Численные и аналитические исследования стационарных и бифуркационных процессов в системах гидродинамического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Иванова, Татьяна Борисовна

• Иванова, Татьяна Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванова, Татьяна Борисовна

Содержание

Введение

Глава 1. Программный комплекс

1.1. Анализ устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией

1.2. Уравнения движения и методы интегрирования

1.3. Регуляризация

1.3.1. Расчет переменного шага по времени

1.3.2. Рассеяние

1.4. Интерфейс программного комплекса

Глава 2. Гидродинамические модели в теории фигур равновесия са-

могравитирующей жидкости

2.1. Фигуры равновесия в динамике жидкости

2.2. Устойчивость жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним вращением

2.2.1. Гамильтоново представление и интегралы движения

2.2.2. Стационарные решения и бифуркационная диаграмма

2.2.3. Устойчивость стационарных решений

2.2.4. Круговой цилиндр и аналоги эллипсоидов Якоби и Де-декинда

2.2.5. Неразрывность течения и условия существования стационарных решений

2.3. Фигуры равновесия жидких самогравитирующих неоднородных масс

2.3.1. Уравнения гидродинамики и уравнение Пуассона в криволинейной системе координат

2.3.2. Решение уравнений гидродинамики и уравнения Пуассона

2.3.3. Однородный сфероид

2.3.4. Сфероид, состоящий из двух гомофокальных слоев

2.3.5. Сфероид с непрерывным распределением плотности

Глава 3. Численный анализ эволюции и распада фигур равновесия

жидких и газообразных масс

3.1. Постановка численного эксперимента

3.2. Численное моделирование динамики эллиптических форм в области существования

3.3. Численное моделирование в области распада

Приложение А. Фигуры равновесия однородной жидкости

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные и аналитические исследования стационарных и бифуркационных процессов в системах гидродинамического типа»

Введение

Актуальность работы

В последние несколько десятилетий для исследования многих задач механики, физики и других наук все больше применяются компьютерные методы, различные численные алгоритмы, системы аналитических вычислений и компьютерной визуализации. Кроме того, с появлением быстродействующих компьютеров возобновился интерес к решению классических задач механики, гидродинамики, астрофизики, аналитические подходы к решению которых исчерпали себя. Для таких задач, наряду с аналитическими методами, для описания глобального поведения возможно также применение численных методов теории динамических систем: построение сечения Пуанкаре, методы поиска периодических решений, топологический анализ инвариантных многообразий интегрируемых и неинтегрируемых систем (на основе бифуркационного комплекса), а также различные численные методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Одной из главных целей диссертации является создание комплекса программ, в котором реализуются приведенные выше численные методы для исследования систем гидродинамического типа. Одной из наиболее сложных для исследования проблем, которые встречаются в системах гидродинамического типа, является проблема определения фигур равновесия самогравити-рующих жидких и газовых масс.

Классическая задача о фигурах равновесия самогравитирующей жидкости имеет более чем трехсотлетнюю историю, тем не менее, в этих исследованиях на сегодняшний день остается много открытых вопросов, которые могут быть разрешены с использованием компьютеров. В рассматриваемой области

