Разработка алгоритмов моделирования нештатных режимов движения космической тросовой системы для спуска грузов с орбиты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат технических наук Дюков, Дмитрий Игоревич

• Дюков, Дмитрий Игоревич
• кандидат технических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дюков, Дмитрий Игоревич

проблемы

ия развития КТС

предназначенные для доставки груза на Землю

гавка груза на Землю

собы развертывания КТС

теримент УЕ82

1тные режимы работ транспортных КТС. Постановка задачи

положения

4.2 Анализ хаотического движения КТС

4.3 Движение КА в случае ненатянутого троса

84 86

Заключение Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка алгоритмов моделирования нештатных режимов движения космической тросовой системы для спуска грузов с орбиты»

Введение

Космическая тросовая система (КТС) [1, 2] — это комплекс искусственных космических объектов, соединённых длинными тонкими гибкими элементами, совершающий орбитальный полет. В наиболее простом виде КТС представляет собой связку двух космических аппаратов (КА), соединенных тросом длиной в десятки или даже сотни километров.

Впервые такие системы и способы их применения в космосе были описаны в 1895 г. К.Э. Циолковским в «Грезах о Земле и небе» [3]. Для создания искусственной тяжести К.Э. Циолковский предложил использовать вращающуюся связку обитаемой станции и балластной массы, соединенных цепью длиной 500 м, а для перемещения грузов в космосе - цепочку, выпускаемую и втягиваемую лебедкой. В 1910 г. Ф.А. Цандер выдвинул проект «космического лифта» с 60 000-км тросом, протянутым с поверхности Луны к Земле. Под действием гравитационных и центробежных сил такой трос будет постоянно натянут, и по нему, как по канатной дороге, можно транспортировать грузы. Идеи Ф.А. Цандера о космическом лифте были развиты в 60-70-е гг. в работах Ю.Н. Арцутанова [4], предложившего проект троса, протянутого с поверхности Земли на геостационарную орбиту и в проекте тросового «космического ожерелья Земли» Г.Г. Полякова [5]. В 1965 г. в РКК «Энергия» (бывшая ЦКБМ) под руководством С.П. Королева началась подготовка к первому в мире космическому эксперименту с тросовой системой. Разработанный проект «Союз-ИТ» предусматривал создание искусственной тяжести на космическом корабле «Союз», соединенном километровым стальным тросом с последней ступенью ракеты-носителя, путем приведения этой связки во вращение. Но после кончины С.П. Королева проект был закрыт и работы по тросовым системам в РКК «Энергия» возобновились только через 20 лет [6]. На западе проблемой космического лифта активно занимался Jerome Pearson.

Использование КТС дает широкий спектр возможностей для реализации задач, связанных с исследованием космического пространства. Исследования, проводимые в данной области, являются актуальными для современной

космонавтики. Большой вклад в развитие теории о движении космических тросовых систем внесли ученые: Белецкий В.В., Левин Е.М., Алпатов А.П., Пироженко A.B., Асланов B.C., Заболотнов Ю.М., Ишков С.А., Садов Ю.А., Ледков A.C., Щербаков В.И., Pearson J., Zimmerman F., Kruijiff M., Lorenzini E.C., Misra A.K., Williams Р. и другие. Следует отметить, что практические эксперименты с КТС проводятся, начиная с 1966 года [7].

В существующих работах, задаче исследования нештатных режимов движения КТС уделяется недостаточное внимание. В частности, в диссертации Стратилатова Н.Р. проведен анализ нештатных ситуаций, связанных со сбоями в системе ориентации КА. Настоящая работа посвящена вопросам, не затронутым ранее: исследованию последствий заклинивая троса на движение транспортной КТС с учетом физических свойств троса, массово-инерционных характеристик КТС и влияния хаотических режимов на движение КА в составе КТС.

Среди множества проектов КТС наиболее близкими к практической реализации являются транспортные КТС, предназначенные для доставки грузов с орбиты на поверхность Земли, когда на орбите формируется временная связка, состоящая из базового КА, троса и концевого груза, которая позволяет без потерь передавать механическую энергию и момент количества движения от одного связанного тела к другому [1]. Для обеспечения приземления в заданный район необходимо точно провести маневр спуска с орбиты, требующий развертывания троса и отсоединения груза от троса [8]. Известно два способа развертывания троса: статический и динамический [9]. В первом случае трос выпускается с малой относительной скоростью и груз все время находится в окрестности местной вертикали. После достижения расчётной высоты происходит разрыв троса и груз переходит на траекторию спуска. При этом кориолисова сила мала из-за небольшой скорости груза. Смысл динамического манёвра состоит в раскачке троса и использовании возвратного колебательного движения для дополнительного уменьшения скорости груза. После отделения от КА под действием кориолисовой силы груз отклоняется от местной вертикали в сторону направления движения КА. По мере увеличения длины троса высота груза над

поверхностью Земли будет уменьшаться, а гравитационное ускорение, действующее на груз, будет увеличиваться по сравнению с ускорением, действующим на КА. За счёт этого груз совершит возвратное движение в направлении местной вертикали КА. В окрестности этой вертикали груз будет иметь скорость меньшую, чем скорость КА, то есть, груз получит отрицательное приращение к орбитальной скорости, эквивалентное тормозному импульсу. При использовании динамического развёртывания требуемое уменьшение перигея орбиты может быть достигнуто с помощью троса значительно меньшей длины по сравнению со статическим манёвром. При динамическом развертывании необходимое уменьшение перигея орбиты может быть достигнуто с помощью троса значительно меньшей длины по сравнению со статическим маневром.

К настоящему времени уже проведено несколько экспериментов, доказавших возможность реализации транспортной КТС. В 1993-1994 годах были проведены эксперименты [10] «SEDS-1» и «SEDS-2» целью которых была отработка системы доставки груза с орбиты. Оба эксперимента были основаны на статическом методе развертывания. В каждом случае от последней ступени ракеты-носителя «Дельта-2» тросы развертывались на длину, равную 20 км. В первом эксперименте осуществлялось неуправляемое развертывание троса, а во втором, для регулирования натяжения троса, использовался закон развертывания троса с обратной связью, благодаря которому удалось добиться остановки груза в конце развертывания [11]. Европейский проект «Young Engineers' Satellite 2» (YES2) [12, 13] был осуществлен в 2007 году в составе российского научного спутника «Фотон-М» (ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-ПРОГРЕСС»). При реализации проекта YES2 использовалась динамическая схема развертывания КТС, которая позволяет получить, по сравнению со статическим способом, выигрыш во времени спуска груза. Спускаемая капсула YES2 имел массу 14 кг и трос длиной 30 км.

Диссертация посвящена исследованию нештатных режимов работы КТС, предназначенной для доставки груза с орбиты, при заклинивании троса в процессе развёртывания, обрыве троса, намотке троса на КА.

Актуальность работы обусловлена необходимостью обеспечения безопасности базового КА и спускаемого груза при осуществлении операции доставки груза с орбиты с использованием КТС. Система доставки является вспомогательной, и ее функционирование и возможные нештатные ситуации не должны препятствовать выполнению других задач, выполняемых на базовом КА. Важно заранее оценить возможные последствия нештатных ситуаций и принять необходимые меры для предотвращения их возникновения.

Целью работы является построение и выбор математических моделей, и исследование на их основе нештатных режимов работы транспортных КТС, предназначенных для доставки полезной нагрузки на Землю.

К основным методам исследования, используемым в работе, относятся общие методы классической механики, методы хаотической динамики и элементы компьютерного моделирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Для начального этапа развёртывания предложен алгоритм моделирования заклинивания невесомого упругого троса с учетом коэффициента восстановления и выявлены опасные временные промежутки заклинивания. Под коэффициентом восстановления понимается отношение модуля скорости груза после заклинивания к модулю скорости до заклинивания.

2. Разработана методика исследования последствий заклинивания троса в зависимости от массово-инерционных параметров транспортной КТС.

3. Изучено влияния заклинивания троса на движение системы при динамическом развёртывании весомого упругого троса на основе многоточечной модели КТС. На интервале развёртывания выделены характерные временные зоны для последствий заклинивания, соответствующие соударению груза и КА, намотки троса, безопасных отскоков груза без столкновения с КА.

4. Для радиальной КТС на основе метода Пуанкаре исследованы хаотические режимы движения КА при малых колебаниях троса в окрестности

устойчивого вертикального положения в случаях натянутого и свободного

(ненатянутого) тросов.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных результатов для выбора массово-инерционных характеристик груза и КА, материала для изготовления троса, для определения условий безопасной ориентации КА. Представленные результаты позволяют осуществлять анализ последствий нештатных ситуаций и выдать рекомендации по их исключению.

Теоретическая значимость работы. Полученные в работе результаты являются развитием элементов теории возмущенного движения многомерных динамических систем для важных прикладных задач.

Апробация результатов, полученных в работе, осуществлялась на различных конференциях: Всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 2012); Всероссийском семинаре. Аналитическая механика, устойчивость и управление движением (Ульяновск, 2010); XXXIV Самарской областной студенческой научной конференции (Самара, 2008).

Результаты исследований опубликованы в 7 печатных работах, 4 из которых в журналах из списка, рекомендованного высшей аттестационной комиссией: «Известия Самарского научного центра РАН», «Известия Саратовского университета», «Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П. Королева», электронный журнал «Труды МАИ».

Результаты исследований вошли в научно-технические отчеты по проекту Российского фонда фундаментальных исследований 12-01-31114 мол-а «Динамика космических тросовых систем, предназначенных для выполнения транспортных операций на орбите» и 12-01-00317-а «Динамика возмущенного орбитального движения систем твердых тел».

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи и строгостью применяемых методов решения.

В первой главе даны обзор рассматриваемой проблемы, определение и классификация КТС. Описаны принцип работы КТС, предназначенной для

доставки груза с орбиты на Землю, статический и динамический способы развёртывания. Рассмотрен эксперимент УЕ82. Представлено описание возможных нештатных ситуаций, возникающих в процессе развёртывания транспортных КТС. Приведены некоторые сведения из теории хаотической динамики: рассмотрен метод сечений Пуанкаре, позволяющий выявить наличие хаоса в системе, введено понятие устойчивого и неустойчивого многообразия неподвижной точки и их пересечение.

Во второй главе рассмотрены особенности выбора моделей в зависимости от решаемых задач. Представлены три математические модели КТС: модель, в которой КА и груз представлены материальными точками, соединенные невесомым упругим тросом; модель, в которой КА рассматривается как твердое тело; многоточечная модель КТС.

В третьей главе проводится моделирование и анализ нештатных ситуаций. Рассмотрен коэффициент восстановления заклинивания (удара) под которым понимается отношение модуля скорости груза после заклинивания к модулю скорости до заклинивания. Предложен алгоритм моделирования заклинивания невесомого упругого троса с учетом коэффициента восстановления. Представлена методика исследования последствий заклинивания троса в зависимости от массово-инерционных параметров транспортной КТС. Изучено влияние заклинивания при динамическом развёртывании на последующее движение элементов космической тросовой системы. Для анализа использована математическая модель, в которой базовый космический аппарат и груз представлены как материальные точки, а трос - как совокупность точечных масс, соединенных отрезками невесомого упругого стержня.

В четвертой главе рассмотрены хаотические режимы движения КА в составе радиальной КТС, под которой понимается система, ориентированная в радиальном положении. Исследовано движение КА в случае, когда трос совершает малые колебания в окрестности устойчивого вертикального положения. Построены сечения Пуанкаре. Исследован случай ненатянутого троса.

Заключение содержит выводы по основным результатам работы.

