О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Зуев, Андрей Михайлович

• Зуев, Андрей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зуев, Андрей Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. БАЗИСНОСТЬ СРЕДНИХ РИССА С ВЕЩЕСТВЕННЫМ

СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ.

§1. Основные понятия. Формулировка результатов.

§2. Вспомогательное утверждение.

§3. Доказательство вспомогательных оценок (15) - (22).

3.1. Доказательство оценок (15), (16).

3.1.1. Случай |\±— < е:.

3.1.2. Формула для интеграла специального вида.

3.1.3. Оценки интегралов специального вида.

3.1.4. Доказательство оценок (15), (16) в случае: \№к\\ > £.

3.2. Доказательство оценки (17).

3.3. Доказательство оценок (18) - (22).

Глава 2. БАЗИСНОСТЬ СРЕДНИХ РИССА С КОМПЛЕКСНЫМ

СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ.

§4. Случай комплексного спектрального параметра

§5. Оценка средних Рисса спектральной функции.

§6. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору высокого порядка»

Настоящая диссертация посвящена исследованию разложений заданной функции по собственным и присоединенным ( короче — корневым ) функциям дифференциального оператора. Это одна из проблем спектрального анализа — актуального направления современной науки. К ней приводят многие задачи математической физики, квантовой механики и другие. При этом фундаментальную роль играет вопрос о базисности корневых функций.

В настоящее время широко изучены самосопряженные операторы. В частности, на вопрос о базисности корневых функций таких операторов получен ответ в терминах краевых условий. ( Заметим, что в классической теории, например [22], понятие дифференциального оператора всегда было связано с краевыми условиями. ) Согласно основной теореме Дж. фон Неймана [23], система всех собственных функций самосопряженного оператора образует ортонормированный базис, по которому можно разложить произвольную функцию из класса 2у2

В случае же несамосопряженного оператора система всех его собственных функций не только может не образовывать базиса в ¿2, но и не обязательно является полной в ¿2 ( то есть произвольную функцию из класса Ь-2 не всегда можно приблизить с любой степенью точности в метрике ¿2 линейной комбинацией собственных функций ). Поэтому систему собственных функций приходится пополнять присоединенными. В несамосопряженных задачах корневые функции, вообще говоря, не ортогональны, и ни их замкнутость, ни их минимальность еще не влечет за собой их базисности. Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал новых оригинальных методов исследований.

В процессе изучения проблемы полноты важный результат был получен М.В.Келдышем в [16]. Им была рассмотрена специально построенная система собственных и присоединенных функций. Автор назвал эту систему функций канонической ситемой. Было доказано, что эта система является полной в Ь-2 для широких классов несамосопряженных краевых задач. Однако, вопрос о том, образует ли построенная система базис в ¿2- остался открытым.

Позднее в работах Г.М.Кесельмана [18] и В.П.Михайлова [20] был выделен класс краевых условии ( названных усиленно регулярными ) , обеспечивающих базисность Рисса систем корневых функций. При этом все собственные значения, начиная с некоторого — простые.

Однако целый ряд задач не охватывается указанной теорией. Это стало очевидным с постановкой в последние десятилетия неклассических задач математической физики: отыскания условий устойчивости плазмы, расчета ядерных реакторов и других. Такие несамосопряженные задачи приводят к бесконечному множеству кратных собственных значений и бесконечному множеству присоединенных функций.

Рассмотрим следующий пример. В 1976 году Н.И.Ионкиным в [15] была изучена одна неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче краевые условия которой являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее в работе было установлено, что специальным образом выбранная система корневых функций образует базис в £2(0; Ь)

Для подобных задач выразить условия базисности в терминах краевых условий нельзя. Это обусловлено тем, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство базисности существенно зависит от выбора корневых функций ( для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить системы корневых функций, одни из которых могут образовывать базис в ¿2, а другие нет ) и не определяется только конкретным видом краевых условий ( на свойства базисности влияют также значения коэффициентов дифференциального оператора, причем указанное свойство изменяется при каком угодно малом изменении значений коэффициентов ), что показано в работе В.А.Ильина [12].

