Качественные методы исследования некоторых задач вихревой динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Лебедев, Владимир Геннадьевич

• Лебедев, Владимир Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лебедев, Владимир Геннадьевич

Содержание

Введение

1 Движение точечных вихрей на плоскости и сфере.

Компактный случай

1.1 Вихревая алгебра на плоскости и сфере

1.2 Классификация алгебры скобок Ли-Пуассона -,.'

1.3 Бифуркационный анализ движения вихрей на плоскости

1.4 Симплектические координаты для вихрей на плоскости

1.5 Качественный анализ движения трех вихрей на сфере

1.5.1 Канонические координаты

1.5.2 Бифуркационный анализ движения

2 Движение трех вихрей. Некомпактный случай. Проблемы

коллапса и рассеяния

2.1 Некомпактные движения на плоскости

2.2 Движения трех вихрей на сфере при условии некомпактности

2.3 Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере

2.4 Рассеяние вихрей на плоскости

2.5 Случай четырех вихрей с нулевой полной интенсивностью

3 Качественный анализ

совместной динамики вихревого пятна и точечных вихрей

3.1 Вихревые пятна

3.2 Взаимодействие вихревого пятна с точечным вихрем

3.3 Симплектические координаты

3.4 Бифуркационный анализ

3.5 Неинтегрируемость взаимодействия двух точечных вихрей

с вихревым пятном

Заключение Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественные методы исследования некоторых задач вихревой динамики»

Введение

Данная работа посвящена изучению нелинейных динамических систем, описывающих поведение вихревых структур в идеальной жидкости. Уравнения движения изучаемых систем могут быть представлены в гамильтоновой форме со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли—Пуассона). Такая форма уравнений позволяет наиболее естественно учитывать геометрические и динамические симметрии задачи. Кроме того, она дает наиболее простой и наглядный способ установления аналогий между различными динамическими системами [14].

В первых двух главах диссертации исследуется динамика трех точечных вихрей на плоскости и сфере. Хотя исследование особенностей вихревого движения жидкости началось еще с работы Гельмгольца [18], значительный прогресс в понимании физических явлений, связанных с вихревой динамикой [52, 95, 102, 39], наблюдается лишь в последние десятилетия. Это обусловлено как появлением мощных компьютеров и эффективных численных методов, позволяющих моделировать трехмерные взаимодействия вихрей [81], так и совершенствованием экспериментального оборудования, позволяющего осуществлять более тонкие измерения. Экспериментальное открытие когерентных структур (крупномасштабных вихревых образований в свободных сдвиговых течениях — следах и струях, тонкой зоне течений на поверхностях раздела и в пограничных слоях [73]) заставило в значительной мере переосмыслить возможности классической статистической теории турбулентности и обратиться к детерминированным моделям переноса завихренности и энергии. Понимание природы вихревого движения является чрезвычайно важным для понимания природных процессов в в атмосфере и океане. Процессы отрыва, сопротивления движению и генерация шума в различных технических устройствах не могут быть описаны без использования тех или иных вихревых моделей. Динамика завихренности идеальной несжимаемой жидкости обеспечивает физически содержательные примеры нелинейных гамильтоновых систем бесконечной размерности, особенно интересными в связи с проблемами динамического хаоса [23].

Однако, несмотря на длительную историю развития вопроса, изучение модели точеч-

ных вихрей на плоскости сводилось в основном к численному построению траекторий движения [46, 48, 47, 49, 55, 53, 56, 57]. Движение вихрей на сфере было практически не исследовано вообще до недавнего времени [88, 89]. Актуальным на сегодняшний день становится качественное понимание процессов вихревого движения, хотя бы на таком уровне, который достигнут в динамике твердого тела. В данной работе для анализа движения были использованы такие подходы, как бифуркационный анализ, построение фазовых портретов, геометрических проекций, ставшие возможными после появления работы [62], в которой была найдена алгебраическая структура, определяющая особенности поведения вихрей на плоскости и сфере. Основываясь на результатах этой работы, в первых двух главах диссертации изучены компактные и некомпактные движения вихрей, рассмотрены такие явления как коллапс и рассеяние вихрей.