актуальными являются численная реализация топологических методов анализа и поиск областей устойчивости системы, компьютерная визуализация эволюции и распада фигур равновесия, в том числе в области неустойчивости, которые позволят приблизиться к пониманию многих наблюдаемых в природе астрофизических явлений. Однако трехмерная задача, к классическим результатам которой относятся эллипсоиды Маклорена и Якоби [1, 44], является достаточно сложной как для моделирования, так и с точки зрения наглядности представления результатов [6]. Упрощенной формой общей проблемы является задача о фигурах равновесия бесконечной однородной массы цилиндрической формы, вращающейся с заданным моментом вокруг оси цилиндра, так как достаточно рассматривать плоское сечение. Ранее подробно задача о существовании и устойчивости плоских фигур равновесия исследовалась Липшицем [11], который проинтегрировал данную систему в квадратурах, Джинсом [10] и Лавом [12]. Но, несмотря на то, что квадратуры известны, о качественном и количественном поведении системы было известно очень мало. Поэтому актуальными являются исследование фигур равновесия и анализ их устойчивости современными топологическими методами, с помощью визуализации бифуркационных диаграмм и с использованием современных пакетов аналитических вычислений. Кроме исследования однородных само-гравитирующих тел в двумерной постановке, в ходе работы была поставлена новая задача о равновесии неоднородного вращающегося самогравитирую-щего эллипсоида вращения. Эта задача подробно рассмотрена в работах Чаплыгина [56], который из-за аналитических сложностей не довел решение до конца. Используемые в созданном комплексе программ методы позволяют полностью исследовать данную задачу.

Все известные результаты, полученные ранее аналитическими методами, относятся к эллипсоидальным формам (или формам, бесконечно близким к эллипсоидальным). Для описания динамики более сложных конфигураций

решение не может быть получено аналитически из-за сложностей при решении уравнения Пуассона для гравитационного потенциала. Поэтому актуальным является исследование данной системы компьютерными методами и проведение визуализированного численного эксперимента не только в области существования и устойчивости, но и в областях возможных распадов, для которых на сегодняшний день вообще нет аналитического решения.

Для визуализации эволюции фигур равновесия самогравитирующей жидкости возможно использование метода дискретизации сплошной среды (бесконечномерная система аппроксимируется конечномерной системой с большим числом степеней свободы), так как суммарный гравитационный потенциал определяется взаимодействием отдельных частиц, и для каждой частицы можно записать и проинтегрировать уравнения движения (в области свободного движения). Основная проблема при интегрировании уравнений движения возникает на малых расстояниях между частицами. Актуальной также является разработка процедуры регуляризации на малых расстояниях, которая позволит в хорошем приближении описать динамику самогравитирующих систем с учетом законов сохранения.

Такого рода аппроксимации оправдали себя при исследовании систем точечных вихрей [32] и в статистической механике [33] для выявления различных статистических закономерностей. Исследования динамических систем с большим числом степеней свободы с помощью компьютерного моделирования также служат развитию методов неравновесной термодинамики и новых статистических методов анализа динамических систем, предложенных недавно в работах В. В. Козлова [40].

Цель работы

Целью диссертационной работы является создание программного комплекса для исследования динамики жидких и газовых самогравитирующих

масс методом дискретизации, а также для исследования систем с одной степенью свободы, анализ которых возможен с помощью гироскопической функции и топологических методов.

Методы исследования

Для исследования рассматриваемых в диссертации задач использовался спектр аналитических и компьютерных методов теории динамических систем. При решении уравнений движения дискретных частиц использовался модифицированный метод Рунге-Кутта четвертого порядка с переменным шагом по времени. Шаг по времени определялся с помощью регуляризации уравнений движения и корректным описанием рассеяния частиц. Программирование осуществлялось на языке С++ в среде Visual Studio.NET 2003. Многие алгебраические преобразования, в том числе построение бифуркационной диаграммы, выполнялись с помощью программы Maple. Для исследования систем, описываемых гироскопической функцией (к которым относится жидкий эллиптический цилиндр), и определения областей устойчивости применялись топологические методы анализа (на основе бифуркационного комплекса).

Научная новизна работы

Предложена математическая модель, описывающая динамику самогра-витирующих масс, включающая метод дискретизации сплошной среды в двумерной постановке. Частицы взаимодействуют по логарифмическому закону. Также модель включает в себя процедуры регуляризации и рассеяния на малых расстояниях (частицы на малых расстояниях ведут себя как упругие диски конечного радиуса), при этом с высокой точностью выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса системы. Данная модель

впервые реализована в комплексе программ, позволяющем визуализировать процессы эволюции системы взаимодействующих частиц во времени.

