Мебиусовская форма ядра БФКЛ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Грабовский, Андрей Владимирович

• Грабовский, Андрей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грабовский, Андрей Владимирович

Введение

Глава 1. Получение ядра БФКЛ в координатном представлении

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Разложение глюонного вклада.

1.3 Траектория глюона в следующем за главным порядке.

1.4 Реальная часть октетного ядра.

1.5 Сокращение инфракрасных расходимостей.

1.6 "Симметричная" часть ядра.

1.7 Дипольная (Мебиусовская) форма ядра.

1.8 Преобразование "планарной" части.

1.9 Преобразование "симметричной" части.

1.10 Окончательное выражение

Глава 2. Случай рассеяния вперед

2.1 Глюонные вклады в ядра БФКЛ и БК.

2.2 Свобода в определении ядра

2.3 Доказательство эквивалентности ядер БФКЛ и БК для рассеяния вперед в глюодинамике.

2.4 Другой вывод преобразования, устраняющего разность ядер . 48 2.4.1 Собственные значения ядра для рассеяния вперед

2.5 Ядро для рассеяния вперед в суперсимметричных теориях

2.5.1 Координатное представление.

2.5.2 Импульсное представление.

Глава 3. Случай рассеяния на произвольный угол

3.1 Общий метод нахождения оператора О.

3.2 Построение оператора О с помощью симметричного глюонного вклада.

3.3 Преобразование к квазиконформному виду.

3.4 Мебиусовские формы (квази-)конформных ядер БФКЛ в КХД и SUSY.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мебиусовская форма ядра БФКЛ»

Квантовая хромодинамика (КХД) служит для описания процессов сильного взаимодействия элементарных частиц. Процессы называют мягкими, если характерные передачи импульса в них ~ Лqcd и соответствующие расстояния и сечения имеют порядок размеров адронов. При этом константа связи КХД as ~ 1 является плохим параметром разложения по теории возмущений и для описания эксперимента приходится использовать феноменологические модели.

В противоположной ситуации, когда в процессе существует только один жесткий масштаб Q ~ y/s Лqcd, константа связи мала и можно использовать теорию возмущений. Такие процессы называются жесткими. Но строго говоря, жестких процессов в чистом виде не существует. Действительно, сильные взаимодействия обладают свойством конфайнмента, то есть невылетания цвета, так как в природе встречаются только бесцветные частицы. Поэтому любой процесс с жестким масштабом Q ~ y/s, который содержит адроны в конечном состоянии, неизбежно имеет фазу адрониза-ции. Адронизация — превращение кварков и глюонов адроны — происходит на расстояниях порядка размера адронов, имеет характерную энергию порядка A qcd и, следовательно, является мягким процессом, невычислимым в КХД. С другой стороны жесткая фаза процесса с характерным масштабом Q A qcd и характерными расстояниями г ~ ^ A/^CD описывается КХД в силу явления асимптотической свободы — малости константы связи на малых расстояниях г «С или при больших передачах Q A qcd- Но так как вероятность адронизации равна 100%, при вычислении полного сечения рождения адронов в процессах без начальных сильно взаимодействующих частиц нужно вычислять только жесткую часть, используя кварк-глюонные состояния. В силу полноты обоих базисов: кварк-глюонного и адронного переход в адронный базис — адронизация — не изменит полного сечения. Такая ситуация имеет место при описании е+е~ аннигиляции в адроны.

Процессы с начальными адронами, например глубоконеупругое ер рассеяние, сложнее. При их описании используют коллинеарную факторизацию, то есть представление амплитуд в виде сверток партонных распределений и функций, описывающих жесткие этапы процесса. Партонные распределения описывают структуру адронов на масштабе Q2, то есть количество партонов — составляющих адрон кварков и глюонов, которые провзаимодействуют с фотоном с виртуальностью < Q2. Партонные распределения подчиняются уравнениям ДГЛАП (Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи) [1]-[4]. Эти уравнения определяют их эволюцию по Q2. Ядра уравнений вычисляются по теории возмущений, а начальные условия содержат всю непер-турбативную информацию. Оказывается, что ядра ДГЛАП содержат степени Ina:, а: ~ которые при малых х компенсируют малость константы связи. Поэтому в области малых х нельзя ограничиваться первыми членами разложения по o;s, что затрудняет применение подхода ДГЛАП в этой области. Соответствующая область малых х или л/s » Q Aqcd — это область полужестких процессов, теоретическое описание которых основано на уравнении БФКЛ (Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова) [5]-[7].

