Распространение померона в ядре и петлевые вклады в амплитуду рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Тарасов, Андрей Николаевич

• Тарасов, Андрей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тарасов, Андрей Николаевич

Введение

Глава 1. Помероны в теории сильных взаимодействий

1.1 Реджеонная теория поля

1.2 БФКЛ померон

Глава 2. Петли в Реджеонной теории поля для адрон-ядерного рассеяния

2.1 Реджеонная теория поля для адрон-ядерного рассеяния

2.2 Пропагатор померона в поле ядра

2.3 Померонные петли низшего порядка

2.4 Амплитуда рассеяния в модели померона в поля ядра

2.5 Приближение случайной фазы

2.6 Численный анализ

Глава 3. Петлевой вклад в локальной Реджеонной теории поля для случая реального ядра

3.1 Случай реального ядра

3.2 Амплитуда при фиксированном значении прицельного параметра

3.3 Численный анализ

Глава 4. Пропагатор БФКЛ померона во внешнем поле ядра

4.1 Взаимодействующие БФКЛ помероны

4.2 Случай пропагатора вперед

4.3 Численный анализ в импульсном пространстве

4.4 Численный анализ в координатном пространстве

4.5 Общий случай 90 Заключение 95 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распространение померона в ядре и петлевые вклады в амплитуду рассеяния»

Одним из основных направлений исследования в квантовой хромодинамике (КХД) является изучении реакций адрон-ядерного рассеяния при высоких энергиях. Как известно, с помощью КХД удается хорошо описать жесткую область динамики сильного взаимодействия. Однако значительно сложнее дело обстоит с мягкими процессами, которые дают основной вклад в полное сечение рассеяния. Чтобы описать эти явления, можно воспользоваться померонной моделью, полученой в рамках пертурбативной КХД.

В КХД сильное взаимодействие при высоких энергиях (малых х ) можно описать как обмен БФКЛ (Балитский-Фадин-Кураев-Липатов) померонами, которые взаимодействуют через свое слияние и расщепление. Для случая адрон-ядерных реакций рассеяния соответствующие древесные (веерные) диаграммы можно просуммировать в квази-классическом приближении с помощью уравнения эволюции Балитского-Ковчегова (БК) [1-4].

Однако этот подход содержит в себе ряд допущений. Во-первых, речь идет о модели с бесконечно большим количеством цветов Мс. Во-вторых, предполагается, что константа связи КХД а8 есть фиксированная малая величина. И в-третьих, что особенно важно, петлевые диаграммы в данном приближении не рассматриваются. Последнее справедливо, если параметр 7 = а3ехрАу, в котором у - быстрота, а А - интерсепт померона, мал. Это означает, что для больших ядер, таких что ~ 1, древесные диаграммы действительно дают основной вклад и петли могут быть отброшены. Однако с ростом быстроты у петлевой вклад растет и его необходимо учитывать несмотря на то, что вклад древесных диаграмм эффективно усилен большим множителем А1/3.

Полный расчет петлевого вклада для нелокального БФКЛ померона представляет сложную задачу. Простейшие петли для случая адрон3 адронного рассеяния были рассмотрены в работах [5-7]. Так, в работе [7] было показано, что петля низшего порядка дает основной вклад в функцию Грина померона уже при быстротах порядка 10 — 15 • Она смещает полюс померона в комплексную плоскости, что приводит к появлению осцилляций в сечениях рассеяния. Однако такое рассмотрение является неполным, так как с ростом энергии начинают расти и давать существенный вклад петли следующих порядках теории возмущении. Поэтому, строго говоря, все они должны быть просуммированы.

Было сделано несколько попыток сделать это в рамках так называемой реакционно-диффузионной модели динамики КХД, которая имеет аналогию со статистической физикой [8-13]. К сожалению, конкретные результаты удалось получить только при очень грубых приближениях для взаимодействия БФКЛ померонов и стохастического шума в статистической формулировке. Выводы разных групп противоречат друг другу и неполны. Так, в работе [13] утверждается, что если учесть петли, то геометрический скейлинг, который следует из БК уравнения, сохраняется. При этом скорость, с которой достигается предел абсолютно черного диска становится значительно меньше. Полностью противоречат этим результатам выводы, полученые из аналогии со статистической физикой [12, 14]. Они говорят о том, что БК скейлинг меняется на так называемый диффузионный скейлинг с дополнительным л/у в знаменателе аргумента, а предел абсолютно черного диска достигается с обычной скоростью.

Таким образом, на сегодняшний день петлевой вклад для случая нелокального БФКЛ померона не найден. В настоящей диссертации предлагается новый метод его вычисления. Как было отмечено выше, при расчете померонных петель пертурбативный подход неприменим. А именно, в разложении по количеству петель в пределе больших энергий существенный вклад дают все члены ряда. Это происходит вследствие экспоненциального роста пропагатора померона. В настоящем исследовании удалось установить, что существует способ «исправить» такое поведение.

Для этого следует рассматривать не чисто адронное взаимодействие, а рассеяние адрона на ядре. В этом случае померон распространяется в поле массивной ядерной мишени. Как удалось установить, поле ядра эффективно переводит померон из сверхкритического в подкритическое состояние, и пропагатор меняет свое поведение с роста на убывание при у —»• оо .

Следовательно, в этом случае справедлив пертурбативный подход и однопетлевой вклад дает первую поправку к древесному приближению. Таким образом, основная цель данного исследования состоит в том, чтобы подтвердить факт убывания пропагатора померона в поле ядра.

