Спектральные корреляции, статистика резонансов и вигнеровских времен задержки в задачах хаотического рассеяния и одномерной локализации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Титов, Михаил Леонидович

• Титов, Михаил Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Титов, Михаил Леонидович

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Случайные матрицы в теории квантового хаотического рассеяния

1.2 Краткая характеристика задач, рассмотренных в диссертации.

2 СПЕКТРАЛЬНАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ НЕЭРМИТОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

АНСАМБЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ

2.1 Метод суперсимметрии для деформации ансамбля GOE. Плотность собственных значений для GOE -f гГ и

GOE + А.

2.2 Результаты для спектральной статистики слабых деформаций ансамбля GOE: GOE+гГ, GOE+A.

2.3 Спектральные корреляционные функции любых порядков для деформации класса GUE: GUE+гГ.

3 ЗАДАЧИ АНДЕРСОНОВСКОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ

3.1 Рассеяние на одномерной неупорядоченной системе: времена задержки и резонансы.

3.2 Параметрическая статистика уровней в пределе сильной локализации: аналитический подход.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные корреляции, статистика резонансов и вигнеровских времен задержки в задачах хаотического рассеяния и одномерной локализации»

1.1 Случайные матрицы в теории квантового хаотического рассеяния

Значительная часть этой диссертации посвящена теории квантового хаотического рассеяния. Попробуем кратко изложить здесь основы этой теории. Представим себе, что мы имеем дело с упругим рассеянием квантовой частицы (волны) на некотором сложном обьекте. Что значит сложном? Это значит, что наша частица (волна) в процессе рассеяния проходит через огромное число метастабильных состояний, полностью теряя при этом информацию о своем первоначальном состоянии. Единственной сохраняющейся величиной в процессе рассеяния является энергия или, другими словами, энергия является единственным квантовым числом, которым мы можем "пометить" частицу.

Теперь представим себе, что мы рассеиваем на одном и том же сложном обьекте две частицы с очень близкими, но все-таки различными энергиями. В силу сложности рассеивателя, последовательность и число промежуточных метастабильных состояний, через которые прошли частицы будут сильно отличаться для каждой из них. Например, если мы будем изучать такую величину как время задержки, т.е. время в течении которого частица с энергией Е находилась внутри рассеивателя, мы обнаружим крайне нерегулярную зависимость этого времени от энергии. То же самое можно сказать и о ширине резонансов, отвечающих рассеянию с разной энергией. Более того, эти и другие характеристики будут демонстрировать подобную нерегулярную зависимость и от любых малых изменений параметров рассеивателя, например, небольших изменений в силе и форме рассеивающего потенциала, силы внешнего магнитного поля и т.д.

Теоретическое описание такого, хаотического, рассеяния производится статистическими методами, т.е. основным обьектом теории являются функции распределения и корреляционные функции. Важное свойство таких статистических характеристик состоит в их универсальности, т.е. независимости от деталей системы. Единственным условием для наблюдения такой универсальности является хаотичность рассеяния, другими словами, полная потеря информации о начальном состоянии в процессе рассеяния. При этом условии все статистическии характеристики рассеяния универсальны на микроскопическом (локальном) масштабе энергий: 8Е ~ Д(-Е), где А(Е) -среднее расстояние между уровнями (метастабильными состояниями) в рассеивателе вблизи энергии Е.

Несмотря на такое абстрактное определение, квантовое хаотическое рассеяние действительно реализуется экспериментально [1]-[8] в различных областях физики (достаточно отметить рассеяние на ядрах и атомах, фотодиссоциацию молекул, рассеяние на мезоскопических образцах и микроволновое рассеяние в полостях нерегулярной формы). Недавно были предложены новые реалистические, экспериментально проверяемые модели хаотического рассеяния [9]. Возможность вычисления универсальных характеристик такого рассеяния из теории случайных матриц, основы которой были заложены Вигнером и Дайсоном [10, 11], явилась ключевой для создания адекватного теоретического аппарата. В целом этой теме было посвящено огромное количество работ (см. обзоры (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] и ссылки в них).

Обсудим несколько подробнее две характерных модели хаотического рассеива-теля, символически изображенные на рисунке 1. Это модель "хаотического бильярда" (баллистической микроструктуры сложной формы) рис.1 (а) и модель неупорядоченной системы рис.1(Ь). С этими моделями связаны два разных подхода к рассмотрению квантовых хаотических систем вообще и рассеяния на них в частности.

В модели (а), "хаотичность" возникает как следствие сложной формы стенок бильярда. Теоретический анализ открытых и замкнутых квантовых систем такого типа опирается на квазиклассический подход, который использует истинный микроскопический гамильтониан и позволяет учесть некоторые специфические (неуниверсальные черты) каждой системы. Этот метод, известный в литературе как "теория периодических орбит", позволяет выразить статистические спектральные свойства обычных хаотических систем в терминах бесконечных сумм по классическим периодическим траекториям [19]. В этом случае статистические характеристики обычно усредняются по некоторому интервалу энергий или слабым вариациям внешних параметров. Этот подход оказался успешным в описании спектральнах корреляций на больших энергетических масштабах, тогда как его применимость для описания универсального долговременного поведения оказалось весьма ограниченной.

Модель (Ь) является стохастической. В нее изначально заложено представление о примесях (кружочках на 1 (Ь)), которые случайно располагаются по образцу в каждой реализации. В отличие от модели (а), усреднение по некоторому интервалу энергий заменяется здесь усреднением по реализациям системы (по беспорядку). Заметим, что модель (Ь) явно богаче, хотя бы потому, что она содержит дополнительный параметр - концетрацию примесей, или локализационную длину Тем не менее, в диффузионном режиме, когда Ь <С £ (где Ь характерный размер системы), универУ а)

Ь)

Рисунок 1: Два характерных типа хаотических систем как примеры хаотического рассеивателя. (а) Хаотический бильярд или полость нерегулярной формы. Квантовый хаос возникает как следствие классического. (Ь) Стохастическая система или система с примесями (кружочки). Рассматривается ансамбль, в котором примеси располагаются случайно и независимо в каждой реализации. Возникает понятие длины локализации. сальные характеристики рассеяния в модели (Ь) совпадают с таковыми в модели (а). (Тот факт, что усреднение по интервалу энергий в (а) и по реализациям в (Ь) дает один и тот же результат является, помимо всего прочего, следствием эргодичности классических аналогов этих систем). Адекватное теоретическое описание взаимодействующих диффузионных мод в замкнутом аналоге модели (Ь) было дано Ефетовым в классической работе [18] с помощью отображения этой задачи на суперсимметричную а- модель. Им было установлено, что спектральные корреляционные функции, вычисленные в приближении нулевых мод в замкнутом варианте модели (Ь), совпадают с корреляционными функциями, полученными Вигнером при рассмотрении ансамблей случайных матриц. Подобный факт для замкнутого аналога модели (а) был лишь недавно установлен теоретически [20, 21].

