Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Михайловская, Маргарита Николаевна

  • Михайловская, Маргарита Николаевна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2011, Москва
  • Специальность ВАК РФ01.01.07
  • Количество страниц 92
Михайловская, Маргарита Николаевна. Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.07 - Вычислительная математика. Москва. 2011. 92 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михайловская, Маргарита Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Бикомпактные схемы для уравнений гиперболического типа.

1.1. Бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса.

1.2. Бикомпактные схемы для квазилинейного гиперболического уравнения.

1.3. Бикомпактные схемы для многомерных задач.

ГЛАВА 2. Бикомпактные схемы для уравнений параболического типа.

2.1. Компактная схема первого порядка аппроксимации по времени для линейного уравнения теплопроводности.

2.2. Компактные схемы повышенного порядка аппроксимации по времени для линейного уравнения теплопроводности.

2.3. Компактная схема для квазилинейного уравнения теплопроводности.

ГЛАВА 3. Применение бикомпактных схем к решению задач газовой динамики.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов»

Уравнения и системы уравнений гиперболического типа составляют значительную часть математических моделей, используемых для решения разнообразных прикладных задач [1]. Линейное уравнение переноса является одним из фундаментальных уравнений математической физики [40], которое активно используется для решения широкого круга задач о распространении электромагнитного излучения в различных средах. В их число входят задачи переноса излучения в атмосфере, задачи аэрокосмического мониторинга природной среды и дистанционного зондирования атмосферы планет [41], задача о зондировании биологической ткани лазерным импульсом [42], расчет полей нейтронов, порожденных активной зоной ядерного реактора [43]. Важнейшим свойством, которому должны удовлетворять разностные схемы сквозного счета для численного решения данного класса задач, является их монотонность [1]. Другое важнейшее требование к схемам сквозного счета - свойство консервативности [4]. Созданию высокоточных и экономичных разностных схем для уравнения переноса посвящено огромное число работ (см., например, обзоры [1,35, 44]).

Существует несколько способов повышения порядка аппроксимации схем по пространственным переменным. Эти способы можно условно классифицировать- следующим образом: использование многоточечных шаблонов; использование дифференциальных следствий исходных уравнений; применение компактных аппроксимаций производных [5]; использование комбинаций сеточных функций, полученных на разных сетках, например метод Ричардсона [32, 33]. Существуют также подходы, в которых указанные способы объединены. Например, в хорошо известной среди газодинамиков-вычислителей работе [34] при построении схемы четвертого порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне для скалярного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка 3 использовались как компактная аппроксимация четвертого порядка, так и дифференциальные следствия исходного уравнения.

В настоящее время среди схем высокого (выше первого) порядка аппроксимации большую популярность получили компактные схемы [5-8]. При построении таких схем используются дифференциальные следствия исходных уравнений, что позволяет при разностной аппроксимации производных использовать небольшое число точек шаблона (компактный шаблон). Порядок компактной аппроксимации больше или равен числу точек шаблона [5, 6].

В недавней' обзорной статье [45], посвященной проблеме, построения монотонных разностных схем для уравнений гиперболического типа, в частности, линейного уравнения переноса; отмечено, что перспективным направлением разработки монотонных схем является их поиск среди схем, обладающих компактностью пространственного шаблона, а также среди схем, построенных для продолженной системы. При этом продолженная система состоит из основного уравнения? переноса для искомой функции и уравнения- (или уравнений) для пространственных производных от этой функции, которые рассматриваются как дополнительные искомые функции [46]'. Обычно, при построении компактных схем производные от искомых функций рассматриваются в качестве искомых переменных [9]. Этот прием позволяет легко сформулировать граничные условия с высокой точностью на компактном разностном шаблоне. Компактность шаблона обеспечивает экономичность неявных компактных схем: разностные уравнения решаются либо прогонкой [5, 6, 9], либо бегущим^ счетом' [10]. Компактные схемы обладают свойством консервативности [5, 6, 11].

Анализ литературы показывает, что [34], судя, по всему, является первой работой, в которой построена схема четвертого порядка точности на двухточечном шаблоне по пространственной переменной. Важно отметить, что для расчета областей течений с большими градиентами газодинамических переменных на основе гиперболических законов 4 сохранения [1, 35] двухточечные компактные схемы кажутся более перспективными по сравнению с трехточечными [5], поскольку в отличие от последних обладают следующими важными свойствами. Во-первых, схема с двухточечным шаблоном сохраняет порядок аппроксимации при переходе от равномерной сетки к неравномерной. Во-вторых, если узел сетки расположить в точке разрыва решения, то в компактной двухточечной схеме можно избежать интерполяции через разрыв.