1 Космические тросовые системы

В главе сформулирована проблема использования космических тросовых систем. Дана классификация КТС, способы развертывания, области применения и хронология реализованных экспериментов. Описана транспортная КТС. Рассмотрены нештатные ситуации, возникающие при развертывании КТС. Сформулированы задачи данного исследования.

1.1 Обзор проблемы

Космическая тросовая система [1, 2] - это комплекс искусственных космических объектов (спутников, грузов), соединённых длинными тонкими гибкими элементами (тросами, кабелями, шлангами), совершающий орбитальный полет. В наиболее простом виде - это связка двух космических аппаратов, соединенных тросом длиной в десятки или даже сотни километров. Сложные тросовые системы могут состоять из космических объектов, соединенных тросами. Структура системы может быть различной: в форме замкнутых колец, древовидных образований, объемных многогранников. Космические тросовые системы позволяют выполнять задачи, которые невозможно, нецелесообразно решать с помощью существующих средств космической техники.

От космических аппаратов традиционного типа тросовые системы отличаются тремя основными особенностями. Первая - большая протяженность, обеспечивающая устойчивое вертикальное положение системы на орбите, причем на концах системы создается малая искусственная тяжесть. Соединенные тросом аппараты имеют недостаток или избыток орбитальной скорости, а их движение выполняется с одним периодом обращения на разных высотах. Вторая особенность - гибко изменяемая конфигурация, возможность изменения длины тросов путем их выпуска и втягивания. Использование тросов позволяет регулировать взаимное положение и ориентацию аппаратов, присоединять и отцеплять другие объекты от тросов, передвигать по ним грузы. Третье отличие - активное взаимодействие электропроводного троса с внешней средой, в первую очередь, с

магнитным полем и ионосферой Земли, обеспечивающее функционирование системы в генераторном, двигательном и электропередающем режимах.

В зависимости от того, какая из этих особенностей преобладает у данной тросовой системы, какое свойство используется при эксплуатации, проекты таких систем можно разделить на три типа. У «статических» систем в процессе эксплуатации количество и длины тросов, количество и массы объектов, их взаимное положение и ориентация остаются постоянными. Ко второму типу относятся «динамические» системы, существенно изменяющие количество и длину тросов, количество и массу объектов, их взаимное положение и ориентацию. «Электромагнитные» системы снабжены электропроводными изолированными тросами с плазменными контакторами на концах и активно взаимодействуют с магнитным полем и ионосферой Земли. Тросовые системы могут иметь комбинированные свойства, например, одновременно динамические и электромагнитные.

Статические тросовые системы могут использоваться в исследованиях дальнего космоса, околоземного пространства, атмосферы и поверхности Земли с помощью протяженных измерительных систем (например, интерферометров с очень большой базой, равной длине троса), датчиков геофизических полей, разнесенных или распределенных вдоль троса и опускаемых на тросе на низкие высоты атмосферных зондов. На космических аппаратах в составе таких систем можно проводить различные эксперименты и технические операции (медико-биологические исследования, производство веществ и материалов, выращивание растений) в специфических условиях микрогравитации (от тысячных до десятых долей g) и отсутствия собственной внешней атмосферы вокруг аппаратов. Благодаря гибкой конфигурации тросовых систем, в космосе можно будет создавать сложные сооружения больших размеров, например, космические электростанции, поселения, заводы, оранжереи.

Динамические тросовые системы могут использоваться для выполнения орбитальных маневров космических аппаратов без затрат топлива - либо путем отведения аппарата на тросе с последующей его отцепкой, либо захватом и

подтягиванием аппарата тросом. Например, если от орбитальной станции отвести вниз на тросе длиной около 50 км грузовой корабль и затем отделить его, корабль сойдет с орбиты и упадет на Землю, а станция повысит свою орбиту, не затрачивая на это топлива. На лифтах, движущихся по тросам, предполагается перемещать грузы и экипажи, а используя поворотную штангу с выходящим с конца тросом, ориентировать в пространстве висящий на тросе аппарат.

Электромагнитные тросовые системы могут вырабатывать электроэнергию мощностью до 1 МВт за счет использования части кинетической энергии орбитального движения системы. Электроэнергией, получаемой от бортового генератора, можно поддерживать или медленно повышать высоту орбиты тросовой системы без затрат топлива. Используя некоторые электродинамические эффекты, возможно с минимальными потерями передавать электроэнергию по длинному тросу между разнесенными космическими аппаратами. Трос в качестве передающей антенны позволяет осуществлять эффективное излучение радиоволн низкочастотных диапазонов - этот принцип найдет применение в глобальных системах космической связи. С помощью электромагнитных тросовых систем можно осуществлять уборку космического мусора [14-17].

Рассмотрим некоторые примеры практического использования КТС наиболее приближенные к задачам настоящего времени [1, 18-20]. При традиционном способе межорбитальных перемещений рабочее тело, выброшенное из сопла реактивного двигателя, безвозвратно теряется. С помощью длинных тросов можно образовывать временные связки спутников и изменять их орбиты, передавая без потерь энергию и момент количества движения от одного спутника к другому, т.е. использовать один из спутников в качестве реактивной массы. Такими операциями можно достичь существенной экономии топлива. На рисунке 1.1 показана схема запуска спутника с орбитального самолета с помощью троса. Трос осуществляет передачу спутнику части энергии и момента количества движения орбитального самолета. Это приводит к увеличению апогея орбиты спутника и уменьшению перигея орбиты самолета, в частности орбитальный

самолет может выйти на траекторию входа в атмосферу и возвращения на Землю. Обратная схема показана на рисунке 1.2. При отделении последнего топливного бака от орбитального самолета бак не просто сбрасывается, а спускается на длинном тросе, передавая часть своей энергии и момента количества движения орбитальному самолету и увеличивая тем самым перигей его орбиты. Такая схема сброса бака позволит увеличить грузоподъемность орбитального самолета на 1.5 тонны без дополнительных затрат топлива [1].

Рисунок 1.1- Запуск спутника с помощью троса

Рисунок 1.2 - Сброс топливного бака

На рисунке 1.3 показана схема полета орбитального самолета на встречу с орбитальной станцией, которая имеет выпущенный на длинном тросе

стыковочный узел. Встреча происходит в апогее орбиты самолета. В результате подтягивания самолета, орбита станции временно снижается. После спуска орбитального самолета на тросе по схеме, показанной на рисунке 1.2, станция снова переходит на высокую орбиту, а самолет возвращается на Землю. Выигрыш на каждом запуске измеряется несколькими тоннами сэкономленного топлива или дополнительной полезной нагрузки.

Рисунок 1.3 — Стыковка орбитального самолета с космической станцией

На рисунке 1.4 приведена схема «космического эскалатора». Он состоит из нескольких ступеней - радиальных связок. Запускаемый на высокую орбиту спутник подлетает к нижнему концу каждой связки и по тросу перетягивается на ее верхний конец, затем перелетает к следующей связке и таким образом может быть доставлен на геостационарную орбиту. Постепенное снижение орбит связок, образующих ступени «космического эскалатора», может компенсироваться путем использования тросов как электромагнитных двигателей, а так же частично за счет встречного потока полезных грузов, возвращаемых с высоких орбит на Землю.

Рисунок 1.4 - Перемещение груза по «космическому эскалатору»

По исследованию проблем КТС можно выделить следующие труды. В [21] рассматривается управление развертыванием орбитальной тросовой системы (ОТС). В [22] рассматривается ОТС, состоящая из малой спускаемой капсулы (СК), связанной невесомым тросом космическим аппаратом (КА). Для данной системы предлагается оптимальная по критерию максимума Понтрягина программа управления развертыванием троса. Приводятся результаты параметрических исследований влияния характеристик ОТС на угол входа в атмосферу для случаев движения К А по круговой и эллиптическим орбитам. На основе численных результатов исследований строятся аналитические выражения, связывающие величину угла входа в атмосферу, параметры номинального управления развертыванием и характеристики ОТС. В [23] представлено решение задачи стабилизации программного развёртывания КТС с учётом ограничений на вращательное движение концевого тела. Предлагается критерий оптимальности, позволяющий учесть заданные ограничения при решении задачи стабилизации. Приводится пример расчёта оптимальных коэффициентов обратной связи и показывается, что данный подход позволяет существенно улучшить переходные процессы, возникающие при управлении развёртыванием КТС. В статье [24] предлагается подход к моделированию спуска легкой капсулы с орбиты с использованием тросовой системы. Система моделируется уравнениями динамики системы многих тел, элементы которой испытывают деформационное смещение. Описана динамика движения такой системы и параметры входа в

атмосферу для различных моделей взаимодействия частиц набегающего потока с поверхностью троса. Исследовано влияние аэродинамической и гравитационной стабилизации на спуск тросовой системы. Проведено сравнение со спуском капсулы без троса (рассмотрен случай, когда после развертывания тросовой системы трос обрезается в нижней точке). В [25] рассмотрено движение спускаемой капсулы относительно центра масс при развертывании ОТС. В [26] рассматривается пространственное движение в атмосфере двух твердых тел, соединенных невесомым и нерастяжимым тросом. Записывается и анализируется условие статической устойчивости углового движения системы по отношению к направлению вектора скорости набегающего потока воздуха. Исследуется влияние на условие устойчивости гироскопических членов и демпфирующих моментов. Приводится пример анализа движения в атмосфере связки двух тел, представляющих собой конусы со сферическим носком. Показывается, что устойчивое движение в атмосфере всегда можно обеспечить правильным согласованным выбором параметров всей системы в целом на основании полученных условий устойчивости. В монографии [27] рассматривается движение космического аппарата с тросовым аэродинамическим стабилизатором. В статьях [28-31] рассматриваются вопросы динамики космических тросовых систем. В статье [32] рассматривается механическая система, состоящая из КА, невесомого упругого троса и груза. Исследовано движение КА под действием силы натяжения радиально ориентированного троса. Показано, что колебания упругого троса могут привести к появлению хаотических режимов движения КА. С помощью метода Мельникова поучено условие, позволяющее определить меру демпфирования, достаточного для предотвращения этих хаотических режимов. Исследовано влияние массово-геометрических и упругих характеристик системы на вид фазового портрета и величину периодического возмущения, обусловленного колебаниями упругого вертикального троса. В [33] рассматривается движение на круговой орбите спутника относительно центра масс с упругой тросовой системой, развернутой по местной вертикали. Концевой груз совершает гармонические колебания. Изучается движение спутника под

действием гравитационного момента и момента от силы натяжения троса. С помощью метода Мельникова исследовано хаотическое поведение спутника в окрестности сепаратрис под действием периодической силы натяжения троса. В статье [34] методами хаотической динамики исследовано движение на круговой орбите космического аппарата относительно центра масс с упругой тросовой системой, развернутой по вертикали. На космический аппарат действует гравитационный момент и момент от силы натяжения троса. Построены гетеро и гомоклинические сепаратрисные орбиты. С помощью метода Мельникова исследовано хаотическое поведение космического аппарата в окрестности сепаратрис. Исследовано изменение толщины хаотического слоя в зависимости от механических характеристик троса и параметров космического аппарата. В [35] предложены алгоритмы определения вероятности выживания космической тросовой системы при угрозе ее разрушения космическими частицами. Потоки частиц космического мусора рассмотрены как стационарные пуассоновские потоки. Интенсивность потоков частиц рассчитывается с помощью известных компьютерных моделей ORDEM 2000, Master 2001. В [36] рассматривается движение вокруг центра масс упругой тросовой системой, состоящей из двух концевых тел и невесомого упругого троса, находится в развернутом положении. Центр масс системы движется по эллиптической траектории. С помощью уравнения Лагранжа второго рода построены уравнения движения упругой тросовой системы, в качестве независимой переменной выбран угол истинной аномалии. Рассмотрен частный случай движения системы, когда длина троса остается постоянной. Показано, что в этом случае система подвержена хаосу. В статье [37] рассматривается механическая система, включающая в себя КА, весомый трос и концевой груз. КА представляется как твёрдое тело, совершающее движение центра масс и вокруг центра масс под действием гравитационного момента и момента от силы натяжения троса. С помощью уравнения Лагранжа второго рода получена математическая модель плоского движения представленной механической системы. Показано, что полученная модель может быть использована как для анализа развёртывания тросовой системы, так и для

