О зарождении и развитии численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 07.00.10, кандидат физико-математических наук Чальцева, Ирина Васильевна

• Чальцева, Ирина Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 0

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чальцева, Ирина Васильевна

Введение

Глава I Предаю тория

1.1. Первые приемы численного решения задач,сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

1.2. Результаты Ньютона и Лейбница в области анализа, связанные с решением обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.3. Некоторые вопросы исчисления конечных разностей, интерполирования и приближенных кЕадратур в тру. . дах ученых ОТ в.

1.4. Формулы механических квадратур Лапласа и Гаусса

1.5. Формулы Лежандра по вычислению эллиптических интегралов

Глава П.

Начальный период развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1. Вопросы приближенного решения дифференциальных уравнений в работах Эйлера.

2.2. Развитие метода Эйлера в работах Коши.

2.3. Метод Бонда-Энке.

2.4. Метод Адамса.

2.5. Метод Дарвина.

Глава Ш

Появление и развитие методов Рунге-Кутта

3.1. Метод Рунге.

3.2. Метод Хейна.

3.3. Метод Кутта.

3.4. Вопросы оценки погрешности и сходимости методов Рунге-Кутта.

Глава 1У.

Развитие и совершенствование численных методов решения задачи Коши в первой половине ХК столетия.

4.1. Метод Стермера.

4.2. Методы Коуэлла.

4.3. Работы А.Н.Крылова и примыкающие к ним по численному интегрированию дифференциальных уравне . ний.

4.4.Развитие численных методов в работах Ф.Мултона и Е.Нистрема.

4.5. Методы Милна.

4.6. Дальнейшее развитие численных методов решения . дифференциальных уравнений.

4.7. Вопросы оценки»погрешности и сходимости разностных методов. 155 Заключение 167 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О зарождении и развитии численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений»

Обыкновенные дифференциальные уравнения являются важным математическим аппаратом, широко применяемым для решения различ -ных научных и технических задач» Особенно эффективными оказа -лись приближенные методы, которые формировались и совершенствовались под непосредственным влиянием практики. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений делятся на аналитичес -кие методы, представляющие решение в виде аналитического выражения, численные методы, позволяющие найти искомое решение лишь в отдельных точках, то есть в виде таблицы, и графические методы, Настоящая работа имеет своей целью исследовать историю развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями от их зарождения до машинного периода развития, то есть, до середины XX века. При этом рас -сматриваются методы, основанные на использовании квадратурных формул, содержащих конечные разности, а также методы типа рунге-Кутта. Метод степенных рядов приводится в той мере, в какой он необходим в связи с использованием его в качестве вспомогательного способа для' некоторых численных методов.

Как возникли численные методы, какие главные этапы в своем развитии они прошли, какими стали к середине XX в - вот глав -ные вопросы, поставленные в работе. Более чем двухсотлетняя история развития методов дает богатый фактический материал для исследования общих закономерностей их развития. Модификация методов, отражающая диалектичность развития, не является пос ледовательным развитием идей. Идеи преемственности хотя и имеют место, но не являются определяющими. Решающую роль играет эффективность и простота алгоритма метода, приводящего к решению с наименьшей затратой труда с учетом имеющихся вычислительных средств. Как бы ни была хороша идея метода, она не получит развития, если ко времени ее появления не созданы материальные предпосылки - соответствующая вычислительная техника. Так случилось , например, с популярным ныне методом Адамса, до сих пор еще мало известным методом Дарвина, По мере развития вычислительной техники появляются новые методы из ранее забытых идей, как потом выявля -етоя при внимательном их рассмотрении.

Истоки возникновения численных методов и дальнейшее их разви -тие связаны с важными прикладными задачами механики, астрономии, баллистики, физики и других наук.

Идея численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальными условиями была впервые выдвинута Эйлером в 1768 г. в связи с исследованиями движения Луны. Необходимость в численном интегрировании назревала постепенно в различных областях естествознания по мере усложнения изучаемых задач. В астрономии вопрос о численном интегрировании возник уже к середине ХУШ столетия в связи с изучением возмущенного движения планет, приводящего к задаче трех тел, примерно к этому времени и в баллистике - в связи с вычислением траекторий снарядов. В физике, астрофизике, технике с проблемой численного интегрирования дифференциальных уравнений столкнулись лишь к середине XIX - началу XX в.

Характерной особенностью развития численных методов является то, что в их разработке принимали участие не только профессио -налы-математики, но и ученые в области прикладных наук, прежде всего, небесной механики, баллистики. Ряд методов и существенный прогресс в их применении связан с решением отдельных, конкретных проблем. Например, метод Адамса вошел в современную математику как общий метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка и их систем. Он был изобретен астрономом Д.Дцамсом в связи с решением одной задачи из области физики , предложенной ему профессором прикладной математики Башфортом. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений П-го порядка специального вида были предложены математиком К.Стермером при создании им теории полярных сияний и астрономом Коуэллом при исследовании движения кометы Галлея. Метод интегрирования уравнений П-го порядка общего вида разработан инженером В.В.Мечниковым в связи с решением некоторых задач баллистики.

Вместе с тем астрономам, физикам, инженерам, применяющим математику на практике, важно было получить простые расчетные формулы, более или менее обоснованные. Вопросы, связанные с иссле -дованием сходимости, оценками погрешности, обобщением методов оставались в стороне. Этим и объясняется тот факт, что опыт, накопленный в одной области знаний, не использовался в других об -ластях при решении задач, математически тождественных. Одни и те же методы переоткрывались в различных областях знаний по мере необходимости их использования. Богатейшая вычислительная культура послеэйлеровского периода развития методов до конца XIX века в связи с этим в известной степени была утрачена математикой. Только в первые годы XX века благодаря работам К.Рунге была от -крыта дорога к созданию общей теории методов типа Рунге-Кутта.

Разностные методы имеют более раннюю историю развития и широкую практику приложений при решении задач небесной механики, баллистики, физики. Однако развитие общей теории разностных методов относится лишь к первой четверти XX века, при этом основополагающими явились работы Я.Тамаркина [24(3(1923) и Н.Н.Боголюбова р!0](1927) Развитие методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений шло по пути использования и приспособления известных классических квадратных формул.Комбинирование квадратных формул с итерациями приводит к многообразию численных методов.

К разностным методам относятся также их видоизменения-"мето-ды квадратур",-использующие суммирование значений приближенного решения на отдельных интервалах. Они нашли широкое применение в небесной механике,где интегрирование производится на больших интервалах и основаны на использовании квадратных формул, называемых астрономами "формулами механических квадратур" за удобство их применения в этой области знаний.

История развития численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений изучена еще недостаточно. Богатый конкретный материал,связь методов с задачами науки и техники,особенности и своеобразие развития численных методов решения дифференциальных уравнений не получили еще достаточного освещения в отечественной,а также и в зарубежной литературе.

Среди сочинений,в которых в той или иной степени освещается история приближенных методов решения дифференциальных уравнений^ том числе численных,можно назвать: а) общие руководства по истории математики(23,33,34,36,94,120 б) учебники по математическому анализу^методам интегрирования дифференциальных уравнений(67,92,101,143,190,196,223,224,231); в) монографии и учебники по численным методам анализа(8,12, 13,24,28,51,57,59,62,80,95,102,115,116,119,146,152,183,208,213, 214,229,244); а также небесной механике,содержащие краткие исторические справки(32,106,139,141,151,155,200,206,215221,242) г) исследования историко-математического характера по исто -рии вычислительной математики и по теории дифференциальных уравнений, затрагивающие некоторые вопросы численных методов£29,189,222]; д) энциклопедии¡179,180,198] и справочники по дифференци -альным уравнениям £35]*

В общих руководствах по истории математики даны краткие ха -рактеристики того или иного периода развития теории дифференци -альных уравнений, исследования научного творчества того или ино -го ученого. Среди сообщаемых сведений есть и относящиеся к чис -ленным методам решения дифференциальных уравнений . Однако в названных руководствах нашли отражение достижения математики по рассматриваемому вопросу, связанные лишь с начальным периодом развития численных методов. Одна из причин этого явления заключается, по-видимому, в том, что исследования численных методов решения дифференциальных уравнений в середине XIX - начале XX века почти не входили в область научных интересов ведущих математиков.

