Проявления волнового хаоса в микроволновых, упругих и LCR-биллиардах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Максимов, Дмитрий Николаевич

• Максимов, Дмитрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Максимов, Дмитрий Николаевич

Введение.

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Волновой хаос в биллиардах.

1.2. Нодальные точки в случайных гауссовых полях.

Глава 2. Волновой хаос в микроволновых биллиардах

2.1. Случайные гауссовы волны и их свойства.

2.2. Тензор напряжений в хаотических микроволновых биллиардах

Глава 3. Волновой хаос в LCR биллиардах

3.1. Электрические резонансные схемы эквивалентные квантовым биллиардам

3.2. Волновой хаос в электрических резонансных цепях.

Глава 4. Случайные гауссовы волны в изотропных упругих средах

4.1. Случайные гауссовы волны в упругой среде

4.2. Двойное лучепреломление на границе биллиарда.

4.3. Численный эксперимент.

Глава 5. Нодальные точьки в случайном поле упругих деформаций

5.1. Нодальные точки и их свойства.

5.2. Статистические свойства нодальных точек.

5.3. Распределение ближайших расстояний между нодальными точками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проявления волнового хаоса в микроволновых, упругих и LCR-биллиардах»

Актуальность работы. Термин "волновой хаос "охватывает широкий круг явлений, характерных для динамики хаотических систем, как квантовых, так и классических. В первую очередь остановимся на теории квантового хаоса [1, 2]. Под теорией квантового хаоса подразумевается теория систем, которые в своем классическом пределе демонстрируют хаотическую динамику. Основной чертой квантовых хаотических систем является универсальность статистических свойств, не зависящая от их физической природы. Примерами такой универсальности являются: распределение ближайших межуровне-вых расстояний в спектре хаотических систем [3], гауссова статистика собственных функций [4|, универсальные флуктуации проводимости [5] и т.д.

Благодаря достижениям нанотехнологии в области методов молекулярно-лучевой эпитаксии и литографии в 1980-х годах [6, 7] появилась возможность создавать различные искусственные полупроводниковые структуры с заданной геометрией, масштабы длин и энергий в которых позволили наблюдать целый ряд не исследованных раннее квантовых эффектов. Поскольку при температурах порядка тК неупругое рассеяние значительно подавленно, длина фазовой когерентности электрона превышает размер такой структуры. Таким образом, динамика электрона в таких системах определяется только геометрией системы и "чистой" квантовой механикой. Примером таких систем являются биллиарды - квантовые ящики с бесконечно высокими потенциальными стенками. Биллиарды как динамические системы приобрели популярность, когда стало ясно, что самым наглядным примером динамической системы с перемешиванием траекторий является биллирад отрицательной кривизны. Последующие исследования показали, что биллиарды с фокусирующими участками также могут приводить к перемешиванию. Трудно указать такой биллиард (конечно, не очень правильной формы), который не создавал бы хаотических траекторий частиц. Биллиарды с регулярными траекториями являются редким исключением [8]. Регулярные биллиарды в первую очередь отличаются от хаотических тем, что количество степеней свободы движущейся в них частицы равно количеству интегралов движения [1]. С точки зрения квантово-механического описания это приводит к тому, что уравнение Шрёдингера может быть решено переходом в представление этих интегралов движения. Поэтому такие биллиарды называют также интегрируемыми.

Однако, экспериментальное изучение квантовых биллиардов встречает целый ряд трудностей, обусловленных их сложной физической природой. Так, наблюдение многих эффектов, предсказанных в теории идеальных одно-электронных систем, может осложняться электрон-фононным и кулоновским взаимодействием, а также погрешностями измерения при помощи сканирующего электронного микроскопа. Неудивительно, что в такой ситуации целый ряд исследователей обратили внимание на классические системы, динамика распространения волн в которых эквивалентна волновой динамике электрона.

Волновая природа электрона, как оказалось, имеет непосредственную аналогию с другими волновыми процессами. Например, уравнения, описывающие электрон в двумерных наноструктурах в баллистическом режиме, эквивалентны уравнениям электромагнитного ТМ поля в плоско-параллельных волноводах, что позволило наблюдать в них целый ряд эффектов характерных для квантового хаоса [9, 10]. Эта эквивалентность также открывает широкие возможности тестирования квантовых электронных устройств в макроскопических волноводных системах. Среди полученных результатов, близких к тематике диссертационного исследования, отметим: универсальность распределения волновой функции для открытых биллиардов [11] и экспериментальное наблюдение вихревой структуры линий плотности потока энергии в эксперименте с рассеянием волн на открытом биллиарде [12, 13].