Также впервые в общем виде реализована процедура компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, на примере жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним течением в классе эллиптических возмущений. Для данной системы также впервые получены фигуры равновесия и построена бифуркационная диаграмма, указаны условия существования стационарных решений. Найден новый класс фигур равновесия неоднородной самогравитирующей идеальной жидкости — сфероид с гомофокальным расслоением плотности. Получена зависимость угловой скорости для случая двух однородных оболочек и для непрерывной функции плотности.

Положения и результаты, выносимые на защиту

1) Разработана математическая модель, описывающая динамику самогравитирующей системы большого числа частиц конечного радиуса в двумерной постановке, взаимодействующих по логарифмическому закону, которая включает в себя регуляризацию уравнений движения (использование переменного шага по времени и законы упругого отталкивания частиц на малых расстояниях).

2) Разработан метод компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, реализующий топологические методы.

3) Создан комплекс программ, реализующий описанные выше математическую модель и метод компьютерного анализа.

4) С помощью комплекса построена бифуркационная диаграмма и определены области существования и устойчивости жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с заданным моментом импульса и внутренним полем скоростей. Определены точки бифуркации эллиптического цилин-

дра с нулевой завихренностью. Найдены двумерные аналоги эллипсоидов Якоби и Дедекинда. 5) Найден новый класс фигур равновесия неоднородной самогравитирующей жидкости — сфероиды с гомофокальным расслоением. Получена замкнутая система уравнения гидродинамики в частных производных в криволинейной неортогональной системе координат, описывающая движение сфероидов с гомофокальным расслоением. В общем виде найдено совместное решение данной системы, а также найдены зависимости угловой скорости и давления от слоя для заданной функции плотности.

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации

Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов, полученных при работе с разработанным комплексом программ, подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах.

Комплекс программ для моделирования динамики дискретных частиц был опробован на задаче о движении двух тел, взаимодействующих по ньютоновскому и логарифмическому законам. Полученные траектории соответствуют классическому решению задачи двух тел. Кроме того, при численных расчетах проверялось выполнение законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Теоретическая и практическая ценность

Программный комплекс для моделирования динамики самогравитирующей системы большого числа частиц может быть использован для решения космогонических задач эволюции самогравитирующих небесных тел, в том

числе при описании распадов на двойные системы и наблюдении их эволюции. Метод компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, может быть использован для изучения различных систем механики, приводимых к одной степени свободы. Полученные в ходе апробации модуля научные результаты, описанные во второй главе, носят теоретический характер и могут быть основой для дальнейших исследований, например, устойчивости эллиптического цилиндра с внутренним полем скоростей при произвольных возмущениях. Кроме того, интересно было бы указать при помощи компьютерных методов новые семейства неэллиптических фигур равновесия с внутренним полем скоростей.

Апробация результатов

Результаты диссертации отражены в 8 публикациях, из них 3 статьи — в научных журналах списка ВАК. Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Института Машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, а также докладывались на всероссийских и международных конференциях:

1) Всероссийская конференция "Регулярная и хаотическая динамика", г. Ижевск, 19-24 января, 2010 г.

2) Международная конференция "Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану", г. Ижевск, 12-15 мая, 2010 г.

3) Конференция-семинар "Проблемы классической и статистической механики", г. Ижевск, 20-23 декабря, 2010 г.

4) Всероссийская конференция "Динамические системы и робототехника", г. Ижевск, 3-6 июня, 2011 г.

5) III International conference "Geometry, dynamics, integrable systems — GDIS 2011", Lisbon - Sintra, Portugal, 10-16 September, 2011.

Публикации автора по теме диссертации

1) Иванова Т. Б. Построение бифуркационной диаграммы и анализ устойчивости жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним вращением // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. № 4. С. 77-86.

2) Борисов А. В., Мамаев И. С., Иванова Т. Б. Устойчивость жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним вращением // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 4. С. 807-822.

