Исследование ламинарных и турбулентных течений с большими градиентами параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Крюков, Игорь Анатольевич

• Крюков, Игорь Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Крюков, Игорь Анатольевич

Введение

1. Уравнения Рейнольдса для вязкого газа

1.1. Уравнения Навье-Стокса.

1.2. Осреднение уравнений Навье-Стокса.

1.3. Уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации

1.4. Замыкание осредненных уравнений.

1.5. Осесимметричный случай.

2. Квазимонотонный численный метод повышенного порядка точности для расчета двумерных течений 1?

2.1. Метод контрольного объема.

2.2. Решение задачи Римана.

2.3. Аппроксимация по времени.

2.4. Процедуры восстановления.

2.5. Численные результаты.

2.5.1. Натекаиие сверхзвукового потока на ступеньку в канале.

2.5.2. Ламинарный пограничный слой.

2.5.3. Взаимодействие косой ударной волны с ламинарным пограничным слоем.

2.5.4. Взаимодействие отраженной ударной волны с ламинарным пограничным слоем

3. Построение адаптивной сетки для метода контрольного объема

3.1. Основные подходы к построению адаптивных сеток.

3.2. Метод минимальных моментов.

3.3. Модификация метода минимальных моментов.

3.4. Численные результаты.

4. Построение нелинейной модели напряжений Рейнольдса на основе модели турбулентного смешения

4.1. Нелинейные модели напряжений Рейнольдса.

4.2. Модель турбулентного переноса.

4.3. Определение дисперсий начальных распределений пульсаций скорости

4.4. Двумерные течения.

4.5. Течение с постоянным сдвигом.

4.6. Расчет плоской автомодельной струи.

5. Моделирование турбулентного течения в модели отсека модуля МКС

5.1. Модель горения в турбулентном потоке при возгорании в ГО МКС.

5.2. Преобразование системы уравнений для температуры и концентраций к переменным Шваба-Зельдовича.

5.3. Схема отсека модуля МКС.

5.4. Об одном возможном механизме поддержания горения в замкнутых областях при невесомости.

5.4.1. Краткое описание экспериментов с горением свечи в условиях микрогравитации

5.4.2. Математическая модель горения.

5.4.3. Расчетная область и граничные условия.

5.4.4. Результаты расчета горения, поддерживаемого струей продуктов сгорания

5.4.5. Учет дополнительных физических процессов.

5.5. Расчет турбулентных вентиляционных потоков в ГО ФГБ МКС на основе уравнений Навье-Сгокса.

5.6. Распространение пламени в ГО ФГБ МКС.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование ламинарных и турбулентных течений с большими градиентами параметров»

Актуальность темы. Расчет течений газовых сред с зонами больших градиентов параметров является актуальной задачей современной вычислительной газо- и гидродинамики. Это связано с тем, что зоны больших градиентов встречаются в большинстве течений, представляющих практический интерес. В случае высокоскоростных течений это ударные волны и контактные разрывы. Теория газодинамических разрывов хорошо развита, но при их численном моделировании часто встречаются трудности, обусловленные недостатками используемых численных методов (особенно в многомерном случае) и/или недостаточным разрешением расчетных сеток.

В случае вязких течений зоны больших градиентов параметров также являются широко распространенным явлением. Это, в первую очередь, пограничные слои и слои смешения. И если в ламинарном случае теоретическое описание этих явлений достаточно развито, то в турбулентном случае помимо вычислительных трудностей возникает необходимость корректного теоретического описания этих явлений.

Не смотря на определенные успехи достигнутые за последние годы в прямом численном моделировании турбулентности и в разработке дифференциальных моделей для напряжений Рейнольдса двухпарамегрические модели турбулентности еще довольно долгое время будут главным инструментом моделирования турбулентности при проведении массовых расчетов большинства практических важных классов турбулентных течений. Использование двухпараметрических моделей представляет собой компромисс между точностью и эффективностью. За прошедшие несколько десятилетий интенсивного использования двухпараметрических моделей турбулентности их достоинства и недостатки хорошо изучены. К последним в первую очередь следует отнести недостаточную точность при расчете течений с сильной кривизной линий тока, сильно закрученных течений, течений вблизи точки торможения и ряд других.