В кратком изложении методика [34] состоит из следующих основных этапов: 1) введение производных в качестве дополнительных искомых функций с целью сведения уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка; 2) использование интегро-интерполяционного метода и квадратурных формул Симпсона и Маклорена для построения разностной схемы; 3) использование формул четвертого- порядка точности, определяющих значения искомой* функции! и ее производных в полуцелых узлах сетки через- значения' функции и, ее производных в целых узлах, для того, чтобы исключить указанные величины в полуцелых узлах из разностной схемы. Заметим, что если на этапе 2 использовать квадратурную формулу трапеций вместо формул Симпсона и Маклорена, то получаются двухточечные схемы второго порядка точности.

Отметим, что в [36] схема второго порядка на двухточечном минимальном шаблоне для гиперболических уравнений была получена, как и в [34], путем введения производной от искомой функции в качестве дополнительного независимого неизвестного. В работе [9] этот же прием использован для построения схемы четвертого порядка для уравнения теплопроводности также на двухточечном шаблоне. В недавней работе [19] схемы повышенного порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне были названы для краткости бикомпактными. В работе мы будем придерживаться этого, на наш взгляд, удачного названия.

В работе [37] бикомпактная схема [34] для скалярного дифференциального уравнения третьего порядка была модифицирована и 5 обобщена на случай решения системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Эта модифицированная схема была применена к решению внутренних и внешних задач динамики вязкого газа [38, 39].

В [20] построены бикомпактные разностные схемы для линейного уравнения переноса путем использования различных схем интегрирования по времени эволюционных систем-дифференциальных уравнений, полученных методом прямых. Однако свойства этих схем были исследованы лишь на гладких решениях.

В настоящее время широкое распространение получили двухслойные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов- сохранения [1, 35]. При построении таких схем основным принципом является известная теорема об ограничении порядка аппроксимации двухслойных монотонных линейных схем [22]. Схемы с нецентрированными пространственными аппроксимациями [5, 6], ориентированными против потока, являются устойчивыми и диссипативными при подходящей аппроксимации производных по времени. Однако, для точного воспроизведения структуры скачков искомых функций с помощью этих схем нечетного порядка аппроксимации по пространственным переменным приходится прибегать к монотонизаторам в виде ограничителей потоков [12, 13]. Для подавления осцилляции численных решений, полученных с помощью компактной схемы, вблизи скачков в схему добавляют искусственную1 вязкость [81, 82], однако этот способ полностью не устраняет немонотонность численного решения вблизи скачков. Другим подходом.для построения»неосциллирующих вблизи разрывов схем является применение процедур £N0 и "\УЕ1ЧО для расчета потоков через границы разностных ячеек [7, 8]. Однако и этот подход также полностью не устраняет немонотонность численного решения. Кроме того, процедуры ЕЫО и \VENO достаточно трудоемки.

В связи с этим актуальным является развитие подходов к построению монотонных высокоточных разностных схем сквозного счета, которые, с 6 одной стороны, являются экономичными, а, с другой стороны, не используют искусственную вязкость и какие-либо ограничители потоков. Иными словами, в настоящее время очень важным является построение монотонных схем, у которых собственная диссипация полностью подавляет внутреннюю дисперсию и порождаемые ею осцилляции в области сильных изменений решения.

В' диссертационной работе предложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений гиперболического и параболического типов. Основные этапы этого способа: 1) построение двухслойной монотонной бикомпактной разностной схемы четвертого порядка аппроксимации! по пространственной координате и первого порядка аппроксимации по времени с помощью интегро-интерполяционного метода и метода прямых; 2) построение двухслойных диссипативных бикомпактных схем третьего порядка аппроксимации по времени на основе специальных диагонально-неявных трехстадийных методов Рунге-Кутгы; 3) оригинальный метод построения1 гибридных нелинейных монотонных бикомпактных схем повышенного порядка точности по- времени на основе базовых разностных схем, полученных на первых двух этапах.

На основе предложенного подхода построены и исследованы новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени разностные схемы. Предложенные схемы являются экономичными (решаются либо методом бегущего счета, либо двухточечной прогонкой), консервативными, монотонными в широкой области значений локального числа Куранта. Схемы не используют искусственную вязкость и ограничители потоков, не требуют вспомогательных начальных и граничных условий.