3) Бизяев И. А., Иванова Т. Б. Фигуры равновесия жидких самогравитирую-щих неоднородных масс // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 3. С. 142-153.

4) Иванова Т. Б. К вопросу о равновесных формах самогравитирующей вращающейся жидкости // Регулярная и хаотическая динамика: тез. докл. Все-рос. конф., г. Ижевск, 19-24 января, 2010 г. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, Ин-т компьютер, исслед., ГОУВПО "УдГУ". — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. С. 44.

5) Иванова Т. Б. Равновесные конфигурации вращающегося жидкого цилиндра с внутренним течением // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану: тез. докл. Междунар. конф., г. Ижевск, 12-15 мая, 2010 г. — Ижевск: РХД, 2010. С. 19-20.

6) Иванова Т. Б., Мамаев И. С. Исследование динамики большого количества самогравитирующих упругих дисков с ударами // Проблемы классической и статистической механики: тезисы докл., г. Ижевск, 20-23 декабря, 2010 г. / Ин-т компьютер, исслед., ГОУВПО "УдГУ". - Ижевск: РХД, 2010. С. 25.

7) Иванова Т. Б., Бизяев И. А. Исследование фигур равновесия жидких самогравитирующих неоднородных масс // Динамические системы и робо-

тотехника: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 3-6 июня, 2011 г. / Ин-т компьютер, исслед., ГОУВПО "УдГУ". - Ижевск: РХД, 2011. С. 22. 8) Ivanova Т. The modeling of the dynamics of rotating self-graviting liquid // III International conference "Geometry, dynamics, integrable systems — GDIS 2011": тез. докл. междунар. конф., Lisbon — Sintra, Portugal, 1016 September, 2011. P. 12.

Краткое содержание работы

Диссертация изложена на 104 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы (56 наименований). Диссертация содержит 38 рисунков.

В первой главе диссертации описан программный комплекс для моделирования динамики большого числа взаимодействующих частиц, описаны основные методы и дополнительные модули, используемые при интегрировании уравнений движения. Описан метод компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией.

Во второй главе диссертации рассмотрена задача об определении фигур равновесия самогравитирующей идеальной жидкости.

В п. 2.1 приведены основные этапы развития теории фигур равновесия, проведен обзор классических и современных работ, указаны открытые вопросы в рассматриваемой области. Процедура определения точек бифуркации однородной сферы, сфероида Маклорена и эллипсоида Якоби и соответствующая бифуркационная диаграмма, полученная в ходе работы над диссертацией, вынесены в Приложение А.

В п. 2.2 топологическими методами аналитически исследуется модельная задача о фигурах равновесия бесконечной однородной массы цилиндрической формы, вращающейся с заданным моментом импульса вокруг оси цилиндра и внутренним полем скоростей. В п. 2.2.1 приведен гамильтониан данной системы, найдены первые интегралы. В п. 2.2.2 получено уравнение, опреде-

ляющее критические точки приведенной потенциальной энергии. Показано, что стационарные решения определяют в пространстве первых интегралов двумерную бифуркационную поверхность и бифуркационную кривую (параболу), соответствующую круговому решению. Приведен график бифуркационного комплекса. В п. 2.2.3 определены области устойчивости рассматриваемой системы. В п. 2.2.4 подробно рассмотрено решение, соответствующее круговому цилиндру, на бифуркационной поверхности найдены кривые, соответствующие двумерным аналогам эллипсоидов Якоби и Дедекинда. В каждом случае определено значения угловой скорости в точке бифуркации. Также при анализе уравнений Римана для эллиптического цилиндра были определены области существования решения, то есть области положительного давления (п. 2.2.5). Показано, что выше точки бифуркации на ветви кругового цилиндра физического решения не существует.