В 1976 - 1978 годах В.А.Ильин предложил новую трактовку., которая позволила отказаться от задания в какой-либо форме краевых условий. У

Пусть Ь — заданный на произвольном интервале С, вообще говоря, несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор

Системой корневых функций этого оператора назовем произвольную систему комплекснозначных функций {щ(х)} такую, что для нер(х)и'У + д(х)и — Хи , а < х < 6,

Ьи = и(п) +Р1(х)и(п~[) + р2(х)и{п~^ + . . + Рп(х)и. которой последовательности комплексных чисел {А^} на интервале G

Ьщ + Акик = вк ■ 1, где каждое вк равно нулю либо единице ( в последнем случае Хк = = ), 9\ = 0.

Отметим, что такое определение ( без задания краевых условий ) позволяет рассматривать как частный случай не только системы корневых функций любых краевых задач, но и системы типа систем экспонент, не удовлетворяющие никаким краевым условиям.

Используя формулу среднего значения Е.И.Моисеева [21], В.А.Ильин разработал новый метод исследований. В работах [5], [6], [7], [9] им были установлены необходимые и достаточные условия базисности систем корневых функций оператора произвольного порядка на любом компакте основного интервала G, а также условия равномерной на любом компакте равносходимости спектральных разложений с тригонометрическим рядом. Предполагалось, что Pk{-r) G C^n~k+[\G). Рассматривались замкнутая и минимальная в Lp(G) ( р > 1 ) система корневых функций а также биортогонально сопряженная к ней система {ук} С Lq(G), q = ^j. Предполагалось также выполнение следующих условий:

Irnpk\ < const ( карлемановское условие ),

J2 1 < const для всех р, > 0 ( условие "сумма единиц" ).

Ы<АН"1

Здесь р,к —■■ спектральный параметр ( то есть выбранный специальным образом корень п-й степени из собственного значения Хк ). Было показано, что необходимым и достаточным условием базисности системы корневых функций {ик} ( и равномерной равносходимости с тригонометрическим рядом ) является существование для любого компакта К С G константы С {К), обеспечивающей справедливость неравенства: uk{x)\\Lp{K) • II^WILmgo < С(К) ддя всех к

Надо отметить, что в последующих исследованиях это неравенство неоднократно встречается вновь.

Проблема безусловной базисности впервые была изучена В.А.Ильиным в работе [8] для систем корневых функций оператора

Lu = и" -{- р(х)и, р(х) G L\{G).

Как и выше, наряду с системой {ик(х)} корневых функций оператора рассматривалась биортогонально сопряженная система состоящая из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к L. Предполагалась полнота в L2(G) хотя бы одной из этих двух систем и выполнение карлемановского условия: \Imfik\ < const. где — спектральный параметр.

В этом случае каждая из систем {«¿(ж)}, {^(ж)} обладает свойством безусловной базисности в L-2(G) тогда и только тогда, когда выполнены условия: щ\\ь2(С) • IMU-,(G) < const Для всех к и условие "сумма единиц": Е 1 < const для всех /л > 0.

Позднее в работе [17] Н.Б.Керимов рассмотрел оператор четвертого порядка.

Наиболее полно вопрос о безусловной базисности был изучен В.Д.Будаевым в [1].

Рассматривался оператор

Lu = U(2m) +P2(x)tl(2m~2} + . . . + p2m-l(x)u' + Р2т{х)и, т > 2 ) с коэффициентами p2m-s(x) Е Wf(G), s — 0,1,., 2т — 2. Доказана следующая теорема ( критерий безусловной базисности ).

Пусть {и к} и {i-k} - - пара биортогонально сопряженных в L2(G) систем, состоящих из корневых функций операторов L и L* соответственно. Пусть выполнены карлемановское условие и антиаприорные оценки:

0kUk-l\\b2(G) < const - |MU2(g), ek+lVk+l\\L2(G) < const ' IKIU2(G)

Тогда для безусловной базисности в L2(G) каждой из систем {vk} необходимо и достаточно, чтобы

1) хотя бы одна из систем {t^} была полна в //-¿(G'),

2) выполнялось условие "сумма единиц",

3) выполнялось условие ||^||l,(g) ' ||^IU2(g) ^ const для всех к,

4) выполнялись условия Н.Б.Керимова: const ■ N, fi<Re/jk<N \\uk\\L2(G) const. N, i<Renk<N \\Vk\\L2(G) 6 где /I — произвольное фиксированное.

