Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Чистяков, Виктор Филимонович

• Чистяков, Виктор Филимонович
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чистяков, Виктор Филимонович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СВОЙСТВА ПЕГЕМЕННЫХ МАТРИЦ И

ИХ ПУЧКОВ

§1.1. Некоторые сведения о постоянных полуобратных матрицах.

§1.2. Некоторые сведения о пучках постоянных матриц.

§1.3. Общие сведения о переменных матрицах

§1.4. Переменные матрицы постоянного ранга

§1.5. Предложения о существовании гладких преобразующих матриц.

§1.6. Переменные полуобратные матрицы.

§1.7. Свойства пучков переменных матриц.

§1.8. Вычисление полуобратных матриц и индекса пучка матриц

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОДУ И ИХ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ.

§2.1. Постановка задачи. Примеры и определения

§2.2. Локальные свойства линейных систем ОДУ первого порядка.

§2.3. Свойства линейных систем ОДУ первого порядка в "целом"

§2.4. Линейные системы алгебро - интегральных уравнений.

§2.5. Ранговые признаки I, II

§2.6. Особые точки линейных систем ОДУ первого порядка

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§3.1. Необходимые сведения об интегральных и дифференциальных операторах

§3.2. Свойства регулярных ¿>Ш)/ операторов

§3.3. Интегро - дифференциальные операторы, приводимые к регулярным.

§3.4. Обращение интегро - дифференциальных операторов

§3.5. Подмножества кольца операторов Ма

Нагружения и возмущения.

§3.6. Нетеров индекс систем интегро дифференциальных уравнений.

ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ

§4.1. Общие сведения.

§4.2. Невырожденные интегро - дифференциальные системы

§4.3. Системы, удовлетворяющие критерию ранг - степень"

§4.4. Регуляризация нелинейных интегро дифференциальных систем.

ГЛАВА 5. ПРОБЛЕМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ИНТЕГРО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§5.1. Разностные схемы, используемые для численного решения интегро - дифференциальных систем

§5.2. Трудности, возникающие при численном решении тождественно вырожденных систем ОДУ.'.

§5.3. Численное решение систем, удовлетворяющих критерию "ранг - степень"

§5.4. Классы интегро - дифференциальных систем индекса выше единицы, допускающие прямое применение стандартных численных методов

§5.5. Применение левых регуляризирующих операторов для численного решения интегро - дифференциальных систем

§5.6. Сингулярные возмущения интегро - дифференциальных систем.

§5.7. О входных возмущениях и выборе шага дискретизации

§5.8. Замечания о выборе метода решения и некоторые другие вопросы

ГЛАВА 6. ТОЖДЕСТВЕННО ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ

ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§6.1. Необходимые сведения из вариационного исчисления

§6.2. Вырожденная система Якоби

§6.3. Свойства квадратичного функционала.

§6.4. Общий случай

§6.5. Метод наименьших квадратов

§6.6. Регуляризация по А.Н.Тихонову

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью»

1. Предисловие. Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах сводится к анализу их математических моделей. Часто такая модель является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенной относительно старших производных искомой вектор - функции, описывающей изменение во времени (пространстве) тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши). При попытке учесть в модели балансовые соотношения, в частности, законы сохранения, системы ОДУ дополняются алгебраическими уравнениями. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения (ИУ).

Данная диссертационная работа посвящена исследованию систем взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений, которые можно записать в виде системы интегро - дифференциальных уравнений, неразрешенной относительно старшей производной искомой вектор - функции. Соответствующая матрица Яко-би тождественно вырожденна в области определения системы. Наиболее полные результаты получены, естественно, для линейного случая. В терминах входных данных сформулированы и доказаны критерии разрешимости систем, конечномерности (бесконечномерности) пространств решений и указаны способы вычисления их размерности. Уже довольно хорошо известно, что решение взаимосвязанных систем алгебраических уравнений (САУ) и систем ОДУ связано с гораздо большими трудностями, чем систем ОДУ в форме Коши. Разработанный в диссертации аппарат позволяет в известных пределах преодолевать эти препятствия.

Скажем несколько слов о структуре работы. Диссертация включает в себя следующие разделы: введение, шесть глав, заключение, приложение, список литературы. Во введении обоснована актуальность направления исследований, проанализирован ряд примеров из различных областей приложений, чтобы обрисовать класс задач, которые приводят к необходимости решения систем, содержащих дифференциальные. алгебраические и интегральные уравнения, а также дан обзор теку-щещей литературы по теме диссертации. В гл. 1 излагаются вспомогательные результаты об обобщенных обратных матрицах и пучках матриц, включая утверждения о свойствах переменных матриц и их пучков. В гл. 2 строятся основы теории линейных систем ОДУ первого порядка с тождественно вырожденной в области определения матрицей при производной и их интегральных аналогов. Такие системы часто встречаются в приложениях и обладают рядом особенностей, по сравнению с общим случаем интегро - дифференциальных систем. Это делает целесообразным отдельное их изучение. В гл. 3 изучаются линейные интегро - дифференциальные операторы (ИДО) с вырожденной матрицей при старшей производной. Эти исследования стимулировались не столько наличием прикладных задач, сколько внутренней логикой исследования. В частности, тем фактом, что такие ИДО возникают при обращении операторов линейных систем первого порядка. В гл. 4 изучаются свойства нелинейных систем интегро - дифференциальных уравнений, тождественно вырожденных в области определения. В этом разделе получен ряд результатов о существовании локальных решений систем. Обсуждается понятие индекса для нелинейных АДС. В гл. 5 освещаются вопросы численного решения начальных задач для систем интегро - дифференциальных уравнений. В разделе описываются препятствия, возникающие при применении для их решения методов Адамса, Рунге - Кутта и т.д. с демонстрацией их на примерах. Указаны способы построения эффективных численных методов. Гл. 6 содержит результаты исследования простейшей задачи вариационного исчисления в случае, когда на всем отрезке интегрирования нарушается усиленное условие Лежандра. Дополнительно изучается метод наименьших квадратов и связанный с ним метод регуляризации А.Н. Тихонова. В заключении кратко обсуждено возможное направление дальнейших исследований. Приложение содержит описание систем взаимосвязанных алгебраических и дифференциальных уравнений, возникающих при математическом моделировании сложных технических систем. Список использованной литературы включает в себя 130 ссылок и составлен в алфавитном порядке.

Диссертация написана по материалам работ [12, 77 - 95]. Основой ее являются монография [92] и глава 2 монографии [12]. Результаты совместных работ в диссертации излагаются только в том случае, когда в источнике указано, что данный раздел написан автором диссертации. Необходимые заимствования из других источников отмечены ссылками и приводятся без доказательства.

В работе (кроме введения и приложения) принята тройная нумерация формул, лемм, теорем, замечаний и следствий. Если осуществляется ссылка на формулу (лемму, теорему, замечание или следствие), то первая цифра означает номер главы, вторая номер параграфа этой главы и третья цифра является номером формулы (леммы, теоремы, замечания или следствия). В введении и приложении при нумерации формул указывается первая заглавная буква раздела и номер формулы. Например, (В.1), (П.4). При выборе обозначений автор старался использовать стандартные символы. Буквы г,к,/, т, гг., г, г/ во всех разделах (кроме приложения) всегда соответствуют целым числам, причем за некоторыми буквами закреплены определенные значения. Здесь к равно индексу пучка матриц или АДС, г равно рангу или максимуму ранга какой либо матрицы. Символ Т используется для обозначения операции транспонирования матрицы. Буква (1 входит в символ производной или дифференциала, либо используется для обозначения размерности пространства решений системы ОДУ. Символом I обозначается открытый интервал (¿о, ¿1) С -К1, а символ Т соответствует замкнутому отрезку [от, /?] С I. Строчные греческие буквы су,/3,7, (5, /с, г используются для обозначения скалярных величин из Я1, причем т = {(3 — а;)/Л/" является шагом дискретизации отрезка Т, где N число узлов. Символы а, 6, с обычно соответствуют векторам из

Рукописные латинские заглавные буквы X, У, УУ соответствуют произвольным топологическим векторным и банаховым пространствах, а буквы Л: В операторам действующим в этих пространствах. Гильбертово пространство обозначается как Л.

Символ Лт соответствует дифференциальному оператору порядка т, а символы V, /С, <5т>1 используются для обозначения операторов Вольтерра, Фредгольма и общего интегро - дифференциального оператора соответственно.

Говоря об обозначениях, отметим еще, что ниже в текстах доказательств утверждений (лемм, теорем и следствий) для упрощения записи указание зависимости от t будет обычно опускаться, если это не вызывает путаницы.

В диссертации используются также следующие сокращения: ОДУ - обыкновенные дифференциальные уравнения, ИУ - интегральные уравнения, АДС - алгебро - дифференциальные системы, АДО - алгебро - дифференциальные операторы, АИС - алгебро - интегральные системы, ИДУ - интегро - дифференциальные уравнения, ИДО - интегро - дифференциальные операторы, JIPO - левый регуляризирующий оператор, ПРО - правый регуляризирующий оператор, СН - степень неразрешенности, ЦКФ - центральная каноническая форма, САУ - система алгебраических уравнений, РС - разностная схема, ФДН - формула дифференцирования назад.

2. Актуальность проблемы. Система, содержащая дифференциальные, алгебраические и интегральные уравнения может быть записана в виде равенства х, Vx, JCx, xV\a),---,xW(a): x(oc), í) = 0, (B.l) где t e T = [a, ¡3] С R1, F : XT R\ x = x(t) - n -мерная

- операторы Вольтерра и Фредгольма, К: К\ : Т хТ х Rn —» Rn, причем вектор - функция F удовлетворяет условию в области определения Под решением системы (В.1) мы будем понимать любую вектор - функцию х(Ь) £ СР(Т), р = тах{т, /}, которая обращает исходное уравнение в тождество. искомая вектор - функция, а а

В.2)

Обычно рассматривают замкнутые системы (В.1), то есть системы, у которых число уравнений равно числу компонент искомой вектор - функции [у = п), а неравенство (В.2) заменяют на эквивалентное условие в области определения Р.

Системы, у которых V > п называют переопределенными, а в обратном случае недоопределенными. Обычно при проведении рассуждений мы будем полагать, что система (В.1) замкнута и вектор - функции Р, К, К\ дифференцируемы нужное число раз в области определения.

