Прямое численное моделирование трехмерных течений газа в плоском канале с резким расширением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Карсканов, Сергей Андреевич

• Карсканов, Сергей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карсканов, Сергей Андреевич

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ВНЕЗАПНЫМ РАСШИРЕНИЕМ.

1.1. Система уравнений гидромеханики.

1.2. Граничные и начальные условия.

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ.

2.1. Метод интегрирования уравнений гидромеханики по времени.

2.2. Метод интегрирования уравнений гидромеханики по пространственным координатам.

2.3. Алгоритм расчета пространственных производных в окрестности стенки.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕТОДИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ.

3.1. Обоснование сходимости процесса вычислений при интегрировании уравнений гидромеханики.

3.2. Точки отрыва и присоединения ламинарных и турбулентных течений за обратным уступом.

3.3. Пульсационные характеристики дозвукового турбулентного течения за обратным уступом.

3.4. Расчет одномерного энергетического спектра.

ГЛАВА 4. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ВНЕЗАПНЫМ РАСШИРЕНИЕМ.

4.1. Условия численного моделирования.

4.2. Симметричные ламинарные стационарные течения.

4.3. Несимметричные ламинарные стационарные течения.

4.4. Нестационарные ламинарные течения.

4.5. Переходные течения в канале с боковыми стенками.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямое численное моделирование трехмерных течений газа в плоском канале с резким расширением»

Существование резко различающихся ламинарных и турбулентных режимов течения было замечено еще в первой половине XIX в., но начало теории турбулентности положено лишь в конце того же столетия в работах Осборна Рейнольдса [1—5]. Именем именно этого ученого названо впоследствии число, являющееся общим критерием перехода ламинарного течения в турбулентное.

Наиболее распространенной является интерпретация числа Рейнольдса как меры относительной значимости сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости или газа. Силы инерции, если они существенно превосходят силы вязкости, что соответствует большим числам Re, вызывают перемешивание конечных объемов газа, движущихся с разными скоростями. В результате осуществляется передача энергии от крупномасштабных структур к менее крупным, образующимся за счет потери устойчивости более крупных вихрей [6 - 11]. Поглощая энергию основного потока, эти структуры оказываются сильно анизотропными, завихренными и существенно отличаются от течения к течению. Поэтому возникает необходимость детального изучения потоков газа в технических системах, так как характер течения может сильно повлиять на работоспособность устройства и иные его характеристики. Процесс потери устойчивости и переход к турбулентному течению происходит практически скачкообразно, следовательно, важно знание параметров, при которых наступает этот переход, и где та граница, при превышении которой происходит разрушение существующего течения.

Ламинарные потоки, по сравнению с турбулентными, наверное, наиболее изучены и экспериментально и теоретически. Тем не менее, подробных параметрических исследований особенно для сжимаемых сред проведено не много. Решить уравнения гидромеханики аналитически не представляется возможным из-за их нелинейности. Поэтому все теоретические исследования уравнений основываются на предположениях, значительно упрощающих систему уравнений гидромеханики. Точные решения для течений Пуазейля, между двумя параллельными пластинами, и Куэтта, когда одна из пластин неподвижна, а другая движется с постоянной скоростью, получены при существенном допущении о несжимаемости среды [4, 8, 12]. Кроме того, при всех других более сложных точных решениях предполагается, что потоки среды стационарны. Однако преобладающее большинство течений, с которыми приходится иметь дело на практике, не являются идеализированными. Поэтому целесообразно дальнейшее исследование более сложных вариантов течений, в том числе и ламинарных, а особенно - турбулентных. Тем более, что проблема расчетного предсказания характеристик движения имеющего реальный практический интерес далека от решения и чрезвычайно актуальна.

В настоящее время существует три основных подхода' к численному описанию турбулентной конвекции [13]. Традиционный подход, основанный на решении уравнений, возникающих вследствие применения рейнольдсова осреднения уравнений Навье-Стокса (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS), менее трудоемкий и не требует огромных вычислительных затрат [14- 19]. До сих пор метод RANS остается наиболее распространенным подходом к моделированию турбулентных течений. Вместе с тем, результаты расчетов по методу RANS очень чувствительны к выбору той или иной замыкающей полуэмпирической модели турбулентности, а иногда и просто не способны отразить характерные особенности, присущие термоконвективным течениям. Опыт трехмерных расчетов турбулентной температурной конвекции на основе ряда моделей RANS показал, что свойственная этим моделям генерация высокого уровня турбулентной вязкости препятствует развитию крупномасштабных трехмерных пульсаций, которые в действительности определяют структуру осредненного движения и конвекции в целом [20]. Этот подход не в состоянии обеспечить приемлемую для практики точность описания турбулентных течений при наличии в потоке обширных отрывных зон. Более того, хотя возможности усовершенствования полуэмпирических моделей, в принципе, еще не исчерпаны, существенный прогресс в этой области едва ли возможен. Это объясняется специфическими физическими особенностями отрывных течений, в частности, наличием в них так называемых организованных (когерентных) вихревых нестационарных структур, параметры которых определяются конкретными геометрическими характеристиками рассматриваемого течения и граничными условиями. Ясно, что это делает построение универсальной полуэмпирической модели турбулентности для расчета отрывных течений исключительно сложной, если вообще разрешимой задачей [21].

Метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) предполагает аккуратный расчет переноса импульса и тепла лишь крупными, энергетически важными структурами, что позволяет рассчитывать термоконвективные течения при высоких значениях числа Рейнольдса с привлечением сравнительно простых замыкающих моделей [22 - 26]. Особая привлекательность метода LES применительно к расчетам термоконвективных задач объясняется способностью адекватно воспроизводить эволюцию во времени определяющих конвекцию крупномасштабных вихревых структур. Однако моделирование турбулентных течений в присутствии твердых границ на основе метода LES в чистом виде сопровождается требованиями по сеточному разрешению пристенных областей, в которых присутствуют относительно мелкие вихри

27]. Тем не менее, стоит отметить, что стремление преодолеть ограничения RANS и LES привело к появлению гибридного подхода в 1997г. В работе

28] был сформулирован новый подход к моделированию отрывных течений, получившего название метода Моделирования Отсоединенных Вихрей (Detached Eddy Simulation, DES). Этот метод успешно применяется в расчетах сложных отрывных течений в задачах внешней аэродинамики.

Среди трех подходов к численному описанию турбулентности все возрастающей привлекательностью обладает метод прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS) [13]. Однако метод DNS обеспечивает надежность результатов расчетов только при полном разрешении всех составляющих движения. Выполнение данного условия налагает жесткие требования к вычислительным ресурсам, быстро возрастающие при желании продвинуться вверх по числу Рейнольдса. Этот подход наиболее точен и универсален, однако полноценное использование прямого численного моделирования в задачах с геофизическими масштабами даже по самым оптимистичным прогнозам будет возможно лишь по прошествии нескольких десятилетий. Поэтому характерной особенностью течений, исследованных до настоящего времени в рамках DNS, является их пространственная ограниченность (течения в канале, пограничный слой) и сравнительно небольшое число Рейнольдса. Хотя появление многопроцессорных вычислительных систем с возможностью распараллеливания вычислительного процесса уже дает то быстродействие, которого достаточно для проектирования технических устройств, функционирование которых связано с турбулентными потоками.

Кроме высокопроизводительной вычислительной системы при проведении расчетов с помощью прямого численного моделирования необходим эффективный численный метод. Существует множество способов численного решения уравнений Навье-Стокса [29]. Но для решения задач с очень маленькими масштабами необходимы высокоточные пространственные методы. С одной стороны, количество узлов, требуемое методами высокого порядка точности обычно в несколько раз меньше, чем для методов первого или второго порядков [30]. При моделировании реальных потоков с мелкими пространственными структурами методами низкого порядка требования к машинной памяти будут огромны, и возникает необходимость в высокоточных схемах. Решение высокой точности достигается с использованием спектральных методов. Эти методы, однако, более трудны в использовании, особенно при наличии сложной геометрии. Основная проблема, которая возникает при применении высокоточных схем, заключается в постановке и обработке граничных условий. Для схем высокого порядка точности вычислительный шаблон становится шире, и выбор численных граничных условий с сохранением точности и устойчивости - не тривиальная задача. С другой стороны, использование схем высокого порядка ведет к увеличению времени обработки каждой точки (узла), особенно если применяется неявная схема по времени. Однако высокий порядок точности по пространству позволяет снизить количество временных шагов, то есть увеличить шаг по времени. Поэтому основными направлениями в рамках DNS являются разработка схем высокого порядка точности и проведение численных экспериментов с использованием качественных математических моделей. Стоит сказать, что методы высокого порядка привлекают в последнее время все больше внимания, так как их теоретические разработки получают широкое применение в разнообразных научных направлениях, включая моделирование глобальных атмосферных явлений, аэродинамику, океанографию, термодинамику, теоретическую химию [31]. Более того, существует специальная конференция International Conference on Spectral Application and High-Order Methods (ICOSAHOM) посвященная проблемам высокоточного моделирования.

Теория турбулентности далека от своего завершения. Появляются все новые подходы к ее изучению. Растет число моделей, предлагаемых для понимания отдельных ее свойств. В работах [32, 33] делается обзор именно таких подходов, которые еще не стали хрестоматийными. Анализ Фурье, теория динамических систем, теория фракталов, вейвлет-анализ - вот далеко не полный перечень областей науки, которые дают новые идеи в исследовании турбулентности.

Далее, проведем обзор работ, ставящих во главу угла высокий порядок дискретизации, так как именно на это делается акцент и в данной работе при прямом численном моделировании гидромеханических потоков.

В работе [34] численно исследуется течение около криволинейного цилиндра с числами Рейнольдса 100 и 500. Вычисления проводятся с использованием спектрального /гр-метода. Данный метод обладает высоким порядком дискретизации, причем одновременно может повышаться число элементов (/г-точность) и порядок полинома разложения в области элемента (р-точность). Метод имеет экспоненциальную сходимость с показателем степени полинома, р. Алгоритм для решения несжимаемых уравнений Навье-Стокса основывается на абсолютно устойчивой схеме расщепления. Нелинейные члены рассчитываются по явной временной схеме, линейные -по неявной. Вычисления на начальной стадии выполняются с использованием полиномов второго порядка, затем порядок повышается до четвертого и, наконец, до шестого. При числе Рейнольдса 100, когда имеет место стационарное течение, разница моделируемых параметров при переходе со второго порядка на четвертый составила приблизительно 4%, а при переходе с четвертого на шестой - менее 0.1%. При числе Рейнольдса 500 авторы получают нестационарное трехмерное течение и методы ниже четвертого порядка не используют.

