«Следы операторов, ассоциированных с компактными группами Ли и их приложения к задаче Соболева» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Лощенова Дарья Александровна

• Лощенова Дарья Александровна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Лощенова Дарья Александровна

Введение

Глава 1. След С-оператора. Общая конструкция

1.1 След оператора на многообразии

1.2 Определение следа

1.3 След псевдодифференциального оператора

1.4 С-операторы и условия допустимости действия группы

1.5 След С-оператора

1.5.1 Сосредоточенность

1.5.2 Локализация в особых точках

1.5.3 Формальная конструкция

1.5.4 Реальная конструкция

1.5.5 Доказательства лемм 1.5.11 и

Глава 2. Операторы Фурье-Меллина

2.1 Основные идеи

2.2 Определение оператора Фурье-Меллина

2.3 Непрерывность

2.4 Символ, эллиптичность и теорема конечности

2.5 Формула индекса

2.5.1 Число вращения функции 1 + К(р)

2.5.2 Основная теорема

Глава 3. Задача Соболева, ассоциированная с действием группы Ли

3.1 Классическая задача Соболева

3.2 Постановка задачи Соболева, ассоциированной с действием группы Ли

3.3 Сведение на подмногообразие

3.4 Локализация обратного образа

3.5 Фредгольмовость и индекс

3.6 Пример

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Следы операторов, ассоциированных с компактными группами Ли и их приложения к задаче Соболева»»

Введение

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению следов С-операторов на подмногообразии в терминах действия группы. А именно следов операторов вида:

В = Во + у ВдТдАд : И5(М) ^ И8-Ь(М), (*)

а

где С — компактная группа Ли, действующая на многообразии М, В0 — псевдодифференциальный оператор порядка Ь, Вд — семейство псевдодифференциальных операторов порядка Ь, гладко зависящее от д Е С, Тд — оператор сдвига, индуцированный действием группы С:

Тд и(х) = и(д-1х).

Более точно, дается определение символа для следов таких операторов, устанавливается теорема конечности и находится формула индекса, т.е. выражение для индекса эллиптического оператора в терминах топологических инвариантов символа оператора и многообразия, на котором он задан. Кроме того, полученные результаты о следах С-операторов применяются к задачам Соболева, ассоциированным с действием группы Ли. Также даются условия эллиптичности и формула индекса задач Соболева в этой ситуации.

1. Задача о построении и анализе новых классов операторов на многообразиях является безусловно актуальной. В этой связи метод следов, который рассматривается в данной работе, позволяет построить относительную теорию эллиптических операторов, ассоциированных с действием группы Ли, и поэтому также является актуальным и интересным. Отметим, что операторы, ассоциированные с действиями групп Ли, представляют интерес с точки зрения эллиптической теории нелокальных задач (см., например, монографии и обзоры [1,12,13,21,26] и цитированную в них литературу), так как они содержат операторы сдвига, т.е. являются существенно нело-

кальными. Также эти задачи интересны с точки зрения некоммутативной геометрии Алана Конна [23]: символы G-операторов являются элементами фундаментальных для некоммутативной геометрии алгебр — скрещенных произведений, отвечающих действию группы Ли на многообразии (в случае дискретных групп см. работы А.Б. Антоневича и А.В. Лебедева [20] и цитированную в них литературу, в случае групп Ли см. работы А.Ю. Савина и Б.Ю. Стернина [27-29]).

2. Впервые следы появились в работах С. П. Новикова и Б. Ю. Стернина (см. [5,6]) и применялись для изучения задач Соболева (см. [14,17,18,24]) (т.е. псевдодифференциальных задач с условиями, задаваемыми на подмногообразии произвольной размерности). Также была изучена не только связь с задачами Соболева, но и некоторые самостоятельные свойства новой конструкции. Далее были изучены эффекты, которые эта конструкция доставляет для случая, когда основное многообразие имеет особенности (см. [8, 10, 11]). По-видимому, наиболее интересным наблюдением, которое обнаруживается при изучении следов, является тот факт, что след может доставлять новые классы операторов, а именно, оказывается, что если дан некоторый оператор, то его след может представлять оператор совершенно новой природы, отличной от первоначального оператора. Это обстоятельство представляет собой основной интерес данной работы. Мы возьмем на многообразии т.н. G-оператор (оператор, ассоциированный с действием компактной группы Ли на многообразии), т.е., по сути, оператор, отвечающей некоторой дополнительной структуре на многообразии, и увидим, что след этого оператора будет представлять собой некоторый новый класс операторов, не встречавшийся в литературе ранее. Такие операторы мы назовем операторами Фурье-Меллина и получим для них условия фредгольмовости и формулу индекса.

