Инклюзивные и дифракционные процессы в квантовой хромодинамике: непертурбативные элементы факторизации и степенные поправки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Пасечник, Роман Сергеевич

• Пасечник, Роман Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пасечник, Роман Сергеевич

Введение

1 Формализм эксклюзивного центрального рождения

1.1 Дифракционное рождение хиггсовского бозона.

1.2 Амплитуда партонного подпроцесса.

1.3 Переход па адронный уровень и судаковское подавление.

1.4 Непроинтегрированные глюонные распределения.

1.5 Механизм померонного обмена.

1.6 Выводы.

2 Рождение бозона Хиггса в подходе ^-факторизации

2.1 Амплитуда образования бозона Хиггса при взаимодействии виртуальных глюонов.

2.2 Оценка эффекта виртуальности глюонов.

2.2.1 Эффект в формфакторах.

2.2.2 Эффект в амплитуде.

2.2.3 Эффект в инклюзивном сечении.

2.2.4 Эффект в эксклюзивном дифракционном сечении. Чувствительность к выбору НиГФуР.

2.3 Выводы.

3 Эксклюзивное рождение скалярного хс(0++) мезона

3.1 Мотивация и постановка задачи.

3.2 Дифракционный механизм.

3.2.1 Общая кинематика процесса.

3.2.2 Матричный элемент дифракционного рождения Хс(0++).

3.2.3 Сравнение с подходом Кайдалова-Хозе-Мартина-Рыскина

КХМР).

3.2.4 Сравнение результатов для вершин.

3.3 КЭД механизм 7*7* Хс(0++).

3.3.1 Подход нерелятивистской КХД.

3.3.2 Приближение эквивалентных фотонов.

3.4 Померонный механизм

3.5 Сечение и фазовый объем

3.6 Результаты.

3.6.1 Выбор масштабов и неопределенности в подходе КХМР.

3.6.2 Дифференциальные распределения.

3.6.3 Зависимость от энергии.

3.7 Выводы.

4 Дифракционное образование псевдоскалярного г( мезона

4.1 Мотивация и постановка задачи.

4.2 КХД механизм.

4.3 КЭД механизм.

4.4 Результаты.

4.5 Выводы.

5 Дифракционное рождение аксиально-векторного Хс(1++) и тензорного Хс{2++) мезонов

5.1 Мотивация и постановка задачи.

5.2 Общая амплитуда дифракционного образования Xcj мезонов.

5.3 Амплитуда жестких подпроцессов д*д* Хс(1++) и д*д* —> Хс(2++)

5.4 Свойства спиральных амплитуд.

5.5 Матрица плотности.

5.6 Угловое распределение вылетающего J/iJj мезона в системе покоя XcJ

5.7 Результаты.

5.8 Выводы.

6 Аналитическая теория возмущений в спин-зависимом глубоко-неупругом рассеянии

6.1 Граница применимости теории возмущений. Правило сумм Бьеркена.

6.2 Элементы аналитической теории возмущений.

6.3 Правило сумм Бьеркена в стандартной теории возмущений и степенные поправки

6.4 Переход к аналитической теории возмущений.

6.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инклюзивные и дифракционные процессы в квантовой хромодинамике: непертурбативные элементы факторизации и степенные поправки»

Предметом данной диссертации являются адронпые процессы, относящиеся к особому классу эюестких процессов, в которых присутствуют два (или более) энергетических масштаба: один - это "мягкий" (адронный) масштаб, а второй - "жесткий" масштаб характерного переданного импульса. Типичная зависимость сечений таких процессов от переданного импульса имеет степенной или логарифмический вид. Примерами таких процессов являются глубоко-неупругое рассеяние 1р —> 1'Х, инклюзивное (рр —» НХ) и эксклюзивное дифракционное (рр —» рНр) образование хиггсовского бозона Н (или мезонов), а также рождение адронных струй с большим поперечным импульсом.

Стандартное описание жестких процессов в адронных взаимодействиях проводится в рамках партонной модели квантовой хромодинамики (КХД), которая редуцирует адрон-адронные взаимодействия к партон-партонным с помощью формализма партонных распределений. Наличие "жесткого" масштаба позволяет применять пертурбативную КХД (пКХД), однако некоторая часть процесса имеет исключительно непертурбативную природу и присутствует в виде кварковых и глюонных функций распределения (или фрагментации) адронов. Сечения жестких инклюзивных процессов при этом записываются в виде сверток квадратов матричных элементов жесткого подпроцесса, вычисленных в рамках пКХД, с партонными распределениями соударяющихся адронов. Так называемые теоремы факторизации [1, 2, 3] обеспечивают возможность отделения (факторизации) иертур-бативной части от существенно непертурбативной. Последняя является универсальной в том смысле, что может быть выделена в одном процессе и использоваться для предсказания и анализа других процессов.

Наиболее популярный и технически простой подход - коллинеарное приближение КХД [4, 5,6], основанное на хорошо известной коллинеарной теореме о факторизации [3]. В этом подходе все участвующие в процессе частицы предполагаются находящимися на массовой поверхности и переносящими только продольные импульсы, и сечение процесса усредняется по двум поперечным поляризациям сталкивающихся глюонов. Вкладом поперечных импульсов в матричных элементах КХД пренебрегают в прямой аналогии с приближением Вейцзеккера-Вильямса в квантовой электродинамике. Этот подход позволяет описывать экспериментальные данные по полным сечениям и одночастичные распределения рождающихся тяжелых ароматов, однако не может воспроизвести, к примеру, азимутальные корреляции двух тяжелых кварков и распределения по полному поперечному импульсу пар тяжелых кварков.

