Методы декомпозиции разнотемповых систем с релейными управлениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Фридман, Леонид Моисеевич

• Фридман, Леонид Моисеевич
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Фридман, Леонид Моисеевич

0.1 ВВЕДЕНИЕ.

1 РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ В СИСТЕМАХ С МАЛОИНЕРЦИОННЫМИ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМИ УСТРОЙСТВАМИ

1.1 Декомпозиция задачи исследования устойчивости сингулярно возмущенных релейных систем со скольжением второго порядка.

1.2 Интегральные многообразия медленных движений в сингулярно возмущенных системах со скольжением второго порядка

1.3 Анализ колебаний систем с алгоритмами на скользящих режимах, имеющих малоинерционные исполнительные устройства

1.4 Влияние инерционности измерительных устройств на поведение систем управления со скользящими режимами.

1.5 Модальное управление скольжением в системах с малоинерционными исполнительными устройствами.

1.6 Оптимальная стабилизация движений в скользящем режиме в системах с малоинерционными исполнительными устройствами

2 БЫСТРЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И УСРЕДНЕНИЕ В СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМАХ

С РЕЛЕЙНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ И СКОЛЬЗЯЩИЕ

РЕЖИМЫ

2.1 Быстрые периодические решения и усреднение в сингулярно возмущенных релейных системах.

2.2 Анализ усредненных уравнений в системах со скользящими режимами, имеющих малоинерционные исполнительные устройства.

2.3 Модальное управление усредненными уравнениями с использованием динамики исполнительных устройств.

3 МЕДЛЕННЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ РАЗ-НОТЕМПОВЫХ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

3.1 Медленные периодические движения без внутренних скользящих режимов в разнотемповых релейных системах управления

3.2 Медленные периодические движения с внутренними скользящими режимами в разнотемповых релейных системах управления

4 РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ В РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

4.1 Установившиеся режимы в скалярных разрывных системах с запаздыванием.

4.2 Устойчивость установившихся режимов в скалярных разрывных системах с запаздыванием.

4.3 Структурная устойчивость установившихся режимов в скалярных разрывных системах с запаздыванием. Периодический случай.

4.4 Алгоритмы стабилизации скалярных разрывных систем с запаздыванием.

4.5 Установившиеся режимы второго порядка.

4.6 Установившиеся режимы в векторных системах с разрывом и запаздыванием.

4.7 Разделение движений в разнотепмовых релейных системах управления с запаздыванием.

5 ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫМИ ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

5.1 Оценка параметров системы управления составом отработавших газов бензинового двигателя

5.2 Демпфирование колебаний упругих "пальцев" захвата глубоководного аппарата AMADEUS.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы декомпозиции разнотемповых систем с релейными управлениями»

Для достижения высокой точности управления объектами часто используются релейные управления, системы с переменной структурой, бинарные системы управления. Основные идеи теории таких систем заложены в работах A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э. Хайкина [5], Я. 3. Цыпкина [65], C.B. Емельянова [25],[26], В.й. Уткина [51],[52].

Увеличение сложности современных систем управления, появление более эффективных регуляторов-ключей, позволяющих переключать управление с высокой частотой, приводит к необходимости построения недорогих релейных систем регулирования, надежно работающих в сложных условиях. Однако высокий порядок уравнений, описывающих поведение релейных систем управления, является серьезным препятствием для их анализа и синтеза, а повышение требований к точности систем управления привело к необходимости учета влияния дополнительной динамики на поведение таких систем. С другой стороны, наличие в системах управления различных динамических неидеальностей приводит к потере точности, возникновению "болтанки" (chettering), а зачастую и к их разрушению [26], [125],[101].

Появление систем управления, имеющих только датчики, которые с запаздыванием измеряют лишь знак отклонения измеряемой величины или исполнительные устройства которых обладают запаздыванием, сделало актуальной разработку методов анализа, декомпозиции и синтеза релейных систем с запаздыванием.

Математическим аппаратом для разделения движений в системах управления служат теоремы теории сингулярных возмущений, которые не выполняются для систем с релейными управлениями, и, следовательно, для декомпозиции релейных систем управления необходима разработка специального аппарата.

Целью работы является разработка методов декомпозиции разнотемпо-вых релейных систем и релейных систем с запаздыванием и применение этих методов для синтеза алгоритмов релейного управления.

Рассмотрим особенности основных технических систем, изучение которых стало отправной точкой для создания предлагаемых в работе методов.

Системы с инерционными исполнительными устройствами. Такими устройствами могут быть электрические двигатели с малыми постоянными времени при управлении технологическими процессами [103], жесткость конструкций летательных аппаратов [104]. Особенностью таких систем (рис.0.1) является то, что в них на объект вместо релейного управления подаются непрерывные координаты вектора, описывающего поведение исполнительных устройств. Предположим, что исходная система управления имеет относительную степень п по отношению к выходу в смысле йзидори [78], а ее исполнительные устройства имеют относительную степень га.

ОБЪЕКТ (я, х) 8

ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО и

Рис. 0.1

Тогда полная система, учитывающая наличие в системе инерционных исполнительных устройств, является сингулярно возмущенной (роль малого параметра играет постоянная времени исполнительных устройств), имеет относительную степень т 4- п по отношению к выходу и в ней могут возникать лишь скользящие режимы порядка т + п ([27],[55]). В случае, когда релейное управление синтезировано без учета динамики исполнительных устройств и ориентировано на существование в укороченной системе устойчивых скользящих режимов первого порядка, для полных сингулярно возмущенных моделей систем выполняются условия динамической неопределенности, которые означают, что в полной модели системы устойчивые скользящие режимы первого порядка отсутствуют, а в укороченной выполняются достаточные условия их существования.

Системы с инерционными измерительными устройствами. Особенностью таких систем является то, что на вход реле подается не координата выхода объекта управления, а координата выхода инерционного исполнительного устройства (рис. 0.2). Предположим, что исходная система управления имеет относительную степень п по отношению к выходу, а ее измерительные устройства имеют относительную степень т. Тогда полная система, учитывающая наличие в системе инерционных измерительных устройств, является сингулярно возмущенной релейной системой

СВРС) (роль малого параметра играет постоянная времени измерительных устройств), имеет относительную степень га 4- п по отношению к выходу и в ней могут возникать лишь скользящие режимы порядка. и

Рис. 0.2

В случае, когда релейное управление синтезировано без учета динамики измерительных устройств и ориентировано на существование в укороченной системе устойчивых скользящих режимов первого порядка, для полных сингулярно возмущенных моделей систем выполняются условия динамической неопределенности.

Особенностью некоторых систем с релейными управлениями является наличие запаздывания. Можно выделить две основных причины появления запаздывания при синтезе алгоритмов релейного управления.

Системы с запаздыванием в измерениях. Такими системами являются, например, системы управления впрыском топлива [111],[74], в которых датчик измеряет лишь знак отклонения параметров выхлопных газов от задания с запаздыванием 6-7 рабочих циклов двигателя и основным рабочим режимом являются колебания этих параметров в окрестности заданных значений.

