Алгебра Хопфа графов и перенормировки диаграмм Фейнмана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Малышев, Дмитрий Владимирович

• Малышев, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Малышев, Дмитрий Владимирович

Введение

1 Расходимости и перенормировки

1.1 Расходимости фейнмановских интегралов.

1.2 Перенормировки и регуляризация обобщенных функций

2 Определение алгебры Хопфа

2.1 Линейное пространство графов.

2.2 Алгебра Хопфа графов и R-операция Боголюбова.

2.2.1 Л-операция Боголюбова.

2.2.2 Алгебра Хопфа графов

2.2.3 Алгебраическая Я-операция.

2.3 Алгебра Ли графов и ренормгруппа.

3 Лидирующие логарифмы в симметричной точке

3.1 Вычисление лидирующих логарифмов.

3.2 Двухпетлевой интеграл

3.3 Прямая оценка фейнмановских интегралов.

3.4 Обощенные уравнения РГ в теории ср4.

3.5 Использование рекурсии и древесной формулы.

3.6 Связь с диффеоморфизмами.

3.7 Многозарядные теории

4 Ведущие логарифмы в произвольной точке и паркетное приближение

4.1 Ренормгрупповое вычисление.

4.2 Паркетное приближение.

4.3 Паркетное приближение и главные логарифмы.

4.4 Суммирование главных логарифмов в несимметричных точках

5 Алгебра Хопфа ленточных графов

5.1 Ленточные графы и 1/N разложение.

5.2 Ленточные графы и поверхности.

5.3 Алгебра Хопфа поверхностей.

5.4 Функции на поверхностях и перенормировки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебра Хопфа графов и перенормировки диаграмм Фейнмана»

Одна из самых неприятных проблем в квантовой теории поля - расходимость фейнмановских интегралов. Эта проблема была разрешена Боголюбовым и Парасюком в виде R-oперации [1, 2, 3]. С физической точки зрения возможность разрешения проблемы расходимостей связана с существованием ренормгрупповой инвариантности [1,4]. Эта инвариантность была открыта в работах Штюкельберга - Петермана [5] и Гелл-Манна - Лоу [6]. А всеобщее признание метод ренормгруппы получил после работ Боголюбова и Ширко-ва, которые исследовали структуру ренормгруппы с математической точки зрения, а также дали более прозрачную физическую интерпретацию [1, 7]. Именно их работы позволили связать проблему устранения расходимостей и ренормгрупповую инвариантность, т.е. представить вычитание расходимостей в виде ненаблюдаемых перенормировок [1, 4, 8]. Позднее доказательство о перенормируемости было усовершенствовано Хеппом [9]. Рекуррентные соотношения для контрчленов были разрешены Завьяловым и Степановым [10], а затем представлены Циммерманом в виде суммы по лесам [11].

К. Вильсон предложил альтернативную интерпретацию ренормгруппы, основанную на аналогии с преобразованием Каданова в статистической физике [12]. Изменение масштаба теории аналогично преобразованию подобия, а уравнения РГ описывают системы с самоподобием [13].

Ренормгруппа наиболее эффективна при изучении асимптотических свойств теорий. Так, с использованием уравнений РГ была найдена асимптотическая свобода в теориях Янга-Миллса [14, 15]. В квантовой теории поля точные ответы получить очень сложно, поэтому, как правило, изучаются либо асимптотические пределы, либо разложения по малым параметрам. В теории возмущений физические величины представляют в виде рядов по константе связи. Если константа связи не мала, необходимо искать другие параметры разложения. Например, в теориях с матричными полями можно использовать l/N-разложение [16]. Но даже если константа связи мала, может встретиться другая проблема - большие логарифмы отношений импульсов. При этом произведение константы связи на логарифм становится величиной порядка единицы. В теориях с ренормгрупповой инвариантностью можно перейти в новую точку нормировки, где нет больших отношений импульсов [1, 4, 17]. Эта процедура эквивалентна суммированию ведущих логарифмов [1, 18].

