Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Мирошникова, Елена Игоревна

• Мирошникова, Елена Игоревна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мирошникова, Елена Игоревна

Оглавление

1 Разрешимость многомерных интегральных операторов с ани-

зотропно однородными ядрами

в Ьр—пространствах 9

1.1 Операторы с анизотропно однородными ядрами......... 10

1.1.1 Предварительные сведения и результаты......... 10

1.1.2 Класс анизотропно однородных суммируемых функций

Мп.р.............................. 12

1.1.3 Ограниченность операторов с анизотропно однородными суммируемыми ядрами ................... 16

1.2 Многомерные интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа. Обратимость.......... 19

1.2.1 Предварительные сведения и результаты......... 19

1.2.2 Ядра компактного типа................... 20

1.2.3 Многомерные свертки с компактными коэффициентами. Символическое исчисление................. 27

1.2.4 Изоморфизм подобия йп_1;р................. 31

1.2.5 Символическое исчисление для ЯЗ+р- Обратимость .... 35

1.3 Многомерные интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами. Фредгольмовость....... 37

1.3.1 Многомерные мультипликативно слабо осциллирующие

функции............................ 37

1.3.2 Многомерные операторы свертки со слабо осциллирующими компактными коэффициентами. Символическое исчисление. Фредгольмовость................ 41

1.3.3 Символическое исчисление для алгебры 0Вп;р. Фредгольмовость ............................ 48

1.4 Многомерные интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами. Индекс............. 52

2 Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в

Ьр—пространствах с полумультипликативным весом 56

2.1 Ограниченность многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в весовых пространствах .... 57

2.2 Обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в весовых

Ьр-пространствах........................... 62

2.2.1 Ядра компактного типа. Весовой случай ......... 62

2.2.2 Обратимость многомерных операторов свертки в весовых /^-пространствах....................... 67

2.2.3 Символическое исчисление для алгебры ЯЗ^-р Р- Критерий обратимости.......................... 71

2.3 Результаты об обратимости многомерных интегральных операторов с однородными БО(п)- инвариантными ядрами в весовых пространствах ............................ 75

2.3.1 Предварительные сведения................. 75

2.3.2 Алгебры одномерных операторов свертки и с однородными ядрами в весовых пространствах. Критерии обратимости ............................. 77

2.3.3 Символическое исчисление для алгебры ■ Критерий обратимости....................... 79

3 Разрешимость многомерных интегральных операторов с ани-

зотропно однородными ядрами в шкалах пространств 91

3.1 Предварительные сведения и результаты о псевдодифференциальных операторах со слабо осциллирующими компактными коэффициентами на группе Жк .................... 92

3.1.1 Псевдодифференциальные операторы в шкале

-пространств ..................... 92

3.1.2 Псевдодифференциальные операторы с компактными коэффициентами в шкале Hs,0(M.k х Л^-пространств .... 99

3.2 Псевд о дифференциальные операторы со слабо осциллирующими компактными коэффициентами на группе М+.........101

3.2.1 Шкала Hs>°(Rk+ х Л")-пространств.............101

3.2.2 Псевдодифференциальные операторы в Hs,0(ßJ^_ х А7) . . 109

3.3 Многомерные интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами в шкалах пространств................118

3.3.1 Шкала Н*{Шп) ........................118

3.3.2 Псевдодифференциальные операторы в шкале "Hs(Mn) . . 121

3.3.3 Операторы с анизотропно однородными ядрами в псевдодифференциальной форме................125

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешимость многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа»

Введение

Актуальность темы. Изучение одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами, действующих в ¿^-пространствах, было начато Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Далее теория таких операторов получила развитие в работах Л.Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Р.В. Ду-дучавы, Я.Б. Рутицкого и др. Существенным при исследовании одномерных операторов с однородными степени (—1) ядрами являлась редукция к одномерным операторам типа свертки с суммируемыми ядрами. Данная связь позволила использовать результаты, полученные для операторов типа свертки, в теории одномерных операторов с однородными ядрами.