Глубоко-неупругое рассеяние лептонов па адронах lh —» 1'Х традиционно рассматривается в рамках коллинеарной факторизации. Основными непертурбативными элементами, описывающими мягкую часть в глубоко-неупругом рассеянии, являются степенные поправки высших твистов в операторном разложении [7]. В настоящее время они известны достаточно плохо, особенно в области передач импульса Q2 ~ 1 ГэВ2 и менее (при отступлении от бьеркеновского предела). Для того чтобы описать экспериментальные данные и извлечь непертурбативные характеристики процесса необходимо правильно рассчитать коэффициентные функции, аккумулирующие радиационные поправки и имеющие вид рядов теории возмущений по константе связи аа. В виду малости энергетического масштаба соответствующий пертурбативный анализ осложняется присутствием сингулярностей в функции сильной связи as(Q2), искажающих результаты для извлекаемых из экспериментальных данных параметров высших твистов. Решение этой проблемы может быть достигнуто использованием аналитической теории возмущений (АТВ), развитой в работах Ширкова и Соловцова [8, 9, 10], а также модели Симонова для инфракрасно-стабильной константы связи, "замороженной" на массе глюболла [11]. Составная часть диссертации посвящена рассмотрению вопроса о границе применимости теории возмущений в жестких процессах, а также извлечению вкладов высших твистов из довольно точных данных JLab по правилу сумм Бьеркена.

Расхождения предсказаний коллннеарной факторизации с экспериментальными данными по адрон-адронным взаимодействиям объясняются тем, что при малых долях импульса х эффекты конечных поперечных импульсов партонов становятся все более значительными, и нет оснований пренебрегать поперечными импульсами глюонов в сравнении с массой кварков и их поперечными импульсами, приводя к факторизации иного типа. Метод учета поперечных импульсов партонов приводит к так называемому методу к±-факторизации, развитому в работах [12, 13, 14, 15, 16]. В рамках этого подхода фейнма-новские диаграммы вычисляются с учетом виртуальностей взаимодействующих глюонов. К широко обсуждающимся приложениям подхода ^-факторизации к жестким процессам в КХД относятся адронное рождение J/^ [17], образование чармония [18], адронное [19] и фоторождение [20, 21] тяжелых кварков, образование хиггсовского бозона [22, 23, 24].

Мягкая часть в жестких инклюзивных адрон-адронных взаимодействиях в методе факторнзации описывается непроинтегрированными глюонными функциями распределения (в случае инклюзивного рождения мезонов, см., например, работы [17, 18]). Эти существенно непертурбативные ингредиенты в настоящее время недостаточно хорошо определены, особенно в области малых поперечных импульсов (виртуальностей) глюонов Как и в случае глубоко-неупругого рассеяния, масштаб поперечного импульса глюонов мал по сравнению с жестким масштабом процесса qx < 1 ГэВ, что оправдывает использование аналитической константы связи при сравнительно небольшой массе рождающейся частицы.

Важно применить подход ^-факторизации также к исследованию эксклюзивных дифракционных процессов с учетом того факта, что наблюдаемые этих процессов имеют более сильную чувствительность к деталям непертурбативной динамики партонов, чем в инклюзивных процессах. Некоторые следствия учета поперечных импульсов в таких процессах описаны в работе [25]. Недавно подход /^-факторизации был применен при вычислении эксклюзивного рождения Т-мезона на Тэватроне [26].

Высокоэнергетическая дифракция стала актуальным предметом исследований последних лет вследствие огромного интереса, инициированного данными по адронным взаимодействиям на коллайдерах HERA и Тэватрон. Предстоящие экспериментальные исследования при еще больших энергиях на Большом Адронном Коллайдере (БАК) обещают поддерживать этот интерес в течение длительного времени. В данной диссертации при рассмотрении эксклюзивных дифракционных процессов мы будем последовательно применять метод /г^-факторизации и оценивать вклад глюоиных виртуальностей в дифференциальных и полных сечениях, а также детально анализировать чувствительность наблюдаемых к деталям глюонных распределений.

Общее определение адронных дифракционных процессов можно сформулировать в следующем виде: реакция называется дифракционной, если нет передачи квантовых чисел между сталкивающимися адронами. Иными словами, дифракция это асимптотическое явление, проявляющееся при больших энергиях, при котором рассеянные частицы имеют те же квантовые числа, что и налетающие. Обмены скалярами с вакуумными квантовыми числами вносят вклад в иедифракционные события и сильно подавлены при высоких энергиях. Это обусловило популярность реджевского формализма для описания дифракции как асимптотически доминированной обменами реджеонов с вакуумными квантовыми числами, называемых померонами.

Классическим примером процессов такого типа является дифракционное глубоко-неупругое рассеяние, характеризуемое значительной щелью в быстротах (анг. "large rapidity gap") между остатками протона и продуктами адронизации фотона. Последнее свойство является типичным для процессов дифракционного типа. В дифракционном глубоко-неупругом рассеянии присутствуют два энергетических масштаба: "мягкий" адронный масштаб и "жесткий" масштаб - виртуальность фотона Q2. Поэтому процессы такого типа выделяют в подкласс жестких дифракционных процессов. Такие процессы открывают возможность изучения дифракции до некоторой степени в рамках пертурбативной КХД. Иными словами, они позволяют исследовать КХД природу померона, хотя вопрос, можно ли перевести феноменологию реджевской теории (довольно успешную в описании "мягких" явлений) на язык КХД, теории сильных взаимодействий, до сих пор остается открытым.

Справедливо отметить здесь, что дифракция использовалась изначально в качестве средства для понимания и развития квантовой хромодинамики, нежели как область изучения, в которой могла бы проявиться физика, находящаяся за пределами Стандартной Модели. Однако, в последние несколько лет наблюдается растущий интерес к возможности применения дифракционных взаимодействий как средство поиска Новой Физики. В частности, было замечено, что так называемый центральный эксклюзивный процесс рождения может предоставить исключительно "чистую" (в смысле фона) среду для поисков и изучения свойств новых частиц на БАК. Под центральным эксклюзивным процессом в дальнейшем мы будем понимать эксклюзивный процесс протон-протонных (или протон-антипротонных) взаимодействий рр —> рХр, в котором имеет место отсутствие адронной активности ("щель") между выходящими протонами и продуктами распада центральной системы X. Значительное отношение сигнала к фону, возможности для высокого разрешения по массе центральной системы и прямых измерений ее квантовых чисел, делают эксклюзивный центральный процесс весьма привлекательным инструментом как для изучения непертурбативной динамики КХД, так и для поисков элементов Новой Физики.