изучения поведения самого КА. В [38] рассматривается движение вокруг центра масс твердого тела с тросовой системой, предназначенной для спуска с круговой орбиты возвращаемой капсулы. При развертывании тросовой системы направление и величина силы натяжения троса меняются и, если точка приложения силы натяжения не совпадает с центром масс тела, возникает момент, приводящий к колебаниям тела с переменными амплитудой и частотой. Приведено нелинейное уравнение возмущенного движения тела относительно центра масс под действием силы натяжения троса и гравитационного момента. В предположении о медленном изменении силы натяжения по величине и направлению, а также о малости гравитационного момента найдены приближенные и точные решения в элементарных функциях и эллиптических функциях Якоби нелинейного дифференциального уравнения невозмущенного движения. Для возмущенного движения интеграл действия выражен через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. В [39] рассматривается влияние на вращательное движение КА тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю. В статье [40] рассматривается космическая тросовая система, включающая спутник (твердое тело), весомый упругий трос и концевой груз. С помощью уравнения Лагранжа второго рода получена математическая модель, которая позволяет исследовать плоское поступательное движение центров масс элементов системы и вращательное движение спутника и троса. Показано, что полученные при допущении о независимости движения центра масс системы от относительного движения ее элементов, уравнения движения для новой независимой переменной — угла истинной аномалии, являются обобщением известных математических моделей. Исследовано влияние упругости троса на угловые колебания троса и спутника. Построенная модель может быть использована как для анализа процесса развертывания тросовой системы, так и для изучения совместного поведения спутника и троса вокруг собственных центров масс. В [9] предложена математическая модель пространственного движения КТС, включающей спутник, трос и груз. Модель используется для исследований совместного движения элементов системы и анализа возможностей

безопасного для спутника процесса развертывания КТС при некоторых нештатных ситуациях. В статье [41] рассматривается механическая система, включающая в себя космический аппарат (КА), весомый трос и концевой груз. КА представляется как твёрдое тело, совершающее движение центра масс и вокруг центра масс под действием гравитационного момента и момента от силы натяжения троса. С помощью уравнения Лагранжа второго рода получена математическая модель плоского движения представленной механической системы. Показано, что полученная модель может быть использована как для анализа развёртывания тросовой системы, так и для изучения поведения самого КА.

1.2 История развития космических тросовых систем

Впервые идею космического лифта выдвинул Циолковский К.Э. [3]. Для создания искусственной тяжести Циолковский предложил использовать вращающуюся связку обитаемой станции и балластной массы, соединенных цепью длиной 500 м, а для перемещения грузов в космосе - цепочку, выпускаемую и втягиваемую лебедкой.

В 1910 г. Цандер Ф.А. [42] выдвинул проект «космического лифта» с 60000 км тросом, протянутым с поверхности Луны к Земле. Под действием гравитационных и центробежных сил такой трос будет постоянно натянут, и по нему, как по канатной дороге, можно транспортировать грузы.

В 20-30-е гг. идеи Циолковского нашли отражение в проектах вращающейся тросовой космической станции Кондратюка Ю.В. и в фантастических романах Беляева А. «Звезда КЭЦ» и «Прыжок в ничто». Идеи Цандера Ф.А. о космическом лифте были развиты в 60-70-е гг. в работах Арцутанова Ю.Н. [4, 43, 44], предложившего проект троса, протянутого с поверхности Земли на геостационарную орбиту и в проекте тросового «космического ожерелья Земли» Полякова Г.Г. [5, 45-27]. На западе исследованием КТС активно занимался Jerome Pearson.

В 1965 г. в РКК «Энергия» (бывшая ЦКБМ) под руководством С.П. Королева началась подготовка к первому в мире космическому эксперименту с

тросовой системой. Разработанный проект «Союз-ИТ» предусматривал создание искусственной тяжести на космическом корабле «Союз», соединённом километровым стальным тросом с последней ступенью ракеты-носителя, путем приведения этой связки во вращение. Но после кончины Королева С.П. проект был закрыт.

К реализованным КТС можно отнести следующие эксперименты (Таблица 1.1) [7]. НЗО - низкая околоземная орбита, суб. - суборбитальный запуск.

Эксперименты КТС Таблица 1

Название КТС Страна Год спуска Орбита Длина Комментарии

«Gemini-11» США 1966 НЗО 30 м Использование последней ступени ракеты-носителя «А§епа» для стабилизации движения космического корабля.

«Gemini-12» США 1966 НЗО 30 м Стабилизация вдоль местной вертикали. Эксперименты на «Оегтт-П, 12» показали как принципиальную возможность стабилизации, так и трудности ее практической реализации: плохая стабилизация, кручение ленты.

Н-9М-69 США 1980 Суб. <500м Неполное развертывание

S-520-2 США 1981 Суб. <500м Неполное развертывание

CHARGE-1 США, Япония 1983 Суб. 500 м Полное развертывание

CHARGE-2 США, 1984 Суб. 500 м Полное развертывание

Япония

ЕСНО-7 США 1988 Суб. Большой накопленный электрический заряд повредил электронное оборудование зонда.

0ЕБ1Ри8-А США, Япония 1989 Суб. 958 м Стабилизация продольным вращением концевых тел.

СШЖ}Е-2В Канада, США 1992 Суб. 500 м Полное развертывание

Т88-1 Италия, США 1992 ИЗО <500м Электродинамическая КТС. Вследствие зажима троса в лебедке его удалось выпустить всего на 265 м (вместо 20 км), после чего трос с привязным спутником были втянуты обратно.

8ЕЭ8-1 США 1993 ИЗО 20 км Отработка безрасходного спуска груза с орбиты.

РМХЗ США 1993 ИЗО 500 м Развертывание вдоль местной вертикали по направлению от Земли. Эллиптическая орбита.

8ЕЭ8-2 США 1994 ИЗО 20 км Развертывание тросовой системы в вертикальное положение. Улучшенный, по сравнению с 8Е08-1, закон управления развертыванием.

ОЕБТРШ-С Канада, США 1995 Суб. 1 км Стабилизация продольным вращением концевых тел.

TSS-1R Италия, США 1996 ИЗО 19.6 км Электродинамическая КТС (генерация электроэнергии и научные исследования). Трос был размотан почти на всю длину, но оборвался из-за короткого замыкания (вероятная причина — механическое повреждение изоляции). Привязной спутник был потерян.

TiPS США 1996 ИЗО 4 км Долговременный полет (исследование стойкости троса к воздействию метеорных частиц). Проект использования тросовых антенн в космосе.

ATEx США 1999 ИЗО < 30м Неполное развертывание (полная длина троса: 6 км).

«Picosat-21», «Picosat-23» США 2000 ИЗО 30 м Два спутника массами по 250 г, выполненные по технологии MEMS, созданы студентами Университета Санта-Клара, Калифорния. Трос обеспечивает возможность слежения за системой с помощью радаров.

«Picosat-7», Picosat-8» США 2001 НЗО 30 м Два 250-граммовых спутника запущены Aerospace Corp./DARPA с борта спутника «Mightysat 2.1».

MEPSI США 2002 НЗО 15 м Спутники массой по 1 кг с фотокамерой и миниатюрным передатчиком. Прототип спутника-инспектора состояния поверхности МКС.

DTUSat-1 Дания 2003 НЗО Студенческий спутник стандарта CubeSat с системой развертывания типа «йо-йо». На связь не вышел.

MAST США 2007 НЗО < Юм Концевые тела — CubeSat'ы. Неполное развертывание.

YES-2 EC, Россия 2007 НЗО 30 км Неправильные показания датчика, измеряющего скорость размотки троса. Спускаемая капсула вошла в атмосферу, но не приземлилась в ожидаемом районе.

STARS Япония 2009 НЗО Юм Прототип спутника-инспектора состояния поверхности МКС. Цель проекта: получить фотографии основного спутника (Mother) с борта привязного спутника. Трос удалось развернуть. В ходе полета наблюдались проблемы со стабилизацией обоих спутников.

В России были созданы научные школы, занимающиеся теоретическими исследованиями космических тросовых систем. С конца 60-х гг. эти исследования велись, главным образом, в Институте прикладной математики (ИПМ) АН СССР такими крупными учеными, как Белецкий В.В., Сарычев В.А., Левин Е.М. [48-50]. Исследования механики тросовых систем давно ведутся в Московском государственном авиационно-технологическом университете (МГАТУ, бывший МАТИ) под руководством Иванова В.А. и Ситарского Ю.С. [51]. В последние годы подобные исследования ведутся в Самарском государственном аэрокосмическом университете, Московском авиационном институте, Московском государственном техническом университете им. Баумана Н.Э., Военной инженерной космической академии им. Можайского H.A. Изучением электродинамики и радиофизики тросовых систем занимаются в ЦНИИ машиностроения, Институте радиотехники и электроники РАН, Московском физико-техническом институте.

В НПО машиностроения совместно с Институтом земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн разрабатывался проект эксперимента на станции «Алмаз», где предполагалось отвести на тросе платформу с аппаратурой для геофизических исследований. В НПО им. Лавочкина С.А. были разработаны и реализованы проекты марсианского тросового пенетратора на базе межпланетной станции «Фобос» и тросовой системы для обслуживания орбитальной станции на базе спутника «Прогноз». Институтом космических исследований РАН предложен проект тросовой системы в форме тетраэдра для исследования электрических и магнитных полей в околоземном пространстве.

В последнее время проводится работа по тросовым системам с участием иностранных специалистов. Самарский аэрокосмический университет совместно с ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-ПРОГРЕСС» принимал участие в разработке спутника YES2. В ЦНИИМаш по гранту NASA разработан проект двойной электродинамической тросовой системы ТЭДОС на корабле «Прогресс-М». В РКК «Энергия» во взаимодействии с европейскими специалистами разрабатывается проект возвращения баллистических капсул и грузовых кораблей с пилотируемой

станции при помощи длинных тросов. В 1994 г. в сотрудничестве с немецкой фирмой «Kayser Threde» был создан проект совместного эксперимента «Трос-Rapunzel» [19], затем по заказу Европейского космического агентства (ESA) прорабатывался эксперимент тросового спуска капсулы «Радуга».

Начало работ в области тросовых систем за рубежом связано с именем итальянского ученого G. Colombo, разработавшего в 60-70-х гг. (совместно с работавшим в США итальянским специалистом Grossi M.) многочисленные проекты их практического применения в космосе и активно выступавшего за развитие такого направления. В частности, ими выдвинуты идеи электромагнитной тросовой системы и привязного атмосферного зонда, нашедшие в 90-х гг. практическое воплощение в итало-американских проектах «TSS-1» и «TSS-2» [52, 53].

Реализации проектов «TSS» способствовала поддержка директора одного из подразделений NASA I. Becky, организовавшего в 1983 г. первую рабочую встречу специалистов по этой проблеме. После этого состоялись международные конференции по проблемам космических тросовых систем, проходившие в 1986 г. в Арлингтоне (США), в 1987 г. в Венеции, в 1989 г. в Сан-Франциско и в 1995 г. в Вашингтоне. На последней конференции выступили специалисты из США, Канады, Италии, Германии, Испании, Франции, Австрии, Японии и Китая.