В последней главе диссертации изучается взаимодействие точечных вихрей с так называемым вихрем Кирхгофа [28]. Хотя вихри Кирхгофа были обнаружены еще в прошлом веке, но их использование как модели реальных вихрей началось сравнительно недавно, после того как подобные конфигурации стали обнаруживать в натурных и численных экспериментах [72, 84, 91]. Модель эллиптических вихрей Кирхгофа является более сложной и более нелинейной моделью, поэтому ее практическое использование связано с компьютерным моделированием. Численные расчеты и сопоставление с экспериментом [85] убедительно показывают, что модель адекватно описывает, например, многие явления связанные с перемешиванием жидкостей. Однако понимания свойств модели вне рамок компьютерного моделирования отсутствовало до настоящего времени. Целью исследования является понимание данной модели с точки зрения качественного анализа ее внутренних свойств и связанных с ней математических структур. Такой качественный анализ проведен до конца для случая взаимодействия одного точечного вихря с вихрем Кирхгофа. Для случая взаимодействия двух точечных вихрей с вихрем Кирхгофа показано, что задача является неинтегрируемой. С этой целью исследовано расщепление сепаратрис для случая ограниченной задачи (задачи о движении частицы жидкости — точечного вихря малой интенсивности, не влияющего на движение остальных вихрей, в поле скоростей, являющемся суперпозицией скоростей, созданных другим точечным вихрем и вихрем Кирхгофа).

Подробная структура диссертации — следующая.

В первом параграфе первой главы описана модель точечных вихрей, приведены основные понятия и соотношения, используемые при рассмотрении задач движения вихрей на плоскости и на сфере в абсолютных и относительных координатах.

Во втором параграфе первой главы рассмотрена алгебраическая классификация движений скобок Ли-Пуассона трех вихрей на плоскости. Показано, что возможность вещественного разложения вихревой алгебры в прямую сумму алгебр зависит от соотношений между интенсивностями вихрей. Всего существует две различных возможности 5о(3) © И и зо(2,1) © К Еще один случай соответствует четырехмерной разрешимой алгебре. В каждом из случаев найден базис образующих алгебры, приводящий алгебру вихрей к каноническому виду, указан симплектический лист.

В третьем параграфе дана геометрическая интерпретация движения вихрей в пространстве относительных координат, построена геометрическая проекция. Здесь же указаны условия, определяющие существование стационарных решений в относительных координатах. На их основе проведено построение бифуркационных диаграмм зависимости энергии стационарных конфигураций от интеграла полного момента системы вихрей. В этом случае вся плоскость возможных значений энергии и полного момента системы разбивается на области, соответствующие качественно различным по характеру движениям. Исследована относительная устойчивость стационарных конфигураций. Получена явная формула для устойчивости томсоновских конфигураций (при которой три вихря образуют правильный треугольник). Проведено сопоставление с результатами геометрической проекции.

Для базиса, полученного в результате классификации алгебры скобок Ли-Пуассона для трех вихрей на плоскости (Гл. 1, §2), в четвертом параграфе введены симплектичес-кие координаты, позволяющие построить фазовые портреты для различных характерных случаев и провести аналогию с движением твердого тела. В частности, сравнение с фазовым портретом задачи Эйлера-Пуансо позволяет заключить, что коллинеарные конфигурации вихрей соответствуют неустойчивым перманентным движениям твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, а томсоновские решения можно связать с вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции.

