Обобщенно эллиптические операторы и задачи математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Сакс, Ромэн Семенович

• Сакс, Ромэн Семенович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сакс, Ромэн Семенович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Обобщенно эллиптические псевдодифференциальные операторы на замкнутом многообразии.

§ 1. Класс el(X) эллиптических ПДО на многообразии X и класс EL(X) эллиптических ПДО, действующих между сечениями векторных расслоений над X.

§ 2. Класс EFL(U) операторов, допускающих эллиптическую в U факторизацию доминантной части.

§ 3. Класс GEL(X) обобщенно эллиптических ПДО

§ 4. Класс REL(U) операторов, приводимых к локально эллиптическим ПДО.

§ 5. Класс REL(X) операторов, приводимых к локально эллиптическому виду повсеместно на

Т'(Х).

§ 6. Разрешимость обобщенно эллиптических уравнений.

Глава 2. Обобщенно эллиптические краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений.

§ 1. Эллиптические краевые задачи.

§ 2. Обобщенно эллиптические краевые задачи.

Typeset by Да^-Т^Х

Глава 3. Обобщенно эллиптические системы дифференциальных уравнений и их свойства.

§ 1. Определение обобщенной эллиптичности дифференциального оператора.

§ 2. Гипоэллиптичность слабо эллиптического оператора.

§ 3. Алгебра операторов Грина.

§ 4. Краевые задачи для обобщенно эллиптических систем.

Глава 4. Нетерово разрешимые краевые задачи для некоторых стационарных систем уравнений математической физики

§ 1. Краевые задачи для систем уравнений, главная

часть которых совпадает с оператором ротора.

§ 2. Краевые задачи для стационарных систем уранений Максвелла и кристаллооптики.

§ 3. Краевые задачи для системы уравнений Сток

§ 4. Краевые задачи для системы уравнений акустики.

§ 5. Краевые задачи для системы уравнений Соболева.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенно эллиптические операторы и задачи математической физики»

Диссертация посвящена изучению класса систем псевдодифференциальных уравнений, которые мы называем обобщенно эллиптическими системами (операторы из этого класса мы обозначаем ОЕЬ(Х)). Этот класс выделен в классе Ь(Х,Е,Е) классических ПДО. Он включает в себя системы дифференциальных уравнений эллиптические по Петровскому, системы эллиптические по Даглису-Ниренбергу, равномерно неэллиптические системы (или приводимые к эллиптическим, в смысле Б. Р. Вайнберга и В. В. Трушина [1]), а также композиции систем этих классов. Класс СЕЬ(Х) был выделен нами в работе [27] и исследован в работах [28,29,42,43]. В главе .1 мы даем определение этого класса и доказываем ряд важных его свойств: инвариантность относительно линейных невырожденных преобразований уравнений и зависимых переменных, относительно композиций операторов системы, а также взятия па-раметрикса, кроме того, доказывается независимость обобщенно эллиптической системы от выбора весовых порядков. Далее мы изучаем разрешимость о. э. системы псевдодифференциальных уравнений на многообразии без края в функциональных пространствах, которые строятся на базе пространств С. Л. Соболева, соответствующих заданным весам (мы их будем называть пространствами Соболева).

Одним из основных результатов главы 1 является теорема о том, что на многообразии без края обобщенная эллиптичность системы псевдодифференциальных уравнений достаточна, и, в некоторых случаях, необходима для ее нетеровой разрешимости в указанных выше пространствах.

Typeset Ьу Дм^-Т^Х

На основе этого результата в главе 2 выделяется класс нете-рово разрешимых краевых задач для эллиптических по Даглису-Ниренбергу систем дифференциальных уравнений на многообразии с краем, для которых условие Лопатинского не выполняется.

Эти краевые задачи сводятся к (нетерово эквивалентным) системам псевдодифференциальных уравнений на граничном многообразии, причем для них условие Лопатинского эквивалентно условию эллиптичности граничных ПД уравнений. Условие же обобщенной эллиптичности системы ПДУ на границе выделяет класс краевых задач, называемых обобщенно эллиптическими, которые являются нетерово разрешимыми в пространствах Соболева.

Класс обобщенно эллиптических задач шире класса равномерно неэллиптических задач, изученных в работе Б. Р. Вайнберга и В. В. Грушина [2].

В главе 3 исследуются свойства обобщенных эллиптических систем дифференциальных уравнений: приводится еще одно определение обобщенной эллиптичности, использующее только дифференциальные операторы, доказывается гипоэллиптичность обобщенных эллиптических систем с бесконечно дифференцируемыми и аналитическая гипоэллиптичность систем с аналитическими коэффициентами. Изучаются постановки корректных краевых задач для некоторых подклассов в классе обобщенных эллиптических систем дифференциальных уравнений на многообразии с краем. Условиями дополнительности, аналогичными условиям Лопатинского, выделяется класс краевых задач, которые нормально разрешимы в соответствующих пространствах.

Наконец, в главе 4 дается приложение этой теории к исследованию различных краевых задач для систем уравнений математической физики (в случае установившихся процессов): таких, как системы Максвелла, Стокса, Соболева, акустики и кристаллооптики. Для каждой из этих систем найдены широкие классы краевых условий и функциональные пространства, в которых краевые задачи являются нетерово разрешимыми.

Для систем Максвелла, Соболева и акустики в областях, выпуклых в заданных направлениях, найдены постановки краевых задач, при которых различные компоненты решения задаются на подмногообразиях границы различных размерностей. Для задач этого типа доказываются теоремы о нетеровой, фредгольмовой или даже безусловной и однозначной разрешимости задачи (в зависимости от значений параметра) в соответствующих пространствах Гельде-ра.

Используя свойство независимости обобщенной эллиптичности от выбора весов, мы показываем, что при исследовании краевой задачи можно начинать с любого допустимого набора весовых порядков системы и получать нетеровые задачи в заданных пространствах для неизвестных вектор-функций, и затем находить пространства наиболее подходящие данной системе и краевым условиям.

Класс эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных был выделен И. Г. Петровским в его работе "Об аналитичности решений систем уравнений с частными производными" [1] (1939 г.) в связи с решением 19-ой проблемы Д. Гильберта. Для этого класса (в линейном и нелинейном случае), он доказал, что если система образована аналитическими функциями, то все достаточно гладкие решения ее аналитичны. В конце работы И. Г. Петровский привел простой пример линейной системы, не являющейся эллиптической в его смысле, но обладающей, тем не менее, тем же важным свойством, что и эллиптические, а именно аналитичностью всех достаточно гладких решений.

Более общее определение эллиптичности систем дифференциальных уравнений было предложено А. Даглисом и Л. Ниренбергом [1] в 1955 г. Аналитичность всех (достаточно гладких) решений линейных систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами, эллиптических по Даглису-Ниренбергу, была доказана К. Морри и Л. Ниренбергом [1] в 1957 г.

Приведем эти определения эллиптичности в линейном случае. В области С 6 1п, га ) 2, рассматривается система уравнений с частными производными вида I /¿(ж), г = 1,.,/; ж

Н^Ш».,в принятых теперь обозначениях: а = («1,. .,«„), а| = «1 Н-----1- ап,

Ва = Я?1 . ,

В матричной записи система выглядит так:

А(ж,£>)и(ж) = /(ж), же <2, где и = и / = (/!,.,/г) — вектора, а 7=1.,

1')

2) ее матричный оператор.

Число т = т&хгпц называется (скалярным) порядком системы и обозначается т = ог<1А. Кроме того, системе (1) ставится в соответствие пара целочисленных векторов в и £ с компонентами и Ь, удовлетворяющих неравенствам обычно таких, что хотя бы для одного значения г, ] имеет место равенство и ввиду неоднозначности выбора я и £ можно предполагать, что вз ^ 0 и тахЗг = 0). Такие пары векторов (з,£) мы назыг ваем допустимыми и говорим, что система (1) имеет (весовой или векторный) порядок ($,£). Он обозначается так: = ъи — огйА. По каждой допустимой паре (з, £) определяется матрица ггц! ^ + tj для всех = 1,.,/

3) где

У] " при ГГЩ = ^ + ^

3 ' а; | =вг

Ч-^'

0 при га^,- < 5г- + tj

4)

3 ' которая называется (я, ¿)-главным символом системы (1).

Система (1) называется эллиптической по Даглису-Ниренбергу в области (7, если можно подобрать допустимую пару так, что

VЖ£G, £е!Г\0. (5)

Система эллиптическая по Петровскому выделяется требованиями, чтобы для нее неравенства (5) были справедливыми при 5 = 0; = (0,., 0), Ь = (9711,. ,771/), где ту = тахт^. г

Если неравенства (5) выполняются при в = 0;, £ = т^ = (га,. , т). где т — порядок системы (1), то она является эллиптической системой порядка га.

Л. Р. Волевич [1,2] нашел полезный признак принадлежности системы классу систем эллиптических по Даглису-Ниренбергу. Пусть

Я = тах(т171 + • • • + гп1Ъ), 7 где 7 = (71,.,7/) пробегает все перестановки чисел 1,.,/, и пусть г — степень полинома (по £), являющегося определителем полного символа системы, а Хг(®5 0 — его старшая однородная часть, то есть сЫ; Ац(х,£) || = Хг(®>£) + младшие члены (по £).

Л. Р. Волевич называет систему (1) невырожденной, если Я = г, и общей эллиптической, если Я = г и

ХйМ)^о \fxeG, £еГ*\о.

Он показал в работе [2], что в невырожденном случае существует допустимая пара векторов такая, что определитель (заглавного символа системы совпадает с функцией хдО^О? то есть аекЦА^я.оЦ =хд(®,0

Классы эллиптических систем, выделенные Петровским, а также Даглисом и Ниренбергом, обладают одним существенным недостатком: они неинвариантны относительно линейных невырожденных преобразований зависимых переменных и^{х) (т. е. относительно замены и = Ву с с1е1 В ф 0 в (3). Указанная операция переводит эллиптическую систему в систему, которая, вообще говоря, не является эллиптической ни в каком из указанных смыслов. В связи с этим А. Даглис и Л. Ниренберг делают замечание, что "систему, собственно говоря, следует называть эллиптической, если после определенных невырожденных преобразований уравнений и зависимых переменных она становится эллиптической в указанном выше смысле".

Отметим, что при композиции систем эллиптических по Дагли-су-Ниренбергу также можно получить систему, не принадлежащую этому классу.

В дальнейшем системы класса Дуглиса-Ниренберга мы будем называть еще (й, ¿)-эллиптическими, а класса Петровского — (0, эллиптическими.

С появлением теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) понятие (я, ¿)-эллиптичности было перенесено на системы ПДУ и доказана следующая

Теорема 1. Условие (б, -эллиптичности необходимо и достаточно для нетеровой разрешимости (I х Г)-матричного оператора А (на компактном многообразии X без края) в пространствах

А : Нк+ь{Х) —* нк-3(х), к еМ, (6) где, скажем, Нк+ь(Х) есть прямое произведение пространств Соболева Нк^(Х). см. Л. Хермандер [1] (1966), а также А. С. Дынин [1], Р. Сили [1] и М. С. Агранович [1] (1965), где имеется обзор предшествующих работ)

Аналитичность решений эллиптических псевдодифференциальных уравнений и систем доказана в работах Кре и Буте дэ Монве-ля [1] (1967) и Л. Р. Волевича [5] (1971).

Этим работам предшествовали труды многих авторов, посвященные проблеме нетеровой разрешимости в различных функциональных пространствах систем одномерных и многомерных сингулярных интегральных уравнений нормального типа (эллиптическим в терминологии ПДО) (см. монографии Н. И. Мусхелишвили [1],

И. Н. Векуа [1],Н. П. Векуа [1], Ф. М. Гахова, С. Г. Михлина [1], С. Г. Михлина и 3. Пресдорфа [1]). Эти исследования имеют длинную историю, связанную, в частности, с изучением краевых задач для эллиптических уравнений с частными производными и с приложениями.

