Амплитуды КХД с кварковым обменом при высокой энергии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Богдан, Андрей Владимирович

• Богдан, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богдан, Андрей Владимирович

Введение

От мягких к полужестким процессам.

Реджезация элементарных частиц.

БФКЛ померон.

Реджеонные обмены.

Глава 1: Доказательство мультиреджевской формы амплитуды

1.1 Мультиреджевская форма амплитуды.

1.2 Квази-мультиреджевская форма амплитуды.

1.3 Соотношения бутстрапа.

1.4 Вычисления скачков.

1.5 Условия бутстрапа на реджеонные вершины.

Глава 2: Упругая амплитуда в СГЛП

2.1 Структура амплитуды кварк-глюонного рассеяния

2.2 Гипотеза о реджевской форме амплитуды.

2.3 Проекция на борновскую амплитуду.

2.4 Реджевский предел одно- и двух- петлевых вычислений.

Глава 3: Анализ СГЛП из соотношений унитарности

3.1 Обозначения и метод вычислений

3.2 Двухчастичный вклад в скачок.

3.3 Трехчастичный вклад в скачок.

Фрагментация на два глюона.

Фрагментация в кварк-глюон.

Фрагментации в кварк-антикварк.

3.4 Двухпетлевая поправка к траектории кварка.

Глава 4: Вычисление вершины реджезованный кварк - реджезованный кварк - глюон

4.1 Неупругая амплитуда в СГЛП.

4.2 t-канальный скачок.

4.3 Поправка к вершине ЧЧР.

4.4 Радиационные поправки к вершине РРЧ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Амплитуды КХД с кварковым обменом при высокой энергии»

От мягких к полужестким процессам

Физика адронов описывается теорией сильных взаимодействий. Ее современной общепризнанной реализацией является квантовая хромодинамика (КХД) — теория квантовых полей, основанная на неабелевой калибровочной группе SU(3). Математическая структура КХД слишком сложна для нахождения точных решений, и для современных предсказаний КХД применяются приближенные схемы, изначально разделяемые на методы теории возмущений — пертурбативная КХД (пКХД) и непертурбативные методы. Последние используют при описании мягких непертурбативных процессов, сопровождающих адрониые взаимодействия. Этим процессам соответствуют большие характерные масштабы rsoft ~ -Rhadron и сечения <7soft ~ R\. Одна из важнейших задач КХД — построение теоретической связи между наблюдаемыми адронами и мезонами и пертурбативными кварковыми и глюонными степенями свободы. Базисом применения теории возмущений является существование для некоторых измеримых величин теорем о факторизации, позволяющих разделить физику малых расстояний (пер-турбативную) и неиертурбативную физику наблюдаемых адронов. Важное значение при применении этих теорем играет число и относительное значение жестких масштабов вовлеченных в процесс.

Примером процессов с одним жестким масштабом служат процессы, в которых объект с высокой виртуальностью Q2 1/^hadron выбивает из адрона партон, несущий существенную х ~ 1 порцию исходной энергии адрона. Такие процессы глубоко неупругого рассеяния относят к жестким, они происходят на малых расстояниях гьага ~ и> благодаря свойству КХД — асимптотической свободе, могут быть проанализированы в пКХД. Типичный масштаб сечений жестких процессов довольно мал Chard ~ 1 /Q2 Rl- Подход к анализу инклюзивных процессов в подобной кинематике — когда энергия в системе центра масс y/s одного порядка с виртуальностью Q — базируется на коллинеарной факторизации [1], позволяющей разделить пертурбативную и непертурбативную части амплитуды рассеяния, и на уравнении эволюции ДГЛАП (Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи) (2). Последнее позволяет вычислить эволюцию структурных функций по Q2. Эта эволюция определяется ядром уравнения, вычисляемым в теории возмущений, в то время как непертурбатив-ная часть отфакторизована в начальные условия уравнения ДГЛАП.

Появление коллайдеров высоких энергии: HERA, RHIC, TEVATRON, а так же планирование экспериментов на будущих коллайдерах, таких как LHC, ILC (TESLA), открыло новую эру так называемых полужестких процессов, имеющих два сильно упорядоченных энергетических масштаба: s » Q2 » 1 /Rfo. В этих процессах из адрона выбивается небольшой объект ~ 1/ ^Q2 с соответствующей малой порцией энергии исходного адрона Q2/s ~ х «С 1. Оказывается, что число малых партонов с малым сечением crparton ~ 1 /Q2 может достигать Q2R2V что к приводит к сечениям crsemiimni ~ jRhadron- Но, в отличие от мягких процессов, малые расстояния полужестких процессов rsemihm-d ~ 1 / л/Q2 -Rhadron обеспечивают as(Q2) С 1, что делает возможным применять теорию возмущений к изучению полужестких процессов.

Пертурбативный анализ полужестких процессов столкнулся с определенными математическими трудностями. Малость х приводит к существованию больших логарифмов 1/х, таких что as(Q2) ln(l/j;) ~ 1. Величины, усиленные степенями таких логарифмов, должны быть просуммированы во всех порядках теории возмущений. Однако можно сконцентрироваться на суммировании если не всего ряда, то его части, содержащей наибольшие степени 1п(1/аг). Учет всех членов вида и^Вогп) [as(Q2) 1п(1/ж)]п называется главным логарифмическим приближением (ГЛП) по 1п(1/х).

Реджезация элементарных частиц

Один из наиболее плодотворных методов теоретического исследования полужестких процессов в КХД является в настоящее время метод БФКЛ

Балицкий-Фадин-Кураев-Липатов) [3,4], использующий замечательное свойство КХД — реджезацию глюона.