Упругие системы также привлекают к себе внимание в рамках теории волнового хаоса. Хотя в случае упругих систем отсутствует полная эквивалентность с динамикой волновых процессов в квантовых дотах, динамика колебательных процессов в упругих образцах, выполненных в форме хаотических биллиардов, демонстрирует все основные черты хаотических систем [14, 15]. В настоящий момент изучение хаотической динамики в теории упругости представляет самостоятельный интерес и находит широкий спектр применений [16].

В связи с вышесказанным становиться понятен интерес к дальнейшему исследованию хаоса в классических системах, таких как микроволновые и упругие биллиарды, а также поиск других классических систем, колебания в которых несут в себе проявления волнового хаоса [17].

Цель работы. Целью данной диссертации является изучение новых проявлений волнового хаоса в ряде классических колебательных систем: микроволновых биллиардах, электрических резонансных цепях и упругих пластинах. При помощи методов численного моделирования, мы исследуем волновой хаос в биллиардах, представленных вышеупомянутыми системами, а также исследуем возможность аналитического описания хаоса в таких системах в рамках теории случайных гауссовых волн.

Основные задачи работы. Для достижения сформулированных выше целей были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах: а) получить фазовую корреляционную функцию случайных полей, описывающих распространение волн в хаотических биллиардах; б) исследовать статистические свойства тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн.

2. Рассмотреть возможность появления волнового хаоса в электрических резонансных цепях: а) рассмотреть возможные схемы электрических резонансных цепей, эквивалентных квантовым биллиардам; б) рассмотреть влияние таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуации величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи на характер хаотических колебаний.

3. Рассмотреть статистические свойства собственных функций, описывающих колебания упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов: а) адаптировать метод случайных гауссовых волн для описания хаоса в изотропных упругих средах; б) в рамках адаптированного подхода получить корреляционную функцию плотности энергии колебаний; с) проверить полученные результаты на численном эксперименте.

4. Исследовать статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций: а) рассмотреть топологические свойства нодальных точек в случайном поле упругих деформаций; б) получить корреляционные функции нодальной плотности и топологического заряда; б) получить распределение ближайших расстояний между нодальны-ми точками.

Основные результаты и положения выносимые автором на защиту.

Исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах.

1. Получена фазовая корреляционная функция случайных гауссовых волн, описывающих рассеяние на хаотическом биллиарде.

2. Получены распределения компонент тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн.

Впервые были численно исследованы электрические резонансные цепи эквивалентные квантовым биллиардам (ЬСЯ-биллиарды):

1. Предложены два типа электрических резонансных цепей, эквивалентных квантовым хаотическим биллиардам.

2. Рассмотрено влияние на статистические свойства собственных функций ЬСЯ-биллиардов таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуации величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи. Как было показано, дискретность цепи и флуктуации величин импедансов не вносят существенного вклада в статистические свойства собственных функций закрытых хаотических биллиардов, в то время как введение омического сопротивления приводит к необходимости описания хаотических колебаний при помощи комплексных гауссовых полей, что эквивалентно открытым квантовым биллиардам.

В рамках теории случайных гауссовых волн рассмотрены статистические свойства собственных функций, описывающих внутренние колебания тонких упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов:

1. Для описания хаоса во внутренних колебаниях тонких упругих пластин мы предложили рассмотреть потенциалы Гельмгольца в виде двух нескоррелированных случайных гуссовых функций, что привело к случайному полю деформации, являющемуся результатом интерференции продольно и поперечно поляризованных плоских волн со случайными фазами.

2. В рамках предложенного подхода мы получили корреляционные функции амплитуды и плотности энергии колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда.

3. Численно найдены собственные функций упругого биллиарда, выполненного в форме стадиона Бунимовича и рассчитана корреляционная функция плотности энергии колебаний. Совпадение результатов подтвердило справедливость предположения о том, что потенциалы Гельм-гольца являются статистически независимыми случайными функциями.

Впервые исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций:

1. Рассчитана плотность нодальных точек в случайном поле упругих деформации, а также проведена их топологическая классификация. Рассчитана плотность всех типов топологических дефектов в зависимости от упругих постоянных.