Условия нормальности одномерного сингулярного интегрального уравнения найдены Ф. Нетером [1] в 1921 г. Им же были установлены общие свойства сингулярных интегральных уравнений, известные теперь как теоремы Нетера. Теория систем одномерных сингулярных уравнений нормального типа (на основе свойств интеграла типа Коши) построена в начале 40-х годов в работах Н. И. Мусхе-лишвили и Н. П. Векуа. Что касается теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, то ее становление началось в середине 30-х годов с работ Ж. Жиро [1,2] и С. Г. Михлина (см. его книгу [1]), который ввел в 1936 году фундаментальное понятие символа сингулярного интегрального оператора. Тем самым был выделен класс эллиптических сингулярных интегральных уравнений и систем. В работах С. Г. Михлина [1], А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [1,2], И. И. Гохберга [1], Р. Сили [1] было доказано, что условие эллиптичности сингулярного интегрального оператора необходимо и достаточно для его нетеровой разрешимости в пространствах 1>2р0 (важный случай общего утверждения 1, который мы отметили). Указанные работы сыграли существенную роль в становлении теории эллиптических систем псевдодифференциальных уравнений.

Отметим, что в первых работах автора [1,2,4,5,6] при исследовании влияния младших членов эллиптической системы дифференциальных уравнений на плоскости на разрешимость ее задачи Дирихле возникли системы одномерных сингулярных интегральных уравнений на границе области, не принадлежащие к нормальному типу (но обобщенно эллиптические в нынешней терминологии). Эти системы удалось редуцировать к эквивалентным системам СИ уравнений нормального типа и доказать для них аналоги теорем Нетера. В работах [3,18,20,24] автор развивал теорию одномерных сингулярных интегро-дифференциальных операторов, которая аналогична теории обобщенно эллиптических ПДО, но основана на свойствах интеграла типа Коши. Эти работы сыграли свою роль при выделении класса обобщенно эллиптических операторов и в определении их свойств.

Приведем определение (s, ¿)-эллиптичности системы классических псевдодифференциальных уравнений на гладком многообразии. Для скалярного классического псевдодифференциального оператора a(x,D) порядка m (из класса 1т(Х)) также как для дифференциального, определяются полный и главный символы сг(а) и сгт(а). В случае системы псевдодифференциальных уравнений

Au = /, (7) где А = |i4j¿(a;,.D)|| — матрица псевдодифференциальных операторов Aij порядков не выше также как и раньше, определяется пара допустимых целочисленных векторов s и t, удовлетворяющих неравенствам (3): m¿j ^ s¿+tj. По каждой такой паре определяется (s, ¿)-главный символ системы v(sMA) = IK+ti(4<¿)||> (8) причем dSi+tj(Aij) = 0, если m¿¿ < + tj.

Система (7) называется (s, £)-эллиптической на X, если матрица (8) невырождена всюду на кокасательном расслоении многообразия X без нулевого сечения (которое мы обозначаем через Т'(Х)), то есть если тщам(А)(х,0 = 1 V(®,£) G Т'(Х). (9)

Это определение легко переносится на переопределенные системы с матрицей А, имеющей li строк и ¿2 < h столбцов. Условие (8) заменяется требованием, чтобы ранг матрицы cr(e>t)(A) равнялся Ь всюду на Т'(Х) (см., например, JI. Хермандер [1]).

Пусть А = (1-А)1/2, где Д — скалярный оператор Лапласа на X. Оператор А имеет первый порядок и эллиптичен, так как его главный символ cri (А) = |£| (в соответствующей римановой метрике на X). Используя оператор А и его целочисленные степени, сформулируем условие (s, ^-эллиптичности в другой более наглядной форме. Целочисленному вектору s = (si,., s¿) сопоставим (l х I) — матричный диагональный оператор Js, у которого по главной диагонали стоят операторы ASi,i = 1,.,/, а остальные элементы равны нулю.

Любой (I х I)-матричный псевдодифференциальный оператор А порядка не выше (я,£) (из класса Ь^'^(Х) ) представим в виде

Л = (10) где

А0 = = ЦЛ-^Л-уА"^ || (11) оператор не выше нулевого порядка, а порядок Т равен минус бесконечности (то есть его полный символ сг(Т) = 0 в Т'(Х)).

Оператор А является (з, ¿)-эллиптическим тогда и только тогда, когда оператор А0 нулевого порядка (11) эллиптичен.

Теперь мы перейдем к определению обобщенной эллиптичности системы псевдодифференциальных уравнений (6) на компактном многообразии X без края. Это определение задает ограничения как на главный символ, так и на некоторое число последующих членов полного символа системы. Один из способов определения эллиптичности системы сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений и вычислению ранга матриц и символа композиции операторов. При этом используется некоторое число членов разных порядков однородности полного символа системы. Существенно, что эллиптичность системы проявляется вне зависимости от выбора исходных порядков (весов) для ее строк и столбцов. Имеется два эквивалентных определения обобщенной эллиптичности системы псевдодифференциальных операторов. Первое определение удобно при построении регуляризаторов и доказательстве теоремы о разрешимости системы. Проверка принадлежности оператора к классу обобщенно эллиптических осуществляется с помощью второго определения. Если говорить точнее, то мы вначале определяем два класса операторов ОЕЬ(X) и а затем доказываем их совпадение.

Определение класса СЕФ^\Х). Квадратный (I х /) оператор А из класса называется обобщенно эллиптическим на X, если для любой точки д из Т'(Х) существует коническая (угловая) окрестность II С Т'(Х) и векторы такие, что А представим в виде

А = 33{3Г1А°1.3ГкА1)^+Т (12) с операторами А® нулевого порядка, "эллиптическими eU" (то есть det сто (А®) ф 0 в U, j = 1,. ,k), и оператором Т порядка —оо в U (т.е.

Класс таких операторов обозначается через GEL^s,t\X). Положим

WEL^(X) = GEL^mXEL^ÍX), v \ l h (13)

GEL(X) = U(s,t)GEL^{X).

Операторы из класса WEL^s,t^ (X) не являются (s,t) -эллиптическими, мы называем их слабоэллптическими.

Оператору А из класса GEL^S^ (X) ставится в соответствие целое число с(А), которое совпадает с числом c(A\U) = (s) + (t) + (n) + • • • + (rfc), (14) в одном из его представлений (12), где (s) есть сумма компонент вектора s и т.д. Оно является инвариантом обобщенно эллиптического оператора. Оператору А из (X) соответствует число с(А), равное < s > + < t >.

При микролокализации понятия обобщенной эллиптичности мы приходим к более широкому классу EFL^8,t\U) операторов, имеющих представление (12) в некоторой конической области U С Т'(Х) и, возможно, только в ней.

Определение класса EFL(s>^(X). Мы говорим, что оператор А из класса допускает в U эллиптическую факторизацию доминантной части, если найдутся векторы r*i,. и операторы Ai,., А\ из класса EL°(U) такие, что имеет место представление (12).

Изучение этих классов (при различных s,t и U) проводится в параграфах 2 и 4 главы 1 и является основой для дальнейшего исследования.

В §3 главы 1 доказываются следующие утверждения.

Теорема 3.2.2. Пусть оператор А е GEL^5^ (X)nL^ (Х- Е) и (p,q) ф (s,t). Тогда А принадлежит классу GEL^p'q\X) и с(А^) = с(А^). (15)

Теорема 3.3.1. Если оператор А е ЕЬ^(Х) П Ь^(Х-Е,Е) и (р,д) ф ($,£), то А принадлежит классу СЕЬ^Р,Я\Х) и в) + <*) ^ (р) + (<?). (16)

Теорема 3.3.2. Если оператор А удовлетворяет условиям Теоремы 3.3.1 и в (16) имеет место равенство, то оператор А принадлежит ЕЬ^Р,^(Х) и, кроме того, в любой конической области и из Т'{Х)

Ы аш (Л) = ае^^Л) Vи С Г(Х), (17) а векторы р, д и в, Ь связаны соотношениями р = 5-г-п, д = г + П г + п, г€%}+, (18) где П — матрица перестановки.

Теорема 3.3.3. Если оператор А удовлетворяет условиям Теоремы 3.3.1 и в (16) имеет место строгое неравенство, то А принадлежит классу (X) и

1е1:а(Р;д)(А) = 0 всюду на Т'(Х). (19)

Эти теоремы показывают, что класс СЕЬ(Х) является естественным расширением класса ЕЬ(Х). При неточном выборе порядков можно потерять эллиптичность, но обобщенная эллиптичность сохраняется, так как согласно Теореме 3.3.3, оператор становится тогда слабо эллиптическим. Из Теоремы 3.3.2 видно, при каких порядках эллиптичность может сохраниться.

Кроме того, класс СЕЬ(Х) замкнут относительно операции композиции.

Теорема 3.4. Пусть операторы А и В принадлежат СЕЬ(Х). Тогда их композиция АВ также принадлежит классу ОЕЬ(Х) и с(АВ) — с(А) + с(В). (20)

В п.3.5 мы приводим пример оператора на двумерной сфере 5 из класса (?Е£0(5), который не принадлежит ни классу И^С • ЕЬ°(8) ни -ЕЦБ).

Следующая теорема показывает, что класс йЕЦХ) замкнут относительно операции взятия параметрикса.

Теорема 3.6.1. Любой оператор А из класса GEL(X) имеет глобальный параметрикс Р. Оператор Р принадлежит классу GEL(X) с(Р) = —с(А). (21)

Кроме того, указывается оценка порядка оператора Р.

Утверждение 3.6.2. Порядок параметрикса Ра оператора А из GEL(X) удовлетворяет неравенству

- ord А ^ ord РА < - ord А - с(А°), (22) где ord А = т — истинный порядок оператора А, а А® — J —friА.

В конце параграфа 3 доказывается утверждение.

Теорема 3.7.1. Класс GEL°(X) инвариантен относительно выбора базисов в Е (и в F, если Е ф F, но dim Ех = dimi^j.

Отметим, что если оператор А € EL^s,t\X) в базисе {е^}, то он может не быть эллиптическим в базисе {е^} при любом выборе весовых порядков (p,q). В этом легко убедиться на примере.

Другое определение обобщенной эллиптичности оператора А0 из L°(X) основано на идее его локальных преобразований с помощью (а, —Ь)-эллиптических в U операторов С (a, b Е Z+) таких, что порядок оператора С А0 в окрестности точки q не увеличивается (СА0 е L°(Uq)).

Определение класса REL°(Uq). Оператор А0 из L°(X) называется приводимым в окрестности точки q из Т'(Х), к локально эллиптическому виду (или оператору), если существует коническая окрестность Uq С Т'(Х) и цепочка последовательных преобразований

А? = CiA0, = С2А1А°р = СрА1ъ (23) таких, что операторы А® принадлежат L°(Uq), для j = 1,. и оператор принадлежит EL°(Uq). Множество таких операторов обозначается через REL°(Uq).

Раскрыв соотношения (23) получаем

А°р = DPA°, где Dp = Ср . .С\. (24)

Определение класса ЯЕЬ°(Х). Оператор А0 из Ь°(Х) называется повсеместно на Т'(Х) приводимым к локально эллиптическому виду (или оператору), если для любой точки д из Т'(Х) найдется окрестность ия такая, что А0 принадлежит классу КЕЬ°(ид). Класс таких операторов обозначается через ЯЕЬ°{Х).

Оператору А0 из класса ЯЕЬ°(Х) ставится в соответствие число Акоторое совпадает с числом

25)

3=1 в каком-либо из соотношений (24), где вектора а^ и Ь^ определяются операторами С^, которые по условию принадлежат классам

Если А0 принадлежит классу ЕЬ°(Х), то число й(А°) = 0 по определению. Доказывается, что у операторов

В0 из класса НЕЬ°(Х)\

ЕЬ°(Х) число ¿¿(В0) > 0.

