Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гейдаров, Ариф Гусейн оглы

  • Гейдаров, Ариф Гусейн оглы
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 1984, Баку
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 106
Гейдаров, Ариф Гусейн оглы. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Баку. 1984. 106 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гейдаров, Ариф Гусейн оглы

Введение

Глава I. Разложение по собственным функциям самосопряженных карлемановских операторов

§ 1.1. Известные факты и общие результаты

§ 1.2. Разложение по собственным функциям карлемановских операторов

§ 1.3. Карлемановость возмущений карлемановских операторов

Глава П. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом

§ 2.1. Самосопряженность эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом

§ 2.2. Самосопряженность эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом . бб

§ 2.3. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов второго порядка

§ 2.4. Разложение по собственным функциям эллиптических операторов высокого порядка

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов с сингулярным потенциалом»

В настоящее время интенсивно разрабатывается спектральная теория эллиптических операторов с сингулярным потенциалом. Так, например, достаточно полно изучена проблема существенной самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. Одна из основных задач спектральной теории эллиптических операторов является разложение по собственным функциям. Как известно, спектральный анализ оператора Шрединге-ра — Д + имеет основное значение для квантовой механики.

При этом рассматриваемое возмущение ¿^(ЭС) , как правило, имеет сингулярность (т.е. не является непрерывной). Поэтому естественно представляет интерес изучение разложения по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

Общая теория разложения по обобщенным собственным функциям самосопряженных операторов построена в работах Ф.И.Маутнера £¡64^, А.Я.Повзнера [35] , И.М.Гельфанда и А.Г.Костюченко [п] , Ю.М. Березанского [з,б] , Л.Гординга £бб] , Ф.Е.Браудера [52] , К.Морена [бз] , Г.И.Каца [22-24] и др. Эта теория и ее применения к эллиптическим дифференциальным операторам с гладкими коэффициентами изложены в монографии Ю.М.Березанского [I] (см.также И.М.Гельфанд и Н.Я.Виленкин [13] , К.Морен [б2] ).

Наиболее удобным способом для построения разложений по собственным функциям эллиптического оператора является доказательство карлемановости рассматриваемого оператора. Это доказательство, в свою очередь, использует теоремы о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений внутри области и вплоть до ее границы, а для их справедливости необходима достаточная регулярность коэффициентов.

При изучении разложений по обобщенным собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом, ввиду отсутствия соответствующих теорем о повышении гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами, возникают трудности. Следует отметить, что существующие теоремы о повышении гладкости решений эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами (см.например, О.А.Ладыженская и Н.Н.Уральцева [26"] ) не дают возможность применять общую схему разложений по обобщенным собственным функциям в случае сингулярного потенциала.

Предлагаемая нами конструкция разложений для случая сингулярного потенциала по существу использует простую идею, связанную с понятием монотонной функции эрмитовой матрицы, т.е. функции ^(Л) > обладающей тем свойством, что из А ^ В следует известные результаты К.Левнера, см.например [50,6]^ , ( £17] , гл.8, § 9). Грубо говоря, доказательство кар-лемановости сводится к получению оценки Са.(С (^Ю)^00 , где и С - некоторые функция и оператор. Поэтому, если

1в указанном смысле монотонная, то из карлемановости |3 и того что А^В > следует карлемановость А . Этот подход дает возможность охватить некоторые широкие классы эллиптических дифференциальных операторов с сингулярным потенциалом.

В последнее время появилось большое число статей, посвященных получению условий самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом: Б.Саймон [бв] , Т.Като [б7,58^ , Ю.М.Березанский [4^ , Ю.Б.Орочко [29,32] , П.Р.Чернов [71] , Ю.М.Березанский и В.Г.Са-мойленко [в] , М.А.Перельмутер и Ю.А.Семенов [34] и др. В этих работах получены условия самосопряженности эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом. А в работах

Б.М.Левитана и М.Отелбаева [27,28] , Р.Г.Келлера [б9,6о] , Н.Х.Данга [б4,5б] получены условия самосопряженности эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом.

Вместе с тем, известно лишь небольшое количество работ, в которых строится и изучается разложение по собственным функциям эллиптических операторов с сингулярным потенциалом: Г.Н.Гестрин [14-16] , Е.Б.Дэвис [53] , Ю.А.Семенов [67] , А.Г.Белый, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов [49] , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенов £25] , Ю.Б.Орочко [30,31,33] , Т.Ненси [бб] . В этих работах исследовано разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом (за исключением работы Ю.Б.Орочко [зз] , где рассмотрено эллиптическое дифференциальное выражение второго порядка с переменными коэффициентами). При рассмотрении эллиптических операторов высокого порядка возникают дополнительные трудности. Разложение по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов высокого порядка с сингулярным потенциалом ранее не изучалось.

