Устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии при численном моделировании фильтрации сжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Афанасьева, Надежда Михайловна

• Афанасьева, Надежда Михайловна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Афанасьева, Надежда Михайловна

Содержание

Введение

1 Безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии

1.1 Введение

1.2 Задачи конвекции-диффузии

1.3 Дифференциально-разностная задача

1.4 Схемы с весами для задач конвекции-диффузии

1.5 Безусловно устойчивая схема

1.6 Другие задачи

1.7 Тестовая задача

2 Безусловно монотонные схемы

2.1 Введение

2.2 Уравнения конвекции-диффузии

2.3 Устойчивость двухслойных схем

2.4 Разностные схемы для уравнений конвекции-диффузии

2.5 Экспоненциальные схемы

2.6 Многомерные задачи

2.7 Локально-одномерные схемы

2.8 Задачи конвекции-диффузии-реакции

2.9 Тестовая задача

3 Схемы расщепления для некоторых параболических уравнений

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Дифференциально-разностная задача

3.4 Двухслойные схемы

3.5 Схемы расщепления

4 Численное моделирование задачи двухфазной фильтрации

4.1 Введение

4.2 Основные уравнения фильтрации

4.3 Фильтрация сжимаемой жидкости

4.4 Вычислительные алгоритмы

4.5 Результаты экспериментов

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии при численном моделировании фильтрации сжимаемой жидкости»

Введение

Современные теоретические исследования прикладных проблем базируются на широком использовании вычислительных средств (компьютеров и численных методов) [5,9,34,53,57,58,68,93]. Традиционные аналитические средства прикладной математики используются для предварительного качественного исследования математических моделей, тестирования вычислительных алгоритмов.

Прикладные математические модели механики сплошной среды включают системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с частными уравнениями, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. При численном решении краевых задач для систем нестационарных уравнений в частных производных аппроксимация по пространству проводится на основе разностных методов, метода конечных элементов, метода конечных объемов [24,59,65,81].

Проблемы численного моделирования проблем гидро- и газодинамики отражены во многих работах, среди которых мы отметим [4,35,54,55,75,77,91,94]. Основная литература по вычислительной гидро- и газодинамике, тепломассопе-реносу ориентирована на лиц с инженерной подготовкой, когда материал излагается с привлечением лишь элементарных понятий теории вычислительных методов математической физики. Упор делается, в основном, на алгоритмическую сторону проблемы, на экспериментальное тестирование численных алгоритмов. В ряде книг (прежде всего в [14,95]) проводится строгое математическое исследование вопросов разрешимости непрерывных задач и их определенного класса дискретных аналогов.

Основные особенности проблем механики сплошной среды связаны с учетом

конвекции, ее доминированием во многих процессах. Теоретическая и методическая отработка вычислительных алгоритмов, ориентированных на численное моделирование таких проблем, должна проводиться на базовых, модельных задачах — краевых задачах для уравнений конвекции-диффузии.

Теория численных методов решения краевых задач для уравнений с частными производными развивается в следующих основных направлениях:

• построение дискретных аналогов, наследующих основные свойства дифференциальной задачи;

• исследование устойчивости (корректности) разностной задачи;

• эффективная вычислительная реализация на современной вычислительной технике.

Для построения разностных схем [23-25] сформулирован общий принцип консервативности разностных схем, как схем для которых выполнен соответствующий закон сохранения на дискретном уровне. Получены однородные разностные схемы для задач с разрывными коэффициентами, задач с обобщенными решениями. Для написания разностных схем на произвольных сетках предложен метод опорных операторов, который связан с согласованной аппроксимацией дифференциальных операторов векторного анализа (градиента, дивергенции, ротора). A.A. Самарским предложен и применен общий методологический принцип получения разностных схем заданного качества на основе малых возмущений операторов (коэффициентов) разностной схемы — принцип регуляризации разностных схем.

Исходные дифференциальные уравнения могут быть записаны в различных формах. Это относится не только к полной системе уравнений гидродинамики [97], но и к базовым задачам конвекции-диффузии [30]. Свойство консервативности является следствием выбора нужных аппроксимаций для выбранных форм дифференциальных уравнений.

При рассмотрении параболических уравнений второго порядка конвективные слагаемые могут браться [30] в дивергентной, недивергентной и симметричной формах. Нестационарные задачи конвекции-диффузии записываются как эволюционные операторные уравнения в соответствующих пространствах. Их рассмотрение базируется на соответствующих свойствах дифференциальных операторов конвективного и диффузионного переносов. При построении дискретных аналогов необходимо ориентироваться на такие аппроксимации, которые сохраняют основные свойства операторов задачи.

Для базовых задач механики сплошной среды большое внимание уделяется построению монотонных схем, которые связываются с выполнением принципа максимума на дискретном уровне [30]. Это свойство отражает качество приближенного решения, с одной стороны, и, с другой стороны, позволяет сформулировать условия устойчивости в соответствующих нормах.