Цель работы. Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:

1. Исследование природы следов С-операторов на подмногообразиях.

2. Проведение локализации следов (указание множеств в подмногообразии, на которых эти операторы сосредоточены).

3. Предъявление условий фредгольмовости таких операторов и формулы индекса.

4. Установление теоремы конечности и формулы индекса в относительной эллиптической теории, ассоциированной с действием группы Ли на многообразии.

Методы исследования. Основным методом исследования является метод следов для эллиптических уравнений, ассоциированных с группой Ли. Это метод построения принципиально новых классов операторов в теории псевдодифференциальных уравнений, который, в частности, содержит в себе все классические операторы: дифференциальные, псевдодифференциальные и др. А именно, пусть М — замкнутое многообразие, X — подмногообразие в М. Тогда для любого оператора на М определен его след — некоторый оператор на подмногообразии X. Мы применяем указанную конструкцию в ситуации, когда на основном многообразии М действует группа Ли С и на М рассматриваются операторы, ассоциированные с действием группы. Более точно, рассматриваются операторы, порожденные псевдодифференциальными операторами и операторами сдвига вдоль орбит действия группы. Такие операторы называются С-операторами. Оказывается, что следы таких С-операторов на подмногообразиях являются операторами совершенно новой природы. Например, эти следы (в отличие от псевдодифференциальных операторов) могут быть сосредоточены на некотором подмножестве (например, в точке) подмногообразия X.

Основные результаты. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Изучены следы С-операторов на подмногообразии X. Оказывается, они являются операторами Фурье-Меллина.

2. Установлена теорема фредгольмовости, т. е. предъявлены условия, называемые условиями эллиптичности, при выполнении которых рассматриваемые операторы — операторы Фурье-Меллина, являются фредгольмовыми в подходящих функциональных пространствах.

3. Получена теорема об индексе оператора Фурье-Меллина. Здесь дано определение символа таких операторов, который зависит от порядка пространств Соболева, в которых действует данный оператор.

4. Рассмотрена задача Соболева, ассоциированная с действием компактной группы Ли. Также предъявлены ее свойства фредгольмовости и формула индекса.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по теории уравнений с частными производными, алгебраической топологии и некоммутативной геометрии. Результаты диссертации могут быть использованы в специальных курсах для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности "математика".

Содержание работы Глава 1. След С-оператора. Общая конструкция

Глава посвящена изучению следа С-оператора, который представляется в виде композиции псевдодифференциального оператора и некоторого сосредоточенного оператора, который называется оператором Фурье-Меллина.

В параграфе 1.1 говорится о следе оператора на подмногообразии X. Более точно, если % : X ^ М — вложение подмногообразия X в многообразие М и В — оператор на многообразии М, то его след на подмногообразии X — это оператор вида

г!(В ) = г*Вг*, (1)

где г* и г* — операторы ограничения и коограничения, индуцированные вложением г. Наиболее интересным наблюдением, которое обнаруживается при изучении следов, является тот факт, что след может доставлять новые классы операторов, а именно, оказывается, что если дан некоторый оператор, то его след может представлять оператор совершенно новой природы, отличной от первоначального оператора. Это обстоятельство представляет собой основной интерес данной работы.

В параграфе 1.2 даются определения граничного оператора, когранич-ного оператора, а также следа.

В параграфе 1.3 в качестве примера рассматривается след псевдодифференциального оператора. Теорема 0.0.1. (Б.Ю. Стернин) Пусть

В : И5(М) ^ И3—т(М)

— псевдодифференциальный оператор на многообразии М. Тогда при в + V/2 < 0 и в — т — V/2 > 0 оператор

г!(В) : И5+2(X) ^ Иа—т—2(X)

корректно определен и является псевдодифференциальным оператором на подмногообразии X.