Из работ, посвященных жизни и научному творчеству отдельных ученых, наибольшее количество относится к Л.Эйлеру и А.Н.Крылову. Кроме чисто биографического материала, здесь содержится анализ исследований этих ученых по различным разделам математики, в том числе и по численным методам решения дифференциальных уравнений. Следует отметить, прежде всего, работы Н.И.Симонова ^98,99,100] , в которых, в частности, освещается классический метод ломаных и его усовершенствования. Однако здесь не отмечено усовершенствование этого метода Коши, в котором впервые используется зависимость правой части уравнения ^^ от самой неизвестной функции ^ (¿СУ» Пользуясь этим, Коши построил итерационный алгоритм - метод Эйлера с итерациями.

Работы, касающиеся научного творчества А.Н.Крылова, содержат конечные результаты, полученные им по усовершенствованию метода Адамса. В то же время в литературе не отмечено, как этот метод применялся Д.Адамсом, а также дальнейшее развитие и совершен -ствование метода в работах Е.Нистрема, Ф.%лтона, В.Милна, В.В.Мечникова, Я.Тамаркина, Р.Мизеса. Г.Шульца и других. В ряде работ [П9,142,189] этот метод называется методом Адамса-Башфор-та, хотя в предисловии к работе [140] Башфорт отметил, что метод разработан Адамсом. Монография Голдштайна 1189] ,освещающая историю численного анализа в ХУ1-Х1Х вв., дает краткий обзор методов Эйлера, рунге, Хейна, Кутта, Адамса и не затрагивает вопросов дальнейшего их развития.

Более полное и подробное освещение фактического материала по численным методам дано в специальных монографиях, статьях и учебных пособиях по рассматриваемому вопросу. Однако наличие этих работ не решает проблему изученности истории развития численных методов решения дифференциальных уравнений. Как правило, в указанных работах методы рассматриваются в современном изложении, без историко-научного анализа. Отдельные исторические эк -скурсы излагаются во введениях, мелким шрифтом в основном тексте, подстрочных примечаниях.

Много ценных сведений по интересующему- нас предмету содер -жится в энциклопедических обзорах и справочниках. Тем не менее, приводимые ссылки на оригинальные работы служат лишь отправным пунктом для дальнейших исследований. Результаты исследований, проведенные в первые десятилетия XX века, освещены в обзорах сборников /бЗ, 64,65,66 ].

Такова общая характеристика существующей литературы по истории численных методов решения дифференциальных уравнений.

Несмотря на ценность и важность исторических сведений, содержащихся в различных источниках, они не в состоянии дать полной и ясной исторической картины вопроса в силу их разбросанности, краткости, несистематичности. К тому же, как правило, сведения такого рода дают информацию о конечных результатах, полученных тем или иным ученым, и не раскрывают вопроса, как получены эти результаты. А ,как известно, последний вопрос с точки зрения истории развития науки имеет принципиальное значение. Особенно бедна литература по истории численных методов XIX века. Нет историко-математических исследований, относящихся к численным методам астрономов Бонда, Энке, Дарвина, положивших начало при -менению и развитию итерационных алгоритмов при решении дифференциальных уравнений и предшествовавших аналитическим итерациям Пикара.

Следует отметить, что до сих пор нет работ, в которых освещалась бы роль отечественных ученых в развитии и совершенствовании численных методов решения дифференциальных уравнений. В ре -зультате ряд методов, разработанных, например, В.В.Мечниковым, В.П.Ветчинкиным, Ш.Микеладзе, связывают с именами других ученых, пришедших к аналогичным результатам позднее.

Несмотря' на известную законченность теории численных мето -дов решения задачи Коши для' обыкновенных дифференциальных урав -нений, проблема исследования истории этих методов в настоящее время является весьма актуальной. Вопросы истории развития методов приближенного решения уравнений давно привлекали и привлекают внимание как историков математики, так и математиков. И это понятно, так как с историей развития приближенных методов связана важная часть развития математики - история приложения математики на практике. Машинизация математических расчетов делает необходимым ориентировку численных методов на применение этих средств и открывает новые возможности их усовершенствования. С учетом сказанного очевидна актуальность работы.

Все изложенное выше определило основное содержание и цель работы: дать систематический обзор развития численных методов решения задачи Коши от их зарождения до машинного периода развития, для чего

1) проанализировать и обобщить историко-математический материал, относящийся к предпосылкам зарождения' численных методов ;

2) проследить историю квадратурных формул, лежащих в основе численных методов рассматриваемых типов ;

3) проанализировать возникновение и развитие: а) разностных методов, в том числе, "методов квадратур" ; б) методов 1>унге, Хейна, Кутта ;

4) выявить роль ученых и отдельных школ, в том числе оте -чественных, внесших вклад в формирование и развитие методов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и вписка литературы,

Заключение диссертации по теме «История науки и техники», Чальцева, Ирина Васильевна

Заключение

Опираясь на фактический материал, была рассмотрена история развития тех численных методов решения задачи Коши .для о бык -новенных дифференциальных уравнений, которые непосредственно используют квадратные формулы или идеи их построения.

Возникнув в середине ХУШ столетия, численные методы опре -делили ванное направление теории дифференциальных уравнений, связанное с развитием приближенных методов, позволяющих дово -дить математическое решение практических задач до числового результата. Во всех случаях, когда дифференциальное уравнение не приводится к квадратурам, или приводится к практически неудобным квадратурам, приходится прибегать к численному интегрированию. Численные методы, в отличие от аналитических, где зачастую для каждой задачи разрабатываются свои специальные приемы, отличаются большей универсальностью и применимы для исследования широкого класса явлений.

В начальном периоде развития численных методов интерес был сосредоточен на решении конкретных задач математического естествознания. Поэтому наряду с математиками в разработке методов принимали участие ученые из различных областей приклад -ных наук - астрономы, шизики, инженеры.

Мощным толчком дня развития численных методов решения дифференциальных уравнений явилось открытие малых планет в начале XIX в. Для определения орбит небесных тел при большом чисив ле обращений наиболее эффектными являются аналитические методы, за исключением орбит с большими эксцентриситетами. Для вычисления орбит большинства малых планет и комет аналитичес -кие методы оказываются непригодными. Поэтому численные методы стали активно развиваться с середины XIX в., хотя идея Эйлера численного решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы, на которых основаны методы, были известны значительно раньше. В начальном периоде численные метода нашли приме -нение, главным образом, при решении задач небесной механики , баллистики и физики.

Анализируя богатейший опыт, накопленный при решении прикладных задач, модно выделить наиболее важные направления.

Построение разностных методов. Одно из таких направлений связано с развитием методов, основанных на использовании из -вестных квадратурных формул. Такой подход мы находим у астрономов Бонда [149] (1849) и Энке [17б] (1852) . Они применили неявную разностную схему и получили численную разновидность приближенного метода решений дифференциальных уравнений 2-го порядка специального вида и их систем при помощи итераций. В дальнейшем метод был переоткрыт Коуэллом [162] (1908) и различные варианты этого метода были развиты Ы.Ф.Субботиным [103] (1927) , А.Н.Волоховым [24] (1937).