Уравнение БФКЛ позволяет найти функцию Грина, которая определяет высокоэнергетическое поведение амплитуд КХД. Это линейное интегральное уравнение. В настоящее время его ядро известно в главном и следующем за главным логарифмических приближениях (ГЛП и СГЛП) как для рассеяния вперед, то есть для t = 0 и цветового синглета в ¿-канале, так и для любой фиксированной (не растущей с s) передачи t и произвольного цветового состояния в ¿-канале [8, 9, 10]. В главном логарифмическом приближении суммируются члены порядка а™ 1пп х, в СГЛП — члены порядка 1пп х.

Подход БФКЛ основан на реджезации глюона. Говорят, что частица с массой т и спином 3 реджезуется, если в Реджевской области, то есть при в ¡¿|, амплитуды полужестких процессов с обменом в ¿-канале квантовыми числами этой частицы ведут себя как б-7^, причем у = у. Функция 3 (¿) называется реджевской траекторией частицы. Такое поведение можно получить, представив разложение амплитуды по парциальным волнам в ¿-канале в виде контурного интеграла в плоскости комплексных угловых моментов если амплитуда имеет полюс при з = з (¿). Реджезация в рамках КЭД первоначально исследовалась в работах Гелл-Манна и соавторов [11]. В дальнейшем было показано, что в КЭД электрон реджезуется, а фотон остается элементарным [12].

В КХД реджезуются кварки и глюоны. Для глюонов это означает, что амплитуда упругого процесса с обменом в ¿-канале цветовым октетом с отрицательной сигнатурой (нечетная при замене 5 на и часть амплитуды) в пределе б Щ ведет себя так:

4ЙГ = Гл, (ЙГ - ЙГ) П, (!) и ^(0) = 1) т0 есть глюон лежит на траектории Редже. Для неупругого процесса в мультиреджевской кинематике имеет место аналогичная формула л , о —9 ЧГС1 л-?1 гиЗп -рСп+1 /9\

Л-2-П+2 - А,А 7с1с2 - .Ъпсп+1 . 1 В'В •

Ч ¿2 Ъп+1

В этих формулах Гср1р и 7с-с;+1 — эт0 эффективные нелокальные вершины взаимодействия частиц и реджеонов, j(t) = 1 -Ь ш (¿) — реджевская траектория глюона, ¿о — энергетический масштаб. В ГЛП важен только его порядок йо ~ в СГЛП йо входит и в вершины и в Редже факторы так, что амплитуда с СГЛП точностью от него не зависит. Сейчас все вершины [13] и траектория глюона [14]—[20] известны в СГЛП. Реджезация глюона, то есть реджевская форма амплитуд, — это гипотеза, которая в настоящее время доказана как в ГЛП [21], так и в СГЛП [22]. Доказательство основано на проверке соотношений бутстрапа, которые вытекают из совместности реджевской формы амплитуд и з-канальной унитарности.

Амплитуды процессов с вакуумными квантовыми числами в ¿-канале можно получить с помощью соотношения унитарности, вычисляя лестничные диаграммы .В каждом порядке они дают главные вклады ~ 1п я)11. Вершины в этих диаграммах описывают эффективное нелокальное взаимодействие, вертикальные линии обозначают пропагаторы реджезованных глюонов, горизонтальные линии — реальные глюоны. Основной вклад в амплитуду подпроцесса 2 —» 2 + пд происходит от области мультиреджевской кинематики для 4-импульсов промежуточных частиц кг = (Зф\ + аф2 + к{±: о а 1 <С. < ап ап+1, (3)

Ро » 01 »••• » Рп > Рп+и (4) (к-1 + к{)2. (5)

Здесь использовано Судаковское разложение 4-импульсов к{ по светоподоб-ным 4-векторам и р2\ $ = 2р\р2 — (ра + рв)2- Оказывается, что вклад в з-канальный скачок амплитуды всех таких диаграмм можно просуммировать и представить его в виде свертки

Шве3лав' = фаа' ® Й ® ®вв> • (6)

В (6) С — функция Грина БФКЛ, содержащая вклад всех лестничных диаграмм, Ф — импакт факторы, описывающие взаимодействие пары реджезованных глюонов с внешними частицами. Функция Грина подчиняется уравнению БФКЛ, которое в операторной форме выглядит так

ПА Т А А т> « где У = 1п —, /С — ядро БФКЛ.