В п. 2.3 аналитическими методами определяется новый класс фигур равновесия неоднородной жидкости — сфероиды с гомофокальным расслоением. В п. 2.3.1 получены уравнения непрерывности, Пуассона и гидродинамические уравнения Эйлера, в криволинейной неортогональной системе координат. В п. 2.3.2 рассматривается движение жидкости, сохраняющее форму эллипсоида, то есть угловая скорость зависит только от параметра гомофокаль-ного слоя. Получена замкнутая система из трех уравнений для определения угловой скорости, гравитационного потенциала и плотности. Показано, что гравитационный потенциал определяется двумя функциями параметра слоя, для каждой из этих функций найдены дифференциальные уравнения второго порядка и условия для определения констант, в том числе на границе жидкости. В п. 2.3.3 и 2.3.4 показано, что найденные в общем виде решения для угловой скорости обобщают известное решение Маклорена для однородного сфероида и результаты работы [15] для двух оболочек разной плотности. Решение, представленное в общем виде, позволяет определять давление и угло-

вую скорость гомофокального сфероида с произвольной функцией плотности (в п. 2.3.5 представлен один из частных случаев).

В главе 3 описана постановка численного эксперимента и приведены результаты компьютерного анализа динамики большого числа частиц конечного радиуса в двумерной постановке с помощью описанного в главе 1 программного комплекса. Математическая модель динамики системы абсолютно упругих частиц, взаимодействующих по логарифмическому закону, включает в себя регуляризацию, использование переменного шага по времени и законы упругого отталкивания частиц на малых расстояниях. Процесс визуализирован, что позволяет наблюдать эволюцию системы во времени.

Уравнения движения представляют собой систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка, которые решаются методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Основная проблема при интегрировании уравнений движения возникает на малых расстояниях между частицами (знаменатель в уравнениях движения стремится к нулю). Для получения корректного результата был использован модуль для определения переменного шага по времени на основе регуляризации уравнений движения вблизи двухчастичных столкновений (описанный в п. 1.3).

Для более детального описания наблюдаемых форм использовались дополнительные модули для определения статистических распределений частиц по углу и по радиусу от времени. Анализ получаемых в ходе численных экспериментов распределений частиц по углу и расстоянию от центра масс показал возможность пульсаций системы, аналитическое описание которых является достаточно сложной задачей. Характерные процессы эволюции эллиптического цилиндра в области существования подробно изложены в п. 3.2 диссертации. Характерные процессы эволюции системы в области отрицательного давления, например, с образованием двойных систем, рассмотрены в п. 3.3 диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Иванова, Татьяна Борисовна

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1) Разработана математическая модель, описывающая динамику самограви-тирующей системы большого числа частиц конечного радиуса в двумерной постановке, взаимодействующих по логарифмическому закону, которая включает в себя регуляризацию уравнений движения (использование переменного шага по времени и законы упругого отталкивания частиц на малых расстояниях).

2) В общем виде реализована процедура компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, на примере жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним течением в классе эллиптических возмущений.

3) Создан комплекс программ, реализующий описанные выше математическую модель и метод компьютерного анализа устойчивости одностепен-ных систем.

4) С помощью комплекса построена бифуркационная диаграмма и определены области существования и устойчивости жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с заданным моментом импульса и внутренним полем скоростей. Устойчивость исследовалась в классе эллиптических возмущений.

5) Определены точки бифуркации эллиптического цилиндра с нулевой завихренностью. Найдены двумерные аналоги эллипсоидов Якоби и Дедекинда.

6) При анализе уравнений Римана для эллиптического цилиндра определены области отрицательного давления, в которых решение не существует.

7) Найден новый класс фигур равновесия неоднородной самогравитирующей жидкости — сфероиды с гомофокальным расслоением. Получена замкнутая система уравнения гидродинамики в частных производных в криволинейной неортогональной системе координат, описывающая движение сфероидов с гомофокальным расслоением. В общем виде найдено совместное решение данной системы, а также найдены зависимости угловой скорости и давления от слоя для заданной функции плотности.

