Дискретные эллиптические псевдодифференциальные уравнения и связанные с ними дискретные краевые задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тарасова Оксана Александровна

• Тарасова Оксана Александровна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Тарасова Оксана Александровна

Введение

Глава 1 Основы теории дискретных псевдодифференциальных

уравнений

1.1 О псевдодифференциальных операторах

1.2 Дискретные пространства Соболева - Слободецкого

1.3 Дискретные псевдодифференциальные операторы и дискретные

уравнения

1.4 Общее решение

Глава 2 Дискретные уравнения и краевые задачи в

полупространстве

2.1 Дискретная задача Дирихле в полупространстве

2.2 О разрешимости дискретных краевых задач

2.3 Дискретная задача Дирихле

2.4 О сравнении дискретных и непрерывных решений

Глава 3 Сравнение дискретных и непрерывных решений

3.1 Дискретные уравнения и разрешимость

3.2 Аппроксимационные оценки

3.3 Общая дискретная краевая задача

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные эллиптические псевдодифференциальные уравнения и связанные с ними дискретные краевые задачи»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория псевдодифференциальных операторов и соответствующий термин появился в середине 60-х годов прошлого столетия [47, 48, 49] и сразу приобрела большую популярность. Во-первых, эта теория охватывала как теорию дифференциальных операторов, так и теорию интегральных операторов типа свертки, включая уравнения с такими операторами. Во-вторых, выяснилось, что такие операторы естественно возникают при обращении дифференциальных операторов, но, что самое важное, эти операторы появляются в различных задачах математической физики, в частности, в теории электромагнитных волн и квантовой механика.

Появилось большое количество работ, изучающих псевдодифференциальные операторы в различных функциональных пространствах, а также работ, в которых эти операторы возникали в различных прикладных задачах. В большинстве прикладных работ эти операторы участвовали в операторных уравнения, в связи с чем возникла необходимость исследования разрешимости соответствующих операторных уравнений.

В евклидовом пространстве и на гладком многообразии (без края) было построено символическое исчисление, которое позволя-

ло, грубо говоря, сводить операторное уравнение к алгебраическому с допустимой погрешностью (с точностью до компактных операторов), и это позволяло описать условия фредгольмовости исходного операторного уравнения в терминах его символа. Кульминацией символичекого исчисления стала теорема Атьи-Зингера об индексе эллиптического оператора, которая выражала индекс оператора в топологических терминах.

Если же у многообразия присутствует край (даже гладкий), имеющиеся символические исчисления уже не работают, и приходится привлекать новый технический аппарат. Основой теории псевдодифференциальных операторов и уравнений в любой ситуации служит специальный локальный принцип [37], который утверждает, что для описания фредгольмовости исследуемого операторного уравнения следует описать условия обратимости его локальных представителей. Эти локальные представители являются псевдодифференциальными операторами в евклидовом пространстве с символом, не зависящим от пространственной переменной в специальной "канонической"области. В случае многообразия без края такой канонической областью служило все евклидово пространство, в случае многообразия с гладким краем возникало уже два типа канонических областей: все евклидово пространство и полупространство, которое локально представляло собой окрестность граничной

точки. Детальное исследование случая полупространсва было проведено М.И. Вишика и Г.И. Эскина [50], где наряду с гармоническим анализом использован аппарат классической краевой задачи Римана и одномерных сингулярных интегральных уравнений [17, 18, 19, 39]. Их исследования составили основу теории эллиптических краевых задач для псевдодифференциальных уравнений [32].

Степень её разработанности. Несмотря на всю значимость проведенных исследований остается открытым вопрос о нахождении решений псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними эллиптических краевых задач. Как правило, аналитическую формулу для решения получить не удается, в связи с чем на первый план выходят приближенные методы решения, реализуемые с помощью компьютерных вычислений. В теории краевых задач для дифференциальных уравнений широкое распространение получили метод разностных схем [35] и метод разностных потенциалов [33, 34], в теории интегральных уравнений - метод коллокации и различные интерполяционные методы [20, 21, 22, 24, 30, 36, 38, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 62]. Однако для псвдодифференциальных уравнений отсутствуют соответствующие аналоги этих методов, которые в данной ситуации неприменимы.

С учетом этих обстоятельств была предпринята попытка создать дискретную теорию эллиптических псевдодифференциаль-

ных уравнений и соответствующих дискретных краевых задач, описать картину их разрешимости и показать, что дискретных краевые задачи могут иметь хорошие аппроксимационные свойства при подходящем выборе дискретных аппроксимаций. Первые исследования в этом направлении были проведены с многомерными сингулярными интегральными операторами Кальдерона-Зигмунда [65, 67, 68, 69, 73, 74], где были получены результаты о разрешимости дискретных уравнений и дано сравнение дискретных и непрерывных решений. Эти исследования получили развитие в более широком контексте псевдодифференциальных уравнений [72, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85], позволив описать условия разрешимости дискретных псевдодифференциальных уравнений и некоторых краевых задач.

В настоящей работе основной акцент сделан на сравнении дискретных и непрерывных эллиптических краевых задач в полупространстве = {х Е Мт : х = (х,хт),хт > 0} для простейших простейших псевдодифференциальных операторов. В дальнейшем перейдем к рассмотрению более общих псевдодифференциальных операторов с символами, зависящими от пространственной переменной.

Цель и задачи диссертационной paбoты. Исследование разрешимости дискретных псевдодифференциальных уравнений и

дискретных краевых задач, обоснование предельного перехода от дискретного к континуальному случаю, получению оценок погрешности дискретных решений.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития более общей теории дискретных псевдодифференциальных уравнений и дискретной теории краевых задач. Практическая значимость диссертационного исследования подтверждена внедрением полученных результатов в практику деятельности кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования института инженерных и цифровых технологий федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет».

Методология и методы исследования. В диссертационной работе испсшьзуются методы тeopии кpaeвыx зaдaч, интeгpaльныx ypaвнeний и методы гармонического анализа.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательства разрешимости дискретной задачи Дирихле для эллиптического псевдодифференциального оператора.