Отдельного внимания заслуживают задачи с преобладанием конвекции перед диффузией. Соответствующие краевые задачи относятся к сингулярно возмущенным [16] и требуют разработки вычислительных алгоритмов, которые адаптируются к этим особенностям решения [70,78].

В теории численных методов математической физики основное внимание уделяется задачам диффузии — самосопряженным эллиптическим уравнениям второго порядка и параболическим задачам с самосопряженным эллиптическим оператором. Это относится как к проблемам аппроксимации, так и к вопросам исследования сходимости приближенного решения к точному. Отметим также, что наиболее полные и глубокие результаты получены также при построении итерационных методов сеточных уравнений с самосопряженным оператором.

При исследовании разностных схем для нестационарных задач математической физики широко используется общая теория устойчивости (корректности) операторно-разностных схем [6,24,33,82]. В настоящее время получены точные (совпадающие необходимые и достаточные) условия широкого класса двух- и трехслойных разностных схем в конечномерных гильбертовых пространствах.

Необходимо особо подчеркнуть конструктивность общей теории устойчивости операторно-разностных схем, в которой критерии устойчивости формулируются в виде легко проверяемых неравенств для операторов. Среди наиболее важных обобщений отметим использование общей теории устойчивости для некорректных эволюционных задач [26,28,84,85] и для исследования проекционно-раз-ностных схем (схем конечных элементов) [6,27,86]. Получены также новые априорные оценки устойчивости в интегральных по времени нормах [32], на основе которых исследуется, в частности, сходимость разностных схем для задач с обобщенными решениями. Особого внимания заслуживают полученные априорные оценки сильной (коэффициентной) устойчивости при различных предположениях о возмущении операторов (коэффициентов) дифференциальной и разностной задач [31,63].

Для нахождения решения сеточных задач необходимо решать большие системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Широкое распространение получили итерационные методы сеточных уравнений [21,24,80]. Решена проблема упорядочивания итерационных параметров в чебышевских итерационных методах. На общем операторном уровне проведена оптимизация выбора итерационных параметров для приближенного решения несамосопряженных задач. Предложены новые варианты итерационного метода переменных направлений. Особого внимания заслуживает попеременно-треугольный итерационный метод, который относится к классу наиболее быстрых и применяется для общих эллиптических сеточных уравнений.

При теоретическом исследовании численных методов приближенного решения задач конвекции-диффузии традиционно ориентируются на случай сжимаемой среды. Уравнение конвекции-диффузии в этом случае можно на дифференциальном уровне записать либо в дивергентной, либо недивергентной, либо в симметричной форме [30]. Такая эквивалентность на дискретном уровне имеется только при специальных аппроксимациях конвективного переноса и дивергенции скорости. Успех здесь достигается при задании скалярных полей для переноса

субстанции и скорости (векторного поля) на разнесенных сетках.

При использовании симметричной формы (полусумма конвективного переноса в дивергентной и недивергентой формах) наиболее естественно исследовать задачу в норме 1,2(0). В этом случае оператор конвективного переноса является кососимметричным (энергетически нейтральным). На базе этого свойства строятся устойчивые схемы для нестационарного уравнения конвекции-диффузии для любой среды, не только несжимаемой.

При численном решении нестационарных задач для уравнений конвекции-диффузии наиболее широко применяются двух- и трехслойные схемы. Исследование устойчивости и сходимости двух- и трехслойных схем для приближенного решения конвекции-диффузии базируется на теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем A.A. Самарского [24,33,82] с учетом несамосопряжённости операторов.

В случае сжимаемых сред основные проблемы порождены тем, что оператор задачи, вообще говоря, незнакоопределен. В этом случае рассматриваемый процесс может быть недиссипативным, т.е. норма решения однородной задачи не убывает со временем. Такое поведение нормы решения необходимо передать на дискретном уровне при выборе аппроксимаций по времени. В частности, с учетом незнакоопределенности оператора задачи мы должны ориентироваться на ¿»-устойчивые (д > 1) операторно-разностные схемы. Построение безусловно устойчивых схем для сжимаемых сред является актуальной проблемой вычислительной математики и прикладного математического моделирования.

Для уравнения конвекции-диффузии при задании конвективного переноса в недивергентной (характеристической) форме естественный выбор нормы есть Loo(fi). В этом случае выполнен принцип максимума, для дискретных задач можно строить те или иные монотонные схемы. Безусловно монотонные аппроксимации связываются с направленными аппроксимациями конвективного переноса, линейными или нелинейными регуляризованными монотонными схемами.

При исследовании проблем гидродинамики часто ориентируются на запись

уравнений в дивергентной форме, которая максимально ориентирована на выражение закона сохранения. Нужно иметь в виду, что для таких схем естественной является норма 1/1(0). При аппроксимации уравнения конвекции-диффузии при задании конвективного переноса в дивергентной форме ориентируются также на построение монотонных схем.