Целью диссертационной работы является построение разложений по собственным функциям самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка с сингулярным, вообще говоря, неубывающим на бесконечности потенциалом. Кроме того, в диссертации получены условия существенной самосопряженности эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.

При доказательстве теорем о разложении применяется метод сравнения основанный на теории монотонных оператор-функций. В некоторых случаях используется модификация этого метода. Для доказательства основных результатов используются теория оснащенных гильбертовых пространств, методы теории возмущений линейных операторов и теория эллиптических уравнений.

- б

Введем следующие обозначения. Как обычно, /К - N - мерное пространство; ) (1 £ р < <*>) - пространство измеримых функций на , р -е степени которых суммируемы по мере

Лебега; ¿^^^ ^рСоо ~ пространство измеримых функции, локально принадлежащих в Ьр(Ю ; ) - пространство измеримых существенно ограниченных функций. Через С0 (К ) будем обозначать пространство бесконечно дифференцируемых на Д?^ функций с компактными носителями.

В тексте диссертации теоремы, леммы и формулы нумерируются по параграфам каждой главы с указанием номера главы. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер теоремы (леммы, формулы).

Теперь сделаем обзор по выше перечисленным работам. Г.Н.Гест-рин £14] перенес известные результаты А.Я.Повзнера £35] на операторы вида с сингулярным потенциалом

• В работах £15,16^ Г.Н.Гестрин с помощью специальной конструкции интеграла Фейнмана обосновал разложение по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Предполагается, что = + ^, где - измерима и локально ограничена, £ (К ) или

ЦХ^Ю+ЩХ) , где <у<С)£ /^(¿К3) , а ^ (X) непрерывна всюду, за исключением изолированных точек, в окрестностях которых неограничена и не суммируема с квадратом.

В работе Е.Б.Дэвиса [5з] изучены свойства собственных функций и функции Грина оператора Шредингера где о«(ЦХ) £ ^ьсСк") (Р>£ , ръа) .

В статьях Ю.А.Семенова £67] , А.Г.Белого, В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова [49] , В.Ф.Коваленко и Ю.А.Семенова [2б] подробно изучены разложения по собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярным потенциалом. Предполагается, что N где ^ -произвольное замкнутое множество меры нуль. При этом оператор 4 понимается в смысле форм-суммы.

В работе Ю.Б.Орочко £зо] с помощью метода гиперболического уравнения доказаны локальная ограниченность и оценки роста на бесконечности обобщенных собственных функций произвольного самосопряженного расширения А оператора ^ = в случае локально ограниченного снизу потенциала из ^(¡К ) Карлемановские оценки для оператора Шредингера с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом доказаны в статье Ю.Б.Орочко £31] . Эти оценки используются при изучении разложений по обобщенным собственным функциям оператора А , а также в ряде других вопросов.

В статье Ю.Б.Орочко £зз] рассматривается сильно сингулярное эллиптическое выражение второго порядка дивергентного вида Ь--скга(Х)дъас1 + у(Х) , где - положительно определенная матрица с элементами ¿^(х) £ ^оо&сО^*)' а потенциал (ЭС) сильно сингулярен (т.е. не принадлежит ^ )» причем О £ £ Ш ) ? хкЦ^а^) »]»»')■

Вводится псевдоминимальный оператор А , порожденный выражением I» . Показано, что А - карлемановский^оператор и его обобщенные собственные функции принадлежат ) П (К )

В работе Т.Ненси [бб] исследовано разложение по собственным функциям оператора Н ~ Н0^ в пространстве ¿^(К ) Здесь Н А ; оператор Н понимается в смысле форм-суммы. Предполагается, что для некоторого ^УО оператор

Х|\/| Нограничен с относительной границей меньшей I. о

В обзорной статье Б.Саймона излагаются некоторые результаты о разложении по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом. Рассматривается оператор Щредингера , где =

Классы и К^о^ определяются следующим образом

Теперь изложим основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии из 76 наименований.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гейдаров, Ариф Гусейн оглы, 1984 год

1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова думка, 1965,- 800с.

2. Березанский Ю.М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наукова думка, 1978.- 360с.

3. Березанский Ю.М. Разложение по обобщенным собственным векторам и интегральное представление положительно определенных ядер в форме континуального интеграла.- Сибирск.матем.журн., 1968, т.9, № 5, с.998-1013.