2. Аналитически рассчитана корреляционная функция топологического заряда. Численно рассчитана корреляционная функция нодальной плотности.

3. Исследовано распределение ближайших расстояний между нодальны-ми точками. На численном эксперименте было показано, что вероятность появления нодальной точки в качестве ближайшего соседа данной может быть с хорошей точностью аппроксимирована распределением Пуассона со средним значением заданным корреляционной функцией нодальной плотности. Для учета конкуренции между нодальными точками за право быть ближайшим соседом данной была также рассмотрена аппроксимация биномиальным распределением. Численно показано, что такой подход является наиболее точным в диапазоне расстояний, близких к среднему значению.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе были исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах. Были получены фазовая корреляционная функция и распределения компонент тензора напряжений случайных гауссовых воли, описывающих собственные колебания микроволнового поля в хаотических биллиардах.

Впервые были предложены электрические резонансные цепи, эквивалентные квантовым биллиардам. Было показано, что случайное поле напряжения, описывающие такие системы, обладает универсальными статистическими свойствами, характерными для микроволновых и квантовых хаотических систем, несмотря на ряд характерных черт, обусловленных их физической природой, таких как дискретность, флуктуации величин импедансов и омическое сопротивление элементов цепи. Таким образом, получен утвердительный ответ на вопрос о возможности моделирования хаотической динамики в электрических резонансных цепях. Для описания хаотической динамики упругих систем нами впервые была эффективно применена модель случайных волн в форме, адекватно описывающей статистические свойства собственных функций внутренних колебаний упругих биллиардов, что подтверждается данными численных расчетов. Также впервые были исследованы статистические свойства подальных точек в случайном поле упругих деформаций. Была проведена классификация нодальных точек и исследованы их статистические свойства, рассчитано распределение ближайших расстояний между ними.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах отдела теоретической физики ИФ СО РАН им. Л. В. Киренского. По результатам исследований опубликовано 5 работ:

1. Е. N. Bulgakov, D. N. Maksimov, А. F. Sadreev. Electric circuit networks equivalent to chaotic quantum billiards. // Phys. Rev. E.- 2005.- T.71, №4. 046205-7.

2. D. N. Maksimov, A. F. Sadreev. Gaussian random waves in elastic media. // Письма в ЖЭТФ.- 2007.- T.86, №9.- C.670-774.

3. D. N. Maksimov, A. F. Sadreev. Phase correlation function of complex random Gaussian fields. // Europhys. Lett.- 2007,- T.80, №5,- C.50003-50006.

4. D. N. Maksimov, A. F. Sadreev. Statistics of nodal points of in-plane random waves in elastic media. // Phys. Rev. E.- 2008.- T.77, №5.- 056204-7.

5. К.-F. Berggren, D. N. Maksimov, A. F. Sadreev, R. Hohmann, U. Kühl, and H.-J. Stöckmann. Quantum stress in chaotic billiards. // Phys. Rev. E.- 2008,- Т.77, №6.- 066209-11.

Личный вклад автора. Личный вклад автора состоит в проведении аналитических расчетов по тематике диссертационного исследования, а также в выполнении численных расчетов, обеспечивающих достоверность полученных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 87 страниц, включающих 31 рисунков и список литературы из 92 наименования. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели исследования, показана научная новизна и практическая значимость результатов работы, описана структура диссертации. В первой главе приводится краткий обзор экспериментальных и теоретических работ по волновому хаосу в классической физике. Во второй главе рассматриваются проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах. Приводится вывод фазовой корреляционной функции случайных гауссовых волн. Исследуются статистические свойства тензора напряжений. В третьей главе рассматривается хаос в электрических резонансных цепях (LCR-биллиардах). В четвертой главе рассматривается хаос во внутренних колебаниях тонких пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов. Наконец, в пятой главе исследуются статистические свойства нодальных точек в случайном поле упругих деформаций. В заключении сформулированы основные результаты работы и краткие выводы.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Максимов, Дмитрий Николаевич

Заключение

В диссертационной работе численно и аналитически были исследованы хаотические колебания в микроволновых, упругих и ЬСЯ-биллиардах. В основу исследования свойств хаотических систем было положено описание собственных состояний хаотических биллиардов при помощи теории скоррелирован-ных гауссовых полей. В рамках данного подхода были исследованы открытые микроволновые и ЬСЯ-биллиарды, а также свойства собственных функций описывающих внутренние колебания закрытых упругих биллиардов.