Исследование устойчивости в гильбертовых пространствах базируется на проверке соответствующих операторных неравенств. Для задач конвекции-диффузии с конвективными слагаемыми в недивергентной и дивергентной формах естественно устойчивость рассматривается в банаховых пространствах Ьоо(и)) и Ь\{ш) (сеточных аналогах А» (О) и Ь^О,)). Основные результаты получены с применением принципа максимума для сеточных величин. Более перспективным представляется использование понятия логарифмической нормы [50,51], когда мы снова оперируем с операторными неравенствами. Представляет несомненный интерес с использованием этого математического аппарата исследовать различные классы схем для задач конвекции-диффузии.

Давление при фильтрации многофазной жидкости [44,74] описывается параболическим уравнением. В случае, когда важен учет сжимаемости отдельных фаз жидкости, в параболическом уравнении для давления оператор представляет собой взвешенную сумму самосопряженных эллиптических операторов. Необходимо построить безусловно устойчивые двухслойные схемы для таких задач с учетом несамосопряженности оператора задачи. Имеет смысл разработать специальные схемы расщепления, когда переход на новый временной слой был бы связан с решением последовательности задач для давлений в отдельных фазах.

Решению очерченного круга проблем посвящена настоящая работа. В ней построены безусловно устойчивые разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии при рассмотрении сжимаемых сред. Проводится исследование устойчивости и монотонности с использованием логарифмической нормы при применении центрально-разностных аппроксимаций, аппроксимаций с направленными разностями и экспоненциальных схем. Построен вычислительный

алгоритм для задач многофазной фильтрации с расщеплением по физическим процессам (отдельные уравнения для давления по фазам). Эти теоретические результаты использовались при численном моделирование задачи двухфазной фильтрации.

В первой главе предложены и исследованы безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии с учетом сжимаемости среды, которые учитывают незнакоопределенность оператора задачи. Рассмотрены двухслойные схемы с весами для нестационарных задач конвекции-диффузии, проведено исследование их устойчивости при использовании различных форм записи конвективного переноса. Безусловно ^-устойчивая разностная схема построена на основе введения новых переменных.

Монотонные схемы второго порядка точности по пространству для нестационарных задач конвекции-диффузии рассматриваются во второй главе. При записи конвективных слагаемых в дивергентной и недивергентной формах построение монотонных схем базируется на переформулировании членов конвективного и диффузионного переноса. Получены условия устойчивости разностных схем в равномерной и интегральной нормах с привлечением понятия логарифмической нормы. Для двумерных задач безусловно монотонные схемы строятся на основе схем расщепления по пространственным переменным.

Третья глава посвящена построению безусловно устойчивых схем для краевых задач для параболического уравнения второго порядка, когда оператор задачи представляет собой взвешенную сумму самосопряженных эллиптических операторов. Аппроксимация по времени строится на основе введения новой искомой переменной. Предложены схемы расщепления, вычислительная реализация которых связана с решением вспомогательных задач с самосопряженными операторами.

Численное моделирование задачи двухфазной фильтрации с учетом сжимаемости среды проведено в четвертой главе. Основное внимание уделяется задаче для давления, в котором оператор представляет собой взвешенную сумму само-

сопряженных эллиптических операторов. Для типичных значений сжимаемости пластовых флюидов стандартные схемы аппроксимации по времени могут быть условно устойчивыми. Рассмотрена трехмерная задача с нагнетательными и добывающими скважинами. Используется конечно-элементная аппроксимация по пространству, разработанное программное обеспечение базируется на библиотеке научных вычислений РЕшСБ.

Автор диссертационной работы выражает глубокую признательность научному руководителю П.Н.Вабищевичу за ценные советы, плодотворное обсуждение вопросов. Автор также выражает благодарность коллегам из Центра вычислительных технологий СВФУ им. М.К. Аммосова.

Глава 1

Безусловно устойчивые схемы для задач

?

конвекции-диффузии

Задачи конвекции - диффузии являются базовыми для задач механики сплошных сред. Основные особенности этих задач связаны с незнакоопределенностью оператора задачи. Для нестационарных задач конвекции-диффузии рассматриваются стандартные двухслойные схемы с весами, исследуется их устойчивость при использовании различных форм записи конвективного переноса. Построена безусловно ¿»-устойчивая разностная схема на основе введения новых переменных. Отмечены другие задачи, для которых схемы такого типа представляют интерес.

1.1 Введение

При прикладном моделировании проблем механики сплошной среды уравнения конвекции-диффузии [13,19,30,62,71] являются базовыми. Основными особенностями таких задач являются, в частности, несамосопряженность оператора задачи, а также преобладание конвективного переноса перед диффузионным во многих прикладных задачах. В задачах конвекции-диффузии при рассмотрении сжимаемых сред оператор задачи незнакоопределен. В этом случае рассматриваемый процесс может быть недиссипативным, т.е. норма решения однородной задачи не убывает со временем. Такое поведение нормы решения необходимо передать на дискретном уровне при выборе аппроксимаций по времени.