Похожий алгоритм интегрирования несжимаемых уравнений Навье— Стокса используется в работе [35], в которой моделируется течение за круговым цилиндром. Применяется абсолютно устойчивая схема расщепления по времени высокого порядка, когда линейные и нелинейные члены рассчитываются на разных промежуточных шагах. Дискретизация же по пространству основывается на методе спектральных элементов. Интерполирование внутри элемента осуществляется полиномами Лежандра-Лагранжа восьмого порядка. При интерполировании с десятым порядком разница чисел Струхаля получается в пределах 1%, и авторы делают вывод, что полиномы восьмого порядка дают приемлемое пространственное разрешение.

Спектральный метод коллокации Чебышева используется в работе [36] I при численном исследовании двумерной локальной нестационарности, возникающей в течении Пуазейля. В работе [37] несжимаемые уравнения Навье-Стокса решаются с помощью псевдоспектрального метода: в горизонтальных направлениях вычислительная область дискретизируется с помощью рядов Фурье, а в нормальном к стенке направлении используются полиномы Чебышева. В работе решается задача управления с обратной связью возрастающим погранслоем.

Однако спектральные методы имеют ряд недостатков. Как указывалось выше, они достаточно сложны в использовании, особенно в задачах со сложной геометрией и не применимы, когда нестационарность вызвана движением стенки. Поэтому в последнее время значительное внимание уделяется разработке и применению схем, использующих в своей основе методы конечных разностей и конечных объемов.

Например, в работе [38] используется пространственная схема центральных разностей четвертого порядка точности при моделировании сжимаемого вязкого потока около движущейся каверны в совокупности со схемой Рунге-Кутта второго порядка по времени. Показано, что аналогичная схема второго порядка применима только для низких чисел Рейнольдса (до 300). Кроме того, данные схемы четвертого и второго порядка апробируются при решении уравнения Бюргерса. И, если при числе Рейнольдса, равном 100, ошибки дискретизации сопоставимы, то при числе Рейнольдса 200 и более точность схемы четвертого порядка на порядок выше.

Компактная схема конечных разностей четвертого порядка так же используется в работе [39] при решении уравнений Навье-Стокса около движущейся каверны. Авторы приходят к выводу, что использование схем с более низким порядком точности допустимо только в задачах при характерных числах Рейнольдса до 100 даже при достаточном насыщении сетки. С возрастанием числа Рейнольдса ошибка схем низкого порядка оказывается около 10%, тогда как метод четвертого порядка имеет погрешность меньше 0,32%, а в сравнении со спектральным методом шестого порядка [40] - 0,45%.

Сравнение схем второго и четвертого порядка точности при моделировании потока около движущейся каверны в паре с явным методом Рунге-Кутта интегрирования по времени делается и в работе [41]. Авторы делают вывод, что схема четвертого порядка более эффективна.

Стационарно — нестационарный переход двумерного отделившегося пузыря исследуется в работе [42] с помощью прямого численного моделирования. Несжимаемые уравнения Навье-Стокса дискретизируются с помощью компактной конечно-разностной схемы четвертого порядка по пространству и явной схемой Рунге-Кутта третьего порядка по времени. Прямое численное моделирование ламинарно- турбулентного перехода течения в плоском канале осуществляется в работе [43]. Авторы используют полуспектральный метод, когда в продольном и поперечном направлениях применяется разложение Фурье, а в нормальном к стенке направлении -компактная конечно- разностная схема четвертого порядка точности. В работе [44] при численном исследовании пограничного слоя на вогнутой поверхности используется классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка при интегрировании по времени и компактная конечно-разностная схема 6 порядка при дискретизации по пространству, за исключением пристенной области, где интегрирование осуществляется с пятым порядком точности.

В работах [45-47] моделируется сжимаемое дозвуковое и сверхзвуковое течение в канале. Уравнения Навье-Стокса записываются в формулировке давление-скорость-энтропия. Компактная противопоточная схема Адамса и Шерифа пятого порядка используется для дискретизации членов уравнения Эйлера, компактная схема Лиля шестого порядка — для молекулярных членов. По времени уравнения интегрируются методом Рунге-Кутта третьего порядка. Кроме того, в работе [45] результаты прямого численного моделирования сравниваются с результатами LES моделирования.

Сравнение результатов DNS и LES моделирования проведено и в работе [48]. Исследовался несжимаемый поток в канале с обратной ступенькой. Для пространственной дискретизации конвективных и диссипативных членов была выбрана компактная схема Эрмита четвертого порядка для неравномерной сдвинутой сетки.

Говоря о схемах высокого порядка точности, возникает вопрос об их эффективности, особенно с точки зрения вычислительных затрат. Именно этой проблеме уделяют внимание авторы работы [49]. Понятия высокая точность и высокий порядок не всегда синонимы. По мнению авторов, главный критерий точности пространственной схемы - возможность минимизировать ошибку для максимальных волновых чисел. Имея в виду данное условие, схемы высокого порядка точности позволяют уменьшить необходимое число расчетных точек, а соответственно и сэкономить машинное время. При решении двумерных задач высокоточные методы позволяют уменьшить объем вычислений на два порядка, для трехмерных расчетов это соотношение еще больше. При моделировании двумерного невязкого потока за цилиндром с использованием метода четвертого порядка точности при интегрировании по пространству, основанном на разложении в ряд Тейлора, авторами показана экономия машинного времени в 98% по сравнению с расчетами, выполненными без использования схем высокого порядка.