50

Представление амплитуды в виде свертки импакт факторов и функции Грина (6) называется ^ факторизацией и справедливо не только в ГЛП, но и в СГЛП. Чтобы вычислить амплитуду в СГЛП необходимо знать а^ поправки к импакт факторам и ядро в СГЛП. Сейчас ядро в СГЛП известно [8, 9, 10], а скд поправка в импульсном представлении вычислена только к импакт фактору перехода виртуального фотона в векторный мезон [23].

Ядро БФКЛ состоит из реальной и виртуальной частей. Виртуальная часть равна сумме траекторий двух реджезованных глюонов [14, 15, 18]. Реальная часть является суммой сверток вершин рождения реальных частиц при взаимодействии реджезованных глюонов. В ГЛП может родиться только глюон и реальную часть можно представлять себе как одну ступеньку в глюонной лестнице.В СГЛП в свертке двух вершин рождения глюона необходимо брать одну из вершин в однопетлевом приближении [24], а также учитывать свертки вершин рождения двух глюонов [25] и кварк-антикварковой пары [26].

Асимптотику решения уравнения БФКЛ в ГЛП при больших я можно построить, переходя в пространство собственных функций ядра БФКЛ. В подпространстве, соответствующем каждой собственной функции уравнение легко решается. Общее решение строится как сумма ряда составленного из частных решений. Оставляя в сумме член, который имеет самый быстрый рост при увеличении быстроты, получаем асимптотику решения при б При этом для рассеяния вперед получается степенной рост функции Грина, а следовательно и сечений с энергией

1 v ln2(qi2/Qo)

QqQIVttclY где а = 14С (3) ир = = 0,53 для as = 0,2 — это интерсепт

Померона, Qo,i — характерные поперечные импульсы на концах лестницы. Рост сечений с энергией в области малых х экспериментально наблюдался на ускорителе HERA [27], что является качественным подтверждением предсказаний подхода БФКЛ.

Однако вычисления в рамках ГЛП недостаточно точны, чтобы обеспечивать количественное описание эксперимента, так как в них не фиксирован ни масштаб перенормировки, ни энергетический масштаб so, обезразмериваю-щий s в логарифмах. В рамках СГЛП оказалось, что поправки к интерсепту

Померона в схеме MS очень велики и существенно зависят от точки перенормировки [28]

Однако после перехода к неабелевым физическим схемам перенормировки (Т, MOM [29]) и фиксирования точки перенормировки с помощью рецепта BLM [30] предсказания БФКЛ для сечения 7*7* рассеяния [31], полученные с помощью импакт факторов в главном порядке и функции Грина в СГЛП, успешно описали данные LEP2 в области 183-189 ГэВ В этих схемах интерсепт Померона в СГЛП шр = 0,13-0,17 для виртуальностей фотонов от 1 до 10 ГэВ [31]

В единственной полностью вычисленной в СГЛП в рамках БФКЛ амплитуде процесса 7*7* —► УУ в схеме МБ было продемонстрировано, что хотя зависимость от масштаба перенормировки и энергетического масштаба ¿о сокращается с СГЛП точностью, результат тем не менее существенно зависит от них [32]. Это указывает на большую величину следующих поправок в данной перенормировочной схеме.

Асимптотика функции Грина для Померонного обмена (8) обладает диффузионным поведением по In Q2. Дисперсия этого распределения растет пропорционально быстроте. Следовательно характерные поперечные импульсы внутренних глюонов в лестнице могут сильно отличаться от граничных и при достаточно больших быстротах попадать в область < Лqcd- Там теория возмущений не работает и нельзя пользоваться формулами БФКЛ, полученными с ее помощью.

Сечения, вычисленные по формулам БФКЛ, растут как степень s (8) с увеличением энергии. Это противоречит теореме Фруассара [33], запрещающей рост сечения быстрее (Ins)2. Причиной такого поведения является пренебрежение взаимодействием между партонами, принятое при выводе уравнения БФКЛ. Ограничение числа партонов за счет взаимодействия можно описать введением Померонных вершин — нелинейных членов в уравнение [34], например трехпомеронная вершина исследуется в [35] и других работах.