Достаточно подробное изучение причин снижения точности двухпараметрических моделей в этих случаях показало, что это происходит из-за использования модели вихревой вязкости, т.е. линейной зависимости тензора напряжений Рейнольдса от тензора скоростей деформации. Поэтому одним из самых многообещающих методов преодоления перечисленных выше недостатков является разработка нелинейных или анизотропных моделей напряжений Рейнольдса.

Исследования проведены при финансовой поддержке РФФИ (гранты: 95-01-00149-а, 98-01—00352-а, 98-01-00943-а, 00-01-00401-а, 00-01-00643-а, 01-01-00745-а, 01-01-00760-а, 01-01-01011-а, 02-01-00318-а, 02-01-00948-а, 03-01-00866-а).

Цель исследования.

- Разработка численного метода с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа с большими градиентами параметров на криволинейных и подвижных сетках.

- Создание программного комплекса для расчета двумерных нестационарных течений в областях сложной геометрической формы.

- Разработка достаточно простого и надежного метода адаптации расчетных сеток к особенностям течения.

- Построение нелинейной модели напряжений Рейнольдса и турбулентных потоков тепла.

- Исследование динамики ламинарных и турбулентных вентиляционных потоков и их влияния на развитие очага возгорания в отсеке модуля МКС.

Научная новизна. Новыми в диссертационной работе являются следующие положения и результаты:

Разработан численной метод с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Иапье-Стокса. Предложены новый вариант двумерной процедуры восстановления и модификация явного метода Рунге-Кутты для аппроксимации дополнительных жестких источииковых членов в уравнениях.

Предложена модификация метода адаптации расчетной сетки к особенностям течения ("метода минимальных моментов") и дано его обобщение для неструктурированных сеток и для пространственного случая.

Разработаны нелинейная модель напряжений Рейнольдса и турбулентных потоков тепла.

Предложен механизм поддержания стационарного поверхностного горения в невесомости.

Проведено численное моделирование ламинарного и турбулентного вентиляционных течений в отсеке модуля Международной космической станции. Исследованы стационарный режим течения и процесс затухания скорости при выключении вентиляторной установке в отсеке.

Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, определяется методическими расчетами, контролем точности вычислений, сравнением численных результатов с аналитическими решениями и с опубликованными расчетными и экспериментальными результатами.

Практическая ценность. Разработанный метод может быть применен для численного моделирования широкого круга задач нестационарной газо- и гидродинамики.

Предложенная модель напряжений Рейнольдса позволяет повысить точность расчета ряда турбулентных течений, в том числе и имеющих практическое значение.

Результаты численного моделирования динамики вентиляционных потоков и процессов распространения горения в отсеке модуля МКС могут быть использованы для создания надежной системы тушения пожара на борту МКС.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1). Численной метод с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса для ламинарных и турбулентных течений сжимаемого газа с большими градиентами параметров на криволинейных и подвижных сетках.

2). Метод адаптации расчетной сетки к особенностям течения, учитывающий особенности метода контрольного объема и легко встраевыемый в готовые программы решения уравнений Эйлера или Навье-Стокса.

3). Обобщение на двумерный и трехмерный случаи модели турбулентного смешения и на ее основе разработка нелинейной модели напряжений Рейнольдса, учитывающая влияние градиента энергии турбулентности, близость твердых поверхностей и градиентов плотности.

4). Исследование одного из возможных механизмов поддержания стационарного поверхностного горение в невесомости.

5). Результаты численного моделирования турбулентного вентиляционного течения в отсеке модуля Международной космической станции.