Большинство замкнутых квантовых хаотических систем обладают универсальными спектральными свойствами на энергетических интервалах 6Е, таких, что: где Ес = Я/те - так называемая энергия Таулесса. В замкнутом аналоге модели (а) (волновод отсоединен от полости) те - характерное время релаксации, за которое классическая траектория заполнит доступный фазовый обьем. Действительно, на временах меньших, чем ге (или энергиях больших, чем Ес) присутствует неуниверсальный вклад от периодических траекторий. Аналогично, в модели (Ь), те = Ь2/И

А«6Е « Ес,

1)

D означает коэффициент диффузии) - характерное время диффузии сквозь образец. В обоих случаях время те является классической величиной. Хаотическая классическая динамика проявляется при квантовании на корреляционных свойствах уровней энергии, лежащих в квазиклассической области. Такие корреляционные свойства, например отталкивание уровней, являются универсальными и не зависят от деталей системы.

Для изучения универсальных спектральных характеристик замкнутых квантовых хаотических систем, можно использовать ансамбли больших гауссовых случайных матриц размером N х N, характеризуемых следующей плотностью вероятности:

V{H) = с е-^ Тгй\ (2) с - нормировочная постоянная). В формуле (2), матрицы H - вещественные симметричные (/3 = 1, гауссов ортогональный ансамбль: GOE) или эрмитовы (гв = 2, гауссов унитарный ансамбль: GUE). Ансамбли с (3 = 1 (/3 = 2) служат для описания спектральных характеристик замкнутых хаотических систем с ненарушенной (нарушенной, в том числе магнитным полем) симметрией по отношению к обращению времени. Симплектический ансамбль GSE, соответствующий /3 = 4, применяется для описания систем с ненарушенной Т - инвариантностью и достаточно сильным спин-орбитальным взаимодействием. Ансамбль состоит из симплектических матриц, элементами которых являются вещественные кватернионы; он не будет использоваться в диссертации.

Свойства этих ансамблей давно изучены. Плотность вероятности (2) определена таким образом, что в пределе N —У оо собственные значения матриц H сосредоточены на отрезке (-2, 2). Средняя плотность собственных значений usc(E) в этом пределе представляет собой полукруг:

Vsc(E) = Тг 8{Е - Н)) = ¿v^TP, (3) где угловые скобки означают усреднение по ансамблю.

Таким образом, среднее расстояние между уровнями А(Е) — (Nusc)~1 обратно пропорционально размеру матрицы. В диапазоне энергий А(Е) SE <С 1 спектральные свойства ансамблей случайных матриц полностью эквивалентны спектральным свойствам замкнутых аналогов моделей (а), (Ь) в универсальном режиме (1).

В действительности, выбор ансамблей с гауссовым распределением элементов (2) является в большой степени условным. Дело в том, что спектральные корреляции в ансамбле больших матриц H размера N х N в пределе N —»• оо практически не зависят от распределения матричных элементов Hij. Играет роль только общая симметрия матрицы Н. (Нечто подобное происходит и при суммировании большого числа случайных величин. Из центральной предельной теоремы нам известно, что, при достаточно общих условиях, такая сумма имеет гауссовское распределение).

В вычислениях следующего раздела мы будем использовать более общие ансамбли разреженных случайных матриц, чьи независимые элементы подчиняются функции распределения: п*) = а - £) ад + (4) где h[x)~ произвольная симметричная функция распределения, h(—x) = h(x), не имеющая дельта- функционной сингулярности в х = 0 и удовлетворяющая условию / x2h(x) dx < оо. Дополнительным ограничением на параметр р является р > pi, где pi~ некоторое пороговое значение. (Строго говоря, корреляционные функции собственных значений разреженных случайных матриц идентичны корреляционным функциям для соответствующих гауссовых ансамблей при условии, что среднее число отличных от нуля матричных элементов в каждой строке р не превышает критического значения р = р\. Пороговая величина р\- неуниверсальна. Однако, результаты численного моделирования [22] показывают, что 1 < pi < 2. Таким образом, наличие уже двух ненулевых элементов в каждой строке матрицы приводит к тому, что соответствующая спектральная статистика принадлежит тому же классу универсальности, что и у гауссовых ансамблей).

Тому же классу универсальности принадлежат матрицы, чьи элементы распределены с плотностью

V{H) = сехр [-ß Tr V(H)], (5) где функция V инвариантна при ортогональных (/3=1) или унитарных (ß = 2) вращениях матрицы Н UHU'1 (однако, функции V(H) растущие медленнее, чем степень, например, V(H) = In Н2, составляют исключение и соответствующие ансамбли принадлежат другому классу универсальности [23]). Рассмотрим более подробно спектральные корреляции в таких ансамблях. Пусть {Хп} - представляет собой. на,бор собственных значений матрицы Н, а. U является унитарной матрицей собственных векторов, такой, что Н = Udiag(Xl, . Xn)U+ . Поскольку Tr V(II) = J2n плотность вероятности (5) не зависит от собственных векторов! Это означает, в частности, что матрицы U - равномерно распределены по унитарной (ß = 2) или ортогональной (ß = 1) группе. Чтобы найти распределение V({Xn}), необходимо вычислить якобиан J, который связывает бесконечно малый элемент обьема dfi(H) в пространстве эрмитовых матриц с соответствующими элементами обьема ¿ц{11), (1Хп в пространстве собственных векторов и собственных значений, n ф(Я) = 3 ¿цф)П<1Х{. (6) 1

Этот якобиан зависит только от собственных значений [24], 3

Следовательно, плотность вероятности (5) может быть записана эквивалентным образом как

Тк{ХиХ2,. .Хм) = сП - X/ П ехр [-/ЗУ(Хк)]. (8)

1<] к—\

Последнее выражение имеет форму распределения Гиббса, известного из статистической механики,

9) где и(Х,Х') = -\п\Х-Х'\. (10)

Индекс симметрии /? играет роль обратной температуры. Можно представить собственные значения как классические частицы, расположенные на прямой линии в точках Хг, Х2,. Хм- Такие частицы отталкиваются друг от друга благодаря логарифмическому парному взаимодействию (10). Система таких частиц представляет собой своего рода "кулоновский газ" потому, что логарифмическое отталкивание соответствует кулоновскому взаимодействию между двумя параллельными линиями зарядов. Вся система целиком удерживается в некотором конечном интервале благодаря потенциалу V. Для гауссовских ансамблей V соответствует параболической потенциальной яме. Понятно, что форма этой ямы сама по себе не может повлиять на корреляции между положениями частиц, по крайней мере, если стенки ямы достаточно круты (V растет степенным образом). Такие корреляции определяются исключительно парным взаимодействием и, которое имеет геометрическую природу. В такой, геометрической, природе спектральных корреляций кроется ключ к пониманию универсальности спектральных характеристик для разных ансамблей случайных матриц.