Наличие масштаба насыщения [34], при котором степенной рост прекращается, уже проявляется на эксперименте, например как геометрический скейлинг [36, 37, 38], то есть зависимость сечений не от двух переменных Y и Q2 по отдельности, а от одной переменной — функции Y и Q2.

Качественно масштаб насыщения и геометрический скейлинг можно легко оценить из формулы (8) [37, 38]. Будем считать, что Qo ~ тр — характерный масштаб поперечных импульсов, задаваемый импакт фактором протона, а Q\ = Q — виртуальность налетающего фотона. Рассмотрим, как ведет себя сечение как функция Q/Qo : а ~HQ Wo). (9)

Здесь вся зависимость от Q/Qo переведена в экспоненту. Считая, что степенной рост прекращается, когда ее показатель равен 0, получаем экспоненциалыю растущий с быстротой масштаб насыщения и характерную для заданного Q быстроту, при которой наступает насыщение

Ql(Y)^Qle<Y, C.4.85^, YS(Q') ^(10)

7Г с Q о

Сравнение с экспериментальными данными HERA в рамках модели Голек-Берната и Вустхофа дает такую же зависимость масштаба насыщения от быстроты с с ^ 0.3 [39]. Скейлинговое поведение можно увидеть, рассмотрев показатель экспоненты в (9) вблизи точки насыщения как функцию

1п(<э 7СЙ), MQ-'/Ql) = HQÜQl) +ln(Q'7Q;)

7 = (11)

Q^ViraY 2.

Следовательно в области Q 2 > Qs2 и In (Q 2ДЙ) ln(Q2/Ql) ~ сечение становится функцией одной переменной с точностью до медленно меняющейся предэкспоненты

Т = Ш) при (12)

Зависимость сечения только от одной переменной т получила название геометрический скейлинг и наблюдалась в данных HERA для оур при х < 0.01, 0.045 ГэВ2 < Q2 < 4502 ГэВ [36]

Хотя подход БФКЛ изначально развивался в импульсном представлении, много лет назад было осознанно, что его координатное представление очень полезно, особенно в Померонном случае, который является наиболее важным для феноменологии. Действительно, конформная инвариантность синглетного ядра БФКЛ в ГЛП, показанная в [42], была сформулирована в координатном представлении.

В СГЛП координатное представление ядра БФКЛ также очень интересно. Во-первых, оно позволяет изучать конформные свойства ядра. Очевидно, что в СГЛП конформная инвариантность нарушается перенормировкой.

Ответить на вопрос, является ли перенормировка единственным источником неконформности, может построение конформно инвариантного ядра в теории SUSY N=4 и квазиконформного ядра в КХД (ядра, все неконформные члены которого пропорциональны бета-функции) или доказательство, что таких ядер не существует.

Расширение подхода БФКЛ на суперсимметричные теории было начато в

43], где ядро было вычислено в СГЛП в импульсном представлении для случая рассеяния вперед. Далее в [44] ядро было вычислено в Мебиусовском координатном представлении для рассеяния на произвольный угол. Результат

44] не является квазиконформным. Однако, перераспределяя радиационные поправки между ядром и импакт факторами, форму ядра можно менять. Построение конформного ядра в теории SUSY N=4 и квазиконформного ядра в КХД описано в данной работе.

Другая причина, по которой получение координатного представления синглетного ядра БФКЛ в СГЛП является злободневной задачей, — это сравнение подхода БФКЛ и подхода цветовых диполей [45] для высокоэнергетического рассеяния. Последний подход дает наглядную физическую картину высокоэнергетического процессов и естественным образом может быть расширен с режима малых партонных плотностей на режим насыщения [34], в котором уравнение эволюции становится нелинейным. В общем случае существует бесконечная иерархия связанных уравнений [46, 40], которая в случае мишени в виде массивного ядра или при больших Nc может быть сведена к уравнению Балицкого-Ковчегова (БК) [46]. Подход цветовых диполей развит в координатном представлении [47]—[52] и применим для описания взаимодействия бесцветных частиц. В рамках ГЛП уравнения БК можно решить проблемы унитаризации и диффузии в инфракрасную область [38, 53], воспроизвести геометрический скейлинг [41]. Уравнение

БК в ГЛП можно также вывести из подхода БФКЛ с учетом трехпомерон-ной вершины [54]. Оказывается, для рассеяния бесцветных частиц в пределе больших АГС уравнение, суммирующее все веерные диаграммы, сводится к уравнению БК [54]. Другой метод получения уравнения БК основан на более общем функциональном уравнении ЛМ\¥ЬК в рамках теории "конденсата цветного стекла" [40, 55].