6). Создание программного комплекса для расчета двумерных нестационарных течений в областях сложной геометрической формы.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Проблемы стратифицированных течений" (Юрмала, 1988), 5-th EPS Liquid State Conference "On turbulence" (Moscow, Russia, 1989), Parallel Computing Technologies (PaCT-93) (Obninsk, Russia, 1993), Первой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994), 77 Fluid Dynamic Panel Symp. "Progress and Challenges in CFD. Methods and Algorithms" (Seville, Spain, 1995), III Межгосударственной научно-технической конференции "Оптические методы исследования потоков" (Москва, 1995), XIX-XX научных чтениях по космонавтике (Москва, 1995, 1996), 1-4 межд. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 1995, Санкт-Петербург, 1998, Истра-Москва, 2000, Санкт-Петербург, 2002), IUTAM

Symp. On Variable Density Low Speed Turbulent Flows (Marseille, France, 1996), 6th Japan-Russia Joint Symposium on CFD (Nagoya, Japan, 1998), X-XII международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переелавль-Залссский, 1999, Москва, 2001, Владимир, 2003), 8th Int. Meshing Rouiultable 99 (South Lake Tahoe, USA, 1999), 8th Int. symp. on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications (Magdeburg, Germany, 2000), Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), V World Congress on Computational Mechanics (Vienna, Austria, 2002), ESO/CERN/ESA Symp. "Astronomy, cosmology and fundamental physics"(Garching, Germany, 2002).

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Крюков, Игорь Анатольевич

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты;

1). Разработан численной метод с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса для ламинарных и турбулентных течений сжимаемого газа с большими градиентами параметров на криволинейных и подвижных сетках. Метод использует чисто двумерные процедуры восстановления, приближенные методы решения задачи Римана с коррекцией для малых чисел Маха, явные методы Рунге-Кутта со специальной аппроксимацией дополнительных жестких ис-точниковых членов.

2). На основе разработанного метода создан программный комплекс для расчета двумерных нестационарных течений в областях сложной геометрической формы.

3). Предложен простой и надежный метод адаптации расчетной сетки к особенностям течения. Дано обобщение метода для неструктурированных сеток и для пространственного случая.

4). Предложено обобщение на двумерный и трехмерный, случаи модели турбулентного смешения и на ее основе получена нелинейная модель напряжений Рейнольдса.

Учтены влияние градиента энергии турбулентности, близость твердых поверхностей и градиентов плотности.

5). Показано, что существует механизм, способный поддерживать стационарное поверхностное горение в невесомости. В областях небольшого объема струя продуктов пиролиза способна создать вихревое течение, доставляющее кислород в зону горения и поддерживающее горение.

6). На основе численного моделирования турбулентных вентиляционных течений определены характерные времена затухания течения в отсеке модуля МКС. Получено совпадение с результатами измерений на натурном модуле. Выявлены зоны, повышенной пожароопасности и зависимость их расположения от времени.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Крюков, Игорь Анатольевич, 2003 год

1. Амбарцумян Е.Н., Глушко Г.С., Гумилевский А.Г., Крюков И.А., Математическая модель турбулентных процессов переноса, Препринт 461, М.: ИПМ АН СССР, 1990.

2. Амбарцумян Е.Н., Глушко Г.С., Крюков И.А., Определение коэффициентов турбулентного переноса в плоских течениях несжимаемой жидкости // Изв. РАН, МЖГ, 1997, 3, 83-92.

3. Амбарцумян Е.Н., Глушко Г.С., Крюков И.А., Уточненные выражения для коэффициентов турбулентной вязкости в плоских течениях несжимаемой жидкости, о влиянии на процесс переноса импульса градиента энергии турбулентности, Препринт 579, М.: ИПМ РАН, 1997.

4. Бахвалов Н.С., Численные методы, М.: Наука, 1975, 632.

5. Васильцов Г.Л., Крюков И.А., Численный метод решения уравнений Навье-Стокса, описывающих течения несжимаемой вязкой жидкости, на коллокационной криволинейной сетке, Препринт 594, М.: ИПМ РАН, 1997.

6. Войнович П.А., Шаров Д.М., Моделирование разрывнЫх течений газа на неструктурированных сетках // Мат. модел. РАН, 1993, 5, 7, 86-112.