Существуют работы, в которых совмещено использование различных методов пространственной дискретизации, например [50]. Авторы используют метод конечных разностей шестого порядка точности для дискретизации в двух направлениях (по потоку и нормальному к стенке), а в третьем направлении (поперечном) используют спектральный метод. Для интегрирования по времени используется схема Рунге- Кутта четвертого порядка точности.

Для эффективной реализации методов прямого численного моделирования турбулентности возникает необходимость в использовании высокопроизводительных вычислительных систем. Наиболее подходящими системами в современных условиях являются многопроцессорные комплексы. Использование таких вычислительных машин требует разработки экономичных алгоритмов, что является самостоятельной достаточно сложной задачей. В работе [51] осуществлена реализация компактных схем высокого порядка (четвертого и выше) на многопроцессорном кластере с использованием технологии MPI для DNS и LES моделирования турбулентных потоков. Авторы используют фильтры высокого порядка для подавления ложных численных осцилляций, возникающих при использовании компактных разностных схем высокого порядка. В работе проводится анализ эффективности численных методов разного порядка точности при расчете на разном числе процессоров.

Одна из проблем, возникающих при использовании разностных методов высокого порядка, - получение монотонных решений, особенно при наличии разрывов. Для решения данной проблемы существуют методы реконструкции решения. Наиболее известные из них ENO (essentially non-oscillatory) и WENO (weighted essentially non-oscillatory) методы с автоматическим анализом гладкости решения. Они позволяют автоматически достигнуть высокого порядка, не приводя к появлению случайных колебаний в окрестностях разрывов, при решении задач, которые содержат ударные волны и другие сложные структуры течения. Подробный анализ методов и примеры применения содержатся в работе [52]. В работах [53, 54] также показана возможность использования ENO-схемы в сочетании с методом Рунге-Кутта третьего порядка интегрирования по времени.

Прямое численное моделирование турбулентных потоков в канале с внезапным расширением на входе выполнено в работе [55]. Приведен алгоритм расчета с высоким требуемым порядком точности, как по времени, так и по пространству. Проведен анализ сходимости решения при аппроксимации производных и устойчивости схем. Там же в работе содержится обзор методов моделирования гидромеханических процессов, имеющих в своей основе высокий порядок точности дискретизации частных производных.

Научная новизна работы заключается в следующем:

-Реализован метод для прямого численного моделирования гидромеханических процессов, основанный на решении полных уравнений гидромеханики, описывающих трехмерные течения вязкого сжимаемого газа, с помощью устойчивых разностных схем высокого порядка точности; показана высокая точность, хорошая работоспособность предложенных схем в сравнении с имеющимися экспериментальными и расчетными данными.

-Проведено численное моделирование трехмерных ламинарных, переходных и турбулентных течений в канале с обратной ступенькой; исследованы структура и параметры течений в зонах отрыва и присоединения потока; получены осредненные и мгновенные картины течения; проведено сравнение с экспериментальными и теоретическими данными.

-Впервые проведены детальные численные исследования структуры и параметров ламинарных, трехмерных переходных и турбулентных течений в канале с резким расширением на входе; исследованы все основные стадии эволюционирования потока: отрыв и связанное с ним образование рециркуляционных зон, установление течения; вихреобразование и зарождение нестационарности; диссипация и переход к развитому турбулентному течению.

-Впервые исследовано влияние линейных размеров прямоугольного канала с внезапным расширением и различных граничных условий на характеристики потока.

-Получены статистические характеристики крупномасштабной турбулентности в ядре потока, найдены распределения пульсационных характеристик скорости по спектрам.

Достоверность результатов подтверждается следующим:

-Построенная математическая модель основывается на системе полных уравнений гидромеханики и базируется на фундаментальных законах механики сплошной среды.

-Разработанные численные алгоритмы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность в широком диапазоне варьируемых параметров.

-Полученные численные результаты согласуются с известными аналитическими, экспериментальными и расчетными данными.

Лнчный вклад автора состоит в разработке математической модели и создании алгоритма для проведения численного исследования гидромеханических процессов. Проведено сравнение полученных численно результатов с известными расчетными и экспериментальными данными. Автором исследованы симметричные [88 - 90] и асимметричные [91, 92] ламинарные стационарные потоки газа, ламинарные нестационарные и переходные течения [93 — 95]. Все указанные исследования выполнены на основе анализа численных результатов, полученных лично автором. Анализ выполнен совместно с академиком A.M. Липановым.

На защиту выносится:

-Алгоритм метода высокого порядка точности по времени и пространству для расчета течений вязкого сжимаемого газа в плоском канале с внезапным расширением на входе.

-Результаты тестовых расчетов с использованием метода высокого порядка точности интегрирования уравнений гидромеханики при решении задачи о течении газа в канале с обратной ступенькой

-Результаты спектрального анализа колебаний компоненты вектора скорости во времени.

-Результаты прямого численного моделирования течения в плоском канале с расширением. Влияние характерного числа Рейнольдса на закономерности течения. Исследование влияния линейных размеров канала на характер течения и изменение гидромеханических параметров.

По главам содержание работы распределено следующим образом. В первой главе описывается математическая модель течения вязкого сжимаемого газа в плоском канале с расширением на входе, приводится система уравнений гидромеханики, определяются начальные и граничные условия.