В последние 20 - 25 лет опубликовано большое число работ, содержащих результаты исследований систем ОДУ удовлетворяющих условию (В.2), где Л -набор параметров. Систематическое исследование систем вида (В.З), и построение численных методов их решения, началось независимо друг от друга группами математиков в СССР (Ю.Е.Бояринцев, В.М.Корсуков, 1975) и США (С.W.Gear , S.L.Campbell, L.R.Petzold, 1971, 1973), хотя отдельные результаты были получены значительно ранее (П.П.Лузин, 1940, Ф.Р.Гантмахер, 1966). Несколько позднее активно работающие в этой области математики появились в Германии (R.Maerz, E.Griepentrog, M.Hanke, R.Lamour), а также в других странах, например, в Швейцарии (Е. Hairer, Ch.Lubich). В настоящее время наблюдается постоянный приток исследователей в эту область, сопровождаемый ростом количества публикаций.

Это привело к тому, что терминология постоянно менялась. В основе этих изменений лежало стремление изобрести названия, позволяющие разграничить исследования систем ОДУ с вырождением на дискретном множестве, систем дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами и систем ОДУ, тождественно вырожденных в области определения.

В частности, для обозначения объекта исследования использовались термины "дифференциально - алгебраические уравнения (differential -algebraic equations) [113, 117, 125], алгебро - дифференциальные системы (АДС)", "сингулярные системы" [6, 78, 104, 105], "системы ОДУ,

F{x{m\ А, *) = 0,

В.З) неразрешенные относительно производных" [85], "вырожденные системы ОДУ" [7] и даже "неявные (implicit) системы ОДУ" [83, 107]. Такое обилие названий и выражений относительно одних и тех же понятий приводит к смещению ориентиров в многочисленных публикациях, а для "неспециалистов" к ложному или поверхностному восприятию серьезных исследований на эту тему. В настоящее время термин "дифференциально - алгебраические уравнения", потеснил все другие названия. Это вызвано тем, что в приложениях математическая модель объекта исследования часто имеет вид взаимосвязанных дифференциальных и алгебраических уравнений.

Автор диссертации после обсуждения с коллегами этой проблемы пришел к решению в названии работы и оглавлении использовать устоявшиеся термины. В тексте диссертации для краткости применяется аббревиатура: АДС. Автор использует этот термин в последних работах и полагает, что он полнее учитывает специфику изучаемых задач. Ниже приведен ряд соображений в поддержку этой точки зрения. Соответствующие АДС операторы будем ниже называть " алгебра - дифференциальными операторами (АДО')".

Изучаемые в диссертации системы уравнений вида (В.1) и соответствующие им операторы могут содержать интегральные операторы Вольтерра и Фредгольма. Эти операторы рассматриваются как "на-гружения" АДО и термины "АДС" и "АДО" в тексте диссертации мы будем относить к любым системам интегро - дифференциальных уравнений вида (В.1), тождественно вырожденным в области определения, и соответствующим этим системам интегро - дифференциальным операторам (ИДО). Несколько особняком приходится рассматривать случай систем вида (В.1), когда вектор - функция F не зависит от производных х(т\ • • ■, х, и rank j < (n> в области определения F. Такие системы автор называет в диссертации " алгебр о - интегральными системами'''' (АИС). В литературе встречаются также термины: "интегральные аналоги АДС" [110], "интегральные уравнения Вольтерра четвертого рода" [103], "интегро - алгебраические уравнения (integral - algebraic equations)" [115].

Интерес к АДС и численным методам их решения носит не только академический характер, а стимулируется проблемами математического моделирования в прикладных областях, в частности, в теориях электронных схем и электрических цепей, механике и химической кинетике, гидродинамике и теплотехнике [25], [55], [65].

Системы вида (В.1) в вырожденном случае привлекают пока значительно меньшее внимание по сравнению с системами вида (В.З), но в связи с приложениями интерес к ним нарастает.

3. Объект исследований. В большинстве работ авторы при изучении систем вида (В.З) обычно полагают т = 1, что не уменьшает общности, так как любая система вида (В.З) сводима к системе первого порядка размерности тп, хотя иногда удобнее рассматривать исходные непреобразованные системы.

Выпишем систему первого порядка, содержащую ь> уравнений, с п в неизвестными в развернутом виде ж, t) filial, ¿2, •••, in, Xl, Я2, •■■, Яп, t)\ f2(x 1, X2, •••, xn, Xh X2, •••, я„, t) fv{i 1 ж2, • • •, X n 1 0, (B.4) где x — x{t) — (х\ X2 • • •, £n)T - искомая n - мерная вектор - функция, T - символ транспонирования,' = d/dt, f : Ы х Т —» ВУ,

1А(Ъ, а, р) = { и, х : ||и - 6|| + ||я - а|| < />, р > 0 }, а, Ъ - заданные векторы из Rn, df(u х t) rank qu < min{ v, n } V(u,z,i) eU x Г, (B.5)

Свойства АДС и поведение численных процессов при их решении так отличаются от свойств систем ОДУ в нормальной форме, что название работы [126] является утверждением: АДС не есть системы ОДУ! Отметим некоторые из этих отличий.

1. Нет непрерывной зависимости решений по по входным данным. Мы знаем, что решения линейных систем ОДУ в нормальной форме х + B(t)x = ф, t е Г, х(а) = а, х£ + Be(t)x£ = фе, t £ Т, х£(а) = а£, удовлетворяют неравенству

Цж — же||с(т) < K€i к — const, если справедливы оценки

B(t) - Be(t)\\c(T) < 110 - ^llc(T) < \\а - ае\\С(Т) <

Здесь -B(i), — (n х гг)— непрерывные матрицы, ф = </>(£), фе = ф€^)— известные непрерывные вектор - функции, а, ае— известные вектора из Л".

Для АДС ситуация значительно сложнее. Рассмотрим систему о = (в.б) о IV, (I о о о которая на любом сужении отрезка Т имеет единственное решение

Если правые части системы (В.б) взять в виде вектор - функций ф(г) = (0 1)т, ф€(г) = (0 1 + л/^зт*/е)т, то для соответствующих им решении х, х£ имеем - хе\\с{Т) =

-^cosf \ /о

1 + v^sin Ч VI оо,

С{Т) хотя ||ф — ф€\\с(т) —► 0 при б —> 0. В примере (В.б) мы можем потребовать малость отклонения ф — ф€ не в пространстве С (Г), а в пространстве С1 (Г), и таким образом восстановить в некотором смысле непрерывность решений по ф(£).

К сожалению выбор метрики, в которой малы возмущения, не всегда дает такой эффект: произвольно малые и сколь угодно гладкие возмущения матриц коэффициентов могут менять размерность пространства решений АДС даже в линейном случае. Возмущенная система (В.б) о ;ь=*(о,£>о, в отличие от исходной АДС имеет однопараметрическое семейство решений где с - произвольное число из Д1. Очевидно, что если сф 0, то хб — ж||<7(г) —* оо при е —> 0;

2. Пространство решений АДС (даже линейных) может быть бесконечномерным. Рассмотрим, например, систему из монографии [6,

СГ м

Здесь вектор - функции Х}^) = — 0,1, 2, • ■ при любому, являются решениями системы (В.7). Можно показать, что набор образует базис в пространстве решений системы;

3. Неоднородная АДС может оказаться несовместной на отрезке Т. Система (В.7) с правой частью ф{£) = («;(£) г»(£) )т разрешима тогда и только тогда, когда компоненты ф{{) связаны соотношением

К*)-(1 + *М«)] = г/(0, гет.

Чтобы показать это, следует вычесть из первого уравнения второе, умноженное на1 + £. Получив равенство XI — (1 + £):с2+ —(1Ч-^)^) и подставив его во второе уравнение, придем к нужному соотношению.

4. Начальная задача для АДС может не иметь решений и в том случае, когда начальный вектор принадлежит области задания f. Например, для системы (В.6) множество допустимых начальных значений состоит из одного элемента из Я2.

Рассмотрим ряд примеров из различных областей приложений.

Пример В.1 [25]. Математическая модель электрической цепи, состоящей из двух емкостей С\, С2, сопротивлений Ль индуктивности Ь и генератора электрического тока е(£) имеет вид

0 0 0 0 0\ ( 0 0 1\ ( 0 \

0 С\ 0 0 0 11х — + ¿г 0 1 0 0

0 0 С2 0 0 0 0 -1 0 X — 0

0 0 0 -ь 0 0 1 -1 0 0 0

0 0 0 0 0у! 1 1 0 0 0 (V и*)/ где вектор - функция х = (х1 х2 £3 Х4 Хб)т содержит значения токов и напряжений цепи.

Пример В.2 [64]. Математическая модель электрической цепи с последействием описывается системой уравнений

О О О 1 0

0\ 0 0/

1х

Г Дх о V 1

0 я3\

1 -1/

1 * к1 0 о о о о\ о о) х(в)(18 = г>(£), где вектор - функция х = {х\ х^ х^)т описывает распределение токов.

Стандартным приемом при решении краевых задач для уравнений в частных производных является разложение искомых решений в ряды Фурье по тригонометрическим функциям или ортогональным полиномам. При удерживании в разложениях конечного числа членов может возникать АДС. Если искомая функция зависит от пространственных и временных компонент, то дискретизация по пространству может иметь тот же эффект [95].

Пример В.З [11]. Модель Стокса, описывающая течение несжимаемой жидкости, в декартовой системе координат х,у,г имеет вид

1 0 0 0\ / и А 0 0 д 0 1 0 0 и + 0 г/Д 0 дг 0 0 1 0 0 0 г/Д

1о 0 0 (V 4 дх ду д дг д£ ду д дг о / и = в,

В.8) где

V = (И1 и2 щ р)т, в = (21 я,СМ 0)т, му = ] = 1,2,3 - покоординатные скорости движения частиц жидкости в точке (.£,£) = (ж,?/, р = давление в точке

Я, £), и - параметр, д^ 82 дх2 ду2 дг2

- оператор Лапласа, £), ^ = 1,2,3 - заданные функции. Разложим искомое решение и известные функции по пространственным переменным в ряд Фурье оо оо и = =

0 /=0 где I = (h,h,h)-> h-> J = 2,3 - целые числа,

Ui =■ (tii/(i) M2/(i) P/W)', <3/ = (guit) g2l(t) ^(i) 0)1.