Частица Р массы три спина Jp реджезуется, если асимптотика s —» оо амплитуды, включающей обмен в t-канале квантовыми числами этой частицы, дается фактором Редже В этом случае говорят об обмене реджезованиой частицей или реджеоном. Функция jp(t) называется траекторией Редже этой частицы и обладает свойством jp(m2p) = Jp. Она описывает движение полюса в плоскости комплексного углового момента j. В понятие реджезации в КХД включается не только существование редже-онов с квантовыми числами и траекториями кварка и глюона, но также и то, что в ГЛП все амплитуды в мультиреджевской кинематике (МРК) определяются только обменом реджеоном. То есть в высокоэнергетическом пределе МРК остаются только амплитуды с обменом квантовыми числами реджеонов (что в частности означает цветовой октет для глюонных обменов и цветовой триплет для фермионных обменов). В отличие от обычных частиц реджеон обладает дополнительным квантовым числом —. сигнатурой. Реджезованный глюон обладает отрицательной сигнатурой, то есть в пределе s —» оо вклад в упругую амплитуду от обмена этим реджеоном нечетен относительно замены s и. Реджезованный кварк — положительной. Например, виртуальные радиационные поправки в ГЛП к амплитуде партон- партонного рассеяния с отрицательной сигнатурой и преобразующейся по октетному представлению цветовой группы, могут быть получены во всех порядках теории возмущений по as заменой

При этом амплитуда упругого рассеяния с обменом реджезованным глюо-ном примет особую реджевскую форму: где Г, Г — эффективные вершины частица-частица-реджеон (ЧЧР). Подобная реджевская форма амплитуды является требующей доказательства

Л = г1 2 Г гипотезой.

Исследование реджезации элементарных частиц в квантовой электродинамике (КЭД) было начато Гелл-Маном с соавторами [5] и Полкингор-ном [6], показавшим, что электрон реджезуется. Манделстамом [7] были предложены условия, необходимые для реджезации, рассматриваемые в последствие несколькими авторами [8]. Мак-Коем и By [9], и другими авторами [10] была продемонстрирована реджезация электрона для случая массивной КЭД. В отличие от электрона, фотон в КЭД не реджезуется [7]. В работе [11] было показано, что критерий реджезации, сформулированный Манделстамом [7], выполняется в неабелевых калибровочных теориях для векторных и спинорных частиц. Прямым вычислением амплитуд рассеяния в ГЛП до шестого порядка теории возмущений Липатовым продемонстрирована реджезация векторного мезона для случая калибровочной группы SU(2) [12]. Позднее этот результат был обобщен на другие модели [13]. Результаты расчета шестого порядка были подтверждены рядом работ [14]. Мультиреджевская форма амплитуд с обменом векторным мезоном в ГЛП была доказана во всех порядках теории возмущений в 1979 г. [15] (доказательство для КХД в следующем за главным логарифмическом приближении (СГЛП) было окончательно проведено в 2006 году [16]). Так же амплитуды рассеяния в теории Янга-Миллса в реджевском пределе во всех порядках теории возмущений были рассмотрены Майсоном [17], использовавшим кулоновскуго калибровку в нековариантной теории возмущений, и Ченгом и Ло [18], разработавшими рекуррентные соотношения для вычисления ГЛП амплитуд в реджевском пределе в высших порядках теории возмущений.

Следующий важный шаг был сделан Кураевым, Липатовым и Фади-ным [3]. Используя технику, основанную на дисперсионных соотношениях, и результаты вычислений в 8~м порядке теории возмущений, они показали, что в МРК 2 —> п амплитуда с обменом квантовыми числами векторного мезона дается лестничной диаграммой с реджезованными векторными мезонами в i-канале. Было получено уравнение, суммирующее подобные лестницы в ГЛП во всех порядках по as, и найдена форма амплитуды при s —> оо. Балицкий и Липатов продемонстрировали применение этого уравнения при исследовании амплитуды 7*7*-рассеяния [4]. В это же время Бартелс [19] а также Бронзаи и Шуга [20] получили уравнения, следующие из реджеонной теории поля [21]. В своих работах они исследовали особенность с фиксированными квантовыми числами в £-канале, предполагая что она проявляется как связанное состояние двух реджезованных векторных мезонов.

Реджезация фермиона в неабелевой калибровочной теории была продемонстрирована в работе Фадина и.Шермана [22]. Амплитуды упругих процессов с обменом фермионом в канале с малым переданным импульсом были вычислены до шестого порядка теории возмущений в ГЛП. Для этого был использован дисперсионный метод вычисления амплитуд, развитый при исследовании реджезации векторного мезона. Расчеты показали, что как в случае с векторным мезоном, упругие и неупругие амплитуды имеют простой реджевский вид, который был обобщен на все порядки теории возмущений. Используя это обобщение Фадин и Шерман построили интегральные уравнения для парциальных амплитуд упругих процессов с фер-мионным обменом. Решение этих уравнений для положительной сигнатуры показало, что в ГЛП фермион реджезуется и предложенный реджевский вид амплитуд самосогласован.

БФКЛ померон

Поведение амплитуд рассеяния при больших энергиях s1//2 и фиксированных переданных импульсах = {-t)1!2 ~ т определяется сингуляркостями ^-канальных парциальных воли в комплексной плоскости углового момента j [23]. Наибольший интерес вызывает природа померанчуков-ской сингулярности в канале с вакуумными квантовыми числами. В теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N) померанчуковская сингулярность в ГЛП возникает как связанное состояние двух реджезованных глюонов. Соответствующие парциальные волны имеют неподвижную корневую особенность при jQ — 1 + g2N\n(2)/'K2 [3]. Степенное поведение сечения aQ^ ~ (s)-70-1, продемонстрированное в работе [4], находится в качественном согласии с экспериментальными данными, однако оно получено в ГЛП, обладающем рядом существенных недостатков, уменьшающих его предсказательную силу: в ГЛП не фиксирован ни масштаб энергии ни аргумент степенной рост полного сечение рассеяния частиц 0"totai ~ 50'55 (для as & 0.2) нарушает унитарный предел скорости роста сечения: crtotai < cln2(s), определенный теоремой Фруассара [24]. Для решения первых двух проблем необходимо вычисление поправок к результатам ГЛП. В следующем за главным логарифмическом приближении представление амплитуд в виде свертки импакт-факторов и функции Грина двух взаимодействующих реджезованных глюонов, а так же уравнение БФКЛ для этой функции сохраняют свою форму [25]. Таким образом, задача построения СГЛП была сведена к задаче вычисления поправок к импакт-факторам и ядру уравнения БФКЛ. Для рассеяния вперед и вакуумных квантовых чисел в ^-канале задача была решена в 1998 году [26]. Вычисление ядра при t ф 0 для всех возможных квантовых чисел в ^-канале было окончательно закончено в 2005 году [27]. На сегодняшний день вычислены СГЛП поправки к импакт-факторам кварка и глюона [28], а также перехода фотона в векторный мезон [29]. Однако наиболее интересный из импакт-факторов физических частиц (так как может быть вычислен полностью в рамках пКХД) импакт-фактор глубоко-виртуального фотона до сих пор не вычислен в СГЛП.