Для операторов А из класса (X) приводимость определяется по оператору А0 = принадлежащему классу Ь°(Х):

А е 11ЕЬ(х,ь\Х) ^ е ЯЕЬ0(Х). (26)

Если Ир- оператор , приводящий А0 к эллиптическому в 11д оператору А^ согласно (24), то композиция приводит А к оператору

Ар = е ЕЬ^(ид). (27)

В §5 доказывается следующее утверждение.

Теорема 5.2. Классы вЕЬ^(Х) иЯЕЬ^(Х) совпадают, т.е. если оператор А принадлежит ОЕЬ^^(Х), то А принадлежит ЯЕЬ^(Х) и обратно. При этом с{А<'•*>) = (в) + (*) - (28)

Отметим, что число с(А) не зависит от выбора допустимых весовых порядков для оператора А, тогда как число с1(А) зависит от них.

Возвращаясь к классу НЕ1Р(ид), отметим существенные различия нашего способа локальных преобразований (14), определяющих класс, от преобразований, введенных Б. Р. Вайнбергом и В. В. Трушиным в работе [1].

1) Они используют операторы С^ из классов где а £

Точнее строки операторов С^ имеют либо нулевой, либо первый порядок, причем верхний блок в С^ совпадает с единичной матрицей, поэтому число ее строк всегда превышает число ее столбцов.

2) На операторы Ар в процессе преобразований (23), накладывается жестокое условие: их главные символы ао(А^) должны иметь постоянный ранг всюду в и и далее в Т'(Х) для всех $ = 0,1,. ,р; где А% = А

Мы отказываемся от этих условий и строим приводящие операторы иначе. Так, чтобы, во-первых, матрицы С^ всегда были квадратными, уменьшая (если необходимо) окрестность ид точки д и, во-вторых, выбирая операторы С^ из более широких классов Е^а,~ъЦид), чем ЕЬ(а^(ид), допуская 6/0.

В п.4.3, на примере оператора (4.53), мы показываем, что этим способом можно привести к эллиптическому в ид виду даже такие операторы Б, у которых символическая матрица его (В) имеет переменный ранг в любой окрестности точки д (т.е. когда ее ранг "падает" в точке q). Смотрите Предложение 4.3.

В §4 мы указываем способ определения принадлежности матрицы А из Ь°(и) классу ЯЕЬ°(ид) в окрестности ид заданной точки <7 из и.

Проводится цепочка последовательных преобразований матрицы А

А -> Ах ----> Ар. (29)

На шаге к преобразования к матрице Ак-\ применяется либо матрица С0 из ЕЬ°(ид) слева, либо матрица В0 из ЕЬ°(ид) справа, либо диагональный оператор «70 (или З-ъ), а,Ъ 6 Ъ1+ (слева или справа) так, чтобы полученная матрица Ак принадлежала классу Ь°(11д).

Принципиальный шаг состоит в отыскании в матрице Ак-\ элемента из класса е/ш(#), т > 0, то-есть эллиптического оператора порядка т в некоторой окрестности точки д.

Если такой элемент найден, то указывается алгоритм какие из вышеуказанных операторов применять, чтобы матрицы Ак имела определенную структуру.

Так, если в исходной матрице А найдется элемент ац из е1о(д), — эллиптический оператор нулевого порядка в некоторой окрестности точки д, то существует матрицы С0 и В0 в ЕЬ°(ид) такие, что в матрице С°АВ° элемент а^ занимает левый верхний укол и остальные элементы первого столбца и первой строки принадлежат классу 1-оо(ид).

В этом случае наши преобразования аналогичны преобразованиям Гаусса при приведении числовой матрицы к диагональному виду невырожденными матрицами. Роль ненулевых элементов играют операторы из класса е^о(д), нулевых — операторы из 1-оо{ид), но имеется еще "промежуточные" элементы, наличие которых существенно меняет ситуацию. Поясним это.

С0, В0)- преобразованиями матрица А приводится к виду

А{ = С°АВ°=^ (30) где /г единичная матрица размера г, число г равняется рангу матрицы сго(А) в точке а матрица (2 размера 1—г принадлежит классу Ь°(ия) и обладает свойством: ее главный символ в точке д равен нулю, т.е. матрица

70(6)1, = [0]. (31)

Ненулевую матрицу £ такого типа, мы называем остаточный матрицей оператора А^.

Если в матрице б? найдется элемент из е/т(д), т > 0, то размер остаточной матрицы можно уменьшить на единицу, так как найдутся вектора а и Ъ е окрестность Щ С 11д и матрицы В® и С® из ЕЬ°(ид) такие, что следующая композиция А^ = С?ЗаА{3~ьВ\ принадлежит классу Ь°(и'д) и имеет вид

А5 = фаА^-ьВ* = ^ Ту е 1г°°(179), (32) где (?1-остаточная матрица размера 1 — г — 1 (удовлетворяющая условию (31)).

Операции заканчиваются, если матрица Ар имеет вид

Ар = 11 + тр, треь~°°(ид). (33)

В этом случае мы говорим, что оператор А принадлежит классу ЯЕЬ°{д).

Операторы из класса \УЕЬ°(Х) = ЕЕЬ0(Х)/ЕЬ0(Х) обладают одним важным свойством: существует матрица В, возможно не квадратная с размерами 1x1, где I ^ Ь, которая приводит оператор А0 из ШЕЬ°(Х) к глобально эллиптическому на X оператору В А0 нулевого порядка. Это значит, что матрица а0(ВА°) имеет левую обратную всюду на Т'(Х). Действительно, согласно определению класса ЛЕЬ°(Х) для любой точки д из Т'(Х) существует окрестность IIд и оператор Вр = СР.С\ такой, что композиция А^ = ВрА° е ЕЬ°(ид). Из покрытия компактного множества 5*(Х) С Т'(Х) окрестностями IIд можно выбрать конечное подпокрытие э = 1,.,]\Г, и построить разбиение единицы

•(я, £)}, подчиненное этому покрытию. Здесь £ = а — гладкие и однородные по £ нулевого порядка функции с носителями II^ <е Uj. Рассмотрим операторы = (рз(х,В)Вр. и из них составим (Ш х /)-матрицу

D = ; ■ (34)

Тогда очевидно, что операторы АJ = В^А° принадлежат EL°(U'j), а вся (IN х /)-матрица В А0 принадлежит классу EL°(X) глобально эллиптических на X операторов. При N > 1 она не является квадратной.

Таким образом, класс REL°(X) содержится в классе EL°(X) глобально эллиптических операторов.

Оператор В позволяет также определить пространства Соболева, в которых оператор из WEL°(X) является нетерово разрешимым. Пусть Нк(Х) прямое произведение I экземпляров пространств

Соболева Нк(Х), к € Ж, и пусть / — (/ij •••;//) — вектор-функция. Оператору (34) сопоставим пространство Н^(Х). По определению ему принадлежат те вектор-функции / из Нк(Х), для которых вектор Df также лежит в том же пространстве Нк(Х), то есть f£HÏ>{X)<=>f и Df е Нк(Х). (35)

Норма в этом пространстве определяется согласно формуле и/и^ро = «/и* + il ml (зб) где || • ||к — норма в Нк(Х), и, согласно представлению оператора (34), \\Df\\l = jr\\DMf\\l (37)

3 = 1

Из леммы 4.4.1 и соотношений (4.14) и (4.15) вытекает, что нормы, определяемые двумя различными операторами D и D', приводящими оператор А0 к эллиптическому виду, эквивалентны. Следовательно, пространство Нр(Х) не зависит от произвола, который имеется при построении матрицы D.

Из Утверждения 2.14.2 и определения числа d(A°) получаем ограничения для истинного порядка оператора D всюду на Т'(Х)

0 < ord D ^ d(AQ). (38)

Следовательно, имеют место вложения функциональных пространств

Hkïd с ЯГ щ с Нк ^ (39)

Отметим, что если оператор А0 е EL°(X), то по определению матрица D совпадет с единичной и пространство Нр(Х) совпадает с Нк(Х).

Пусть теперь оператор А принадлежит классу REL^s,t^(X), где sut векторы длины L Согласно нашему подходу (26) и свойству диагональных операторов, пространство H^~S(X) определяется так G HkD~s(X) <=*fe Нк-8(Х) и Dj-af е нк(х), (40) где D — оператор (34).

Имеют место следующие утверждения о разрешимости и гладкости решений системы (операторного уравнения)

A°u = f, где feHk(X). (41)

Теорема 6.1.1. Если оператор А0 принадлежит GEL°(X), то при любом действительном к система (41) имеет в пространстве Нк{Х) решение для всех / £ Hk+d(X), где d = ordD, удовлетворяющих конечному числу условий ортогональности к некоторым бесконечно дифференцируемым функциям.

Однородная система имеет конечное число линейно независимых решений, и эти решения бесконечно дифференцируемы. Более того, если и — любое обобщенное решение системы (41) ufe. Hk+d(X), то и G Нк(Х).

Теорема 6.1.2. Если А0 е GEL°(X), и, если и — любое обобщенное решение системы (41), a f € Нр(Х), то и Е Нк(Х).

Теорема 6.1.3. Если А0 е GEL°(X), то при любом к е К. оператор

А0: Нк(Х) ->Н1(Х) (42) является нетеровым. Ядро оператора (42) состоит из бесконечно дифференцируемых функций, а область значений определяется условиями ортогональности к некоторым бесконечно дифференцируемым функциям.

Если / 6 Hq(X) и и — любое обобщенное решение системы (41)i moueHk(X).

Замечание. Оператор, соответствующий матрице А0 из класса WEL°(X), не является непрерывным в пространствах

А0: Нк(Х) Нк+а(Х), й = огйД к Е К, (43)

Поэтому, несмотря на то, что для этих пространств и справедлива теорема 6.1.1 о разрешимости, нетеровым в этих пространствах такой оператор не будет. Нетеровым он будет только в пространствах (42).

Предположим теперь, что оператор А принадлежит общему классу СЕЬ^,1\Х) = Согласно пункту 4.5.2 он непрерывен в пространствах

A: Hk+t{X) HkD~s(X).

44)

Учитывая фредгольмовость диагональных операторов в пространствах, указанных на диаграмме (1.50-1.51), легко получим аналоги теорем 6.1.1-6.1.3. Их мы не будем повторять, а сформулируем только их существенную часть.

Теорема 6.2.1. Оператор А из класса на замкнутом многообразии X обладает следующими свойствами: а) он имеет (левый и правый) глобальный параметрикс, б) в пространствах (44) оператор А является нетеровым оператором. Его ядро и коядро состоят из бесконечно дифференцируемых функций, в) для А справедлива оценка и\\нк+*(х) < С(\\Аи\\+ 1М1я-(х)), (45) где постоянная С не зависит от и, г = (7*1,. , п) и г^ < к ~

Замечание 6.2.2. Если в матрица В — I, то это пространство совпадает с Нк~3(Х) и, как известно, из оценки (9) вытекает принадлежность оператора А € Ь^8'г\Х) классу ЕЬ^^(Х) (см., например, работу Л. Хермандера [1]).

В общем случае, из оценки (9) можно получить, что оператор И А0 = принадлежит классу ЕЬк(Х). то есть для любой точки д из Т'(Х) в матрице Б найдется квадратная подматрица £)' (размера I) такая, что И'А0 £ ЕЬ°(ид). Выбирая в покрытии Т'(Х) окрестностями \]д конечное подпокрытие {¿7/} , получим набор матриц Бр э Е [1, Щ.

Если каждая из них принадлежит классу ЕРЬ(и^, то оператор Ао принадлежит классу СЕЬ°(Х), а оператор А — классу ОЕЬ^,г\Х).

В п. 6.3 мы приводим несложный пример оператора (6.11) из класса СЕЬ°(Х), иллюстрирующий один из многих вариантов вырождения его главного символа.