Ведущие логарифмы - объект достойный изучения со многих точек зрения. С точки зрения эксперимента они вносят основной вклад в амплитуды рассеяния при больших энергиях. С точки зрения теории это довольно простой объект, который можно вычислить либо непосредственно, либо с помощью ренормгруппы. Ведущие логарифмы - это своего рода теоретическая лаборатория, которая позволяет тестировать различные методы вычислений и сравнивать ответы с предсказаниями ренормгруппы. Недостаток уравнений ренормгруппы в том, что они фиксируют поведение только суммы диаграмм данного порядка. В диссертации показано, что обобщенные уравнения РГ, следующие из алгебры Хопфа графов, являются более сильными и позволяют находить асимптотики отдельных фейнмановских диаграмм. При этом результаты ренормгрупповых вычислений совпадают с прямыми оценками фейнмановских интегралов.

Нахождение асимптотик фейнмановских интегралов - это одна из наиболее важных проблем в квантовой теории поля. Общие оценки на степени импульсов и логарифмов для фейнмановских интегралов были установлены в знаменитой теореме Вайнберга [19]. В силу своей общности оценки на степени логарифмов довольно грубы, поэтому в каждой отдельной теории необходимо дополнительное рассмотрение. Например, в теории мезонов точные асимптотики фейнмановских интегралов можно найти по топологии диаграмм [20]. Наряду с асимптотиками фейнмановских интегралов при больших импульсах, физический интерес представляют также разложения по малым импульсам и массам частиц [21]. Кроме ультрафиолетовых расходимостей в теориях с безмассовыми полями существуют инфракрасные расходимости. Они приводят к появлению дополнительных больших логарифмов, так называемых двойных логарифмов Судакова. Суммирование судаковских логарифмов можно найти в [4, 22, 23], а определение процедуры устранения инфракрасных расходимостей было дано в работах [24, 25]. Модификация R-операции на случай инфракрасных расходимостей была найдена Смирновым и Четыркиным [26]. Общие результаты об асимптотических разложениях в пространстве Минковского, а также нахождение судаковских логарифмов методом областей можно найти в работах [27, 28, 29]. Среди современных методов в многопетлевых вычислениях можно выделить использование преобразования Меллина [29, 30], интегрирование по частям и сведение к известным интегралам [31], использование теории обобщенных функций [32] и алгебры Хопфа графов.

Алгебра Хопфа графов появилась как формальная структура, описывающая R-операцию Боголюбова [33, 34]. Это открытие особенно интересно с теоретической точки зрения, поскольку алгебра Хопфа графов дуальна к алгебре Ли, которая описывает диффеоморфизмы в пространстве констант связи, т.е. в такой формулировке операция устранения расходимостей естественным образом связана с перенормировками констант связи. Кроме того, существование структуры алгебры Хопфа позволяет находить аналогии с математическими моделями такими как деформационное квантование [35], некоммутативная геометрия [36], итерированные интегралы [37], где используются алгебры Хопфа. С практической точки зрения алгебра Хопфа помогает удобно формализовать процедуру устранения расходимостей для вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов [38, 39].

Целью диссертации является изучение уравнений ренормгруппы, связанных с алгеброй Хопфа графов. Показано, что эти уравнения эквивалентны ренормгрупповым уравнениям на отдельные фейнмановские интегралы [40], т.е. являются нетривиальным обобщением обычных ренормгрупповых уравнений. С помощью обобщенных уравнений ренормгруппы вычислены ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов при произвольных внешних импульсах.

Интересной задачей является применение алгебры Хопфа в теориях с неа-белевыми калибровочными полями. В диссертации сделан первый шаг в этом направлении: найдено обобщение алгебры Хопфа на теории с матричными полями. В таких теориях диаграммы Фейнмана изображают в виде ленточных графов, которые обладают меньшим количеством симметрий, чем обычные графы. Отличие матричных теорий от теорий Янга-Миллса заключается в существовании калибровочной инвариантности, с которой алгебра Хопфа должна быть согласована. Следовательно, алгебра Хопфа в теории Янга-Миллса не свободна, а с дополнительными связями, задаваемыми тождествами Славнова-Тейлора. Алгебра Хопфа, согласованная с калибровочной инвариантностью в абелевых теориях найдена в работе [41].