Значительная часть диссертации посвящена исследованию процессов центрального дифракционного рождения тяжелых кваркониев, а также изучению и развитию общих теоретических методов и механизмов, лежащих в основе динамики дифракционных процессов.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Пасечник, Роман Сергеевич

6.5 Выводы

Разделение пертурбативной и непертурбативной физики может отличаться при использовании различных модификаций теории возмущений. Для того чтобы протестировать возможность такого разделения в КХД, мы привели систематическое сравнение вкладов высших твистов, извлеченных из довольно точных данных JLab по правилу сумм Бьеркена в рамках обычной теории возмущений и АТВ и получили следующие результаты:

• Приведено доказательство того, что константа связи КХД as в "представлении знаменателя" (6.16) более предпочтительна в области малых Q (см. Рис. 6.1).

• Наблюдается некоторая дуальность между высшими порядками теории возмущений и высшими твистами так, что высшие порядки как бы "впитывают" в себя часть вкладов высших твистов, перемещая границу применимости пертурбативной КХД между пертурбативными pi твистовымр1 вкладами к более низким Q (см. Рис. 6.2).

• Эта ситуация еще более существенна в АТВ, в которой сходимость ряда пертурбативных поправок и ряда твистов намного лучше. В то время как вклад твиста-4 по величине оказался больше в АТВ, чем в стандартной теории возмущений, последующие вклады существенно меньшие pi быстро убывают (поскольку АТВ "вбирает" в себя некоторую часть непертурбативной дршамики, описываемой высшими твистами). Это является второй причиной сдвига границы применимости пертурбативной КХД к более низким значениям Q. Как основной результат, удовлетворительное опи-caHPie экспериментальных данных вниз вплоть до Q ~ Aqcd — 350 МэВ достигается одновременным учетом аналитических пертурбативных вкладов и выспшх твистов (см. Рис. 6.3).

• В рамках АТВ с помощью правила сумм ГДХ осуществлена процедура гладкого продолжения функции Y\~n(Q2) в Q2 = 0. Показано, что точка "chipibkpi" пертурбатив-пого и непертурбативного режимов в АТВ QqTB Aqcи} т.е. находится существенно ниже, чем полученная в рамках стандартной теории возмущений QqT ~ 1 ГэВ.

В некотором смысле естественно, что главной причиной такого успеха является исчезновение нефизР1ческнх сингулярностей из ряда теории возмущений. Мы принимаем во внимание тот факт, что свободная от сингулярностей АТВ и КХД модель Симонова для "заморозки" константы связр! очень близки в областр! Q > 400 МэВ. Более того, разлррчные данные вычислений на решетке [196, 197, 198] (см. также обзоры [199, 111] и ссылкр! внутри них) приводят к похожргм кривым для константы связр! as. В свете этих результатов было бы очень интересно исследовать соотношение между пертурбативной и непертур-бативной физикой также и на других низкоэнергетических экспериментальных данных. Такая деятельность запланирована на будущее.

Заключение

Кратко суммируем результаты настоящей диссертации:

1. Проанализирован эффект ненулевых виртуальностей внешних глюонов в амплитуде инклюзивного и дифракционного рождения скалярного бозона Хиггса в протон-протонных взаимодействиях. Получен матричный элемент жесткого подпроцесса с учетом глюонных виртуальностей и найден новый вклад в амплитуду в сравнении с недавними результатами, полученными в рамках похода с эффективным лагранжианом. Эффект в инклюзивном сечении, однако, экстремально мал (< 1% в полном сечении) и сосредоточен лишь в малой окрестности ф = 7г/2, что чрезвычайно усложняет его идентификацию в экспериментах с малой статистикой. Эффект в эксклюзивном дифракционном сечении более значительный - около 6 % в интегральном сечении, и происходит в основном вследствие учета нового формфактора G2 в амплитуде жесткого подпроцесса. Дифракционное сечение гораздо более чувствительно к выбору иепроинтегрированных глюонных функций распределения (НиГФуР), чем инклюзивное сечение.

2. Рассмотрено в деталях эксклюзивное рождение Хс(0++) мезона в протон-протонных соударениях при энергиях RHIC, Тэватрона и БАК. Дифракционная компонента вычислена в подходе КХМР. Проанализированы неопределенности в этом подходе. В частности, учтены виртуальности глюонов в диаграмме жесткого подпроцесса и вычислен соответствующий матричный элемент. Включение глюонных виртуальностей уменьшает сечение дифракционного рождения в 2 - 5 раз в зависимости от кинематической области и используемых НиГФуР. Рассчитаны дифференциальные распределения по быстроте мезона у, параметру Фейнмана х/.-, углу между выходящими протонами Ф, квадрату переданного по протонным линиям импульса t\>2 и некоторые другие. Имеет место довольно сильная зависимость интегрального сечения от величины "жесткого" масштаба, так же как и от непертурбативного параметра обрезания, указывая на то, что большая часть сечения приходит из непертурбативной области малых поперечных импульсов глюонов. Получен также электромагнитный вклад, который оказался довольно малым.

3. Впервые проанализировано дифракционное рождение rf мезона в протон-протонных столкновениях. С известными моделями НиГФуР предсказано сечение, которое по величине много меньше сечения, полученного WA102 коллаборацией при энергии в системе центра масс W = 29.1 ГэВ. Это может быть сигналом о присутствии нелидирующих реджеопов или указанием на существенную модификацию НиГФуР в непертурбативной области очень малых поперечных импульсов. Хорошее описание данных WA102 по полному сечению достигнуто при помощи НиГФуР, полученного гауссовым сглаживанием коллинеарных глюонных распределений с довольно малой величиной параметра <70 ~ 0.2 — 0.3 ГэВ, явно указывая на непертурбативный эффект. Получено хорошее описание данных распределения dajdxp в окрестности xF\ < 0.2. Однако, дифракционный КХД механизм дает слишком асимметричное (около Ф = 7г/2) распределение по относительному азимутальному углу между выходящими протонами по сравнении с данными WA102.