Во второй главе описывается численный метод решения системы уравнений гидромеханики, алгоритм интегрирования по времени, конечно-разностная схема применительно к внутренним и граничным точкам, реализация граничных условий.

В третьей главе анализируются выполненные методические расчеты, приводятся результаты численного моделирования течения газа в канале с обратной ступенькой. Проводится сравнение результатов с известными экспериментальными и расчетными данными. Приводятся расчеты турбулентного течения газа в канале с внезапным расширением на входе. Спектральное распределение энергии продольной компоненты вектора скорости сравнивается с теоретической кривой.

Четвертая глава посвящена детальному исследованию течения в канале с внезапным расширением. Исследуется зависимость от числа Рейнольдса режима течения. Показывается влияние линейных размеров расчетной области (канала) на параметры потока. Строятся распределения пульсаций скорости по спектрам.

Результаты докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006 г., на III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», г. Ижевск, 2006 г., на конференции молодых ученых «Численные методы в математике и механике», г. Ижевск, 2007 г., на международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды», г. Саратов, 2007 г., на II Всероссийской научно-технической конференции «Безопасность критичных инфраструктур и территорий», г. Екатеринбург, 2008 г.

Основные результаты опубликованы в работах [88-95]. Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках гранта молодых ученых и аспирантов УрО РАН и стипендии президента Удмуртской Республики 2006-2007 гг.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ х, у, z - декартовые координаты; t — время; h — расстояние между обтекаемыми поверхностями на входе в канал; Н2 - расстояние между боковой стенкой и осью симметрии канала; р - плотность газа;

U,V,W - компоненты вектора скорости потока в направлениях x,y,z, соответственно; Р - давление; Г - температура; Е - полная энергия; R — газовая постоянная;

СР,СУ — изобарная и изохорная теплоемкости газа, к — отношение теплоемкостей;

S0 - энтропийная функция в ядре потока;

1/л - максимальная величина продольной компоненты вектора скорости потока на входе в канал;

Д,рл — величины давления и плотности на входе в канал, соответствующие U сЛ - скорость звука; Re - число Рейнольдса; М - число Маха; Рг - число Прандтля; кт - кинетическая энергия турбулентности; N - порядок аппроксимирующего выражения; fi - коэффициент молекулярной вязкости; X — коэффициент теплопроводности;

8[/, 8Т - толщины динамического и теплового пограничных слоев.

ГМП - гидромеханические параметры; ОИ - область интегрирования.

При нумерации формул и рисунков используется десятичная система, первой цифрой указывается глава, в которой находится формула либо рисунок, второй цифрой после точки - номер по порядку в этом разделе.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Карсканов, Сергей Андреевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

1. Построен метод высокого порядка точности для прямого численного моделирования трехмерных течений в плоском канале с внезапным расширением на основе интегрирования уравнений гидромеханики. Предложен алгоритм расчета производных у стенки по пространственным переменным с высоким порядком точности, используя информацию только из внутренних точек, без ввода в рассмотрение мнимых.

2. Выполнен ряд методических расчетов, показана сходимость метода интегрирования при квантовании области интегрирования на элементарные объемы, картина течения при этом детализируется. Получены осредненные и установившиеся поля течения в канале с обратной ступенькой. Численные результаты сопоставлены с имеющимися расчетными данными и данными физического эксперимента. Наблюдается хорошее соответствие результатов.

3. В канале с обратной ступенькой получено распределение пульсационных характеристик. Показана хорошая согласованность результатов с имеющимися данными физического и численного экспериментов. Стоит отметить, что для повышения качества математической модели необходимо измельчение сетки у стенки.

4. Проведено параметрическое исследование течения сжимаемого газа в плоском канале с внезапным расширением. Получен ряд характерных чисел Рейнольдса, когда ламинарный поток перестает быть симметричным, после внесения возмущения, затем, когда ламинарный поток, теряя устойчивость, становится нестационарным, и, наконец, переходит к трехмерному турбулентному режиму течения. Для каждого из диапазонов чисел Re получено и показано характерное распределение гидромеханических параметров потока. Исследовано влияние линейных размеров канала на характер течения. Показано, что если хотя бы один из размеров соответствует Re > Re , то течение будет нестационарным и турбулентным.

А в канале с одним размером, соответствующим ламинарному режиму, а другим - турбулентному, будет быстро происходить ламинаризация турбулентного потока.

5. На основе статистической теории проведен гармонический анализ распределения пульсаций продольной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности развитого турбулентного течения в канале. Получен спектр распределения энергии по частотам, который хорошо согласуется с известным теоретическим результатом, подтвержденным практическими и численными измерениями. Исследовано влияние ширины канала на распределение кинетической энергии турбулентности. Показано, что максимальное значение кинетической энергии пульсаций с ростом Hz возрастает. Для различных вариантов широты Hz получены спектры распределения процесса колебаний скорости и энергии по частотам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карсканов, Сергей Андреевич, 2009 год

1. Лапин Ю.В. Статическая теория турбулентности: прошлое и настоящее (краткий очерк идей) / Ю.В. Лапин // Научно технические ведомости. СПб: Изд-во Политехнического ун-та, 2004, - №2 (36).-С. 7-20.

2. Reynolds О. On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion / O. Reynolds // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A -1895. Vol. 186. -P. 123-161.