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Вывод уравнений ренормгруппы в формализме алгебры Хопфа графов для теории <рА.

2. Вычисление коэффициентов перед ведущими логарифмами для отдельных фейнмановских диаграмм в евклидовой теории </?4 из уравнений ренормгруппы в симметричных и несимметричных точках относительно внешних импульсов.

3. Установление связи обобщенных уравнений ренормгруппы с ренормгруп-повыми уравнениями в теории с бесконечным набором полей и констант связи.

4. Установление в вывод структуры алгебры Хопфа для ленточных графов.

Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на конференции Ломоносов 2002, МГУ, Москва; на конференции Calc'2003, Дубна; на семинаре в университете города Майнц, Германия; на семинаре в университете города Уппсала, Швеция; на семинаре в ИЯИ, Москва; на семинаре в ИТЭФ, Москва; на школе-семинаре Волга 16'04, Казань и на семинаре в ОИЯИ, Дубна.

Результаты диссертации опубликованы в работах [42, 43, 44, 45], а также [46, 47].

Структура диссертации имеет следующий вид. В первой части рассмотрена проблема расходимости фейнмановских интегралов. В качестве примера изучается безмассовая скалярная теория с взаимодействием </?4 в 4-мерном евклидовом пространстве. Расходимости имеют локальную структуру в координатном пространстве. Аналогичная ситуация возникает в теории обобщенных функций, где процедура устранения локальных бесконечностей называется регуляризацией функционалов [48]. В диссертации рассматриваются фейнмановские интегралы в параметрическом представлении. Показано, что устранение расходимости в однопетлевом интеграле аналогично регуляризации функционала со степенной особенностью в нуле.

Во второй части исследуется комбинаторика Я-операции. Сначала показано, что процедура устранения расходимостей имеет структуру алгебры Хопфа графов. Далее выписана алгебра Ли дуальная к алгебре Хопфа графов, и найдены уравнения ренормгруппы в терминах данной алгебры Ли.

В третьей части рассмотрено применение обобщенных уравнений ренормгруппы. В качестве примера изучаются ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов в симметричной точке. Сначала ответ получен с помощью прямой оценки фейнмановских интегралов, а потом показано, что эти результаты можно получить из уравнений ренормгруппы. При этом ренормгруппа дает рекуррентное соотношение, выражающее главный логарифм для (п + 1)-петлевой диаграммы через n-петлевые диаграмм, а прямая оценка фейнмановских интегралов дает ответ в виде суммы по максимальным деревьям расходящихся подграфов. Связь между рекурсивной формулой и суммой по деревьям аналогична связи рекурсивного определения контрчленов и определения с помощью суммы по лесам [11]. Рассмотрено несколько примеров применения рекурсивной формулы и формулы с суммой по деревьям. Далее найдено решение уравнения ренормгруппы в виде экспоненты от бета-функции и показано явно, что экспонента от однопетлевой бета-функции задает перенормированную вершинную функцию в главном логарифмическом приближении. В конце этой части исследуется вопрос, какую максимальную информацию можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности и чего достаточно для существования этой симметрии в теории. А именно, показано, что в теории с двумя скалярными полями ренормгруппо-вые уравнения на двухпетлевые интегралы совпадают с обобщенными уравнениями ренормгруппы. Таким образом, новые уравнения ренормгруппы -это максимальная информация, которую можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности, в том смысле, что для инвариантности любой безмассовой скалярной теории достаточно выполнения этих уравнений, а с другой стороны, что уравнения ренормгруппы в теории с бесконечным набором полей эквивалентны обобщенным уравнениям ренормгруппы.