Многомерная ситуация оказывается сложнее и нуждается в принципиально других подходах. Впервые многомерные интегральные операторы с однородными степени (—п) ядрами в пространстве Ьр(Шп), где 1<р<ооип^2, появились в работах Л.Г. Михайлова в конце 60-х годов. Достаточные условия ограниченности таких операторов, а при неотрицательности ядра являющиеся и необходимыми, были получены Н.К. Карапетянцем. Вопросам разрешимости многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами и переменными коэффициентами посвящены работы Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов. При исследовании вопросов разрешимости многомерных интегральных операторов на ядра помимо однородности накладывалось дополнительное условие инвариантности относительно диагонального действия 30(п) — группы вращений пространства Мп. Это позволяло значительно облегчить задачу и в определенном смысле свести её к одномерному случаю. В.М. Деундяком рассмотрен новый широкий класс ядер компактного типа, включающий в себя 5'0(п)-инвариантные ядра. В доказательствах существенную роль играет пространственный изоморфизм

подобия операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Отметим, что операторы с однородными ядрами в весовых пространствах практически не рассматривались. Исключение составляет лишь степенной вес. Однако, этот случай практически сразу сводится к безвесовому.

В представленной работе рассматривается обобщение класса однородных функций — новый класс функций, удовлетворяющих условию анизотропной однородности, и исследуется класс интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами как в безвесовых, так и в весовых Lp—пространствах. Интерес к таким операторам продиктован, в частности, их естественной связью с операторами многомерной мультипликативной свертки. Помимо этого аппарат теории многомерных интегральных операторов с однородными и анизотропно однородными ядрами оказывается удобен при решении задач со сложными особенностями (B.C. Рабинович), находит приложения в механике (Р.В. Дудучава), в теории операторов, инвариантных относительно растяжений (И.Б. Симоненко).

Как уже упоминалось выше, в работе при исследовании разрешимости операторов с анизотропно однородными ядрами широко используются результаты из теории операторов свертки. Операторы свертки с момента их появления были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как внутренними потребностями различных областей математики, где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей, дифференциальные и интегральные уравнения), так и прикладным значением. Изучение различных операторов свертки началось в работах У. Юнга, Д. Гильберта, А.Н. Колмогорова, Е. Титчмарша, М. Рисса, Г. Хар-ди, Дж. Литтлвуда, C.JT. Соболева и других авторов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действующих в Lp-пространствах, рассматривались в работах Ж. Марцинкевича, А. Кальдерона и А. Зигмунда, И. Хиршмана, С.Г. Михлина, JI. Хермандера, И. Стейна, Ч. Феффермана, С.Г. Самко, Н.К. Карапетянца, А.Н. Карапетянца, А.Г. Баскакова, В.Б. Коротко-ва и многих других. Значительный вклад в теорию операторов свертки был

внесен И.Б. Симоненко. С помощью локального метода им полностью изучена разрешимость операторов из алгебр, порожденных свертками с вполне суммируемыми ядрами. Отметим, что локальным методом Б.Я. Штейнбергом исследована фредгольмовость сверток со слабо осциллирующими коэффициентами на локально компактных группах, а компактификация, впервые возникшая в теории индекса таких операторов (В.М. Деундяк, Б.Я. Штейнберг), в более общем контексте использовалась в различных топологических задачах (Н. Хигсон, А.Н. Дранишников, С. Ферри и др.).

Исследование свойств операторов свертки, действующих в шкалах пространств, в частности, в шкале Соболева, нашло отражение в теории псевдодифференциальных операторов. Впервые они были введены в работах Дж.Дж. Кона, JI. Ниренберга и J1. Хермандера, далее их исследование продолжили такие ученые как Г.О. Кордесс, М.Е. Тейлор, Ф. Трев и многое другие. Псевдодифференциальные операторы на группе R+ с коэффициентами изучаются в работах Б.А. Пламеневского, применению техники предельных операторов в теории псевдодифференциальных операторов посвящены книги B.C. Рабиновича. В настоящей работе рассматривается вопрос об изучении свойств операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах пространств соболевского типа.

Цель работы. Исследование разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах суммируемых функций, а также в Lp-пространствах с полумультипликативными весами и в шкалах гильбертовых пространств.

Задачи работы.

• Получить условия ограниченности многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами в безвесовых пространствах Lp, в Lp-пространствах с полумультипликативными весами, в шкалах пространств соболевского типа.

• Построить символическое исчисление для алгебр, порожденных такими операторами как в безвесовом, так и в весовом случае. В терминах символа сформулировать и доказать критерии обратимости для элементов

данных алгебр.

• Построить символическое исчисление для унитализированной алгебры 2Нп;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффициентами из нового класса мультипликативно слабо осциллирующих функций на К'1 = МП1 х ... х Мп<!, п = (щ, ...,Пк). В терминах, символа получить критерий фредгольмовости элементов данной алгебры. Получить топологическую формулу индекса для операторов из 2Пп;г).