Подставляя эти разложения в систему (В.8), получим бесконечную последовательность АДС

1 0 0 ON ( q 0 0 -ill \ d 0 1 0 0 Ui + 0 Я 0 —ih dt 0 0 1 0 0 0 4 -ih о 0 0 oj V -ih -ih -ih 0

Ui = Gh (В.9) где q — —^(/х +^2 Система (В.8) не является системой типа Коши - Ковалевской и можно подумать, что только для таких задач имеет место описанный выше эффект. Но это не так (см. например [6, с.21]).

Пример В.4. Для математического маятника (материальной точки массой ц и подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длины о к центру координат) в декартовой системе координат (х,у) выпишем функцию Лагранжа = \(¿2 + у2) - м(е + У) + Ф2 + У2 - Л где д - ускорение свободного падения, и - множитель Лагранжа. Уравнения Эйлера ddL dt dx здесь имеют вид dC d дС дх dt ду дС ду

0, d дС дС dt дй ди 0,

I 0 О О (П

0 10 0 0

0 О ц о о

0 0 0 /а 0 хЛ f d dt хг +

4 Х4 2X1^5

2х2х5 - цд 0, где Х2 Хз £4 Хб)Т = (х у х у и)Т.

Пример В.5. Системы автоматического регулирования часто описываются соотношениями х + A(t)x + B(t)u = 0,

C(t)x + D(t)u = w(t), где t E T, C(i), -D(i) - матрицы размерности г x г), (г х Z), (7 х г), (7 х /)

В.10) соответственно, ж - вектор - функция, описывающая траекторию системы, х(а) — а - заданному вектору из Rr, и - управляющая вектор - функция. Пусть по известной вектор - функции w(t) требуется определить х и и. Выражая из первого уравнения системы (В.10) вектор -функцию х через и и а и подставляя во второе, получим ИУ относительно и интересующего нас типа t

D(t)u + J K(t,s)u(s)ds = ip(t), t <e t, a если det D(t) = 0 на Г. Здесь ф(Ь) = w(t) - C{t)X{t)a, K(t,s) = C(t)X(t)X~l(s)B(s), X(t) - матрицант первой системы.

Итак, мы накопили достаточный материал для первичного анализа. Все системы из примеров В.1 - В.4 включают в себя алгебраические связи. Используя последние, можно одну или две компоненты решения выразить через другие и подставить в дифференциальные уравнения. Нетрудно проверить, что во всех примерах мы получим задачи, у которых размерность меньше, чем у исходных систем. Наибольший интерес с этой точки зрения представляют примеры В.1, В.З, В.4.

Имеем: для первого примера , (R\ 0 1 \ О R2 -1 1-10/

С, о

V 0 о

С2 о о о

-L dy' dt

ХЪ 0

Ri

0 о V о о

У =

Rie(t)\ 0 0

В.11)

У + e(t) \ -R\e(t) / У х2\ \х4) для третьего примера

А dt 1 0 0\ ( Я 0 -ил (9u\

0 1 0 z + 0 q —il2 z — 921 ?

V 71 72 о У \дъ -412 ih ) \93i) щ\

U2 \ V / ¡71 72 0) 71 = -- h/h 72 = = h/h,

В.12) для четвертого примера

0 0 0\ (ХЛ

1 0 0 0 а

0 V 0 0 <и яз 0 0 )

-хъ{д2 - х2)1/2 4

2хъ{(? - хЦ'2 2х2хъ + у.д

2\1/2 0,

В.13) - х\)'

После понижения размерности систему (В.11) мы можем привести к нормальной форме, тогда как в системах (В. 12), (В.13) матрицы перед производными искомой вектор - функции вырождены во всей области определения и мы должны провести еще один шаг понижения порядка. Несложно проверить, что после второго шага понижения порядка для (В. 12) мы получим систему приводимую к форме Коши, а для системы (В.13) нужно сделать для этого два шага понижения порядка.

Опишем общую ситуацию. В ряде случаев (например, в рассмотренных выше примерах) мы можем гладким неособенным преобразованием свести исходную систему (В.4) к эквивалентной системе д(х, х, *) = д(у, ¿, г/, 2, *) = 0, (В.14) г) = %, г, *) = 0, (В.15) где х = (у, г), а затем разрешить уравнения (В.15) относительно части переменных г г = 0о(2/, *), (В.16)

Достаточными, (но не необходимыми) условиями существования преобразований к виду (В.14) - (В.16) в окрестности точки с = (Ь, а,7) являются свойства:

М, 7) в окрестности с и 0, гапк '— ои 0 иг

Напомним, что эти свойства являются условиями теорем о ранге [97, с.99] и неявной функции [97, с.66]. Подставляя равенство (В.16) в систему (В. 14), получим систему ОДУ меньшей размерности, чем исходная д\х\ х\ ?)=д(у, —О0(у, у, в0(у, ¿), ¿) = 0,

В-17) где х1 = у. Система (В.17) может также допускать понижение порядка и так далее. Через к < п шагов мы получим в окрестности точки г либо систему ОДУ размерности <1 х\ 0 = 0, (В.18) допускающую приведение к нормальной форме: хк = ш(хк, /) либо систему алгебраических уравнений, если дк-\хк~\ а*"1, ЯцОг*-1,*), Ъ = дк(хк, /) = 0, (В.19) разрешимую относительно хк : хк = о^(^). Равенства г3'= в№, *)> (у\ = / = (В.20) и уравнения (В.18) или (В.19) согласно нашим предположениям эквивалентны исходной системы. Соотношения (В.20) позволяют восстановить все компоненты решения системы (В.4). Минимально возможное число шагов понижения порядка, позволяющее получить систему (В.18), приводимую к нормальной форме назовем степенью (индексом) неразрешенности(СН) системы (В.4). Итак в случае, описываемом формулами (В.19), процесс решения АДС сводится к решению чисто алгебраической системы дк(хк, ¿) = 0. Поэтому автор диссертации полагает, что название " АДС" лучше отражает свойства изучаемых объектов чем другие термины.

Вообще говоря, в ходе вычислений мы можем получить несовместную либо незамкнутую систему, либо процесс понижения порядка неосуществим в окрестности, включающей точку с, которая определяет начальные условия: ¿(7) = 6, х(у) = а. Как видно из выше изложенного, система вида (В.4) может не содержать уравнений, решение которых зависит хотя бы от одного свободного параметра. Это и позволяет утверждать автору, что термин "АДС" точнее отражает суть дела, чем другие названия.

Если при математическом моделировании мы имеем дело с АДС, то обычно важно знать

1) определена ли СН для АДС в области определения (или хотя бы локально в окрестности начальных данных);

2) ее значение, определяющее сложность системы, в частности, характер устойчивости решения по отношению к возмущениям входных данных;

3) размерность системы (В.18), задающую произвол в выборе начальных данных.

Проще всего на эти вопросы ответить в случае линейных АДС с постоянными коэффициентами [77, 80]. Пусть ж, t) = Ах + Вх - (j>(t) ='0, t £ Г, (В.21) где А, В — (n х п) - постоянные матрицы, ф{{) - заданная вектор -функция из Сп(Т). Тогда:

1) СН системы (В.21) определена тогда и только тогда, когда пучок матриц коэффициентов ХА + В регулярен: существует число Ао £ R1 такое, что det (AqA + В) ф 0 ;

2) СН равна индексу матрицы С = (AqA + Б)-1 Л, то есть числу к = min{ j : rank С-* = rank CJ+l, j = 0,1, • • •, n }, где предполагается, что С0 — Еп— единичной матрице размерности (и х п);

3) размерность соответствующей системы (В.18) равна d = deg [det (АА + В% где deg - символ степени многочлена, например, deg [А3 + 2А + 6] =3.

Индекс матрицы С и параметр d определяются так называемой канонической (кронекеровой) структурой пучка матриц А А + В [27, с.354], а именно видом правой части выражения

P(XA + B)Q = °N) + (JQ ¿J, (В.22) где Р, Q — (п х п) - постоянные неособенные матрицы, N - блочно -диагональная матрица, диагональные блоки которой суть жордановы "ящики" с нулевыми собственными значениями, N; = 0 для всех j > к.

Были предприняты попытки распространения результатов изучения АДС с постоянными коэффициентов на АДС с переменными коэффициентами и нелинейные системы. Оказалось, что изучение кронекеровой структуры пучка матриц

В.23) где (x*(t), x*(t), t), x*(t) - решение системы (В.4), может дать довольно полную информацию о свойствах исследуемой системы в случае, когда равенства rank A[z(t)] = deg det {ЛA{z{t)} + B[z{t)]} = const, t G T, (B.24) сохраняются в некоторой С1 - окрестности вектор - функции x*(t). АДС, у которых пучок матриц (В.23) обладает таким свойством, автор называет системами, удовлетворяющими критерию ''''ранг - степень''1. В частности, у таких систем СН равна единице и в каждой, точке отрезка Т совпадает с индексом матрицы {ЛA[z(t)] + A[z(t)], причем кронекерова структура пучка (В.23) при выполнении условия (В.24) имеет вид

Ег 0\ (J 0 \ V 0 0/ О Еп-Г) для любого фиксированного t Е Т. Точки отрезка Т, в которых нарушаются равенства (В.24), являясь точками "ломки" структуры пучка (В.23), совпадают с точками особенностей решений системы (В.4), в частности, точками ветвления и потери непрерывности.

В приложениях большую роль играют сингулярно - возмущенные системы

У = fi(y,z,t), ez = /2(у,М), где yeR\ z Е Rn~r, t Е Т, € - малый параметр. Обычно предполагается, что система /2(у, г, t) = 0 разрешима относительно г и z* = р(у, t) - ее решение, причем df2(y,p(y,t))/dz ф 0 [41, с.542]. Это эквивалентно выполнению равенства (В.24) для пучка матриц

Ег 0 \ (dh/dy dh/dz\ V0 о ) + {df2/dy dh/dz) ■

Точки вырождения блока dfz/dz совпадают с точками "ломки" кро-некеровой структуры пучка (В.23) и при их наличии на отрезке Т возникает ряд сложных и неприятных моментов.

В частности, при численном решении систем уравнений ex + A{t)x + B(t)x = ф{г), t е т, большое влияние на качество вычислительного процесса оказывают нули определителей матриц A(i), B(t)} которые совпадают с точками нарушения равенства (В.24), если систему второго порядка записать в виде системы первого порядка при е = 0. По этому поводу см. например [42].