Оказалось, что СГЛП поправки, полученные в схеме MS, слишком велики и сильно зависят от схемы перенормировки. Это обстоятельство потребовало 11 пересуммирования11 ряда для ядра уравнения БФКЛ. Наиболее перспективным здесь представляется синтез двух подходов: использование неабелевых физических схем перенормировок с устраняющим неопределенность в масштабе перенормировки BLM (Brodsky-Lepage-Mackenzie) [30] выбором аргумента as, и суммирование вкладов в ядро от коллинеарной кинематики (см. [31], [32] и ссылки там). Применение BLM схемы продемонстрировало хорошее согласие с данными LEP2 (OPAL, L3), ALEPH в области до \п(\/х) < 6 (см. например [33]).

Проблема нарушения унитарного предела, устанавливаемого теоремой Фруассара, связана с ростом плотности партонов, предсказанным уравнением БФКЛ. Эффекты взаимодействия партонов (нелинейные эффекты) должны останавливать рост плотности — приводить к насыщению. Нелинейные эффекты характеризуются новым динамическим масштабом Qs(x) и проявляются, в частности, как "геометрический скейлинг". Они уже наблюдались на HERA и заведомо будут важны на LHC. Первыми подход к учету взаимодействия партонов разработали Грибов, Левин и Рыскин [34]. Ими была рассмотрена эволюция взаимодействующих партонных каскадов (/(m-диаграммы). Развитый подход подчеркнул необходимость рассмотрения диаграмм с более чем двумя реджеонами в i-канале. Одна из возможных программ вычисления этого вида поправок базируется на системе интегральных уравнений ВКР (Bartels-Kwiecinski-Praszalowicz) [35] для амплитуды с обменом несколькими взаимодействующими реджезованны-ми глюонами (обмен двумя соответствует уравнению БФКЛ). Оказалось, что в пределе больших Nc эти уравнения интегрируемы [36]. Важным ингредиентом для продвижения в этом направлении является эффективная вершина 2 —> 4 взаимодействия реджезованных глюонов, вычисленная в подходе БФКЛ в работе [37] и исследованная в работах [38]. Еще один подход к рассмотрению проблемы унитаризации базируется на эффективной теории поля, совпадающей с КХД в случае, когда все частицы в промежуточном состоянии s- и и- каналов удовлетворяют мультиреджевской кинематике [39]. Однако наиболее общий подход состоит в переформулировании КХД в терминах калибровочно-инвариантной эффективной теории поля, описывающей взаимодействие реджезованных глюонов. Возможный способ построения этой теории базируется на высокоэнергетическом эффективном действии КХД, обобщающем подход БФКЛ на мультиреджеонные взаимодействия [40].

- 10В настоящее время при описании эффектов партон-партонного взаимодействия пользуется популярностью модель цветовых диполей [41]. Эта модель привлекательна тем, что дает прозрачную физическую картину полужестких процессов в системе покоя мишени (входящий 7* распадается на qq цветовой диполь задолго до взаимодействия "с мишенью) и имеет простое обобщение на нелинейный режим насыщения — уравнение БК (Балицкого-Ковчегова) [42]. В линейном приближении эта модель дает те же результаты, что и подход БФКЛ [43]. Альтернативным подходом к описанию эффектов насыщения является конденсат цветного стекла [44]. В нем эволюция по 1/х базируется на функциональном уравнении. В работе [45] было доказано, что при вычислении наблюдаемых этот подход эквивалентен модели цветовых диполей.

Реджеонные обмены

Наряду с помероном, определяющим асимптотику сечений при высоких энергиях, феноменологии адронов требуются реджеоны, которые могут быть построены в пертурбативной КХД как бесцветные состояния редже-зованного кварка и антикварка. Одной из задач, связанных с реджеонным обменом, является нахождение несинглетных структурных функций глубо-конеупругого рассеяния при малых х, что играет важную роль при точном описании кварковых плотностей. Суммирование дважды логарифмических вкладов в синглетную и несинглетную структурные функции обнаружило реджевское поведение ~ (1/я)А ПРИ х 0 [46,47]. Позднее, в работе [48] был предложен способ учета эффектов зависимости as от Q2. Полученные значения Д для синглетной и несинглетной структурной функции оказались в хорошем согласии с анализом экспериментальных данных [49,50].

Данные о сечениях полужестких процессов указывают на необходимость нескольких поправок к доминирующему вкладу от обмена помероном [33,51,52]. Пертурбативные поправки связывают с кварковой петлей. Непертурбативные вклады включают обмен мягким помероном (в области малых Q2) и обмен вторичными реджеонами: обмен /о (синглет по аромату) или Ао, Ач (не синглетные по аромату) [52]. Хотя в адронных рассеяниях вторичными реджеонами обозначают обмен мезоном и относят к непертурбативной физике, можно ожидать, что если адроны заменить фотонами с высокой виртуальностью Q2, то жесткий масштаб на концах реджеона оправдает применение теории возмущений (аналогично случаю с БФКЛ помероном). Хорошим примером такого процесса является 7*7*-рассеяние. Если предположения о применимости пКХД верны, то мезонный обмен можно смоделировать обменом кварк-антикварковой парой [53].

Диаграммы рассеяния с фермион-антифермионным обменом в ^-канале были рассмотрены во множестве работ: [46,47,53-56]. Было показано, что в ГЛП амплитуды с положительной сигнатурой и несинглетным по аромату обменом даются лестничными диаграммами. Амплитуды с отрицательной сигнатурой содержат также и нелестничные диаграммы, а обмен в КХД синглетом по аромату включает в себя смесь кварк-антикваркового и двух-глюонного состояния в ^-канале, что в итоге может привести к большему, по сравнению с несинглетным обменом вкладу [47].

С технической точки зрения уже на борновском уровне различия между сиином кварка и глюона в процессах с обменом кварк-антикварковой и глюонной парой приводит к двум важным отличиям. Первое — диаграмма с двухглюонным обменом в ^-канале содержит дополнительную s в числителе, по сравнению с диаграммой с кварк-антикварковым обменом, второе — появление в амплитуде с обменом фермионами с противоположными спи-ральностями квадратов логарифма s [54,56].