В параграфе 1.4 рассматриваются С-операторы вида [см.(*)], т.е.:

В = Во + У ВдТд(1д : И3(М) ^ И3—Ъ(М) (2)

а

На действия группы С накладываются специальные условия трансверсальности по отношению к подмногообразию X. Именно, множество неподвижных точек на X

Xа = {х Е X | дх = х, Уд Е С} 8

и множество элементов группы С, которые оставляют внутри X другие точки, кроме неподвижных

Сх = {д е С | Зх е X \ XО : дх е X}

состоят из конечного числа элементов, а орбита Сх любой точки х е X \XО трансверсальна подмногообразию X.

Параграф 1.5 является центральным в настоящей главе. В этом параграфе подробным образом изучается след С-оператора. Показывается, что, если группа С удовлетворяет условию допустимости, то след С-оператора, обладает особыми локальными свойствами, а именно является оператором сосредоточенным в неподвижных точках действия группы С. Предложение 0.0.2. Пусть В — С-оператор вида (2), действие группы С удовлетворяет условиям допустимости и оператор %!(В0) является эллиптическим как псевдодифференциальный оператор. Тогда след оператора В с точностью до компактных операторов представим в виде

%!(В) = V(1 + А) : Я5+2(X) ^ Иа-Ъ-2(X), (3)

где V — эллиптический псевдодифференциальный оператор, А — оператор, сосредоточенный на множестве XО неподвижных точек подмногообразия X.

Далее, оператор 1 + А исследуется в произвольно малой окрестности выделенной точки с помощью метода замораживания коэффициентов. Оператор 1 + А с замороженными коэффициентами имеет вид

(1 + А)и(х) =

и(х) +

V-1(^) Вд (^,п)ГГд [и(х)](х,у,£,п)<<д

кп

/2 О

, (4)

X

где Т>—1(^), Вд (£, п) — символы операторов V-1, Вд в точке х0, Тд — оператор на функциях в координатах Фурье, индуцированный оператором сдвига Тд, , _х — прямое и обратное преобразования Фурье.

Далее показывается, что при переходе сначала к координатам Фурье и затем к сферическим координатам (ш,т^), где £ = т^ш, оператор (4) можно представить как свертку Меллина с функцией, которая получается из внутреннего интеграла (по С) в формуле (4). Таким образом, наш оператор представляется в виде оператора Фурье-Меллина, т.е. оператора 1 + А, который равен:

1 + А = 1 + хШ )М—К (р)Мч (£ Р(х), (5)

где ^(х) — срезающая функция, равная 0 вне окрестности особой точки и равная 1 внутри меньшей окрестности, ф(£) — гладкая функция, равная

и

1 на бесконечности и 0 в окрестности нуля, Мг?_р и М-__г — прямое обратное преобразования Меллина по радиальной переменной,

К(р) = [ Р'К(() ^ (6)

— функция комплексной переменной p со значениями в интегральных операторах на сфере.

Предложение 0.0.3. Операторы 1 + A и 1 + A отличаются на компактный оператор.

Итак, оператор (4) сводится к умножению на операторно-значную функцию 1 + K (p).

Предложение 0.0.4. Пусть b + n/2 < 1 < dim G. Тогда функция

K (p) = у tpK (t) ^ (7)

r+

— преобразование Меллина функции K(t) — корректно определена и обладает следующими свойствами:

1) она является аналитической в вертикальной полосе

Ь + п/2 <Яв(р) < п/2; (8)

2) для любого фиксированного р из указанной полосы оператор К(р) является компактным;

3) имеем К(р) ^ 0 при |р| ^ то внутри полосы (8). Глава 2. Операторы Фурье - Меллина.

Глава посвящена построению эллиптической теории для операторов Фурье-Меллина.

В параграфе 2.1 приводятся основные мотивировки изучения операторов Фурье-Меллина.

В параграфе 2.2 определяются (общие) операторы Фурье-Меллина:

1 + А = 1 + ф)7-\хШ )МК (р)Мч а ф), (9)

где ) и <р(х) — такие же как в (5), К(р) — операторно-значная функция комплексной переменной р, принимающая значения в интегральных операторах на сфере и удовлетворяющая условиям:

1) К(р) аналитична на прямой

Г7 = {р е С | Яв(р)= 7}, (10)

где 7 — некоторое число.