2. Получение оценок погрешности дискретной задачи Дирихле при различных правых частях граничного условия.

3. Доказательства разрешимости общей дискретной краевой задачи в полупространстве в дискретном аналоге пространства Со-болева-Слободецкого .

4. Сравнение дискретных и непрерывных решений для общей краевой задачи в полупространстве.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов основывается на строго доказанных математических фактах, которые многократно использовались и применялись в других математических исследованиях. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- IV, V всероссийские научно-практические конференции с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук», Орел, 2018, 2019, «О дискретных аппроксимациях для эллиптических краевых задач», «О некоторых свойствах дискретных краевых задач».

- 90th Лппиа1 Meeting of the 1п1егпа1юпа1 Лззоаа^оп of App^d Ма^ешайся and Ме^ашся «GAMM», Vienna, ЛшШа, 2019, «On яоше discrete boundary уа1ие ргоЫешя for e11iptic едиайош».

- международная конференция «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XXX», Воронеж, 2019, «Дис-

кретные операторы и дискретные эллиптические краевые задачи».

- международная конференция посвященная 110-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина «Оптимальное управление и дифференциальные игры», Москва, 2018, «О дискретной версии псевдодифференциальных уравнений».

- I международная научно-практическая и научно-методическая конференция «Математика и механика: вопросы и тенденции развития», Белгород, 2019, «О приближенном решении некоторых краевых задач».

- международная открытая конференция «Современные проблемы анализа динамических систем. Теория и практика», Воронеж, 2019, «О дискретных приближениях для некоторых краевых задач».

- International meeting devoted to the field of differential equations in the broadest sense, Equadiff - 2019, Leiden, the Netherlands, 2019, «On some discrete elliptic boundary value problems».

- 2nd International Conference on Mathematical Modeling in Applied Sciences, ICMMAS'19, Belgorod, 2019, «On some estimates for discrete boundary value problems».

- VII международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование», Улан-Уде, 2020, «О некоторых дискретных краевых задачах».

- VIII международная научно-техническая конференция «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» (ИТНОП-2020), Белгород, 2020, «О дискретных решениях эллиптических псевдодифференциальных уравнений».

- XIX всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2020», Казань, 2020, «О сравнении дискретных и непрерывных решений для некоторых краевых задач».

- International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (ICNAAM-2019), Rhodes, Greece, 2019, «On digital approximations for elliptic boundary value problems».

- 9th International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA-2020), Skopje North Macedonia, 2020, «On certain digital operators in the theory of boundary value problems».

- II всероссийская конференция с международным участием, посвященная 90-летию Дагестанского государственного университета «Актуальные проблемы математики и информационных технологий», Махачкала, 2021, «О дискретных эллиптических псевдодифференциальных уравнениях».

- European Conference Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH 2019), Egmondо аan Zee, The Netherlands, 2019, «Approximation properties of discrete boundary value problems for elliptic pseudo-differential equations».

- Международная конференция «Дифференциальные уравнения математическое моделирование и вычислительные алгоритмы», Белгород, 2021, «О дискретных псевдодифференциальных уравнениях».

Публикации. Публи^ции пo тeмe диссepтaции oтpaжeны в 19 научных работах, из них 1 статья в научных журналах, рекомендованных МБД ВАК, 2 статьи в международных журналах, входящих в базы цитирования Scopus. В сoвмeстныx paбoтax В. Б. Вaсильeвy пpинaдлeжит пoстaнoвкa зaдaчи и выбop мeтoдa ис-слeдoвaния, a сoискaтeлю - peaлизaция выбpaнныx мeтoдик.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы, содержащего 90 наименований.

Введение сoдepжит oбзop ^^TOphix peзyльтaтoв, связaнныx с дискpeтными псевдодифференциальными oпepaтopaми и ypaвнe-ниями. Здесь приведен краткий исторический обзор по теме дис-сертации,обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель диссертационной работы, апробация работы, публикации по теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, описывается ее структура.

Глава 1 Основы теории дискретных псевдодифференциальных уравнений

1.1 О псевдодифференциальных операторах

Пусть А(£)- локально суммируемая функция удовлетворяющая оценке [50]

1Ж£)1<С (1 + |С|Г. (1)

Класс таких функций будем обозначать через ^. Псевдодифференциальным оператором называется оператор, определенный на функциях из 5(Ми) по формуле

Аи = (¿^ / А(£)й(£)е-(2)

— оо

где и(0 - преобразование Фурье и(х) Е 5(Ми). Пусть функция А(£) - символ оператора А. Если А(£) - многочлен по А(£) = ^ ак^к,

\к\<т

то в силу (2)

+<х>

Аи = Т^ / Е акете-=

( ) \к\<т

= акВки(х),

\к\<т

отсюда следует, что дифференциальный оператор. Будем обозначать псевдодифференциальный оператор А(£) через А(И). Пусть

в (1) а < —п, тогда А(£) - абсолютно интегрируемая функция и а(х) = Р—1А(£) - непрерывная ограниченная функция. Согласно свойствам преобразования Фурье свертки

+то

1-1,

Аи = ^—1(А(е Ш ))= а(х — у )и(у )йу,

— то

Тогда при А(£) Е ^^ и а < —п псевдодифференциальный оператор А является интегральным оператором типа свертки. Найдется целое т > 0, такое, что а — 2т < —п. Пусть

л (*) = )

1(?) (1 + к|2)т'

Тогда

¿1«) < С(1 + 1С\)а—2т

А1(^>) - абсолютно интегрируема. Обозначим а1(х) = Г—1 А1(^). Тогда

+то

Аи = (—А + 1 )т J а1(х — у)и(у)йу =

—то

+то

^(х — у)(—А+1)и(у)йу,

—то

п

где А = - оператор Лапласа. Таким образом А можно пред-

*=1 дх"

ставить в виде интегродифференциального оператора. Заметим, что А(£)й(£) при любом N удовлетворяют оценке

№ НИ )\< с„ (1 + \ц\)—

где и(£) Е Б(М). Тогда, Аи = Г—1А(£)и(£) является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией. Можно определить псевдодифференциальные операторы и для более широкого класса

символов, чем Б^. Пусть А Е ¿(М) - произвольная обобщенная

_ /

функция. Тогда для Ай(£) Е Б(Мп) для любой и(£) Е Б(М) определено произведение. Определим псевдодифференциальный опера/

тор действующий из 5(М) в 5(МП) по формуле

Аи = ^—1(Ай), и = Ги,и Е Б(М), где Р—1 - оператор, такой, что

(¡ф) = (2п)п(/,<р), У<р Е 5(Мп)

где ф = ¥у Е Б(М).