7. Глушко Г.С., Крюков И.А., Численный метод для решения уравнений пограничного слоя // Вычислительные технологии, 1995, 4, 12, 77-86.

8. Глушко Г.С., Крюков И.А., Особенности процесса турбулентного переноса импульса вблизи свободных границ течений в следе и струе, Препринт 607, М.: ИПМ РАН, 1997.

9. Глушко Г.С., Крюков И.А., Влияние параметров, связанных с градиентом энергии турбулентности и расстояниями до обтекаемых твердых поверхностей, на рей-нольдсовы напряжения, Препринт 716, М.: ИПМ РАН, 2002.

10. Глушко Г.С., Некоторые особенности турбулентных течений несжимаемой жидкости с поперечным сдвигом // Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, 4, 128-136.

11. Глушко Г.С., Модель турбулентного смешения в потоках со сдвигом, Турбулентные течения, М.:Наука, 1974, pp. 56-61.

12. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П., Численное . решение многомерных задач газовой динамики, М.: Наука, 1976, 400.

13. Засимов А.Г., Зайцев С.Н., Юдахина Н.А., и др., Анализ газодинамических условий и выбор метода измерения скорости вентиляционного потока в модуле ФГБ, Техн. справка инв. № 629.7(04), А 64, КБ "Салют", 1996.

14. Иевлев В.М., Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред, М.: Наука, 1975, 400.

15. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001, 608.

16. Лисейкин В.Д., Петренко В.Е., Об аналитических и численных исследованиях метода проекции для построения адаптивных сеток // Вычислительные технологии, 1994, 3, 9, 108-120.

17. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа, М.: Наука, 1987, 840.

18. Михеев М.А., Основы теплопередачи, М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956.

19. Монин А.С., Яглом A.M., Статистическая гидромеханика. Часть 1, М.: Наука, 1965.

20. Поллей А.Д., Мелник Р.Е., Рубел А., Рудман С., Сиклари М.Д., Автомодельные решения для плоских и осесимметричных струй, использующие к — £ модель турбулентности И ТОИР, 1985, 1, 180-188.

21. Сазонов И.И., Комаров М.М., Полежаев В.И., др., Микроускорения на орбитальной станции МИР и оперативный анализ гравитационной чувствительности конвективных процессов тепло-массопереноса // Космич. исслед., 1999, 37, 1, 86-101.

22. Тилляева Н.И., Обобщение модифицированной схемы С.К.Годунова на произвольные ■ нерегулярные сетки // Ученые записки ЦАГИ, 1986, XVII, 2, 18-26.

23. Франк-Каменецкий Д.А., Диффузия и теплопередача в химической кинетике, М.: Наука, 1967.

24. Arney D.C., An adaptive method with mesh moving and mesh refinement for solving the Euler equations, AIAA Pap. 88-3567-CP, 1988.

25. Barth T.J., Jespersen D.C., The design and application of upwind schemes on ' unstructured meshes, AIAA Pap. 89-0366, 1989.

26. Benson R.A., McRae D.S., A three-dimensional dynamic solution-adaptive mesh algorithm, AIAA Pap. 90-1566, 1990.

27. Berger M.J., Jameson A., Automatic adaptive grid refinement for the Euler equations // AIAA J., 1985, 23, 561-568.

28. Boussinesq T.V., Essai sur la theory des eavx courantes // Mem. pres. Acad. Sci., 1877, •23, 46-50.

29. Brackbill J.U., Saltzman J.S., Adaptive zoning for singular problems in two dimensions // J. Сотр. Phys., 1982, 46, 3, 342-368.

30. Bradbury L.J.S., The structure of a self-preserving turbulent plane jet j j J. Fluid Mech., 1965, 23, 1, 31-64.

31. Chorin A.J., A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Сотр. Phys., 1967, 26, 2-12.

32. Colella P., Woodward P.R., The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dinamical simulations // J. Сотр. Phys., 1984, 54, 174-201.