Рассмотрим теперь несколько подробнее унитарно инвариантный ансамбль (/3 = 2). В этом случае выражение на совместную плотность вероятности (8) имеет вид:

Гм(ХиХ2,. .Хм) = сП \хк - Х,|2 П И*;)|2 (11) к>1 3=1

Тм(ХиХ2,. Хм) = с ехр

В случае гауссова унитарного ансамбля GUE: V(X) = уХ2, /? = 2, и ш(Л') = exp ^Х2^). Предположим теперь, что существует множество полиномов {р»-(Х)}, взаимноортогональных с весом \гп(Х)\2, w(X)\2Pn(X) Рт(Х) dX = 5пт. (12)

В гауссовом случае такие полиномы существуют: это полиномы Эрмита. Пусть ап - коэффициент при старшей степени в полиноме рп(Х). Другими словами, пусть Нтх-уоо Рп(Х) = апХп, тогда запишем определитель Вандермонда от величин Х^, Х21. как

Д({Х,-}) = det 1 1 1

XN n-1 vn-1 Y Л. :

TV—1 fnc^det n=0 / п (Xk-Xt) к>1

2 • • • -лдг

Po(Xi) Ро{Х2) Pl(X0 Pl(x2)

PN-l(Xi) PN-i(X2)

Po(XN) Pi(XN)

Pn-i(Xn)

13)

Используя представление (13) для определителя Вандермонда, перепишем выражение для плотности вероятности (11) в виде определителя произведения двух матриц:

Ры{Х 1, . Хм) = ы^ЫХг) Ш(Х1)р1( Хг) . т(Х1)рм1{Х1) г»{Х2)р0{Х2) т{Х2)Р1{Х2) . т(Х2)рм1(Х2) тг=0 / det X w(XN)p0(XN) w(XN)Pl(XN) . w(XN)pN i(Xjv) w(X2)p0(X2) . w(XN)po(XN) w

Д1«"2) det

71=0

Последнее равенство можно переписать в виде n-1 с IIеп=0 w(XN)pl(XN) w(XN)pN-i(XN) n i,j= 1

VN(XltX2,. XN) = с ( П det KN(XUX2,. XN), n=0 /

14) где матрица К^,

1,Х2, . . . Хм) Км(ХъХг) Км(ХиХ2) Км(Х2,Хг) КМ(Х2,Х2)

Км (Хм, Х\) Км (Хм, Х2) полностью определяется функцией

КМ(ХьЗД Х Км(Х2, Хм)

Км (Хм, Хм)

16)

N-1

Км(ХиХ2) = ю(Х1)Ш(Х2) £

17) к=0 которую мы будем называть ядром. Совместная плотность распределения полного числа N собственных значений имеет сложный вид и не представляет самостоятельного физического интереса. С физической точки зрения интересно изучить корреляционную функцию п собственных значений (п <С /V). получающуюся из Т\г интегрированием по N — п аргументам:

N1

IV1 г

1,Х2,. Хп) — ^ ^ J ¿Хп+х. ¿Хм Тм{Х}

18)

Аг -п)\

Оказывается, что такое интегрирование несложно произвести. Действительно, из условия ортогональности (12) следует, что

I Км(Х,Х) ¿X = /V, I Км(Хг,Х)Км(Х,Х2) (¿X = К„(ХиХ2). Эти равенства позволяют доказать, что

I! . ! ¿Хп+1 ¿Хп+2 . йХм Км = п)! det Кг

19)

20)

21) где матрица Кп является минором ранга п от матрицы Кдг.

Таким образом, п - точечная корреляционная функция полностью определяется ядром Км(Х, X') и имеет детерминантный вид. Напомним, что физический интерес представляют корреляции на локальном масштабе, т.е. когда X — X' ~-Л /V-1.

В гауссовом случае приведенная выше схема вычисления ядра Км(Х,Х') может быть реализована явно. Как уже отмечалось, в качестве рп(Х) нужно взять полиномы Эрмита, ортогональные с весовой функцией ехр(—^-Х2). Используя явные выражения для коэффициентов с и ап в формуле (15) и свойство (21), получим

Пп(ХиХ2,.Хп) = ¿еЬ[Км(Х3,Хк))1к^ ^ где ядро Â'/v имеет вид

К (У Ш у, 2ÏV'X + 2ÎV} - N-(23)

Выражения (22), (23) обеспечивают полное решение задачи о спектральных корреляциях для класса универсальности GUE на локальных масштабах энергий. В частности, рассмотрим плотность собственных значений р{Х) = Y2jLi ЦХ ~ Xi), нормированную на N. После усреднения по ансамблю, она определяется просто функцией Ri(X): (р(Х)) = Kpj(X, X) = Nvsc(X). В результате мы воспроизвели полукруговой закон (3). Заметим, что этот закон не несет никакой физической информации, так как он бессодержателен на локальных масштабах энергии 5Е ^ Д. Теперь рассмотрим корреляционную функцию плотности р(Х1)р(Х2))с = МХхМХ! - Х2) - У2(ХиХ2), (24) где индекс с - означает связную часть коррелятора. Функция У2 называется кластерной функцией. Исходя из формулы (22), получим, что ЗМ-^ь-^г) = \Kn(Xi, Х2)\2. Удобно ввести перемасштабированую кластерную функцию с помощью соотношения

Тогда, используя явный вид для ядра Кn , находим

Y(X Ш у I ^ ^ - (96)

Y2{X-2N'X+2N}-{ ™вс(Х)ш ) ■ (26)

Мы убеждаемся, таким образом, что спектральные корреляции нетривиальны на локальных энергетических масштабах и, следовательно, несут физическую информацию. Действительно, спектральная корреляционная функция в форме (26) была получена Ефетовым из первых принципов для мезоскопической металлической гранулы с примесями, помещенной в достаточно слабое внешнее магнитное поле. (X = О в ансамбле случайных матриц соответствует энергии Е = ер для металлической гранулы) .

Полная классификация ансамблей эрмитовых случайных матриц была предложена недавно Цирнбауером [25]. В общем случае, три известных класса универсальности GOE, GUE, GSE, рассмотренных Вигнером [10], должны быть дополнены еще семью классами. Три из них (chGOE, chGUE, chGSE) называются киральными и описывают дираковскую частицу в случайном калибровочном поле. Оставшиеся четыре класса (пока никак не названные) могут быть реализованы в мезоскопиче-ских (миниатюрных) системах с отражением типа нормальный металл - сверхпроводник (NS). Каждому классу ставится в соответствие семейство симметрических пространств (или римановых симметрических многообразий). Классификация таких пространств была предложена Картаном. Свойства семи дополнительных классов универсальности еще практически не изучены, хотя они связаны, по-видимому, с большим количеством интересных физических явлений.

Мы заканчиваем на этом обсуждение спектральных характеристик замкнутых хаотических систем, которые моделируются тремя основными классами (GOE, GUE и GSE) эрмитовых случайных матриц. Ниже мы переходим к рассмотрению .открытых систем (поскольку интересуемся рассеянием), где важную роль будут играть малые неэрмитовые деформации ансамблей эрмитовых случайных матриц.

Важное обобщение метода ортогональных полиномов, изложенного выше, для ансамбля неэрмитовых матриц J = Hi+ivH2, где и Й2 - статистически независимые эрмитовы случайные матрицы (принадлежащие GUE), было предложено недавно Федоровым, Хоруженко и Зоммерсом [26]. В этом случае собственные значения распределены в комплексной плоскости, однако, все корреляционные функции по-прежнему определяются формулой типа (22). При скелировании параметра v таким образом, что v ~ 1/VN, в этой задаче возникает черезвычайно важный предел слабой неэрми-товости. В этом случае мнимые части собственных значений Zn распределены на локальном энергетическом масштабе ImZn ~ А ~ N'1 с нетривиальными функциями распределения и корреляционными свойствами. Как и в случае ансамблей эрмитовых матриц, нетривиальное поведение на масштабе А имеет физическое содержание. Мы еще вернемся к результатам работы [26] в разделе 2.3. Здесь же мы хотим подчеркнуть только следующее черезвычайно важное обстоятельство. Несмотря на то, что метод ортогональных полиномов применим отнюдь не для всех ансамблей эрмитовых и неэрмитовых случайных матриц, детерминантный вид спектральных корреляций является их общей характерной особенностью.