Синтезом двух подходоз к численному решению уравнений с помощью степенных рядов и посредством кгадратур - явился ме -тод астронома Адамса [140] (1883), примененный для решения одной физической задачи. При этом им ЕперЕые была получена оригинальная разностная схема для решения уравнений 1-го по -рядка и их систем, в которой экстраполирование сочетается с итерациями. В 1917 г. А.Н.Крылов [42] переоткрыл метод Адаглса, создав принципиально новую схему - начальные значения приближенного решения находятся методом итераций, а последующие -экстраполированием. В дальнейшем этот подход был развит в работах Толниена [243] (1938), ё.Г.Цхедая [l2l] (1341) ,

Ш.шкеладзе [75](1948),

Идея метода Адамса непосредственно получила развитие в 1Э26 г. в работе Ышша 211 . В качестве корректирующей формулы была взята квадратурная формула Симпсона и получена удобная схема для практической реализации.

Для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка общего вида была ьпервые предложена явная разностная схема В.В. Мечниковым [74] (1930) . Идея повышения точности разностных методов за счет использования центральных разностей была раз -вита в методах В.П.Ветчинкина [15] (1930) , М.Ф. Субботина [ЮЗ] (1927), Ы.Ф.Флоридского [117] (1934), Линделефа [210.] (1938) и других. Некоторые схемы в известном смысле эквива -лентны и отличаются лишь методами реализации.

Построение методов типа Рунге-Кутта. Методы этого типа были созданы для решения технических задач. Это направление было разработано Ь^нге [22б](1895) и затем развито Хейнсм

194] (1900), Кутта [202] (1901). Была поставлена задача : обобщить известные методы приближенного вычисления интегралов ■ на решение дифференциальных уравнений.

По мере развития численных методоЕ наблюдается характерное явление, состоящее в том, что перед численными методами ставились новые задачи, которые приводили к более глубокой постановке конкретных еопросое теории.

В тридцатых годах нынешнего столетия наметилось резкое повышение интереса к численным методам в теоретическом отно -шении. В связи с развитием науки и техники возросли требоьа -пня к точности применяемых методов решения дифференциальных уравнений. Были поставлены новые вычислительные задачи, при этом значительно увеличился объем вычислений. Все большее значение приобретает механизация численного решения математи -ческих задач. Б свою очередь, успехи науки п техники, в первую очередь, физики и ради о техники , дали е руки математиков новые вычислительные средства. Уже XIX век был свидетелем возникновения и развития автоматических средств от арифмометра до диффе -ренциального анализатора. Затек появились интегрирующие машины непрерывного действия и к середине XX века были созданы элек -тронные вычислительные машины. Ыашинная вычислительная техника явилась мощным вспомогательным средством научного исследования.

Реализация численных алгоритмов на электронно-вычислительных машинах заставила математиков пересмотреть имеющиеся методы применительно к условиям машинного вычисления, заняться вопросами исследования сходимости, погрешности методов , а также их усовершенствованием. Была проделана работа по систематизированию методов, установлению взшилосвязи между различными типами методов, получены оценки погрешности методов более удобные для практики.

Вначале эти вопросы, в основном, относились к разностным методам. Первые исследования такого рода принадлежат Я.Тамарки-ну [240] (1923) . Была доказана сходимость экстралоляционного метода Адамса и получена оценка погрешности. Эту оценку улучшил в 1930 г, Ыизес [218] , уточнив погрешность метода путем добавления в формулу слагаемого, связанного с оценкой остаточного члена экстралоляционного метода. Оценку Ыизеса улучшил в 1936 г. А.П.Доморяд [зо], учтя погрешность округления прибли -женных значений решения. Аналогичные исследования' интерполя -ционного метода Адамса-ДарЕПна провел в 1932 г. Шульц [233] , Он получил также оценку погрешности метода Стермера, обобщив ее на системы уравнений 2-го порядка. Вопрос об устойчивости метода Стермера был поставлен Н.Н.Боголюбовым [10 ] в 1927 г. Важные результаты были получены Ш.Шпселадзе в статье [77] 1939 г. В ней выведена общая формула численного решения дифференциальных уравнений, которая в виде частных случаев содер -жит известные формулы методов Адамса , Стермера, Мечникова , Ветчинкина , Коуэлла и других. •

С применением ЭВМ методы ?унге-Кутта , вытесненные разностными в 20-х годах XX в., вновь обратили на себя внимание. В настоящее время наблюдается тенденция, широкого применения этих методов в работе вычислительных центров. Это связано с тем , что при их использовании можно без всяких предварительных пе -ресчетоЕ изменять величину интервала. Существенным преимуществом методов является также и то, что при их использовании привлекается информация о решаемой задаче только на отрезке дай -ной в один шаг. Все это привело к различным усовершенствова -ниям метода и стремлению улучшить имеющиеся оценки погрешлос -ти. Примечателен в этом отношении тот факт, что Л.Еибербах [147] в 1951 г. вновь вернулся к оценке метода Рунге-Кутта и привел доказательство формулы, полученной им еще в 1921 г.

140] . В 1925 г. Нистрем [220] распространил популярную формулу Рунге-Кутта четвертого порядка точности па системы уравнений 2-го'порядка. В.Н.Ветчшшин [18 ] (1935) обобщил эту формулу на уравнения любого порядка, исходя из геометрических соображений. Цуршэль [246] в 1948 г. вывел общую формулу , которая как частные случаи дает формулы Рунге, Хейна, Кутта , Нистрема.

В 1955 г. Я.Альбрехт [133] применил метод Рунге-Кутта к уравнению у/^ ^ ^ у/ у ^

Л у рассмотрев вместо абсцисс X;. Х:*-^-, Х-Х-.+Ь обобщенные абсциссы /у- -г ос, А, Х^+осгп, Х^- + <ьс3П .Для' уравнения

Х,у) он вывел более точные, чем у Цурмюля [246] формулы. Особо рассмотрены "симметричные" формулы. Оценивается погрешность метода для уравнения' у '= ^

Некоторые усовершенствования в метод Ь^нге-Кутта внес в 1958 г. Е.Фельберг [184] . Преобразовав исходное дифференциальное уравнение у=£ (Х,р) с начальными условиями Х=Х0 у р = уо К виду (х,у) С теш же начальными условиями и наложив условия на решение преоб -разованного уравнения Фельберг пришел к существенно упрощенным уравнениям, которые необходимо решать для получения констант метода Рунге-1Сутта. При этом решение получается с точностью до включительно. Переход от на -чальных значений Х0)р0 к Х0+Ь} у(Ха + Ь) осуществляется по ормулам: где

1152 2

Как было отмечено ранее, Кутта получил решение с точ -ностью до Н^ включительно, при этом необходимо было еы -числять шесть констант.

Полученные результаты Фельберг распростралил на случай уравнений Г1 -го порядка. Выписаны формулы .для Л - 2,3,4.

Однако предложенный способ применим лишь к дифференциальным уравнениям с аналитической правой частью.

Получили дальнейшее развитие вопросы, связанные с оценка!.® погрешностей разностных методов. При этом важное значение приобрела задача , связанная о вычислением полной погрешности -погрешности начальных данных, погрешности метода, а также погрешности округления. Подобные исследования проведены в работе М.Р. Шура-Бура [133] (1952). Вопрос так называемой "лине -аризованной" погрешности методов типа Адамса численного решения задачи Коши .для системы дифференциальных уравнений рас -смотрен в работе С.М.Лозинского [60] (1958). Л.Н.Котова [38] (1958) получила линеаризованную оценку погрешности при чис -ленном интегрировании системы дифференциальных уравнений основной задачи внешней баллистики.