Ниже перечислены основные результаты диссертационной работы:

1. Исследованы новые проявления волнового хаоса в микроволновых биллиардах: а) получена фазовая корреляционная функция случайных гауссовых волн, описывающих рассеяние на хаотическом биллиарде. Показано, что флуктуации фазы хаотической волновой функции вносят определяющий вклад в ее статистические свойства. Результаты подтверждены численным экспериментом. б) получены распределения компонент тензора напряжений в случайном поле гауссовых волн. Результаты подтверждены численным экспериментом и экспериментом с микроволновыми биллиардами.

2. Исследованы колебания в хаотических ЬСЯ-биллиардах:' а) предложены два типа электрических резонансных цепей эквивалентных квантовым хаотическим биллиардам. б) рассмотрено влияние на статистические свойства собственных функций ЬСИ-биллиардов, таких черт электрических резонансных цепей как дискретность, флуктуаций величин импедансов, омическое сопротивление элементов цепи. Как было показано, дискретность цепи и флуктуации величин импедансов не вносят существенного вклада в статистические свойства собственных функций закрытых хаотических биллиардов, в то время как введение омического сопротивления приводит к необходимости описания хаотических колебаний при помощи комплексных гауссовых полей, что эквивалентно квантовым биллиардам, связанным с континуумом, посредством присоединения к ним полубесконечных волноводов.

3. Рассмотрены статистические свойства собственных функций, описывающих внутренние колебания тонких упругих пластин, выполненных в форме хаотических биллиардов: а) для описания хаоса во внутренних колебаниях тонких упругих пластин мы предложили рассмотреть потенциалы Гельмгольца в виде двух нескоррелированных случайных гуссовых функций, что привело к случайному полю деформации, являющемуся результатом интерференции продольно, и поперечно поляризованных плоских воли со случайными фазами. б) в рамках предложенного подхода мы получили корреляционные функции амплитуды и плотности энергии колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда. с) были чиленно найдены собственные функций упругого биллиарда, выполненного в форме четверти стадиона Бунимовича и рассчитана корреляционная функция плотности энергии колебаний. Совпадение результатов подтвердило справедливость предположения о том, что потенциалы Гельмгольца являются статистически независимыми случайными функциями.

4. Исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций: а) нами рассчитана плотность нодальных точек в случайном поле упругих деформации, а также проведена их классификаций с точки зрения топологических свойств. Была рассчитана плотность всех типов топологических дефектов в зависимости от упругих постоянных. б) аналитически рассчитана корреляционная функция топологического заряда. Численно рассчитана корреляционная функция но-дальной плотности, б) исследовано распределение ближайших расстояний между нодаль-ными точками. На численном эксперименте было показано, что вероятность появления нодалыюй точки в качестве ближайшего соседа данной может быть с хорошей точностью аппроксимирована распределением Пуассона со средним значением заданным корреляционной функцией нодальной плотности. Для учета конкуренции между нодальпыми точками за право быть ближайшим соседом данной была также рассмотрена аппроксимация биномиальным распределением. Численно показано, что такой подход является наиболее точным в диапазоне расстояний близких к среднему значению.

На основе вышесказанного сформулируем краткие результаты и выводы работы:

1. Получена фазовая корреляционная функция и распределение компонент тензора напряжений случайных гауссовых волн, описывающих хаотические колебания в квантовых и микроволновых биллиардах. Результаты подтверждены численно и экспериментально.

2. Предложено два типа электрических резонансных цепей эквивалентных квантовым и микроволновым хаотическим биллиардам и показана возможность возникновения волнового хаоса в электрических резонансных цепях (ЬСИ-биллиардах).

3. Для описания хаоса продольных колебаниях тонких упругих пластин впервые предложено рассмотреть потенциалы Гельмгольца как статистически независимые случайные гауссовы функции.

4. Получены корреляционные функции амплитуды и плотности энергии хаотических колебаний с учетом двойного лучепреломления на границе биллиарда. Справедливость полученного результата подтверждена на численном эксперименте.

5. Исследованы статистические свойства нодальных точек в случайном гауссовом поле упругих деформаций, проведена их классификация с точки зрения топологических свойств, рассчитана плотность всех типов топологических дефектов. Получены корреляционные функции топологического заряда и нодальной плотности.