В первой главе работы предложен новый способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для 7 уравнений и систем уравнений гиперболического типа. В отличие от известных в мировой литературе способов построения разностных схем с использованием продолженной системы [45], исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество предложенного подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама искомая функция. Описанный подход к построению схем повышенной точности распространен также на многомерные задачи. Бикомпактная схема для многомерного линейного уравнения переноса строится путем покоординатного расщепления многомерного дифференциального оператора на одномерные операторы.

В первой главе работы также предложен новый способ построения компактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на двухточечном шаблоне для квазилинейных уравнений* гиперболического типа. Суть данного способа состоит в получении двух независимых консервативных разностных уравнений на двухточечном пространственном шаблоне, используя дифференциальные следствия исходной системы уравнений. Из этих уравнений определяются значения искомой сеточной функции в целом рассчитываемом узле и полуцелом вспомогательном узле. В результате построенная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате по существу является бикомпактной схемой для определения искомой сеточной функции в целых узлах сетки и решается методом бегущего счета.

Во второй главе работы изложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений параболического типа. Он проиллюстрирован примером начально-краевых задач для нестационарных одномерных линейных и квазилинейных уравнений теплопроводности. Построенные на его основе 8 двухслойные компактные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на двухточечном шаблоне и третий порядок аппроксимации по времени на гладких решениях уравнений теплопроводности.

В третьей главе работы приведены примеры применения монотонных бикомпактных схем к решению известных нестационарных одномерных тестовых задач газовой динамики. Проведено сравнение расчётов по предложенным в работе бикомпактным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, среди которых имеются такие популярные схемы как PPM (the piecewise parabolic method) [27], и WEN05 [28]. Тестирование бикомпактных схем выполнено на системе одномерных тестовых задач газовой динамики, которая всесторонне отражает трудности, которые возникают при численном моделировании нестационарных течений газа.

Похожие диссертационные работы по специальности «Вычислительная математика», 01.01.07 шифр ВАК

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Михайловская, Маргарита Николаевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для уравнений гиперболического и параболического типов.

2. На основе предложенного подхода построены и исследованы экономичные консервативные высокоточные компактные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и третьего порядка аппроксимации по времени для линейного и квазилинейного уравнений переноса, для линейного и квазилинейного уравнений теплопроводности, а также для системы уравнений газовой динамики.

3. Разработанные схемы являются двухслойными по времени и двухточечными по пространственным переменным, абсолютно устойчивыми, консервативными, монотонными в широком диапазоне значений локального числа Куранта и могут быть использованы для решения жестких задач. Построенные разностные схемы сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке.

4. В отличие от известных результатов, предложенные схемы являются экономичными (решаются методом бегущего счета), не используют искусственную вязкость и ограничители потоков, не требуют вспомогательных начальных и граничных условий.

5. Все теоретические оценки свойств (устойчивости, монотонности, консервативности) построенных разностных схем проверены с помощью численных экспериментов на представительной системе принятых в мировой литературе тестов.

Разработанные автором методы построения разностных схем высокого порядка аппроксимации с уникальным набором свойств (экономичность, монотонность, консервативность) могут служить основой для конструирования разностных схем для решения широкого класса прикладных задач, описываемых уравнениями и системами уравнений гиперболического и параболического типов. Благодаря свойству монотонности и консервативности, схемы могут быть использованы для решения нестационарных задач аэродинамики высоких скоростей, а благодаря хорошим дисперсионным свойствам - для решения задач аэроакустики. Экономичность построенных схем благоприятна для их использования при решении различных трудоемких нестационарных многомерных задач гиперболического и параболического типа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михайловская, Маргарита Николаевна, 2011 год

1. Холодов А. С. Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. T.VII-1.4.2. М.: Янус-К, 2008, С.141-174.

2. Калиткин КН. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

3. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.

5. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в.задачах аэрогидродинамики. — М.: Наука, 1990, 230 с.

6. Tolstykh A.I. High accuracy non-centered compact difference schemes for fluid dynamics applications. Singapore: World Scientific, 1994. 314 p.

7. Adams N.A., Sharif K. A high-resolutiion compact-ENO scheme for shock-turbulence interaction problems // J. Comput. Phys. 1996. V.127. P.27-51.

8. Shen Y.-Q., Zha G.-C. Generalized finite compact difference scheme for shock/complex flowfield interaction // J. Comput. Phys. 2011. V.230. P.4419-4436.

9. Рогов Б.В., Михайловская M.H. О сходимости компактных разностных схем // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №1. С.99-116.

10. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Докл. РАН. 2011. Т.436. №5. С.600-605.