Но в целом прямая связь между кронекеровой структурой пучка "якобианов" (В.23) и структурой решений системы рвется уже в линейном случае. Рассмотрим систему (В.7). Кронекерова структура пучка матриц этой системы имеет вид

А" îMî и не предвещает ничего плохого (пучок матриц регулярен). Однако пространство решений системы в отличие от систем с постоянными коэффициентами бесконечномерно: m-ммт V v(t) ) ' v(t) G С1 (Т)- произвольная функция. Причины такого явления становятся абсолютно ясными, если в системе (В.7) сделать невырожденную подстановку fi i+<\ *=1о 1 )"■

В результате относительно у = y(t) получается эквивалентная системе (В.7) система l о)*-(о !)" = о. пучок матриц которой, очевидно, сингулярен.

Таким образом, структура пучка матриц (В.23) неинвариантна в общем случае относительно преобразований, использующих замену переменных, даже для линейных систем (более подробно об этом сказано в обзоре литературы). Пусть для линейной системы х, t) = A(t)x + B(t)x - (f>(t) = 0, iGT, (В.25) где A(t), B(t) — (n x n) - матрицы, ф{{) - заданная вектор - функция из Ск(Т), на отрезке Т определена СН системы равная к.

Тогда, применяя процесс понижения порядка, описываемый формулами (В. 14) - (В.21), легко проверить, что общее решение системы (В.25) имеет вид x(t,c) = Xd(t)c + (p(t), t € Т, (В.26) где с— произвольный вектор из Rn, Xd(t) = (Z(t) 0) — (n х n) — матрица, причем (nxd)— блок Z(t) удовлетворяет условию rank Z(t) = const = d, 0 < d < r,

A(t)<p + B(t)ip - <f>(t) = 0, t£T.

Свободный член в равенстве (В.26) при нашем предположении имеет следующую структуру: cp(t) = } I<(t, s)4>(s)ds + £ Cj(t) (j^ где матрицы K(t,s), Cj(t) некоторые (n x n)— матрицы, получаемые при восстановлении всех компонент решения с использованием равенств (В.21), K(t,s) = 0, если Z(t) = 0.

Если на любом сужении отрезка Т нет решений системы (В.25) отличных от решений описываемых формулой (В.26), то автор называет это семейство общим решением типа Коши. Очевидно, что общее решение АДС, для которой на Т определена СН, является общим решением типа Коши.

Преобразование системы (В.25) к виду (В.14), (В.15) осуществляется умножением ее на гладкую неособенную для любого t Е Т матрицу P(t) такую, что

P(t){A(t)x + B(t)x-<f>(t)] = {Af)i+{Bm)x-pmt)'t€T

Но здесь приходится учитывать то обстоятельство, что не для каждой системы, общее решение которой имеет вид равенства (В.26), можно найти матрицу P(t), а следовательно, определить СН. Пример В.6 [125, с.25]. Рассмотрим АДС вида

A{t)x + х = ф{г) G С2(Т), Т = [-7, Т], (В.27) где v(t) = {0, t< 0, t2, t > 0}, w(t) = {¿2, * < 0, 0, t > 0} G C\T).

Подстановкой можно проверить, что общее решение системы (В.27) имеет вид х = ф{1)-А{Ш), Т = [-7, 7]. Легко проверить, что в равенстве

P(t)A(t) = (Af) любая гладкая матрица P(t) вырождается в точке t = 0. Конечно, в данном конкретном случае отрезок Т можно разбить на два подотрезка, на которых система (В.26) приводима к нужному виду, но в общем случае, когда структура множества со свойством: v(t) = 0, w(t) ф 0 достаточно сложна, такой подход неприменим.

Возникает вопрос об условии, более общем чем условие существования СН и гарантирующем разрешимость АДС. Используя вид канонической структуры пучка, относительно просто показать, что регулярность пучка (В.22) эквивалентна существованию А— матрицы

Ь{X) = £ Ь3\\ со свойством Ь(Х){\А + В) = АЕп + ЬоВ, где Ь^ — (п х п)- достоянные матрицы, к— индекс пучка. Ввиду изоморфизма между матричными многочленами и дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами [54, с. 19] очевидно, что к

EL j b'=o d\J Jt) о d dt

A + B d dt

En + LqB

По аналогии потребуем существования дифференциального оператора с переменными коэффициентами к / d v

В.28) со свойством

At о d

A(t)Jt+B(t) x = i+ Ak[B(t)]x Vx G Cl+\T). в.29)

Для системы (В.27) оператор (В.29) определен и имеет вид d Г ti л, \ d~

Al = л И2 - Á{t)7t. ■

Более того, оказалось, что существование оператора A¿, удовлетворяющего соотношению (В.29), при достаточно гладких входных данных гарантирует существование общего решения системы (В.25), описываемого формулой (В.26), причем верно и обратное утверждение. Если для системы определена СН равный к, то в равенстве (В.29) к = I. t

Суперпозиция / cA¿ сводит оператор системы (В.25) к сумме еДИНИЧ

ОГ ного и вольтеррова оператора, следовательно, она является регуляриза-тором (параметриксом) для оператора АДС. Поэтому в работе для обозначения оператора A¿ используется термин " левый регуляризирующий оператор" (JIPO), так как он сам по себе не является параметриксом.

Скажем еще несколько слов о терминологии. Свойства систем, связанные с СН и порядком дифференциального оператора (В.28) по разному открывались разными исследователями. Так как исторически первые результаты были получены для АДС с постоянными матрицами коэффициентов, то индекс пучка этих матриц стали называть индексом системы. При изучении АДС с переменными коэффициентами и нелинейных АДС исследователи столкнулись с тем, что индекс пучка (В.23) в общем случае не совпадает с СН и ряд исследователей стал различать локальный индекс (индекс пучка) [125, с.24] и глобальный индекс [125, с.17], совпадающий с СН, если последняя определена. Автор под индексом линейной АДС понимает число, совпадающее с порядком дифференциального оператора (В.28). В гл.2 рассмотрены АДС (см. примеры 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3), у которых локальный индекс больше СН и обратно.

Слово "индекс" по мнению автора несет в математике слишком большую нагрузку и ему представляется целесообразным договориться о применении другого термина. Например, у АДС и АИС, частным случаем которых являются системы интегральных уравнений Вольтерра первого рода, параметриксом может быть интегро - дифференциальный оператор. Чем больше порядок такого параметрикса, тем большее влияние оказывают входные возмущения и ошибки округления на численный процесс. Поэтому в работе [1] порядок параметрикса для интегральных уравнений Вольтерра первого рода называется степенью неустойчивости, что хорошо отражает суть дела.

Существование оператора удовлетворяющего соотношению (В.29) тесно связано с рядом свойств г - продолженной системы (В.4). Под г -продолженной (расширенной) системой (В.4) понимается совокупность самой системы и ее г - полных производных

Для линейной системы (В.25) ее умножение на оператор Л^ эквивалентно умножению тых строк системы (В.30) на матрицы и последующему их сложению. Для нелинейных систем ситуация значительно сложнее и подробно анализируется в соответствующем разделе диссертации.

Итак, мы изложили принципиальную схему изучения ненагружен-ных АДС вида (В.4), но подход, использующий г - продолженные системы, оказался плодотворен и при изучении интегральных и интегро - дифференциальных систем, вида (В.1), для которых г - продолженные системы определяются совершенно аналогично: это сама система (В.1) и г ее производных.

Коснемся проблем, возникающих при построении численных методов решения АДС. Как видно из формулы общего решения (В.26) составной частью процесса численного решения АДС, является решение некорректной задачи: численное дифференцирование матриц Б(2) и вектор - функции ф^). Но этим не исчерпывается сложность задачи. Рассмотрим применение неявной разностной схемы Эйлера к АДС вида (В.25). Для этого введем на отрезке Т сетку и будем искать приближение к решению АДС у^ в точках сетки, исходя из следующей аппроксимации исходной системы /(*, *) \

• • •, *) = = 0. (В.30) Л+1

УН 1 ~ Уз ^+1^+1-^+1 = 0, (В.31) т где

А,+1 = 1), Ву+1 = £(*,+1), ф}+1 = 1), уо = а, а— заданный вектор из Я71. Если пучок матриц \А{{) + В{{) регулярен для любого £ Е Т, то из формулы (В.31) получим

У з+\ = Н1+1 Уз + тщ+и (В.32) где

Ч>з+1 — = [А]+1 +тД;+1]~1, НН1 =

Применим разностную схему (В.31) для решения следующей задачи. Пример В.7. Пусть где 7, 8 - числовые параметры. Если функция 7 + бг - 1 ф о v* б г, то система (В.31) разрешима при любых г>(£) 6 С2(Т) и семейство решений состоит из одного элемента 1 х =

9(0 что можно легко проверить подстановкой. Если 7 + 6/^0, I £ Т, то пучок матриц системы (В.33) регулярен для любого t £ Т и для ее решения можно применить формулу (В.32). После несложных выкладок мы получим формулу тд(1Н1) ( -1+1)щ + Т(р'+и = 7 + (в-34)

Из системы (В.33) следует равенство

У2,з = -ЬУЬз + (Уи У2,з)Т = Уз

Подставляя его в формулу (В.34) и учитывая, что tj+l — tj = т, получим соотношения

1/1 - (В.35) где

Из соотношения (В.35) мы видим, что при выполнении неравенства ствуют значения параметров 7, <5, при которых неявный метод Эйлера расходится. Если значения параметров фиксированы, то найдется отрезок Т с тем же свойством. Более тонкий анализ показывает, что при |д(£)| > 1 имеет место сходимость неявного метода Эйлера: но нас для важно то, что применение рассматриваемого метода не гарантирует получения приемлемого приближения к решению далее без учета погрешностей вычислений, связанных с ошибками округлений.

Более того, применением классических неявных разностных методов (Адамса, Рунге - Кутта) с лучшей аппроксимацией исходной задачи нельзя устранить описанные выше эффекты. Для каждого конкретного метода найдутся значения параметров 7, 6 или отрезок Т, при которых этот метод расходится. Что касается явных разностных схем, то их применение пока не представляется возможным. В этом случае при переходе от вектора у^ к вектору приходится решать вырожденные алгебраические системы не имеющие решений либо разрешимые неоднозначно.