Системы с запаздыванием исполнительных устройств. В задачах управления пальцами глубоководного робота [72] измерения отклонения кончиков пальцев происходят без запаздывания, само управляющее воздействие поступает на кончики пальцев с большим запаздыванием.

Вопрос об описании и свойствах решений релейных систем с запаздыванием (РСЗ) и существовании аналогии в них со скользящими режимами до последнего времени оставался открытым, й. Андре и П. Зайбертом [66] показано, что даже наличие малого запаздывания не позволяет реализовать скользящие движения по поверхности разрыва, и вместо него в малой окрестности поверхности разрыва возникают устойчивые периодические движения. В монографии В.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [107] дано определение решений таких систем, из которого следует, что запаздывания не позволяют реализовать идеальное скольжение. В цикле работ Дж.Малле - Парре и Р.Нюсбаума (см., например [109],[110] ) изучены частотные свойства решений РСЗ. В статье Е.А. Асарина и Р.Н. Измайлова [9] смоделированы периодические движения РСЗ с несколькими реле. Поэтому, наряду с разработкой методов декомпозиции СВРС, в работе проведен анализ поведения РСЗ, позволивший показать , что основным видом устойчивых движений в РСЗ являются установившиеся режимы с постоянной частотой, которые обладают основными свойствами скользящих режимов, и предложены некоторые алгоритмы синтеза, основанные на осцилляционных свойствах решений РСЗ.

В то же время в реальных РСЗ всегда есть исполнительные, измерительные и другие устройства, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями с малыми параметрами при производных, соответствующими постоянным времени этих устройств, и, следовательно, полная модель поведения таких систем описывается при помощи СВРС. В системах управления впрыском топлива [99] СВРС могут описывать, например, влияние двигателя автомобиля на работу инжектора. В системе управления пальцами глубоководного робота [72] СВРС могут описывать поведение упругих элементов конструкции.

Еще одним классом технических систем, в которых возникает необходимость в изучении СВРС, является задача управления системами, содержащие элементы с сухим трением [67].

Такими системами также являются гироскопические системы с сухим трением в осях [31], [16], системы управления лезвием турбин, на основания крепления которых действуют силы сухого трения [88]. В этих системах происходят быстрые колебательные движения. Другой задачей, приводящей к изучению СВРС, является задача об учете влияния дополнительной динамики на поведение колебательных систем с внутренними скользящими режимами. В качестве модельной задачи, поясняющей характер движений в таких системах, рассмотрим систему связанных маятников, один из которых имеет контакт с сухим трением с наклонным равномерно вращающимся диском. К необходимости исследования СВРС приводит задача об изучении возмущений, вносимых дополнительным маятником, упруго связанным с маятником, лежащим на вращающемся диске [91] (рис. 0.3).

Перечислим некоторые другие аспекты, делающие актуальным исследование СВРС.

Развитие теории сингулярных возмущений. Разработка методов разделения движений для систем с релейными управлениями является актуальной и с точки зрения теории сингулярных возмущений. Особенностью СВРС является то, что для них не могут применяться стандартные методы декомпозиции гладких сингулярно возмущенных систем, основанные на их спектральных свойствах, гладкой зависимости решений от начальных данных м параметров и возможности разложения в ряды правых частей дифференциальных уравнений [50],[18],[29],[48], [43],[44],[7], [34].

Для СВРС с конечным числом переключений для конечного интервала времени B.JI. Пасиковым [42] был доказан аналог теоремы А.Н, Тихонова [50]. В.й. Уткиным [52] методом регуляризации была обосновано свойство грубости скользящих режимов. Метод пограничных функций распространен Т.А. Мельник [33] на некоторые решения СВРС с конечным числом переключений. Б. Хек [102] было показано, что при выполнении некоторых естественных условий для СВРС с идеальными скользящими режимами величина эквивалентного управления для полной системы стремится к величине эквивалентного управления для доопределения движений в скользящем режиме в укороченной системе. Задачи синтеза для СВРС с идеальными скользящими режимами решались A.C. Востриковым, В.И. Уткиным и Г А. Французовой [20].

Принципиальное отличие технических задач, рассматриваемых в данной работе состоит в том, что число переключений в них БЕСКОНЕЧНО. Для систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами это происходит в силу того, что для них выполняются условия динамической неопределенности, а для релейных систем с запаздыванием и рассматриваемых классов систем с сухим трением тем, что основным видом устойчивых движений являются периодические.

Развитие теории систем с разрывной правой частью. Одной из важных задач теории систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью является задача о доопределении решений уравнений в скользящем режиме. Наиболее распространенными определениями являются доопределение решений в смысле А. Ф. Филиппова [54] и по методу эквивалентного управления, подробно изложенному в [52].

Физический подход" к доопределению решений был, по - видимому, впервые предложен Андроновым, Хайкиным и Виттом в [5]. Согласно этому подходу, для доопределения решения системы в скользящем режиме необходимо анализировать модели, в которых учитываются имеющиеся в системе малые неидеальности, и устремить значения малых параметров к нулю. В работе М.А. Айзермана и Е.С. Пятницкого [1] описано множество всех возможных доопределений разрывной системы, при которых в малой окрестности поверхности разрыва разрывные управления заменяются такими, при которых решения системы определяются однозначно, а радиус окрестности стремится к нулю.

Предельные переходы для доопределения релейных систем, при которых реле обладает малым запаздыванием или гистерезисом, проделаны й. Андре и П. Зайбертом [66]. В их работе показано, что в этих случаях в малой окрестности поверхности разрыва возникает устойчивые периодические решения, а усредненные вдоль этих решений уравнения совпадают с доопределением в смысле А. Ф. Филиппова. Таким образом, снгулярные предельные переходы представляют интерес как физически обснованный метод регуляризации задачи о доопределении разрывных систем в скользящем режиме.

Расширение возможностей синтеза релейных систем, основанных на наличии в них разнотемповых движений. Создание методов декомпозиции СВРС, позволяющих заменить исследование релейных анализом гладких систем, даст возможность применения известных методов синтеза сингулярно возмущенных систем, подробно описанных в монографиях и обзорах Р.О'Молли [108], П.Кокотовича, Дж.О'Рейли и X. Халила[105], А.Б.Васильевой, М.Г. Дмитриева [19], A.A. Первозванского и В.Г. Гайц-гори [41], В.А. Соболева [47].

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в том, что для разнотемповых РЕЛЕЙНЫХ систем и РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ разработаны методы декомпозиции, позволяющие осуществлять не только разделение движений по темпам, но и решать задачи анализа и синтеза систем управления, учитывал влияние дополнительной динамики на их поведение. Полученные результаты являются новыми.