Если ип(х) ^ и(х) в 5(М), то йп(£) ^ й(£) в 5(М), тогда

/ 1 1 . А ип ^ А и в 5(МП) и Г—1Аип ^ Г—1Аи. Тогда псевдодифференци-

/ _

альный оператор А непрерывно отображает 5(М) в ^(М). Пусть

л / а = ^—1А Е £(М).

Аи = а *и, Уи Е Б(М) (3)

где Аи - бесконечно дифференцируемая функция. Пусть а > —п. тогда функции А0(£) Е отвечает регулярный функционал,

который мы обозначим через ^о(0 и псевдодифференциальный

оператор с символом Ао(£) имеет вид

Аои = (2^ /" М£Ш£)е-(х*><1£, Уи €5(Rn))U = Fи.

\П

— со

Если — п < а < 0, то а0(х) = ^— 1Ао(£) € пявляется регу-

лярным оператором. Согласно (3^

Аои = ао(х — у)и(у)(1у

— со

т.е. псевдодифференциальный оператор о является интегральным оператором со слабой особенностью. При любом а > 0 функцию Ао(£) можно представить в виде

п

М0 = ^рк (^)Вк

к=1

где Рк(£) и Вк(£) - однородные многочлены по £ степени т,а = т + 7, —1 < 7 < 0. Псевдодифференциальный оператор можно представить в виде интегродифференциального оператора

+оо

п

I V р

Ао(и) = ^2 Рк(пх) к(х — у)и(у)(у

к=1 ^

+оо

п

— со

I V р

Ьк(х — у)Рк( Пу) и(у)(у, Уи €5(Гг).

к 1 — оо

где Ьк (х) = ^ 1Вк (£), € 0^7_ • /—п Ао можно представлять в виде псевдодифференциального оператора различными способами.

Пример 1.1.1. Найдем представление вида

Аои = ао(х — у)и(у)(1у

— со

для псевдодифференциального оператора Рп с символом £п/|£| при п > 3.

Так как

^—^ = г —1

_ д_ |£|2 =г Тх

п

\?\2'

то

так как

1(п — 2)Г(^) [ (хп — уп)и(у)йу

+оо

Рпи =

л п

ч

\х — у\

п

— со

—Г(I) [ (хп — уп)и(у)йу

о ^

2п 2

\х — у\

п

,п > 3,

— со

^ Г( ) = п 2).

2 2 2

Пример 1.1.2. Пусть к > 0 - целое. Тогда А2к(^) = \£\2к и А2ки =

Аки, где А- оператор Лапласа. Если а > 0 не является четным,

то найдется четно число 2т > 0, такое, что а = 2т + 7, где —2 <

^ < 0. Отсюда сразу получаем

Ааи = А2т+1и = (—А)т

ЯГ(^) Т чШУ

п.

-к 2

Г(—2)) \х — у\

\п+<у'

— со

а = 2т + —2 < 7 < 0.

2

1

Рассмотрим псевдодифференциальный оператор Аои, предполагая, что —1 < 7 < 0. Обозначим

п

ао = ^Рк (И) Ьк = Р—%(£)•

к=1

Функционал ао не является регулярным при а > 0. Так как Ьк (х) € _^—п и Рк (И) Ьк (х) € О^—7——п, то сужение обобщенной функции ао является регулярным функционалом, отвечающим бесконечно дифференцируемой функции

п

ао(х) = (И)Ьк(х) € О^—/—п

Имеем

к=1

п

Аои = Нш / Ьк (х — у)Рк (Бу )и(у)(у. £^о *-' J

к=1 г

- >\х — у\>£

Так как Рк(Иу) - однородный многочлен по Иу порядка т, то

т— 1

Рк (Ру )и(у) = Рк (Иу )(и(у) — £ - ^(у — хП (5

\р\=ор'

где р\ = р1\р2\...рп!.Подставляя (5) в (4) интегрируя т раз по частям, а затем перейдя к пределу при е ^ 0, получим

т-1

г 1 дри(х)

Аои = ао(х — у)(и(у) — дхр (У — х)Р)(У

—ж \р\=о

Этот интеграл сходится, так как

\а0(х — у)\ < —-^—■——, —1 < 7 < 0

\ ^ У" < \(х — у)\т+п+1> '

1 дри(х) ( \х — у\т, \х — у\< 1,

Ну) — У 4 — х)р \ , \ ,

£н>р! дхР { С\х — у\т~1, \х — у\> 1.

Пусть Ао(^) Е 0д° имеет нулевой порядок однородности. Обозначим Ак (£) = .

п

Тогда Ак(£) Е 0то1, о(0 = ЬАк(0 и псевдодифференциаль-

к=1

ный оператор Ао с символом Ао(^) можно представить в виде

+оо

п

I V Л

Аои = у ак(х — У)*

.ди(у)

I (X — У)" к=1 ——то

где (х) = Г—1Ак Е 0ТО+1. Псевдодифференциальный оператор Ао можно представить в виде сингулярного интегрального оператора. Пусть Ь(х) Е 0<топ,и(х) Е Б(М). Если существует

Иш Ь(х — у)и(у)йу, ]

\х — у\>£

будем говорить что такой сингулярные интеграл сходится в смысле главного значения Коши, обозначим его

+то

Иш Ь(х — у)и(у) йу = у.р. Ь(х — у)и(у)йу,

У У

\х — у\>£ —ТО

Лемма 1.1.1. Пусть Ь(х) Е 0Топ. Для того чтобы при любом и(х) Е

+то

Б(М) существовал сингулярный интеграл у.р. / Ь(х — у)и(у)(1у,

— то

необходимо и достаточно, чтобы

b(w)dsu = 0. (6)

и

s n—1

Имеем

b(x — y)u(y)dy = J b(x — y)(u(y) — u(x))dy+

lx—yl>£ £<lx—yl<\

+ J b(x — y)u(x)dy + J b(x — y)u(y)dy.

