Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Брусенцев, Александр Григорьевич

• Брусенцев, Александр Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Брусенцев, Александр Григорьевич

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА В L2(G) И

МЕТОД ИСПРАВЛЯЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ.

§1.1. Основные локальные условия.

§1.2. Построение исправляющих потенциалов.

§1.3. Приграничное поведение потенциала полуограниченного эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном.

§1.4. Самосопряженность в существенном неполуограниченных эллиптических операторов в Li{G).

§1.5. Случай оператора Шрёдингера.

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНАЯ ТЕОРЕМА Г. ВЕЙЛЯ И ЗАМЫКАНИЕ

В МЕТРИКЕ ОБОБЩЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ.

§2.1. Теорема Вейля для многомерного случая.

§2.2. Накрывающие семейства и самосопряжённость в существенном оператора М.

§2.3. О замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле.

ГЛАВА 3.0 САМОСОПРЯЖЕННОСТИ В СУЩЕСТВЕННОМ ПОЛУОГРАНИЧЕ1И1ЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

§3.1. Условия иолумаксимальности двучленного эллиптического оператора порядка 2т.

§3.2. Пример позитивного опертора (~А)"'+ q(x) с ненулевыми индексами дефекта.

ГЛАВА 4. IШСАМ0С0ПРЯЖЕ1II1ЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА.

§ 4.1. Локальное строение области определения рассматриваемых операторов. Принцип расщепления.

§ 4.2. Операторы в частных производных как суперпозиция одномерных.

§ 4.3. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 4.4. Основные теоремы о совпадении минимального и максимального операторов.

§ 4.5. Простейшие следствия из основных теорем о совпадении

Lm и ьм.

§ 4.6. Условия совпадения минимального и максимального операторов в терминах ограничений на символ дифференциального выражения.

§ 4.7. Критерии существования регулярной точки и дискретности спектра.

§4.8.0 «/-самосопряженности эллиптических операторов, не удовлетворяющих условиям Титчмарша-Сирса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа»

Работа посвящена условиям самосопряжённности и некоторым вопросам спектрального анализа эллиптических дифференциальных операторов в пространствах L2{G) и L2(G), где G - открытое множество в R". Рассматриваются оператор!,!, как второго, так и произвольного порядка, как являющиеся симметрическими, так и нет.

Эллиптические операторы играют исключительно важную роль в современной математике и физике, особенно в краевых задачах, квантовой механике и теории колебаний. Известно, например (см. [89, гл.8, §11]), что в квантовой механике физические соображения позволяют выбрать формальное выражение для гамильтониана как некоторого эллиптического оператора. При этом область определения не устанавливается. Обычно нетрудно найти область, па которой данное формальное выражение есть корректно определенный симметрический оператор. Одна из основных математических проблем состоит в доказательстве самосопряжённости в существенном полученного оператора, а если оператор не обладает этим свойством - в исследовании различных его самосопряжённых расширений. При этом одной из важнейших задач является нахождение точных и эффективных условий существенной самосопряженности. Несмотря на то, что вопросам самосопряжённости эллиптических операторов посвящено большое количество работ, здесь остается немало нерешенных проблем. Так, со для симметрических операторов L (D,=CQ (G)) второго порядка общего вида вопрос о самосопряжённости относительно хорошо изучен в случае G=R" (см., например, обзор [10]). При G*R" наиболее точные достаточные условия самосопряжённости известны лишь для оператора Шрёдиигера в области G=R"\V, где V - множество меры нуль того или иного частного вида. Так, известная теорема Кальфа-Вальтера-Шминке -Саймона (см. [89], теорема Х.ЗО) относится к оператору Шредингера в области G=R"\{ 0} и дасг наименее жесткие in известных условия самосопряжённости в терминах расстояния до dG= { 0}. Первые подобные результаты для п> 1 принадлежат Иоргенсу [135], а сама теорема установлена Саймоном [163], обобщившим теоремы Кальфа-Вальтера [141] и Шминке [157]. Для п= 1 подобная теорема принадлежит Фридрихсу [131] (см. также [89], теорема Х.10). Близость условий Фридрихса к необходимым отмечена Сирсом [160]. Ряд аналогов теоремы Кальфа-Вальтсра-Шминке-Саймоиа для некоторых видов множества К содержится в работах [122, 111, 112, 148]. Для эллиптических операторов общего вида с произвольной областью G вопросы самосопряжённости изучались в работах [135, 132, 155], однако для оператора Шрёдингера при G=R\V они дают значительно более слабые результаты, чем [122, 111, 112, 148].

В последнее время появился ряд работ (см., например, [79, 126, 161, 162], а также обзор [16] и монографию [124]), в которых исследуются условия самосопряжённости эллиптических операторов на римановых многообразиях. Однако и эти интересные результаты описанный выше пробел не заполняют.

Одной из целей настоящей работы является устранение этого пробела, то есть, получение таких условий самосопряжённости для эллиптических операторов общего вида в произвольной области G, которые бы генерировали обобщения известных аналогов теоремы Кальфа - Вальтера -Шминке-Саймона.

В работе при исследовании самосопряжённности эллиптических операторов второго порядка общего вида в произвольном открытом множестве G^R" обосновывается принцип, согласно которому по матрице Л(д) старших коэффициентов оператора L и области G всегда можно построить такую функцию q f(x), что из полуограниченности операторов L и

L-cj ,(х) вытекает самосопряжённность L. Предложен ряд конструкций для функции </.,(*), называемой исправляющим потенциалом. При этом для некоторых построенных ниже в конкретных примерах qA{x) при любом с>0 функции (1-с)7л(д-) исправляющими потенциалами уже не являются. Физически исправляющий потенциал gf(x)>0 играет роль добавочного потенциального барьера, удерживающего квантовую частицу в пределах области G, когда полуограниченный оператор энергии ИфН*.

В диссертации разработана также специальная техника, которая позволяет при известном исправляющем потенциале доказывать критерии самосоиряжённности, вообще говоря, неполуогранпченного эллиптического оператора в терминах поведения его коэффициентов. Полученные результаты не только охватывают теорему Кальфа-Вапьтера -Шминке-Саймона и ряд ее известных аналогов, но позволяют получать новые признаки самосопряженности для не изученных ранее операторов.

Ещё одной проблемой является перенос на эллиптические операторы второго порядка в G известной теоремы Г.Вейля [170] о самосопряжённости в существенном оператора Штурма-Лиувилля Lu = -(p(x)u)'+q(x)u,

Г I I

D;=C0 (R ) в L2(R ) при /;(*)>0, q(x)> const. Этот классический результат не допускает простого переноса на многомерный случай, что показывают примеры, построенные в работах [107, 59]. Тем не менее, известны многомерные аналоги теоремы Г. Вейля ([125, 95]), относящиеся к довольно частным видам матрицы-функции А(х) старших коэффициентов эллиптического оператора. В диссертации установлено непосредственное многомерное обобщение теоремы Вейля, содержащее известные многомерные аналоги и, в отличие от них, относящиеся к области G, которая может быть собственным подмножеством R".

Среди вопросов о самосопряжённости эллиптических операторов особую роль играет вопрос о связи полуограниченности сильно эллиптического оператора с его самосопряжённостью в существенном. В многомерном случае эта связь была обнаружена в известной теореме Л.Я. Повзнера [88] о самосопряженности в существенном полуограниченного оператора Шрёдингера с непрерывным потенциалом q(x). В качестве гипотезы эта теорема была высказана И.М. Глазманом\ а также Ф.Реллихом, который доказал и ее одномерный вариант в работе [150] , а в своем докладе на Математическом конгрессе в Амстердаме [151] предположил справедливость этого утверждения и в многомерном случае. Простое доказательство теоремы А.Я. Повзнера было предложено Е. Вингольцем [171]. Одним из оснований упомянутой гипотезы явилась теорема Карлемана-Фридрихса [120], [130] о самосопряжённости оператора Шрёдингера при ограниченности снизу его потенциала (q(x)>const). Теорема Карлемана-Фридрихса сохраняется и для эллиптического оператора L=(-A)"'+q(x), Dj = Cq(R"), lnu/(.v)=0, q(x)eC(R"), действующего в пространстве L2(R"). Поэтому естественно возникает вопрос о справедливости гипотезы Глазмана-Реллиха и для этого оператора.