11. Толстых А И. Об интегроинтерполяционных схемах заданного порядка и других приложениях мультиоператорного принципа // ЖВМиМФ. 2002. Т. 42. №11. С.1712-1726.

12. Толстых А.И., Широбоков Д. А. О разностных схемах с компактными аппроксимациями пятого порядка для пространственных течений вязкого газа//ЖВМиМФ. 1996. Т. 36. № 4. С.71-85.

13. Tolstykh A.I., Lipavskii M.V. On performance of methods with third- and fifth-order compact upwind differencing // J. Сотр. Phys. 1998. V.140. №2. P.205-232.

14. Ладонкина M.E., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф., Чеванин B.C. Об одном варианте существенно неосциллирующих разностных схем высокого порядка точности для систем законов сохранения // Математическое моделирование. 2009. Т.21. №11. с.19-32.

15. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса II Математическое моделирование. 2011. Т.23. № 6. С.98-110.

16. Liska R., Wendroff В. Comparison of several difference schemes on ID and 2D test problems for Euler equations // Techn. Rept. LA-UR-01-6225, LANL. Los Alamos, 2001.

17. Liska R., Wendroff B. Comparison of several difference schemes on ID and 2D test problems for the Euler equations // SIAM J. Sci. Comput. 2003. V.25. № 3. P.995-1017.

18. Самарский А.А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1989. 616 с.

19. Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Бикомпактные схемы и слоистые среды // Докл. РАН. 2008. Т.419. № 6. С. 744-748.

20. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // Докл. РАН. 2010. Т. 430. №4. С.470-474.

21. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 685с.

22. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решенийуравнений гидродинамики // Матем. сб. 1959. Т. 47(89). № 3. С.271-306.86

23. Остапенко В.В. О. сильной монотонности нелинейных разностных схем // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 7. С.1170-1185:

24. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 416 с.

25. Толстых А.И. О семействах компактных аппроксимаций 4-го и 5-го порядков с обращением двухточечных операторов для уравнений с конвективными-членами // ЖВМиМФ. 2010. Т. 50. № 5. С.894-907.

26. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comput. Phys. 1984. V.54. P.l 15-173.

27. Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes // J. Comput. Phys. 1996. V.126. P.202-228.

28. Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Возможности квазигазодинамического алгоритма для численного моделирования' течений невязкого газа // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 3. С.549-566.

29. Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Поправка // ЖВМиМФ. 2010. Т. 50. № 4. С.784.

30. Cocchi J.P., Saurel R., Loraud J.С. Some remarks about the resolution of high velocity flows near low densities // Shock Waves. 1998. V.8. P.l 19-125.

31. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. 320 с.

32. Калиткин Н.Н., Алъилин А.Б., Алъшина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: Физматлит, 2005, 224с.

33. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. // Сб. "Численные методы решения диффер. и интегр. ур-ний и квадратурные формулы". М.: Изд-во АН СССР. 1964. С.304г325.

34. Тышкин В.Ф., Фаворский А.П. Методы численного решения уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. От схемы Годунова к схемамвысокого разрешения // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. T.VII-1. 4.2. М.: Янус-К, 2008, С.91-103.

35. Белоцерковский О.М., Грудницкий В.Г., Прохорчук Ю.А. Разностная схема второго порядка точности на минимальном шаблоне для гиперболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т.23. №1. С.119-126.

36. Rogov В. К, Sokolova I.A. Fast numerical method for calculating flows through a Laval nozzle I I In: Proc. 2nd Int. Conf. Finite Difference Methods (CFDM 98), Minsk, Belarus, July 5-9, 1998. Vol. 3. P. 47-52.

37. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И:А. Эффективный метод расчета вязких течений, со значительным искривлением линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т.374. №2. С. 190-193.

38. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическая модель вязких смешанных течений // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 378. № 5. С. 628-632.

39. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 736 с.

40. Сушкевич Т.А. Математические модели- переноса излучения. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 661 с.

41. Кузнецов B.C., Николаева О.В., Басс Л.П. и др. Моделирование распространения ультракороткого импульса света через сильно рассеивающую среду // Математическое моделирование. 2009. Т.21. №4. С.3-14.

42. Аристова E.H., Голъдин В.Я. Экономичный расчет многогруппового уравнения переноса нейтронов для пересчета усредненных по спектру сечений // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №11. С.41-54.

43. Галаиин М.П. Численное решение уравнения переноса // Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей. Под ред. Г.Г.Малинецкого. М.: Едиториал УРСС, 2005, С.78-116.