В четвертой части найдены ведущие логарифмические асимптотики фейнмановских интегралов в несимметричных точках. Сначала ведущие логарифмы вычислены рекурсивно из уравнений ренормгруппы, а затем с помощью паркетного приближения. В качестве примера рассмотрен двухпетлевой интеграл. Используя паркетное приближение, также заново выведен результат для симметричной точки, выраженный через сумму по деревьям.

В пятой части найдено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов на примере матричной теории с взаимодействием Ф4. Проблема состоит в том, что ленточные графы имеют меньше симметрий, чем обычные, а именно, в каждой вершине разрешены только циклические перестановки ребер (в более общем случае многоследовых взаимодействий ребра в вершинах разбиваются на группы, и циклические перестановки разрешены внутри каждой из групп). Уменьшение числа симметрий связано с появлением дополнительной структуры, 1/N разложения. Алгебра Хопфа должна быть согласована с этой структурой. При изучении алгебры Хопфа использована связь между ленточными графами и поверхностями. В теории с односледовы-ми взаимодействиями есть взаимнооднозначное соответствие между ленточными графами и поверхностями с клеточным разбиением. В случае многоследовых взаимодействий возникает разбиение на сферы с отверстиями. Нам будет более удобно построить алгебру Хопфа поверхностей с разбиением на сферы с отверстиями. Некоторые наиболее сложные аксиомы алгебры Хопфа доказаны в приложениях.

Благодарности

Я благодарю моего научного руководителя В. В. Белокурова за поддержку в работе над диссертацией. Особенную признательность хочется высказать недавно умершему К. Г. Селиванову.

Я благодарен за научные обсуждения и дискуссии на семинарах ИТЭФ Э. Т. Ахмедову, А. А. Герасимову, А. С. Горскому, А. С. Лосеву, А. Д. Миронову, А. Ю. Морозову и Б. J1. Йоффе; а также А. Александрову, Н. Амбург, Р. Анно, Д. Васильеву, В. Долгушеву, А. Зотову, С. Клевцову, С. Локтеву, В. Лысову, Д. Мельникову, В. Побережному, А. Соловьеву, К. Сарайкину, В. Пестуну и А. Червову.

Также я хотел бы поблагодарить А. А. Владимирова, И. В. Воловича, И. Ф. Гинзбурга, С. Грооте, А. П. Исаева, Д. И. Казакова, М. Ю. Калмыкова, А. М. Полякова и В. А. Смирнова за ценные обсуждения различных вопросов, связанных с диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Малышев, Дмитрий Владимирович

Заключение

В диссертации рассматривается применение алгебры Хопфа графов к изучению перенормировок в квантовой теории поля. Показано, что уравнения ренормгруппы, выписанные в формализме алгебры Хопфа, совпадают с уравнениями ренормгруппы для отдельных фейнмановских интегралов. С помощью обобщенных уравнений ренормгруппы найдены асимптотики отдельных фейнмановских интегралов для произвольных внешних импульсов. Отметим, что стандартными методами можно найти ведущие логарифмы только для суммы фейнмановских интегралов данного порядка по константе связи в симметричной точке относительно внешних импульсов. Вычисления сравниваются с результатами вычислений в паркетном приближении. Найдена физическая интерпретация уравнений ренормгруппы, следующих из алгебры Хопфа, в терминах многозарядных теорий. Также в работе построено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Малышев, Дмитрий Владимирович, 2005 год

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: "Наука", 3 изд., 1976, 480 стр.

2. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. М.: "Наука", 2 изд., 1993, 336 стр.

3. Боголюбов Н.Н. Изв. АН СССР, Сер. физ., 1955, 19, 237. Боголюбов Н.Н., Парасюк О.С. - ДАН СССР, Сер. физ., 1955, 100, 25, 429.

4. N. N. Bogolubov, О. Parasiuk; Acta Math. 97, 227 (1957).

5. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Изд-во "РХД", Москва Ижевск, 2001, 784 стр.

