Массовые радиационные поправки в Стандартной Модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.00.00, кандидат физико-математических наук Веретин, Олег Леонидович

• Веретин, Олег Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Веретин, Олег Леонидович

I Введение

II Разложения по большой массе или большому импульсу

1. Формула асимптотического разложения

1.1. Однопетлевой пример.

1.2. Двухпетлевой пример.

2. Вычисление подграфов

2.1. Параметрическое представление Фейнмановских интегралов

2.2. Тензорные интегралы.

2.3. Расчет "наивной части".

2.4. Вычисление двух-петлевых вакуумных интегралов.

2.5. Вычисление других ноддграфов.

2.6. Некоторые комбинаторные формулы

2.7. Свертки.

2.8. Вакуумные интегралы.

2.9. Пропагаторные интегралы.

2.10. Вершинные интегралы

3. Реальное излучение

4. Описание программы

5. Примеры вычисления двух-петлевых вершин

6. Поправки 0(aas) к ширине распада Z bb

III Аналитические вычисления двух-петлевых интегралов с одной массовой шкалой

7. Метод дифференциальных уравнений

7.1. Некоторые графические правила

7.2. Двух-петлевые вершинные интегралы.

8. От разложения к аналитическому результату

8.1. Диаграммы с тп-разрезами.

8.2. Построение базисных элементов высшего порядка

8.3. Диаграммы имеющие оба разреза т- и 2т-. И^-функции.

8.4. Дифференциальные уравнения и новые суммы.

8.5. Аналитическое продолжение.

IV Аналитическое вычисление двух-петлевых диаграмм типа собственная энергия

9. Описание метода

10. Раз личные определения массы тяжелого кварка 83 П.Пропагатор тяжелого кварка

12.Перенормированные амплитуды

13.Соотношение между полюсной и MS массами тяжелого кварка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Массовые радиационные поправки в Стандартной Модели»

При рассмотрении феноменологических проблем в физике частиц часто приходится вычислять Фейнмановские диаграммы с массами. Массовые эффекты играют значительную роль при сравнении результатов экспериментов с теоретическими предсказаниями. При возрастающей точности измерений в Стандартной Модели, для многих процессов однопетлевое иреближение оказывается недостаточным и нужно рассматривать радиационные поправки высших порядков.

На уровней одной петли даже в присутствии различных по значению масс и масштабов вычисления могут быть проведены точно используя стандартные методы (Фейнмановские параметры, а-нредставление, дисперсионные соотношения и т.п.) Па этом уровне проблема расчета Фейн-мановских диаграм была решена (по крайней мере в принципе, при этом остается конечно множество технических проблем) в [1, 2, 3].

В высших порядках ситуация совершенно иная. Наибольший прогресс достигнут, конечно, в безмассовых вычислениях (см. например [4]), в том числе в расчетах ренормгрупповых функций. В массивном случае стандартные методы практически не применимы и нужно развивать новые подходы. Исторически, первые результаты в двух-петлевых вычислениях были получены в [5]. В последнее время было предложено множество различных аналитических, полуаналитических и численных методов расчета с массами. Получены результаты для различных типов диаграм [6]-[23]. В то время как в безмассовом случае даже трех-петлевые вычисления доступны с помощью метода интегрирования по частям [24, 25], массивный случай представляет собой очень сложную проблему уже в двух петлях. Точные аналитические ответы известны лишь в одно- и (редко) двух-шкальных задачах (например собственная энергия с одной ненулевой массой). В более сложных случаях надеяться на получение разумных аналитических формул не приходится. Тогда можно обратиться к полуаналитическим методам.

В дальнейшем мы рассмотрим в деталях некоторые методы вычисления двух-петлевых диаграмм. Среди них — асимптотические разложения Фейнмановских диаграмм, метод дифференциальных уравнений и методы редукции. • Будут даны также практические примемения этих методов. Эти исследования были проведены в работах [26, 69, 28, 62, 29, 30].

Заключение диссертации по теме «Физико-математические науки», Веретин, Олег Леонидович

Заключение

Мы рассмотрели различные способы вычисления двух-петлевых массивных диаграмм. В основе методов расчета лежат либо идеи интегрирования по частям, либо асимптотические разложения. В отличие от безмассового, в массивном случае появляется дополнительный параметр, по которому можно строить разложения. Это позволяет вычислять диаграммы приближенно. В комбинации с конформным отображением и Паде суммированием этот метод дает очень точные численные результаты во определенных областях кинематических переменных. Кроме того при наличии дополнительной информации (информации о разрезах диаграммы), ряды могут быть восстановлены полностью из нескольких первых членов ряда. В последствии ряд может быть ссумирован в известную функцию или интегральное представление. Это представляет собой новый метод вычислений, позволяющий избежать какого бы то ни было явного интегрирования.