• Построить аналоги операторов с анизотропно однородными ядрами, действующие в шкале пространств соболевского типа. Построить для таких операторов символическое исчисление и в терминах символа получить критерий фредгольмовости.

Результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Введен новый класс многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, расширяющий операторы с однородными ядрами. Для новых операторов получены достаточные условия ограниченности в безвесовых £р-пространствах, в ^-пространствах с полумультипликативными весами.

2) Для многомерных интегральных операторов рассмотрен новый класс анизотропно однородных ядер компактного типа. Установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых ¿^-пространствах и в Ьр-пространствах с полумультипликативными весами.

3) Для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случаях, построено символическое исчисление. В терминах символа получен критерий обратимости для операторов из описанных выше алгебр.

4) Введена новая С*-алгебра многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на МП1 х ... х М"*, где щ + ... + п^ = п. Исследовано

пространство максимальных идеалов алгебры изучены свойства короны

соответствующей компактификации пространства построен изоморфизм этой алгебры на С*-алгебру слабо осциллирующих функций xTn_i), где Tn_i = Sni-1 х ... х Snk-1 — произведение к сфер размерностей щ, i = 1,..., к

5) Для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из f^uit' построено символическое исчисление, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фред-гольмовости, получена топологическая формула индекса.

6) В рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств соболевского типа с мультипликативной структурой. В построенных шкалах введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости. Исследована банахова алгебра Q3n;2, порожденная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из

Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.

Методологическая основа исследования. В представленной работе широко используются методы функционального анализа и теории операторов, в частности, локальный метод И.Б. Симоненко, методы исследования псевдодифференциальных операторов, развитые B.C. Рабиновичем, метод пространственного подобия, операторная К-теория, техника работы с банаховыми и С*-алгебрами, включающая в себя теорию топологических тензорных произведений функциональных пространств и операторных алгебр, действующих в пространствах суммируемых функций.

Апробация. Результаты диссертации были представлены на: Воронежской математической зимней школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012), международных научных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов

и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012, 2013), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль. 2010, 2012), VI международной конференции и международном семинаре «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2011, 2012), на международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому (Донецк, 2012).

Работа частично поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», и внутренним грантом Южного федерального университета Мм 13-16 «Дифференциальные и интегральные уравнения. Приложения к математической физике и финансовой математике» (2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пятнадцати работах, из которых три ([27], [31], [34]) являются публикациями в журналах перечня ВАК РФ по кандидатским диссертациям, четыре ([26], [28], [30], [60]) — статьи в других сборниках научных трудов, восемь — тезисы докладов на международных научных конференциях и семинарах. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Из совместных работ автору принадлежат следующие результаты.

[27] — теорема об ограниченности интегрального оператора с однородным ядром, инвариантным относительно преобразований группы в О (п) вращений пространства Кп, конструкция символа для элементов из унитализированной алгебры, порожденной такими операторами, формулировка и доказательство критерия обратимости для элементов из данной алгебры.

[26] — символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмово-сти для операторов из алгебры УУп;р, порожденной многомерными мультипликативными свертками с непрерывными компактными коэффициентами; конструкция пространственного изоморфизма подобия алгебры У\?п-Р на алгебру многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и непрерывными коэффициентами.

[34] — достаточные условия ограниченности многомерных интегральных операторов с произвольными анизотропно однородными ядрами, определение новой алгебры функций на Мп = МП1 х ... х Кгг'=; конструкция изомор-

физма С*-алгебры на алгебру х Тп_1) многомерных слабо осциллирующих на М*1 функций с компактными коэффициентами; символическое исчисление и доказательство критерия фредгольмовости операторов из алгебры 2Нп;р, порожденной операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из

[60] — топологическая формула вычисления индекса фредгольмовых операторов ИЗ 2ПП;р-

[28] — доказательство теоремы об индексе фредгольмовых операторов из

077

В работах [61], [62], [25] соавтору научному руководителю В.М. Деундяку принадлежат постановка задач и обсуждение формулировок основных результатов.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 разделов, и библиографического списка, который содержит 68 наименований использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Мирошникова, Елена Игоревна

Заключение

В диссертации в рамках исследования разрешимости многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа получены следующие результаты:

для новых многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами получены достаточные условия ограниченности как в безвесовых .^-пространствах, так и в ^-пространствах с полумультипликативным весом;