Позднее связь подходов БФКЛ и БК анализировалась в ГЛП в [54]. Сравнение ядер БФКЛ и БК в СГЛП было проведено в течение последних нескольких лет. Так в [57] кварковый вклад в модели цветовых диполей в пределе большого количества цветов Л^ был переведен из координатного в импульсное представление и было проверено, что получающийся в СГЛП вклад в интерсепт Померона совпадает с результатом [28].

Неабелева (лидирующая по Мс) и абелева части кваркового вклада в ядро БФКЛ для рассеяния на произвольный угол были переведены из импульсного [8] в координатное представление в работах [58, 59]. Там было показано, что дипольная форма кваркового вклада совпадает с результатом, полученным Балицким [60] путем непосредственного вычисления кваркового вклада в ядро БК в координатном представлении. Перевод глюонного вклада в ядро БФКЛ в СГЛП из импульсного в координатное представление, построение его дипольной формы и доказательство эквивалентности этой формы и результата Балицкого и Кирилли [61, 62, 63] описаны в данной работе.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Квазиконформная Мебиусовская форма ядра БФКЛ в КХД и его суперсимметричных обобщениях в координатном представлении для рассеяния на произвольный угол в СГЛП.

2. Форма ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении в физическом пространстве размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости для рассеяния на произвольный угол в глюодинамике и для рассеяния вперед в КХД и суперсимметричных теориях.

3. Доказательство эквивалентности подхода БФКЛ и подхода цветовых диполей в СГЛП в линейном приближении для рассеяния бесцветных частиц.

Основные результаты данной диссертации изложены в [64, 65, 66].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Грабовский, Андрей Владимирович

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы.

• Получена квазиконформная Мебиусовская форма ядра БФКЛ в координатном представлении для рассеяния на произвольный угол в СГЛП в КХД и ее суперсимметричных обобщениях. Полученная форма ядра БФКЛ в КХД намного проще и компактнее известных ранее форм, что дает надежду на ее большое практическое применение.

• Для рассеяния на произвольный угол в глюодинамике и для рассеяния вперед в КХД и суперсимметричных теориях построена форма ядра БФКЛ в СГЛП в импульсном представлении в физическом пространстве размерности 4, в которой сокращены все инфракрасные и устранены перенормировкой все ультрафиолетовые расходимости.

• Доказано, что подход БФКЛ эквивалентен подходу цветовых диполей в СГЛП в линейном приближении для рассеяния бесцветных частиц.

Я искренне благодарен своему научному руководителю Фадину В. С. за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грабовский, Андрей Владимирович, 2010 год

1. V. N. Gribov and L. N. Lipatov, "Deep 1.elastic E P Scattering In Perturbation Theory," Yad. Fiz. 15 (1972) 781 Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438], Yad. Fiz. 15 (1972) 1218 [Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 675].

2. L. N. Lipatov, "The Parton Model And Perturbation Theory," Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1975) 94 Yad. Fiz. 20 (1974) 181].

3. G. Altarelli and G. Parisi, "Asymptotic Freedom In Parton Language," Nucl. Phys. В 126 (1977) 298.

4. Y. L. Dokshitzer "Calculation Of The Structure Functions For Deep Inelastic Scattering And E+ E- Annihilation By Perturbation Theory In Quantum Chromodynamics," Sov. Phys. JETP 46 (1977) 641.

5. V.S. Fadin, E.A. Kuraev and L.N. Lipatov, "On The Pomeranchuk Singularity In Asymptotically Free Theories," Phys. Lett. B60 (1975) 50.

6. E.A. Kuraev, L.N. Lipatov and V.S. Fadin, "Multi Reggeon Processes In The Yang-Mills Theory," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71 (1976) 840 Sov. Phys. JETP 44 (1976) 443]; "The Pomeranchuk Singularity In Nonabelian Gauge Theories," 72 (1977) 377 [45 (1977) 199].