Большой научный интерес вызвали вопросы, связанные с на -хождением приемов, позволяющих получить заданную точность при минимальном числе шагов. В этом направлении проведены иссле -довалия А.Н.Тихонова, А.Д.Горбунова [ПОДП] , С.С.Га!] -саряна [25.] , К.С.Бахвалова [4,5,б] и других, способствовав -шие развитию теории оптимизации вычислительных методов.

С применением ЭВМ принципиальное значение приобрели вопросы, связанные с еыбором шага интегрирования и устойчивостью методов. При машинном решении задачи число шагов, необходимых для решения задачи не имеет принципиального значения и часто бывает выгоднее пользоваться самыми простыми формулами. В связи с этим возникали проблемы чисто математического характера, связанные с накоплением ошибок при большом, числе последова -тельно выполняемых шагов.

Получило распространение определение .устойчивости метода в смысле ДалькЕпста /^166Д . Дальквист е указанной работе доказал, что метод Адаыса устойчив.

Ди^хоеренциальше уравнения высших порядков обычно сводят к системе уравнений 1-го порядка , применяя одну из программ для решения систем уравнений. Однако общие схемы для численного решения' систем дифференциальных уравнений 1-го порядка , не учитывающие спещкТмческих особенностей уравнений оказываются излишне сложными и требуют большого числа арифметических операций. Поэтому наряду с интересом к решению общих задач , имеющих принципиальную ценность, развивается интерес к усовершенствованиям и исследованиям методов, приспособленных специ -ально для решения уравнений еысших порядков , имеющих то или иное прикладное значение, в частности, для' уравнений вида программ. Процесс стандартпзащш программ и алгоритмов оказывает влияние на развитие самих методов вычислительной математики .

Задачи ежегодного вычисления поисковых эфемерид в астрономии требуют нахождения возмущений планет. В связи с развитп -ем электронно-вычислительной техники метода численного интег -рирования при реше!пш задачи Л. -тел стали наиболее эффек -тиеными. Стало возможным разработать единый , стандартный ме -тод численного интегрирования, применяемый к любым планетах.?. Методы Бонда-Энке и Коуэлла стали основными численными методами в небесной механике. С целью уменьшения накопления ошибок Д.К.Куликов [55, 56 J разработал методы интегрирования дифференциальных уравнений движения небесной механики на ЭВМ при помощи автоматического изменения интервала интегрирования е зависимости от величины разностей удерживаемого порядка,

Поставлен вопрос о создании стандартных и изложил применительно ко второму методу Коуэлла.

В.Ф.Мячпн [84] получил оценку погрешности Еторого метода Коуэлла, применяя "линеаризованную оценку" Лозинского к системе уравнений возмущенного движения планет. Этот метод позволяет учесть не только влияние ошибок округления на пог -решность в координатах, но ошибки начальных данных , а также ошибки, связанные с отбрасыванием остаточного члена в используемых формулах.

Сходимость и устойчивость численных методов решения зада -чи Коши дая дифференциальных уравнений Еторого порядка специального вида рассмотрена е работе В.И.Крылова [53] (i960).

Вопросы численного интегрирования.дифференциальных урав -нений актпЕНо разрабатываются в наше время, вызывая огромный поток литературы. Наряду с многочислешшми статьями и монографиями по указанным вопросам увеличивается число курсов по численным методам, используемым при решении различных задач прикладной математики на современных электронных машинах. При этом особо следует отметить книги ["2,8,37,54,62,80, 81, 118] .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чальцева, Ирина Васильевна, 0 год

1. Аден,щш Л.Г. Оценка погрешности при численном интегрировании по способу Стермера.- ПММ, I , 1937-1938, 557-562.

2. Бабушка И.,Витасек Э.,Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во "Мир", 1969.

3. Баев К.Л. О методе Коуэлла.-Известия русск.астроном.общ., вып. ХУШ, JS 4, 1912, 155-161.

4. Бахвалов Н.С. К оценке ошибки при численном интегрировании дифференциальных уравнений экстрансляционным методом Адам с а.- ДАН СССР, 104, 1° 5, 1955, 683-686.

5. Бахвалов Н.С. Некоторые замечания к вопросу о численном интегрировании .дифференциальных уравнений методом конечных разностей.- ДАН СССР, 104, 15 6, 1955, 805-808.

6. Бахвалов Н.С. О накоплении вычислительной погрешности при численном решении дифференциальных уравнений,- Сб."Вычисл. методы и программирование". Изд-во МГУ, еып.1., I9S2, 47-48.

7. Бахвалов Н.С. Об алгоритмах выбора шага интегрирования.-Сб.пВнчисл. методы и программирование". Изд-во МГУ, вып. У, 1966,3-8.

8. Бахвалов Н.С. Численные метода.-М.:Изд-во "Наука" т.1, 1975.

9. Бернштейн С.Н. О формуле приближенного интегрирования Чебышева.-Изв. АН СССР, ОМЕН, 15 9, 1932, I2I9-I227.

10. Боголюбов H.H. Про наближене розв'язання диференц1аль-них р1внянь.-3б1рник прцв. 1нституту техн1чно1 механ1ки Укра-1ясько1 АкадемИ наук, 1927, 2, 79-87.

11. Боева Н.Ф. Применение метода экстраполирования к движению УШ спутника Юпитера.-Бюллетень Астрономического института, К". 32, 19, 1932 .

12. Боядаренко П.С. Досл1днення обчислювалышх алгоритм1в наб-лиженого 1нтегрування диференц1альних р1внянь методом ск1нченних р1зниць.- Ки1в: Вид-во К1У, 1962.

13. Бут Э.Д. Численные методы.-М. :Изд-во физматгиз,1959 .

14. Ветчинкин В.П. Расчет гребного винта. -Бшл. политех, о существа при МВТУ, й 5, 1913, 263-287.

15. Ветчинкин В.П. Сжато-изогнутые многопролетные балки переменного сечения.-Техника воздушного флота,1,1930,1-14.

16. Ветчинкин В.П. Методы приближенного и численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Новые формулы механических квадратур.-М. ,Военно-возд.акад.им.Н.Е.Жуковского,вып.1,1932.

17. Ветчинкин В.П. Методы приближенного и численного интегрирования' обыкновенных дифференциальных уравнений,-М.:Труды ЦАШ, вып.2, 1934.

18. Ветчинкин В.П, Методы приближенного и численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.-М. :Труды ¡ЩИ, вып.З, 1935.

19. Ветчинкин В.П. Сборник статей по численному интегрированию дифференциальных уравнений.-М.:Труды ЦАШ, вып.273,1936.

20. Ветчинкин В.П, Руководство по приближенным вычислениям.-М.: Труды ЦАШ, вып.210, 1935,

21. Ветчинкин В.П. Второй сборник по численному интегрированию дифференциальных уравнений.-М.: Труды ЦАШ, еып.309, 1937.

22. Ветчинкин В.П. Работы по теории гребных винтов и вопросам прочности авиаконструкций.- В кн.: Избранные труды, М.: Изд-во АН СССР, т.2, 1959, 11-49.

23. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия.- Пер. с нем. 2-е изд.,М.: Изд-во "Наука", 1966.

24. Волохов А.Н, Разностные методы численного интегрированияобыкновенных дифференциальных уравнений.М.: Труды ЦАШ,вып.314, 1937.