Еще более сложные явления наблюдаются при численном решении нелинейных неявных систем вида (В.4). Одно из них связано с тем, что как исходная задача, так и ее разностный аналог могут иметь несколько решений. Для простоты рассмотрим начальную задачу для одномерного невырожденного уравнения.

Пример В.8. Пусть

Выпишем простейшую разностную схему, аппроксимирующую эту начальную задачу

Обычно мы надеемся на то, что решение разностной схемы аппроксимирует решение исходной задачи, но здесь при любой наперед заданной функции </?(£) 6 С1(Т), удовлетворяющей условию ср(0) = а,

Ьз ~ 0 при г 0, ; = 1,2, • ■ ■

2 - 1 = 0, я(0) = а, г е Т. и сколь угодно малом 6 > 0, найдутся шаг дискретизации т(6) и решение разностного уравнения (уо, т/1, • • • соответствующее этому шагу такие, что

Этот факт порождается тем, что уравнение х2 — 1 = 0 имеет два семейства решений с) = г + с, х2(ь,с) = + с, где с— произвольная константа, и через каждую точку плоскости {Ь,х) проходит по одному из элементов этих семейств.

Результаты исследования систем вида (В.4) могут оказаться полезными при изучении проблем вариационного исчисления и оптимального управления. Это связано с тем, что уравнения Эйлера (необходимые условия экстремума функционала) Р ф(у) = / с{у, у, (в.36) а можно записать в виде квазилинейной системы

У, г). .

-щ-у = Д(у, у, *), где - некоторая вектор - функция, и эта система может оказаться АДС, если нарушается усиленное условие Лежандра о=0 у< € г дгу где г/(£) — решение уравнения Эйлера (экстремаль). Для примера, пусть функционал (В.36) является функционалом невязки для системы (В.25) в пространстве Ьч(Т) Р й{х) = III4- в{г)х(г) - Ф{ь)\\Чг, х(а) = а, (в.37) а где ||.||— евклидова норма в К1. Этот функционал является выпуклым, и более того является полным квадратом.

При поиске минимума функционала исходную задачу обычно заменяют конечномерной аппроксимацией, в частности, разностной аппроксимацией. Для задачи (В.37) запишем где Ф[.]— разностный оператор (В.31). Если мы рассмотрим функционал невязки для системы (В.33), то сеточная функция, доставляющая минимум функционалу (В.38), может не сходиться к функции, доставляющей минимум функционалу (В.37) при |д(£)| <1, £ Е Т.

Этот эффект отсутствует, если

Напомним, что выполнение последних равенств дает такую информацию: в кронекеровой структуре пучка XA(t) + В(t) все нильпотентные блоки имеют первый порядок при любом t Е Т и число их не зависит от t. Более того, если существует отрезок Т\ С Г, на котором нарушено равенство ранга и степени, то гарантировать сходимость разностных аппроксимаций уже нельзя.

4. Методы исследования. Описанная выше "матрешечная" структура АДС связана с рядом важных общематематических понятий и теорий, например, канонической структурой пучка матриц, параме-триксом, теории струй и в диссертации частично исследованы эти связи. Это обусловило тот факт, что при проведении исследований помимо средств алгебры и анализа привлекались понятия и методы функционального анализа, связанные с нетеровым (фредгольмовым) индексом.

5. Научная новизна. В диссертационной работе построена теория АДС с конечномерным пространством решений, включая разработку методов исследований, позволяющих ответить на вопросы о разрешимости АДС и структуре общих решений, наличии на отрезке интегрирования особых точек. В ходе работы были сформированы понятия, важнейшими из которых являются определения регуляризирую-щих операторов (JIPO и ПРО). Эти понятия удалось распространить

-АЛ—1

В.38) з=о rank A{t) = deg [det (ЛA(t) + B(t)} = const Vi E T. на системы ИДУ с тождественно вырожденной матрицей при старших производных неизвестной вектор - функции и получить критерии разрешимости таких уравнений. Построено кольцо ИДО, содержащее полугруппу относительно операции умножения. Каждый элемент (оператор) этой полугруппы имеет левый обратный из кольца. Доказаны теоремы о локальном существовании решений систем нелинейных ИДУ, неразрешенных относительно старших производных неизвестной вектор - функции и тождественно вырожденных в области определения. Полученные результаты позволили наметить пути построения эффективных методов численного решения и исследования АДС, а также показана возможность применения развитой теории к задачам вариационного исчисления при тождественном нарушении усиленного условия Лежандра.

6. Апробация работы. Научные результаты и основные положения работы докладывались на 20 Международных, Всесоюзных, Республиканских конференциях и школах - семинарах, в том числе: Байкальская школа - семинар "Методы оптимизации и их приложения". (Иркутск, 1989); II Всесоюзная конференция "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (Драгобыч, 1989); V Всесоюзная школа "Современные проблемы механики жидкости и газа" (Иркутск. 1990 г); III Всесоюзная конференция "Новые подходы к решению дифференци-. альных уравнений"(Драгобыч, 1991); Всесоюзная конференция "Условно - корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1992); Всесоюзная школа "Понтрягинские чтения - V" (Воронеж, 1994); Всесоюзная школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики имеханики" (Воронеж, 1995); Международна конференция SciCADE - 95 (Stanford university, 1995); X Байкальская школа - семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1995); XI международная Байкальская школа - семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998); III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике INPRIM - 98 (Новосибирск, 1998). Ряд важнейших результатов докладывался на семинаре по некорректным задачам в МГУ, семинарах в Иркутском государственном университете, семинарах в Математическом Институте СО РАН (в период 1986 - 1999). По мере получения новых результатов делались доклады на ежегодных конференциях " Ляпуновские чтения" в Иркутском ВЦ СО АН СССР, переименованном в 1998 году в ИДСТУ СО РАН (в период, 1986 - 1999).

7. Обзор текущей литературы. Начиная анализ публикаций по тематике диссертации, следует отметить, что библиография пока уступает литературе по системам ОДУ с вырождением на дискретном множестве и системам дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами, но она быстро растет. Вышло уже несколько монографий [6, 7, 9,104,105,117,125] и большое число работ. Литература по численным методам решения АДС уже трудно обозрима. Библиография в монографии [125] насчитывает свыше 400 источников. Поэтому в обзоре мы будем обращаться как правило к тем исследованиям, в которых собраны по мнению автора результаты циклов работ.

Хотя особенно интенсивное развитие теории и методов численного решения и исследования АДС происходило в последние два десятилетия, отдельные результаты получены в более отдаленные периоды. Большая часть их относится к системам с постоянными коэффициентами. Здесь отметим работу Н.Н.Лузина [52], где, в частности, доказано, что размерность пространства решений системы с постоянными матричными коэффициентами А^ равна степени ненуразрешима при любой достаточно гладкой правой части.

Операторные методы, базирующиеся на изоморфизме между матричными многочленами и дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами, кратко освещаются в [54, с. 19].

Большое влияние на последующее развитие теории сингулярных систем оказало замечание Ф.Р.Гантмахера о приложении теории пучков матриц к АДС с постоянными коэффициентами [27, с.348].

Системы с переменными коэффициентами, нелинейные системы, численные методы их решения привлекают к себе внимание в начале -середине семидесятых годов.

Украинские математики Ю.Д.Шлапак [98] и В.А.Еременко [40] рассматривали линейные системы (В.25), когда £ Е (—сю, со), а матрицы левого характеристического полинома с1е!

В(1;) периодичны. Изучение систем опирается на прием понижения порядка. Если в [98] возможность понижения постулируется, то в работе [40] указаны условия, при которых процесс понижения возможен на £ £ (—оо, сю), а также в ней дается достаточный признак окончания процесса на первом шаге.

Значительный интерес представляет развитие подхода к системам вида (В.4), намеченного в [2, с.22] и основанного на теории струй.

Большой вклад в теорию линейных АДС вида (В.25), включая недо-определенные и переопределенные системы, и теорию численных методов их решения внес Ю.Е.Бояринцева. В монографиях [6, 7, 9] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучка (В.23), структуры общего решения системы ОДУ (В.25) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина.

Как уже говорилось, кронекерова структура пучка матриц АА(£) + £(£) неинвариантна относительно преобразований, использующих замену переменных в АДС. Структура общего решения вырожденной системы может быть напрямую связана со структурой пучка других, эквивалентных, систем, полученных из исходной с помощью замены переменных. Ю.Е.Бояринцевым были выделены классы АДС со свойством совершенства и свойством О, для которых неособенные преобразования не меняют кронекеровой структуры пучка матриц исходной системы. Для АДС, обладающих этими свойствами, и их разностных аналогов выписаны формулы общих решений. Систематическое изложение этих вопросов для случая линейных АДС можно найти в [7. 9], где, в частности, уточняется понятие регулярной пары переменных матриц. В этом направлении получены практически исчерпывающие результаты. Попутно в монографиях [6, 7] изложены исследования по теории обобщенных обратных матриц (включая матрицу Дразина и ее обобщения) и эти монографии являются хорошим введением в этот предмет.

В работе [10] впервые было исследовано влияние структуры пучка матриц коэффициентов АА+В на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разностных методов для решения АДС, названное позже "пограничным слоем ошибок". Суть этого явления состоит в том, что в первых точках сетки отклонение разностного приближения (В.31) от решения АДС стремится к бесконечности с порядком 0(1/тк~2), при стремлении шага сетки т к нулю. Здесь к индекс пучка матриц коэффициентов.

В монографии [6] для случая регулярного пучка матриц коэффициентов впервые обоснован "метод возмущения", когда исходной системе ставится в соответствие система

A{t) + eB(t)]ye(t) + B(t)y€(t) - ф{1) — 0, i G Г, (В.39) и показано, что "пограничному слою ошибок" соответствует пограничный слой в окрестности t = а вида

Ilye(t) - x(t)\\C{T) = 0(е^7е2*-2), t CE [а, а + О(е)].

Ряд результатов получен сотрудниками Ю.Е.Бояринцева. В работе [46] В.М.Корсуков сформулировал критерии устойчивости матриц вида А~В, где матрица А~ является полуобратной к матрице А, а именно, удовлетворяет уравнению А А" А = А. Эти результаты можно использовать при исследовании АДС на устойчивость по Ляпунову и при построении устойчивых разностных схем.