Разработаны следующие методы декомпозиции СВРС

• для СВРС со скольжением второго порядка найдены достаточные условия декомпозиции задачи исследования устойчивости по первому приближению, найдены достаточные условия существования и предложен алгоритм нахождения интегрального многообразия медленных движений;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго найдены достаточные условия существования быстрых периодических решений, предложен алгоритм их нахождения в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений;

• найдены достаточные условия существования медленных периодических решений, содержащих скачки в окрестности моментов переключения управления, предложен алгоритм нахождения медленных периодических решений по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений; показано, что особенностью систем с внутренними скользящими режимами является то, что в точках срыва из области скользящего режима пограничные функции нулевого порядка равны нулю;

• для разнотемповых многомерных РСЗ найдены достаточные условия существования периодических решений (установившихся режимов нулевой частоты), содержащие скачки в окрестности моментов переключения управления; предложен алгоритм нахождения установившихся режимов нулевой частоты по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений.

Проведен анализ поведения релейных систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами

• в СВРС со скольжением второго порядка исследовано соотношение между устойчивостью объекта управления, устойчивостью исполнительных устройств и экспоненциальным убыванием амплитуды колебаний в окрестности поверхности разрыва (отсутствием болтанки);

• предложен алгоритм коррекции уравнений метода эквивалентного упра] ления для описания движений в области скольжения в укороченных системах, позволяющий учитывать наличие в системе малоинерционных исполнительных и измерительных устройств;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго предложен алгоритм коррекции усредненных уравнений, соответствующих уравнениям сколь жения, позволяющий учитывать наличие в системе малоинерционных исполнительных и измерительных устройств;

• показано, что поведение решений РСЗ характеризуется одним скалярным параметром частотой - числом переключений на интервале, предшествующем смене знака, длина которого равна запаздыванию; введено понятие установившихся режимов (УР) - решений с постоянной частотой; показано, что в автономном случае УР являются периодическими;

• показано, что все решения скалярных РСЗ (СРСЗ) через конечное время совпадают с одним из установившихся режимов, а само множество УР обладает всеми основными свойствами скользящих режимов; доказано, что в СРСЗ устойчивыми, но не асимптотически, являются лишь установившиеся режимы с нулевой частоты, а остальные УР неустойчивы; исследована структурная устойчивость СРСЗ при наличии периодических возмущений;

• введено понятие частоты и установившихся режимов в РСЗ второго порядка; найдены условия, при выполнении которых УР с нулевой частотой являются орбитально асимптотически устойчивыми;

На основе разработанных методов декомпозиции и проведенного анализа

• для систем со скольжением второго порядка, в которых исполнительные устройства имеют несколько входов и выходов, предложен алгоритм синтеза, позволяющий решать задачи модального управления и оптимальной стабилизации для уравнений медленных движений, соответствующих уравнениям скольжения;

• для систем с порядком скольжения выше второго, в которых исполнительные устройства имеют несколько входов и выходов, предложен метод решения задачи управления модами усредненных уравнений, соответствующих уравнениям скольжения;

• предложены алгоритмы стабилизации систем при помощи релейного управления с запаздыванием.

Практическое значение работы. Разработанные методы декомпозиции СВРС позволяют

• использовать модели меньшего порядка при анализе и синтезе релейных систем управления;

• повысить точность систем с релейными управлениями за счет использования предлагаемых методов коррекции уравнений скольжения;

• реализовать предлагаемые алгоритмы управления, учитывающие наличие в них дополнительной динамики;

• использовать предлагаемые алгоритмы управления, учитывающие наличие запаздывания ;

• примененить предложенные методы для анализа поведения разнотем-повых систем с сухим трением.

Внедрение результатов работы для оценки параметров работы инжектора и разработки электронного блока управления двигателем проведено в ходе выполнения договоров 3122/92 и 924/94 Поволжским отделением Российской Инженерной Академии на Волжском автомобильном заводе. В рамках проекта европейского экономического сообщества MAST AMADEUS MAS2-CT91-0016 алгоритмы управления релейными системами с запаздыванием применены при создании блока управления «пальцами» глубоководного аппарата AMADEUS. Материалы работы использованы в учебном процессе кафедр высшей математики и прикладной математики Самарской государственной архитектурно -строительной академии.

Методы исследования. В настоящей работе предложены методы анализа и синтеза разнотемповых систем с релейными управлениями, основанные на существовании

• устойчивого интегрального мнообразия медленных движений (часть 1), следующем из специфических оценок экспоненциального убывания релейных систем со скольжением второго порядка (см. Д.В.Аносов [6] и §1-1);

• быстрых периодических решений СВРС, условиях устойчивости, алгоритме асимптотического разложения быстрого периодического решения, обоснование которых проводится при помощи метода точечных отображений [5],[37];

• медленных периодических решений СВРС, и условиях устойчивости по первому приближению, алгоритме асимптотического нахождения их асимптотиеских разложений , основанных на теореме А.Н. Тихонова [50], и методе пограничных функций [18].

Кроме того, проведено численное моделирование релейных систем при помощи пакетов аналитических вычислений МАРЬЕ и Б18Со.

Структура работы. Работа состоит из введния, пяти глав и заключения.

Первая глава посвящена анализу и синтезу систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами, полная модель которых описывается СВРС со скользящими режимами второго порядка. В первой части главы разработан математический аппарат для исследования таких систем. В §1.1 показано, что из условий условий

I) экспоненциального убывания амплитуды колебаний к области скольжения второго порядка;

II) устойчивости по первому приближению, быстрых движений в гладкой системе, описывающей движения в скользящем режиме второго порядка;

Ш) устойчивости по первому приближению медленных движений в гладкой системе, описывающей движения в скользящем режиме второго порядка следует равномерная асимптотическая устойчивость полной системы. В §1.2 показано, что при выполнении (1),(и) интегральное многообразие медленных движений гладкой сингулярно возмущенной системы, описывающей движения в скользящем режиме второго порядка, является интегральным многообразием исходной системы. Предложен алгоритм нахождения асимптотических разложений этого многообразия по степеням малого параметра. Во второй части первой главы этот математический аппарат для анализа поведения релейных систем малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами. В §1.3 проведен анализ поведения систем с алгоритмами на скользящих режимах при наличии малоинерционных исполнительных устройств. Исследовано соотношение между условиями устойчивости движений объекта и исполнительных устройств и условиями устойчивости системы в целом. Показано, что доопределение укороченной модели системы по методу эквивалентного управления совпадает с нулевым приближением уравнений для движений по медленному интегральному многообразию полной системы. Оказалось, что уравнение движений для доопределения решений системы в скользящем режиме по методу эквивалентного управления для систем управления с малоинерционными исполнительными устройствами соответствует нулевому приближению уравнений движений по медленному интегральному многообразию. Используя более высокие приближения уравнений медленных движений, можно произвести коррекцию уравнений метода эквивалентного управления, позволяющую учитывать наличие в системе

