order Higgs production at hadron colliders // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 201801.

149. Kniehl B. A., Penin A. A.; Smirnov V. A. Steinhauser M. Potential NRQCD and heavy-quarkonium spectrum at next-to- next-to-next-to-leading order // Nucl. Phys. 2002. Vol. B635. P. 357-383.

150. Kniehl B. A., Penin A. A., Steinhauser M., Smirnov V. A. Nonabelian a(s)3/(m(q)r2) heavy-quark-antiquark potential // Phys. Rev. 2002. Vol. D65. P. 091503.

151. Laporta S. High-precision epsilon expansions of massive four-loop vacuum bubbles I I Phys. Lett. 2002. Vol. B549. P. 115-122.

152. Penin A. A., Steinhauser M. Heavy Quarkonium Spectrum at 0(a^mq) and Bottom/Top Quark Mass Determination // Phys. Lett. 2002. Vol. B538. P. 335-345.

153. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massive on-shell planar double box // Phys. Lett. 2002. Vol. B524. P. 129-136.

154. Smirnov V. A. Applied asymptotic expansions in momenta and masses // Springer Tracts Mod. Phys. 2002. Vol. 177. P. 1-262.

155. Smirnov V. A. The leading power Regge asymptotic behaviour of dimensionally regularized massless on-shell planar triple box // Phys. Lett. 2002. Vol. B547. P. 239-244.

156. Steinhauser M. Results and techniques of multi-loop calculations // Phys. Rept. 2002. Vol. 364. P. 247-357.

157. Chishtie F. A., Elias V. RG/Pade estimate of the three-loop contribution to the QCD static potential function // Phys. Lett. 2001. Vol. B521. P. 434440.

158. Kuhn J. H., Steinhauser M. Determination of as and heavy quark masses from recent measurements of R(s) // Nucl. Phys. 2001. Vol. B619. P. 588602.

159. Necco S., Sommer R. Testing perturbation theory on the N(f) = 0 static quark potential // Phys. Lett. 2001. Vol. B523. P. 135-142.

160. Pineda A. Determination of the bottom quark mass from the Upsilon(lS) system // JHEP. 2001. Vol. 06. P. 022.

161. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massless master non-planar double box with one leg off shell // Phys. Lett. 2001. Vol. B500. P. 330-337.

162. Anastasiou C., Gehrmann T., Oleari C., Remiddi E., Tausk J. B. The tensor reduction and master integrals of the two-loop massless crossed box with light-like legs // Nucl. Phys. 2000. Vol. B580. P. 577-601.

163. Anastasiou C. Tausk J. B., Tejeda-Yeomans M. E. The on-shell massless planar double box diagram with an irreducible numerator // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. Vol. 89. P. 262-267.

164. Baikov P. A., Smirnov V. A. Equivalence of recurrence relations for Feyn-man integrals with the same total number of external and loop momenta // Phys. Lett. 2000. Vol. B477. P. 367-372.

165. Binoth T., Heinrich G. An automatized algorithm to compute infrared divergent multi-loop integrals // Nucl. Phys. 2000. Vol. B585. P. 741-759.

166. Brambilla N., Pineda A., Soto J., Vairo A. Potential NRQCD: An effective theory for heavy quarkonium // Nucl. Phys. 2000. Vol. B566. P. 275.

167. Glover E. W. N., Tejeda-Yeomans M. E. Progress towards two —two scattering at two loops // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. Vol. 89. P. 196-202.

168. Grozin A. G. Calculating three-loop diagrams in heavy quark effective theory with integration-by-parts recurrence relations // JHEP. 2000. Vol. 03. P. 013.

169. Harlander R. V. Virtual corrections to g g —> H to two loops in the heavy top limit // Phys. Lett. 2000. Vol. B492. P. 74-80.

170. Hoang A., Beneke M., Melnikov K., Nagano T., Ota A., Penin A., Pivo-varov A., Signer A. et al. Top-antitop pair production close to threshold: Synopsis of recent NNLO results // Eur. Phys. J. direct. 2000. Vol. C2. P. 1.

171. Laporta S. High-precision calculation of multi-loop Feynman integrals by difference equations // Int. J. Mod. Phys. 2000. Vol. A15. P. 5087-5159.

172. Smirnov V. A. Analytical Result for Dimensionally Regularized Massless Master Double Box with One Leg off Shell // Phys. Lett. 2000. Vol. B491. P. 130-136.