2) для любого фиксированного р на прямой Г7 оператор К (р) является компактным;

3) \\К(р)|| ^ 0 на прямой Г7.

Прямая Г7 называется весовой прямой. Также отметим, что определение (9) легко модифицируется, когда особых точек несколько (конечное число). В этом случае оператор Фурье-Меллина можно представить как сумму выражений вида (9), параметризованную всеми особыми точками.

В параграфе 2.3 показывается, что операторы Фурье-Меллина действуют непрерывно в пространствах Соболева Нs(X) ^ Нs(X) при надлежащих условиях на область аналитичности функции К(р). Предложение 0.0.5. Пусть 1 + А — оператор Фурье-Меллина на многообразии X, действующий по формуле (9) и пусть функция К(р) обладает свойствами, перечисленными выше, для прямой

Г5+ ат* = {р е С | Яв(р) = 5 + —2—}. (11)

Тогда оператор 1 + А является непрерывным в пространствах Соболева

1 + A : Hs(X) ^ Hs(X),

Параграфы 2.4 и 2.5 являются центральными в данной главе. Здесь дается определение символа оператора Фурье-Меллина. Это есть операторно-значная функция 1 + K (p), которая обозначается как а(1 + A):

а (1+ A)(p) = 1 + K (p).

Также определяется эллиптичность оператора Фурье-Меллина. Оператор Фурье- Меллина эллиптичен, если его символ а(1 + A) обратим на прямой Re(p) = s + (dim X )/2.

Теорема 0.0.6. Пусть оператор Фурье-Меллина 1 + A эллиптичен. Тогда он фредгольмов.

Приводится также формула индекса оператора Фурье-Меллина. Как уже известно, символ этого оператора есть функция, определенная на весовой прямой, а весовая прямая, в свою очередь, зависит от порядка пространств Соболева, в которых действует данный оператор. Индекс оператора Фурье-Меллина, вообще говоря, зависит от порядка пространств Соболева, в которых действует оператор.

Теорема 0.0.7. Индекс оператора 1 + A, действующего в пространстве Соболева Hs(X), равен числу вращения функции а(1 + A)(p) на весовой

прямой Re(p) = s + dim X/2:

inds(1 + A) = ws+dim x/2 [^(1 + A)].

(12)

Глава 3. Задача Соболева, ассоциированная с действием группы Ли.

Глава посвящена изучению задачи Соболева, ассоциированной с действием группы Ли, установлению теоремы конечности и формулы индекса для такой задачи. Также здесь рассматривается наглядный пример.

В параграфе 3.1 рассказывается о классической задаче Соболева, которая подробно изучалась в работах Б. Ю. Стернина. Такая задача ставится следующим образом:

Du = f (mod X), u E Hs(M), f e Hs-m(M) i*Bu = р, ¥ E Hs-b-2(X),

где D, B — псевдодифференциальные операторы на M порядков m и b соответственно, i* : Hs-b(M) ^ Hs-b-2 (X) — оператор ограничения, индуцированный вложением i : X ^ M, а сравнение Du = f (mod X) понимается в том смысле, что Du совпадает с функцией f на множестве M \ X, т.е. вне подмногообразия X. Уравнением i*Bu = р на функцию u накладывается граничное условие на подмногообразии X. Общая схема решения сводится к следующему.

Обратным образом, соответствующим задаче (13), называется оператор

i*BD-li* : Hs-m+2(X) ^ Hs-b-2(X), (14)

т.е. след оператора BD-1. Поскольку для классической задачи Соболева (13) (в которой операторы D и B — псевдодифференциальные) обратный образ i*BD-li* является псевдодифференциальным оператором на многообразии X, то фредгольмовость классической задачи Соболева эквивален-

та эллиптичности псевдодифференциальных операторов О и ¿*ВО , а ее индекс — есть сумма индексов этих операторов.

В параграфе 3.2 дается постановка задачи Соболева, ассоциированной с действием компактной группы Ли на М. Отметим, что задача Соболева для дискретной группы рассматривалась в работах А. Ю. Савина и Б. Ю. Стернина [9] и Л. Л. Нгуена [4].