25. Гайсарян С.С. О построении начальных условий при интегрировании систем обыкновенных дифференциальных-уравнений методом Адамса.- Сб. "Вычисл. методы и программирование". Изд-во Г.ГЕУ, вып. 3, 1965, 262-265.

26. Головинский И.А. Работы Ньютона по теории интерполяции.-Сб. "История и методология естественных наук", Изд-во МГУ, вып.16, 1974.

27. Горбунов А.Д., Шахов Ю.А. О приближенном решении задачи Ко-ши для обыкновенных дифференциальных уравнений с наперед заданным числом верных знаков.-П.вычисл. матем. и матем.физ.З, 2, 1963 , 239-253 ; там же: 6, й 3, 1964, 426-433.

28. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.-М.:Изд-во "Наука", 1967.

29. Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений, Киев: Изд-во "Вища школа", 1974.

30. Доморяд А.П. Обобщение метода <Лс1сип3 ¿X численного интегрирования .дифференциальных уравнений вида ¡¡/)-Оценки погрешности интегрирования.- I.: Труды второго Всесоюзного математического съезда. Т.2, 1936, 399-402.

31. Дюков И.Г. Формула СоКУб^Ои- Ученые зап. ун-та, Казань, 85, 1925, 37-38.

32. Дубошин Г.Н. Небесная' механика.М.; 1963.

33. История отечественной математики. Ки1е.:Изд-во "Наукова думка", т.1-4, 1966т1970.

34. История математики с древнейших времен до начала XIX в.-Под редакцией А.П. Юшкевича, М., т.1-3, 1970-1972.

35. Камке Э. Справочник по обыкновенным дафференщальным уравнениям. М. :11зд-во ИЛ. ,1970.

36. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.М.-Л. пер. с нем., ч.1, 1937.

37. Коллатц Л. Численные методы .решения дифференциальных уравнений.-М., 1953.

38. Котова Л.Н. Линеаризованная оценка: погрешности численного интегрирования системы дифференциальных уравнений основной задачи внешней баллистики.- ДАН СССР, 121:3,1958,418-421.

39. Крыжановский С.Е. Методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.- Научные зап. ин-та шш-мех. с.х. Мелитополь, вып. I, 1938, 140-167.

40. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях.-СПб,1907.

41. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях.-СПб,Сб. Ин-та инж. путей сообщения, 1911.

42. Л2. Крылов А.Н. О приближенном численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений.- Ежегодник Союза морских инженеров. Пгр. т.2, 1917, 3-43.

43. Крылов А.Н. О приближенном численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений.-1Л., Архив физмат.наук, вып.1-2, 1918, 68-119.

44. Крылов А.Н. О применении методы численного интегрирова -ния дифференциальных уравнений к вычислению траектории снарядов.-В кн.: Приложение к прот. XI засед. Отд. физ-мат.наук РАН,1920,§ 207, 119-137.

45. Крылов А.Н. Приближенное численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.- Берлин, Российская ж-д. миссия, 1923.

46. Крылов А.Н. О вращательном движении продолговатого сна -ряда во время полета.-Л.: Изд-во научно-тех.ком.уцр.В.М.Сил РККА, 1929.

47. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях.- Изд.во АН СССР, изд.2, 1933.

48. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях.- М.-Л.: Изд-во АН СССР, изд.З, 1935.

49. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях.- М.-Л.: Изд-во АН СССР, изд.4, 1949.

50. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.-Л.: Изд-во гостехиздат, изд.5, 1950.

51. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях.- М.:Изд-во гостехиздат, изд.6, 1954.

52. Крылов А.Н. Ньютонова астрономическая рефракция,- М.Л.: Изд-во АН СССР, 1935.

53. Крылов В.И. Сходимость и устойчивость численного решения дифференциального уравнения второго порядка .- ДАН БССР, вып.4, Г» 5, 1960, 187-189.

54. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.-М.: Изд-во "Наука", т.II, 1977.

55. Куликов Д.К. Численные методы небесной механики в применении к изучению УШ спутника Юпитера.-Бгалл.ин-та теор.астр. ,вып.4,7, 1950.

56. Куликов Д.К. Интегрирование уравнений движения небесной механики на электронных вычислительных машинах по квадратурному методу Коуэлла с автоматическим выбором шага.- Бюлл. ин-та теор.астр., вып.7, 10, 1960. '

57. Кунц К.С. Численным анализ.- Киев.: Изд-во "Техника", пер. с анг., 1964.

58. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Л.: Изд-во Арт. Акад. РККА, кн.1, т.6, 1933.

59. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин.-М.: Изд-во ИЛ.,1962.

60. Лозинский С.М. Оценка погрешности численного интегрирова -ния обыкновенных .дифференциальных уравнений .-Изв. ВУЗо в. Мат ем.,вып.5, 1958, 52-90.

61. Ляпин Н.М. Простой способ получения формулы Ученые зап. еысш.шк., Одесса, I, 1921, 61-64.

62. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько А. А. Методы вычислений.- Киев: Изд-во "Вища школа", 1977.

63. Математика е СССР за 15 лет.М.:Изд-во ГГТИ, 1938.

64. Математика в СССР за 30 лет.М.:Изд-во ГГТИ, 1948.

65. Математика в СССР за 40 лет, 1917-1957.М.:Изд-во физмат -гиз, т.1-2, 1959. Математика в СССР за 50 лет.1917-1967. М.: Изд-во физматгиз, т.Ш-1У.

66. Математика и естествознание в СССР. Очерки развития математических и естественных наук за 20 лет.-М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1938.

67. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен-циальяых уравнений.-М.:Изд-во "Высшая1 школа", 3-е изд.,1967.

68. Марков А.А. Исчисление конечных.разностей.-Спб, тип. Ими. Акад. наук, 1889, 2-е изд. Одесса, 1910.

69. Мелентьев П.В. Новый метод численного интегрирования дифференциального уравнения внешней баллистики.-Бкшл.нач.воор. РККА, ( по Арт. упр.) вып.13, 1932, 49-73.

70. Мелентьев П.В. Приближенное численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.-Л. :Изд-во русск. физ-хим.общ. часть физ. 62:3, 1930, 267-280.

71. Мелентьев П.В. Несколько новых методов и приемов приближенных вычислений.- М.-Л.: Изд-во ОНТИ, 1937.

72. Мелентьев Приближенные вычисления.-М.:Изд-во физмат, лит., 1962.

73. Мечников В.В. Внешняя баллистика.- Вып.1. Численное ин -тегрирование дифференциального уравнения: движения снаряда.- Л., Военно-техн. акад. РККА, 1929.

74. Мечников В.В. О формулах интерполирования и о численноминтегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.-!.: Изв. Военно-техн. академии РККА. Т.2. Артиллерийский отдел. ,1930, 91121.

75. Микеладзе Ш.Е. Новые формулы для численного интегрирования дифференциальных уравнений,- ДАН СССР, т.61, $ 5, 1948, 789790.

76. Микеладзе Ш.Е. О новых алгоритмах численного интегрирования' обыкновенных дифференциальных уравнений.-Изв. АН СССР, сер. физ-мат., 1934, гё 8, 1187-1224.

77. Микеладзе Ш.Е. Об интегрировании дифференциальных уравнений разностным методом.- Изв. АН СССР,сер. мат. 5-6, 1939,627-642.

78. Микеладзе Ш.Е. Обобщение метода численного интегрирования дифференциальных уравнений при помощи формул механических квадратур.- Труды Тбилисского математ. ин-та, вып.7, 1940, 47-63.

79. Микеладзе Ш.Е. Новые формулы для численного интегрирова -ния дифференциальных уравнений.- Сообщ. АН Груз.ССР, вып.4, 1943, 215-218.