£<lx—yl<\ lx — yl>\

Последний интеграл в (7) сходится, так как u(y) Е S(Rn).

b(x — у)(и(у) — u(x))dy

£<lx — yl<1

существует , так как lu(y) — u(x)l < <^x — yl. Для вычисления второго интеграла из (7) перейдем к сферическим координатам

I | y — x

lx — У1 = г,-.-г = и.

W — xl

Получим

1

b(x — y)u(x)dy = u(x) J — J b(u)dsu =

£<lx—yl<1 £ sn—l

= u(x)ln- J b(cj)dsu.

s n—1

lim b(x — y)u(y)dy

J

| x— | >

существует при любых и(х) € 5^п) тогда и только тогда, когда выполнено условие выше. В силу (7) и (6)

у.р. Ь(х — у)и(у)(у =

—со

Ь(х — у)(и(у) — и(х))(у + J Ь(х — у)и(у)(у

\х—у\<1 \х—у\>1

Теорема 1.1.1. Псевдодифференциальный оператор Ао с символом Ао(^) € Од0 можно представить в виде сингулярного интегрального оператора

Аои = сои(х) + у.р.у ао(х — у)и(у)йу,

—ж

где

Г{ п) г Со = Ао(г])(

вп—1

ао(х) € 0дп ! ао(ш)(вш = 0

5п—1

Так как интеграл

+оо

п

' — ж

сходится, то

п

. [ , ч .ди(у)

А0и = у ак(х — у)г-^—-(у,

А0и = Иш. У г [ ак(х — у)ди-^-(у. (7)

к=\ ^ дук

\х—у\>£

Проинтегрируем (8) по частям. Получим

.дак (х — у)

к=1

Аои = Нш( [ V —У1 и(у)йу+

) Г^ охк

\Х-у\>£

П г,

+Х/ ак (х —у) Т — У\и(у)^£),

к=1 ^ \х у\

\х—у\>£

где - элемент площади сферы \х — у\ = е. Введем сферические координаты

\х — У\ = гй-г = с.

\у — х\

Получим

I V Л

^г ак (х — у) Х,к — Ук и(у)(18£ =

к=1 I I \Х У\

\х-У\>£

Е. [ ак (си) , Л 1

1 ски(х + £С)£ йвс ^

^ 1 £П— 1

П г,

г и(х) ак (с )скд.8ш,е ^ 0.

=1

Обозначим

3 п-1

П

ао(х) = У^г

,дак (х)

к=1

дхк

К=1

Отметим, что функционал

п Й

ао(х) = Р-1А>(0 = Е (8

дхк

к=1 К

не является регулярным. Однако его сужение на Мп \ 0 является регулярным функционалом, отвечающим функции ао(х). В

силу (8) предел суммы интегралов (9) существует. Так как второй интеграл в (11) имеет предел при е ^ 0, то существует

lim ao(x — y)u(y)dy =

J

| x | >

+<х>

= v.p. J ao(x — y)u(y)dy,

Тогда из леммы 1.1.1 следует, что f а0(и)dsu = 0. Таким образом,

s п~1

A0(u) = c0u(x) + v.p. J a0(x — y)u(y)dy,

— oo

n

где с0 = г / ак(ш)шк(5 ш. Покажем, что

к=1 s п~1

г( П)

n

I ак (и )ukdsu = Г^7г I Ao(rj)dsv.

=1

sп~ i sп~1

n n

Так как ак = Р 1Ак, то г ^ хкак = ^ Р 1 йт.

к=1 к=1

Получаем

n — n ßA

а xkak(x), f(x)) = щп, (j2 ^k

(t (Ak У

x2

Положим ^(х) = е 2 . Переходя к сферическим координатам, получим

п д 1

Укак (У))(% —Г^1(Г =

7—1 ^ Р 2

5П-1 к=1 о

то

1 п Г Г 2

= Щй£ У Ак(V)т^п) ! е-^р"-Чр.

^=1 С<п-1 о

П

Так как ^ Ак(г})щ = Ао(г}), то

к=1

П 2^2Т г(г^) г

1 I Укак(у))^у = Ао^Цв^

с<п—1 к=1 1

2п 2

Б п~1

Ао(7])йв11.

Пример 1.1.3. Обозначим через 1 < к < п, псевдодифференциальным оператором с символом щ = щ. Отметим, что

/ щб^вц = 0 в силу нечетности щ. Так как

5 п~1

ь . д „_1 1

^—^ = -

|е| дХк

то в силу теоремы 1.1.1

+оо

Гки = у.р. 1] ] ^^-^иШу

—со

—Г«!!1 ).. . 7 (Хк — Ук)

п+1

—-1+2 'у.р. I ^—^и(у)бу.

ж^ } V — у\п+1

-то

где

^ = Г( 2±1).

Сингулярные интегральные операторы Ук называются операторами Рисса.

Пример 1.1.4. Пусть А - псевдодифференциальный оператор с символом |£|. Так как

П £

ю = £ б#

к=1 ы

то псевдодифференциальный оператор А можно представить в виде

Л ^^П ^ Г(^) / (хк - Ук) Му), Аи = £ У^ = £ Ж*У

Оператор А называется интегродифференциальным оператором Зиг-мунда-Кальдерона. Для любого псевдодифференциального оператора с символом Ао(£) Е О^, где т > 0 - целое, можно представить в виде

Аои = ^^ (Б)Вки,

П к=1

где Qк(И) - однородные дифференциальные операторы порядка т,

Вк-сингулярные интегральные операторы. Пусть А0(£) Е О^^а <

_ /

—п. Тогда функции Ао(£) можно сопоставить функционал Ао Е Б

при а + г/ = —п, —п — 1,... или при / = 0,а = —п, —п — 1,....