Здесь задача Соболева ставится следующим образом:

Ои = / (шоа X), и е На(М), / е На-т(М) ¿*Ви = у, у е Н3-ъ-2(X),

(15)

где оператор О — псевдодифференциальный, а оператор В — это О-оператор порядка Ь, ассоциированный с действием группы О, т.е. В имеет вид:

В = Во + У ВдТд<!д, (16)

с

где В0 — псевдодифференциальный оператор порядка Ь, Вд — семейство псевдодифференциальных операторов порядка Ь, гладко зависящее от д. Требуется выяснить условия фредгольмовости задачи (15) и получить ее формулу индекса.

В параграфах 3.3 и 3.4 рассматривается обратный образ задачи (15) 2*ВО-Ч*. Оказывается, этот оператор представляет собой след О - оператора, т.е. является оператором Фурье-Меллина, который отвечает за его фредгольмовость и индекс и равен

■СВВ-1 и = ¿'(ВО ) = Х>(1 + А), (17)

где V = ¿!(В0О-1) — псевдодифференциальный оператор, а А — некоторый оператор, сосредоточенный в точке х0. Очевидно, оператор г*ВО-1г* фредгольмов, когда фредгольмов псевдодифференциальный оператор V и фредгольмов оператор 1 + А, а индекс его равен сумме индексов операторов

V и 1 + А. Так же, как это делалось в главе 1, при помощи метода замораживания коэффициентов оператору 1 + А ставится в соответствие оператор Фурье-Меллина 1 + А:

1 + А = 1 + ф^ЖС к (р)Мч а ф), (18)

символ которого представлен функцией а(1 + А) = 1 + К(р).

Функция К(р) корректно определена и обладает свойствами:

1. Она является аналитической в вертикальной полосе

п/2 - т + Ь < Яв(р) < п/2; (19)

2. Для любого фиксированного р из указанной полосы оператор К (р) является компактным;

3. Имеем К(р) ^ 0 при |р| ^ то внутри полосы (19).

В параграфе 3.5 сформулированы условия фредгольмовости и формула индекса для задачи Соболева (15).

Следствие 0.0.8. Задача Соболева (15), ассоциированная с действием группы С, удовлетворяющим условию допустимости, фредгольмова, когда эллиптичны псевдодифференциальные операторы Б и г*Б0О-1г*, а также эллиптичен оператор Фурье-Меллина (18).

Следствие 0.0.9. Индекс задачи Соболева (15) Б, ассоциированной с действием группы С, удовлетворяющим условию допустимости, равен

М Б = т^-то+п/4(1 + А) + ^ V + ^ Б,

где индекс оператора Фурье-Меллина т^-то+п/4(1 + А) вычисляется по теореме 7, а индексы псевдодифференциальных операторов V и Б вычисляются по формуле Атьи-Зингера.

В параграфе 3.6 рассматривается пример, где в качестве М берется двумерная сфера §2, подмногообразие X = 81 — это меридиан.

Изучается следующая задача Соболева:

Ди = / (шоа X), и е Н3(Б2), 1 <в< §,

2п

¿* 1 + а / Т(р<у)и = К, Н е Н5-1/2(§1),

где а — константа, а оператор Т^ действует на функцию и на М по формуле:

Т^и(х) = и(Я-1х).

Здесь Я^ — поворот сферы на угол у вокруг полюсов. Изучается обратный образ этой задачи, который можно представить в виде

V

2п

1 + V-1г* I а I Т<пД-1<1у I г

1

(21)

Поскольку оператор V — эллиптический, интерес представляет оператор, записанный в формуле(21) в квадратных скобках. Мы обозначим этот оператор как 1 + А:

2п

1 + А = 1 + £> г

1

а

Т^Д-1<у

(22)

Далее, изучается оператор 1 + А в окрестности одного из полюсов сферы.

Для этого оператора вычисляется символ, и он имеет вид:

^-3/2(1+ А)(р)

/ ^ (?) \

1 + 4а 6 У 2 ' 0

р

V

0

1

, Яе(р) = в - 1. (23)

/

Основным результатом этого параграфа является предъявление условий фредгольмовости данной задачи и ее индекс.