В главе 2, используя результаты главы 1, мы доказываем для эллиптических систем дифференциальных уравнений на многообразии с краем нетеровость некоторого класса некоэрцитивных краевых задач, удовлетворяющих условиям, которые являются обобщениями условия Лопатинского с той существенной разницей, что они обеспечиваются младшими производными оператора краевой задачи, в тех случаях, когда условие Лопатинского нарушается соответствующим образом. Эти задачи мы также называем обобщенно эллиптическими, так как они сохраняют основные свойства эллиптических задач и редуцируются к обобщенно эллиптическим системам ПД уравнений на границе многообразия.

Известно несколько общих методов сведения краевой задачи к нетерово эквивалентной системе ПД уравнений на границе многообразия, использующих регуляризатор вспомогательной эллиптической краевой задачи.

Мы используем метод, предложенный Б. Р. Вайнбергом и В. В. Трушиным [2], поскольку при этом указывается удобный нам алгоритм вычисления полного символа соответствующей системы ПД уравнений через коэффициенты краевой задачи. Он состоит в следующем. Пусть А и В — (I х I) и (г х I) — матричные дифференциальные операторы на (7 порядков (а, я) и (6, й) соответственно с коэффициентами класса г = (< а > + < 5 >) : 2, и оператор А эллиптичен в (7. Рассмотрим общую краевую задачу:

А(х,вх)и(х) = /(х), (46)

В(х,Вх)и(х)1г = ф/), х'ег. (47)

Предположим вначале, что / = О, т.е. рассмотрим систему (46о). Для изучения задачи (46о), (47) рассмотрим также какую-либо вспомогательную эллиптическую задачу для системы (46о):

В(х,Вх)и(х)\т = у(х'), х' е Г, (48) где В — (г х ¿)-матричный оператор порядка (с/, в) с гладкими коэффициентами. Эллиптической задаче (46о), (48) соответствует оператор Вти = Ви р в пространствах

Вт: Я*+в(<3) П Кег А (Г), (49) который имеет регуляризатор Я (левый и правый одновременно), т.е такой оператор Я = В£ = В^, что АВ^у = 0, В^В^у = у+Т'у, В^Вги = и+Ти, если Аи = 0, где Т'иТ — сглаживающие операторы бесконечного порядка.

Рассматривается оператор

Sv = BrD^v, S:Hk~d-ï(Г) Нк~ь~Цт) (50) порядка (b,—d).

Доказано, что S является псевдодифференциальным оператором, и указан способ вычисления его полного символа. Причем оператор S эллиптичен тогда и только тогда, когда эллиптична задача (46о), (48).

Определение. Задача (46о), (47) называется обобщенно эллиптической, если обобщенно эллиптична система Sv = g, то есть, если оператор S принадлежит классу GEL^h~d\Y).

Величину d(S) можно считать показателем (или степенью) слабой эллиптичности оператора S и также слабой эллиптичности задачи (460), (47).

Корректность этих определений показывает следующая

Лемма 2. Обобщенная эллиптичность краевой задачи (46о), (47) и ее степень не зависит от выбора вспомогательной эллиптической краевой задачи (46о), (48), то есть, пусть имеется еще один оператор D'r порядка (d',s), определяющий для системы (46о) эллиптическую краевую задачу, и R' — регуляризатор этой задачи, тогда оператор S' = BrR' принадлежит классу GEL^b,~d )(Г) и числа d(S') и d(S) совпадают.

Согласно Теореме 6.2.1 главы 1, оператор S из класса GEL^b,~d\T) является нетеровым в пространствах

S:Hk~d-^(T) Нс~Ь~ЦГ). (51)

Оператор Dr является нетеровым в пространствах (49). Его регуляризатор R также нетеров. Поэтому согласно Теореме 2 главы 2 обобщенно эллиптической краевой задаче (46о),(47) соответствует нетеровый оператор Вг, действующий в пространствах

Br:Hk+s{G) UKerA Н^'ЦТ). (52)

Итак, имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Если краевая задача (46о), (47) обобщенно эллиптична, то для любого вещественного k она определяет нетеров оператор Вг в пространствах (52).

Из Теоремы 2 с учетом того, что образ оператора S содержится в образе оператора Вг, вытекает

Теорема 5. Ядро оператора (52) задачи (46о), (47) состоит из вектор-функций класса C°°(G), а область значений определяется условиями ортогональности к вектор- функциям класса С00(Г). Кроме того, если и G UkHk(G) — любое обобщенное решение слаkfjJL бо эллиптической задачи (46о), (47) и g £ Нс 2 (Г), то и G Hk+S(G).

Как обычно, индексом я(В?) операторов (52) назовем разность между числом линейно-независимых решений однородной задачи (46о), (47о) и числом линейно-независимых вектор- функций, ортогональность к которым обеспечивает разрешимость задачи (46о), (47). В силу Теоремы 5, индекс н(Вг) не зависит от k G R1, к > |6|.

Теорема 6. Пусть задача (46о), (47) слабо эллиптична. Тогда индексы операторов (49), (51) и (52) связаны соотношением н(ВТ) = x{S) + x(Dv). (53)

Для неоднородной задачи (46), (47) мы ограничиваемся утверждением, менее точным, чем Теорема 4.

Теорема 7. Если задача (1), (2) обобщенно эллиптична, то для любого k > max(b',d') -р-\-\ она имеет в пространстве Hk+S(G) решение для всех f G Hk~a+P{G), g G Hç b 2(Г), удовлетворяющих конечному числу условий ортогональности.

Однородная задача имеет конечное число линейно-независимых решений, и эти решения бесконечно дифференцируемы вплоть до границы. Кроме того, если имеется такое обобщенное решение и(х) G UkHk{G) задачи (46), (4V> 41710 для нее имеет смысл выражение Ви\Г ufe Hk~a+P{T), g G то и G Hk+S(G).

Здесь b' — максимальный порядок дифференцирования по нормали у оператора В; р — максимальный порядок оператора С, приводящего 5° к эллиптическому всюду на Г оператору нулевого порядка.

Доказательство теорем 4-7 приводится в § 2.

Класс обобщенно эллиптических систем шире класса равномерно неэллиптических систем ПД уравнений, поэтому наши результаты обобщают результаты работы [2] Б. Р. Вайнберга и В. В. Грушина.

Полученные результаты применимы при изучении краевых задач для систем дифференциальных уравнений математической физики. В п. 5.2 мы показываем это на примере краевой задачи для пары гармонических функций, возникшей в теории ньютонова потенциала при изучении обратных задач.

Отметим, что глава 2 состоит из двух параграфов. В п. 1 § 1 кратко излагаются известные результаты относительно общих эллиптических систем и показывается, как для любого эллиптического оператора А можно подобрать граничный оператор В с минимальным числом строк, который накрывает А.

В п. 2 этого параграфа приводится способ построения левого ре-гуляризатора оператора краевой задачи с постоянными коэффициентами в полупространстве, который отличается от известного метода В. А. Солонникова [3] только тем, как строятся левые обратные эллиптических матриц. Мы используем метод, предложенный в книге С. JI. Соболева [4].

В главе 3 изучаются свойства обобщенно эллиптических дифференциальных операторов в замкнутой ограниченной области G. В п. 5 § 1 определяется класс REB^s,t^(U) дифференциальных операторов. приводимых к дифференциальному оператору эллиптическому в окрестности (ж,£) посредством локально эллиптических (^-преобразований. Этот класс аналогичен классу из § 4 главы 1. Q-преобразования оператора А отличается от С-преобразований из § 4 главы 1 тем, что операторы Q — дифференциальные, а С — псевдодифференциальные. Доказываются утверждения.

Лемма 3.1. Всякое дифференциальное Q-преобразование оператора А из класса L^^G) задает псевдодифференциальное преобразование С оператора А0 = JsAJt нулевого порядка вида

С = Jq-SlQ°J-{r-s) = J-siQJs + Г, Те L~°°(G). (54)

Лемма 3.2. Если оператор А принадлежит классу RED^s,t\U), то его оператор А0 принадлежит классу REL°(U). При этом oneратор Dp = Ср • • • Ci определяется через оператор Кр по формуле Dp = J-SpKpJs + Tpi Тр G L~°°(G), (55) и композиция Dp А0 принадлежит классу EL°(U).

Оператор Кр, о котором говориться в лемме 3.2, — это композиция (^-преобразований оператора А к эллиптическому виду:

Ар = КРА G EL^(U), где KP = QP-.Q1. (56)

Лемма 3.3. Если оператор А0 = AJ-ш принадлежит классу REL°(U), то оператор А принадлежит классу

Из этих лемм вытекает, что дифференциальный оператор А принадлежит классу тогда и только тогда, когда он принадлежит классу REL(s,tî(U).

В пп. 4 и б § 1 указывается способ построения операторов Qj и Кр.

В п. 7 § 1 доказывается соотношения между различными приводящими операторами. 6

Лемма 3.4. Пусть А е RED^(U) и наряду с оператором Кр имеется другой оператор К',, приводящий А к эллиптическому в U виду, то есть

КРА G EL^Sp,t\lJ) и K'p,AeEL{s'p'^(U). (57) Тогда эти операторы связаны соотношениями

К'р, = Js,p/BJ-SpKp + T: В g EL°(U), Т g Ь~°°(и), (58) Kp = JSpB,Js,pK,p,+r, B'eEL°(U), Т' е L~°°(U). (59)

Далее определяется класс REB^s,t^(G), аналогичный REL^s,t\G), и доказывается

Теорема 1. Для квадратного матричного дифференциального оператора А из класса следующие утверждения эквивалентны:

1) оператор А принадлежит классу REB^S^(G),

2) оператор А принадлежит классу REL^S^(G),

3) оператор А принадлежит классу GEL^'^ÇG).

Обобщенно эллиптические операторы с постоянными коэффициентами обладают следующим свойством.

Теорема 2. Пусть A(D) — оператор с постоянными в области G коэффициентами, принадлежащий классу RED^(G). Тогда скалярный оператор det А определен и является эллиптическим оператором порядка к = с(А), где число с(А) определяется формулой (2), и выражается через число d{ASs^') по формуле с(А) = {s) + {t) - d(A^). (60)

Формула (2), которая упоминается в теореме 2, — это определение числа с(А) из главы 2.

На основании результатов § 1 мы показываем в § 2, что операторы из класса RED^\G) обладают свойством гипоэллиптичности. Если же их коэффициенты аналитичны, то их коэффициенты обладают свойством аналитической гипоэллиптичности.

В § 3 кратко изложены свойства операторов Грина из работы JI. Буте де Монвеля [1] с небольшими дополнениями, которые понадобятся в § 4.

В § 4 рассматривается наш подход к исследованию задач для сис

-----тем уравнений из класса RED (G) П WG • ELm(G). В конечной области краевой задаче соответствует ограниченный оператор Л \ h*-s(G)

А= ( „ ):#*+« (<?)-► © , (61)

V^r) Hk-b-l где Hq~s(G) — подпространство в Hk~s(G), определяемое приводящим оператором Dp = Qp • • • Qi и дополняющем его граничным оператором Ср. Число к удовлетворяет неравенству г к ^ kg = max(bi ,Cj). Доказывается i J

------(s,t)

Теорема 3. Пусть оператор А принадлежит классу RED (GQn WG ■ ELm(G), где m = ord А в G. Тогда а) существует пространство Hq~s(G) такое, что оператор (27) имеет левый регуляризатор; б) существует пространство такое, что оператор (27) имеет конечномерное ядро и замкнутую область значений; в) существует пространство Но~в(0) такое, что выполняется априорная оценка

1М1 Я*+*(<?) < С(\\Аи\\н%-°(С) + ||^ия,-ь-1(г) + Еь-|1мс?))' (62)

3>0 причем постоянная с не зависит от и; к ^ ко.

Глава 4, состоящая из шести параграфов, содержит приложение полученных результатов к проблеме выделения разрешимых краевых задач для систем уравнений математической физики на примерах систем Максвелла, Стокса, С. Л. Соболева, акустики и кристаллооптики в случае установившихся процессов, зависящих от времени определенным образом.

