Разработка асимптотических методов исследования разрывных систем при случайных воздействиях и построение оптимальных нелинейных алгоритмов фильтрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.02, кандидат физико-математических наук Дракунов, Сергей Васильевич

• Дракунов, Сергей Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дракунов, Сергей Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.

1.1. Обзор методов теории разрывных систем . g

1.2. Постановка задачи анализа разрывной системы при наличии быстрых случайных возмущений . ix

1.3. Постановка задачи о корректности решения-проблемы фильтрации

ГЛАВА II. УСРЕДНЕНИЕ ГВ~РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМАХ.

2.1. Классическая теория усреднения, когда быстрое движение есть случайный процесс.

2.2. Принцип усреднения в динамических системах с правой частью, являющейся разрывной функцией состояния

2.3. Стохастическая регуляризация систем с разрывной правой частью

ГЛАВА III. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ РАЗРЫВНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ БЛИЗКИХ К БЕЛОМУ ШУМУ

3.1. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии быстрых случайных возмущений с большой амплитудой

3.2. Постановка задачи анализа разрывных систем в случае стремления процесса в аргументе разрывной функции к белому шуму. 4Q

- а

3.3 Асимптотика решения разрывной системы при стремлении шума в аргументе разрывной функции к белому.

ГЛАВА 1У. НЕКОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ

ОТНОСИТЕЛЬНО СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.

4.1 Некорректность

4.2 Регуляризация задачи

4.3 Синтез последовательности фильтров достигающей предельной точности

ГЛАВА У. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

5.1 Постановка задачи синтеза нелинейных асимптотических фильтров

5.2 Фильтр с разрывной правой частью

5.3 Применение разрывных фильтров для решения задачи фильтрации при вырождении шумов.и для некоторых задач оценки параметров

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка асимптотических методов исследования разрывных систем при случайных воздействиях и построение оптимальных нелинейных алгоритмов фильтрации»

Одной из профилирующих тенденций развития современной теории управления является переход от традиционных линейных методов управления к изучению нелинейных систем. Этот переход происходит не только благодаря новым возможностям открывающимся для улучшения управления системами при уточнении их моделей, что, как правило, связано с отказом от линейности этих моделей, но и с применением нелинейных алгоритмов управления, фильтрации и идентификации.

Одним из методов нелинейного управления оказавшимся весьма эффективным при решении задач синтеза, достижения инвариантности к изменению свойств объекта и возмущениям, декомпозиции, фильтрации и других является применение разрывных управлений.

Основой большинства алгоритмов использующих разрывные управляющие воздействия являются скользящие режимы [I - 3J, т.е. организация такого вида движения системы, когда фазовая траектория, начиная с некоторого момента времени лежит на некотором многообразии в пространстве состояний системы,на котором претерпевает разрыв управление.

Наличие быстрых случайных возмущений делало применение этих алгоритмов, в известной степени, проблематичным. Дело в том, что при увеличении "скорости" помехи в разрывной системе все чаще происходит "срыв" скользящего режима, а как указывалось, именно свойства этого вида движения являются наиболее привлекательными и побуждают к созданию систем с разрывными управлениями.

Исходя из вышеизложенного, актуальной становится задача исследования таких систем при быстрой случайной помехе. Выяснилось, что наличие подобных возмущений наделяет разрывную систему рядом новых свойств. Во-первых, помехи с "конечной" амплитудой оказываются регуляризирующим фактором, что приведо к созданию стохастической регуляризации разрывных систем £4]; во-вторых, рост амплитуды помехи, т.е. приближение вё в некотором смысле к белому шуму, влечет стремление решения разрывной системы к решению системы стохастических дифференциальных уравнений Ито, параметры которой зависят определенным образом от характеристик допредельного возмущения ["5 - б]. Это последнее обстоятельство привело к мысли,что решение некоторых задач,связанных с получением информации об объекте в присутствии белых шумов может существенно зависеть от асимптотического способа перехода к таким помехам. В результате возникла проблема исследования на корректность задачи фильтрации. Как оказалось, эта задача является некорректно поставленной относительно малых вариаций условий в смысле топологии слабой сходимости мер соответствующих случайным процессам на пространствах их траекторий. Регуляризация этой задачи в классе диффузионных марковских процессов ставит новую проблему синтеза асимптотических фильтров достигающих оптимальной точности фильтрации.

В работе рассмотрена эта проблема для случая линейного объекта. Далю в такой ситуации структура асимптотического фильтра оказывается нелинейной,и для охвата как можно более широкого клас са возмущений снова приходим к необходимости рассмотрения систем с разрывной правой частью, которые анализируются указанными выше методами [5 - 7J.