В конце 1966 г. были проведены два американских эксперимента на пилотируемых кораблях «Gemini» - они соединялись 30-м синтетическими лентами с ракетной ступенью «Agena». В первом эксперименте связка космических объектов вращалась вокруг общего центра масс, а во втором — в устойчивом вертикальном положении.

В рамках американо-японской программы в 1980-85 гг. были осуществлены четыре запуска на высоту 328 км зондирующих ракет. В ходе полета полезный груз удалялся на электропроводном тросе на 400 м (серия экспериментов «CHARGE»). В первых двух экспериментах тросы удалось выпустить только на длину 30 м и 65 м. В двух последних - тросы были выпущены полностью, что позволило выполнить исследования электродинамики тросовой системы.

Итало-американский эксперимент «TSS-1» был проведен в 1992 г. Предполагалось отвести от корабля «Atlantis» итальянский привязной спутник на электропроводном тросе длиной 20 км и выполнить электродинамические и радиофизические исследования. Привязной спутник разрабатывала итальянская фирма «Aeritalia» (Alenia Spazio), а тросовую систему - американская фирма «Martin Marietta». Вследствие зажима троса в лебедке его удалось выпустить всего на 265 м, после чего трос был втянут обратно.

В феврале 1996 г. в ходе полета корабля «Space Shuttle» сделана попытка повторить такой эксперимент (TSS-R). Трос размотали почти на всю длину, однако он неожиданно оборвался из-за короткого замыкания, вероятная причина -механическое повреждение изоляции. Из-за аварии дорогостоящий итальянский спутник вместе с тросом ушел на другую орбиту и был потерян. Тем не менее, в экспериментах серии «TSS» была проведена часть запланированных электродинамических исследований, в частности, в эксперименте «TSS-1R» в тросе был достигнут ток силой 0.5 А. Еще два американских эксперимента «SEDS-1» и «SEDS-2» [10, 11, 54-56] выполнены в 1993-94 гг. От последней ступени ракеты-носителя «Дельта-2» отводились полезные грузы на тросах длиной 20 км, выпускаемых с помощью катушек, разработанных американским специалистом J. Carrol. В первом эксперименте отрабатывался безрасходный, спуск груза с орбиты, а во втором - развертывание тросовой системы в вертикальное положение. В 1993 г. также с использованием ракеты «Дельта-2» проведен эксперимент «PMG» [57] с электропроводным тросом длиной 500 м, позволивший исследовать некоторые эффекты электродинамики данной системы.

Канадские эксперименты «OEDIPUS-A» и «OEDIPUS-C» [58, 59] с тросами длиной 1 км проведены в 1989 и 1995 гг. В мае 1996 г. состоялся запуск двух американских аппаратов морской разведки с тросом длиной 4 км (эксперимент «TiPS») [60, 61]. Программой длительного полета предполагалось исследовать стойкость троса к воздействию метеорных частиц.

После проведения экспериментов «TSS-1» и «TSS-1R» (затраты составили почти миллиард долларов) пересмотрена программа работ США в области

тросовых систем. Планировавшийся эксперимент «TSS-2» с атмосферным зондом, опускаемым вниз с корабля «Space Shuttle» на 100-км тросе, был отменен. Другие эксперименты в космосе вначале были ограничены проектами, не превышающими по стоимости 10 млн. долларов, а затем вообще прекращены.

1.3 КТС, предназначенные для доставки груза на Землю

Среди множества проектов КТС наиболее близкими к практической реализации являются транспортные КТС, предназначенные для доставки грузов с орбиты на поверхность Земли.

1.3.1 Доставка груза на Землю

Для спуска груз на Землю необходимо перевести его на орбиту, перигей которой пересекается с плотными слоями атмосферы. Традиционно для решения этой задачи используются реактивные двигатели, при этом рабочее тело, выброшенное из сопла при торможении груза, безвозвратно теряется. Альтернативным подходом, лишенным этого недостатка, является использование космического троса. С его помощью на орбите образуется временная связка, состоящая из базового КА, троса и груза, которая позволяет без потерь передавать механическую энергию и момент количества движения от одного связанного тела другому [1, 2, 9]. Груз отделяется от КА с небольшой относительной скоростью, порядка нескольких метров в секунду, и опускается на тросе в направлении Земли на несколько десятков километров. Установленный на базовом КА механизм развертывания постоянно удерживает трос в натянутом состоянии, что делает КА, груз и трос единой механической системой, центр масс которой движется по орбите, близкой к исходной орбите базового КА. При этом в процессе выпуска троса скорость и высота орбиты КА увеличиваются по сравнению с исходными значениями, а скорость и высота орбиты груза -уменьшатся. Происходит перераспределение энергии между элементами системы. После разрыва троса груз оказывается на более низкой эллиптической орбите, пересекающейся с атмосферой, что делает возможным его спуск на Землю.

1.3.2 Способы развертывания КТС

В литературе рассматривается два разных способа развёртывания троса [62]: статический и динамический (рисунок 1.5). При статическом развёртывании трос выпускается с малой относительной скоростью, а груз все время находится в окрестности местной вертикали. После достижения расчётной высоты, происходит разрыв троса, и груз переходит на траекторию спуска.

Направление

Местная вертикаль

\

Динамическое развертывание Статическое развертывание

Рисунок 1.5- Способы развертывания троса

Смысл динамического манёвра состоит в раскачке троса и использовании возвратного колебательного движения для дополнительного уменьшения скорости груза. Рассмотрим более подробно схему динамического развёртывания (рисунок 1.6). С КА на гибком тросе в вертикальном направлении с некоторой скоростью выпускается груз. Под действием кориолисовой силы он отклоняется от местной вертикали в сторону направления движения КА. По мере увеличения длины троса высота груза над поверхностью Земли будет уменьшаться, а гравитационное ускорение, действующее на груз, будет увеличиваться по сравнению с аналогичным ускорением, действующим на КА. За счёт этого груз совершит возвратное движение в направлении вертикали КА. В окрестности этой вертикали груз будет иметь скорость меньшую, чем скорость КА. То есть, груз получит отрицательное приращение к орбитальной скорости, эквивалентное

движения

Место

отделения груза

тормозному импульсу. При использовании динамического развёртывания требуемое уменьшение перигея орбиты может быть достигнуто с помощью троса значительно меньшей длины по сравнению со статическим манёвром [9].

Направление

Проблеме поиска оптимальных законов динамического развёртывания троса посвящены многие научные работы. Большой вклад в развитие этого направления внес F. Zimmerman, предложивший оптимизировать управление, учитывая фазу свободного спуска возвращаемой капсулы, и показал, что уменьшение перигея её орбиты зависит от длины троса и максимального угла отклонения троса от местной вертикали [62]. Конкретный вид закона управления зависит от параметров движения КА, его массово-инерционных и геометрических характеристик, длины и свойств троса. Большинство рассматриваемых в литературе законов динамического развёртывания состоят из трёх фаз: развёртывания с небольшой скоростью на несколько километров; быстрого развёртывания с целью отклонения троса на максимальный угол от местной вертикали; возвратное колебание и отделение капсулы в окрестности местной вертикали. Именно такой закон использовался в эксперименте YES2.

К настоящему времени было реализовано несколько экспериментов по исследованию транспортных КТС. В 1993-1994 годах были успешно проведены эксперименты «SEDS-1» и «SEDS-2», целью которых была отработка системы доставки груза с орбиты с использованием статического развёртывания троса [11]. В 2007 году состоялся запуск спутника YES2 с динамической тросовой системой.

1.3.3 Эксперимент YES2

Проект европейского космического эксперимента YES2 (рисунок 1.18) (Young Engineers Satellites - Спутники Молодых Инженеров) [12, 63] разрабатывался с 2002 года в рамках образовательной программы Европейского космического агентства учеными и студентами России, Великобритании, Греции, Италии, Голландии и Германии. Целью эксперимента YES2 была демонстрация технологии оперативного возвращения на Землю небольших полезных нагрузок при помощи КТС. В эксперименте предполагалось продемонстрировать спуск с орбиты с посадкой на Землю в заданном районе возвращаемой баллистической капсулы Fotino, устанавливаемой на спутнике «Фотон-М» (1.7), с использованием троса длиной 30 км по схеме динамического развертывания. Спутник YES2 состоял из 3 основных частей.

V

%

Рисунок 1.7 - YES2 на базе спутника Фотон-М

FLOYD (Foton Located YES2 Deployer) - часть спутника, расположенная на Фотоне, и содержащая большую часть электроники и сам трос. FLOYD состоит из

шестиугольной камеры, в которой расположен намотанный на катушку трос. Электроника расположена в двух корпусах - в одном, находящемся поверх камеры с тросом и во втором, расположенном на стороне камеры с тросом и выполненном в виде куба. При помощи шагового двигателя трос наматывается на круглый, шероховатый цилиндр для того, чтобы при помощи трения притормозить трос.

MASS (Вспомогательная механическая и измерительная система или Mechanical and data Acquisition Support System) к моменту начала миссии закреплена на FLOYD. MASS состоит из круглого основания, цилиндра, закреплённого на нём и воронки, смонтированной на цилиндре. Вокруг цилиндра закреплены прочие отделения с электроникой, которые управляют выпуском возвращаемой капсулы.

Fotino представляет собой сферу весом примерно 5.5 кг, состоящую преимущественно из кремния, алюминия, полиуретана и оксида алюминия, подготовленного специальным образом. К началу эксперимента капсула Fotino была закреплена в воронке модуля MASS. Внутри капсулы находились приборы для определения координат и связи.

В качестве системы выталкивания груза использовался комплекс пружин и отсекателей. Три пружины сжаты с одинаковыми усилиями между корпусами MASS и FLOYD и удерживаются тремя зацепами. Нижние части зацепов стянуты охватывающей их стальной проволокой, натянутой пружиной. Когда проволока разрезается пироотсекателем, зацепы поворачиваются вокруг осей и освобождают пружины. Остается единственная сила, воздействующая на систему - усилие пружин, которые выталкивают полезную нагрузку. Во время выталкивания обломков не образуется, так как металлическая проволока соединена с натянутой пружиной и остается на FLOYD, а три выталкивающие пружины и их колпаки привинчены к выталкивающей системе. Единственная отделяемая часть -полезная нагрузка (MASS вместе с Fotino). На спутнике YES2 был использован трос длиной 30 км, диаметром 0.5 мм и массой около 5 кг, изготовленный из

полиэтиленового волокна Dyneema (/? = 1270 кг/м3, а = 6.4-108 Па), имеющий расчетную прочность на разрыв около 500 Н.

Эксперимент проходил следующим образом [12, 64]. Первым шагом КА «Фотон-М» необходимо было перевести в режим полета, когда продольная ось космического аппарата ориентирована вдоль местной вертикали. После включения аппаратуры YES-2 должно было произойти отталкивание сцепки MASS+Fotino с помощью пружинных толкателей и начаться программно-контролируемый выпуск троса, проходящий в два этапа.

На первом этапе длительностью около 80 минут трос должен был быть выпущен до длины 3.45 км. Далее должна была следовать фаза удерживания (длительностью около 10 минут), во время которой проходит оценка текущего состояния тросовой системы и проводится синхронизация реальной динамики троса с расчетной - с целью обеспечения необходимых условий приземления капсулы в заданном районе. Затем наступает второй этап выпуска троса на его полную длину 30 км - продолжительность этого этапа равна примерно 1 часу. По завершении развертывания полностью выпущенный трос переходит в режим маятниковых колебаний в плоскости орбиты по отношению к КА «Фотон-М» - и согласно таймеру в заданный момент времени должно произойти отделение капсулы FOTINO от блока MASS.