В диссертации установлена несправедливость этой гипотезы при т> 1. d4

Точнее, приведен пример позитивного оператора М=—т + й{х) dx I I

Dj = C0(R )) в L2(R ), имеющего ненулевые индексы дефекта. В этом примере минимальный оператор Г0(М), порожденный выражением М на полуоси (0,оо) имеет индексы дефекта (4,4). Тем самым одновременно дан положительный ответ на вопрос, содержащийся в докладе В.Н.Эвсрита [128] на международной конференции в Упсале (1977) и в работах [147, 127, 69], о возможности оператору Т0(М) иметь индексы дефекта (4,4). В своей статье [88] А.Я.Повзнер отмечает, что это предположение было высказано И.М.Глазманом в частной беседе.

В диссертации показано, что при т> 1 полуограниченность оператора L=(-A)"'+q(x) влечёт самосопряжённость в существенном при некоторых дополнительных условиях на <?(*), исчезающих при т=\.

Для несимметрических эллиптических операторов произвольного f И порядка общего вида в L2(R ) в диссертации рассмотрены некоторые вопросы качественного спектрального анализа. Приведены новые широкие классы эллиптических выражений L произвольного порядка, для которых минимальный Lm и максимальный LM операторы совпадают, установлены достаточные признаки чистой дискретности спектра, существования регулярной точки и отсутствия предельного (называемого часто существенным, а иногда [37] и непрерывным) спектра таких операторов.

При исследовании спектра в данной работе существенную роль играет принцип расщепления, распространенный нами на эллиптические системы произвольного порядка, которые не являются, вообще говоря, нп формально самосопряженными, ни сильно эллиптическими. Как известно, принцип расщепления в случае скалярных сильно эллиптических выражений второго порядка был обоснован И.М. Глазманом [36] и М.Ш.Бирманом [12], [13] а затем для высших порядков - Ф.Вольфом [172]. Описание классов выражений L, для которых Lm=LM в настоящей работе производится с помощью неравенства

II|2- Цф.ф) на вектор-функциях <p "), где Ц<р,ф) - квадратичная форма одного из двух классов, которая в работе называется формой сравнения. При этом на коэффициенты при производных выражения L, но не на младшие коэффициенты, налагаются ограничения, также связанные с формой сравнения Цф,ф). Каждому из классов форм сравнения отвечает свой класс выражений L, для которых Lm=LSf. Для случая сильно эллиптических симметрических выражений подобные условия равенства Lm=LM получены в работах [29, 30]. Ряд признаков совпадения операторов Lm и LM для выражений высших порядков, которые были известны ранее и соответствующие литературные указания содержатся в монографиях И.М. Гельфаида и Г.П. Шилова [34], Ю.М. Березапского [6], в обзорной статье Р.Д. Алексаидряна, Ю.М. Березапского, В.А. Ильина, А.Г. Костючснко [2], а для одномерного случая - в книге М.А. 11аймарка [77].

Работа состоит из четырех глав. В главе 1 рассматриваются скалярные эллиптические дифференциальные операторы второго порядка в пространстве L2(G), записываемые в следующих двух формах

D/=C0°°(G); (0.1)

Mu = (V-ib(x))\A(x)(V-ib(x))u)+q(<x)u, D,rC^(G). (0.2) Здесь Л(х) - положительная эрмитова матрица-функция, Ь(х) - п-компонентная вектор-функция с вещественными компонентами, q(х) -вещественная функция, G - произвольное открытое множество в /?".

В §1.1 приведены локальные условия на коэффициенты операторов L и А/, а также некоторые вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем. Коэффициенты операторов L и Л/удовлетворяют условиям аи{х)Мх)е L//;^(G); q(x)eL2loc(G), (0.3) при которых эти операторы корректно определены. Обозначим через Dloc(L ) множество функций ueL2l„c(G), для которых LueL2loc(G). Помимо условий (0.3) мы предполагаем коэффициенты оператора L имеющими такие локальные свойства, что выполнено

Условие А. Для всякой функции u(x)eDloc(L ) и любой ограниченной области Q (Q с: G) существует последовательность 1 функций из 1

C~(G), для которой ?/,„-» // в L2(Q.) и

Г,in Re(\|/L?/„,,;/w)/j(n)=Re<\|/L?/,//)A2(n) при любой вещественной функции \|/ е C0(Q).

Дифференциальное выражение Л/ вида (0.2), всегда можно записать в форме выражения L вида (0.1) с той же матрицей Л(х), но с другими Ь{х) и q(x), удовлетворяющими (0.3). В §1.1 приведены также условия на гладкость коэффициентов операторов L и М, при которых условие А выполнено автоматически.

В § 1.2 изучаются условия, при которых полуограниченность оператора L вида (0.1) влечёт его самосопряжённость в существенном. Известная теорема Березанского [10] показывает, что при весьма общих локальных условиях полуограниченность М влечет самосопряжённость Л/, если локальное волновое возмущение, распространение которого описывается уравнением //",+ Ми = 0, не может достигнуть границы области G за конечное время (ГКСР-условие). В случае G=R" это последнее требование изучалось в ряде работ (см., например, [82, 94]) и, как показано в [94, 113] оно равносильно полноте риманова многообразия /?" с метрикой, определённой матрицей /Г'(*)- Это условие полноты является типичным для работ о самосопряжённости дифференциальных операторов на многообразиях (см., например, [79, 123, 113, 161, 162, 166]). Его нарушение может приводить к потере самосопряжённости в случае G=R", bj(x)=q(x) = 0 (см. [107, 59]) и даже в случае полуограниченного оператора Штурма-Лиувилля в А2(-оо,+оо) (см. [30], замечание 1). Первым признаком самосопряжённости без условия полноты можно считать теорему Г. Вейля [170] для оператора Штурма -Лиувилля, многомерные аналоги которой и ряд родственных результатов получены в [125, 95, 166].

В §1.2 вместо полноты используется введенное в [20] понятие полумаксимального оператора.

Определение 1.2.1. Симметрический оператор Т в гильбертовом пространстве II называется полумаксимспьным, если для любого ueDr♦ такого, что Im {Т* и, и) = 0, найдется последовательность {ик элементов Dr такая, что ик—>и в Н и

1 im (Тнк,ик) = (Т*и,и). к-ух>

Лемма 1.2.1. 1°. Если симметрический оператор Т полумаксимален, то его полуограниченность влечет за собой самосопряженность в существенном. 2°. Если Т - максимальный в существетюм симметрический оператор, то он полумаксимален. 3°. Полуограниченный симметрический оператор самосопряжен в существенном тогда и только тогда, когда он полумаксимален.

В §1.2 показано, что при локальных условиях, сформулированных в §1.1, для произвольных открытого множества GczR" и матрицы функции А(х) старших коэффициентов оператора L найдётся локально-ограниченная в G функция q t(x), для которой из полуограниченности L-qf(x), вытекает полумаксимальность оператора L (последний может и не быть полуограниченным снизу). Функцию qA(x) мы и называем исправляющим потощиалом для А(х) в области G. Для получения конструкций исправляющих потенциалов в §1.2 доказана особая теорема, для формулировки которой рассмотрим такие функции р(дг) и а(л)е Lip)H(G), что

0<p(.v)->oo при x->dG, 0<o(x)<const. (0.4)

Условие (0.4) на р(д-) означает, что для любого N> 0 найдется такой компакт дdС, что при .veG\(31,v справедливо неравенство p(*)>N .

Пусть почти всюду в G выполнено условие o2(AVp,Vp)+(AVo,VG)<Cp'"> c>2<tp, (0.5) где констанп,i С,/;/>0, ос>0. Введем функцию a.r.(^)=(a+c)ea(/iVp,Vp),/2+(//Va,Vo),/2, где константы а>0, с>0 произвольны, а с - основание натуральных логарифмов. Отвечающую оператору L вида (0.1) в пространстве L2(G) квадратичную форму

Цф,ф)= J[(/iV(p,V(p)-2 Im( Уф, ф b (д:))+дг(дг) |ф | ^ (0.6) G можно считать определенной при феС0(С)П Lip}j*(G). Очевидно, что при феС^(С) справедливо равенство 1(ф,ф)=(£ф,ф). Предположим, что для ^eCn(G) справедливо неравенство

L(a(p,acp)+Cl|| стФ ||2 + С2|| Ф ||2>|| £а>пФ ||2, (0.7) где константы С,,С2>0, с>0, а константа а совпадает с одноименной константой в (0.5). Условия (0.5), (0.7) могут быть удовлетворены для любого оператора L (например, при а(х) = 0).