При численном решении нестационарных задач для уравнений конвекции-диффузии наиболее широко применяются двух- и трехслойные схемы. Исследование устойчивости и сходимости приближенного решения может проводиться с использованием общих результатов теории устойчивости (корректности) опера-торно-разностных схем A.A. Самарского [24,33,82]. Необходимо иметь в виду, что для задач конвекции-диффузии прямое применение общих критериев устойчивости может быть затруднительным из-за несамосопряжённости операторов. Отметим также, что с учетом незнакоопределенности оператора задачи мы должны ориентироваться на ¿»-устойчивые (д > 1) операторно-разностные схемы. При решении нестационарных задач на большие промежутки времени предпочтение должно отдаваться асимптотически устойчивым схемам [33,86]. Для таких схем обеспечивается правильное поведение решения с выделением основной гармоники решения при больших временах и затуханием других (регулярный режим для уравнения теплопроводности [38]).

Используемые в вычислительной практике стандартные схемы даже при решении диссипативных задач нуждаются в коррекции. Например, обычная чисто неявная схема (неявная схема Эйлера), или симметричная схема (схема Кранка-Николсона) могут дать неустойчивые решения для тестовой задачи (Л > 0)

^ + \и = 0, и( 0) = и0.

CLL

В работе [69] обсуждается модификация стандартных схем, которая основана на использовании (ехр(Ат) — 1)/Л вместо исходного шага по времени т при применении чисто неявной схемы. Некоторые более поздние результаты по построению и использованию подобных нестандарных аппроксимаций по времени можно найти, например, в [40].

Здесь [1] строятся безусловно устойчивые схемы для приближенного решения нестационарных задач конвекции-диффузии. Такие схемы могут применяться и для других задач с незнакоопределенным оператором. Исследование проводится на примере модельной двумерной начально-краевой задачи в прямоугольнике. Применяются простейшие аппроксимации операторов диффузионного и

конвективного переносов на равномерной прямоугольной сетке. Рассматриваются стандартные двухслойные схемы с весами, исследуется их устойчивость при использовании различных форм записи конвективного переноса. Построена безусловно ¿»-устойчивая разностная схем на основе введения новых переменных. Отмечены другие задачи, для которых схемы такого типа представляют интерес.

1.2 Задачи конвекции-диффузии

Уравнения, описывающие конвективный и диффузионнный перенос, могут иметь различную форму. Рассмотрим задачу Неймана в прямоугольнике для нестационарных уравнений конвекции-диффузии с конвективными слагаемыми в дивергентной, недивергентной и симметричной формах [30]. Для простоты предполагаем, что коэффициент диффузионного переноса является постоянным (не зависящим от времени, но зависящим от точки расчетной области). Коэффициент конвективного переноса естественно считать переменным как по пространству, так и по времени. В прямоугольнике

П = {х | х = (#1, Х2), 0 < ха < 1а, а = 1,2}

будем рассматривать нестационарное уравнение конвекции-диффузии, когда конвективный перенос записывается в недивергентном виде,

£+¿-(■•'>£-5 ¿(«О-/<-'>■ (1Л)

хеп, о<г<т,

при стандартных предположениях к\ < к (х) < к,2, к\ > 0, Т > 0 . Это уравнение дополняется граничными условиями Неймана

0ц(а?,*) хедП, г>0. (1.2)

дп

Для однозначной разрешимости нестационарной задачи задается начальное

условие

и(х,0) = и°(х), хеп. (1.3)

В качестве основного рассматривается также уравнение конвекции-диффузии в дивергентной форме:

ж+ 5 г£- {х'и) - § ¿ =7 <}' (1.4)

х еп, о < г < т.

И наконец, будем отдельно исследовать случай, когда решение определяется из уравнения конвекции-диффузии в симметричной форме:

2

(*(*)£:) =/<*.«>. 0<4-т-

а=1

На множестве функций и(х,{), удовлетворяющих граничным условиям (1.2), нестационарную задачу конвекции-диффузии запишем в виде дифференциально-операторного уравнения А/

_ +Ли = /(*), А = С(г) + ъ, о<г<т. (1.6)

а£

Здесь V - оператор диффузионного переноса, который определяется выражением

а=1

Оператор конвективного переноса в соответствии с (1.1), (1.4), (1.5) записывается в различных формах. Для оператора конвективного переноса в недивергентной форме с учетом (1.1) положим С = С\, где

дха

а—1

Аналогично из (1.4) имеем С = С2, где теперь

2 д

с2и = я— (ж' •

а=1

С учетом (1.5) оператор конвективного переноса в симметричной форме имеет вид

Со = \(С1 + С2),

причем

^ 2 / ^ \

С°и = 2 ^ ( ^ *) ^ + ■

а—1

Рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения (1.6):

м(0) = и°. (1.7)

Для операторов конвективного переноса имеют место следующие представления

С\ = С2 — сИуи,

и

1 1 С\ = С0 - - ¿IV V, С2 = С0 + - ¿IV-и.