Хотя вклад кварковой петли в сечение 7*7*-рассеяния ~

In(s/Q2)/s, быстро падает с ростом энергии, и им можно пренебречь на энергиях NLC, оказалось, что учет излучения глюонов приводит к значительному усилению этого вклада: в 10 раз в области энергий NLC [57]. Причиной этого служит большое значение интерсепта wjf" = ^2а8Ср/тт ~ 0.46 (здесь + значит знак сигнатуры и as « 0.25) вклада в сечение, связанного с обменом од-лестницей: а ~ sWo1. Слабо подавленная по as зависимость u)q = у/const as является следствием дважды логарифмической асимптотики, в отличие от однологарифмического поведения БФКЛ по-мерона, приводящего к jo = const as. Вычисленные значения интерсептов для положительной и отрицательной сигнатур ц}\ и — l-tMwJ" близки к практически совпадающим значениям интерсепта otR феноменологических реджеонов Ач (положительная сигнатура) и ш, р (отрицательная сигнатура): a#(0) « 0.5, что говорит в пользу моделирования обмена вторичным реджеоном при помощи ад-обмена.

Не менее важным проявлением дважды логарифмов является возросшая роль инфракрасной области. Суммируемые лестничные диаграммы инфракрасно-конечны, однако, так же как в БФКЛ подходе, вклады от области малых поперечных импульсов к±, хотя и не приводят к расходи-мостям, не могут быть надежно рассмотрены в рамках теории возмущений. Характерным свойством эволюции БФКЛ является диффузия в пространстве поперечных импульсов [3]. Размер области диффузии в масштабе In(к\) растет ~ >/ln(s), так что при достаточно больших s характерный поперечный импульс к] может достичь инфракрасной границы $ < lGeV2, начиная с которой необходимо учитывать непертурбативные поправки. Эта проблема встает особенно остро при вычислении структурных функций, так как со стороны протона эволюция уже начинается достаточно глубоко в непертурбативной области, диффузия же по к\ ухудшает положение дел. В случае обмена ад-лестницей диффузия заменяется линейным ростом и в масштабе ln(fc2) размер области характерных поперечных импульсов ~ ln(s) [57]. Возможным решением этой проблемы является рассмотрение процессов, в которых вклад инфракрасной области подавлен за счет особенностей кинематики. Например конечная передача импульса t работает как инфракрасное обрезание. Другая возможность — упомянутый выше процесс 7*7*-рассеяния, в котором большая виртуальность фотона Q2 отодвигает характерные к] от инфракрасной области (обсуждение и оценку числа событий для БФКЛ можно найти в работе [58]). Таким образом, хотя для 7*7*-рассеяния применимость пКХД для вторичных реджеонов в

ГЛП определяется сильным ограничением s < Q^/nl (в отличие от соответствующего условия для БФКЛ y/\n(s/Q2) < \n(Q2/^0)), было показано, что уже при ~ 0.5GeV2 почти все доступные на LEP данные лежат в жесткой области, и вкладами от непертурбативных реджеонов можно пренебречь [57]. Нарушение условия s < Q4/fi2 приводит к появлению слабой логарифмической зависимости от /^j: введение обрезания на как в случае введения ненулевой передачи t в БФКЛ-физике, меняет лишь предэкспо-ненциальный миожитель.

На данный момент существует три различных подхода к анализу обмена од-лестницей в дважды логарифмическом приближении. Один из них, изначально построенный для при рассмотрении аннигиляции е+е~ —> вперед [54] и затем расширенный на более сложный, из-за присутствия дополнительного масштаба Q2, процесс 7*7*-рассеяния [57], базируется на прямом суммировании лестничных диаграмм, приводящем к уравнениям типа Бетте-Солпитера для амплитуды. Второй метод использует инфракрасное уравнение эволюции [56]. С дважды логарифмической точностью уравнение описывает зависимость от параметра инфракрасного обрезания /i2 для поперечного импульса кварка в лестнице. Параметр ц2 вспомогательный. После его отождествления с масштабом непертурбативной физики //q уравнение приводит к тому же ответу, что и линейное уравнение Бета-Солпитера, суммирующее фейнмановскиё диаграммы. Метод инфракрасного уравнения эволюции позволяет рассматривать обмены как с положительной, так и с отрицательной сигнатурой (включающей нелестничные диаграммы). Третий подход использует формализм парциальных воли и понятие реджеонной функции Грина [59], полученной решением линейного уравнения а 1а БФКЛ для амплитуды фермион-антифермионного рассеяния, и может быть обобщен на случай ненулевой передачи импульса в t-канале [60]. В работе [57] был проведен подробный анализ обмена ад-парой в несинглетном состоянии для процесса 7*7*-рассеяния в ГЛП и продемонстрирована эквивалентность трех вышеназванных подходов. Синглетный вклад в 7*7* рассеяние включает примесь глюон-глюонных обменов в спиральном состоянии отличном от так называемого нонсенс-состояния БФКЛ померона и до сих пор не вычислен. Ожидается, что он будет иметь аналогичную зависимость от s.

Существующие на сегодняшний день пертурбативные расчеты вклада вторичных реджеонов и оценки области применимости пКХД к таким расчетам являются весьма грубыми. Главное логарифмическое приближение, в котором получен вклад от реджеонного обмена в структурные функции и в амплитуду 7*7*-рассеяния, обладает теми же недостатками что и ГЛП в БФКЛ расчетах: не фиксирован ни масштаб энергии, ни аргумент as. С практической точки зрения важно определить область энергий и передач импульсов, где применим подход, использованный для расчета qq-обмена. Для этой цели необходимо вычислить радиационные поправки к ГЛП. Важность этих поправок подчеркивается тем обстоятельством, что численный коэффициент в линейной зависимости аргумента as от виртуальности фотона находится вне точности главного логарифмического приближения. Это существенно уменьшает предсказательную силу ГЛП, так как численные результаты могут сильно модифицироваться изменением этого коэффициента. Более того, исходя из опыта БФКЛ можно ожидать, что поправки к ГЛП и в случае вторичных реджеонов будут не малы.

Наиболее перспективным для построения СГЛП к амплитудам с обменом qq лестницей выглядит метод, основанный на уравнении эволюции с обменом реджезованными кварками в ^-канале (пока не ясно, применим ли он к синглетному обмену). Это метод демонстрирует один из возможных путей распространения идей, развитых для глюонных обменов, на процессы с обменом фермионом. Очевидным препятствием для таких обобщений являются дважды логарифмические вклады, присутствие которых не позволяет напрямую применить развитые для пертурбативного померона методы, где все ограничивается однологарифмическим поведением. Однако было показано [59], что полезные при рассмотрении мультиреджеонных обменов свойства конформной симметрии и голоморфной факторизации уравнения БФКЛ в пространстве прицельных параметров (см. например работы [61]) выполняются так же для ядра уравнения эволюции с обменом реджезован-ными кварками. В работе [62] это уравнение было обобщено, с сохранением конформной инвариантности и голоморфной факторизации, на парные взаимодействия реджезованных кварков и глюонов.