Псевдодифференциальный оператор и = Р—1Аои имеет вид

Аои = ! ао(х — у)и(у)йу, Уи еб(Мп),

— оо

где ао(х) = Г—1Ао при а+г3 = —п, —п—1 или при = —п, —п—1,....

Пример 1.1.5. Найдем псевдодифференциальный оператор Р2 с символом при п = 2. Так как

771-1 & . д -1А-2 ■ & \ ( \ * = г'о—* 1А 2 = г——А_2(х),

\С\2 дХ2 дХ2

то

+оо

Р2и = —-- ^—Щ-и(у)бу, п = 2. 2^] \х — у\2

— со

(6 + г&) ( \е\2 )

1 — г х1 — х2 1 1

2к \х\2 2тх1 + гх2

р—б — &) = а А + А ^__

& + ъ& дх1 дх2 2тх1 + гх2

1

х = 0,

/к(х1 + гх2)

Р—1{ к—к ) = а 9 + д ) 1

|£| дх1 дх2 2п\х\

1

=-7-—г,х = 0.

2т (х1 + г х2)\х\

Пусть Ао(^) Е 0ТО+гз, и а < 0. Псевдодифференциальный оператор Ао с символом Ао(Ао = Ао(^) — п < а < 0) является интегральным оператором. Обозначим через х(0 функцию класса Со°(Ми), равную 1 при \ \ < 1 . Тогда функция

¿1(0 = (1 — х(£))А>(£) е §

и бесконечно дифференцируема, причем

(£)1<Ск.(1 + 1£1)а—к, 0 <Щ < ж.

Обозначим через А1 псевдодифференциальный оператор Ах(£) и сравним его с псевдодифференциальным оператором Ао. Пусть

а\ = Р—1Аг(0,ао = Р—1Ао.

Тогда ао — а1 = Р—^Ао. Так как х(0 Е Сд°(^п). то %Ао является финитным. а2(х) = Р—^Ао - целая аналитическая функция. Тогда, при а < 0а-\_(х) = ао(х) — а2(х) Е при х = 0 и А1 -интегральный оператор с ядром а1(х — у). Обозначим

Вм(0 = А^А^.^х< См(1 +

При N > пЬм(х) = Р 1Вм(£,) - ограниченная функция. Так

как

Ьм (х) = Р-1А^А!(0 = (—1)м 1х\ша! (х)

то

Ых)1<хм, У N.

Следовательно интегральные операторы А1 и Ао отличаются на интегральный оператор с бесконечно дифференцируемым ядром а2(х — у). Умножение символа Ао(^) на (1 — х(0) приводит к тому,

что ядро а1(х—у) псевдодифференциального оператора А1 убывает быстрее любой степени при 1х — у1 ^ ж.

1.2 Дискретные пространства Соболева - Слободецкого

Теория псевдодифференциальных операторов и соответствующих уравнений была построена во второй половине прошлого века [46, 47, 50, 58] и она включает в себя теоремы об ограниченности в различных функциональных пространствах и определенный вариант символического исчисления. Но для дискретной ситуации нет ни одного варианта такой теории, хотя существует множество приближенных конструкций для решения простейших видов псевдодифференциальных уравнений, например сингулярных интегральных и подобных уравнений [20, 51, 53, 56, 57, 60, 63, 65]. Более того, есть некоторые недавние исследования для этих дискретных ситуаций с точки зрения алгебраического или символического исчисления на т-мерной решетке Ът [51, 60]. Но существуют принципиальные трудности при переносе этого подхода на другие дискретные области, не совпадающие с Ът, например, дискретное полупространство или дискретный конус. В работе предлагается вспомнить этот пробел и начать изучать дискретные аналоги псевдодифференциальных операторов и уравнений. Предполагается, что такая

дискретная теория поможет нам обосновать приближенные схемы решения этих уравнений.

Ранее были получены некоторые начальные результаты для специальных дискретных псевдодифференциальных операторов и уравнений, а именно операторов Кальдерона - Зигмунда [ 68, 69] включая некоторое сравнение между дискретными и непрерывными ситуациями [75]. Есть некоторые начальные результаты для изучения псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними краевых задач для дискретных областей в ш-мерного пространства, которые отличаются от Ът [68, 72, 74]. Используя параметр К > 0 будем получать существующую теорию псевдодифференциальных операторов и краевых задач на многообразиях с границей, проходящей при К ^ 0, чтобы обосновать построение приближенных решений и получить оценки ошибок между непрерывными и дискретными решениями в соответствующих дискретных функциональных пространствах.

Основной целью этой главы описание дискретных операторов, дискретных пространств и доказательство теоремы о структуре общего решения модельного дискретного эллиптического псевдодифференциального уравнения в дискретном полупространстве.

Будем использовать следующие обозначения. Пусть Тт - т -мерный куб [—п, п]т, К > 0, Н = К—1. Мы рассматриваем все функ-

ции, определенные на кубе, как периодические функции в Мт с таким кубом периодов.

Если щ(х),х Е является функцией дискретной переменной, тогда мы называем ее дискретной функцией. Для таких дискретных функций можно определить дискретное преобразование Фурье

если последний ряд сходится, и функция й^(^) является периодической функцией на Мт с основным кубом периодов НТт. Это дискретное преобразование Фурье сохраняет основные свойства интегрального преобразования Фурье, в частности, обратное дискретное преобразование Фурье задается формулой

Дискретное преобразование Фурье представляет собой взаимно однозначное соответствие между пространствами Ь2(ЬЪт) и Ь2(ЬТт) с нормами

(рЛйЛ)(о = = ^ е-'нй*тт, ? е етт,

же к%т

Шт

и

Поскольку определение пространств Соболева - Слободецко-го включает частные производные, мы используем их дискретные аналоги, т.е. разделенные разности. Разделенная разность первого порядка определена формулой

(А^ил)^) = К—1(ил(х1, • • • ,хк+К, • • • ,хт)— ил(х1, ••• ,хк, ••• ,хт)).