Пятый параграф посвящен вопросам качественного изучения вихрей на сфере. Благодаря траекторному изоморфизму задачи вихрей с задачей Лотки-Вольтерра, обнаруженному в [62], качественный анализ движений на сфере может опираться на соответствующий анализ движения вихрей на плоскости. Отличие между случаем плоскости и сферы проявляется лишь в изменении характерной области, допускающей физически приемлемые решения. Таким образом, изоморфизм с задачей Лотки-Вольтерра дает практическую возможность исследования задачи трех вихрей на сфере. Это особенно необходимо потому, что задача вихрей на сфере значительно сложнее соответствую-

щей задачи о движении вихрей на плоскости. Для наиболее простого случая равных интенсивностей для трех вихрей на сфере найдены канонические координаты, параметризующие связную компоненту симплектического многообразия через эллиптические функции Якоби. Приведен вид одного из сечений этой связной компоненты симплектического многообразия при деформации за счет изменения радиуса кривизны сферы. В другом пункте этого же параграфа проделан бифуркационный анализ. При построении бифуркационных кривых для случая сферы был обнаружен эффект возникновения вихрей (третий вихрь рождается из задачи двух вихрей при изменении интеграла полного момента на диаграмме). Построена соответствующая геометрическая проекция, проясняющая механизм такого возникновения. Исследованы также зависимости угловой скорости вращения вихрей, их относительная устойчивость и угол наклона по отношению оси вращения для стационарных конфигураций системы. Отмечено резкое возрастание угловой скорости вращения при рождения третьего вихря из задачи двух вихрей. Проанализированы отличия плоского случая от случая на сфере.

Вторая глава диссертации является продолжением качественного анализа движения трех точечных вихрей на сфере и плоскости для некомпактного случая алгебры скобок Пуассона. В частности, исследованы явления коллапса и рассеяния вихрей.

В первом параграфе второй главы исследовано движение вихрей на плоскости для некомпактного случая. С этой целью построены геометрическая проекция движения вихрей на плоскость интеграла полного момента, бифуркационные диаграммы и графики зависимости коэффициента устойчивости для характерных случаев, определяемых типом алгебры, типом устойчивости и интегралом полного момента.

Во втором параграфе исследовано движение вихрей на сфере для некомпактного случая. Исходя из соответствующего анализа для плоскости, методом продолжения по параметру построены бифуркационные диаграммы системы. Опираясь на геометрические проекции движения вихрей на плоскость интеграла полного момента, а также построенные графики зависимостей угловой скорости вращения, угла наклона плоскости вихрей по отношению к оси вращения, коэффициента устойчивости проводится качественный анализ движения вихрей на сфере. Найдены условия существования статических конфигураций на сфере и показаны причины возникновения больших угловых скоростей при рождении третьего вихря из задачи двух вихрей.

В третьем параграфе, исходя из изоморфизма задачи вихрей с задачей Лотки-Вольтерра получены соотношения, определяющие динамику однородного коллапса. Обсуждается возможность неоднородного коллапса. Исходя из анализа асимптотик в

окрестности нуля показано, что в системе трех вихрей неоднородный коллапс невозможен, найдены необходимые и достаточные условия однородного коллапса.

В параграфе четыре второй главы рассмотрены условия, при которых возможен уход вихрей на бесконечно большое расстояние (рассеяние вихрей). Найдена замена переменных, позволяющая свести изучение задачи рассеяния к задаче коллапса. Исходя из анализа предыдущего параграфа, получены необходимые и достаточные условия возникновения рассеяния в системе трех вихрей.

Поскольку случай нулевой полной интенсивности для четырех вихрей на нулевом уровне интеграла полного момента полностью определяется движением всего трех вихрей, то возможность анализа такой ситуации полностью аналогична тому, что изложена в двух первых главах. Меняется только гамильтониан системы. Как результат такого исследования, в пятом параграфе построены фазовые портреты и даны геометрические проекции для случаев равных и неравных интенсивностей.

Третья глава диссертации посвящена изучению взаимодействия точечного вихря с вихрем Кирхгофа, а также доказательству неинтегрируемости взаимодействия двух точечных вихрей с вихрем Кирхгофа в ограниченной постановке.

В первом параграфе приведены основные соотношения, уравнения движения в га-мильтоновой форме и интегралы движения, соответствующие модели Кирхгофа.

Во втором параграфе проведен анализ взаимодействия точечного вихря с вихрем Кирхгофа, введены относительные координаты, получена алгебра скобок Ли-Пуассона для относительных переменных. Показано, что в зависимости от соотношения между интенсивностями алгебра скобок сводится к прямой сумме либо зо(2,1)©#, либо е(2)ф Я. Указан канонический базис и найдены центральные функции алгебры.