3. Кочин H.E. Теоретическая гидромеханика / H.E. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. -М.:Физматгиз, 1963. -Т. 1-2.

4. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение / П.Брэдшоу. -М.: Мир, 1974. -278 с.

5. Гольдштейн С. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости / С. Гольдштейн. -М.: ИЛ, 1948. -Т. 1-2.

6. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса / А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. -1941. -Т.30. -№4, -С. 299-303.

7. Монин А.С. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом. -М.: Наука, 1965, 1967. -Т. 1-2.

8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е / Л.Г. Лойцянский. -М.: Наука, 1970. 904 с.

9. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой / Л.Г. Лойцянский. -М.: Физматгиз, 1962. -479 с.

10. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. -М.: Наука, 1970. -Т. 1-2.

11. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учебное пособие в 10 т. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Наука, 1986. -Т. 6. Гидродинамика. -736 с.

12. Рейнольде А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях / А.Дж. Рейнольде -М.: Энергия, 1979. -408 с.

13. Турбулентность. Принципы и применения / под ред. У. Фроста, Т. Моулдена. -М.: Мир, 1980. -536 с.

14. Белов И.А. Модели турбулентности: учебное пособие / И.А. Белов. -СПб.: ЛМИ, 1986.-100 с.

15. Белов И.А. Моделирование турбулентных течений: учебное пособие / И.А. Белов, С.А. Исаев. -СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2001. -108 с.

16. Wilcox D.C. Turbulence modeling for CFD / D.C. Wilcox. La Canada, California: CDW Industries Inc., 1998. -537 p.

17. Методы расчета турбулентных течений / под ред. В. Колльмана. -М.: Мир., 1984. -464 с.

18. Smirnov Е.М. Recent advances in numerical simulation of 3D unsteady convection controlled by buoyancy and rotation / E.M. Smirnov // Proc. of the 12th Int. Heat Transfer Conf., Grenoble, France, 18-23 August 2002, CD-ROM Proceedings. -P. 1-12.

19. Стрелец M.X. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения / М.Х. Стрелец, А.К. Травин, М.Л. Шур,

20. Ф.Р. Спаларт // Научно технические ведомости. -СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2004. -№2 (36). -С. 22-33.

21. Berselli L.C. Mathematical analysis for the Rational Large Eddy Simulation Model / L.C. Berselli, G.P. Galdi, T. Uiescu, W.J. Layton // Math. Models Methods Appl. Sci. -2002. -№12. -P. 1131-1152.

22. Hughes T.J.R. Large eddy simulation of turbulent channel flows by the variational multiscale method / T.J.R. Hughes, A.A. Oberai, L. Mazzei // Phys. of Fluids. -2001. -№13. -P. 1784-1799.

23. Rembold B. Large-eddy simulation of compressible rectangular duct flow / B. Rembold, L. Kleiser // PAMM. -2003. -Vol. 2, -P. 352-353.

24. Черный С.Г. Численное моделирование пространственных турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе (к — £)-моделей / С.Г. Черный, П.А. Шашкин, Ю.А. Грязин // Вычисл. технологии. -1999. -№ 2. -Т. 4. -С. 74-94.

25. Кузьминов А.В. Метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости на основе двухслойной (к — £)- модели / А.В. Кузьминов, В.Н. Лапин, С.Г. Черный // Вычисл. технологии. -2001. -№5. -Т. 6, -С. 73-86.

26. Spalart P.R. Strategies for turbulence modeling and simulations / P.R. Spalart // Int. J. Heat and Fluid Flow. -2000. -Vol. 21. -P. 252.

27. Kress W. High Order Finite Difference Methods in Space and Time: Doctoral thesis/ Kress W. Uppsala: Uppsala University, 2003. -28 p.

28. Jameson L. High order schemes for resolving waves: Number of points per wavelength / L. Jameson // J. Sci. Comput. -2000. №15. -P. 417-439.

29. Deville M.O. High-Order Methods for Incompressible Fluid Flow / M.O. Deville, P.F. Fischer, E.H. Mund. -New York: Cambridge University press, 2004. -490 p.

30. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы: курс лекций в 2-х частях / П.Г. Фрик. -Пермь: ПГТУ, 1998. -244 с.

31. Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели / П.Г. Фрик. -Москва -Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -292 с.

32. Miliou A. Wake Topology of curved cylinders at low Reynolds Numbers / A. Miliou, S.J. Sherwin, J.M.R. Graham // Flow, Turbulence and Combustion. -2003. Vol. 71. -P. 147-160.

33. Blackburn H.M. Two- and three-dimensional simulations of vortex-induced vibrations of a circular cylinder / H.M. Blackburn, G.E. Karniadakis // Proc. 3rd Intnl. Offshore & Polar Engng. Conf. —Singapore, 1993.-Vol.3.-P. 715-720.

34. Robinet J.-C. Two-dimensional local instability: complete eigenvalue spectrum / J.-C. Robinet, C. Pfauwadel // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 181- 188.

35. Chevalier M. Feedback control in spatially growing boundary layers / M. Chevalier, J. Hoepffner, E. Akervik, D.S. Henningson // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 243 248.