В.А.Данилов в работах [32, 95] обосновал для случая линейных систем с регулярным пучком постоянных матриц класс разностных схем высокого порядка точности. Эти схемы базируются на на формулах Обрешкова и ФДН, о которой еще будет идти речь.

В работе [95] показано, что стратегии выбора шага, применяемые при численном решении систем ОДУ в нормальной форме, нужно использовать очень осторожно. В частности, показано, что даже для весьма надежной разностной схемы (В.31) шаги интегрирования ть 7~2, • • •, гдг и JV можно выбрать так, что шах { ||х(0) - хм\\ : ti + т2 ----= (3 - а } = оо, Л^ -»■ сю (В.40)

Там же показано, что дискретизация по пространственной переменной задачи Стокса приводит к АДС индекса два, и рассматривается применение к ней разностных схем, основанных на формулах Обрешкова.

В работе [33] получен новый критерий регулярности пучка матриц \А + В.

Ряд аспектов теории и построения численных методов изучен в работах М.В.Булатова. В работе [15] рассмотрен ряд способов преобразования АДС и указано, что подействовав на исходную систему (В.25) оператором ал мы понизим ее индекс на единицу. Более того, преобразованная таким образом система устойчива по Ляпунову, если устойчива исходная АДС. Там же исследуется проблема выбора начальных данных, совместных с АДС.

В работе [16] обоснована модифицированная схема "метода возмущения" (В.39), применяемая к линейным АДС с переменными коэффициентами.

В работе [19] рассматривается метод сплайн - коллокации применительно к линейным АДС с переменными коэффициентами.

Ю.Е.Бояринцевым и его сотрудниками в последние годы начаты исследования правых регуляризирующих операторов(ПРО), т.е. подстановок вида таких, что суперпозиция операторов подстановки и системы (В.4) дает систему ОДУ в нормальной форме:

По этому поводу см. например [8, 9], а также работу [99], где А.А.Щегловой доказано существование ПРО для АДС (В.25), при условиях, что матрицы коэффициентов аналитические и существует ЛРО.

В работе В.В.Овчаренко, Н.П.Макарущенко [57] исследован один способ приведения пучка матриц с постоянными коэффициентами к канонической форме.

Тематику АДС систем затрагивают работы В.П.Скрипника [70, 71], в которых исследуется сходимость решений систем

А(*, €)&(*) + е)уе(*) = Ф(г, б), г е г, где е - некоторый параметр, к решениям системы (В.36), если при е —> во матрицы и вектор - функция, задающие систему, удовлетворяют условиям

A(t,e) A(i), B(t,e) B(t), ф(г).

Изучение систем ведется в весьма общих предположениях о гладкости матриц A(t, б), B(t, б) и вектор - функции </>(/, б).

Класс вырожденных систем представляет специальный случай систем, удовлетворяющих критерию "ранг - степень", что соответствует условию: в канонической структуре пучка (В.23) нет нильпотентных блоков порядка выше первого, их число не зависит от t. Этому же предположению удовлетворяет гамильтонова система Г.А.Куриной [50], в которой исследуется разрешимость двухточечных краевых задач. Показано, что при определенных условиях после первого шага понижения порядка исходной системы мы получим систему с блочной структурой, аналогичной исходной.

В работе В.И.Костина и Т.Л.Штыкель [47] рассматривается линейная АДС с с регулярным пучком постоянных матриц. Предлагается устойчивый по отношению к возмущениям входных данных метод, основанный на том, что решение ищется в классе функций с финитным спектром.

За последние 5 лет опубликован цикл работ (см. например [48, 49] и приводимую там библиографию). В этих работах подробно проанализировано применение различных модификаций методов Адамса и Рунге - Кутты для решения специального класса АДС вида

У = f\(y,z,t), z = /2(y,2,i), где у G Rr, г G Rn~r: t G Т. Предполагается, что в окрестности начальной точки выполнено условие: det {Enr — dfijdz) ф 0. Это частный случай АДС, удовлетворяющих критерию "ранг - степень". Класс этих систем, выделенный и изученный автором в 1979 - 1985 годах, неоднократно привлекал внимание и других исследователей, которые давали ему различные названия, например системы индекса один [125], преобразуемые (transferable) системы [117] и указывали различные критерии принадлежности.

АДС активно изучаются и за рубежом. В монографии [117], содержащей результаты группы немецких математиков: R.Maerz, E.Griepentrog'a, M.Hanke, R.Lamour'a, исследован ряд вопросов теории АДС и численных методов. Большое внимание уделено системам, удовлетворяющих критерию " ранг - степень", и применимости для их решения методов типа Адамса [122]. Указаны свои критерии определения таких АДС. Например, если матрица P(t) является проектором на ядро матрицы A(t) и матрица A{t)+B{t)P{t) невырождена для любого í £ Т, то система (В.25) имеет глобальный индекс один.

Исследован ряд схем "возмущения", когда исходная система введением малого параметра преобразуется в систему, приводимую к форме Коши [112, 119]. Они большей частью представляют некоторым образом измененные варианты схемы (В.39). Техника немецких математиков базируется на применении различных проекторов. Весьма показательна в этом отношении работа [124].

Наиболее близкими к тематике диссертации являются исследования группы математиков США, в которую входят, частности, С.W.Gear, S.L.Campbell, L.R.Petzold, K.E.Brenan. Работы этих математиков [104 - 109, 113 - 116, 121, 125, 126], посвящены различным аспектам теории АДС вида (В.4) и методов численного их решения, с упором на последние.

В начальный период исследований было выполнено большое количество работ с применением обобщенной обратной матрицы Дразина, в которых построены формулы общих решений систем с постоянными матрицами коэффициентов. Заметим, что эти формулы являются частным случаем формул полученных в работах [6, 7]. Сводное изложение этих исследований можно найти в [104, 105]. Изучались также вопросы численного построения обобщенных обратных матриц (в частности, матрицы Дразина). По этому поводу см. например, работу [130]. В настоящее время это направление за рубежом в значительной степени свернуто. Так в монографии [125] нет даже определения матрицы Дразина.

Детально исследован и обоснован для ряда классов АДС метод фдн [113], когда уравнение (В.4) заменяется разностной схемой где вектора = а, х\ ■ • • предполагаются известными, аг- - коэффициенты обеспечивающие аппроксимацию, т - шаг сетки.

Большое внимание уделено неявным методам Рунге - Кутта, введены понятия центральной канонической формы, аналитической разрешимости (эквивалентное понятию общего решения типа Коши). Для решения и исследования АДС в последние пятнадцать лет широко используются г— продолженные системы [109, 125]. Проводились исследования, в которых указывались критерии совместности начальных данных с АДС (см. например [121, 125]). Исторически, продолженные системы начали применяться для анализа систем дифференциальных уравнений в частных производных (см. например [24, 63, 66] и приводимую там библиографию). В теории систем ОДУ, не разрешенных относительно старших производных, они впервые рассмотрены в книге [2] в связи с теорией струй. Применительно к АДС автор использовал 1— продолженную систему в работе [83], формулируя теорему существования для системы вида (В.4). И в том же году вышла работа S.L.Campbell'a [107], где рассматривалась применение к — продолженных систем для решения линейных АДС вида (В.25).

В последующем S.L.Campbell сформулировал понятие индекса АДС. Продолженная система (В.30) рассматривается как конечномерная алгебраическая система с неизвестными • • • , х, х, £ Яп и предполагается, что, начиная с некоторого г = к, из системы ж, t) =0, можно выделить уравнение вида х + ipi(x,t) — 0. Число к называется индексом системы (В.4) [116, с.32]. При выполнении некоторых предположений решения системы являются решениями АДС (В.4).

Работы [124, 127] трактуют АДС как дифференциальные уравнения на многообразии. В них предлагаются основанные на такой интерпретации методы.

Отметим еще одно направление исследований за рубежом: анализ численных методов для АДС специальной структуры, например, для систем, удовлетворяющих критерию "ранг - степень". В частности, большое внимание привлек класс систем вида

1 = fl(xi,x2, ■ ■ -,Xk,t), х2 = /2(31,2:2, • •

Xj = fj^Xj—i) Xj, • ■ ■ , i),

О = fk(xk.ut), (В.4Г где 3 < j < к — 1, <9/fc \ (dfk-Л в области определения. АДС имеющие структуру вида (В.41), называются системами в форме Хессенберга и часто встречаются при проведении прикладных исследований [125]. Локальный индекс (индекс пучка матриц (В.23)), глобальный индекс и СН совпадают и равны к. Хессенбергова формы порядка три выглядит следующим образом:

1 = fi(xi,x2lx3,t),

2 = /2(Zi,Z2,i),

О =h{x2,t).

Очень важным является то обстоятельство, что к системам в форме Хессенберга возможно прямое применение многих стандартных неявных разностных схем.

Как уже говорилось выше, в настоящее время исследования АДС породили значительную литературу и не только журнальную. Вышел ряд монографий. АИС и системы интегро - дифференциальных уравнений (ИДУ) пока не привлекли такого пристального внимания, но их изучение ведется рядом ученых.

В частности, сотрудниками Н.А.Сидорова и им самим выполнен большой цикл работ по исследованию интегро - дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной искомой вектор - функции в конечномерном и бесконечномерным случаях с упором на последний (см. например работы [5, 67 - 69, 72, 73, 96] и приводимую там библиографию).

В работе автора [87] была изучена АИС t

A(t)y + J K(t, s)y(s)ds = t e Г, det A(t) = О, (B.42) a в предположении, что rank A(t) = deg [det (AA{t) + K(t, t)] = const Vi G T.

Доказана теорема о существовании и единственности решения и обоснован численный метод с аппроксимацией интеграла по формуле правых прямоугольников.

В работе [17] проведены аналогичные исследования системы (В.42) для случая, когда А{£) = 0 и

В работах [5, 96] основным приемом исследования линейных систем вида (В.1) является применение преобразования Шмидта, с помощью которого исходная задача сводится к ИУ Вольтерра первого рода. Затем на преобразованную задачу налагается ряд условий, в рамках которых доказываются теоремы существования и единственности. В частности предполагается, что тая производная ядра оператора Вольтерра по первому аргументу невырождена на диагонали.