В третьем параграфе введены канонические координаты совместной системы точечный вихрь и вихрь Кирхгофа для возможных характерных случаев интенсивностей. Построены фазовые портреты, проанализировано движение системы в неподвижных точках и в их окрестности в относительных и абсолютных координатах.

В четвертом параграфе построены бифуркационные диаграммы, обнаружен нетривиальный случай взаимодействия вихре, приводящий к устойчивому периодическому движению в пространстве, что дает возможность исследовать неинтегрируемость ограниченной задачи совместного движения вихрей.

В пятом параграфе рассмотрена постановка ограниченной задачи для совместного движения двух точечных вихрей в поле вихря Кирхгофа. Найдено решение, описывающее малые отклонение от периодического в пространстве решения. Получен гамильто-

ниан и уравнения движения системы с полутора степенями свободы, соответствующей движению третьего вихря (частицы жидкости) в заданном поле скоростей. Построен фазовый портрет невозмущенной системы и отображение Пуанкаре для возмущенной системы. Изменение величины возмущения приводит к расщеплению сепаратрис вблизи гиперболических точек и образованию стохастического слоя. Результаты численных расчетов позволяют сделать вывод об отсутствии дополнительных первых интегралов, и следовательно об неинтегрируемости взаимодействия двух точечных вихрей с вихрем Кирхгофа.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Лебедев, Владимир Геннадьевич

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Найдены соотношения, определяющие стационарные конфигурации вихрей в относительных переменных. При помощи классификации алгебры скобок Ли-Пуассона задачи трех вихрей на плоскости получены условия на интенсивности, при которых все движения финитны (инфинитны), независимо от вида гамильтониана. Для характерных наборов интенсивностей, в задачах трех вихрей на плоскости и сфере выполнен полный качественный анализ движения вихрей, основанный на геометрической проекции, построены бифуркационные диаграммы. При этом обнаружено слияние томсоновских и коллинеарных конфигураций на сфере при изменении линейного интеграла движения, а также рождение из задачи двух вихрей устойчивых коллинеарных конфигураций, вращающихся с большой (бесконечной) угловой скоростью в момент появления.

2. В компактном случае алгебры скобок Пуассона введены канонические координаты и построены фазовые портреты для движения трех вихрей на плоскости, а также для частного случая системы четырех вихрей на плоскости — при условии нулевого значения линейного интеграла движения и нулевой полной завихренности. Установлена аналогия между движением вихрей и движением твердого тела. Построены канонические координаты для движения вихрей на сфере при условии равных интенсивностей. В этом случае переход от алгебраических переменных к каноническим осуществляется с помощью эллиптических функций Якоби, в отличие от задачи вихрей на плоскости, где для параметризации достаточно тригонометрических функций.

3. Для характерных значений интенсивностей, определяемых условиями компактности (некомпактности) алгебры скобок Пуассона, получены зависимости относительных и абсолютных характеристик движения вихрей от линейного интеграла движения. В том числе, получены зависимости устойчивости стационарных конфигураций, угловой скорости вращения и угла наклона оси вращения по отношению к плоскости, образованной тремя вихрями на сфере. Найдены условия существования статических конфигураций на сфере.

4. В результате исследования явлений коллапса и рассеяния вихрей на плоскости и сфере показано, что в системе трех вихрей может наблюдаться только однородный коллапс, при котором конфигурации вихрей в разные моменты времени подобны между собой. Найдены необходимые и достаточные условия однородного коллапса, а также показано, что достаточными условиями рассеяния является наличие вихревых пар.