Теперь мы обратимся к одной из стандартных моделей квантового хаотического рассеяния, которая детально обсуждалась в работах Фербарсхота, Вайденмюллера и Цирнбауера [16], Левенкопфа и Вайденмюллера [15], Федорова и Зоммерса [12]. Общяя идеология восходит к работе Фешбаха [27] и основана на теории квантового рассеяния и ядерных реакций. Говоря о рассеянии, естественно ввести понятие о компактной области взаимодействия, в которой это рассеяние происходит. Вне этой области взаимодействие отсутствует, а налетающие и рассеяные частицы движутся свободно. Когда частица и рассеиватель находятся далеко друг от друга, они, каждый в отдельности, характеризуются (помимо полной энергии Е, которая сохраняется в процессе рассеяния) набором квантовых чисел. Для частицы эти квантовые числа нумеруют состояния (каналы реакции), в которых она находится задолго до и много после акта рассеяния. Например, в ядерной и молекулярной физике различным каналам соответствуют различные относительные угловые моменты и спины сталкивающихся частиц. Следуя работе (12], мы рассмотрим более детально частный пример движения частицы вдоль полубесконечной "трубки" (пучка) ширины d (смотри 1(а)), присоедененной к полости (хаотическому бильярду), где происходит рассеяние. Свободное движение в трубке (пучке) квантуется в поперечном направлении, и различные поперечные моды соответствуют различнам каналам рассеяния. Пусть, для данной энергии Е, только M каналов "открыто" (т.е. только M несвязанных состояний имеют энергии меньше, чем Е). С областью свободного (несвязанного) движения мы ассоциируем непрерывное множество состояний \а, Е), где индекс а = 1,2,. M -нумерует каналы и выполнено условие нормировки {а, Е\\ Ъ,Еъ) = 8ab8(Ei — E2). Аналогичный, но дискретный набор ортонормированных состояний |п), п = 1,2,. N, соответствует компактной области взаимодействия.

В отсутствие взаимодействия между состояниями в канале |а, Е) и связанными состояниями 177.), Гамильтониан системы имеет вид: где интегрирование ведется по области энергий еа, в которой канал а открыт. Модель (27) уже упрощена, так как мы пренебрегли в ней прямыми переходами между каналами (второе слагаемое диаганально по а). Первое слагаемое описывает гамильтониан "замкнутой" хаотической системы в пространстве N связанных состояний. В духе случайно-матричного подхода, мы можем моделировать эту часть гамильтониана случайными матрицами размера N X N. Число промежуточных состояний N предполагается большим N 1. Для того, чтобы учесть взаимодействие между связанными и несвязанными состояниями, необходимо дополнить гамильтониан (27) членом взаимодействия

В каждом конкретном случае нужно требовать самосопряженности полного гамильтониана К = "Но + V. Как мы увидим ниже, это требование может оказаться крайне нетривиальным.

27)

I, а

28)

Как только такое самосопряженное сшивание гамильтониана области рассеяния и гамильтониана свободного движения совершено, можно использовать стандартные методы теории рассеяния, чтобы получить уравнение Липмана-Швингера на амплитуды налетающих и рассеянных волн и найти выражение для 51 матрицы рассеяния.

Формальный вывод процедуры сшивки использует достаточно абстрактный "про-экционный формализм" (смотри например [16]). Вместо него, следуя работам [28, 29, 12], мы используем упрощенный путь, позволяющий уловить суть происходящего и получить правильное окончательное выражение для Я матрицы. Мы вновь обратимся к частному примеру рассеяния, изображенному схематически на рисунке 1(а): двумерная область нерегулярной формы с непрозрачными стенками (хаотический бильярд), присоедененная к полубесконечному волноводу {пучку, трубке) ширины Н. Движение квантовой частицы по волноводу описывается уравнением Шредингера: решение которого в пространстве каналов есть М-компонентный вектор Ф = (Фх(а;, г/),. Фм{х,у))Т с компонентами Фа{х,у) = фа(х)фа(у), где

-J (у + d/2)

30)

В последней формуле х > 0, \у\ < d/2, а = 1,2, .М, где М - число открытых каналов на энергии Е = %2к2/2т равное максимальному целому числу меньше kdj7Г, ка = [к2 — (атг fd)2}1'2. Легко проверить, что бегущие волны правильно нормированы на дельта функции от энергий.

В ситуации, когда волновод отсоединен от полости, следует наложить дополнительное граничное условие Неймана: дфа/дх |т0 = 0, которое соответствует отражению частицы в каждом канале, т.е. Аа = Ва. ¿'-матрица, связывающая амплитуды налетающей А = (Ai, А2,. Ам)Т и рассеянной В = (Л1? А2,. Ам)Т волны: В = SA представляет собой в этом случае единичную М х М матрицу S = I. Роль собственного вектора |а, Е) из общей формулировки (27,28) играет вектор Ф, соответствующий особому выбору амплитуд налетающей волны: Аа = 1, Аьфа — 0. Гамильтониан, описывающий движение частицы внутри полости, моделируется случайной эрмитовой матрицей Щп размера N х N. Соответственно, внутренняя волновая функция (отвечающая связанным состояниям) задается iV-компонентным вектором и = («1,м2,. .им)т (аналогом |п) в (27,28)). Полная волновая функция системы как целого (волновода и полости) определяется вектором

•=(;) (ад из гильбертова пространства Ь2(Я+, См) ф См со скалярным произведением

ФЬФ2) = и+и2 + (ФьФ2), (32) где

2 лоо у / 6.x Ф+Ф2. (33)

-¿¡1 J о

Определим полный гамильтониан системы, действующий в пространстве векторов (31), как * гоо \ | н'"и+и',у1 «ьт»,»)*^,»)^ (34)

V У(1,у)ц+ИсЛФ / где Ись - диагональный опреатор в пространстве каналов а УУ(х,у) и У(х,у) - #хМиМх]У прямоугольные матрицы, описывающие взаимодействие между двумя частями гильбертова пространства. Для простоты дальнейших вычислений предположим, что взаимодействие УУ(х,у) может быть сделано локальным в направлении вдоль волновода, т.е. УУ(х,у) = 5(х)УУ(у); тогда ¡%<1у1™<1х Щх,у)Щх,у) = 1%с1уЩу)*\х=0 = тф(х = 0), где юга = ¡-фс1У^Лу)Фа(у)^г = 1,2,. Я, а = 1,2,. М и ф(х) = (ф^х),. фм{х))т. Кроме того, мы должны положить У(х, у) = 0, чтобы не противоречить условию локальности и не выходить за пределы пространства векторов Ф.