173. Smirnov V. A. Veretin O. L. Analytical results for dimensionally regularized massless on-shell double boxes with arbitrary indices and numerators // Nucl. Phys. 2000. Vol. B566. P. 469-485.

174. Bali G. S. Are there short distance non-perturbative contributions to the QCD static potential? // Phys. Lett. 1999. Vol. B460. P. 170.

175. Brambilla N., Pineda A., Soto J., Vairo A. The infrared behaviour of the static potential in perturbative QCD // Phys. Rev. 1999. Vol. D60. P. 091502.

176. Ferguson H. R. P., Bailey D. H., Arno S. Analysis of PSLQ, An Integer Relation Finding Algorithm // Math, of Comp. 1999. Vol. 68. P. 351-369.

177. Schroder Y. The static potential in QCD to two loops // Phys. Lett. 1999. Vol. B447. P. 321-326.

178. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massless on-shell double box // Phys. Lett. 1999. Vol. B460. P. 397-404.

179. Smirnov V. A. Problems of the strategy of regions // Phys. Lett. 1999. Vol. B465. P. 226-234.

180. Tausk J. B. Non-planar massless two-loop Feynman diagrams with four on-shell legs // Phys. Lett. 1999. Vol. B469. P. 225-234.

181. Beneke M., Smirnov V. A. Asymptotic expansion of Feynman integrals near threshold // Nucl. Phys. 1998. Vol. B522. P. 321-344.

182. Buchberger B. Introduction to Grobner bases // Grobner Bases and Applications / Ed. by B. Buchberger, F. Winkler. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. Vol. 251 of London Mathematical Society Lecture Note Series. P. 3-31.

183. Caffo M., Czyz H., Laporta S., Remiddi E. The master differential equations for the 2-loop sunrise selfmass amplitudes // Nuovo Cim. 1998. Vol. Alll. P. 365-389.

184. Chetyrkin K. G., Kniehl B. A., Steinhauser M. Decoupling relations to 0(a;!) and their connection to low-energy theorems // Nucl. Phys. 1998. Vol. B510. P. 61-87.

185. Grozin A. G. Decoupling of heavy quark loops in light-light and heavy- light quark currents // Phys. Lett. 1998. Vol. B445. P. 165-167.

186. Harlander R., Seidensticker T., Steinhauser M. Complete corrections of O(ao;(s)) to the decay of the Z boson into bottom quarks // Phys. Lett. 1998. Vol. B426. P. 125-132.

187. Tarasov 0. V. Reduction of Feynman graph amplitudes to a minimal set of basic integrals // Acta Phys. Polon. 1998. Vol. B29. P. 2655.

188. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Steinhauser M. Heavy quark current correlators to 0(a2s) // Nucl. Phys. 1997. Vol. B505. P. 40-64.

189. Peter M. The static potential in QCD: A full two-loop calculation // Nucl. Phys. 1997. Vol. B501. P. 471-494.

190. Peter M. The static quark-antiquark potential in QCD to three loops // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 602-605.

191. Remiddi E. Differential equations for Feynman graph amplitudes // Nuovo Cim. 1997. Vol. A110. P. 1435-1452.

192. Baikov P. A. Explicit solutions of the 3-loop vacuum integral recurrence relations // Phys. Lett. 1996. Vol. B385. P. 404-410.

193. Barber C. B., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM TOMS. 1996. Vol. 22, no. 4. P. 469-483.

194. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Kwiatkowski A. QCD corrections to the e+ e- cross-section and the Z boson decay rate: Concepts and results // Phys. Rept. 1996. Vol. 277. P. 189-281.

195. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Steinhauser M. Heavy Quark Vacuum Polarisation to Three Loops // Phys. Lett. 1996. Vol. B371. P. 93-98.

196. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Steinhauser M. Three-loop polarization function and 0(a;2) corrections to the production of heavy quarks // Nucl. Phys. 1996. Vol. B482. P. 213-240.

197. Bauberger S., Berends F. A., Böhm M., Buza M. Analytical and numerical methods for massive two loop selfenergy diagrams // Nucl. Phys. 1995. Vol. B434. P. 383-407.

198. Broadhurst D. J., Grozin A. G. Matching QCD and HQET heavy light currents at two loops and beyond // Phys. Rev. 1995. Vol. D52. P. 40824098.

199. Weiglein G., Scharf R., Bohm M. Reduction of general two loop selfenergies to standard scalar integrals // Nucl. Phys. 1994. Vol. B416. P. 606-644.

200. Denner A. Techniques for calculation of electroweak radiative corrections at the one loop level and results for W physics at LEP-200 // Fortschr. Phys. 1993. Vol. 41. P. 307-420.