5. В алгебраической форме произведена редукция динамической системы, состоящей из вихревого пятна и точечного вихря. В результате получена приведенная система с одной степенью свободы, допускающая интегрирование в квадратурах. Проведена классификация возникающей скобки Ли-Пуассона в зависимости от параметров модели. На основе полученной классификации найдены канонические координаты системы, построены бифуркационные диаграммы, проведен полный качественный анализ движения, включающий в себя изучение точек относительного равновесия. Показано, что при нулевой полной завихренности неподвижные точки соответствуют параллельному движению вихрей, аналогично движению вихревой пары. При ненулевой завихренности неподвижная точка описывает вращение вихрей вокруг центра завихренности, сохраняющее их относительную ориентацию. Найдены решения, описывающие малые отклонения от устойчивых неподвижных точек. Методом расщепления сепаратрис доказана неинтегрируемость ограниченной постановки задачи о взаимодействии двух точечных вихрей с вихревым пятном.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лебедев, Владимир Геннадьевич, 1999 год

Библиография

[1] Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.

[2] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1991.

[3] Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 4, С. 5-140. — М.: ВИНИТИ, 1985.

[4] Арнольд В.И., Козлов В.В.,, Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 3, — М.: ВИНИТИ, 1985.

[5] БаркинЮ.В., Борисов А. В. Неинтегрирумость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела. № 5037-В89, М.: ВИНИТИ, 1989.

[6] Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т. 1,2. — М.: Мир, 1980.

[7] Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. — М.-Л.: Гостехиздат, 1941.

[8] Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.-Л.: Гостехиздат, 1954.

[9] Богомолов В.А. Динамика завихренности на сфере. Изв. АН. СССР Мех. жид. и газа, 1977, № б, С. 57-65.

[10] Богомолов В.А. О двумерной гидродинамике на сфере. Физика атмосферы и океана, Т. 15, 1979, № 1, С. 29-35.

[11] Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. — М.: Наука, 1980.

[13

[14

[15

[16

[17

[18 [19 [20

[21

[22

[23

[24

Борисов A.B., Емельянов K.B. Неинтегрируемостъ и стохастичностъ в динамике твердого тела. — Ижевск, Изд-во Удм. Ун-та, 1995.

Борисов A.B., Лебедев В.Г. Движение трех точечных вихрей на плоскости и сфере. Тезисы докладов "4-ой Российской университетско-академической научно-практической конференции", часть 7, Ижевск, УдГУ, 1999, С. 29-30.

Борисов A.B., Мамаев И.С., Нелинейные скобки Пуассона и изоморфизмы в динамике. Регул, и хаотич. динам., 1997, Т. 2, № 3, С. 65-79.

Борисов A.B., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамилътоновой механике. — Ижевск, Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.

Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.

Вихревые движения жидкости. Сб. статей под ред. А.Ю.Ишлинского, Г.Г.Черного — М.: Мир, 1979.

Гельмгольц Г. Два исследования по гидродинамике. — М., 1902, С. 5-51.

Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. — М.: Мир, 1997.

Горячев Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных вихрей. — Москва, Университет, тип., 1898.

Громека И.С. О вихревых движениях жидкости на сфере. Собрание протоколов заседания секции физ.-мат. общества естествоиспытателей при Казанском Университете. Громека И.С. Собр. соч. М.: АН СССР, 1952.

Дубровин Б.А., Новиков С.П.,, Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Т. 1,2. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.

Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988.

Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений и несуществование интеграла в динамике твердого тела. Труды ММО, Т. 41, 1980 С. 287-303.

Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамилътоновой механике. I, II. Функ. ан. и его прил., Т. 16; 17,1982; 1983, № 3; 1, С. 30-41; 8-23.

[26] Зиглин С.Л. Неинтегрируемостъ задачи о движении четырех точечных вихрей. ДАН СССР, 1990, Т. 250, № 6, С. 1296-1300.

[27 [28 [29

[30

[31

[32

[33

[34

[35

[36 [37 [38

[39

[40 [41

Извеков Б.А., Кочин Н.Е. Динамическая метеорология. — Л.: Гостехиздат, 1935.

Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. — М.: АН СССР, 1962.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоновой механике. — Ижевск: Изд-во Удм. Ун-та, 1995.

Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

Козлов В.В. Общая теория вихрей. — Ижевск: Изд. дом «Удмуртский Университет», 1998.

КозловВ.В., ФуртаС.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. — М.: МГУ, 1996.