36. Bao W. High-order I-stable centered difference schemes for viscous compressible flows / W. Bao // J. of Comput. Math. -2003. -Vol. 21, -№1. -P. 101-112

37. Zhang J. Numerical simulation of 2D square driven cavity using fourth order compact finite difference schemes / J. Zhang // Computers and Mathematics with Applications. -2003. -Vol. 45. -P. 43-52.

38. Nishida H. Higher-order solution of square driven cavity flow using a variable- order multigrid method / H. Nishida, N. Satofuka // Int. J. Numer. Methods Eng. -1992. -Vol. 34. -P. 637-653.

39. Kampanis N.A. A staggered grid high-order accurate method for incompressible viscous flow / N.A. Kampanis, J.A. Ekaterinaris // AIAA-2004-0432. -2004.

40. Simens M. On fundamental instability mechanisms of nominally 2-D separation bubbles / M. Simens, L. Gonzalez, V. Theofilis, R. Gomez-Bianco // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 89-95.

41. Ji-Sheng L. Inherent mechanism of breakdown in laminar-turbulent transition / L. Ji-Sheng, W. Xin-Jun, Z. Heng // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 267 273.

42. Souza L.F. Non-linear interaction of Goertler vortices and Tollmien Schlichting waves / L.F. Souza, M.T. Mendonca, M.A.F. Medeiros // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 409-414.

43. Ghosh S. DNS and LES of compressible turbulent pipe flow with isothermal wall / S. Ghosh, J. Sesterhenn, R. Friedrich // Direct and Large-Eddy Simulations VI. -Netherlands: Springer, 2006. -Part XVIP. -P. 721728.

44. Foysi H. Compressibility effects and turbulence scalings in supersonic channel flow / H. Foysi, S. Sarkar, R. Friedrich // J. Fluid Mech. -2004. -Vol. 509. -P. 207-216

45. Friedrich R. Turbulent momentum and passive scalar transport in supersonic channel flow / R. Friedrich, H. Foysi, J. Sesterhenn // J. Braz. Soc. Mech. Sci.& Eng. -Rio de Janeiro, 2006. -Vol. 28. -No. 2.

46. Neumann J. DNS and LES of Passively Controlled Turbulent Backward-Facing Step Flow / J. Neumann, H. Wengle // Flow, Turbulence and Combustion. -2003. Vol. 71. -P. 297-310.

47. Treidler B. Efficient solution algorithms for high-accuracy central difference CFD schemes / B. Treidler, J. A. Ekaterineris, R. E. Childs //

48. AIAA-1999-302 Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 37th. -Reno, NY, 1999.

49. Marxen O. A combined experimental/numerical study of unsteady phenomena in a laminar separation bubble / O. Marxen, M. Lang, U. Rist, S. Wagner // Flow, Turbulence and Combustion. -2003. -Vol.71. -P. 133-146.

50. Hamed A. Performance Characterization and Scalability Analysis of a Chimera Based Parallel Navier-Stokes Solver on Commodity Clusters /

51. A. Hamed, D. Basu, K. Tomko, Q. Liu // Proc. of the International Conference on Parallel Computational Fluid Dynamics. -College Park, MD, 2005.

52. Королева M.P. Прямое численное моделирование турбулентных течений в несимметричном диффузоре: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Королева Мария Равилевна. -Ижевск, 2005. -121 с. -Библиогр.: с. 111-121.

53. Stemmer С. Investigation of hypersonic flat-plate boundary-layer transition by direct numerical simulation/ C. Stemmer, N.A. Adams // In High Performance Computing in Science and Engineering. -Berlin: Springer Verlag, 2004. -Vol. 4. -P. 155-162.

54. Stemmer C. Transition investigation on hypersonic flat-plate boundary layers flows with chemical and thermal non-equilibrium / C. Stemmer // Sixth IUTAM Symp. on Laminar-Turbulent Transition. -Nehterlands: Springer, 2006. -P. 363 368.

55. Ключников И.Г. Прямое численное моделирование дозвуковых турбулентных течений газа: дис. докт. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Ключников Игорь Геннадьевич. -Ижевск, 1997. -230 с. -Библиогр.: с. 215-230.

56. Липанов A.M. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников. -Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001.

57. Липанов A.M. Численное моделирование развития вихревых структур в отрывных течениях / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников//Мат. моделирование. -1994. -Т. 6. -№10. -С. 13-23.

58. Липанов A.M. Математическое моделирование турбулентных потоков / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников //Мат. моделирование. -1997. -Т. 9. -№ 2. -С. 113-116.

59. Федорченко А.Т. О проблеме вывода вихрей через проницаемую границу расчетной области нестационарного дозвукового потока / А.Т. Федорченко //ЖВМ и МФ. -1986. -Т. 26. -№ 1. -С. 114-129.

60. Федорченко А.Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале / А.Т. Федорченко // МЖГ. -1988. -№ 4. -С. 32-41.

61. Федорченко А.Т. О расчетных моделях взаимодействия вихрей с проницаемой границей области дозвукового потока / А.Т. Федорченко // Докл. АН СССР. -1983. -Т. 273. 1. -С. 66-70.

62. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука, 1973. -832 с.

63. Hsu C.-H. Transient mixed convection of a second-grade fluid past a backward-facing step / C.-H. Hsu, Y.-P. Chang, B.-C. Chen // Int. J. of Non-Linear Mechanics. -1999. -Vol. 34. -P. 881-893.

64. Yu K.F. Numerical simulation of gas-particle flow in a single-side backward-facing step flow / K.F. Yu, K.S. Lau, C.K. Chan // J. of Сотр. and Applied Math. -2004. -Vol. 163. -P. 319-331.