6. Е. С. Stueckelberg, A. Petermann; Helv. Phys. Acta 24, 317 (1951). E. С. Stueckelberg, A. Petermann; Helv. Phys. Acta 26, 499 (1953).

7. M. Gell-Mann and F. E. Low; Phys. Rev. 95, 1300 (1954).

8. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. ДАН СССР, Сер. физ., 1955, 103, 203. N. N. Bogolyubov and D. V. Shirkov, Nuovo Cim. 3, 845 (1956).

9. Райдер JI. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987, 512 стр.

10. К. Нерр, Commun. Math. Phys. 2, 301 (1966).

11. Завьялов О.И., Степанов Б.М. ЯФ, 1965, 1, 922.

12. W. Zimmermann, Commun. Math. Phys. 15, 208 (1969) Lect. Notes Phys. 558, 217 (2000)].

13. K.G.Wilson, J.Kogut, Phys. Repts. 12C, 75 (1974)

14. Д. В. Ширков, ТМФ 60, 218 (1984).

15. В. Ф. Ковалев, Д. В. Ширков, ТМФ, 121, 66 (1999).

16. D. J. Gross, F. Wilczek; Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).

17. H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

18. G. 't Hooft; Nucl. Phys. В 72, 461-473 (1974).

19. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. ДАН СССР, Сер. физ., 1955, 103, 391.

20. Коллинз Дж., Перенормировка, М.:Мир, 1988, 446 стр.

21. S. Weinberg, Phys. Rev. 118, 838 (1960).

22. Гинзбург И.Ф., Ефремов А.В., Сербо В.Г., ЯФ 9, 451 (1969). Буднев В.М., Гинзбург И.Ф., ТМФ 3, 2, 171 (1970).

23. A. I. Davydychev, V. A. Smirnov and J. В. Tausk, Nucl. Phys. В 410, 325 (1993) arXiv:hep-ph/9307371],

24. V. A. Smirnov, Mod. Phys. Lett. A 10,1485 (1995) arXiv:hep-th/9412063., V. A. Smirnov, Phys. Lett. В 394, 205 (1997) [arXiv:hep-th/9608151].

25. Судаков В.В. ЖЭТФ 30, 87 (1956).

26. J. Frenkel and J. C. Taylor, Nucl. Phys. В 116, 185 (1976). В. В. Белокуров, Н. И. Усюкина, ТМФ 44 (1980) 147].

27. S. Weinberg, Phys. Rev. 140, В516 (1965).

28. Е. R. Speer, Annales Poincare Phys. Theor. 23, 1 (1975). J. H. Lowenstein, Commun. Math. Phys. 47, 53 (1976).

29. Четыркин К.Г., Смирнов В.А. /Г-операция: техника ренормгрупповых вычислений и другие приложения. Дубна, 1988.

30. К. G. Chetyrkin, MPI-PH-91-13

31. М. Beneke and V. A. Smirnov, Nucl. Phys. В 522, 321 (1998) arXiv:hep-ph/9711391].

32. V. A. Smirnov and E. R. Rakhmetov, ТМФ 120, 870 (1999) arXiv:hep-ph/9812529.

33. V. A. Smirnov, Phys. Lett. В 465, 226 (1999) arXiv:hep-ph/9907471.

34. Smirnov V. A. Renormalization and asymptotic expansions. Basel; Boston: Verlag (1991) 380 p.

35. Smirnov V.A. Applied Asymptotic Expansions in Momenta and Masses. Berlin, Germany: Springer (2002) 262 p.

36. G. Heinrich and V. A. Smirnov, arXiv:hep-ph/0406053. V. A. Smirnov, arXiv:hep-ph/0406052.

37. А. А. Владимиров, ТМФ 43, 417 (1980).

38. К. G. Chetyrkin and F. V. Tkachov, Nucl. Phys. В 192, 159 (1981).