установлен пространственный изоморфизм подобия между интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и многомерными операторами свертки с компактными коэффициентами в безвесовых Ьр-пространствах и в //^-пространствах с полумультипликативным весом; для банаховых алгебр, порожденных операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа, как в весовом, так и в безвесовом случаях, построено символическое исчисление, в терминах символа получен критерий обратимости для операторов из этих алгебр;

введена новая С*-алгебра многомерных мультипликативно слабо осциллирующих функций на МП1 х ... х МПА:, где п\ + ... + = п, исследовано пространство ее максимальных идеалов;

для элементов банаховой алгебры, порожденной многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами компактного типа и операторами умножения на функции из построено символическое ис-

числение, в терминах символа сформулирован и доказан критерий фредголь-

мовости, получена топологическая формула индекса;

в рамках построения аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкалах, определены новые шкалы пространств соболевского типа с мультипликативной структурой, в построенных шкалах введен новый класс псевдодифференциальных операторов, для которого построен символ и получен критерий фредгольмовости, изучена банахова алгебра порож-

денная операторами нулевого порядка, установлена связь между операторами с анизотропно однородными ядрами и псевдодифференциальными операторами из

Полученные в диссертации результаты могут позволить исследовать вопросы фредгольмовсти операторов из алгебр, порожденных многомерными интегральными операторами с анизотропно однородными ядрами и коэффициентами из операторами многомерной свертки и слабо осциллирующими коэффициентами, в весовых Ьр-пространствах; рассмотреть псевдодифференциальные операторы с более общими характеристиками; решить задачу о вычислении индекса таких операторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мирошникова, Елена Игоревна, 2013 год

Литература

[1] Авсянкин О.Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами/ Авсянкин О.Г.// Математические заметки. — Т. 73, № 4. — 2003. — С. 483-493.

[2] Авсянкин О.Г. Об индексе многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами и переменными коэффициентами/ Авсянкин О.Г., Деундяк В.М.// Изв. вузов. Математика. — № 3. - 2005. - С. 3-12.

[3] Авсянкин О.Г. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с переменными коэффициентами/ Авсянкин О.Г., КарапетянцН.К.// Изв. вузов. Математика. — № 1. — 2001. - С. 3-10.

[4] Беккенбах Э. Неравенства/ Беккенбах Э., Беллман Р. — М.: Мир, 1965. — 276 с.

[5] Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. — М.: Наука, 1975. — 480 с.

[6] Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных/ Владимиров B.C. — М.: Наука, 1964. - 412 с.

[7] Волевич J1.P. Обобщенные функции и уравнения в свертках/ Волевич JI.P., Гиндикин С.Г. — М.: Физматлит, 1994. — 335 с.

[8] Гельфанд И.М. Коммутативные нормированные кольца/ Гельфанд И.М., Райков, Шилов Г.Е. — М.: Физматлит, 1959. — 316 с.

[9] Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними/ Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. — М.: Физматлит, 1959. — 471 с.

[10] Гиндикин С.Г. Аналитические функции в трубчатых областях/ Гиндикин С.Г.// ДАН СССР. - Т. 145, № 6. -1962. - С. 1205-1208.

[11] Деундяк В.М. Вычисление индекса семейств многомерных операторов в дискретно-континуальных свертках/ Деундяк В.М.// Сибирский математический журнал. — Т.20, № 4. - 1979. - С. 708-716.

[12] Деундяк В.М. Фредгольмовость операторов бисвертки в гильбертовых модулях/ Де-ундяк В.М.// Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Ростов-на-Дону: ДГТУ. - 1996. - С. 61-64.

[13] Деундяк В.М. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами/ Деундяк В.М.// Математические заметки. — Т. 87, № 5. — 2010. — С. 713-729.

[14] Деундяк В.М. Локальный метод в парах Ьр-пространств и индекс/ Деундяк В.М., Симоненко И.В.// Доклады РАН. - Т.349, № 5. - 1996. - С. 592-595.

[15] Деундяк В.М. Об индексе операторов свертки с медленно изменяющимися коэффициентами на абелевых группах/ Деундяк В.М., Штейнберг Б.Я.// Функц. анализ и его приложения. - Т. 19, № 4. — 1985. — С. 84-85.

[16] Дранишников А.Н. О короне Хигсона-Рое/ Дранишников А.Н., Ферри С.// Успехи математических наук. - Т.52, № 5(317). - 1997. - С. 133-146.