7. Ya.Ya. Balitskii and L.N. Lipatov, "The Pomeranchuk Singularity In Quantum Chromodynamics," Sov. J. Nucl. Phys. 28 (1978) 822.

8. V.S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "The Quark Part of the Non-forwardBFKL Kernel and the 'Bootstrap' for the Gluon Reggeization," Phys. Rev. D60 (1999) 074025.

9. V.S. Fadin and R. Fiore, "Non-forward BFKL pomeron at next-to-leading order," Phys. Lett. B610 (2005) 61 .Erratum-ibid. B621 (2005) 61]; "Non-forward NLO BFKL kernel," Phys. Rev. D72 (2005) 014018.

10. M. Gell-Mann, M. L. Goldberger, F. E. Low, V. Singh and F. Zachariasen, "Elementary Particles of Conventional Field Theory as Regge Poles. IV," Phys. Rev. 133, B161 (1964).

11. S. Mandelstam, "Non-Regge Terms in the Vector-Spinor Theory," Phys. Rev. 137, B949 (1965).

12. V. S. Fadin, "Multi-Reggeon processes in QCD," Phys. Atom. Nucl. 66 (2003) 2017.

13. V.S. Fadin, M.I. Kotsky and R. Fiore, "Gluon Reggeization In QCD In The Next-To-Leading Order," Phys. Lett. B 359 (1995) 181.

14. V. S. Fadin, "Regge trajectory of a gluon in the two loop approximation," JETP Lett. 61 (1995) 346 Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 (1995) 342].

15. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Quartarolo, "Reggeization of quark quark scattering amplitude in QCD," Phys. Rev. D 53, 2729 (1996) arXiv:hep-ph/9506432].

16. M. I. Kotsky and V. S. Fadin, "Reggeization Of The Amplitude Of Gluon

17. Gluon Scattering," Phys. Atom. Nucl. 59 (1996) 1035 Yad. Fiz. 59N6 (1996) 1080.

18. V.S. Fadin, R. Fiore and M.I. Kotsky, "Gluon Regge trajectory in the two-loop approximation," Phys. Lett. B 387 (1996) 593.

19. J. Blumlein, V. Ravindran and W. L. van Neerven, "On the gluon Regge trajectory in 0(alpha(s)**2)," Phys. Rev. D 58 (1998) 091502.

20. V. S. Fadin, R. Fiore, M. G. Kozlov and A. V. Reznichenko, "Proof of the multi-Regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA," Phys. Lett. B 639, 74 (2006) arXiv:hep-ph/0602006].

21. D. Y. Ivanov, M. I. Kotsky and A. Papa, "The impact factor for the virtual photon to light vector meson transition," Eur. Phys. J. C 38, 195 (2004) arXiv:hep-ph/0405297].

22. V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "Radiative corrections to QCD scattering amplitudes in a multi Regge kinematics," Nucl. Phys. B 406, 259 (1993).

23. V. S. Fadin, M. I. Kotsky and L. N. Lipatov, "One-loop correction to the BFKL kernel from two gluon production," Phys. Lett. B 415 (1997) 97.

24. V. S. Fadin, R. Fiore, A. Flachi and M. I. Kotsky, "Quark-antiquarkcontribution to the BFKL kernel," Phys. Lett. B 422, 287 (1998) arXiv:hep-ph/9711427.

25. I. Abt et al. HI Collaboration], "Measurement of the proton structure function F2 (x, Q**2) in the low x region at HERA," Nucl. Phys. B 407, 515 (1993).

26. V.S. Fadin, L.N. Lipatov, "BFKL pomeron in -the next-to-leading approximation," Phys. Lett. B429 (1998) 127;

27. M. Ciafaloni and G. Camici, "Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation," Phys. Lett. B430 (1998) 349.

28. S. J. Brodsky, G. P. Lepage and P. B. Mackenzie, "On The Elimination Of Scale Ambiguities In Perturbative Quantum Chromodynamics," Phys. Rev. D 28, 228 (1983).

29. V. S. Fadin, V. T. Kim, L. N. Lipatov and G. B. Pivovarov, "The BFKL pomeron within physical renormalization schemes and scales," JETP Lett. 70 (1999), 155; 76 (2002), arXiv:hep-ph/0207296.

30. D. Y. Ivanov and A. Papa, "NLO BFKL at work: the electroproduction of two light vector mesons," Acta Phys. Polon. B 39, 2391 (2008) arXiv:0804.2597 [hep-ph]].