Исследование нелокального БФКЛ померона само по себе представляет сложную задачу, поэтому анализ предложенного метода уместно начать с более простой локальной Реджеонной теории поля (ЛРТП) со сверхкритическим помероном. Такое исследование, наряду с результатами, которые могут быть полезны для КХД, имеет и свое собственное значение. Долгое время ЛРТП являлась основным формализмом для анализа сильных взаимодействий. При феноменологически подобранных параметрах ЛРТП достаточно хорошо описывает мягкую динамику при высоких энергиях и до сих пор остается полезным инструментом исследования. Более того, во многих случаях она работает лучше чем пертурбативная КХД. Это связано с тем, что интерсепт БФКЛ померона имеет большую величину, которую сложно сопоставить с экспериментальными данными. Как и в случае КХД, адрон-ядерные [15] и ядро-ядерные [16] столкновения в ЛРТП были рассмотрены без учета вклада петлевых диаграмм.

Особый случай представляет задача с нулевым наклона померонной траектории а' = 0 , когда теория эффективно соответствует нулевой размерности пространства прицельного параметра и допускает точное аналитическое решение. Вклад петлевых диаграмм в случае нулевой размерности поперечного пространства был довольно давно изучен теоретически [17, 18], а численное решение получено относительно недавно

19]. Как удалось установить, этот вклад существенно влияет на асимптотику при высоких энергиях и эффективно меняет сверхкритический померон на 5 слабый подкритический с эффективным интерсептом ос —ехр( 1/Л2), где Л малая константа связи трехпомеронного взаимодействия.

К сожалению, обобщить эти замечательные результаты на реальный случай двухмерного поперечного пространства довольно сложно. Во-первых, нужно рассматривать случай ненулевого наклона померонной траектории, иначе петлевой вклад будет расходиться по переменной прицельного параметра. Однако даже в древесном приближении, при а! 0 возможно только численное решение. Во-вторых, при размерности поперечного пространства ¿т = 2 требуется перенормировка ультрафиолетовых расходимостей. И наконец самое важное, метод решения при с1т = 0 , неприменим для случая йт = 2, прежде всего, потому что вместо обычных дифференциальных уравнений возникают уравнения с функциональными производными.

Суммирование всех петлевых вкладов в ¿т = 2, эквивалентно полному решению соответствующей квантовой теории поля. Эта задача выглядит практически невыполнимой, поэтому в лучшем случае удается получить некоторые частные результаты, которые помогают понять свойства модели с учетом петель в целом.

Было сделано несколько попыток рассмотреть высокоэнергетическое поведение ЛРТП со сверхкритическим помероном при ¿т = 2 в рамках различных приближений. Все они привели к противоречивым результатам. Например, в работе [20] утверждается, что фазовый переход происходит при всех значениях перенормированного интерсепта померона бО) = оХ'г) — 1 > 0- Это приводит к теории с нарушением симметрии между мишенью и снарядом, что представляет противоречие с физической точки зрения. С другой стороны, в [21] фазовый переход происходит только при значениях больших некоторой критической величины ес ) • При е(т) < €с') теория соответствует случаю подкритического померона, и сечения рассеяния убывают при высоких энергиях. При е(г) > ¿с ] сечение рассеяния

С\ растет как log s . При этом в работе не удалось обнаружить нарушение симметрии между мишенью и снарядом.

Разработанный в настоящей диссертации подход позволяет преодолеть многие трудности расчета померонных петель в dT = 2. Еще раз подчеркнем, что, вместо того чтобы решать задачу для чисто адронного рассеяния, в подходе рассматривается адрон-ядерное рассеяние и процесс распространения померона в массивной ядерной мишени. Чтобы избежать необходимость пользоваться численным решением для вклада древесных диаграмм с учетом распространения померонного каскада в пространстве прицельного параметра, был рассмотрен случай постоянной в поперечном пространстве плотности ядерной материи, в котором все результаты удалось получить в аналитическом виде. При этом удалось установить, что поле ядра меняет сверхкритический померон с интерсептом с > 0 на подкритический с интерсептом — е . В результате, разрезы Редже, которые соответствуют петлевым диаграммам, начинаются в точках ветвления левее полюса померона, и их вклад дает всего лишь поправку к вкладу веерных диаграмм при высоких энергиях.

Это свойство было показано для случая простейших петель, которые дают основной вклад в поправку к древесному приближению при малом значении константы связи Л. Так как пропагатор померона стремится к нулю с ростом быстроты экспоненциальным образом, то кажется очевидным, что более сложные петлевые диаграммы также убывают с быстротой и дают следующий вклад в поправку при Л —> оо. Таким образом, теория обладает свойствами стандартной Реджеонной теории поля с подкритическим помероном, в рамках которой применим пертурбативный подход.

Напомним, что эти результаты были получены для случая постоянного распределения ядерной материи в пространстве прицельного параметра. Это приближение выглядит довольно грубо. Более того, оно не позволяет получить убедительные результаты для физических сечений рассеяния.

В целом, обобщение результатов на случай реального ядра с убывающей плотностью ядерной материи подразумевает сложные численные расчеты. Чтобы остаться в рамках аналитических вычислений, было получено некоторое приближенное решение уравнений модели для случая реального ядра, которое занимает неограниченный объем в пространстве. Это дало возможность оценить петлевой вклад в полное сечении рассеяния и провести анализ возможности пертурбативного подходом в адрон-ядерном рассеянии с учетом померонных петель.

Как удалось установить, результаты зависят от поведения профильной функции ядра Т(Ъ) при больших значениях прицельного параметра Ь. Для конечного ядра с Т{Ь) = 0 при Ъ > Яа все выводы, сделанные для случая постоянной Т(Ь) , остаются справедливы и для анализа петлевого вклада можно пользоваться пертурбативным подходом. Однако для случая бесконечного ядра, для которого Т{Ъ) убывает при больших Ъ как экспонента, но не равна нулю при любом конечном Ь , петлевой вклад можно рассматривать с пертурбативной точки зрения только внутри ядра при малом прицельном параметре Ъ . При очень больших Ь , когда взаимодействие происходит вне основной части ядра, петлевой вклад начинает доминировать над веерными диаграммами и сечения рассеяния становятся непертурбативными.