Предложение 0.0.10. Задача (20) фредгольмова при всех в и а, удовле-

творяющих условиям: 1.

13

- < в < -, в = 1 22

*

а = 0:0(5) =

^ (|(5 - 1)) а также при в = 1, если а > а0(1) = -1/(2п). Предложение 0.0.11. Индекс задачи (20) Б равен

^ Б = <

0, а > а0(в), 1/2 < в < 3/2, -2, а < а0(в), 1/2 <в< 1, 2, а < а0(в), 1 < в < 3/2.

Апробация диссертационной работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

1. Межкафедральный семинар "Динамические системы и дифференциальные уравнения" МГУ. Руководители А. М. Степин и А. А. Давыдов. Доклад 13.04.2015.

2. Семинар кафедры прикладной математики РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского. Доклад 28.04.2015.

3. Научный семинар по дифференциальным уравнениям под руководством профессора Б. Ю. Стернина и доцента А. Ю. Савина. Доклад 11.02.2016.

4. Научно-исследовательский семинар "Асимптотические методы в математической физике"ИПМех РАН под руководством профессора С. Ю. Доброхотова. Доклад 12. 04. 2016.

Также результаты диссертации докладывались на следующих российских и международных конференциях.

1. Международная научная конференция "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы", 15-18 декабря 2014. Москва.

2. XXII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2015", 13-17 апреля 2015. Москва.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. Лощенова Д. А. Задачи Соболева, ассоциированные с действиями групп Ли. Дифференциальные уравнения, 51, № 8, 2015, 1056-1069.

2. Лощенова Д. А. О задачах Соболева, ассоциированных с действиями групп Ли. Известия вузов. Математика, № 9, 2015, 69-73.

3. Лощенова Д. А. Индекс задач Соболева, ассоциированных с действием групп Ли. Вестник РУДН, № 2, 2015, 11-18.

Тезисы конференций:

1. Лощенова Д. А. О задаче Соболева, ассоциированной с компактной группой Ли. // Материалы международной научной конференции "Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы" РУДН, 15-18 декабря 2014 г.

2. Лощенова Д. А. О задаче Соболева, ассоциированной с компактной группой Ли. // Материалы международного молодежного научного форума "Ломоносов - 2015" МГУ им. М. В. Ломоносова, 13 -17 апреля 2015 г.

Глава 1. След С-оператора. Общая конструкция

1.1. След оператора на многообразии

След оператора на подмногообразии — это некоторое правило, которое для данной пары (М, X), где М — многообразие, X — его подмногообразие, ставит в соответствие данному оператору на многообразии М некоторый оператор на подмногообразии X. Более точно, если % : X ^ М — вложение подмногообразия X в многообразие М и Б — оператор на многообразии М, то его след на подмногообразие X — это оператор вида

%!(Б) = %*Би, (1.1.1)

где %* и %* — операторы ограничения и коограничения, индуцированные вложением % (см. определения 1.2.1 и 1.2.2 ниже).

Впервые следы появились в работах С. П. Новикова и Б.Ю. Стернина (см. [5,6]) и применялись для изучения задач Соболева (т.е. псевдодифференциальных задач с условиями, задаваемыми на подмногообразии), произвольной размерности. Также была изучена не только связь с задачами Соболева, но и самостоятельные свойства новой конструкции (см. [18,25]). Далее были изучены эффекты, которые эта конструкция доставляет для случая, когда основное многообразие имеет особенности (см. [8,10,11]).

По-видимому, наиболее интересным наблюдением, которое обнаруживается при изучении следов, является тот факт, что след может доставлять новые классы операторов, а именно, оказывается, что если дан некоторый оператор, то его след может представлять оператор совершенно новой природы, отличной от первоначального оператора.

Это обстоятельство представляет собой основной интерес данной работы. Мы возьмем на многообразии т.н. С-оператор (оператор, ассоциированный с действием группы Ли на многообразии, см. определение 1.4.1), т.е.,

по сути, оператор, отвечающей некоторой дополнительной структуре, и увидим, что след этого оператора будет представлять собой некоторый новый класс операторов , не встречавшийся в литературе ранее. Такие операторы мы назовем операторами Фурье-Меллина и получим для них условия фредгольмовости и формулу индекса.