31. M. Froissart, "Asymptotic Behavior And Subtractions In The Mandelstam Representation," Phys. Rev. 123 (1961) 1053.

32. L.V. Gribov, E.M. Levin and M.G. Ryskin,"Semihard Processes In QCD," Phys. Rep. 100 (1983) 1.

33. J. Bartels and M. Wusthoff, "The Triple Regge limit of diffractive dissociation in deep inelastic scattering," Z. Phys. C 66, 157 (1995);

34. A. M. Stasto, K. J. Golec-Biernat and J. Kwiecinski, "Geometric scaling for the total gamma* p cross-section in the low x region," Phys. Rev. Lett. 86, 596 (2001) arXiv:hep-ph/0007192].

35. E. Iancu, K. Itakura and L. McLerran, "Geometric scaling above the saturation scale," Nucl. Phys. A 708 (2002) 327 arXiv:hep-ph/0203137].

36. E. Iancu and R. Venugopalan, "The color glass condensate and high energy scattering in QCD," arXiv:hep-ph/0303204.

37. E. Iancu, K. Itakura and L. McLerran, "Understanding geometric scaling at small x," arXiv:hep-ph/0205198.

38. L.N. Lipatov, "The Bare Pomeron In Quantum Chromodynamics," Sov. Phys. JETP 63 (1986) 904 Zh. Eksp. Teor. Fiz. 90 (1986) 1536].

39. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "NLO corrections to the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories," Nucl. Phys. B582, 19 (2000) arXiv:hep-ph/0004008].

40. V. S. Fadin and R. Fiore, "The dipole form of the BFKL kernel in supersymmetric Yang-Mills theories," Phys. Lett. B661, 139 (2008) arXiv:0712.3901 [hep-ph]].

41. N.N. Nikolaev and B.G. Zakharov, "The Triple pomeron regime and the structure function of the pomeron in the diffractive deep inelastic scattering at very small x," Z. Phys. C64 (1994) 631;

42. N.N. Nikolaev, B.G. Zakharov and V.R. Zoller, "The s channel approach to Lipatov's pomeron and hadronic cross-sections, " JETP Lett. 59 (1994) 6;

43. A.H. Mueller, "Soft Gluons In The Infinite Momentum Wave Function And The Bfkl Pomeron," Nucl. Phys. B415 (1994) 373;

44. A.H. Mueller and B. Patel, "Single And Double Bfkl Pomeron Exchange And A Dipole Picture Of High-Energy Hard Processes," Nucl. Phys. B425 (1994) 471.

45. I. Balitsky, "Operator expansion for high-energy scattering," Nucl. Phys. B463 (1996) 99;

46. Yu. Kovchegov, "Small-x F2 structure function of a nucleus including multiple pomeron exchanges," Phys. Rev. D60 (1999) 034008.

47. I. Balitsky, "High-energy QGD and Wilson lines," arXiv:hep-ph/0101042.48. 1.1. Balitsky and A. V. Belitsky, "Nonlinear evolution in high-density QCD," Nucl. Phys. B 629, 290 (2002) arXiv:hep-ph/0110158].

48. A. Babansky and I. Balitsky, "Scattering of color dipoles: From low to high energies," Phys. Rev. D 67, 054026 (2003) arXiv:hep-ph/0212075].

49. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "High-energy amplitudes in N=4 SYM in the next-to-leading order," Int. J. Mod. Phys. A 25, 401 (2010) Phys. Lett. B 687, 204 (2010)] [arXiv:0911.5192 [hep-ph]].

50. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "Conformai kernel for NLO BFKL equation in A/"=4 SYM," Phys. Rev. D 79, 031502 (2009) arXiv:0812.3416 [hep-ph]].

51. L. Cornalba, "Eikonal Methods in AdS/CFT: Regge Theory and Multi-Reggeon Exchange," arXiv:0710.5480 hep-th].

52. K. J. Golec-Biernat, L. Motyka and A. M. Stasto, "Diffusion into infra-redand linearization of the BFKL pomeron," Phys. Rev. D 65 (2002) 074037 arXiv:hep-ph/0110325.