КоновалюкТ. П. Адвекция частиц жидкости в поле скорости плоских вихрей при их слиянии. Регул, и хаотич. дин., 1996, Т. 1, № 1, С. 72-83.

Коновалюк Т.П. Классификация взаимодействия вихревой пары с точечным вихрем в идеальной жидкости. Гидродинамика, Киев, Т. 62, 1990, С. 64-71.

Кочин Н. Е., Киттель И. А., РозеН. В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1, — М.: ГИТТЛ, 1955.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1975. ЛамбГ. Гидродинамика. — М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.

Лебедев В.Г. Численное исследование зависимости вращения волчка Ковалевской от вида бифуркационного множества. Ижевск, Известия института математики и информатики, 1998, вып. 1(12), С. 49-60.

Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика вихревых структур. — Киев: Наукова думка, 1993.

Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика — М.: Мир, 1964.

Новиков Е.А. Динамика и статистика системы вихрей. ЖЭТФ, 1975, Т. 68, вып. 5, С. 1868-1882.

[42] Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Коллапс вихрей. ЖЭТФ, 1979, Т. 77, вып. 2(8), С. 588-597.

[43] Селиванова Е.Н. Топология задачи о трех точечных вихрях. Труды Мат. института РАН им. В.А. Стеклова, Т. 205, 1994 С. 141-149.

[44] Хазин Л.Г. Правильные многоугольники из точечных вихрей и резонансная неустойчивость стационарных состояний. ДАН СССР, Т. 230, 1976, № 4, С. 799-802.

[45] Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1988.

[46] Adams М., Ratiu T.S. The three point vortex problem: commutative and non-commutative integrability in Hamilton dynamical systems. Cont. Math., V. 81, 1988, P. 245-257.

[47] Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. Phys. Lett. A, 1980, V. 78, № 4, P. 297-300.

[48] Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices. I. The case of identical vortices. Proc. R. Soc. bond., V. 380 A, 1982, P. 359-387.

[49] Aref H. Point vortex motions with a center of symmetry. Phys. Fluids, 1982, V. 25 (12), P. 2183-2187.

[50] Aref H. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-dimensional flows. Ann. Rev. Fluid Mech., V. 15, 1983, P. 345-389.

[51] Aref H. Stirring by chaotic advection. J. Fluid Mech., 1984, V. 143, P. 1-21.

[52] Aref H., Kambe T. Report on the IUTAM symposium: Fundamental aspects of vortex motion. J. Fluid Mech., V. 190, 1988, P. 571-574.

[53] Aref H. Motion of three vortices revisited. Phys. Fluids., V. 31, 1988, № 6, P. 13921409.

[54] Aref H., RottN., ThomannH. Grobli's solution of the three-vortex problem. Ann. Rev. Fluid Mech., 1992, V. 24, P. 1-20.

[55] Aref H. On the equilibrium aned stability of a row of point vortices. J. Fluid Mech., 1995, V. 290, P. 167-191.

[56] ArefH., StremlerM. On the motion of the three point vortices in a periodic strip. J. Fluid Mech., 1996, V. 314, P. 1-25.

[57] Aref H., Vainstein D. L. Point vertices exhibit asymmetric equilibria. Nature, 1998, V. 392, 23 April, P. 769-770.

[58] Bagrets A.A., Bagrets D.A. Nonintegrability of two problems in vortex dynamics. Chaos, V. 7, 1997, № 3, P. 368-375.

[59] Bagrets A.A., Bagrets D.A. Nonintegrability of Hamiltonian systems in vortex dynamics. II. The motion of four point vortices on a sphere. Reg. & Chaot. Dyn., 1997, V. 2, № 2, P. 58-64.

[60] Bagrets A.A., Bagrets D.A. Nonintegrability of Hamiltonian systems in vortex dynamics. II. The motion of four point vortices on a sphere. Reg. & Chaot. Dyn.,

1997, V. 2, № 2, P. 58-64.

[61] Beale J.T., Majda A. Highter order accurate vortex methods with explicit velocity kernels. J. Comp. Phys., 1984, V. 58, P. 188-208.