Отметим также, что этот результат перенесен и на случай систем корневых вектор-функций операторов с матричными коэффициентами. а также разрывных операторов, коэффициенты которых и корневые функции могут иметь разрывы первого рода в любом конечном числе точек интервала С [2]. Кроме того, в этих же работах [1], [2] автором был получен критерий базисности Рисса для операторов высокого порядка. Эти результаты продолжили исследования В.А.Ильина [10], [11], а также В.А.Ильина, К.В.Малькова, Е.И.Моисеева [13].

Возвращаясь к вопросу о базисности системы корневых функций, еще раз подчеркнем, что при сформулированных выше условиях критерием базисности является выполнение неравенства

В связи с этим возникла идея, впервые высказанная В.А.Ильиным, что в случае невыполнения данного неравенства тем не менее добиться базисности можно, если отказаться от классического понятия сходимости. Предлагалось использовать один из обобщенных методов суммирования, а именно — метод средних Рисса, то есть вместо базисности в обычном смысле рассматривать базисность риссовских средних. В работе [14] В.А.Ильин и В.В.Тихомиров попытались осуществить эту идею. Рассматривался оператор на произвольном интервале С действительной прямой. Следуя классическому определению, в качестве частичной суммы порядка I > 0 риссовских средних порядка в > 0 бралась сумма

По определению, средние Рисса обладают свойством базисности, если для любой функции /(.г) Е (С) и любого компакта К С С :

В предположении, что общее число присоединенных функций конечно, были даны достаточные условия базисности и равносходимости с риссовскими средними тригонометрического ряда Фурье риссовских средних ( того же порядка ) спектральных разложений. Приведем формулировку первой из этих теорем. ик\\ьР(К) ■ 1Ык(С) < с (К).

Ьи = и[п> + Р1{.г)и[п-[] + . +рп1(х)и' +Рп{х)и

1) 5

Пусть выполнены следующие два условия: 1) коэффициенты оператора рь(х) принадлежат классам С^п~к+1\С); 2) спектральные параметры удовлетворяют карлемановскому условию и условию "сумма единиц". Тогда достаточным условием базисности средних Рисса порядка в < 1 полной и минимальной системы {г^} корневых функций оператора является существование для любого компакта К интервала С постоянной С (К), обеспечивающей справедливость неравенства

1Ыи2(л-) • 11^|и2(о < с{к)\цк\* для всех элементов иизучаемой системы.

Позднее в работах [24], [25], [26] Я.Ш.Салимов изучил средние Рисса любого неотрицательного порядка для оператора Лапласа, избавившись при этом от требования конечности числа присоединенных функций. Заметим, что для получения результатов автору потребовалось ввести новое понятие средних Рисса специально для оператора второго порядка, действующего на функции многих переменных.

А.С.Макин в [19] рассмотрел оператор Шредингера Ьи — м"+д(:с)и. В предположении, что общее число присоединенных функций конечно, не изменяя классического определения средних Рисса, автору также удалось уйти от ограничения 5 < 1 и добиться результата для произвольного неотрицательного в.

Открытым оставался вопрос о базисности средних Рисса произвольного порядка 5 > 0 для обыкновенного дифференциального оператора п-го порядка с бесконечным числом присоединенных функций.

Основной целью настоящей диссертации является установление достаточных условий базисности и равносходимости с риссовскими средними тригонометрического ряда Фурье риссовских средних ( того же порядка ) спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору п-го порядка. Порядок средних Рисса - § > 0. Предположение, что общее число присоединенных функций конечно, отсутствует.

В работе предлагается новое определение средних Рисса, обобщающее классическое определение и определение Я.Ш.Салимова, данное в [24], [25], [26]. Получены достаточные условия базисности средних Рисса порядка 5 > 0. Получена оценка разности частичной суммы средних Рисса порядка 5 > 0 и модифицированной частичной суммы средних Рисса ( того же порядка 5 ) тригонометрического ряда Фурье. Важным вспомогательным результатом является оценка средних Рисса спектральной функции биортогонального ряда.