Наиболее интересной частью настоящей работы является расширение полученых результатов на случай нелокального БФКЛ померона. Как и в локальном случае, основная идея состоит в том, что поле ядра эффективно переводит БФКЛ померон в подкритическое состояние. В диссертации приводятся аргументы в пользу такого поведения. Для этого рассматривается численное решение уравнения на пропагатор БФКЛ померона в поле ядра.

Для последнего удалось обнаружить убывание при больших быстротах.

Однако в настоящий момент нельзя дать исчерпывающее доказательство такого поведения, так как исследование основано на численных расчетах. Это означает, что для пропагатора померона берется относительно небольшой 8 набор начальных условий в уравнениях эволюции на пропагатор и древесный вклад.

Однако при выбранных начальных условиях БФКЛ пропагатор в поле ядра убывает. Таким образом, петли БФКЛ померона можно рассматривать в рамках пертурбативного подхода, и однопетлевой вклад должен давать первую поправку к древесному вкладу БФКЛ померона (решению уравнения БК). Таким образом, настоящее исследование может стать отправной точкой в решении проблемы расчета петель БФКЛ померона в адрон-ядерном рассеянии.

Текст диссертации состоит из четырех глав. В первой главе дается общее описание области исследования и ставится основная проблема -исследование петлевого вклада померонов в процессах адрон-ядерного рассеяния. Во второй главе предлагается метод учета петель, в котором, на примере локальной Реджеонной теории поля, рассматривается распространение померона в поле ядра. Приведен анализ простейших петель и дана оценка их вклада в полное сечение адрон-ядерного рассеяния. В третьей главе аналогичные результаты получены для случая реального ядра. В четвертой главе предложенный метод рассматривается для случая нелокального БФКЛ померона. С помощью численного анализа уравнения на пропагатор БФКЛ померона в поле ядра удается показать, что последний с ростом быстроты убывает. В заключении приведены основные результаты работы. Диссертация имеет список литературы из 136 источников.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю М.А. Брауну, без которого эта работа не была бы возможна. А также благодарность Г.А. Феофилову, В.В. Вечернину, М.В. Иоффе и всем другим сотрудникам кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Тарасов, Андрей Николаевич

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Физического факультета СПбГУ, на семинарах отделения теоретической физики университета г. Лунда (Швеция) и на трех международных конференциях: в Испании («Low-Х workshop -2011»), Португалии («QCD at High Density and High Energy - 2010») и Израиле («Seminar at Tel-Aviv University (Levin's 70th birthday) - 2010»). Основные материалы диссертации отражены в четырех публикациях [128, 134-136].

Заключение

Исследование петлевых вкладов померона в амплитуду рассеяния имеет большое значение при изучении реакций адрон-ядерного рассеяния. В настоящий момент эти процессы довольно подробно изучены на древесном уровне. Хорошо известное уравнение Балитского-Ковчегова суммирует все веерные диаграммы БФКЛ померона. Для больших ядер решение этого уравнения дает основной вклад в амплитуду рассеяния. Однако при очень больших энергиях это уже не так, и в процессе начинают доминировать петлевые вклады. Основная проблема здесь связана с тем, что вследствие экспоненциального роста пропагатора померона не работает пертурбативный метод решения задачи. Для того, чтобы получить правильный ответ, строго говоря, следует просуммировать петлевые вклады во всех порядках теории возмущения. В последнее время было сделано несколько попыток сделать это, однако результаты противоречат друг другу и неполны.

В настоящей диссертации предложен новый метод вычисления петлевого вклада померона, который позволяет остаться в рамках теории возмущения. Для этого предлагается учесть тот факт, что при адрон-ядерном рассеянии померон распространяется не в вакууме, а в поле массивной ядерной мишени. Оказывается, что если учесть взаимодействие с ядром, то пропагатор померона начинает убывать с ростом быстроты и пертурбативный подход начинает работать. Это интересное явление открывает новые возможности для изучения реакций рассеяния при высоких энергиях. Справедливость метода рассматривается на примере двух моделей: локальной Реджеонной теории поля и модели нелокального БФКЛ померона, которая была получена в рамках пертурбативной КХД.

Для случая локального померона дается полное теоретическое обоснование предложенного метода при постоянной функции распределения

О V-» ядерной материи. В этом случае удалось наити точное решение для пропагатора померона в поле ядра. Удалось показать, что поле ядра эффективно меняет сверхкритический померон с интерсептом

95 а(0) — 1 = е > 0 на подкритический с интерсептом —е . В результате, с ростом быстроты функция Грина померона убывает, а вклады многопомероннах обменов убывают еще быстрее согласно стандартными предсказаниями для подкритического померона.

Зная решение для пропагатора померона в поле ядра в аналитическом виде, удалось найти вклад простейших петель. Этот вклад дает первую поправку к древесному приближению. Однако как оказалось, при выбранных значениях параметров модели этот вклад не так уж и мал, несмотря на то, что петлевые вклады содержат малую константу С ~ 0.09. Это означает, что хотя предложенный подход расчета петель в целом работает, при расчете амплитуд и последующего сопоставления с экспериментальными данными требуется учитывать петли более более высокого порядка. Поэтому приведенные результаты по сечениям рассеяния следует воспринимать как иллюстративные.