65. Elizarova T.G. Theoretical and numerical investigation of quasi-gasdynamic and quasi-hydrodynamic equations / T.G. Elizarova, Yu.V. Sheretov // J. Comput. Mathem. and Mathem. Phys. -2001. -Vol. 41. -P. 219-234.

66. Elizarova T.G. Simulation of separating flows over a backward-facing step / T.G. Elizarova, I.S. Kalachinskaya, Yu.V. Sheretov, E.V. Shilnikov // Сотр. Math, and Modeling. -2004. -Vol. 15. -№ 2. -P. 167-193.

67. Iwai H. The effects of duct inclination angle on laminar mixed convective flows over a backward-facing step / H. Iwai, K. Nakabe, K. Suzuki, K. Matsubara // Int. J. of Heat and Mass Transfer. -2000. -Vol.43. -P. 473 -485.

68. Chun K.B. Visualization of a locally-forced separated flow over a backward-facing step / K.B. Chun, H.J. Sung // Exp. in Fluids. -1998. -Vol.25. -P. 133-142.

69. Yoshioka S. Turbulence statistics of periodically perturbed separated flow over backward-facing step / S. Yoshioka, S. Obi, S. Masuda // Int. J. of Heat and Fluid Flow. -2001. -Vol. 22. -P. 393 401.

70. Hsu C.-H. Unsteady flow of a second-grade fluid past a backward-facing step / C.-H. Hsu, T.-Y. Chou // Int. J. Non-Linear Mechanics. -1997. -Vol.32. -№ 5. -P. 947-960.

71. Lee I. Three-dimensional coherent structure in a separated and reattaching flow over a backward-facing step / I. Lee, S.K. Ahn, H.J. Sung // Exp. in Fluids. -2004. -Vol. 36. -P. 373-383.

72. Jovic S. Reynolds number effect on the skin friction in separated flows behind a backward-facing step / S. Jovic, D. Driver // Exp. Fluids. -1995. -Vol.18. -P. 464-467.

73. Driver D.M. Features of a reattaching turbulent shear layer in divergent channel flow / D.M. Driver, H.L. Seegmiller // AIAA J. -1985. -Vol. 23.-P. 163-171.

74. Vogel J.C. Combined heat transfer and fluid dynamic measurement downstream of a backward-facing step / J.C. Vogel, J.K. Eaton // J. Heat Transfer. -1985. -Vol. 107. -P. 922-927.

75. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. -М.: Наука, 1974. -712 с.

76. Jacob М. Heat transfer / М. Jacob. -John Wiley, New York, 1957. -Т. 1 -2.

77. Armaly B.F. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow / B.F. Armaly, F. Durst, J.C.F. Pereira, B. Schonung // J. Fluid Mech. -1983. -Vol. 127. -P. 473-496.

78. Barton I.E. Laminar flow over a backward-facing step with a stream of hot particles / I.E. Barton // Int. J. Heat and Fluid Flow. -1997. -Vol. 18. -P. 400-410.

79. Tihon J. Near-wall investigation of backward-facing step flows / J.

80. Tihon, J. Legrand, P. Legentilhomme // Experiments in Fluids. -2001. -Vol. 31.-P. 484-493.

81. Abbott D.E. Experimental investigation of subsonic turbulent flow over single and double backward-facing steps / D.E. Abbott, S.J. Kline // J. Basic Eng. -1962. -Vol. 84. -P. 317-325.

82. Kasagi N. Three-dimensional particle-tracking velocimetry measurement of turbulence statistics and energy budget in a backward-facing step flow / N. Kasagi, A. Matsunaga // Int. J. Heat Fluid Flow. -1995. -Vol. 16. -P. 477-485.

83. Otugen M.V, Expansion ratio effects on the separated shear layer and reattachment downstream of a backward-facing step / M.V. Otugen // Exp. Fluids. -1991.-Vol. 10. -P. 273-280.

84. Otugen M.V. Study of separated shear layer in moderate Reynolds number plane sudden-expansion flows / M.V. Otugen, G. Muckenthaler // AIAA J. -1992. -Vol. 30. -P. 1808-1813.

85. Комаров П.Л. Исследование характеристик турбулентности и теплообмена за обратным уступом в щелевом канале / П.Л. Комаров, А.Ф. Поляков // Препринт ИВТАН № 2. -М., 1996.

86. Хинце И.О. Турбулентность. Ее механизмы и теория / И.О. Хинце. -М.: Физматгиз, 1963. 680 с.

87. Липанов A.M. Установление и эволюция параметров симметричного ламинарного потока в плоском канале с внезапным расширением / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ. -2007. -Т.48. -№ 1. -С. 35-42.

88. Липанов A.M. Исследование установившихся ламинарных потоков, подвергнутых воздействию начального возмущения / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ. -2008. -Т.49. -№3. -С. 11-19.127

89. Липанов A.M. Параметрическое исследование ламинарных стационарных потоков / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // «Численные методы в математике и механике»: Конф. мол. уч. -Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2007. -С. 3-4.

90. Липанов A.M. Параметрическое исследование нестационарных ламинарных потоков / A.M. Липанов, С.А. Карсканов // ПМ и ТФ, в печати.

91. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: пер. с англ. / П. Роуч. -М.:«Мир», 1980.