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условие Л и условия (0.5), (0.7).

1° Если найдется функция ^(л)е Lip)^c{G) , 0<ji(;c)-»oo при x—>dG, для которой почти всюду в G a2(/iVp,Vp)>(/lVH,V^i), то оператор L полумаксимапен, а потому из полуограниченности L следует его самосопряжённость в существенном.

2°. Если в неравенстве (0.7) С2 = 0 и найдется ц(д:)е Lip^c(G), 0<ц(л-)—>оо прих—>дG, для которой mes{x: a2(/JVp,Vp) = 0; (/iVji,V^i)>0 } =0, то из полуограниченности L вытекает его самосопряжённость в существенном.

Одну из конструкций исправляющего потенциала дает

Следствие 1.2.1. Пусть rjOO, р(*)>0 - функции из Lip)xJc(G) такие, что р(д')-»оо при x—>DG и с константами С, т>0 почти всюду в G выполнено неравенство lVp,Vp)+(/l Vrj,Vr|)<Cp"'-e2;/. (0.8)

Если при некоторых К>0 и 5>0 и всех (p6C^°(G) выполнено операторное неравенство

L(p,(p)+^||(p||2>J[5(/iVp,Vp),/2+(^VT1,Vi1)1/2]2 |ф| 2dx с а также условие А, то оператор L самосопряжён в существенном.

Из следствия 1.2.1 вытекает более удобное для использования и содержащее результат [169]

Следствие 1.2.2. Пусть функция 0<0(т) е С( [0,оо)) такова, что

00

0(т)Л = оо. - £сли При некотором К> 0 и всех (peC^°(G) выполнено неравенство ф,(р>+К|| <р||2> J( 1+0(л))2|Ф | с, с функцией 1](Л')g Lip)H(G), 0<i](x)—>со при x->dG такой, что при константах С, т > О

1 +02(i"|))(/f Vr|,Vr|)<C 4(0

J0(t>/T V О т

0.9) то при выполнении условия А оператор L самосопряжён в существенном. Из следствия 1.2.2 и некоторых общих соображений вытекает Следствие 1.2.3. Пусть выполнено условие А. Если при некотором К>0 и всех <р еСц (G) выполнено неравенство а

L<p,<p>+tf|| ф И2^ J(^Vii,Vii) |<р 12<& с функцией ц(х)е Lip{,ll(G), 0<ц(х)->со при x->dG такой, что при некотором С> 0 почти всюду в G

AVii,VTI)<CC2\ (0.10) то оператор L самосопряжён в существенном.

Исправляющие потенциалы, которые могут быть неограниченными снизу, описывает

Следствие 1.2.4. Пусть г(т)>5>0 такая функция из с'([0; оо)), что г'( г)- o(r2(z)) при т->оо, а функция |.i(x) е Lip)H(G) такова, что 0 < jii (лг) —> оо при x->dG. Пусть почти всюду в G выполнено неравенство yiVyi,Vn)<C т г(т)с/т -ехр 2 |г(т)с/т

V о о

0.11) с константами С, т> 0. Если при некоторых К, к> 0, е>0 и всех cpeC^(G) выполнено операторное неравенство а то при условии А оператор L полумаксимален.

Отметим, что условия (0.8)—(0.11) не являются ограничениями на матрицу-функцию А(х) и всегда могут быть удовлетворены надлежащим выбором оценочных функции.

В §1.3 устанавливаются условия на вещественную функцию q(x), при которых оператор Л/ вида (0.2) самосопряжён в существенном. При этом в формулировках теорем используется векторное поле f(x): G->R".

Теорема 1.3.1. Пусть А(х) и Ь(х) - соответственно эрмитова позитивная матрица-функция размера пхп и вектор-функция с п вещественными компонентами, определенные в открытом множестве GciR '. Пусть элементы Л(*) и компоненты Ь(х) непрерывны в G. Тогда для любого векторного поля f(x)GLipj"J(G) и для любой функции cpGCj,1 (С)справедливо неравенство

• /Цуср - /Ьср)Уф - /bcp)dx2f(vf - {A~xfJ%fdx. . а с,

Неравенство теоремы 1.3.1 является многомерным обобщением известного неравенства Харди (см.[109], /§ 9.8). Различные многомерные аналоги неравенства Харди, содержащиеся в [89, 140, 136], являются следствиями теоремы 1.3.1 при конкретном выборе векторного поля /(.г). Как известно, неравенство Харди и его аналоги широко применяются в спектральном анализе дифференциальных операторов (см., например, [1], [43], [140]). Поэтому теорема 1.3.1 представляет самостоятельный интерес.

В главе 2 мы доказываем и используем более общие неравенства (теорема 2.3.1).'

Из теоремы 1.3.1 вытекает

Теорема 1.3.3. Пусть для L=M ' выполняется условие А. Если потенцией оператора М вида (0.2) при некотором Kz* 0 почти всюду в G удовлетворяет, неравенству

Ф) * (лvri,vn)+(л"7./) - v7- А', с некоторой функцией ц (x)EzLipj(])c(G), 0 :£ i] (л*) —» » npttx-^OG такой, что выполнено условие (0.10), и некоторым векторным полем I(x)EiLipj"^(G)f то оператор М самосопряжён в существенном.

Следующие два утверждения являются примерами применения теоремы 1.3.3 и выводятся выбором функциональных параметров г|(л) и f(x). Пусть G={xERn, Xj>0, j=\,n}. Рассмотрим в L2(G) оператор М вида

• "Ч 2k 2 к 1

0.2) с матрицей A(x)=diag{л:," 1,х2 2,.>хп "} и с bj(x)GC (G). Обозначим этот оператор через S . к)

Следствие 1.3.1. Если в операторе S kj(j = \,n) - любые вещественные числа, а его потенциал </(л)eL2loc(G) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству

Ф) > s kj*W

--к; 4 J х~Ъ2к> - К, с некоторым К> 0, то оператор S самосопряжён в существенном.

В области G={xelf: \х j\<a j, j=\,n) рассмотрим оператор М (0.2) с матрицей A(x)=c/iag х,

2 VI а /

2 \ ч а2 j h а jl .2 n и с bj(x)eC (G). k)

Обозначим этот оператор Sa .

Следствие 1.3.3. Если в операторе S^' k. (J=\,n) - произвольные вещественные числа, а его потенциал q(x)eL2[oc(G) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству z

3-2 к, kj<2

V aJJ

2 \~2*kj

-К с константой К> 0, то оператор Sа самосопряэ/сеи в существенном.

Следствия 1.3.2, 1.3.3 показывают, что при ограниченности в окрестности гран ищи потенциала q(x) самосопряженность может быть обеспечена вырождением главной части выражения па границе области. Отметим, что в обоих случаях минимальная степень вырождения равна 3/2.

Содержание теоремы 1.2.2 не ограничивается возможностью построения исправляющих потенциалов. Непосредственным применением этой теоремы в §1.3 получен признак полумаксимальности с ограничениями на потенциал q(x) на некоторой последовательности слоев. Это позволяет исследовать вопрос о самосопряженности полуограниченных операторов с осциллирующим у границы потенциалом. Осциллирующие потенциалы встречаются в теории рассеивания (см. [90], с.80).

В §1.4 показано, что при замене полуограниченности L некоторым операторным неравенством самосопряжённость Ъ вытекает из самосопряжённости в существенном заведомо полуограниченного оператора (теорема 1.4.1). Операторное неравенство в качестве одного из условий самосопряжённости неполуограниченного эллиптического оператора второго порядка впервые использовалось в [92], а высших порядков - в [30]. Теорема 1.4.1 является аналогом результатов, полученных в [92, 93, 98, 146, 80, 81, 121, 97, 140]. В этих работах при G = R" и некоторых дополнительных условиях самосопряжённость эллиптических операторов устанавливается при выполнении тех или иных операторных неравенств, а для соответствующих полуограниченных операторов может быть гарантирована автоматически. Теорема 1.4.1 позволяет обобщить на ненолуограниченные операторы теорему 1.3.3.