1.4 малоинерционных исполнительных устройств. Показано как при помощи асимптотических представлений интегральных мноогобразий медленных движений можно осуществлять коррекцию метода эквивалентного управления, получая члены, позволяющие учитывать наличие в системе инерционных исполнительных устройств. В частности, в критическом с точки зрения устойчивости случае такая коррекция уравнений скольжения необходима, т.к. наличие инерционных исполнительных устройств может изменить поведение системы с устойчивости на асимптотическую устойчивость или неустойчивость. В §1.4 проведен анализ поведения систем с алгоритмами на скользящих режимах при наличии малоинерционных измерительных устройств. Показано как для коррекции уравнений скольжения таких систем можно применить асимтотическое представление интегрального многобразия медленных движений. В третьей части первой главы предложены алгоритмы решения задачи синтеза систем с релейными управлениями, исполнительные устройства которых являются системами с несколькими входами и выходами. В §1.5 показано как наличие в системе таких исполнительных устройств может быть использовано для решения задачи модального управления меденными движениями системы. В $ 1.6 предложен алгоритм решения задачи оптимальной стабилизации медленных движений, использующий наличие в системе инерционных исполнительных устройств.

Вторая глава посвящена анализу и синтезу систем с малоинерционными исполнительными устройствами, полная модель которых описывается СВРС со скользящими режимами порядка выше второго или системами с положительной обратной связью по знаку выхода. Движения в таких скользящих режимах в таких системах неустойчивы [6]. В §2.1 разработан математический аппарат для усреднения и исследования быстрых периодических решений. Найдены достаточные условия существования быстрых периодических решений таких СВРС, их устойчивости по первому приближению; приведена теорема усреднения; предложен алгоритм асимптотического разложения быстрого периодического решения и алгоритм коррекции усредненных уравнений. Доказана теорема принципа сведения, позволяющая проводить исследование устойчивости быстрых периодических решений в критическом случае. В §2.2 проведен анализ поведения систем с алгоритмами на скользящих режимах при наличии малоинерционных исполнительных устройств, в которых происходят быстрые автоколебания. Показано, что если в исходную СВРС, учитывающую наличие малоинерционных исполнительных устройств, релейное управление входит линейно, усредненные уравнения таких СВРС совпадают с уравнениями, описывающими движения в скользящем режиме, происходящими в укороченной системе. В случае нелинейного вхождения разрывного управления усредненные уравнения таких систем могут не совпадать с доопредлением Филиппова [54] и доопредлением по методу эквивалентного управления. §2.3 посвящен решению задачи модального управления усредненными уравнениями в системах с быстрыми автоколебаниями для случая, когда исполнительные устройства в системе являются устройствами с несколькими входами и выходами. При этом для решения задачи модального управления для усредненных уравнений предлагается использовать динамику имеющихся в системе малоинерционных исполнительных устройств, а синтез производить в пространстве, размерность которого совпадает с размерностью уравнений скольжения.

В третьей главе работы изучено влияние динамики исполнительных устройств на поведение релейных систем, работающих в колебательных режимах. Показано, что особенностью медленных периодических решений в СВРС является наличие внутренних пограничных слоев, возникающих при переходе из окрестности одного листа интегрального многообразия в окрестность другого. Другой особенностью медленных периодических решений СВРС является то, что, в отличие от релаксационных колебаний (см. библиографию [34]), в момент переключения значения управления правые части уравнений, описывающих быстрые движения, отличны от нуля и, следовательно, после некоторых естественных предположений для описания срыва решения из окрестности одного листа интегрального многообразия в окрестность другого можно применять метод пограничных функций [18]. В §3.1 найдены достаточные условия существования, единственности и исследована устойчивость периодических решений без внутренних скользящих режимов в разнотемповых релейных системах управления. Предложен алгоритм нахождения асимптотики таких решений с использованием метода пограничных функций [18]. В §3.2 эти задачи решены для медленных периодических решений систем, имеющих внутренние скользящимие режимы, Показано, что особенностью систем с внутренними скользящими режимами, является то, что в окрестности точек срыва решений с поверхности скольжения нулевое приближение медленного интегрального многообразия непрерывно и асимптотические разложения периодических решений в окрестности этих точек начинаются с пограничных функций первого порядка. Показано, что полученные результаты могут быть применены для анализа движения двух упруго связанных маятников, один из которых лежит на наклонном равномерно вращающемся диске при наличии сухого трения.

Четвертая глава работы посвящена исследованию релейных систем с запаздыванием. В §§4.1-4.4 изучено поведение скалярных РСЗ (СРСЗ). В

§4.1 показано, что поведение решений СРСЗ характеризуется одним дискретным параметром - частотой, равной числу перемен знака решения на интервале, равном запаздыванию. Будет выделено множество решений с постоянной частотой - установившиеся режимы (УР), которые в автономном случае являются периодическими. Показано, что множество установившихся режимов обладает всеми основными свойствами скользящих режимов. Главным из них является то, что любое решение СРСЗ, начиная с некоторого момента времени, будет совпадать с одним из установившихся режимов. Это означает, что СРСЗ не имеют других решений, кроме колебательных. В §4.2 проанализирована устойчивость УР в СРСЗ. В частности, показано, что устойчивыми могут быть лишь режимы с наибольшим периодом. В §4.3 исследована структурная устойчивость УР в СРЗС в периодическом случае. В §4,4 предложены релейные алгоритмы управления скалярными системами с запаздыванием, позволяющие сделать амплитуду колебаний в окрестности заданной поверхности меньше наперед заданной величины. В §4.5 изучены РСЗ второго порядка. Показано, что установившиеся режимы в таких системах являются асимптотически устойчивыми и существует аналогия между ними и скользящими режимами второго порядка в системах с релейными управлениями. С другой стороны, показано, что в сингулярно возмущенном случае решения РСЗ второго порядка стремятся к УР первого порядка. В §4.6 найдены условия существования счетного числа периодических установившихся режимов в многомерных РСЗ. В §4.7 метод пограничных функций [18] применен для отыскания установившихся режимов нулевого порядка в сингулярно возмущенных РСЗ.