Описанный маневр позволяет получить значение перигея новой орбиты капсулы намного меньше, чем при простом отделении на расстоянии длины троса в его статическом вертикальном положении, что гарантирует переход капсулы на траекторию спуска со входом в атмосферу. Через 10 минут после отделения FOTINO должна была произойти отсечка троса с блоком MASS от КА «Фотон-М» - эта часть тросовой системы должна безопасно разойтись со спутником и вскоре сгореть в земной атмосфере. Конструкция капсулы FOTINO разработана для выполнения задачи успешного прохождения плотных слоев атмосферы и приземления: капсула входит в атмосферу, по достижении высоты 5 км должен открыться парашют, а капсула совершить посадку на поверхность Земли. Эксперимент YES2 состоялся 14 сентября 2007 года.

1.4 Нештатные ситуации на транспортных КТС. Постановка задачи

В современной космонавтике, как правило, используются многоцелевые спутники. Операция доставки груза с орбиты является одной из многих задач в программе проводимых исследований. Поэтому проблемы, связанные с работой тросовой системы, не должны препятствовать выполнению других задач, выполняемых на базовом КА. Важно предусмотреть возможность возникновения нештатной ситуации, выявить ее на ранней стадии и вовремя принять все необходимые меры для устранения (вплоть до обрыва троса и потери груза).

Нормальный режим работы космической тросовой системы подразумевает, что в момент выпуска грузу сообщена начальная скорость, направленная вниз вдоль местной вертикали. Очевидно, что для этого спутник должен быть соответствующим образом сориентирован в пространстве, а механизм развертывания должен правильно функционировать на протяжении всей операции и поддерживать заданную силу натяжения троса.

На практике могут возникать непредвиденные ситуации, при которых нарушается заданное функционирование системы. Такие ситуации принято называть нештатными, а их характер и последствия зависят от причин возникновения. На рисунке 1.8 приведена классификация основных видов нештатных ситуаций.

Поломка механизма развертывания

Нештатные ситуации |

Отказ системы ориентации КА

Заклинивание троса

Закрутка КА (хаос) I

Обрыв троса

Отскоки

Трос

"^Траектория

Соударение

Рисунок 1.8 - Классификация нештатных ситуаций

Нештатные ситуации можно условно разделить на две группы: опасные для груза и опасные для груза и КА. К первой группе относятся нештатные ситуации, которые приводят к потере груза, например, обрыв троса. Ко второй группе относятся ситуации при которых происходит намотка троса или столкновение груза с КА. Изучение таких ситуации представляет большой интерес, так как их последствия могут привести не только к поломке внешних элементов корпуса КА, но и к потере всего космического аппарата.

Принципиально схему заклинивания троса можно описать следующим образом (рисунок 1.9). При заклинивании длина троса перестает увеличиваться, при этом груз продолжает двигаться, растягивая трос. Сила натяжения резко возрастает, что с одной стороны может привести к обрыву троса (рисунок 1.9а), а с другой - к раскачке и закручиванию базового КА, что в свою очередь приведет к наматыванию троса на КА (рисунок 1.96). Если трос выдержит растяжение, через некоторое время начнется обратное колебательное движение, в результате которого груз будет двигаться в направлении КА и может с ним столкнуться

(рисунок 1.9в). В случае, если ни один из перечисленных сценариев не реализуется, будет наблюдаться серия отскоков груза, когда фазы связанного и свободного движения будут сменять друг друга.

Рисунок 1.9 - Последствия заклинивания троса

Несмотря на слабую изученность нештатных ситуаций КТС, этой проблеме посвящен ряд работ. Исследовано влияние неправильной ориентации КА на процесс развёртывания [9], проведена оценка возможности доставки груза на Землю при преждевременном разрыве троса [65], исследован вопрос выживаемости КТС при столкновении троса с микрометеоритом [35], исследована возможность столкновения груза и несущего К А в результате заклинивания [66], исследованы последствия заклинивания троса в задаче доставке груза с орбиты [67], исследовано влияние заклинивания троса на движение космической тросовой системы при динамическом развертывании [68], исследованы хаотические режимы движения КА с тросом, совершающим малые колебания около местной вертикали [69].

В работе требуется провести исследование нештатных ситуаций, возникающих при заклинивании троса и хаотическом движении КА.

1.5 Методы решения. Сечения Пуанкаре для исследования хаотических режимов движения КТС. Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки и их пересечение

Для анализа движения нелинейных механических систем в хаотической динамике [70-73] широко используются метод сечений Пуанкаре [74], позволяющий качественно оценить наличие хаоса в системе. Рассмотрим систему с непрерывным временем [75], динамика которой описывается некоторыми дифференциальными уравнениями. Пусть для определенности это автономная система с трехмерным фазовым пространством. Расположим в фазовом пространстве двумерную площадку 5 и зададим на ней некоторую систему координат (Х,У). Выбор секущей поверхности в высокой степени произволен, но она должна размещаться так, чтобы интересующие нас фазовые траектории многократно ее пересекали и касание было бы исключено. Возьмем произвольную точку на секущей поверхности, выпустим из нее фазовую

траекторию и проследим за этой траекторией, пока не произойдет следующее: ее пересечение с площадкой в некоторой точке (Х,У) с проходом в том же направлении. Если изменить точку старта, получится другая точка-образ. Следовательно, возникает некоторое отображение секущей поверхности в себя:

Это и есть отображение последования или отображение Пуанкаре (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10— Построение сечения Пуанкаре: а) для автономной системы с трехмерным фазовым пространством; б) для системы с периодическим внешним

воздействием

Сосредоточимся на анализе динамики механической системы, порождаемой отображением Пуанкаре. Подмена объекта исследования не сопровождается какими-либо аппроксимациями, анализ остается точным. Использование сечений Пуанкаре подразумевает потерю информации о характере динамики в промежутки времени между последовательными пересечениями секущей поверхности, в частности, о продолжительности интервалов времени между этими пересечениями и о топологических свойствах фазовых траекторий. Тем не менее, сохраняется возможность анализировать многие принципиальные вопросы, например, устанавливается ли в системе регулярный или хаотический режим.

Найти отображение Пуанкаре для конкретных нелинейных систем в явном виде удается очень редко, в тех исключительных случаях, когда дифференциальные уравнения допускают аналитическое решение. В ином случае построение отображения Пуанкаре сводится к написанию численного алгоритма. Предположим, что динамическая система описывается дифференциальными уравнениями

Ш

(1.5.1)

а секущая поверхность задана уравнением

8(х,у,2) = 0.

(1.5.2)

Пусть имеется реализованный алгоритм решения системы уравнений (1.5.1). Зададим в качестве начального условия некоторую точку на секущей поверхности и будем строить решение шаг за шагом разностным методом, отслеживая знак функции 8(х,у,г). Момент пересечения траекторией секущей поверхности - это момент смены знака 5. Можно зафиксировать между какими по номеру шагами разностного метода это случится. Предположим, что это произошло между п-м и (и + 1)-м шагами, поэтому 8п=8{х{п^),у{пМ),г{п^У) и

=5'(л:((« + 1)А0,>'((и + 1)Аг),2((« + 1)А0) имеют противоположный знак. Следует уделить внимание вопросу об уточнении момента пересечения. Способ согласования результата по точности с используемой аппроксимацией был предложен Мишелем Эно, который состоит в следующем. Дополним (1.5.2) еще одним соотношением:

Перепишем уравнения, приняв за независимую переменную 5. Вводя для удобства обозначение

дБ сЬс дБ с1у ск

— =---1----|---

<И дх ск ду & дг &'

или

йй1 дЗ , ч . п / \ . дЗ г- г \

55

дг

(1.5.3)

имеем:

_ /¿х,у,г) с18 Н(х,у,гУ

(Е Н{х,у,гУ ¿г _ /3 (х,у,г) Н(х,у,г)' _ 1 б/б1 Н(х,у,г)

Возьмем значения х, у, г, £ полученные на (и + 1)-м шаге и сделаем шаг по Б, величина которого (-5'и+1) может быть как положительной, так и отрицательной. После этого £ обратится в нуль, а полученные в результате х, у, г, / дадут значения динамических переменных и времени в момент пересечения траекторией поверхности Алгоритм построения отображения Пуанкаре по методу Эно удобно программировать как численное решение уравнений (1.5.4). При этом функция Н(х,у,г) полагается равной 1 до тех пор, пока выполняются «стандартные» шаги по времени, и переопределяется в соответствии с (1.5.3), когда возникает необходимость произвести «нестандартный» шаг по 5. Поскольку в обоих случаях используется один и тот же разностный метод, достигается желаемое согласование по точности, хотя при этом объем вычислений увеличивается из-за того, что количество уравнений стало больше на единицу.

Отдельного обсуждения требует важный для нелинейной динамики класс систем, задаваемых неавтономными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. С физической точки зрения, это системы с периодическим внешним воздействием - а силовым или параметрическим. Для таких систем процедура построения сечения Пуанкаре несколько отличается.

Пусть в отсутствие периодического воздействия система имела двумерное

фазовое пространство (х,у) и описывалась уравнениями вида

х = /х{х,у\ у = /2(Х,УУ

Наличие внешнего периодического воздействия в общем случае выражается в том, что функции fx и f2 надо считать периодически зависящими от времени, то есть

fx{x,y,t) = fx(x,y,t + T), f2(x,y,t) = f2(x,y,t + T),

и записать

* = Мх,уЛ (155)

Введем новую переменную z, удовлетворяющую уравнению ¿ = 1. Автономная система с трехмерным фазовым пространством

y = fi(x,y,z\ z = 1

эквивалентна (1.5.5). Для построения отображения Пуанкаре, секущей поверхностью удобно взять плоскость z = const (рисунок 1.10а). В качестве координат на секущей плоскости можно использовать динамические переменные х и у. Поскольку по z фазовое пространство имеет периодическую структуру, можно не различать точки, отстоящие друг от друга на целое число периодов Т . То есть, когда изображающая точка пересекает верхнюю плоскость на рисунке 1.106, она мгновенно переходит на нижнюю, сохраняя те же значения координат хну. Рассмотрение вспомогательной переменной z можно опустить, так как она не отличается от времени t, и говорить о фазовом пространстве {x,y,t).

Отображение Пуанкаре х'= F^x^y), у'= F2{x,y) описывает изменение динамических переменных за один период внешнего воздействия. Его иногда называют стробоскопическим. Можно представить, что динамика системы большую часть времени протекает в темноте и недоступна для наблюдения. Однако один раз за период внешнего воздействия на короткий миг вспыхивает яркий свет так, что мы можем отслеживать дискретную последовательность состояний, отвечающую моментам вспышек. В отличие от случая автономных систем, для численного построения стробоскопического отображения Пуанкаре

нужно всегда выбирать шаг интегрирования так, чтобы период воздействия содержал целое число шагов.

Все проведенное рассмотрение обобщается для фазового пространства большей размерности, только вместо секущей двумерной площадки надо говорить о сечении Л^-мерного фазового пространства гиперповерхностью размерности N — 1. То обстоятельство, что при использовании отображения Пуанкаре размерность векторов состояния, с которыми приходится работать, уменьшается на единицу, иногда очень полезно. Проводя рассуждения в терминах отображения Пуанкаре, можно получать заключения общего характера, применимые и к системам, описываемым дифференциальными уравнениями, как автономными, так и неавтономными, и к рекуррентным отображениям -динамическим системам с дискретным временем. Процедура построения отображения Пуанкаре перестала оставаться на теоретическом уровне и часто применяется как один из инструментов при экспериментальном исследовании динамики нелинейных систем. Полученное таким образом сечение позволяет сделать вывод о наличии хаоса в системе. Если точки на сечении Пуанкаре образуют четкие линии, можно сказать, что хаоса в системе нет. Если точки образуют равномерное облако, то в системе присутствует хаос.