Обобщенная эллиптичность системы, в отличие от эллиптичности по Даглису-Ниренбергу, не зависит от выбора весовых порядков для строк и столбцов оператора системы, а также от вида в котором она записана. Мы показываем, что для каждой из рассмотренных систем, можно указать разные семейства краевых задач и шкалы пространств Соболева или Гельдера, в которых задачи нетерово разрешимы. Эти шкалы пространств подбираются в соответствии с выбранными весовыми порядками системы.

В § 1 мы иллюстрируем наш метод и технику вычислений условий дополнительности на примере простейшей нетривиальной слабо эллиптической системы в области (? С I3: го1;и + Аи = /, (63) где и(х) и /(х) — неизвестные и заданные 3-вектор-функции в А — действительное число. Система (63), не будучи эллиптической ни при каком выборе весовых порядков («,£), при А ф 0 является слабо эллиптической.

Для системы (63) при А ф 0 в ограниченной области с гладкой границей Г рассматривается общая краевая задача

В(х,дх)и{х)\Т = д(у), уе Г, (64) где В — матричный дифференциальный оператор размеров г х 3 с элементами В^, причем г > 1 = с/2, и пусть (6, ¿) — его весовой порядок: Ь = (&1,., Ьг), = шаху(огс1-¿у). Пусть = (О3Д3). Условие, при котором оператор Бр дополняет слабо эллиптический оператор системы (63), определяется так. Вычисляется базис пространства М.\ решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений на полуоси г > 0: го^о(-г) = гоь(^т + г) = 0, (65а) с^ \

Лс1т;о(2:) = \divyiT + V—— 0, (65Ь) при условии Уо(у,т-,г) 0, когда г -»• +оо, для всех (у,т) принадлежащих Т'(Г).

Мы показываем, что пространство М.\ одномерно, и его базис имеет вид где со = гт — |т|г/, и — вектор нормали к границе в точке у, а т — ненулевой косательный вектор.

Поэтому оператор (64) дополняет слабо эллиптический оператор (63), если гаг^ Во(у, си) • и = 1 \%,т) € Т'(Г), (66) где Во — главная часть В порядка (6,13).

Примером задачи, для которой выполняется условие (66) выполняется, является краевая задача вида

1-и\Г=д, (67) если заданное на Г действительное векторное поле 1(у), нигде не выходит в касательную плоскость, то есть I ■ ь>(у) ф 0 для всех у 6 Г (здесь "•" означает скалярное произведение векторов).

Приводятся и другие примеры (4.1.9)—(4.1.11) краевых условий, удовлетворяющих условию (66).

Задаче (63), (64) соответствует ограниченный оператор А\ в пространствах А\ г т ( \ г' \нк-\~ь) к ^ ко, (68) где пространство состоит из таких векторов / из Нк(0), для которых сНу/ также принадлежит Я* (С?); к0 = тахб^ + 1. з

Доказывается следующая

Теорема 1.1. Если г ^ 1 в (4), то условия А ф 0 и (7) необходимы и достаточны для нормальной разрешимости оператора (68) и конечномерности его ядра. Если г — 1, то эти же условия необходимы и достаточны для нетеровой разрешимости оператора (68).

Пусть / и д из пространства и Нк~^~ь в (68) таковы, что задача (1), (4) разрешима, тогда любое ее решение и принадлежит пространству #(*+*) (С).

Из нее вытекает

Следствие. Задача (63), (67) нетерово разрешима в пространствах (68), если положить Ь = —1, ко = 0.

Более того, в п. 2 § 1 показывается, что задача (63), (67) имеет индекс равный —1 и приводится полное ее решение в случае, когда область (7 является шаром радиуса г. В п. 3 рассматривается система и + а(х)и = /, х Е С?, (69) где а(х) — действительная 3x3 — матрица с коэффициентами класса С°°(С).

Система (69) слабо эллиптична в если оператор сНуа^У — эллиптичен в (?, то есть, если з • а(х) ■ £ = Е ф 0 е Т'(С). (70)

Показывается, что для этой системы имеют место аналогичные результаты.

Пространство М~д для оператора системы (69) порядка (Оз, 1з) по прежнему одномерно и его базис имеет вид гидед2:, где и>д = д^ + гт, а <?(у, т) — корень (с Шед < 0) квадратного уравнения шд • а(у) -шя=0.

71)

Поэтому условие дополнительности на граничный оператор (64) порядка (6,1з) имеет вид та,щВо(у,шд) ■ изч = 1 У(у,т) € Т'(Г). (72)

Условие (72) выполняется для задачи (67), (69), если I • и ф 0 на Г, а также для задачи уаи)\т = дъ (73)

Оператор Л\ задачи (64), (69) ограничен в пространствах (68).

Имеет место

Теорема 1.2. При г ^ 1 в (64) условия (70), (72) необходимы и достаточны для нормальной разрешимости оператора Л\ задачи (64), (69) в пространствах (68). При г = 1 эти же условия необходимы и достаточны для нетеровости оператора Л\. Если / и д таковы, что задача (64), (69) разрешима, то любое ее решение принадлежит пространству Нк+1{С).

Следствие 1.2.1. Задача (67) при 1-й ф 0 наТ и задача (73) для системы (69) нетеровы в пространствах (68), если Ъ = —1, ко = 0.

В п. 4 § 1 мы показываем, что для системы (63) в областях определенной формы возможны постановки краевых задач нового типа, когда различные компоненты ивектора и задаются на подмногообразиях границы Г разных размерностей.

Пусть область С? удовлетворяет условиям а) £ выпукла относительна направлений, параллельных ез = (0,0,1), и ее проекция О на плоскость ж3 = 0 диффеоморфна единичному кругу; б) в Гз найдется контур 7, на который внутри Г можно натянуть пленку Я, задаваемую уравнением хз = з(х'), где з(ж') € Ск+2(П), к > 0, нецелое, х' = (хг,х2).

И пусть на 7 заданы гладкие функции Ьх и 62 такие, что 6? + 62 Ф 0-Полагаем Ь = 62 — гЬ\. Определяется число к — —

7Г 1 аг§ Щ) = - [а^(62 + ¿61)] , (74)

Л аГ2 7Г ' где [аrgb(t)}дQ, означает приращение аргумента функции 6(£), когда точка £ обходит контур сШ один раз в положительном направлении (при этом точка (£,£(£)) обходит контур 7).

Рассматривается следующая краевая задача. Найти решение и системы (63) класса Ск+(1,1,2^ (G), удовлетворяющее краевым условиям

Ьгиг + &2^2)|7 = h, (75)

Ьзиз\г = д, (76) где функция Ъ3 ф 0 на Г.

Предположим, что функции h G Ск+1(7), д G Ск+2(Т) и, наконец, вектор-функция / G Cq+1(G) (то есть /, div/ и dfi - dif2 + А/3 +

A-153div/ принадлежат классу Ck+1(G)).

Доказана

Теорема 1.4. область G удовлетворяет условиям а) и б), функции f, g, h удовлетворяют указанным выше условиям, то краевая задача (63), (75), (76) нетерово разрешима, в пространствах Гелъдера Ck+^l^(G) (то есть щ, и2 G Ck+1, и3 G Ск+2), и ее индекс равен х+1. Если задача разрешима, то любое ее решение и принадлежит пространству Ck+(1,1,2\G).

Рассматриваются примеры краевых задач, удовлетворяющих условиям теоремы. Доказываются фредгольмовость или даже безусловная и однозначная разрешимость некоторых из этих задач (см. теорему 1.5)

Примечание. Система rot и + Хи = / в инвариантной записи имеет вид dw1 + А * w1 = j2 и составляет при п = 3, k = 1, X = 1 одну из подсистем системы dw + *w = 7, где w = w° + • • • + wn, 7 = 70 + • • • + 7n, wk, 7fe — формы степени к на вещественном n-мерном многообразии X, d — оператор внешнего дифференцирования, а * — оператор нулевого порядка, переводящий формы степени к в формы степени п — к (см. Де Рам [1]). Эти системы впервые рассмотрены в работе Б. Р. Вайнберга и В. В. Грушина [1] как примеры равномерно неэллиптических систем, где доказано, что на многообразии X без края они являются нетерово разрешимыми в соответствующих пространствах Соболева. Краевые задачи в ограниченной области для системы rot и + Хи = f были изучены в работах автора [6, 7], а для системы dw-\-X*vu = j — в работах [21, 22], которые не включены в диссертацию.

В § 2 мы изучаем следующую систему: го^х + \2и2 = /ъ го1;и2 + \iiii = /2, (77) где Ах, Л2 € С, щ, щ, Л, ¡2 — трехмерные векторы. Система (77) при определенных Ах и А2 совпадает с системой Максвелла для установившихся процессов, зависящих от времени по закону ег7*. Положим и кЩ) = («<4,.,«<6>), / = (Л,Л) = (/«,.,/<6>).

Система (77) не является эллиптической при любом выборе порядков («,£). Но если

Ах • Л2 ф 0, (78) то она слабо эллиптична.

Комплексное пространство М.\ = М+(Ах) системы (77) порядка (Об, 1б) двумерно для любых (у, т) 6 Т"(Г) и его базис имеет вид

79)

Для системы (1) порядка (в; £) в ограниченной области £ изучается общая краевая задача:

В{х,дх)и(х)\г = {Вт 1 + В2-и2)|г = 9{у), уеТ, (80) где Б = (#1 В2) — матричный (г х 6) — дифференциальный оператор с гладкими комплексными коэффициентами векторного порядка (6; Ь = (6х, ,ЬГ), г ^ 2.

Пусть (в; ¿) = (Об, 1б) к Во — главная часть оператора В порядка (6;Т6). В силу (79), оператор В дополняет слабо эллиптический оператор А системы (77), если тап&Во(у,и>)П1(у,т) = 2 У(у,г) е Г (Г). (81)

Это условие выполняется, например, если заданы проекции векторов щ и на действительные векторные поля 1\{у) и 12(у), нигде на Г не выходящие в касательную плоскость (Ц • и ф 0, 7 = 1,2): к-Уч\т = ди к-и2т = д2\ (82) в частности, при 1\ = 12 = V (см. В. А. Солонников [2]). Оно выполняется также, если на Г заданы касательная составляющая вектора щ и нормальная составляющая вектора и2: и1)т\г = 9т, V ' |р — 92 , 9т-" = 0, (83) или если заданы условия М. Л. Леонтовича [1]: и2)т - &Ы х и)]г = (дх г/)г, (84) или для задачи из работы Шульденбергера, Вилькокса [1]: у х щ - XV х г/2)|г = 9т, 9т-у = О, у • (Ау1 + и2)г = 92, А ф ±г.

Здесь "х" обозначает векторное произведение.

Условие (81) выполняется также для краевой задачи: к ■ ^ + Сц(у)и1 + С12{у)и2)т = (/з • + С21(г/)«1 + С22(у)^2)г = 02,

85)

86) если действительные векторы Ц{у) нигде на Г не выходят в касательную плоскость (^ -V ф 0, з = 1,.,4), в частности, если

1з =

Задаче (77), (80) соответствует ограниченный оператор в пространствах: Л \ - - но

Аг= ( £ ):Нк+1(0)^ ф (87) где пространство Н^ (б?) состоит из таких векторов /1, /2 £ Нк(С), что сИуД и (Ну/2 также принадлежит Нк(0). Отметим, что Я*+т(<2) С С Я* (Я).

Имеет место следующая

Теорема 2.1. При г ) 2 8 (80) условия (78), (81) необходимы и достаточны для нормальной разрешимости оператора Л\ в пространствах (87) и конечномерности его ядра; при г = 2 эти же условия необходимы и достаточны для нетеровости оператора Л\. Если / и д из (87) таковы, что задача (77), (80) разрешима, то любое ее решение принадлежит пространству Нк+1 ((7).

Следствие 2.1.1. Задачи (82) и (86) для системы (77) нетеро-вы в пространствах (87), где Ъ — —12, ко = 0 и Ъ = О2, ко = 1, соответственно.