Соискатель выражает глубокую признательность своему научному руководителю Алмазу Фаттаховичу Садрееву за руководство исследовательской работой, интересные наз^чные дискуссии и поддержку оказанную в годы обучения в аспирантуре. Соискатель также признателен своим соавторам Карлу-Фредрику-Берггрену и Евгению Николаевичу Булгакову. Отдельную благодарность следует выразить также Константину Николаевичу Пичугину, оказавшему неоценимую помощь в подготовке диссертации. Диссертационные исследования выполнены при поддержке РФФИ (грант 08-02-00751-а).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Максимов, Дмитрий Николаевич, 2008 год

1. Х.-Ю. Штокманн. Квантовый хаос: введение- Москва: Физматлит, 2004.- 376с.

2. П. В. Елютин. Проблема квантового хаоса. // УФН.- 1988.- Т.155, №3,-С.397-442.

3. О. Bohigas, М. J. Giannoni, and С. Schmit. Characterization of Chaotic Quantum Spectra and Universality of Level Fluctuation Laws. // Phys. Rev. Lett.- 1984,- T.52, №1.- C.l-4.

4. S. W. McDonald and A. N. Kaufmann. Wave chaos in the stadium: Statistical properties of short-wave solutions of the Helmholtz equation. // Phys. Rev. A.- 1988.- T.37, т.- С.3067-3086.

5. H. U. Baranger and P. A. Mello. Mesoscopic transport through chaotic cavities: A random S-matrix theory approach. // Phys. Rev. Lett.- 1994.-T.73, №1.- С.142-145.

6. Й. Имри. Введение в мезоскопическую физику.- Москва: Физматлит, 2002,- 304с.

7. S. Datta. Electronic transport in mesoscopic systems.- Cambrige: Cambrige University Press, 1995.- 377c.

8. Г. M. Заславский. P. 3. Сагдеев. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. Москва: Наука, 1988.- 368с.

9. H.-J. Stockmann and J. Stein. Quantum chaos in billiards studied by microwave absorption. // Phys. Rev. Lett.- 1990.- T.64, №19.- C.2215-2219.

10. S. Sridhar. Experimental observation of scarred eigenfunctions of chaotic microwave cavities. // Phys. Rev. Lett.- 1991.- T.67, №7.- C.785-788.

11. P. Seba, F. Haake, M. Kus, M. Barth, U. Kuhl, and H.-J. Stockmann. Distribution of the wave function inside chaotic partially open systems. // Phys. Rev. E.- 1997.- T.56, №3.- С.2680-2686.

12. А. I. Saiehev, Н. Ishio, A. F. Sadreev, and K.-F. Berggren. Statistics of interior current distributions in two-dimensional open chaotic billiards. //J. Phys. A: Math. Gen.- 2002,- T.35.- L87-L93.

13. M. Barth and H.-J. Stockmann. Current and vortex statistics in microwave billiards. // Phys. Rev. E.- 2002,- T.65, №6.- 6G208-7.

14. R. L. Weaver. Spectral statistcs in elastodinamics. // J. Acoust. Soc. Am.-1989,- T.85, №3,- 1005-1013.

15. О. Legrand, С. Schimdt, and D. Sornette. Quantum Chaos Methods Applied to High-Frequency Plate Vibrations. // Europhys. Lett.- 1992.- T.18, №2.-C. 101-106.

16. G. Tanner and N. Sondergaard. Wave chaos in acoustics and elasticity. // J. Phys.A: Math. Theor.- 2007.- T.40, №50,- R443-R509.

17. T. A. Brody, J. Flores, J. B. French, P. A. Mello, A. Pandey, and S. S. Wong. Random-matrix physics: spectrum and strength fluctuations. // Rev. Mod. Phys.- 1981. T.53, №3.- C.385-479.

18. M. Shapiro and G. Goelman. Onset of Chaos in an Isolated Energy Eigenstate. // Phys. Rev. Lett.- 1984,- T.53, №18.- C. 1714-1717.

19. Ч. Пул. Техника ЭПР-спект'роскопии.- Москва: Мир, 1970.- 560с.

20. A. F. Sadreev and K.-F. Berggren. Signatures of quantum chaos in complex wavefunction sdescribing open billiards. //J. Phys.A: Math. Gen.- 2005.-T.38.- C. 10787-10804.