8) В ходе численного эксперимента получены различные сценарии эволюции самогравитирующих масс в двумерной постановке, в том числе распадов

Обсудим также некоторые задачи, которые могут быть решены на основании результатов диссертации.

В известной работе Лава [12] показано, что жидкий эллиптический цилиндр без внутреннего течения является устойчивым по отношению к про

1 а извольным возмущениям, если отношение полуосей - < - < 3 (в то вре

3 о мя как согласно результатам данной работы по отношению к эллиптическим возмущениям эти цилиндры всегда устойчивы). Выше было показано, что устойчивому цилиндру без внутреннего вращения соответствует лишь некоторая кривая на бифуркационной поверхности всевозможных эллиптических цилиндров с произвольным внутренним вращением (см. рис. 10). Поэтому возникает естественный вопрос об устойчивости эллиптического цилиндра с внутренним течением по отношению к произвольным возмущениям, который может быть решен обобщением методов Лава.

Отметим также, что, помимо рассматриваемого в данной работе обобщения о решении Дирихле для жидких цилиндров, известно аналогичное решения для газовых самогравитирующих эллиптических цилиндров (для эллипсоидов подобные решения обнаружены в работах [2, 24]). Эта система не является интегрируемой. Тем не менее, стационарные решения существуют, и их устойчивость является открытым вопросом. Задание различных функций плотности в разработанном комплексе программ позволяет наблюдать эволюцию, в том числе, разреженных газовых масс. Совмещение численных и аналитических методов исследования газовых эллипсоидов позволит разрешить многие вопросы в этой области.

В заключение отметим, что двумерная задача об эллиптических цилиндрах использовалась начиная с Джинса и его современников для качественного объяснения распада звезд или происхождения двойных звезд и т. п. Как правило, в основе этих заключений лежит предположение о том, что при изменении параметров системы (например, в связи с некоторыми внутренними процессами или диссипацией) она проходит через последовательность равновесных конфигураций, среди которых следует искать равновесные двойные конфигурации. С другой стороны, также вероятен сценарий, при котором в процессе эволюции параметров система приходит к границе устойчивости либо к границе разрывности (области отрицательного давления). При этом аналитических методов для описания этих процессов не существует. Созданный программный комплекс и наблюдение численных решений, демонстрирующих распад, позволят продвинуться в аналитическом исследовании данной задачи.

Выражаю благодарность научному руководителю Мамаеву Ивану Сергеевичу, а также Борисову Алексею Владимировичу и Килину Александру Александровичу за внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванова, Татьяна Борисовна, 2012 год

Литература

[1] Appell P., Traité de Mécanique rationnelle, tome IV: Figures d'équilibre d'une masse liquide homogène en rotation, 2 ed., Paris: Gauthier-Villars, 1932 (IV-1), 1937 (IV-2). Пер. с франц.: Аппель, П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. Л.-М.: ОНТИ, 1936. — 376 с.

[2] Borisov А. V., Mamaev I. S., Kilin A.A. The Hamiltonian dynamics of self-gravitating liquid and gas ellipsoids // Regul. Chaotic Dyn. 2009, vol. 14, N. 2. P. 179-217.

[3] Dirichlet G. L. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik (Aus dessen Nachlass hergestellt von Herrn R. Dedekind zu Zürich) // J. Reine Angew. Math. (Crelle's Journal), 1861, V. 58. P. 181-216 [Дирихле Л. Исследование одной задачи гидродинамики // Динамика жидких и газовых эллипсоидов / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Инст. комп. исслед., 2010. С. 19-58].

[4] Dirichlet G. L., Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-Physikalische Klasse), Jg. 1857, No. 14, Aug. 10. P. 203-207 (Dirichlet's Werke, V. 2. P. 28).