Итак, наша первоначальная задача — изучить структуру следа О-оператора.

1.2. Определение следа

Пусть, как и раньше, М — гладкое компактное многообразие без края, X — его подмногообразие коразмерности V, г : X ^ М — гладкое вложение. Пусть также на многообразии М введены локальные координаты (х,у) так, что подмногообразие X локально задается уравнением

X = {у = 0}

(таким образом, х — локальные координаты на X).

Определение 1.2.1. Граничным оператором г* называется оператор ограничения функций на подмногообразие X, индуцированный вложением г. Граничный оператор действует непрерывно в пространствах

г* : Н3(М) —> Н3-2(X), в - v/2 > 0

и сопоставляет функции на многообразии М ее сужение на подмногообразие X. В локальных координатах (х,у) действие оператора г* задается следующим образом:

г* : и(х, у) ^ и(х, 0).

Определение 1.2.2. Кограничным оператором или оператором коогра-ничения г* называется оператор, сопряженный оператору ограничения г*. Кограничный оператор действует непрерывно в пространствах

г* : Н-3+2(X) —> Н-3(М), в - v/2 > 0

и сопоставляет функции на подмногообразии X функцию на всем многообразии М, сосредоточенную на подмногообразии X. В локальных координатах (х,у) оператор г* действует по формуле:

г* : и(х) ^ и(х) ® 5х(у), и е Н2(X). (1.2.1)

где 5х (у) — дельта-функция Дирака, сосредоточенная на подмногообразии X.

Мы переходим к основной конструкции, о которой идет речь в данной работе.

Определение 1.2.3. Следом оператора В на многообразии М называется оператор

г!(В) = г*Вг*, (1.2.2)

действующий на подмногообразии X.

1.3. След псевдодифференциального оператора

В качестве примера мы посмотрим, что представляет собой след псевдодифференциального оператора (более подробно см. [14,15]). Теорема 1.3.1. (Б. Ю. Стернин) Пусть

В : Н3(М) —> Н3-т(М) -

псевдодифференциальный оператор на многообразии М. Тогда при в + V/2 < 0 и в - т - V/2 > 0 оператор

г-(В) : Н2 (X) —> Н3-т-2 (X)

корректно определен и является псевдодифференциальным оператором на подмногообразии X .

Доказательство. Посмотрим на действие оператора %!(Б) в локальных координатах. Пусть (х,у) — локальные координаты на М такие, что подмногообразие X задается уравнением у = 0. Тогда х — локальные координаты на X. Перейдем от координат к двойственным координатам (£, п) посредством преобразования Фурье. Тогда прямое вычисление показывает, что в этих координатах оператор %!(Б) действует как умножение на функцию

/ „(Л)(х, о,«,,) ^ (1.3.1)

мП

где а(В)(х,у,£,п) — символ оператора Б.

Отсюда видно, что оператор %!(Б) действительно является псевдодифференциальным, а функция переменных (х,£), определяемая интегралом (1.3.1) — его символ. □

1.4. С-операторы и условия допустимости действия группы

Пусть теперь на многообразии М действует компактная группа Ли С. Определение 1.4.1. С-оператором [28], отвечающим тройке (М^,С), называется оператор вида

Б = Б0 + У БдТд (1д : И'(М) —> И'-Ъ(М), (1.4.1)

с

где Б0 — псевдодифференциальный оператор порядка Ь, Бд — семейство псевдодифференциальных операторов порядка Ь, гладко зависящее от д, Тд — оператор сдвига, индуцированный действием элемента д группы С:

Тд и(х) = и(д-1х).

Мы будем изучать такие действия группы С, которые удовлетворяют специальным условиям трансверсальности по отношению к подмногообразию X. Сформулируем эти условия.

Обозначим через

Xс = {х е X | дх = х, Уд е С} —

множество неподвижных точек на X и

Сх = {д е С 13х е X \ Xс : дх е X} —

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лощенова Дарья Александровна, 2016 год

Литература

1. А. Б. Антоневич. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Университетское, Минск, 1988.

2. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Наука, Москва, 1969.

3. Д. А. Лощенова. Задачи Соболева, ассоциированные с действиями групп Ли. Дифф. уравн., (8):1056-1069, 2015.