Перейдем непосредственно к изложению основных результатов диссертации.

На произвольном конечном интервале С С К рассматривается несамосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор (Т

Ьи = и^ + Р1(х)и^ + . .+рп^(х)и' + рп{х)щрк{х) е С{п-к+1\С).

Под собственной функцией оператора, отвечающей комплексному значению Л, понимается любая ( не равная тождественно нулю ) ком-плекснозначная функция и (х) из класса £2(6% которая внутри С принадлежит классу С'^ и является решением уравнения Ь и +А и= 0. Под присоединенной функцией порядка р ( р = 1,2,. ., т ), отвечающей тому же А и собственной функции и, понимается любая ком-плекснозначная функция и (х) из класса 1/2(СО, которая внутри С принадлежит классу С^ и ( с точностью до постоянного множитеч Г Р . ч Р Р-1 ля ) является решением уравнения Ь и +А и= и .

Пусть {щ} — какая угодно полная в ^(С) и минимальная система собственных и присоединённых функций оператора Ь. Тогда, как известно, существует единственная биортогонально сопряжённая к ней система {г;г-} С 1/2(С).

Через Цк обозначим тот корень степени п из комплексного собственного числа Аь который определяется по правилу: —1)п/2(—А/;.))1/", если п чётное, = { ((—г)А^)1/п, если п нечётное,/тА^ > 0, (2) если п нечётное, /тА^ < 0, где всюду [г ехр{г<^}]1//га = г1/Г1ехр{г</?/п} при —тт/2 < <р < Зтт/2. Введём также обозначения:Де/^ /ттг//^ так что =Цк + г /4.

Считая, что совокупность не имеет конечных точек сгущения, занумеруем их в порядке неубывания с учетом кратности. Все соответствующие корневые функции щ ( отвечающие собственному значению А^ ) разобьём на цепочки, каждая из которых порождается собственной функцией и содержит отвечающие ей присоединённые, пронумерованные по возрастанию своего порядка. Если функции ик и щ принадлежат одной такой цепочке, будем писать: ///. ~ щ. Общее число функций, входящих в данную цепочку, будем называть рангом собственной функции, порождающей цепочку.

Для любой функции /(.г) € любого 5 > 0 и для всех ¡1 > О, считая сначала ^ вещественными, составим суммы:

Л = Е (/> ид

-1 )Ч-/М Е --^^-х о<;<1-+1 которые будем называть средними Рисса порядка 5 спектрального разложения функции /(х) в биортогональный ряд по системе {иг-(х)}. Здесь С — постоянная, зависящая от п, из формулы среднего значения Е.И.Моисеева [21]. В случае четного п С Для комплексных р, положим

Ы1

К1

Х->Л = Е (./>*) X С х-1 Е

0</< а +1

II щ{х/

-1)Ч-/(^) д1 П 1 й ¡¡I X где во избежание путаницы символов через j обозначена мнимая единица. Отметим, что в случае вещественного ^ оба определения совпадают.

В главе 1 рассматривается случай вещественного спектрального параметра

В §1 подробно даются основные определения и формулируются главные результаты: теоремы 1, 2, 3, 4.

Теорема 1. Пусть {иг-} — полная и минимальная в £2(С) система корневых функций оператора (1). М > 2 — константа, ограничивающая ранги собственных функций в системе. Пусть выполнены следующие два условия А: 1) коэффициенты Рк(х) оператора (1) принадлежат классам. С^п~к+1\С); 2) числа определенные соотношениями (2), удовлетворяют двум неравенствам: | | < С1, £ 1 < для любого £ > 0, где С\,С2 — константы. Пусть *<И<ж для любого компакта К С С существует постоянная С (К), обеспечивающая справедливость неравенства иг\\ык)\Ы\ыа) < С(К)\м\а, 0 < а < 1, для всех элементов щ изучаемой системы.

Тогда имеет место базисность средних Рисса системы {мг} порядка s такого, что s > М — 1 и s — [s] > а.