[5] Dedekind R., Zusatz zu der vorstehenden Abhandlung // J. reine angew. Math. (Crelle's Journal). 1861, V. 58. P. 217-228.

[6] Fasso F., Lewis D. Stability properties of the Riemann ellipsoids // Arch. Rational Mech. Anal. 2001. V. 158. P. 259-292.

[7] Globa-Mikhaïlinko B. Sur quelques nouvelles figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation // J. Math. Pures Appl. 1916. V. 2. P. 1-78.

[8] Hicks W. M. On the motion of a mass of liquid under its own attraction, when the initial form is an ellipsoid // Proc. Camb. Phil. Soc. 1883. V. 4 (6). P. 1-4.

[9] Jardetzky W. S. Theories of figures of celestial bodies. Dover Publication, Inc., Mineola, New York, 2005. - 192 p.

[10] Jeans J.N. On the equilibrium of rotating liquid cylinders // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1903. V. 200. P. 67-104.

[11] Lipschitz R. Reduction der Bewegung eines flüssigen homogenen Ellipsoids auf das Variationsproblem eines einfachen Integrals, und Bestimmung der Bewegung für den Grenzfall eines unendlichen elliptischen Cylinders // J. Reine Angew. Math. (Crelle's Journal). 1874. V. 78. P. 245-272.

[12] Love A.E.H. On the Motion of a liquid elliptic cylinder under its own attraction // Q. J. Pure Appl. Math. 1889. V. 23. P. 153-158.

[13] Lyttleton R. A., The Stability of Rotating Liquid Masses, Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1953. — 155 p.

[14] Matthiessen L. Über die Gleichgewichtsfiguren homogener frei rotierender Flüssigkeiten. Kiel: Schwers'sehe Buchhandlung, 1857. — 77 p.

[15] Montalvo D., Martinez F. J., Cisneros J. On equilibrium figures for ideal fluids in the form of confocal spheroids rotating with common and different angular velocities // Rev.Mexicana Astron. Astrof. 1990. V. 20. P. 15-22.

[16] Poincaré H., Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation, Acta Math. 1885. V. 7. P. 259-380.

[17] Poincaré H., Figures d'équilibre d'une masse fluide (Leçons professées à la Sorbonne en 1900), Paris: Gauthier-Villars, 1902. Пер. на рус: А. Пуанкаре, Фигуры равновесия жидкой массы. М.-Ижевск: РХД, 2001. — 208 с.

[18] Rapaport D.S. The art of molecular dinamics simularion. New York:Cambridge university press, 2004. — 459 p.

[19] Riemann В. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung einer flüssigen gleichartigen Ellipsoïdes // Abh. d. Königl. Gesell, der Wiss. zu Göttingen, 1861 [Риман Б. Сочинения. M-Л.: ГИТТЛ, 1948. С. 339-366; а также см.: Риман Б. О движении жидкого однородного эллипсоида // Динамика жидких и газовых эллипсоидов / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. М.-Ижевск: РХД, Инст. компьютерн. исслед., 2010. С. 74-107].

[20] Thomson W. and Tait P. G., Treatise on Natural Philosophy, Cambridge University Press, Part II, 1912 (first édition 1883).

[21] Véronnet A. Rotation de l'ellipsoide heterogene et figure exacte de la Terre // Journ. de Mathématiques pures et appliquées. 1912. V. 8, ser. 6. P. 331-463.

[22] Volterra V., Sur la Stratification d'une Masse Fluide en Équilibre, Acta Math. 1903. V. 27, N. 1. P. 105-124.

[23] Бахвалов H. С., Жидков H.П., Кобельков ЕМ. Численные методы. M.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.

[24] Богоявленский О. И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида // Прикл. мат. и мех. 1976, т. 40, №2, с. 270-280.

[25] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. М.-Ижевск: Инст. компьютерн. исслед. 2005.- 576 с.