В основе всех эти построений лежит гипотеза о мультиреджевской форме амплитуд с обменом кварком, которая, будучи предложена в работе [22], только проверена на самосогласованность во всех порядках теории возмущений для конкретного процесса упругого кварк-глюонного рассеяния и до сих пор не была доказана даже в ГЛП. Построение же следующего приближение требует, помимо доказательства гипотезы, вычисления поправок к основным элементам амплитуды: траектории Редже кварка и эффективным вершинам взаимодействия реджезованного кварка с кварком и глюо-ном. Настоящая диссертация посвящена решению этих задач и основана на работах [63-67].

Диссертация организована следующим образом: в первой главе приводится полное доказательство мультиреджевской формы амплитуд для произвольного неупругого кварк-глюонного процесса во всех порядках теории возмущений. Доказательство построено для ГЛП в мультиреджевской кинематике (МРК), а также для квази-мультиреджевской кинематики (КМРК). В отличие от МРК, для которой любая пара рожденных частиц имеет инвариантную массу много больше характерного поперечного импульса, КМРК включает струи частиц с инвариантной массой порядка характерного поперечного импульса. В следующем за ГЛП приближении в КМРК может рождаться только одна пара частиц с ограниченной инвариантной массой, любые другие пары частиц в этой области должны иметь большую инвариантную массу. Рассмотрение КМРК очень близко к МРК и связано с минимальным изменением необходимых формул.

Вторая глава посвящена анализу структуры амплитуды упругого рассеяния с обменом фермионом в t-канале в реджевской кинематике в следующем за главным логарифмическом приближении. Предсказания гипотезы о реджевской формы амплитуды сравниваются с точным одно- и двух- петлевым расчетом. Предположение ее верности позволило вычислить двух-петлевую поправку к траектории Редже кварка в пределе D —> 4 (в методе размерной регуляризации размерность пространства-времени D = 4 + 2е).

В третьей главе высокоэнергетическая амплитуда упругого рассеяния с обменом фермионом в ^-канале исследована в СГЛП методами, основанными на 5-канальной унитарности и. аналитичности амплитуд рассеяния. Эти методы были развиты при исследовании процессов с обменом глюо-ном. Нами получена двухпетлевая поправка к траектории Редже кварка, вычисленная для произвольной размерности пространства-времени D.

Четвертая глава посвящена вычислению СГЛП поправки к эффективной вершине рождения глюона реджезованным кварком. Поправка вычислена для безмассовых кварков в пределе D —> 4 при помощи методов, основанных на дисперсионных соотношениях, s- и i-канальной унитарности и перенормируемости КХД.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Богдан, Андрей Владимирович

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы:

• В главном логарифмическом приближении доказана мультиреджев-ская форма амплитуды во всех порядках теории возмущений для произвольных неупругих кварк-глюонных процессов.

• Гипотеза о мультиреджевская форме амплитуд с участием кварков доказана для квази-мультиреджевской кинематики.

• Реджевская форма амплитуды с обменом реджезованным кварком проверена в следующем за лидирующим приближении для упругого процесса кварк-глюонного рассеяния в реджевской кинематике в порядке а2.

• В следующая за главным логарифмическом приближением найдена поправка к траектории Редже кварка в произвольном пространстве-времени D.

• В следующем за главным логарифмическом приближением найдена поправка к эффективной вершине рождения глюона реджезованным кварком в пределе

D^A.

Вычисленные поправки являются необходимыми элементами для построения СГЛП ядра уравнения эволюции с обменом реджезоваииыми кварками в i-канале, аналогичного уравнению БФКЛ. Это позволит существенно уточнить существующие теоретические предсказания для вкладов в наблюдаемые величины, связанных с обменом несинглетным вторичным реджеоном в пертурбативной КХД. Также знание этих поправок необходимо для доказательства мультиреджевской формы амплитуд с участием кварка в СГЛП.

Построение доказательства мультиреджевской формы амплитуд с участием кварков в главном логарифмическом приближении, а также проверка этой гипотезы в следующем приближении для упругого процесса на уровне двух петель распространяют идеи, развитые для глюонных обменов, на процессы с обменом фермионом. Исследование этих процессов даст более глубокое теоретическое понимание высокоэнергетической асимптотики в пер-турбативной квантовой хромодинамике.

Я искренне благодарен моему научному руководителю Фадину B.C. за постоянное внимание, бесчисленные полезные советы и обсуждения, сопровождавшие работу над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богдан, Андрей Владимирович, 2007 год

1. J.C.Collins, D.E.Soper, G.Sterman, in Perturbative quantum chromodyna-mics, A.H.Mueller (ed.), World scientific, Singapore, 1989.

2. B.H. Грибов, JI.H. Липатов, Глубоконеупроугое e p рассеяние в теории возмущений, Ядерная Физика 15 (1972) 781; Аннигиляци е+ е~ пар и глубоконеупругое е р рассеяние в теории возмущений, Ядерная Физика 15 (1972) 1218;

3. G.Altarelli, G.Parisi, Asymptotic freedom in parton language, Nucl. Phys. B126 (1977) 297;

4. ЮЛ. Докшицер, Вычисление структурных функций для глубоко неупругого рассеяния и е+ е- аннигиляция в теории возмущений квантовой хромодинамики, ЖЭТФ 73 (1977) 1216.

5. Я.Я. Балицкий, Л.Н. Липатов, О померанчуковской осбенности в квантовой хромодинамике, Ядерная физика 28 (1978) 1597.

6. М. Gell-Mann, M.L.Goldberger, Elementary particles of conventional field theory as Regge poles I, Phys. Rev. Lett. 9 (1962) 275;

7. M. Gell-Mann, M.L.Goldberger, F.E. Low, E. Marx and F. Zachariasen, Elementary particles of conventional field theory as Regge poles. II, III, Phys. Rev. 133 (1964) B145, B161.