Теорема 2.Пусть выполнены все условия теоремы 1. И пусть, кроме того, существует констант,а Сз такая, что любая проколотая Сз-окрестность числа | | не содержит | | для всех k,l. Тогда, имеет место базисность средних Рисса системы {иг} порядка s > О такого, что s — [s] > а.

Фиксируя произвольный компакт К С G и положительное число R < dist(K, dG), рассмотрим для произвольной функции f(x) £ L-2(G) модифицированную частичную сумму порядка t средних Рисса порядка 5 тригонометрического ряда Фурье ast(xj) = 2*(2тг rl^T(s + 1 J \x- у\-8~* J8+h(t\x - y\)f(y) dy. x-y\<R

Теорема 3.Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для любой функции f(x) Е L^iG) при s > М — 1 us — [s] > а справедлива оценка

I (ж<л ~ л = о(1) ll/lk(G) '1 r(3) t^+oo равномерная на любом компакте К С G.

Теорема 4.Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда для любой функции f(x) Е L'2{G) при s > 0 и s — [s] > а справедлива оценка (3), равномерная на любом компакте К С G.

В этом же параграфе 1 приводится оценка средних Рисса спектральной функции биортогонального ряда.

В §2 вводится в рассмотрение специальная функция

Я.х.у) = | + "Р" I* - < * 0 при \х — у\ > R.

Здесь s > 0, //, > 1, у принадлежит некоторому фиксированному компакту К С С, R Е [^f; Ro]. где Rq — достаточно малое фиксированное число. Через Со^ обозначается скалярное произведение (ui:,Cj(Ro)), где lu(Rq) — усреднение функции io(R,x,y) по переменной R на Далее формулируется важнейшее вспомогательное утверждение: в случае вещественных цк к =

6к(/2) + где

1 при \^к\ < О при \/1к\ > ¡л, а величины шк таковы, что ряд £ ^к^к(х) сходится в метрике -£/2(6?) к=1 по х для каждой точки у Е К и ¿2- норма суммы этого ряда равна равномерно по у на компакте К. Использование формулы среднего значения Е.И.Моисеева [21] позволяет свести доказательство этого утверждения к трем оценкам, которые приводятся в конце §2.

В §3 доказываются три оценки, приведенные в конце предыдущего параграфа. Параграф разбит на 3 пункта, в каждом из которых доказывается одна из таких оценок. Отметим, что в процессе рассуждений выясняются некоторые вспомогательные результаты, имеющие самостоятельный интерес. В частности, в подпункте 3.1.2. приводитя ся формула для интеграла вида / га (/1г) (/^г)с?г. В подпункте 3.1.3. выводится оценка модуля усреднения по переменной Я на

Н, 1

5 До] интеграла / г^-5-"2 сое(цкг — |])(1г. о 1 2

В главе 2 рассматривается случай комплексного спектрального параметра дается оценка средних Рисса спектральной функции, приводятся примеры.

В §4 формулируется и доказывается вспомогательное утверждение:

0(1) • /,/а+М"5 при 8> М- 1 к = Е (1ик I I1 ) о < г < 5 +1 ик-гик где 5к{р) =

1 при | Цк | < /./ О при | ¡1к | > ц а величины шк таковы, что ряд

ОС1 шкук{х) сходится в метрике Ь-^С) по х для каждой точки у £ К и

1ь = 1

2 - норма суммы этого ряда равна

0(1)/<а+и"* при 5 > М- 1,

ОШ

1+ Е 1

II

Ик при а < з < М — 1. 7

В §5 выводится оценка средних Рисса спектральной функции, позволяющая получить доказательство основных теорем диссертации. Показано также, что в случае 5 < 1 определение средних Рисса можно дать в иной, более удобной форме: о,

1огсСА "»'-н3'; щ(х) 1

2\ «-1

II. 1 - ^

1, если ~ щ где Эг; = <( г' При этом все теоремы остаются 0 в противном случае. справедливыми.