и ее дискретное преобразование Фурье выглядит следующим образом

(А^иМ) = К -\е ^ — 1)чШ

Далее, для разделенной разности второго порядка имеем

(А ^и^)(х) = К—2(ил(х1, ••• ,хк + 2К, ••• , хт)

2щ(х1, ••• ,хк + К, ••• ,хт)+ щ (х1, ••• ,хк, ••• , хт)) и ее дискретное преобразование Фурье выглядит так:

(А(к2}чЖ) = К—2(е-'К<* — 1)%Ш

Таким образом, для дискретного лапласиана мы имеем

т

т

(2), 'к

=1

так что

т

(АыШ) = К—2 ^(е* — 1)2щ(О.

к=1

Будем использовать дискретное преобразование Фурье для введения специальных дискретных пространств Соболева - Слободец-

кого, которые очень удобны для изучения дискретных псевдодифференциальных операторов и связанных с ними уравнений.

Теперь мы введем пространство, S(hZm), состоящее из дискретных функций с конечными полунормами

ludI = sup (1 + \x\)1|Д(к)^(ж)|

xehZm

для произвольного I Е N, к = (к\, • • • , km), kr Е N, г = 1, • • • ,m, где

Д(к')щ(х) = Д к 1..., Дтud(x).

Пространство S(hZm) является дискретным аналогом пространства Шварца S(Rm) бесконечно дифференцируемых, быстро убывающих на бесконечности функций. Как правило пространство обобщенных функций над основным пространством S(Rm) обозначается через S'(Rm).

Дискретным распределением мы называем произвольный линейный непрерывный функционал, определенный на S(hZm). Совокупность таких дискретных обобщенных функций мы будем обозначать через S'(hZm), и значение функционала fd на основной функции Ud будет обозначаться как (fd,Ud).

Вместе с пространством S(hZm) мы рассматриваем пространство D(hZm) состоящий из дискретных функций с компактным (конечным) носителем. Мы говорим, что fd = 0 в дискретной области Md = М П hZm,M С Rm, если (fd,ud) = 0,Ущ Е D(Md), где

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарасова Оксана Александровна, 2023 год

Список литературы

1. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С.М. Белорецкий, И. К. Лифа-нов - Москва: Наука, 1985. - С. 256.

2. Белянков, А. Я. Разностный аналог аппарата сингулярных интегральных уравнении в теории краевых задач / А. Я. Белянков, В. С. Рябенький // Т.р. ММО. - 1983. - Т.46. - С. 44-68.

3. Васильев, В. Б. Приближенные решения многомерных сингулярных интегральных уравнений и быстрые алгоритмы их нахождения / В. Б. Васильев, А. В. Васильев // Владикавказский математический журнал. - 2014. - Т. 16. - № 1. - С. 3-11.

4. Васильев, В. Б. О разрешимость некоторых дискретных уравнений и связанных с ними оценок дискретных операторов / В. Б. Васильев, А. В. Васильев // Mathematics Reports. - 2015. -№ 92(2). - P. 585-589.

5. Васильев, В. Б. Дискретные операторы и дискретные эллиптические краевые задачи / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова // Материалы международной конференции Воронежская весенняя математическая школа (Понтрягинские чтения - XXX), Воронеж, 3-9 мая.- 2019. - С. 87-88.

6. Васильев, В. Б. О дискретных аппроксимациях для эллиптиче-

ских краевых задач / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова, Р. Е. Дер-кач //Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Современные проблемы физико-математических наук, Орел, 22 - 25 ноября. - 2018. - С. 16-20.

7. Васильев, В. Б. О дискретной версии псевдодифференциальных уравнений / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова, Р. Е. Деркач // Материалы международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина. Оптимальное управление и дифференциальные игры, Москва, 12-14 декабря.

- 2018. - С. 287-289.

8. Васильев, В. Б. О дискретных краевых задачах и их аппрокси-мационных свойствах / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. -2020. - Т. - 174. - С. 12-19.

9. Васильев, В. Б. О дискретных решениях эллиптических псевдодифференциальных уравнениях / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова // Материалы VIII международной научно-технической конференции Информационные технологии в науке, образовании и производстве (ИТНОП-2020), Белгород, 24-25 сентября.

- 2020. - С. 399-402.

10. Васильев, В. Б. О некоторых дискретных краевых задачах / В.

Б. Васильев, О. А. Тарасова // Материалы VII международной конференции (Математика, ее приложения и математическое образование), Улан-Уде, 7-12 сентября. - 2020. - С.61-63.

11. Васильев, В. Б. О сравнении дискретных и непрерывных решений для некоторых краевых задач / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова, А.А. Ходырева // Материалы XIX Всероссийской молодежной школы-конференции (Лобачевские чтения-2020), Казань, 1-4 декабря. - 2020. - С. 20-23.

12. Васильев, В. Б. Периодическая задача Римана и дискретные уравнения в свертках / В. Б. Васильев, А. В. Васильев// Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т.51. - №5. - С. 642-649.

13. Васильев, В. Б. О разрешимости некоторых дискретных уравнений и связанных с ними оценках дискретных операторов / В. Б. Васильев, А. В. Васильев // Доклады АН. - 2015. - Т. 464. -№ 6. - С. 651-655.

14. Васильев, В. Б. Операторы и уравнения: дискретное и непрерывное / В. Б. Васильев // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики и ее приложения. - 2019. - Т. 160. -C. 164.

15. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. И. Владимиров. - Москва: Наука, 1983. - 654 с.

16. Гавурин, М. К. Лекции по методам вычислений / М. К. Гаву-

рин. - Москва: Наука, 1971. - 248 с.

17. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - Москва: Физмат-гиз, 1963. - 640 с.

18. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. - Москва: Наука, 1987. - 296 с.

19. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений / И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник. - Кишинев, Штиинца, 1973. - 319 с.

20. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. - Москва: Наука, 1971. - 352 с.

21. Даугавет, И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения / И. К. Даугавет. - Спб.: БХВ - Петербург, 2006. - 288 с.