Анализ показал, что для случая конечного ядра с постоянным распределением материи амплитуда рассеяния при больших быстротах стремится к постоянной величине и петли не меняют это поведение. Более того при определенном выборе константы перенормировки петлевой вклад низшего порядка стремится к нулю при у со.

Все эти результаты удалось обобщить на случай бесконечного ядра с убывающей профильной функцией Т(Ь). Это было сделано в рамках квазилокального приближения, в котором предполагается, что наклон померонной траектории а' мал и может быть положен нулю везде за исключением петель. Для последних было взято приближенное решение уравнения на пропагатор померона в поле ядра при а' —0. Как и раньше, это решение убывает с ростом быстроты, а потому для оценки петлевого вклада годится пертурбативный подход. Однако энергия при которой пропагатор начинает убывать, зависит от плотности ядерной материи. При малой плотности (вне центральной части ядра) функция Грина начинает убывать при очень больших быстротах, поэтому петлевой вклад может давать доминирующий вклад, если константа связи Л не достаточно мала.

Таким образом, хотя общее утверждение о применимости пертурбативного подхода справедливо (что характеризует параметр С ), на практике все зависит от значения константы связи Л . К сожалению, при стандартном выборе параметров модели £ ~ 1, поэтому в анализ необходимо включить петли более высоких порядков. Если взять более низкие значения Л, то петлевой вклад мал и пертурбативный подход работает.

Влияние петель проявляется в осцилляциях сечений рассеяния по быстроте. Эти осцилляции возникают потому, что при включении петель полюс померона становится комплексной величиной. Из-за отрицательного знака собственной массы померона, полюса не переходят на второй лист плоскости энергии, как в случае обычных частиц, а остаются на физическом листе и имеют ненулевую мнимую часть. При очень низких А осцилляции малы и имеют очень большой период по у.

С практической точки зрения результаты указывают на возможный экспериментальный метод измерения значения константы трехпомеронного взаимодействия А , от которого зависит поведение сечений рассеяния при высоких энергиях.

С теоретической точки зрения, полученые результаты выглядят довольно многообещающе с точки зрения расчета померонных петель в пертурбативной КХД. Основная гипотеза состоит в том, что поле ядра эффективно переводит сверхкритический БФКЛ померон в подкритическое состояние. Для того чтобы это проверить, было получено численное решение уравнения на пропагатор БФКЛ померона во внешнем поле, которое дает решение уравнения БК в ядерной материи. Удалось обнаружить, что при достаточно произвольных начальных условиях свернутый пропагатор убывает с ростом быстроты. Для случая вперед в координатном пространстве он стремится к 6 -функции. Это дает основание полагать, что полный пропагатор БФКЛ померона (с ¿»-функцией в начальном условии) в поле ядра при больших быстротах убывает.

Эти результаты могут стать основой для пертурбативного расчета петлевых вкладов в поле ядра. Однако на этом пути возникает ряд сложностей. Строго говоря, уравнения модели допускают только численное решение. Однако даже простейшие петли содержат большое количество пространственных точек, по которым необходимо провести интегрирование. Кажется более эффективным, попытаться найти некоторую приближенную форму БФКЛ пропагатора в поле ядра, с помощью которой эти интегрирования можно выполнить более эффективно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тарасов, Андрей Николаевич, 2011 год

1. Balitsky I. Operator expansion for high-energy scattering // Nucl. Phys. B. -1996-Vol. 463.-Pp. 99-157.

2. Kovchegov Y. V. Small-x F2 structure function of a nucleus including multiple Pomeron exchanges II Phys. Rev. D. 1999 - Vol. 60. - p. 034008.

3. Kovchegov Y. V. Unitarization of the BFKL Pomeron on a nucleus // Phys. Rev. D. 2000 - Vol. 61. - p. 074018.

4. Braun M. Structure function of the nucleus in the perturbative QCD (BFKL pomeron fan diagrams) 11 Eur. Phys. J. C. 2000 - Vol. 16. - Pp. 337-347.

5. Peschanski R. Dual Shapiro-Virasoro amplitudes in the dipole picture of QCD at small x 11 Phys. Lett. B. 1997 - Vol. 409. - Pp. 491-498.

6. Bartels J., Ryskin M.G., Vacca G.P. On the triple-Pomeron vertex in perturbative QCD 11 Eur. Phys. J. C. 2003 - Vol. 27. - Pp. 101-113.

7. Braun M.A. Pomeron loops in the perturbative QCD with large Nc 11 Eur. Phys. J. C. 2009 - Vol. 63. - Pp. 287-296.

8. Iancu E., Triantafyllopoulos D.N. A Langevin equation for high-energy evolution with pomeron loops // Nucl. Phys. A. 2005 - Vol. 756. - Pp. 419-467.

9. Mueller A.H., Shoshi A.I., Wong S.M.H. Extension of the JIMWLK equation in the low gluon density region // Nucl. Phys. B. 2005 - Vol. 715. - Pp. 440-460.

10. Levin E., Lublinsky M. Towards a symmetric approach to high energy evolution: Generating functional with pomeron loops // Nucl. Phys. A. 2005 - Vol. 763. - Pp. 172-196.

11. Levin E. High energy amplitude in the dipole approach with pomeron loops: asymptotic solution 11 Nucl. Phys. A. 2005 - Vol. 763. - Pp. 140-171.

12. Marquet C., Peschanski R., Soyez G. Consequences of strong fluctuations on high-energy QCD evolution I I Phys. Rev. D. 2006 - Vol. 73. - p. 114005.

13. Levin E., Miller J., Prygarin A. Summing pomeron loops in the dipole approach II Nucl. Phys. A. 2008 - Vol. 806. - Pp. 245-286.