Пусть функции г|(д:), v(x) и векторное поле f(x):G-^R" таковы, что

1) ц(х), v(x) е Lip™(G); Дх) е Lip™{G);

2)0<v|(.v)->oo при x->dG, v(x)>0;

3) почти всюду в G выполнены неравенства

V^Vi^Ce2", (ЛVv,Vv)<C при некотором С>0.

Теорема 1.4.3. Пусть для L = M выполнено условие А. Если потенциал оператора М вида (0.2) при некоторых /с, К> 0 почти всюду в G удовлетворяет неравенству

4(x)>(AVn,Vn) + (A~lfJ)-Vf-kv2~K, где для функций ц (х) и v(.x) и векторного поля f(x) выполнены условия 1 )-3), то оператор А/ самосопряжён в существенном.

§1.5 посвящен признакам самосопряженности оператора Шредингера. Все его результаты вытекают из теоремы 1.4.3 при соответствующем выборе функциональных параметров /(*), r|(.r), v(a:). Рассмотрим оператор

Su = -(V-ib(x))2u+q(x)u, Ds= С0°°(G) в случае, когда G^r\ bj(x) е c\G). Оператор s является частным случаем оператора А/ при А(х) = /„. Обозначим через 8(х) регуляризованное расстояние точки д: до множества R"\G. Под регуляризованным расстоянием 2 мы понимаем функцию 5(.v)e С (G), удовлетворяющую неравенствам

С,dist(.v, R"\G)<5(л-)<C2dist(х, R"\G), с некоторыми С(, С2> 0, а также условиям

V5| < const', |Д5|<СО""'1+6).

Такая функция всегда существует и может быть построена, например, с помощью процедуры, описанной в [104, с.203]. При J(A) = dist(.v,/^"\G)eC2(G) ниже считается, что Ь(х)=с1(х). Пусть а(дг), у(дг) -определённые в G функции, удовлетворяющие глобальному условию Липшица a(x),v(x) eLiPi(G). (0.12)

Предположим, что v(x)> 0, | а(дг) | <со/75/, (0.13) а также, что при некотором с>0

7/?/|V5| > 0, (0.14) где ПЕ = {л*: л* g G; dist(.v, R"\G) < с}.

Теорема 1.5.1. Если потенциал оператора S q(x) е L2I(K(G) и почти всюду в G удовлетворяет неравенству 1 -а + а2, ,2 Ад J 2 П q(x)>---|V5| +а —-Cv2+о о v о с константой С>0 и функциями а(х), v(x) и 5(дг) , удовлетворяющими условиям (0.12)-(0.14), то оператор S самосопряжён в существенном.

С каждой точкой х0 дифференцируемого многообразия без края ГаЯ" размерности к свяжем декартову систему координат, в которой первые к координатных ортов находятся в касательном многообразии к Г в точке .х0.

Обозначим через Nr.c класс таких дифференцируемых многообразий rczRn без края, что для любой точки х0еГ сфера радиуса г с центром в точке д:0 вырезает из Г участок Гх задаваемый в указанной системе координат с началом вд*0 уравнениями

Xj=fj(X|>*2» ' **)» J = k +

2 к где функции/^л:,,.^,., хк)еС (R ) и при некотором С>0

D fj(xvx2,хк) <C,j=k + \,n для всех мультииндексов а, | а | <2. При этом г и С не зависят ot„y0.

Линейное многообразие принадлежит при любых г и С>0. Любое компактное многообразие без края класса С<2) принадлежит при некоторых г, С.

Пусть область G такова, что аС7=иГ,., (0.15)

6 л' где /V - не более чем счетное множество, a r.(ieN) - многообразия размерности 0<£,</?-1, принадлежащие классу К,при некоторых, независящих от /, г и С>0. Пусть также y= inf dist(r{ Г,)>0. (0.16) i./'CiV ' J

Теорема 1.5.2. Пусть в области G вида (0.15), (0.16) потенциал оператора S q(x) = q](x) + q2(x), где q^x) е L2loc(G), q2(x)eL30(G). Если при некоторых константах с (0 <с <у/2) и К>0 и функции 1 <v(jc)e Lipx(G) у'довлетворяются неравенства с(,) s - (" -*'X'lj- */ - 4)[rffafr, Г,Г - Г,)Г+ v'(4 при л/обол i ieN, 0 < dis t (х, Г.) < с; q,{x)>-Kv\x), при л е Р) {.ve G; dist(x, /",)>c}, то оператор S самосопряжён в с Л" существенном.

Эта теорема является прямым обобщением результата работы [148], в которой Г. - линейные многообразия, а константа К= 0.

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из N> 1 взаимодействующих частиц, для которых совмещение невозможно из-за действующих на малых расстояниях сил отталкивания. Пусть положение kтой частицы характеризуется вектором xk<=R"'. Физический смысл имеет лишь случай //7=3, но мы считаем т любым натуральным числом. Положение системы характеризуется ////V-мерным вектором х = {.х,,л:2,.,л:л,} е RmN. Обозначим через Rkj подпространство = Пусть область

G = R"'X\\jRkJ. (0.17) kj

В пространстве L2(G) рассмотрим оператор

I^-tajiVj-ibjix))2 +q(x) (0.18)

7 = 1 с областью определения Dn=C^(G). Здесь константы ау>0, Vy - градиент по переменным = {vl0),.v2(y),.,^/;i0)}, bj(x) - вещественные ткомпонентные вектор-функции из c'(G).

Теорема 1.5.3. Если потенциал оператора Н вида (0.17), (0.18) </(.г) е Llhc{G) и почти всюду в Gудовлетворяет неравенству

Ф) * z j<k \ т(4-т)(а,+ак) у(а;+ак) х j - хк

ГУ"**! у

-Kv2(x)

4. с константами у, К> 0 и функцией v(x)&Lipx(G), то оператор Н самосопряжён в существенном.

Как показывает построенный в §1.5 пример, уменьшение константы т(4-т)/4 в теореме 1.5.3 невозможно, но крайней мере, для системы двух одинаковых частиц (N=2, <7,=л2) в слУчас (-v,) = (-v2) = 0.

Вопрос о самосопряжённости в существенном внутреннего гамильтониана системы одинаковых частиц с сильным двухчастичным взаимодействием изучался в работе [122], результат которой трудно сравним с теоремой 1.5.3. В отличие от этой работы теорема 1.5.3 охватывает системы различных по массе частиц, испытывающих кулоновское притяжение и находящихся во внешнем поле, в том числе и магнитном.

Первое строгое определение самосопряженной реализации гамильтониана (полного и внутреннего) для системы из конечного числа частиц, взаимодействие которых описывается потенциалами без сильных сиигулярностей (например, кулоновскими), было дано Като [143]. Более общие результаты в этом направлении были установлены Штуммелем [164] и Икэбэ и Като [134]. Эти работы позволили перейти к исследованию спектральных свойств гамильтонианов систем типа атомов и молекул. Основополагающие результаты в этом направлении принадлежат Т. Като [144] и Г.М. Жислину [44] - [46]. Монографии [52], [91] отражают прогресс, достигнутый в этом направлении в последующие годы. Вопрос о самосопряженности гамильтонианов систем частиц с сильными сингулярностями потенциалов взаимодействия впервые рассматривался Иоргснсом [135]. Теорему 1.5.3 можно считать усилением этих результатов Иоргенса.

Квантово-механическая задача для N материальных точек на прямой, взаимодействующих с потенциалом, пропорциональным обратным квадратам расстояний, была изучена Калоджеро и Марчиоро [118, 119]. Калоджеро определил явные выражения для спектра в этой задаче.