Диссертация посвящена разработке асимптотических методов исследования динамических систем с разрывной правой частью при наличии случайных воздействий, анализу на корректность задачи фильтрации и ее регуляризации в классе диффузионных процессов, а также вопросам синтеза асимптотических разрывных фильтров.

В главе I рассмотрен математический аппарат теории разрывных систем, используемый в дальнейшем и постановка задач. Это,прежде всего, вопросы существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Поскольку, в классическом смысле эти решения существуют только до момента попадания на многообразие разрыва, в то время, как реальные объекты часто продолжают движение таким образом, что их вектор состояния остается на этом многообразии (движутся в скользящем режиме), то для построения математических моделей таких процессов применяют методы регуляризации. Ставятся задачи асимптотического исследования разрывных систем при увеличении "скорости" случайного возмущения. Рассмотрены, кроме того, предпосылки постановки вопроса о корректности задачи фильтрации относительно слабой сходимости.

Глава 2 посвящена исследованию принципа усреднения в разрывных системах. Принцип усреднения рассматривается как один из возможных способов обоснования.редукции математических моделей. Приведен обзор некоторых результатов классической теории усреднения, когда быстрое движение есть случайный процесс. Ставится и решается задача об усреднении в разрывной системе. На основе результата об асимптотическом поведении решений разрывных систем предложен новый метод их регуляризации.

В главе 3 проводится асимптотический анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений с правой частью, являющейся раз рывной функцией состояния при возмущениях, близких к белому шуму. Показано, что в этом случае мера, соответствующая решению разрывной системы, как случайному процессу в пространстве С [оут] , слабо сходится к мере порожденной решением системы стохастических дифференциальных уравнений Ито.

В главе 4 обсуждаются вопросы корректности постановки задачи фильтрации. Приведены примеры, показывающиёЧёорректность этой задачи относительно топологии слабой сходимости распределений в функциональных пространствах Ссо,т] и Я) [otT]

- '?

Проводится регуляризация этой задачи в классе диффузионных марковских процессов. Доказана теорема о предельных свойствах решения задачи фильтрации. Рассмотрены необходимые и достаточные условия корректности в данном классе. Кроме того, для случая линейной системы строится асимптотический фильтр, позволяющий достичь оптимальной точности в предельной регуляризованной задаче.

Глава 5 посвящена общей постановке задачи синтеза асимптотического фильтра для линейной системы. Исследуются на основе результатов глав 3 и 4 фильтры с разрывной правой частью и рассматри ваются конкретные их примеры.

Заключение диссертации по теме «Теория систем, теория автоматического регулирования и управления, системный анализ», Дракунов, Сергей Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение заметим, что к необходимости рассмотрения расширенного класса динамических систем, включающего системы с правой частью, являющейся разрывной функцией состояния, приводят многие задачи, например, оптимального управления или задачи управления объектами, исполнительные устройства которых могут функционировать исключительно в ключевом режиме [з]. Кроме того, и в классических задачах теории управления таких, как задачи стабилизации, достижения инвариантности к возмущениям, декомпозиции, методы использования разрывных алгоритмов часто оказываются весьма эффективными. С другой стороны, все реальные системы управления, в том числе и построенные на принципах, упомянутых выше,функционируют в условиях неопределенности. Эта неопределенность проявляется как в несоответствиях математических моделей и реального объекта, так и в непредсказуемых возмущениях, действующих на систему со стороны внешней среды. Учесть эти возмущения и постараться уменьшить их влияние, а значит и повысить качество управления позволяют вероятностные модели.

В работе рассмотрен один из аспектов этой большой проблемы. А именно, изучается с помощью асимптотических методов влияние быстрой помехи на разрывную систему. Такая задача была тем более актуальной, что существовало некоторое противоречие между известным свойством инвариантности скользящего режима к ограниченному возмущению [2,3J , с одной стороны, и в то же время разрушению этого вида движения, в присутствии описанных выше быстрых помех даже при малой их интенсивности - с другой. В главах 2 и 3 решается эта задача в классе возмущений, которые являются случайными процессами со свойством сильного перемешивания.

Другой круг вопросов, связанных с управлением в условиях неопределенности изученный в работе, касается несоответствия построенной вероятностной модели и реального процесса. Малость этого несоответствия, понимаемого в смысле топологии слабой сходимости вероятностных мер, оказывается недостаточной для малого различия решений такой важной задачи как фильтрация, т.е. оценка вектора состояния динамической системы (или некоторой функции от него). Возникающая вследствие этого некорректность оборачивается принципиальной возможностью синтеза гораздо более точной оценки, чем та, которая предсказывается предельной моделью.