4. Получена КХД амплитуда эксклюзивного дифракционного рождения аксиально-векторного Хс(1++) и тензорного Хс(2++) мезонов. Мы вычислили соответствующие дифференциальные сечения и сравнили с результатами для Хс(0++). В случае с Хс(1++) обнаруженный эффект имеет чисто виртуальную природу, указывая на нарушение теоремы Ландау-Янга глюонными виртуальностями. Предсказанное интегральное сечение рождения %с(1++) около двух порядков по величине меньше, чем соответствующее сечение для %с(0++). Однако, поскольку бренчинги радиационного распада BR(xc{ 1++) —> J/ip + l) ^ BR(xc{0++) —> J/^ + 7), предсказан заметный сигнал в канале J/^ + 7: соответствующий сигнал от хс(1++) лишь в 2 - 3 раза меньше, чем от Хс(0++). Более того, сигнал Хс(2++) мезона оказался доминирующим и даже превышает вклад Хс(0++). Вычислены также дифференциальные сечения для различных спиновых поляризаций Хс(1++) и Хс(2++) мезонов. Интегральное сечение для поляризации А = ±1 (А = ±2 в случае Хс(2++)) приблизительно на порядок величины больше, чем сечение для А = 0 поляризации.

5. Проведено систематическое сравнение вкладов высших твистов, извлеченных из довольно точных данных JLab по правилу сумм Бьеркепа в рамках обычной теории возмущений и АТВ. Приведено доказательство того, что константа связи КХД as в "представлении знаменателя" более предпочтительна в области малых Q. Наблюдается некоторая дуальность между высшими порядками теории возмущений и высшими твистами в том смысле, что высшие порядки как бы "впитывают" в себя часть вкладов высших твистов, перемещая границу применимости пертурбатив-ной КХД между пертурбативными и твистовыми вкладами к более низким Q. В то время как вклад твиста-4 по величине оказался больше в АТВ, чем в стандартной теории возмущешш, последующие вклады существенно меньшие и быстро убывают (поскольку АТВ "вбирает" в себя некоторую часть непертурбативной динамики, описываемой высшими твистами). Это является второй причиной сдвига границы применимости пертурбативной КХД к более низким значениям Q. Как основной результат, удовлетворительное описание экспериментальных данных вниз вплоть до Q ~ Л-qcd — 350 МэВ достигнуто одновременным учетом аналитических пертурба-тивных вкладов и высших твистов.

На защиту выдвигаются следующие научные положения:

1. Впервые проведены расчеты, учитывающие конечные виртуальности глюонов в амплитуде инклюзивного и дифракционного рождения скалярного бозона Хиггса в протон-протонных взаимодействиях. Численный эффект оказался довольно малым (порядка 1 %), и должен учитываться лишь в будущих экспериментах с высокой статистикой [116].

2. Эксклюзивное дифракционное рождение тяжелых кваркониев в протон-протонных соударениях при энергиях RHIC, Тэватрона и БАК последовательно рассмотрено в рамках КХД факторизации с использованием мультиреджевского предела КХД и методов иерелятивисткой КХД. Учет глюонных виртуальностей уменьшает сечение дифракционного рождения в 2 - 5 раз в зависимости от кинематической области и используемых НиГФуР [141, 200].

3. Аналитическая теория возмущений впервые применена для извлечения вкладов операторов высшего твиста из низкоэнергетических прецизионных экспериментальных данных по правилу сумм Бьеркена лаборатории им. Джефферсона (США). Достигнуто хорошее описание данных вплоть до низких передач импульса Q ~ Лqcd — 350 МэВ [201].

В будущем планируется продолжить работу по следующим направлениям:

1. Чрезвычайно сильный рост дифракционных сечений, полученных с глюонным распределением БФКЛ, с ростом энергии указывает на необходимость учета нелинейных поправок следующего порядка в уравнении БФКЛ, что находит отражение в обобщенном уравнении Балитского-Ковчегова [133, 134, 135]. В рамках продолжения данной тематики планируется осуществить учет таких поправок, провести соответствующую модификацию непроинтегрированных глюонных распределений БФКЛ и применить их в анализе дифракционных процессов.

2. Мы полагаем, что абсорбтивные эффекты, кроме сильного подавления дифракционного сечения, могут также модифицировать форму дифференциальных распределений. Эти эффекты требует дальнейшего более детального анализа, который также запланирован на будущее.

3. Планируется дальнейшее применение аналитического подхода к анализу высокоэнергетических процессов с мягкой частью. В частности, было бы очень интересно исследовать соотношение между пертурбативной и непертурбативной физикой на существующих низкоэнергетических экспериментальных данных по протонному и нейтронному правилам сумм.

Благодарности

В первую очередь я хочу поблагодарить Олега Валериановича Теряева, моего научного руководителя. Результаты, защищаемые в настоящей диссертации, являются итогом нашей совместной работы на протяжении последних пяти лет. В ходе работы неоднократно возникали трудности и проблемы, и порой мне казалось, что поставленная цель недостижима, и только благодаря оптимизму и настойчивости Олега Валериановича нам всегда удавалось находить нетривиальные решения для всех проблем и успешно завершить этот анализ.

Я выражаю особую благодарность Дмитрию Васильевичу Ширкову, моему учителю и наставнику. Я благодарен Дмитрию Васильевичу за разъяснение отдельных элементов квантовой теории поля, квантовой хромодинамики и аналитической теории возмущений. Только благодаря огромному опыту и моральной поддержке Дмитрия Васильевича, удавалось преодолевать все препятствия на пути к поставленной цели. Я также благодарен моему соавтору Антонию Щуреку за гостеприимство и поддержку во время моего пребывания в Кракове. Я особенно признателен Михайлову Сергею, Бакулеву Александру и Игорю Аникину за их помощь, поддержку на трудных этапах работы и за регулярные обсуждения ее результатов. Мне также хочется поблагодарить Любушкина Владимира за техническую и моральную поддержку на всех этапах оформления диссертации и полезные советы. Наконец, хочу поблагодарить Эдуарда Алексеевича Кураева и Анатолия Васильевича Ефремова за проявленный интерес к работе и важные замечания.