Следствие 2.1.2. Краевые задачи (83)-(85) для системы (77) нормально разрешимы в пространствах (87), где Ъ = —14, — 1з, —14> соответственно, ко = 1, и имеют конечномерные ядра.

В п. 2 § 2 оператор системы (77) изучается в других пространствах.

Предполагается, что £ = (2з, 1з), з = (-1з,0з).

Пространство М\ — М+(А2) по-прежнему двумерно для любых (у, т) € Т'(Г), но его базис теперь имеет вид

Па(„,т)е-И»,

При рассмотрении краевых задач (80) для системы (77), следует учитывать, что при изменении порядков и (&,£) для А и В их л главные части меняются. Главная часть Во оператора В порядка (6;2з,1з) также отличается от Б0 предыдущего случая: в каждой строке Во = (Щ В%) ненулевые операторы в В? имеют на единицу больший порядок, нежели операторы в В%.

В силу (88) условие дополнительности теперь имеет вид гапёБ0(?/,а;)О2(у,т) - 2 У(г/,т) € Т'(Г). (89)

Оно выполняется, например, для задач (82), (83), (86), а также если на Г задана только касательная составляющая вектора щ: и1)т|г=0т, = 0,

90) или если заданы нормальные составляющие векторов и щ'. v дщ ~dv

9ъ v-U2T=g2. (91)

Замечание. Множества задач, удовлетворяющих условиям (81) и (89), различны (задача (90) не удовлетворяет условию (81), а задачи (84), (85) — условию (89)), хотя и имеют непустое пересечение, так как задачи (82), (86), и (91) удовлетворяют обоим условиям.

Задаче (77), (80) соответствует ограниченный оператор \ д*Ч1з,0з)/Q\

Л = ( в ) : Н*+ fco, (92) VSr J Я*-М(Г) причем пространство Hq^1s,°3\G) состоит из векторов Д G Hk+1(G) и /2 Е Hk(G) таких, что div/2 Е Hk+1(G); оно отличается от

Имеют место включения

13,23) с я^+(Тз,из)(С) С H^{G) С Hk(G).

Аналогично Теореме 2.1 доказывается следующая

Теорема 2.2. При г ^ 2 в (80) условия (78), (89) необходимы и достаточны для нормальной разрешимости оператора Л2 в пространствах (92) и конечномерности его ядра; при г = 2 эти же условия необходимы и достаточны для нетеровости оператора Л2 • Если f и g из (92) таковы, что задача (77), (80) разрешимы, то любое ее решение и принадлежит пространству Нк+(2з'1з">(G) (то есть щ Е Hk+2(G), а и2 G Hk+1(G)).

Следствие 2.2.1. Краевые задачи (82), (86) и (91) для системы (77) нетеровы в пространствах (92), где Ь = —(2,1), ко = 0, b = — (1,0, ко = 1, и b = —I2, ко = 0, соответственно.

В п. 3 рассматриваются также случай, когда t = (р3,13), р > 2, s = (—1з,0з). Доказано, что имеют место результаты аналогичные теоремам из пп. 1 и 2. Здесь мы их приводить не будем.

В п. 4 предполагается, что Ь = (1,1,2,1,1,2), з = Ое- Доказывается теорема 2.4, аналогичная теореме 1.4 из § 1.

Отметим, что краевые задачи для стационарной системы Максвелла изучались разными авторами (см., например, работы И. С. Гудович, С. Г. Крейн, И. М. Куликов [1], В. А. Солонников [2, 5], А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [1], Фам Нгой Тхао [1]), где система Максвелла рассматривается как переопределенная эллиптическая. Следуя монографии Р. Куранта [1] мы рассматриваем ее как определенную слабо эллиптическую систему и в тех случаях, когда это возможно получаем теоремы о нетеровой разрешимости задачи в других пространствах.

В п. 5 § 2 рассматривается система вида гоЬиг + а2(х)и2 — /ь го^2 + аг(х)и1 = /2, (93) где а^{х) — квадратные комплексные матрицы класса С°°(Сг), которая является слабо эллиптической при условии эллиптичности в (2 операторов d{vaj(x)V:

0 У(Ж,ОеТ/(С), ¿ = 1,2. (94)

Стационарный аналог системы кристаллооптики, в которой матрица <21 — диагональная матрица с положительными элементами на главной диагонали, содержится в этом классе систем.

Для системы (93) справедливы аналоги теорем 2.1-2.3. Приведем один из них. Пусть = (ОбДб)- Тогда главная часть оператора (93), совпадает с главной частью в системе Максвелла(З). Следовательно, краевой задаче (93), (80) соответствует оператор Л\ в пространствах (87). Базис пространства М.\ имеет вид шМ-еЪ* 0 \ ,

V 0 т^е**') ' (95) где = гт + qjV, а qj(y,т) — корень (с 'Reqj < 0) уравнения

Т + Н- ¿ = 1,2, уеТ. (96)

Условие дополнительности на оператор В порядка (Ь,Тб) состоит в том, что та,щ(В01(у,иЫ)Л1\В°(у,иМ)шМ) = 2, (у, г) е Г'(Г). (97)

Этим условиям удовлетворяют, в частности, задачи (82)—(86). Так же, как Теорема 2.1 доказывается следующая

Теорема 2.6. При г ^ 2 условия (94), (97) необходимы и достаточны для нормальной разрешимости оператора А\ задачи (80), (93) в пространствах (87) и конечномерности его ядра; при г = 2 эти же условия необходимы и достаточны для нетеровости оператора Л\. Если / и д из (87) таковы, что задача (93), (80) разрешима, то любое ее решение принадлежит пространству Нк+1(С).

Следствие 2.6.1. Краевые задачи (82) и (86) для системы (93) нетеровы в пространствах (87), где Ь = — (1,1), к0 = 0 и Ь = (0,0), к0 = 1, соответственно.

В § 3 рассматривается система Стокса:

Аи - Ур = /, <Иу и = <р, (98) стационарный аналог линеаризованной системы Навье-Стокса при и = 1). Она является эллиптической при («;£) = (0з,—1;2з,1) (см. О. А. Ладыженская [2], В. А. Солонников [1]). Здесь и = («1,^2,^3), / = (/ъ /2, /з)

Краевые задачи для системы (1) рассматривались разными авторами (см. О. А. Ладыженская [2], В. А. Солонников [1], А. В. Бицадзе [7, 8] (в двумерном случае), В. А. Солонников, В. Е. Шадиков [1], С. Г. Крейн, Г. И. Лаптев [1]).

Мы рассмотриваем для нее в ограниченной области с гладкой границей Г общие краевые условия вида

ВГи = {В1и + В2р)\Г=д(у), уеТ, (99) где В = (В\ В2) — матричный (3 х 4)-дифференциальный оператор порядка (Ъ\€) с гладкими коэффициентами.

В эллиптическом случае мы показываем, что пространство М.+ трехмерно и его базис имеет вид ш и) х V —ш — 2\т\ги\ |ти . , .

0 0 4|тр )е ' ^ =

Следовательно, условие Лопатинского состоит в том, что для любых у.т)еГ(Г) е^ш, В?(и X г/), 4|т|2£?2 - В^ш - гМВ^Ц ф 0, (100) где Bj = Щ(у, oj), В^ = ^Si(y,tr + i<)|c=4T|.

Как известно, этому условию удовлетворяют, в частности, задача Стокса (101) а также вторая краевая задача

Т(и) ■ v\T = д, Т(и) = (г/ • V)u + [V(z/ • u)]° - up, (102) где T(u) — тензор напряжений, [V(z/ • it)]0 — главная часть оператора - и) первого порядка (см. О. А. Ладыженская [2]).

Условия (100) необходимы и достаточны для нетеровости оператора задачи (98), (99) в пространствах (В. А. Солонников [1]): А\ - Нк+ФЗД)

Ао = ( „ Ь Hk+^{G) ф , к 2 к0. (ЮЗ)

W Нк-ъ~Ц Г)

Задача (98), (99) рассматривается также в других пространствах. Например, положим s = (0з, —1), t = 24, если мы хотим найти такое решение задачи, при котором и и р имеют одинаковую гладкость. В этом случае система (98) становится слабо эллиптической, пространство М.\ трехмерно и его базис имеет вид

Ш Ш X У 0\ |TU . . .

0 о 1)е 1 1 » и — %т — \t\v. (104)

Следовательно, условие дополнительности состоит в том, что det(B°1(y,cu)uj,B01(y,uj)(u;xu),B2(y,u;)) V(y, г) G Т'(Г). (105)

Этому условию удовлетворяет, например, задача и х и + vp)\T = д, дв Нк+1>5(Г), к > 0. (106)

Отметим, что задачи (101), (102) не удовлетворяют условию (105).

Задаче (98), (99) теперь соответствует ограниченный оператор

НЬ+(0г,1){С)

Ai:Hk+2<(G)^ е , к^ко, (107) нк~ь~Ц г) где пространство Hq+(-°3,1\G) определяется условиями: е Hk(G), <р е Hk+1(G), Д^-di vfeHk{G). Доказана 4t

Теорема 3.1. Условие (105) необходимо и достаточно для не-теровости оператора А\ в пространствах (107). Если задача (98), (99) разрешима, то любое ее решение (и,р) принадлежит простран

Следствие 3.1.1. Краевая задача (98), (106) нетерово разрешима в пространствах (107), где Ь = — 2з, ко = 0.

Далее рассматриваются случаи, когда в = (Оз,—1), £ = (2з,п) при п > 2, и когда б = (Оз, -1), £ = (ш3,1) при т > 2. Мы не будем приводить этих результатов (теоремы 3.2 и 3.3).

В § 4 изучаются краевые задачи для системы где Ai и А — комплексные постоянные, функция fi(x) и 3-вектор f(x) заданы, а функция и\(х) и 3-вектор и(х) неизвестны.

При определенных Ai и А система (108), очевидно, совпадает с системой уравнений акустики для установившихся процессов, зависящих от времени по закону ekt. К такой же системе мы приходим в простейшем случае Р\ - - приближения в методе сферических гармоник линеаризованного уравнения Больцмана (см. В. С. Владимиров [1], В. В. Смелов [1]).

Систему (108) мы рассматриваем в предположении А ф 0 которое обеспечивает ее обобщенную эллиптичность, и доказываем для нее разультаты, аналогичные предыдущим. Рассматривая систему (108) в различных пространствах Соболева, которые определяются выбором порядков s и t для строк и столбцов матрицы системы, мы доказываем теоремы 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7.

В § 5 рассматривается система ству Hk+2{G).

X±ui + divu = /1, Vi¿i + A u = /,

108) divw(z) = f(x), Vui(íe) + Au(x) - [и(ж) x k]= f(x), x G G которая в матричной форме имеет вид

109) где («1,«) = — четырех-компонентные (комплексные) неизвестные и заданные вектор-функции в ограниченной области (7, которая называется стационарной системой Соболева.

Система (109) эллиптична по Даглису-Ниренбергу при в = (0, —Тз), ^ = (2,13), если выполняется условие

А е С' = {А € С: А ф щ, -1 ^ ц < 1}. (110)

При выполнении этого условия мы доказываем для системы (109) аналоги предыдущих результатов (теоремы 5.1-5.7).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сакс, Ромэн Семенович, 1998 год

1. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы, М.: Ин. лит., 1962, 205 с.Агранович М. С.

2. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы, Успехи математических наук 20 (1965), № 5, с. 3-120.

3. Об эллиптических псевдодифференциальных операторах на замкнутой кривой, Труды Московского математического общества 47 (1984), с. 22-67.Арнольд В. И.

4. Математические методы классической механики, М.: Наука, 1974, 432 с.Беклемишев Д. В.

5. Дополнительные главы линейной алгебры, М.: Наука, 1983, 336 с.Беллман Р.

6. Введение в теорию матриц, М.: Наука, 1976, 352 с.Бернштейн С. Н.