80. Милн В.Э. Численный анализ.-М.: Изд-во ИЛ, 1951.

81. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений.-М.: Изд-во ИЛ, 1955.82. %лтон Ф. Новые методы внешней баллистики.-Л.: Изд-во гос-техиздат, 1928.

82. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Изд-во физмат, лит., 1962.

83. Мячин В.Ф. Оценка погрешности численных методов интегрирования уравнений небесной механики.- Бюлл.Ин-та теор. астр. вып. 8, .з 8, 1962 .

84. Николаи Е.Л. Лекции по теоретической механике.-Л.: Вып.1, ч.З, 1924, 119-127.

85. Нумеров Б.В. Новый метод определения орбит и вычисления эфемерид с учетом возмущений.-М.: Труды Гл.Росс, астр.обсерв., вып.2, 1923, 188-286.

86. Нумеров Б.В. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка.-Балл.нач.воор.РККА, вып.2, 1932 , 5-35.

87. Ньютон И. Математические начала натуральной философии.-В кн.: А.Н.Крылова Собрания трудов. М.-Л.:Изд-во АН СССР, т.7, 1936.

88. Ньютон И. Математические работы.-М.-Л., 1937.

89. Оппоков Г.В. Численное интегрирование основных уравнений внешней баллистики.-М.: Изд-во Осоавиахима, 1930.

90. Оппоков Г.В. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.- М.-Д.: Изд-во ГТТИ, I932.

91. Пиадншо Г. Интегрирование дифференциальных уравнений.-М.-Л.: Изд-во гостехиздат, 1933.

92. Рунге К. Графические методы математических вычислений,-М.: Изд-во гостехиздат, 1932.

93. Рыбников К.А. История математики.-Изд-во МГУ, изд.2,1974.

94. Сальвадори М.Дн. Численные метода в технике.-М.:Изд-во ИЛ. пер. с анг., 1955.

95. Самарский А.А.,Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики.- Изд-во "Наука",М. 1975.

96. Самарский А.А.,Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. "Наука", 1973 г.

97. Симонов Н.И. О научном наследии Леонарда Эйлера в области дифференциальных уравнений.-В кн.: Ист.мат.иссл.М.: Изд-во ГИТТЛ,.вып.7, 1954,513-595.

98. Симонов Н.И.Прикладные методы анализа у Эйлера.-М.,1957.

99. Симонов Н.И. Об основных направлениях развития теориидифференциальных уравнений в ХУШ и XIX столетиях.-С б. "История и методология естественных наук", М.,вып.5,1966, 157-174.

100. Синцов Д.М. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, Харьков, 1913.

101. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа.-М.-Л.:Изд-во гостехиздат.,1934.

102. ЮЗ. Субботин М.Ф. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.- Еюлл.Средне-Азиатского госуниверситета,вып.16,1927, 273-287 ; там же: вып.17, 1928, 21-29.

103. Субботин М.Ф. О численном интегрировании дифференциальных уравнений.- Известия АН СССР, 1933, 895-902.

104. Субботин М.Ф. Основные методы современной небесной механики.- проведение,23:1, 1934,58-71.

105. Субботин М.Ф. Курс небесной механики. 0НТИ.т.2,1937.

106. Субботин М.Ф. Астрономические работы Леонарда Эйлера.-В кн.'Леонард Эйлер. Сб. статей в честь 250-летия со дня- рождения', представленных Академии Наук СССР.М. :Изд-во АН СССР, 1968, 268-377.

107. Тимошенко С.П. Вопросы прочности в паровых турбинах.-Пгр.1912.

108. Трофимов В.М. Решение уравнений внутренней баллистики по методе Штермера.-Пгр.1919.

109. Тихонов А.Н.»Горбунов А.Д. Асимптотические разложения' погрешности разностного метода решения' задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Ж.вычисл. матем. и ма-тем.физ., вып.2, Г? 4, 1962 , 536-548.

110. Тихонов А.Н.,Горбунов А.Д. Оценки погрешности метода типа Рунге-Кутта и выбор оптимальных сеток.-Л. вычисл. матем.и матем. физ. вып.4, J5 2, 1964, 232-241.

111. Упорников И.А. Практические приемы численного интегрирования дифференциального уравнения' центра тяжести снаряда.-Л. ,1926.

112. Упоршшов H.A. Численное интегрирование дифференциальных уравнений движения снаряда в канале орудия'.-Л. ,1929.

113. Упорников H.A. Вычисление траекторий.-Л.: Издание АНИИ, 1931.

114. Уиттекер Э.,Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений.-Изд-во ГТТИ, 1933.

115. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики.-Киев:Изд-во "Наукова думка", 1970.

116. Флоринский Ф.В. О методе Коуэлла.- ПММ,2, 1934, 91-100.

117. Хаусхолдер A.C. Основы численного анализа.М.:Изд-во ИЛ, 1956.

118. Хемминг Р.В. Численные методы.-М.:Изд-во физматгиз, пер. с анг., 1968.

119. Хрестоматия по истории математики.- Под редакцией А.П. Юшкевича,М.»Просвещение,1977.

120. Цхадая Ф.Г. К вопросу численного интегрирования' обыкновенных дифференциальных уравнений.- Сообщения АН Груз. ССР,т.2, 1941, 601-607.

121. Цхадая Ф.Г. О погрешности при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений разностным методом.-Труды матем. ин-та, Ali Гр.ССР,вып.2, 1942,97-106.

122. Чальцева Ii.В. Начальный период развития численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. -В кн.¡Материалы республиканского симпозиума по дифференци -альным уравнениям. Одесса, 1968, 215-217,

123. Чальцева И.В. К развитию численных методов решения' задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в России в начале XX века.-В кн.¡Вычислительная математика .Ин-т кибернетики All УССР, 1975, 82-88.

124. Чальцева И.В. К истории развития численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений в начале XX века.

125. М.: Труды XIX Научной конференции аспирантов и младших научных сотрудников. Ин-т истории естествознания и техники АН СССР, Секция истории математики и механики, 1978, 159-170.

126. Чальцева И.В. Зарождение и развитие численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Тезисы докладов Ш Всесоюзной конференции по истории физ-мат. наук, Тбилиси, 1978, 31-32. ( Соавтор Кир о С.Ii.)

127. Чальцева И.В. К истории метода Штермера.-М.: Труды XX -ХХП научных конференций аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники. Секция истории математики и механики, 1977-1979, 156-166.

128. Чальцева I.B. Зародження I розвиток чисельних метод1в розв язання задач1 Кош1 для звичайних диференцЕалышх р1внянь.-Нариси з IcTopII природознавства I техн1ки. Ки1в: Изд-во "Нау-кова думка", вип.27, 1981, 3-14. (Соавтор-KIpo С.Н.)

129. Чальцева И.В. К истории метода итераций численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.-305-82. Деп.-140, II стр.

130. Чальцева И.В. К истории методов Коуэлла,- 306-82. Деп.-141, 12 стр.

131. Чеботарев P.A. Аналитические и численные методы небесной механики,- 1л.-Л.: Изд-во "Наука", 1965.

132. Шура-Бура M.Р. Оценки ошибок численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.- ШМ, 1952,т. 16, вып.5, 575-588.

133. Эйлер л. Исследования по баллистике.-М. :Гос. изд-во физ. пат, литер., 1961.

134. Эйлер JI. Интегральное исчисление.-Гостехиздат, Li., T.I, 2, 1956-1957.