В работах [35, 36, 45, 67 - 69] изучаются уравнения в частных производных не типа Коши - Ковалевской. Вырожденные системы редуцируются к системам Коши - Ковалевской на основе прямых разложений пространств, на которых определены операторные коэффициенты, по элементам полных жордановых наборов (см. [67 - 69]). В монографиях [36, 45] исследования ведутся с более узкими классами задач, но самым существенным образом учитывается специфика исследуемых задач. Техника работ [67 - 69] в принципе применима для изучения АДС с постоянными коэффициентами и АИС типа свертки. Изложение этого можно найти в учебном пособии М.В.Фалалеева [73, с.69]. Там же строятся обобщенные решения начальной задачи для АДС для случая, когда начальный вектор несовместен с системой.

Заканчивая этот краткий обзор, скажем, что опубликовано большое число работ, см. например [3, 13], в которых специалисты из различных областей приложений рассматривают, обычно без обоснования, методы решения АДС.

8. Основные результамы диссертации, выносимые на защи

I. Для линейных АДС вида (В.25) введены понятия общего решения типа Коши и JIPO (оператора, удовлетворяющего соотношению (В.29)). Получены условия разрешимости: доказано, что при достаточной гладкости входных данных JIPO определен на отрезке Г, если на rank K(t, t) = deg ту. отрезке Т определено общее решение системы типа Коши. Верно и обратное утверждение;

II. Получены критерии конечномерности пространств решений и существования JIPO для системы (В.25), так называемые "ранговые признаки I, И". При выполнении рангового признака I пространство решений конечномерно и бесконечномерно, если существует отрезок [«о, А)] Я: Т, в каждой точке которого нарушен ранговый признак I. Выполнения рангового признака II необходимо и достаточно для существования на отрезке Т JIPO и общего решения типа Коши. Указаны способы вычисления коэффициентов JIPO и размерности общего решения;

III. Для линейных АИС вида (В.42) с аналитическими матрицами A(t), Ií(t,s) при предположении существования JIPO указаны условия разрешимости. Показано, что выполнения рангового признака II достаточно для существования на отрезке Т JIPO (обратное неверно). Указаны способы вычисления коэффициентов ЯРО;

IV. Получен ряд признаков разрешимости АДС и АИС на основе критерия "ранг - степень";

V. Введено понятие особой точки линейной АДС (В.25) и дана классификация особых точек. При предположении об аналитичности входных данных установлено, что изолированные точки нарушения ранговых признаков I, II, а также изолированные точки нарушения критерия "ранг - степень", совпадают с особыми точками АДС;

VI. Построено некоммутативное кольцо линейных ИДО и доказано, что при определенных условиях левый обратный оператор принадлежит рассматриваемому кольцу ИДО, если оператор имеет JIPO из кольца;

VII. Показано, что для линейных ненагруженных А ДО нетеров (фредгольмов) индекс совпадает с размерностью ядра, если для АДО определен JIPO. А это влечет интересное следствие: если для каждого из операторов систем вида (В.25) A\¿ с аналитическими матрицами коэффициентов определен JIPO, то размерность пространства решений системы ( П Aij] х = 0 равна сумме £ dj, где dj = dim ker Aij — j=i ' J j=i размерности пространств решений систем A\jx = 0.

VIII. Выделен класс нелинейных АДС,

F0(m), X, Vx, t) = О, teT, (В.43) у которых решение существует в окрестности начальных данных и пучок

Am{z{t)\ + Ami[z(t% т > 1, где г , dF(z(t)) л . , Х1 dF(z(t)) z(t) = (a:<m\t),---,x*(t),x*(t),Vx*, í), - решение системы (В.43), удовлетворяет критерию "ранг - степень" в этой окрестности;

IX. Доказана локальная теорема о существовании решений у квазилинейных АДС, JIPO которых разлагается на квазилинейные множители;

X. Выявлены основные препятствия на пути построения эффективных численных методов и выделены классы АДС, допускающие применение аналогов известных численных методов (Адамса, Рунге - Кутты и т.д.);

XI. Предложен и обоснован метод численного решения линейных АДС, использующий приближенное построение ЯРО;

XII. Результаты изучения АДС применены для исследования простейшей задачи вариационного исчисления с функционалом вида (В.36) при предположении, что на всем отрезке интегрирования нарушается усиленное условие Лежандра. Изучена связь индекса (неразрешенно-сти) уравнения Якоби с неотрицательностью квадратичного функционала;

XIII. Применительно к линейным АДС (В.25) получены условия применимости метода наименьших квадратов;

XIV. Исследован метод регуляризации А.Н.Тихонова, когда поиск решения АДС (В.25) заменяется задачей минимизации функционала, зависящего от некоторого параметра. Получены соответствующие оценки.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Чистяков, Виктор Филимонович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Излагаемая в диссертационной работе теория АДС создавалась под сильным влиянием вычислительной практики: автор участвовал в создании пакета прикладных программ, предназначенного для численного решения и исследования АДС [95], а также в работе над тренажерами для машинистов энергоблоков ТЭС [51]. Трудности, возникшие при попытках применить к решению АДС известные численные методы (Адамса, Рунге - Кутты и т.д.), потребовали провести исследования условий разрешимости АДС, структуры семейств решений, влияния входных возмущений. В ходе исследований выяснилось, что развитые в диссертации методы исследования, основанные на построении регуляризирующих операторов, могут оказаться эффективными и для ряда классов систем уравнений, более сложных в некотором смысле чем АДС.

Такие исследования уже начались. Так в работе [106] исследована АИС со слабой особенность в ядре t

A(t)y + ¡(t- s)~yK(t, s)y(s)ds = t e T, a где det A(t) =0, 7 6 (0,1), причем пучок матриц AA(t) + K(t, t) удовлетворяет критерию "ранг - степень" на отрезке Т. В работе [100] изучена АДС с запаздыванием

A(t)x + B(t)x + C(t)x(t - a(t)) = </>(t), te Т. ■ при предположении, что для оператора A(t)j¿ + B(t) определен JIPO. Известны примеры ИУ Фредгольма I рода, для которых можно указать параметрикс в виде линейного дифференциального оператора. Конечно, регуляризирующие операторы в работах [100], [106] имеют более сложную структуру, чем рассматриваемые в диссертации.

Таким образом, это направление исследований, как представляется автору диссертации, имеет хорошие перспективы развития.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чистяков, Виктор Филимонович, 2002 год

1. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений 1 рода //Методы численного анализа и оптимизации. - Новосибирск, Наука, 1987. - С.263-297.

2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

3. Бахилина И.М., Лернер Д.М. Алгоритм решения дифференциальных уравнений, не приведенных к форме Коши // Изв. ЛЭТИ. 1980. - N 269. - С.80-84.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987. 598 с.

5. Белов И.И. Задача Коши для линейных нагруженных интегро -дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной //Краевые задачи. Иркутск, Иркутский гос.университет, 1997. - С.99-102.

6. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.

7. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. - 158 с.

8. Бояринцев Ю.Е. Об одном разрешающем преобразовании неизвестных в неявной системе обыкновенных дифференциальных уравнений //Алгебро дифференциальные системы и методы их решения. - Новосибирск: Наука, 1993. - С.4-18.

9. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996. -261 с.

10. Бояринцев Ю.Е., Корсуков В.М. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С.140-152.

11. Бояринцев Ю.Е., Бояринцева Т.П. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса // Численныеметоды анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983. - С.127-131.

12. Бояринцев Ю.Е., В.Ф.Чистяков. Алгебро дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. - Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1998.

13. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. -М: Мир, 1977. 207 с.

14. Булатов М.В. О преобразовании алгебро дифференциальных систем уравнений. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. N 3. С.360-372.

15. Булатов М.В. Метод возмущения дифференциально алгебраических систем //Изв. вузов. Математика. - 1997. - N.11. - С.3-9.

16. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра I рода //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. N 4. С.607-610.

17. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Применение коллокационных методов для решения сингулярных систем ОДУ // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука, 1988. - С. 164-170.

18. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2002, т.42, N 4, с.459-470.

19. Буслаев B.C. Вариационное исчисление: Учеб. пособие. Л.: Изд -во Ленингр. ун - та. - 1980. - 288 с.

20. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Издво МГУ, 1969. 374 с.

21. Васильева A.B., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.: Изд- во Моск. ун та, 1989. - 156 с.

22. Виноградов A.M., Красильщик Н.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.- 374 с.

23. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

24. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1978. - 303 с.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

26. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Гос. изд. физ. - мат. лит., 1961 - 228 с.

27. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.- 416 с.

28. Годунов С.К. Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1988.

29. Гудович H.H. О новом методе построения устойчивых разностных схем любого наперед заданного порядка аппроксимации для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 4. С.931-945.

30. Данилов В.А. Двухшаговая схема для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед производными // Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. - С.84-93.

31. Данилов В.А. Об одном критерии регулярности пары матриц. -Тез. 10-ой Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", СЭИ СО РАН,1995, Иркутск, 1995 г, с.276, с.276.

32. Данилов В.А, Чистяков В.Ф. О препятствиях на пути построения эффективных численных методов решения алгебро дифференциальных систем. - Иркутск, 1990 - 54 с. (Препринт / ИрВЦ СО АН СССР; 5).

33. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши Ковалевской // Вычислительные методы и модели прикладной математики (Труды ИМ СО РАН, т.26). Новосибирск: ИМ СО РАН, 1994.- С.42-76.

34. Г.В.Демиденко, Успенский C.B. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1998.

35. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

36. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Гос. изд. физ. мат. лит., 1961. - 659с.

37. Дикин И.И. О непрерывных аналогах метода внутренних точек // Управляемые системы, вып.9. Новосибирск: Ин - т катализа СО АН СССР, 1971. - С.54-64.

38. Еременко В.А. О редукции линейной системы с вырожденной матрицей при производных. Укр.мат. журн. - 1980. - Т.32, N.2. - 168-174.

39. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1970. - 571 с.

40. Задорин А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром // Численные методы механики сплошной среды. 1984. - Т.15, N.1. - С.33-44.

41. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

42. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 542.

43. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, 1988. - 166 с.

44. Корсуков В.М. Некоторые свойства обобщенных обратных матриц // Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. - С. 19-36.

45. Костин В.И., Штыкель Т.Л. Дихотомия матричного спектра в граничных задачах для дифференциально алгебраических уравнений// Тез. III Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98), часть II, Новосибирск, 1998. - С.

46. Куликов Г.Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т.ЗЗ. N 4. С. 522-540.

47. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге - Кутты с нетривиальным предиктором //Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 1998. Т.38. N 1. С. 68-84.