[26] Борисов А. В., Мамаев И. С. (ред.) Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы . Сборник статей. М.Ижевск: Инст. компьютерн. исслед., 2002. — 324 с.

[27] Борисов A.B., Мамаев И.С., Болсинов A.B. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН. 2010. Т. 65, вып. 2(392). С. 71-132.

[28] Борисов A.B., Мамаев И. С., Цыганов А. В.(сост.) Работы по механике 1902-1909 гг.: Переводы с французского. М.— Ижевск: РХД, Инст. компьютерн. исслед., 2011.

[29] Белоцерковский О. М. Вычислительная механика. Современные результаты. М.: Наука, 1991. — 183 с.

[30] Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.- 392 с.

[31] Белоцерковский О. М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа // Журн. вы-числ. математики и матем. физики. 1975. Т. 15, № 5. С. 1195-1208 (ч.1), 1153-1567 (ч.П).

[32] Васькин В. В., Васькина А. В., Мамаев И. С. Проблемы устойчивости и асимптотическое поведение вихревых пятен на плоскости // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, №> 2. С. 327-343.

[33] Васькин В. В., Ердакова H.H., Мамаев И. С. Статистическая механика нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 3. С. 385-402.

[34] Васькин В. В., Наймушина О. С. К вопросу о безотрывном движении шара на гладкой плоскости // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, №4. С. 625632.

[35] Вержбицкий В.М. Основы численных методов. Учебник для вузов. М.: Высш. школа. 2002. — 840 с.

[36] Гулд X. , Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике (в двух частях). Пер. с англ. Т.1, 2. М: Мир, 1990. - 752 с.

[37] Демин В. Г., Косенко И. И., Красильников П. С., Фурта С. Д. Избранные задачи небесной механики. Ижевск: Удмуртский университет, 1990. — 210с.

[38] Дубровский A.C., Кондратьев Б.П. Неэллиптические фигуры равновесия — двумерный случай // Вестник Удмуртского университета. 2007, № 1. С. 25-36.

[39] Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация / Сб. работ. —М.-Ижевск: Инст. компьютерн. исслед., 2006. — 452 с.

[40] Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. М.-Ижевск: РХД, 2008. - 208 с.

[41] Козлов В. В., Трещев Д. В. Биллиарды: Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: МГУ, 1991. — 168 с.

[42] Кондратьев Б. П. Теория потенциала и фигуры равновесия. М.-Ижевск: РХД, 2003. - 624 с.

[43]

Литтлтон Р. А. Устойчивость вращающихся масс жидкости. — РХД, 2001.-240 с.

М.-Ижевск:

[44] Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М.Ижевск: РХД, 2004. - 252 с.

[45] Ляпунов А. М., О некоторых рядах фигур равновесия неоднородной вращающейся жидкости. Посмертное издание в: Собрание сочинений, Том 5, М.: Изд-во АН СССР, 1965, с. 7-378. См. также Стеклов В.А., Посмертные труды Ляпунова о фигурах равновесия неоднородной вращающейся жидкости, с. 379-384.

[46] Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т.З, М.: Изд-во АН СССР, 1959. -376 с.

[47] Ляпунов A.M., Собрание сочинений, Том 5, М.: Изд-во АН СССР, 1965, - 496 с.

[48] Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учебн. пособие для вузов. 4-е изд. М.-Ижевск: РХД, 2007. - 592 с.

[49] Пицетти П. Основы механической теории фигуры планет. — М.: 1933. — 170 с.

[50] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967.- 664 с.

[51] Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. — 376 с.

[52] Тассуль Ж. Л. Теория вращающихся звезд, — М.: Мир, 1982, — 472с.

[53] Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. М: Мир, 1991. — 280 с.

[54] Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы.—М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. - 400 с.

[55] Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973. — 288 с.

[56] Чаплыгин С. А. Установившееся вращение жидкого неоднородного сфе-рода. Собрание сочинений. Том II «Гидродинамика. Аэродинамика». 1948. С. 576-585.