Глава 2 посвящена описанию некоторого класса операторов М вида (0.2), для которого справедливо обобщение теоремы Г. Вейля [170]. При этом в §§2.1 и 2.2, как и в главе 1, считаем выполненными локальные условия (0.3) и условие Л. Дополнительно позитивная матрица Л(х) считается вещественной, а потенциал удовлетворяет почти всюду в G неравенству q(x)> const, (0.19)

В §2.1 приводится формулировка многомерной теоремы Вейля и выводятся некоторые следствия из нее. Рассмотрим область вида

G=G]xG2x.xGk, к> 1 , (0.20) где открытые множества GjQRn} (Znj=n). При xeG будем писать х= {Jc,,Лг2»• • •»}> г№ Xj € Gj. Основные ограничения относятся к множеству G\Q, где область

Q=Ql*Q2x.xQk, (0.21) a Q. - ограниченные открытые множества в R"1, такие, что Q.cGr j j j

Теорема 2.1.1. Пусть для определенной в G вида (0.20) симметрической позитивной матрицы-функции /1(.г) найдется такая область О вида (0.21), что при xeG\Q /!(*) имеет блочно-диагональный вид

A(x)=</iag {ау ( (хЩ (x ,)},, где ху e Gj\QJt a.(•)-определенные в Rl положительные функции из С'(/?'), Hj(Xj) -такие функции из CUX(Gj\Q.), что |V|.i .|>0 и ij(xj)->cо при x—ydGj, a Bj(Xj) - матрицы-функции размера пхпу с элементами из Lipxloc{Gj\Q J), удовлетворяющие неравенствам

V(/iy Vjii2y)>0, почти всюду в G.\Qr (DjVyij, S7\ij)<const, xj g Gj\Qj.

Тогда при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М вида (0.2), (0.19) с такой матрицей А(х) самосопряжён в существенном в пространстве L2(G).

Теорема 2.1.1 содержит теорему Г. Вейля п качестве частного случая, что показывают

Следствие 2.1.1. Пусть G=R". Если в операторе М матрица А(х) при |.v|>yV>0 имеет вид

A(x)-iliag {я, (х, ), а2 (х2),., ап (х„ )}, где ау(-) - положительные функции одной переменной из c\rX), то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

Следствие 2.1.2. Пусть G=R ". Если матрица А(х) в операторе М при |x|>vV>0 имеет вид

A(x)=a{yi(x))I п, где 0 <л(-)еС'(л'), функция p(.v)e (f(R"\{х: |x|<N}) такова, что р2 (д-) —» оо при J х | —> оо и

Др2(х)>0, 0< j Vp|<com7 , то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

Пусть снязная область GqR" является полным римановым многообразием с метрическим тензором В~\х), где симметрическая матрица-функция /1(х)>0. Рассмотрим семейство геодезических, проходящих через некоторую точку х0. Пусть эти геодезические не имеют точек пересечения (кроме x0). Они покрывают область G (см. [54, стр.167, теорема 4.2]). Если j - канонический параметр на геодезической, то в области G можно определит!» векторное поле где .v(.v) - геодезическая семейства, проходящая через точку .v. Это векторное поле будем называть центральным геодезическим потоком, исходящим из точки д*(). Обозначим также через г(х) - расстояние точки л* до х0 в метрике римаиова многообразия.

Следствие 2.1.3. Пусть связная область G является полным римановым многообразием с метрическим тензором В '(х), где позитивная матрица-функция В(х)е с'(<7). Пусть также существует исходящий из некоторой точки х0 центральный геодезический поток p(x)eC](G), удовлетворяющий неравенству

V/)(*)>--!-, xeG\{x0). г(х)

Если в операторе Мматрица А(х) при r(x)>N>0 имеет вид

А{х) = а(г{х))В{х), где 0 <а( •) е с'([0,оо)), то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

Возможность в теореме 2.1.1 случая G " показывает

Следстнис 2.1.4. Пусть облаешь G является полосой в R : <7= {д-е /?'; - оо<л*|<оо, - h <х2 < h }, в которой задана функция (лг)= /х,2 - И2 In

2 >

1-Ц А1/ с константой ае (0, х/г ]. /Тел// ///w > 0 матрица А (х) в операторе М имеет вид

А(х)= а( ц) О О 2 ^2 i-i л2/ у где 0 <<?(•) е С ([0,оо)), то при выполнении условий (0.3) и условия А оператор М (0.2), (0.19) самосопряжён в существенном.

В §2.2 для доказательства теоремы 2.1.1 строится особая конструкция и а кр ы ва I о i це го с е м с и ства.

Назовем семейство функций v|/(x, т), определенных в G, с параметром те [Tq,oo) накрываю1цим область G, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1с) 0<У|/(дг, т) е C(Gx[t0,co)) и при любом х е [х0,оо) л-, х)е C0(G)flC(l,,)(suppv|/);

2с) открытые множества QT=Int supp\|/(x, т) (QT=supp\|/) расширяются с ростом т, то есть: т2>т, => Qtcfit;!. При этом для любого компакта Rc-G при достаточно больших т Rcz Qt;

Зс) при любом х е [т0,оо) 5Qt состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых гиперповерхностей, причем для любой точки хе G\QTq существует единственное значение х, при котором л* е 3fiT

4с) условие Зс) определяет функцию

О), x=p(x)e/Jpfoc (G\QTo);

5с) при каждом xeG

Jv|/ (л% T)C/I=qo.

В дальнейшем используется вектор-функция (V^vj/) J х=р(т), которая понимается в смысле предельных значений Vri|/ на <3QT из внутренности области QT.

Теорема 2.2.1. Пусть для оператора М выполнены условия (0.3) н условие А, а также существует накрывающее область G семейство, с которым симметрическая матрица А(х)>0 старших коэффициентов оператора Мудовлетворяет неравенствам

Vx(A Vrv|/)<Cv|/, почти всюду в QT (т>т0); T=p(r),Vp)>-C, почти всюду в G\QTo с некоторой константой С>0. Тогда оператор М вида (0.2), (0.19) самосопря.жён в существенном.

Теорема 2.1.1 является следствием теоремы 2.2.1 при особом выборе накрывающего семейства.

В §2.3 рассматривается связанный с теоремой Г.Вейля вопрос о замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле.

В главе 3 изучается вопрос о полумаксимальиости дифференциального оператора вида

L = {-A)"'+ q(x), q(x)eC(R"), \mq(x) = 0, DA=CQ2"'(/?"), (0.22) действующего в пространстве L2(R"). В §3.1 установлены достаточные условия полумаксимальиости этого оператора (теорема 3.1.1). Из этой теорем!,i получен ряд следствий. Приведем одно из них, которое при //7=1 переходит в теорему Повзнера.

Следствие 3.1.1. Если потенциал q (.v) оператора L удовлетворяет неравенству q(x)>-KQ(\x\) с некоторой константой К>0 и функцией 1 < Q( t) е С2"'([ О, оо)), удовлетворяющей условиям. г -(/;/-I )/2w. . .

J Q U)dt= оо; dJ —^ — 1 / 2 hi dtJ

-о - I )/2m const, 7 = 1, /77, я оператор L полумаксимален, а в случае его полуограниченности -самосопряжен в сугцественном.

В §3.2 строится пример, показывающий, что полуограниченности оператора L вида (0.22) для его самосопряженности в существенном недостаточно.

Рассматривается оператор L (0.22) ири /// = 2, /7=1, т.е. оператор, имеющий вид

М- + </(лг), Dm=Cq(R1), (0.23) dх где q(x) =v(IV)+7(v")2+6vV" + 16(v')2 v"+4(v')\ (0.24)

4 i v(.v)eC (/? ) - вещественная функция. Для оператора Л/ справедливо с л е ду ю щее н р ед ста в л е н и е:

Ми = 1^/1и, где lx=elc~\ i;=e~vle\ 1 - [2 v'4 (у')2]. (0.25) dx

Обозначим через 7*0(т) минимальный замкнутый оператор, отвечающий дифференциальному выражению т на полуоси [0, оо).

Предложение 3.2.1. Оператор М вида (0.23), (0.24) является позитивным оператором в L2{R'). При этом если оператор Г0(/), где I — дифференциальное выражение вида (0.25), имеет индексы дефекта (2,2) и v(.v) | < const, то оператор Т0(М), где М - выражение вида (0.23), (0.24), имеет индексы дефекта (4,4).