21. M. Vranicar, M. Barth, G. Veble, M. Robnik, and H.-J. Stockmann. 'Persistent currents' and eigenfunctions in microwave resonators with broken time-reversal symmetry. // J. Phys. A.- 2002.- T.35, №23,- C.4929-4947.

22. H.-J. Stockmann. Chladni meets Napoleon. // Eur. Phys. J. Special Topics.-2007.- T.145.- C. 15-23.

23. C. Ellegaard, T. Guhr, K. Lindemann, H. Q. Lorensen, J. Nygard, and M. Oxborrow. Spectral Statistics of Acoustic Resonances in Aluminum Blocks. // Phys. Rev. Lett. 1995,- T.75, №8,- C. 1545-1549.

24. C. Ellegaard, T. Guhr, K. Lindemann, J. Nygard, and M. Oxborrow. Symmetry Breaking and Spectral Statistics of Acoustic Resonances in Quartz Blocks. // Phys. Rev. Lett.- 1996.- T.77, №24. C.4918-4921.

25. P. Bertelsen, C. Ellegaard, T. Guhr, and M. Oxborrow. Measurement of Parametric Correlations in Spectra of Resonating Quartz Blocks. // Phys. Rev. Lett.- 1999.- T.83, №11. C.2171-2174.

26. P. Bertelsen, C. Ellegaard, and E. Hugues. Distribution of eigenfrequencies for vibrating plates. // Eur. Phys. J. B.- 2000.- T.15, №1,- C.87-96.

27. A. Andersen, C. Ellegaard, A. D. Jackson, and K. Schaadt. Random matrix theory and acoustic resonances in plates with an approximate symmetry. // Phys. Rev. E.- 2001.- T.63, №6,- 066204-11.

28. K. Schaadt and A. Kudrolli. Experimental investigation of universal parametric correlators using a vibrating plate. // Phys. Rev. E.- 1999.- T.60, №4,- R3479-4.

29. K. Schaadt, T. Guhr, C. Ellegaard, M. Oxborrow. Experiments on elastomechanical wave functions in chaotic plates and their statistical features. // Phys. Rev. E.- 2003,- T.68, №3,- 036205-6.

30. M. C. Gutzwiller. Chaos in Classical and Quantum Mechanics.- N.Y.: Springer-Verlag, 1990.- 432c.

31. L. Couchman, E. Ott, T. M. Antonsen Junior. Quantum chaos in systems with ray splitting. // Phys. Rev. A.- 1992.- T.46, №10.- C. 6193-6217.

32. N. Sondergaard and G. Tanner. Wave chaos in the elastic disk. // Phys. Rev. E.- 2002.- T.66, №6.- 066211-12.

33. G. Kron. Electric Circuit Models of the Schrodinger Equation. // Phys. Rev.-1945.- T.67, №2,- C.39-43.

34. G. K. Carter and G. Kron. A.C. Network Analyzer Study of the Schrodinger Equation. // Phys. Rev.- 1945,- T.67, №2,- C.44-49.

35. J. V. Fyodorov. Spectral properties of random reactance networks and random matrix pencils. // J. Phys. A:Math.- 1999,- T.32, №42,- C.7429-7446.

36. O. Bengtsson, J. Larsson, and K.-F. Berggren. Emulation of quantum mechanical billiards by electrical resonance circuits. // Phys. Rev. E.- 2005.-T.71, №5.- 056206-11.

37. M. V. Berry. Regular and irregular semiclassical wavefunctions. //J. Phys. A: Math. Gen.- 1977.- T.10, №10.- C.2083-2091 .

38. А. И. Шнирельман. Эргодические свойства собственных функций. // УМН.- 1974,- Т.29, №6,- С. 181-182.

39. A. Voros. Semi-classical approcsimations. // Ann. Inst. Henri Poincare, Sect. A.- 1976,- T.24, №1.- C.31-90.

40. K. J. Ebeling. Statistical properties of spatial derivatives of the amplitude and intensity of monochromatic speckle patterns. // Optica Acta.- 1979.-E.26, №12,- C. 1505-1521.

41. P. O'Connor, J. Gehlen, and E. J. Heller. Properties of random superpositions of plane waves. // Phys. Rev. Lett.- 1987.- T.58, №13.- C.1296-1299.