Пятая глава диссертации посвящена применению полученных результатов в задачах управления некоторыми техническими системами. §5.1 посвящен алгоритмам управления составом отработавших газов бензиновых двигателей. Особенность таких систем состоит в том, что в качестве измерительных устройств в блоке управления отношением концентраций окисляемых компонентов и кислорода — Л - регуляторе — используется Л - зонд, имеющий характеристику, близкую к релейной. Более того, суммарная задержка отклика выходного сигнала Л - зонда на изменение величины подачи топлива форсунками в угловой форме составляет 6-7 рабочих циклов. Она складывается из времени рабочего цикла, включающего продолжительность переходных процессов по топливоотда-че во впускной системе, и транспортной задержки, связанной с конечной скоростью перемещения отработавших газов в выпускной системе от выпускного клапана до места установки датчика. Одной из главных целей Л - регулирования является поддержание параметров отработавших газов двигателя в "окне бифункциональности" нейтрализатора, когда отношение разности концентраций окисляемых компонентов отработанных газов на входе и выходе к их концентрации на входе не менее 0,7. Математической моделью Л - регулятора является РСЗ. При Л - регулировании используется адаптивный алгоритм, состоящий в подборе величины подачи топлива для всех основных режимов работы двигателя, обеспечивающих колебания параметров отработавших газов в устойчивом установившемся режиме в пределах "окна бифункциональности" для всех стационарных режимов работы двигателя, и формировании адаптивных коэффициентов топливоподачи в переходных и нестационарных режимах. Использование результатов главы 4 позволило сделать вывод о работоспособности такого алгоритма. Кроме того, получены оценки частоты и амплитуды колебаний параметров отработавших газов в "окне бифункциональности" нейтрализатора. Доказана возможность компенсации постоянного возмущения, обусловленного старением или загрязнением топливнй системы, за счет адаптации топливоподачи.

В §5.2 показано, как алгоритмы стабилизации РСЗ применены для построения алгоримов управления пальцами глубоководного аппарата AMAD]

Апробация работы. Результаты работы представлялись на 12-м всемирном конгрессе IFAC (Сидней 1993), 15-м всемирном конгрессе IMACS (Берлин 1997), Европейских конференциях по управлению (Гренобль 1991, Гронинген 1993, Брюссель 1997), симпозиуме IFAC по синтезу нелинейных систем (Лайк Тахо, США 1995), международных конференциях по принятию решений в управлении (CDC) (Кобе, 1996,Сан-Диего,1997), по меха-тронике (ICRAM)(Стамбул 1995), международных совещаниях по теории систем с переменной структурой (Шеффилд 1992, Беневенто 1994, Токио 1996 ), по сингулярным возмущениям и решениям в системах управления (Переяслаль-Залесский 1993,1995,1997), сингулярным возмущениям и их приложениям (Берлин 1997), теории устойчивости (Москва 1992,1996, Самара 1994), различных совещаниях по теории управления, устойчивости и сингулярным возмущениям.

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры математики физфака МГУ, Московского государственного университета электроники и математики, Института проблем передачи информации, Института проблем управления, университетов Неаполя, Флоренции, Генуи, Шеффилда, Института прикладной математики и стохастики им. Вей-ерштрасса (Берлин), Института индустриальных наук Токийского университета.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Фридман, Леонид Моисеевич

Основные результаты работы докладывались на всемирном конгрессе международной федерации автоматического управления (IFAC) (Сидней,1993), международных совещаний по системам с переменной структурой (Беневенто 1994, Токио 1996), конференции по принятию решений в управлении (CDC) (Сан-Диего,1997), симпозиуме по синтезу нелинейных систем управления (NOLCOS) ( Лайк Тахо,1995).

-- а)

По результатам НИР подготовлены н опубликованы статьи:

1. Fridman L:M.Stability of motions in singularly perturbed discontinuous control systems// Prepr. of 12th IFAC World Congress.-1993. - V. 4.-P. 367

2. Fridman L.M. Chattering Control in Sliding mode systems: possibility of using of additional dynamics of actuators//Proc. of the Workshop on Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento.-1994.-P. 310-314.

3. Fridman L.M. Chattering in sliding mode systems and singular perturbation// Proc. of Int. Symp.on Nonlinear Control Systems Design. Lake Tahoe,California,USA.-1995.-P. 725-730.

4. Fridman L.M. Steady Modes in Relay Control Systems with Delay//Proc.of IEEE Workshop on Variable Structure Systems.TokyoJapan.-1996.-P. 111-116.

5. Фридман Л.М. Разделение движений в разнотемповых разрывных системах управления с запаздыванием// Автоматика и телемеханика.-1997.-К7.-С. 240 -255.

6. Fridman L. Chettering in high gain control systems with fast actuator and singular perurbations//Proc. on 36th Conference on Decision in Control, San Diego,1997.-P.3232-3233.

Ректор Самарской государственной архитектурно строительной академии В.А Шабанов

370.

От исполнителей: ответственный исполнитель НИР, доц., к.ф.-м.н.

Председатель комиссии, проректор по НИР

В.В. Шмиголь

Л. М. Фридман

12 марта 1998 г.

9 '-7 /■

5.3 Заключение

В диссертации сформулировала и решена задача разработки методов де-композции для разнотемповых РЕЛЕЙНЫХ систем и РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

На базе разработанных методов декомпозиции сингулярно возмущенных релейных систем (СВРС) проведен анализ влияния дополнительной динамики на поведение систем с релейными управления. Дано описание структуры пространства решений релейных систем с запаздыванием (РСЗ).

Разработаны следующие методы декомпозиции СВРС

• для СВРС со скольжением второго порядка найдены достаточные условия декомпозиции задачи исследования устойчивости по первому приближению, найдены достаточные условия существования и предложен алгоритм нахождения интегрального многообразия медленных движений;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго найдены достаточные условия существования быстрых периодических решений, предложен алгоритм их нахождения в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений;

• найдены достаточные условия существования медленных периодических решений, содержащих скачки в окрестности моментов переключения управления, предложен алгоритм нахождения медленных периодических решений по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений; показано, что особенностью систем с внутренними скользящими режимами является то, что в точках срыва из области скользящего режима пограничные функции нулевого порядка равны нулю;

• для разнотемповых многомерных РСЗ найдены достаточные условия существования периодических решений (установившихся режимов нулевой частоты), содержащие скачки в окрестности моментов переключения управления; предложен алгоритм нахождения установившихся режимов нулевой частоты по методу пограничных функций в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра и исследована устойчивость таких решений.

Проведен анализ поведения релейных систем с малоинерционными исполнительными и измерительными устройствами и систем с релейными управлениями

• в СВРС со скольжением второго порядка исследовано соотношение между устойчивостью объекта управления, устойчивостью исполнительных устройств и экспоненциальным убыванием амплитуды колебаний в окрестности поверхности разрыва (отсутствия'болтанки);

• предложен алгоритм коррекции уравнений метода эквивалентного управления для описания движений в области скольжения в укороченных системах, позволяющий учитывать наличие в системе малоинерционных исполнительных и измерительных устройств;

• для СВРС с порядком скольжения выше второго и систем с положительной обратной связью по знаку выхода, в которых происходят быстрые автоколебания, показано, что медленные движения описываются усредненными уравнениями; в то же время, в случае линейного вхождения релейного управления в исходную СВРС усредненные уравнения совпадают с уравнениями для доопределения решений укороченной системы в скользящем режиме, возникающем в укороченной системе;

• показано, что поведение решений РСЗ характеризуется одним скалярным параметром: частотой — числом переключений на интервале, предшествующем смене знака, длина которого равна запаздыванию; введено понятие установившихся режимов (УР) - решений с постоянной частотой; показано, что в автономном случае УР являются периодическими;

• показано, что все решения скалярных РСЗ (СРСЗ) через конечное время совпадают с одним из установившихся режимов, а само множество УР обладает всеми основными свойствами скользящих режимов; доказано, что в СРСЗ устойчивыми, но не асимптотически, являются лишь установившиеся режимы с нулевой частоты, а остальные УР неустойчивы; исследована структурная устойчивость СРСЗ при наличии периодических возмущений;

• введено понятие частоты и установившихся режимов в РСЗ второго порядка; найдены условия при выполнении которых УР с нулевой частотой являются орбиталъно асимптотическими устойчивыми.