Далее в §3.2 описан класс ограниченных функций v(x), для которых оператор Т0(1), отвечающий выражению / (0.25), имеет индексы дефекта (2,2). Тем самым попутно дается положительный ответ на вопрос: может ли оператор Т0(М) для М вида (0.23) иметь индексы дефекта (4,4). Положим v(x) = pO(jcY) (х>0), (0.26)

4 | где Ф(0 - вещественная периодическая функция периода I из С (R ), причем Ф(/)^ const, а у>2 и ц- вещественные константы. Справедлива следующая

Лемма 3.2.4. Если при некотором у>2 1 -периодическая функция Ф(0 е С2 (R1) удовлетворяет неравенству

J |ф'(0 (J |ф'(0 12dtf\ (0.27) о ' 4 Y -1 о ' то найдется такое 5>0, при котором для каждого вещественного р такого, что 0< |р| <5, все решения уравнения

-7"-{2р[Ф(хУ)]"+р2[ф(.ГГ)]'2}7 = 0 принадлежат L2 ( [ 0, оо) ).

Лемма 3.2.4 сводит задачу построения позитивного оператора М с ненулевыми индексами дефекта к построению 1-периодической функции О(/), удовлетворяющей условию (0.27). В качестве Ф(0 можно взять,

Т> 1 например, функцию из С (R ) вида

ПО ф(0= Jc.)r(| t-т I ) ^/IsinTtxIc/x,

-00 где coc( | t-т |) - бесконечно гладкое усредняющее ядро (см. [6], с. 39). Такая функция Ф(/) является 1-периодической и для любого у>2 при достаточно малом s>0 удовлетворяет условию (0.27).

Следствие 3.1.1 гарантирует нолумаксимальность оператора L при условии (лг)> — ATjл*|2(|*|>1). Наш пример показывает, что показатель степени 2т/(т- 1 ) нельзя увеличить, по крайней мере, при т= 2. В главе 4 рассматривается дифференциальное выражение

Lu=Yjaa^)Dnu , (0.28) а\<<т где хеСс/?", «(1(л*) - квадратные матрицы порядка г, элементы которых суть комплекснозначные функции, и{х) - /-компонентная вектор-функция.

11а коэффициенты a,t(.v) наложены следующие условия гладкости

M*)eC°+lal(G), |a|<a;aH(x)GCmax{o+2-2"}(G), | а | =а, а также условие эллиптичности det(2>a(*)Se)*0 а|=а при xeG, ^eR", Ul*0.

В §4.1 на рассматриваемые дифференциальные выражения распространяется принцип расщепления.

Пусть L3 - произвольное замкнутое расширение минимального оператора LJ);, отвечающего выражению (0.28) такое, что

Lm cL3cLw, xeGcR\ a L?CjXп- замкнутое сужение L3 на функции, каждая из которых равна нулю в какой-либо окрестности ограниченной области Q такой, 4toQczG. L3gxq -плотно заданный замкнутый оператор в пространстве L2( G\ Q)

Теорема 4.1.1. (принцип расщепления) Предельные спектры L3 и L3CX совпадают:

C(L3)=C(L];xn).

Для несамосопряженных сильно эллиптических операторов второго порядка другой подход к обоснованию принципа расщепления дан в работе И.И. Голичева [38].

Всюду ниже до конца введения рассматриваются операторы,

С помощью принципа расщепления в § 4.1 доказана также Теорема 4.1.2. Если Lm имеет хотя бы одну регулярную точку, то его резольвента вполне непрерывна тогда и только тогда, когда

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка теорема 4.1.2 доказана В.В.Мартыновым [68]. Эта теорема дает необходимые и достаточные условия чистой дискретности спектра оператора Lm при дополнительном предположении существования хотя бы одной регулярной точки. Это предположение существенно. Например, у оператора Lm, отвечающего выражению Lu = du/dx+xu (п = г=<з= 1), спектр состоит из собственных значений, покрывающих всю плоскость. Основное условие теоремы 4.1.2 для него, тем не менее, выполнено. Отметим, что теорема 4.1.2 применима к неполуограниченному самосопряженному оператору Lmy спектр которого может быть дискретным даже в случае оператора Штурма-Лиувилля (см. [116], [48]). В работе [105] изучались вопросы о спектре самосопряженных расширений неполуограниченного симметрического оператора Lm в одномерном случае при /*= 1.

В § 4.2 выводится важное для дальнейшего представление выражений в частных производных в виде суперпозиции одномерных операций. порожденные эллиптической системой L в L2r(R").

• = со.

Через (о обозначим единичную сферу в R

0={цеД": Iг| | = 1}, а через дп - производную по направлению rj:

К=(чУх)к =(fj4Jl?-)k,xeR,\ песо.

Пусть jli(г/со) — неотрицательная мера на со. Обозначим через /^'(ri) однородный полином степени | а |, определяемый (если это возможно при данной мере) системой равенств

J/£(n)nV№) = (VP :|р|) = |а|)

Всякое дифференциальное выражение L (0.28) представимо в виде о

Lu){x) = J и(хЖ<1со) (0.29) »=0 с некоторой неотрицательной конечной мерой р на со. Причем матрицы tfv(.v,v|) (v= 1,ст) могут быть выбраны непрерывно зависящими от r|, а я0(л-,11) - вовсе не зависящим от г| а0(х,ц) = а0(х).

В качестве меры р всегда может быть взята мера, сосредоточенная на множестве Qcco, на котором ни один из однородных полиномов степени <а не обращается тождественно в нуль, и тогда можно положить

M=v

Всюду ниже все функции, зависящие от г|, считаются непрерывными относительно совокупности входящих в них аргументов, а все условия, содержащие г|, считаются выполненными р-почти всюду па со при какой-либо фиксированной для рассматриваемого оператора мере р на со.

§ 4.3 носит вспомогательный характер. 13 § 4.4 лается описание двух классов дифференциальных выражении , для которых Lm =L\,, в терминах неравенств вида

II ^Ф Ц2 + const I ф ||2 > L(ф, ф), (0.30) где Цф,ф) - некоторая квадратичная форма (форма сравнения), и некоторых связей коэффициентов выражения L с коэффициентами этой формы. Первый из этих классов выражений связан со следующей формой сравнения

ЦЛ(Ф,Ф)= (0-31)

1{".х/-> где константы z,K>0, а скалярные функции я(л:,г|)>0, 1<<7(дс)<оо удовлетворяют условиям г,Л)еС'(/?"). q~l(x)eCn(R"y, (0.32)

4,V,)[a(x,4)q~\x)]\<C (о> 1 )'; (0.33) апУ q~°{x)\ <Са-\х,ц)д-{а~Л(х), (/=й0; (0.34) a4V(*)| <zcr(x)aj(xs\)q-ia-j\x) О-Г^), (0.35) где Р(х) - функция из Cn(R") такая, что

0</,(.v)->oo (|.v | —>оо). (0.36)

Заметим, что равенство q(x) = co на множестве положительной меры не исключается. Полагаем всюду 0-оо=0. В качестве области определения формы Ц.л', Dq возьмем множество вектор-функций ф таких, что supp<pf| {х:</(х) = оо }=0. Теорема 4.4.1 Пусть форма 1Е-/;(ф,ф) (0.31) удовлетворяет условиям (0.32)-(0.35), а коэффициенты дифференциальной операции L (0.29) при .ve {v: q(y)*<x>} — неравенствам as(x,i})\<Cas(x,4)qn~s(x), s = l,a.

При o=l условие (0.33) отпадает.

Цели при некоторых s:, A', Л'Х) для <р <?Д,Г) С„" (R", (/V, ад)) выполнено неравенство (0.30) с А(ф,ф)ггАг.л((Р,ф). то минимальный н максимальный операторы, отвечающие выражению L, совпадают, и для каждой вектор-функции и(х) е u сходятся интегралы

JV(.\V1)<f2J(x) |^//(.v)|2n((ho)(ix<co, где j-0, 1, . , ст.