42. M. R. Dennis. Correlations and screening of topological charges in Gaussian random fields. // J. Phys. A: Math. Gen.- 2003,- T.36, №24,- C.6611-6628.

43. J. F. Nye and M. V. Berry. Dislocations in Wave Trains. // Proc. Roy. Soc. Lon. A.- 1974,- T.336, №1605,- C.165-190.

44. M. V. Berry and M. R. Dennis. Phase singularities in isotropic random waves. // Proc. R. Soc. Lond. A.- 2000.- T.456, №2001,- C.2059-2079.

45. N. Shvartsman and I. Freund. Vortices in random wave fields: Nearest neighbor anticorrelations. // Phys. Rev. Lett.- 1994.- T. 72, №7.- C.1008-1011.

46. M. S. Longuet-Higgins. The Statistical Analysis of a Random, Moving Surface. // Phil. Trans. R. Soc. A.- 1957.- T.249, №966.- C.321-387.

47. M. S. Longuet-Higgins. Statistical properties of an isotropic random surface. // Phil. Trans. R. Soc. A.- 1957.- T.250, №975,- C.157-174.

48. F. Liu and G. F. Mazenko. Defect-defect correlation in the dynamics of firstorder phase transitions // Phys. Rev. B.- 1992,- T.46, №10.- C.5963-5971.

49. I. Freund and M. Wilkinson. Critical-point screening in random wave fields. // J. Opt. Soc. Am. A.- 1998.- T.15, Ml.- C.2892-2902.

50. M. Barth and H.J. Stockmann. Current and vortex statistics in microwave billiards. // Phys. Rev. E.- 2002,- T.65, №6.- 066208-7.

51. A. I. Saichev, K.-F. Berggren, and A. F. Sadreev. Distribution of nearest distances between nodal points for the Berry function in two dimensions. // Phys. Rev. E.- 2001.- T.64, №3,- 036222-11.

52. K.-F. Berggren, A. F. Sadreev, and A. A. Starikov. Crossover from regular to irregular behavior in current flow through open billiards. // Phys. Rev. E.- 2002,- T.66, №1,- 016218-10.

53. M. D. Waller. Vibrations of Free Plates: Line Symmetry; Corresponding Modes. // Proc. Roy. Soc. London A.- 1952,- T.211, №265.- C.265-276.

54. B. Thomas and A. M. Squires. Support for Faraday's View of Circulation in a Fine-Powder Chladni Heap. // Phys. Rev. Lett.- 1998.- T.81, №3,- C.574-577.

55. I. S. Aronson and L. S. Tsimring. Patterns and collective behavior in granular media: Theoretical concepts. // Rev. Mod. Phys.- 2006.- T.78.- C.641-692.

56. M. Dorrestijn, A. Bietsch, T. Ackaln, A. Raman, M. Hegner, E. Meyer, and Ch. Gerberl. Chladni Figures Revisited Based on Nanomechanics. // Phys. Rev. Lett.- 2007.- T.98, №26.- 026102-4.

57. R. Pnini and B. Shapiro. Intensity fluctuations in closed and open systems. // Phys. Rev. E.- 1996.- T.54, №2.- C.1032-1035.

58. A. I. Saichev, H. Ishio, A. F. Sadreev, and K.-F. Berggren. Statistics of interior current distributions in two-dimensional open chaotic billiards. // J. Phys. A: Math, and General.- 2002,- T.35, №5,- C.87-93.

59. D. Middleton, Introduction to Statistical Communication Theory.- New York: McGraw-Hill, 1960.

60. I. Freund and D. A. Kessler. Phase autocorrelation of random wave fields. // Optics Comm.- 1996,- T.124, №3,- C.321-332.

61. I. Freund. Phase Correlations at Neighboring Intensity Critical Points in Gaussian Random Wave Fields. // Appl. Optics.- 1998.- T.37, №32.- C.7560-7567.

62. B. A. van Tiggelen, D. Anache, and A. Ghysels. Role of mean free path in spatial phase correlation and nodal screening.// Europhys. Lett.- 2006.- T.74, №6,- C.999-1005.

63. M. Srednicki. Gaussian random eigenfunctions and spatial correlations in quantum dots. // Phys. Rev. E.- 1996.- T.54, №1.- C.954-955.

64. K. J. Ebeling. Statistical properties of random wave fields // Physical Acoustics: Principles and Methods.- 1984,- Т.17,- C.233-310.