Я искренне благодарен моей маме, папе и сестре за их понимание и постоянную поддержку.

С уважением,

Роман Пасечник Дубна, июнь 2009 г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пасечник, Роман Сергеевич, 2009 год

1. А. V. Efremov and А. V. Radyushkin, Riv. Nuovo Cim. 3N2, 1 (1980).

2. A. V. Efremov and A. V. Radyushkin, Phys. Lett. B94, 245 (1980).

3. J. C. Collins, D. E. Soper and G. Sterman, Adv. Ser. Direct. High Energy Phys. 5, 1 (1988), hep-ph/0409313.

4. P. Nason, S. Dawson and R. K. Ellis, Nucl. Phys. B303, 607 (1988).

5. G. Altarelli, M. Diemoz, G. Martinelli and P. Nason, Nucl. Phys. B308, 724 (1988).

6. W. Beenakker, H. Kuijf, W. L. van Neerven and J. Smith, Phys. Rev. D40, 54 (1989).

7. A. V. Efremov and A. V. Radyushkin, Theor. Math. Phys. 44, 573 (1980).

8. D. V, Shirkov and I. L. Solovtsov, Phys. Rev. Lett. 79, 1209 (1997), hep-ph/9704333.

9. D. V. Shirkov, Theor. Math. Phys. 127, 409 (2001), hep-ph/0012283.

10. D. V. Shirkov and I. L. Solovtsov, Theor. Math. Phys. 150, 132 (2007), hep-ph/0611229.

11. Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 65, 135 (2002), hep-ph/0109081.

12. S. Catani, M. Ciafaloni and F. Hautmann, Phys. Lett. B242, 97 (1990).

13. S. Catani, M. Ciafaloni and F. Hautmann, Nucl. Phys. B366, 135 (1991).

14. J. C. Collins and R. K. Ellis, Nucl. Phys. B360, 3 (1991).

15. L. V. Gribov, E. M. Levin and M. G. Ryskin, Phys. Rept. 100, 1 (1983).

16. E. M. Levin, M. G. Ryskin, Y. M. Shabelski and A. G. Shuvaev, Sov. J. Nucl. Phys. 53, 657 (1991).

17. P. Hagler, R. Kirschner, A. Schafer, L. Szymanowski and О. V. Teryaev, Phys. Rev. D63, 077501 (2001), hep-ph/0008316.

18. P. Hagler, R. Kirschner, A. Schafer, L. Szymanowski and О. V. Teryaev, Phys. Rev. Lett. 86, 1446 (2001), hep-ph/0004263.

19. M. Luszczak and A. Szczurek, Phys. Rev. D73, 054028 (2006), hep-ph/0512120.

20. C. Brenner Mariotto, M. B. Gay Ducati and M. V. T. Machado, Phys. Rev. D66, 114013 (2002), hep-ph/0208155.

21. M. Luszczak and A. Szczurek, Phys. Lett. B594, 291 (2004), hep-ph/0404210.

22. А. V. Lipatov and N. P. Zotov, Eur. Phys. J. C44, 559 (2005), hep-ph/0501172.

23. A. V. Lipatov and N. P. Zotov (2005), hep-ph/0510043.

24. M. Luszczak and A. Szczurek, Eur. Phys. J. C46, 123 (2006), hep-ph/0504119.

25. M. Nagashima and H.-n. Li, Phys. Rev. D67, 034001 (2003), hep-ph/0210173.

26. A. Rybarska, W. Schafer and A. Szczurek, Phys. Lett. B668, 126 (2008), 0805.0717 hep-ph].

27. A. Schafer, O. Nachtmann and R. Schopf, Phys. Lett. B249, 331 (1990).

28. A. Bialas and P. V. Landshoff, Phys. Lett. B256, 540 (1991).

29. J.-R. Cudell and 0. F. Hernandez, Nucl. Phys. B471, 471 (1996), hep-ph/9511252.

30. V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Phys. Lett. B401, 330 (1997), hep-ph/9701419.

31. V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C23, 311 (2002), hep-ph/0111078.

32. A. B. Kaidalov, V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C31, 3872003), hep-ph/0307064.

33. A. B. Kaidalov, V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C33, 2612004), hep-ph/0311023.

34. V. A. Khoze, A. D. Martin, M. G. Ryskin and W. J. Stirling, Eur. Phys. J. C35, 211 (2004), hep-ph/0403218.

35. S. Heinemeyer, V. A. Khoze, M. G. Ryskin et al, Eur. Phys. J. C53, 231 (2008), 0708.3052.

36. M. G. Albrow and A. Rostovtsev (2000), hep-ph/0009336.

37. M. Albrow et al. CERN-LHCC-2006-039.

38. В. E. Cox, AIP Conf. Proc. 753, 103 (2005), hep-ph/0409144.

39. V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C19, 477 (2001), hep-ph/0011393.

40. V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C24, 581 (2002), hep-ph/0203122.

41. J. R. Forshaw (2009), 0901.3040.

42. M. G. Albrow et al. (2008), 0806.0302.

43. J. R. Forshaw (2005), hep-ph/0508274.

44. J. Collins and H. Jung (2005), hep-ph/0508280.

45. A. G. Shuvaev, K. J. Golec-Biernat, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Phys. Rev. D60, 014015 (1999), hep-ph/9902410.