Приведем некоторые свойства для введенных операторов диффузионного и конвективного переносов. Пусть И = Ь2 (О) гильбертово пространство со скалярным произведением

(:У, V) = / У (х) V (х) ¿X ./п

для произвольных функций у(х) и у(х), и нормой

\\у\\ = {у,у)1'2.

Оператор диффузионного переноса V на множестве функций, удовлетворяющих условию (1.2), является самосопряженным и неотрицательным:

£> = £>*>0. (1.8)

Операторы конвективного переноса рассматриваются при предположении, что нормальная компонента скорости движения среды V = (VI, у2) на границе области равна нулю:

Уп(х) =ип = 0, хедп, (1.9)

где п — нормаль к дП. В "Н операторы конвективного переноса обладают следующими свойствами:

C¡ = -C2, Со = —Cq. (1.10)

Полезны также оценки сверху для операторов конвективного переноса С\, С2\

\{Саи,и)\ <6\\и\\2, а = 1,2, (1.11)

где постоянная

6 = ^\\áwv\\C(n)-

Приведем простейшую априорную оценку для нестационарной задачи (1.6), (1.7), которая будет для нас ориентиром при рассмотрении разностных схем.

Теорема 1. Для задачи (1.6), (1.7) в условиях (1.8)-(1.11) имеет место априорная оценка

t

|\u(t)¡\ < e5t\\uQ\\ + j es^\\m\\d0 (1.12)

o

в случае операторов конвекции в дивергентной и недивергентной формах и оценка

t

¡с::.::п:: ■

о

для случая оператора конвекции в симметричной форме.

+ j\\f{0)\\M (1.13)

Доказательство. Домножая скалярно уравнение (1.6) на u(t), получим

Н^Н + (ри,и) = - (Саи,и) + С/» (1.14)

Используя (1.8) и (1.11) получим следующее ограничение на энергию оператора А

(Аи,и)>-6\\и\\2, 6> 0, С = Са, а-1,2. (1.15)

С привлечением оценки (1.15) и неравенства

С/>) < ||гх 17

из (1.14) получим

1\\и\\ - 6\\и\\ < М\\.

Из этого неравенства на основе леммы Гронуолла следует доказываемая оценка (1.12). Неравенство (1.13) для оператора конвекции в симметричной форме устанавливается с учетом свойства кососимметричности оператора Со. □

Оценки (1-12), (1.13) обеспечивают непрерывность решения задачи (1.6), (1.7) по начальным данным и правой части. Существенно то, что для нормы решения задачи с конвективным переносом в дивергентной и недивергентной формах с однородной правой частью допускается экспоненциальный рост. Учет такого поведения решения задачи конвекции-диффузии проводится на дискретном уровне при исследовании ¿»-устойчивости соответствующих разностных схем [24,33,82].

1.3 Дифференциально-разностная задача

Для приближенного решения нестационарной задачи конвекции-диффузии будем использовать разнесенную сетку, когда скалярные величины и компоненты векторных величин задаются на своих расчетных сетках: скалярные величины отнесем к центрам прямоугольников, а компоненты векторных величин — к центрам граней. Обозначим через й) равномерную сетку в области О,

й = {х \ х = {хх,х2), Ха= + 0 к, га = 0,1, № + 1 )К = 1а, а = 1,2},

причем ш — множество внутренних узлов, а дш — множество граничных узлов.

Для сеточных функций, удовлетворяющих условиям (1.2) на множестве граничных узлов дсо, определим гильбертово пространство Н = Ь2 (си), в котором скалярное произведение и норма задаются следующим образом:

(У> т) (х) ||?/|| = (у, у)1'2 .

С использованием стандартных безындексных обозначений теории разностных схем [24] рассмотрим разностный оператор диффузионного переноса 2

D = YD^y = -(a^y,a) , а =1,2, жбы, (1.16)

а=1

где для достаточно гладких коэффициентов диффузии к(х) можно положить, например,

а^ (х) = к {х 1 — 0.5/ii, х2),

а(2)(ж) = к (zi, х2 - 0.5h2).