33. Connett W.C., Agarwal R.K., Schwartz A.L., Wheeler J.A., An algebraic adaptive grid technique for the solution of Navier-Stokes equations, AIAA Pap. 90-1605, 1990.

34. Connett W.C., Agarwal R.K., Schwartz A.L., An adaptive grid-generation scheme for ' flowfield calculations, AIAA Pap. 87-0199, 1987.

35. Connett W.C., Agarwal R.K., Schwartz A.L., An adaptive-grid algorithm for the Euler/Navier-Stokes equations, AIAA Pap. 88-0519, 1988.

36. Craft T.J., Launder B.E., Suga K., Development and application of a cubic eddy-viscosity model of turbulence // Int. J. Heat Fluid Flow, 1996, 17, 108-115.

37. Danenhoffer J.F., Baron J.P., Grid adaptation for the 2-D Euler equations, AIAA Pap. 85-0484, 1985.

38. Daru V., Tenaud C., Evaluation of TVD high resolution schemes for unsteady viscous shocked flows // Computers and Fluids, 2000, 30, 89-113.

39. Degrez G., Boccadoro C.H., Wendt J.F.W., The interaction of an oblique shock wave with a laminar boundary layer revisited. An experimental and numerical study, //J. Fluid Mech.,' 1987, 177, 246-263.

40. Demuren A.O., Rodi W., Calculation of turbulence-driven secondary motion in non-circcular ducts // J. Fluid Mech., 1984, 140, 189-222.

41. Dietrich D., Ross H.D., Frate D.T., Candle flames in microgravity, Nasa Conference Publication 10194, Proc. Fourth Int. Microgravity Combustion Workshop, Cleveland, Ohio May 19-21, 1997, pp. 237-242.

42. Dunn J.E., Serrin J., On the thermodynamics of interstitial working // Arch. Rational Mech. Anal., 1985, 88, 95-133.

43. Durlofsky L.J., Engquist В., Osher S., Triangle based adaptive stencils for the solution of hyperbolic conservation laws // J. Сотр. Phys., 1992, 98, 64-73.

44. Eiseman P.R., Adaptive grid generation by mean value relaxation, Advances in Grid Generation, 1983, pp. 29-34.

45. Eiseman P.R., Adaptive grid generation // Computer Meth. Appl. Mech. Engn., 1987, 64, 321-376.

46. Everitt K.W., Robins A.G., The development and structure of turbulent plane jets //J. Fluid Mech., 1978, 88, 3, 563-583.

47. Gatski T.B., Rumsey C.L., Linear and nonlinear eddy viscosity model, Closure strategies for turbulent and transitional flows (Launder B.E., Sandham N.D., eds.), Cambridge University Press, NY, 2000.

48. Gatski T.B., Speziale C.G., On explicit algebraic stress models for complex turbulent flows // J. Fluid Mech., 1993, 254, 59-78.

49. Girimaji S.S., Fully explicit and self-consistent algebraic Reynolds stress model // Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 1996, 8, 6, 387-402.

50. Guillard H., Murrone A., On the behaviour of upwind schemes in the low Mach number limit: II. Godunov type schemes, Rapport de reserche 4189, INRIA, 2001.

51. Guillard H., Viozat C., On the behavior of upwind schemes in the low Mach number limit // Computers and Fluids, 1999, 96, 28-63.

52. Gutmark E., Wygnanski I., The planar turbulent jet // J. Fluid Mech., 1976, 73 , 3, 465-495.

53. Hakkinen R.J., Greber I., Trilling L., Abarbanel S.S., The interaction of an oblique shock wave with a laminar boundary layer, NASA Memo 2-18-59W, 1959.

54. Harten A., Engquist В., Osher S., Chakravarthy S.R., Uniformly high order accurate essentially поп-oscillatory schemes, III //J. Сотр. Phys., 1987, 71, 231-303.

55. Harten A., Hyman J.M., Lax P.D., On finite difference approximations and entropy conditions for shocks 11 Comm. Pure Appl. Math., 1976, XXIX, 297-322.