Оператор И, определенный с помощью (34), не является, в общем случае, самосопряженным. Действительно, сравним две величины:

НФи Ф2) = и+Я^и2 + {Чы&и Ф2) + ф+(х = 0)и>+и2, (36) и

ФиНФг) = и+Яг„и2 + (Ф!,КлФ2) + и+тф2(х = 0). (37)

Используя определение оператора Ъ1сь и определение скалярного произведения (ФЬФ2) (33), мы преобразуем разность величин (36) и (37) к форме

38) х=0 ф+(х = 0)ад+и2 - и+юф2(х = 0). (39)

Чтобы получить последнее выражение, мы воспользовались интегрированием по частям и тем фактом, что llfn = Н{п. Для того, чтобы сделать гамильтониан И. самосопряженным, необходимо наложить такое граничное условие в точке х = 0, чтобы правая часть равенства (38) обратилась в нуль. Одним из вариантов такого граничного условия (не самым общим) является п2 ( д

W+и = I -^—ф

2т V ох I

40) х=0

С другой стороны, решение уравнения Шредингера для всей системы ИФ = ЕФ, Е = И2 к2/2т ведет к соотношению и = (Е- ЩпУ^ф^х = 0)

41) которое, будучи дополнено условием (40), приводит к следующему уравнению на вектор ф(х):

П2 ( Я \

42)

1-ф х=0 где вектор ф(х) связан с амплитудами налетающей и рассеянной волн как ф(х)

I т 2лгЬ?

1 [Aie~iklX + BieiklX] Х

Vh

AMe-ikMX + Вмегкмх]

43)

V тДм

Уравнение (42) вместе с выражением (43) позволяет найти матрицу рассеяния 1

S = {I- iK] х [/ + iK]

-1

К = 7TW+

W,

44)

Е — Hin где W = \j2m/irh2w diag(A;1. kjJ^2) и I - единичная матрица размера М х М.

Уравнение (44) удобно переписать в эквивалентной форме, которая потребуется в дальнейшем. Напишем [I — iK] х [I + iK]'1 = [(/ + iK) — 2iK] х [I + iK]"1 = I — 2i{I 4- iK)-1 К и используем тождество

I к+1

I -f i rrW

Е — Н,,

-W

-1 W г+ W+

I + т1

Е - Н„

-WW+

Е-Н, -1 1

-W = к-О

W =

1 - "Г

W+----7—И |

Е — Нгп J 1

-W,

Е - Hin Е - Ны + iirWW+ из которого следует, что матрица рассеяния может быть переписана в форме 1

S = I — 2inW+

Е — He}J

W,

45)

46)

47) где неэрмитовый оператор "Не//, определяющий полюса ¿"-матрицы, имеет вид %ej/ = Hin - it и Г = тгWW+.

В общем случае, выражение для матрицы рассеяния все равно имеет форму (47), где

У ) -(Н\ I f Г .-iF'W^E')W^E>) (АК

Keffh - (Htn)tj + ^^ dE ЕЕ, + г0 (48) см. подробности в [15]). Числа еа в формуле (48) называются пороговыми энергиями, т.е. на энергии еа открывается канал с номером а. Матрица W (граничная форма) остается вещественной в общем случае, и ее элементы имеют плавную зависимость от энергии (т.е. не меняются на локальных масштабах А), когда N ^ 1. Заметим, что в упрощенном выводе, который был изложен выше, матрица W зависит от энергии Е через параметр ка = [к2 — (алт / d)2}1/2. В дальнейшем нас будут интересовать флуктуационные свойства матрицы S(E). Типичным масштабом для таких флуктуаций является А(Е) - среднее расстояние между соседними собственными значениями матрицы Н{п, взятое вблизи энергии Е. Если масштаб А пренебрежимо мал по сравнению с разностью между соседними пороговыми энергиями: (бм+1 — бм) = (h2/2т)(км+1 — k\j) ■ [(2М + 1)/2ш](Й7г/d)2, и мы рассматриваем рассеяние при энергии Е такой, что ем < Е < ем+i (М каналов полностью открыто; энергия Е далека в единицах А от обоих порогов), то можно пренебречь энергетической зависимостью матрицы W. В дальнейшем мы будем интересоваться случаем N 1 (большого числа метастабильных состояний). Очевидно, что при этом условии неравенство А ~ 1/N <С (ем+1 — ем) выполняется даже для малого числа открытых каналов М ~ 1.

Чтобы изучать свойства ¿'-матрицы в рамках стохастического подхода, нужно выразить свойства амплитуд Wia через физически ясные параметры задачи. Амплитуды W{a описывают связь между внутренним хаотическим движением в рассеива-теле и М открытыми каналами. С самого начала (см. формулу (27)) мы ограничились случаем, когда прямые переходы из канала в канал отсутствуют. Заметим, что выполнения этого свойства всегда можно добиться подходящим преобразованием в пространстве каналов [30]. Тогда после-усреднения в небольшом окне энергий $Е (это окно должно, тем не менее, содержать много уровней 5Е А) ¿'-матрица становится диагональной Sab = SabSaa- Здесь черта означает усреднение по окну энергий SE вблизи Е. Можно проверить, что последнее свойство следует из условия ортогональности амплитуд

И£ИЪ = -7.<и (49)

7Г либо из предположения, что амплитуды Wia моделируются случайными гауссовскими величинами:

Wia) = 0, (W*awjb) = ^bSij. (50)

В случае M <С N, оба варианта (49) или (50) приводят к одному результату для флуктуационных свойств ¿"-матрицы [31, 32]. Ниже мы ограничимся вариантом (49).

Для того, чтобы описать универсальные характеристики рассеяния, мы заменяем усреднение по малому интервалу энергий вблизи Е усреднением по ансамблю случайных матриц (GUE или GOE в зависимости от общей симметрии задачи), который моделирует спектральные свойства хаотического рассеивателя.

Из условия ортогональности (49) следует, что N х N матрица Г = ttWW+ имеет собственные значения: 71,72, • • • 7м? 0,. 0. Другими словами, матрица Г имеет только M ненулевых собственных значений и может быть диагонализована ортогональным поворотом. Поскольку ансамбли GOE и GUE инвариантны относительно ортогональных вращений, всегда можно выбрать такой базис в пространстве связанных состояний, в котором матрица Г диагональна. Следовательно, в стохастическом подходе числа 7а (их естественно назвать затравочными ширинами) полностью определяют амплитуды Wia.

Более того, если принять условие ортогональности (49), то среднее от диагональных элементов ¿'-матрицы дается выражением

S.) = (51)

1+7af(E) где f(E) = iE/2 + (1 — Е2/Ау/2 и усреднение ведется по ансамблю GUE или GOE (2). Вывод формулы (51) можно найти в [16].