Другой весьма мощный метод вычислений основан на дифференциальных уравнениях. С помощью интегрирования по частям сперва строится некое дифференциальное уравнение по массе для исходной диаграммы. Это позволяет эффективно уменьшить число петель. При необходимости процедуру можно повторить. Получившиеся таким образом дифференциальные уравнения являются линейными. Их интегрирование дает результат для диаграммы. При этом используются естественные граничные условия. Интегралым, полученные в результате, зачастую оказываются проще, чем соответствующие интегралы по параметрам или дисперсионные представления.

Мы показали применимость и эффективность этих методов на примерах двух-петлевых диаграм типа собственной энергии и формфактора. В качестве приложения были вычислены двух-петлевые смешанные электрослабые/КХД поправки к распаду Z-бозона, а также двух-петлевое выражение для пропагатора тяжелого кварка в КХД. Это позволяет извлечь соотношение между бегущей и полюсной массами кварка.

Все описанные методы сравнительно легко переводятся на язык компьютерной алгебры, что позволяет добиться высокой степени автоматизации вычислений.

Глава VI

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Веретин, Олег Леонидович, 1998 год

1. G. Passarino and M. Veltman, Nucl.Phys. B160 (1979) 151; M. Consoli, Nucl.Phys. B160 (1979) 208; M. Veltman, Phys.Lett. B91 (1980) 95; M. Green and M. Veltman, Nucl.Phys. B169 (1980) 137.

2. G. 't Hooft and M. Veltman, Nucl.Phys. B153 (1979) 365.

3. D.B. Melrose, Nuovo Cim. XL A (1965) 181.

4. S.A. Larin, F.V. Tkachov, and J.A.M. Vermaseren, preprint NIKIIEF-H/91-18 (1991).

5. G. Kallen and A. Sabry, Dan.Mat.Fys.Medd. 29 (1955) 1; A. Sabry, Nucl.Phys. 33 (1962) 401; J. Schwinger, In Particles, sources and fields, (Mass. Addison-Wesley, 1973); R. Barbieri and E. remiddi, Nuovo Cim. A13 (1973) 99.

6. E.E. Boos and A.I. Davydychev, Theor.Math.Phys. 89 (1991) 1052.

7. S. Bauberger et al., Nucl.Phys. B434 (1995) 383; S. Bauberger and M. Bohm, Nucl.Phys. B445 (1995) 25; S. Bauberger et al, Nucl.Phys.Proc.Suppl. B37 (1994) 95.

8. A.V. Kotikov, Phys.Lett. B254 (1991) 158; ibid B259 (1991) 314.

9. D.J. Broadhurst, Z.Phys. C47 (1990) 115.

10. F.A. Berends and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B421 (1994) 456; F.A. Berends et al., Z.Phys. C63 (1994) 227.

11. A.I. Davydychev and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B397 (1993) 123.

12. R. Sharf and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B412 (1994) 523.

13. V. Borodulin and G. Jikia, Phys.Lett. B391 (1997) 434.

14. A. Ghunculov and J.J. van der Bij, Nucl.Phys. B436 (1995) 30; A. Ghunculov, B337 (14) 137.

15. A.V. Kotikov, Phys. Lett. 254B (1991) 158.

16. A.V. Kotikov, Phys. Lett. 259B (1991) 314.

17. A.V. Kotikov, Phys. Lett. 267B (1991) 123.

18. A.V. Kotikov, Proceeding of Third International Workshop on Software Engineering, Artificial Intelligence and Expert System for High Energy and Nuclear Physics (Oberamergau, Germany, October 4-8, 1993), p 539.

19. D.J. Broadhurst, J. Fleischer and O.V. tarasov, Z.Phys. C60 (1993) 287.

20. J. Fleischer and O.V. Tarasov, Z.Phys. C64 (1994) 413.

21. J. Fleischer and O.V. Tarasov, In: Computer algebra in science and engineering, Bielefeld, Germany, 1994, p.212.

22. A.T. Suzuki and A.G.M. Scmidt, hep-ph/9712108; hep-ph/9712104.

23. D. Kreimer, Phys.Lett. B273 (1991) 277; ibid B292 (1992) 341; A. Czarnecki, U. Killian and D. kreimer, Nucl.Phys. B433 (1995) 259; A. Frink, U.Kilian and D. Kreimer, Nucl.Phys. B488 (1997) 426.

24. F.V. Tkachev, Phys.Lett. B100 (1981) 65;

25. K.G. Chetyrkin and F.V. Tkachov, Nucl.Phys. B192 (1981) 159.

26. J. Fleischer, M.Yu. Kalmykov and O.L. Veretin, Phys.Lett. B427 (1998) 141.

27. J. Fleischer, A.V. Kotikov and O.L. Veretin, Phys.Lett. B147 (1998) 163.

28. J. Fleischer, A.V. Kotikov and O.L. Veretin, BI-TP-98/20.2c. J. Fleischer, F. Jegerlehner, O.V. Tarasov and O.L. Veretin, DESY-„8-026, to appear in NucI.Phys.B.