14. Soyez G. QCD at High Energy: Saturation and Fluctuation Effects 11 Acta. Phys. Pol. B. 2006 - Vol. 37. - Pp. 3477-3510.99

15. Schwimmer A. Inelastic rescattering and high-energy reactions on nuclei // Nucl. Phys. B. 1975 - Vol. 94. - Pp. 445-459.

16. Amati D., Caneschi L., Jengo R. Summing pomeron trees // Nucl. Phys. B. -1975 -Vol. 101.-Pp. 397-410.

17. Alessandrini V., Amati D., Jengo R. One-dimensional quantum theory of the pomeron // Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 108. - Pp. 425-446.

18. Ciafaloni M., Le Bellac M., Rossi G.C. Reggeon quantum mechanics: A critical discussion /I Nucl, Phys. B. 1977 - Vol. 130. - Pp. 388-428.

19. Braun M.A., Vacca G.P. On the dT=0 toy model in reggeon field theory // Eur. Phys. J. C. 2007 - Vol. 50. - Pp. 857-869.

20. Abarbanel Henry D.I., Bronzan J.B,. Schwimmer A., Sugar R.L. Intercept of the Pomeron // Phys. Rev. D. 1976 - Vol. 14. - Pp. 632-646.

21. Amati D., Le Bellac M, Marchesini G., Ciafaloni M. Reggeon field theory for a(0) > 1 // Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 112. - Pp. 107-149.

22. Gribov V.N. Possible asymptotic behavior of elastic scattering // Sov. Phys. JETP. 1962 - Vol. 14. - p. 478.

23. Chew G.F., Frautschi S.C. Principle of Equivalence for all Strongly Interacting Particles within the S-Matrix Framework // Phys. Rev. Lett. 1961 -Vol. 7. - Pp. 394-397.

24. Blankenbecler R., Goldberger M.L. Behavior of Scattering Amplitudes at High Energies, Bound States, and Resonances // Phys. Rev. 1962 - Vol. 126. - Pp. 766-786.

25. Regge T. Introduction to complex orbital momenta // Nuovo Cim. 1959 - Vol. 14.-Pp. 951-976.

26. Amati D., Stanghellini A., Fubini S. Theory of high-energy scattering and multiple production /7 Nuovo Cim. 1962 - Vol. 26. - Pp. 896-954.

27. Mandelstam S. The regge formalism for relativistic particles with spin // Nuovo Cim. 1963 - Vol. 30. - Pp. 1113-1126.

28. Polkinghorne J.C. High-Energy Behavior in Perturbation Theory // J. Math. Phys. 1963 - Vol. 4. - Pp. 1396-1401.

29. Gribov V.N. A Reggeon Diagram Technique 11 Sov. Phys. JETP. 1968 - Vol. 26.-Pp. 414-422.

30. Ter-Martirosyan K.A. Multiple rescattering at high energy particle interaction // Sov. J. Nucl Phys. 1970 - Vol. 10. - Pp. 600-608.

31. Gribov V.N., PomeranchukI.Ya., Ter-Martirosyan K.A. Moving Branch Points in j Plane and Regge-Pole Unitarity Conditions // Phys. Rev. 1965 - Vol. 139. -Pp. B184-B202.

32. Gribov V.N., Pomeranchuk I.Ya., Ter-Martirosyan K.A. Formation of mesic atoms in the decay of heavy hypernuclei // Sov. J. Nucl. Phys. 1965 - Vol. 2. - Pp. 258-260.

33. White A.R. Reggeon cut discontinuities from unitarity (I). The reggeon-particle cut II Nucl. Phys. B. 1972 - Vol. 50. - Pp. 93-129.

34. White A.R. Analytic continuation of the two-Reggeon-cut discontinuity formula II Phys. Rev. D. 1974 - Vol. 10. - Pp. 1236-1245.

35. Goddard P., White A.R. Complex helicity and the sommerfeld-watson transformation of group-theoretic expansions // Nuovo Cim. A. 1971 - Vol. 1. -Pp. 645-679.

36. White A.R. The signatured Froissart-Gribov continuation of multiparticle amplitudes to complex helicity and angular momentum // Nucl. Phys. B. 1972 -Vol. 39. - Pp. 432-460.

37. Kaidalov A.B. Diffractive production mechanisms // Phys. Rep. 1979 - Vol. 50. - Pp. 157-226.

38. Moshe M. Recent developments in Reggeon field theory // Phys. Rep. 1978 -Vol. 37. - Pp. 255-345.

39. Abarbanel Henry D.I., Bronzan J.D., Sugar R.L., White A.R. Reggeon field theory: Formulation and use 11 Phys. Rep. 1975 - Vol. 21. - Pp. 119-182.

40. Baker M., Ter-Martirosyan K.A. Gribov's Reggeon calculus: Its physical basis and implications // Phys. Rep. 1976 - Vol. 28. - Pp. 1-143.

41. Amati D., Stanghellini A., Fubini S. Theory of high-energy scattering and multiple production II Nuovo Cim. 1962 - Vol. 26. - Pp. 896-954.

42. Foa L. Inclusive study of high-energy multiparticle production and two-body correlations // Phys. Rep. 1975 - Vol. 22. - Pp. 1-56.

43. Migdal A.A., Polyakov A.M., Ter-Martirosyan K.A. Theory of interacting Pomerons II Phys. Lett. B. 1974 - Vol. 48. - Pp. 239-242.

44. Abarbanel Henry D.I., Bronzan J.B. Pomeranchuk singularity in a Reggeon field theory with quartic couplings // Phys. Rev. D. 1974 - Vol. 9. - Pp. 3304-3312.