Заметим, что в случае, когда я(,у,г|)=л(\х |), q(x)=q( |.v|), условия (0.32)-(0.35) на коэффициенты формы 1г.д(ф,ф) выполнены, если: сГ dt

-I

-К

ИОЧ (01 М0</ (О] ./'= 1,ст-1 (только при ст>1);

Г dt

- <i\t)} <Са~\()<Г V), 7 = 1,а; а \t)q~°*\t)dt = оо. о

Второму из упомянутых классов выражений соответствует форма сравнения к(Ф,Ф)=г. JI//2°(ami) р,"ф|2 + ^2я(дг) |ф |2]р(</(0)г/х, (0.37) где константа с>0, а скалярные функции //(.г,г|), £(.v)>0 обладают следующими свойствами: ami), x(x)eC\R"); (0.38) dnk°-\x)h\x,4)]\<Cza-S+\x)hs-\x,4), (0.39)

0.39) требуем лишь при ст> 1 ); существует функция /'(.г),удовлетворяющая условию (0.36), и константа 5>0 такие, что

П(х)>х(х), xeR" (0.40) п мри |.v| ->со равномерно по 1] из множсстна полной меры ц на <» <?,( Р( х) |Л\ у) [ д (.v) U ■'' (л Ml) J '-> 0 (/ = U )• (0.41)

Теорема 4.4.2. Пусть форма Lr(<p, <р) (0.37) удовлетворяют условиям

0.38)-(0.41), а коэффициенты дифференциальной операции L (0.29) -неравенствам as(л*, 1]) < С Ii\x,ц) s = \,g. ii

Если при некоторых с, N> 0 для ф е С0 (R , (/V, со)) выполнено условие (0.30) с 1(ф,ф)=1.г(ф,ф), то минимальный и максимальный операторы, отвечающие вы/)ажению L, совпадают и для каждой вектор-функции и(х) е D, ^ сходятся интегралы л.-» где j~\,G.

§§4.5,4.6 в качестве следствий из теорем 4.4.1, 4.4.2 получены достаточные признаки равенства /„,„ =/,Л/ в терминах лини, коэффициентов выражения L. При этом неравенства типа (0.30) выполняются автоматически. Приведем некоторые из этих результатов.

Теорема 4.5.2. Пусть а(х, Г|)=1 и 1<с/(.г)<оо удовлетворяет условиям (0.32)-(0.35), коэффициенты ап(х) выражения (0.28) при |а|=а равномерно непрерывны в U- {х: </(х) * со } и при х е U sup i'm f v1 с.

Тогда, если при х е U ап(х) <С<Г1"\х), |а|=0,а, то минимальный Lm и максимальный Lu операторы, порожденные выражением L, совпадают.

Заметим, что п случае а(х, 1])= 1, cj(x)=(j( \х |) и теореме 4.5.2 условия (0.32)-(0.35) можно заменить следующими

Теорема 4.5.2 является обобщением результатов Ф. Браудсра [117] и П. Гесса [133], относящихся к выражениям с ограниченными коэффициентами. Эта теорема аналогична теореме Титчмарша-Сирса [106, 60]. Для сильно эллиптических скалярных операторов в неограниченных областях родственный результат получен В.И.Шевченко [115]. В §4.5 установлены условия равенства Lm ~L\, с ограничениями на последовательности слоев, уходящих на бесконечность, аналогичные результатам работ [49, 35, 30].

Первые результаты о существенной самосопряженности эллиптических операторов высших порядков с неограниченными коэффициентами установлены А.Г. Коспоченко [56] в связи с исследованием распределения собственных значений таких операторов. Паша теорема 4.5.4 выделяет из формально самосопряженных, сильно эллиптических выражении класс, качественно близкий к рассмотренному в работах А.Г. Костюченко [55, 56].

Сформулируем также следствие из теоремы 4.4.2 полученное в §4.6. Подчиним функции /;(д-,г|), #(*) дополнительным условиям, кроме (0.38)—(0.41). Пусть //(д*,11) не зависит от ц, т.е. //(л,г|) = /?(*). Предположим, чю существует функция P]{x)eC2(Ji") такая, что 0</\(.v)—п-и для каждой константы Д/Х) найдется такая константа

I ' |\!-»/

С(Л/)>0, что гг о v)// оо» (у)<С{М)

-I

-1

0.42) прп л\геб7'\(7,Т| (т,>т2), где t2•!,"'<Л/, a G',T= {x:xgR\ P,(x)<z }. Кроме того, предположим, что найдутся такие константы с, С>() для которых при | -V | > Л'>0 cg(x)/i\x)< | V/>,Cv)l <Cg(x)If\x). (0.43)

Обозначим через Цх,^) символ или характеристический многочлен, отвечающий дифференциальному выражению L (0.28): ко

Теорема 4.6.1. Пусть функции h(x), £ ( .y ) > 0 удовлетворяют условиям (0.38)—(0.41) и (0.42), (0.43), а коэффициенты дифференциальной операции L (0.28) - соотношениям v)|<C/-H(.v)/;H(.v), |«|=0Я ох

М-*) 4nH"|f,(-v)//H"'(.v)) (|.v| —> со), j—\,n; |а| = 0,a.

Тогда, если при некотором N> 0 выполнено неравенство det/.(.v^)|>cL/;n(A-)Ur+/(.v)Jr, с?<)е |л* | >iV, % € R', г. = const >0, то минимальный и максимальный операторы, отвечающие выражению L совпадают.

В § 4.7 устанавливаются критерии существования регулярной точки и чистой дискретности спектра оператора L,„. При этом мы ограничиваемся классом выражений теоремы 4.4.2. Достаточные условия существования регулярной точки несамосопряженного сильно эллиптического выражения второю порядка получены в [39].

Наряду с формой сравнения 1,.(ф,ф) (0.37) рассмотрим квадратичную форму л-О где 1 > b ( л ) - измеримая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при |.v|—><■/).

Теорема 4.7.1. Пусть функции //(ami), ^(.v)>0 удовлетворяют условиям (0.38) - (0.41) и для коэффициентов дифференциальных выражений f

L, L (0.29) выполнены соответственно неравенства

Kf(.v,il))| , K(.v,ii))|<C/;v(AMl)/"?(.v), где xeli", 5=1,ст. Пусть также существует такое неограниченное .множество А точек комплексной плоскости, что при некоторых С, с> 0 для ХеА и ф е С„' (R") имеют место неравенства

-Н)ф||2>1г(Ф,Ф)-С[ф]2/,п.1;

11(//-а:/;)ф1Г>МФ,Ф)-С[Ф]2

Тогда:

1°. Если £(.\*)>1 и |а 0(л')| <Cg"(x) , то все точки множества А, лежащие вне круга |А.| <R при достаточно большом R>0, являются регулярными для оператора Lm~ Lu.

2°. Если &(л')->0° (|а|—>со), то спектр оператора Lti=Lu чисто дискретен (точнее, резольвента Lm вполне непрерывна) и в множестве А может находиться лишь конечное число собственных значений. Одним из следствии теоремы 4.7.1 является

Теорема 4.7.2. Пусть функции //(.\\r|) = //(.v), g(x)>0 удовлетворяют условиям (0.38) - (0.41) и (0.42), (0.43), а коэффициенты дифференциальной операции L вида (0.28)- соотношениям v)|<Cff'H"l(.v)/,H(.r), xeR'i Щ гг)с|сх| =0,а; |[*| = 1,|«| при |сх| >0; |Р|Н /;/;//1сх| = 0. Пусть также существует такое неограниченное множество А точек комплексной плоскости, что для X е Л ; л' , € R" выполнено неравенство dct(/-(.y,5 ) - * с I /,"(*) +ga(x)} при некотором с> 0.

Тогда: 1°. Если g(x)> 1, то существует R> 0 такое, что множество ЛП { А.: |Л| > R } состоит из регулярных точек оператора Lm - LX!.

2°. Если g(x)->oо ([л' [ —>оо). то спектр оператора Lm = LSf чисто дискретен (его резольвента вполне непрерывна) и в множестве Л может находиться лить конечное число собственных значений.