8. J. C. Polkinghorne, Asymptotic behavior of feynman integrals with spin, J. Math. Phys. 5 (1964) 1491.

9. S. Mandelstam, Non-Regge terms in the vector-spinor theory, Phys. Rev. 137 (1965) B949.

10. E. Abers and V.L. Teplitz, Kinematic constraints, crossing, and the Reggeization of scattering amplitudes, Phys. Rev. 158 (1967) 1365;

11. E. Abers, A.R. Keller and V.L. Teplitz, reggeization of the spinor in Yang-Mills theory, Phys. Rev. D2 (1970) 1757;

12. D.A. Dicus and V.L. Teplitz, Conserved currents, reggeization, and Mandelstam counting in second-order perturbation theory, Phys. Rev. D3 (1971) 1910;

13. M.T. Grisaru, H.J. Schnitzer, and H.-S. Tsao, reggeization of elementary particles in renormalizable gauge theories: vectors and spinors, Phys. Rev. D8 (1973) 4498.

14. B.M. McCoy and T.T. Wu, Theory of electron exchange in massive quantum electrodynamics at high energy. I—VI, Phys. Rev. D13 (1976) 369, 379, 395, 424, 484, 508.

15. A.L. Mason, Factorization and hence reggeization in massive QED, Nucl. Phys. B104 (1976) 141; Factorization and hence reggeization In Yang-Mills theories, Nucl. Phys. B117 (1976) 493;

16. A. Sen, Asymptotic behavior of the fermion and gluon exchange amplitudes in massive quantum electrodynamics in the Regge limit, Phys. Rev. D27 (1983) 2997;

17. M.T. Grisaru, H.J. Schnitzer, H.-S. Tsao, Reggeization of Elementary Particles in Renormalizable Gauge Theories: Vectors and Spinor, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 811; Phys. Rev. D8 (1973) 4498.

18. Л.Н. Липатов, Реджезация векторного мезона и вакуумная особенность в неабелевых калибровочных теориях, Яд. Физ. 23 (1976) 642.

19. L.L Frankfurt and V.E. Sherman, Reggeization of vector meson and vacuum singularity in renormalizable Yang-Mills models, Sov. J. Nucl. Phys. 23 (1976) 581.

20. B.M. McCoy, T.T. Wu, Boson-fermion and boson-boson scattering in a Yang-Mills theory at high energy: Sixth-order perturbation theory, Phys. Rev. D13 (1976) 1076;

21. Tyburski, Reggeization of the fermion-fermion scattering amplitude in non-Abelian gauge theories, Phys. Rev. D13 (1976) 1107; H. Cheng and C. Y. Lo, High-energy amplitudes of Yang-Mills theory in the eighth order, Phys. Rev. D13 (1976) 1131;

22. P.S. Yeung, High-energy scattering in general non-Abelian gauge theories, Phys. Rev. D13 (1976) 2306.

23. Я.Я. Балицкий, Л.Н. Липатов, B.C. Фадин, Реджевские процессы в неабелевых калибровочных теориях, Материалы XIV зимней школы ЛИЯФ, Ленинград (1979) 109.

24. V.S. Fadin, R. Fiore, M.G. Kozlov, A.V. Reznichenko, Proof of the multi-Regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA, Phys.Lett. B639 (2006) 74.

25. A.L. Mason, Radiation gauge calculation of high-energy scattering amplitudes, Nucl.Phys. B120 (1977) 275.

26. H. Cheng and C. Y. Lo, High-energy amplitudes of Yang-Mills theory in arbitrary perturbative orders, Phys. Rev. D15 (1977) 2959.

27. J. Bartels, High-energy behavior in a nonabelian gauge field theory, Phys. Lett. B68 (1977) 258;

28. J. Bartels, J.J. Scanio, An Su(2) symmetric Reggeon field theory with a negative mass, Nucl. Phys. B139 (1978) 221;

29. J. Bartels, High-energy behavior of nonabelian gauge theories, Acta Phys. Polon. Bll (1980) 281.

30. J. B. Bronzan and R. L. Sugar, Regge behavior of spontaneously broken non-Abelian gauge theory, Phys. Rev. D17 (1978) 585.

31. B.H. Грибов, Техника реджеонных диаграмм, ЖЭТФ 53 (1967) 654; H.D.I. Abarbanel, J.B. Bronzan, R.L. Sugar and A.R. White, Reggeon field theory: formulation and use, Phys. Rept. 21 (1975) 119;

32. M. Baker and K.A. Ter-Martirosian, Gribov's Reggeon calculus: its physical basis and implications, Phys. Rept. 28 (1976) 1;

33. M. Moshe, Recent developments in reggeon field theory, Phys. Rept. 37 (1978) 255.

34. B.C. Фадин, B.E. Шерман, Процессы с фермионным обменом в неабе-левых калибровочных теориях, ЖЭТФ 72 (1977) 1640.

35. Т. Regge, Bound states, shadow states and Mandelstam representation, Nuovo Cim. 18 (1960) 947.

36. M. Froissart, Asymptotic behavior and subtractions in the Mandelstam representation, Phys. Rev. 123 (1961) 1053.

37. JI.H. Липатов, B.C. Фадин, Высокоэнергитическое рождение глюонов в квази-мульти-реджевской кинематике, Письма в ЖЭТФ, 49 (1989) 311; , Ядерная Физ. 50 (1989) 1141.

38. V.S. Fadin, L.N. Lipatov, BFKL pomeron in the next-to-leading approximation, Phys. Lett. B429 (1998) 127;

39. M. Ciafaloni and G. Camici, Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation, Phys. Lett. B430 (1998) 349.

40. V.S. Fadin, R. Fiore, Non-forward NLO BFKL kernel, Phys. Rev. D72 (2005) 014018.

41. V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky and A. Papa, The Gluon impact factors, Phys. Rev. D61 (2000) 094005; The Quark impact factors, Phys. Rev. D61 (2000) 094006;

42. M. Ciafaloni and G. Rodrigo, Heavy quark impact factor at next-to-leading level, JHEP 5 (2000) 042

43. D.Y. Ivanov, M.I. Kotsky and A. Papa, The Impact factor for the virtual photon to light vector meson transition, Eur. Phys. J. C38 (2004) 195.