Такой сеточный оператор диффузии аппроксимирует дифференциальный оператор с точностью О (|/г|2). Разностный оператор диффузионного переноса (1.16) в Н, как и в дифференциальном случае, является самосопряженным и неотрицательным:

D = D*> 0. (1.17)

Конвективные слагаемые аппроксимируем со вторым порядком на основе использования центральных разностных производных и сдвинутых (разнесенных) сеток для задания компонент скорости. Преимущества таких аппроксимаций подробно обсуждается, например в [30]. Для разностного оператора конвективного переноса используем аддитивное представление

2

Су = ^С{а\ (1.18)

а=1

в котором в случае недивергентного оператора конвекции имеем

М1) 4(1)/ , п Kb ^y{xi + hi,x2) -у(х) ci У = 2 ixi + 0.5/ц, х2)-^--Ь

jAdW па ^y(x)-y{xi-hux2)

+-bKl) {xi - 0.5Ль x2)-г-,

Z ill

cf>y = > (zb*2 + 0.5ft2) + -»(») +

1 ri2

+> (xbx2 - 0.5fe) Кх)-У(х„х2-Л2)

2 /12

Аналогично, для дивергентного оператора конвекции

С?у = >> (*, + О-БЛх,^) + "> + »(*)_

2 Л-1

2 Л-1

С® у = + +

_> (х1>аа _ 0.5/12) +

2 П2

Наиболее компактна запись разностного оператора конвекции в симметричной форме:

с^у = (xi + 0.5/ц, ®2) (®1 + Лх, х2) -

- 0.5/11, з2) У (хх - Ль ге2) ,

2/2.1

= ^Ь(2) (хи х2 + 0.5/2.2) у (хъ + Л2) -

, - 0.5/12) У (яь - Лг) •

2/г2

Для случая достаточно гладких компонент скорости и решения дифференциальной задачи мы можем положить, например, Ъа(х) = уа{х), а = 1,2.

Используемые разностные операторы конвективного переноса обладают следующими основными свойствами:

С* _ /"(* _

1 — — —

(1.19)

Имеет место также сеточный аналог неравенства (1.11):

|(Саг/,2/)|<%||2, а =1,2

(1.20)

с постоянной

1

- тах

2 Жбш

М1) (2:1 + 0.5/11,3:2) - 6(1) (т - 0.5/11, ж2)

Ь<2) (жь а?2 + 0.5/г2) ~ Ь(2) (жь ~ 0.5Л2)

Н2

Таким образом от уравнения (1.6) придем к дифференциально-операторному уравнению

^ + Ау = ф®, А = А^) = С + 0, 0 <г<Т, (1.21)

ш.

на множестве сеточных функций у(Ь) € Н с начальным условием

3/(0) = у0. (1.22)

Разностные операторы конвекции и диффузии в этой дифференциально-разностной задаче наследуют основные свойства дифференциальных операторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Афанасьева, Надежда Михайловна, 2013 год

Литература

1. Афанасьева Н. М., Вабищевич П. Н., Васильева М. В. Безусловно устойчивые схемы для задач конвекции-диффузии // Известия вузов. Математика. — 2013.-№ З.-С. 3-15.

2. Афанасьева Н. М., Васильева М. В., Захаров П. Е. Параллельное численное моделирование процесса заводнения нефтяного месторождения // Математические заметки ЯГУ. - 2011. - Т. 18, № 1. - С. 159-172.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. — М.: Недра, 1984.

4. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М. : Наука, 1994.

5. Вабищевич П. Н. Численное моделирование. — М. : Издательство Московского университета, 1993.

6. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Нестационарные задачи. — М. : Вузовская книга, 2009.

7. Вабищевич П. Н. Явно-неявные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации // Математическое моделирование. — 2010.— Т. 22, №4.-С. 118-128.

8. Вабищевич П. Н. Аддитивные операторно-разностные схемы ( схемы расщепления ). - М.: УРСС, 2013.

9. Введение в математическое моделирование / В. Н. Ашихмин, М. Б. Гитман, И. Э. Келлер и др. — М. : Логос, 2005.

10. Данилов В. Л., Коновалов А. Н., Якуба С. И. Об уравнениях и краевых задачах теории двухфазных фильтрационных течений в пористой среде // Докл. АН СССР. - Т. 183.- 1968.- С. 307-310.

11. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости.— Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988.

12. Кричлоу Г. Б. Современная разработка нефтяных месторождений-проблемы моделирования. — М.: Недра, 1979.

13. Крукиер Л. А., Мартынова Т. С. Численные методы решения задач конвекции-диффузии со смешанными производными. — Ростов-на-Дону : Издательство РГУ, 2003.

14. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970.

15. Лейбензон Л.С. Подземная гидрогазодинамика.— М.: Изд-во АН СССР, 1953.-Т. 2.

16. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений,— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

17. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М. : Наука, 1980.

18. Марчук Г. И. Методы расщепления.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

19. Математическое моделирование процессов конвективно-диффузионного переноса в задачах экологии / Л. А. Крукиер, Г. В. Муратова, Е. М. Андреева и др. — Ростов-на-Дону : Издательство РГУ, 2008.

20. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред.— М.: Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1987.

21. Николаев Е. С., Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука, 1978.

22. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — М. : Наука, 1977.

23. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдо-ба, Ю. А. Повещенко и др. — Минск : Критерий, 1996.

24. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1989.

25. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. — М. : Наука, 1976.

26. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные схемы для для неустойчивых задач // Математическое моделирование. — 1990.— Т. 2(11). — С. 89-98.

27. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Устойчивость трехслойных проекционно-разностных схем // Математическое моделирование. — 1996. — Т. 8(9). - С. 74-84.

28. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы математического моделирования. — М. : Наука, 1997.— С. 5-97.

29. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. — М.: Наука, 1999.

30. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. — М.: УРСС, 1999.

31. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных и операторно-разностных схем // Докл. АН. - 1997. - Т. 356, № 4. - С. 455-457.

32. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Устойчивость разностных схем в интегральных по времени нормах // Докл. АН.— 1997.— Т. 354, №6.-С. 745-747.

33. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

34. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — М. : Физматлит, 2005.

35. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М. : Наука, 1992.

36. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Изд-во Моск. университета, 1999.

37. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. — М.: Гостоптехиздат, 1963.— Т. 396.-С. 100.

38. Чердаков П. В. Теория регулярного режима. — М.: Энергия, 1975.

39. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск : Наука, 1967.

40. Advances in the applications of nonstandard finite difference schemes / Ed. by R. E. Mickens. —New Jersey : World Scientific, 2005.

41. Afanasyeva N.M., Churbanov A. G., Vabishchevich P.N. Unconditionally monotone schemes for unsteady convection-diffusion problems // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2013. — Vol. 13, no. 2. — P. 185-205.

42. Afanasyeva N., Vabishchevich P., M. Vasilyeva. Unconditionally Stable Schemes for Non-Stationary Convection-Diffusion Equations // Numerical Analysis and its Applications, Lecture Notes in Computer Science.— Springer, 2013.-Vol. 8236.-P. 151-157.

43. Ascher U. M., Ruuth S. J., Wetton B. T. R. Implicit-explicit methods for time-dependent partial differential equations // SIAM Journal on Numerical Analysis.— 1995. — Vol. 32, no. 3. — P. 797-823.

44. Aziz K., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation.— Applied Science Publishers, 1979.

45. Batchelor G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. — Cambridge University Press, 2000.

46. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. — American Elsevier, New York, 1972.

47. Brooks R.H., Corey A. T. Hydraulic properties of porous media // Hydrology Papers, Colorado State University. — 1964. —no. 3.

48. Chen Z., Huan G., Ma Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. — Siam, 2006.

49. Coats K.H. Elements of Reservoir Simulation, Lecture notes // University of Texas, Houston. — 1968.

50. Dekker K., Verwer J. G. Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. — Amsterdam : North-Holland, 1984.

51. Desoer C., Haneda H. The measure of a matrix as a tool to analyze computer algorithms for circuit analysis // IEEE Trans. Circuit Theory.— 1972.— Vol. 19. —P. 480-486.

I, II ¡¡I * 'f

52. Douglas J. J., Peaceman D. W., Rachford H. H. A method for calculating multidimensional immiscible displacement // Trans. SPE of AIME.— 1959.— Vol. 216.-P. 297-306.

53. Dym C. L. Principles of mathematical modeling. — Academic Press, 2004.

54. Fletcher C. A. J. Computational Techniques for Fluid Dynamics.— Berlin : Springer-Verlag, 1988.

55. Fletcher C. A. J. Computational techniques for fluid dynamics: Fundamental and general techniques. — Springer, 1991. — ISBN: 3540530584.

56. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type.— Prentice-Hall Englewood Cliffs, New Jersey, 1964.

57. Gershenfeld N. A. The nature of mathematical modeling. — Cambridge University Press, 1999.

58. Golub G. H., Ortega J. M. Scientific computing and differential equations: an introduction to numerical methods. — Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA, 1991.

59. Grossmann C., Roos H. G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential equations. — Springer Verlag, 2007.

60. Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations. I. Nonstiff Problems. — Berlin : Springer-Verlag, 1987.

61. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix analysis. — Cambridge Univ Pr, 1990.

62. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent advection-diffusion-reaction equations. — Springer Verlag, 2003.

63. Jovanovic B. S., Matus P. P. On the strong stability of operator-difference schemes in time-integral norms // Computational Methods in Applied Mathematics. — 2001. — Vol. 1, no. 1. — P. 72-85.

64. Knabner P., Angerman L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. — Springer Verlag, 2003.

65. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. — Springer Verlag, 2003.

66. Ladyzenskaja O. A., Solonnikov V. A., Ural'ceva N. N. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type. — AMS, 1968.

67. Landau L. D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics.— 2 edition.— ButterworthHeinemann, 1987.

68. Meyer W. J. Concepts of mathematical modeling. — Dover Publications, Inc., 2004.

69. Mickens R. E. Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential Equations // Journal of Difference Equations and Applications. — 2002. — Vol. 8, no. 9.—P. 823-847.