Рассмотрим динамическую систему, заданную некоторым отображением, и пусть у этого отображения есть неподвижная точка гиперболического типа. Множество точек, стартуя из которых траектория в пределе приближается к неподвижной точке, есть инвариантное множество рассматриваемой динамической системы, которое называется устойчивым многообразием неподвижной точки. Другое ассоциирующееся с ней инвариантное множество -это неустойчивое многообразие. Если мы будем запускать траектории из окрестности неподвижной точки и устремим размер этой окрестности к нулю, а время наблюдения к бесконечности, то посещаемое траекториями множество точек в фазовом пространстве и будет неустойчивым многообразием. Альтернативное определение таково: это множество точек, при старте из которых динамика в обратном времени приводит в пределе в неподвижную точку.

Если рассматриваемое отображение двумерное, то гиперболическая неподвижная точка обязана быть седлом, что соответствует наличию у матрицы линеаризованного отображения двух вещественных собственных чисел, одно из которых по модулю больше, а другое меньше единицы. Устойчивое и неустойчивое многообразия представляют собой некоторые кривые, и их называют также устойчивой и неустойчивой сепаратрисами. Старшее собственное число отвечает собственному вектору, направленному в точке седла А по касательной к неустойчивой сепаратрисе, а второе — вектору, касательному к устойчивой сепаратрисе.

Может оказаться, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекаются в некоторой точке Г0, отличной от исходного седла А (рис. 1.11) Такая точка

называется гомоклинической точкой. Наличие подобных точек существенно усложняет динамику системы.

Поскольку точка Г0 принадлежит устойчивому многообразию, то стартующая из нее траектория с течением времени приближается к седлу А. Точка-образ Гх, полученная из Г0 действием отображения, относится к той же приближающейся к седлу траектории и принадлежит устойчивому многообразию. При рассмотрении динамики в обратном времени точка Г{ за один шаг переходит в Г0, а при последующих шагах приближается к седлу, так как Г0 является точкой неустойчивого многообразия. Последняя, Таким образом точка Гх должна быть точкой пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, то есть гомоклинической точкой, как и Г0. Продолжая рассуждать аналогично, можно сказать, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы имеют бесконечно много точек пересечения. Более того, они не исчерпываются точками одной гомоклинической траектории, проходящей через точку Г0. Изогнутые и петляющие кривые устойчивой и неустойчивой сепаратрис порождают сложно устроенную структуру, подобную сети, грубое представление о которой дает рис. 4.2.

Рисунок 1.11 - Наличие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки двумерного отображения (слева) влечет существование в фазовом пространстве гомоклинической структуры (справа)

В сечении Пуанкаре некоторой динамической системы или на фазовой плоскости двумерного отображения при наличии двух седловых неподвижных точек может встретиться ситуация, когда устойчивое многообразие одной точки пересекается с неустойчивым многообразием другой. Такая точка пересечения многообразий называется гетероклинической. Присутствие одной гетероклинической точки влечет наличие бесконечного множества таких точек [75]. При этом в фазовом пространстве имеет место сложное образование, «сеть» из пересекающихся многообразий обеих точек. Оно называется гетероклинической структурой (рис. 1.12). Присутствие гетероклинической, как и гомоклинической структуры позволяет сделать заключение о наличии в системе хаотической динамики в смысле существования континуума траекторий со случайным поведением.

Устойчивое многообразие

точки А Гетероклиническая

точка

Рисунок 1.12 - Гетероклиническая структура, образованная наличием пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий двух разных седловых

точек

2 Математические модели КТС

Использование тех или иных предположений о движении троса, полнота учёта внутренних и внешних сил приводят к построению различных моделей КТС - от линейных до существенно нелинейных [76-80]. Выбор модели определяется спецификой решаемой с её помощью задачи. Отметим особенности, которые необходимо учитывать при моделировании нештатной ситуации заклинивания. Отскок груза в результате заклинивания приводит к возникновению слабо натянутых участков троса, которые могут принимать довольно сложную форму. Заклинивание приводит к резкому возрастанию силы натяжения, что в свою очередь может стать причиной разрыва троса. При решении задачи доставки груза с орбиты с помощью протяженного троса, часть троса с грузом может оказаться в верхних слоях атмосферы. При этом вследствие большой протяженности троса аэродинамические силы будут оказывать заметное влияние на его динамику [9]. В силу этих замечаний, применение простой модели весомого стержня [40] не позволяет получить достоверный результат. Будем использовать более сложную модель, в которой трос представлен цепочкой соединенных пружинами точечных масс [9, 81]. Расчёты по этой модели описывают динамику даже в случае ненатянутого троса [82]. В случае заклинивания на начальном этапе достаточно использовать модель, состоящую из КА, груза и невесомого упругого троса, так как при этом расстояние груза до КА будет небольшим и влияние аэродинамических сил будет незначительно. На основании описанных замечаний, в разделе будут представлены три модели, описывающие движение КТС:

1. Модель, в которой КА и груз представлены материальными точками, соединенные невесомым упругим тросом.

2. Модель, в которой КА рассматривается как твердое тело.

3. Многоточечная модель КТС.

2.1 Модель КТС с невесомым упругим тросом

Для моделирования заклинивания троса на начальном этапе будем использовать систему, состоящую из двух материальных точек (КА и груза), различающихся по массе и соединенных между собой упругим невесомым тросом. КА совершает движение в плоскости орбиты Земли. Сила натяжения троса Т изменяется по известному закону [62]. Введем систему координат Охху, причем ось 0{х направлена в сторону движения КА, О,у — к центру Земли. В точке 01 располагается центр масс КА, в точке А - груз, точка О является центром Земли (рисунок 2.1).

X,

X

о

Рисунок 2.1 - Движение КА с тросовой системой и грузом

У

Связанная с КА система 0{ху вращается с угловой скоростью со = — соБб1.

1

Введем обозначения г0 - начальное положение тела О,, гй-г3 + к0 и а; - текущее положение КА О,, гг = г3 + к где г3 - радиус Земли.

Уравнения, описывающие движение КА в случае невесомого упругого троса имеют вид [1]:

тУ = -Х-mgsmв + Tcos(0 + (p), тУ

г ■ у Л 0-—со ъв

Л

Ы^Усоъв, Л

= -mg соб в - Т зт(# + ф),

(2.1.1)

рУ2

где Т - сила натяжения троса, Х = Сх!-—— Б - сила аэродинамического

сопротивления, в - угол наклона траектории, (р - угол в плоскости орбиты, g -сила тяжести, ш - масса КА, тА - масса груза, У - скорость движение КА, к -высота полета, / - дальность полета.

Для получения уравнения движения груза относительно КА рассмотрим движение точки А относительно центра О, [83]:

тАр = тЛ + Т + Фе + Фк+ХА, (2.1.2)

где Хл ~ сила аэродинамического сопротивления, действующая на точку А, тА% - сила тяжести, Фе - переносная сила инерции, Ф^ - кориолисова сила инерции, р = О!А (рисунок 2.1). Запишем силы инерции:

Фк=-тАЩ; \¥,=2(охр, где Фс, Ф4 - переносная и кориолисова силы инерции. Уравнение движение КА в векторной форме имеет вид:

/й\¥ = /^ + Т + Х,

/ \2 к

где W - вектор абсолютного ускорения КА, т - масса КА, g - вектор силы

тяжести на высоте КА.

Перепишем выражение для \¥ в виде:

= + + ^ (2.1.3)

т

У соэб?

Запишем выражение для углового ускорения е = сЬ. Так как со =- и

1

г = ¡г = УзтО, будет справедливо равенство

V Ув V2 г\ г\ г\

в котором второе и третье слагаемое в правой части существенно меньше первого, и тогда приближенно можно считать [84]:

V

П

-собО . (2.1.4)

Для получения окончательной системы уравнений КА с тросовой системой и уравнений движения груза относительно КА воспользуемся уравнениями движения тела на орбите Земли [83]:

х = 2 соу ——Г—+—Хсоъв,

т* р т (2.1.5)

у = Ъа1у-2о)к-—Т2-+—Хътв.

тл р т

Здесь Ях, Яу - составляющие силы аэродинамического сопротивления, х, у -координаты вектора р в системе координат 0}ху. В уравнения относительного движения КА на орбите (2.1.5) добавим новые слагаемые для груза с учетом формул (2.1.3), (2.1.4) и перепишем уравнение (2.1.2) в виде:

тА Р = тА% + Т + Фе + Фк+ХА + АФ. (2.1.6)

Рассмотрим слагаемое АФ в правой части дифференциального уравнения (2.1.6):

АФ = х р—^-(Т + X). (2.1.7)

ПРоеЦиРУя ра™ (2Л.7) „а оси 0,х и О,у и, „ ЧТО cos,^ и

sin =—, запишем с учетом (2.1.5) уравнения движения: Р

х = 2шу + еу -

1 . 1

Т—+—Х cos6, р m

и (2.1.8)

у = Зсо2у - 2 сох -sx-

1 . 1

+

\mA mj

Г—Xsin в,

р т

К уравнениям (2.1.8) добавим аэродинамическую силу ХА, действующую на груз

А. Выражение для абсолютной скорости груза запишем в виде:

У4 = У + шхр + р.

Аэродинамическая сила рассчитывается согласно ударной теории Ньютона. Сила ру2

Xл — Сха 2 напРавлена в сторону, противоположную направлению V,. К уравнениям (2.1.8) необходимо добавить АФ* = ——ХАсо в а и АФ* =—\-ХАвта

тА тА

. В результате получим: х = 2со у + еу-

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Дюков, Дмитрий Игоревич

Заключение

В настоящей работе проведено исследование динамики космической тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю в случае возникновения нештатных ситуаций: заклинивание троса в процессе развертывания, соударение груза и КА, намотка троса на КА. Предложен ряд оригинальных моделей для исследования нештатного движения КТС.

1. Предложен алгоритм моделирования последствий заклинивания невесомого упругого троса с учетом коэффициента восстановления троса. Показано, что заклинивание троса опасно на начальном и может привести к столкновению груза и базового КА. Избежать нежелательных последствий можно соответствующим выбором материала троса.

2. Разработана методика исследования последствий заклинивания троса на широком интервале времени заклинивания в зависимости от массово-инерционных характеристик КТС и найдены области параметров, характеризующие поведение системы.

3. Проведен анализ влияния заклинивания троса на движение системы при динамическом развёртывании весомого упругого троса на основе многоточечной модели КТС. На интервале развёртывания получены характерные временные зоны для последствий заклинивания: соударения груза и КА, намотки троса, безопасных отскоков без столкновения. Предложенную схему решения можно использовать для исследования других типов КТС.

4. На основе метода Пуанкаре исследованы хаотические режимы движения КА в составе радиальной КТС для случая малых колебаний в окрестности устойчивого вертикального положения. Изучено движение радиальной КТС в случае ненатянутого троса. Показано, что увеличение колебаний троса приводит к возможности возникновения хаотических явлений, что, в свою очередь, может повлечь за собой закручивание базового КА.

Полученные результаты позволяют оценить движение системы, состоящей из КА, груза и упругого троса в случае возникновения нештатных ситуаций и дать рекомендации по их предотвращению.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дюков, Дмитрий Игоревич, 2013 год

Список литературы

1. Белецкий, В. В. Динамика космических тросовых систем / В. В. Белецкий, Е. М. Левин. - М.: Наука, 1990. - 329 с.

2. Щербаков, В. И. Спуск с орбиты малого КА с помощью космической тросовой системы / В. И. Щербаков. - Deutschland: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 226 с.

3. Циолковский, К. Э. Грезы о Земле и небе / К. Э. Циолковский. - Тула: Приокское книжное изд-во, 1986. - 448с.