45. Brower R.C., Ellis J. An asymptotically free Reggeon field theory 11 Phys. Lett. В. 1974 - Vol. 51. - Pp. 242-246.

46. Calucci G., Jengo R. Renormalization group analysis of the theory of interacting pomerons // Nucl. Phys. B. 1975 - Vol. 84. - Pp. 413-436.

47. Bardeen W.A., Dash J.W., Pinsky S.S., Rabl V. Infrared behavior of the Reggeon field theory for the Pomeron // Phys. Rev. D. 1975 - Vol. 12. - Pp. 1820-1828.

48. Wilson K.G., Kogut J. The renormalization group and the e expansion 11 Phys. Rep. 1974 - Vol. 12. - Pp. 75-199.

49. Ma S.K. Introduction to the Renormalization Group // Rev. Mod. Phys. 1973 -Vol. 45. - Pp. 589-614.

50. Грибов B.H., Мигдал A.A. Свойства полюса Померанчука и связанных с ним ветвлений при малых переданных амплитудах // ЯФ. 1968 - Т. 8. - Сс. 1002-1015.

51. Грибов В.Н., Мигдал А.А. Квазистабильный полюс Померанчука и дифракционное рассеяние при сверхвысоких энергиях // ЯФ. 1968 - Т. 8. -Сс. 1213-1226.

52. Грибов В.Н., Мигдал А.А. Сильная связь в задаче о полюсе Померанчука ПЖЭТФ. 1968 - Т. 55. - Сс. 1498-1520.

53. Мигдал А.А., Поляков A.M., Тер-Мартиросян К.А. Теория взаимодействующих померонов и адронные реакции при высокой энергии // ЖЭТФ. 1974 - Т. 67. - Сс. 848-848.

54. Abarbanel H.D.I., Bronzan J.B. Structure of the vacuum singularity in Reggeon field theoryLett. B. 1974 - Vol. 48. - Pp. 345-348.102

55. Abarbanel H.D.I., Bronzan J.B. Structure of the Pomeranchuk singularity in Reggeon field theory //Phys. Rev. D. 1974 - Vol. 9. - Pp. 2397-2410.

56. Bronzan J.В., Dash J. W. Higher order e-terms in the renormalization group approach to Reggeon field theory // Phys. Lett. B. 1974 - Vol. 51. - Pp. 496-498.

57. Bronzan J.В., Dash J. W. Higher-order 8 terms in Reggeon field theory // Phys. Rev. D. 1974 - Vol. 10. - Pp. 4208-4217.

58. Cardy J.L. General features of the reggeon calculus with a > 1 // Nucl. Phys. B. 1974 - Vol. 75. - Pp. 413-425.

59. Amati D., Jengo R. The origin of a high-energy scale in the Pomeron calculus II Phys. Lett. B. 1975 - Vol. 56. - Pp. 465-469.

60. Amati D., Marchesini G., Ciafaloni M., Parisi G. Expanding disc as a dynamical vacuum instability in reggeon field theory // Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 114. - Pp. 483-504.

61. Czechowski A. Reggeon field with non-vanishing vacuum expectation value // Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 113. - Pp. 323-335.

62. Dubovikov M.S., Kopeliovich B.Z., Lapidus L.I., Ter-Martirosyan K.A. Dynamics of froissarons in high-energy physics // Nucl. Phys. B. 1977 - Vol. 123. -Pp. 147-172.

63. Dubovikov M.S., Ter-Martirosyan K.A. Theory of the froissaron exchange // Nucl. Phys. B. 1977 - Vol. 124. - Pp. 163-188.

64. Levin E.M., Ryskin M.G. A Simple Interpretation of the Reggeon Cutting Rules // Yad. Fiz. 1977 - Vol. 25. - Pp. 849-852.

65. Frazer W.R., Henyey F.S. Representation of the supercritical Pomeron propagator // Phys. Lett. B. 1977 - Vol. 69. - Pp. 202-206.

66. Frazer W.R., Hoffman H., Fulco J.R., Sugar R.L. Representations of the Pomeron propagator // Phys. Rev. D. 1976 - Vol. 14. - Pp. 2387-2401.

67. Udgaonkar B.M., Gell-Mann M. High-Energy Nuclear Scattering and Regge Poles II Phys. Rev. Lett. 1962 - Vol. 8. - Pp. 346-349.

68. Грибов B.H. Глауберовские поправки и взаимодействие адронов с ядрами при высоких энергиях // ЖЭТФ. 1969 - Т. 56. - с. 892.

69. Kancheli O. V. Inelastic interactions of fast hadrons with nuclei // JETP. Lett. -1973 -Vol. 18.-p. 274.

70. Lehman E. A new contribution to deuteron screening at high energies // Phys. Lett. B. 1974 - Vol. 51. - Pp. 263-266.

71. Lehman E.S., Winbow G.A. Reggeon-calculus approach to high-energy scattering on nuclei II Phys. Rev. D. 1974 - Vol. 10. - Pp. 2962-2973.

72. Winbow G.A. High-energy total cross sections on nuclei // Phys. Rev. D. -1977-Vol. 15.-Pp. 303-308.

73. Alper B. et al. Production spectra of 7i±, K±, p± at large angles in protonproton collisions in the CERN intersecting storage rings // Nucl. Phys. B. 1975 -Vol. 100. - Pp. 237-290.

74. Ciafaloni M., Marchesini G. Inclusive distributions for a pomeron above one II Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 109. - Pp. 261-285.

75. Moshe M., Paige F.E. Cut Reggeon field theory in the triple-Regge region // Phys. Rev. D. 1977 - Vol. 16. - Pp. 869-884.

76. Abers E.S., Lee B. W. Gauge theories // Phys. Rep. 1973 - Vol. 9. - Pp. 1-2.

77. Gel-Mann M., Goldbeger M.L. Elementary Particles of Conventional Field Theory as Regge Poles // Phys. Rev. Lett. 1962 - Vol. 9. - Pp. 275-277.