46. M. Luszczak and A. Szczurek, Phys. Rev. D73, 054028 (2006), hep-ph/0512120.

47. A. Donnachie and P. V. Landshoff, Phys. Lett. B185, 403 (1987).

48. A. Donnachie and P. V. Landshoff, Phys. Lett. B191, 309 (1987).

49. A. Donnachie and P. V. Landshoff, Nucl. Phys. B303, 634 (1988).

50. B. Pire, J. Soffer and O. Teryaev, Eur. Phys. J. C8, 103 (1999), hep-ph/9804284.

51. X. Artru, M. Elchikh, J.-M. Richard, J. Soffer and О. V. Teryaev, Phys. Rept. 470, 1 (2009), 0802.0164.

52. J. В art els, S. Bondarenko, K. Kutak and L. Motyka, Phys. Rev. D73, 093004 (2006), hep-ph/0601128.

53. J. F. Owens, Rev. Mod. Phys. 59, 465 (1987).

54. C.-Y. Wong and H. Wang, Phys. Rev. C58, 376 (1998), hep-ph/9802378.

55. Y. Zhang, G. I. Fai, G. Papp, G. G. Barnafoldi and P. Levai, Phys. Rev. C65, 034903 (2002), hep-ph/0109233.

56. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov and V. S. Fadin, Sov. Phys. JETP 45, 199 (1977).

57. I. I. Balitsky and L. N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 28, 822 (1978).

58. A. J. Askew, J. Kwiecinski, A. D. Martin and P. J. Sutton, Phys. Rev. D49, 4402 (1994), hep-ph/9310261.

59. K. J. Eskola, A. V. Leonidov and P. V. Ruuskanen, Nucl. Phys. B481, 704 (1996), hep-ph/9606406.

60. K. J. Golec-Biernat and M. Wusthoff, Phys. Rev. D60, 114023 (1999), hep-ph/9903358.

61. D. Kharzeev and E. Levin, Phys. Lett. B523, 79 (2001), nucl-th/0108006.

62. F. E. Close and G. A. Schuler, Phys. Lett. B458, 127 (1999), hep-ph/9902243.

63. N. I. Kochelev, T. Morii and A. V. Vinnikov, Phys. Lett. B457, 202 (1999), hep-ph/9903279.

64. N. I. Kochelev, T. Morii, B. L. Reznik and A. V. Vinnikov, Eur. Phys. J. A8, 405 (2000), hep-ph/0005088.

65. K. G. Boreskov, Sov. J. Nucl. Phys. 8, 464 (1969), Yad. Fiz. 8 (1968) 796].

66. A. B. Kaidalov and В. M. Karnakov, Sov. J. Nucl. Phys. 3, 814 (1966), Yad. Fiz. 3 (1966) 1119].

67. A. B. Kaidalov and В. M. Karnakov, Sov. J. Nucl. Phys. 11, 121 (1970), Yad. Fiz. 11 (1970) 216].

68. V. N. Gribov, Sov. Phys. JETP 26, 414 (1968).

69. D. Barberis et al, Phys. Lett. B422, 399 (1998), hep-ex/9801003.

70. Н. М. Georgi, S. L. Glashow, M. E. Machacek and D. V. Nanopoulos, Phys. Rev. Lett. 40, 692 (1978).

71. F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 39, 1304 (1977).

72. J. R. Ellis, M. K. Gaillard, D. V. Nanopoulos and С. T. Sachrajda, Phys. Lett. B83, 339 (1979).

73. T. G. Rizzo, Phys. Rev. D22, 178 (1980).

74. D. Graudenz, M. Spira and P. M. Zerwas, Phys. Rev. Lett. 70, 1372 (1993).

75. M. Spira, A. Djouadi, D. Graudenz and P. M. Zerwas, Nucl. Phys. B453, 17 (1995), hep-ph/9504378.

76. G. Passarino and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B160, 151 (1979).

77. O. L. Veretin and О. V. Teryaev, Phys. Atom. Nucl. 58, 2150 (1995).

78. V. B. Berestetsky, E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevsky Oxford, UK: Pergamon (1982), 652 p. (Course Of Theoretical Physics, vol. 4).

79. G. A. Schuler (1994), hep-ph/9403387.

80. E. Braaten, S. Fleming and Т. C. Yuan, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 46, 197 (1996), hep-ph/9602374.

81. P. Nason et al. (1999), hep-ph/0003142.

82. M. Kramer, Prog. Part. Nucl. Phys. 47, 141 (2001), hep-ph/0106120.

83. N. Brambilla et al, FERMILAB-FN-0779, CERN-2005-005, Dec 2004. 521pp (2004), hep-ph/0412158.

84. P. Hagler, R. Kirschner, A. Schafer, L. Szymanowski and O. Teryaev, Phys. Rev. D62, 071502 (2000), hep-ph/0002077.

85. A. V. Lipatov, V. A. Saleev and N. P. Zotov (2001), hep-ph/0112114.

86. S. P. Baranov, A. V. Lipatov and N. P. Zotov, Yad. Fiz. 67, 856 (2004), hep-ph/0302171.

87. G. Camici and M. Ciafaloni, Phys. Lett. B386, 341 (1996), hep-ph/9606427.

88. G. Camici and M. Ciafaloni, Nucl. Phys. B496, 305 (1997), hep-ph/9701303.

89. M. G. Ryskin, A. G. Shuvaev and Y. M. Shabelski, Phys. Atom. Nucl. 64, 120 (2001), hep-ph/9907507.

90. V. S. Fadin and L. N. Lipatov, Nucl. Phys. B477, 767 (1996), hep-ph/9602287.

91. V. S. Fadin, R. Fiore, A. Flachi and M. I. Kotsky, Phys. Lett. B422, 287 (1998), hep-ph/9711427.

92. V. S. Fadin, Talk given at "LISHEP98", LAFEX school on high energy physics, February 14-21, Rio de Janeiro, Brazil, 1998 (1998), hep-ph/9807528.