22. Красносельский, М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. За-брейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко. -Москва: Наука, 1969. - 346 с.

23. Лебедев, В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В. И. Лебедев. - Москва: Физматлит, 2005. - 264 с.

24. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - Москва: ТОО Янус, 1995. - 520 с.

25. Лифанов, И. К. Обобщенные операторы Фурье и их применение к обоснованию некоторых численных методов в аэродинамике / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 1992. - Т. 183. - №5. - С. 79-144.

26. Лифанов, И. К. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 1999. - Т. 190. - №9. - С. 41-98.

27. Лифанов, И. К. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения. II / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 1999. - Т. 190. - №1. - С. 67-134.

28. Лифанов, И. К. Псевдоразностные операторы и равномерная сходимость разностных отношений / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 2002. - Т. 193. - №2. - С. 53-80.

29. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. - Москва: Наука. 1968. - 600 с.

30. Партон, В. З. Методы математической теории упругости / В. З. Партон, П. И. Перлин. - Москва: Наука, 1981. - 688 с.

31. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис.- Москва: Мир, 1985. - 384 с.

32. Ремпель, Ш. Теория индекса эллиптических краевых задач / Ш. Ремпель, Б. В. Шульце. - Москва: Мир, 1986. - 576 с.

33. Рябенький, В. С. Метод разностных потенциалов и его прило-

жения / В. С. Рябенький. - Москва: Физматлит, 2010. - 432 с.

34. Рябенький, В. С. Методы внутренних граничных условий в теории разностных краевых задач / В. С. Рябенький // УМН. -1971. - Т. 26. - №3. - С. 105-160.

35. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский.

- Москва: Наука, 1977. - 652 с.

36. Сетуха, А. В. Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения / А. В. Сетуха. - Москва: Аргамак-Медиа, 2014.

- 256 с.

37. Симоненко, И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих / И. Б. Симоненко. - Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007. - 120 с.

38. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. - Москва: Наука, 1974. -808 с.

39. Солдатов, А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / А. П. Солдатов. - Москва: Высшая школа, 1991. - 206 с.

40. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -Москва: Мир, 1977. - 562 с.

41. Тарасова, О. А. О дискретных приближениях для некоторых краевых задач/ О. А. Тарасова, Р. Е. Деркач // Материалы международной конференции (Современные проблемы анализа

динамических систем. Теория и практика), Воронеж, 21-23 мая.

- 2019. - С. 501-503.

42. Тарасова, О. А. О дискретных решениях псевдодифференциальных уравнений / О. А. Тарасова, В. Б. Васильев // Международная конференция (Дифференциальные уравнения математическое моделирование и вычислительные алгоритмы), Белгород, 25-29 октября, 2021. - С. 50-51.

43. Тарасова, О. А. О дискретных эллиптических псевдодифференциальных уравнениях / О. А. Тарасова // Материалы II Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Актуальные проблемы математики и информатики), Махачкала, 5-7 февраля. - 2021. - С. 157-159.

44. Тарасова, О. А. О дискретных эллиптических псевдодифференциальных уравнениях / О. А. Тарасова // Вестник Дагестанского государственного университета. - Серия естественные науки.

- 2021. - Т. 36. - № 3. - С. 64-72.

45. Тарасова, О. А. О некоторых свойствах дискретных краевых задач / О. А. Тарасова //Материалы V Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Современные проблемы физико-математических наук), Орел, 26 - 29 сентября. - 2019г. - С. 68-72.

46. Тарасова, О. А. О приближенном решении некоторых краевых

задач / О. А. Тарасова // Материалы международной научно-практической и научно-методической конференции, посвященной 40-летию университета Белгородского университета кооперации, экономики и права "Математика и механика: вопросы и тенденции развития Белгород, 2 апреля. - 2019. - С. 62-66.

47. Тейлор, M. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор.

- Москва: Мир, 1985. - 468 с.

48. Трев, Ф. Введение в псевдодифференциальные операторы и интегральные операторы Фурье / Ф. Трев. - Москва: Мир, 1984.

- 400 с.

49. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными / Л. Хермандер. - Т. 1-4. Москва: Мир, 1986. - 448 с.

50. Эскин, Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г. И. Эскин. -Москва: Наука, 1973. -232 с.

51. Botchway, L. Difference equations and pseudo-differential equations оп z n / L. Botchway, R. Kibiti, М. Ruzhansky, 2017. -arxiv:1705.07564v1 [math.FA]. - P. 1-29.

52. Bttcher, A. Analysis of Toeplitz operators / A. Battcher, B. Silbermann. - Berlin: Springer, 2006. - 665 p.

53. Didenko, V. Approximation of additive convolution-like operators.

Real C* -algebre approach / V. Didenko, B. Silbermann. - Basel: Birkhouser, 2008. - 318 p.

54. Hagen, R. C* -algebras and numerical analysis / R. Hagen, S. Roch, B. Silbermann. - New York: Marcel Dekker, 2001. - 400 p.

55. Hsiao, G. Boundary integral equations / G. Hsiao, W. L. Wendland. - Berlin: Heidelberg, 2008. - 154 p.

56. King, W. Hilbert transforms / W. King - V. 1,2.- Oxford: Oxford Univ. Press, 2011. - 896 p.

57. Lifanov, I. K. Hypersingular Integral Equations and their Applicalions / I. K. Lifanov, L. N. Poltavskii, G. Vainikko. -Chapman Hall/CRC, Boca Raton, 2004. - 432 p.

58. Lifanov, I. K. Singular Integral Equations and Discrete Vorlices / I.K. Lifanov. - VSP, Utrecht, 1996. - 300 p.

59. Mikhlin, S. G. Singular Integral Operators / S.G. Mikhlin, S. Proessdorf. - Springer-Verlag, Berlin, 1986. - 628 p.

60. Prossdorf, S. Numerical analysis for integral and related operator equations / S. Prossdorf, B. Silbermann - Basel: Birkhoser, 1991. -543 p.

61. Rabinovich, V. Wiener algebra of operators on the lattice depending on the small parameter ^ > 0 /V. Rabinovich // Complex Var. Ell. Equations. - 2013. - № 58(6). - P. 751-766.