[17] Канторович Л.В. Функциональный анализ/ Канторович Л.В., Акилов Г.П. — М.: Наука, 1984. — 752 с.

[18] Карапетянц Н.К. О необходимых условиях ограниченности оператора с неотрицательным квазиоднородным ядром/ Карапетянц Н.К.// Математические заметки. — Т. 30. № 5. - 1981. - С. 787-794.

[19] Каруби М. ^-теория. Введение/ Каруби М. — М.: Мир, 1978. — 360 с.

[20] Коротков В.Б. Интегральные операторы/ Короткое В.Б. — Новосибирск: Наука, 1983. - 225 с.

[21] Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов/ Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

[22] Куратовский К. Топология: Т.1/ Куратовский К. — М.: Наука. 1971. — 594 с.

[23] Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа/ Люстерник Л.А., Соболев В.И. — М.: Высшая школа, 1982. — 274 с.

[24] Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов/ Мерфи Дж. — М.: Факториал, 1990. — 338 с.

[25] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа/ Мирошникова Е.И., Деундяк В.М.// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2-7 июля 2010 года. Москва: МИАН. — 2010. — С. 135-136.

[26] Мирошникова Е.И. Многомерные мультипликативные свертки и их приложения к теории операторов с однородными ядрами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Сборник «Труды научной школы И.Б. Симоненко». Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. — 2010. — С. 67-78.

[27] Мирошникова Е.И. Об обратимости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в весовых пространствах/ Авсянкин О.Г., Мирошникова Е.И.// Изв. вузов Сев-Кав per. Естественные науки. — № 5. — 2010. — С. 5-8.

[28] Мирошникова Е.И. Вычисление индекса многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Математика и ее приложения: журнал ивановского математического общества. — № 1(8). — 2011. - С. 39-48.

[29] Мирошникова Е.И. Об условиях ограниченности и обратимости многомерных интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Lp-пространствах/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международного научного семинара «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 24-27 апреля 2011 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. - 2011. - С. 17.

[30] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и псевдодифференциальные операторы/ Мирошникова Е.И.// Материалы воронежской математической зимней школы С.Г. Крейна-2012, Воронеж, 24-30 января 2012 года. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. — 2012. — С. 151-152.

[31] Мирошникова Е.И. Ограниченность и обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Ьр-пространствах/ Мирошникова Е.И.// Изв. вузов Сев-Кав per. Естественные науки. — № 2. — 2012. — С. 22-26.

[32] Мирошникова Е.И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. — 2012. - С. 34.

[33] Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и их псевдодифференциальные аналоги/ Мирошникова Е.И.// Тезисы международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 29 июня — 4 июля 2012 года. Москва: МИАН. — 2012. — С. 123-124.

[34] Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами/ Деундяк В.М., Мирошникова Е.И.// Известия вузов. Математика. — JVfi Т. — 2012. - С. 3-17.

[35] Мирошникова Е.И. Об ограниченности и фредгольмовости псевдодифференциальных аналогов операторов с анизотропно однородными ядрами, действующих в шкале пространств типа Соболева/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому, Донецк, Украина, 14-17 ноября 2012 года. Донецк: Изд-во ДонНТУ. - 2012. - С. 55-56.

[36] Мирошникова Е.И. О некоторых вопросах теории многомерных интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами/ Мирошникова Е.И.// Тезисы докладов международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения», Ростов-на-Дону, 2-6 июня 2013 года. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. - 2013. - С. 27-28.

[37] Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений/ Михайлов Л.Г.// Math. Nachr. - № 76. - 1977. - С. 91-107.

[38] Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе/ Пале Р. — М.: Мир, 1970. — 355 с.

[39] Пилиди B.C. О связи между локальной нетеровостью в точке и обратимостью некоторых классов линейных операторов/ Пилиди B.C.// Математический анализ и его приложения. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1972. — Т. 4. — С. 110-120.

[40] Пламеневский Б.А. Алгебры псевдодифференциальных операторов/ Пламеневский Б.А. - М.: Наука, 1986. - 256 с.

[41] Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии/ Прасолов В.В. - М.: МЦНМО, 2004. - 352 с.

[42] Рабинович B.C. Некоторые оценки для операторов, инвариантных отноительно сдвига, в пространствах Lp с весом/ Рабинович B.C.// Известия вузов. Математика. — Т.77. № 10. - 1968. - С. 72-80.