Заметим, что условия па производные коэффициентов alt(x) в теореме 4.7.2 нельзя ни отбросить, ни ослабить заменой о на О, как показывает пример самосопряженной одномерной системы Дирака вида

Ти = о 1 Y-ппсл

-I 0 du 1 2 — -I— Л dx 2

-cos л" — sin Л" v-sill.Yy COS.Yr J где у - вещественная константа, /•=2, /; = а=1. Нетрудно видеть, что выражение Т удовлетворяет при ()<у<3 условиям теоремы 4.7.2 с S(.y)=.y2+1, h(x) = 1 (P(x) = I\(x)= |д*|3 (|.y|>1)).Поэтому при 0<у<3 но теореме 4.7.2 спектр оператора Тт чисто дискретен. Можно показать, что при у-3 его спектр заполняет всю ось (-оо,оо). С другой стороны, за исключением требования — а0(х) - o(g2(х)), которое здесь выполняется dx лишь в ослабленной форме - при замене o(g(x)) на 0(g(.y)), все остальные условия теоремы 4.7.2 (вариант 2°) выполнены.

Отметим также, что теорема 4.7.2 тесно соприкасается с результатом В.В. Грушииа [40], полученным иным методом. В частности, содержащийся

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ 41 БИБЛИОТЕКА в теореме in [40] признак чистой дискретности спектра полностью охватывается теоремой '1.7.2.

Для выражения Л/=(-А) + Q(x) (/•= 1, а = 2///)с комилекснозначной функцией Q(x) в § 4.7 доказана чистая дискретность спектра оператора Мт при ослабленных, по отношению к теореме 4.7.2, условиях на регулярность поведения (?(.v) (теорема 4.7.3). Для выражения + с dx комплексным Q(x) условия дискретности спектра изучались в работах М.А. Наймарка [76], В.1>. Лидскго [64], Е.С. Пиргера [11], и А.Г. Алсницына [3]. Вытекающий из теоремы 4.7.3 для этого выражения признак дискретности спектра близок к полученному в работе А.Г. Алепицыпа [3].

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17-30] и неоднократно докладывались автором на конференциях и семинарах, в том числе, на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, май 2001г.), на Международной конференции но теории функции и математической физике, посвященной 100-летию I I.И. Ахиезера (Харьков, август 2001г.), на Международной конференции по функциональному анализу (Киев, август 2001г.), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (Москва, июнь 2003г.), на семинарах в МГУ (руководители проф. А.Г. Костюченко и проф. А.А. Шкаликов), па Харьковском общегородском семинаре (руководитель акад. В.А. Марченко).

Некоторые результаты опубликованных но теме диссертации работ отражены в ряде монографий и обзоров других авторов (в книге [86], в монографиях [85], [99] и обзорах [152-154]). Ч

ГЛАНД I. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ сильно ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА В L2(G) И МЕТОД ИСПРАВЛЯЮЩИХ

ПОТЕНЦИАЛОВ

В этой главе рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в пространстве L2(G), записываемые в следующих двух формах:

Li/ = -V(/f(*)Vw)+ /[V(6(jr)i#)+(Vw,6(*))]+fy(Jc)„, D,=C?(G). (1.0.1) Mu = (V-ib (x)HA(x)(V-ib (x))u)+cj(x)u, Du~Cq(G). (1.0.2) Здесь A(x) - положительная эрмитова матрица-функция, b(x) - n-компонснтпая вектор-функция с вещественными компонентами, q(x) -вещественная функция, G - произвольное открытое множество в R".

Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [21]-[24], [27].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Брусенцев, Александр Григорьевич, 2003 год

1. Агранович М.С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // УМН.-2002.-Т.57.-ВЫП.5.-С.З-78.

2. Александрян Р.А. , Березанский Ю.М., Ильин В.А., Костюченко А.Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными. Дифф. уравн. с частными производными.- Труды симпозиума, поев. 60-летию ак. СЛ. Соболева.- М.: Наука-1970.

3. Аленицын А.Г. О возмущении несамосопряженного оператора Шредингера с дискретным спектром // Сб. «Проблемы матем. физики» -Изд. ЛГУ.-1971.- Вып.5.

4. Ахиезер И.И. Вариационное исчисление.- Харьков: изд."Вища школа".-1981.- 168с.

5. Ахиезер И.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-Т.2.-1978- Харьков: Изд. Харьков, гос. университста-1978- 286с.

6. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям. -Киев: Наукова думка-1965 800с.

7. Березанский Ю.М. Самосопряженность эллиптических операторов с сингулярным потенциалом // УМЖ .-1974.-Т.26.-№5.

8. Березанский Ю.М. Одно замечание относительно существенной самосопряженности степеней оператора // УМЖ .- 1974- Т.26 №6.

9. Березанский Ю.М Самосопряженные операторы бесконечного числа переменных.-Киев: "Наук. Думка" .- 1978.- 360с.

10. Березанский Ю.М. , Самойленко В.Г. Самосопряженность дифференциальных операторов с конечным и бесконечным числом неременных и эволюционные уравнения // Успехи мат. паук.- 1981.- Т.36.5.- С.3-56.

11. Биргер Е.С. О нссамосопряженном операторе -у"+р(х)у на оси (-оо,оо) // Докл. AII СССР.- 1970.- Т. 192.- № 4.- С.711-713.

12. Бирман М.Ш. О спектре сингулярных граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений // ДАН СССР .- 1954.— Т.97.- С.5-7.

13. З.Бирман М.Ш. О спектре сингулярных граничных задач // Матем. сб.-1961 .-Т.55- №2.-С. 125-174.М.Бирман М.Ш., Павлов Б.С. О полной непрерывности некоторых операторов вложения // Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр.-1961.-№1.-Вып. 1.-С.61-74.

14. Бойматов К.Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах // Докл. АН СССР.- 1989 Т. 307.- № 6.- С. 1296-1299.

15. Браверман М., Милатович О., Шубин М. Существенная самосопряженность операторов тина Шрёдингера на многообразиях // Успехи мат. наук.-2002.-Т.57.-Вып.4.-С. 3-58.

16. Бруссицев А.Г. Некоторые вопросы качественного спектрального анализа несамосопряженных эллиптических систем произвольного порядка // в сб. «Матем. физика и фупкц. анализ».- ФТИНТ АН УССР.- 1973. -Вып.4.- С.93-116

17. Брусенцсв А.Г. О спектре несамоспряженных эллиптических систем произвольного порядка.- Дифф. уравнения- 1976- Т. 12- № 6.-С. 1040-1051.

18. Брусенцев А.Г. О J-самосопряженности в существенном эллиптических операторов, не удовлетворяющих условию Титчмарша-Сирса // Сб."Дифференциальные уравнения и некоторые методы функционального анализа".- Киев: "Наукова думка".- 1978.- С.47-58.

19. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенномполуограниченных операторов высших порядков // Диффереиц. уравнения.- 1985.-Т.21.-№4,-С. 668-677.

20. Брусенцев А.Г. О самосопряженности в существенном полуограниченных эллиптических операторов второго порядка, не подчинённых условию полноты риманова многообразия // Мат. физ., анализ, геом.- 1995.-Т.2.-№2.- С. 152-167.

21. Брусенцев А.Г. Приграничное поведение потенциала эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном // Мат. физ., анализ, геом.- 1998.-Т.5.-№3/4.-С.149-165.

22. Брусенцев А.Г. Замечание о самосопряжённости в существенном неполуограниченных эллиптических операторов в L2(G). II Мат. физ., анализ, геом .- 1999.-Т.6.-№3/4.-С.234-244.

23. Брусенцев А.Г. О самосопряжённости в существенном неполуограниченного оператора Шрёдингера с сильными сингулярностями потенциала // Дифференц. уравнения.- 2002,- Т.38.- № 10.- С. 1431 -1433.

24. Брусенцев А.Г. Об одной теореме Г. Вейля для многомерного случая // Мат. физ., анализ, геом 2002- Т. 9.-№2 - С.224-232.

25. Брусенцев А.Г. Многомерная теорема Г. Вейля и накрывающие семейства // Матем. заметки.-Т.73.-№1.- 2003.-С.38-48.

26. Брусенцев А.Г. Самосопряженность эллиптических дифференциальных операторов в L2(G) и метод исправляющих потенциалов (обзорная статья) // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 28.01.03, №163-В 2003. 57с.

27. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. Достаточные условия самосопряженности эллиптических операторов высших порядков. в сб. «Матфизика и функц. анализ».- ФТИНТ АН УССР- 1971- Вып.2.-С. 12-25.

28. Брусенцев А.Г., Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженности эллиптических операторов высших порядков // Функц. анализ и его