70. Miller J. J. H., O'Riordan E., Shishkin G. I. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems: Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions.— World Scientific Publishing Company, 2012.

71. Morton K. W., Kellogg R. B. Numerical solution of convection-diffusion problems.— Chapman & Hall London, 1996.

72. Muskat M. Physical Principles of Oil Production. — 1949.

73. Muskat M., Wyckoff R. D. The flow of homogeneous fluids through porous media. - McGraw-Hill, New York, 1937. - Vol. 258.

74. Peaceman D. W. Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Developments in Petroleum Science. — Elsevier Scientific Pub. Co., 1977.

75. Peyret R., Taylor T. D. Computational Methods for fluid Flow.— Berlin : Springer-Verlag, 1983.

76. Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum Principles in Differential Equations.— Springer, 1967.

77. Roache P. J. Computational Fluid Dynamics. — Albuquerque, N. M. : Hermosa, 1982.

78. Roos H. G., Stynes M., Tobiska L. Robust Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations: Convection-Diffusion-Reaction and Flow Problems. — Springer, 2008.

79. Ruuth S. J. Implicit-explicit methods for reaction-diffusion problems in pattern formation // Journal of Mathematical Biology.— 1995.— Vol. 34, no. 2.— P. 148-176.

80. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Siam, Philadelphia, 2003.

81. Saleri Fausto, Quarteroni Alfio, Sacco Riccardo. Numerical mathematics.— Springer, 2007.

82. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. — Kluwer Academic Pub, 2002.

83. Samarskii A. A., Nikolaev E. S. Numerical Methods for Grid Equations.— Basel : Birkhauser Verlag, 1989. — Vol. 1 and 2.

84. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Regularized difference schemes for evolutionary second order equations // Math. Mod. Meth. Appl. Sciences. — 1992. — Vol. 3.—P. 295-315.

85. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Numerical methods for solving inverse problems of mathematical physics. — Walter de Gruyter, 2007.

86. Samarskii A. A. Vabishchevich P. N. Computational Heat Transfer.— Chichester : Wiley, 1995.

87. Scharfetter D. L., Gummel H. K. Large-signal analysis of a silicon read diode oscillator // IEEE Trans. Electron Devices. — 1969. — Vol. ED-16. — P. 4-77.

88. Sheffield M. Three-Phase Fluid Flow Including Gravitational, Viscous and Capillary Forces // Old SPE Journal. — 1969. — Vol. 9, no. 2. — P. 255-269.

89. Sheldon J. W., Zondek B., Cardwell W. T. One-dimensional, incompressible, noncapillary, two-phase fluid flow in a porous medium // Trans. SPE of AIME. — 1959.-Vol. 216.-P. 290-296.

90. Simulation of three-dimensional, two-phase flow in oil and gas reservoirs / K.H. Coats, R.L. Nielsen, M.H. Terhune, A.G. Weber // SPE Journal. — 1967. — Vol. 7, no. 4. — P. 377-388.

91. Sod G. A. Numerical Methods in Fluid Dynamics. — Cambridge : Cambridge University Press, 1985.

92. Stone H.L., Garder A.O. Jr. Analysis of Gas-Cap or Dissolved-Gas Drive Reservoirs // Trans. SPE of AIME. — 1961. — Vol. 222. — P. 92-104.

93. Strang G. Introduction to applied mathematics.— Wellesley-Cambridge Press Wellesley, MA, 1986.

94. Tannehill J. C., Anderson D. A., Pletcher R. H. Computational fluid mechanics and heat transfer. — Taylor & Francis Group, 1997.

95. Temam R. Navier - Stokes Equations. — American Mathematical Soc., 1984.

96. Vabishchevich P.N., Vasil'eva M.V. Iterative Solution of the Pressure Problem for the Multiphase Filtration // Mathematical Modelling and Analysis.— 2012. — Vol. 17, no. 4. — P. 532-548.

97. Vabishchevich P. N. On the form of the hydrodynamics equations // West-east high speed flow field conference, 19-22, November 2007, Moscow, Russia.— P. 1-9.

98. Vabishchevich P. N. Construction of splitting schemes based on transition operator approximation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2012. — Vol. 52, no. 2. — P. 235-244.

99. Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Explicit-implicit schemes for convection-diffusion-reaction problems // Siberian J. Num. Math.— 2012. — Vol. 15, no. 4.—P. 359-369.

100. Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics. — Berlin Heidelberg : Springer, 2001.

101. Yanenko N. N. The method of fractional steps. The solution of problems of mathematical physics in several variables. — Springer, 1971.

102. de G.Allen D. N., Southwell R. V. Relaxation methods applied to determine the motion, in two dimensions, of a viscous fluid past a fixed cylinder // Quart. J. Mech. Appl. Math. — 1955. —Vol. 8.-P. 129-145.