Силу связи между каждым каналом и областью рассеяния (полостью) можно характеризовать коэффициентами прохождения Та = 1 — |(5'аа)|2. Благодаря формуле (51) можно связать эти коэффициенты с затравочными ширинами 7а т-Л 2

1 + 2Re/(E)(7a + 7al)

52)

Напомним, что, интересуясь локальной шкалой энергий (масштабами порядка А), мы пренебрегли глобальной зависимостью граничной формы IV от энергии. Тем самым мы пренебрегли вкладом прямых (неуниверсальных) процессов в рассеяние, которым соответствуют малые времена. Таким образом, коэффициенты Та относятся лишь к той части частиц, которые потратили значительное время в области рассеяния (в полости). Во многих реальных системах коротковременные масштабы, соответствующие прямому отклику, и долговременные, соответствующие универсальным флуктуациям ¿'-матрицы, хорошо отделены. Мы будем предпологать, что такая ситуация имеет место.

В дальнейшем нас будут интересовать универсальные черты статистики полюсов ¿'-матрицы. В модели квантового хаотического рассеяния, приведенной выше, такие полюса определяются собственными значениями неэрмитовой матрицы 'Не//. Однако, физическое значение имеет лишь та часть собственных значений, мнимые части которых порядка А, т.е. сосредоточены на локальной шкале энергий. Другими словами, распределение ширины резонансов Г является универсальным на локальной шкале Г ~ Д.

Оказывается, что статистические свойства ширины резонансов Г на локальной шкале энергий определяются параметрами

2 7а + 7а /ео\ = ТГ1 = Ъ^1ЁУ (53)

На первый взгляд кажется, что чем больше затравочная ширина 7а, тем лучше связь волновода с полостью. Однако, как мы видим, это не так: оба предела 7„ 0 и 7а —¥ оо в равной степени соответствуют режиму слабой связи Т„ « 1. Идеальная связь между полостью и волноводом Та — 1 достигается только в окрестности центра спектра Е — 0 при 7а = 1. Этот эффект имеет много общего с проблемой "согласования" сопротивлений в радиофизике. Кроме того, его легко понять, если рассмотреть одномерное уравнение Шредингера с потенциалом типа ступеньки. Из явного решения этого уравнения видно, что при большой величине ступеньки коэффициент прохождения одинаково мал как для волны, идущей со стороны большего потенциала (классически открытая система), так и для волны, идущей со стороны меньшего потенциала (классически закрытая система).

С ¿»-матрицей рассеяния тесно связана матрица времени задержки Вигнера-Смита, которую определяют как

54)

Рассматривая эволюцию волновых пакетов (см. [12]), можно показать, что время, потраченное частицей (пакетом) в полости при рассеянии из канала а обратно в канал а, дается диагональным элементом таа(Е), где черта означает усреднение по начальному спектру волнового пакета. Подобным образом, полное время рассеяния пакета, усредненное по всем каналам, выражается через спектральное среднее от следа матрицы Вигнера-Смита: (1 /М)Тгт(Е). К сожалению, необходимость дополнительного усреднения по начальному спектру волнового пакета ограничивает наши возможности применить матрицу т и ее собственные значения для описания временной эволюции пакетов. Однако, для рассеяния бесконечно узких пакетов (монохроматических волн) использование матрицы Вигнера-Смита оправдано.

Благодаря унитарности ¿"-матрицы, ее собственные числа лежат на единичной окружности в комплексной плоскости и могут быть представлены в виде ехр(г#0). О фазах ва принято говорить, как о собственных фазах ¿"-матрицы. Используя (54), запишем полное время задержки как i cí Ы '

55) а=1

Для величины, фигурирующей в последнем равенстве, можно найти независимое представление

Ь detS(E) = ь= ^(/-^-¿■„Г-тИ det (/ + ¿ÜT) det (/ + ítt{E - Hin)~-lWW+) где следующее тождество, верное, в частности, для прямоугольных матриц U и V, было использовано: det (I — ÜV) = det (/ — VÜ). (57)

Из уравнения (56) мы немедленно получим простое соотношение г,(Е) = -1 ЫТг(Е - Я,, + ¿.й^)- = {EJf+rl/4, (58) связывающее полное время задержки с полюсами ¿"-матрицы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Титов, Михаил Леонидович

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение отметим основные оригинальные результаты работы. Слабые неэрми-товые деформации стандартных ансамблей случайных матриц имеют отношение к большому числу физических явлений. Спектральная статистика ансамблей GOE+г'Г, и GUE+г'Г, где Г - фиксированное симметричное возмущение конечного ранга, имеет прямое отношение к явлению квантового хаотического рассеяния. Спектральная статистика в ансамбле GOE+A, где А- фиксированное антисимметричное возмущение, связано с проблемой удержания вихрей в сверхпроводнике второго рода, с проблемой нарушения киральной симметрии в КХД и другими задачами.

Результаты второй главы состоят в том, что впервые вычислена двумерная спектральная плотность в ансамблях GOE+гГ, GOE+A, (см. формулы (135, 137, 140, 143, 144, 145, 147, 154) ), и найдены спектральные корреляционные функции в ансамбле GUE-И'Г (159, 179, 180). Полученные результаты носят универсальный характер и уже частично подтверждены в реалистичных, экспериментально проверяемых моделях [9].

Эффекты андерсоновской локализации привлекают внимание всвязи с широким кругом задач. Результаты третьей главы состоят в том, что впервые вычислено распределение ширины резонансов и корреляционная функция времени задержки при отражении от одномерного образца с локализацией. Продемонстрировано хорошее согласие с численными результатами в модели того же класса универсальности (226,228) Изучена параметрическая статистика уровней для одномерного кольца с беспорядком пронизываемого магнитным полем (308,309).

В диссертации развиты новые теоретические методы, построена нетривиальная параметризация суперсимметричной факторгруппы, дан обзор современного состояния теории квантового хаоса и одномерных неупорядоченных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Титов, Михаил Леонидович, 1999 год

1. J.A. Folk, S.R. Patel, S.F. Godijn, A.G. Huibers, S.M. Cronenwett, C.M. Marcus, K. Campman, A.C. Gossard; Statistics and parametric correlations of Coulomb blockade peak fluctuations in quantum dots-, Phys.Rev.Lett., (1996), 76, 1699—1702

2. I.H. Chan, R.M. Clarke, C.M. Marcus, K. Campman, A.C. Gossard; Ballistic conductance fluctuations in shape space; Phys.Rev.Lett., (1995), 74, 3876—3879

3. M.J. Berry, J. A. Katine, R.M. Westervelt, A.C. Gossard; Influence of shape on electron transport in ballistic quantum dots; Phys. Rev. B, (1994), 50, 17721—17734

4. S. Sridhar; Experimental observation of scarred eigenfunctions of chaotic microwave cavities-, Phys.Rev.Lett., (1991), 67, 785—788

5. J. Stein, H.-J. Stokmann, U. Stoffregen; Microwave studies of billiard Green functions and propagators; Phys.Rev.Lett., (1995), 75, 53—56

6. E. Doron, U. Smilansky, A. Frenkel; Experimental demonstration of chaotic scattering of microwaves-, Phys.Rev.Lett., (1990), 65, 3072—3075

7. P. So, S.M. Anlage, E. Ott, R.N. Oerter; Wave Chaos Experiments with and toithout Time Reversal Symmetry: GUE and GOE Statistics; Phys.Rev.Lett., (1995), 74, 2662—2665

8. M. Gliick, A.R. Kolovsky, H.-J. Korsch; Bloch particle in the presence of dc and ас fields: Statistics of the Wigner delay time; Phys.Rev.Lett., 82, (1999), 1534—1537