44. G.P. Salam, A Resummation of large subleading corrections at small x, JHEP 9807 (1998) 19;

45. M. Ciafaloni, D. Colferai, The BFKL equation at next-to-leading level and beyond6 Phys. Lett. B452 (1999) 372;

46. M. Ciafaloni, D. Colferai , G.P. Salam and A.M. Stasto, Renormalization group improved small x Green's function, Phys. Rev.D68 (2003) 114003

47. S. J. Brodsky, F. Hautmann and D. E. Soper, Virtual photon scattering at high-energies as a probe of the short distance pomeron, Phys. Rev. D56 (1997) 6957;

48. J. Bartels, A. De Roeck and H. Lotter, The 7*7* total cross-section and the BFKL pomeron at e+ e- colliders, Phys. Lett. B389 (1996) 742; S.J. Brodsky, V.S. Fadin, V.T. Kim, L.N. Lipatov and G.B. Pivovarov,

49. M. Ciafaloni, D. Colferai, G.P. Salam, A.M. Stasto, The Gluon splitting function at moderately small x, Phys.Lett. B587 (2004) 87.

50. L.V.Gribov, E.M.Levin, M.G.Ryskin, Semihard processes in QCD., Phys. Rep. 100 (1983) 1.

51. J. Bartels, High-energy behavior in a nonabelian gauge theory. 2. First corrections to t(N M) beyond the leading LNS approximation, Nucl. Phys. B175 (1980) 365;

52. J. Kwiecinski, M. Praszalowicz, Three gluon integral equation and odd С singlet regge singularities in QCD, Phys. Lett. B94 (1980) 413.

53. L.N. Lipatov, High energy asymptotics of multi-colour QCD and exactly solvable lattice models, hep-th/9311037, Padova preprint DFPD/93/TH, unpublished.

54. J.Bartels, M.Wiisthoff, The Triple Regge limit of diffractive dissociation in deep inelastic scattering, Z.Phys. C66 (1995) 157.

55. Bartels, L.N.Lipatov, M.Wusthoff, Conformal invariance of the transition vertex 2 -> 4 gluons, Nucl.Phys. B464 (1996) 298;

56. M.Braun, G.P.Vacca, Triple pomeron vertex in the limit N(c) —> infinity, Eur. Phys. J. C6 (1999) 147.

57. L.N. Lipatov, High-energy scattering in QCD and in quantum gravity and two-dimensional field theories, Nucl. Phys. B365 (1991) 614;

58. R. Kirschner, L.N. Lipatov, L. Szymanowski, Effective action for multi -Regge processes in QCD, Nucl. Phys. B425 (1994) 579.

59. L.N. Lipatov, Gauge invariant effective action for high-energy processes in QCD, Nucl.Phys. B452 (1995) 369; Small x physics in perturbative QCD, Phys. Rept. 286 (1997) 131;

60. E.N. Antonov, L.N. Lipatov, E.A. Kuraev and I.O. Cherednikov, Feynman rules for effective Regge action, Nucl.Phys. B721 (2005) 111.

61. A. H. Mueller, Soft gluons in the infinite momentum wave function and the BFKL pomeron, Nucl. Phys. B415 (1994) 373; Unitarity and the BFKL pomeron, Nucl. Phys. B437 (1995) 107;

62. A. H. Mueller and B. Patel, Single and double BFKL pomeron exchange and a dipole picture of high-energy hard processes, Nucl. Phys. B425 (1994) 471.42. la. Balitsky, Operator expansion for high-energy scattering, Nucl. Phys. B463 (1996) 99;

63. Yu. Kovchegov, Small x F(2) structure function of a nucleus including multiple pomeron exchanges, Phys. Rev. D60 (1999) 034008; Unitarization of the BFKL pomeron on a nucleus, Phys. Rev. D61 (2000) 074018.

64. J. Bartels, L. N. Lipatov and G. P. Vacca, Interactions of reggeized gluons in the Mobius representation, Nucl.Phys. B706 (2005) 391;

65. Balitsky, Quark contribution to the small-x evolution of color dipole, Phys. Rev. D75 (2007) 014001;

66. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, On the coordinate representation of

67. NLO BFKL, arXiv:hep-ph/0612284; The dipole form of the quark part of the BFKL kernel, arXiv:hep-ph/070'l075.

68. E. Iancu, A. Leonidov and L. McLerran, The Renormalization group equation for the color glass condensate, Phys. Lett. B510 (2001) 133; Nonlinear gluon evolution in the color glass condensate. 1, Nucl.Phys. A692 (2001) 583;

69. J.P. Blaizot, E. Iancu and H. Weigert, Nonlinear gluon evolution in path integral form, Nucl. Phys. A713 (2003) 441.

70. В. I. Ermolaev, S. I. Manaenkov and M. G. Ryskin, Nonsinglet structure functions at small x, Z. Phys. C69 (1996) 259;

71. J. Bartels, В. I. Ermolaev and M. G. Ryskin, Flavor singlet contribution to the structure function gl at small x, Z. Phys. C72 627 (1996).

72. J. Soffer and O.V. Teryaev, Neutron spin dependent structure function, Bjorken sum rule, and first evidence for singlet contribution at low x, Phys. Rev. D56 (1997) 1549;

73. N.I. Kochelev, K. Lipka, W.-D. Nowak, V. Vento, A.V. Vinnikov, DIS structure functions and the double spin asymmetry in rhoO electroproduction within a Regge approach, Phys.Rev. D67 (2003) 074014.

74. A. Donnachie, H. G. Dosch and M. Rueter, Eur. Phys. J. Gamma* gamma*reactions at high-energies, C13 (2000) 141; Two photon reactions at high-energies, Phys. Rev. D59 (1999) 074011;

75. J. Kwiecinski and L. Motyka, Theoretical description of the total 7*7* cross-section and its confrontation with the LEP data on doubly tagged e+ e-events, Eur. Phys. J. C18 (2000) 343;

76. N.N. Nikolaev, J. Speth and V.R. Zoller, Color dipole BFKL-Regge factorization and high-energy photon photon scattering, J. Exp. Theor. Phys. 93 (2001) 957, (ЖЭТФ 93 (2001) 1104.

77. M.G. Ryskin and A.G. Shuvaev, Secondary reggeons in perturbative QCD, Eur. Phys. J. C25 (2002) 245.

78. В.Г. Горшков, B.H. Грибов, JI.H. Липатов, Г.В. Фролов, Дважды логарифмические асимптотики в квантовой электродинамике, Ядерная Физика 6 (1967) 129; Электрон-позитронное рассеяние назад при высоких энергиях, Ядерная Физика 6 (1967) 361.