На основе разработанных методов декомпозиции и проведенного анализа решены следующие задачи синтеза:

• для систем со скольжением второго порядка, в которых исполнительные устройства имеют несколько входов и выходов, предложен алгоритм синтеза, позволяющий решать задачи модального управления и оптимальной стабилизации для уравнений медленных движений, соответствующих уравнениям скольжения;

• для систем, имеющих исполнительные устройства с несколькими входами и выходами, в которых происходят быстрые автоколебания, предложен метод синтеза решения задачи управления модами усредненной системы, соответствующей уравнениям скольжения;

• предложены алгоритмы стабилизации систем при помощи релейного управления с запаздыванием.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Фридман, Леонид Моисеевич, 1998 год

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем 1Д1// А и Т.- 1974. - N. 7.- С.33-47; - N. 8.- С.39-61.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями// nMM.-1957.-T.21.-N.5-С. 659-669.

3. Ананьевский И.А. Управление механическими системам^ с неопределенными параметрами ограниченными усилиями // ПММ.-1997.-Т.61.- N.I.- С. 52-62.

4. Андреев Ю.Н Управление линейными конечномерными объектами. -М.: Наука,1976.-242 с.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: ОНТИД937.- 568 с.

6. Аносов Д.В. Об устойчивости положений равновесия релейных систем// А и Т.- 1959.- N. 2.- С. 135-149.

7. Аносов Д.В. О предельных циклах дифференциальных уравнений с малым параметром при производной// Матем. сборник.- 1960.-Т. 50.- N. 3.- С. 299-334.

8. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука,1978.-304 с.

9. Асарин В.А., Измаилов Р.Н. Об определении скорости скольжения по поверхности разрыва// А и Т.- 1989.N 9. С. 43-47.

10. Афанасьев В.Н.,Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. -М.:Высшая школа,1989.-447 с.

11. Бурков И.В., Первозванский A.A., Фридович Л.Б. Стабилизация гибких манипуляторов при помощи PD контроллера // Изв. РАН, Теория и системы управления.-1997.-^1.-С. 159-165.

12. Барис Я. С. Об интегральном многообразии нерегулярно возмущённой дифференциальной системы // Укр. матем. журнал.- 1968.Т. 20.- N4. С. 439-448.

13. Богатырев С. В., Фридман JLM. Сингулярная коррекция метода эквивалентного управления // Дифференциальные уравнения.-1992. -T. 28.-N6.-C. 930-943.

14. Боголюбов H. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. - 410 с.

15. Бондарев А.Г., Бондарев С.А., Костылева Н.Е., Уткин В.й. Скользящие режимы в системах с асимптотическими наблюдателями// А и T.- 1985.-N5. С. 5-11.

16. Бутенин И.В. О влиянии сил сухого и вязкого трения на движения свободного гироскопа// Изв. вузов.Приборостроение.- 1960.-Т.З-N5.C. 5-11.

17. В. Вазов. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука,1968.- 464с.

18. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М. : Наука,1973.-272с.

19. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах управления.- В кн.: Мат. анализ, т.20 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР), -М.,1982. -С. 3-77.

20. Востриков A.C., Уткин В. И., Французова Г.А. Системы с в производной вектора состояния в управлении// А и Т-1982.-N3.-C. 13-16.

21. Гелиг A.A., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М. : Наука,1978.-400с.

22. Геращенко Е.И. , Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем - М. : Наука,1975.-296с.

23. Гирявец А.К. Теория управления автомобильным бензиновым двигателем .- М. : Стройиздат,1997.-173с.

24. Гришин С.А., Уткин В.И. О доопределении разрывных систем// Дифференц. уравнения.-1980.-Т.16.-Ы.2.- С. 227-235.

25. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной струтурой. М. : Наука,1967.-336с.

26. Емельянов C.B. Бинарные системы автоматического регулирования. М. : Наука,1984.-313С.

27. Емельянов C.B., Коровин С.К., Левантовский Л.В. Скользящие режимы высших порядков в бинарных системах управления// ДАН СССР.-1986.-Т. 287.-N 6.-С. 1338-1342.

28. Емельянов C.B., Коровин С.К., Левантовский Л.В. Новый класс алгоритмов скольжения второго порядка// Математическое моделирование.-1990.-Т. 2.-N З.-С. 89-100.

29. Климушев А. И., Красовский H. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных// ПММ.- 1961 -Т. 25.- N. 4 С. 680-690.

30. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивые периодические решения регулируемых систем с последействием.- М.:Наука,1981.-348 с.

31. Лестев A.M. О движении гироскопа с вязким и сухим трением в опорах // Изв. вузов.Приборостроение.- 1967.-T.10.-N1.C. 65-67.

32. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при учете слабой динамики исполнительных устройств // А и T.-1996.-N5.-С.24-38.

33. Мельник Т.А. Асимптотическое решение некоторой сингулярно возмущенной задачи Коши // Укр. мат. журнал.-1994.-Т. 46.-N. 4.-С. 1502-1508.

34. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.- М.:Наука,1975.-248 с.

35. Митропольский Ю.И. Метод усреднения в нелинейной механике-Киев:Наукова думка,1971.-501 с.

36. Митропольский Ю.И., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике М.: Наука,1973.-512 с.

37. Неймарк Ю.И. О периодических решениях релейных систем// В кн. Памяти A.A. Андронова.-М.: Наука,1955.-С. 242-273.

38. Неймарк Ю.И. Метод усреднения с точки зрения метода точечных отображений// Известия вузов,Радиофизика.-1963.-Т. 6.;-N. 5-С. 1023-1032 .

39. Неймарк Ю.й. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний М.: Наука,1972.-472 с.

40. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. -М.: Мир,1975.-304 с.

41. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация.- М.: Наука,1979.-379 с.

42. Пасиков В. Л. О зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра// В кн.: Дифференциальные уранения. Рязань: Рязанский гос. пед. институт, 1974.-Т. З.-С. 131-137.

43. Понтрягин Л.С., Родыгин Л.В. Периодическое решение одной системы дифференциальных уравнении с малым при производной// ДАН СССР.1960.-Т. 132.-N3. С. 537-540.

44. Понтрягин Л.С., Родътгин Л.В. Приближенное решение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производной// ДАН СССР.-1960.-Т. 131.-N 2. С. 255-258.