93. F. Yuan, Phys. Lett. B510, 155 (2001), hep-ph/0103213.

94. V. A. Saleev and D. V. Vasin, Phys. Lett. B548, 161 (2002), hep-ph/0209220.

95. V. A. Saleev and D. V. Vasin, Phys. Rev. D68, 114013 (2003), hep-ph/0304114.

96. B. A. Kniehl, D. V. Vasin and V. A. Saleev, Phys. Rev. D73, 074022 (2006), hep-ph/0602179.

97. B. A. Kniehl, V. A. Saleev and D. V. Vasin, Phys. Rev. D74, 014024 (2006), hep-ph/0607254.

98. A. K. Likhoded and A. V. Luchinsky, Phys. Atom. Nucl. 71, 294 (2008), hep-ph/0703091.

99. B. Guberina, J. H. Kuhn, R. D. Peccei and R. Ruckl, Nucl. Phys. B174, 317 (1980).

100. R. Baier and R. Ruckl, Z. Phys. C19, 251 (1983).

101. P. L. Cho and A. K. Leibovich, Phys. Rev. D53, 150 (1996), hep-ph/9505329.

102. P. L. Cho and A. K. Leibovich, Phys. Rev. D53, 6203 (1996), hep-ph/9511315.

103. J. H. Kuhn, Phys. Lett. B89, 385 (1980).

104. J. H. Kuhn, J. Kaplan and E. G. O. Safiani, Nucl. Phys. B157, 125 (1979).

105. E. J. Eichten and C. Quigg, Phys. Rev. D52, 1726 (1995), hep-ph/9503356.

106. Y. L. Dokshitzer, V. A. Khoze and S. I. Troian, Phys. Rev. D53, 89 (1996), hep-ph/9506425,

107. G. Grunberg, Phys. Lett. B372, 121 (1996), hep-ph/9512203.

108. A. I. Alekseev and B. A. Arbuzov, Mod. Phys. Lett. A13, 1747 (1998), hep-ph/9704228.

109. B. R. Webber, JHEP 10, 012 (1998), hep-ph/9805484.

110. C. S. Fischer and R. Alkofer, Phys. Rev. D67, 094020 (2003), hep-ph/0301094.

111. G. M. Prosperi, M. Raciti and C. Simolo, Prog. Part. Nucl. Phys. 58, 387 (2007), hep-ph/0607209.

112. M. Gluck, E. Reya and A. Vogt, Z. Phys. C67, 433 (1995).

113. M. Gluck, E. Reya and A. Vogt, Eur. Phys. J. C5, 461 (1998), hep-ph/9806404.

114. M. B. Cakir and G. R. Farrar, Phys. Rev. D50, 3268 (1994), hep-ph/9402203.

115. F. E. Close, G. R. Farrar and Z.-p. Li, Phys. Rev. D55, 5749 (1997), hep-ph/9610280.

116. R. S. Pasechnik, О. V. Teryaev and A. Szczurek, Eur. Phys. J. C47, 429 (2006), hep-ph/0603258.

117. W. M. Yao et al, J. Phys. G33, 1 (2006).

118. M. Drees and D. Zeppenfeld, Phys. Rev. D39, 2536 (1989).119.120.121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.131.132.133.134.135.136.137.138.139.140.141.142.143.

119. A. Donnachie and P. V. Landshoff, Phys. Lett. B296, 227 (1992), hep-ph/9209205.

120. M. A. Kimber, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Eur. Phys. J. C12, 655 (2000), hep-ph/9911379.

121. M. A. Kimber, A. D. Martin and M. G. Ryskin, Phys. Rev. D63, 114027 (2001), hep-ph/0101348.

122. Lonnblad and M. Sjodahl, JHEP 05, 038 (2005), hep-ph/0412111.

123. Lonnblad and M. Sjodahl, JHEP 02, 042 (2004), hep-ph/0311252.

124. D. V. Shirkov and I. L. Solovtsov, JINR Rapid Comm. No.2 pages 76-96 (1996), hep-ph/9604363.

125. K. A. Milton and I. L. Solovtsov, Phys. Rev. D55, 5295 (1997), hep-ph/9611438.

126. Y. A. Simonov, Phys. Atom. Nucl. 66, 764 (2003), hep-ph/0109159.

127. Y. A. Simonov, J. Nonlin. Math. Phys. 12, S625 (2005), hep-ph/0409265.

128. A. Szczurek, R. S. Pasechnik and О. V. Teryaev, Phys. Rev. D75, 054021 (2007), hep-ph/0608302.

129. W. Schafer and A. Szczurek, Phys. Rev. D76, 094014 (2007), 0705.2887. C. Amsler et al., Phys. Lett. B667, 1 (2008).

130. M. Gallinaro, Acta Phys. Polon. B35, 465 (2004), hep-ph/0311192.

131. M. Rangel, C. Royon, G. Alves, J. Barreto and R. B. Peschanski, Nucl. Phys. B774, 53 (2007), hep-ph/0612297.

132. Balitsky, Nucl. Phys. B463, 99 (1996), hep-ph/9509348.

133. Y. V. Kovchegov, Phys. Rev. D61, 074018 (2000), hep-ph/9905214.

134. Y. V. Kovchegov, Phys. Rev. D60, 034008 (1999), hep-ph/9901281.

135. V. A. Khoze, A. D. Martin and M. G. Ryskin, JHEP 05, 036 (2006), hep-ph/0602247.

136. F. E. Close and G. A. Schuler, Phys. Lett. B464, 279 (1999), hep-ph/9905305.

137. P. Castoldi, R. Escribano and J. M. Frere, Phys. Lett. B425, 359 (1998), hep-ph/9712387.

138. M. Diehl, P. Kroll and C. Vogt, Eur. Phys. J. C22, 439 (2001), hep-ph/0108220. J. Gronberg et al., Phys. Rev. D57, 33 (1998), hep-ex/9707031.

139. R. S. Pasechnik, A. Szczurek and О. V. Teryaev, Phys. Rev. D78, 014007 (2008), 0709.0857.

140. A. Bzdak, L. Motyka, L. Szymanowski and J. R. Cudell, Phys. Rev. D75, 094023 (2007), hep-ph/0702134.

141. D. Landau, Dokl. Akad. Nauk. USSR 60, 207 (1948).144.145.146.147.148.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.161.162.163.164.165.166.167.168.169.170.171.