48. Курина Г. А. О линейных гамильтоновых системах, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 1986. -Т.22, N.2. - С.193-198.

49. Лузин H.H. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1940. - N.5. - С.4-66.

50. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности разностных схем. М.: Наука, 1979. - 318 с.

51. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. - 543 с.

52. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра). М.: Физматгиз, 1962. - 300 с.

53. Михайлов В.Б. Численно аналитические методы моделирования аналоговых радиоэлектронных схем на ЭВМ. Докторская диссертация, М.: Филиал института автоматизации проектирования, 1992. - 384 с.

54. Овчаренко В.В., Макарущенко Н.П. О приведении регулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме // Укр.мат.журн. 1986. - Т.38, N.4. - С.520-523.

55. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. - 272 с.

56. Пакет прикладных программ "Численные методы интегрирования сингулярных систем ОДУ"/ Бояринцев Ю. Е., Логинов A.A., Чистяков

57. B.Ф., Федченко З.А.// Алгоритмы и программы. 1986. - N.2(71).1. C.31.

58. Приближенное решение операторных уравнений / Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. М.: Наука, 1969. - 445 с.

59. Поляк Б.Г. Итерационные методы решения некорректных вариационных задач.- В кн.: Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1969,- с. 95-108.

60. Ремпель С., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986.

61. Рождественский Б.П., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1976.- 686 с.

62. Сенди К. Современные методы анализа электрических систем. М.: Энергия, 1971.

63. Серов Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенераторов. М.: Энер-гоиздат, 1981. 408 с.

64. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложуния в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.- 281 с.

65. Сидоров H.A. А-присоединенные множества линейных операторов и их приложения к дифференциальным уравнениям// Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984.-С.169-184.

66. Сидоров H.A., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной //Дифференциальные уравнения, Т.23, N 4, 1987.

67. Сидоров H.A., Романова О.А.,Благодатская Е.Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части //Дифференциальные уравнения, Т.30, N 4, 1994.- С.729-731.

68. Скрипник В.П. Вырождающий параметр и вырожденные уравнения. Лит.мат.сб. - 1980. - Т.20, N.l. - С.165-173.

69. Скрипник В.П. Вырожденные линейные системы. Изв.вузов. Математика. - 1982. - N.3. - С. 62-67.

70. Фалалеев М.В. Обобщенные решения вырожденных интегродиффе-ренциальных уравнений в банаховых пространствах. В кн.: Методы оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992. - С.185-184.

71. Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними. Учебное пособие. Иркутск: Иркутский государственный университет, 1996.- 81 с.

72. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчислений. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962.

73. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990. - 512 с.

74. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

75. Чистяков В.Ф. О решении линейных сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом исключения неизвестных. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1979, с.100-165.

76. Чистяков В.Ф. Об одной теореме существования решений у сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1981 Т. 12, N6.-0. 135-149.

77. Чистяков В.Ф. К методам решения сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. - С.37-65.

78. Чистяков В.Ф. О линеаризации вырожденных систем квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / / Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. -^Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. С.146-157.

79. Чистяков В.Ф. О возмущении квазилинейных систем ОДУ с вырожденной матрицей при производных // Численные методы механики сплошной среды. 1984. - Т.15, N.5. - С.154-157.

80. Чистяков В.Ф. О связи структуры пучка матриц с существованием решений неявной системы ОДУ // Методы оптимизации и исследования операций. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С.194-202.

81. Чистяков В.Ф. О влиянии возмущений входных данных при решении линейных сингулярных систем ОДУ // Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1985. - С.136-146.

82. Чистяков В.Ф. О расширении линейных систем, не разрешенных относительно производных. Иркутск, 1986 - 25 с. (Препринт / ИрВЦ СО АН СССР; 5)

83. Чистяков В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы ОДУ //Дифференциальные уравнения и численные методы . Новосибирск: Наука, 1986. - С.123-128.

84. Чистяков В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / / Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1987. - С.231-239.

85. Чистяков В.Ф. О связи свойств вырожденной задачи вариационного исчисления и уравнения Якоби В кн.: Методы оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992. - С.189-197.

86. Чистяков В.Ф. О нетеровом индексе линейных алгебро дифференциальных систем. - Сиб.мат.журн. - 1993. - Т.34, N 3. - С.209-221.

87. Чистяков В.Ф. Алгебро дифференциальные операторы с конечномерным ядром //Алгебро - дифференциальные системы и методы их решения. - Новосибирск: Наука, 1993. - С.77-89.

88. Чистяков В.Ф. Алгебро дифференциальные операторы с конечномерным ядром. - Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996. - 278 с.

89. Чистяков В.Ф. О понятии индекса алгебро-дифференциальных систем. — В кн.: Уравнения соболевского типа, Челяб.гос.ун-т, Челябинск, 2002, с.156-177.

90. Чистяков В.Ф., Щеглова A.A. Об управляемости алгебро дифференциальных систем // Автоматика и телемеханика, 2002, N 3, с.61-75.

91. Чистяков В.Ф. О разрешимости систем интегральных уравнений типа Вольтерра IV рода // Дифференциальные уравнения; 2002, т.38, N5, с.698-707.

92. Численные методы решения сингулярных систем / Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов A.A. и др. Новосибирск: Наука, 1989. -223 с.

93. Шароглазов B.C. К решению Задачи Коши для линейных систем интегро дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной //Дифференцициальные и интегральные уравнения. - Иркутск, Иркутский гос.университет, 1980. - С.98-106.

94. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: Наука, 1972. - 624 с.

95. Шлапак Ю.Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных.-Укр. мат. журн. 1975. - Т.27, N.1 - С.137-140.

96. Щеглова А.А. Исследование и решение вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью замен переменных.- Сиб.мат.журн. 1995. - Т.Зб, N 6. - С.1436-1445.

97. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем. ДАН СССР, 1968, 182, n.4.

98. Bulatov M.V., Chistyakov V.F. The properties of differential- algebraic systems and their integral analogs. Preprint/September. Memopial University of Newfoundland, 1997. 35 p.

99. Campbell S.L. Singular system of differential equations. San-Francisco: Pitman, 1980.

100. Campbell S.L. Singular system of differential equations 2. San-Francisco: Pitman, 1982. - 234 p.

101. Campbell S.L., Petzold L.R. Canonical forms and solvable singular sys of differential equations // SIAM J. Alg. and Discrete Mehtods. 1983- N 4. P.517-521.

102. Campbell S.L. Non BDF methods for the solution of linear time varying implicit differential equations // Proc. Amer. Contr. Conf. San Diego, Calif.,5-6 June. - 1984. - V.3. - P.1315-1318.

103. Campbell S.L. Least squares completions of nonlinear index three hessenberg DAEs. Proc. IMACS 91, vol.3, 1145-1148.

104. Campbell S.L. Uniqueness of Completions for Linear Time Varying Differential Algebraic Equations. 1992. - Linear algebra and itsapplications. P.55-68.

105. Chistyakov V.F. On the numerical treatment of diffirenial algebraic sysems and their integral analogs. Тезисы конференции SciCADE-95, Stanford university, March 28-April 1,1995, p.82.

106. Ghistyakov V.F. On the numerical treatment of algebraic differential systems. - Прикладная и вычислительная математика и приложения (международная конференция). - Novosibirsk, June 20-24, 1995.

107. Eich Е., Hanke М. Regularization Methods for Constrained Mechanical Multibody Systems. Berlin: Fachbereich Math, der Hamboldt-Univ. -(Preprint; 91-8) - 1991.

108. Gear C.W., Petzold L.R. Differential/algebriac systems and matrix pencils // Lect. Notes. Math. 1983. - N 973. - P. 75-89.

109. Gear C.W., Petzold L.R. ODE methods for the solution of differential- algebraic systems // SIAM J. on Number. Anal. 1984. - V.21, N 4. -P.716-728.

110. Gear C.W. Differential algebraic equations, indices, and integral algebraic equations // SIAM J. on Numer. Anal. - 1990. - V.27, N 6. - P. 1527-1534.

111. Gear C.W. Invariants and numerical methods for ODEs. 1992. -Physica D. - P.303-310.

112. Griepentrog E., Maerz R. Differential algebriac equations and their namerical treatment. - Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlags gesellschaft, 1986.- 220 p.

113. Hairer E., Lubich C., Roche M. The numerical solution of differential- algebraic system by Runge Kutta methods, Report CH-1211, Dept. de Mathematiques, Universite de Geneve, Switzerland, 1988.

114. Hanke M. On the regularization of index 2 differential algebriac equations. - Berlin. -1986. - (Preprint/Humboldt- Univ., Sekt. Math.;137).

115. Hanke M., Maerdimaee A. Eigenwertprobleme bei linearen algebro -differential gleichugen. Berlin. - 1988. - (Preprint/Humbold-Univ., Sekt. Math. ;174)

116. Leimkuhler В., Petzold L.R., Gear C.W. Epproximation methods for the consistent intialization of differential algebraic equations // SIAM J. on Numer. Anal. - 1991. - V.28, N 1. - P. 205-226.

117. Maerz R. Multistep methods for initial value problems in implict differential algebriac equations // Beitrage zur Num. Mathem. - 1984.- N 12. P. 107-123.

118. Maerz R. On tractability with index 2. Berlin. - 1986.- (Preprint / Humbold-Univ., Sekt. Math.; 109).

119. Maerz R. Progress in handling differential algebraic equations. // Annals of Numerical Mathematics - 1994. -N 1. -P. 279-292.

120. Numerical Solution of Initial Value Problems in Differential -Algebraic Equations / Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. (Classics in applied mathematics; 14). - Philadelphia: SIAM, 1996. - 256 p.

121. Petzold L.R. Differential/algebraic equations are not ODE's // SIAM J. on Scient. and Statist. Computing. 1982. - v.3., N 3. - P. 367-384.

122. Rheinboldt W.C. Differntial algebraic systems as differntial equations on manifolds // Math. Comp. - 1984. - V. 43, N 168. - P. 473-482.

123. Sibuya Jr.Y. Some Global Properties of Matrices of Funktion of one Veriable. Math.Ann., 1965, r,161.N 1, p.67-77.

124. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal, Math.System Theory, 4. 1970. - p.334-339.

125. Wilkinson J.H. Note on the practical significance of the Drazin inverse // Nat. Phys. Lab., Rept. NAC. 1979. - N 13. - 18 p.