29. O.V. Teryaev and O.L. Veretin, Phys.Atom.Nucl. 58 (1995) 2150.

30. K. Wilson, Phys.Rev 179 (1969) 1499.

31. S. Weinberg, Phys.Rev. 118 (I960) 838.

32. V.A. Smirnov, Mod.Phys.Lett. A10 (1995) 1485.

33. F.V. Tkachev, Phys.Lett. B412 (1997) 350; M. Beneke and V.A. Smirnov, Nucl.Phys. B522 (b»8) 321.

34. V.A. Smirnov, Phys.Lett. B394 (1997) 205.

35. J.A.M. Vermaseren, Symbolic manioulation with FORM, CAN, Amsterdam, 1991.

36. G. 4 Hooft and M. Veltman, Nucl.Phys. B44 (1972) 189.

37. A.I. Davydychev, V.A. Smirnov and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B410 (1993) 325.

38. J. Fleischer, V.A. Smirnov and O.T. Tarasov, Z.Phys. C74 (1997) 379; J.Fleischer et al, Eur.Phys.J. C2 (1998) 747.

39. N.N. Bogolyubov and D.V. Shirkov, Introduction to the theory of quantized fields, J. Wiley, New York, 1980.

40. E.R. Speer, J.Math.Phys. 15 (1974) 1.

41. C. Itzikson and J.-B. Zuber, Quantum field theory, McGraw Ilill Co., USA, 1980.

42. А Л. Davydychev, Phys.Lett. В263 (1991) 107.

43. O.V. Tarasov, Phys.Rev. D54 (199G) 6479.

44. A.I. Davydychev and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B465 (1996) 507.

45. J. Fleischer, Tnt.J.Mod.Phys. C6 (1995) 495;

46. J. Fleischer, In: QCD and QED in higher orders, Zeuthen, Germany, 1996, Nucl.Phys.В (Proc.Suppl.) C51 (1996) 295.

47. O.V. Tarasov, Nucl.Phys. B480 (1996) 397.

48. O.V. Tarasov, In proc. New computing techniques in physics research IV, ed. B. Denby and D. Perret-Gallix, World Scientific, 1995.

49. D.I. Kazakov and A.V. Kotikov, Theor.Math.Phys. 73 (1988) 1264.

50. O.V. Tarasov, Nucl.Phys. B502 (1997) 455.

51. P. Nogueira, J.Comp.Phys. 105 (1993) 279.

52. L. Lewin, Poly logarithms and associated functions (North-Holland, Amsterdam, 1981).

53. F.V. Tkachev, Phys.Lett. B100 (1981) 65.

54. J. Fleischer and O.V. Tarasov, Z.Phys.C64 (1994) 413; J. Fleischer, Int.J.Mod.Phys.^6 (1.^5) 4^5; J. Fleischer, V. A. Smirnov and О. V. Tarasov, Z.Phys.C74 (1997) 379.

55. J. Fleischer et al., hep-ph/9704353, to be published in Z.Phys.C.

56. D.H. Bailey, ACM Transactions on Mathematical Software, 19 (1993) 288.

57. A.L. Kataev, Phys.Lett. B287 (1992) 209; A. Czarnecki and J.H. Ktihn, Phys.Rev.Lett. 77 (1996) 3955; A. Czarnecki and K. Melnikov, Phys. Rev. D56 (1997) 1638.

58. R.IIarlander, T.Seidensticker and M.Steinhauser, Phys. Lett. B426, 125 (1998) ; see also R. Harlander in Zeuthen workshop on Elementary Particle Theory, Acta Physica Polon. 29 (1998) 2691.

59. J. Fleischer, F. Jegerlehner, M. Tentyukov and 0. Veretin, in progress

60. D.J. Broadhurst, Z.Phys. C47 (1990) 115.

61. S. Bauberger et al., Nucl.Phys. B434 (1995) 383; V. Borodulin and G. Jikia, Phys.Lett. B391 (1997) 434.

62. R. Scharf and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B412 (1994) 523.

63. A. Ghinculov and J.J. van der Bij, Nucl.Phys. B436 (1995) 30; V. Borodulin, G. Jikia, Phys.Lett. B391 (1997) 434.

64. A.V. Kotikov, Phys. Lett. B254 (1991) 158; B259 (1991) 314; B267 (1991) 123 (Err. B295 (1992) 409); In: Artificial Intelligence and Expert Systems for High Energy and Nuclear Physics, (Oberamergau, Germany, 1993) p.453; JINR preprint E2-93-414.