56. Harten A., High resolution schemes for hyperbolic conservation laws //J. Сотр. Phys., 1983, 49, 357-393.

57. Holmes D.G., Connell S.D., Solution of the 2D Navier-Stokes equations on unstructured adaptive grids, AIAA Pap. 89-1932-CP, 1989.

58. Hwang C.J., Liu J.L., Locally implicit total-variation-diminishing schemes on unstructured triangular meshes // AIAA J., 1991, 29, 10, 1619-1626.

59. Imlay S.T., A solution adaptive grid/Navier-Stokes solution procedure, AIAA Pap. 872180, 1987.

60. Jameson A., Solution of the Euler equations by a multigrid method // Appl. Math. Сотр., 1983, 13, 327-356.

61. Jongen Т., Gatski T.B., General explicit algebraic stress relations and best approximation for three-dimensional flows // Int. J. Eng. Sci., 1998, 36, 739-763.

62. Kania L.A., An adaptive grid solution algorithm for accurate flowfield calculations, AIAA Pap. 90-0327, 1990.

63. Као К.-Н., Liou M.-S., Chow C.-Y., Grid adaptation using chimera composite overlapping meshes // AIAA J., 1994, 32, 5, 942-949.

64. Kim H.J., Thompson J.F., Three dimensional adaptive grid generation on a composite block grid, AIAA Pap. 88-0311, 1988.

65. Krishnamurty V.S., Shyy W., Study of compressibility modifications to the k—e turbulence model // Phys. Fluids, 1997, 9, 9, 2769-2788.

66. Launder B.E., Spalding D.В., The numerical computation of turbulent flows // Computer Meth. Appl. Mech. Engn., 1974, 3, 269-289.

67. Lee K.D., Loellbach J.M., Kim M.S., Adaptation of structured grids for improved Navier-Stokes solutions, AIAA Pap. 90-0125, 1990.

68. Lee M.J., Kim J., Moin P., Structure of turbulence at high shear rate // J. Fluid Mech., 1990, 216, 561-583.

69. Leonard B.P., Drummond J.E., Why you should not use "hybrid", "power-law"or related exponential schemes for convective modelling there are much better alternatives // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1995, 20, 421-442.

70. Lohner R., Adaptive H-refinement on 3-D unstructured grids for transient problems, AIAA Pap. 89-0365, 1989.

71. Lo S.H., Automatic mesh generation and adaptation by using contours // Int. J. Numer. Meth. Engn., 1991, 31, 689-707.

72. Lumley J.L., Toward a turbulent constitutive equation // J. Fluid Mech., 1970, 41, 413434.

73. Mavriplis D.J., Accurate multigrid solution of the Euler equations on unstructured and adaptive meshes, AIAA Pap. 88-3706-CP, 1988.

74. Mavriplis D.J., Multigrid solution of the 2-D Euler equations on unstructured triangular meshes // AIAA J., 1988, 4.

75. Nakahashi K., Deiwert G.S., Three-dimensional adaptive grid method // AIAA J., 1986, 948-954.

76. Nisizima S., Yoshizawa A., Turbulent channel and Couette flows using an anisotropic k—s model // AIAA J., 1987, 25, 4Г4-420.

77. Ni R.H., A multiple-grid scheme for solving the Euler equations I j AIAA J., 1982, 20, 1565-1571.

78. Pardhanani A.L., Carey G.F., Two and three-dimensional grid optimization, AIAA Pap. 88-0518, 1988.

79. Patankar S.V., Numerical heat transfer and fluid flow, Hemisphere, Washington, 1980.

80. Peraire J., Peiro J., Formaggia L., Morgan K., Zienkiewicz O.C., Finite element Euler computations in three dimensions j I Int. J. Numer. Meth. Engn., 1988, 26, 2135-2159.

81. Peraire J., Vahdati M., Morgan K., Zienkiewicz O.C., Adaptive remeshing for compressible flow computations // J. Сотр. Phys., 1987, 72, 449-466.