9. E.P. Wigner; Ann.Math., (1951), 53, 36—48

10. F.J. Dyson; A class of matrix ensembles; J.Math.Phys., (1962), 3, 140—156

11. Y.V. Fyodorov, H.-J. Sommers; Statistics of resonance poles, phase shifts and time delays in quantum chaotic scattering: random matrix approach for systems with broken time-reversal invariance; J.Math.Phys., (1997), 38, 1918—1981

12. C.W.J. Beenakker; Random-matrix theory of quantum transport; Reviews of Modern Physics, (1997), 69, 731—798

13. Z. Pluhar, H.A. Weidenmuller, J.A. Zuk, C.H. Lewenkopf, F.J. Wegner; Crossover from orthogonal to unitary symmetry for ballistic electron transport in chaotic micro structures; Ann.Phys., (1995), 243, 1—64

14. C.H. Lewenkopf, H.A. Weidenmuller; Ann.Phys., (1991), 212, 53—69

15. J.J.M. Verbaarschot, H.A. Weidenmuller, M.R. Zirnbauer; Grassmann integration in stochastic quantum physics: the case of compound-nucleus scattering; Phys.Rep., (1985), 129, 367—438

16. B.L. Altshuler, B.D. Simons; Universalities: From Anderson localization to Quantum chaos; Mesoscopic Quantum Physics, Proceedings of the Les Hooches Summer School, Session LXI., North Holland, Amsterdam, (1996), 1—127

17. K.B. Efetov; Supersymmetry in theory of disordered metals; Adv.Phys., (1983), 32, 53—127

18. M.C.Gutzwiller; Periodical orbits and classical quantization condition; J.Math.Phys., (1971), 12, 343—358

19. B.A. Muzykantskii, D.E. Khmel'nitskii; Effective action in theory of quasi-ballistic disordered conductors; Письма в ЖЭТФ, (1995), 62, 68—74

20. A.V. Andreev, О. Agam, B.D. Simons, B.L. Altshuler; Quantum chaos, irreversible classical dynamics, and random matrix theory; Phys.Rev.Lett., (1996), 76, 3947-3950

21. S. Evangelou; A numerical study of sparse random matrices; J.Stat.Phys, (1992), 69, 361—383

22. V.E. Kravtsov, K.A. Muttalib; New class of random matrix ensembles with multi-fractal eigenvectors; Phys.Rev.Lett., (1997), 79, 1913—1916

23. C.E. Porter; Statistical theories of spectra: Fluctuations; Academic, New York, 1965

24. M.R. Zirnbauer; Riemannian symmetric superspaces and their origin in random matrix theory; J.Math.Phys., (1996), 37, 4986—5012

25. Y.V. Fyodorov, B.A. Khoruzhenko, H.-J. Sommers; Almost-Hermitian random matrices: eigenvalue density in the complex plane; (1997), Phys.Lett.A, 226, 46—52

26. H. Feshbach; Ann.Phys., (1958), 5, 357—369

27. S. Albeverio, F. Haake, P. Kurasov, M. Kus, P. Seba; J.Math.Phys, (1996), 37, 4888—4907

28. P. Seba; Random matrix theory and mesoscopic fluctuations; Phys.Rev.B, (1996), 53, 13024—13040

29. H. Nishioka, H.A. Weidenmüller; Phys.Lett.B, (1985), 157, 101—104

30. N. Lehmann, D. Savin, V. Sokolov, H.-J. Sommers; Physica D, (1995), 86, 572—580

31. N. Lehmann, D. Saher, V. Sokolov, H.-J. Sommers; Nucl.Phys.A, (1995), 582, 223— 233

32. N. Hatano, D.R. Nelson; Localization Transitions in Non-Hermitian Quantum Mechanics; Phys.Rev.Lett., (1996), 77, 570—573

33. P.W. Brouwer, P.G. Silvestrov, C.W.J. Beenakker; Theory of directed localization in one dimension; Phys.Rev.B, (1997), 56, R4333—R4335

34. K.B. Efetov; Directed quantum chaos; Phys.Rev.B, (1997), 56, 9630

35. J. Miller, J. Wang; Passive scalars, random flux, and chiral phase fluids; Phys.Rev.Lett., (1996), 76, 1461—1464

36. J.T. Chalker, J. Wang; Diffusion in a Random Velocity Field: Spectral Properties of a Non-Hermitian Fokker-Planck Operator, Phys.Rev.Lett., (1997), 79, 1797—1800

37. M.A. Stephanov; Random matrix model of QCD at finite density and the nature of the quenched limit, (1996), 76, 4472—4475

38. R.A. Janik, M.A. Nowak, G. Papp, I. Zahed; Macroscopic Universality: Why QCD in Matter is Subtle; Phys.Rev.Lett., (1996), 77, 4876—4879

39. M.A. Haiasz, A.Ü. Jackson, J.J.M. Verbaarscliot; Fermion determinants in matrix models of QCD at nonzero chemical potential; Phys.Rev.D, (1997), 56, 5140—5152

40. M.A. Haiasz, J.C. Osborn, J.J.M. Verbaarschot; Random matrix triality at nonzero chemical potential; Phys.Rev.D, (1997), 56, 7059—7062

41. Y.V. Fyodorov, В.A. Khoruzhenko; Systematic Analytical Approach to Correlation Functions of Resonances in Quantum Chaotic Scattering; Phys.Rev.Lett., (1999), 83, 65-68

42. B.JI. Березинский; Кинетика квантовой частицы в одномерном случайном потенциале- (1973), ЖЭТФ, 65, 1251

43. И.М. Лившиц, С.А. Гредескул, Л.А. Пастур; Введение в теорию неупорядоченных систем; Москва "Наука", 1982

44. A. Comtet, С. Texier; On the distribution of Wigner time delay in one-dimensional disordered systems-, J.Phys. A, (1997), 30, 8017—8022

45. C. Texier, A Comtet; Universality of the Wigner time delay distribution for one-dimensional random potentials; Phys.Rev.Lett., (1999), 82, 4220—4223

46. J.T. Edwards, D.J. Thouless; Numerical studies of localization in disordered systems', J. Phys. С-.Solid State Phys., (1972), 5, 151—167

47. J. Zakrzewski, D. Delande; Parametric motion of energy levels in quantum chaotic systems. I. Curvature distributions-, Phys.Rev.E, 47, (1993), 1650—1664

48. Y.V. Fyodorov, H.-J. Sommers; "Level curvature" distribution for diffusive Aharonov-Bohm systems: Analytical results; Phys.Rev.E, (1995), 51, R2719—R2722

49. И.В. Колоколов; Метод функционального интегрирования для одномерной локализации, высшие корреляторы и средний ток в мезоскопическом кольце в произвольном магнитном поле; ЖЭТФ, (1993), 103, 2196—2214

50. A.D. Mirlin, Y.V. Fyodorov; Universality of level correlation function of sparse random matrices; J.Phys.A, (1991), 24, 2273—2286

51. Y.V. Fyodorov, A.D. Mirlin; Localization in ensemble of sparse random matrices; Phys.Rev.Lett., (1991), 67, 2049—2052

52. Y.V. Fyodorov, H.-J. Sommers; Universality of "level curvature" distribution for large random matrices: systematic analytical approaches; Z.Phys.В, (1995), 99, 123—135

53. Y.V. Fyodorov; Mesoscopic Quantum Physics, Proceedings of the Les Hooches Summer School, Session LXI., North Holland, Amsterdam, (1995), 493—512

54. Y.V. Fyodorov, В. Khoruzhenko, H.-J. Sommers; Universality in the random matrix spectra in the regime of weak non-Hermiticity; Ann.Inst.Henri Poincare Phys. Theor, (1998), 66, 449—480.