44. Холодов А. С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа // ЖВМиМФ. 2006. Т.46. №9. С.1638-1667.

45. Грудницкий В.Т., Прохорчук Ю.А. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации для дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. 1977. Т. 224. №6. С. 1249-1252.

46. Shu C.-W. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // ICASE Report. 1997. №97-65.

47. H.H. Калиткин, И.В. Pumyc. Комплексная схема решения параболических уравнений. М.: Инст. Прикл. Матем. 1981. Препринт № 90,18 с.

48. Е.Ю. Днестровская, Н.Н. Калиткин, И.В. Ритус. Решение уравнений в частных производных схемами с комплексными коэффициентами // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 9. С. 114-127.

49. Wornom S:F. Application of two-point implicit central-difference methods to hyperbolic system // Computers and Fluids. 1991. V.20. № 3. P.321-331.

50. Калиткин H.H., Козлитин И.А. Сравнение свойств схем бегущего счета для уравнения переноса // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. №4. С.35-42.

51. Петров КБ., Холодов А. С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа// ЖВМиМФ. 1984. Т.24. №8. С.1172-1188.

52. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. 832 с.

53. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.

54. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

55. В. Cockburn, Shu C.W. Nonlinearly stable compact schemes for shock calculations. // SIAM. J. Numer. Anal., 1994, v.31, №3, p.607-627.

56. N.A. Adams, K. Sharijf. A high resolution hybrid compact-ENO scheme for shock-turbulence interaction problems // J. Сотр. Phys., 1996, v. 127, №1, p.27-51.r

57. A.I. Tolstykh, M.V. Lipavskii. On performance of methods with third- and fifth-order compact upwind differencing // J. Сотр. Phys., 1998, v.140, №2, p.205-232.

58. S.F. Radwan. On the Fourth-Order Accurate Compact ADI Scheme for Solving the Unsteady Nonlinear Coupled Burgers' Equations // Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 1999, v.6, № 1, p. 13-34.f

59. M.Y. Shen, Z.B. Zhang, X.L. Niu. A new way for constructing high accuracy ( shock-capturing generalized compact difference schemes // Comput. Methods

60. JI.M. Скворцов. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге-Кутты для жестких и дифференциально-алгебраических систем. // Математическое моделирование, 2002, т. 14, № 2, с. 3-17.

61. Н.В. Широбоков. Диагонально-неявные схемы Рунге-Кутты // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002, т.42, № 7, с. 1013-1018.

62. Н.В. Широбоков. Расщепление эволюционных уравнений на основе диагонально-неявных методов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2003, т.43, № 9, с. 1402-1408.

63. А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, А.Б. Корягина. Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких идифференциально-алгебраических систем // Журнал вычисл. матем. и матем. Физики, 2006, т.46, № 8, с.1392-1414.

64. J.C. Butcher. Coefficients for study of Runge-Kutta integration processes. // J. Austral. Math. Soc., 1963, v.3, p. 185-201.

65. H.H. Калиткин, JI.B. Кузьмина. Интегрирование жестких систем дифференциальных уравнений. Москва, препринты ИПМ им. Келдыша, 1981, №.80 и №90.

66. H.H. Калиткин, C.JI. Панченко. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование, 1999, т. 11, №6, с.52-81.

67. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под. ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979.

68. Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, Москва, 1990,512с. .

69. Е.А. Алъшина, Е.М. Закс, H.H. Калиткин. Оптимальные параметры явных схем Рунге-Кутты невысоких порядков // Математическое моделирование, 2006, т. 18, № 2, с.61-71.

70. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977, 440 с.

71. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988, 264 с.

72. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

73. Liu X.-D., Osher S. Nonoscillatory high order accurate self-similar maximum principle satisfying shock capturing schemes I // SIAM J. Numer. Anal. 1996. V. 33.№2.P.760-779.

74. H.H. Калиткин, П.В. Корякин. Одномерные и двумерные бикомпактные схемы в слоистых средах // Математическое моделирование, 2009, т.21, № 8, с.44-62.

75. A.A. Самарский, И.М. Соболь. Примеры численного расчета температурных волн // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 1963, т.З, № 4, с.702-719.

76. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations // Computer Journal. 1963. V.5. № 4. P.329-330.

77. В.В. Остапенко. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2000, т.40, № 12, с. 1857-1874.

78. В.В. Остапенко. Симметричные компактные схемы с искусственными вязкостями повышенного порядка дивергентности // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002, т.42, № 7, с. 1019-103 8.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.