45. Пятницкий Е.С. Метод декомпозиции в управленнии механическими системами//ДАН СССР.- 1988. Т. 300. - N. 2.- С.300-303.

46. Соболев В.А., Фридман Л.М. Декомпозиция разнотемповых разрывных систем // Автоматика и телемахиника 1988. - N3.-C.39-44.

47. Соболев В.А. Сингулярные возмущения в линейно квадратичной задаче оптимального управления // А и Т.- 1991. - N2.-C.53-63.

48. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий.- М.: Наука,1988.- 256 с.

49. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра// Мат. сборник.- 1948.- Т. 22.- С. 193-204.

50. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных// Мат. сборник, 1952. -Т.31(73), N3. -С. 575-586.

51. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой.-М.: Наука,1974.- 272 с.

52. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления М.: Наука,1981.- 368 с.

53. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью// Мат. c6opHHK.-1960.-T.51(93).-N 1.-С. 99-128.

54. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.- М.: Наука,1985.

55. Флатто JL, Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем// Математика-1958.-T.2.-N2.- С. 61-68.

56. Фридман Л.М. О грубости скользящих режимов систем с разрывными управлениями // Автоматика И телемеханика.-1985. -N5.-C. 172 -175.

57. Фридман Л.М. Анализ грубости скользящих режимов систем с разрывными управлениями // Автоматика и телемеханика.-1986. -N11-С. 172 176.

58. Фридман Л.М. О сингулярных предельных переходах при доопределении разрывных систем // Дифференциальные уравнения-1986. -Т. 22.- N8.- С. 1461-1463.

59. Фридман Л.М. Сингулярные доопределения разрывных систем и устойчивость// Дифференциальные уравнения.-1990. -Т. 26.-N10.-C. 1759-1765.

60. Фридман Л.М., Фридман Э.М., Шустин Б.И. Установившиеся режимы в автономных уравнениях с разрывом и запаздыванием // Дифференциальные уравнения-1993.-Т. 29.- N 8 С. 1340-1346.

61. Фридман Л.М. Разделение движений в разнотемповых разрывных системах управления с запаздыванием// Автоматика и телемеханика.-1997 N7.-C. 240 - 255.

62. Фридман Л.М. Разделение движений в разнотемповых разрывных системах управления с запаздыванием// Автоматика и телемеханика-1997. -N7.-C. 240 255.

63. Черноусько Ф.Л. Ограниченные управления системами с распределенными параметрами// ПММ.- 1992.-Т. 56.- N. 5.- С. 707-723.

64. Хартман Ф. О. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. -1970.- 720 С.

65. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Наука.-1955.-456 С.

66. Andre JM Seibert P. Uber die stückweise lineare Differentialgleichungen, die bei Regelungsproblem auftreten// Archiv der Mathematik.1956.-V. 7.-N. 3.-P. 148-164.

67. Alpeter G., Ghorbel F., Longchamp R. Control of flexible transmission// IFAC-Workshop Motion Control, Munich.-1995.-P.315-322.

68. Aouchiche K.,Bliman P.- A., Sorine M. P.I. control of periodic of periodic oscillations of relay systems// Proc.of 1st conf. on Control of Oscillations and Chaos, IEEE cat No.97TH8329,St-Petersburg. -1997.-P. 469-474.

69. Astrom K., Barabanov A. , Johanson K.H. Limit cycles with chattering in relay feedbacks systems// Proc. of 36th CDC, San-Diego,CA,US A-1997.-P.3220-3225.

70. Barbot J.P., Monaco S., Normand- Cyrot D., Pantalos N. Discretezation schemes for nonlinear singularly perurbed systems// Proc. of the 30th IEEE CDC.Brighton,1991.-V. l.-P. 443-448.

71. Bartolini G. Chattering phenomena in discontinuous control systems // Int. Journ. of System Science.-1990.-V.20.-P. 2471 2481.

72. Bartolini G., Caputo W., Cecchi M., Ferrara A., Fridman L. Vibration damping in elastic robotic structure via sliding modes// Int. Journ. of Robotic Systems-1997. -V.14.-N.9.-P. 675-696.

73. Basker V.R., Hrissagis K., Cristalle O. Variable structure control design for reduced chatter in uncertain time delay system // Proc.of 36th Conference on Decision in Control. San Diego, CA,USA.-1997. -P. 32343437.

74. S.-B. Choi, K. Hedrick. Robust Throttle Control of Automotive Engines: Theory and Experiment// ASME J. of Dynamic Systems, Measurement and Control.-1996 V. 118. -N. l.-P. 92-98.

75. Coddington E. A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations.- New-York:Mc-Graw Hill, 1955.~425p.

76. Davis B. The elephant trunk gripper//Harriot Watt University.- Internal report .-1994.

77. S.V. Drakunov,V.I. Utkin. Sliding mode control in dynamic systems// Int. Journal of Control-1992.- V. 55. -N. 4.-P. 1029-1037.

78. Isidori A. Nonlinear control systems.- New York: Springer Verlag,1989.

79. Itkis U., Control systems of Variable Structure. New York:Willey .1976.

80. Fridman L.M., Bogatyrev S.V. Infinite Dimensional Singularly Perturbed Systems with Sliding Mode Control Decomposition// IEEE International Workshop on Intelligent Motion Control, IEEE Cat. No. 90TH0272-5 Istanbul,1990.-P. 697-701.

81. Fridman L.M. Sliding Mode Control System Decomposition Proceedings of the First European Control Conference, Grenoble 1991-V.l.-P. 13-17.

82. Fridman L.M. Fast periodic oscillations in singularly perturbed discontinuous control systems // Proc. of IEEE on Workshop Variable Structure and Lyapunov Control of Uncertain Dynamical Systems,Sheffield.-1992.-P. 70 72.

83. Fridman L.M. Stability of motions in singularly perturbed discontinuous control systems// Prepr. of 12th IFAC World Congress.-1993. V.4.-P. 367-370.

84. Fridman L. , Levant A. Higher order sliding modes as the natural phenomena of control theory //Proc. of the Workshop Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento.-1994.-P. 302-309.

85. Fridman L.M. Chattering Control in Sliding mode systems: possibility of using of additional dynamics of actuators//Proc. of the Workshop on Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento-1994-P. 310314.

86. Fridman L.M. Design of the robust control algorithms using dynamics of the fast actuators // IFAC Symposium on Robust control design, Rio de Janeiro.-1994.-P. 85-90.

87. Fridman L.M. Chattering in sliding mode systems and singular perturbation// Proc. of Int. Symp.on Nonlinear Control Systems Design. Lake Tahoe,California,USA.-1995-P. 725-730.

88. Fridman L. , Gordienko I. Analysis and control of turbine blades with Coulomb friction using boundary Layer Method(invited)// Proc. of Int. Conf.on Recent Advances in Mechatronics. Istanbul,Turkey.-1995.-P. 3439.