135. Эйлер Ji. Новая теория движения Луны.- Ilep. с лат. А.Н. Крылова. Л.: Изд-во АН СССР, 1934.

136. Adams I.C. On certain approximate formulae for calculating the trajectories of shot.- "Nature", vol.41, 1890, 258-262.

137. Albrecht I. Beitrage zum Runge—Kutta Verfahren.—Z.angew.Math.Mech 35, No.3, 1955, 100-110.

138. Andoyer H. Cours de Mechanique celeste.—Paris, t.l, 1923.

139. Bashforth F., Adams I.C. An Attempt to Test the Theories of Capillary action by Comparing the Theoretical and Measured Forms of Drops of Fluid.-Cambridge, at the University Press, 1883, p.136.

140. Bauschinger I. Die Bahnbestimmung der Himmelkörper, Leipzig, 1906.

141. Bennett A., Milne W., Bateman H. Numerical integration of differential equations.

142. Bertrand J. Traite calcul différentiel et de calcul integral.—Paris, t. 2, 1870.

143. Bessel F.W. Abhandlungen von F.W.Bessel Bd.2, Leipzig, 1875, 229-232.ti

144. Bieberbach L. Uber neuere LehrbiHcher der praktischen Analy— sis.-Zeitsch.angew.Math.Mech. Bd.l, 1921, 61-67.

145. Bieberbach L. Theorie der Differentialgleichungen.—Aufl.Berlin,1930.

146. Bieberbach L. On the remainder of the Runge-Kutta formula in the theory of ordinary differential equations.-Z.angew.Math.Phys.Bd.2, No.4, 1951, 233-248.

147. Boltz E. Grenzschichten an Rotationskörpern in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung.-Güttingen, 1908.

148. Bond G.B. On some applications of the Method of Mechanical Quadratures.—Memoirs of American Academy of Arts and Sciences, New series, vol.4, P.l, Boston, 1849, 24-37.

149. Brouwer D. On the accumulation of errors in numerical intégra— tion.—Astronomical Journal, 46, 149, 1937, 149-153.

150. Brouwer D., Clemence G. Method of celestial mechanics.—Acad. Press, New York, Lnd., 1961.

151. Bukovics E. Prinzipien bei der numerischen Lösung von Anfangs— wertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und Methoden zur Abschätzung des Fehlers.—Osterr.Ingr.—Arch. No.1-2, 1958, 66-82.

152. Burrau C. Recherches numériques concernant des solutions périodiques d'un cas special du problème des trois corps.—Astron.Nachrich. Bd.135, No.3230, 1894, 235-240, Bd.136 No.3251.

153. Caushy A. L. Mémoire sur l'intégration des équations différentielles.—Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, t.1, Paris, 1840, Oeuvres, ser.2, t.ll, Paris, 1913, 309-465.

154. Charlier C.L. Die Mechanik des Himmels.—Leipzig, t.2, 1907.

155. Collatz L. Eine Verallgemeinerung des Differenzenverfahrens für Differentialgleichungen.—Z.angew.Math.Mech. 14, 1934, 350-351.

156. Collatz L. Naturliche Schrittweite bei numerische' Integration von Differentialgleichungen Systemen.-Z.angew.Math.Mech., 22, 1942, 216-225.

157. Collatz L., Zurmiühl R. Zur Genauigkeit verschiedener Integrations— verfahren bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ing.—Arch., 13,1942,34—36.

158. Collatz L., Zurmiühl R. Beitrage zu den Interpolationsverfahren der numerischen Integration von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.—Z.angew.Math.Mech. 20, 1942, 42-55.

159. Collatz L. Differenzenverfahren zur numerischen Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen n—ter Ordnung.—Z.angew.Math.Mech. 29, 1949, 199-209.

160. Collatz L. Uber die Instabilität beim Verfahren der zentralen Differenzen fdr Differentialgleichungen der zweiten Ordnung.-Z.angew.Math. Phys., 4, 1953, 153-154.

161. Cowell P.H., Crommelin A.A. The Orbit of Jupiters Eighth Satellite. —Monthly Notices of the R.A.S., vol.68, 1908, 576-581.

162. Cowell P.H., Crommelin A.D. Essay on the return of Halleys comet-Greenwich Observations, 1909, 170-178.

163. Cowell P.H., Crommelin A.D. The motion of Jupiter's Eighth Satélite from 1910 to 1916.-Monthly Notices of the R.A.S., vol.71, No.l, 1910, 50-62.

164. Cowell P.H. Investigation of the motion of Halley^ Comet from 1759 to 1910.-Appendix to the volume of Greenwich Observations for the year 1909, Edinburgh, 84.

165. Dahlquist G. Fehlerabschätzungen bei Differenzenmethoden zur numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.—Z.angew. Math.Mech., 31, 1951, 239-240.

166. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations.—Mathematica Scandinavica, 4, No.l, 1953, 33-35.

167. Darwin G.H. Periodic orbits.-Acta mathematica, vol.21,1897,99-242.

168. Darwin G.H. Periodic orbits.-Math.Ann., Bd.51, 1899, 523-583.

169. Duncan W.I. Assessment of error in approximate solution of differential equations.—Quart.J.Mech.Appl.Math. 1, 1948, 470-476.

170. Eddington A.S. The derivation of Dr.Cowell's integration formula.— The Observatory, vol.XL, 1917, 374.

171. Emden R. Gaskugeln, Leipzig, 1907.it

172. Encke J.F. Uber Interpolation.-Astronomisches Jahrbuch, 1830, 265-284.

173. Encke J.F. Uber mechanische Quadratur.-Berl.Astr.Jahrbuch für 1837, Berlin, 1835, 1837, 251-287.

174. Encke J.F. Über mechanische Quadratur.-Berl.Astr.Jahrbuch Mr 1862, Berlin, 1860, 313-349.

175. Encke J.P. Neue Methode zur Berechnung der speziellen Störun— gen.—Astr.Nachr., Bd.33, No.791.792, Berlin, 1852, 376-398.

176. Encke J.P. Zusatz zu dem Aufsatze: Neue Methode zur Berechnung der speziellen Störungen in No.791 und 792 der Astron.Nachr.— Astron.Nachr., Bd.34, No.814, 349-360.

177. Encke J.P. Uber die Berechnung der speziellen Störungen.— Berliner Jahrbuch Mr 1858, 1855, 307-335.

178. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.-Lei'pzig, 19091921.

179. Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées.— Paris, Leipzig, 1910, t.2, vol.3.1, p.170.

180. Euler L. Considérations sur le problème des trois corps.—Mem. de l'Ac. de Berlin, 19 ( 1763) 1770. Opera omnia, ser.2, t.26.

181. Euler L. Commentatio hypothetica de periculo, a nimia- cometae appropinquatione metuendo.— No vi Com.Ac.Sci.Petrop., 19 ( 1774), 1775. Opera omnia, ser.2, t.29.

182. Palkner V.M. A method of numerical solution of differential equa— tions.—Philos.Mag., London, 7 ser. 21, 1936, 624-640.

183. Pelberg E. Eine Methode zur Fehlerkleinerung beim Runge—Kut— ta Verfahren.—Z.angew.Math.Mech., Bd.38, H.ll-12, 1958, 421-426.

184. Prank P., Mises R. Die Differential—und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, 2 Aufl., Braunschweig, 1930.

185. Gauss C.P. Werke Bd.3, Göttingen, 1866.

186. Gauss C.P. Werke Bd.7, Göttingen, 1906.

187. Gregory J. James Gregory tercentenary memorial Volume.—Lnd.,1939.

188. Goldstine H.H. A History of Numerical Analysis from the 16ththrough the 19th Century.-New York, 1977.

189. Hadamard J. Cours d*analyse, Paris, vol.2, 1930.

190. Hamel G. Zur Fehlerabschätzung bei gewö hnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.—Z.angew.Math.Mech., 29,1949,337-341.