201. Nogueira P. Automatic Feynman graph generation // J. Comput. Phys. 1993. Vol. 105. P. 279-289.

202. Broadhurst D. J. Three loop on-shell charge renormalization without integration: A-MS (QED) to four loops I I Z. Phys. 1992. Vol. C54. P. 599-606.

203. Kotikov A. V. Differential equations method: New technique for massive Feynman diagrams calculation // Phys. Lett. 1991. Vol. B254. P. 158-164.

204. Hollik W. F. L. Radiative Corrections in the Standard Model and their Role for Precision Tests of the Electroweak Theory // Fortschr. Phys. 1990. Vol. 38. P. 165-260.

205. Matsuura T., van der Marck S. C., van Neerven W. L. The Calculation of the Second Order Soft and Virtual Contributions to the Drell-Yan Cross-Section // Nucl. Phys. 1989. Vol. B319. P. 570.

206. Matsuura T., van Neerven W. L. Second order logarithmic correcions to the Drell-Yan cross-section // Z. Phys. 1988. Vol. C38. P. 623.

207. Kramer G., Lampe B. Two Jet Cross-Section in e+ e- Annihilation // Z. Phys. 1987. Vol. C34. P. 497.

208. Reinders L. J., Rubinstein H., Yazaki S. Hadron Properties from QCD Sum Rules // Phys. Rept. 1985. Vol. 127. P. 1.

209. Kazakov D. I. Calculation of Feynman integrals by the method of uniqueness // Theor. Math. Phys. 1984. Vol. 58. P. 223-230.

210. Gonsalves R. J. Dimensionally regularized two loop on-shell quark form-factor // Phys. Rev. 1983. Vol. D28. P. 1542.

211. Chetyrkin K. G., Tkachov F. V. Integration by Parts: The Algorithm to Calculate beta Functions in 4 Loops // Nucl. Phys. 1981. Vol. B192. P. 159204.

212. Billoire A. How Heavy Must Be Quarks in Order to Build Coulombic q anti-q Bound States // Phys. Lett. 1980. Vol. B92. P. 343.

213. Sirlin A. Radiative Corrections in the SU(2)-L x U(l) Theory: A Simple Renormalization Framework // Phys.Rev. 1980. Vol. D22. P. 971-981.

214. Passarino G., Veltman M. J. G. One Loop Corrections for e+ e- Annihilation Into mu+ mu- in the Weinberg Model // Nucl. Phys. 1979. Vol. B160. P. 151.

215. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and Resonance Physics: Applications // Nucl. Phys. 1979. Vol. B147. P. 448-518.216. 't Hooft G., Veltman M. J. G. Scalar One Loop Integrals // Nucl. Phys. 1979. Vol. B153. P. 365-401.

216. Appelquist T., Dine M., Muzinich I. J. The Static Limit of Quantum Chro-modynamics // Phys. Rev. 1978. Vol. D17. P. 2074.

217. Fischler W. Quark anti-Quark Potential in QCD // Nucl. Phys. 1977. Vol. B129. P. 157-174.

218. Appelquist T., Politzer H. D. Orthocharmonium and e+ e- Annihilation // Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 34. P. 43.

219. Marciano W. J. Dimensional Regularization and Mass Singularities // Phys. Rev. 1975. Vol. D12. P. 3861.

220. Marciano W. J., Sirlin A. Dimensional Regularization of Infrared Divergences // Nucl. Phys. 1975. Vol. B88. P. 86.

221. Gastmans R., Meuldermans R. Dimensional regularization of the infrared problem I I Nucl. Phys. 1973. Vol. B63. P. 277-284.

222. Bollini С. G., Giambiagi J. J. Dimensional Renormalization: The Number of Dimensions as a Regularizing Parameter // Nuovo Cim. 1972. Vol. B12. P. 20-25.

223. Speer E. R. Analytic renormalization // J. Math. Phys. 1968. Vol. 9, no. 9. P. 1404-1410.

224. Hepp K. Proof of the Bogolyubov-Parasiuk theorem on renormalization // Commun. Math. Phys. 1966. Vol. 2. P. 301-326.

225. Смирнов А. В. Многогранники весов и их приложения к теории представлений алгебраических групп. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. МГУ, 2005.

226. Coutinho S. С. A primer of algebraic D-modules. (London Mathematical Society Student Texts. Vol. 33). Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

227. Smirnov V. A. Feynman integral calculus. Berlin: Springer, 2006 283 p.