7. Собрание сочинений, том 3, M.: Издательство АН СССР, 1960, с. 24-109.Берс JL, Джон Ф., Шехтер М.

8. Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1966, с. 215-219.Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М.

9. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1975, 480 с.Бицадзе А. В.

10. Краевые задачи для эллиптических систем второго порядка, М.: Наука, 1966, 204 с.

11. Об одной системе линейных уравнений с частными производными, Доклады АН СССР 204 (1972), № 3, с. 1031-1033.

12. Задача с наклонной производной с полиномиальными коэффициентами, Доклады АН СССР 157 (1964), № б, с. 1273-1275.

13. Некоторые классы уравнений в частных производных, М.: Наука, 1981.Боярский Б. В.

14. О первой краевой задаче для систем уравнений эллиптического типа второго порядка на плскости, Бюлл. Польской АН, Сер. мат., астр, и физ. наук 7 (1959), № 9, с. 565-570.

15. О задаче Дирихле для систем уравнений эллиптического типа в пространстве, Бюлл. Польской АН, Сер. мат. 8 (1960), № 1, с. 19-23.Вайнберг Б. Р., Грушин В. В.

16. О равномерно неэллиптических задачах I, Математический сборник 72 (1967), № 4, с. 126-154.

17. О равномерно неэллиптических задачах II, Математический сборник 73 (1967), № 1, с. 602-636.Векуа И. Н.

18. Обобщенные аналитические функции, изд. 2-е, M.: Наука, 1988, 512 с.308Векуа H. П.

19. Системы сингулярных интегральных уравнений, М.: Наука, 1970, 379 с.Вишик М. И.

20. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений, Труды Московского математического общества 1 (1952), с. 187—246.Вишик М. И., Эскин Г. И.

21. Уравнение в свертках в ограниченной области, Успехи математических наук 123 (1965), XX выпуск 3, с. 90-152.Владимиров И. Н.

22. Обобщенные функции в математической физике, М.: Наука, 1976, 280 с.

23. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1988, 515 с.Волевич Л. Р.

24. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем, Математический сборник 68 (1965), № 3, с. 373-416.

25. Об одной задаче линейного программирования, возникающей в дифференциальных уравнениях, Успехи математических наук 18 (1963), № 3, с. 155162.

26. О регулярности решений систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, Успехи математических наук 16 (1961), № 2, с. 163-164.

27. Об общих системах дифференциальных уравнений, ДАН СССР 132 (1960), № 1, с. 20-23.

28. Псевдодифференциальные операторы с голоморфными символами и классы Жевре, Труды Московского математического общества 24 (1971), с. 43-68.Гахов Ф. M.

29. Краевые задачи, М.: Наука, 1977, 640 с.Гельфанд И. М.

30. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений, Успехи математических наук 14 (1959), № 3, с. 3-20.

31. Об эллиптических уравнениях, Успехи математических наук 3 (1960), № 3, с. 121-132.Гельфанд И. М., Шилов Г. Е.

32. Пространства основных и обобщенных функций, М.: Физматгиз, 1958.Гилбарг Д., Трудингер Н.

33. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.: Наука, 1989, 464 с.Годунов С. К.

34. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1979, 392 с.Гохберг И. Ц.

35. Некоторые вопросы теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, Известия молдавского филиала АН СССР 76 (1960), № 10, с. 39-50.Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

36. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, Успехи математических наук 74 (1957), XII выпуск 2, с. 44-118.Гохберг И. Ц., Замбицкий М. К.

37. О нормально разрешимых операторах в пространствах с двумя нормами, Известия АН МССР (1964), № 6, с. 80-84.Грушин В. В.

38. Псевдодифференциальные уравнения, М.: МИЭМ, 1975, 107 с.Гудович И. С., Крейн С. Г.

39. Краевые задачи для переопределенных систем уравнений в частных производных, Труды семинара "Дифференциальные уравнения и их применения", Вильнюс, 1974, с. 143.Гудович И. С., Крейн С. Г., Куликов И. М.

40. Краевые задачи для уравнений Максвелла, Доклады АН СССР 207 (1972), № 2, с. 321-324.Дезин А. А.

41. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи, Труды Математического института АН СССР, том 68, М.: Наука, 1962, 88 с.

42. Общие вопросы теории граничных задач, М.: Наука, 1980, 208 с.Де Рам Ж.

43. Дифференцируемые многообразия, М.: Издательство иностранной литературы, 1956, 250 с.Джураев А. Д.

44. Метод сингулярных интегральных уравнений, М.: Наука, 1987, 416 с.Диканский А. С.

45. Сопряженные краевые задачи к эллиптическим дифференциальным и псевдодифференциальным краевым задачам в ограниченной области, Математический сборник 91 (1973), № 1, с. 62-77.Дрожжинов Ю. Н.

46. Линейные пассивные системы дифференциальных уравнений в частных производных, Математический сборник 116 (1981), № 3, с. 299-309.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.

47. Современная геометрия, М.: Наука, 1979, 760 с.Дудников П. И., Самборский С. Н.

48. Нетеровы краевые задачи для переопределенных систем уравнений с частными производными, Препринт 81.47, Киев: Институт математики АН УССР, 1981.

49. О нетеровых краевых задачах для переопределенных систем уравнений с частными производными, Доклады АН СССР 258 (1981), с. 283-288.Дынин А. С.

50. Сингулярные операторы произвольного порядка, Доклады АН СССР 141 (1961), М> 1, с. 21-23.

51. Многомерные эллиптические краевые задачи с одной неизвестной функцией, Доклады АН СССР 141 (1961), № 2, с. 285-287.

52. Фредгольмовы эллиптические операторы на многообразиях, Успехи математических наук 17 (1962), № 2, с. 194-195.Егоров Ю. В.

53. Линейные дифференциальные уравнения главного типа, М.: Наука, 1984, 360 с.Егоров Ю. В., Кондратьев В. А.

54. Теорема существования для задачи с косой производной, Успехи математических наук 133 (1967), XXII, выпуск 1, с. 165-167.Зеленяк Т. И.

55. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными, Новосибирск: Издательство НГУ, 1970, 164 с.Йон Ф.

56. Плоские волны и сферические средние, М.: Издательство иностранной литературы, 1958.Канторович Л. В., Акилов Г. П.

57. Функциональный анализ в нормированных пространствах, М.: Физматгиз, 1959.Колмогоров А. Н., Фомин С. В.

58. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1989, 624 с.Кон Дж. Дж.

59. Гармонические интегралы на сильно псевдовыпуклых многообразиях, Математика 8 (1964), № 3, с. 80-101.Кон Д., Ниренберг Л.

60. Алгебра псевдодифференциальных операторов, Псевдодифференциальные операторы, М.: Мир, 1967, с. 9-62.

61. Некоэрцитивные краевые задачи, Псевдодифференциальные операторы, М.: Мир, 1967, с. 88-165.Кошелев А. И.

62. Априорные оценки в Ьр и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем, Успехи математических наук 13 (1958), № 4(82), с. 29-88.Крейн С. Г., Лаптев Г. И.

63. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде, Функциональный анализ и его приложение 2 (1968), выпуск 1, № 1, с. 40-50.Куликов И. М.

64. Краевые задачи для уравнений Максвелла, Доклады АН СССР 207 (1971), № 2, с. 321-324.Курант Р.

65. Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1964, 830 с.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.

66. Проблемы гидродинамики и их математические модели, М.: Наука, 1973, 416 с.

67. Методы теории функций комплексного переменного, М.: Наука, 1987, 688 с.Ладыженская О. А.

68. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М.: Наука, 1970, 288 с.

69. Краевая задача математической физики, М.: Наука, 1973, 410 с.Ладыженская О. А., Солонников В. А.

70. О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навъе-Стокса, Записи научных семинаров ЛОМИ, том 59 1976, с. 81-116.Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н.

71. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1964.Ландис Е. М.

72. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов, М.: Наука, 1971, 288 с.Лере Ж.

73. Гиперболические дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1984.Лионе Ж-Л., Мадженес Э.

74. Неоднородные граничные задачи и их приложения, М.: Мир, 1971.Литвинчук Г. С.

75. Краевая задача и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, М.: Наука, 1977, 448 с.Лопатинский Я. Б.

76. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям на границе, Украинский математический журнал 5 (1953), № 2, с. 123-151.Мал ютов М. Б.

77. Броуновское движение с отражением и задача с наклонной производной, ДАН СССР 156 (1964), № 6, с. 1285-1287.Масленникова В. Н.

78. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева, Сибирский математический журнал 9 (1968), № 5, с. 1182-1198.Масленникова В. Н., Пал Прадип Кумар.

79. О стабилизации и предельной амплитуде решения задачи Коши для неоднородных систем Соболева, Доклады АН СССР 259 (1981), № 6, с. 1297-1302.Мизохата В. П.

80. Теория уравнений с частными производными, М.: Мир, 1977.Михайлов В. П.

81. Дифференциальные уравнения в частных производных, М.: Наука, 1976, 391 с.Михлин С. Г.

82. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, М.: Физ-матгиз, 1962, 305 с.Мусхелишвили Н. И.

83. Сингулярные интегральные уравнения, М.: Физматгиз, 1968, 511 с.Олейник О. А., Радкевич Е. А.

84. Уравнение второго порядка с неотрицательной характеристической формой, Итоги науки. Математический анализ, М.: ВИНИТИ, 1971, с. 252.

85. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными, Математический сборник 90 (1973), № 4, 592-606 с.Паламодов В. П.

86. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М.: Наука, 1967.Пале Р.

87. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе, М.: Мир, 1970, 360 с.Петровский И. Г.

88. Лекции об уравнениях с частными прозводными, М.- Л.: ГИ Т-ТЛ, 1950, 303 с.Ремпель Ш., Шульце Б-В.

89. Теория индекса эллиптических краевых задач, М.: Мир, 1986.Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Т.

90. Теорема о гомеоморфизмах для эллиптичских систем и ее приложения, Математический сборник 78 (1969), № 3, с. 3-70.Сакс Р. С.

91. О некоэрцитивной задаче Дирихле для одного класса равномерно эллиптических систем, Международный конгресс математиков, г. Москва, тезисы, секция 7, 1966, с. 53-54.

92. Об одной неэллиптической задаче Дирихле, Доклады АН СССР 177 (1967), № 4, с. 786-789.

93. Об одном классе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения 5 (1969), № 1, с. 115-130.

94. О влиянии коэффициентов при младших производных на нетеровость задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений, автореферат канд. дисс., Новосибирск: ИМ СО РАН, 1969, 12 с.

95. О задаче Дирихле для одного класса эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка, Дифференциальные уравнения 6 (1970), № 1, с. 72-85.

96. О задаче Дирихле для эллиптической системы А. В. Бицадзе с младшими производными, Дифференциальные уравнения 7 (1971), № 1, с. 121-134.

97. О краевых задачах для системы rot и + \и = h, Доклады АН СССР 199 (1971), № 5, с. 1022-1025.

98. К задаче о наклонной производной, Сообщения АН Грузинской ССР 63 (1971), № 2, с. 286-288.

99. О краевых задачах для системы rot и + Хи = h, Дифференциальные уравнения 8 (1972), № 1, с. 126-133.

100. О краевых задачах для некоторых систем, приводимых к эллиптическим, Доклады АН СССР 212 (1973), № 5, с. 1067-1070.

101. О краевых задачах для системы (d + Х*)ш = 7, Функциональный анализ и приложения. (Труды VI Всесоюзной зимней школы по функциональному анализу), Воронеж: Издательство ВГУ, 1973, с. 95-100.

102. Краевые задачи для некоторых систем, приводимых к эллиптическим, Дифференциальные уравнения 10 (1974), № 1, с. 132-142.

103. Краевые задачи для некоторых уравнений, связанных с оператором внешнего дифференцирования, Доклады АН СССР 218 (1974), № 1, с. 39-41.