39. A. N. Kuznetsov, F. V. Tkachov and V. V. Vlasov, hep-th/9612037.

40. A.Connes, D.Kreimer; Commun.Math.Phys. 210, 249-273 (2000); hep-th/9912092.

41. A.Connes, D.Kreimer; Commun.Math.Phys. 216, 215-241 (2001); hep-th/0003188.

42. L. M. Ionescu and M. Marsalli, hep-th/0307112.

43. A. Connes and D. Kreimer, Commun. Math. Phys. 199, 203 (1998), hep-th/9808042.

44. D. Kreimer, Adv. Theor. Math. Phys. 3, 3 (2000) Adv. Theor. Math. Phys. 3, 627 (1999)] hep-th/9901099.

45. D. Kreimer and R. Delbourgo, Phys. Rev. D 60, 105025 (1999), hep-th/9903249.

46. D. J. Broadhurst and D. Kreimer, Phys. Lett. В 475, 63 (2000), hep-th/9912093.

47. K. G. Chetyrkin, Nuovo Cim., ЮЗА, 1653 (1990).

48. И.В. Волович, Д.В. Прохоренко, Труды мат. института им. В. А. Стек-лова, 147, 166 (2004).

49. D.Malyshev, JHEP 0205, 013 (2002); hep-th/0112146.

50. Д.В.Малышев, Вестник Московского университета. Серия 3. 6 26, (2002).

51. D. Malyshev, Phys. Lett. В 578, 231 (2004), hep-th/0307301.

52. D. V. Malyshev, ТМФ. 143, N 1, с. 22-32 (2005).

53. D. Malyshev, препринт ITEP-TH-37/01.

54. D. Malyshev, hep-th/0402074.

55. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Изд-во "Добросвет", М. 2000, 412 стр.

56. A.Gerasimov, A.Morozov, K.Selivanov, Int.J.Mod.Phys.Al6:1531-1558,2001, hep-th/0005053

57. Ициксон К., Зюбер Ж.-В. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1984, т. 1, 448 стр.; т. 2, 400 стр.

58. G. 't Hooft, М. Veltman; Nucl. Phys. B44, 189-213 (1972).

59. G. 't Hooft; Nucl. Phys. В 61, 455 (1973).

60. Завьялов О.И. Перенормированные диаграммы Фейнмана. М.: "Наука", 1979, 320 стр.

61. Овсянников Л.В. ДАН СССР, 109, 1956.

62. С. G. . Callan, Phys. Rev. D 2, 1541 (1970).

63. К. Symanzik, Commun. Math. Phys. 18, 227 (1970).

64. A. Connes and D. Kreimer, Annales Henri Poincare 3, 411 (2002), hep-th/0201157.

65. Дятлов И.Т., Судаков B.B., Тер-Мартиросян К.А. ЖЭТФ 32, 767 (1957).

66. D. Kreimer, Commun. Math. Phys. 204, 669 (1999), hep-th/9810022.

67. A. Connes and D. Kreimer, Commun. Math. Phys. 199, 203 (1998), hep-th/9808042.

68. A.Connes, H.Moscovici, Commun.Math.Phys. 198, 199 (1998); math.dg/9806109.

69. Поляков A.M. ЖЭТФ 57, 271 (1969)

70. A. M. Polyakov, "Gauge Fields And Strings," Harwood (1987) 301p.,

71. M. B. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, "Superstring Theory." Cambridge Univ. Pr. 469p, (1987),

72. Морозов А.Ю. Теория струн что это такое? УФН 162, 83 (1992). J. Polchinski, "String theory." Cambridge Univ. Pr. (1998) 402p.

73. J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998) arXiv:hep-th/9711200].

74. E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998) arXiv:hep-th/9802150. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. В 428, 105 (1998) [arXiv:hep-th/9802109].

75. E. Witten, arXiv:hep-th/0112258.

76. О. Aharony, M. Berkooz and E. Silverstein, JHEP 0108, 006 (2001) arXiv:hep-th/0105309.