4. Л. Л. Нгуен. Задачи Соболева для действий конечных групп. Труды МФТИ, 2012.

5. С. П. Новиков и Б. Ю. Стернин. Эллиптические операторы и подмногообразия. ДАН СССР, 171(3), 1966.

6. С. П. Новиков и Б. Ю. Стернин. Следы эллиптических операторов на подмногообразиях и К-теория. Докл. АН СССР, 170(6), 1966.

7. Б. А. Пламеневский. Алгебры псевдодифференциальных операторов. Наука, Москва, 1986.

8. А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. Эллиптические трансляторы на многообразиях с точечными особенностями. Дифф. уравн., 48(12):1612-1620, 2012.

9. А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. О нелокальных задачах Соболева. Докл. АН, 451(3):259-263, 2013.

10. А. Ю. Савин и Б. Ю. Стернин. Индекс задач Соболева на многообразиях с многомерными особенностями. Дифф. уравн., 50(2):229-241, 2014.

11. А. Ю. Савин и Б.Ю. Стернин. Эллиптические трансляторы на многообразиях с многомерными особенностями. Дифф. уравн., 49(4):513-527, 2013.

12. А. Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. I. СМФН, 26:3132, 2007.

13. А. Л. Скубачевский. Неклассические краевые задачи. II. СМФН, 33:3179, 2009.

14. Б. Ю. Стернин. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности. Труды Моск. Мат. общ-ва, 15:346-382, 1966.

15. Б. Ю. Стернин. Топологические аспекты проблемы С. Л. Соболева. МИЭМ, Москва, 1971.

16. Б. Ю. Стернин. Квазиэллиптические операторы на бесконечном цилиндре. МИЭМ, Москва, 1972.

17. Б. Ю. Стернин. Относительная эллиптическая теория и проблема С. Л. Соболева. Докл. АН СССР, 230(2):287-290, 1976.

18. Б. Ю. Стернин и В. Е. Шаталов. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева. Матем. сборник, 187(11):115-144, 1996.

19. П. Халмош и В. Сандер. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2. Наука, 1985.

20. A. Antonevich and A. Lebedev. Functional-Differential Equations. I. C*-Theory. Number 70 in Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Longman, Harlow, 1994.

21. A. B. Antonevich and A. V. Lebedev. Functional equations and functional operator equations. A C^-algebraic approach. In Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. VI, volume 199 of Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, pages 25-116, Providence, RI, 2000. Amer. Math. Soc.

22. B. Booss and D.D. Bleecker. Topology and Analysis: The Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics. Springer, New York, 1985.

23. A. Connes. Noncommutative geometry. Academic Press Inc., San Diego, CA, 1994.

24. V. Nazaikinskii, B. Sternin, and V. Shatalov. Methods of Noncommutative Analysis. Theory and Applications. Mathematical Studies. Walter de Gruyter Publishers, Berlin-New York, 1995.

25. Vladimir Nazaikinskii and Boris Sternin. Relative elliptic theory. In Juan Gil, Thomas Krainer, and Ingo Witt, editors, Aspects of Boundary Problems in Analysis and Geometry, volume 151 of Operator Theory: Advances and Applications. Advances in Partial Differential Equations, pages 495-560, Basel-Boston-Berlin, 2004. Birkhauser.

26. A. Savin and B. Sternin. Elliptic theory for operators associated with diffeomorphisms of smooth manifolds. In Pseudo-Differential Operators, Generalized Functions and Asymptotics, volume 231 of Operator Theory: Advances and Applications, pages 1-26. Birkhauser, 2013.

27. A. Yu. Savin. On the index of nonlocal elliptic operators for compact Lie groups. Cent. Eur. J. Math., 9(4):833-850, 2011.

28. A. Yu. Savin and B. Yu. Sternin. Nonlocal elliptic operators for compact Lie groups. Dokl. Math., 81(2):258-261, 2010.

29. B. Yu. Sternin. On a class of nonlocal elliptic operators for compact Lie groups. Uniformization and finiteness theorem. Cent. Eur. J. Math., 9(4):814-832, 2011.

30. K. Wojciechowski. A note on the space of pseudodifferential projections with the same principal symbol. J. Operator Theory, 15(2):207-216, 1986.