78. Gel-Mann M., Goldbeger M.L., Low F.E., Marx E., Zachariasen F. Elementary Particles of Conventional Field Theory as Regge Poles // Phys. Rev.1964 Vol. 133. - Pp. B145-B160.

79. Polkinghorne J. C. Asymptotic Behavior of Feynman Integrals with Spin // J. Math. Phys. 1964 - Vol. 5. - Pp. 1491-1499.

80. Mandelstam S. Non-Regge Terms in the Vector-Spinor Theory // Phys. Rev.1965 Vol. 137. - Pp. B949-B954.

81. Mason A.L., Factorization and hence reggeization in massive QED // Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 104. - Pp. 141-170.

82. Mason A.L., Factorization and hence reggeization in Yang-Mills theories // Nucl. Phys. B. 1976 - Vol. 117. - Pp. 493-518.

83. Sen A. Asymptotic behavior of the fermion and gluon exchange amplitudes in massive quantum electrodynamics in the Regge limit // Phys. Rev. D. 1983 - Vol. 27. - Pp. 2997-3026.

84. Tiburski L. Reggeization of the fermion-fermion scattering amplitude in non-Abelian gauge theories II Phys. Rev. D. 1976 - Vol. 13. - Pp. 1107-1130.

85. Frankfurt L.L., Sherman V.E. Reggeization of vector meson and vacuum singularity in renormalizable Yang-Mills models // Sov. J. Nucl. Phys. 1976 - Vol. 23.-p. 581.

86. Lipatov L.N. Reggeization of the Vector Meson and the Vacuum Singularity in Nonabelian Gauge Theories // Sov. J. Nucl. Phys. 1976 - Vol. 23. - Pp. 338-345.

87. Lo C.Y., Cheng H. High-energy amplitudes of Yang-Mills theory in the eighth order //Phys. Rev. D. 1976 - Vol. 13. - Pp. 1131-1133.

88. Mason A.L. Radiation gauge calculation of high-energy scattering amplitudes I/Nucl. Phys. B. 1977 - Vol. 120. - Pp. 275-300.

89. Cheng H., Lo C. Y. High-energy amplitudes of Yang-Mills theory in arbitrary perturbative orders II Phys. Rev. D. 1977 - Vol. 15. - Pp. 2959-2978.

90. Kuraev E.A., Lipatov L.N., Fadin V.S. Multi Reggeon Processes in the Yang-Mills Theory // Sov. Phys. JETP. - 1976 - Vol. 44. - Pp. 443-450.

91. Balitsky 1.1., Lipatov L.N. The Pomeranchuk Singularity in Quantum Chromodynamics // Sov.J.Nucl.Phys. 1978 - Vol. 28. - Pp. 822-829.

92. Lipatov L.N. The Bare Pomeron in Quantum Chromodynamics // Sov. Phys. JETP. 1986 - Vol. 63. - Pp. 904-912.

93. Gribov L.V., Levin E.M., Ryskin M.G. Semihard processes in QCD // Phys. Rep. 1983 - Vol. 100. - Pp. 1-150.

94. Bartels J. Unitarity corrections to the Lipatov Pomeron and the four-gluon operator in deep inelastic scattering in QCD // Z. Phys. C. 1993 - Vol. 60. - Pp. 471-488.

95. Bartels J., Wusthoff M. The triple regge limit of diffractive dissociation in deep inelastic scattering // Z. Phys. C. 1995 - Vol. 66. - Pp. 157-179.

96. Bartels J., Ewerz C. Unitarity corrections in high-energy QCD // JHEP. 1999 - Vol. 9909. - p. 026.

97. Ewerz C. Conformal invariance of unitarity corrections // Phys. Lett. B. 2001 -Vol. 512.-Pp. 239-246.

98. Ewerz C., Schatz V. How Pomerons meet in coloured glass // Nucl. Phys. A. -2004-Vol. 736.-Pp. 371-404.

99. Bittig T., Ewerz C. Diffraction, the Color Glass Condensate and String Theory II Nucl. Phys. A. 2005 - Vol. 755. - Pp. 616-621.

100. Braun M. Nucleus-nucleus scattering in perturbative QCD // Phys. Lett. B. -2000-Vol. 483.-Pp. 115-123.

101. Braun M.A. Nucleus-nucleus interaction in the perturbative QCD // Ear. Phys. J. C. 2004 - Vol. 33. - Pp. 113-122.

102. Braun M. Conformal invariant equations for nucleus-nucleus scattering in perturbative QCD // Phys. Lett. B. 2006 - Vol. 632. - Pp. 297-304.

103. Braun M.A. Conformally invariant pomeron interaction in perturbative QCD with large Nc II Eur. Phys. J. C. 2006 - Vol. 48. - Pp. 511-522.

104. Braun M., Vacca G.P Triple pomeron vertex // Eur. Phys. J. C. 1999 - Vol. 6. - Pp. 147-157.

105. Nikolaev N.N., Zakharov B.G. Colour transparency and scaling properties of nuclear shadowing in deep inelastic scattering // Z. Phys. C. 1991 - Vol. 49. - Pp. 607-618.

106. Nikolaev N.N., Zakharov B.G. On determination of the large-1/x gluon distribution at HERA//Phys. Lett. B. 1994 - Vol. 332. - Pp. 184-190.

107. Mueller A.H. Soft gluons in the infinite-momentum wave function and the BFKL pomeron // Nucl. Phys. B. 1994 - Vol. 415. - Pp. 373-385.