191. Hansen P.A. Uber die Berechnung der Störungen durch mechanische Quadratur.—Astr.Nachr.,Bd.34, No.799,800, 1870, 103-142.

192. Heun K. Untersuchungen über die Gausse Quadraturmethode, Berlin, 189 2.

193. Heun K. Neue Methode zur approximativen Integration der Differentialgleichungen einer unabhängigen Veräderlichen.—Z.Math.Phys., Bd.45, 1900, 23-38.

194. Hofmann I.E., Nicolas Merkator (Kaufmann). Abhandlungen der math.-natur. Kl.—Akad.der Wissenschaften und der Literatur, K13, 1950.

195. Hort W. Die Differentialgleichungen des Ingeniers. Berlin, 1914.d2x

196. Jackson J. Note on the numerical Integration of ' 2 = f(x>t)-— Monthly Notices of the R.A.S., vol.84, 1924, 602-606.

197. Jahrbuch über Portschritte der Mathematik. Berlin.

198. Innés R.T.A. On Cowell's method applying the Newtonian Law.— Astr.Nachr., Bd.228, 1926, 266-290.

199. Klinkerfues W. Theoretische Astronomie.—Neubearbeitung von H.Buchholz, Braunschweig, 1912.N

200. Kryloff A.N. Sur l'intégration numérique approchee des équations différentielles avec application au calcul trajectoires des projectiles.—Imp. Nationale, Paris, 19 27.

201. Kryloff A.H. On the numerical integration of differential equations, Delft (Holland).—Proc.Internat.Congress for Appl.Mech. ( 1924) ,1925,212-214.

202. Lagrange J.L. Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la differentiation et l'intégration des quantités variables,-Oeuvres, t.3,1772,441-476.

203. Laplace P.S. Traite de Méchanique celeste.—Paris,t.4,1805.

204. Legendre A.M. Traité des fonctions elliptiques et intégrales eu— lériennes.-Paris, t.2, 1826.

205. Levy H., Baggott E. Numerical studies in differential equations, vol.1, Watts, London, 1934.

206. Lindow. Numerische Infinitesimalrechnung.—Berlin, 1928.

207. Lindelöf E. Remarques sur l'intégration numérique des équations différentielles ordinaires.—Acta soc.Sci.fennicae A2, 13, 1938, 1-15.

208. Milne W.E. Numerical integration of ordinary differential equa— tions.—The American Math.Monthly, vol.33, 1926, 455-460.

209. Milne W.E. On the numerical integration of certain differential equa> tions of the second order.-The American Math.Monthly,vol.XL, 1933,321-327.

210. Milne W. Numerical calculus.—Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1949.

211. Moulton P.R. Numerical solution of differential equations.—Chap.X of Smithsonian Mathematical Formulae, Washington, 1922, 220-242.

212. Moulton P.R. An introduction to celestial mechanics.—1923.

213. Moulton P.R. New methods in exterior ballistics.-Chicago, 19 26.

214. Moulton P.R. Differential equations.-New York, Macmillan, 1930.

215. Mises R. Zur numerischen Integration von Differentialgleichun— gen.—Z.angew.Math.Mech., Bd.10, H.l, 1930, 81-92.

216. Moigno P. Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral.

217. T. 1 et 2, Paris, 1840, 1844.il

218. Nyström E. Uber die numerischen Integration von Differentialgleichungen.—Acta soc.Sci.fennicae, 50, No.13, 1925, 3—55.

219. Oppolzer T. Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten. Bd.2, Leipzig, 1906.

220. Ostrowski A. Zur Entwicklung der numerischen Analysis. Jahresbericht der deutschen Math. Verein. Bd.68, H.2, 1966, 97-111.

221. Picard E. Mémoire sur la theorie des equations aux dérivées partielles et la méthode des approximations successives.-Journ.de Math, pure appl., s er. IV, vol.16, 1890, 145-210.

222. Picard E. Traite' d'Analyse.-Paris, 2nd Ed., vol.2, 1905.

223. Runge C. Uber angewandte Mathematik.-Math.Ann.Bd.44,1894,437-44if.

224. Runge C. Uber die numerische Auflösung von Differentialgleichun—gen.—Math.Ann. Bd.46, 1895, 167-178.i>

225. Runge C. Uber die numerische Auflösung totaler Differentialgleichungen.—G öttinger Nachrichten, k 3 Math.Phys. Kl. 1905, 252-257.

226. Runge C., Willers F.A. Numerische und graphische Quadratur und Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichunge. Encyk. Math.Wiss., vol.2, 31, Article 11C2, Leipzig, 1915, 47-176.

227. Runge C., König H. Vorlesungen über numerisches Rechnen.— Berlin, Springer, 19 24.

228. Runge C., König H. Numerisches Rechnen, Berlin, 19 24.

229. Sanden H. Praxis der Differentialgleichungen.—3.Aufl.,Berlin,1945. 23 2. Sauer R„ Pösch H. Anwendungen des Adamsschen Integrations—

230. Verfahrens in der Ballistik.-Ing.Arch., Bd.12, H.3, 1941, 158-168.

231. Schulz G. Interpolationsverfahren zur numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.—Z.angew.Math.Mech.,Bd. 12, 1932, 57-59.

232. Schulz G. Fehlerabschätzung fi!lr das Störmersche Integrations— verfahren.—Z.angew.Math.Mech., Bd.14, H.1934, 224-234.

233. Simpson T. Mathematical Dissertations on Physical and Analytical Subjects.—London, 17 43.

234. Störmer C. Sur les trajectoires des corpuscules électrisés dans l'espace sous l'action du magnétisme terrestre avec application aux aurores boréales.—Archives des Sciences physiques et naturelles, Genève, 1907, 221-248.

235. Störmer C. Resultats des calculs numériques des trajectoires des corpuscules électriques dans le champ d'un aimant élémentaire,III.—Videnskabssels kapets Skrifter, Math.-natur. Kl. No.14, Kristiania, 1913,41-49.

236. Störmer C. Methode d'intégration numérique des équations différentielles ordinaires.—Comptes—rendus du Congrès internat.des math.Strasbourg, 1920, 243-257.

237. Störmer C. Periodische Elektronenbahnen im Pelde eines Elementarmagneten und ihre Anwendung auf BrCiches Modellversuche und auf Eschenhagens Elementarwellen des Erdmagnetismus.—Z.Astroph.Bd.l, H.4, 237-274.

238. Tamarkine J. Sur la méthode de Störmer pour l*intégration approchée des équations différentielles ordinaires.—Math.Zeitsch., Bd.16, 1923, 214-219.

239. Tietjin P. Spezielle Störungen in Bezug auf Polarkoordinaten.-Berliner Jahrbuch, 1877-78.

240. Tisserand P. Traité de mechanique céleste, vol.1, 1899.it

241. Tollmien W. Uber die Pehlerabschëttzung beim Adamsschen Verfahren zur Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.—Z.angew.Meth.1. Mech. 18, 1938, 83-90.

242. Willers P.A. Methoden praktischen Analysis, Berlin, Leipzig, 19 28.

243. ZurrmUhl R. Zur numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter und höher Ordnung,-Z.angew.Math.Mech., Bd.20, 1940, 104^-115.

244. Zurmiîihl R. Runge— Kutta—Verfahren zur numerischen Integration von Differentialgleichungen n-ter Ordnung.-Z.angew.Math.Mech., Bd.28, 1948, 173-182.