4. Арцутанов, Ю. Н. В космос - на электровозе / Ю. Н. Арцутанов // Комсомольская правда (воскресное приложение). - 1960. - 31 июля.

5. Поляков, Г. Г. Мысль, устремленная в космос / Г. Г. Поляков // Земля и Вселенная. - 1993. -№ 3.

6. Осипов, В. Г. Космические тросовые системы: история и перспективы / В. Г. Осипов, Н. J1. Шошунов // Земля и Вселенная. - 1998. - №4.

7. Волошенюк, О. JI. Космические тросовые системы - перспективное направление космической техники и технологии / О. JI. Волошенюк, А. В. Пироженко, Д. А. Храмов // Косм1чна наука i технолопя. - 2011. - Т. 17. № 2. - С. 32-44.

8. Сидоров, И. М. Об использовании тросовых систем для создания постоянно действующего транспортного канала в космическом пространстве / И. М. Сидоров // Полет. - 2000. - №8. - С. 36-39.

9. Асланов, В. С. Пространственное движение космической тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю / В. С. Асланов, А. С. Ледков, Н. Р. Стратилатов // Полет. - 2007. - №2. - С. 28-33.

1 O.Smith, Н. F. The First and Second Flights of the Small Expendable Deployer System (SEDS) / H. F. Smith // Proceedings of the Fourth International Conference on Tethers in Space, Smithsonian Inst., Washington, DC. - 1995. - P. 43-55.

11. Lorenzini, E. C. Control and Flight Performance of Tethered Satellite Small Expendable Deployment System-II / E. C. Lorenzini, S. B. Bortolami, F.

Angrilli, С. С. Rupp // Journal of Guidance, Control and Dynamics. - 1996. -V.19,N 5.-P. 1145-1156.

12. Kruijff, M. Qualification and in-flight demonstration of a European tether deployment system on YES2 / M. Kruijff, E. J. van der Heide // Acta Astronáutica. -2009. - Vol. 64, №9-10. -P.882-905.

13. Kruijff, M. Tethers in Space: A Propellantless Propulsion In-Orbit Demonstration / M. Kruijff// Oisterwijk: UitgeverijBOXPress. - 2011. - P. 431.

14. Ariyoshi, Y. HOW CAN WE IDENTIFY COLLIDING OBJECTS TO BE REMOVED / Y. Ariyoshi, T. Hanada, S. Kawamoto // 63rd International Astronautical Congress, Naples, Italy. - IAC-12-A6.5.1 - 2012. - 5 p.

15. Kitamura, S. A REORBITER FOR LARGE GEO DEBRIS OBJECTS USING ION BEAM IRRADIATION / S. Kitamura, Y. Hayakawa, K. Nitta, S. Kawamoto, Y. Ohkawa // 63rd International Astronautical Congress, Naples, Italy. - IAC-12-A6.7.10 - 2012. - 10 p.

16. Murata, F. FIELD EMISSION CATHODES FOR ELECTRODYNAMIC TETHER SYSTEMS-EMISSION CURRENT STABILITY IN FLUCTUATING ELECTRIC POTENTIAL CONDITIONS / F. Murata, Y. Tanaka, Y. Ohkawa, S. Kawamoto, Y. Yamagiwa, M. Matsui // 63rd International Astronautical Congress, Naples, Italy. - IAC-12-C4.9.6 - 2012. - 9 p.

17. Kawamoto, S. ACTIVE DEBRIS REMOVAL BY A SMALL SATELLITE / S. Kawamoto, Y. Ohkawa, H. Nakanishi, Y. Katayama, H. Kamimura, S. Kitamura, S. Kibe // 63rd International Astronautical Congress, Naples, Italy. - IAC-12-A6.7.8-2012.-8p.

18. Иванов, В. А. Динамика полета системы гибко связанных космических объектов / В. А. Иванов, Ю. С. Ситарский. - М.: Машиностроение, 1986. -248с.

19. Cosmo, M. L. Tethers in space handbook / Edited by M. L. Cosmo and E. C. Lorenzini. — Smithsonian Astrophysical Observatory, 1997. 235p.

20. Феоктистов, К. П. Космическая техника. Перспективы развития / К. П. Феоктистов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1997. - 172с.

21. Ишков, С. А. Управление развертыванием орбитальной тросовой системы / С. А. Ишков, С. А. Наумов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического униерситета. - 2006. - №2(8). - С. 77.

22. Ишков, С. А. Определение параметров орбитальной тросовой системы, предназначенной для спуска малых капсул с орбиты / С. А. Ишков, И. В. Шейников // Известия Самарского научного центра РАН. - 2019. - № 4. - С. 208-215.

23. Ишков, С. А. Решение задачи стабилизации программного развертывания орбитальной тросовой системы с учетом ограничений на вращательное движение концевого тела / С. А. Ишков, О. Ю. Заболотнова // Вестник Самарского государственного аэрокосмического униерситета. - 2010. -№1(21).-С. 47-57.

24. Заболотнов, Ю. М. Динамика движения капсулы с тросом на внеатмосферном участке спуска с орбиты / Ю. М. Заболотнов, Д. И. Фефелов // Известия Самарского научного центра РАН. — 2006. — № 3. — С. 841-848.

25. Заболотнов, Ю. М. Движение спускаемой капсулы относительно центра масс при развертывании орбитальной тросовой системы / Ю. М. Заболотнов, О. Н. Наумов // Космические исследования. - Т. 50, № 2. -2012.- С. 177-187.

26. Заболотнов, Ю. М. Устойчивость движения в атмосфере связки двух твердых тел, соединенных тросом / Ю. М. Заболотнов, Д. В. Еленев // Механика твердого тела, РАН. - №2. - 2013. - С.49-60.

27. Заболотнов, Ю. М. Движение космического аппарата с тросовым аэродинамическим стабилизатором / Ю. М. Заболотнов, Д. В. Еленев. — Самара: СНЦ РАН, 2011. - 104 с.

28. Aslanov, V. S. Motion of the space elevator after the ribbon rupture / V. S. Aslanov, A. S. Ledkov, A. K. Misra, A. D. Guerman // IAC-12,D4,3,9,xl3567, IAF.-2012.

29. Aslanov, V. S. Oscillations of a Spacecraft with a Vertical Elastic Tether / V. S. Aslanov // AIP (American Institute of Physics) Conference Proceedings 1220, CURRENT THEMES IN ENGINEERING SCIENCE 2009: Selected Presentations at the World Congress on Engineering-2009, Published February 2010; ISBN 978-0-7354-0766-4. - One Volume, 1-16. - 2010.

30. Aslanov, V. S. Oscillations of a Spacecraft with a Vertical Tether / V. S. Aslanov // Proceedings of the World Congress on Engineering Vol II. - 2009. - P. 1827 -1831.

31. Aslanov, V. S. The Oscillations of a Spacecraft under the Action of the Tether Tension Moment and the Gravitational Moment / V. S. Aslanov // AIP (American Institute of Physics) Conf. Proc. - September 1, 2008 ~ Volume 1048, pp. 56-59NUMERICAL ANALYSIS AND APPLIED MATHEMATICS: International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics 2008; DOI:l 0.1063/1.2990988 (ISBN: 978-0-7354-0576-9). - 2008.

32. Асланов, В. С. Хаотические колебания КА с упругим радиально ориентированным тросом / В. С. Асланов, А. С. Ледков // КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ. - том 50, № 2. - 2012. - С. 194-204.

33. Асланов, В. С. Колебания спутника с вертикальным упругим тросом на орбите / В. С. Асланов // Известия РАН «Механика твердого тела». - №5. -2011.-С. 3-15.

34. Асланов, В. С. Хаотические колебания космического аппарата с упругим вертикальным тросом / В. С. Асланов, Б. В. Иванов // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - т. 12, №4. - 2010. - С. 262266.

35. Асланов, В. С. Определение времени выживания космической тросовой системы / В. С. Асланов, О. Л. Волошенюк, А. В. Кислов, А. В. Ящук // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - т. 12, №4.-2010.-С. 138-143.

36. Асланов, В. С. Хаотическое движение упругой космической тросовой системы / В. С. Асланов, А. В. Пироженко, А. В. Иванов, А. С. Ледков //

Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. -№4(20). - 2009. - С. 9-15.

37. Асланов, В. С. Малые колебания осесимметричного космического аппарата с тросовой системой / В. С. Асланов, Н. Р. Стратилатов // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. Механика. -№ 6(65). - 2008. - С. 202 - 208.

38. Асланов, В. С. Колебания тела с орбитальной тросовой системой / В. С. Асланов // Прикладная математика и механика. - Т. 71, Вып. 6. - 2007. - С. 1027-1033.

39. Асланов, В. С. Влияние на вращательное движение КА тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю / В. С. Асланов, А. С. Ледков, Н. Р. Стратилатов // Общероссийский научно-технический журнал "Полет". - №1. - 2009. - С. 54-60.

40. Асланов, В. С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника / В. С. Асланов // Прикладная математика и механика. -Т. 75, Вып. 4. - 2010. - С. 582-593.

41. Асланов, В. С. Уравнения движения орбитальной тросовой системы с учетом колебаний космического аппарата / В. С. Асланов, Н. Р. Стратилатов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. -№1(14).-2008.-С. 16-22.

42. Первушин, А. И. Мифология космического лифта (Эссе из цикла "Космическая экспансия: от фантастики к реальности") / А. И. Первушин // Полдень. XXI век. - 2009. - № 53 (май). - С. 161-170.

43. Арцутанов, Ю. Н. В космос без ракет / Ю. Н. Арцутанов // Знание - сила. -1969.-№7.-С. 25.

44. Арцутанов, Ю. Н. Железная дорога Луна - Земля / Ю. Н. Арцутанов // Техника молодежи. - 1976. - № 4. - С.21.

45. Поляков, Г. Г. Обобщенные задачи о космическом лифте / Г. Г. Поляков // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1972. - №6. - С. 54-59.

46. Поляков, Г. Г. Собрание трудов. Т.1. Привязные спутники, космические лифты и кольца (1967-1974) / Г. Г. Поляков. - Астрахань: Изд-во Астраханского педагогического университета, 1999.

47. Поляков, Г. Г. Неэкваториальный космический лифт. (1969) / Г. Г. Поляков // Собрание трудов. Астрахань: Изд-во Астраханского педагогического университета. - 1999. - С. 117.

48. Белецкий, В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле / В. В. Белецкий. - М.: Изд-во МГУ, 1975. - 308 с.

49. Охоцимский, Д. Е., Система гравитационной стабилизации искусственных спутников / Д. Е. Охоцимский, В. А. Сарычев // Искусственные спутники Земли.- 1963.-№ 16.-С. 5-9.

50. Сарычев, В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников / В. А. Сарычев // Итоги науки и техники: Исследование космического пространства. - 1978. — Т. 11. — 223 с.

51. Иванов, В. А. Динамика полета системы гибко связанных космических объектов / В. А. Иванов, Ю. С. Ситарский. - М.: Машиностроение, 1986. -246с.

52. Raitt, W. J. The NASA/ASI TSS-1 Mission: Summary of results and reflight plans / W. J. Raitt // Fourth International Conference on Tether In Space, Washington, 10-14 April, 1995. - Washington. - 1995.-P. 107-118.

53. Santangelo, A. D. AIRSEDS-II™: A TSS-2 Precursor Mission to Test and Demonstrate Tethered Systems in the Earth's Upper Atmosphere / A. D. Santangelo // Fourth International Conference on Tether In Space. - Washington. -10-14 April, 1995.-P. 1675-1684.

54.Caroll, J. A. SEDS Deployer Design and Flight Performance / J. A. Caroll // Fourth International Conference on Tether In Space. - Washington. - 10-14 April, 1995.-P. 593-600.