65. J. Fleischer, A.V. Kotikov and O.L. Veretin, Phys.Lett. B417 (1998) 163.

66. D.J. Broadhurst, hep-th/9803091.

67. A.I. Davydychev and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B397 (1993) 123.

68. A.T. Davydychev, V.A. Smirnov and Л.В. Tausk, Nucl. Phys.B410 (1993) 325; F.A. Berends, A.I. Davydychev and V.A. Smirnov, Nucl. Phys.B478 (1996) 59; L.V. Avdeev and M.Yu. Kalmykov, Nucl. Phys.B502 (1997) 419; G. Weiglein, hep-ph/9711254.

69. F.A. Berends, A.I. Davydychev, V.A. Smirnov and J.B. Tausk, Nucl. Phys.B439 (1995) 536;

70. J. Fleischer et al., hep-ph/9704353, to be published in Z. Phys. C.

71. V. Alfaro, B. Jackic and T. Regge, In: High energy physics and elementary particles, Int.Atom.Energy Agency, Vienna, 1963, p. 263.

72. R.J. Gonzalves, Phys. Rev. D28 (1983) 1542; W.L. van Neerven, Nucl. Phys. B268 (1986) 453; G. Kramer and B. Lampe, J. Math. Phys. 28 (1987) 945.

73. A. Devoto and D.W. Duke, Riv. Nuovo Cim. 7 (1984) 1.

74. D.J. Broadhurst, hep-th/9604128, to be published in J. Math. Phys.

75. F.J. Yndurain, Quantum Chromodynamics, Springer-Verlag N.Y. Inc., 1983.

76. J. A. M. Vermaseren, Int. J. Mod. Phys. A 14 (1999) 2037.

77. D.I. Kazakov and A.V. Kotikov, Nucl.Phys. B307 (1988) 721; Theor.Math.Phys. 73 (1988) 1264; A.V. Kotikov, Theor.Math.Phys. 78 (1989) 134.

78. D.I. Kazakov and A.V. Kotikov, Phys.Lett. B291 (1992) 171.

79. G. Weiglein, R. Sharf and M. Bohm, Nucl.Phys. B416 (1994) 606.

80. G. Weiglein et al., In: New computing techniques in physics research II, ed. D. Perret-Gallix (World Scientific, Singapore, 1992).

81. V. Novikov el al., Phys.Rep. 41 (1978) 1.

82. V. Novikov et al, Phys.Rep. 41 (1978) 1.

83. R. Tarrach, Nucl.Phys. B183 (1981) 384;

84. O. Nachtmann, W. Wetzel, Nucl. Phys. B187 (1981) 333.

85. A.S. Kronfeld, FERMILAB-PUB-98/139-Т; hep-ph/9805215.

86. I. Bigi et al, Phys.Rev. D50 (1994) 2234.

87. M. Beneke and V. Braun, Nucl.Phys. B426 (1994) 301.

88. N. Gray et al, Z.Phys. C48 (1990) 673.

89. G. Martinelli et al., Nucl. Phys. B445 (1995) 81.

90. W. Bernreuther, W. Wetzel, Nucl. Phys. ЫУ7 (1У83) 228; W. J. Marciano, Phys. Rev. D29 (1984) 580.

91. A. Sabry, Nucl. Phys. B33 (1962) 401.

92. L.V. Avdeev and M. Yu. Kalmykov, Nucl. Phys. B502 (1997) 419, hep-ph/9701308.

93. R. Coquereaux, Ann. Phys. (NY), 125 (1980) 401.

94. J. Fleischer, F. Jegerlehner, Phys: Rev. D23 (1981) 2001.

95. P. Binetruy and T. Schucker, Nucl. Phys. B178 (1981) 307.

96. E.E. Boos and A.I. Davydychev, Teor. Mat. Fiz. 89 (1991) 56, Theor. Math. Phys. 89 (1991) 1052];

97. S. Bauberger, F.A. Berends, M. Bohm, M. Buza, Nucl. Phys. B434 (1995) 383.

98. J. Gasser, II. Leutwyler, Phys. Rep. C87 (1982) 77 (and references therein); H. Leutwyler, Phys. Lett. B378 (1996) 313, hep-ph/9609467.

99. S.J. Brodsky, G.P. Lepage, P.B. Mackenzie, Phys. Rev. D28 (1983) 228; B.H. Smith, M.B. Voloshin, Phys. Rev. D51 (1995) 5251.

100. R. Scharf and J.B. Tausk, Nucl.Phys. B412 (1994) 523.

101. F. Berends, A. Davydychev and V. Smirnov, Nucl. Phys. B478 (1996) 59.

102. A.C. I learn: REDUCE user's manual, version 3.4, Rand publication CP78 (1991)