55. Y. Alhassid, C.H. Lewenkopf; Statistical distributions of level widths and conductance peaks in irregularly shaped quantum dots; Phys.Rev.Lett., (1995), 75, 3922—3925

56. P.A. Moldauer; Unitary models of nuclear resonance reactions; Phys.Rev., (1967), 157, 907—921

57. M. Simonius; Phys.Lett. , (1974), 52, 279—294

58. P. Gaspard; Quantum chaos, (1991), Amsterdam, North-Holland, 307—376

59. Y. Decanini, A. Folacci, E. Fournier, P. Gabrielli; Exact S-matrix for N-disk systems and various boundary conditions: II. Determination and partial classification of resonances] J.Phys.A, (1998), 31, 7891—7900

60. J. Ginibre; J.Math.Phys., (1965), 6, 440—456

61. M.L. Mehta; Random matrices-, (1990), Academic Press Inc., N.Y.

62. A. Altland, D. Fuchs; Spectral statistics of mesoscopic wires: crossover from Wigner-Dyson to Poisson regime; Phys.Rev.Lett., (1995), 74, 4269

63. M. Gardiner; Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natural sciences; Springer, (1989)

64. И.А. Лившиц, С.А. Гредескул, Л.А. Пастур; Введение в теорию неупорядоченных систем; (1982), Москва, "Наука"

65. В.И. Мельников; Движение электронов в конечных одномерных неупорядоченных системах-, (1980), ФТТ (Ленинград), 22, 2404—2415

66. Л.П. Горькое, О.Н. Дорохов, Ф.В. Пригара; Корреляции уровней энергии в неупорядоченной одномерной цепочке; (1983), ЖЭТФ, 84, 1440—1457

67. Л.П. Горькое, О.Н. Дорохов, Ф.В. Пригара; Структура волновых функций и ас проводимость в неупорядоченных одномерных проводниках, (1983), ЖЭТФ, 85, 1470—1485

68. Б.Jl. Альтшулер, В.Н. Пригодны; Распределение локальной плотности состояний и формы линии ЯМР в одномерном неупорядоченном проводнике; (1989), ЖЭТФ, 95, 348—362

69. T.N. Antsigina, L.A.Pastur, V.A.Slyusarev; Localization of states and kinetic properties of one-dimensional disordered systems-, (1981), Sov.J.Low Temp.Phys., 7, 1-21

70. B.A. Muzikantskii, D.E. Khmelnitskii; Phys. Rep., 288, (1997), 259—281

71. B.D. Simons, B.L. Altshuler; Universalities in the spectra of disordered and chaotic systems; Phys.Rev.B, (1993), 48, 5422—5438

72. A. Szafer, B.L. Altshuler; Universal correlation in the spectra of disordered systems with an Aharonov-Bohm flux; Phys.Rev.Lett., (1993), 70, 587—590

73. B.D. Simons, P.A. Lee, B.L. Altshuler; Exact description of spectral correlators by a quantum one-dimensional model with inverse-square interaction; Phys.Rev.Lett., (1993), 70, 4125—4128

74. B.D. Simons, B.L. Altshuler; Universal velocity correlations in disordered and chaotic systems; Phys.Rev.Lett., (1993), 70, 4063—4066

75. N. Taniguchi, B.L. Altshuler; Universal ac conductivity and dielectric response of periodic chaotic systems; Phys.Rev.Lett., (1993), 71, 4031—4034

76. Yan V. Fyodorov; Distribution of "level velocities" in quasi-lD disordered or chaotic systems with localization; Phys.Rev.Lett, (1994), 73, 2688—2691

77. F. von Oppen; Exact distribution of eigenvalue curvatures of chaotic quantum systems; Phys.Rev.Lett., 73, (1994), 798—801

78. P.W. Anderson, P.A. Lee Suppl.Prog. Theor.Phys., 69, (1980), 212—216

79. E. Akkermans, G. Montambaux; Conductance and statistical properties of metallic spectra; Phys.Rev.Lett., 68, (1992), 642—645

80. M.M. Sano; Semiclassical level curvatures and quantum transport phenomena; Phys.Rev.E, 54, (1996), 3591—3605

81. D. Braun, G. Montambaux; Universal spectral correlations in diffusive quantum systems; Phys.Rev.B, 50 (1994), 7776—7791

82. I.V. Yurkevich, V.E. Kravtsov; Non-universal corrections to the level curvature distribution beyond random matrix theory; Phys.Rev.Lett., (1997), 78, 701—704

83. C.M. Canali, C. Basu, W. Stephan, V.E. Kravtsov; Distribution of level curvatures for the Anderson model at the localization derealization transition; Phys.Rev.B, 54, (1996), 1431—1448

84. Y.V. Fyodorov, A.D. Mirlin; Distribution of exponential decay rates of localized eigen-functions infinite quasi ID disordered systems; Письма в ЖЭТФ, 58, (1993), 636— 639

85. Yan V. Fyodorov, A.D. Mirlin; Statistical properties of eigenfunctions of random quasi ID one-particle Hamiltonians; Int.Journ. of Mod.Phys., (1994), 8, 3795—3852

86. G. Casati, I. Guarneri, F.M. Izrailev; Periodic band random matrices, curvature, and conductance in disordered media; Phys.Rev.Lett., 72, (1994), 2697—2700

87. K. Zyczkowski, L. Molinary, F.M. Izrailev J.Phys.I (France), 4, (1994), 1469—1471

88. D. Braun, E. Hofstetter, G. Montambaux, A. Mackinnon; Level curvatures and conductances: A numerical study of the Thouless relation; Phys.Rev.B, (1997), 55, 7557—7566

89. O.H. Дорохов Локализация и незатухающий ток в одномерном кольце с беспорядком; (1992), ЖЭТФ, 101, 966—970

90. А. Altland, S. Iida, A. Müller-Groeling, H.A. Weidenmüller; Persistent currents in an ensemble of isolated mesoscopic rings; Annals of Physics, (1992), 219, 148—164

91. I.V. Kolokolov; Functional integration for quantum magnets: new method and new results; Annals of Physics, (1990), 202, 165—185

92. K. Frahm, B. Mühlschlegel; Supersymmetric path integrals applied to the transmission of a mesoscopic ring; Z.Phys.B, (1994), 94, 201—212

93. B.JI. Березинский, Л.И. Горьков Ii теории электронов, локализованных в поле дефектов, (1979), ЖЭТФ, 77, 2498—2512

94. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев; Интегралы и ряды (дополнительные главы); (1986), Москва, "Наука"