142. C. N. Yang, Phys. Rev. 17, 242 (1950).

143. S. P. Baranov and A. Szczurek, Phys. Rev. D77, 054016 (2008). S. P. Baranov, Phys. Lett. B594, 277 (2004).

144. M. Melis, F. Murgia and J. Parisi, Phys. Rev. D70, 034021 (2004), hep-ph/0404070.

145. W. Y. Keung, I. Low and J. Shu, Phys. Rev. Lett. 101, 091802 (2008).

146. J. H. Kuhn, J. Kaplan and E. G. O. Safiani, Nucl. Phys. B157, 125 (1979).

147. B. A. Kniehl, G. Kramer and C. P. Palisoc, Phys. Rev. D68, 114002 (2003), hep-ph/0307386.

148. J. Kodaira, S. Matsuda, K. Sasaki and T. Uematsu, Nucl. Phys. B159, 99 (1979). J. Kodaira, Nucl. Phys. B165, 129 (1980).

149. S. A. Larin, F. V. Tkachov and J. A. M. Vermaseren, Phys. Rev. Lett. 66, 862 (1991).

150. S. A. Larin and J. A. M. Vermaseren, Phys. Lett. B259, 345 (1991).

151. M. Anselmino, B. L. Ioffe and E. Leader, Sov. J. Nucl. Phys. 49, 136 (1989).

152. J. Soffer and O. Teryaev, Phys. Rev. D70, 116004 (2004), hep-ph/0410228.

153. S. B. Gerasimov, Sov. J. Nucl. Phys. 2, 430 (1966).

154. S. D. Drell and A. C. Hearn, Phys. Rev. Lett. 16, 908 (1966).

155. A. Deur, V. Burkert, J. P. Chen and W. Korsch, Phys. Lett. B665, 349 (2008), 0803.4119.

156. D. V. Shirkov, AIP Conf. Proc. 806, 97 (2006), hep-ph/0510247. D. V. Shirkov, Eur. Phys. J. C22, 331 (2001), hep-ph/0107282.

157. D. V. Shirkov and A. V. Zayakin, Phys. Atom. Nucl. 70, 775 (2007), hep-ph/0512325.

158. M. Baldicchi and G. M. Prosperi, Phys. Rev. D66, 074008 (2002), hep-ph/0202172.

159. M. Baldicchi and G. M. Prosperi, AIP Conf. Proc. 756, 152 (2005), hep-ph/0412359.

160. M. Baldicchi, G. M. Prosperi and C. Simolo, AIP Conf. Proc. 892, 340 (2007), hep-ph/0611087.

161. К. A. Milton, I. L. Solovtsov and O. P. Solovtsova, Phys. Rev. D60, 016001 (1999), hep-ph/9809513.

162. K. A. Milton, I. L. Solovtsov and O. P. Solovtsova, Phys. Lett. B439, 421 (1998), hep-ph/9809510.

163. M. Beneke, Phys. Rept. 317, 1 (1999), hep-ph/9807443.

164. A. L. Kataev, Phys. Rev. D50, 5469 (1994), hep-ph/9408248.

165. A. L. Kataev, Mod. Phys. Lett. A20, 2007 (2005), hep-ph/0505230.

166. A. L. Kataev, G. Parente and A. V. Sidorov, Nucl. Phys. B573, 405 (2000), hep-ph/9905310.

167. К. V. Dharmawardane et al, Phys. Lett. B641, 11 (2006), nucl-ex/0605028.

168. P. E. Bosted et al, Phys. Rev. C75, 035203 (2007), hep-ph/0607283.

169. Y. Prok et al, Phys. Lett. B672, 12 (2009), 0802.2232.

170. A. Deur et al, Phys. Rev. D78, 032001 (2008), 0802.3198.

171. A. Deur et al, Phys. Rev. Lett. 93, 212001 (2004), hep-ex/0407007.

172. A. Deur, V. Burkert, J.-P. Chen and W. Korsch, Phys. Lett. B650, 244 (2007), hep-ph/0509113.

173. J.-p. Chen (2006), nucl-ex/0611024.

174. J.-P. Chen, A. Deur and Z.-E. Meziani, Mod. Phys. Lett. A20, 2745 (2005), nucl-ex/0509007.

175. D. V. Shirkov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 162, 33 (2006), hep-ph/0611048.

176. S. Bethke, Prog. Part. Nucl. Phys. 58, 351 (2007), hep-ex/0606035.

177. B. A. Magradze, JINR Comm. E2-2000-222, 19pp. (2000), hep-ph/0010070.

178. D. S. Kourashev and B. A. Magradze, Theor.Math.Phys. 135, 531 (2003), hep-ph/0104142.

179. I. L. Solovtsov and D. V. Shirkov, Theor. Math. Phys. 120, 1220 (1999), hep-ph/9909305.

180. E. V. Shuryak and A. I. Vainshtein, Nucl. Phys. B201, 141 (1982).

181. X.-D. Ji and J. Osborne, J. Phys. G27, 127 (2001), hep-ph/9905410.

182. E. Leader, A. V. Sidorov and D. B. Stamenov, Phys. Rev. D75, 074027 (2007), hep-ph/0612360.

183. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B147, 385 (1979).

184. V. D. Burkert and B. L. Ioffe, Phys. Lett. B296, 223 (1992).

185. R. Alkofer and L. von Smekal, Phys. Rept. 353, 281 (2001), hep-ph/0007355.

186. P. Boucaud et al., Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 266 (2002), hep-ph/0110171.

187. J. Skullerud, A. Kizilersu and A. G. Williams, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 841 (2002), hep-lat/0109027.

188. D. V. Shirkov, Theor. Math. Phys. 132, 1309 (2002), hep-ph/0208082.

189. R. S. Pasechnik, A. Szczurek and О. V. Teryaev (2009), 0901.4187.

190. R. S. Pasechnik, D. V. Shirkov and О. V. Teryaev, Phys. Rev. D78, 071902 (2008), 0808.0066.