62. Saranen, J. Periodic Integra and Pseudodifferential Equations

Numerical Approximation / J. Saranen, G. Vainikko. - Springer, Berlin, 2002. - 324 p.

63. Tarasova, O. A. On some estimates for discrete boundary value problems / O. A. Tarasova //Proceedings of the 2nd International Conference on Mathematical Modeling in Applied Sciences (ICMMAS), Belgorod, 20-24 August. - 2019. - P. 135-136.

64. Vainikko, G. Multidimensional Weakly Singular Integral Equations / G. Vainikko // Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. - 1993. - P. 142.

65. Vasilyev, A. V. Discrete equations and periodic wave factorization / V. B. Vasilyev Proceedings of the Inlernational Conference on Analysis and Applied Mathematics (ICAAM-2016). - 2016. - V. 1759. - P. 020126.

66. Vasilyev, A. V. Difference and discrete equations on a half-axis and the Wiener-Hopf method. / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2016. - Vol. 6, №1. - P. 79-86.

67. Vasilyev, A. V. Discrete singular integrals in a half-space / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Current Trends in Analysis and Its Applications (ISAAC), Krakow, Poland. - 2015. - P. 663-670.

68. Vasilyev, A. V. Discrete singular operators and equations in a halfspace / A. V. Vasilyev, V.B. Vasilyev // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2013. - Vol. 3, № 1. - P. 84-93.

69. Vasilyev, A. V. On finite discrete operators and equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Proc. Appl. Math. Mech. - 2016. - V.16. -№1. - P. 771-772.

70. Vasilyev, A. V. On same discrete boundary value problems in canonical domains / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev, // Springer Proceedings in Mathematics Statistics. International Conference on Differential Difference Equations and Applications (ICDDEA 2017), Amadora, Portugal, 5-9 June 2015. - 2018. - Vol. 230. - P. 569-579.

71. Vasilyev, A. V. On solvability of some difference-discrete equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Opusc. Math. - 2016. - V. 36. -№ 4. - P. 525-539.

72. Vasilyev, A. V. Pseudo-differential operators and equations in a discrete half- space / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Math. Model. Anal. - 2018. - V.23. - № 3. - P. 492-506.

73. Vasilyev, A. V. Two-scale estimates for special finite discrete operators / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Math. Model. Anal. - 2017. - V. 22. - №3. - P. 300-310.

74. Vasilyev, A.V. Numerical analysis for some singular integral equations / A.V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Neural, Parallel and Scientific Computations. - 2012. - V. 20. - №. 3-4. - P. 313-326.

75. Vasilyev, V. B. Approximation properties for discrete boundary

value problems for elliptic pseudo-differential equations / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // Proceedings of the International Conference Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH), Switzerland. - 2021. - P. 1089-1097.

76. Vasilyev, V. B. Digital Approximations for Pseudo-Differential Equations and Error Estimates / V. B. Vasilyev // Numerical Methods and Applications (NMA 2018). - 2019. - V. 11189. - P. 483-490.

77. Vasilyev, V. B. Digital Operators, Discrete Equations and Error Estimates /V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH 2017). -2019. - V. 126. - P. 983-991.

78. Vasilyev, V. B. Discrete boundary value problems as approximate constructions / V. B. Vasilyev, A.V. Vasilyev, O.A. Tarasova // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2022. - Vol. 43, № 6. - P. 1446-1457.

79. Vasilyev, V. B. Discrete pseudo-differential operators and boundary value problems in a half-space and a cone / V. B. Vasilyev // Lobachevskii J. Math. - 2018. - V.39. -№ 2. - P. 289-296.

80. Vasilyev, V. B. Discreteness, periodicity, holomorphy, and factorization. / V. B. Vasilyev // Integral Methods in Science and Engineering. - 2017. - V.1. - P. 315-324.

81. Vasilyev, V. B. On a digital approximation for pseudo-differential operators / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Proc. Appl. Math. Mech. - 2017. - V. 17. - P. 763-764.

82. Vasilyev, V. B. On a Digital Version of Pseudo-Differential Operators and Its Applications / V. B. Vasilyev // Finite Difference Methods. Theory and Applications (FDM 2018). - 2019. - V. 11386. - P. 596-603.

83. Vasilyev, V. B. On certain digital operators in the theory of boundary value problems /V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev, O. A. Tarasova // Proceedings of the 9th International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA-2020), Skopje North Macedonia, 25-28 August. - 2020. -P. 40-41.

84. Vasilyev, V. B. On digital approximations for elliptic boundary value problems / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // AIP Conference Proceedings. - 2020. - № 2293. - P. 090008.

85. Vasilyev, V. B. On discrete boundary value problems / V. B. Vasilyev / / AIP Conf. Proc. - 2017. - 1880. - P. 050010.

86. Vasilyev, V. B. To the theory of discrete boundary value Problems / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // Multidisciplinary Open Access journal (4Open). - 2019. - Vol. 2. - Art. 17. - P. 1-7.

87. Vasilyev, V. B. On some discrete boundary value problems for

elliptic equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev, O. A. Tarasova // 90th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Me-chanics "GAMM February 18-22, 2019, Vienna, Austria : book of abstracts eds.: J. Eberhardsteiner, M. Schoberl. - Weinheim, 2019. - P. 489-490.

88. Vasilyev, V. B. On some discrete elliptic boundary value problems / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // Equadiff - 2019 : international meeting devoted to the field of differential equations in the broadest sense, Leiden, the Netherlands, 8-12 July 2019 : book of abstracts Leiden University. - Leiden, 2019. - P. 112.

89. Vasilyev, V. On Discrete Solutions for Elliptic Pseudo-Differential Equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev, O. A. Tarasova // Вестник Карагандинского университета. Серия Математика.-2021. - №3(103).- С. 117-123.

90. Vasilyev, V. B. Elliptic equations and boundary value problems in non-smooth domains/ V. B. Vasilyev // Operator Theory: Advances and Applications. - 2011. - V. 213. - P. 105-121.