82. Pope S.B., A more general effective viscosity hypothesis // J. Fluid Mech., 1975, 72, 2, 331-340.

83. Reynolds O., On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phil. Trans, of the Roy. Soc., 1895.

84. Rodi W., Spalding D.B., A two-parameter model of turbulence and its application to free jets I j Warme und Stoffiibertragung, 1970, 3, 85-95.

85. Rodi W., A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses // ZAMM, 1976, 56, T219-T221.

86. Rogers M.M., Moin P., The structure of the porticity field in homogeneous turbulent flows U J. Fluid Mech., 1987, 176, 33-66.

87. Rubinstein R., Barton J.M., Nonlinear Reynolds stress models and the renormalization group // Phys. Fluids A, 1990, 2, 1472-1476.

88. Rumsey C.L., Gatski T.B., Morrison J.H., Turbulence model predictions of extra-strain rate effects in strongly-curved flows, AIAA Pap. 99-0157, 1999.

89. Saouab A., Vandromme D., Application of a variational method in compressible flow computations, Numerical Grid Generation in Computational Fluid Dynamics and Related Fields, Elsevier Science Publishers, B.V.: North-Holland, 1991, pp. 557-567.

90. Sarkar S., Erlebacher G., Hussaini M. Y., Kreiss H. O., The analysis and modelling of dilatational terms in compressible turbulence // J. Fluid Mech., 1991, 227, 473-493.

91. Sarkar S., The stabilizing effect of compressibility in lurbulent shear flow // J. Fluid Mech., 1995, 282, 163-186.

92. Shu C.-W., Osher S., Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes // J. Сотр. Phys., 1988, 77, 439-471.

93. Sjogreen В., Yee H.C., Grid convergence of high order methods for multiscale complex unsteady viscous compressible flows // J. Сотр. Phys., 2003, 185, 1-26.

94. Spekreijse S.P., Multigrid solution of monotone second-order discretizations of hyperbolic conservation laws // Math. Сотр., 1987, 49, 135-155.

95. Speziale C.G., On nonlinear k — I andk — e models of turbulence // J. Fluid Mech., 1987, 178, 459-475.

96. Sprangle G.S., Anderson D.A., Development a modular grid generation scheme for application in space marching flow solvers, AIAA Pap. 90-1608, 1990.

97. Sweby P.K., High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws U SIAM J. Numer. Anal., 1984, 21, 5, 995-1011.

98. Tavoularis S., Corrsin A., Experiments in nearly homogeneous turbulent shear flow with a uniform mean temperature gradient. Part I j j J. Fluid Mech., 1981, 104, 311-347.

99. Thompson J.F., Mastin C.W., Order of difference expressions in curvilinear coordinate systems // J. Fluid Engn., 1985, 107, 241-.

100. Thompson J.F., A survey of dynamically-adaptive grids in the numerical solution of partial differential equations // Applied Numerical Mathematics, 1985, 1, 3-27.

101. Того E., Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer-Verlag, New York, 1999.

102. Turkel E., Preconditioned methods for solving the incompressible and low speed compressible equations // J. Сотр. Phys., 1987, 72, 277-298.

103. Venkatakrishnan V., Convergence to steady state solutions of the Euler equations on unstructured grids with limiters // J. Сотр. Phys., 1995, 118, 120-130.

104. Venkatapathy E., Palmer G., Deiwert G.S., Lombard C.K., An efficient adaptive patched grid gas dynamic solver for complex flows, AIAA Pap. 86-1288, 1986.

105. Woodward P.R., Colella P., The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Сотр. Phys., 1984, 54, 115-173.

106. Xu K., A gas-kinetic BGK scheme for the Navier-Stokes equations and its connection with artificial dissipation and Godunov method //J. Сотр. Phys., 2001, 171, 289-335.

107. Yoshizawa A., Statistical analysis of the deviation of the Reynolds stress from its eddy-viscosity repesentation // Phys. Fluids, 1984, 27, 6, 1377-1387.