[43] Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения/ Самко С.Г. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1984. - 208 с.

[44] Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений: I, И/ Симоненко И.Б.// ИАН СССР, серия матем. — Т.29, № 3. - 1965. - С. 567-586.

[45] Симоненко И.Б. Операторы типа свертки в конусах/ Симоненко И.Б.// Математический сборник. - Т. 74, № 2. - 1967. - С. 298-313.

[46] Симоненко И.Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих/Симоненко И.Б. — Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007. — 120 с.

[47] Симоненко И.Б. Локальный метод в теории одномерных сингулярных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость/ Симоненко И.Б., Чинь Нгок Минь. — Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 1986. — 56 с.

[48] Стейн И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах/ Стейн И., Вейс Г. - М.: Мир, 1974. - 331 с.

[49] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы/Тейлор М. — М.: Мир, 1985. — 468 с.

[50] Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов: Т.1/ Трев Ф. — М.: Мир, 1984. - 360 с.

[51] Треногин В.А. Функциональный анализ/ Треногин В.А. — М.: Наука, 1980. — 496 с.

[52] Хатсон В. Приложения функционального анализа и теории операторов/ Хатсон В., Пим Дж. - М.: Мир, 1983. - 432 с.

[53] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу/ Хелемский А.Я. — М.: МЦН-МО, 2004. - 552 с.

[54] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: Т.З/ Хермандер Л. — М.: Мир, 1986. — 696 с.

[55] Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Хилле Э., Филлипс Р. — М.: Издательство иностранной литературы. 1962. — 829 с.

[56] Штейнберг Б.Я. Об операторах типа свертки на локально компактных группах/ Штейнберг Б.Я.// Функц. анализ и его приложения. — Т. 15, № 3. — 1981. — С. 95-96.

[57] Cordess Н.О. On compactness of commutators of multiplications and convolutions, and boundedness of pseudodifferential operators/ Cordess H.O.// J. Func. anal. — Vol. 18(2). - 1975. - P. 115-131.

[58] Douglas R.G. Banach algebra techniques in operator theory/ Douglas R.G. — New York and London: Academic press, 1972. — 216 p.

[59] Karapetiants N. Equations with Involutive Operators/ Karapetiants N., Samko S. — Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001. — 642 p.

[60] Miroshnikova E.I. On Fredholm property and index of integral operators with anisotropically homogeneous kernels of compact type/ Deundyak V.M., Miroshnikova Е.1.// proceedings of the 6-th International Conference «Analytical Methods of Analysis and Differential Equations»: in two volumes (Ed. by S.V.Rogosin). . Minsk: Institute of Mathematics of NAS of Belarus. — Vol. 1. Mathematical Analysis. — 2012. — P. 64-68.

[61] Miroshnikova E.I. On Fredholmness of Integral Operators with Anisotropically Homogeneous Kernels of Compact Type/ Deundyak V.M., Miroshnikova E.I.// Тезисы докладов VI международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 11-17 сентября 2011 года. Минск: ИМ НАНБ. - 2011. - С. 54-55.

[62] Miroshnikova E.I. On operators with anisotropically homogeneous non-summable kernels in Lp-spaces/ Deundyak V.M., Miroshnikova E.I.// Тезисы докладов международного научного семинара «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 10-14 сентября 2012 года. Минск: ИМ НАНБ. — 2012. — С. 29.

[63] Palais R. Homotopy theory of infinite dimensional manifolds/ Palais R.// Topology. — Vol. 5. - 1966. - P. 1-16.

[64] Rabinovich V.S. An Introductory Course on Pseudodifferential Operators/ Rabinovich V.S. — Madrid: Centra de Matematic Aplicada, Instituto Superior Technico. 1998. — 134 p.

[65] Rabinovich V.S. Limit Operators and its applications in the operator theory/ Rabinovich V.S., Roch S., Silbermann B. — Boston-Basel-Berlin: Birkhauser Velag, 2004. — 462 p.

[66] Roe J. Index theorey, coarse geometry and topology of manifolds/ Roe J.// volume 90 of CBMS Conference Proceedings. American Mathematical Society. — 1996. — P. 265-287.

[67] Schwartz L. Theorie des Distributions/ Schwartz L. — Paris: Hermann, 1950. — 422 p.

[68] Wegge-Olsen N.E. K-theory and C*-algebras. A friendly approach/ Wegge-Olsen N.E. — New York, Tokio: Oxford university press, Oxford, 1993. — 372 p.