В связи с этим фактом, появляется ряд новых задач, главной из которых является задача синтеза асимптотически оптимального фильтра. В работе решена эта задача в расширенном классе алгорит мов фильтрации, включающего системы с разрывной правой частью.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дракунов, Сергей Васильевич, 1985 год

1. Теория систем с переменной структурой./Под редакцией С.В. Емельянова. - М.: Наука, 1970.

2. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974.

3. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.

4. Уткин В.И., Дракунов С.В. Стохастическая регуляризация систем с разрывными управлениями. Доклады АН СССР, 1983, т.272, № 5, с. 1069-1072.

5. Дракунов С.В. Адаптивный квазиоптимальный фильтр с разрывными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1983, №9, с. 76-86.

6. Дракунов С.В. Адаптивный наблюдатель состояния. В сб.: Методы синтеза систем с разрывными управлениями на скользящих режимах. Институт проблем управления, Москва, 1983, с. 11-24.

7. Дракунов С.В. Идентификаторы состояния с разрывными параметрами. В сб.: Управление динамическими системами при неполной информации. НЭТИ, Новосибирск, 1983.

8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Математический сборник, I960, т. 51, № I.

9. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

10. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука,1977.

11. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

12. Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновское движение. Сб. ст. М.: ОНТИ, 1936, с. 287.13. 'иЛте^-г V. ьрлса . fi UlM,

13. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем, ЖЭТФ, 1933, т. 3, № 3.

14. Прохоров Ю.В. Распределения вероятностей в функциональных пространствах. Успехи математических наук, 1953, т. 8, вып. 3, с. 165-167.

15. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей и её применения. 1,2, (1956), с. 177-238.17. tU. A* Ci*v-aAJCa.t+eJL p^^tCp-Pc fat

16. QVitoUu I tUdobe»^ . vJld.1. JUcdL \oci£b% > i35ijQ>.

17. Тихонов А.И., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 20-е изд. М.: Наука, 1979.

18. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.

19. Гихман И.И. По поводу одной теоремы Н.Н.Боголюбова. Украинский математический журнал, 1952, т. 4, №2, с. 215-218.

20. Красносельский М.А., Крейн С.Г. 0 принципе усреднения в нелинейной механике. Успехи математических наук, 1955, т. 10,3, с. 147-152.

21. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциаль ных уравнений. Успехи математических наук. 1962, т.17, № 6, с. 3-126.

22. Аносов Д.В. Осреднение в системах обыкновенных дифференцаиль-ных уравнений с быстро колеблющимися решениями. Известия

23. АН СССР. Серия "Математика", I960, т. 24, № 5, с.721-742.

24. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией. Теория вероятностей и ее применения, 1963, т. 8, № I, с. 3-25.

25. Хасьминский Р.З. О случайных процессах определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром. Теория вероятностей и ее применения, 1966, т. II, № 2, с. 240-259.

26. Хасьминский Р.З. Предельная теорема для решений дифферен -циальных уравнений со случайной правой частью. Теория вероятностей и ее применения, 1966, т. II, № 3, с. 444-462.

27. Хасьминский Р.З. О принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений Ито. К^Лол.и^Гс.а^ fн > Лъ 5 р. 2о>о-2?э.

28. EE TVcmsoefious ^ v. 2S-J 49go , p.

29. T+6 К . Ou a s+ocbas + ie fu + e%hal e-cfua+io*. Ptoe.Jap. 22 ) p.32-ZS.

30. Стратонович P.JI. Условные марковские процессы и их применение. М.: Изд-во МГУ, 1966.

31. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

32. Веретенников А.Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений. Математический сборник, 1980, т. 111(153), № 3, 434-452.

33. Калман Р.Е., Бьюси Р.С. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания (перевод с англ.), Техническая механика, т. 83, сер. Д1, 1961, с. 123.

34. Я)оЫ{ь W. ^(ии certains той ve. alecntoiirsot/'soonf/'Kus ^ Skаио/. A ?

35. Уткин В.И. Принципы идентификации на скользящих режимах. Доклады АН СССР, 1981, т. 257, № 3, с. 558-561.

36. Дракунов С.В. Применение разрывного фильтра для управления двигателем постоянного тока. В сб.: Методы синтеза систем с разрывными управлениями на скользящих режимах. Институт проблем управления, Москва, 1983, с. 89-93.

37. Дракунов С.В.,Уткин В.И.Адаптивные квазиоптимальные алгоритмы фильтрации и идентификации в классе разрывных динамических систем.Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применение", Ленинград, 1983.

38. Уткин В.И.,Дракунов С.В. и др. Иерархический принцип декомпозиции систем управления, основанный на разделении движений. Труды 9 го конгресса ИФАК, Будапешт, ВНР, 1984.