[62] Borisov A.V., Pavlov A.E. Dynamics and Statics of Vortices on a Plane and a Sphere - I. Reg. & Chaot. Dyn., V. 3, 1998, № 1, P. 28-39.

[63] Borisov A.V., Lebedev V.G. Dynamics of Three Vortices on a Plane and a Sphere -

II. General compact case. Reg. & Chaot. Dyn., V. 3, 1998, № 2, P. 99-114.

[64] Borisov A.V., Lebedev V.G. Dynamics of Three Vortices on a Plane and a Sphere -

III. Noncompact case. Problem of collaps and scattering. Reg. & Chaot. Dyn., V. 3,

1998, № 4, P. 74-86.

[65] Dritschel D. The stability and energetics of corotating uniform vortices. J. Fluid Mech., 1985, V. 157, P. 95-134.

[66] Eckhardt B. Fractal properties of scattering singularities. J. Phys. A, V. 20, 1987, P. 5971-5979.

[67] Eckhardt B., Aref H. Integrable and chaotic motion of four vortices II. Collision dinamics of vortex pairs. Phil. Frans. R. Soc. Lond. A, 1988, V. 326, P. 655-696.

[68] Eckhardt B. Irregular scattering of vortex pairs. Europhys. Lett., V. 5(2), 1988, № 2, P. 107-111.

[69] Eckhardt B. Integrable four vortex motion. Phys. Fluids, V. 31(10), 1988, P. 2796-2801.

[70] Greenhill A.G. Plane vortex motion. Quart. J. Pure Appl. Math., 1877/78, V. 15, № 58, P. 10-27.

[71] Gröbli W. Specialle Probleme über die Bewegung geredliniger paralleler Wirbelfäden. Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch, V. 22, 1877, P. 37-81, 129-165.

[72] Hernan M.A., Jimenez J. Computer analysis of a high-speed film of the plane turbulent mixing layer. J. Fluid Mech., 1982, V. 119, P. 323-345.

[73] Hussain A.K.M.F. Coherent structures and turbulence. J. Fluid Mech., V. 173, 1986, P. 303-356.

[74] Joseph D.D., Nield D.A. Stability of bifurcating time-period and steady state solutions of arbitrary amplitude. Arch. Rat. Mech. Anal., 1975, V. 58, P. 369-378.

[75] Kida S. Motion of an elliptic vortex in a uniform shear flow. J. Phys. Soc. Japan, 1981, V. 50, P. 3517-3520.

[76] Kirwan F. The topology of reduced phase spaces of the motion of vortices on a sphere. Physica D, № 30, 1988, P. 99-123.

[77] KimuraY., OkamotoH. Vortex Motion on a Sphere. J. of Phys. Soc. Jap., v. 56, 1987, № 12, P. 4203-4206.

[78] Kimura Y., Zawadski I., Aref H. Vortex Motion, sound radiation and complex time singularities. Phys. Fluids. 1990, A2, № 2, P. 214-219.

[79] Khanin K.M. Quasi-periodic motions of vortex systems. Physica D., 1982, V. 4, P. 261269.

[80] Leonard A. Vortex methods for flow simulations. J. Comp. Phys., 1980, V. 37, P. 289355.

[81] Leonard A. Computing three-dimensional incompressible flow with vortex elements. Ann. Rev. Fluid Mech., V. 17, 1985, P. 523-559.

[82] MarsdenJ., PekarskyS., ShkollerS. Stability of relative equilibria of point vortices on a sphere and symplectic integrators, (to appear in Nuovo Cimento).

[83] McWilliams J.C. The emergence of isolated vortices in turbulent flow. J. Fluid Mech., 1984, V. 146, P. 21-43.

[84] Melander M.V., Zabusky N.J., Styczek A.S. Elliptically desingularized vortex model for the two-dimensional Euier equations. Phys. Rev. Lett., 1984, V. 53, P. 1222-1225.