89. Fridman L., Levant A. Higher order sliding modes as the natural phenomenon in control theory//In: Robust Control via variable structure and Lyapunov techniques, F. Garafalo and L. Glielmo (eds.), Berlin:Springer Verlag ,1996.-P. 103-130.

90. Fridman L.M. Steady Modes in Relay Control Systems with Delay// Proc.of IEEE Workshop on Variable Structure Systems.Tokyo,Japan-1996.-P. 111-116.

91. Fridman L., Rumpel R. On the asymptotic analysis of the singularly perturbed systems with sliding modes// Weiersstrass Institute fur Angewandte Mathematik und Stochastik, Preprint N 246.-1996.-29 p.

92. Fridman L., Fridman E., Shustin E. Second order steady modes in relay control systems with delay//Proc. of IEEE Workshop on Variable Structure Systems,Tokyo. -1996.-P. 108-110.

93. Fridman L., Fridman E., Shustin E. Steady modes and sliding modes in the relay control systems with time delay// Proc.of 35th Conference on Decision in Control. -1996.-V.4.-P. 4601-4606.

94. Fridman L., Fridman E., Shustin E. The phenomenon of second order steady modes in relay control systems with delay/ / Proc. of European Control Conference.- Brussels 1997.- V.3, - N 767.

95. Fridman L., Fridman E., Shustin E. Steady modes in the relay control systems with time delay and periodic disturbances// Proc.of 1st conf. on Control of Oscillations and Chaos, IEEE cat No.97TH8329,St-Petersburg. -1997.-P. 75-78.

96. Fridman L. Fast periodic oscillations in the singularly perturbed relay control systems// Proc. of the IFAC Workshop on On Singular perturbation and solution in control systems, Pereslavl -Zalessky,Russia Elsevier Publishers:Dodrecht.-1997.-P. 19-24.

97. Fridman L. Fast Periodic Oscillations in Singularly Perturbed Relay Control Systems and Sliding Modes // Weiersstrass Institute fur Angewandte Mathematik und Stochastik. Preprint N 358.Berlin.- 1997.22 p.

98. Fridman L. Chattering in high gain control system with fast actuator and singular perturbation// Proc.of 36th Conference on Decision in Control. San Diego, CA,USA.-1997. -P. 3232-3233.

99. Fridman L., Mikheev Y. Slow periodic motions in the singularly perturbed relay control systems// Proc. of European Control Conference,Brussels-1997. -V.3.-N 768.

100. Fridman L., Fridman E., Shustin E. Steady modes in the relay control systems with delay// Proc.of the 15th World Congres of IMACS, Berlin-1997.-V.L -P. 239-244.

101. Garafalo F. and L. Glielmo (eds.) Robust Control via variable structure and Lyapunov techniques.Lecture notes in Contr. and Inf. Sci. N. 217. Berlin:Springer Verlag,1996.-307p.

102. Heck B.S. Sliding-mode control for singularly perturbed systems// International J. Control.- 1991.- V. 50.- N. 4, P. 985 - 1001.

103. Jamashidi M. Three stage near optimum design of nonlinear processes// Proc. of IEEE.-1974.-T. 121.-N 8.-P. 886-892.

104. Kelley H.I. Aircraft maneuver optimization by reduced order approximation// In.:Control and Dynamic Systems, New York: Academic Press .-1973.-P. 131-178.

105. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Railly J. Singular Perturbation Methods in Control: Analysis and Design. New York: Academic Press, 1986.

106. Kolmanoskii V., Shaikhet L.E. Control of Systems with Aftereffect// Dodrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996.

107. Kolmanoskii V., Myshkis A. Applied Theory of Functional Differential Equations. Dodrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

108. O' Molley R.J. Singular perturbation and optimal Lect. Notes Math.,1978.-V.12.-P. 171-178.

109. J. Mallet-Paxet. Morse decomposition for delay -differential equations // Int. J. Differential Equations.-1988.- V. 72. -C. 270-315 .

110. J. Mallet-Paxet,R. Nussbaum , Boundary layer phenomena for differential-delay equations with state-dependent time lags, I // Arch. Rational Mechanics and Analysis.-1992, V. 120.- P. 99-146.

111. Moskwa J.J., Hedrick K. Sliding mode control of automotive engines // Proc. of the American Control Conference.-1992.- V. 2.- P. 1040-1045.

112. Peters H. Comportement chaotique d'une équation différentielle retardée// C. R. Acad. Sci. Paris,1980.- V. 290. P. 1119-1122.

113. Ruelle D. Elements of Differential Dynamics and biffurcation Theory, -London:Academic Press,1989.

114. Rumpel R. On the qualitative behavior of nonlinear oscillators with dry friction//ZAMM.-1996.- V. 76.-S. 2.- P. 665-666.

115. Sobolev V.A. Integral manifolds and decomposition of singularly pertrbed systems // Systems and Control Letters-1984.- T. 5 P.165-179.

116. Shtessel Y.,Lee Y.-J. New approach to chaterring analysis in systems with sliding modes// Proceedings of 35th IEEE CDC, Kobe,Japan.-1996. -V.3.-P.4014-4020.

117. Shustin E., Eridman L., Fridman E. Steady modes in discontinuous equations with time delay//Proc. of IEEE Workshop on Variable Structure and Lyapunov Control of Uncertain Dynamical Systems,Sheffield.-1992.-P.65-69.

118. Shustin E.I., Fridman E.M., Fridman L.M. Steady modes in a discontinuous control systems with time delay//Functional Differential Equations.- 1993. V.I.- P. 165-178.

119. Shustin E., Fridman E., Fridman L. Steady modes in a discontinuous control systems with time delay// Pure Mathematics and its Applications-1993.- V.4- P. 59-73.

120. Shustin E., Fridman E., Fridman L. Adaptive delay control of relay type in autonomous and periodic systems// Proc. of the second European Control Conference (ECC'93), Groningen.- 1993. -V.3.- P. 2212 2215.

121. Shustin E.I., Fridman E.M., Fridman L.M. Sliding modes, stability and stabilization in discontinuous delay control systems // Proc. of the Workshop Variable Structure and Liapunov Technique, Benevento.-1994.P.-165-169.

122. Shustin E.I., Fridman E.M., Fridman L.M. Steady modes as sliding mode in discontinuous delay control systems// Proc.of Int. Symp. on Nonlinear Control Systems Design,Lake Tahoe,California,USA.-1995. -P.731-734.

123. H. Sira-Raniires, Sliding Regimes on Slow Manifolds of Systems with fast Actuators// International J. of System Science-1988 V. 37. - N 6.-P. 875-887.

124. H. Sira-Ramires, On dynamical sliding mode control of nonlinear systems // International J. of Control. -1992- V. 57. N 5.-P. 10391061.

125. Zinober A.S.I.(ed) Determinisic Control of Uncertain Systems. -London:Peter Peregrinus Press,1990.