108. Mueller A.H., Patel B. Single and double BFKL pomeron exchange and a dipole picture of high energy hard processes // Nucl. Phys. B. 1994 - Vol. 425. -Pp. 471-488.

109. Mueller A.H. Unitarity and the BFKL pomeron II Nucl. Phys. B. 1995 - Vol. 437. - Pp. 107-126.

110. Levin E., Tuchin K. New scaling in high energy DIS // Nucl. Phys. A. 2001 -Vol. 691.-Pp. 779-790.

111. Levin E., Tuchin K. Nonlinear evolution and saturation for heavy nuclei in DIS II Nucl. Phys. A. 2001 - Vol. 693. - Pp. 787-798.

112. Munier S., Peschanski R. Geometric Scaling as Traveling Waves // Phys. Rev. Lett. 2003 - Vol. 91. - p. 232001.

113. Munier S., Peschanski R. Traveling wave fronts and the transition to saturation // Phys. Rev. D. 2004 - Vol. 69. - p. 034008.

114. Munier S., Peschanski R. Universality and tree structure of high-energy QCD // Phys. Rev. D. 2004 - Vol. 70. - p. 077503.

115. Stasto A.M., Golec-Biernat K., Kwiecinski J. Geometric Scaling for the Total y*p Cross Section in the Low x Region // Phys. Rev. Lett. 2001 - Vol. 86. - Pp. 596-599.

116. Kovner A., Wiedemann U.A. Nonlinear QCD evolution: Saturation without unitarization //Phys. Rev. D. 2002 - Vol. 66. - p. 051502(R).

117. Kovner A., Wiedemann U.A. No Froissart bound from gluon saturation // Phys. Lett. B. 2003 - Vol. 551. - Pp. 311-316.

118. Ferreiro E., Iancu E., Itakura K., McLerran L. Froissart bound from gluon saturation II Nucl. Phys. A. 2002 - Vol. 710. - Pp. 373-414.

119. Golec-Biernat K., Stasto A.M. On solutions of the Balitsky-Kovchegov equation with impact parameter // Nucl. Phys. B. 2003 - Vol. 668. - Pp. 345-363.

120. Gotsman E., Kozlov M., Levin E., Maor U., Naftali E. Towards a new global QCD analysis: solution to the Balitsky-Kovchegov nonlinear equation at arbitrary impact parameter // Nucl. Phys. A. 2004 - Vol. 742. - Pp. 55-79.

121. Marquet C., Soyez G. The Balitsky-Kovchegov equation in full momentum space // Nucl. Phys. A. 2005 - Vol. 760. - Pp. 208-222.

122. Braun M.A. Pomeron fan diagrams with an infrared cutoff and running coupling II Phys. Lett. B. 2003 - Vol. 576. - Pp. 115-121.

123. Golec-Biernat K., Motyka L., Stasto A.M. Diffusion into infrared and unitarization of the Balitskii-Fadin-Kuraev-Lipatov Pomeron // Phys. Rev. D. -2002-Vol. 65.-p. 074037.

124. Albacete J.L., Armesto N., Milhano J.G., Salgado C.A., Wiedemann U.A. Numerical analysis of the Balitsky-Kovchegov equation with running coupling:107

125. Dependence of the saturation scale on nuclear size and rapidity // Phys. Rev. D. -2005 -Vol. 71.-p. 014003.

126. Blaizot J.P., Iancu E., Itakura K., Triantafyllopoulos D.N. Duality and pomeron effective theory for QCD at high energy and large Nc // Phys. Lett. B. -2005 Vol. 615. - Pp. 221-230.

127. Iancu E., Triantafyllopulos D.N. Non-linear QCD evolution with improved triple-pomeron vertices II Phys. Lett. B. 2005 - Vol. 610. - Pp. 253-261.

128. Bondarenko S. Langevin equation in effective theory of interacting QCD pomerons in the limit of large Nc // Nucl. Phys. A. 2007 - Vol. 792. - Pp. 264-287.

129. Браун M.A., Тарасов A.H. Учет ненулевого наклона померонной траектории в модели Швиммера // Вест. СПбГУ. Сер. 4. 2009 - Т. 47. - Сс. 46-54.

130. Gotsman Е., Kormilitzin A., Levin Е., Maor U. QCD motivated approach to soft interactions at high energies: Nucleus-nucleus and hadron-nucleus collisions II Nucl. Phys. A. 2010 - Vol. 842. - Pp. 82-101.

131. Lipatov L.N. Pomeron in Quantum Chromodynamics // Perturbative Quantum Chromodynamics. World Scientific, Singapore: 1989. - P. 411.

132. Peschanski R. Traveling wave solution of the Reggeon field theory // Phys. Rev. D. 2009 - Vol. 79. - p. 105014.

133. Berger J., Stasto A.M. Numerical solution of the nonlinear evolution equation at small x with impact parameter and beyond the leading logarithmic approximation // Phys. Rev. D. 2011 - Vol. 83. - p. 034015.

134. Marquet C., Peschanski R., Soyez G. Traveling waves and geometric scaling at nonzero momentum transfer // Nucl. Phys. A. 2005 - Vol. 756. - Pp. 399-418.

135. Braun M.A., Tarasov A.N. Loops in the reggeon model for hA scattering // Eur. Phys. J. C. 2008 - Vol. 58. - Pp. 383-394.

136. Braun M.A., Tarasov A. Hadron-nucleus scattering in the local reggeon model with pomeron loops for realistic nuclei // Eur. Phys. J. C. 2010 - Vol. 69. -Pp. 75-83.

137. Braun M.A., Tarasov A.N. BFKL pomeron propagator in the external field of the nucleus II Nucl. Phys. B. 2011 - Vol. 851. - Pp. 533-550.108