В §6 приводятся примеры.; иллюстрирующие результаты диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов ( третий параграф разбит на пункты и подпункты ) и списка литературы из 31 наименования. Объем работы составляет 73 страницы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зуев, Андрей Михайлович, 1999 год

1. Будаев В. Д. О необходимых условиях безусловной базисности систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов //ДАН,— 1993,— Т.329, N4,— С.7-10.

2. Будаев В.Д. Необходимое условие базисности Рисса систем корневых функций обыкновенного несамосопряженного дифференциального оператора //Дифференц. уравнения.— 1993.— Т.29, N1. С.20-30.

3. Будаев В.Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых систем функций //Доклады РАН.— 1997,— Т.357, N2,— С.157-160.

4. Вате он Г.Н. Теория бесселевых функций.— М., Изд-во иностр. лит., 1949.— Т.1.— 798 с.

5. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.I //Дифференц. уравнения.— 1980.— Т.16, N5.— С.771-794.

6. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.II //Дифференц. уравнения- 1980.— Т.16, N6.— С.980-1009.

7. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системе экспонент //ДАН СССР.— 1983.— Т.273, X I. С.789-793.

8. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка //ДАН СССР.— 1983,— Т.273, N5,— С.1048-1053.

9. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектрального разложения произвольной суммируемой функции //Дифференц. уравнения.— 1985.— Т.21, N3.— С.371-379.

10. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка //Дифференц. уравнения. 1980,— Т.22, N12,— С.2059-2071.

11. Ильин В,А. О базисности Рисса систем корневых вектор-функций разрывного оператора Шредингера с матричным потенциалом //ДАН СССР.- 1990.-- Т.314, N1.— С.59-62.

12. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядомразложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора //Дпфференц. уравнения.— 1994.— Т.30, N9.— С.1516-1529.

13. Ильин В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальном}- оператору порядка п //Дифференц. уравнения,— 1982,— Т.18. N12,— С.2098-2125.

14. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием //Дифференц. уравнения,— 1977,— Т.13. N2.-- С.294-304.

15. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов //Успехи математич. наук.— 1971.— Т.26, N4.— С.15-41.

16. Керимов Н.Б. О безусловной базисности системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четвертого порядка //ДАН СССР.— 1986.- Т.286, N4,— С.803-808.

17. Кеселъман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов //Изв. вузов СССР. Математика,— 1964,— N2.— С.82-93.

18. Макин A.C. О сходимости средних Рисса спектральных разложений. отвечающих одномерному оператору Шредингера //Дифференц. уравнения.— 1988,— Т.24, N5. С.897-899.

19. Михайлов В.П. О базисах Рисса в L2(0; 1) //ДАН СССР,— 1962.— Т.144, N5,- С.981-984.

20. Моисеев Е.И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения обыкновенного дифференциального уравнения //Дифференц. уравнения,- 1980.— Т.16, N5,— С.827-844.

21. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— М., Наука, 1969.— 528с.

22. Дж. фон Нейман ( J.Neumann ) Allgemine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoreii //Math. Ann.— 1925. Bd.102.— S.49-131.

23. Салимое Я.Ш. О средних Рисса биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженныхрасширений оператора Лапласа //Дифференц. уравнения.— 1986.— Т.22, N5.— С.864-876.

24. Салимое Я.Ш. О средних Рисса биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных расширений оператора Лапласа //ДАН СССР.— 1986.— Т.286, N2.— С.291-295.

25. Салимое Я.Ш. О средних Рисса спектральной функции несамосопряженного оператора Лапласа при наличии присоединенных функций порядка, превосходящего порядок средних Рисса //ДАН СССР.— 1986,— Т.289, N6.— С. 1311-1314.Работы автора по теме диссертации.

26. Зуев A.M. О базисности риссовских средних спектральных разложений дифференциального оператора высокого порядка //Материалы международной научно-методической конференции . — Смоленск, 1998,— С.36-37.

27. Зуев A.M. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору высокого порядка //Деп в ВИНИТИ.— 26.10.98.— N3091-B98.

28. Зуев A.M. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору высокого порядка. I. //Дифференц. уравнения.— 1999.-- Т.

29. Зуев A.M. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору высокого порядка. II. //Дифференц. уравнения.— 1999.- Т.