4. Березанский Ю.М. Самосопряженность эллиптических операторов с сингулярным потенциалом.- Укр.матем.журн., 1974, т.26, № 5,с.579-590.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям уравнений в частных разностях второго порядка.- Труды Моск.матем. об-ва, 1956, т.5, с.203-268.

6. Березанский Ю.М. 0 разложении по собственным функциям общих самосопряженных дифференциальных операторов.- Докл.АН СССР, 1956, т.108, № 3, с.379-382.

7. Березанский Ю.М. 0 гладкости вплоть до границы области спектральной функции самосопряженного дифференциального эллиптического оператора.- Докл.АН СССР, 1963, т.152, № 3, с.511-514.

8. Березанский Ю.М., Самойленко В.Г. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным и бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения.- Успехи матем.наук, 1981, т.36, вып.5, с. 3-56.

9. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. 0 самосопряженности эллиптических операторов высших порядков.- Функц.анализ и его прилож., 1973, т.7, вып.4, с.78-79.

10. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. Условия самосопряженности сильно эллиптических систем произвольного порядка.- Матем. сборник, 1974, т.95, вып.1, с.108-129.

11. Гельфанд И.М., Костюченко А.Г. 0 разложении по собственным функциям дифференциальных и других операторов.- Докл. АН СССР, 1955, т.103, № 3, с.349-352.

12. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып.З: Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.- М.: Физматгиз, 1958.- 274с.

13. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Вып.4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.- М.: Физматгиз, 1961.- 472с.

14. Гестрин Г.Н. 0 разложении по собственным функциям оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.- Матем.заметки, 1974, т.15, № 3, с.455-465.

15. Гестрин Г.Н. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям оператора Шредингера.- Функц.анализ и его прилож., 1976, т.10, № I, с.75-76.

16. Гестрин Г.Н. Интеграл Фейнмана и разложение по собственным функциям уравнения Шредингера.- Укр.матем.журн., 1976, т.28, № 2, с.170-182.

17. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ.-М.: Наука, 1969.- 476с.

18. Гординг Л. Разложения по собственным функциям, связанные с эллиптическими дифференциальными операторами.- Математика: сборник перевод., 1957, № 1:3, с.107-116.

19. Гординг Л. Об асимптотических свойствах спектральной функции самосопряженного полуограниченного расширения эллиптического дифференциального оператора.- Математика: сборник перевод., 1957,1:3, с.117-131.

20. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967.- 624с.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972.- 740с.

22. Кац Г.И. О разложении по собственным функциям самосопряженных операторов.- Докл.АН СССР, 1958, т.119, № I, с.19-22.

23. Кац Г.И. Обобщенные элементы гильбертова пространства.-Укр.матем.журн., i960, т.12, № I, с.13-24.

24. Кац Г.И. Спектральные разложения самосопряженных операторов по обобщенным элементам гильбертова пространства.- Укр.матем. журн., 1961, т.13, № 4, с.13-33.

25. Коваленко В.Ф., Семенов Ю.А. Некоторые вопросы разложения по обобщенным собственным функциям оператора Шредингера с сильно сингулярными потенциалами.- Успехи матем.наук, 1978, т.33, вып.4, с.107-140.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.- 576с.

27. Левитан Б.М., Отелбаев М. Об условиях самосопряженности операторов Шредингера и Дирака.- Докл.АН СССР, 1977, т.235, № 4, с.768-771.

28. Левитан Б.М., Отелбаев М., Об условиях самосопряженности операторов Шредингера и Дирака.- Труды Моск.матем.об-ва, 1981, т.42, с.142-159.

29. Орочко Ю.Б. Замечание о существенной самосопряженности оператора Шредингера с сингулярным потенциалом.- Матем.заметки, 1976, т.20, № 4, с.571-580.

30. Орочко Ю.Б. Карлемановские оценки для оператора Шрединге-ра с локально полуограниченным сильно сингулярным потенциалом.-Матем.сборник, 1977, т.104, № I, с.162-174.

31. Орочко Ю.Б. Конечная скорость распространения и существенная самосопряженность некоторых дифференциальных операторов.-Функц.анализ и его прилож., 1979, т. 13, № 3, с.95-96.

32. Орочко Ю.Б. К теории самосопряженных операторов, порожденных сильно сингулярными выражениями второго порядка дивергентного вида.- Функц.анализ и его прилож., 1982, т.16, № 3, с.80-81.