79. R. Kirschner, Дважды логарифмическая асимптотика в квантовой хро-модинамике, Yad. Fiz. 34 (1981) 546; Soft Gluon Corrections To Hard Quark Quark Scattering Subprocesses, Phys. Lett. B98 (1981) 451.

80. J. Bartels and М. Lublinsky, Quark-antiquark exchange in gamma-gamma scattering, JHEP 0309 (2003) 076.

81. J.Bartels, A.DeRoeck, H.Lotter, The 7*7* total cross-section and the BFKL pomeron at e+ e- colliders, Phys. Lett. B389 (1996) 742-748.

82. R. Kirschner, Regge asymptotics of scattering with flavor exchange in QCD, Z. Phys. C67 (1995) 459.

83. J. Kwiecinski, Leading q anti-q regge singularities in perturbative QCD, Phys. Rev. D26 (1982) 3293;

84. R. Kirschner, Regge Asymptotics Of Scattering Amplitudes In The Logarithmic Approximation Of Qcd, Z. Phys. C31 135 (1986).

85. R. Kirschner, Reggeon interactions in perturbative QCD, Z. Phys. C65 (1995) 505; Symmetric reggeon interaction in perturbative QCD, Eur. Phys. J. C41 (2005) 353.

86. A.V. Bogdan, V. Del Duca, Victor S. Fadin, E.W.N. Glover, The Quark Regge trajectory at two loops, JHEP 0203 (2002) 032.

87. A.V. Bogdan, V.S. Fadin, Quark Regge trajectory in two loops from unitarity relations, Ядерная Физика 68 (2005) 1659.

88. A.V. Bogdan, V.S. Fadin, A Proof of the reggeized form of amplitudes with quark exchanges, Nucl. Phys. B740 (2006) 36.

89. A.V. Bogdan, A.V. Grabovsky, Verification of bootstrap conditions for amplitudes with quark exchanges in QMRK, Nucl. Phys. B757 (2006) 211.

90. A.V. Bogdan, A.V. Grabovsky, Radiative corrections to the Reggeized quark — Reggeiazed quark — gluon effective vertex, to be published in Nucl. Phys. B, hep-ph/0701144.

91. L.N. Lipatov and M.I. Vyasovsky, Quasi-multi-Regge processes with quark exchange in the i-channel, Nucl. Phys. B597 (2001) 399.

92. V.S. Fadin and R. Fiore, Calculation of Reggeon vertices in QCD, Phys. Rev. D64 (2001) 114012;

93. M.I. Kotsky, L.N. Lipatov, A. Principe, and M.I. Vyazovsky, Radiative corrections to the quark gluon Reggeized quark vertex in QCD, Nucl. Phys. B648 (2003) 277.

94. M. Braun and G. P. Vacca, The 2nd order corrections to the interaction of two Reggeized gluons from the bootstrap, Phys. Lett. B454 (1999) 319; The Bootstrap for impact factors and the gluon wave function, Phys. Lett. B477 (2000) 156.

95. V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky, and A. Papa, Strong bootstrap conditions, Phys. Lett. B495 (2000) 329.

96. J. Bartels, A reggeon calculus for the production amplitude. 1., Phys. Rev. Dll (1975) 2977, 2989; High-energy behavior in a nonabelian gauge theory. 2. first corrections to t(n—>m) beyond the leading Ins approximation, Nucl. Phys. B175 (1980) 365.

97. V.S. Fadin, Talk given at the NATO Advanced Research Workshop "Diffraction 2002 August 31 September 6, 2002, Alushta, Crimea, Ukraine, in Di(R)raction 2002, Ed. by R. Fiore et al., NATO Science Series, Vol. 101, p.235.

98. V.S. Fadin, Multi-Reggeon processes in QCD, Ядерная Физ. 66 (2003) 2067.

99. V.S. Fadin, M.G. Kozlov, A.V. Reznichenko, Radiative corrections to QCD amplitudes in quasimulti-Regge kinematics, Ядерная Физ. 67 (2004) 377.

100. R. К. Ellis and J. C. Sexton, QCD Radiative Corrections To Parton Parton Scattering, Nucl. Phys. B269 (1986) 445.

101. Z. Kunszt, A. Signer and Z. Trocsanyi, One loop helicity amplitudes for all 2 —> 2 processes in QCD and N=1 supersymmetric Yang-Mills theory, Nucl. Phys. B411 (1994) 397.

102. С. Anastasiou, Е. W. N. Glover, С. Oleari and M. E. Tejeda-Yeomans, Two-loop QCD corrections to massless quark gluon scattering, Nucl. Phys. B605 (2001) 486.

103. S. Catani, The singular behaviour of QCD amplitudes at two-loop order, Phys. Lett. B427 (1998) 161.

104. D. J. Broadhurst, J. A. Gracey and D. Kreimer, Beyond the triangle and uniqueness relations: Nonzeta counterterms at large N from positive knots, Z. Phys. С75 559 (1997).

105. V. S. Fadin, R. Fiore and M. I. Kotsky, Gluon Regge trajectory in the two loop approximation, Phys. Lett. B387 593 (1996).

106. V. S. Fadin and L. N. Lipatov, Radiative corrections to QCD scattering amplitudes in a multi Regge kinematics, Nucl. Phys. B406 (1993) 259.

107. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, One-loop reggeon-reggeon-gluon vertexat arbitrary space-time dimension, Phys. Rev. D63 (2001) 034001.

108. V. S. Fadin and R. Fiore, Quark Contribution To The Gluon-Gluon -Reggeon Vertex In QCD, Phys. Lett. B294 (1992) 286;

109. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Quartarolo, Quark contribution to the reggeon reggeon - gluon vertex in QCD, Phys. Rev. D50 (1994) 5893.

110. G.'t Hooft and M.Veltman, Regularization and renormalization of gauge fields, Nucl.Phys. B44 (1972) 189.

111. G. 't Hooft and M. J. G. Veltman, Scalar One Loop Integrals, Nucl. Phys. B153 (1979) 365;

112. N. I. Usyukina and A. I. Davydychev, An approach to the evaluation of three and four point ladder diagrams, Phys. Lett. B298 (1993) 363.

113. Z. Bern, L. J. Dixon and D. A. Kosower, Dimensionally regulated pentagon integrals, Nucl. Phys. B412 (1994) 751.

114. J. M. Campbell, E. W. N. Glover and D. J. Miller, One-loop tensor integrals in dimensional regularisation, Nucl. Phys. B498 (1997) 397.