55.Caroll, J. A. SEDS Characteristics and Capabilities / J. A. Caroll, J. C. Oldson // Fourth International Conference on Tether In Space. - Washington. - 10-14 April, 1995.-P. 1079-1090.

56.Lorenzini, E. С. SEDS-II Deployment Control Law and Mission Design / E. C. Lorenzini, D. K. Mowery, С. C. Rupp // Fourth International Conference on Tether In Space. - Washington. - 10-14 April, 1995. - P. 669-683.

57. Grossi, M. D. Plasma Motor Generator (PMG) electrodynamic tether experiment / M. D. Grossi // NASA Grant NAG9-643. National Aeronautics and Space Administration, Lyndon B. Johnson Space Center, Houston, Texas. - 1995. - 44

P-

58. James, H. G. Guided Z mode propagation observed in the OEDIPUS A Tethered Rocket Experiment / H. G. James // Journal of Geophysical Research: Space Physics. - January 1991. - Volume 96. - Issue A10. - P. 17865-17878.

59. James, H. G. Emission and reception of Bernstein waves in the OEDIPUS-C experiment / H. G. James // General Assembly and Scientific Symposium, 2011 XXXth URSI. Commun. Res. Centre Canada, Ottawa, ON, Canada. - 13-20 Aug. 2011.-P. 1-2.

60. Tether Physics and Survivability (TiPS) Fact Sheet [Электронный ресурс]. -Naval Research Laboratory (NRL). - 20 November 1996. - Режим доступа: http://www.nro.gov/news/press/1996/1996-08.pdf.

61. Alfriend, К. Т. Attitude and Orbit Determination of a Tethered Satellite System [Электронный ресурс] / К. Т. Alfriend, W. J. Barnds, S. L. Coffey, L. M. Stuhrenberg - Режим доступа: http://jungfrau.tamu.edu/html/alfriend/alfriendpublications/Tethers/JGDC_paper_ .pdf.

62. Zimmermann, F. Optimization of the tether assisted return mission of a guided re-entry capsule / F. Zimmermann, U. Schottle, E. Messerschmid // Aerospace Science and Technology. - 2005. - V. 9. - №8. - P. 713-721.

63. YES2 - Википедия [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/YES2.

64. Шошунов, Н. JI. Тросовые орбитальные маневры и европейский космический эксперимент YES2 [Электронный ресурс] / Н. JI. Шошунов //

DocMe.ru: Сервис публикации документов. — Режим доступа: http://www.docme.ru/doc/76608/yes2.

65. Асланов, В. С. Исследование влияния обрыва тросовой системы на возможность доставки груза на Землю / В. С. Асланов, А. С. Ледков, А. В. Пироженко, Д. А. Храмов // Сборник трудов XIV Всероссийского научно-технического семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самара: СГАУ, 2011. - С. 36-39.

66. Дюков, Д. И. Движение космического аппарата с тросовой системой при нештатных ситуациях / Д. И. Дюков // Известия Самарского научного центра РАН. - 2010. - № 4. - С. 267-271.

67. Ледков, А. С. Исследование последствий заклинивания троса в задаче о доставке груза с орбиты / А. С. Ледков, Д. И. Дюков // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - Т. 12, вып. 3. -С. 82-87.

68. Ледков, А. С. Влияние заклинивания троса на движение космической тросвой системы при динамическом развертывании / А. С. Ледков, Д. И. Дюков // Вестник Самарского государственного аэрокосмического униерситета. - 2012. - №2(33). - С. 82-90.

69. Ледков, А. С. Исследование хаотических режимов движения КА с тросом, совершающим малые колебания около местной вертикали [Электронный ресурс] / А. С. Ледков, Д. И. Дюков // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2012. - №61. - Режим доступа: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=35644.

70. Симиу, Э. Хаотические переходы в детерминированных и стохастических системах / Э. Симиу. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 208 с.

71. Борисов, А. В. Динамика твердого тела / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 384 с.

72. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. - М.: МИР, 1985. - 529 с.

73. Мун, Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. / Ф. Мун. - М.: МИР, 1990. - 312 с.

74. Пуанкаре, А. Избранные труды / А. Пуанкаре. - М.: Наука 1971. — Т.1. — 772 с.

75. Кузнецов, С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.-356 с.

76. Алпатов, А. П. Космические тросовые системы. Обзор проблемы / А. П. Алпатов, В. И. Драновский, А. Е. Закржевский, А. В. Пироженко, В. С. Хорошилов // Косм1чна наука Ггехнолопя. - 1997. - ТЗ. №5/6. - С. 21-29.

77. Crist, S. A. Cable motion of a spinning spring-mass system / S. A. Crist, J. G. Eisley // J. Spacecrafts and Rockets. - 1970. - 7, N 11. - P. 1352-1357.

78. Liangdon, L. Effect of tether flexibility on tethered Shuttle subsatellity and control / L. Liangdon, P. M. Bainum // 2-nd International Conference on Tethers in Space. - Venice, Italy. 4-8 October, 1987.

79. Misra, A. K. Dynamics of N-body tethered satellite system / A. K. Misra // 3-rd International Conf. on Tethers in Space. - S. Francisco, California, May 1989.

80. Misra, A. K. On vibrations of orbiting tethers / A. K. Misra, D. M. Xu, V. J. Modi // Acta Astronautical. - 1986. - 13, N 10. - P. 587-597.

81. Williams, P. Dynamic multibody modeling for tethered space elevators / P. Williams // ActaAstronautica. - 2009. - №65. - P. 399-422.

82. Misra, A. K. Dynamics of low-tension spinning tethers / A. K. Misra, V. J. Modi, G. Tyc // Fourth International Conf. on Tethers in Space. - Washington, 10-14 April, 1995.

83. Добронравов, В. В. Курс теоретической механики. 4-е изд., перераб. и доп. / В. В. Добронравов, Н. Н. Никитин. -М.: Высш. школа, 1983. - 575 с.

84. Маркеев, А. П. Теоретическая механика: Учебник для университетов / А. П. Маркеев. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 592 с.

85. Меркин, Д. Р. Введение в механику гибкой нити / Д. Р. Меркин. - М.: Наука, 1980.-240 с.

86. Нариманов, Г. С. Основы теории полета космических аппаратов / Под ред. д-ра физ.-мат. наук Г. С. Нариманова и д-ра техн. наук М. К. Тихонова. -М.: «Машиностроение», 1972. -608с.

87. Fujii, Н. A. Optimal trajectories for deployment/retrieval of tethered subsatellite using Riemannian metric / H. A. Fujii, K. Kokubun, H. Maeyama // Proceedings of the 21st International Symposium on Space Technology and Science. - ISTS 98-C-18, Sonic City, Omiya, Japan, May 24-31, 1998.

88. Ockels, W. J. «Space mail» and tethers, sample return capability for space station alpha / W. J. Ockels, E. J. van der Heide, M. Kruijff // 46th International Astronautical Congress. - IAF-95-T.4.10, Oslo, Norway, October 2-6, 1995.

89. ACES Results [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://web.mit.edU/3.082/www/teaml_f02/results.html.

90. Aslanov, V. S. Dynamics of tethered satellite systems / V. S. Aslanov, A. S. Ledkov. - Woodhead Publishing, Cambridge, 2012. - 350 p.

91. Kumar, K. D. Orbit Transfer of Service Vehicle/Payload Through Tether Retrieval / K. D. Kumar, T. Yasaka, T. Sasaki, T. // Acta Astronáutica. - 2004. -Vol. 54, No. 9, 2004. - P. 687-698.

92. Kane, T. R. Deployment of a Cable-Supported Payload from an Orbiting Spacecraft / T. R. Kane, D. A. Levinson // Journal of Spacecraft and Rockets. -1977.-Vol. 14, No. 7.-P. 409-413.

93. Pelaez, J. On the Dynamics of the Deployment of a Tether from an Orbiter-I. Basic Equations / J. Pelaez // Acta Astronáutica. - 1995. - Vol. 36, No. 2. - P. 113-122.

94. Zhu, R. Dynamics of Tether-Assisted Reentry Vehicle System / R. Zhu, A. K. Misra, H. Lin // Advances in the Astronautical Sciences. - 1993. - Vol. 84, Pt. 2. -P. 1387-1402.

95. Kumar, K. D. Payload Deployment by Reusable Launch Vehicle Using Tether / K. D. Kumar // Journal of Spacecraft and Rockets. - 2001. - Vol. 38, No. 2. - P. 291-294.

96. Chernousko, F. L. Dynamics of Retrieval of a Space Tethered System / F. L. Chernoushko // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 1995. - Vol. 59, No. 2.-P. 165-173.

97. Fujii, H. A. Mission Function Control of Deployment/Retrieval of a Subsatellite / H. A. Fujii, S. Ishijima // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. - 1989. -Vol. 12,No. 2.-P. 243-247.

98. Cosmo, M. Transient Dynamics of the Tether Elevator/Crawler System / M. Cosmo, E. C. Lorenzini, S. Vetrella, A. Moccia, A. // Proceedings of AIAA/AAS Astrodynamics Conference, AIAA, Washington, DC. - 1988. - P. 480-489.

99. Modi, V. J. Dynamics and Control of a Space Station Based Tethered Elevator System / V. J. Modi, S. Bachmann, A. K. Misra // Acta Astronáutica. - 1993. -Vol. 29, No. 6.-P. 429-449.

100. Carroll, J. A. Tether Applications in Space Transportation / J. A. Carroll // Acta Astronáutica. - 1986.-Vol.13, No. 4.-P. 165-174.

101. Colombo, G. Use of Tethers for Payload Orbit Transfer / G. Colombo, M. Martinez-Sanchez, D. Arnold // Smithsonian Inst. Astrophysical Observatory Rept., NAS 8-33691, Cambridge, MA. - March 1982.

102. Kumar, K. Satellite Attitude Stabilization Through Tether / K. Kumar // Acta Astronáutica. - 1995. - Vol. 35, No. 6. - P. 385-390.

103. Lang, D. L. Operations with Tethered Space Vehicles / D. L. Lang, R. K. Nolting // Gemini Summary Conference. - Feb. 1967. - NASA SP-138. - P. 5564.

104. Алпатов, А. П. Динамика космических систем с тросовыми и шарнирными соединениями / А. П. Алпатов, В. В. Белецкий, В. И. Драновский, А. Е. Закржевский, А. В. Пироженко, Г. Трогер, В. С. Хорошилов. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2007. - 560 с.

105. Иванов, В. А. Тросовые системы в космосе / В. А. Иванов // Авиация и космонавтика. - 1984. - № 5. - С. 43-44.

106. Bekey, I. Tether propulsion /1. Bekey, P. A. Penzo // Aerospace America. - 1986. - Vol. 24. №7. - P. 40-43.

107. Cantafio, L. J. Photovoltaic gravitationaly stabilised, solid state satellite solar power station / L. J. Cantafio, V. A. Chobotov, M. G. Wolfe // Journal of Energy. - 1977. - Vol.1. №6. - P. 352-363.

108. Nolan, M. B. Shuttle tethered satellite program / M. B. Nolan, R. Hudson, J. M. Sisson // 35-th International Astronautical Congress, Lausanne, Switzerland. - October 7-13, 1984, - P. 84-437.

109. Kim, I Practical guidelines for electro-dynamic tethers to survive from orbital debris impacts / I. Kim, H. Hirayama, T. Hanada // Advances in Space Research. - 2010. - №45. - P. 1292-1300.

110. Садов, Ю. А. Формы равновесия гибкого троса в плоскости круговой орбиты. 0- и 1-параметрические семейства / Ю. А. Садов // Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. - 2001. - № 68. - С. 1-29.