33. Перельмутер М.А., Семенов Ю.А. Самосопряженность эллиптических операторов с конечным и бесконечным числом переменных.-Функц.анализ и его прилож., 1980, т.14, № I, с.81-82.

34. Повзнер А.Я. 0 разложении по собственным функциям оператора -ÜU+CLL . Матем.сборник, 1953, т.32, вып.1, с.109-156.

35. Порпер Ф.О., Эйделман С.Д. Слабые фундаментальные решения параболических уравнений второго порядка с измеримыми коэффициентами.- Докл.АН УССР, 198I, сер.А, № I, с.22-26.

36. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.1. функциональный анализ.- М.: Мир, 1977- 360с.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир, 1978.-396с.

38. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. т.З. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1982.- 444с.

39. Ройтберг Я.А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений.- Докл. АН СССР, 1964, т.157, № 4, с.798

40. Ройтберг Я.А. Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в L^ эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкостиобобщенных решений.- Укр.матем.журн., 1965, т.17, № 5, с.122-129.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5.- М. : Физматгиз, 1959.- 656с.

42. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М.: Мир, 1973.- 342с.

43. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968.- 428с.

44. Яфаев Д.Р. Замечание о теории рассеяния для возмущенного полигармонического оператора.- Матем.заметки, 1974, т.15, № 3, с.445-454.

45. А^тсм- S. Le.c£usves cm, ZBÙfytLc ВоапМалу Усилие, Ры4вепь$. TUur Ноък ; 0. Уоиуь У1а$4лшгсС, 196S. -&9SL р.

46. Attefuito W• yiomx^uMdùoTv Пьеолу of eZáptic.cy¿a¿Uyrvs of огс/ж, &n,.-PfaùfCc, ШссЦъ.39W, V64?A/: 1 , f>.<-16.

47. Be&tf A.G-, Kovzdfcyiko lLF-, S^mene/ir /\. On,Ihe, а>п£ьпилл±и of ^гш/шЛСгссЬ of íke, i<hrùUirife^ арелаЛо^ Tnadk. PhysW% V

48. Ke££&c к. G. Tke essebäcct£ seßf-cu^lniness of oUfop&tcctobS.-P'Wc. Rof. Ç>oc. ícUnicoz^^Ly f9?9,A%3.,

49. Ke£e&z, /?.£. The essentiat setf-a(fy<>ùbbrie.ss ofdtff&mriloLÍ opetcctobs ин£1ъ posctiite. . Ръсус .Roy. Soc. £oLLn£ct/L^fb, ie*9,A$Si> А/П-Ч,р-зч^-зео.

50. VibOUASuin, К. Сске -¿ил, ccEi^cJrteln^b.ti^enfcLnhUoTbS ен&лъск&сп^еп, f¿¿/c ъълЖси^ъ^к&але.0p&uz£o/ce4b$%ste.me. geCle-Ccge*. TtbcíckHgJcecb. Acad.po¿. s-c¿. Gét. s-c¿. угьаМъ., a^Muyn,. et phi^s-, ideo, р-ЗЪ1~ЗЪЧ.

51. S^hbzyunr А. Оуь ike, -theory of ei^en^oobctlonb^tot^an/yCon, of -the ^hùklCnj^e^, орггщ&ус. Lett. Yïicubk. Ptys., V3, №1, р.ИЪ-ЗЗ.

52. Simon, ß. £ssen±üx£ веЦ- Acfyolyctness of0f&xjodo>bs talih. PobcUve- Poten±icL&=,. УКа£к. Ann. ,VSL01, p. £11-3.2,0.

53. Glyrum В. ЪепгСдл&ссръ. . Ayywl.УКаМь. Soc., 19Í2L, p. 44Ï-5SLG.

54. CkoAMjoff p. R. note, cm. ptodccct $оп,угш£сиs fobореъосЬуъ

55. Оъ&иъо^^ Р. /?. ^и^пхииуи^е^с ашС Ъииои.ихМъ Ыпди&хл. ро*£кЬих,е>ъ сии£ куржво&с еуид&яп*.раЩ. УПаШ., У???, р.д€1-ъъг.72. ^ускескЬе^- Ж. Ь^а&ъсь о{ Рал£са£ 0¿^fen.ah±¿cL¿0релл±оъв. Аууь^е^Лост.: ТЬо^-ЦоШшхЬ^т

56. Гейдаров А.Г. Самосопряженность эллиптических операторов второго порядка с сингулярным потенциалом и разложение по их собственным функциям.- В сб.: Спектральная теория операторов. ВыпЛУ, Баку. Элм, 1982, с.97-106.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.