65. P. W. Brouwer. Wave function statistics in open chaotic billiards. // Phys. Rev. E.- 2003,- T.68, №4,- 046205-6.

66. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля Москва: Наука, 1941.- с.284.

67. В. Паули. Труды по квантовой теории. Квантвая теория. Общие принципы волновой механики. Статьи 1920-1928. Москва: Наука, 1975.-688с.

68. О. Н. Nielsen, R. М. Martin. Quantum-mechanical theory of stress and force. // Phys. Rev. В.- 1985,- T.32, №6.- C.3780-3791.

69. M. J. Godfrey. Stress field in quantum systems. // Phys. Rev. В.- 1988.-T.37, №17.- С.10176-10183.

70. E. Madelung. Quantentheorie in hydrodynamischer Form. // Z. Phys.- 1927.-T.40, №3,- C.322-326.

71. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Гидродинамика.- Москва: Наука, 1986.-с.736.

72. Т. Ando Quantum point contacts in magnetic field // Phys. Rev. В.- 1991.-T.44, №15.- С.8017-8027.

73. A. F. Sadreev, K.-F. Berggren. Current statistics for wave transmission through an open Sinai billiard: Effects of net currents // Phys. Rev. E.-2004,- T.70, №2.- 026201-7. K.-F.

74. Berggren, D. N. Maksimov, A. F. Sadreev, R. Hohmann, U. Kuhl, and H.-J. Stockmann. Quantum stress in chaotic billiards. // Phys. Rev. E.- 2008.-T.77, т.- 066209-11.

75. S. Iida, H. A. Weidenmiiller, and J. A. Zuk. Wave propagation through disordered media and universal conductance fluctuation. // Phys. Rev. Lett.1990.- T.64, №5,- C.583-586.

76. V. N. Prigodin, К. B. Efetov, and S. Iida. Statistics of conductance fluctuations in quantum dots. // Phys. Rev. Lett.- 1993,- T.71, №8.- C.1230-1233.

77. K. Zyczkowski and G. Lenz. Eigenvector statistics for the transitions from the orthogonal to the unitary ensemble. // Z. Phys. B: Condens. Matter.1991.- T.82, №2.- C.299-303.

78. G. Lenz and K. Zyczkowski. Time-reversal symmetry breaking and the statistical properties of quantum systems. //J. Phys. A.- 1992.- T.25, №21,-C.5539-5551.

79. E. Kanzieper and V. Freilikher. Eigenfunctions of electrons in weakly disordered quantum dots: Crossover between orthogonal and unitary symmetries. // Phys. Rev. В.- 1996,- T.54, №12.- C.8737-8742.

80. B. D. Popovic, Introductory engineering electromagnetics.- Addison-Wesley: Reading, 1971.- 634c.

81. M. Buttiker. Role of quantum coherence in series resistors. // Phys. Rev. B.-1986.- T.33, №5.- C.3020-3026.

82. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория упругости Москва: Наука, 1987.-с.248.

83. J. D. Achenbach. Wave Propagation in Elastic Solids Amsterdam: North-Holland Publishing Comp, 1973.- c.425.

84. R. D. Mindlin. Structural Mechanics- New-York: Pergamon Press, 1960.-654c.

85. J. Miklowitz. Elastic Waves and Waveguides.- Amsterdam: North-Holland Publishing Сотр., 1978,- 618c.

86. V. N. Prigodin, N. Taniguchi, A. Kudrolli, V. Kidambi, and S. Sridhar, Spatial Correlation in Quantum Chaotic Systems with Time-Reversal Symmetry: Theory and Experiment // Phys. Rev. Lett.- 1995,- T.75, №12.-C.2392-2395.

87. V. N. Prigodin. Spatial Structure of Chaotic Wave Functions. // Phys. Rev. Lett.- 1995,- T.74, №9,- C.1566-1569.

88. A. Akolzin and R. L. Weaver. Generalized Berry conjecture and mode correlations in chaotic plates. // Phys. Rev. E.- 2004,- T.70, №4,- 0462124.

89. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия-Москва: Наука, 1979,- 760с.

90. J. R. Eggert. Bivalent nearest-available-neighbor distribution in n dimensions: A Monte Carlo calculation. // Phys. Rev. В.- 1984,- T.29, №12.-C.6664-6668.