104. Краевые задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений, приводимых к эллиптическим, Теоремы вложения и их приложения. (Материалы Всесоюзного симпозиума. Алма-Ата, 1973), Алма-Ата: Наука Каз. СССР, 1976, с. 135-140.

105. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений, Специальный курс, Новосибирск: Издательство НГУ, 1975, 164 с.

106. Об одномерных сингулярных интегродифференциальных операторах, приводимых к нормальному типу, Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара академика С. Л. Соболева, № 2), Новосибирск: Издательство ИМ СО АН СССР, 1976, с. 83-108.

107. О краевых задачах для слабо эллиптических систем дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения. (Труды Всесоюзной конференции в МГУ, посвященной памяти И. Г. Петровского), М.: Наука, 1976, с. 105-109.

108. К теории систем одномерных сингулярных интегро-дифференциалъных уравнений, приводимых к системам нормального типа, Доклады АН СССР 234 (1977), № 3, с. 544-547.

109. Краевые задачи для слабо эллиптических систем дифференциальных уравнений, Доклады АН СССР 236 (1977), № 6, с. 1311-1314.

110. О нетеровых краевых задачах для некоторых классов слабо эллиптических систем дифференциальных уравнений, Математический анализ и смежные вопросы математики. (Труды ИМ СО АН), Новосибирск: Наука, 1978, с. 237-253.

111. Слабо эллиптические системы псевдодифференциальных уравнений на многообразиях без края, Доклады АН СССР 240 (1978), № 4, с. 786-789.

112. Слабо эллиптические системы псевдодифференциальных уравнений на многообразиях без края, Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара академика С. Л. Соболева, № 2), Новосибирск: Издательство ИМ СО АН СССР, 1978, с. 103-126.

113. Краевые задачи для слабо эллиптических систем дифференциальных уравнений, Успехи математических наук 34 (1979), № 1, с. 257.

114. Boundary value problems for weakly elliptic systems of differential equations, Differential equations and computer sciences, Pergamon Press, London, 1981, pp. 110-115.

115. О слабо эллиптических системах дифференциальных уравнений, Граничные задачи математической физики. (Сборник научных трудов), Киев: Наукова думка, 1981, с. 114-117.

116. Слабо эллиптические краевые задачи, Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара академика С. Л. Соболева, № 2), Новосибирск: Издательство ИМ СО АН СССР, 1980, с. 57-79.

117. Краевые задачи для обобщенно эллиптических систем дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара академика С. Л. Соболева, № 2), Новосибирск: Издательство ИМ СО АН СССР, 1981, с. 86-108.

118. Нормально разрешимые краевые задачи для некоторых систем уравнений математической физики, Успехи математических наук 37 (1982), № 4, с. 132-133.

119. Нормально разрешимые и нетеровы краевые задачи для системы уравнений Максвелла в случае установившихся процессов, Доклады АН СССР 272 (1983), № 2, с. 308-312.

120. Нетеровы краевые задачи для системы уравнений Соболева в случае установившихся процессов, Доклады АН СССР 279 (1984), № 4, с. 813-817.

121. Нетерово разрешимые краевые задачи для системы уравнений акустики в случае установившихся процессов, Дифференциальные уравнения с частными производными. (Сборник научных трудов ИМ СО АН СССР), Новосибирск: Наука, 1987, с. 73-94.

122. Обобщенно эллиптические псевдодифференциальные операторы на замкнутом многообразии, Доклады РАН 331 (1993), № 6, с. 687-690.

123. О локальной структуре обобщенно эллиптических псевдодифференциальных операторов, Проблемы математики и теории управления, Уфа: Издательство УГАТУ, 1998, с. 143-158.Самборский С. Н.

124. О постановках задач для переопределенных систем уравнений с частными производными, Доклады АН УССР (1980), № 1, с. 18-21.

125. О формальных свойствах краевых задач для переопределенных систем уравнений с частными производными, Доклады АН УССР (1981), № 12, с. 1822.

126. О краевых задачах для переопределенных систем уравнений с частными производными, Доклады АН СССР 262 (1982), с. 810-814.Скрыпник И. В.

127. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач, М.: Наука, 1990.Соболев С. Л.

128. Об одной новой задаче математической физики, Известия АН СССР. Серия математическая 18 (1954), № 1, с. 3-50.

129. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью, Журнал прикладной механики и технической физики (1960), № 3, с. 20-55.

130. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988, 334 с.

131. Введение в теорию кубатурных формул, М.: Наука, 1974, 808 с.Соломяк М. 3.

132. О линейных эллиптических системах первого порядка, Доклады АН СССР 150 (1963), N° 1, с. 48-51.Солонников В. А.

133. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дагли-ca-JI. Ниренберга, часть I, Известия АН СССР. Серия математическая 28 (1964), № 3, с. 665-706; часть И, Труды Математического института АН СССР, том 42, М.-Л.: Наука, 1966, с. 233-297.

134. Об одном классе нетеровых переопределенных эллиптических краевых задач, Записки научных семинаров ЛОМИ 47 (1974), № 5, с. 138-145.

135. Переопределенные эллиптические задачи, Записки научных семинаров ЛОМИ 21 (1971), N° 5, с. 112-158.

136. О краевых задачах для систем с постоянным дефектом, Дифференциальные уравнения с частными производными. (Труды семинара академика С. Л. Соболева, № 2), Новосибирск: Издательство ИМ СО АН СССР, 1976, с. 109-128.

137. Об условии дополнительности для переопределенных систем, Записки научных семинаров ЛОМИ 14 (1969), N° 5, с. 237-255.Солонников В. А., Шадиков В. Е.

138. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навъе-Сто-кса, Труды Математического института АН СССР, том 75, Л.: Наука, 1973, с. 196-210.Стинрод Н.

139. Топология косых произведений, М.: ИЛ, 1953, 275 с.Стоилов С.

140. Теория функций комплексного переменного, том 2, М.: ИЛ, 1962, 416 с.Тихонов А. Н., Самарский А. А.

141. Уравнения математической физики, М.: Наука, 1966, 724 с.Товмасян Н. Е.

142. К теории общих линейных краевых задач для эллиптических систем, Сибирский математический журнал 8 (1967), № 5, с. 1104-1123.

143. Общая краевая задача для эллиптической системы второго порядка с постоянными коэффициентами, Дифференциальные уравнения 2 (1966), № 1, с. 3-23.

144. Некоторые граничные условия для систем уравнений эллиптического типа второго порядка, не удовлетворяющих условию Я. Б. Лопатинского, ДАН СССР том 160, (1965), N° 5, с. 1028-1031.Трев Ф.

145. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, том 1,ПДО М.: Мир, 1984, 360 с.Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г.

146. Теоремы вложения и приложение к дифференциальным уравнениям, Новосибирск: Наука, 1984, 223 с.Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н.

147. Вычислительные методы линейной алгебры, М.: Физматгиз, 1960.Фам Нгок Тхао.

148. Естественные дифференциальные операторы на многообразиях и граничные эллиптические задачи, Дифференциальные уравнения 8 (1972).

149. Естественные дифференциальные операторы на многообразиях и граничные задачи эллиптические в подпространстве, Дифференциальные уравнения 10 (1974), № 10, с. 1872-1884.Фукс Б. А.

150. Теория аналитических функций многих комплексных переменных, М.: ОГИЗ, 1948, 472 с.Хермандер Л.

151. Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи, Псевдодифференциальные операторы, М.: Мир, 1967, с. 166-296.

152. Псевдодифференциальные операторы, Псевдодифференциальные операторы, М.: Мир, 1967, с. 63-87.

153. Линейные дифференциальные операторы с частными производными, М.: Мир, 1965, 380 с.

154. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, том 2, М.: Мир, 1987, 495 с.

155. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, том 3, М.: Мир, 1987.

156. О регулярности решений граничных задач, Математика 4 (1960), № 4, М.: Мир, с. 37-73.Хоп Н. Т.

157. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы, Дифференциальные уравнения 2 (1966), № 2, с. 214-225.Шапиро 3. Я.

158. Об общих краеых задачах для уравнений эллиптического типа, Известия АН СССР. Серия математическая 17 (1953), с. 539-562.Шубин М. А.

159. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, М.: Наука, 1978, 280 с.Шварц Л.

160. Комплексные аналитические многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными, М.: Мир, 1964, 212 с.

161. Анализ, том И, М.: Мир, 1972, 528 с.Эскин Г. И.

162. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, М.: Наука, 1973, 232 с.Янов С. И.

163. Задача о наклонной производной теории потенциалов, Новосибирск: Наука, 1985, 262 с. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L.

164. Interior Estimates for Elliptic Systems of partial differential equations, Comm.Pure and Appl. MAth. 7 (1965), 503-538. Bernstein S. N.

165. Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivees partielles dusecond ordre, Math. Ann 59 (1904), 20-76. Bitsadze A. V.

166. On the application of function-theoretical methods in the linearized Navier-Stokes boundary value problem, Ann. Acad. Sc. Fennicae, Ser. A, I Math. (1974), no. 571, 3-9. Boutet de Monvel L.

167. Boundary problems for pseudo-differential operators, Acta math. 126 (1971),no. 12, 10-51. Calderon A. P., Zygmund A.

168. On the existence of certain singular integrals, Acta math. 88 (1952), no. 1, 2, 85-139.

169. Algebras of certain singular operators, Amer. J. Math. 78 (1956), no. 2, 289309.Douglis A., Nirenberg L.

170. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations, Comm.Pur. Appl. Math. 8 (1955), no. 4, 503-538. Duff G. F. D, Spencer D. C.

171. Harmonic tensors on riemannian manifelds with boundary, Ann. of Math. 561952), no. 1, 128-156. Girand G.

172. Equation à intégrales principales, Ann. Sc. École norm, super. 51 (1934), f. 3, 4, 251-372.

173. Sur une classe général d'équation à intégrales principales, Cont. rend. Acad. Sci. 202 (1936), no. 26, 2124-2126.Grubb G.

174. Functional calculus of PD Boundary Problems, second edition, Progress inMathematics, vol. 65, Birkhâuser, Boston Basel Berlin, 1996. Hodge W. V. D.

175. A Dirichlet problem for harmonic functionals, Proc. London Math. Soc., Ser. 2 36 (1933), no. 4, 253-303.Kree P., Boutet de Monvel L.

176. Pseudodifferential operators and Gevrey classes, Ann. Inst. Fourier. IT (1967), 295-324.1.wy H.

177. Neuer Beweis des analytischen Characters der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Ann. 110 (1929), 605-619.Michlin S. G, Prößdorf S.

178. Singulare integral Operatoren, Acad.-Verlag, Berlin, 1980, 515 c.Mizohata S.

179. Solutions nulles et solutions non analytiques, J. Math. Kyoto Univ. 2 (1962), no. 1, 271-302.Morrey С. B.

180. On the analyticity of the solutions of analytic nonlinear elliptic systems of partial differential equations, Amer. J. Math. 80 (1958), no. 1, 198-277.Morrey С. В., Nirenberg L.

181. On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), no. 2, 271-290.Nirenberg L.

182. On elliptic partial differential equations, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Ser. 3 13 (1959), no. 2, 116-162.Noeter F.1. Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen, Math. Ann. (1921), Bd. 82.Schuldenberger J. R., Wilcox С. H.

183. Coerciveness inequalities for nonellirtic systems of partial differential equations, Annali di matem. pura ed appl. 88 (1971), 229-305.Seely R. T.

184. Singular integrals on compact manifolds, Amer. Journ. Math. 81 (1959), 658690.

185. Régularisation of singular integral operators on compact manifolds, Amer. Journ. Math. 83 (1961), 265-275.

186. Интегродифференциалъные операторы на векторных расслоениях, Математика 11 (1967), № 2, 57-97.Suzuri H.

187. Analytic-hypoellipticty differential operators of first order in two independent variables, J. Math. Soc. Jap. 16 (1964), no. 4, 367-374.Taylor M. E.

188. Pseudodifferential operators, Princeton univ. press, New Jersey, 1981, имеется русский перевод.