53. J. Bartels, L.N. Lipatov and G.P. Vacca, "Interactions of Reggeized gluons in the Moebius representation," Nucl. Phys. B706 (2005) 391;

54. J. Bartels, L.N. Lipatov, M. Salvadore and G.P. Vacca, "Deformed spectral representation of the BFKL kernel and the bootstrap for gluon reggeization," Nucl. Phys. B726 (2005) 53.

55. E. Iancu, A. Leonidov and L. D. McLerran, "Nonlinear gluon evolution in the color glass condensate. I," Nucl. Phys. A 692, 583 (2001) arXiv:hep-ph/0011241];

56. E. Ferreiro, E. Iancu, K. Itakura and L. McLerran, "Froissart bound from gluon saturation," Nucl. Phys. A 710, 373 (2002) arXiv:hep-ph/0206241.

57. E. Levin and K. Tuchin, "New Scaling at High Energy DIS," Nucl. Phys. A 691, 779 (2001) arXiv:hep-ph/0012167];

58. Y. V. Kovchegov, "Unitarization of the BFKL pomeron on a nucleus," Phys. Rev. D 61, 074018 (2000) arXiv:hep-ph/9905214.,

59. Yu.V. Kovchegov and H. Weigert, "Quark loop contribution to BFKL evolution: Running coupling and leading-N(f) NLO intercept," arXiv:hep-ph/0612071.

60. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "On the coordinate representation of NLO BFKL," Nucl. Phys. B 769, 108 (2007) arXiv:hep-ph/0612284].

61. V.S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "The dipole form of the quark part of the BFKL kernel," Phys. Lett. B 647, 179 (2007) arXiv:hep-ph/0701075].

62. I. Balitsky, "Quark contribution to the small-x evolution of color dipole," Phys. Rev. DT5 (2007) 014001 arXiv:hep-ph/0609105].

63. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "Next-To-Leading Order Evolution Of Color Dipoles," Phys. Rev. D 77, 014019 (2008) arXiv:0710.4330 [hep-ph]].

64. I. Balitsky and G. A. Chirilli, "NLO evolution of color dipoles in N=4 SYM," Nucl. Phys. B 822, 45 (2009)

65. I. Balitsky, "High-energy amplitudes in the next-to-leading order," arXiv: 1004.0057 hep-ph].

66. V. S. Fadin, R. Fiore, A. V. Grabovsky, and A. Papa, "The dipole form of the gluon part of the BFKL kernel," Nucl. Phys. B784, 49 (2007) arXiv:0705.1885 [hep-ph]].

67. V. S. Fadin, R. Fiore and A. V. Grabovsky, "On the discrepancy of the low-x evolution kernels," Nucl. Phys. B820 (2009) 334 arXiv:0904.0702 [hep-ph]].

68. V. S. Fadin, R. Fiore and A. V. Grabovsky, "Matching of the low-x evolution kernels," Nucl. Phys. B 831, 248 (2010) arXiv:0911.5617 [hep-ph]];

69. V.S. Fadin, R. Fiore, A.V. Grabovsky, A. Papa, "Low-x evolution equation in Mobius representation," Physics of Particles and Nuclei 2010, Vol. 41, N6, pp. 935-938.

70. V.S. Fadin and R. Fiore, "The generalized nonforward BFKL equation and the *bootstrap* condition for the gluon Reggeization in the NLLA," Phys. Lett. B440 (1998) 359.

71. V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky and A. Papa, "The Gluon Impact Factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094005 arXiv:hep-ph/9908264].

72. V.S. Fadin and A. Papa, "A proof of fulfillment of the strong bootstrap condition," Nucl. Phys. B 640 (2002) 309 arXiv:hep-ph/0206079].

73. V. S. Fadin, "Next-to-leading BFKL," arXiv:hep-ph/9807527.

74. R.E. Gerasimov, V.S. Fadin, "Scalar Contribution to the BFKL Kernel," Physics of Atomic Nuclei, 2010, Vol. 73, No. 7, p. 1214.

75. Y. V. Kovchegov and H. Weigert, "Triumvirate of running couplings in small-x evolution," Nucl. Phys. A784 (2007) 188.

76. M. I. Kotsky, V. S. Fadin, and L. N. Lipatov, "Two-gluon contribution to the kernel of the Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov equation," Phys. Atom. Nucl. 61 (1998) 641 Yad. Fiz. 61 (1998) 716]; arXiv:hep-ph/9704267.