[85] Melander M.V.,Zabusky N.J., Styczek A.S. A moment model for vortex interactions of two-dimensional Euler equation. Part I. Computational validation of hamiltonian elliptical representasion. J. Fluid. Mec., 1986, V. 167, P. 95-115.

[86] Nakamura Y., Leonard A., Spalart P. Vortex simulation of an inviscid shear layer. AIAA/ASME 3rd Joint Thermophysics, Fluids, Plasma Heat Transfer Conf.: paper AIAA-82-0948, 1982.

[87] Neu J.C. The dynamics of a columnar vortex in an imposed strain. Phys. Fluids, 1984, V. 27, P. 2397-2402.

[88] Kidambi R., Newton P. K. Motion of three vortices on a sphere. Physica D, № 116, 1998, P. 149-175.

[89] Kidambi R., Newton P. K. Collaps of three vortices on a sphere. Proc. at Int. Workshop on Vortex Dynamics in Geophysics Flow, Castro Marina, Italy, June, 1998.

[90] Ottino J. The kinematics of mixing: stretching, chaos, and transport. Cambridge U. P., 1989, 683 P.

[91] Overman E.A., Zabusky N.J. Evolution and merger of isolated vortex structures. Phys. Fluids, 1982, V. 25, P. 1297-1305.

[92] Pekarsky S., Marsden J. E. Point vortices on a sphere: stabilité of relative equlibria. J. Math.Phys., V. 39, № 11, 1998, P. 5894-5907.

[93] Poincaré H. Théorie des tourbillous.— Paris, 1893, 205p.

[94] Rott N. Three-vortex motion with zero total circulation. J. of Appl. Math, and Phys. (ZAMP), V. 40, 1989, P. 473-500. Addendum by H.Aref.

[95] Saffman P.G., Baker G.R. Vortex interactions. Ann. Rev. Fluid Mech., V. 11, 1979, P. 95-122.

[96] Saffman P.G., Szeto R. Equilibrium shapes of a pair of equal uniform vortices. Phys. Fluids, 1980, V. 23, P. 2339-2342.

[97] Simakov N.N. Dynamics of two vertices in circular domain. Reg. & Chaot. Dyn., 1998, V. 3, № 4, P. 87-94.

[98] Synge J.L. On the motion of three vortices. Can. Journ. Math., V. 1, 1949, P. 257-270.

[99] Tavantzis J., Ting L. The dynamics of three vortices revisited. Phys. Fluids, V. 31, 1988, № 6, P. 1392-1409.

[100] Thomson W. On the vortex atoms. Phil. Mag. ser.4, V. 34, 1867, № 227, P. 15-24.

[101] Thomson J.J. A treatise on the motion of vortex rings. London: MacMillan, 1883, 124p.

[102] Widnall S.E. The structure and dynamics of vortex filements. Ann. Rev. Fluid Mech., V. 7, 1975, P. 141-165.

[103] Winant C.D., Browand F.K. Vortex pairing: a mechanism of turbulent mixing layer growth at moderate Renolds number. J. Fluid Mech., 1974, V. 63, P. 237-255.

[104] Wu H.M., Overman E.A., Zabusky N.J. Steady state solutions of the Euler equations in two dimensions Rotating and translating V-states with limiting cases. Numerical results. J. Comp. Phys., 1984, V. 53, P. 42-71.

[105] Weiss J.B., Provenzale A., McWilliams J.C. Lagrangian Dynamics in High-Dimensional Point-Vortex Systems, preprint chao-dyn/9806013, to appear in Phys. Fluids.

[106] Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals, I-II. Cel. Mech., V. 31, 1983, № 4, P. 363-399.

[107] Zabusky N.J. Countur dynamics: a method for inviscid and nearly inviscid two-dimensional flows. In Proc. IUTAM Symp. on Turbulence and Chaotic Phenomena, 1984, P. 251-257.

[108] Zabusky N.J., Hughes M.H., Roberts K.V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions. J. Comp. Phys., 1979, V. 30, P. 96-106.

[109] ZermeloE. Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegung in einer Kügelfläche. Leipzig, Zeitschr. für Math, und Phys., Bd. 47, 1902.